Lectia VII Dreapta si planul
|
|
|
- Ξένη Ευγένεια Αποστόλου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII
2 Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Table of Contents 1 Planul. Ecuatii, pozitii relative 2 Dreapta. Ecuatii, pozitii relative 3 Aplicatii Oana Constantinescu Lectia VII
3 Introducere In lectia aceasta vom invata sa scriem toate tipurile de ecuatii pentru plan, dreapta, cat si sa determinam analitic pozitiile relative a doua plane, a doua drepte si a unei drepte fata de un plan. In primele cursuri am introdus axiomatic dreapta si planul. Am precizat axiomele de determinare unica a dreptei, respectiv planului, cat si consecintele axiomelor de incidenta care ofereau date despre pozitiile relative ale acestor obiecte geometrice. E timpul sa vedem cum putem aborda aceste probleme din punct de vedere analitic.
4 Introducere In lectia aceasta vom invata sa scriem toate tipurile de ecuatii pentru plan, dreapta, cat si sa determinam analitic pozitiile relative a doua plane, a doua drepte si a unei drepte fata de un plan. In primele cursuri am introdus axiomatic dreapta si planul. Am precizat axiomele de determinare unica a dreptei, respectiv planului, cat si consecintele axiomelor de incidenta care ofereau date despre pozitiile relative ale acestor obiecte geometrice. E timpul sa vedem cum putem aborda aceste probleme din punct de vedere analitic.
5 Introducere In lectia aceasta vom invata sa scriem toate tipurile de ecuatii pentru plan, dreapta, cat si sa determinam analitic pozitiile relative a doua plane, a doua drepte si a unei drepte fata de un plan. In primele cursuri am introdus axiomatic dreapta si planul. Am precizat axiomele de determinare unica a dreptei, respectiv planului, cat si consecintele axiomelor de incidenta care ofereau date despre pozitiile relative ale acestor obiecte geometrice. E timpul sa vedem cum putem aborda aceste probleme din punct de vedere analitic.
6 Planul Fie un plan π. Pentru unica sa determinare, vom considera situatiile: 1 Planul π este unic determinat de un punct A al sau si de doi vectori necoliniari u, v din spatiul sau liniar director π : π = A + [u, v]. 2 Planul π este unic determinat de trei puncte necoliniare ale sale: π = (ABC). 3 Planul π este unic determinat de un punct A al sau si de un vector normal N π.
7 Planul π = A + [u, v]
8 Planul Consideram un reper cartezian (ortonormat, pozitiv) R = {O; i, j, k} in raport cu care vom exprima coordonatele punctelor, respectiv vectorilor ce intervin. Un punct P de vector de pozitie r apartine planului π daca si numai daca AP = r r A este un vector din planul vectorial director π : t, s R a.i. r r A = tu + sv. Astfel se obtine ecuatia vectoriala a planului: r = r A + tu + sv, t, s R. Gandind planul π ca un subspatiu an al lui E 3, amintindu-ne si de operatia de adunare a punctelor cu vectori, putem scrie ecuatia ana a planului: P = A + tu + sv, t, s R, P π.
9 Planul Consideram un reper cartezian (ortonormat, pozitiv) R = {O; i, j, k} in raport cu care vom exprima coordonatele punctelor, respectiv vectorilor ce intervin. Un punct P de vector de pozitie r apartine planului π daca si numai daca AP = r r A este un vector din planul vectorial director π : t, s R a.i. r r A = tu + sv. Astfel se obtine ecuatia vectoriala a planului: r = r A + tu + sv, t, s R. Gandind planul π ca un subspatiu an al lui E 3, amintindu-ne si de operatia de adunare a punctelor cu vectori, putem scrie ecuatia ana a planului: P = A + tu + sv, t, s R, P π.
10 Planul Consideram un reper cartezian (ortonormat, pozitiv) R = {O; i, j, k} in raport cu care vom exprima coordonatele punctelor, respectiv vectorilor ce intervin. Un punct P de vector de pozitie r apartine planului π daca si numai daca AP = r r A este un vector din planul vectorial director π : t, s R a.i. r r A = tu + sv. Astfel se obtine ecuatia vectoriala a planului: r = r A + tu + sv, t, s R. Gandind planul π ca un subspatiu an al lui E 3, amintindu-ne si de operatia de adunare a punctelor cu vectori, putem scrie ecuatia ana a planului: P = A + tu + sv, t, s R, P π.
11 Planul Exprimand vectorii din ecuatia precedenta in raport cu baza reperului ales, adica presupunand ca r = xi + y j + zk, r A = x 0 i + y 0 j + z 0 k, u = u 1 i + u 2 j + u 3 k, v = v 1 i + v 2 j + v 3 k, folosind faptul ca i, j, k sunt liniar independenti, se obtin ecuatiile parametrice ale planului π : x = x 0 + tu 1 + sv 1, y = y 0 + tu 2 + sv 2, z = z 0 + tu 3 + sv 3, s, t R.
12 Planul Amintim ca trei vectori sunt coplanari daca si numai daca produsul lor mixt se anuleaza. Deci vectorii AP = r r A, u, v sunt coplanari daca si numai daca (r r A, u, v) = 0. Folosind formula de calcul pentru produsul mixt se obtine ecuatia planului sub forma de determinant: x x 0 y y 0 z z 0 u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = 0. Dezvoltand determinantul se obtine o ecuatie de tipul: ax + by + cz + d = 0, a 2 + b 2 + c 2 0, numita ecuatia generala a planului, sau ecuatia canonica a planului.
13 Planul π = (ABC) Acest caz se reduce la cel precedent considerand de exemplu u = AB = r B r A, v = AC = r C r A. Se obtin astfel, pentru planul π, ecuatia vectoriala: r = r A + t (r B r A ) + s (r C r A ), s, t R r = (1 t s)r A + tr B + sr C, s, t R, ecuatiile parametrice: x = x A + t (x B x A ) + s (x C x A ), y = y A + t(y B y A ) + s (y C y A ), z = z A + t (z B z A ) + s (z C z A, ) t, s R cat si ecuatia sub forma de determinant: x x A y y A z z A x B x A y B y A z B z A x C x A y C y A z C z A = 0.
14 Planul Ultima ecuatie se poate scrie si in forma: x y z 1 x A y A z A 1 x B y B z B 1 = 0. x C y C z C 1 In cazul particular in care A(a, 0, 0), B(0, b, 0) si C(0, 0, c) reprezinta punctele de intersectie ale planului cu axele de coordonate, se obtine ecuatia planului prin taieturi: x a + y b + z c 1 = 0.
15 Planul A π, N π
16 Planul In aceasta situatie P(r) π N AP ecuatia vectoriala a planului: < r r A, N >= 0. Daca N are coordonatele l, m, n in raport cu R si P(x, y, z), A(x 0, y 0, z 0 ), atunci ecuatia precedenta devine: l(x x 0 ) + m(y y 0 ) + n(z z 0 )= 0 l x + my + nz + p = 0. Reobtinem astfel ecuatia generala a planului. Sa remarcam ca in ecuatia generala a unui plan, coecientii lui x, y, z sunt coordonatele vectorului normal planului.
17 Planul. Exemple Planele de coordonate: (xoy) : z = 0 (yoz) : x = 0 (zox) : y = 0 Plane paralele cu planele de coordonate: π (xoy) : π (yoz) : π (zox) : z = c x = a y = b a, b, c R Plane perpendiculare pe planele de coordonate: π (xoy) : ax + by + d = 0 π (yoz) : by + cz + d = 0 π (zox) : ax + cz + d = 0
18 Planul. Exemple Planele de coordonate: (xoy) : z = 0 (yoz) : x = 0 (zox) : y = 0 Plane paralele cu planele de coordonate: π (xoy) : π (yoz) : π (zox) : z = c x = a y = b a, b, c R Plane perpendiculare pe planele de coordonate: π (xoy) : ax + by + d = 0 π (yoz) : by + cz + d = 0 π (zox) : ax + cz + d = 0
19 Planul. Exemple Planele de coordonate: (xoy) : z = 0 (yoz) : x = 0 (zox) : y = 0 Plane paralele cu planele de coordonate: π (xoy) : π (yoz) : π (zox) : z = c x = a y = b a, b, c R Plane perpendiculare pe planele de coordonate: π (xoy) : ax + by + d = 0 π (yoz) : by + cz + d = 0 π (zox) : ax + cz + d = 0
20 Planul. Exemple Plane ce conµin axele de coordonate: π Oz : ax + by = 0 π Ox : by + cz = 0 π Oy : ax + cz = 0 Plan prin origine: π O : ax + by + cz = 0.
21 Planul. Exemple Plane ce conµin axele de coordonate: π Oz : ax + by = 0 π Ox : by + cz = 0 π Oy : ax + cz = 0 Plan prin origine: π O : ax + by + cz = 0.
22 Pozitiile relative ale planelor Fie doua plane de ecuatii generale Intersectia lor poate : (π 1 ) :A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, (π 2 ) :A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. 1 o dreapta (atunci cand sistemul format din cele doua ecuatii este compatibil ( simplu nedeterminat) ) A 1 B 1 C 1 rang = 2; A 2 B 2 C 2 2 un plan (cele doua plane coincid) A 2 A 1 = B 2 B 1 = C 2 C 1 = D 2 D 1 ; 3 multimea vida (planele sunt paralele deci au normalele paralele) A 2 A 1 = B 2 B 1 = C 2 C 1 D 2 D 1.
23 Aplicatie Sa se determine unghiul dintre planele (π 1 ) :A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, (π 2 ) :A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. Indicatii:
24 Aplicatie Notam cu ϕ masura unghiului diedru al celor doua plane. Construind ca in gura unghiul diedru si normalele la ecare plan in puncte convenabil alese, observam ca ϕ este suplementul unghiului dintre normalele la plane. Dar vectorii normali planelor sunt N 1 (A 1, B 1, C 1 ) si N 2 (A 2, B 2, C 2 ). In acest caz unghiul dintre normale se calculeaza prin cos ψ = A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 A B C 1 2 A B C 2 2 si ϕ = π ψ. In particular, cele doua plane sunt perpendiculare daca si numai daca A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0.
25 Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Toate tipurile de ecuatii ale dreptei O dreapta d este unic determinata de: 1 un punct al sau A d si un vector director a d, a 0; 2 doua puncte A B ale sale; 3 doua plane distincte care o contin: π 1 π 2 = d; 4 un punct al sau A d si o directie planara normala dreptei: π = [u, v] d. Vom determina toate tipurile de ecuatii pentru dreapta d in cele patru situatii de mai sus: ecuatia vectoriala, ecuatiile parametrice, ecuatiile canonice si ecuatiile generale. Oana Constantinescu Lectia VII
26 Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Toate tipurile de ecuatii ale dreptei O dreapta d este unic determinata de: 1 un punct al sau A d si un vector director a d, a 0; 2 doua puncte A B ale sale; 3 doua plane distincte care o contin: π 1 π 2 = d; 4 un punct al sau A d si o directie planara normala dreptei: π = [u, v] d. Vom determina toate tipurile de ecuatii pentru dreapta d in cele patru situatii de mai sus: ecuatia vectoriala, ecuatiile parametrice, ecuatiile canonice si ecuatiile generale. Oana Constantinescu Lectia VII
27 Dreapta d = A + [a] P(r) d AP d r r A = ta, t R. Am obtinut ecuatia vectoriala a dreptei: Ecuatia ana a dreptei este: r = r A + ta, t R. P = A + ta, t R.
28 Dreapta Daca presupunem ca in raport cu un reper ales avem P(x, y, z) r = xi + y j + zk, A(x 0, y 0, z 0 ) si a(l, m, n), atunci ecuatia vectoriala determina urmatoarele ecuatii parametrice ale dreptei d : x = x 0 + tl y = y 0 + tm z = z 0 + tn, t R. Exprimand parametrul t din toate cele trei ecuatii si egaland rezultatele, obtinem ecuatiile canonice: x x 0 l = y y 0 = z z 0 (= t). m n Eliminand parametrul t din ecuatiile parametrice, ori considerand sistemul format din cate doua ecuatii canonice, dreapta apare ca intersectie de doua planuri: { mx ly + (ly 0 mx 0 ) = 0, ny mz + (mz 0 ny 0 ) = 0.
29 Dreapta d = AB, A B In toate ecuatiile precedente consideram vectorul director al dreptei a = AB = r B r A si obtinem: ecuatia vectoriala: r = (1 t)r A + tr B, t R; ecuatiile parametrice: x = (1 t)x A + tx B, y = (1 t)y A + ty B, z = (1 t)z A + tz B, t R; ecuatiile canonice: x x A x B x A = y y A y B y A = z z A z B z A.
30 Dreapta determina o dreapta daca si numai daca d = π 1 π 2 Daca (π 1 ) : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, (A 1 ) 2 + (B 1 ) 2 + (C 1 ) 2 0 si (π 2 ) : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, (A 2 ) 2 + (B 2 ) 2 + (C 2 ) 2 0, sistemul { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
31 Dreapta rang ( A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 ) = 2. Observam ca directia dreptei este N 1 N 2, unde N 1 (A 1, B 1, C 1 ) si N 2 (A 2, B 2, C 2 ) sunt vectorii normali celor doua plane. Pentru a determina ecuatiile parametrice ale dreptei d se rezolva efectiv sistemul de ecuatii liniare de mai sus, parametrul dreptei neind decat necunoscuta secundara a sistemului. Din ecuatiile parametrice se obtin pe calea uzuala cele canonice. De exemplu, axele de coordonate au ecuatiile: { { { Ox : y = 0 z = 0, Oy : z = 0 x = 0, Oz : x = 0 y = 0.
32 Dreapta rang ( A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 ) = 2. Observam ca directia dreptei este N 1 N 2, unde N 1 (A 1, B 1, C 1 ) si N 2 (A 2, B 2, C 2 ) sunt vectorii normali celor doua plane. Pentru a determina ecuatiile parametrice ale dreptei d se rezolva efectiv sistemul de ecuatii liniare de mai sus, parametrul dreptei neind decat necunoscuta secundara a sistemului. Din ecuatiile parametrice se obtin pe calea uzuala cele canonice. De exemplu, axele de coordonate au ecuatiile: { { { Ox : y = 0 z = 0, Oy : z = 0 x = 0, Oz : x = 0 y = 0.
33 Dreapta rang ( A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 ) = 2. Observam ca directia dreptei este N 1 N 2, unde N 1 (A 1, B 1, C 1 ) si N 2 (A 2, B 2, C 2 ) sunt vectorii normali celor doua plane. Pentru a determina ecuatiile parametrice ale dreptei d se rezolva efectiv sistemul de ecuatii liniare de mai sus, parametrul dreptei neind decat necunoscuta secundara a sistemului. Din ecuatiile parametrice se obtin pe calea uzuala cele canonice. De exemplu, axele de coordonate au ecuatiile: { { { Ox : y = 0 z = 0, Oy : z = 0 x = 0, Oz : x = 0 y = 0.
34 Aplicatie Sa se { determine ecuaµiile canonice ale dreptei 2x 3y 3z 9 = 0 d : x 2y + z + 3 = 0. Rezolvare: Rezolvand sistemul obtinem ecuatiile parametrice x = 9t, d : y = 5t, t R si de aici imediat ecuatiile canonice z = t 3, d : x = y = z
35 Dreapta A d si π = [u, v] d Ecuatiile dreptei se obtin ca in primul caz, stiind un punct al ei A si vectorul director u v.
36 Aplicatie Sa se scrie ecuatiile dreptei d care trece prin punctul A(2, 5, 3) si este: a) paralela cu axa Oz; b) paralela cu dreapta d : x 1 = y 2 = z ; c) paralela cu dreapta d : Rezovare a) d : b) d : x 2 = y { { 2x y + 3z + 1 = 0 5x + 4y z 7 = 0. x 2 = 0, y + 5 = 0, = z 3 9. sau d : x 2 0 = y+5 0 = z 3 1. c) Avem nevoie de un vector director pentru dreapta d. Acesta este produsul vectorilor N 1 (2, 1, 3) si N 2 (5, 4, 1), vectorii normali planelor ce determina dreapta data. Se obtine N 1 N 2 = 11i + 17j + 13k, deci: d : x 2 11 = y+5 17 = z 3 13.
37 Pozitiile relative a doua drepte in spatiu Fie d 1 = A 1 + [a 1 ] si d 2 = A 2 + [a 2 ] doua drepte in spatiu. Dreptele d 1 si d 2 sunt coplanare daca si numai daca vectorii a 1, a 2, A 1 A 2 sunt coplanari (a 1, a 2, A 1 A 2 ) = 0. Pentru a verica daca dreptele sunt paralele sau nu, se determina daca vectorii a 1 si a 2 sunt sau nu coliniari, calculand produsul lor vectorial. Iar pentru a distinge intre cazurile drepte paralele si drepte confundate se verica si coliniaritatea vectorilor a 1, A 1 A 2. Obtinem astfel:
38 Pozitiile relative a doua drepte in spatiu Theorem Dreptele d 1 si d 2 sunt: 1) necoplanare (a 1, a 2, r A2 r { A1 ) 0 (a 1, a 2, r A2 r A1 ) = 0 (coplanare) 2) concurente 3) paralele 4) confundate a 1 a 2 { a 1 a 2 = 0 a 1 (r A2 r A1 ) { a 1 a 2 = 0 0 (neparalele) 0 (distincte) a 1 (r A2 r A1 ) = 0
39 Pozitiile relative ale unei drepte fata de un plan Fie drepta d = A + [a] si planul π = B + π, cu N π. Atunci: d π < a, N >= 0 si < AB, N > 0; d π < AB, N >= 0; d π = {P} < a, N > 0.
40 Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Aplicatii Example 1) Scrieti ecuatiile perpendicularei duse din A(3,-2,5) pe planul π : 4x + 3y z + 5 = 0. Rezolvare: vectorul director al perpendicularei este coliniar cu vectorul normal planului dat, astfel se obtin ecuatiile x 3 = y+2 = z Example 2) Scrieti ecuatiile perpendicularei din A(3,1,2) pe dreapta d : x 1 = y = z Rezolvare: Piciorul perpendicularei din A pe d este intersectia dintre planul prin A perpendicular pe d si dreapta d, adica B( 77, 32, 35 ). Sau se folosesc ecuatiile parametrice ale dreptei d si conditia AB d. Oana Constantinescu Lectia VII
41 Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Aplicatii Example 1) Scrieti ecuatiile perpendicularei duse din A(3,-2,5) pe planul π : 4x + 3y z + 5 = 0. Rezolvare: vectorul director al perpendicularei este coliniar cu vectorul normal planului dat, astfel se obtin ecuatiile x 3 = y+2 = z Example 2) Scrieti ecuatiile perpendicularei din A(3,1,2) pe dreapta d : x 1 = y = z Rezolvare: Piciorul perpendicularei din A pe d este intersectia dintre planul prin A perpendicular pe d si dreapta d, adica B( 77, 32, 35 ). Sau se folosesc ecuatiile parametrice ale dreptei d si conditia AB d. Oana Constantinescu Lectia VII
42 Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Aplicatii Example 1) Scrieti ecuatiile perpendicularei duse din A(3,-2,5) pe planul π : 4x + 3y z + 5 = 0. Rezolvare: vectorul director al perpendicularei este coliniar cu vectorul normal planului dat, astfel se obtin ecuatiile x 3 = y+2 = z Example 2) Scrieti ecuatiile perpendicularei din A(3,1,2) pe dreapta d : x 1 = y = z Rezolvare: Piciorul perpendicularei din A pe d este intersectia dintre planul prin A perpendicular pe d si dreapta d, adica B( 77, 32, 35 ). Sau se folosesc ecuatiile parametrice ale dreptei d si conditia AB d. Oana Constantinescu Lectia VII
43 Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Aplicatii Example 1) Scrieti ecuatiile perpendicularei duse din A(3,-2,5) pe planul π : 4x + 3y z + 5 = 0. Rezolvare: vectorul director al perpendicularei este coliniar cu vectorul normal planului dat, astfel se obtin ecuatiile x 3 = y+2 = z Example 2) Scrieti ecuatiile perpendicularei din A(3,1,2) pe dreapta d : x 1 = y = z Rezolvare: Piciorul perpendicularei din A pe d este intersectia dintre planul prin A perpendicular pe d si dreapta d, adica B( 77, 32, 35 ). Sau se folosesc ecuatiile parametrice ale dreptei d si conditia AB d. Oana Constantinescu Lectia VII
44 Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Aplicatii Example 3) Sa se determine proiectia dreptei d pe planul π, daca d : x = y 4, π : x y + 3z + 8 = 0. 4 = z Rezolvare: Se verica faptul ca dreapta d nu este perpendiculara pe planul π (in caz contrar proiectia ar consta dintr-un singur punct, proiectia oricarui punct al dreptei pe planul dat). Proiectia dreptei se obtine ca intersectia dintre planul ce contine dreapa d, perpendicular pe planul π (numit plan proiector al dreptei d) si planul π. Planul proiector este unic determinat de un punct al dreptei, de vectorul director al dreptei si de vectorul normal planului π. Se obtin ecuatiile: { x 2y z + 8 = 0, x y + 3z + 8 = 0. Oana Constantinescu Lectia VII
45 Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Aplicatii Example 3) Sa se determine proiectia dreptei d pe planul π, daca d : x = y 4, π : x y + 3z + 8 = 0. 4 = z Rezolvare: Se verica faptul ca dreapta d nu este perpendiculara pe planul π (in caz contrar proiectia ar consta dintr-un singur punct, proiectia oricarui punct al dreptei pe planul dat). Proiectia dreptei se obtine ca intersectia dintre planul ce contine dreapa d, perpendicular pe planul π (numit plan proiector al dreptei d) si planul π. Planul proiector este unic determinat de un punct al dreptei, de vectorul director al dreptei si de vectorul normal planului π. Se obtin ecuatiile: { x 2y z + 8 = 0, x y + 3z + 8 = 0. Oana Constantinescu Lectia VII
46 Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Aplicatii Example 4) Aati coordonatele simetricelor punctului A fata de planul π, respectiv dreapta d, in cazurile urmatoare: a) A(-1,2,0), π : x + 2y z = 0; b) A(-1,2,0), d : x+2 = y+1 = z 1; c) A(3,1,2) si d : x 2 = y = z+1 ; d) A(1,2,3) si π : 2x + y + z 1 = 0. Rezolvare: Se determina mai intai coordonatele lui A 0, piciorul perpendicularei din A pe plan, respectiv dreapta, iar coordonatele simetricului A se calculeaza din conditia ca A 0 este mijlocul segmentului (AA ). a) ( 7, 2, 4 ); b) ( 1, 4, 0); c) ( 37, 19, 22 ); d) (-3,0,1) Oana Constantinescu Lectia VII
47 Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Aplicatii Example 4) Aati coordonatele simetricelor punctului A fata de planul π, respectiv dreapta d, in cazurile urmatoare: a) A(-1,2,0), π : x + 2y z = 0; b) A(-1,2,0), d : x+2 = y+1 = z 1; c) A(3,1,2) si d : x 2 = y = z+1 ; d) A(1,2,3) si π : 2x + y + z 1 = 0. Rezolvare: Se determina mai intai coordonatele lui A 0, piciorul perpendicularei din A pe plan, respectiv dreapta, iar coordonatele simetricului A se calculeaza din conditia ca A 0 este mijlocul segmentului (AA ). a) ( 7, 2, 4 ); b) ( 1, 4, 0); c) ( 37, 19, 22 ); d) (-3,0,1) Oana Constantinescu Lectia VII
48 Aplicatii Example 5) Scrieti ecuatiile perpendicularei comune a dreptelor (d 1 ) x 7 = y 3 = z si (d 2) x 3 = y 1 = z Rezolvare: Vericam initial ca cele doua drepte sunt necoplanare. Metoda 1: Determinam picioarele perpendicularei comune folosind ecuatiile parametrice ale celor doua drepte. Fie PQ perpendiculara comuna, P d 1 si Q d 2 P(t + 7, 2t + 3, t + 9) si Q( 7s + 3, 2s + 1, 3s + 1). Impunand ca vectorul director PQ sa e perpendicular pe ambii vectori directori ai celor doua drepte date se determina t, s si se obtine PQ(2, 1, 4). Apoi se scriu ecuatiile dreptei prin P, de directie PQ. Metoda 2: Perpendiculara comuna se obtine ca intersectia dintre doua plane π 1 si π 2, π 1 ind planul proiector al dreptei (d 1 ) pe planul ce contine (d 2 ) si este paralel cu (d 1 ), iar π 2 este planul proiector al dreptei (d 2 ) pe planul ce contine (d 1 ) si este paralel cu (d 2 ). Se obtin ecuatiile: x 1 2 = y 1 = z+3 4.
49 Aplicatii Example 5) Scrieti ecuatiile perpendicularei comune a dreptelor (d 1 ) x 7 = y 3 = z si (d 2) x 3 = y 1 = z Rezolvare: Vericam initial ca cele doua drepte sunt necoplanare. Metoda 1: Determinam picioarele perpendicularei comune folosind ecuatiile parametrice ale celor doua drepte. Fie PQ perpendiculara comuna, P d 1 si Q d 2 P(t + 7, 2t + 3, t + 9) si Q( 7s + 3, 2s + 1, 3s + 1). Impunand ca vectorul director PQ sa e perpendicular pe ambii vectori directori ai celor doua drepte date se determina t, s si se obtine PQ(2, 1, 4). Apoi se scriu ecuatiile dreptei prin P, de directie PQ. Metoda 2: Perpendiculara comuna se obtine ca intersectia dintre doua plane π 1 si π 2, π 1 ind planul proiector al dreptei (d 1 ) pe planul ce contine (d 2 ) si este paralel cu (d 1 ), iar π 2 este planul proiector al dreptei (d 2 ) pe planul ce contine (d 1 ) si este paralel cu (d 2 ). Se obtin ecuatiile: x 1 2 = y 1 = z+3 4.
50 Aplicatii Example 5) Scrieti ecuatiile perpendicularei comune a dreptelor (d 1 ) x 7 = y 3 = z si (d 2) x 3 = y 1 = z Rezolvare: Vericam initial ca cele doua drepte sunt necoplanare. Metoda 1: Determinam picioarele perpendicularei comune folosind ecuatiile parametrice ale celor doua drepte. Fie PQ perpendiculara comuna, P d 1 si Q d 2 P(t + 7, 2t + 3, t + 9) si Q( 7s + 3, 2s + 1, 3s + 1). Impunand ca vectorul director PQ sa e perpendicular pe ambii vectori directori ai celor doua drepte date se determina t, s si se obtine PQ(2, 1, 4). Apoi se scriu ecuatiile dreptei prin P, de directie PQ. Metoda 2: Perpendiculara comuna se obtine ca intersectia dintre doua plane π 1 si π 2, π 1 ind planul proiector al dreptei (d 1 ) pe planul ce contine (d 2 ) si este paralel cu (d 1 ), iar π 2 este planul proiector al dreptei (d 2 ) pe planul ce contine (d 1 ) si este paralel cu (d 2 ). Se obtin ecuatiile: x 1 2 = y 1 = z+3 4.
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Algebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu
2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea
2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene
Geometrie liniară în spaţiu CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU 6.. Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu I. Coordonate carteziene În cele ce urmează, notăm cu E 3 spaţiul punctual tridimensional
Dreapta in plan. = y y 0
Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului
GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi
GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere
Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
b = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de adunare a vectorilor:
Trei vectori a, b, c formează untriunghi a + b + c = 0 (relaţia lui Chasles). Dacă a, b, c sunt laturi ale unui triunghi ABC, a = BC, b = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de
Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi
Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }.
ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE OANA CONSTANTINESCU 1. Centru de simetrie pentru o hipercuadrica afina Pentru inceput cadrul de lucru este un spatiu an real de dimensiune
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
3. REPREZENTAREA PLANULUI
3.1. GENERALITĂŢI 3. REPREZENTAREA PLANULUI Un plan este definit, în general, prin trei puncte necoliniare sau prin o dreaptă şi un punct exterior, două drepte concurente sau două drepte paralele (fig.3.1).
Conice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.
POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =
Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ
Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ Liliana Brǎescu Eva Kaslik Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ CURS DE GEOMETRIE Timişoara 2007
Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1
CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme
SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Introducere. ALGAD 2 - Geometrie analitica si diferentiala. Vectori liberi - produsul vectorial. Vectori liberi - produsul scalar
Introducere Introducere ALGAD 2 - Geometrie analitica si diferentiala asist.dr. Ana Nistor Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Universitatea Tehnică Gh. Asachi din Iaşi Cursurile
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu
ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială
1. Teorema lui Menelaus in plan Demonstratia teoremei in plan (clasa a VII-a). DC EC F B DB EA = 1.
TEOREMA LUI MENELAUS IN PLAN SI SPATIU OANA CONSTANTINESCU In acest material generalizam teorema lui Menelaus din planul euclidian la spatiul euclidian trei dimensional, prezentand doua metode de demonstratie,
Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi
Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana
Vectori liberi-seminar 1
Vectori liberi-seminar ) Determinati α R astfel incat vectorii ā = m+ n si b = m+α n sa fie coliniari, unde m, n sunt necoliniari. ) Demonstrati ca urmatorii trei vectori liberi sunt coplanari: ā = ī j
2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan
CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola
Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra
ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom
CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1
CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare
Subiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +
Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.
GEOMETRIE ANALITICĂ. Mihai-Sorin Stupariu
GEOMETRIE ANALITICĂ Mihai-Sorin Stupariu Sem. al II-lea, 007-008 Cuprins 1 Elemente de algebră liniară 3 1.1 Spaţii vectoriale. Definiţie. Exemple................ 3 1. Combinaţii liniare. Baze şi repere..................
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...
1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale
3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile
Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu
Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu A. U. Thor 0.1 Generalităţi Definitia 1.1 Se numeşte curbă înspaţiu dată parametric mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiuacăror coordonate sunt date de x
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
7. PROBLEME DE SINTEZĂ (punct, dreaptă, plan, metode)
PL STZĂ 115 7. PL STZĂ (punct, dreaptă, plan, metode) 7.1 Probleme reolvate 1. Se dă forma geometrică din figura 7.1. Să se repreinte epura ei şi să se studiee tipurile de drepte, plane şi poiţiile relative
RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR
CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Cuprins. I Geometrie Analitică 9
Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului POSDRU/56/1.2/S/32768, Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predareînvăţare-evaluare
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA SECŢIUNILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează
TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014
Ecuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Lucian Maticiuc SEMINAR Conf. dr. Lucian Maticiuc. Capitolul VI. Integrala triplă. Teoria:
Capitolul I: Integrala triplă Conf. dr. Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Analiza Matematică II, Semestrul II Conf. dr. Lucian MATICIUC Teoria: SEMINAR 3 Capitolul I. Integrala
2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Exemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni
Problema 1. Se dă circuitul de mai jos pentru care se cunosc: VCC10[V], 470[kΩ], RC2,7[kΩ]. Tranzistorul bipolar cu joncţiuni (TBJ) este de tipul BC170 şi are parametrii β100 şi VBE0,6[V]. 1. să se determine
CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0
DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G
Geometrie analitică şi. asist. Ciprian Deliu Universitatea Tehnică Gh. Asachi Iaşi Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului
Geometrie analitică şi diferenţială asist. Ciprian Deliu Universitatea Tehnică Gh. Asachi Iaşi Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului 014 Cuprins 1 Conice 3 1.1 Dreapta în plan............................
1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON
CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON ABSTRACT. Articolul prezintă două rezultate deosebite legate de patrulaterul inscriptibil şi câteva consecinţe ce decurg din aceste rezultate. Lecţia se adresează
4.Inversul lui z=a+bi este nr.complex, z cu proprietatea ca zz =1, rezulta z =a/(a 2 +b 2 ) (bi)/(a 2 +b 2 ) si notam z =z -1
Numere complexe 1.Multimea numerelor complexe este C=RxR={(a;b)/a,b R} cu operatiile: z 1 =(a 1 ;b 1 ), z 2 =(a 2 ;b 2 ) a 1 ;b 1 ;a 2 ;b 2 R, z 1 +z 2 = (a 1 +a 2 ; b 1 +b 2 ), z 1 z 2 = (a 1 a 2 - b
Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.
Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele
Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Curs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale
3 ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR 31 Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale Prin interpolare se înţelege următoarea problemă: se dau n + 1 puncte P 0, P 1,, P n în plan sau în spaţiu
Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!)
Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Prof. ION CĂLINESCU,CNDG, Câmpulung Voi prezenta o abordare simplă a determinării cercului lui Euler, pe baza unei probleme de loc geometric. Preliminarii:
Matrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1
CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale
Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere