Lucian Maticiuc SEMINAR Conf. dr. Lucian Maticiuc. Capitolul VI. Integrala triplă. Teoria:

Transcript

1 Capitolul I: Integrala triplă Conf. dr. Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Analiza Matematică II, Semestrul II Conf. dr. Lucian MATICIUC Teoria: SEMINAR 3 Capitolul I. Integrala triplă. Teorema. de reducere a integralei triple) Integrala triplă se notează cu f x, y, z). x, y) acă, are explicitarea :, atunci are loc reducerea g x, y) z g x, y) f x, y, z) = ) g x,y) f x, y, z) dz dxdy g x,y). Teorema. schimbarea de variabilă în integrala triplă) x = x ρ, ϕ, θ) Presupunem că este dat de ecuaţiile parametrice : y = y ρ, ϕ, θ) z = z ρ, ϕ, θ) x y z ρ ρ ρ. om calcula iacobianul J not = x,y,z) def ρ,ϕ,θ) = x y z ϕ ϕ ϕ x y z θ θ θ unde ρ, ϕ, θ) Atunci are loc schimbarea de variabilă în integrala triplă f x, y, z) = f x ρ, ϕ, θ), y ρ, ϕ, θ), z ρ, ϕ, θ)) J dρdϕdθ ) 3. Corolar. a) Coordonate sferice coordonate polare în spaţiu) x = ρ sin θ cos ϕ Acestea sunt date de y = ρ sin θ sin ϕ, ρ [, ), θ [, π], ϕ [, π]. z = ρ cos θ În funcţie de domeniul trebuie determinate, mai precis, intervalele de variaţie pentru ρ, ϕ, θ, adică domeniul.

2 Capitolul I: Integrala triplă Conf. dr. cos ϕ sin θ sin ϕ sin θ cos θ Jacobianul este în acest caz dat de J = ρ sin ϕ sin θ ρ cos ϕ sin θ =se ρ cos ϕ cos θ ρ sin ϕ cos θ ρ sin θ pot face calcule dezvoltând după a doua linie) şi se va obţine J = ρ sin θ eci ) devine f x, y, z) = f x ρ, ϕ, θ), y ρ, ϕ, θ), z ρ, ϕ, θ)) ρ sin θ dρdϕdθ b) Coordonate sferice generalizate coordonate polare generalizate în spaţiu) x = aρ sin θ cos ϕ Acestea sunt date de y = bρ sin θ sin ϕ, ρ [, ), θ [, π], ϕ [, π]. z = cρ cos θ În funcţie de domeniul trebuie determinate, mai precis, intervalele de variaţie pentru ρ, ϕ, θ, adică domeniul. a cos ϕ sin θ b sin ϕ sin θ c cos θ Iacobianul este în acest caz dat de J = aρ sin ϕ cos θ bρ cos ϕ sin θ =se aρ cos ϕ cos θ bρ sin ϕ cos θ cρ sin θ pot face calcule dezvoltând după ultima linie) şi se va obţine J = abcρ sin θ. eci ) devine f x, y, z) = f x ρ, ϕ, θ), y ρ, ϕ, θ), z ρ, ϕ, θ)) abcρ sin θ dρdϕdθ 4. Teorema 3. olumul al unui corp este dat de = 5. Teorema 4. Fie un corp de densitate µ x, y, z). Atunci masa este dată de m = µ x, y, z)

3 Capitolul I: Integrala triplă Conf. dr. iar coordonatele centrului de greutate G x G, y G, z G ) sunt date de x G = m xµ x, y, z) y G = m yµ x, y, z) z G = m zµ x, y, z) 6. Teorema 5. Formula lui Gauss-Ostrogradski) Fie corpul mărginit de suprafaţa S care este faţa exterioară a lui, atunci are loc următoarea formulă de legătură dintre intregrala triplă şi integrala de suprafaţă de specia a doua. P P dydz + Qdzdx + Rdxdy = x + Q y + R ) z S 3

4 Capitolul I: Integrala triplă Conf. dr. Enunţurile problemelor:. Să se calculeze unde = [, 3] [, ] [, ]. Indicaţie: = 3 3. Să se calculeze x + y + z), ) ) 3 ) x + y + z) dz dy dx = x + y + z) dz x + y + z= 3 z) dy dx = z= + x + y + z) 3, ) dy dx + x + y) x + y) ) dy unde este mărginit de planele x =, y =, z = şi de planul x + y + z = x, y) Indicaţie: Explicitarea lui : unde domeniul este dat de placa z x y x, triunghiulară : 3. Să se calculeze y x. y, unde este tetraedrul din primul octant mărginit de planele de coordonate x =, y =, z = şi de planul x + y + z =. x, y) Indicaţie: Explicitarea lui : unde domeniul este proiecţia z x y x volumului pe planul xoy, deci este placa triunghiulară : y x. x y ) ydz dxdy = y x y ) ) ydz dy dx ) dx 4

5 Capitolul I: Integrala triplă Conf. dr. 4. Să se calculeze z, unde este jumătatea superioară a elipsoidului x x, y) Indicaţie: Explicitarea lui : z c x interiorul de elipsă : x 5. Să se calculeze a + y b. + y + z a b y a b z, c = unde domeniul este dat de unde este mărginit de suprafaţa conică z = h R x + y ), z h x, y) Indicaţie: Explicitarea lui : unde domeniul este discul h x + y z h : x + y R. 6. Să se calculeze unde este dat de : R x + y + z), x + y az paraboloid) x + y + z 3a sferă) Indicaţie: Mai întâi determin intersecţia celor două corpuri. eci x + y = az şi introduc în a doua ecuaţie: az + z = 3a z a) z + 3a) = şi deoarece z aleg soluţia z = a. deci obţin x + y = a ) care este ecuaţia cercului în care se x, y) întâlneşte paraboloidul cu sfera. Explicitarea lui : unde domeniul este discul : x + y a ). 7. Să se calculeze x + y ) z, x +y a z 3a x y unde este mărginit de paraboloidul z = x + y şi de sfera x + y + z = 6 şi conţine o parte din porţiunea nenegativă a axei Oz. x, y) Indicaţie: Explicitarea lui : x + y z unde domeniul este 6 x y proiecţia volumului pe planul xoy se determină mai întâi sferei x + y + z = 6 cu paraboloidul z = x + y ), deci este discul : x + y. ) 6 x y x + y ) zdz dxdy. x +y 5

6 Capitolul I: Integrala triplă Conf. dr. 8. Să se determine volumul corpului dat de z x + y, z h. h Indicaţie: volumul lui este dat de = x, y) Explicitarea lui : h unde domeniul este proiecţia volumului x + y z h pe planul xoy se determină mai întâi intersecţia planului z = h > cu paraboloidul z = x + y ), deci este discul : x + y. h h h x +y dz ) dxdy. Pentru calculul integralei duble folosim coordonate polare. 9. Să se calculeze x + y + z ), unde este bila închisă de rază R cu centrul în origine. Indicaţie: Pentru a calcula integrala triplă vom folosi coordonate sferice cu ρ [, R], θ [, π], ϕ [, π], J = ρ sin θ. eci = R π. Să se calculeze π ρ cos ϕ sin θ) + ρ sin ϕ sin θ) + ρ cos θ) ) ) ) J dϕ dθ dρ. x + y + z, unde este situat în semispaţiul superior şi este delimitat de sferele x + y + z =, x + y + z = 9 şi de conul z = x + y. Indicaţie: Pentru a calcula integrala triplă vom folosi coordonate sferice cu ρ [, 3], θ [, π/4], ϕ [, π], J = ρ sin θ. eci 3 π/4 π = J dϕ dθ dρ. ρ cos ϕ sin θ) + ρ sin ϕ sin θ) + ρ cos θ) 6

7 Capitolul I: Integrala triplă Conf. dr.. Să se calculeze x + y ) unde este coroana circulară mărginită de cilindrii circulari x + y = 4, x + y = 9 şi de planele z = şi de z =. Indicaţie: Pentru a calcula integrala triplă vom folosi coordonatele cilindrice unde ρ [, 3], θ [, π], z [, ], J =...calcule...= ρ. eci = 3 π ρ cos θ) + ρ sin θ) ) ) ) J dz dθ dρ.. Să se determine volumul corpului situat în semispaţiul superior z şi mărginit de suprafeţele x + y + z = a, x + y + z = b, x + y = z, a < b. Indicaţie: Pentru a calcula integrala triplă vom folosi coordonate sferice cu ρ [a, b], θ [, π/4], ϕ [, π], J = ρ sin θ. eci b π/4 π ) ) = J dϕ dθ dρ. 3. Să se calculeze a unde este dată de x a + y b + z c 4. ) x a + y b + z c, Indicaţie: Pentru a calcula integrala vom folosi coordonate sferice generalizate cu ρ [, ], θ [, π], ϕ [, π], J = abcρ sin θ. eci π ) ) ) π aρ cos ϕ sin θ) bρ sin ϕ sin θ) cρ cos θ) = a + b + c J dϕ dθ dρ. 4. Să se transforme cu ajutorul formulei lui Gauss-Ostrogradski următoarea integrală de suprafaţă de specia a doua x dydz + y dzdx + z dxdy, S unde S) este faţa exterioară a elipsoidului x + y + z =. a b c Indicaţie: Observ că P = x, Q = y, R = z ; pentru a calcula integrala triplă pe interiorul unui elipsoid folosim coordonatele sferice generalizate. 7

8 Capitolul I: Integrala triplă Conf. dr. 5. Să se calculeze integrală de suprafaţă de specia a doua x 3 y dydz + x y 3 dzdx + 3zdxdy, S unde S este faţa exterioară a domeniului mărginit de paraboloizii z = x + y, z = 6 x y Indicaţie: Conform formulei lui Gauss-Ostrogradski 3x y + 3x y + 3z ) unde : x, y) x + y z 6 x y iar domeniul este proiecţia volumului pe planul xoy se determină mai întâi intersecţia celor doi paraboloizi), deci este discul : x + y 3. 6 x y 3x y + 3x y + 3z ) ) dz dxdy x +y Pentru calculul integralei duble folosim coordonate polare. 6. Să se calculeze volumul unui corp mărginit de suprafaţa a) x + y + z ) = a 3 z, x, y, z x + y + z a b ) b) c = x y, x, y, z h 3 Indicaţie: a) Pentru a calcula volumul = aplic Corolarul adică trec la coordonate sferice. Suntem în primul octant x, y, z ) deci θ [, π/], ϕ [, π/]. Pentru a determina ρ folosim inegalitatea care-l dă pe : x + y + z a 3 z. eci ρ cos ϕ sin θ) + ρ sin ϕ sin θ) + ρ cos θ) ) a 3 ρ cos θ ρ ) a 3 ρ cos θ ρ a 3 cos θ ρ ρ a adică ρ ρ a 3 3 cos θ cos θ. eci : ϕ π/ şi evident J = ρ sin θ θ π/ b) Pentru a calcula volumul = aplic Corolarul şi trec la coordonate sferice generalizate. Suntem în primul octant x, y, z ) deci θ [, π/], ϕ [, π/]. ) Pentru a determina ρ folosim inegalitatea care-l dă pe : x + y + z a b c x y. eci h 3 ) aρ cos ϕ sin θ) bρ sin ϕ sin θ) cρ cos θ) + + a b c aρ cos ϕ sin θ) bρ sin ϕ sin θ) h 3 ρ 4 a b h 3 ρ 3 cos ϕ sin 3 θ sin ϕ 8

9 Capitolul I: Integrala triplă Conf. dr. ρ a b sin 3 θ cos ϕ sin ϕ h 3 eci : ϕ π/ θ π/ şi evident J = abcρ sin θ. 7. Să se determine masa şi centrul de greutate al interiorului de sferă x + y + z az k dacă densitatea este µ x, y, z) = x +y +z Indicaţie: Pentru a calcula integralele triple vom trece la coordonate sferice. Observăm mai întâi că sfera este x +y +z = az x +y +z az = x +y +z a) = a deci are centrul în punctul C,, a) şi raza a deci este situată deasupra planului z = planul XY ). eci θ [, π/], ϕ [, π]. Pentru a determina ρ folosim inegalitatea care-l dă pe : x + y + z az. ρ cos ϕ sin θ) + ρ sin ϕ sin θ) + ρ cos θ) aρ cos θ ρ aρ cos θ ρ a cos θ ρ a cos θ adică ρ a cos ϕ. eci : θ π/ ϕ π şi evident J = ρ sin θ. 8. Să se determine momentul de inerţie în raport cu planul yoz al solidului omogen, de densitate unitate, având configuraţia domeniului mărginit de planul z = c > şi de x conul eliptic z = c + y. a b Indicaţie: Momentul de inerţie în raport cu planul yoz este I yz = x. x, y) Aplic Teorema. Explicitarea lui : unde domeniul este x c + y z c a b proiecţia volumului pe planul xoy se determină mai întâi intersecţia planului z = c > cu conul eliptic), deci este discul eliptic : x + y. a b ) c x dz dxdy c x a + y b Pentru calculul integralei duble folosim coordonate polare generalizate. 9. Să se determine coordonatele centrului de greutate al unui solid omogen mărginit de pânza unui con circular drept, având unghiul de la vârf egal cu α şi de o sferă de rază R cu centrul în vârful conului. Indicaţie: deoarece solidul este omogen centru de greutate se găseşte pe axa Oz, deci x G, y G =. Prin definiţie z G = z 9

10 Capitolul I: Integrala triplă Conf. dr. unde este volumul lui, dat de = Pentru a calcula cele integrale triple vom folosi coordonate sferice cu ρ [, R], θ [, α], ϕ [, π], J = ρ sin θ. eci = R α π ) ) J dϕ dθ dρ.. Să se determine momentul de inerţie în raport cu axa Oz a solidului de configuraţie bila de rază a cu centrul în origine, şi densitate µ x, y, z) = x + y + z. Indicaţie: Momentul de inerţie în raport cu Oz este I z = x + y ) µ x, y, z). eci I z = x + y ) x + y + z ) care se va calcula folosind coordonatele sferice cu ρ [, a], θ [, π], ϕ [, π], J = ρ sin θ. eci a π π = ρ cos ϕ sin θ) + ρ sin ϕ sin θ) ) ρ cos ϕ sin θ) + ρ sin ϕ sin θ) + ρ cos θ) ) ) ) J dϕ dθ dρ.