MECANICA CINEMATICA. Cinematica lucrează cu noţiunile de spaţiu, timp, şi derivatele lor viteză şi acceleraţie.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "MECANICA CINEMATICA. Cinematica lucrează cu noţiunile de spaţiu, timp, şi derivatele lor viteză şi acceleraţie."

Transcript

1 unde cos(a,b) este cosinusul unghiului dintre cei doi vectori a şi b, iar a şi b sunt modulele vectorilor a şi b. Fiindcă cos(π/)=0, produsele i j, j k şi k i sunt nule, iar produsele i i, j j şi k k sunt egale cu 1 fiindcă cos0=1. MECANICA CINEMATICA Cinematica lucrează cu noţiunile de spaţiu, timp, şi derivatele lor viteză şi acceleraţie. Traiectoria şi Vectorul de Poziţie Mişcarea unui punct material este determinată atunci când poziţia lui este cunoscută în funcţie de timp. Prin mişcarea sa punctul material P descrie o curbă ce constituie traiectoria mobilului. Dacă poziţia punctului material este determinată faţă de un punct fix O (în general locul unde se află observatorul) mărimea fizică implicată este vectorul de poziţie, r(t), un vector cu originea în punctul O şi vârful în P unde se găseşte mobilul la momentul respectiv. Dacă ataşăm punctului O un sistem de coordonate Oxyz, ortogonal, atunci putem exprima vectorul de poziţie sub forma: r(t) = i x(t) + j y(t) + k z(t) (1) unde coordonatele punctului material sunt funcţii de timp, iar i, j, k sunt versorii (vectorii unitate) ai celor 3 axe de coordonate. Coordonatele punctului material pot fi aflate ca produs scalar între vectorul de poziţie r(t) şi versorii axelor: x(t) = r(t) i, y(t) = r(t) j, z(t) = r(t) k, ţinând cont de definiţia produsului scalar a doi vectori: a b = a b cos(a,b) Viteza Viteza mobilului, definită ca raportul între spaţiul parcurs şi intervalul de timp în care a fost parcurs acest spaţiu, devine la limita unui interval de timp infinit mic, derivata razei vectoare funcţie de timp: v(t) = dr /dt = i v x + j v y + k v z [v] SI = m/s () Cunoscând componentele vitezei într-un sistem de coordonate rectangular putem calcula modulul vitezei după relaţia: v = (v x + v y +v z ) 1/ (3) datorită faptului că vectorul respectiv este diagonala în paralelipipedul format de cele trei componente.

2 Acceleraţia Se poate defini acceleraţia mobilului ca raport între variaţia vitezei şi intervalul de timp în care a avut loc această variaţie. Ca acceleraţie instantanee, ea este derivata vitezei funcţie de timp: a(t) = dv/dt [a] SI = m/s (4) Dacă scriem viteza ca un produs între modulul său şi versorul vitezei b atunci acceleraţia va fi: a = d(v b)/dt = b dv/dt + v db/dt (5) Primul termen reprezintă acceleraţia datorată modificării vitezei ca valoare, iar al doilea termen este acceleraţia datorată modificării direcţiei vitezei.ţinând cont că b este un vector unitate, adică: derivând expresia (6) avem: b b = b = 1 (6) b db/dt = 0 (7) ceea ce ne spune că vectorul db/dt este perpendicular pe vectorul b. El va putea fi scris ca: db/dt = c db/dt (8) unde c este versorul direcţiei perpendiculare pe direcţia lui b. Ţinând cont că: db = b dα = dα (9) unde α este unghiul cu care se roteşte b, atunci spaţiul parcurs este: ds = R dα (10) unde R este raza de curbură a traiectoriei. De aici găsim că: iar relaţia (5) devine: db/dt = dα/dt = (1/R) (ds/dt) = v/r (11) a = dv/dt = b dv/dt + c v /R (1) unde primul termen este acceleraţia tangenţială, iar al doilea termen este acceleraţia normală (perpendiculară pe direcţia de mers). Legături Cunoscând acceleraţia unui corp, prin integrare funcţie de timp a acesteia obţinem viteza corpului: v(t) = a dt (13) De exemlu pentru mişcarea uniform variată (acceleraţie constantă a) avem: v(t)=at + v 0, unde v 0 este viteza iniţială a corpului (la t=0s). Cunoscând viteza unui corp putem determina legea sa de mişcare (legea spaţiului) prin integrarea vitezei după timp: s(t) = v dt (14) De exemlu pentru mişcarea uniformă (viteza este constantă) avem: s(t) = vt + s 0, unde s 0 este spaţiul iniţial (poziţia corpului la momentul t=0). Pentru mişcarea uniform variată (acceleraţie constantă a), integrând după timp legea vitezei deja determinată, după avem următoarea lege a spaţiului: s(t) = at /+v 0 t + s 0. Scoţând timpul din legea vitezei: t=(v v 0 )/a şi înlocuindu-l în legea spaţiului: s=a(v v 0 ) /(a )+v 0 (v v 0 )/a+s 0. obţinem o legătură directă între poziţia corpului şi viteza sa, legea lui Galilei:

3 v² = v 0 ² +a(s s 0 ) Exemple Cea mai mare viteză cunoscută este viteza luminii c= m/s (300'000 km/s). Ştiind distanţa de la Pământ la Lună d Lună-Pământ = 384'400 km =3, m, să se afle în cât timp ajunge la Lună un semnal luminos emis de pe Pământ. t Lună-Pământ = d Lună-Pământ /c = 1,81 s Ştiind distanţa de la Pământ la Soare d Pământ-Soare =1, km 1, m, putem afla după cât timp fotonul emis de Soare ajunge pe Pământ: Alte date astronomice: raza Lunii t Soare -Pământ = d Pământ-Soare /c = 500 s = 8,3 min. raza Pământului raza Soarelui R L = km R P = 6380 km = m R S = 695,508 km = 6, m Cunoscând timpul de reacţie al unui om, ~0.s, putem afla ce spaţiu parcurge un automobil ce are viteza de 7 km/h până când omul începe să frâneze: s=vt = 7 km/h 0.s = 0m/s 0,s=4m şi ce spaţiu parcurge un obiect în cădere liberă (v 0 =0m/s, g=9,81m/ s²) în acest timp: s=gt²/= 9,81 0,04/ = 0,196 m. Aruncări (descompunerea mişcării) Aflaţi viteza şi unghiul aruncării oblice pentru a atinge h max =10m la x=10m de origine. Din legea Galilei v 0y =(g h max ) 1/ =14,1 m/s, t u = v 0y /g=1.41s, v 0x =x/ t u =10/1.41=7.09 m/s, v=(v 0x + v 0y ) 1/ =15.8 m/s, tgα= v 0y /v 0x.= 1.99 [63.3 ] Mişcarea circulară uniformă Mişcarea circulară uniformă se caracterizează prin: 1. traiectoria corpului este un cerc (corpul este mereu la aceeaşi distanţă faţă de un punct O, centrul cercului, uzual ales ca origine a sistemului de coordonate);. corpul parcurge spaţii egale în intervale de timp egale (are o viteză constantă în modul), respectiv unghiurile măturate de raza vectoare în intervale de timp egale sunt egale (are o viteză unghiulară constantă). Noţiunile de bază cu care se lucrează sunt: - perioada, T, măsurată în secunde: timpul necesar corpului pentru a parcurge circumferinţa cercului (πr); - frecvenţa, f sau ν (litera grecească "niu"), măsurată în Hertz-i (Hz=1/secundă): numărul de rotaţii efectuate în unitatea de timp; - viteza unghiulară, ω (litera grecească "omega"), măsurată în radiani/secundă: unghiul parcurs în unitatea de timp. Relaţiile dintre mărimi sunt: f = 1/T ω=dα/dt=π/t=πf, => α=ωt v=dr/dt= ω r. (v=rdα/dt=rω) Produsul vectorial dintre viteza unghiulară (vector perpendicular pe planul cercului) şi vectorul de poziţie (cu punctul de aplicaţie în centrul cercului) ne dă vectorul viteză. Produsul vectorial a doi vectori a şi b este un vector c, cu modulul dat de relaţia: c=ab sin(a,b) unde (a,b) este unghiul dintre vectori, direcţia lui c este perpendiculară pe planul format de vectorii a şi b, iar sensul este

4 dat regula şurubului drept: rotind primul vector peste cel de-al doilea, pe drumul cel mai scurt, obţinem sensul de deplasare. Viteza corpului pe traiectoria circulară este constantă în modul, dar se modifică ca direcţie şi din această cauză corpul suferă o acceleraţie a: a = dv/dt=ω v=ω (ω r). (a=ω R) Acceleraţia este perpendiculară pe viteză, având aceeaşi direcţie cu raza, dar sensul către centrul cercului şi de accea se numeşte acceleraţie centripetă. Pornind de la coordonatele corpului: r=xi+yj, prin derivare obţinem viteza: v=v x i+v y j, care derivată după timp ne dă acceleraţia: unde: x=r cos(ωt), y=r sin(ωt), unde: v x = ωr sin(ωt), v y =ωr cos(ωt), a=a x i+a y j, unde: a x = ω R cos(ωt), a y = ω R sin(ωt). Fiindcă produsul scalar a doi vectori perpendiculari este zero, se poate arăta prin calcul direct că v_ _r. şi a_ _v, deci a r. Exemple Calculează viteza suprafeţei Pământului. Raza pământului este: R P = 6380 km = m Perioada de rotaţie în jurul propriei axe este: T=4h=4h 60min/h 60sec/min=86, s, Viteza unui corp aflat pe suprafaţa Pământului (la Ecuator) va fi: v=πr/t= , /86, = = 465 m/s = 1675 km/h Calculaţi acceaşi viteză pentru latitudinea de 45. Acceleraţia centripetă va fi neglijabilă faţă de acceleraţia gravitaţională: a=ωv =πv/t= /86, = m/s. În mod similar putem calcula viteza Pământului în jurul Soarelui, ştiind distanţa Soare-Pământ R SP = 1, m, şi perioada de rotaţie T=1 an= , s = 31' s= 3, s: v=πr SP /T= m/s = 1, km/h = 108'000 km/h

5 DINAMICA Dinamica studiază cauzele mişcării, iar noţiunile ei de bază sunt forţa, lucrul mecanic, energia. La baza dinamicii stau cele 4 legi ale dinamicii, care descriu comportarea corpurilor într-un sistem de referinţă inerţial. Legile dinamicii (Newton) Prima lege a mecanicii sau legea inerţiei "Un punct material este în repaus sau se mişcă pe o traiectorie rectilinie cu viteză constantă dacă asupra sa nu acţionează alte corpuri din exterior." Sistemele de referinţă în care se verifică această afirmaţie se numesc sisteme de referinţă inerţiale. Această lege se poate enunţa cu ajutorul noţiunii de impuls în felul următor: "În absenţa oricărei forţe, impulsul corpului rămâne constant". Legea inerţiei este deci o lege de conservare a impulsului. Impulsul unui corp este produsul dintre masa corpului şi viteza sa: p = m v [p] SI = kg m/s (1) A doua lege a mecanicii sau legea forţei devine: "Derivata impulsului în raport cu timpul este egală cu forţa ce acţionează asupra corpului." F = dp/dt [F] SI = kg m/s = N (Newton) () În cazul în care masa este constantă ca funcţie de viteză (mecanica clasică) atunci (16) devine: F = m a (3) Astfel a doua lege a dinamicii, legea lui Newton, devine: "O forţă acţionând asupra unui corp îi imprimă o acceleraţie direct proporţională cu forţa şi invers proporţională cu masa acestuia." A treia lege a mecanicii sau legea egalităţii acţiunilor reciproce "Forţa cu care acţionează un corp A asupra corpului B este egală în modul şi de sens contrar forţei cu care acţionează corpul B asupra corpului A." A patra lege a mecanicii sau legea superpoziţiei forţelor "Fiecare din forţele aplicate asupra unui corp acţionează independent de existenţa celorlalte forţe." O consecinţă importantă a acestei legi este că putem studia mişcarea corpului ca şi cum asupra sa ar acţiona o singură forţă, forţa rezultată prin compunerea tuturor forţelor ce acţionează asupra corpului. Exemple Mişcarea orizontală cu frecare. Un corp cu masa m=1000 kg se mişcă pe o suprafaţă orizontală cu coeficientul de frecare μ=0,1 şi are viteza iniţială de v o = 7km/h (0m/s). Ştiind acceleraţia gravitaţională, g= 9,81 m/s, aflaţi acceleraţia corpului şi spaţiul parcurs până la oprire. Corpul prin greutatea sa G=mg acţionează asupra suprafeţei pe care se mişcă, iar aceasta reacţionează cu o forţă egală în modul, dar de sens contrar (L3 a acţiunii şi reacţiunii): N=G=mg (N= G _ _ pe suprafaţa de sprijin) Din această cauză pe direcţia verticală suma forţelor care acţionează asupra corpului este zero (N+G=0) şi implicit acceleraţia pe această direcţie va fi zero (L a forţei). Pe direcţia orizontală va acţiona doar forţa de frânare: F r = μn=μmg în sens opus deplasării (vitezei). Atunci putem calcula acceleraţia corpului din legea a doua a dinamicii: a = F/m = μmg/m = μg Putem acum să scriem legea vitezei şi a spaţiului: v(t)=v o μgt s(t)= v o t μgt /

6 şi apoi să calculăm timpul până la oprire: v=0 => v o μgt=0 => t o = v o /(μg) şi spaţiul parcurs până la oprire: s(t o )=s o = v o ²/(μg) Aceste relaţii sunt utile în studiul sistemului de frânare de la automobile ABS-Antilock Braking Systems. Sistemul se bazează pe diferenţa dintre coeficienţii de frecare statici (fără alunecare) şi cei cinetici (cu alunecare). Tabel pentru coeficienţii de frecare statici (μ s ) şi cinetici (μ c ) Suprafeţe în contact µ s µ c Metal pe metal (lubrifiat) Oţel pe oţel Cauciuc pe beton uscat 1.0 (0.9) 0.8 (0.7) Sticlă pe sticlă Teflon pe teflon Grafit pe grafit Os pe os (uscat) Articulaţii umane (lubrifiate) Pentru cazul automobilelor, suprafeţele în contact sunt cauciucul anvelopelor şi betonul şoselei. Coeficientul de frecare static este µ s =1, iar cel cinematic este µ c =µ s 0.=0,8. Dacă la frânare roţile nu alunecă atunci spaţiul de frânare este: s'= v o ²/( µ s g) 0²/( 1 10)=0m (v o =7km/h=0m/s) Dacă la frânare roţile alunecă atunci spaţiul de frânare este: s"=v o ²/( µ c g) 0²/( )=5m (v o =7km/h) Folosind sistemul ABS se scurtează cu s" s'=5m spaţiul de frânare, la viteza de 7km/h. Dacă viteza iniţială se dublează (v o = 144 km/h), atunci spaţiile de frânare cresc de 4 ori (~v 0 ²), inclusiv scurtarea spaţiului de frânare creşte de 4 ori (s" s'= 0m)! Forţă de frânare proporţională cu viteza (F r = kv) Un corp este acţionat de o forţă constantă (forţa de greutate) G=mg şi o forţă de frânare F r = kv proporţională cu viteza. Găsiţi legea vitezei şi a spaţiului. Aplicăm legea forţei: ma = mg kv => dv/dt = g v k/m = (k/m)[(mg/k) v] Separăm variabilele "v" şi "t" şi integrăm: dv/[(mg/k) v]= (k/m) dt => ln[(mg/k) v] + lnc = (k/m) t Punând condiţia iniţială v = 0 la t = 0, avem lnc = ln(mg/k) de unde: sau exponenţiind avem: ln{[(mg/k) v]/(mg/k)} = t(k/m) [(mg/k) v]/(mg/k) = e t k/ m v (t) = (mg/k)(1 e t k / m ) Notând v' = mg/k şi τ=m/k relaţia vitezei devine: v (t) = v' (1 e t /τ ) Ştiind că: e 1 = 0,3678; 1 e 1 = 0,63= 63% e = 0,135 ; 1 e = 0,864= 86 % e 3 = 0,0498; 1 e 3 = 0,950= 95 % e 4 = 0,018 ; 1 e 4 = 0,98= 98 % tragem concluzia că după 3 constante de timp τ, mobilul atinge practic viteza sa limită v', mişcându-se în continuare uniform. Frânarea proporţională cu viteza este caracteristică mişcării corpurilor cu viteză mică în fluide vâscoase. Forţa de frânare a

7 unei sfere de rază r şi densitate ρ, care se mişcă cu viteza v, într-un fluid de densitate ρ' şi coeficient de vâscozitate η ([η] SI = kg/ (s m)) este : f = 6 π η r v (legea lui Stokes) La limită, când sfera se mişcă uniform sub acţiunea forţei de greutate, a forţei arhimedice orientată în sens contrar greutăţii şi a forţei de frânare, avem egalitatea: 6 π η r v' = (4/3) π r 3 g (ρ ρ') din care putem deduce coeficientul de vâscozitate măsurând viteza limită v'. Forţă de frânare proporţională cu pătratul vitezei (F r = kv ) Un corp este acţionat de o forţă constantă (forţa de greutate) G = mg şi o forţă de frânare F r = kv proporţională cu pătratul vitezei. Găsiţi legea vitezei şi a spaţiului. Aplicăm legea forţei: ma = mg kv => a (m/k) = (mg/k) v Notăm viteza maximă a corpului când a=0 cu v': de unde: mg/k = v', Separăm variabilele v şi t: (dv/dt) (m/k) = v' v = (v' v)(v' + v) => dv/[(v' v)(v' + v)] = (k/m) dt şi ţinând cont că : putem scrie că: 1/[(v' v)(v'+v)]=(1/v')[1/(v' v)+1/(v'+v)] dv/(v' v) + dv/(v' +v) = dt (v'k/m) Introducem notaţia τ pentru constanta de timp caracteristică mişcării: avem: τ = m/(v'k) = (1/) [m/(k g)] 1/ dv/(v' v) + dv/(v' + v) = dt /τ După integrare cu condiţia iniţială v = 0 la t = 0, avem: ln[(v' + v)/(v' v)] = t/τ de unde exponenţiind avem: => (v' + v)/(v' - v) = e t / τ Rearanjând obţinem: => v(t) = v' (e t / τ 1)/( e t / τ + 1) sau după amplificare cu e t / τ => v(t) = v' (1 e t / τ )/(1+e t / τ ) Această relaţie pentru viteză este similară cu cea de la problema anterioară, implicit comportarea mobilului va avea similitudini cu mişcarea sub acţiunea frânării proporţionale cu viteza. Ştiind că: e 1 = 0,368 ; 1 e 1 = 0,63= 63% ; 1+ e 1 = 1,3678 e = 0,135 ; 1 e = 0,864= 86% ; 1+ e = 1,135 e 3 = 0,049 ; 1 e 3 = 0,950= 95% ; 1+ e 3 = 1,049 e 4 = 0,018 ; 1 e 4 = 0,98= 98% ; 1+ e 4 = 1,018 similar cu problema precedentă tragem concluzia că după 3 constante de timp τ, mobilul atinge practic viteza sa limită v', mişcându-se în continuare uniform. Acestă forţă de frânare este caracteristică mişcării obiectelor cu viteză mare într-un fluid, de exemplu autovehiculele în aer şi avioanele. Presiunea dinamică ce acţionează asupra secţiunii mobilului, transversale pe direcţia de curgere a fluidului: unde: p din = ρ v / ρ densitatea fluidului, 1,9 kg/m 3 pentru aer la 0 C, v viteza relativă fluid-solid,

8 crează forţa de frânare: F r = K S ρ v / unde S este secţiunea mobilului transversală (perpendiculară) pe direcţia de curgere, iar K este coeficientul aerodinamic ce depinde de forma obiectului: K = 1, => ) semisferă concavă K = 1 => plan K = 0,4 => O sferă K = 0,3 => ( semisferă convexă K = 0, => < "glonţ" K = 0,04 => > "picătură", profil aripă de avion Mişcarea circulară în câmp gravitaţional Forţa care menţine corpul pe o traiectorie circulară este: F=m a cp = m v²/r Un sistem de referinţă legat de corpul care se mişcă uniform pe o traiectorie circulară este un sistem de referinţă neinerţial. Adică asupra unui corp de masă m acţionează forţa de inerţie "m a cf ", unde a cf este acceleraţia centrifugă, egală în modul dar de sens contrar cu acceleraţia centripetă: a cf = a cp = ω²r = v²/r În sistemul neinerţial propriu al corpului acesta este în echilibru, fiindcă asupra sa acţionează forţa centripetă care este echilibrată de forţa centrifugă. Forţa centripetă are un suport fizic, este tensiunea din fir (piatră pe care o rotim) sau forţa gravitaţională (satelit în jurul Pământului) sau forţa coulombiană (electron rotindu-se în jurul nucleului). Forţa centrifugă se manifestă doar în sistemul de referinţă neinerţial. Viteza şi altitudinea unui satelit geostaţionar. În cazul unui satelit care gravitează în jurul Pământului se echilibrează forţa de atracţie gravitaţională: unde: F= KMm/r. K = N m /kg. constanta gravitaţională M P = kg masa Pământului r = poziţia satelitului faţă de centrul Pământului m =masa satelitului. cu forţa centrifugă (inerţială) F cf = mv /r = mω r = m(π/t) r unde T este perioada mişcării, care pentru un satelit geostaţionar este T=4h=8, s. KMm/r = m(π/t) r => r = [KMT /(4π )] 1/3 = =[ , /(39,4)] 1/3 = =[75, ] 1/3.=> r=4, m Faţă de suprafaţa Pământului, poziţia satelitului geostaţionar va fi: H=r R p =4, m=35, m = 35'930 km Aflaţi perioda de revoluţie şi viteza unui satelit care gravitează la 100 km deasupra suprafeţei Pământului. Lucrul mecanic şi Puterea Lucrul mecanic elementar este produsul scalar între forţă şi deplasarea elementară a punctului de aplicaţie a forţei: dl = F dr = F ds cosα [L] SI =N m= J (Joule) (1) Unitatea de măsură pentru lucrul mecanic este Joule-ul, J. Lucrul mecanic total este integrala forţei pe traiectoria descrisă de punctul material : L = F ds ()

9 Puterea este raportul dintre lucrul mecanic efectuat şi intervalul de timp în care a fost efectuat. La limita intervalelor de timp foarte mici puterea instantanee este derivata lucrului mecanic: P = dl/dt [P] SI =J/s= W (3) Unitatea de măsură pentru putere este Watt-ul, W. Ţinând cont că: dl= F ds, putem rescrie relaţia (0) pentru putere ca: P= F ds/dt = F v. o relaţie foarte utilă în multe aplicaţii. Această expresie ne spune că forţa de tracţiune generată de motorul unui automobil este invers proporţională cu viteza instantanee a automobilului. Cu alte cuvinte capacitatea de a accelera a automobilului scade puternic la viteze mari! Energia Energia cinetică Folosindu-ne de relaţia (18) pentru lucrul mecanic elementar şi de legea forţei (17) putem scrie: dl = F dr = m (dv/dt) dr = m (dr/dt) dv = m v dv = d(mv /) care prin integrare devine teorema variaţiei energiei cinetice prin relaţia: L = E C = mv / mv 1 / (4) unde energia cinetică a corpului este expresia: E C = mv / [E c ] SI =J (5) Energia cinetică a unui corp măsoară lucrul mecanic acumulat de acel corp sub formă de mişcare datorită acţiunii forţelor exterioare. Unitatea de măsură pentru energie este aceeaşi cu cea a lucrului mecanic, Joule. Exemple 1. Plecând din repaus, automobilul de masă "m" se mişcă fără frecare sub acţiunea motorului care furnizează puterea constantă "P". Găsiţi legea vitezei. L= P t mv / 0 = P t=> v = (Pt/m) 1/.. Acţionează în plus o forţă rezistentă F r constantă. Ştiind că P = F v, legea forţei devine: m dv/dt = (P/v) F r => (m/f r ) v dv/[(p/f r ) v] = dt => (m/f r )[ 1+(P/F r )/( v + P/F r )] dv = dt Integrând avem t = (m/f r ){ v (P/F r ) ln[( v+p/f r )/(P/F r )]} =>Nu există formulă explicită pentru v(t)! Din ecuaţia iniţială pentru forţă vedem că acceleraţia scade cu creşterea vitezei, anulându-se pentru viteza limită v' =P/F r. Energia potenţială Câteva tipuri de forţe sunt mult utilizate în modelarea fenomenelor fizice. Aici alături de noţiunea de energie cinetică, apare noţiunea de energie potenţială. Energia potenţială a unui corp măsoară lucrul mecanic acumulat de acel corp datorită modificării poziţiei sale sau a părţilor sale unele faţă de altele sub acţiunea forţelor exterioare. Lucrul mecanic al forţei gravitaţionale de la suprafaţa Pământului G=mg L= mg dh = mg (h final h iniţial ) Ridicând un corp de masă m de la nivelul H=0 la înălţimea "h" efectuăm un lucru mecanic: L=mgh (6) împotriva forţei gravitaţionale, lucru mecanic care este accumulat de corp sub formă de energie potenţială. Lucrul mecanic al forţei gravitaţionale F = K m 1 m /r :

10 L= (K m 1 m /r ) dr =(K m 1 m ) (1/r ) dr L = (K m 1 m ) ( 1/r) 1 = (K m 1 m )/r 1 (K m 1 m )/r V(r) = (Km)/r =>potenţial gravitaţional F = m dv/dr = m gradv = m V => forţă potenţială. unde gradientul potenţialului este dat de relaţia: gradv = V = i dv/dx + j dv/dy + k dv/dz Lucrul mecanic al forţei elastice F = k x L = ( k x) dx = k x / 1 = k x 1 / + k x / W = k x / => energie potenţială elastică (7) Într-un câmp de forţe conservativ (forţe generate de un potenţial) lucrul mecanic al forţelor câmpului este egal cu variaţia energiei potenţiale cu semn schimbat: L = E P m g (h 1 h ) = m g h 1 m g h = E P1 E P. Dacă acest lucru mecanic se efectuează asupra unui corp, atunci variaţia energiei cinetice va fi: L = E C Aceste două relaţii scăzute ne dau: E C + E P = 0 care înseamnă:e C +E P =constant, adică suma dintre energia cinetică şi potenţială a sistemului rămâne constantă. Aceasta este tocmai legea conservării energiei mecanice. Probleme de mecanică 1. Din Cluj către Dej pleacă un automobil cu viteza v a = 54 km/h şi simultan din Dej către Cluj un biciclist cu viteza v b = 4km/h. La ce distanţă de Cluj se întâlnesc? (d Cj-Dj = 60km). Se aruncă vertical în sus cu v o =10m/s un corp. La ce înălţime ajunge? În cât timp? După cât timp ajunge din nou în origine? 3. Se aruncă oblic α=45 cu v o =18m/s un corp. Calculaţi h max şi distanţa maximă parcursă pe orizontală. 4. Mobil m=100kg alunecă plecând din repaus din vârful planului înclinat α=30, L=10m, µ=0,1. a. Ce viteză are la baza planului? b. Ce distanţă parcurge pe orizontală până la oprire? 5. Aruncăm de jos în sus pe plan înclinat α=30, un corp cu v o =1m/s. Ce distanţă parcurge pe plan până la oprire? (µ=0,1) 6. Un corp de masă m=3 kg, cade liber sub acţiunea greutăţii (g=9,81 m/s ). Aflaţi: a) legea spaţiului; b) legea vitezei; c) lucrul mecanic efectuat în primele 3s; d) puterea primită de corp ca funcţie de timp. 7. În cât timp accelerează un automobil cu masa 1000kg şi putere a motorului P=64CP (1CP=736W) de la v=0 la v=108km/h? [L= E C, P t=mv /] 8. Un corp se mişcă după legea vitezei: v=16 t 3 4 t + 5 m/s Aflaţi: a) legea spaţiului; b) legea acceleraţiei; c) legea forţei (m=kg); d) legea puterii. 9. Se dau masa automobilului m =1 000 kg, randamentul motorului r=0,5, puterea calorică a benzinei q=46 MJ/kg, densitatea benzinei d = 0,9 kg/l. Pornind din repaus automobilul accelerează timp de 10 s până la viteza maximă v = 36 km/h, apoi se mişcă uniform timp de 3 min., iar în final frânează timp de 10 s până la oprire. Neglijând frecările calculaţi: a) lucrul mecanic efectuat;

11 b) câţi litri de benzină consumă; c) lucrul mecanic efectuat şi câţi litri de benzină consumă dacă viteza maximă este 54 km/h, iar timpul cât se mişcă uniform min.; d) consumul zilnic de benzină pentru cele două variante dacă situaţia descrisă se repetă de 100 de ori pe zi; e) spaţiul parcurs zilnic în cele două variante. 10. Fir L=14m fixat în puncte aflate la distanţa L' =7m. De mijlocul firului atârnat corp m=80kg. Calculaţi forţele de reacţie din fir şi din punctele de capăt.

Lucrul mecanic şi energia mecanică.

Lucrul mecanic şi energia mecanică. ucrul mecanic şi energia mecanică. Valerica Baban UMC //05 Valerica Baban UMC ucrul mecanic Presupunem că avem o forţă care pune în mişcare un cărucior şi îl deplasează pe o distanţă d. ucrul mecanic al

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a IX-a, Lucrul mecanic. Energia

Clasa a IX-a, Lucrul mecanic. Energia 1. LUCRUL MECANIC 1.1. Un resort având constanta elastică k = 50Nm -1 este întins cu x = 0,1m de o forță exterioară. Ce lucru mecanic produce forța pentru deformarea resortului? 1.2. De un resort având

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul si energia mecanica

Lucrul si energia mecanica Lucrul si energia mecanica 1 Lucrul si energia mecanica I. Lucrul mecanic este produsul dintre forta si deplasare: Daca forta este constanta, atunci dl = F dr. L 1 = F r 1 cos α, unde r 1 este modulul

Διαβάστε περισσότερα

Dinamica. F = F 1 + F F n. si poarta denumirea de principiul suprapunerii fortelor.

Dinamica. F = F 1 + F F n. si poarta denumirea de principiul suprapunerii fortelor. Dinamica 1 Dinamica Masa Proprietatea corpului de a-si pastra starea de repaus sau de miscare rectilinie uniforma cand asupra lui nu actioneaza alte corpuri se numeste inertie Masura inertiei este masa

Διαβάστε περισσότερα

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 1. Noțiuni Generale. 1.1 Definiții

Capitolul 1. Noțiuni Generale. 1.1 Definiții Capitolul 1 Noțiuni Generale 1.1 Definiții Forța este acțiunea asupra unui corp care produce accelerația acestuia cu condiția ca asupra corpului să nu acționeze şi alte forțe de sens contrar primeia. Forța

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

5. Un camion a frânat pe o distanţă d= 75 m într-un timp t = 10 s. Care a fost viteza camionului înainte de frânare?

5. Un camion a frânat pe o distanţă d= 75 m într-un timp t = 10 s. Care a fost viteza camionului înainte de frânare? 1. Un mobil, mişcându-se cu acceleraţia a = 2,0 m/s 2, a parcurs distanţa d = 100 m în timpul t = 5,0 s. Care a fost viteza iniţială? 2. Ce distanţă a parcurs un automobil în timp ce viteza sa a crescut

Διαβάστε περισσότερα

II. Dinamica (2) Unde F și F sunt forța de acțiune respectiv de reacțiune, Fig. 1.

II. Dinamica (2) Unde F și F sunt forța de acțiune respectiv de reacțiune, Fig. 1. II. Dinamica 1. Principiile mecanicii clasice (sau principiile mecanicii newtoniene, sau principiile dinamicii). 1.1 Principiul I, (al inerției): Un corp își păstrează starea de repaus relativ sau de mișcare

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Optica geometricǎ. Formula de definiţie

Optica geometricǎ. Formula de definiţie Tabel recapitulativ al marimilor fizice învǎţate în clasa a IX-a Optica geometricǎ Nr. crt. Denumire Simbol Unitate de mǎsurǎ Formula de definiţie 1 Indicele de n adimensional n=c/v refracţie 2 Formula

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

1,4 cm. 1.Cum se schimbă deformaţia elastică ε = Δ l o. d) nu se schimbă.

1,4 cm. 1.Cum se schimbă deformaţia elastică ε = Δ l o. d) nu se schimbă. .Cum se schimbă deformaţia elastică ε = Δ l o a unei sîrme de oţel dacă mărim de n ori : a)sarcina, b)secţiunea, c) diametrul, d)lungimea? Răspuns: a) creşte de n ori, b) scade de n ori, c) scade de n,

Διαβάστε περισσότερα

1. Introducere in Fizică

1. Introducere in Fizică FIZICA se ocupă cu studiul proprietăţilor şi naturii materiei, a diferitelor forme de energie şi a metodelor prin care materia şi enegia interacţionează în lumea în care ne înconjoară.. Introducere in

Διαβάστε περισσότερα

EXAMEN DE FIZICĂ 2012 [1h] FIMM

EXAMEN DE FIZICĂ 2012 [1h] FIMM Alocare în medie 4 minute/subiect. Punctaj: 1/4 judecata, 1/4 formula finală, 1/4 rezultatul numeric, 1/4 aspectul. EXAMEN DE FIZICĂ 2012 [1h] IM 1. Un automobil cu dimensiunile H=1.5m, l=2m, L=4m, puterea

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Mecanica. Unde acustice. Seminar

Mecanica. Unde acustice. Seminar Mecanica. Unde acustice Seminar Notiuni de mecanica Domenii ale mecanicii Cinematica Studiul miscarii fara a lua in consideratie cauzele ei Corpul considerat un punct material (dimensiuni neglijabile comparativ

Διαβάστε περισσότερα

Brutus Demşoreanu. Mecanica analitică. - Note de curs -

Brutus Demşoreanu. Mecanica analitică. - Note de curs - Brutus Demşoreanu Mecanica analitică - Note de curs - TIMIŞOARA 2003 Tehnoredactarea în L A TEX 2ε aparţine autorului. Copyright c 2003, B. Demşoreanu Cuprins I Mecanica newtoniană 7 1 Elemente de cinematica

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2.1. Consideraţii generale Utilizarea automobilului constă în transportul pe drumuri al pasagerilor, încărcăturilor sau al utilajului special montat pe

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Capitolul II. Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Acest capitol are drept scop familiarizarea cititorului cu cele mai importante noţiuni

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1 CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3 Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a VII-a Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a VII-a» Attempt 1 1 Pentru a deplasa uniform pe orizontala un corp de masa m = 18 kg se actioneaza asupra lui

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

Liviu BERETEU FUNDAMENTE DE INGINERIE MECANICA

Liviu BERETEU FUNDAMENTE DE INGINERIE MECANICA Liviu BERETEU FUNDAMENTE DE INGINERIE MECANICA 200 .Momentul unei forţe în raport cu un punct şi în raport cu o axă. Cuplu de forţe Momentul unei forţe F în raport cu un punct O se defineşte ca fiind produsul

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

I. BAZELE MECANICII CLASICE

I. BAZELE MECANICII CLASICE Alexandru RUSU Spiridon RUSU CURS DE FIZICĂ I. BAZELE MECANICII CLASICE Ciclu de prelegeri Chişinău 014 UNIVERSITATEA TEHNICĂ A MOLDOVEI Facultatea Inginerie şi Management în Electronică şi Telecomunicaţii

Διαβάστε περισσότερα

3. DINAMICA FLUIDELOR. 3.A. Dinamica fluidelor perfecte

3. DINAMICA FLUIDELOR. 3.A. Dinamica fluidelor perfecte 3. DINAMICA FLUIDELOR 3.A. Dinamica fluidelor perfecte Aplicația 3.1 Printr-un reductor circulă apă având debitul masic Q m = 300 kg/s. Calculați debitul volumic şi viteza apei în cele două conducte de

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul si energia mecanica

Lucrul si energia mecanica Impulul mecanic 1 Impulul mecanic Impulul mecanic al punctului material ete produul dintre maa lui la viteza: p = m v. Din legea a II-a a lui Newton obtinem: F = m a = m v v 0 t F t = m v m v 0. F t poarta

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI

Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI In mecanică există mărimi scalare sau scalari şi mărimi vectoriale sau vectori. Mărimile scalare (scalarii) sunt complet determinate prin valoarea lor numerică

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

FLUIDE IDEALE. Statica fluidelor

FLUIDE IDEALE. Statica fluidelor FLUIDE IDEALE Statica fluidelor Presiunea statică. Noţiunea de presiune este asociată de obicei fluidelor, lichide sau gaze. Presiunea "p" este definită ca forţa "F", perpendiculară pe suprafaţă, divizată

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

Curentul electric stationar

Curentul electric stationar Curentul electric stationar 1 Curentul electric stationar Tensiunea electromotoare. Legea lui Ohm pentru un circuit interg. Regulile lui Kirchhoft. Lucrul si puterea curentului electric continuu 1. Daca

Διαβάστε περισσότερα

Olimpiada de Fizică Etapa pe judeţ 20 februarie 2016 Subiecte

Olimpiada de Fizică Etapa pe judeţ 20 februarie 2016 Subiecte Pagina din 5 0 februarie 06 Problema. (0 puncte) F Q La oglindă D/ În laboratorul de fizică, elevii din cercul de robotică studiază mișcarea unei mașinuțe robot teleghidate. De la distanța D = 4m Fig.

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Emil Budescu. BIOMECANICA GENERALã

Emil Budescu. BIOMECANICA GENERALã Emil Budescu BIOMECANICA GENERALã IASI 03 C U P R I N S pag. I. Introducere în biomecanica 3. Obiectul de studiu 3. Terminologie 7 3. Aspecte de baza ale biomecanicii 4. Aspecte de baza ale anatomiei si

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

IV. LUCRUL MECANIC. RANDAMENTUL. PUTEREA. ENERGIA MECANICĂ.

IV. LUCRUL MECANIC. RANDAMENTUL. PUTEREA. ENERGIA MECANICĂ. IV. LUCRUL MECANIC. RANDAMENTUL. UTEREA. ENERGIA MECANICĂ. LUCRUL MECANIC. Orice activitate desfășurată de o, anial sau așină se nuește lucru. Atunci când, în ura unei activități, corpul suferă o deplasare,

Διαβάστε περισσότερα

Se consideră că un automobil Dacia Logan, având masa de 1000 kg, se deplasează rectiliniu uniform, pe o autostradă, cu viteza de 100 km/h.

Se consideră că un automobil Dacia Logan, având masa de 1000 kg, se deplasează rectiliniu uniform, pe o autostradă, cu viteza de 100 km/h. Automobile şi motoare cu ardere internă Se consideră că un automobil Dacia Logan, având masa de 000 kg, se deplasează rectiliniu uniform, pe o autostradă, cu viteza de 00 km/h.. Să se determine valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Reflexia şi refracţia luminii.

Reflexia şi refracţia luminii. Reflexia şi refracţia luminii. 1. Cu cat se deplaseaza o raza care cade sub unghiul i =30 pe o placa plan-paralela de grosime e = 8,0 mm si indicele de refractie n = 1,50, pe care o traverseaza? Caz particular

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu A. U. Thor 0.1 Generalităţi Definitia 1.1 Se numeşte curbă înspaţiu dată parametric mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiuacăror coordonate sunt date de x

Διαβάστε περισσότερα

Forme de energie. Principiul I al termodinamicii

Forme de energie. Principiul I al termodinamicii Forme de energie. Principiul I al termodinamicii Există mai multe forme de energie, care se pot clasifica după natura modificărilor produse în sistemele termodinamice considerate şi după natura mişcărilor

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Noţiuni introductive

5.1. Noţiuni introductive ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul

Διαβάστε περισσότερα

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP)

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP) Seminar electricitate Structura atomului Particulele elementare sarcini elementare Protonii sarcini elementare pozitive Electronii sarcini elementare negative Atomii neutri dpdv electric nr. protoni =

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 6. Centre de greutate... 1 Cuprins..1

CUPRINS 6. Centre de greutate... 1 Cuprins..1 URS 6 ENTRE DE GREUTATE UPRINS 6. entre de greutate...... 1 uprins..1 Introducere modul.1 biective modul....2 6.1. entre de greutate......2 6.2. Momente statice...4 Test de autoevaluare 1...5 6.3. entre

Διαβάστε περισσότερα

2. Rezistența electrică (R) Ohm (Ω) 1Ω = 1kg A -2 m 2 s Rezistivitatea (ρ) Ohm metru (Ω m) 1Ω m = 1kg A -2 m 3 s -3

2. Rezistența electrică (R) Ohm (Ω) 1Ω = 1kg A -2 m 2 s Rezistivitatea (ρ) Ohm metru (Ω m) 1Ω m = 1kg A -2 m 3 s -3 SINTEZE DE BACALAUREAT - ELECTRICITATE 1. Lungimea (l) metrul (m) ELECTRICITATEA 2. MĂRIMI ȘI UNITĂȚI DE MĂSURĂ DERIVATE, ÎN SISTEMUL INTERNAȚIONAL NR. DENUMIREA MĂRIMII FIZICE 1. Tensiunea electrică,

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE. Valeriu Zevedei, Ionela Oancea

ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE. Valeriu Zevedei, Ionela Oancea ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Valeriu Zevedei, Ionela Oancea April 9, 005 CUPRINS 1 CALCUL VECTORIAL 7 1.1 Vectori legaţi,vectori liberi... 7 1. Operaţiilinearecuvectori... 9 1..1

Διαβάστε περισσότερα

1. ELECTROMAGNETISM NEA ELECTROSTATICĂ

1. ELECTROMAGNETISM NEA ELECTROSTATICĂ 1. ELECTROMAGNETISM 1.1. SARCINA ELECTRICĂ, INTERACŢIU- NEA ELECTROSTATICĂ Cuvinte cheie Interacţiune electrostatică Sarcina electrică Principiul conservării sarcinii electrice Sarcina electrică elementară

Διαβάστε περισσότερα

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare

Διαβάστε περισσότερα

1. Examenul de bacalaureat național 2015 Proba E. d)- Fizică A. MECANICĂ

1. Examenul de bacalaureat național 2015 Proba E. d)- Fizică A. MECANICĂ 1. Examenul de bacalaureat național 2015 Proba E. d)- Fizică A. MECANICĂ Se consideră acceleraṭia gravitaṭională g = 10m/s 2. I. Pentru itemii 1-5 scrieṭi pe foaia de răspuns litera corespunzătoare răspunsului

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Determinarea momentului de inerţie prin metoda oscilaţiei şi cu ajutorul pendulului de torsiune. Huţanu Radu, Axinte Constantin Irimescu Luminita

Determinarea momentului de inerţie prin metoda oscilaţiei şi cu ajutorul pendulului de torsiune. Huţanu Radu, Axinte Constantin Irimescu Luminita Determinarea momentului de inerţie prin metoda oscilaţiei şi cu ajutorul pendulului de torsiune Huţanu Radu, Axinte Constantin Irimescu Luminita 1. Generalităţi Există mai multe metode pentru a determina

Διαβάστε περισσότερα

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ Liliana Brǎescu Eva Kaslik Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ CURS DE GEOMETRIE Timişoara 2007

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Toate drepturile asupra acestei ediţii aparţin Întreprinderii Editorial-Poligrafice Știinţa.

Toate drepturile asupra acestei ediţii aparţin Întreprinderii Editorial-Poligrafice Știinţa. Ştiinţa, 2012 CZU 53(075.3) M 39 Elaborat conform curriculumului disciplinar în vigoare și aprobat prin Ordinul ministrului educaţiei (nr. 265 din 27 aprilie 2012). Editat din sursele financiare ale Fondului

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

MECANICĂ CLASICĂ. Universitatea Al. I. Cuza Iaşi. Universitatea Politehnica Bucureşti

MECANICĂ CLASICĂ. Universitatea Al. I. Cuza Iaşi. Universitatea Politehnica Bucureşti MECANICĂ CLASICĂ Dumitru Luca Universitatea Al. I. Cuza Iaşi Cristina Stan Universitatea Politehnica Bucureşti 8 ianuarie 2007 Prefață Mecanică clasică este una din primele ramuri ale fizicii, atât în

Διαβάστε περισσότερα

MĂRIMI ELECTRICE Voltul (V)

MĂRIMI ELECTRICE Voltul (V) SINTEZE DE BACALAUREAT ELECTRICITATE www.manualdefizica.ro NR. DENUMIREA MĂRIMII FIZICE UNITATEA DE MĂSURĂ 1. Lungimea (l) metrul (m). Masa (m) kilogramul (kg) ELECTRICITATEA. MĂRIMI ȘI UNITĂȚI DE MĂSURĂ

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI 61 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOVEHICULULUI FRÂNAT Se consideră un autovehicul care se deplasează cu viteză variabilă pe un drum cu

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 30. Transmisii prin lant

Capitolul 30. Transmisii prin lant Capitolul 30 Transmisii prin lant T.30.1. Sa se precizeze domeniile de utilizare a transmisiilor prin lant. T.30.2. Sa se precizeze avantajele si dezavantajele transmisiilor prin lant. T.30.3. Realizati

Διαβάστε περισσότερα

(2) Unde cu F m am notat forța medie care acționează asupra sistemului, iar produsul p = m v se numește impulsul punctului material.

(2) Unde cu F m am notat forța medie care acționează asupra sistemului, iar produsul p = m v se numește impulsul punctului material. V. LEGI DE CONSERVARE. APLICAȚII. Introducere. Sisteul fizic este un corp acroscopic sau un ansablu de corpuri acroscopice. Corpurile care alcătuiesc sisteul se nuesc eleente ale sisteului. Tot ceea ce

Διαβάστε περισσότερα

2. CALCULE TOPOGRAFICE

2. CALCULE TOPOGRAFICE . CALCULE TOPOGRAFICE.. CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE... CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE DIN COORDONATE RECTANGULARE Distanţa în linie dreaptă dintre două puncte se poate calcula dacă

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VI-a

Subiecte Clasa a VI-a Clasa a VI Lumina Math Intrebari (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns

Διαβάστε περισσότερα