Curs - programul Electrotehnică Versiunea Ș. L. Mihail-Ioan Pop

Transcript

1 Fizică I Curs - programul Electrotehnică Versiunea Ș. L. Mihail-Ioan Pop 2018

2 2

3 Cuprins Introducere 5 1 Mecanică Opțional: Mărimi și unități de măsură. Sistemul Internațional (SI) Sisteme de coordonate Cinematică Viteza și accelerația Mișcarea rectilinie uniformă Mișcarea rectilinie uniform variată Dinamică Principiile dinamicii clasice Teoreme de variație și legi de conservare Oscilații mecanice Termodinamică Sisteme termodinamice și mărimi termodinamice Coeficienți calorici Gazul ideal. Transformări de stare ale gazului ideal Principiile termodinamicii Electricitate și magnetism Electrostatica Electrocinetica Câmpul magnetic Câmpul electromagnetic. Unde electromagnetice Optică 77 Bibliografie 83 3

4 4

5 Introducere Versiunea 2 Sters hodograful vitezelor Adaugat: Viteza corpului este un vector tangent întotdeauna la traiectorie. Acceleratia insă poate fi orientată oricum în raport cu traiectoria corpului + figuri la misc. rectil. Scos: Q = T ds la termodinamica Scos diferentiala energiei interne Au devenit optionale formulele cu gradienti si integrale triple la mecanica si electrostatica. Alte modificări minore Versiunea 3 Adaugari: exemple, figuri, continut la electricitate si magnetism. Alte modificari minore. Versiunea 4 Adaugari: Exemplu la unde electromagnetice, Optica Versiunea Mici modificari la Optica; mici corecturi 5

6 6

7 Capitolul 1 Mecanică 1.1 Opțional: Mărimi și unități de măsură. Sistemul Internațional (SI) Fizica studiază sistemele fizice, proprietățile lor și procesele pe care le suferă acestea. Proprietățile fizice ale unui corp sau sistem fizic pot fi clasificate în proprietăți calitative (calități care nu pot fi măsurate și pot fi evaluate subiectiv, cum ar fi culoarea, gustul, mirosul etc.) și proprietăți cantitative (acestea pot fi măsurate și deci sunt determinate obiectiv: lungime, lățime, masă, tensiune electrică etc.). Ultima categorie reprezintă așa-numitele cantități fizice. O cantitate fizică X este formată din doi termeni: valoarea numerică x și unitatea de măsură, notată [X], astfel încât cantitatea fizică poate fi scrisă: X = x [X]. (1.1) Unitatea de măsură este fixată în mod convențional. De obicei unitatea de măsură este definită prin intermediul unui etalon: un corp sau un sistem fizic care are proprietatea exprimată prin cantitatea fizică X și care, atunci cind este măsurată, are valoarea numerică x e = 1; așadar pentru un etalon X e = 1[X]. De exemplu, în Sistemul Internațional kilogramul este definit printr-un corp-etalon cu masa de 1 kg. Orice alt corp care are proprietatea X poate fi măsurat, comparând valoarea lui X asociată corpului cu valoarea etalonului: X = X X e [X] = x [X], unde x = X X e. (1.2) Așadar procesul de măsurare a unei cantități fizice reprezintă compararea cantității cu un etalon. În practică se observă că multe cantități fizice, chiar dacă reprezintă noțiuni diferite, sunt asemănătoare prin faptul că pot fi măsurate cu același aparat de măsură sau pe aceeași scară. De exemplu lungimea, lățimea și înălțimea unui obiect reprezintă toate așa-numite dimensiuni sau lungimi ale obiectului și se măsoară la fel, având aceeași unitate de măsură. Astfel de cantități fizice care sunt de același tip și se măsoară la fel 7

8 Tabelul 1.1: Internațional Mărimile fizice fundamentale și unitățile lor de măsură în Sistemul Mărimea Simbol Unitatea de măsură Simbol Lungime L metru m Timp T secundă s Masă M kilogram kg Intensitatea curentului electric I Amper A Temperatura termodinamică θ Kelvin K Cantitatea de substanță ν mol mol Intensitatea luminoasă J candelă cd Tabelul 1.2: Internațional Mărimile fizice suplimentare și unitățile lor de măsură în Sistemul Mărimea Simbol Unitatea de măsură Simbol Unghi plan α radian rad Unghi solid Ω steradian sr formează o mărime fizică. Exemple de mărimi fizice sunt lungimea, timpul, volumul, viteza, accelerația, forța, temperatura, energia etc. Fiecare mărime fizică are o unitate de măsură asociată (poate avea mai multe unitați de măsură care sunt însă legate între ele). Se observă ca unele mărimi fizice derivă din altele: viteza este raportul între distanța parcursă și timpul în care este parcursă distanța, volumul este produsul a trei lungimi. Acestea se numesc mărimi derivate. Se poate alege un set de mărimi de bază cu ajutorul cărora să se construiască toate mărimile derivate; aceste mărimi de bază se numesc mărimi fundamentale. În acest mod sunt necesare etaloane doar pentru mărimile fundamentale, care sunt în număr mult mai mic decât mărimile derivate. În Sistemul Internațional de Mărimi și Unități de Măsură (SI) sunt folosite 7 mărimi fizice fundamentale, la care se mai adaugă încă 2 mărimi suplimentare. Fiecare mărime are definită o unitate de măsură. Mărimile fundamentale sunt tratate ca niște dimensiuni independente sau axe într-un spațiu cu 7 dimensiuni. Mărimile suplimentare reprezintă cantități geometrice. Unghiul plan reprezintă deschiderea dintre 2 segmente de dreaptă care se intersectează într-un punct și se măsoară în radiani (rad). Un radian reprezintă unghiul plan cu vârful în centrul unui cerc care descrie un arc de cerc cu lungimea egală cu raza cercului. Unghiul plan care descrie un cerc complet are 2π radiani. Pentru unghiuri plane se folosește ca unitate de măsură și gradul. Știind că 180 = π rad, rezultă că 1 = π/180 rad și 1 rad = 180/π 57, 30, unde înseamnă aproximativ. Unghiul solid reprezintă deschiderea sub care se vede dintr-un punct un corp sau o suprafață aflată în spațiu. Un steradian (sr) reprezintă unghiul solid cu vârful în centrul unei sfere care descrie pe sferă o suprafață cu aria egală cu aria unui pătrat cu lungimea laturii egală cu raza sferei. O sferă completă este descrisă de un unghi solid de 4π 8

9 Figura 1.1: Unghiul plan și unghiul solid. Tabelul 1.3: Multipli și submultipli ai unităților de măsură Submultiplu Simbol Semnificație Multiplu Simbol Semnificație deci d 10 1 deca da 10 1 centi c 10 2 hecto h 10 2 mili m 10 3 kilo k 10 3 micro µ 10 6 mega M 10 6 nano n 10 9 giga G 10 9 pico p tera T femto f peta P atto a exa E steradiani. Mărimile suplimentare pot fi considerate ca mărimi derivate adimensionale (fără unitate de măsură). Astfel unghiul plan este raportul între lungimea arcului de cerc descris de unghiul cu vârful în centrul cercului și raza cercului. Așadar α = L/L = 1 și 1 rad = 1 m/m=1. Analog Ω = L 2 /L 2 = 1 și 1 sr = m 2 /m 2 = 1. Din această cauză unitățile de măsură ale mărmilor suplimentare sunt de multe ori neglijate. Pe lângă unitățile de măsură ale mărimilor fundamentale și derivate, se mai folosesc multipli și submultipli ai acestor unități. Aceștia se obțin atașând diverse prefixe la numele unității respective, care exprimă diverse puteri ale lui 10 care se înmulțesc la unitatea de măsură respectivă. Aceste prefixe sunt date în tabelul de mai jos. Multiplii și submultiplii dincolo de 10 ±9 se folosesc rar. Exemplul 1. Micrometrul (numit și micron) este un submultiplu al metrului: 1 µm = 10 6 m. Picosecunda este un submultiplu al secundei: 1 ps = s. Tona (t) este multiplu al kilogramului: 1 t = 1000 kg. Gigawattul este un multiplu al Wattului: 1 GW = 10 9 W. 9

10 Exemplul 2. Kilometrul este dat de: 1 km = 10 3 m = 1000 m. Pentru timp se mai folosesc ca unităti de măsură minutul (1 min = 60 s) și ora (1 h = 60 min = 3600 s). Pentru viteză se mai folosește kilometrul pe oră: 1 km/h = 1000 m / 3600 s = 10/36 m/s. De exemplu: 72 km h = m 3600 s 1.2 Sisteme de coordonate 10 m = s = 20m s. În mecanica clasică (newtoniană) spațiul și timpul sunt absolute, adică lungimile și duratele de timp sunt aceleași peste tot și în orice moment. Spațiul este omogen (nu se modifică de la un loc la altul) și izotrop (este același în toate direcțiile). Spațiul mecanicii clasice este plat, euclidian și tridimensional. Timpul este omogen (nu se modifică la momente diferite de timp). Ca să indicăm faptul că s-a produs un eveniment trebuie să precizăm atât locul cât și momentul de timp când a avut loc evenimentul, adică trebuie să-i precizăm coordonatele spațiale și coordonata temporală. Aceste coordonate se măsoară în raport cu un punct de referință numit origine, pe niște axe care pleacă din origine și descriu coordonatele în unitățile de măsură corespunzătoare (metru, secundă). Se construiește astfel un reper spațial, care reprezintă un sistem de obiecte (de exemplu un obiect-origine și niște etaloane pentru definirea unităților de măsură) care definesc sistemul de axe de coordonate, precum și un reper temporal, care reprezintă un proces fizic regulat, periodic (de exemplu un ceasornic) cu ajutorul căruia se definește axa temporală. Reperul spațial și reperul temporal formează împreună sistemul de referință. Într-un sistem de referință producerea unui eveniment este reprezentată printr-un punct în spațiul descris de axe. Sistemele de coordonate sunt așadar compuse din origine și axe. Axele sunt orientate (au o direcție pozitivă în care cresc coordonatele). Orientarea și unitatea lor de măsură este definită cu ajutorul unor versori (vectori al căror modul este 1 în unitatea de măsură a coordonatei), orientați în sensul pozitiv al axei. Sistemele de coordonate folosite în mecanica clasică sunt în general sisteme tridimensionale (au 3 dimensiuni spațiale). După tipul de axe din care sunt compuse, sistemele de coordonate pot fi clasificate în sisteme de coordonate rectilinii (axele sunt toate drepte) și sisteme de coordonate curbilinii (au și axe curbe). După orientarea axelor sistemele de coordonate pot fi ortogonale (axele sunt perpendiculare între ele) sau neortogonale. Sistemele de coordonate ortogonale pot fi drepte (axele sunt orientate după regula burghiului drept - v. fig. 1.2) sau stângi (axele sunt orientate invers față de regula burghiului drept). De obicei se folosesc sisteme de coordonate ortogonale și drepte. Următoarele sisteme de coordonate sunt de acest tip. Sistemul de coordonate carteziene (x, y, z) Coordonatele sunt x, y, z ( ; + ). Versorii axelor sunt i, j, k. În acest sistem de coordonate poziția unui punct P(x, y, z) este indicată de vectorul de poziție 10

11 Figura 1.2: Regula burghiului drept și un sistem de coordonate ortogonal drept (x, y, z): Ox se rotește peste Oy pe drumul cel mai scurt și regula burghiului drept dă sensul axei Oz. Figura 1.3: Sistemul de coordonate carteziene. 11

12 (raza vectoare): r = x i + y j + z k. (1.3) Lungimea sa este: r = r = x 2 + y 2 + z 2. (1.4) O deplasare infinitezimală (adică de lungime tinzând la 0) din punctul P in P este indicată de variația infinitezimală a vectorului de poziție d r = r r : d r = dx i + dy j + dz k. (1.5) Modulul său determină lungimea infinitezimală de-a lungul traiectoriei (drumul infinitezimal sau elementul de drum): ds = d r = dx 2 + dy 2 + dz 2. (1.6) Un element de suprafață (suprafață infinitezimală) situat de exemplu in planul xoy este dat de ds xy = dx dy. Elementul de volum (volumul infinitezimal) în spațiul tridimensional este dat de dv = dx dy dz. 1.3 Cinematică Viteza și accelerația Cinematica este capitolul mecanicii care studiază mișcarea corpurilor fără să țină cont de cauzele acesteia. Mecanica folosește ca model punctul material, care reprezintă un punct în care este concentrată toată masa unui corp. Daca se neglijează masa corpului, atunci punctul material reprezintă un mobil. Cinematica determină poziția și viteza corpului din ecuația de mișcare și din condițiile inițiale. Considerăm un corp care se află la momentul de timp t 1 în punctul M 1 cu vectorul de poziție r (t 1 ) = r 1, unde are viteza v 1 și se deplasează până la momentul de timp t 2 când ajunge în punctul M 2 cu vectorul de poziție r (t 2 ) = r 2 și viteza v 2. Vectorul deplasare al corpului este r = r 2 r 1 iar timpul de deplasare este t = t 2 t 1. Se definește viteza medie a corpului pe drumul M 1 M 2 : v m = r t = r2 r 1 r (t2 ) r (t 1 ) =. (1.7) t 2 t 1 t 2 t 1 Le fel, se definește accelerația medie pe traiectoria M 1 M 2 : a m = v t = v2 v 1 v (t2 ) v (t 1 ) =. (1.8) t 2 t 1 t 2 t 1 Se definește viteza momentană (instantanee) a corpului la momentul de timp t: v (t) = lim r r (t + t) r (t) v m = lim t 0 t 0 t = lim = d r t 0 t dt = r, (1.9) 12

13 Figura 1.4: Un corp în mișcare pe o traiectorie. unde d r reprezintă deplasarea corpului într-un timp infinitezimal dt (dt 0). În mod asemănător se definește accelerația momentană (instantanee) a corpului la momentul de timp t: a (t) = lim v v (t + t) v (t) a m = lim t 0 t 0 t = lim = d v t 0 t dt = v = r. (1.10) Aici s-a folosit notația pentru derivata în raport cu timpul: dx/dt = ẋ (derivata de ordinul I a lui x(t)), d 2 x/dt 2 = ẍ (derivata de ordinul II a lui x(t)). Mărimile de mai sus au unitățile de măsură în Sistemul Internațional: [r] SI = 1m, [v] SI = 1m/s, [a] SI = 1m/s 2. Vectorul de poziție descrie în timp traiectoria corpului. Viteza corpului este un vector tangent întotdeauna la traiectorie. Acceleratia insă poate fi orientată oricum în raport cu traiectoria corpului Mișcarea rectilinie uniformă Mișcarea rectilinie uniformă are ca traiectorie o linie dreaptă și viteză instantanee constantă: v = const.. Dacă alegem axa Ox de-a lungul traiectoriei iar corpul pleacă din poziția x 0 la momentul t 0, atunci la momentul t va avea poziția x = x(t). Din expresia vitezei de-a lungul axei Ox v = dx/dt obținem dx = v dt. Integrând se obține: ˆ ˆ dx = vdt x(t) = v t + C, unde C este o constantă care se obține din condiția inițială x(t 0 ) = x 0. Înlocuind în expresia de mai sus, obținem: x 0 = v t 0 + C, de unde C = x 0 v t 0. Atunci, grupând 13

14 Figura 1.5: Un corp în mișcare rectilinie uniformă. termenii: Dacă inițial t 0 = 0 atunci avem: x = x 0 + v (t t 0 ). (1.11) x = x 0 + v t. (1.12) Ecuația (1.11) sau (1.12) este ecuația mișcării rectilinii uniforme. Exemplul 3. Două automobile pleacă în același timp din 2 localități A și B, unul spre celălalt. Primul automobil are viteza v 1 =36 km/h, iar al doilea v 2 =72 km/h. Știind că distanța dintre cele 2 localități este d=100 km, să se determine după cât timp se întâlnesc cele 2 automobile si la ce distanță de A. Figura 1.6: Exemplul 3. În SI: v 1 = 36 km 1000 m h = s = 10 m s, v 2 = 20 m s, d = m. Alegem o axă Ox pe direcția de la A la B, cu originea în A și timpul inițial t 0 = 0 s. Știind că mișcarea automobilelor este rectilinie uniformă, ecuațiile mișcării celor 2 automobile sunt: x 1 (t) = v 1 t, x 2 (t) = d v 2 t, deoarece pozițiile inițiale sunt x 10 = 0, x 20 = d și al doilea automobil se deplasează în sensul negativ al axei, deci va avea viteza negativă v 2. Condiția de întâlnire a celor 2 automobile este: x 1 (t) = x 2 (t). De aici se determină timpul de întâlnire t i și distanța la care se întâlnesc x i față de origine: d v 1 t = d v 2 t (v 1 + v 2 )t = d t = t i =, v 1 + v 2 t i = , (s), t i 56 min. 14

15 x i = x 1 (t i ) = v 1 t i = v 1 v 1 + v 2 d, x i = (m), x i 33 km Mișcarea rectilinie uniform variată Și acest tip de mișcare are traiectoria o linie dreaptă, dar are accelerația instantanee constantă: a = const. Pe axa Ox așezată de-a lungul traiectoriei: a = const.. Deoarece a = dv/dt se obține dv = a dt și prin integrare v(t) = a t + C, unde C este o constantă. Dar cum v(t) = dx/dt se obține, înmulțind cu dt: dx = vdt = a tdt + Cdt. Integrând se obține: ˆ ˆ dx = ˆ a tdt + Cdt x(t) = a t2 2 + C t + D, unde D este altă constantă. Constantele C și D se obțin din condițiile inițiale: x(t 0 ) = x 0,v(t 0 ) = v 0. Înlocuind în expresiile lui x(t) și v(t) se obține un sistem de 2 ecuații cu 2 necunoscute: x 0 = a t2 0 + C t 0 + D, 2 v 0 = a t 0 + C. Rezolvând se obține C = v 0 a t 0, D = x 0 v 0 t 0 + a t Rezultă atunci: Dacă t 0 = 0 aceste formule devin: x = x 0 + v 0 (t t 0 ) + a (t t 0) 2, (1.13) 2 v = v 0 + a (t t 0 ). (1.14) x = x 0 + v 0 t + at2 2, (1.15) v = v 0 + at. (1.16) Ecuația (1.13) sau (1.15) este ecuația mișcării rectilinii uniform variate, iar (1.14) sau (1.16) este ecuația vitezei în mișcarea rectilinie uniform variată. Se poate obține o ecuație a vitezei în funcție de distanța parcursă. Pentru aceasta se obține timpul din ecuația (1.14): (t t 0 ) = (v v 0 )/a și se introduce în (1.13). Rezultă: (v v 0 ) x x 0 = v 0 a = (v v 0) 2a = (v v 0) (v + v 0 ) 2a + (v v 0) 2 2a = [2v 0 + (v v 0 )] = ( v 2 v0) 2 = 2a. 15

16 Figura 1.7: Un corp în mișcare rectilinie uniform variată. Dacă notăm drumul parcurs de corp d = x x 0, se obține relația: v 2 = v ad. (1.17) Formula (1.17) se numește formula lui Galilei și dă legătura între viteza corpului și distanța parcursă în mișcarea rectilinie uniform variată. Exemplul 4. Un automobil are o viteză v 1 =36 km/h. La un moment dat frânează. Distanța pe care se oprește este d 1 =10 m. Care este distanța de frânare d 2 dacă automobilul are o viteză de 2 ori mai mare v 2 = 2v 1 =72 km/h? În SI: v 1 =10 m/s, v 2 =20 m/s. La frânare viteza finală este v f =0 m/s. Accelerația de frânare, aceeași pentru toate vitezele, este îndreptată în sens invers sensului de deplasare și deci va fi negativă. Din formula lui Galilei rezultă: Împărțind cele 2 ecuații se obține: v 2 f = v2 1 2ad 1 = 0 v 2 1 = 2ad 1, v 2 2 = 2ad 2. d 2 d 1 = ( v2 v 1 ) 2 ( ) 2 v2 d 2 = d 1. Cum v 2 = 2v 1 rezultă că d 2 = 4d 1. Așadar distanța de frânare crește cu pătratul vitezei inițiale, nu cu viteza, la viteze mai mari fiind mai mare decât ar spune intuiția. v Dinamică Principiile dinamicii clasice Dinamica studiază interacțiunile între corpuri, care reprezintă cauzele mișcării acestora. Măsura interacțiunii dintre corpuri este dată de o mărime numită forță. La baza dinamicii clasice (newtoniene) stau 3 principii emise de Isaac Newton. Principiile dinamicii clasice sunt: 1. Principiul inerției: Un corp se află în repaus sau se mișcă rectiliniu uniform atât timp cât asupra lui nu acționează nici o forță. 16

17 2. Principiul fundamental al dinamicii sau principiul forței: Dacă asupra unui corp acționează o forță, aceasta imprimă corpului o accelerație direct proporțională cu forța și invers proporțională cu masa corpului. 3. Principiul acțiunii și reacțiunii: Dacă un corp acționează asupra altui corp cu o forță, numită acțiune, atunci al doilea corp acționează asupra primului cu o forță egală și de sens opus, numită reacțiune. Conform celui de-al doilea principiu, dacă m este masa corpului atunci accelerația a depinde de forța F care acționează asupra corpului prin relația: a = F m. (1.18) Această relație se mai poate scrie: F = m a. (1.19) Dacă se cunoaște accelerația corpului atunci se poate determina ecuația sa de mișcare r = r (t) în cadrul cinematicii. Unitatea de măsură a forței este Newtonul: [F ] SI = 1N. (1.20) O unitate de măsură a forței des folosită în tehnică este kilogramul-forță (kgf). O forță de 1 kgf este egală cu greutatea unui corp cu masa de 1 kg în câmpul gravitațional de la suprafața Pământului: 1kgf = 1kg g = 9, N 9, 8 N. Aici g este accelerația gravitațională a Pământului g = 9, m/s 2. Inerția unui corp (capacitatea lui de a rămâne în repaus sau în mișcare rectilinie uniformă) este măsurată de o mărime numită impuls mecanic: p = m v, (1.21) unde m este masa corpului iar v este viteza lui la un moment dat de timp. În practică se constată că relația (1.19) nu este valabilă atunci când masa corpului este variabilă, deci nu poate fi considerată ca o definiție a forței. În general forța se definește prin relația: d p F = dt, (1.22) forța reprezentând astfel viteza de variație a impulsului mecanic al corpului. Unitatea de măsură a impulsului este [p] SI = 1 kg m/s = 1 N s. Exemplul 5. Un corp cu masa m = 1 kg coboară pe un plan înclinat cu unghiul la bază α = 45. Între corp și planul înclinat acționează o forță de frecare cu coeficientul de frecare µ = 0, 5. Care este accelerația corpului? Asupra corpului acționează mai multe forțe: greutatea corpului G, forța normală la suprafața planului înclinat N care împiedică mișcarea corpului în interiorul planului 17

18 Figura 1.8: Exemplul 5. înclinat și forța de frecare F f. Rezultanta acestor forțe este F R = G + N + F f, iar potrivit principiului fundamental al dinamicii aceasta este legată de accelerația corpului: F R = m a, de unde se obține accelerația: F R G + N + F a = m = f. m Accelerația este orientată de-a lungul planului înclinat (singura direcție pe care corpul se poate mișca). Pentru a afla valoarea sa descompunem forțele după axele Ox, Oy ale unui sistem de coordonate ales ca în figură și aplicăm principiul fundamental al dinamicii. Forțele orientate în sensul pozitiv al axelor de coordonate sunt pozitive, cele orientate invers sunt negative. Accelerația pe Oy este 0. Ox : G x F f = ma, Oy : N G y = 0 Forțele sunt date de expresiile: G = mg, unde g 9, 8 m/s 2 este accelerația gravitațională; G x = G sin α, G y = G cos α; F f = µn. Pe Oy se obține atunci: N = G y = mg cos α. Pe Ox vom avea atunci: ma = mg sin α µmg cos α. 18

19 Împărțind la m și scoțând în factor pe g se obține accelerația: a = g (sin α µ cos α). Cu valorile din enunț: sin α = cos α = 2/2 0, 7, a 9, 8 0, 7 (1 0, 5) 3, 4( m/s 2 ). Exemplul 6. Un corp de masă m 1 = 1 kg este situat pe un plan înclinat, fiind legat printr-un fir trecut peste un scripete de un corp de masă m 2 = 2 kg, care se depasează vertical sub acțiunea câmpului gravitațional. Planul înclinat are unghiul la bază α = 45 și pe suprafața sa coeficientul de frecare este µ = 1/2. Să se calculeze accelerația sistemului și tensiunea în fir. Figura 1.9: Exemplul 6. Deoarece m 2 > m 1 putem presupune că m 2 îl trage pe m 1, sistemul mișcându-se cu accelerația a. Pentru m 1 alegem un sistem de coordonate xoy cu Ox în sensul de deplasare. Atunci avem pe cele 2 axe: Ox : T G 1x F f = m 1 a, Oy : N G 1y = 0 N = G 1y. Forțele sunt G 1 = m 1 g, G 1x = G 1 sin α, G 1y = G 1 cos α, F f obține atunci pe Ox: = µn = µg 1 cos α. Se T G 1 sin α µg 1 cos α = m 1 a T m 1 g (sin α µ cos α) = m 1 a. (1.23) Pentru m 2 alegem o axă Oy verticală, îndreptată în jos; atunci: G 2 T = m 2 a m 2 g T = m 2 a. (1.24) 19

20 Adunând ecuațiile (1.23) și (1.24) se obține: m 2 g m 1 g (sin α µ cos α) = (m 1 + m 2 ) a a = g m 2 m 1 (sin α µ cos α) m 1 + m 2. Dar sin α = cos α = 2/2 0, 7. Se obține numeric: 2 0, 7 (1 0, 5) 1, 65 a = 9, 8 = 9, 8 = 5, 39 (m/s 2 ). 3 3 Tensiunea din fir se obține din ecuația (1.24): ( T = m 2 (g a) = m 2 g 1 m ) 2 m 1 (sin α µ cos α) 1 + sin α µ cos α = m 1 m 2 g, m 1 + m 2 m 1 + m , 7 0, 5 T = 2 9, 8 = 8, 82 (m/s 2 ) Teoreme de variație și legi de conservare Pentru anumite tipuri de interacțiuni se pot identifica mărimi care rămân constante în timpul mișcării (se conservă). Aceste mărimi se mai numesc invarianți ai mișcării și pot fi utile în determinarea ecuației de mișcare a corpului. Teorema impulsului mecanic Integrând relația (1.22) în raport cu timpul de la un moment t 1 la t 2 se obține: ˆ t2 t 1 F dt = p 2 p 1 = p. (1.25) Integrala t 2 t 1 F dt se numește impulsul forței F. Rezultatul (1.25), care este echivalent cu (1.22) poate fi exprimat în forma: Teorema de variație a impulsului mecanic: Impulsul forței rezultante aplicate unui punct material este egal cu variația impulsului mecanic al punctului material. Sau: Teorema de variație a impulsului mecanic: Forța rezultantă aplicată unui punct material este egală cu viteza de variație a impulsului mecanic al punctului material. Formula (1.22) reprezintă forma diferențială a acestei teoreme, iar formula (1.25) este forma sa integrală. Dacă F = 0 atunci p 1 = p 2. Are loc astfel: Legea de conservare a impulsului mecanic: Dacă asupra unui punct material nu acționează nici o forță atunci impulsul punctului material este constant (se conservă). Exemplul 7. Un corp cu masa m = 1 kg este acționat de o forță F (t) = 2 sin(2t) N pentru un timp t = π/4 s. Știind că viteza inițială a corpului este v 0 = 0 m/s, să se calculeze viteza sa finală v. 20

21 Considerăm că mișcarea corpului și forța sunt de-a lungul axei Ox, astfel încât putem lucra cu mărimi scalare în loc de vectori. Din teorema de variație a impulsului mecanic rezultă ca: p = p(t) p 0 = Dar cum v 0 = 0 m/s, rezultă p 0 = 0 Ns și p(t) = mv = ˆ t Teorema energiei cinetice 0 F dt = ˆ t 0 ˆ t 0 F dt. 2 sin(2t)dt = cos(2t) t 0 = 1 cos(2t), v = 1 cos(2t), m v = 1 cos(π/2) = 1 (m/s). 1 Dacă o forță F acționează asupra unui punct material, producându-i o deplasare pe distanța infinitezimală d r, atunci se definește lucrul mecanic infinitezimal efectuat de forța F : dw = F d r. (1.26) Lucrul mecanic efectuat de F pe traiectoria C parcursă de corp de la timpul t 1 la t 2 este: ˆ W = C ˆ t2 F d r = t 1 F d r. (1.27) Lucrul mecanic se poate scrie din definiția forței și din faptul că d r = v dt: dw = d p dt d r = d dt (m v ) v dt = d (m v ) ( m ) v 2 v = d. 2 Ultima cantitate conține energia cinetică a punctului material: E c = m v 2 2 S-a obținut așadar dw = de c, de unde prin integrare rezultă: = mv2 2. (1.28) W = E c = E c2 E c1. (1.29) Teorema de variație a energiei cinetice: Lucrul mecanic efectuat de forța rezultantă aplicată unui punct material este egal cu variația energiei cinetice a punctului material. Legea de conservare a energiei cinetice: Dacă asupra unui punct material nu acționează nici o forță atunci energia cinetică a punctului material este constantă (se conservă). 21

22 Se observă că energia cinetică se conservă și dacă asupra punctului material acționează o forță perpendiculară pe traiectoria sa. Într-adevăr, dacă F d r atunci dw = F d r = F dr cos(π/2) = 0. O asemenea forță este forța normală la o suprafață solidă cu care suprafața acționează asupra corpului; aceasta este întotdeauna perpendiculară la suprafață și nu exercită lucru mecanic, deci nu modifică energia cinetică a corpului. Puterea efectuată de forța F asupra corpului este definită ca: Se observă că P = F d r /dt, de unde: P = dw dt. (1.30) P = F v. (1.31) Unitățile de măsură ale energiei și puterii în Sistemul Internațional sunt: [E c ] SI = 1J (Joule), [P ] SI = 1W (Watt). Pentru energie se mai folosește ca unitate de măsură kilowattul-oră (kwh), care este egal cu energia produsă cu o putere de 1 kw timp de 1 oră: 1kWh = 1000W 3600s = 3, J. Puterea se mai măsoară în cai-putere (CP). 1 cal-putere este egal cu puterea dezvoltată de un cal care trage cu o funie o masă de 75 kg, ridicând-o cu viteza constantă de 1 m/s: 1CP = 75kg g 1m/s 735, 5W, unde g este accelerația gravitațională la suprafața Pământului. Forțe conservative. Teorema energiei mecanice O forță conservativă este o forță al cărei lucru mecanic nu depinde de traiectorie sau de viteza corpului, ci numai de poziția inițială și poziția finală. Lucrul mecanic al unei forțe conservative F care deplasează un punct material din punctul 1 în punctul 2 poate fi scris atunci: W = G 2 G 1 = 2 1 dg, unde G = G( r ) este o funcție de poziție. De obicei această funcție este aleasă cu semnul minus și se numește energie potențială: G = E p ( r ) = E p (x, y, z). Atunci lucrul mecanic devine: Dar cum: W = (E p2 E p1 ) = E p = W = rezultă, comparând ultimele 2 formule: ˆ 2 1 F d r ˆ 2 1 de p. (1.32) de p = F d r. (1.33) Așadar forța este derivata lui E p în raport cu poziția. Atunci, prin integrare se obține energia potențială E p ( r ) într-un punct de vector de poziție r în raport cu energia potențială E p ( r ref ) într-un punct de referință r ref : E p ( r ) E p ( ˆ r r ref ) = F d r. (1.34) r ref 22

23 Astfel energia potențială nu este o mărime absolută, ci este relativă la un punct de referință ales de noi. De obicei punctul de referință se alege astfel încât E p ( r ref ) = 0. Atunci: E p ( ˆ r r ) = F d r. (1.35) r ref Opțional: Gradientul energiei potențiale Dezvoltând diferențiala energiei potențiale în raport cu diferențialele coordonatelor: se obține: de p (x, y, z) = E p x dx + E p y dy + E p z dz = ( ) Ep E p E p ( = i + j + k dx i + dy j + dz ) k = x y z = E p d r, W = ˆ 2 1 ˆ 2 F d r = E p d r. Aici s-a folosit operatorul nabla, notat și egal cu: Acesta definește gradientul energiei potențiale: 1 = i + j + k. (1.36) x y z E p = grad E p = E p x i + E p y E p j + k. (1.37) z Gradientul este un vector în spațiul de coordonate x, y, z, orientat în direcția în care valoarea lui E p crește. Rezultă că forța conservativă F este dată de relația: F = Ep. (1.38) Așadar o forță conservativă este dată de gradientul unei energii potențiale, care este funcție de coordonatele corpului. Se poate nota formal: E p = de p /d r (gradientul lui E p este formal derivata lui E p în raport cu vectorul de poziție). Energia mecanică Un corp aflat într-un câmp de forțe conservative va avea energia mecanică: E = E c + E p. (1.39) Dacă corpul este acționat atât de forțe conservative F C cât și neconservative F N, astfel încât forța rezultantă este F R = F C + F N, atunci lucrul mecanic efectuat de forța rezultantă va fi: W = ˆ 2 1 F R d ˆ 2 r = F C d ˆ 2 r + F N d r = W C + W N

24 Dar din relația (1.32) pentru forțe conservative W C = E p și din teorema de variație a energiei cinetice W = E c. Se obține atunci: Așadar: E c = E p + W N (E c + E p ) = W N. W N = E = E 2 E 1. (1.40) Are loc astfel: Teorema de variație a energiei mecanice: Lucrul mecanic efectuat de forțele neconservative asupra unui punct material este egal cu variația energiei mecanice a punctului material. Legea de conservare a energiei mecanice: Dacă asupra unui punct material nu acționează nici o forță sau acționează doar forțe conservative atunci energia mecanică a punctului material este constantă (se conservă). Exemple de forțe conservative 1. Forța gravitațională este o forță de atracție care acționează între oricare 2 corpuri care au masă. Această forță este relativ slabă și are efecte vizibile lângă corpurile cu masă mare (planete, stele). Dacă considerăm 2 corpuri de mase m și M și notăm cu r vectorul de poziție al masei m față de masa M, atunci forța gravitațională cu care acționează M asupra lui m este: K M m r F = r 2 r, (1.41) unde K este constanta atracției universale și are mărimea K = 6, N m 2 /kg 2. In modul forța gravitațională este: F = K M m r 2. (1.42) În același timp corpul m acționează asupra lui M cu o forță de atracție egală cu F, conform principiului acțiunii și reacțiunii. Se poate enunța astfel: Legea atracției universale (Newton): Două corpuri sunt atrase unul spre celălalt cu o forță direct proporțională cu produsul maselor celor două corpuri și invers proporțională cu pătratul distanței dintre ele. Forța gravitațională derivă dintr-o energie potențială: E p = K M m r (1.43) în raport cu un punct de referință situat la infinit. Acest lucru poate fi verificat calculând gradientul energiei potențiale, știind că r = r = x 2 + y 2 + z 2. Mărimea: K M r a = r 2 (1.44) r 24

25 Figura 1.10: Forța gravitațională F între 2 corpuri cu masele M și m aflate la distanța r. reprezintă accelerația corpului m sub acțiunea forței gravitaționale. Dacă M este masa Pământului și r = R P este raza Pământului atunci a = g = 9, 80665m/s 2 9, 8m/s 2 este accelerația gravitațională la suprafața Pământului. Aceasta variază foarte puțin cu înălțimea h măsurată vertical de la suprafața Pământului dacă h este mic comparativ cu R P, putându-se considera g const. Atunci energia potențială a unui corp de masă m aflat la înălțimea h deasupra suprafeței Pământului se obține din (1.35): E p = m g h. (1.45) Aceasta este pozitivă deoarece înălțimea h este măsurată vertical în sus iar accelerația gravitațională g este orientată în jos. Punctul de referință este suprafața Pământului, unde E p = Forța electrostatică apare între sarcini electrice. Dacă q și Q sunt 2 sarcini electrice (măsurate în Coulombi (C)) și r este vectorul de poziție al sarcinii q față de Q atunci forța electrostatică cu care acționează sarcina Q asupra sarcinii q este: k e Q q r F = r 2 r, (1.46) unde k e este o constantă dată de k e = 1/(4πε), ε fiind o proprietate de material numită permitivitate electrică. În vid k e Nm 2 /C 2, deci forța electrostatică este relativ mare. Deoarece sarcinile electrice pot fi atât pozitive cât și negative, forța electrostatică între sarcini de același semn este o forță de respingere și între sarcini de semne opuse este o forță de atracție. Energia potențială a forței electrostatice raportată la un punct de referință situat la infinit este: E p = k e Q q. (1.47) r 3. Forța elastică apare la deformarea unui mediu elastic. Considerăm un resort elastic cu constanta elastică k, cu un capăt legat la un perete și cu celălalt capăt legat de o masă m care se poate mișca liber pe orizontală (fig. 1.11). O deformare a resortului va da naștere în acesta la o forță elastică care tinde să aducă resortul la starea nedeformată. Așadar forța elastică se opune deformării. Dacă notăm cu x deplasarea corpului m față de poziția de echilibru, atunci forța elastică poate fi scrisă F e = k x sau pe scurt, ca mărime a forței: F e = k x. (1.48) 25

26 Figura 1.11: Corp sub acțiunea unei forțe elastice. O este poziția de echilibru a corpului, în care resortul este nedeformat și x este mărimea deformării resortului. Forța elastică derivă din energia potențială: E p = k x2 2 (1.49) măsurată de la punctul de referință x = 0. Acest fapt rezultă imediat din relația F = de p /dx. Exemplul 8. Un corp este aruncat vertical de la sol cu viteza inițială v 0 = 100 m/s. Să se determine viteza corpului v la înălțimea h = 180 m. La ce înălțime maximă h max va ajunge corpul? Se consideră g 10 m/s 2. Figura 1.12: Exemplul 8. Alegem o axă verticală Oy pe care se deplasează corpul, cu originea la nivelul solului. Corpul urcă până în punctul A aflat la înălțimea h, unde are viteza v și apoi mai departe 26

27 până la punctul B de înălțime maximă h max, unde viteza lui este v B = 0 m/s. Deoarece corpul este acționat doar de forțe gravitaționale care sunt forțe conservative, energia totală se conservă: E = E c + E p = mv2 + mgh = const. 2 E A = E B = E C mv2 0 2 = mv2 2 + mgh = mgh max v2 0 2 = v2 2 + gh = gh max. De aici se obține v 2 = v 2 0 2gh, v = v 2 0 2gh, v = = 6400 = 80 (m/s). Înălțimea maximă este h max = v2 0 2g, h max = = 500 (m). Exemplul 9. Un corp cu masa m = 1 kg este atârnat cu un fir cu lungimea R = 10 cm de un punct fix. Să se determine ce viteză orizontală v trebuie să aibă înițial corpul pentru ca: a) să ajungă în punctul cel mai de sus al traiectoriei circulare; b) să parcurgă o traiectorie circulară completă și să revină în poziția inițială. Să se determine în cazul b) viteza corpului în punctul de înălțime maximă și tensiunea maximă de-a lungul traiectoriei. Figura 1.13: Exemplul 9. Corpul se deplasează sub acțiunea forței gravitaționale, care este o forță conservativă și a tensiunii din fir, care acționează perpendicular pe traiectoria corpului, astfel 27

28 încât lucrul mecanic efectuat de tensiune este 0 și aceasta nu modifică energia corpului. Rezultă că energia mecanică totală a corpului se conservă. a) Pentru ca corpul să ajungă în punctul B este suficient ca în acest punct viteza lui să fie v B = 0 m/s. Dacă considerăm că în A energia potențială este 0 (măsurăm înălțimile de la punctul A), atunci dn conservarea energiei mecanice rezultă: E A = E B mv2 2 = 2mgR v 2 = 4gR v = 4gR, unde s-a folosit faptul că h B = 2R. Cu R = 10 cm = 0, 1 m se obține v = 4 9, 8 0, 1 1, 98 (m/s). b) Pentru ca corpul să se miște pe o traiectorie circulară completă este necesar ca firul să rămână întins în tot timpul mișcării. Punctul critic în care trebuie îndeplinită această condiție este punctul de înălțime maximă B, deoarece aici viteza corpului este minimă și firul poate să nu fie întins complet. După ce trece de această poziție, viteza corpului crește și firul se întinde iar. În punctul B corpul este acționat de greutatea sa G și de forța de tensiune T în raport cu un punct fix (cum ar fi C); suma acestor forțe reprezintă chiar forța centripetă F cp care ține corpul pe traiectoria circulară și care în modul este F cp = mv 2 B /R. În raport cu corpul însuși (sistem de referință neinerțial), mișcarea acestuia pe o traiectorie circulară doar sub acțiunea forțelor G și T nu poate fi explicată decât dacă se introduce o forță suplimentară perpendiculară la traiectorie: forța centrifugă F cf = F cp, F cf = F cp = mvb 2 /R. În ambele cazuri obținem că în B G + T = mvb 2 /R. La limită T = 0 în B și rezultă mvb 2 /R = mg, de unde v2 B = gr, v B = v max = gr, v max 0, 99 m/s. Din conservarea energiei se obține: E A = E B mv2 2 = mv2 B mgr +2mgR = mgR = 5 2 mgr v2 = 5gR v = 5gR, v 2, 21 (m/s). Tensiunea maximă se obține în punctul A, unde T = G + F cf, T = 58, 8 N. T = G + F cf = mg + mv2 R = 6mg, Exemplul 10. Un resort cu constanta elastică k = 1 N/m, aflat în poziție orizontală, este prins cu un capăt de un perete. De capătul celălalt este prins un corp cu masa m = 10 g. Inițial resortul este nedeformat iar corpul m se mișcă cu viteza v 0 = 1 m/s pe orizontală. Să se determine deformarea maximă a resortului. În SI m = 10 g = kg = 10 2 kg. Corpul m este acționat de forțe elastice, care sunt forțe conservative, astfel încât energia mecanică totală se conservă. Notând cu x deformarea resortului, are loc: E 0 = E M mv kx2 0 2 = mv2 M kx2 M 2.

29 Figura 1.14: Exemplul 10. Alegem punctul O în starea inițială și punctul M la alungirea maximă a resortului; atunci x 0 = 0 m, v M = 0 m/s. Se obține: mv = kx2 M 2 x 2 M = v0 2 m m k x M = v 0 k, x M = 10 2 = 10 1 = 0, 1 (m) Oscilații mecanice O oscilație este mișcarea unui corp de o parte și de alta a unui punct fix, de obicei punctul de echilibru al corpului. Cele mai simple oscilații sunt oscilațiile armonice. Acestea apar în cazul corpurilor acționate de forțe elastice. Să considerăm un corp de masă m legat de un capăt al unui resort cu constanta elastică k, celălalt capăt al resortului fiind legat de un perete. Corpul se poate deplasa liber pe orizontală. Corpul se găsește în echilibru când asupra lui nu acționează nici o forță, adică resortul nu este deformat (punctul O). Dacă resortul este deformat atunci el va acționa asupra corpului cu forța elastică F = k x, unde x este deformarea resortului. Corpul va executa atunci oscilații în jurul punctului de echilibru O. Din principiul fundamental al dinamicii F = m a se obține: sau împărțind la m: m a = k x a + k/m x = 0. Notăm ω 2 = k/m. Accelerația poate fi scrisă ca a = ẍ = d 2 x/dt 2. Se obține: ẍ + ω 2 x = 0. (1.50) Aceasta este ecuația diferențială a oscilațiilor armonice. Pentru rezolvarea sa se caută o soluție de forma x(t) = e rt, unde r este o constantă care trebuie determinată. Introducând această soluție în ecuația (1.50), se obține, după simplificare: r 2 + ω 2 = 0. (1.51) 29

30 Această ecuație se numește ecuația carcteristică a ecuației diferențiale (1.50). Aceasta poate fi rezolvată, găsind r 2 = ω 2, r 1,2 = ±iω, unde i = 1. Așadar ecuația (1.50) admite 2 soluții complexe x 1 (t) = e iωt și x 2 (t) = e iωt. Soluția generală a ecuației (1.50) este o combinație liniară a celor 2 soluții de forma x(t) = C 1 x 1 (t) + C 2 x 2 (t), unde C 1, C 2 sunt 2 constante complexe: x(t) = C 1 e iωt + C 2 e iωt. (1.52) Deoarece e iωt = cos (ωt) + i sin (ωt) și x(t) ia valori reale, în locul soluțiilor x 1 (t) și x 2 (t) putem pune sin (ωt) și cos (ωt): x(t) = C 1 sin (ωt) + C 2 cos (ωt), (1.53) unde C 1 și C 2 sunt alte constante, de data aceasta reale. Soluția de mai sus poate fi scrisă în general în forma: x(t) = A cos (ωt + ϕ 0 ), (1.54) unde C 1 și C 2 sunt înlocuite de constantele A și ϕ 0. Într-adevăr, se vede că desfăcând funcția cos din (1.54) se obține o expresie de forma (1.53). Ecuația (1.54) este ecuația oscilațiilor armonice. În această ecuație apar următorii termeni: x: elongația oscilației A: amplitudinea oscilației ωt + ϕ 0 : faza ϕ 0 : faza inițială ω: pulsația Pulsația ω poate fi scrisă ca: ω = 2π T = 2πν, (1.55) unde T se numește perioada iar ν = 1/T este frecvența oscilației. Perioada oscilației este intervalul de timp după care valorile elongației se repetă: x(t + T ) = x(t). Unitatea de măsură a frecvenței se numește Hertz (Hz): [ν] SI = 1 Hz = 1 s 1. Unitatea de măsură a pulsației este [ω] SI = 1 rad/s = 1 s 1. Constantele necunoscute A, ϕ 0 (sau C 1, C 2 ) se determină din condițiile inițiale, care pot fi date sub forma unei poziții și a unei viteze inițiale: x(t 0 ) = x 0, v(t 0 ) = v 0. Viteza și accelerația mișcării oscilatorii armonice sunt: v(t) = ẋ(t) = ωa sin (ωt + ϕ 0 ), (1.56) a(t) = ẍ(t) = v(t) = ω 2 A cos (ωt + ϕ 0 ) = ω 2 x(t). (1.57) 30

31 Figura 1.15: Corp care execută o oscilație armonică. Energiile cinetică și potențială și energia mecanică a corpului m sunt: E c = mv2 2 = mω2 A 2 2 sin 2 (ωt + ϕ 0 ) = ka2 2 sin2 (ωt + ϕ 0 ), (1.58) E p = kx2 2 = ka2 2 cos2 (ωt + ϕ 0 ), (1.59) E = E c + E p = ka2 2. (1.60) Energia mecanică este constantă deoarece corpul este acționat de o forță conservativă. Exemplul 11. Un corp este supus la o oscilație armonică cu ecuația mișcării x(t) = 10 cos (100πt + π/4) (cm). Să se determine amplitudinea, perioada, frecvența, faza înițială a oscilației și accelerația maximă a corpului. Care este timpul t 1 pentru care x(t 1 ) = 5 cm? Dar t 2 pentru care viteza este v(t 2 ) = 500π cm/s? Comparând cu ecuatia generală a unei oscilații armonice (1.54) și identificând termenii, se obține amplitudinea A = 10 cm = 0, 1 m, pulsația ω = 100π rad/s și faza inițială ϕ 0 = π/4 rad. Dar ω = 2π/T = 2πν, ν = 1/T, de unde se obține perioada T = 2π/ω, T = 1/50 s = 0, 02 s, ν = 50 Hz. Accelerația corpului se obține derivând de 2 ori ecuația de mișcare în raport cu timpul și este dată de ecuația (1.57). Accelerația maximă este atunci a max = ω 2 A, deoarece funcția cos variază între -1 și 1; a max = 0, π , 6 (m/s 2 ). Se observă că accelerața maximă este foarte mare (comparativ cu accelerația gravitațională g 9, 8 m/s 2, o accelerație moderată). Dacă x(t 1 ) = 5 cm = A/2, se obține din ecuația mișcării că cos (100πt 1 + π/4) = 1/2. Pentru a obține 1 valoare a t 1 putem pune condiția: 100πt 1 + π/4 = π/3 rad = 60, 31

32 Figura 1.16: Reprezentarea grafică a unei oscilații armonice. de unde rezultă 100πt 1 = π/12 rad, t 1 = 1/1200 s. În general însă 100πt 1 + π/4 = ±π/3 + 2kπ rad, k Z, de unde se obține t 1 = (24k 3 ± 4) /1200 s, k Z, așadar un număr infinit de valori pentru t 1. Derivând ecuația de mișcare în raport cu timpul (sau identificând în (1.56) se obține viteza: v(t) = 1000π sin (100πt + π/4) (cm/s). Din condiția v(t 2 ) = 500π cm/s se obține sin (100πt 2 + π/4) = 1/2. O soluție se obține dacă 100πt 2 + π/4 = π/6 rad = 30, de unde t 2 = 5/1200 s. În general 100πt 2 + π/4 = π/6 + 2kπ rad sau 100πt 2 + π/4 = 5π/6 + 2kπ rad, k Z de unde t 2 = (24k 5) /1200 s sau t 2 = (24k 13) /1200 s, k Z. Opțional: Diagrama fazorială a unei oscilații armonice De multe ori se folosește o reprezentare vectorială atașată unei oscilații armonice. Pentru aceasta, fie o oscilație de-a lungul axei Ox cu ecuația: x(t) = A cos (ωt + ϕ 0 ). Acesteia i se poate asocia o oscilație pe axa Oy: y(t) = A sin (ωt + ϕ 0 ). Cele 2 oscilații determina un punct P (x(t), y(t)) în planul xoy care se mișcă pe un cerc de rază A cu viteza unghiulară ω. Atunci putem asocia oscilației x(t) un vector A = OP, cu modulul egal cu amplitudinea oscilației A = A, care se rotește în timp. Acest vector rotitor se numește fazorul oscilației x(t). Oscilația se obține atunci proiectând fazorul pe axa Ox: x(t) = A x (t). În mod asemănător oscilației Oy i se asociază același fazor A, dar oscilația se obține acum proiectând fazorul pe axa Oy: y(t) = Ay (t). În mod convențional, în diagrama fazorială se reprezintă fazorii la momentul iniîal t = 0, cu faza egală cu faza înițială ϕ 0. Reprezentarea oscilațiilor prin fazori este utilă la compunerea (adunarea) mai multor oscilații, aceasta transformându-se într-o sumă de vectori (v. mai jos). 32

33 Figura 1.17: Diagrama fazorială a unei oscilații armonice x(t) = A cos (ωt + ϕ 0 ). Opțional: Compunerea oscilațiilor cu aceeași frecvență Un corp poate fi supus la mai multe oscilații în același timp. În acest caz trebuie determinată mișcarea generală a corpului, care reprezintă o compunere a mișcărilor oscilatorii la care este supus. Considerăm că un punct material este supus la 2 oscilații cu aceeași frecvență ν (sau aceeași pulsație ω), ambele producându-se de-a lungul aceleiași direcții Ox. Cele 2 oscilații au ecuațiile: x 1 (t) = A 1 cos (ωt + ϕ 1 ), (1.61) x 2 (t) = A 2 cos (ωt + ϕ 2 ). (1.62) Mișcarea rezultantă a punctului material este dată de suma celor 2 oscilații: x(t) = x 1 (t) + x 2 (t). (1.63) Vom determina pe x(t) prin metoda fazorială. Pentru aceasta construim diagrama fazorială a celor 2 oscilații x 1 (t), x 2 (t), cărora li se asociază fazorii A 1, A 2. Suma vectorială a celor 2 fazori vor da un nou fazor: A = A 1 + A 2. (1.64) Proiecția acestuia pe axa Ox reprezintă chiar oscilația rezultantă. Modulul fazorului A este: A = A A A 1A 2 cos ϕ, (1.65) unde ϕ = ϕ 2 ϕ 1 este unghiul dintre A 1 și A 2. Pentru a determina faza inițială a lui A facem suma lui A 1 și A 2 pe cele 2 axe: Ox : A x = A 1x + A 2x A cos ϕ = A 1 cos ϕ 1 + A 2 cos ϕ 2, Oy : A y = A 1y + A 2y A sin ϕ = A 1 sin ϕ 1 + A 2 sin ϕ 2. 33

34 Figura 1.18: Diagrama fazorială pentru compunerea a 2 oscilații armonice cu aceeași frecvență. Împărțind a doua ecuație la prima se obține: tg ϕ = sin ϕ cos ϕ = A 1 sin ϕ 1 + A 2 sin ϕ 2 A 1 cos ϕ 1 + A 2 cos ϕ 2, (1.66) de unde se poate obține unghiul ϕ. Se observă că fazorul A se rotește cu aceeași viteză unghiulară ω ca fazorii A 1, A 2. Rezultă că x(t) este o oscilație armonică cu pulsația ω, cu ecuația: x(t) = A cos (ωt + ϕ 0 ). (1.67) Exemplul 12. Două oscilații armonice de-a lungul axei Ox au ecuațiile: x 1 (t) = 0, 3 cos (100πt + π/6) m, x 2 (t) = 0, 4 cos (100πt + 2π/3) m. Care este oscilația rezultantă din compunerea celor două oscilații? Oscilația rezultantă este x(t) = x 1 (t) + x 2 (t). Folosind formulele de la metoda fazorială, avem: ϕ = ϕ 2 ϕ 1, ϕ = 2π/3 π/6 = π/2 (rad) și amplitudinea rezultantă A = A A2 2, A = 0, 5 m; defazajul inițial este dat de tg ϕ = ( ) / ( ), tg ϕ 8, 3, de unde ϕ 1, 45 rad = 1, π 83. Oscilația rezultantă are ecuația: x(t) = 0, 5 cos (100πt + 1, 45) m. 34

35 Capitolul 2 Termodinamică 2.1 Sisteme termodinamice și mărimi termodinamice Termodinamica studiază sistemele termodinamice, adică acele sisteme fizice care sunt mărginite printr-o frontieră prin care pot face schimburi cu mediul exterior. Schimburile pot fi sub formă de substanță sau energie (căldură, lucru mecanic). Un sistem termodinamic este izolat dacă nu efectuează schimburi cu exteriorul, este închis dacă efectuează doar schimburi de energie cu mediul exterior și este deschis daca face schimburi de substanță și energie cu mediul exterior. Starea unui sistem termodinamic este descrisă de mărimi numite parametri de stare. Exemple de parametri de stare pentru un gaz sunt presiunea p, volumul V, temperatura T, numărul de atomi (molecule) N. Se observă că unii din acești parametri depind de extinderea sistemului (de exemplu de volumul său), pe când altii nu depind de extinderea sa. Astfel, dacă sistemul termodinamic este împărțit în 2 sisteme, atunci presiunea și temperatura sistemelor mai mici vor fi identice cu cele ale sistemului mai mare, în schimb volumul și numărul de particule din sistemele mai mici vor fi proporțional mai mici decât aceleași mărimi din sistemul mare. Parametrii care nu depind de extinderea sistemului se numesc parametri intensivi, iar cei care depind de extinderea sistemului se numesc parametri extensivi. O mărime importantă a unui sistem termodinamic este energia internă U, care reprezintă suma energiilor particulelor componente ale sistemului. Energia internă este extensivă. Parametrii de stare sunt legați între ei prin ecuații de stare. Ecuațiile de stare se obțin experimental sau prin calcule, considerând interacțiunea între particulele care formează sistemul. În mod uzual sistemele termodinamice sunt caracterizate de 2 ecuații de stare: ecuația termică de stare care leagă presiunea și volumul de temperatură, de forma: f(p, V, T ) = const. (2.1) și ecuația calorică de stare care dă expresia energiei interne în funcție de parametrii de stare: U = U(p, V, T ). (2.2) 35

36 Un sistem termodinamic este într-o stare de echilibru termodinamic dacă valorile parametrilor de stare nu se modifică în timp. Un sistem termodinamic poate suferi procese termodinamice, care reprezintă transformări de stare în cursul cărora parametrii de stare își modifică valoarea. Procesele termodinamice pot fi clasificate în procese cvasistatice, în care trecerea de la starea inițială la starea finală se face prin stări intermediare de echilibru și procese necvasistatice, în care stările intermediare nu sunt toate stări de echilibru. Un proces în care sistemul evoluează de la starea inițială la starea finală prin niște stări intermediare iar în sens invers trece prin aceleași stări intermediare se numește proces reversibil; dacă evoluția în sens invers se face prin alte stări intermediare (pe alt drum) atunci procesul se numește proces ireversibil. Dacă starea inițială și starea finală coincid atunci procesul este un proces ciclic, altfel este proces neciclic. O mărime care depinde doar de starea curentă a unui sistem termodinamic, nu și de stările anterioare se numește mărime de stare (funcție de stare). O mărime care depinde atât de starea curentă, cât și de stările anterioare se numește mărime de proces. În cursul unui proces termodinamic, mărimile de stare variază dar variația lor depinde doar de starea inițială și de starea finală, nu și de drumul parcurs de proces (stările intermediare); o mărime de proces depinde însă și de drumul parcurs. Parametrii de stare sunt mărimi de stare; la fel este și energia internă a sistemului. Căldura și lucrul mecanic schimbate în timpul procesului sunt mărimi de proces. Într-un proces infinitezimal (în care parametrii de stare variază cu valori infinitezimale, care tind la 0), variația unei mărimi de stare X se notează cu dx; de exemplu variația infinitezimală a energiei interne e du. Variația infinitezimală a unei mărimi de proces Y se notează cu δy, pentru a o diferenția de variația unei mărimi de stare; de exemplu δl este lucrul mecanic infinitezimal și δq este căldura infinitezimală. Substanța conținută într-un sistem termodinamic poate fi măsurată cantitativ prin mai multe mărimi: numărul de particule componente (atomi, molecule ) N, masa sistemului m etc. O mărime folosită în mod obișnuit este cantitatea de substanță ν. Cantitatea de substanță se exprimă în moli: [ν] SI = 1 mol sau mai potrivit în kilomoli (kmol). Cantitatea de substanță este legată de numărul de particule constituente ale sistemului prin relația: ν = N N A, (2.3) unde N A = 6, mol 1 = 6, kmol 1 este constanta lui Avogadro; N A 6, mol 1. Masa sistemului poate fi exprimată în funcție de masa particulelor componente m 0 dacă acestea sunt identice: m = N m 0. (2.4) Exprimând pe N = νn A se obține m = ν N A m 0. Valoarea M = N A m 0 este masa molară și reprezintă masa unui mol (kmol) de substanță; aceasta depinde de tipul substanței. Atunci m = ν M sau ν = m M. (2.5) 36

37 Exemplul 13. Care este cantitatea de substanță și numărul de particule dintr-o masă m = 4 kg de hidrogen molecular H 2? H 2 are masa molară M = 2 kg/kmol. Rezultă cantitatea de substanță ν = m/m, ν = 2 kmol. Numărul de particule (molecule) este N = νn A, N 12, Dacă considerăm un sistem termodinamic format dintr-un gaz, atunci moleculele gazului se mișcă haotic, aleator (la întâmplare) în toate direcțiile, suferind ciocniri cu celelalte molecule și cu pereții vasului sau cu moleculele mediului exterior. Mișcarea moleculelor este cu atât mai intensă cu cât temperatura sistemului este mai mare. Această mișcare aleatoare a particulelor sistemului se numește agitație termică. Pe lângă ciocniri, particulele sistemului pot interacționa și prin forțe intermoleculare care acționează la distanță, de exemplu prin forțe de natură electrică. Suma energiilor particulelor din interiorul sistemului reprezintă energia internă a sistemului: N N U = ε i = (ε ci + ε pi ), (2.6) i=1 i=1 unde ε i = ε ci + ε pi este energia mecanică a particulei i și este suma energiilor cinetică și potențială ale particulei. Energia internă se poate modifica dacă sistemul efectuează schimburi de energie cu mediul exterior. Aceste schimburi sunt de 2 tipuri: schimburi mecanice, datorate deplasării frontierei sistemului, care se fac sub forma unui lucru mecanic L și schimburi termice, datorate unui transfer de agitație termică între particulele sistemului termodinamic și cele ale mediului; acestea se fac sub formă de căldură Q. Lucrul mecanic reprezintă un transfer de energie într-o mișcare macroscopică, ordonată, bine determinată, cum ar fi mișcarea unui piston care comprimă un gaz. Căldura reprezintă un transfer de energie datorită agitației termice la scară microscopică a particulelor sistemului și mediului exterior. Dacă o particulă din interiorul sistemului termodinamic se ciocnește de o particulă din mediul exterior pe frontiera sistemului atunci particula cu energie mai mare va ceda o parte din energia sa particulei cu energie mai mică. În acest fel, prin ciocniri repetate între particule pe frontiera sistemului se transferă energie sub formă de căldură între sistem și mediul exterior și se modifică intensitatea agitației termice a particulelor din interiorul sistemului și implicit temperatura acestuia. În mod convențional în fizică se consideră că L > 0 dacă lucrul mecanic este efectuat (cedat) de sistem către mediul exterior și L < 0 dacă este absorbit de sistem; Q > 0 dacă căldura este absorbită de sistem și Q < 0 dacă este cedată de sistem către mediu. Această convenție de semne este inspirată de motoarele termice, care absorb căldură din arderea unui combustibil și produc lucru mecanic. Odată cu schimbul de căldură și lucru mecanic se modifică și energia internă a sistemului. Cu convenția de semne de mai sus variația energiei interne se poate scrie: U = U f U i = Q L, (2.7) unde U i și U f sunt energiile interne inițială și finală. Aceeași relație se poate scrie: Q = L + U (2.8) 37

38 sau pentru o transformare infinitezimală δq = δl + du. (2.9) Un motor termic reprezintă o mașină care absoarbe căldură și produce lucru mecanic. Motoarele termice funcționează după procese ciclice, adică starea inițială și starea finală coincid: U i = U f. Atunci U = 0 și pentru un proces ciclic Q = L. Motorul absoarbe o cantitate de căldură Q abs și cedează cantitatea de căldură Q ced, astfel încât Q = Q abs Q ced = L. Randamentul unei mașini este în general: η = Se definește randamentul unui motor termic: η = Lucrul mecanic util Energia absorbită. L Q abs = 1 Q ced Q abs. (2.10) Radamentul unui motor termic este întotdeauna subunitar: η < 1. Dacă frontiera sistemului termodinamic are o porțiune mobilă, cum ar fi un piston atunci diferența de presiune între interiorul sistemului și mediul exterior produce mișcarea pistonului și se realizează un transfer de lucru mecanic. Dacă suprafața pistonului este S P și asupra lui acționează o forță F care îi produce deplasarea pe o distanță infinitezimală dx, atunci lucrul mecanic efectuat de F asupra pistonului va fi: δl = F dx = F S P S P dx. Dar S P dx = dv reprezintă chiar volumul elementar pe care s-a făcut deplasarea pistonului. Se definește presiunea ca forța care acționează perpendicular pe unitatea de suprafață: p = F S P. (2.11) Unitatea sa de măsură este Pascalul (Pa): [p] SI = 1 N/m 2 = 1 Pa. Presiunea se mai măsoară în atmosfere: 1 atm = Pa 10 5 Pa sau in Torr (milimetru coloană de mercur - mmhg): 1 atm = 760 Torr = 760 mmhg, 1 Torr = 1/760 atm 133,32 Pa. Lucrul mecanic infinitezimal se poate scrie așadar: δl = p dv. (2.12) Lucrul mecanic efectuat într-o transformare de la o stare 1 la o stare 2 este: L = ˆ V2 V 1 p dv. (2.13) Temperatura reprezintă o măsură a intensității mișcării de agitație termică a particulelor sistemului. Cu cât mișcarea de agitație termică este mai intensă, cu atât temperatura este mai mare. Când mișcarea de agitație termică dispare complet, temperatura 38

39 ar trebui să fie T = 0. O scară des folosită pe care are loc relația aceasta este scara temperaturii absolute, cu unitatea de măsură Kelvinul (K): [T ] SI = 1 K. Pe această scară cea mai mică temperatură este 0 K și corespunde punctului la care energia internă a unui sistem termodinamic este minimă; apa îngheață în condiții normale de presiune la 273,15 K = 0 C. Scara temperaturii absolute T poate fi legată de scara Celsius a temperaturilor t prin relația: T (K) = t( C) + 273, 15. (2.14) 2.2 Coeficienți calorici Când un corp primește căldură din exterior mișcarea de agitație termică a particulelor sale constituente devine mai intensă și se pot produce o serie de transformări în starea sa: temperatura corpului poate să crească, starea sa de agregare se poate modifica (substanța din care este compus poate să se topească, să fiarbă sau să sufere procese de ionizare), pot apărea reacții chimice care pot genera și mai multă căldură (de ex. procese de ardere) etc. Fie un sistem termodinamic cu masa m care conține cantitatea de substanță ν. Răspunsul său la un schimb de căldură Q este măsurat prin intermediul coeficienților calorici: Capacitatea calorică: exprimă cantitatea de căldură absorbită de un corp pentru ca temperatura sa să crească cu T = 1K: C = Q T. (2.15) Căldura molară: reprezintă cantitatea de căldură absorbită de 1 kmol pentru ca temperatura sa să crească cu 1K: C mol = Q ν T. (2.16) Putem avea căldură molară la volum constant C V, la presiune constantă C p etc. Căldura specifică: reprezintă cantitatea de căldură absorbită de o masă de 1 kg pentru ca temperatura sa să crească cu 1K: c = Q m T. (2.17) Căldura latentă: reprezintă cantitatea de căldură schimbată de o masă de 1 kg în cursul unei transformări a stării de agregare: λ = Q m. (2.18) 39

40 Putem avea astfel căldură latentă de topire λ t, de solidificare λ s, de vaporizare (evaporare) λ v, de condensare λ c. Se poate observa că, neglijând semnul căldurii, au loc în general λ t = λ s și λ v = λ c. Transformările de stare de agregare se produc în general la anumite temperaturi de tranziție, specifice fiecărei substanțe, putând fi necesară pentru aceasta încălzirea sau răcirea prealabilă a substanței. Puterea calorică a unui combustibil: reprezintă căldura degajată la arderea unei mase de 1 kg de combustibil: q = Q m. (2.19) Exemplul 14. Într-un rezervor se găsește o masă m = 1 t de gheață aflată la temperatura t = 10 C. Rezervorul este încălzit prin arderea unei mase m b = 5 kg de benzină, cu puterea calorică q b = 40 MJ kg. Știind că gheața are căldura specifică c = 2000 J kgk și căldura latentă de topire λ t = 330 kj kg să se determine masa de gheață care s-a topit. În SI avem: m = 1 t = 10 3 kg, q b = J kg, λ t = J kg. Arderea benzinei generează o cantitate de căldură: Q b = m b q b, Q b = J. Pentru ca gheața să înceapă să se topească, trebuie ca mai întâi să se încălzească la temperatura de topire t t = 0 C. Acest proces consumă o cantitate de căldură: Q 1 = mc t = mc (t t t), Q 1 = J. Se observă că Q b > Q 1, deci mai rămâne căldură pentru ca gheața să fie topită cel puțin parțial. Notăm cu m t masa de gheață care a fost topită. Pentru aceasta gheața absoarbe o cantitate de căldură: Q 2 = m t λ t. Scriem atunci bilanțul căldurilor eliberate și absorbite de gheață, presupunând că după topire nu mai rămâne căldură care să încălzească apa mai departe: Q b = Q 1 + Q 2, m b q b = mc (t t t) + m t λ t, m t = m bq b mc (t t t) λ t = Q b Q 1 λ t. Se obține prin calcul masa de apă rezultată: m t = (kg). Așadar o proporție de 54, 5% din gheață a fost topită. 40

41 2.3 Gazul ideal. Transformări de stare ale gazului ideal Cel mai simplu sistem termodinamic este reprezentat de gazul ideal. Gazul ideal este compus din particule (atomi sau molecule) identice care interacționează doar prin ciocniri; nu există interacțiuni la distanță prin câmpuri de forțe. Particulele gazului ideal au doar energie cinetică, energia potențială fiind ε p = 0. Ecuația termică de stare a gazului ideal a fost determinată experimental și este: pv = νrt, (2.20) J unde R = 8314, 3 kmol K 8310 J J = 8, 31 este constanta universală kmol K mol K a gazelor. Numărul de particule din sistem este N = νn A. Ecuația termică de stare devine pv = NN A RT. Notăm k B = N A R, k B = 1, J/K fiind constanta lui Boltzmann. Atunci ecuația termică de stare a gazelor ideale se mai poate scrie: pv = Nk B T. (2.21) De aici rezultă un parametru constant pentru gazele ideale dacă ν = const. (N = const.): pv T = const. (2.22) Ecuația calorică de stare a gazelor ideale a fost și ea obținută experimental, dar poate fi dedusă și prin calcul. Intuitiv, energia cinetică medie ε cx a unei particule care se poate deplasa doar pe direcția Ox este proporțională cu temperatura. Constanta de proporționalitate este chiar k B /2, astfel încât energia cinetică medie pe 1 direcție se poate scrie: ε cx = 1 2 k BT. Dacă particula se poate deplasa pe mai multe direcții, în număr de l, atunci energia sa cinetică medie este: ε c = l 2 k BT. (2.23) Parametrul l se mai numește număr de grade de libertate ale particulei. Formula (2.23) descrie echipartiția energiei pe grade de libertate pentru o particulă din gazul ideal. Gradele de libertate cuprind atât direcțiile pe care particula poate suferi translații, cât și direcțiile în care aceasta se poate roti astfel încât configurația sa să se schimbe. În funcție de numărul de atomi care compun o moleculă, numărul de grade de libertate este: Pentru molecule monoatomice (compuse din 1 atom) există doar 3 grade de libertate de translație, deci l = 3; orice rotație a atomului îl va aduce în aceeași configurație, deci nu există grade de libertate de rotație. Pentru molecule biatomice (compuse din 2 atomi) există 3 grade de libertate de translație și 2 grade de libertate de rotație, deci l = 5. 41

42 Figura 2.1: Numărul gradelor de libertate de translație și rotație pentru o moleculă monoatomică, biatomică și triatomică. Pentru molecule poliatomice (compuse din 3 sau mai mulți atomi) există 3 grade de libertate de translație și 3 grade de libertate de rotație, deci l = 6. Considerând că energia internă este U = Nε c, rezultă ecuația calorică de stare a gazului ideal: sau U = l 2 Nk BT (2.24) U = l νrt. (2.25) 2 Parametrul C V = l 2R reprezintă căldura molară la volum constant a gazului ideal, astfel încât ecuația calorică de stare se mai poate scrie: U = νc V T. (2.26) Căldura molară la presiune constantă este C p = C V + R = l+2 2 R. Raportul γ = C p = l + 2 C V l (2.27) se numește exponent adiabatic. Transformările de stare obișnuite ale gazului ideal sunt următoarele: 1. Transformarea izotermă: T = const., de unde rezultă ecuația transformării: pv = const., sau pentru 2 stări 1 și 2: p 1 V 1 = p 2 V Transformarea izobară: p = const., deci V/T = const. 3. Transformarea izocoră: V = const., deci p/t = const. 4. Transformarea adiabatică (izentropică): Q = 0 (nu se schimbă căldură în această transformare) sau echivalent S = const.; ecuația transformării adiabatice este pv γ = const. Pentru o transformare de stare oarecare se poate calcula lucrul mecanic schimbat cu formula L = pdv și căldura schimbată cu formula Q = L + U. 42

43 Figura 2.2: Transformări de stare ale gazului ideal. Exemplul 15. Considerăm o transformare izobară între stările 1 și 2. Calculăm lucrul mecanic și căldura schimbate, precum și variația energiei interne în timpul transformării. Cum p = const. rezultă V/T = const., deci p 1 = p 2 = p și V 1 /T 1 = V 2 /T 2. Lucrul mecanic este: ˆ V2 L = p dv = p (V 2 V 1 ) = νr (T 2 T 1 ) V 1 deoarece pv = νrt. Variația energiei interne este: Căldura schimbată este: U = U 2 U 1 = νc V (T 2 T 1 ). Q = L + U = ν (R + C V ) (T 2 T 1 ) = νc p (T 2 T 1 ). (2.28) Exemplul 16. O cantitate de 0,1 kmol de gaz ideal aflat la presiunea p 1 = 2 atm și volumul V 1 = 1 m 3 suferă o destindere izotermă până la presiunea p 2 = 1 atm. Să se calculeze volumul final și temperatura gazului. Care sunt lucrul mecanic și căldura schimbate de gaz în timpul transformării și care este variația energiei interne? În SI p 1 = 2 1, Pa Pa, p Pa. Transformarea fiind izotermă, T = const., iar ecuația transformării este pv = const. Deci p 1 V 1 = p 2 V 2. Se obține: V 2 = V 1 p 1 p 2 V 2 = = 2 (m3 ). Din ecuația de stare a gazului ideal p 1 V 1 = νrt 1 se obține: T 1 = T 2 = T = p 1V 1 νr T , 7 (K). 0, 1 8, Temperatura în grade Celsius este t = T 273, 15, t 32, 5 C. Lucrul mecanic se poate calcula ca L = V 2 V 1 pdv ; dar cum pv = νrt rezultă că p = νrt/v, deci: L = νrt ˆ V2 V 1 dv V = νrt ln V V 2 V 1 = νrt (ln V 2 ln V 1 ) = νrt ln V 2 V 1, 43

44 L 0, 1 8, , 7 ln 2 138, (J). Deoarece temperatura este constantă, energia internă U = νc V T = const., deci variația energiei interne este U = 0. Căldura schimbată este Q = L + U = L 138, J. Atât Q cât și L sunt pozitive, deci gazul absoarbe căldură și efectuează lucru mecanic. Exemplul 17. O masă m = 1 g de oxigen molecular O 2 cu masa molară M = 32 kg/kmol suferă o destindere izocoră în care primește o cantitate de căldură Q = 1000 J. Inițial gazul are presiunea p 1 = 1 atm și temperatura T 1 = 300 K. Să se determine volumul gazului și presiunea și temperatura finale, precum și variația energiei interne și lucrul mecanic. Se ia 1 atm = 10 5 Pa. Gazul are ν = m/m = 10 3 kg/32 kg/kmol = 3, kmol. Din ecuația de stare p 1 V 1 = νrt 1 rezultă V 1 = V = νrt 1 /p 1, V = 3, , /10 5, V 7, m 3 = 0, 78 litri. Într-o transformare izocoră V = const., astfel încât lucrul mecanic este L = 0 (lucrul mecanic este schimbat cu mediul extern doar dacă frontiera sistemului se mișcă, deci dacă volumul se modifică). Rezultă că Q = U = νc V (T 2 T 1 ), unde C V = l/2r = 5/2R deoarece gazul este biatomic și are l = 5 grade de libertate. De aici se poate obține temperatura finală: T 2 = T 1 + Q 5/2νR T = /2 3, (K). 8, Ecuația transformării izocore este p 1 /T 1 = p 2 /T 2, de unde se obține presiunea finală p 2 = p 1 T 2 /T 1, p 2 5, 13 atm. 2.4 Principiile termodinamicii Primul principiu al termodinamicii: Variația energiei interne a unui sistem termodinamic închis este egală cu suma algebrică a căldurii și lucrului mecanic schimbate de acesta. Acest principiu exprimă conservarea energiei pentru sistemele termodinamice. Relația care exprimă acest fapt este, cu convenția de semne de mai sus pentru Q și L: U = Q L. (2.29) Pentru un proces ciclic U = 0 astfel încât L = Q: lucrul mecanic produs este egal cu căldura primită. Așadar primul principiu exprimă imposibilitatea realizării unei mașini care să producă lucru mecanic din nimic (numită și perpetuum mobile de speța I ). Orice mașină care produce lucru mecanic trebuie să consume cel puțin aceeași cantitate de energie (de exemplu căldură). Al doilea principiu al termodinamicii: Într-un proces ciclic nu se poate converti integral căldura în lucru mecanic. Un motor termic transferă căldură de la o sursă caldă la o sursă rece și transformă o parte din această căldură în lucru mecanic. Din această cauză randamentul său este 44

45 Figura 2.3: Ciclul Carnot. subunitar. Un motor care poate converti toată căldura în lucru mecanic se numește perpetuum mobile de speța a II-a. Așadar o asemenea mașină nu se poate realiza. Consecința acestui principiu este că un motor termic nu poate lucra doar cu o sursă de căldură, el având nevoie de 2 surse de căldură între care să opereze, o sursă rece (de exemplu mediul exterior) și o sursă caldă (de exemplu un proces de ardere a unui combustibil). O altă consecință este că căldura nu poate curge de la sine de la un corp rece la un corp cald. Pentru ca să curgă în sensul creșterii temperaturii trebuie consumat lucru mecanic. Acest lucru se face în mașinile frigorifice, care folosesc lucrul mecanic consumat ca să transfere căldură dintr-o sursă rece (incinta răcită) către mediul mai cald, menținând astfel temperatura scăzută a incintei. Ciclul Carnot Deoarece randamentul unui motor termic este întotdeauna subunitar, se pune problema: care este randamentul maxim al unui motor care funcționează între 2 surse cu temperaturile fixate? Dacă cele 2 surse au temperaturile T r și T c, T r < T c, atunci ciclul care are randamentul maxim între cele 2 surse este ciclul Carnot. Acesta este compus din 2 izoterme și 2 adiabate (fig. 2.3). Ciclul Carnot are ca mediu de lucru un gaz ideal conținut într-un cilindru cu piston. Acesta pleacă din starea inițială 1, aflată la temperatura mediului exterior T r. Apoi pistonul comprimă izoterm gazul (transformarea 1-2), toată căldura produsă în timpul comprimării fiind eliberată în mediu prin pereții cilindrului. În transformarea 2-3 gazul este comprimat adiabatic. În transformarea 3-4 gazul primește căldură din arderea unui combustibil la temperatură constantă și este lăsat să se dilate, împingând astfel pistonul și efectuând lucru mecanic. În transformarea adiabatică 4-1 gazul revine la condițiile inițiale, după care ciclul se reia. Randamentul ciclului Carnot poate fi calculat din aceste transformări. Căldura este absorbită la temperatura T c (transformarea 3-4) și este cedată la T r (transformarea 1-2). În transformarea izotermă 3-4 are loc pv = p 3 V 3 = p 4 V 4 = νrt c. De aici rezultă 45

46 p = νrt c /V. Variația energiei interne este U = 0 și deci: Q abs = L 3 4 = ˆ V4 V 3 pdv = νrt c ˆ V4 V 3 dv V = νrt c (ln V 4 ln V 3 ) = νrt c ln V 4 V 3. În mod analog în transformarea 1-2: Q ced = νrt r ln V 2 V 1 Q ced = νrt r ln V 1 V 2, unde s-a ținut cont că Q ced < 0. Randamentul ciclului este: η = 1 Q ced Q abs = 1 T r ln V1 V 2 T c ln V. 4 V 3 Transformările adiabate 2-3 și 4-1 au ecuația pv γ = const. Dar pv = νrt = const. T, de unde rezultă altă formă a ecuației adiabatei: T V γ 1 = const. Rezultă: Împărțind cele 2 relații se obține: T r V γ 1 2 = T c V γ 1 3, T r V γ 1 1 = T c V γ 1 4. ( V1 V 2 ) γ 1 = ( V4 Așadar randamentul ciclului Carnot este: V 3 ) γ 1 V 1 V 2 = V 4 V 3. η = 1 T r T c. (2.30) Ciclul Carnot nu poate fi realizat practic, fiind un ciclu ideal. Acest lucru se datorează faptului că transformările izoterme se pot realiza doar într-un timp infinit. O transformare într-un timp finit se va face cu variația temperaturii, deci nu va fi perfect izotermă. Rezultă că ciclul Carnot produce lucru mecanic cu o putere nulă, nefiind util pentru un motor termic. 46

47 Capitolul 3 Electricitate și magnetism În acest capitol ne vom ocupa de câmpul electromagnetic și fenomenele în care acesta este implicat. Câmpul electromagnetic este generat de sarcini electrice în repaus sau în mișcare și poate interacționa cu acestea. Totodată, acest câmp se poate regenera prin fenomenul de inducție electromagnetică. Aceasta face posibilă propagarea sa în vid sub formă de unde electromagnetice. Câmpul electromagnetic are 2 componente, ambele de natură vectorială: câmpul electric, caracterizat de vectorul intensitate a câmpului electric E și câmpul magnetic, caracterizat de vectorul inducție a câmpului magnetic B. Cele 2 tipuri de câmpuri sunt aparent generate în condiții diferite: câmpul electric este generat de sarcini electrice în repaus, iar câmpul magnetic este generat de sarcini electrice în mișcare (câmpul magnetic apare în preajma unui curent electric). Totuși această diferență între cele 2 câmpuri este doar aparentă: dacă se trece de la un sistem de referință în repaus la un sistem de referință în mișcare atunci câmpul electric trece în câmp magnetic și invers la trecerea de la un sistem de referință în mișcare la unul în repaus. Așadar cele 2 câmpuri reprezintă de fapt același tip de câmp. S-a constatat că câmpul electromagnetic nu respectă principiul relativității mecanicii clasice al lui Galilei. Viteza unei unde electromagnetice nu poate fi oricât de mare atunci când sistemul de referință în care este observată se mișcă foarte repede în sens opus față de aceasta. Din contră, în vid viteza de propagare a undelor electromagnetice este constantă în raport cu toate sistemele de referință iar valoarea sa reprezintă o viteză maximă pentru toate corpurile din Univers. Acesta a fost un indiciu care a condus la teoria relativității restrânse a lui Einstein, care este respectată de câmpul electromagnetic. 3.1 Electrostatica Electrostatica studiază câmpurile generate de sarcini electrice constante în timp, aflate în repaus. Experimental se constată că sarcinile electrice sunt de 2 tipuri, numite convențional sarcini pozitive și sarcini negative. Sarcinile electrice interacționează prin 47

48 Figura 3.1: Forța electrostatică dintre 2 sarcini electrice. forțe electrostatice; 2 sarcini de același semn se resping și dacă sunt de semne opuse se atrag. Unitatea de măsură a sarcinii electrice este Coulombul (C): [Q] SI = 1 C. Experimental se constată că sarcinile electrice nu pot lua o valoare oricât de mică. Astfel, există o valoare minimă întâlnită în mod obișnuit, dată de sarcina elementară e = 1, C. Protonii au sarcina +e, iar electronii au sarcina e. Sarcinile electrice uzuale sunt multipli ai sarcinii elementare. Forța electrostatică între 2 sarcini electrice Q și q aflate la distanța r una de alta este dată de legea lui Coulomb: 1 Q q r F = 4πε r 2 r, (3.1) unde F este forța cu care sarcina Q acționează asupra sarcinii q, r este vectorul de poziție al sarcinii q față de Q și ε este permitivitatea electrică a mediului în care se află sarcina q. Valoarea numerică a forței este: F = 1 Q q 4πε r 2, (3.2) deoarece r = r și atunci r /r = 1. Conform principiului acțiunii și reacțiunii, sarcina q acționează și ea asupra sarcinii Q cu o forță egală cu F. Permitivitatea electrică a vidului este ε 0 = 8, F/m (Farad pe metru), astfel încât constanta din expresia forței electrostatice este pentru vid 1 4πε m/f. Permitivitatea electrică a unui mediu oarecare se poate scrie: ε = ε 0 ε r, unde ε r este permitivitatea relativă a mediului; în general ε r 1. Forța electrostatică este o forță conservativă care derivă din energia potențială: E p = 1 Q q 4πε r, (3.3) măsurată față de un punct de referință situat la infinit. (Opțional: Atunci forța electrostatică se poate scrie ca: F = Ep, (3.4) unde E p = grad E p este gradientul energiei potențiale. ) Intensitatea câmpului electric produs de sarcina Q într-un punct P dat de vectorul de poziție r față de Q este definită ca: F E = q = 1 Q r 4πε r 2 r. (3.5) 48

49 Figura 3.2: Câmpul electric produs de sarcini punctiforme cu diferite semne. Valoarea sa numerică este: E = 1 Q 4πε r 2. (3.6) Convențional se consideră că sarcinile pozitive produc un câmp ale cărui linii ies din sarcini, iar sarcinile negative produc un câmp cu liniile intrând în sarcini (fig. 3.2). Se definește potențialul electric produs de sarcina Q în punctul P, măsurat în raport cu un punct de referință situat la infinit: V = E p q = 1 Q 4πε r. (3.7) (Opțional: În mod analog cu forța electrostatică, se poate considera că intensitatea câmpului electric derivă din potențialul electric V : E = V.) (3.8) Diferența de potențial între două puncte P și P 0 reprezintă tensiunea electrică a punctului P față de P 0 : U = V (P ) V (P 0 ). (3.9) (Opțional: Tensiunea electrică mai poate fi exprimată ca: ˆ P U = E d l, (3.10) P 0 unde integrala se calculează de-a lungul unei curbe care merge de la P la P 0 și al cărei element de lungime este d l. Deoarece câmpul electrostatic este conservativ, nu contează cum este aleasă această curbă, valoarea integralei fiind determinată doar de punctul inițial și punctul final. ) Dacă E = const. pe curbă (de exemplu într-un fir) rezultă că tensiunea electrică este U = E l, unde l este lungimea totală a curbei. Unitatea de măsură tensiunii electrice și a potențialului electric este Voltul (V): [U] SI = [V ] SI = 1 V. Unitatea de măsură a intensității câmpului electric este [E] SI = 49

50 Figura 3.3: Obținerea tensiunii electrice între 2 puncte U = V (P ) V (P 0 ) = P P 0 E d l. 1 V/m. Energia în câmp electric se măsoară în Joule (J). În cazul particulelor elementare se mai folosește ca unitate de măsură electron-voltul (ev), care este egal cu energia unui electron accelerat la o diferență de potențial de 1 Volt: 1 ev = 1, J. Uneori în locul intensității câmpului electric se folosește o mărime numită inducția câmpului electric D, dată de formula D = ε E. Câmpul electric este aditiv; aceasta înseamnă că dacă mai multe sarcini produc fiecare câte un câmp electric, atunci câmpul total într-un punct din spațiu este suma câmpurilor produse de aceste sarcini în punctul respectiv. Fie N sarcini punctiforme q i ale căror poziții sunt date de vectorii de poziție r i față de originea O a unui sistem de coordonate și fie punctul P dat de vectorul de poziție r față de O (fig. 3.4). Atunci poziția lui P față de sarcina q i este dată de vectorul r r i. Câmpul total produs de cele N sarcini în punctul P are intensitatea și potențialul: N E (P ) = E i = i=1 N i=1 1 4πε q i ( r r i ) r r, (3.11) i 3 N V (P ) = V i = i=1 N 1 q i 4πε r r (3.12) i. i=1 În practică se întâlnesc pe lângă sarcini discrete, punctiforme și distribuții de sarcină de-a lungul unei curbe, a unei suprafețe sau a unui volum. Acestea reprezintă distribuții continue de sarcini electrice și sunt caracterizate de densitățile de sarcină: Densitatea volumică de sarcină: ρ = dq/dvol, unde Vol este volumul în care se găsește sarcina electrică; Densitatea de suprafață de sarcină aflată pe suprafața S: σ = dq/ds; 50

51 Figura 3.4: Câmpul electric produs de sarcini punctiforme q i și de o distribuție continuă de sarcini situate într-un volum Vol. Densitatea liniară de sarcină de-a lungul unei curbe de lungime l: λ = dq/dl. (Opțional: Pentru o distribuție volumică de sarcini cu densitatea de sarcină ρ = ρ(x, y, z ) = ρ( r ) care ocupă un volum Vol (fig. 3.4), câmpul produs într-un punct P se calculează în mod asemănător cu cazul sarcinilor discrete, dar suma devine integrală și sarcina elementară este dq( r ) = ρ( r ) dvol( r ): E (P ) = Vol V (P ) = d E = Vol Vol dv = 1 ρ( r ) ( r r ) 4πε r r 3 dvol, (3.13) Vol 1 ρ( r ) 4πε r r dvol. (3.14) Aici apar 3 integrale de fiecare dată deoarece volumul are 3 dimensiuni (depinde de 3 variabile) x, y, z după care se integrează. Elementul de volum în coordonate carteziene este dvol = dvol( r ) = dx dy dz. ) Exemplul 18. La ce distanță d trebuie plasați 2 electroni unul față de altul în vid astfel încât forța dintre ei să fie F = 1 mn? Care este energia potențială a unuia dintre electroni și care este intensitatea câmpului electric și potențialul electric în dreptul său? Dacă unul din electroni este eliberat ce viteză va avea acesta la o distanță d 1 = 2d de celălalt electron, dacă viteza sa inițială este 0? Masa electronului este m = 9, kg. Cei 2 electroni au sarcinile Q = q = e, unde e = 1, C este sarcina elementară și se vor respinge (fig. 3.1). Forța de respingere este dată de formula (3.2) în vid (ε = ε 0 ): F = 1 4πε 0 e 2 d 2 d2 = 1 4πε 0 e 2 F d = 51 e 4πε0 F.

52 Cu F = 10 3 N și 1/(4πε 0 ) m/f: 9 10 d 1, = 1, = 1, = 4, (m). Energia potențială a unui electron este: În raport cu forța calculața mai sus: sau în electron-volți: E p = 1 4πε 0 e 2 d. E p = F d, E p , = 4, (J) E p 4, , ev = ev = 3 kev. Câmpul produs de un electron în dreptul celuilalt are intensitatea: 10 3 E = 1 4πε 0 e d 2 = F e, E = = , , 6 = 0, = 6, (V/m). Potențialul electric al acestui câmp este: V = 1 4πε 0 e d = E p e, 4, V 1, = (V) V 3 kv. Se observă că în modul energia potențială în electron-volți și potențialul au aceeași valoare. Aceasta derivă din definiția electron-voltului. Dacă unul din electroni este eliberat, va fi respins de celălalt electron și se va depărta accelerat, viteza crescându-i. La distanța d are viteza v = 0, iar la d 1 = 2d va avea viteza v 1. Cum forța electrostatică este o forță conservativă rezultă că energia mecanică totală E t a electronului se conservă: E t = E t1 E c + E p = E c1 + E p1 mv πε 0 e 2 d = mv πε 0 e 2 2d. Se observă că E c = 0 și E p1 = E p /2. Atunci se obține: E p = mv E p 2 mv2 1 = E p 2 2 mv2 1 = E p v1 2 = E p m v Ep 1 = m, 4, 8 10 v 1 = 16 9, = 0, = 5, = 2, (m/s). 52

53 Exemplul 19. În 2 vârfuri ale unui triunghi echilateral cu latura a = 1 cm sunt plasate sarcinile punctiforme q 1 = 1 nc și q 2 = 2 nc. Să se calculeze intensitatea și potențialul câmpului electric în cel de-al treilea vârf al triunghiului. Sarcinile sunt în vid. Figura 3.5: Exemplul 19. Cele 2 sarcini produc câmpuri electrice cu liniile ieșind din sarcini (fig. punctul P acestea au valorile numerice: 3.5). În E 1 = q 1 4πε 0 a 2, E 2 = q 2 4πε 0 a 2. Între cele 2 câmpuri este un unghi α = 60 = π/3 rad. Intensitatea totală a câmpului electric este: E = E 1 + E 2 și se poate afla cu regula paralelogramului; modulul său este dat de: E = E E E 1E 2 cos α = E 2 = E E E 1 E 2 cos α, În SI: a = 10 2 m, q 1 = 10 9 C și q 2 = C și 1 4πε 0 1 4πε 0 a 2 q1 2 + q q 1q = 1 4πε 0 a 2 q1 2 + q2 2 + q 1q m/f. Atunci: E ( ) = = , (V/m). 53

54 unde Potențialul electric în punctul P este: V = V 1 + V 2, V 1 = q 1 4πε 0 a, V 2 = q 2 4πε 0 a sunt potențialele electrice produse de cele 2 sarcini în P. Rezultă: V = q 1 + q 2 4πε 0 a, V = = 2700 (V). Fluxul câmpului electric. Legea lui Gauss Considerăm o sarcină punctiformă Q și o suprafață sferică S de rază R cu centrul în Q. Se definește fluxul câmpului electric E prin suprafața S: Φ E = E d S. (3.15) S Intuitiv, fluxul câmpului electric prin suprafața S reprezintă numărul total de linii de câmp care traversează suprafața S. Integrala este marcată cu un cerc deoarece suprafața S este o suprafață închisă (în acest caz integrala se mai numește integrală circulară). ds reprezintă suprafața infinitezimală (elementul de suprafață) de pe S. Suprafața infinitezimală este tratată ca o mărime vectorială d S, care este orientată perpendicular pe suprafața S, având sensul înspre afara domeniului S. Dacă calculăm fluxul câmpului electric (3.5) produs de o sarcină punctiformă, observăm că E este orientat perpendicular pe suprafața S. Atunci: ( E ) E d S = E ds cos, d S. Unghiul între E și d S este 0 rad dacă Q > 0 și π rad (180 ) dacă Q < 0. Mai departe considerăm că sarcina este pozitivă. Atunci: 1 Q E d S = E ds = E ds = 4πε R 2 ds. Se observă că modulul intensității câmpului electric E este constant pe suprafața S, indiferent de orientarea câmpului. Fluxul câmpului eletric este atunci: 1 Q Φ E = 4πε R 2 ds = 1 Q 4πε R 2 ds = 1 Q 4πε R 2 S(R) = 1 Q 4πε R 2 4πR2, S S Φ E = Q ε. (3.16) 54

55 Figura 3.6: Legea lui Gauss aplicată pentru o sarcină punctiformă. Astfel fluxul câmpului electric produs de o sarcină punctiformă printr-o suprafață sferică este constant indiferent de raza sferei. Acest rezultat este mai general, fiind valabil pentru orice distribuție de sarcină și pentru orice suprafață închisă care înconjoară sarcinile. În general, pentru o suprafață închisă S care conține sarcina interioară Q int, fluxul câmpului electric prin S este: Φ E = S E d S = Q int ε. (3.17) Acest rezultat reprezintă legea lui Gauss pentru câmpul electric. Conform acesteia, fluxul câmpului electric printr-o suprafață închisă este dat doar de sarcinile din interiorul suprafeței, cele din exterior dând un flux nul prin suprafață. Pentru aplicații practice ale legii lui Gauss se consideră în general suprafețele gaussiene S astfel încât câmpul să fie constant pe aceste suprafețe sau pe părți ale lor, atât ca mărime cât și ca orientare. De exemplu, dacă suprafața S poate fi scrisă ca o reuniune de n suprafețe S = S 1 S 2... S n, alese astfel încât câmpul electric pe suprafața i să fie constant, E i = const. (fig. 3.7), atunci fluxul câmpului electric prin suprafața i se calculează simplu: Φ Ei = E i d S i = E i S i = E i S i cos α i, (3.18) S i unde α i este unghiul dintre E i și S i (dintre E i și perpendiculara pe suprafața S i ). Există câteva cazuri particulare mai des întâlnite: 55

56 Dacă E i S i iar E i iese din suprafața S i ( E i // S i iar E i și S i au același sens) atunci α i = 0 și Φ Ei = E i S i. Dacă E i S i iar E i intră în suprafața S i ( E i // S i iar E i și S i au sensuri opuse) atunci α i = 180 și Φ Ei = E i S i. Dacă E i //S i ( E i S i ) atunci α i = 90 și Φ Ei = 0. Orice alt caz se poate reduce la acestea, descompunând vectorul E i într-o componentă perpendiculară pe S i și una de-a lungul suprafeței S i. Atunci fluxul electric total prin suprafața S este: n n Φ E = Φ Ei = E i S i. (3.19) i=1 Exemplul 20. O distribuție de sarcini electrice produce câmpurile din figura 3.8 prin suprafețele laterale ale unui cub de latură a = 10 cm. Intensitatea câmpului electric E i este constantă și perpendiculară pe fiecare suprafață și are același modul E i = E = 10 6 V/m. Să se calculeze sarcina electrică din interiorul cubului. Conform legii lui Gauss pentru vid (ε = ε 0 ): Φ E = S i=1 E d S = Q int ε 0, unde Q int este sarcina totală din interirul suprafeței cubului S. Dar cum câmpul electric este constant pe fiecare față, rezultă că fluxul câmpului electric este: Φ E = n Φ Ei = i=1 n E i S i. i=1 Câmpurile E i sunt perpendiculare pe fețele respective și în general ies din față; excepția este câmpul E 6 care intră în fața respectivă. Rezultă că fluxurile pe fețe sunt Φ Ei = E S i = a 2 E, i = 1, 5 și Φ E6 = E S 6 = a 2 E. Fluxul total este Φ E = 5a 2 E a 2 E = 4a 2 E. Atunci sarcina din interiorul cubului este, luând a = 0, 1 m: Q int = ε 0 Φ E = 4ε 0 a 2 E, Q int = 4 8, , = 35, (C) Q int = 354, 16 nc. Exemplul 21. O sferă metalică de rază R = 10 cm, plasată în vid este încărcată cu o sarcină Q = 10 µc (fig. 3.9). Să se calculeze intensitatea câmpului electric produs de sarcina de pe sferă în tot spațiul. O sarcină așezată pe o sferă metalică se distribuie întotdeauna pe întreaga suprafață a sferei în mod uniform; pe orice element de suprafață ds de pe sferă este aceeași sarcină dq. Mai mult, dacă sfera metalică este plină atunci în interior sarcina electrică netă este 0. Dacă ar exista o sarcină electrică în interior, aceasta ar produce un câmp electric care 56

57 Figura 3.7: Fluxul cămpului electric prin mai multe suprafețe dacă E i = const. pe S i. Vectorul S i S i și S i este orientat înspre afara suprafeței totale S. 57

58 Figura 3.8: Exemplul 20. ar deplasa sarcinile până când câmpul în interior devine 0. Aceasta înseamnă că orice sarcină interioară s-ar deplasa către suprafața sferei. Așadar sarcina Q este distribuită pe suprafața sferei. Fiind o sarcină pozitivă, aceasta produce un câmp electric cu linii de câmp care pleacă din sarcini. Fiind uniform distribuită pe suprafața sferei liniile de câmp merg de-a lungul razei sferei iar câmpul are același modul peste tot pe suprafață. Ca să calculăm câmpul la o distanță r de centrul sferei alegem o altă suprafață sferică S(r) de rază r, concentrică cu sfera de rază R. Atunci câmpul produs de sfera de rază R va fi constant în modul și perpendicular pe suprafața S(r). Rezultă că fluxul câmpului electric prin suprafața S(r) este: Φ E = S(r) E d S = S(r) deoarece S(r) = 4πr 2. Conform legii lui Gauss: E ds = E S(r) = 4πr 2 E, Φ E = Q int. S(r) ε 0. Sarcina Q int. S(r) din interiorul suprafeței S(r) depinde unde este plasată suprafața S(r) în raport cu sfera de rază R. Cazul I. Dacă r < R (S(r) este în interiorul sferei S(R)) atunci Q int. S(r) = 0și rezultă că E = 0. Cazul II. Dacă r R (S(r) este în interiorul sferei S(R)) atunci Q int. S(r) = Q și rezultă: 4πr 2 E = Q E = E(r) = 1 Q ε 0 4πε 0 r 2. 58

59 Figura 3.9: Exemplul 21: legea lui Gauss pentru o distribuție sferică de sarcină. Așadar, intensitatea câmpului electric este: { 0, r < R E(r) = r R 1 Q 4πε 0, r 2 La suprafața sferei metalice câmpul este, cu mărimile exprimate în SI R = m = 10 1 m, Q = C = 10 5 C: E(R) = 1 4πε 0 Q R 2 E(R) = = V/m. Se observă că în afara sferei metalice câmpul este identic cu câmpul produs de o sarcină punctiformă Q plasată în centrul sferei. Acesta este un fenomen care are loc pentru orice distribuție sferică de sarcină: câmpul la o distanță r de centrul distribuției este identic cu câmpul produs de sarcina din interiorul sferei de rază r dacă ar fi concentrată toată în punctul din centrul distribuției. Exemplul 22. O sferă dintr-un material dielectric (izolator) cu permitivitatea electrică relativă ε r = 2 și raza R = 1 m este încărcată cu o distribuție uniformă de sarcină cu densitatea volumică de sarcină ρ = 10 nc/m 3. Sfera este plasată în vid (ε r = 1). Să se calculeze câmpul electric produs de această sarcină în întreg spațiul. Deoarece densitatea este constantă în interiorul sferei, rezultă că câmpul produs de aceasta va fi orientat de-a lungul razei sferei, ieșind din sferă (ρ > 0). La o distanță r de centrul sferei câmpul va fi constant în modul în toate direcțiile. Vom proceda ca în exemplul 21 (fig. 3.9). Alegem o suprafață sferică S(r) de rază r. Câmpul E (r) este perpendicular pe S(r) și modulul său E(r) = const. pe S(r). Atunci fluxul câmpului electric este: Φ E = S(r) E d S(r) = S(r) E ds = E S(r) = 4πr 2 E = Q int. S(r) ε 59

60 unde Q int. S(r) este sarcina totală din interiorul suprafeței S(r). Rezultă atunci: E = E(r) = 1 Q int. S(r) 4πε r 2. Cazul I. Dacă r < R atunci ε = ε r ε0. Sarcina interioară derivă din densitatea de sarcină din volumul Vol int. S(r) din interiorul suprafeței S(r): Dar deoarece ρ = const. are loc: ρ = ρ = dq dvol. Q int. S(r) Vol int. S(r), Q int. S(r) = ρvol int. S(r) = ρ 4 3 πr3, E(r) = 1 4πε r ε 0 ρ 4 3 πr3 1 r 2 = ρr 3ε r ε 0. Cazul II. Dacă r R atunci ε = ε 0 și Q int. S(r) = Q int. S(R) este sarcina totală din sfera dielectrică deoarece în afara acesteia nu există sarcină (ρ = 0 pentru r R): Q int. S(R) = ρvol int. S(R) = ρ 4 3 πr3, E(r) = 1 4πε 0 ρ 4 3 πr3 1 r 2 = ρr3 3ε 0 r 2. În rezumat, intensitatea câmpului electric este: E(r) = { ρr 3ε rε 0, ρr 3 3ε 0, r 2 r < R r R La suprafața sferei dielectrice (r = R), dar în interiorul dielectricului câmpul electric are intensitatea (ρ = C/m 3 = 10 8 C/m 3 ): E int (R) = ρr 3ε r ε 0 E int (R) = În afara dielectricului câmpul are intensitatea: , E int(r) = 188, 24 V/m. E ext (R) = ρr 3ε 0 = ε r E int (R) E ext (R) = 376, 48 V/m. 60

61 Figura 3.10: Exemplul 23: legea lui Gauss pentru o distribuție cilindrică de sarcină. Exemplul 23. Un corp dielectric de formă cilindrică cu permitivitatea relativă ε r = 1, raza R = 10 cm și de lungime infinită este încărcat cu o densitate volumică de sarcină ρ = 1 nc/m 3, constantă în tot dielectricul (fig. 3.10). Să se calculeze intensitatea câmpului electric produs în spațiu. În exteriorul dielectricului este vid. Sarcinile din interiorul cilindrului, fiind uniform distribuite, produc un câmp electric orientat de-a lungul razei cilindrului. Dacă alegem o suprafață cilindrică S(r) de rază r și înălțime h, cu același ax central ca dielectricul, atunci câmpul E va fi perpendicular și de modul constant pe suprafața laterală a S(r). Pe suprafețele de la capete câmpul este conținut în aceste suprafețe. Rezultă că fluxul câmpului electric prin S(r) este: Φ E = E d S = E d S + E d S = = S(r) S laterală (r) S laterală (r) S capete(r) E ds + 0 = E S laterală (r) = E 2πrh, Φ E = Q int. S(r) ε 0 E 2πrh = Q int. S(r) ε 0, E = E(r) = Q int. S(r) 2πε 0 rh. 61

62 Cazul I. Dacă r < R atunci sarcina Q int. S(r) din volumul Vol int. S(r) din interiorul suprafeței S(r) este: Q int. S(r) = ρvol int. S(r) = ρ πr 2 h, E(r) = ρ πr2 h 2πε 0 rh = ρr 2ε 0. Cazul II. Dacă r R atunci Q int. S(r) = Q int. S(R) este sarcina din dielectric deoarece, ρ = 0 pentru r R: Q int. S(R) = ρvol int. S(R) = ρ πr 2 h, E(r) = ρ πr2 h 2πε 0 rh = ρr2 2ε 0 r. În rezumat, intensitatea câmpului electric este: E(r) = { ρr 2ε 0, ρr 2 2ε 0 r, r < R r R La suprafața cilindrului dielectric (r = R) cele 2 formule dau același rezultat (R = 10 1 m, ρ = 10 9 C/m 3 ): E(R) = ρr 2ε 0 E(R) = = 5, 65 (V/m). 2 8, Substanțe în câmp electric. Capacitatea electrică Substanțele se comportă diferit atunci când sunt introduse într-un câmp electric. Astfel, metalele conțin sarcini libere (electroni) care se pot deplasa liber sub acțiunea câmpului electric. Un electron are sarcina e și într-un câmp electric de intensitate E este acționat de o forță F = e E, care deplasează electronul în sens invers față de sensul câmpului. Electronii din metal se deplasează sub acțiunea unui câmp exterior până când ajung la suprafața metalului, moment în care câmpul produs de electronii de la suprafață anulează câmpul exterior aplicat și câmpul total în interiorul metalului este E tot = 0 V/m. La suprafață câmpul este orientat perpendicular pe suprafața metalului și sarcinile electrice sunt în repaus. Potențialul electric este constant în tot metalul. La fel se întâmplă și dacă un corp metalic este legat la un potențial electric V. Atunci pe suprafața corpului apare o sarcină electrică q și câmpul în interiorul corpului este 0. Se constată că sarcina q de pe corp este proporțională cu potențialul său V. Constanta de proporționalitate se numește capacitate electrică a corpului: C = q V. (3.20) Potențialul V este măsurat în raport cu un punct de referință cu potențialul electric 0. Unitatea de măsură a capacității electrice este Faradul (F): [C] SI = 1 F = 1 C/V. 62

63 Cel mai simplu sistem care poate stoca sarcini electrice este condensatorul electric. Acesta este format din 2 armături metalice, una încărcată pozitiv la potențialul V +, cealaltă negativ la potențialul V și un material dielectric (izolator) plasat între armături. Dacă sarcina de pe o armătură este q și tensiunea electrică între armături este U = V + V atunci capacitatea condensatorului este: C = q U. (3.21) Un condensator plan-paralel are armăturile plane și paralele, situate la distanța d una de alta (fig. 3.11). Notăm cu S suprafața unei armături, cu ε permitivitatea electrică a mediului dintre armături și cu q sarcina de pe o armătură. Presupunem că armăturile sunt mult mai mari decât distanța dintre ele, astfel încât armăturile pot fi considerate infinite și câmpul de la marginea lor poate fi neglijat. Sarcina q este repartizată uniform pe armătură cu densitatea de sarcină pe suprafață σ = q/s. Dacă alegem o suprafață cilindrică închisă cu aria bazei S, care pleacă de pe armătura încărcată pozitiv și apoi continuă în spațiul dintre armături până la o înălțime z, atunci fluxul câmpului electric prin această suprafață este: Φ E = E d S = E S. S Sarcina din interiorul acestei suprafețe este sarcina de pe armătura pozitivă conținută în suprafața S : Q int = σs. Din legea lui Gauss se obține: Φ E = Q int ε = σs ε. Combinând ultimele 2 formule se obține intensitatea câmpului electric între armături: E = σ ε = q εs. Astfel câmpul electric este constant între armături. Alegem z coordonata de-a lungul distanței dintre armături, măsurată de la armătura încărcată pozitiv. Intensitatea câmpului electric este legată de potențialul electric prin relația E = grad V, sau, dacă E este de-a lungul lui Oz: E = dv/dz. Cum în cazul nostru E = const. rezultă că avem în raport cu potențialul armăturii pozitive V + = V (0): E = V z = V (z) V + z Atunci tensiunea electrică de pe condensator va fi: V (z) = V + Ez. U = V + V = V (0) V (d) = (V + E 0) (V + E d), U = E d. (3.22) 63

64 Figura 3.11: Condensatorul plan-paralel (stânga) și simbolul unui condensator (dreapta). Capacitatea electrică a condensatorului plan-paralel este: C = q U = q Ed = q q εs d, C = εs d. (3.23) Mediile dielectrice (izolatoare) nu conțin sarcini electrice libere; pot avea totuși sarcini legate atunci când sunt formate din molecule polare sau pot să nu aibă nici o sarcină în cazul moleculelor apolare. La introducerea dielectricului într-un câmp electric, moleculele apolare se pot polariza și apar sarcini legate, care apoi se orientează în câmp, sarcinile negative fiind atrase către potențialul pozitiv și cele pozitive către potențialul negativ. Astfel, apar niste distribuții de sarcină legate pe fețele opuse ale dielectricului care reduc câmpul total din interiorul dielectricului. Dacă se introduce un dielectric între armăturile unui condensator, condensatorul poate acumula mai multe sarcini pe armăturile sale comparativ cu cazul când între armături este vid. Aceasta se vede din formula (3.23), unde ε = ε 0 ε r ε 0 și deci C C 0, unde C 0 este capacitatea aceluiași condensator având vid între armături. Exemplul 24. Un condensator plan-paralel are armăturile de suprafață S = 10 cm 2. Între armături se introduce un dielectric cu permitivitatea relativă ε r = 10. (a) Ce distanță trebuie să fie între armăturile condensatorului astfel încât capacitatea acestuia să fie C = 1 nf (nanofarad)? (b) Dacă dielectricul are o intensitate de străpungere E str = 10 MV/m (megavolti pe metru) (intensitatea câmpului electric la care se produce o descărcare electrică în dielectric și acesta devine conductor) să se calculeze tensiunea maximă U max pe care o suportă condensatorul. Să se determine tensiunea maximă nominală U nom folosită în practică, dacă aceasta este aleasă ca U nom = 0, 2U max. În SI: S = 10 cm 2 = 10 (10 2 m ) 2 = m 2 = 10 3 m 2, C = 1 nf = 10 9 F, E str = 10 MV/m = V/m = 10 7 V/m. 64

65 (a) Permitivitatea electrică a dielectricului este ε = ε 0 ε r. Capacitatea condensatorului este: C = ε 0ε r S d d = ε 0ε r S C, d = 8, = 8, (m) d = 88, 54 µm (micrometri). (b) Intensitatea câmpului electric între armături este legată de tensiunea pe condensator prin relația (3.22): U = E d, de unde rezultă pentru tensiunea maximă U max = E str d, U max = , = 8, = 885, 4 (V). Tensiunea maximă nominală este U nom = 0, 2U max = 177, 08 V. Exemplul 25. Un condensator plan-paralel are suprafața armăturilor S = 1 cm 2 și distanța dintre armături d = 0, 1 mm. Între armături este vid. (a) Să se determine capacitatea electrică C a condensatorului. (b) Condensatorul este legat la o sursă cu tensiunea U = 100 V. Ce sarcină electrică Q se acumulează pe armături? (c) Condensatorul este deconectat de la sursă și între armături se introduce un lichid dielectric cu permitivitatea relativă ε r = 10. Să se calculeze noua capacitate C 1 a condensatorului și tensiunea U 1 la bornele sale. (c) Armăturile condensatorului sunt depărtate la distanța d 2 = 1 mm. Să se calculeze capacitatea C 2 și tensiunea U 2 la borne. (a) În SI: S = 1 cm2 = ( 10 2 m ) 2 = 10 4 m 2, d = 0, 1 mm = 0, m = 10 4 m. Capacitatea condensatorului este: C = ε 0S d C = 8, = 8, (F), C = 8, 854 pf (picofarazi). (b) Din C = Q/U rezultă Q = C U, Q = 8, = 8, (C). (c) În urma deconectării de la sursă sarcinile pe condensator rămân aceleași. Capacitatea sa este: C 1 = ε 0ε r S = ε r C C 1 = 10 8, = 88, (F), d C 1 = 88, 54 (pf) (picofarazi). Deoarece C 1 = Q/U 1, U 1 = Q/C 1, deci U 1 = 8, /(88, ) = 10 (V). (d) Noua capacitate este: C 2 = ε 0ε r S d 2 = ε 0ε r S d d = C 1 d 1 C 2 = 10C d 2 d 2 10 = C. Deoarece sarcinile pe armături sunt Q rezultă că tensiunea este egală cu tensiunea inițială U 2 = U = 100 V. 65

66 3.2 Electrocinetica Electrocinetica studiază curenții electrici continui și efectele pe care le generează aceștia. Curentul electric reprezintă o deplasare ordonată de particule cu sarcini electrice, numite și purtători de sarcină. Curentul electric este măsurat prin intensitatea curentului electric I, care reprezintă cantitatea de sarcină care traversează secțiunea transversală a unui conductor în unitatea de timp: I = dq dt. (3.24) Unitatea de măsură a intensității curentului electric este Amperul (A): [I] SI = 1 A. Dacă se împarte I la suprafața S a secțiunii transversale a conductorului se obține densitatea de curent electric: j = I S, (3.25) cu unitatea de măsură [j] SI = 1 A/m 2. Curentul electric apare sub influența unui câmp electric E care acționează în interiorul conductorului, punând în mișcare purtătorii de sarcină. Densitatea de curent este proporțională cu E și poate fi considerată ca o mărime vectorială orientată în sensul câmpului electric E. Cele 2 mărimi sunt legate prin relația: j = σ E, (3.26) unde σ reprezintă conductivitatea electrică a conductorului. Inversa sa este rezistivitatea electrică ρ = 1/σ. Ambele sunt proprietăți de material. Câmpul electric este produs de un generator electric, care aplică o diferență de potențial (tensiune electrică) la capetele opuse ale conductorului. Păstrând constantă această tensiune, generatorul produce un curent continuu în conductor. Pentru un conductor liniar cu secțiunea transversală constantă S, lungimea L și rezistivitatea ρ = 1/σ, căruia i se aplică la capete o tensiune electrică U (fig. 3.12), câmpul electric din interiorul conductorului este uniform și este dat de formula E = U/L. Atunci din formula (3.26) se obține: j = I S = σe = σ U L = U ρl I = S ρl U. Mărimea R = ρl S (3.27) este rezistența electrică a conductorului liniar. Rezistența electrică reprezintă o măsură a opunerii conductorului la trecerea curentului electric. Dependența intensității curentului electric de tensiune se poate scrie: I = U R. (3.28) 66

67 Figura 3.12: Conductor liniar, cilindric alimentat de la o sursă de tensiune U (stânga) și circuitul cu simbolurile rezistorului de rezistență R și sursei de tensiune cu tensiunea electromotoare U (dreapta). Aceasta reprezintă legea lui Ohm pentru un conductor. Formula (3.26) reprezintă forma diferențială a legii lui Ohm. Din legea lui Ohm rezultă formula de calcul a rezistenței electrice dacă se cunoaște intensitatea curentului și căderea de tensiune pe aceasta: R = U I. (3.29) Unitatea de măsură a rezistenței electrice este Ohmul (Ω): [R] SI = 1 Ω. Rezistivitatea electrică are unitatea de măsură [ρ] SI = 1 Ω m, iar [σ] SI = 1 Ω m. Lucrul mecanic produs de câmpul electric asupra unor purtători de sarcină q din conductor este: ˆ ˆ F W = d r = q E d r = qel = qu. Puterea electrică produsă de generator este atunci: P = W t = qu t, P = UI. (3.30) Unitatea sa de măsură este Wattul (W): [P ] SI = 1 W = 1 J/s = 1 V A. Energia electrică transferată de generator în timpul t este: E el = P t = UIt, (3.31) cu unitatea de măsură [E el ] SI = 1 W s = 1 J. În practică se mai folosesc ca unități de măsură ale energiei Amperul-oră: [E el ] = 1 Ah = 1 A 3600 s = 3600 J și kilowattul-oră: [E el ] = 1 kwh = 1 kw 3600 s = 3, J. Atunci când curentul electric traversează un conductor cu rezistența R purtătorii de sarcină se ciocnesc de atomii și moleculele fixe din structura conductorului și pierd energie, aceasta fiind convertită în căldură. Producerea de căldură la trecerea curentului 67

68 printr-un conductor reprezintă efectul Joule al curentului electric. Dacă nu există alte pierderi de energie, atunci căldura pierdută este egală cu energia electrică primită de la generator. Dacă în formula (3.30) se introduce tensiunea U = RI din (3.28) se obține puterea cu care se degajă căldura la trecerea unui curent electric de intensitate I printrun conductor cu rezistența electrică R: Căldura degajată în timpul t este Q = P Q t, P Q = RI 2. (3.32) Q = RI 2 t. (3.33) Exemplul 26. Un fir de lungime L = 1 m și secțiune circulară cu diametrul d = 1 mm are rezistivitatea ρ = 10 7 Ωm. Să se calculeze rezistența electrică a firului. Dacă firul este legat la o surșa de tensiune cu tensiunea U = 10 V, care este intensitatea curentului electric I prin fir și care este puterea degajată prin efect Joule P Q? În SI d = 10 3 m. Suprafața secțiunii firului este S = πr 2, unde r este raza secțiunii, r = d/2. Rezultă S = π(d/2) 2 = πd 2 /4. Rezistența electrică a firului este: R = ρl S = 4ρL πd 2 R = = 0, 127 (Ω). 3, Din legea lui Ohm I = U/R, I = 78, 5 A. Puterea degajată sub formă de căldură este P Q = RI 2, P = 785 W. Exemplul 27. Un rezistor este alimentat la o tensiune U = 5 V și absoarbe o putere electrică P = 10 W. Să se calculeze curentul prin rezistor. Ce cantitate de căldură degajă rezistorul într-un timp t = 1 h? Din formula puterii electrice P = UI rezultă I = P/U, I = 10/5 = 2 (A). Puterea electrică absorbită de rezistor este egală cu puterea degajată sub formă de căldură. Atunci cantitatea de căldură este Q = P t și cu t = 3600 s: Q = J. Materiale electrice Materialele se împart din punct de vedere electric în conductori, semiconductori și izolatori (dielectrici). Conductorii au rezistivitate electrică mică. Cei mai cunoscuți conductori sunt metalele. În acestea există electroni liberi care sub acțiunea unui câmp electric se pun în mișcare și dau un curent electric. Atomii din metal rămân în poziții fixe în nodurile rețelei cristaline a metalului și deci nu participă la conducția electrică. În timpul deplasării electronii se ciocnesc de ionii ficși și de defectele din metal și pierd energie. Așadar electronii nu se mișcă perfect liber. Aceasta este cauza apariției rezistenței electrice. Un caz limită de materiale conductoare îl reprezintă supraconductorii. Aceștia se manifestă de obicei la temperaturi joase: câțiva Kelvini pentru metale și câteva zeci de Kelvini pentru compuși complecși. Supraconductorii au rezistență electrică practic nulă. Aceasta se datorează faptului că conducția electrică nu se mai face prin electroni izolați, 68

69 ci prin perechi de electroni care pot circula liber prin structura cristalină a supraconductorului. Un supraconductor își pierde proprietățile dacă este încălzit peste o anumită temperatură sau dacă este supus unui câmp magnetic puternic. Supraconductorii ar fi utili la transportul energiei electrice deoarece nu suferă pierderi de energie, dacă ar putea fi obținuți la temperaturi mai mari. Materialele izolatoare au o rezistivitate electrică foarte mare; acestea conțin foarte puțini purtători de sarcină și nu conduc curentul electric. Aceasta se datorează faptului că în izolatori electronii sunt legați în atomi sau molecule și nu pot participa la conducția electrică. Totuși aceștia pot fi eliberați în anumite condiții și să participe la conducție. Astfel, odată cu creșterea temperaturii, mișcările de vibrație termică ale moleculelor pot ceda suficientă energie unui electron încât acesta să devină liber. Concentrația de electroni dinr-un izolator crește cu temperatura, dar conducția electrică rămâne în general mică la temperatura camerei. Un alt mod prin care electronii legați pot deveni liberi este prin aplicarea unui câmp electric suficient de mare încât să rupă electronii de valență din atomii sau moleculele izolatorului și să producă ionizarea materialului. Intensitatea câmpului la care are loc acest fenomen reprezintă intensitatea de străpungere E str a delectricului. Acesta are în general o valoare foarte mare; de exemplu pentru aer uscat, lipsit de impurități câmpul de străpungere are intensitatea E str = V/m; la această valoare aerul în condiții ideale este ionizat și devine conductor. În condiții reale însă aerul conține impurități, cum ar fi ioni și electroni liberi, care reduc mult valoarea câmpului de străpungere. Semiconductorii au rezistivități electrice intermediare între cele ale conductorilor și izolatorilor. În semiconductori, la temperaturi foarte joase, electronii sunt legați în atomi. Pe măsură ce crește temperatura, tot mai mulți electroni devin liberi datorită vibrațiilor termice tot mai intense, astfel încât la temperatura camerei un semiconductor poate să conducă curentul electric destul de bine. Electronii deveniți liberi lasă în urmă sarcini pozitive, numite goluri, atașate atomilor. Atomii pot schimba între ei aceste goluri. Astfel, pe lingă electroni, și golurile participă la conducție. Electronii și golurile au mobilități diferite, un tip de purtător de sarcină putând determina conducția mai mult decât celălalt. Semiconductorii cu structură și compoziție omogenă se numesc semiconductori intrinseci; exemple de acest tip ar fi semiconductorii compuși din siliciu (Si) sau germaniu (Ge). Un semiconductor intrinsec poate fi impurificat (dopat) cu cantități mici ale unor elemente chimice care fie cedează, fie acceptă ușor electroni și în acest mod conducția electrică a semiconductorului se poate modifica mult. Un semiconductor dopat cu impurități se numește semiconductor extrinsec. Dacă impuritățile cedează ușor electroni (impurități donoare), atunci electronii (purtătorii de sarcină negativi) vor participa preponderent la conducție și se obține un semiconductor de tip n. Dacă impuritățile acceptă ușor electroni (impurități acceptoare), atunci golurile (purtătorii de sarcină pozitivi) participă preponderent la conducție și se obține un semiconductor de tip p. Există și materiale conductoare în care atât electronii cât și ionii sunt mobili și participă la conducție. Astfel de materiale sunt soluțiile electrolitice sau gazele ionizate (plasma). 69

70 Rezistența electrică a unui conductor nu este în general constantă, ci variază cu temperatura conductorului. Pentru metale rezistivitatea electrică variază aproximativ liniar pentru variații mici de temperatură, după formula: ρ(t ) = ρ 0 [1 + α (T T 0 )], (3.34) unde T 0 este o temperatură de referință, de exemplu T 0 = 273, 15 K (0 C), ρ 0 = ρ(t 0 ) este rezistivitatea la temperatura T 0 și α este un parametru de material numit coeficient termic al rezistivității. Pentru metale α > 0 astfel încât rezistivitatea crește odată cu temperatura. Rezistența electrică variază cu temperatura în mod analog: R(T ) = R 0 [1 + α (T T 0 )], (3.35) unde R 0 = R(T 0 ). În cazul semiconductorilor rezistivitatea variază mult mai puternic cu temperatura și poate să scadă când temperatura crește. 3.3 Câmpul magnetic S-a constatat experimental că un curent electric constant în timp produce un câmp magnetic, care este și el constant în timp. Câmpul magnetic astfel generat înconjoară curentul electric care îl generează (fig. 3.13). Invers, un câmp magnetic acționează cu o forță asupra unui conductor parcurs de un curent electric. Câmpul magnetic este măsurat prin inducția câmpului magnetic B. Unitatea sa de măsură este Tesla (T): [B] SI = 1 T. O altă mărime folosită este intensitatea câmpului magnetic H, cu unitatea de măsură [H] SI = 1 A/m (Amper/metru). Între aceste mărimi există relația de legătură pentru un mediu liniar: B = µ H, (3.36) unde µ este o proprietate de material numită permeabilitate magnetică. Pentru vid µ = µ 0 = 4π 10 7 H/m 1, H/m (Henry pe metru). Pentru un material oarecare µ = µ 0 µ r, unde µ r este permeabilitatea magnetică relativă a materialului. Legea lui Ampère Dacă considerăm un contur închis C care înconjoară mai mulți curenți cu intensitățile I i, atunci câmpul magnetic generat de aceștia are proprietatea: B d l = µ I i = µi int. (3.37) C Aceasta reprezintă legea lui Ampère. Integrala este marcată cu un cerc (integrală circulară) deoarece domeniul de integrare (conturul C) este închis. Curentul total care trece prin interiorul curbei C este I int = i I i. Se observă că câmpul magnetic generat este cu atât mai intens cu cât permeabilitatea magnetică a materialului este mai mare. Materiale cu permeabilități magnetice mari sunt feromagneții, din care se fac miezurile electromagneților și ai transformatoarelor. 70 i

71 Figura 3.13: Legea lui Ampère pentru un conductor liniar de lungime infinită. Exemplul 28. Câmpul magnetic produs de un fir conductor Dacă considerăm un conductor liniar, cu diametru foarte mic și lungimea foarte mare, practic infinită, parcurs de un curent de intensitate I, liniile câmpului magnetic generat de acesta sunt cercuri în jurul conductorului (fig. 3.13). Dacă alegem conturul C ca un cerc de rază r cu centrul pe conductor, atunci B este tangent la cerc și sensul său este dat de regula burghiului drept care se deplasează în sensul curentului. Dacă I iese din planul cercului atunci B este orientat în sens trigonometric și B d l = B dl; mai mult, B = const. pe C. Atunci din legea lui Ampère se obține: B d l = B dl = B 2πr = µi, C de unde se obține câmpul magnetic la distanța r de conductor: Exemplul 29. Câmpul magnetic produs de o bobină C B(r) = µi 2πr. (3.38) Figura 3.14: Legea lui Ampère pentru o bobină. 71

72 Considerăm o bobină de lungime L foarte mare, practic infinită, formată din N spire cu diametrul mult mai mic decât L, parcurse de un curent de intensitate I. În aceste condiții câmpul magnetic produs de bobină este aproximativ constant în interiorul bobinei (B = const.) și liniile de câmp merg de-a lungul lui L, sensul câmpului fiind dat de regula burghiului drept (regula mâinii drepte), considerând rotația curentului I pe spire. Liniile de câmp ies din bobină și apoi se întorc în capătul opus al acesteia, închizându-se. Dacă L atunci liniile de câmp în exteriorul bobinei se situează practic la o distanță infinită de aceasta, putându-se astfel considera că în exteriorul bobinei și în apropierea sa B = 0. Ca să determinăm pe B în interiorul bobinei alegem un contur de formă dreptunghiulară ABCD ca în fig Pe acesta alegem un sens pozitiv de parcurgere, orientat astfel încât în interiorul bobinei să coincidă cu sensul câmpului magnetic. Atunci: ˆ B ˆ C ˆ D ˆ A B d l = B d l + B d l + B d l + B d l = ABCD = A ˆ B A B dl + B ˆ C B 0 dl + ˆ D C C 0 dl + ˆ A D D 0 dl = B L, deoarece pe AB B este orientat în sensul conturului și constant, pe CD B = 0, iar pe BC și DA B d l, deci B d l = 0. Curentul total care trece prin interiorul conturului ABCD este I int = N I, deoarece curentul I traversează conturul pentru fiecare spiră. Se obține din legea lui Ampère: B L = µni, B = µni L. (3.39) Aceasta este formula câmpului magnetic produs de o bobină în interiorul său. Fluxul câmpului magnetic. Legea lui Faraday Se definește fluxul câmpului magnetic printr-o suprafață S: Φ B = B d S. (3.40) S Acesta este o măsură a numărului de linii de câmp magnetic care traversează suprafața S. Unitatea sa de măsură este [Φ B ] SI = 1 T m 2 = 1 Wb (Weber). Dacă fluxul câmpului magnetic care trece printr-o spiră dintr-un material conductor variază în timp atunci se constată apariția unei tensiuni electromotoare în spiră, dată de legea lui Faraday a inducției electromagnetice: U = dφ B dt. (3.41) În această relație semnul minus arată că tensiunea indusă în spiră se opune variației fluxului câmpului magnetic prin spiră (regula lui Lenz). Așadar, tensiunea indusă dă un curent indus în spiră, care la rândul lui generează un câmp magnetic indus; câmpul magnetic indus produce un flux magnetic care are semnul opus semnului vitezei de variație a fluxului câmpului magnetic inițial dφ B dt. 72

73 Exemplul 30. Tensiunea indusă într-o bobină Considerăm o bobină formată din N spire, cu suprafața miezului S, prin care trece un câmp magnetic B(t) = β t, unde β = const. (fig. 3.15). Calculăm tensiunea indusă în bobină. Fluxul câmpului magnetic printr-o spiră a bobinei este: Φ B1 spira = B d S = BdS = BS = βst. Fluxul magnetic total prin bobină este: S Φ Btotal = NΦ B1 spira = NβSt. Potrivit legii lui Faraday, câmpul magnetic variabil va induce în bobină o tensiune: U = dφ B total dt S = NβS. (3.42) Se observă că tensiunea indusă este cu atât mai mare cu cât bobina are mai multe spire și coeficientul β (viteza de variație a câmpului magnetic) este mai mare. Figura 3.15: Bobină cu N spire într-un câmp magnetic variabil în timp. Exemplul 31. Considerăm cazul din fig. 3.15, dar de data aceasta câmpul magnetic variază sinusoidal în timp: B(t) = B 0 sin(ωt), unde ω = 2πν, ν fiind frecvența câmpului magnetic. Calculăm tensiunea indusă în bobină. Fluxul magnetic total prin bobină este acum: Φ Btotal = NΦ B1 spira = NBS = NB 0 S sin(ωt). Tensiunea indusă este: U = dφ B total dt = NB 0 Sω cos(ωt) = 2πNB 0 Sν cos(ωt). (3.43) 73

74 Tensiunea indusă este cu atât mai mare cu cât bobina are mai multe spire și frecvența câmpului magnetic este mai mare. Fenomenul de inducție electromagnetică este folosit în transformatoarele electrice pentru ridicarea sau coborârea tensiunii la transportul energiei electrice printr-o retea de transport și apoi la utilizarea sa. 3.4 Câmpul electromagnetic. Unde electromagnetice Se observă că câmpul electromagnetic este generat de sarcini electrostatice cu densitatea ρ și de curenți electrici cu densitatea j. Se pune problema dacă câmpul electromagnetic poate exista în absența sarcinilor și a curenților electrici. Acest fapt este posibil datorită legilor inducției electromagnetice, care arată că un câmp electric variabil generează un câmp magnetic variabil, care la rândul lui generează un câmp electric variabil și așa mai departe, obținându-se o undă electromagnetică. Așadar câmpul electromagnetic se poate propaga sub formă de unde electromagnetice. Viteza de propagare c a undelor electromagnetice în vid este: c = 1 ε0 µ 0. (3.44) Valoarea sa numerică este c = 2, m/s m/s, care este chiar viteza luminii în vid. Într-un alt mediu cu parametrii ε r, µ r viteza de propagare a undelor electromagnetice este: v = 1 εµ = 1 ε0 ε r µ 0 µ r = c εr µ r = c n, (3.45) unde n reprezintă indicele de refracție al mediului respectiv în raport cu vidul: n = c v = ε r µ r. (3.46) Pentru cazul când undele electromagnetice se propagă doar pe direcția Ox, acestea sunt unde plane cu ecuațiile: E (t, x) = E 0 cos (ωt kx), (3.47) B (t, x) = B 0 cos (ωt kx). (3.48) Viteza unghiulară ω = 2πν = 2π/T și numărul de undă k = 2π/λ ale undei, unde ν este frecvența, T = 1/ν perioada și λ lungimea de undă a undei, sunt legate prin relația: c = ω k = λ T = λν. (3.49) Undele electromagnetice reprezintă unde transversale ( E și B sunt perpendiculari pe direcția de propagare). Mai mult, E și B sunt perpendiculari unul pe altul și oscilează în fază (fig. 3.16). 74

75 Figura 3.16: O undă electromagnetică. Exemplul 32. O undă electromagnetică are câmpul electric: E (t, x) = 100 cos ( 6π 10 8 t 2πx ) V/m. Să se determine perioada, frecvența, lungimea de undă și viteza de propagare a undei. Deoarece E = E (t, x) rezultă că unda se propagă de-a lungul axei Ox. Identificând termenii din formula generală: E (t, x) = E 0 cos (ωt kx) se obține pulsația ω = 6π 10 8 rad/s, de unde frecvența ν = ω/(2π), ν = Hz; perioada: T = 1/ν, T = 3, s; numărul de undă: k = 2π 1/m, de unde lungimea de undă λ = 2π/k, λ = 1 m. Unda se deplasează cu viteza c = λν, c = m/s, deci se deplasează în vid. 75