Numerička analiza 16. predavanje
|
|
|
- Τρύφαινα Δυοβουνιώτης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Numerička analiza 16. predavanje Saša Singer web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.1/69
2 Sadržaj predavanja Besselove funkcije i Millerov algoritam: Opći oblik Millerovog algoritma. Rekurzija za Besselove funkcije i stabilnost. Millerov algoritam za Besselove funkcije. Izgladivanje podataka i metoda najmanjih kvadrata: Veza izgladivanja i najmanjih kvadrata. Globalno i lokalno izgladivanje. Diskretni ortog. polinomi i Forsytheov algoritam. Lokalno izgladivanje najmanji kvadrati, integral. Najmanji kvadrati i splajn funkcije. Dierckx. Brza diskretna Fourierova transformacija (DFFT) i izgladivanje (uklanjanje šumova). NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.2/69
3 Besselove funkcije i Millerov algoritam NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.3/69
4 Tročlane rekurzije i izvrednjavanje funkcija Kod generalizirane Hornerove sheme koristili smo znanje p 0 i p 1 za silaznu varijantu algoritma za računanje p N. To nije potrebno: dovoljno je znati neku vezu medu funkcijama p n koja se lako računa. Primjer. Funkcije izvodnice oblika F(x) = n=0 q n p n (x), gdje se F(x) računa nekom analitičkom formulom bez upotrebe p n (x), tj. F(x) možemo naći neovisno o funkcijama p n. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.4/69
5 Općenito o Millerovom algoritmu Millerov algoritam (po J. C. P. Milleru, godine) primjenjuje se kada vrijednosti funkcija p n (x) vrlo brzo padaju, kad n raste, a greška zaostaje. Pretpostavimo da funkcije p n zadovoljavaju neku homogenu rekurziju, na primjer tročlanu, p n+1 (x) + α n (x)p n (x) + β n (x)p n 1 (x) = 0, n = 1, 2,... Poznavanje bilo kojeg p n (čak ni p 0, niti p 1 ) nije potrebno. Treba znati samo koeficijente α n i β n. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.5/69
6 Opća forma Millerovog algoritma Odaberimo startnu vrijednost indeksa M od koje ćemo početi ovisno o vrijednosti N indeksa funkcije koju tražimo: ako tražimo p N (x) (ili p N (x),...,p 0 (x), ili samo neke od njih), M se obično odabere tako da je M > N i vrijedi p M (x) p N (x) točnost računanja. To obično garantira i da je F M (x) := M n=0 q n p n (x), barem jednako točna aproksimacija za F(x). NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.6/69
7 Opća forma Millerovog algoritma Definiramo p M+1 = 0, p M = 1 i računamo p n, za n = M 1,..., 0, unatrag po rekurziji za p n (x): p n = (α n+1(x) p n+1 + p n+2 ), n = M 1,..., 0. β n+1 (x) Zbog homogenosti rekurzije, dobiveni niz vrijednosti p M,..., p 0 je vrlo približno proporcionalan stvarnim vrijednostima p M (x),...,p 0 (x), barem u području od p N (x) do p 0 (x), tj. vrijedi p n (x) p n c, za n N. Treba još naći normalizacijski faktor c. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.7/69
8 Opća forma Millerovog algoritma Budući da znamo koeficijente q n u razvoju funkcije izvodnice F po funkcijama p n F(x) = n=0 q n p n (x), umjesto nepoznatih vrijednosti p n (x), uvrstimo p n i računamo aproksimaciju F M F M := M n=0 q n p n. Gornji indeks sumacije može biti i bitno manji od M, ako znamo da p n (x) vrlo brzo padaju, kad n raste. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.8/69
9 Opća forma Millerovog algoritma U sumi za F M dovoljno je uzeti toliko članova da se izračunata vrijednost F M stabilizira na točnost računala ili traženu točnost. Zatim direktno analitički izračunamo F(x) po poznatoj formuli i stavimo c := F(x) F M, što je traženi normalizacijski faktor, uz pretpostavku da je F M (x) dovoljno dobra aproksimacija za F(x). NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.9/69
10 Opća forma Millerovog algoritma Na kraju izračunamo p n (x) = p n c za sve one n izmedu 0 i N koji nas zanimaju, jer u tom području vrijedi vrlo dobra proporcionalnost p n (x) p n. Vrlo često se startna vrijednost M odreduje iz: nekih poznatih relacija za familiju funkcija p n (x), ili eksperimentalno, povećavanjem M, sve dok se ne postigne željena točnost za p N (x). NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.10/69
11 Općenito o Besselovim funkcijama Besselove funkcije prvi puta je uveo Bessel, godine, promatrajući jedan problem iz tzv. dinamičke astronomije, vezan uz zgodan način zapisa položaja planeta koji se kreće po elipsi oko Sunca. Za praktične potrebe, Bessel je traženu veličinu prikazao kao red funkcija poznatih podataka s koeficijentima koji su funkcije oblika J n (x) = 1 π π 0 cos(x sin θ nθ)dθ, n N. Te funkcije zovemo Besselovim funkcijama prve vrste. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.11/69
12 Općenito o Besselovim funkcijama Definicija Besselovih funkcija može se proširiti na n Z, i tada je J n (x) = ( 1) n J n (x). Nažalost, ni za jednu od ovih funkcija ne postoji neka jednostavna formula ili oblik za računanje. Definicijsku relaciju možemo iskoristiti i za numeričko računanje vrijednosti J n (x), za zadane n N 0 i x R, tako da upotrijebimo neku od metoda numeričke integracije. Medutim, postoje i mnogo brži algoritmi za postizanje iste tražene točnosti izračunate vrijednosti J n (x). NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.12/69
13 Još jedna definicija Besselovih funkcija U klasičnom pristupu, preko funkcija izvodnica, Besselove funkcije definiramo kao koeficijente uz t n, u razvoju exp ( x t 1/t ) 2 = n= J n (x)t n. Ova definicija ekvivalentna je integralnoj i iz nje se mogu izvesti mnoge važne relacije za Besselove funkcije. Besselove funkcije zadovoljavaju tročlanu rekurziju J n+1 (x) 2n x J n(x) + J n 1 (x) = 0, n N. Takoder, vrijedi J 1 (x) = J 0 (x). NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.13/69
14 Izračunavanje Besselovih funkcija Razmišljanja... Kad bismo znali izračunati J 0 (x) i J 1 (x) (ili J 0(x)), onda bismo mogli izračunati i J n (x). Osim toga, generaliziranom Hornerovom shemom mogli bismo onda računati i razne razvoje po Besselovim funkcijama. Nažalost, tročlana rekurzija za Besselove funkcije je izrazito nestabilna unaprijed. Da bismo to pokazali, promotrimo ponašanje vrijednosti Besselovih funkcija J n (x) u ovisnosti o n i x. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.14/69
15 Diferencijalna jednadžba i Besselove funkcije Iz funkcije izvodnice pokazuje se da Besselove funkcije J n, zadovoljavaju diferencijalnu jednadžbu x 2 y + xy + (x 2 n 2 )y = 0, koja se može promatrati na cijeloj kompleksnoj ravnini, pa se u slučaju kad n nije cijeli broj koristi oznaka ν. Jedno od rješenja ove jednadžbe su Besselove funkcije prve vrste J ν, koje imaju svojstvo da su ograničene u 0 kad je Re ν 0. Analitički im je oblik J ν (x) = ( 1 2 x ) ν k=0 ( x 2 /4) k k! Γ(ν + k + 1), gdje su ν i x, općenito, kompleksni brojevi. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.15/69
16 Izračunavanje Besselovih funkcija Promatrajmo ponašanje ovih funkcija samo za nenegativne realne indekse ν 0 i argumente x 0. Ako je ν cijeli broj, onda prethodna relacija glasi ( ) n 1 J n (x) = 2 x ( x 2 /4) k k! (n + k)!. k=0 Oba reda očito konvergiraju za x 0, a donji čak na cijelom skupu C. Na prvi pogled izgleda kao da smo time riješili i problem računanja vrijednosti J 0 (x) i J 1 (x). Ovaj red vrlo brzo konvergira za relativno male x. Za malo veće x, kad je x n (ili ν) dobivamo sve veće kraćenje zbrajanjem uzastopnih članova reda. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.16/69
17 Prve tri Besselove funkcije y J 0 (x) J 1 (x) J 2 (x) x NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.17/69
18 Sljedeće tri Besselove funkcije y J 3 (x) J 4 (x) J 5 (x) x NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.18/69
19 Deseta Besselova funkcija y eksponencijalno ponašanje J 10 (x) trigonometrijsko ponašanje x NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.19/69
20 Besselove funkcije drugi pogled Ako gledamo kao funkcije od x, područje eksponencijalnog ponašanja mijenja se u trigonometrijsko područje približno za x = ν (na pr., iz Taylorovog reda). Gledamo li Besselove funkcije, ne kao funkcije od x, nego za fiksni x, kao funkcije indeksa ν, onda Besselove funkcije pokazuju slično ponašanje, samo po ν, područje trigonometrijskog ponašanja za x ν trne u eksponencijalno. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.20/69
21 Besselove funkcije J ν (k), za k = 1, 2, 3 J ν J ν (1) J ν (2) J ν (3) ν NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.21/69
22 Besselove funkcije J ν (k), za k = 4, 5, 6 J ν J ν (4) J ν (5) J ν (6) ν NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.22/69
23 Besselova funkcija J ν (10) J ν (10) trigonometrijsko ponašanje eksponencijalno ponašanje J ν (10) ν NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.23/69
24 Računanje Besselovih funkcija Kad n raste, u rekurziji dobivamo sve manje i manje brojeve, što znači da mora doći do kraćenja. To pokazuje da je rekurzija J n+1 (x) 2n x J n(x) + J n 1 (x) = 0, n N, nestabilna u rastućem smjeru po n, čim udemo u eksponencijalno područje n > x (veza s cos i ch). Ilustracija nestabilnosti za x = 1: računamo vrijednosti J n (x) korištenjem rekurziju uzlazno po n, u extended preciznosti. Dobiveni rezultati na 18 decimala (apsolutno) dani su u sljedećoj tablici. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.24/69
25 Primjer za J n (1) n izračunati J n (1) točni J n (1) NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.25/69
26 Komentari Možda je dobro uočiti: Kraćenje, a time i gubitak relativne točnosti počinje odmah za n = 2, ulaskom u eksponencijalno područje. Medutim, to se ne vidi u ovoj tablici, jer su rezultati prikazani apsolutno, a ne relativno. Za n = 11 nemamo više niti jednu točnu znamenku. Za n = 12 gubimo i monotoni pad po n. Vidimo da se dogada nešto slično kao kod računanja e nx, što upućuje na okretanje rekurzije i primjenu Millerovog algoritma. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.26/69
27 Besselove funkcije i Millerov algoritam Millerov algoritam daje dobre rezultate (drugi stupac tablice, koji je točan), a funkcija izvodnica koja se pritom koristi za normalizaciju je J 0 (x) + 2(J 2 (x) + J 4 (x) + + J 2k (x) + ) = 1. Ova relacija izlazi direktno iz funkcije izvodnice za t = 1, kad iskoristimo parnost i neparnost Besselovih funkcija po n, tj. J n = ( 1) n J n. Za praktičnu primjenu Millerovog algoritma poželjno je znati precizno ponašanje rekurzije. Za fiksni x zanima nas ponašanje J n (x) za velike n. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.27/69
28 Besselove funkcije i Millerov algoritam Može se pokazati da u eksponencijalnom području vrijedi tzv. asimptotska relacija J ν (x) 1 ( ) ν ex, 2πν 2ν za fiksni x i velike ν, tj. za ν. Gledano po n, za velike n, J n (x) se ponaša kao c n n n+0.5, gdje je c n = (ex/2) n / 2π, a to vrlo brzo trne kad n raste. Korist: odavde se može izračunati početni indeks M za Millerov algoritam, tako da osiguramo potrebnu točnost. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.28/69
29 Besselove funkcije i Millerov algoritam Na sličan način može se opisati i ponašanje Besselovih funkcija J ν kada je ν fiksan, a gledamo male ili velike argumente x. Za fiksni ν, kad x 0 iz prvog člana Taylorovog reda dobivamo i asimptotsku relaciju J ν (x) ( ) ν 1 2 x 1 Γ(ν + 1), koja je, očito, dobra aproksimacija za x u eksponencijalnom području za x blizu nule. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.29/69
30 Besselove funkcije i Millerov algoritam S druge strane, za x n, J n (x) se ponaša poput kosinusa, tj. oscilira. Prava relacija u trigonometrijskom području je ( 2 J ν (x) πx cos x π 4 νπ ), 2 za fiksni ν, kad x. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.30/69
31 Izgladivanje podataka i diskretni najmanji kvadrati NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.31/69
32 Uvod u izgladivanje podataka Zadan je skup podataka (ili točaka u ravnini) pri čemu (x i,f i ), i = 0,...,n, vrijednosti x i smatramo točnim bez grešaka, a vrijednosti f i su izmjerene vrijednosti i nose u sebi neku grešku, označimo ju s ε i. Na primjer, f i možemo interpretirati kao približne vrijednosti neke funkcije f u točkama x i. Prave vrijednosti f(x i ), naravno, ne znamo! Točke x i, bar zasad, ne moraju biti medusobno različite, isto kao i kod diskretnih najmanjih kvadrata. Medutim, pretpostavimo da jesu medusobno različite. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.32/69
33 Uvod u izgladivanje podataka Dakle, imamo izmjereni uzorak funkcijskih vrijednosti funkcije f na diskretnom skupu točaka x 0,...,x n, za koji vrijedi f i = f(x i ) + ε i, i = 0,...,n. Ideja: uz odredene statističke pretpostavke na slučajnost grešaka ε i, zamijeniti f i vrijednošću neke aproksimacijske funkcije ϕ u točki x i, tako da očekivane greške u ϕ i := ϕ(x i ) budu manje. Drugim riječima, cilj je ukloniti slučajne greške u f i, ili izgladiti ove izmjerene podatke! NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.33/69
34 Statističke pretpostavke na model Za izgladivanje trebamo dvije statističke pretpostavke na greške. Prva i ključna pretpostavka: U mjerenjima nema sistematskih grešaka, tj. imamo dobro kalibrirane instrumente, ili, srednja vrijednost ili očekivanje greške je nula E(ε i ) = 0, i = 0,...,n. Pisano vektorski u prostoru R n+1, uz oznaku ε = (ε 0,...,ε n ) T, E(ε) = 0. Uz tu pretpostavku, nepoznata vrijednost f(x i ) je ista kao i očekivanje izmjerene vrijednosti f i, za i = 0,...,n. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.34/69
35 Statističke pretpostavke na model Druga pretpostavka, koja bitno olakšava računanje: Greške u različitim mjerenjima (od točke do točke) su statistički nezavisne, tj., kovarijacijska matrica V := V (ε) je dijagonalna V (ε) = diag(σ 2 0,...,σ 2 n), a σ 0,...,σ n su standardne devijacije u pojedinim mjerenjima (kvadrati su varijance). Sasvim općenito, kovarijacijska matrica V može biti bilo koja (simetrična) pozitivno definitna matrica. No, dijagonalnost bitno ubrzava računanje, a često je istinita u praksi. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.35/69
36 Skalarni produkt generiran s W = V 1 Na vektorskom prostoru R n+1 definiramo skalarni produkt generiran matricom W := V 1 na sljedeći način u,v W := v T Wu = Wu,v, u,v R n+1. Iz pozitivne definitnosti matrice V 1 lako slijedi da je ovo zaista skalarni produkt. Pripadnu W-normu vektora definiramo na standardni način v W := v,v W = Wv,v, v R n+1. Obično ćemo koristiti kvadrat norme v 2 W = v,v W = Wv,v, v R n+1. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.36/69
37 Linearna aproksimacija Aproksimacijsku funkciju ϕ prikazujemo kao nepoznatu linearnu kombinaciju poznatih (izabranih) funkcija tzv. funkcija baze u izabranom modelu. Neka su ϕ 0,...,ϕ m izabrane funkcije baze u modelu. Aproksimacijska funkcija ϕ ima oblik m ϕ(x) = c 0 ϕ 0 (x) + c m ϕ m (x) = c j ϕ j (x), j=0 Koeficijenti c 0,...,c m u ovoj linearnoj kombinaciji su nepoznati parametri koje treba odrediti. Dovoljno je uzeti m n. U praksi, točaka x 0,...,x n ima mnogo više nego nepoznatih parametara c 0,...,c m, tj. n m. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.37/69
38 Linearna aproksimacija Iz vrijednosti funkcija baze ϕ j u točkama x i formiramo (općenito, pravokutnu) matricu A R (n+1) (m+1) na sljedeći način a ij := ϕ j (x i ), i = 0,...,n, j = 0,...,m. Ako su funkcije baze dobro izabrane, onda su stupci matrice A su linearno nezavisni, tako da A ima puni stupčani rang (zato nam treba m n). Uz ove oznake, imamo m m ϕ(x i ) = c j ϕ j (x i ) = a ij c j, i = 0,...,n. j=0 j=0 NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.38/69
39 Linearni model i procjena parametara Nepoznate parametre c 0,...,c m odredujemo iz modela f i = ϕ(x i ) + ε i, i = 0,...,n, Označimo s f := (f 0,...,f n ) T R n+1 vektor izmjerenih vrijednosti, c := (c 0,...,c m ) T R m+1 vektor nepoznatih parametara. Onda dobivamo tzv. linearni model za procjenu parametara c u obliku f = Ac + ε. Uz sve navedene pretpostavke, najbolju procjenu parametara dobivamo iz Gauss Markov teorema: to je ona s najmanjom varijancom! NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.39/69
40 Veza izgladivanja i najmanjih kvadrata To direktno vodi u metodu najmanjih kvadrata: minimiziraj varijancu. Preciznije, najbolji izbor parametara (za fiksni m) je rješenje c problema najmanjih kvadrata f Ac 2 W = W( f Ac), f Ac min, uz W = V 1. Pripadni sustav normalnih jednadžbi je (A T WA)c = A T W f. Dodatno, kovarijacijska matrica najbolje procjene c je V (c) = (A T WA) 1. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.40/69
41 Veza izgladivanja i najmanjih kvadrata Na kraju, pripadna minimalna varijanca je Do na faktor u nazivniku, s 2 = f Ac 2 W n m. brojnik je ono što se minimizira (najmanji kvadrati)! Ovaj rezultat vrijedi za bilo koju simetričnu pozitivno definitnu kovarijacijsku matricu V. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.41/69
42 Standardni zapis skalarnog produkta U praksi je kovarijacijska matrica V često dijagonalna V (ε) = diag(σ 2 0,...,σ 2 n), a σ 0,...,σ n su standardne devijacije u pojedinim mjerenjima (kvadrati su varijance). Tada se koristi standardna oznaka w i = 1 σ 2 i, i = 0,...,n, a pripadni težinski skalarni produkt ima oblik n u,v W = w i u i v i, u,v R n+1. i=0 Složenost pada s O(n 2 ) na O(n). NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.42/69
43 Težinski najmanji kvadrati Pripadni problem najmanjih kvadrata f Ac 2 W = W( f Ac), f Ac min, onda ima puni oblik f Ac 2 W = n i=0 w i (f i m j=0 c j ϕ j (x i )) 2 min. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.43/69
44 Praktični problemi kod izgladivanja Praktična uloga varijanci σ i, odnosno težina w i. Skaliranje slično klasičnoj pretpostavci greške su nezavisne, normalna distribucija N(0, 1). Izbacivanje istih točaka (zbog dimenzije). U primjeni kod izgladivanja m se traži! Ideja diži m (dimenziju prostora), sve dok se varijanca s 2 m približno ne stabilizira. Matrica A varira (raste) s m. To ima smisla koristiti ako uzimamo ortogonalne baze, tako da A ima ortogonalne stupce (A T WA = I m ). Realizacija za polinome = Forsytheov algoritam s detekcijom stupnja. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.44/69
45 Forsytheov algoritam NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.45/69
46 Diskretni ortogonalni polinomi Za ekvidistantne (ili uniformne) mreže (fiksni korak h) ne treba generirati diskretne ortogonalne polinome rekurzivnim formulama, jer postoje eksplicitne formule tzv. Gramovi polinomi i njihove afine transformacije. Za neekvidistantne mreže treba generirati pripadne diskretne ortogonalne polinome. To se isplati i za ekvidistantne mreže (isti algoritam). Dodatno, u oba slučaja, tražimo još i koeficijente u razvoju zadane funkcije f po tim ortogonalnim polinomima, a sve se dobiva jednim algoritmom u paketu. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.46/69
47 Diskretni ortogonalni polinomi rekurzija Svi ortogonalni polinomi (pa i diskretni) zadovoljavaju tročlanu, homogenu rekurziju oblika: p k+1 (x) = (a k x + b k )p k (x) c k p k 1 (x). Ako su polinomi monični (vodeći koeficijent je jednak 1), onda prethodnu rekurziju možemo zapisati kao p k+1 (x) = (x α k )p k (x) β k p k 1 (x). U nastavku korstimo samo ovaj oblik rekurzije. Oznaka c j nadalje označava koeficijente u razvoju. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.47/69
48 Forsytheov algoritam Forsytheov algoritam iz uvjeta ortogonalnosti na zadanoj mreži nalazi koeficijente α k i β k, računa sljedeći koeficijent c j u razvoju funkcije, zajadno s generaliziranom Hornerovom shemom daje efikasan algoritam za nalaženje polinoma po metodi najmanjih kvadrata. Algoritam je pronašao George E. Forsythe, godine. Algoritam se sastoji od dvije faze: generiranja diskretnih ortogonalnih polinoma, računanja koeficijenata aproksimacije. Usput još, računa i pripadnu srednjekvadratnu grešku. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.48/69
49 Problem težinske aproksimacije polinomima Zadan je skup podataka: (x i,f i ), i = 1,...,n, s težinama w i. Idealno je da su težine inverzno proporcionalne varijancama mjerenja (v. Gauss Markovljev model), no može i drugačije. Taj niz podataka želimo aproksimirati polinomom p stupnja m, uz m < n, kojeg želimo prikazati kao linearnu kombinaciju diskretnih ortogonalnih polinoma na mreži {x 1, x 2,..., x n }, uz zadane težine w i u pripadnom skalarnom produktu. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.49/69
50 Oblik aproksimacijske funkcije Dakle, polinom p tražimo u obliku m p(x) = c j p j (x), j=0 pri čemu su p 0,...,p m ortogonalni polinomi na zadanoj mreži, n p k,p l = w i p k (x i )p l (x i ) = 0, za k l. i=1 Takav niz polinoma generiran je već spomenutom rekurzijom p k (x) = (x α k 1 )p k 1 (x) β k 1 p k 2 (x), k = 1, 2,...,m. uz start rekurzije p 1 (x) = 0, p 0 (x) = 1 (pomak indeksa za 1). NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.50/69
51 Računanje koeficijenata ortogonalnih polinoma Množenjem prethodne jednadžbe s w i p k 1, uvrštavanjem x i i sumiranjem, dobivamo α k 1 = n w i x i p 2 k 1(x i ) i=1, n w i p 2 k 1 (x i ) i=1 k = 1, 2,...,m. ili α k 1 = id p k 1,p k 1, k = 1, 2,...,m, p k 1,p k 1 gdje je id identiteta, tj. id(x) = x. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.51/69
52 Računanje koeficijenata ortogonalnih polinoma Na sličan način, samo množenjem w i p k 2, uvrštavanjem x i i sumiranjem, dobivamo β k 1 = n w i x i p k 1 p k 2 (x i ) i=1, k = 1, 2,...,m. n w i p 2 k 2 (x i ) i=1 ili β k 1 = id p k 1,p k 2, k = 1, 2,...,m. p k 2,p k 2 NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.52/69
53 Koeficijenti aproksimacijske funkcije Budući da je razvoj polinoma p imao oblik, p(x) = m j=0 c j p j (x), želimo da norma reziduala tog sustava jednadžbi f i = m j=0 c j p j (x i ), i = 1,...,n bude minimalna za parove točaka (x i,f i ) (vidjeti izvod matrične formulacije najmanjih kvadrata). NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.53/69
54 Koeficijenti aproksimacijske funkcije Množenjem prethodne jednadžbe s p k (x i )w i i korištenjem ortogonalnosti polinoma na zadanoj mreži, dobivamo n w i f i p j (x i ) ili c j = i=1 n w i p 2 j(x i ) i=1 c j = f,p j p j,p j., j = 0,...,m, Kad su izračunati c 0,...,c m, računanje aproksimacije p(x) u točkama x provodi se generaliziranom Hornerovom shemom, pa potprogram treba vratiti i koeficijente rekurzije α k i β k. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.54/69
55 Detekcija stupnja polinoma Primjer: Detekcija stupnja polinoma. Zadan je polinom i tabeliramo ga u točkama Tabelirane vrijednosti su: f(x) = x 2 + 4x + 7, x i = i 1, i = 1,..., 5. 2 x i f i NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.55/69
56 Detekcija stupnja polinoma Perturbiramo malo podatke u točkama 0.5 i 1.5: Za sve težine uzmimo f i x i w i = 1, jer su svi polazni podaci jednako pouzdani. Treba naći aproksimaciju polinomima po metodi najmanjih kvadrata i odrediti (vjerojatni) stupanj polaznog polinoma f. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.56/69
57 Detekcija stupnja polinoma Redom imamo: p 0 (x) = 1 i definiramo β 0 = 0. Računamo p 1 : α 0 = 5 x i 1 i=1 5 1 i=1 = 1 = p 1 (x) = x 1. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.57/69
58 Detekcija stupnja polinoma Računamo p 2 : β 1 = α 1 = 5 x i p 1 (x i ) 1 i=1 = i=1 5 x i p 2 1(x i ) 1 i=1 = 1 5 p 2 1(x i ) i=1 = p 2 (x) = x 2 2x NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.58/69
59 Detekcija stupnja polinoma Pogledajmo vrijednosti ovih polinoma u čvorovima: x i p 0 (x i ) p 1 (x i ) p 2 (x i ) NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.59/69
60 Detekcija stupnja polinoma Nadimo još koeficijente c j u razvoju: c 0 = 5 i=1 f i 5 i=1 1 = 12.5 c 1 = 5 i=1 f i p 1 (x i ) 5 i=1 p2 1(x i ) = 5.98 c 2 = 5 i=1 f i p 2 (x i ) 5 i=1 p2 2(x i ) = 1. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.60/69
61 Detekcija stupnja polinoma Konačno, nadimo još aproksimacijske polinome: polinom stupnja 0 je: P 0 = a 0 p 0 = 12.5 polinom stupnja 1 je: P 1 = P 0 + a 1 p 1 = 5.98x polinom stupnja 2 je: P 2 = P 1 + a 2 p 2 = x x , što je i po koeficijentima jako blizu f. Pripadne sume kvadrata apsolutnih grešaka su: S 0 = , S 1 = 0.879, S 2 = Zaključujemo da je riječ o blago perturbiranim podacima u kvadratnom polinomu, jer je greška u S naglo opala. Za S 3 dobili bismo manje, ali ne bitno, pa ovdje stajemo. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.61/69
62 Detekcija stupnja polinoma Na kraju, napišimo još i tablicu vrijednosti u čvorovima za sva tri polinoma P j : x i f i P 0 (x i ) P 1 (x i ) P 2 (x i ) NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.62/69
63 Lokalno izgladivanje funkcija NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.63/69
64 Globalno i lokalno izgladivanje Diskretna metoda najmanjih kvadrata koristi se još i za globalno izgladivanje funkcija, lokalno izgladivanje funkcija. O globalnom izgladivanju je već bilo govora. Lokalno izgladivanje najčešće se provodi povlačenjem pravca po metodi najmanjih kvadrata kroz 3, 5 ili 7 točaka, parabole po metodi najmanjih kvadrata kroz 5 ili 7 točaka. Katkad se koriste i lokalne integracijske formule (v. Multigrid). NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.64/69
65 Parabola kroz 5 točaka Primjer. Nadite parabolu po metodi najmanjih kvadrata za 5 ekvidistantnih točaka (x i,f i ), gdje je i = k 2,...,k + 2. Da bismo lakše računali, napravimo transformaciju koja te točke prevodi u t k 2 = 2,...,t k+2 = 2. Označimo novu varijablu s pri čemu je x i+1 x i = h. Parabola u novoj varijabli t je t = x x k h p(t) = c 2 t 2 + c 1 t + c 0., NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.65/69
66 Parabola kroz 5 točaka Zbog simetrije točaka oko 0, linearni sustav koji rješava problem najmanjih kvadrata za parabolu p je iznimno jednostavan: 5c c 2 = k+2 i=k 2 f i 10c 1 = 10c c 2 = k+2 i=k 2 k+2 i=k 2 t i f i t 2 if i NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.66/69
67 Parabola kroz 5 točaka Rješenje tog sustava je: c 0 = 1 35 ( 3f k f k f k + 12f k+1 3f k+2 ) c 1 = 1 10 ( 2f k 2 f k 1 + f k+1 + 2f k+2 ) c 2 = 1 14 ( 2f k 2 f k 1 2f k f k+1 + 2f k+2 ). NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.67/69
68 Parabola kroz 5 točaka Aproksimacije ˆf i = izgladene vrijednosti funkcije dobivamo izvrednjavanjem parabole p u točkama 2,..., 2. Matrični zapis je: f k f k 2 f k 1 f k = f k f k. f k f k f k+2 f k+2 Stvar se može napraviti i na neekvidistantnim mrežama, samo su formule kompliciranije. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.68/69
69 Usrednjavanje integracijom Napomena. Metoda najmanjih kvadrata nije jedini lokalni način izgladivanja. Podatke možemo izgladivati i lokalnim integralnim usrednjavanjem. Primjer. Korištenjem, redom, trapezne i Simpsonove formule, dobivamo f k = 1 4 (f k 1 + 2f k + f k+1 ) f k = 1 6 (f k 1 + 4f k + f k+1 ). Slično se može napraviti i na neekvidistantnim mrežama. Sve ove formule svode se na težinsko usrednjavanje. NumAnal 2009/10, 16. predavanje p.69/69
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
![Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.](/thumbs/72/66829778.jpg "Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.")
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
5. Aproksimacija i interpolacija
APROKSIMACIJA I INTERPOLACIJA 56 5. Aproksimacija i interpolacija 5.. Opći problem aproksimacije Što je problem aproksimacije? Ako su poznate neke informacije o funkciji f, definiranoj na nekom skupu X
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Prikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Numerička analiza 26. predavanje
Numerička analiza 26. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumAnal 2009/10, 26. predavanje p.1/21 Sadržaj predavanja Varijacijske karakterizacije svojstvenih
Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler
Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 13 Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda Obične diferencijalne jednadžbe 2. reda U ovoj lekciji vježbamo rješavanje jedne klase običnih
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Numerička matematika 8. predavanje
Numerička matematika 8. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2017, 8. predavanje p. 1/122 Sadržaj predavanja Metoda najmanjih kvadrata
3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi
1.3. Rješavanje nelinearnih jednadžbi Rješavanje nelinearnih jednadžbi sastoji se od dva bitna koraka: nalaženja intervala u kojem se nalazi nultočka (analizom toka), što je teži dio posla, nalaženja nultočke
Numerička matematika 12. predavanje
Numerička matematika 12. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2017, 12. predavanje p. 1/108 Sadržaj predavanja Numerička integracija
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Kosinus-sinus dekompozicija ortogonalnih matrica malog reda
V Hari i V Zadelj-Martić: Kosinus-sinus dekompozicija, mathe 10, veljača 007 1/14 Hrvatski matematički elektronski časopis mathe Broj 10 http://emathhr/ Kosinus-sinus dekompozicija ortogonalnih matrica
2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Numerička matematika 4. predavanje
Numerička matematika 4. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2011, 4. predavanje p.1/95 Sadržaj predavanja Rješavanje linearnih sustava: Hilbertove
4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t
Dužina luka i oskulatorna ravan
Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.