Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane"

Transcript

1 Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI

2 Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii ane Oana Constantinescu Lectia VI

3 Subspatii ane Structura de spatiu an E 3 In cursurile anterioare s-a demonstrat ca multimea V a vectorilor liberi, impreuna cu operatiile de adunare a vectorilor liberi si de inmultire a acestora cu scalari, are o structura de spatiu liniar real. In continuare, vrem sa punem in evidenta o legatura subtila intre multimea punctelor spatiului si spatiul liniar al vectorilor liberi. Sa consideram functia Φ : S S V, Φ(A, B) = AB. Oana Constantinescu Lectia VI

4 Structura de spatiu a n E 3

5 Din proprietatile vectorilor liberi observam ca aceasta verica: 1 A S, Φ A : S V, Φ A (B) = AB este o bijectie; 2 Φ(A, B) + Φ(B, C) = Φ(A, C), A, B, C S; (rescrierea relatiei lui Chasles) 3 A S si ū V,!B S a.i.φ A (B) = ū. Observatie: Φ 1 (u) este punctul B unic determinat de conditia AB = u. A

6 Din proprietatile vectorilor liberi observam ca aceasta verica: 1 A S, Φ A : S V, Φ A (B) = AB este o bijectie; 2 Φ(A, B) + Φ(B, C) = Φ(A, C), A, B, C S; (rescrierea relatiei lui Chasles) 3 A S si ū V,!B S a.i.φ A (B) = ū. Observatie: Φ 1 (u) este punctul B unic determinat de conditia AB = u. A

7 Denition Spunem ca E 3 = (S, V, Φ) este un spatiu an real. Observam ca el este format din multimea nevida S a punctelor din spatiu, din spatiul liniar real V al vectorilor liberi si dintr-o aplicatie care realizeaza o legatura stransa (o anitate) intre cele doua multimi. V se numeste spatiul vectorial director al spatiului an E 3. Deoarece V este un spatiu liniar euclidian (inzestrat cu produs scalar), spunem ca spatiul an E 3 este spatiu an real euclidian. Dimensiunea spatiului an este, prin denitie, dimensiunea spatiului sau liniar director.

8 Vom vedea in continuare cum aceasta functie Φ permite inducerea unei structuri de spatiu liniar pe S, structura ce depinde insa de xarea unui punct in S. Intr-adevar, xand P S arbitrar, putem deni A + B = C, unde C e unic determinat de PA + PB = PC, αa = D, unde D e unic determinat de α PA = PD,

9 Vom vedea in continuare cum aceasta functie Φ permite inducerea unei structuri de spatiu liniar pe S, structura ce depinde insa de xarea unui punct in S. Intr-adevar, xand P S arbitrar, putem deni A + B = C, unde C e unic determinat de PA + PB = PC, αa = D, unde D e unic determinat de α PA = PD,

10 Folosind functia Φ denitiile anterioare se rescriu: A + B = Φ 1 ( PA + PB), A, B S, P αa = Φ 1 P (α PA), α R, A S.

11 Theorem Multimea S, impreuna cu operatiile de adunare a punctelor si de inmultire a punctelor cu scalari reali este un spatiu liniar real, ce depinde de punctul xat P. (Deci aceasta structura de spatiu vectorial nu este canonica.) El se numeste vectorializatul lui S in P (sau spatiul liniar tangent in P la S) si se noteaza cu T P S. Astfel Φ P : T P S V devine un izomorsm de spatii liniare.

12 Theorem Multimea S, impreuna cu operatiile de adunare a punctelor si de inmultire a punctelor cu scalari reali este un spatiu liniar real, ce depinde de punctul xat P. (Deci aceasta structura de spatiu vectorial nu este canonica.) El se numeste vectorializatul lui S in P (sau spatiul liniar tangent in P la S) si se noteaza cu T P S. Astfel Φ P : T P S V devine un izomorsm de spatii liniare.

13 Denition Dat spatiul an real (S, V, Φ), e legea de compozitie + : S V S, A + ū = B ū = AB, A S, ū V O vom numi adunarea punctelor cu vectori si o vom nota simplu prin + fara a exista pericolul de confuzie cu adunarea vectorilor, a punctelor ori a numerelor reale. Deci A + AB = B, A(A + u) = u si A + ū = Φ 1 (u). A

14 Denition Dat spatiul an real (S, V, Φ), e legea de compozitie + : S V S, A + ū = B ū = AB, A S, ū V O vom numi adunarea punctelor cu vectori si o vom nota simplu prin + fara a exista pericolul de confuzie cu adunarea vectorilor, a punctelor ori a numerelor reale. Deci A + AB = B, A(A + u) = u si A + ū = Φ 1 (u). A

15 Theorem Operatia de adunare a punctelor cu vectori verica proprietatile urmatoare: 1) A + (u + v) = (A + u) + v, A S, u, v V; 2) A + 0 = A A S; 3) A, B S!v V a.i. B = A + v.

16 Denition Se numeste combinatie ana de puncte o expresie de tipul α 1 A 1 + α 2 A α n A n, cu n α i = 1. i=1 Conditia n i=1 αi = 1 este esentiala pentru ca expresia α 1 A 1 + α 2 A α n A n sa nu depinda de spatiul liniar T P S in care s-a denit. Intr-adevar, e P, Q S xate arbitrar. Atunci α 1 A 1 + α 2 A α n A n = P + (α 1 PA 1 + α 2 PA 2 + α n PA n ) = Q + QP + [α 1 ( PQ + QA 1 ) + + α n ( PQ + QA n )] = Q + QP + ( n i=1 αi ) PQ + +(α 1 QA 1 + α n QA n ) = Q + (α 1 QA 1 + α 2 QA 2 + α n PQA n ).

17 Denition Se numeste combinatie ana de puncte o expresie de tipul α 1 A 1 + α 2 A α n A n, cu n α i = 1. i=1 Conditia n i=1 αi = 1 este esentiala pentru ca expresia α 1 A 1 + α 2 A α n A n sa nu depinda de spatiul liniar T P S in care s-a denit. Intr-adevar, e P, Q S xate arbitrar. Atunci α 1 A 1 + α 2 A α n A n = P + (α 1 PA 1 + α 2 PA 2 + α n PA n ) = Q + QP + [α 1 ( PQ + QA 1 ) + + α n ( PQ + QA n )] = Q + QP + ( n i=1 αi ) PQ + +(α 1 QA 1 + α n QA n ) = Q + (α 1 QA 1 + α 2 QA 2 + α n PQA n ).

18 Subspatii ane Subspatii ane Denition O submultime nevida X S se numeste subspatiu an al lui E 3 daca exista un subspatiu liniar X al lui V astfel incat (X, X, Φ /X X ) este un spatiu an. Oana Constantinescu Lectia VI

19 Subspatii ane Example Fie d o dreapta arbitrara. Consideram d dreapta vectoriala asociata lui d. Stim ca d este un subspatiu liniar al lui V. Cand restrictionam functia Φ la multimea punctelor dreptei d, Φ : d d d, proprietatile ei din denitia spatiului an se pastreaza. Astfel, (d, d, Φ /d d) este un subspatiu an al lui E 3, pe care il vom nota simplu cu d si il vom numi dreapta ana. Spatiul liniar d se numeste spatiul liniar director al dreptei d. Example Analog, dat un plan π, tripletul (π, π, Φ /π π ) este un subspatiu an al lui E 3, notat prin π si numit plan an. ( π este planul vectorial asociat lui π si se numeste spatiul liniar director al planului π.)

20 Subspatii ane Example Fie d o dreapta arbitrara. Consideram d dreapta vectoriala asociata lui d. Stim ca d este un subspatiu liniar al lui V. Cand restrictionam functia Φ la multimea punctelor dreptei d, Φ : d d d, proprietatile ei din denitia spatiului an se pastreaza. Astfel, (d, d, Φ /d d) este un subspatiu an al lui E 3, pe care il vom nota simplu cu d si il vom numi dreapta ana. Spatiul liniar d se numeste spatiul liniar director al dreptei d. Example Analog, dat un plan π, tripletul (π, π, Φ /π π ) este un subspatiu an al lui E 3, notat prin π si numit plan an. ( π este planul vectorial asociat lui π si se numeste spatiul liniar director al planului π.)

21 Dreapta ana Fie o dreapta d, A un punct oarecare al ei si a d un vector arbitrar, nenul, ce da directia dreptei (numit vector director al dreptei). Pentru orice alt punct P S, P d AP d. Dar P = A + AP. Deci P apartine dreptei d daca si numai daca se poate scrie ca suma dintre un punct xat al dreptei si un vector director al acesteia.

22 Dreapta ana Am demonstrat astfel ca d = A + d = A + [a], unde [a] este subspatiul liniar generat de vectorul director a d si am notat cu A + d = {A + u/u d }.

23 Planul an Fie un plan π, A π arbitrar xat si a, b π doi vectori necoliniari. Deci a, b formeaza o baza in π, spatiul liniar director al planului: π = [a, b]. Orice alt punct P S apartine planului π daca si numai daca P = A + AP A + π. Deci π = A + π = A + [a, b].

24 Subspatii ane Repere ane Denition Punctele A i S, i 1, 4 se numesc an independente daca vectorii liberi A 1 A 2, A 1 A 3, A 1 A 4 sunt liniar independenti. Evident, numarul maxim de puncte an independente este 4 deoarece dimv = 3. Se poate verica faptul ca denitia de mai sus nu depinde de alegerea lui A 1. Denition Se numeste reper an in E 3 o multime formata din patru puncte an independente. Oana Constantinescu Lectia VI

25 Subspatii ane Repere ane Denition Punctele A i S, i 1, 4 se numesc an independente daca vectorii liberi A 1 A 2, A 1 A 3, A 1 A 4 sunt liniar independenti. Evident, numarul maxim de puncte an independente este 4 deoarece dimv = 3. Se poate verica faptul ca denitia de mai sus nu depinde de alegerea lui A 1. Denition Se numeste reper an in E 3 o multime formata din patru puncte an independente. Oana Constantinescu Lectia VI

26 Repere ane Evident, oricarui reper an R a = {A, B, C, D} i se poate asocia reperul cartezian R c = {A; AB, AC, AD}. Reciproc, dat reperul cartezian R c = {O; u, v, w}, se considera punctele A, B, C cu proprietatea ca u = OA, v = OB, w = OC. Atunci R a = {O, A, B, C} este un reper an. De aceea vom prefera sa lucram in continuare cu repere carteziene. In cursurile viitoare vom determina toate tipurile de ecuatii ale dreptei si planului in spatiu in raport cu un reper cartezian xat.

27 Repere ane Evident, oricarui reper an R a = {A, B, C, D} i se poate asocia reperul cartezian R c = {A; AB, AC, AD}. Reciproc, dat reperul cartezian R c = {O; u, v, w}, se considera punctele A, B, C cu proprietatea ca u = OA, v = OB, w = OC. Atunci R a = {O, A, B, C} este un reper an. De aceea vom prefera sa lucram in continuare cu repere carteziene. In cursurile viitoare vom determina toate tipurile de ecuatii ale dreptei si planului in spatiu in raport cu un reper cartezian xat.

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

Tehnici de Optimizare

Tehnici de Optimizare Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element.

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element. 1.Multimi Definitie Multimea este o colectie de obiecte/simboluri. Fiecare obiect dintr-o multime este un element al multimii si este scris/specificat o singura data. Mutimile se noteaza, de obicei cu

Διαβάστε περισσότερα

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei

Διαβάστε περισσότερα

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii.

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii. FitVisible Aceasta este versiunea electronică a cărţii Metode Numerice publicată de Editura Tehnică. Cartea a fost culeasă folosind sistemul L A TEX a lui Leslie Lamport, o extindere a programului TEX

Διαβάστε περισσότερα

Tema I FORMAREA IMAGINII

Tema I FORMAREA IMAGINII Tema I FORMAREA IMAGINII Nevoia de imagini a omului modern creste de la zi la zi. In general, functiile imaginilor sunt urmatoarele : - functia documentara - prezinta concret, imaginea unor termeni si

Διαβάστε περισσότερα

Circuite cu diode în conducţie permanentă

Circuite cu diode în conducţie permanentă Circuite cu diode în conducţie permanentă Curentul prin diodă şi tensiunea pe diodă sunt legate prin ecuaţia de funcţionare a diodei o cădere de tensiune pe diodă determină valoarea curentului prin ea

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Capitolul II. Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Acest capitol are drept scop familiarizarea cititorului cu cele mai importante noţiuni

Διαβάστε περισσότερα

ANUL al V-lea Nr. 2/2015. Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu

ANUL al V-lea Nr. 2/2015. Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu DIDACTICA MATEMATICĂ SUPLIMENT AL GAZETEI MATEMATICE ANUL al V-lea Nr. 2/2015 Modele de lecţii Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu de Eugen Păltănea Propunem o tematică

Διαβάστε περισσότερα

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M CLASA A XI-A Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile

Διαβάστε περισσότερα

Coduri grup - coduri Hamming

Coduri grup - coduri Hamming Capitolul 5 Coduri grup - coduri Hamming 5. Breviar teoretic Dacăîn capitolul precedent s-a pus problema codării surselor pentru eficientiezarea unei transmisiuni ce se presupunea a nu fi perturbată de

Διαβάστε περισσότερα

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII Tema lucrării: 1) Determinarea puterii rotatorii specifice a zahărului 2) Determinarea concentraţiei unei soluţii de zahăr 3) Determinarea dispersiei

Διαβάστε περισσότερα

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1)

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1) ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE Note de curs (draft v1.1) Prefaţă Când dorim să reprezentăm obiectele din lumea reală într-un program pe calculator, trebuie să avem în vedere: modelarea obiectelor din

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ %"&'$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-

!#$ %&'$!&!(!)%*+, -$!!.!$(-#$&%- !"#$ %"&$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-.#/."0, .1%"("/+.!2$"/ 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 4.)!$"!$-(#&!- 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

Διαβάστε περισσότερα

4.2. CONEXIUNILE TRANZISTORULUI BIPOLAR CONEXIUNEA EMITOR COMUN CONEXIUNEA BAZĂ COMUNĂ CONEXIUNEA COLECTOR COMUN

4.2. CONEXIUNILE TRANZISTORULUI BIPOLAR CONEXIUNEA EMITOR COMUN CONEXIUNEA BAZĂ COMUNĂ CONEXIUNEA COLECTOR COMUN 4. TRANZISTORUL BIPOLAR 4.1. GENERALITĂŢI PRIVIND TRANZISTORUL BIPOLAR STRUCTURA ŞI SIMBOLUL TRANZISTORULUI BIPOLAR ÎNCAPSULAREA ŞI IDENTIFICAREA TERMINALELOR FAMILII UZUALE DE TRANZISTOARE BIPOLARE FUNCŢIONAREA

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC. Suport electronic de curs

DESEN TEHNIC. Suport electronic de curs DESEN TEHNIC Suport electronic de curs 2011 CUPRINS 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE. STANDARDE GENERALE UTILIZATE ÎN DESENUL TEHNIC 1.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1.1.Scopul, obiectul şi importanţa desenului tehnic

Διαβάστε περισσότερα

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: ( Exemple e probleme rezolvate pentru curs 0 DEEA Recapitulare formule e calcul puteri ale numărului 0 n m n+ m 0 = 0 n n m =0 m 0 0 n m n m ( ) n = 0 =0 0 0 n Problema. Să se calculeze: a. 0 9 0 b. ( 0

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme mecanice de criptare

Sisteme mecanice de criptare Prelegerea 3 Sisteme mecanice de criptare Sistemele de criptare pot fi aduse la un grad mai mare de complexitate şi securitate dacă se folosesc mijloace mecanice de criptare. Astfel de mecanisme special

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1 Sarò signor io sol Canzon, ottava stanza Domenico Micheli Soprano Soprano 2 Alto Alto 2 Α Α Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io sol Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io µ Tenor Α Tenor 2 Α Sa rò

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ ÑÏÕÌÁÍÉÁ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ Εισαγωγή Η Δημοκρατία της Ρουμανίας έχει έκταση 238.000 χλμ² και πληθυσμό ο οποίος ξεπερνά τα 21 εκατομμύρια κατοίκους. Το επίσημο νόμισμά της

Διαβάστε περισσότερα

Emil Budescu. BIOMECANICA GENERALã

Emil Budescu. BIOMECANICA GENERALã Emil Budescu BIOMECANICA GENERALã IASI 03 C U P R I N S pag. I. Introducere în biomecanica 3. Obiectul de studiu 3. Terminologie 7 3. Aspecte de baza ale biomecanicii 4. Aspecte de baza ale anatomiei si

Διαβάστε περισσότερα

PVC. D oor Panels. + accessories. &aluminium

PVC. D oor Panels. + accessories. &aluminium PVC &aluminium D oor Panels + accessories 1 index panels dimensions accessories page page page page 4-11 12-46 48-50 51 2 Η εταιρία Dorland με έδρα τη Ρουμανία, από το 2002 ειδικεύεται στην έρευνα - εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

1. Elemente de bază ale conducţiei termice

1. Elemente de bază ale conducţiei termice 1. 1.1 Ecuaţiile diferenţiale ale conducţiei termice Calculul proceselor de schimb de căldură necesită cunoaşterea distribuţiei temperaturii în spaţiu şi timp. Distribuţia temperaturii se obţine prin rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

Ion CRĂCIUN ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL EDITURA PIM

Ion CRĂCIUN ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL EDITURA PIM Ion CRĂCIUN ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL INTEGRAL EDITURA PIM IAŞI 27 2 Cuprins 1 Integrle improprii 9 1.1 Introducere............................ 9 1.2 Definiţi integrlei improprii................... 1 1.3

Διαβάστε περισσότερα

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic.

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. PRELUCRARI DE DATE CU PROGRAMUL MICROSOFT EXCEL LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. Lansati programul

Διαβάστε περισσότερα

ANEXA INTRODUCERE MODELUL GLM

ANEXA INTRODUCERE MODELUL GLM ANEXA Prezentare model actuarial GLM INTRODUCERE Societățile de asigurare folosesc metode actuariale pentru a determina aceste variabile utilizându-se în general o modelare de tipul generalized linear

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις στα Σύνολα

Επαναληπτικές Ασκήσεις στα Σύνολα Επαναληπτικές Ασκήσεις στα Σύνολα ) Εξετάστε αν η παρακάτω πρόταση είναι αληθής για οποιαδήποτε σύνολα Α,Β,C. Δικαιολογήστε την απάντηση σας Αν A B και B C, τότε Α C έστω Β {α,β,γ}, αφού Α B τότε ένα παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Termodinamica. Fizica moleculara

Termodinamica. Fizica moleculara ermodinamica Fizica moleculara Mărimi legate de structura discretă a substanţei Sisteme termodinamice emperatura empirică Principiul zero al termodinamicii scări de termperatură şi conversii între acestea

Διαβάστε περισσότερα

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.

Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα

Διαβάστε περισσότερα

User s Manual Air Purifier with Ionizer. Εγχειρίδιο Χρήστη Η Λ Ε Κ Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Υ Σ Κ Ε Υ Ε Σ. Ιονιστής/Καθαριστής αέρα SPRING

User s Manual Air Purifier with Ionizer. Εγχειρίδιο Χρήστη Η Λ Ε Κ Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Υ Σ Κ Ε Υ Ε Σ. Ιονιστής/Καθαριστής αέρα SPRING Η Λ Ε Κ Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Υ Σ Κ Ε Υ Ε Σ SPRING User s Manual Air Purifier with Ionizer Εγχειρίδιο Χρήστη Ιονιστής/Καθαριστής αέρα Σας ευχαριστούµε για την επιλογή ηλεκτρικών συσκευών INVENTOR. Για την σωστή

Διαβάστε περισσότερα

A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N

A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N I N F O T E K N I K V o l u m e 1 5 N o. 1 J u l i 2 0 1 4 ( 61-70) A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N N o v i

Διαβάστε περισσότερα

Editura EduSoft Bacău

Editura EduSoft Bacău Bogdan Pătruţ Carmen Violeta Muraru APLICAŢII ÎN C şi C++ Editura EduSoft Bacău - 2006 Copyright 2006 Editura EduSoft Toate drepturile asupra prezentei ediţii sunt rezervate Editurii EduSoft. Reproducerea

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 5 ASPECTE PRIVIND NOŢIUNILE DE FIABILITATE, MENTENABILITATE ŞI DISPONIBILITATE ALE SISTEMELOR TEHNICE MILITARE

CAPITOLUL 5 ASPECTE PRIVIND NOŢIUNILE DE FIABILITATE, MENTENABILITATE ŞI DISPONIBILITATE ALE SISTEMELOR TEHNICE MILITARE CAPITOLUL 5 ASPECTE PRIVIND NOŢIUNILE DE FIABILITATE, MENTENABILITATE ŞI DISPONIBILITATE ALE SISTEMELOR TEHNICE MILITARE 5.1. Analiza conceptuală a termenilor de fiabilitate, mentenabilitate şi disponibilitate

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - notiţe de curs

Statisticǎ - notiţe de curs Statisticǎ - notiţe de curs Ştefan Balint, Loredana Tǎnasie Cuprins 1 Ce este statistica? 3 2 Noţiuni de bazǎ 5 3 Colectarea datelor 7 4 Determinarea frecvenţei şi gruparea datelor 11 5 Prezentarea datelor

Διαβάστε περισσότερα

Senzori de temperatură de imersie

Senzori de temperatură de imersie 1 781 1781P01 Symaro Senzori de temperatură de imersie QAE21... Senzori pasivi pentru determinarea temperaturii apei în conducte sau vase. Utilizare Senzorii de temperatură de imersie QAE21 sunt destinaţi

Διαβάστε περισσότερα

FIZICA CAPITOLUL: ELECTRICITATE CURENT CONTINUU

FIZICA CAPITOLUL: ELECTRICITATE CURENT CONTINUU FIZICA CAPITOLUL: LCTICITAT CUNT CONTINUU. Curent electric. Tensiune electromotoare 3. Intensitatea curentului electric 4. ezistenţa electrică; legea lui Ohm pentru o porţiune de circuit 4.. Dependenţa

Διαβάστε περισσότερα

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont

www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont w. ww lua so ab me lar m.co t me la sit po dis ion du c, bli pu via lar ca do w. ww me.co m, de la ion nta t do cu me on t ed hn iqu tec les en ce s, rι fιr ma rq ue se t lo go s, so nt la pr op riι tι

Διαβάστε περισσότερα

89 = 51 89 89 = 68 89

89 = 51 89 89 = 68 89 .3 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 7 76 A Οµάδας.i) Να βρείτε την απόσταση του σηµείου Α(, 3) από την ευθεία x + y + 0. d ( ) + 3+ +.ii) Να βρείτε την απόσταση του σηµείου Α(, 3) από την ευθεία y x 3

Διαβάστε περισσότερα

1. PROBLEMELE REZISTENŢEI MATERIALELOR

1. PROBLEMELE REZISTENŢEI MATERIALELOR . PROBLEMELE REZISTENŢEI MATERIALELOR.. Obiectul şi problemele reistenţei materialelor Reistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală, situată între ştiinţele fiico-matematice şi

Διαβάστε περισσότερα

Γρήγορη έναρξη. Nokia Lumia 930

Γρήγορη έναρξη. Nokia Lumia 930 Ghid rapid Γρήγορη έναρξη Nokia Lumia 930 9263287 2.0 RO EL RM-1045 Află mai multe... Nokia Lumia 930 9263287 Ediția 2.0 RO Tastele și componentele Important: Pentru informații importante despre utilizarea

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

2. FUNCŢIA DE PLANIFICARE

2. FUNCŢIA DE PLANIFICARE 2. FUNCŢIA DE PLANIFICARE 2.1 Consideraţii generale Planificarea reprezintă procesul de stabilire, aranjare, combinare şi ordonare logică a obiectivelor, a activităţilor necesare, precum şi a mijloacelor

Διαβάστε περισσότερα

MĂRIMI ELECTRICE Voltul (V)

MĂRIMI ELECTRICE Voltul (V) SINTEZE DE BACALAUREAT ELECTRICITATE www.manualdefizica.ro NR. DENUMIREA MĂRIMII FIZICE UNITATEA DE MĂSURĂ 1. Lungimea (l) metrul (m). Masa (m) kilogramul (kg) ELECTRICITATEA. MĂRIMI ȘI UNITĂȚI DE MĂSURĂ

Διαβάστε περισσότερα

Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi

Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi An universitar 2013-2014 Lector dr. Adriana Urdă Cursul 1. Formarea legăturilor chimice. Hibridizare. Polaritatea legăturilor covalente. Obiectivele

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE GENERALE ALE LIMBAJULUI C

ELEMENTE GENERALE ALE LIMBAJULUI C Limbaje de programare Elemente generale ale limbajului C Lucrarea nr. 2 ELEMENTE GENERALE ALE LIMBAJULUI C 1. Scopul lucrării Lucrarea are ca scop prezentarea elementelor de bază ale limbajului C. 2. Noţiuni

Διαβάστε περισσότερα

Studiul unui variator static de tensiune alternativa echipat cu un triac, care este, comandat cu un circuit integrat PA 436

Studiul unui variator static de tensiune alternativa echipat cu un triac, care este, comandat cu un circuit integrat PA 436 Laborator: Electronică Industrială Lucrarea nr:... Studiul unui variator static de tensiune alternativa echipat cu un triac, care este, comandat cu un circuit integrat PA 4. Funcţionarea variatorului de

Διαβάστε περισσότερα

Român... ελληνικά... BUL. български...

Român... ελληνικά... BUL. български... Român... ελληνικά... български... RO GR BUL 1 Cuprins Precauţii de utilizare..................................................................... RO.3 Generalităţi............................................................................

Διαβάστε περισσότερα

Ing. Virgil ILIUŢĂ DESEN TEHNIC. Noţiuni de bază

Ing. Virgil ILIUŢĂ DESEN TEHNIC. Noţiuni de bază Ing. Virgil ILIUŢĂ DESEN TEHNIC Noţiuni de bază Galaţi - 2007 PREFAŢĂ În această lucrare sunt prezentate noţiunile de bază necesare însuşirii desenului tehnic industrial utilizat în construcţia de maşini.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

Principii de functionare - pompe de caldura

Principii de functionare - pompe de caldura B-dul Oaspetilor 22A, Sector I, BUCURESTI, ROMANIA Telefon: (+40)21.243.09.57; 0745.019 310; Fax: (+40)21.243.09.20 E-mail : gelu.nechifor@el-mont.ro; liviu.nitreanu@el-mont.ro Web: www.el-mont.ro Principii

Διαβάστε περισσότερα

! "#" "" $ "%& ' %$(%& % &'(!!")!*!&+ ,! %$( - .$'!"

! #  $ %& ' %$(%& % &'(!!)!*!&+ ,! %$( - .$'! ! "#" "" $ "%& ' %$(%&!"#$ % &'(!!")!*!&+,! %$( -.$'!" /01&$23& &4+ $$ /$ & & / ( #(&4&4!"#$ %40 &'(!"!!&+ 5,! %$( - &$ $$$".$'!" 4(02&$ 4 067 4 $$*&(089 - (0:;

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΝΟΜΟΣ (INTRASOFT INTERNATIONAL)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΝΟΜΟΣ (INTRASOFT INTERNATIONAL) ΤΡΑΠΕΖΑ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΝΟΜΟΣ (INTRASOFT INTERNATIONAL) ΟΔΓ_ΕΟΚ 0029/2001: Δικαιώµατα δηµιουργών & συγγενικών δικαιωµάτων στην κοινωνία της πληροφορίας (314324) Αρθρο :0 STDM-EL-20100805-20100901 ΑΡΙΘΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

7. CALCULUL DEPOZITELOR FRIGORIFICE

7. CALCULUL DEPOZITELOR FRIGORIFICE 7. CALCULUL DEPOZITELOR FRIGORIFICE Depozitele frigorifice, denumite şi frigorifere sau antrepozite frigorifice, sunt spaţii răcite, destinate păstrării produselor alimentare. Depozitele frigorifice pot

Διαβάστε περισσότερα

3. MAGISTRALE DE SISTEM

3. MAGISTRALE DE SISTEM 3. MAGISTRALE DE SISTEM 3.1. DEFINIŢIE, CLASIFICARE, STRUCTURÃ O magistralã (bus) defineşte setul de reguli dupã care informaţia circulã în interiorul unui sistem de calcul, între mai multe sisteme de

Διαβάστε περισσότερα

TEHNICA DE ÎNCÃLZIRE BUDERUS INSTRUCÞIUNI DE UTILIZARE REGULATOR ERC

TEHNICA DE ÎNCÃLZIRE BUDERUS INSTRUCÞIUNI DE UTILIZARE REGULATOR ERC TEHNICA DE ÎNCÃLZIRE BUDERUS INSTRUCÞIUNI DE UTILIZARE REGULATOR ERC 1. Introducere CUPRINS 2. Regulatorul Buderus ERC - Prezentare 3. Utilizare 3.0 Indicaþii generale de utilizare 3.1 Reglarea temperaturii

Διαβάστε περισσότερα

CAP. 1.1 MOTORUL PAS CU PAS. CARACTERISTICI GENERALE.

CAP. 1.1 MOTORUL PAS CU PAS. CARACTERISTICI GENERALE. CAP. 1.1 MOTORUL PAS CU PAS. CARACTERISTICI GENERALE. O definiţie simplă a motorului pas cu pas este: un dispozitiv electromecanic care converteşte impulsurile electrice în mişcări mecanice discrete. [3,17,22]

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ ΔΗΜΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ. Πόλη: ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗ Ταχ. κώδικας: Χώρα: Ελλάδα 681 00 ΕΛΛΑΔΑ-GR Σημείο(-α) επαφής: Τεχνική Υπηρεσία

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ ΔΗΜΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗΣ. Πόλη: ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗ Ταχ. κώδικας: Χώρα: Ελλάδα 681 00 ΕΛΛΑΔΑ-GR Σημείο(-α) επαφής: Τεχνική Υπηρεσία ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΙΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΕΝΩΣΗ Δημοσίευση στο συμπλήρωμα της Επίσημης Εφημερίδας της Ευρωπαϊκής Ένωσης 2, rue Mercier, L-2985 Luxembourg Φαξ: (352) 29 29 42 670 Ηλεκτρονικό ταχυδρομείο: mp-ojs@opoce.cec.eu.int

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIA. hipotenusa L 2. hipotenusa

TRIGONOMETRIA. hipotenusa L 2. hipotenusa TRIGONOMETRIA. Calcular las razones trigonométricas de 0º, º y 60º. Para calcular las razones trigonométricas de º, nos ayudamos de un triángulo rectángulo isósceles como el de la figura. cateto opuesto

Διαβάστε περισσότερα

,, #,#, %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, )

,, #,#, %&'(($#(#)&*& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) !! "#$%&'%( (%)###**#+!"#$ ',##-.#,,, #,#, /01('/01/'#!2#! %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) 6###+! 4! 4! 4,*!47! 4! (! 8!9%,,#!41! 4! (! 4!5),!(8! 4! (! :!;!(7! (! 4! 4!!8! (! 8! 4!!8(!44!

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 22 Φεβρουαρίου 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 22 Φεβρουαρίου 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 4 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 4, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών

Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών Προπτυχιακή εργασία: "Μια εισαγωγή στις μερικές διαφορικές εξισώσεις της μαθηματικής φυσικής" Ελεάνα Ζήκα Α.Μ.: 3/67 Επιβλέπων καθηγητής: Χουσιάδας Κωνσταντίνος Σάμος,

Διαβάστε περισσότερα

Dumitru Stăniloae. Ortodoxie şi naţionalism

Dumitru Stăniloae. Ortodoxie şi naţionalism Dumitru Stăniloae Ortodoxie şi naţionalism 2011 CUVÂNT ÎNAINTE Suntem zilnic asaltaţi pe toate căile în ceea ce avem mai scump în fiinţa noastră. Forţele întunericului duc acum o luptă puternică pentru

Διαβάστε περισσότερα

ECHIPAMENTE NUMERICE AVANSATE IN SISTEME ELECTROMECANICE

ECHIPAMENTE NUMERICE AVANSATE IN SISTEME ELECTROMECANICE ECHIPAMENTE NUMERICE AVANSATE IN SISTEME ELECTROMECANICE STRUCTURA SI FUNCTIILE COMENZII NUMERICE ELEMENTE DE PROGRAMARE A CN ENA_SEM - Curs 2 1 FUNCTIILE COMENZII NUMERICE Realizarea unor traiectorii

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (Δ.Π.Μ.Σ.) «ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ»

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (Δ.Π.Μ.Σ.) «ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (Δ.Π.Μ.Σ.) «ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ» ΜΑΘΗΜΑ ΚΟΡΜΟΥ «ΥΔΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ» ΥΔΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Σημειώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Numarul retelei parte a adresei IP este central administrat de catre InterNIC (Internet Network Information Center) si este unic pe tot Internet.

Numarul retelei parte a adresei IP este central administrat de catre InterNIC (Internet Network Information Center) si este unic pe tot Internet. Adresa IP Formatul zecimal al adresei IP Adresa IP este reprezentate printr-un numar intreg fara semn pe 3 de biti (patru octeti) care este de regula scrisa sub forma unei liste de patru intregi fara semn

Διαβάστε περισσότερα

MICROSOFT EXCEL. Pentru a lansa in execuţie programul Microsoft Excel utilizaţi una dintre procedurile următoare:

MICROSOFT EXCEL. Pentru a lansa in execuţie programul Microsoft Excel utilizaţi una dintre procedurile următoare: 1 2 Fiind o aplicaţie din pachetul Microsoft Office, Microsoft Excel prezintă o interfaţă asemănătoare cu editorul de text Microsoft Word având aceeaşi organizare a sistemului de meniuri şi a barelor de

Διαβάστε περισσότερα

Parchet. Παρκέτα. Parchet laminat. Δάπεδα laminate. Arată caracterul. Άνθρωποι με χαρακτήρα. Bucurati-va de starile dvs. Απολαύστε τις διαθέσεις

Parchet. Παρκέτα. Parchet laminat. Δάπεδα laminate. Arată caracterul. Άνθρωποι με χαρακτήρα. Bucurati-va de starile dvs. Απολαύστε τις διαθέσεις Parchet Arată caracterul Παρκέτα Άνθρωποι με χαρακτήρα Parchet laminat Bucurati-va de starile dvs. Δάπεδα laminate Απολαύστε τις διαθέσεις Arată caracterul, Bucurati-va de starile dvs. Ανθρωποι με χαρακτήρα,

Διαβάστε περισσότερα

Γρήγορη έναρξη. Ghid rapid. Nokia Lumia 830 RM RO EL

Γρήγορη έναρξη. Ghid rapid. Nokia Lumia 830 RM RO EL Ghid rapid Γρήγορη έναρξη Nokia Lumia 830 9263447 1.0 RO EL RM-984 Află mai multe... Nokia Lumia 830 9263447 Ediția 1.0 RO Tastele și componentele Important: Pentru informații importante despre utilizarea

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΕΦΛΙΟ ο ΙΝΥΣΜΤ Η ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Ορισμός του ιανύσματος Πότε ένα μέγεθος καλείται βαθμωτό ή μονόμετρο και πότε διανυσματικό ; Τα μεγέθη ( όπως πχ η μάζα, ο όγκος, η πυκνότητα, η θερμοκρασία κτλ) τα

Διαβάστε περισσότερα

SUDAREA MIG/MAG NOTIUNI DE BAZA

SUDAREA MIG/MAG NOTIUNI DE BAZA SUDAREA MIG/MAG NOTIUNI DE BAZA 1 CUPRINS Diferite procedee de sudare in mediu protector... 3 Istoria sudarii MIG/MAG... 4 Principiul sudarii MIG/MAG... 5 Componenta unei instalatii de sudare MIG/MAG...

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΝΘΥΦΑΙΡΕΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΕΞΩΣΗΣ ΤΗΣ ΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΟ ΔΕΚΑΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΗΣ ΠΟΛΙΤΕΙΑΣ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΟΣ

Η ΑΝΘΥΦΑΙΡΕΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΕΞΩΣΗΣ ΤΗΣ ΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΟ ΔΕΚΑΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΗΣ ΠΟΛΙΤΕΙΑΣ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΉΜΩΝ ΑΓΩΓΉΣ & ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ, ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ &

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας ρυθμίσεων στο χώρο εγκατάστασης

Πίνακας ρυθμίσεων στο χώρο εγκατάστασης 1/8 Κατάλληλες εσωτερικές μονάδες *HVZ4S18CB3V *HVZ8S18CB3V *HVZ16S18CB3V Σημειώσεις (*5) *4/8* 4P41673-1 - 215.4 2/8 Ρυθμίσεις χρήστη Προκαθορισμένες τιμές Θερμοκρασία χώρου 7.4.1.1 Άνεση (θέρμανση) R/W

Διαβάστε περισσότερα

USER MANUAL ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΗΣ MANUALUL UTILIZATORULUI Η Λ Ε E L E Κ Τ Ρ C T R Ι Κ Ε I C A Σ Σ P P L Υ Σ Κ Ε Υ Ε C E S I A N GLASS PANEL HEATER

USER MANUAL ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΗΣ MANUALUL UTILIZATORULUI Η Λ Ε E L E Κ Τ Ρ C T R Ι Κ Ε I C A Σ Σ P P L Υ Σ Κ Ε Υ Ε C E S I A N GLASS PANEL HEATER Η Λ Ε E L E Κ Τ Ρ C T R Ι Κ Ε I C A Σ Σ P P L Υ Σ Κ GLASS PANEL HEATER ΓΥΑΛΙΝΟ ΘΕΡΜΑΝΤΙΚΟ ΠΑΝΕΛ ÎNCĂLZITOR ELECTRIC CU PANOU STICLĂTERMOREZISTENTĂ I A N Ε Υ Ε C E S Σ Model/ Μοντέλο: G3INV-20DTW 2.000W/1.000W

Διαβάστε περισσότερα

FEDERATION OF INDUSTRIAL

FEDERATION OF INDUSTRIAL ΟΒΕΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΤΟΥΠΑΛΛΗΛΙΚΩΝ ΣΩΜΑΤΕΙΩΝ (OBES) ФЕДЕРАЦИЯ НА СЪЮЗИТЕ НА ИНДУСТРИАЛНИТЕ РАБОТНИЦИ И СЛУЖИТЕЛИ FEDERAŢIA GREACĂ A SINDICATELOR LUCRĂTORILOR DIN INDUSTRIE Γιώργος αντιπρόεδρος

Διαβάστε περισσότερα

Ghid rapid Γρήγορη έναρξη. Lumia 640 XL RO EL RM-1066

Ghid rapid Γρήγορη έναρξη. Lumia 640 XL RO EL RM-1066 Ghid rapid Γρήγορη έναρξη Lumia 640 XL 9264835 RO EL RM-1066 Află mai multe... Microsoft Lumia 640 XL 9264835 Ediția 1.0 RO Tastele și componentele Important: Pentru informații importante despre utilizarea

Διαβάστε περισσότερα

3.6. Formule de calcul pentru medie şi dispersie

3.6. Formule de calcul pentru medie şi dispersie Dragomirescu L., Drane J. W.,, Biostatisticã pentru începãtori. Vol I. Biostatisticã descriptivã. Editia a 6 revãzutã, Editura CREDIS, Bucureşti, 7p. ISB 78-7-74-46-8..6. Formule de calcul pentru medie

Διαβάστε περισσότερα

FIZICĂ. Elemente de termodinamica. ş.l. dr. Marius COSTACHE

FIZICĂ. Elemente de termodinamica. ş.l. dr. Marius COSTACHE FIZICĂ Elemente de termodinamica ş.l. dr. Marius COSTACHE 1 ELEMENTE DE TERMODINAMICĂ 1) Noţiuni introductive sistem fizic = orice porţiune de materie, de la o microparticulă la întreg Universul, porţiune

Διαβάστε περισσότερα

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l)

τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n, l) ΑΤΟΜΙΚΑ ΤΡΟΧΙΑΚΑ Σχέση κβαντικών αριθµών µε στιβάδες υποστιβάδες - τροχιακά Η στιβάδα καθορίζεται από τον κύριο κβαντικό αριθµό (n) Η υποστιβάδα καθορίζεται από τους δύο πρώτους κβαντικούς αριθµούς (n,

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Catedra de Maşini electrice

Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Catedra de Maşini electrice Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Catedra de Maşini electrice ÎNDRUMĂTOR DE PROIECTARE A MAŞINII ASINCRONE Pentru uz intern La baza acestui îndrumător stă un material elaborat de domnul dr.ing. Madescu

Διαβάστε περισσότερα

creativitate FĂRĂ LIMITE

creativitate FĂRĂ LIMITE 10/ 2014 creativitate FĂRĂ LIMITE Sisteme de tavane Knauf cu tehnologie AQUAPANEL Fii sigur, alege AQUAPANEL Sisteme de tavane Knauf AQUAPANEL Placa de ciment AQUAPANEL SkyLite pentru tavane exterioare

Διαβάστε περισσότερα

Sistem player audio multifuncţional

Sistem player audio multifuncţional Sistem player audio multifuncţional Instrucţiuni de utilizare Introducere Ascultarea unui CD Ascultarea de radio Ascultarea unui fişier de pe un dispozitiv USB Ascultarea de muzică de pe iphone/ipad/ipod

Διαβάστε περισσότερα

TALAR ROSA -. / ',)45$%"67789

TALAR ROSA -. / ',)45$%67789 TALAR ROSA!"#"$"%$&'$%(" )*"+%(""%$," *$ -. / 0"$%%"$&'1)2$3!"$ ',)45$%"67789 ," %"(%:,;,"%,$"$)$*2

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες εγκατάστασης και λειτουργίας

Οδηγίες εγκατάστασης και λειτουργίας Τεχνολογία μετάδοσης κίνησης \ Αυτοματισμοί μετάδοσης κίνησης \ Ενσωμάτωση συστήματος \ Υπηρεσίες Οδηγίες εγκατάστασης και λειτουργίας Μειωτήρες τύπου R..7, F..7, K..7, S..7, SPIROPLAN W Έκδοση 06/2010

Διαβάστε περισσότερα

A T O M I C Ă Ă. Mircea V. RUSU UNIVERSITATEA BUCUREŞTI. Aristotel. Zenon Cusanus. Hauy. Avogadro. Lorentz Maxwell. Boltzmann. Poisson.

A T O M I C Ă Ă. Mircea V. RUSU UNIVERSITATEA BUCUREŞTI. Aristotel. Zenon Cusanus. Hauy. Avogadro. Lorentz Maxwell. Boltzmann. Poisson. F Aristotel Zenon Cusanus Hauy Avogadro I Poisson Boltzmann Faraday Lorentz Maxwell Z Kirkhoff J.J.Thomson Roentgen Perrin Hulubei I Einstein Hilbert Millikan Compton Debye A T O M I C Ă Ă Rutherford Schrodinger

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÏËÏÃÏÓ. ÖïéôçôÝò ÉäéïêôÞôåò áõôïêéíþôùí ðïõ åíäéáöýñïíôáé να ασχοληθούν µόνοι τους µε το αυτοκίνητο

ÐÑÏËÏÃÏÓ. ÖïéôçôÝò ÉäéïêôÞôåò áõôïêéíþôùí ðïõ åíäéáöýñïíôáé να ασχοληθούν µόνοι τους µε το αυτοκίνητο ιάγνωση βλαβών επί του αυτοκινήτου EOBD OBD II Πρόσθετοι Τυποποιηµένοι Κωδικοί Βλαβών DTC 2008 2012 3 ÐÑÏËÏÃÏÓ Ôï âéâëßï «ιάγνωση βλαβών επί του αυτοκινήτου EOBD - OBD II» ðïõ êñáôüôå óôá Ýñéá óáò åßíáé

Διαβάστε περισσότερα

Român... ελληνικά... BUL. български...

Român... ελληνικά... BUL. български... MEDIA-NAV Român... ελληνικά... български... RO GR BUL 1 Cuprins Precauţii de utilizare..................................................................... RO.3 generalităţi.............................................................................

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση της πληροφορίας. Ησυνάρτηση«Πληροφορία» Εντροπία Πλεονασµός

Μέτρηση της πληροφορίας. Ησυνάρτηση«Πληροφορία» Εντροπία Πλεονασµός Μέτρηση της πληροφορίας Ησυνάρτηση«Πληροφορία» Εντροπία Πλεονασµός Ησυνάρτηση«πληροφορία» Τι ακριβώς όµως είναι «πληροφορία» και πώς µπορούµε να την µετρήσουµε; γιανααποτελείκάτι«πληροφορία» θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ Παμπαίδες Παίδες Έφηβοι Παγκορασίδες Κορασίδες Νεανίδες Άνδρες Γυναίκες Σύνολο Αθλητών :

ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ Παμπαίδες Παίδες Έφηβοι Παγκορασίδες Κορασίδες Νεανίδες Άνδρες Γυναίκες Σύνολο Αθλητών : ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ Παμπαίδες Παίδες Έφηβοι Παγκορασίδες Κορασίδες Νεανίδες Άνδρες Γυναίκες Σύνολο Αθλητών : 37 34 26 17 16 9 0 0 139 a/a Κατηγορία a/a Κατ. R/L Ονοματεπώνυμο Σωματείο A.M. 1 Παμπαίδες 1 1 ΜΠΟΣΚΟΒΙΤΣ

Διαβάστε περισσότερα

Lumia 435 Lumia 435 Dual SIM

Lumia 435 Lumia 435 Dual SIM Ghid rapid Γρήγορη έναρξη Lumia 435 Lumia 435 Dual SIM 9264389 RO EL RM-1069 RM-1071 Află mai multe... Microsoft Lumia 435 Microsoft Lumia 435 Dual SIM 9264389 Ediția 1.1 RO Tastele și componentele Important:

Διαβάστε περισσότερα