Lectia VII Dreapta si planul

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Lectia VII Dreapta si planul"

Transcript

1 Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII

2 Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Table of Contents 1 Planul. Ecuatii, pozitii relative 2 Dreapta. Ecuatii, pozitii relative 3 Aplicatii Oana Constantinescu Lectia VII

3 Introducere In lectia aceasta vom invata sa scriem toate tipurile de ecuatii pentru plan, dreapta, cat si sa determinam analitic pozitiile relative a doua plane, a doua drepte si a unei drepte fata de un plan. In primele cursuri am introdus axiomatic dreapta si planul. Am precizat axiomele de determinare unica a dreptei, respectiv planului, cat si consecintele axiomelor de incidenta care ofereau date despre pozitiile relative ale acestor obiecte geometrice. E timpul sa vedem cum putem aborda aceste probleme din punct de vedere analitic.

4 Introducere In lectia aceasta vom invata sa scriem toate tipurile de ecuatii pentru plan, dreapta, cat si sa determinam analitic pozitiile relative a doua plane, a doua drepte si a unei drepte fata de un plan. In primele cursuri am introdus axiomatic dreapta si planul. Am precizat axiomele de determinare unica a dreptei, respectiv planului, cat si consecintele axiomelor de incidenta care ofereau date despre pozitiile relative ale acestor obiecte geometrice. E timpul sa vedem cum putem aborda aceste probleme din punct de vedere analitic.

5 Introducere In lectia aceasta vom invata sa scriem toate tipurile de ecuatii pentru plan, dreapta, cat si sa determinam analitic pozitiile relative a doua plane, a doua drepte si a unei drepte fata de un plan. In primele cursuri am introdus axiomatic dreapta si planul. Am precizat axiomele de determinare unica a dreptei, respectiv planului, cat si consecintele axiomelor de incidenta care ofereau date despre pozitiile relative ale acestor obiecte geometrice. E timpul sa vedem cum putem aborda aceste probleme din punct de vedere analitic.

6 Planul Fie un plan π. Pentru unica sa determinare, vom considera situatiile: 1 Planul π este unic determinat de un punct A al sau si de doi vectori necoliniari u, v din spatiul sau liniar director π : π = A + [u, v]. 2 Planul π este unic determinat de trei puncte necoliniare ale sale: π = (ABC). 3 Planul π este unic determinat de un punct A al sau si de un vector normal N π.

7 Planul π = A + [u, v]

8 Planul Consideram un reper cartezian (ortonormat, pozitiv) R = {O; i, j, k} in raport cu care vom exprima coordonatele punctelor, respectiv vectorilor ce intervin. Un punct P de vector de pozitie r apartine planului π daca si numai daca AP = r r A este un vector din planul vectorial director π : t, s R a.i. r r A = tu + sv. Astfel se obtine ecuatia vectoriala a planului: r = r A + tu + sv, t, s R. Gandind planul π ca un subspatiu an al lui E 3, amintindu-ne si de operatia de adunare a punctelor cu vectori, putem scrie ecuatia ana a planului: P = A + tu + sv, t, s R, P π.

9 Planul Consideram un reper cartezian (ortonormat, pozitiv) R = {O; i, j, k} in raport cu care vom exprima coordonatele punctelor, respectiv vectorilor ce intervin. Un punct P de vector de pozitie r apartine planului π daca si numai daca AP = r r A este un vector din planul vectorial director π : t, s R a.i. r r A = tu + sv. Astfel se obtine ecuatia vectoriala a planului: r = r A + tu + sv, t, s R. Gandind planul π ca un subspatiu an al lui E 3, amintindu-ne si de operatia de adunare a punctelor cu vectori, putem scrie ecuatia ana a planului: P = A + tu + sv, t, s R, P π.

10 Planul Consideram un reper cartezian (ortonormat, pozitiv) R = {O; i, j, k} in raport cu care vom exprima coordonatele punctelor, respectiv vectorilor ce intervin. Un punct P de vector de pozitie r apartine planului π daca si numai daca AP = r r A este un vector din planul vectorial director π : t, s R a.i. r r A = tu + sv. Astfel se obtine ecuatia vectoriala a planului: r = r A + tu + sv, t, s R. Gandind planul π ca un subspatiu an al lui E 3, amintindu-ne si de operatia de adunare a punctelor cu vectori, putem scrie ecuatia ana a planului: P = A + tu + sv, t, s R, P π.

11 Planul Exprimand vectorii din ecuatia precedenta in raport cu baza reperului ales, adica presupunand ca r = xi + y j + zk, r A = x 0 i + y 0 j + z 0 k, u = u 1 i + u 2 j + u 3 k, v = v 1 i + v 2 j + v 3 k, folosind faptul ca i, j, k sunt liniar independenti, se obtin ecuatiile parametrice ale planului π : x = x 0 + tu 1 + sv 1, y = y 0 + tu 2 + sv 2, z = z 0 + tu 3 + sv 3, s, t R.

12 Planul Amintim ca trei vectori sunt coplanari daca si numai daca produsul lor mixt se anuleaza. Deci vectorii AP = r r A, u, v sunt coplanari daca si numai daca (r r A, u, v) = 0. Folosind formula de calcul pentru produsul mixt se obtine ecuatia planului sub forma de determinant: x x 0 y y 0 z z 0 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = 0. Dezvoltand determinantul se obtine o ecuatie de tipul: ax + by + cz + d = 0, a 2 + b 2 + c 2 0, numita ecuatia generala a planului, sau ecuatia canonica a planului.

13 Planul π = (ABC) Acest caz se reduce la cel precedent considerand de exemplu u = AB = r B r A, v = AC = r C r A. Se obtin astfel, pentru planul π, ecuatia vectoriala: r = r A + t (r B r A ) + s (r C r A ), s, t R r = (1 t s)r A + tr B + sr C, s, t R, ecuatiile parametrice: x = x A + t (x B x A ) + s (x C x A ), y = y A + t(y B y A ) + s (y C y A ), z = z A + t (z B z A ) + s (z C z A, ) t, s R cat si ecuatia sub forma de determinant: x x A y y A z z A x B x A y B y A z B z A x C x A y C y A z C z A = 0.

14 Planul Ultima ecuatie se poate scrie si in forma: x y z 1 x A y A z A 1 x B y B z B 1 = 0. x C y C z C 1 In cazul particular in care A(a, 0, 0), B(0, b, 0) si C(0, 0, c) reprezinta punctele de intersectie ale planului cu axele de coordonate, se obtine ecuatia planului prin taieturi: x a + y b + z c 1 = 0.

15 Planul A π, N π

16 Planul In aceasta situatie P(r) π N AP ecuatia vectoriala a planului: < r r A, N >= 0. Daca N are coordonatele l, m, n in raport cu R si P(x, y, z), A(x 0, y 0, z 0 ), atunci ecuatia precedenta devine: l(x x 0 ) + m(y y 0 ) + n(z z 0 )= 0 l x + my + nz + p = 0. Reobtinem astfel ecuatia generala a planului. Sa remarcam ca in ecuatia generala a unui plan, coecientii lui x, y, z sunt coordonatele vectorului normal planului.

17 Planul. Exemple Planele de coordonate: (xoy) : z = 0 (yoz) : x = 0 (zox) : y = 0 Plane paralele cu planele de coordonate: π (xoy) : π (yoz) : π (zox) : z = c x = a y = b a, b, c R Plane perpendiculare pe planele de coordonate: π (xoy) : ax + by + d = 0 π (yoz) : by + cz + d = 0 π (zox) : ax + cz + d = 0

18 Planul. Exemple Planele de coordonate: (xoy) : z = 0 (yoz) : x = 0 (zox) : y = 0 Plane paralele cu planele de coordonate: π (xoy) : π (yoz) : π (zox) : z = c x = a y = b a, b, c R Plane perpendiculare pe planele de coordonate: π (xoy) : ax + by + d = 0 π (yoz) : by + cz + d = 0 π (zox) : ax + cz + d = 0

19 Planul. Exemple Planele de coordonate: (xoy) : z = 0 (yoz) : x = 0 (zox) : y = 0 Plane paralele cu planele de coordonate: π (xoy) : π (yoz) : π (zox) : z = c x = a y = b a, b, c R Plane perpendiculare pe planele de coordonate: π (xoy) : ax + by + d = 0 π (yoz) : by + cz + d = 0 π (zox) : ax + cz + d = 0

20 Planul. Exemple Plane ce conµin axele de coordonate: π Oz : ax + by = 0 π Ox : by + cz = 0 π Oy : ax + cz = 0 Plan prin origine: π O : ax + by + cz = 0.

21 Planul. Exemple Plane ce conµin axele de coordonate: π Oz : ax + by = 0 π Ox : by + cz = 0 π Oy : ax + cz = 0 Plan prin origine: π O : ax + by + cz = 0.

22 Pozitiile relative ale planelor Fie doua plane de ecuatii generale Intersectia lor poate : (π 1 ) :A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, (π 2 ) :A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. 1 o dreapta (atunci cand sistemul format din cele doua ecuatii este compatibil ( simplu nedeterminat) ) A 1 B 1 C 1 rang = 2; A 2 B 2 C 2 2 un plan (cele doua plane coincid) A 2 A 1 = B 2 B 1 = C 2 C 1 = D 2 D 1 ; 3 multimea vida (planele sunt paralele deci au normalele paralele) A 2 A 1 = B 2 B 1 = C 2 C 1 D 2 D 1.

23 Aplicatie Sa se determine unghiul dintre planele (π 1 ) :A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, (π 2 ) :A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Indicatii:

24 Aplicatie Notam cu ϕ masura unghiului diedru al celor doua plane. Construind ca in gura unghiul diedru si normalele la ecare plan in puncte convenabil alese, observam ca ϕ este suplementul unghiului dintre normalele la plane. Dar vectorii normali planelor sunt N 1 (A 1, B 1, C 1 ) si N 2 (A 2, B 2, C 2 ). In acest caz unghiul dintre normale se calculeaza prin cos ψ = A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 A B C 1 2 A B C 2 2 si ϕ = π ψ. In particular, cele doua plane sunt perpendiculare daca si numai daca A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0.

25 Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Toate tipurile de ecuatii ale dreptei O dreapta d este unic determinata de: 1 un punct al sau A d si un vector director a d, a 0; 2 doua puncte A B ale sale; 3 doua plane distincte care o contin: π 1 π 2 = d; 4 un punct al sau A d si o directie planara normala dreptei: π = [u, v] d. Vom determina toate tipurile de ecuatii pentru dreapta d in cele patru situatii de mai sus: ecuatia vectoriala, ecuatiile parametrice, ecuatiile canonice si ecuatiile generale. Oana Constantinescu Lectia VII

26 Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Toate tipurile de ecuatii ale dreptei O dreapta d este unic determinata de: 1 un punct al sau A d si un vector director a d, a 0; 2 doua puncte A B ale sale; 3 doua plane distincte care o contin: π 1 π 2 = d; 4 un punct al sau A d si o directie planara normala dreptei: π = [u, v] d. Vom determina toate tipurile de ecuatii pentru dreapta d in cele patru situatii de mai sus: ecuatia vectoriala, ecuatiile parametrice, ecuatiile canonice si ecuatiile generale. Oana Constantinescu Lectia VII

27 Dreapta d = A + [a] P(r) d AP d r r A = ta, t R. Am obtinut ecuatia vectoriala a dreptei: Ecuatia ana a dreptei este: r = r A + ta, t R. P = A + ta, t R.

28 Dreapta Daca presupunem ca in raport cu un reper ales avem P(x, y, z) r = xi + y j + zk, A(x 0, y 0, z 0 ) si a(l, m, n), atunci ecuatia vectoriala determina urmatoarele ecuatii parametrice ale dreptei d : x = x 0 + tl y = y 0 + tm z = z 0 + tn, t R. Exprimand parametrul t din toate cele trei ecuatii si egaland rezultatele, obtinem ecuatiile canonice: x x 0 l = y y 0 = z z 0 (= t). m n Eliminand parametrul t din ecuatiile parametrice, ori considerand sistemul format din cate doua ecuatii canonice, dreapta apare ca intersectie de doua planuri: { mx ly + (ly 0 mx 0 ) = 0, ny mz + (mz 0 ny 0 ) = 0.

29 Dreapta d = AB, A B In toate ecuatiile precedente consideram vectorul director al dreptei a = AB = r B r A si obtinem: ecuatia vectoriala: r = (1 t)r A + tr B, t R; ecuatiile parametrice: x = (1 t)x A + tx B, y = (1 t)y A + ty B, z = (1 t)z A + tz B, t R; ecuatiile canonice: x x A x B x A = y y A y B y A = z z A z B z A.

30 Dreapta determina o dreapta daca si numai daca d = π 1 π 2 Daca (π 1 ) : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, (A 1 ) 2 + (B 1 ) 2 + (C 1 ) 2 0 si (π 2 ) : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, (A 2 ) 2 + (B 2 ) 2 + (C 2 ) 2 0, sistemul { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

31 Dreapta rang ( A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 ) = 2. Observam ca directia dreptei este N 1 N 2, unde N 1 (A 1, B 1, C 1 ) si N 2 (A 2, B 2, C 2 ) sunt vectorii normali celor doua plane. Pentru a determina ecuatiile parametrice ale dreptei d se rezolva efectiv sistemul de ecuatii liniare de mai sus, parametrul dreptei neind decat necunoscuta secundara a sistemului. Din ecuatiile parametrice se obtin pe calea uzuala cele canonice. De exemplu, axele de coordonate au ecuatiile: { { { Ox : y = 0 z = 0, Oy : z = 0 x = 0, Oz : x = 0 y = 0.

32 Dreapta rang ( A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 ) = 2. Observam ca directia dreptei este N 1 N 2, unde N 1 (A 1, B 1, C 1 ) si N 2 (A 2, B 2, C 2 ) sunt vectorii normali celor doua plane. Pentru a determina ecuatiile parametrice ale dreptei d se rezolva efectiv sistemul de ecuatii liniare de mai sus, parametrul dreptei neind decat necunoscuta secundara a sistemului. Din ecuatiile parametrice se obtin pe calea uzuala cele canonice. De exemplu, axele de coordonate au ecuatiile: { { { Ox : y = 0 z = 0, Oy : z = 0 x = 0, Oz : x = 0 y = 0.

33 Dreapta rang ( A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 ) = 2. Observam ca directia dreptei este N 1 N 2, unde N 1 (A 1, B 1, C 1 ) si N 2 (A 2, B 2, C 2 ) sunt vectorii normali celor doua plane. Pentru a determina ecuatiile parametrice ale dreptei d se rezolva efectiv sistemul de ecuatii liniare de mai sus, parametrul dreptei neind decat necunoscuta secundara a sistemului. Din ecuatiile parametrice se obtin pe calea uzuala cele canonice. De exemplu, axele de coordonate au ecuatiile: { { { Ox : y = 0 z = 0, Oy : z = 0 x = 0, Oz : x = 0 y = 0.

34 Aplicatie Sa se { determine ecuaµiile canonice ale dreptei 2x 3y 3z 9 = 0 d : x 2y + z + 3 = 0. Rezolvare: Rezolvand sistemul obtinem ecuatiile parametrice x = 9t, d : y = 5t, t R si de aici imediat ecuatiile canonice z = t 3, d : x = y = z

35 Dreapta A d si π = [u, v] d Ecuatiile dreptei se obtin ca in primul caz, stiind un punct al ei A si vectorul director u v.

36 Aplicatie Sa se scrie ecuatiile dreptei d care trece prin punctul A(2, 5, 3) si este: a) paralela cu axa Oz; b) paralela cu dreapta d : x 1 = y 2 = z ; c) paralela cu dreapta d : Rezovare a) d : b) d : x 2 = y { { 2x y + 3z + 1 = 0 5x + 4y z 7 = 0. x 2 = 0, y + 5 = 0, = z 3 9. sau d : x 2 0 = y+5 0 = z 3 1. c) Avem nevoie de un vector director pentru dreapta d. Acesta este produsul vectorilor N 1 (2, 1, 3) si N 2 (5, 4, 1), vectorii normali planelor ce determina dreapta data. Se obtine N 1 N 2 = 11i + 17j + 13k, deci: d : x 2 11 = y+5 17 = z 3 13.

37 Pozitiile relative a doua drepte in spatiu Fie d 1 = A 1 + [a 1 ] si d 2 = A 2 + [a 2 ] doua drepte in spatiu. Dreptele d 1 si d 2 sunt coplanare daca si numai daca vectorii a 1, a 2, A 1 A 2 sunt coplanari (a 1, a 2, A 1 A 2 ) = 0. Pentru a verica daca dreptele sunt paralele sau nu, se determina daca vectorii a 1 si a 2 sunt sau nu coliniari, calculand produsul lor vectorial. Iar pentru a distinge intre cazurile drepte paralele si drepte confundate se verica si coliniaritatea vectorilor a 1, A 1 A 2. Obtinem astfel:

38 Pozitiile relative a doua drepte in spatiu Theorem Dreptele d 1 si d 2 sunt: 1) necoplanare (a 1, a 2, r A2 r { A1 ) 0 (a 1, a 2, r A2 r A1 ) = 0 (coplanare) 2) concurente 3) paralele 4) confundate a 1 a 2 { a 1 a 2 = 0 a 1 (r A2 r A1 ) { a 1 a 2 = 0 0 (neparalele) 0 (distincte) a 1 (r A2 r A1 ) = 0

39 Pozitiile relative ale unei drepte fata de un plan Fie drepta d = A + [a] si planul π = B + π, cu N π. Atunci: d π < a, N >= 0 si < AB, N > 0; d π < AB, N >= 0; d π = {P} < a, N > 0.

40 Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Aplicatii Example 1) Scrieti ecuatiile perpendicularei duse din A(3,-2,5) pe planul π : 4x + 3y z + 5 = 0. Rezolvare: vectorul director al perpendicularei este coliniar cu vectorul normal planului dat, astfel se obtin ecuatiile x 3 = y+2 = z Example 2) Scrieti ecuatiile perpendicularei din A(3,1,2) pe dreapta d : x 1 = y = z Rezolvare: Piciorul perpendicularei din A pe d este intersectia dintre planul prin A perpendicular pe d si dreapta d, adica B( 77, 32, 35 ). Sau se folosesc ecuatiile parametrice ale dreptei d si conditia AB d. Oana Constantinescu Lectia VII

41 Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Aplicatii Example 1) Scrieti ecuatiile perpendicularei duse din A(3,-2,5) pe planul π : 4x + 3y z + 5 = 0. Rezolvare: vectorul director al perpendicularei este coliniar cu vectorul normal planului dat, astfel se obtin ecuatiile x 3 = y+2 = z Example 2) Scrieti ecuatiile perpendicularei din A(3,1,2) pe dreapta d : x 1 = y = z Rezolvare: Piciorul perpendicularei din A pe d este intersectia dintre planul prin A perpendicular pe d si dreapta d, adica B( 77, 32, 35 ). Sau se folosesc ecuatiile parametrice ale dreptei d si conditia AB d. Oana Constantinescu Lectia VII

42 Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Aplicatii Example 1) Scrieti ecuatiile perpendicularei duse din A(3,-2,5) pe planul π : 4x + 3y z + 5 = 0. Rezolvare: vectorul director al perpendicularei este coliniar cu vectorul normal planului dat, astfel se obtin ecuatiile x 3 = y+2 = z Example 2) Scrieti ecuatiile perpendicularei din A(3,1,2) pe dreapta d : x 1 = y = z Rezolvare: Piciorul perpendicularei din A pe d este intersectia dintre planul prin A perpendicular pe d si dreapta d, adica B( 77, 32, 35 ). Sau se folosesc ecuatiile parametrice ale dreptei d si conditia AB d. Oana Constantinescu Lectia VII

43 Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Aplicatii Example 1) Scrieti ecuatiile perpendicularei duse din A(3,-2,5) pe planul π : 4x + 3y z + 5 = 0. Rezolvare: vectorul director al perpendicularei este coliniar cu vectorul normal planului dat, astfel se obtin ecuatiile x 3 = y+2 = z Example 2) Scrieti ecuatiile perpendicularei din A(3,1,2) pe dreapta d : x 1 = y = z Rezolvare: Piciorul perpendicularei din A pe d este intersectia dintre planul prin A perpendicular pe d si dreapta d, adica B( 77, 32, 35 ). Sau se folosesc ecuatiile parametrice ale dreptei d si conditia AB d. Oana Constantinescu Lectia VII

44 Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Aplicatii Example 3) Sa se determine proiectia dreptei d pe planul π, daca d : x = y 4, π : x y + 3z + 8 = 0. 4 = z Rezolvare: Se verica faptul ca dreapta d nu este perpendiculara pe planul π (in caz contrar proiectia ar consta dintr-un singur punct, proiectia oricarui punct al dreptei pe planul dat). Proiectia dreptei se obtine ca intersectia dintre planul ce contine dreapa d, perpendicular pe planul π (numit plan proiector al dreptei d) si planul π. Planul proiector este unic determinat de un punct al dreptei, de vectorul director al dreptei si de vectorul normal planului π. Se obtin ecuatiile: { x 2y z + 8 = 0, x y + 3z + 8 = 0. Oana Constantinescu Lectia VII

45 Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Aplicatii Example 3) Sa se determine proiectia dreptei d pe planul π, daca d : x = y 4, π : x y + 3z + 8 = 0. 4 = z Rezolvare: Se verica faptul ca dreapta d nu este perpendiculara pe planul π (in caz contrar proiectia ar consta dintr-un singur punct, proiectia oricarui punct al dreptei pe planul dat). Proiectia dreptei se obtine ca intersectia dintre planul ce contine dreapa d, perpendicular pe planul π (numit plan proiector al dreptei d) si planul π. Planul proiector este unic determinat de un punct al dreptei, de vectorul director al dreptei si de vectorul normal planului π. Se obtin ecuatiile: { x 2y z + 8 = 0, x y + 3z + 8 = 0. Oana Constantinescu Lectia VII

46 Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Aplicatii Example 4) Aati coordonatele simetricelor punctului A fata de planul π, respectiv dreapta d, in cazurile urmatoare: a) A(-1,2,0), π : x + 2y z = 0; b) A(-1,2,0), d : x+2 = y+1 = z 1; c) A(3,1,2) si d : x 2 = y = z+1 ; d) A(1,2,3) si π : 2x + y + z 1 = 0. Rezolvare: Se determina mai intai coordonatele lui A 0, piciorul perpendicularei din A pe plan, respectiv dreapta, iar coordonatele simetricului A se calculeaza din conditia ca A 0 este mijlocul segmentului (AA ). a) ( 7, 2, 4 ); b) ( 1, 4, 0); c) ( 37, 19, 22 ); d) (-3,0,1) Oana Constantinescu Lectia VII

47 Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Aplicatii Example 4) Aati coordonatele simetricelor punctului A fata de planul π, respectiv dreapta d, in cazurile urmatoare: a) A(-1,2,0), π : x + 2y z = 0; b) A(-1,2,0), d : x+2 = y+1 = z 1; c) A(3,1,2) si d : x 2 = y = z+1 ; d) A(1,2,3) si π : 2x + y + z 1 = 0. Rezolvare: Se determina mai intai coordonatele lui A 0, piciorul perpendicularei din A pe plan, respectiv dreapta, iar coordonatele simetricului A se calculeaza din conditia ca A 0 este mijlocul segmentului (AA ). a) ( 7, 2, 4 ); b) ( 1, 4, 0); c) ( 37, 19, 22 ); d) (-3,0,1) Oana Constantinescu Lectia VII

48 Aplicatii Example 5) Scrieti ecuatiile perpendicularei comune a dreptelor (d 1 ) x 7 = y 3 = z si (d 2) x 3 = y 1 = z Rezolvare: Vericam initial ca cele doua drepte sunt necoplanare. Metoda 1: Determinam picioarele perpendicularei comune folosind ecuatiile parametrice ale celor doua drepte. Fie PQ perpendiculara comuna, P d 1 si Q d 2 P(t + 7, 2t + 3, t + 9) si Q( 7s + 3, 2s + 1, 3s + 1). Impunand ca vectorul director PQ sa e perpendicular pe ambii vectori directori ai celor doua drepte date se determina t, s si se obtine PQ(2, 1, 4). Apoi se scriu ecuatiile dreptei prin P, de directie PQ. Metoda 2: Perpendiculara comuna se obtine ca intersectia dintre doua plane π 1 si π 2, π 1 ind planul proiector al dreptei (d 1 ) pe planul ce contine (d 2 ) si este paralel cu (d 1 ), iar π 2 este planul proiector al dreptei (d 2 ) pe planul ce contine (d 1 ) si este paralel cu (d 2 ). Se obtin ecuatiile: x 1 2 = y 1 = z+3 4.

49 Aplicatii Example 5) Scrieti ecuatiile perpendicularei comune a dreptelor (d 1 ) x 7 = y 3 = z si (d 2) x 3 = y 1 = z Rezolvare: Vericam initial ca cele doua drepte sunt necoplanare. Metoda 1: Determinam picioarele perpendicularei comune folosind ecuatiile parametrice ale celor doua drepte. Fie PQ perpendiculara comuna, P d 1 si Q d 2 P(t + 7, 2t + 3, t + 9) si Q( 7s + 3, 2s + 1, 3s + 1). Impunand ca vectorul director PQ sa e perpendicular pe ambii vectori directori ai celor doua drepte date se determina t, s si se obtine PQ(2, 1, 4). Apoi se scriu ecuatiile dreptei prin P, de directie PQ. Metoda 2: Perpendiculara comuna se obtine ca intersectia dintre doua plane π 1 si π 2, π 1 ind planul proiector al dreptei (d 1 ) pe planul ce contine (d 2 ) si este paralel cu (d 1 ), iar π 2 este planul proiector al dreptei (d 2 ) pe planul ce contine (d 1 ) si este paralel cu (d 2 ). Se obtin ecuatiile: x 1 2 = y 1 = z+3 4.

50 Aplicatii Example 5) Scrieti ecuatiile perpendicularei comune a dreptelor (d 1 ) x 7 = y 3 = z si (d 2) x 3 = y 1 = z Rezolvare: Vericam initial ca cele doua drepte sunt necoplanare. Metoda 1: Determinam picioarele perpendicularei comune folosind ecuatiile parametrice ale celor doua drepte. Fie PQ perpendiculara comuna, P d 1 si Q d 2 P(t + 7, 2t + 3, t + 9) si Q( 7s + 3, 2s + 1, 3s + 1). Impunand ca vectorul director PQ sa e perpendicular pe ambii vectori directori ai celor doua drepte date se determina t, s si se obtine PQ(2, 1, 4). Apoi se scriu ecuatiile dreptei prin P, de directie PQ. Metoda 2: Perpendiculara comuna se obtine ca intersectia dintre doua plane π 1 si π 2, π 1 ind planul proiector al dreptei (d 1 ) pe planul ce contine (d 2 ) si este paralel cu (d 1 ), iar π 2 este planul proiector al dreptei (d 2 ) pe planul ce contine (d 1 ) si este paralel cu (d 2 ). Se obtin ecuatiile: x 1 2 = y 1 = z+3 4.

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene

CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene Geometrie liniară în spaţiu CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU 6.. Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu I. Coordonate carteziene În cele ce urmează, notăm cu E 3 spaţiul punctual tridimensional

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }.

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }. ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE OANA CONSTANTINESCU 1. Centru de simetrie pentru o hipercuadrica afina Pentru inceput cadrul de lucru este un spatiu an real de dimensiune

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ Liliana Brǎescu Eva Kaslik Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ CURS DE GEOMETRIE Timişoara 2007

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi-seminar 1

Vectori liberi-seminar 1 Vectori liberi-seminar ) Determinati α R astfel incat vectorii ā = m+ n si b = m+α n sa fie coliniari, unde m, n sunt necoliniari. ) Demonstrati ca urmatorii trei vectori liberi sunt coplanari: ā = ī j

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu A. U. Thor 0.1 Generalităţi Definitia 1.1 Se numeşte curbă înspaţiu dată parametric mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiuacăror coordonate sunt date de x

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Cuprins. I Geometrie Analitică 9

Cuprins. I Geometrie Analitică 9 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului POSDRU/56/1.2/S/32768, Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predareînvăţare-evaluare

Διαβάστε περισσότερα

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA SECŢIUNILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

4.Inversul lui z=a+bi este nr.complex, z cu proprietatea ca zz =1, rezulta z =a/(a 2 +b 2 ) (bi)/(a 2 +b 2 ) si notam z =z -1

4.Inversul lui z=a+bi este nr.complex, z cu proprietatea ca zz =1, rezulta z =a/(a 2 +b 2 ) (bi)/(a 2 +b 2 ) si notam z =z -1 Numere complexe 1.Multimea numerelor complexe este C=RxR={(a;b)/a,b R} cu operatiile: z 1 =(a 1 ;b 1 ), z 2 =(a 2 ;b 2 ) a 1 ;b 1 ;a 2 ;b 2 R, z 1 +z 2 = (a 1 +a 2 ; b 1 +b 2 ), z 1 z 2 = (a 1 a 2 - b

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA NOŢIUNI DE BAZĂ ÎN CINEMATICA Cinematica studiază mişcările mecanice ale corpurilor, fără a lua în considerare masa acestora şi

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1 CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI

Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI In mecanică există mărimi scalare sau scalari şi mărimi vectoriale sau vectori. Mărimile scalare (scalarii) sunt complet determinate prin valoarea lor numerică

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE

4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE 4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE 4.1. GENERALITĂŢI În general corpurile geometrice sunt în poziţii oarecare faţă de planele de proiecţie. Prin metodele geometriei descriptive proiecţiile acestor corpuri

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Polarizarea tranzistoarelor bipolare

Polarizarea tranzistoarelor bipolare Polarizarea tranzistoarelor bipolare 1. ntroducere Tranzistorul bipolar poate funcţiona în 4 regiuni diferite şi anume regiunea activă normala RAN, regiunea activă inversă, regiunea de blocare şi regiunea

Διαβάστε περισσότερα

Transformata Laplace

Transformata Laplace Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

O adaptare didactica a unui sistem axiomatic

O adaptare didactica a unui sistem axiomatic O adaptare didactica a unui sistem axiomatic Oana Constantinescu In acest document dorim sa prezentam o adaptare a unui sistem axiomatic semiformalizat pentru geometria in plan si in spatiu. Spunem adaptare

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Circuite electrice in regim permanent

Circuite electrice in regim permanent Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme apitolul. ircuite electrice in regim permanent. În fig. este prezentată diagrama fazorială a unui circuit serie. a) e fenomen este

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate... SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA IZOLĂRII NODURILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3

6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3 6.CONUL ŞI CILINDRUL 6.1.GENERALITĂŢI Conul este corpul geometric mărginit de o suprafaţă conică şi un plan; suprafaţa conică este generată prin rotaţia unei drepte mobile, numită generatoare, concurentă

Διαβάστε περισσότερα

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este.

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este. Copyright c 007 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului atematician 1 inisterul Educatiei si Tineretului Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 14 iunie 007 Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE. Valeriu Zevedei, Ionela Oancea

ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE. Valeriu Zevedei, Ionela Oancea ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Valeriu Zevedei, Ionela Oancea April 9, 005 CUPRINS 1 CALCUL VECTORIAL 7 1.1 Vectori legaţi,vectori liberi... 7 1. Operaţiilinearecuvectori... 9 1..1

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

2. CALCULE TOPOGRAFICE

2. CALCULE TOPOGRAFICE . CALCULE TOPOGRAFICE.. CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE... CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE DIN COORDONATE RECTANGULARE Distanţa în linie dreaptă dintre două puncte se poate calcula dacă

Διαβάστε περισσότερα

FUNCTIA DISTANTA. SISTEME DE COORDONATE PE DREAPTA.

FUNCTIA DISTANTA. SISTEME DE COORDONATE PE DREAPTA. FUNCTIA DISTANTA. SISTEME DE COORDONATE PE DREAPTA. OANA CONSTANTINESCU 1. Introducere Acest curs se doreste a o scurta introducere in tratarea metrica a geometriei plane. Principalul motiv il constituie

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE. Culegeredeprobleme. Emil STOICA şi Mircea NEAGU

ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE. Culegeredeprobleme. Emil STOICA şi Mircea NEAGU ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Culegeredeprobleme Emil STOICA şi Mircea NEAGU Cuprins 1 Spaţii vectoriale. Spaţii euclidiene 1 1.1 Elementeteoreticefundamentale................ 1

Διαβάστε περισσότερα

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1 BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1 Filiera teoretică, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profil Militar, specializarea matematică - informatică. a) Să se calculeze modulul vectorului

Διαβάστε περισσότερα

LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI

LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ SPECIALIZAREA MATEMATICI APLICATE LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI Conducător Ştiinţific: Lect. Dr. VĂCĂREŢU

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu

Grupuri de simetrii. Oana Constantinescu Rolul grupurilor de transformari in denirea unei geometrii Felix Klein (1849-1925) a dorit sa aplice conceptul de grup pentru a caracteriza diferitele geometrii ale timpului. In discursul inaugural de

Διαβάστε περισσότερα

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 VARIANTA SUBIECTUL I. a) Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul A(2; 5;3) și este paralelă cu dreapta x = y 2 4 6 = z +3 9. b) Să se determine valoarea

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα