MATEMATIKA ZA ŽIVOT 1

Transcript

1 Đurđica Salamon Padjen Boško Šego Snježana Šišić Josip Kličinović MATEMATIKA ZA ŽIVOT 1 UDŽBENIK SA ZBIRKOM ZADATAKA ZA 1. RAZRED ČETVEROGODIŠNJE SREDNJE ŠKOLE

2 Za izdavača: Đurđica Salamon Padjen, dipl. ing. Autori: Đurđica Salamon Padjen, dipl. ing. prof. dr. sc. Boško Šego Snježana Šišić, prof. Josip Kličinović, prof. Lektorica: Ana Horvat, prof. Stručna suradnica: Draga Dolenec-Gashi, prof. Grafička urednica: Eleni Papulkas Uporabu udžbenika odobrilo je stručno povjerenstvo Ministarstva znanosti, obrazovanja i sporta Republike Hrvatske u xxxxx xxxxx. godine CIP zapis dostupan u računalnom katalogu Nacionalne i sveučilišne knjižnice u Zagrebu pod brojem xxxxxxx. ISBN xxxxxxxxxxxxxxxx Niti jedan dio ove knjige ne smije se umnožavati ni preslikavati bez pisane suglasnosti nakladnika i autora. Izdavač Alka script d.o.o. Zagreb, Nehajska 4 tel. 01/ www. alkascript.hr Tisak

3 Đurđica Salamon Padjen Boško Šego Snježana Šišić Josip Kličinović MATEMATIKA ZA ŽIVOT 1 UDŽBENIK SA ZBIRKOM ZADATAKA ZA 1. RAZRED ČETVEROGODIŠNJE SREDNJE ŠKOLE prvo izdanje Zagreb, 018.

4 SADRŽAJ SKUPOVI BROJEVA Skup prirodnih brojeva Djeljivost u skupu prirodnih brojeva Najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik Skup prirodnih brojeva s nulim Skup cijelih brojeva Skup racionalnih brojeva Decimalni zapis racionalnog broja Zaokruživanje brojeva Skup iracionalnih brojeva Skup realnih brojeva Brojevni pravac Apsolutna vrijednost realnog broja Međusobna udaljenost točaka brojevnog pravca...5 POTENCIJE Potencije Zbrajanje i oduzimanje potencija Množenje potencija Dijeljenje potencija Potencije jednakih eksponenata Potenciranje potencija Znanstveni oblik realnoga broja Monomi i polinomi Kvadrat binoma Kub binoma Razlika kvadrata Razlika i zbroj kubova Rastav polinoma na faktore Izlučivanje zajedničkog faktora Rastav kvadratnog trinoma na faktore... 73

5 .3.3. Kvadrat binoma Kub binoma Razlika kvadrata Razlika i zbroj kubova Algebarski razlomci Skraćivanje i proširivanje algebarskih razlomaka Zbrajanje algebarskih razlomaka Množenje algebarskih razlomaka Dijeljenje algebarskih razlomaka...8 PROPORCIONALNOST Omjeri Upravna i obratna proporcionalnost Postotni račun...95 LINEARNA FUNKCIJA Koordinatni sustav u ravnini Linearna funkcija LINEARNE JEDNADŽBE I NEJEDNADŽBE Linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom Linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom problemski zadatci Linearne nejednadžbe s jednom nepoznanicom Uređaj u skupu realnih brojeva Intervali Linearne nejednadžbe s jednom nepoznanicom Linearne jednadžbe s apsolutnom vrijednošću Linearne nejednadžbe s apsolutnom vrijednošću Sustav dviju linearnih jednadžba s dvjema nepoznanicama Metoda supstitucije Metoda suprotnih koeficijenata Sustav dviju linearnih jednadžba s dvjema nepoznanicama problemski zadatci...147

6 5.8. Grafička interpretacija sustava dviju jednadžba s dvjema nepoznanicama ODNOSI U RAVNINI Trokut Opseg i površina trokuta Pravokutni trokut Jednakokračni trokut Jednakostranični trokut Sukladnost trokuta Poučci o sukladnosti trokuta Kružnica opisana trokutu Kružnica upisana trokutu Visine i težišnice trokuta Razmjernost dužina Sličnost trokuta Poučci o sličnosti trokuta Opseg i površina sličnih trokuta OSNOVE TRIGONOMETRIJE Definicije trigonometrijskih funkcija Vrijednosti trigonometrijskih funkcija šiljastoga kuta Rješavanje pravokutnog trokuta OBRADA PODATAKA Matematička statistika Srednje vrijednosti skupa podataka Aritmetička sredina Medjan Mjere raspršenosti podataka Raspon ili rang Kvartili Brkata kutija Interkvartil Varijanca i standardna varijacija... 18

7 PREDGOVOR Ovaj je udžbenik pripremljen za eksperimentalnu provedbu kurikularne reforme u četverogodišnjim srednjim školama koje imaju najviše 140 sati matematike godišnje. U skladu s naslovom eksperimentalnog programa Škola za život, našim udžbenikom Matematika za život želimo razvijati one kompetencije kod učenika koje će postati čvrsta osnova cjeloživotnog učenja. Udžbenik je podijeljen na osam poglavlja u kojima je gradivo izložene preko primjera. Primjeri su riješeni tako da učeniku približe novo gradivo, ali i da kroz njih učenik upozna matematičke procese i postupke. Poslije izloženog gradiva učenika očekuju jednostavni zadatci pomoću kojih utvrđuje i razrađuje netom usvojene činjenice. Zadatci su razvrstani u: Vježbaj!, Odgovori!, Procijeni! i Modeliraj!. Postupak rješavanja tih zadataka nalazi se u elektroničkom udžbeniku. Na kraju svakog poglavlja nalaze se zadatci za vježbu kao dodatak elektroničkom udžbeniku. Udžbenik nudi nekoliko projektnih zadataka kojima se ostvaruju ishodi međupredmetnih tema. Udžbenik se nalazi na platformi Mozabook, obogaćen je apletima Geogebre, a odabrani linkovi upućuju učenike na relevantne sadržaje na internetu. Vjerujemo da će učenici uz ovaj udžbenik lako ostvariti sve predviđene ishode u čemu im nudimo svaku podršku. Autori

8

9 SKUPOVI BROJEVA Skup prirodnih brojeva Skup cijelih brojeva Skup racionalnih brojeva Skup iracionalnih brojeva Skup realnih brojeva Brojevni pravac Apsolutna vrijednost realnog broja Međusobna udaljenost točaka brojevnog pravca 1.

10 Skupovi brojeva 1.1. Skup prirodnih brojeva Brojeve kojima prebrajamo predmete i pojave u svojoj okolini nazivamo prirodnim brojevima. Tako imamo jedan stol, dva oblaka, tri tona, četiri godišnja doba itd. Skup prirodnih brojeva obilježavamo oznakom : = {1,, 3, 4, 5, 6,... }. Kažemo da je prirodni broj element skupa = {1,, 3, 4, 5, 6,... }. Tako je, primjerice, broj element skupa, što pišemo ovako:. Skup n ima najmanji element (broj 1), a svaki sljedeći element dobijemo tako da prethodni element uvećamo za 1. Za svaki prirodni broj n 1 postoji prirodni broj koji je njegov prethodnik. Prethodnik broja n, n 1 prirodni je broj n 1. Svaki prirodni broj ima sljedbenika. Sljedbenik broja n prirodni je broj n + 1. Prirodne brojeve oblika n, n nazivamo parnim brojevima, a prirodne brojeve oblika n 1, n nazivamo neparnim brojevima. Ne postoji najveći prirodni broj. Kad bi broj a bio najveći prirodni broj, on bi, kao svaki prirodni broj, imao svog sljedbenika a + 1. Tako bismo dobili prirodni broj za 1 veći od najvećeg, što nije moguće. U skupu prirodnih brojeva definirana je računska operacija zbrajanja. Pritom je rezultat zbrajanja dvaju prirodnih brojeva (zbroj) opet prirodni broj. Brojeve koje zbrajamo nazivamo pribrojnicima. Za zbrajanje prirodnih brojeva vrijedi zakon komutativnosti ili zamjene: Zbroj se ne mijenja zamijenimo li mjesta pribrojnicima. Za bilo koja dva prirodna broja a i b ovaj zakon možemo zapisati: a + b = b + a. Za zbrajanje u skupu vrijedi i zakon asocijativnosti ili združivanja: Zbroj se ne mijenja združimo li pribrojnike na bilo koji način. 10

11 Skupovi brojeva Za tri po volji odabrana prirodna broja a, b i c to možemo zapisati ovako: Primjer 1. Izračunajmo: a + (b + c) = (a + b) + c. Uočimo da je najlakše zbrojiti 44 s 56, a 76 s 4. U tu svrhu zamijenimo mjesta pribrojnicima, a zatim ih združimo: komutativnost asocijativost = = ( ) + (76 + 4) = = = 00 U skupu prirodnih brojeva definirana je i računska operacija množenja. Ako su faktori (množenik i množitelj) prirodni brojevi, onda je i umnožak (produkt) prirodni broj. I za množenje vrijedi zakon komutacije i zakon asocijacije. Tako, za po volji odabrane prirodne brojeve a, b i c, vrijedi: Umnožak se ne mijenja zamijene li faktori mjesta. Simbolički: a b = b a. Umnožak se ne mijenja združimo li faktore na bilo koji način. Simbolički: (a b) c = a (b c). Primjer. Izračunajmo na najkraći način: Uočimo da bi bilo najlakše pomnožiti 5 sa 4 i 15 s 8, pa im zamijenimo mjesta, a potom ih združimo: komutativnost asocijativost = = (5 4) (15 8) = = =

12 Skupovi brojeva Za operaciju množenja u skupu prirodnih brojeva postoji neutralni element. To je broj 1. Naime, za svaki a vrijedi a 1 = 1 a = a, tj. umnožak bilo kojeg prirodnog broja i broja 1 jednak je tom prirodnom broju. Operacije zbrajanja i množenja povezuje zakon distributivnosti. Za bilo koje prirodne brojeve a, b, c vrijedi zakon distribucije zdesna: (a + b) c = a c + b c, odnosno zakon distribucije slijeva: a (b + c) = a b + a c. Riječima: Zbroj prirodnih brojeva množimo prirodnim brojem tako da svaki pribrojnik množimo tim brojem i dobivene umnoške zbrojimo. Primjer 3. S jedne strane školskog hodnika nalaze se 4 učionice. Svaka je učionica široka 5 m. Jedna je učionica dugačka 7 m, druga 8 m, a preostale dvije imaju duljinu po 6 m. Koliko kvadratnih metara parketa treba za prekrivanje podova tih učionica? Nacrtajmo tlocrt učionica: Možemo izračunati površinu svake učionice: 7 m 5 m = 35 m, 8 m 5 m = 40 m, 6 m 5 m = 30 m, 6 m 5 m = 30 m. Zbroj je površina podova svih učionica: 35 m + 40 m + 30 m + 30 m = 135 m. 1

13 Skupovi brojeva Manje bismo imali računanja da smo zbroj duljina svih učionica pomnožili njihovom širinom (koja je za sve učionice jednaka!): 7 m + 8 m + 6 m + 6 m = 7 m 7 m 5 m = 135 m. Primjerom smo potvrdili korisnost primjene zakona distributivnosti množenja prirodnih brojeva prema zbrajanju: = ( ) 5 Pri računanju u skupu prirodnih brojeva treba voditi računa o redoslijedu računskih operacija. Ako se u aritmetičkom izrazu pojavljuju zbrajanje i množenje, najprije ćemo pomnožiti. Kažemo da je množenje računska operacija višeg stupnja. Primjer 4. Izračunajmo Najprije ćemo izračunati 3 4 = 1, a zatim ćemo zbrojiti + 1 = 14. Otkrij kako na računalu riješiti ovaj primjer. Zapamti postupak. Primjer 5. Izračunajmo (4 + 5). Najprije treba izračunati = 9, bez obzira na to što se radi o računskoj operaciji nižeg stupnja. Sada je 9 = 18. Zadatak riješi računalom i zapamti postupak. Da bi računski izraz bio pregledniji, služimo se različitim oznakama za zagrade. Uobičajeno je razlikovati okrugle ili oble ( ), uglate [ ] i vitičaste {} zagrade, s tim da se najprije izvrše računske operacije u okruglim zagradama, zatim u uglatim i napokon u vitičastim zagradama. 13

14 Skupovi brojeva Primjer 6. Izračunajmo {1 + 4 [1 + 3 (1 + 5)]}. Najprije treba izračunati = 6, čime se zadani izraz svodi na {1 + 4 [ ]}. Sada računamo = 19 i dobivamo izraz { }. Napokon računamo = 77 pa nalazimo da zadani izraz ima vrijednost 77 = 154. Zadatak riješi pomoću računala i zapamti postupak. Vježbaj! 1. Napiši prethodnike brojeva 7, 500 i Napiši sljedbenik najvećeg troznamenkastog broja. 3. Napiši sve neparne dvoznamenkaste brojeve kojima je znamenka desetice Napiši sve parne troznamenkaste brojeve kojima je znamenka desetice 0, a znamenka stotice za 1 manja od znamenke jedinice. 5. Pronađi podatak koliko je stanovnika bilo u Hrvatskoj prema popisu stanovništva 011. godine. Napiši taj broj riječima. 6. Napiši najveći sedmeroznamenkasti broj kojemu su sve znamenke različite. 7. Zbroji. a) b) c) Zbroji primjenom zakona komutativnosti i asocijativnosti. a) b) Izračunaj opseg trokuta kojemu su zadane duljine stranica. a) 13 cm, 14 cm, 15 cm b) 7 dm, 90 dm, 78 dm 10. Pomnoži. a) b) 6 34 c) Pomnoži primjenom zakona komutativnosti i asocijativnosti. a) b) c)

15 Skupovi brojeva 1. Izračunaj. a) (3 + 5) 15 b) 40 (3 + 57) c) 7 ( ) 13. Izračunaj. a) b) Izračunaj opseg kvadrata kojemu je duljina stranice 6 mm. 15. Izračunaj površinu pravokutnika kojemu stranice imaju duljinu 16 m i 8 m. Odgovori! 1. Koje je svojstvo promijenjeno pri rješavanju sljedećih zadataka? a) = b) 17 4 = 4 17 c) = 6 + (1 + 9) d) 50 (4 314) = (50 4) 314 e) 15 ( + 3) = f) ( ) 5 = Procijeni! 1. Koji broj nastavlja niz? a) 4, 9, 14, 19,... b), 6, 18, 54,... c) 1, 4, 9, 16,.... Pomoću znamenaka 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,, 1, ne ponavljajući ih, napiši brojeve čiji je zbroj Koji broj treba pisati u kvadratiću da vrijedi jednakost? a) = 10 b) 147 : 7 = 7 Modeliraj! 1. U jednom je zečnjaku 65 zečeva, a u drugom 55. Koliko zečeva treba iz jednog zečnjaka staviti u drugi da bi u oba zečnjaka bio isti broj zečeva?. Vlasta kaže: Imam 8 godina. Utrostručiš li moje godine i još dodaš li 6 godina, dobit ćeš godine moje majke. Dodaš li mojim godinama 6 godina, pa to utrostručiš, dobit ćeš godine moga oca. Koliko godina ima Vlastina majka, a koliko otac? 3. Majka je odlučila na svaki rođendan svog sina u kasicu staviti 10 kuna više nego prethodne godine. Koliko će novca biti u kasici na deseti rođendan? 4. Pod dvorane ima oblik pravokutnika i popločan je pločicama. Uz kraći zid ima 56 pločica, a uz dulji 7. Koliko je pločica trebalo za popločavanje toga poda? 15

16 Skupovi brojeva Djeljivost u skupu prirodnih brojeva Neka je n prirodni broj. Promatrajmo umnoške: 1 n, n, 3 n,..., k n,..., gdje je k bilo koji prirodni broj. Takve brojeve nazivamo višekratnicima broja n. Prirodni je broj m višekratnik prirodnog broja n ako postoji prirodni broj k takav da vrijedi: m = k n. Neka je m prirodni broj. Ako postoje dva prirodna broja k i n, k 1, n 1, takva da vrijedi za broj m kažemo da je složeni broj. m = k n, U protivnom, ako ne postoje prirodni brojevi k i n s navedenim svojstvom, broj m je prost broj. Po dogovoru, broj 1 ne smatramo niti prostim niti složenim. Prosti brojevi jesu:, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3,... Primjer 7. Rastavimo na proste faktore brojeve 84 i 60. Broj 84 možemo prikazati kao 84 = 6 14, što nije traženi rastav, jer 6 i 14 nisu prosti brojevi, pa se oni još mogu rastaviti: 84 = 6 14 = 3 7. Analogno, rastav broja 60: 60 = 3 5. Do tog smo rastava došli postupno: 60 = 30 = 15 = 3 5. U skupu prirodnih brojeva nije definirana računska operacija dijeljenja jer rezultat dijeljenja (količnik) bilo kojih dvaju prirodnih brojeva ne mora biti prirodni broj. Dijelimo li, međutim, višekratnik nekog broja njim samim, količnik će biti prirodni broj. Kažemo da je višekratnik nekog broja djeljiv tim brojem. Prirodni broj m djeljiv je prirodnim brojem n ako je m višekratnik broja n. 16

17 Skupovi brojeva Prirodne brojeve, 4, 6, 8, 10,... nazvali smo parnim brojevima. Svi su oni višekratnici broja, jer se mogu zapisati kao: 1,, 3, 4, 5,..., dakle, djeljivi su s. Svi prirodni brojevi kojima je posljednja znamenka 0,, 4, 6, 8 jesu parni brojevi, pa su djeljivi s. Prirodni je broj djeljiv s ako mu je posljednja znamenka 0,, 4, 6 ili 8. Navedimo višekratnike broja 3: 3, 6, 9, 1, 15, 18, 1,... Zbroj znamenaka bilo kojeg od tih brojeva višekratnik je broja 3. Zbrojimo, primjerice, znamenke broja 15, = 6. Dobili smo višekratnik broja 3 (6 = 3), dakle, 15 je djeljiv brojem 3. Prirodni je broj djeljiv s 3 ako mu je zbroj znamenaka djeljiv s 3. Višekratnici broja 5 jesu: 5, 10, 15, 0, 5, 30,... Posljednja im je znamenka 0 ili 5. Zaključujemo: Prirodni je broj djeljiv s 5 ako mu je posljednja znamenka 0 ili 5. Navedimo višekratnike broja 10: 10, 0, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 10,... Uočimo da je svakom od njih posljednja znamenka 0. Prirodni je broj djeljiv s 10 ako mu je posljednja znamenka 0. Može se pokazati da za djeljivost vrijede i sljedeća pravila: Prirodni je broj djeljiv s 9 ako mu je zbroj znamenaka djeljiv s 9. Prirodni je broj djeljiv s 4 ako mu je dvoznamenkasti završetak djeljiv s 4. Prirodni je broj djeljiv s 8 ako mu je troznamenkasti završetak djeljiv s 8. Prirodni je broj djeljiv s 5 ako su mu posljednje dvije znamenke ili 5 ili 50 ili 75 ili 00. Prirodni je broj djeljiv sa 100 ako su mu posljednje dvije znamenke 0. Prirodni je broj djeljiv s 1000 ako su mu posljednje tri znamenke 0. Prirodni je broj djeljiv sa 6 ako je djeljiv i s 3 i s. 17

18 Skupovi brojeva Najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik Prirodni brojevi mogu se prikazati kao umnošci prirodnih brojeva. Tako je 15 = 3 5, 7 = 3 3. Kažemo da smo brojeve 15 i 7 faktorizirali, tj. rastavili na faktore. Budući su svi navedeni faktori prosti brojevi, to navedene rastave nazivamo rastavima na proste faktore. Djelitelj prirodnog broja n svaki je prirodni broj koji ga dijeli. Dakle, ako je pri dijeljenju prirodnog broja n prirodnim brojem m ostatak 0, broj m djelitelj je broja n. Primjer 8. Odredimo djelitelje broja 60. Rastavimo broj 60 na proste faktore: 60 = 30 = 15 = 3 5, pa su djelitelji broja 60 brojevi:, 3, 5, ali i = 4, 3 = 6, 5 = 10, 3 5 = 15, 3 = 1, 5 = 0, 3 5 = 30, 3 5 = 60 i broj 1. Zajednički djelitelj dvaju prirodnih brojeva m i n svaki je prirodni broj koji je djelitelj broja m i djelitelj broja n. Primjer 9. Odredimo zajedničke djelitelje brojeva 84 i 60. Djelitelji broja 84 jesu: 1,, 3, 4, 6, 7, 1, 14, 1, 8, 4 i 84, a djelitelji broja 60 jesu: 1,, 3, 4, 5, 6, 10, 1, 15, 0, 30 i 60. Zajednički djelitelji brojeva 84 i 60 jesu: 1,, 3, 4, 6, 1. 18

19 Skupovi brojeva Najveći zajednički djelitelj (najveći zajednički djelitelj) prirodnih brojeva m i n najveći j/e broj među zajedničkim djeliteljima zadanih brojeva. Najveći zajednički djelitelj brojeva m i n označujemo s M(m, n). Primjerice, D(60, 84) = 1. Primjer 10. Odredimo najveći zajednički djelielj brojeva 48 i 7. Rastavimo zadane brojeve na proste faktore: 48 = 3, 7 = 3 3. Napravimo sada sve moguće umnoške prostih faktora broja 48: 4, 6, 8, 1, 16, 4, 48. Dodamo li tom skupu broj 1 i brojeve iz rastava, dobili smo sve djelitelje broja 48: 1,, 3, 4, 6, 8, 1, 16, 4, 48. Djelitelji broja 7 jesu: 1,, 3, 4, 6, 8, 9, 1, 18, 4, 36, 7. Dakle, zajednički su djelitelji brojeva 48 i 7: 1,, 3, 4, 6, 8, 1, 4. Najveći od tih brojeva jest najveća zajednički djelitelj brojeva 48 i 7: D(48, 7) = 4. Za prirodne brojeve m i n kažemo da su relativno prosti ako je njihov najveća zajednička mjera broj 1. Drugim riječima, m i n su relativno prosti ako nemaju zajedničkog djelitelja većeg od 1. Tako su npr. 9 i 10 relativno prosti brojevi jer je D(9, 10) = 1. Svaki prirodni broj čija je mjera prirodni broj n nazivamo višekratnikom broja n. Zajednički višekratnik prirodnih brojeva m i n svaki je prirodni broj kojega dijele brojevi m i n. Primjerice, zajednički višekratnici brojeva 3 i 4 su redom: 1, 4, 36, 48,.... Najmanji zajednički višekratnik prirodnih brojeva m i n najmanji je od svih zajedničkih višekratnika brojeva m i n. Najmanji zajednički višekratnik brojeva m i n označujemo s v(m, n). Npr. v(3, 4) = 1. 19

20 Skupovi brojeva Primjer 11. Odredimo najmanji zajednički višekratnik brojeva 1 i 0. Višekratnici broja 1 jesu: 4, 36, 48, 60, 7, 84, 96, 108, 10,.... Višekratnici broja 0 jesu: 0, 40, 60, 80, 100, 10,.... Zajednički višekratnici brojeva 1 i 0 redom su brojevi: 60, 10, 180, 40,... Skup zajedničkih višekratnika dvaju prirodnih brojeva ima beskonačno mnogo elemenata. Najmanji zajednički višekratnik brojeva 1 i 0 jest 60. Kako računanjem dobiti najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva? Pokažimo to na primjeru brojeva 1 i 0. Rastavimo te brojeve na proste faktore. 1 = 3, 0 = 5. Uočimo da se u oba rastava nalazi. Ako taj umnožak pomnožimo onim brojevima koji se nalaze samo u jednom od rastava, dobit ćemo najmanji zajednički višekratnik zadanih brojeva: v(1, 0) = 3 5 = 60. U praksi se to izvodi ovako: Umnožak brojeva desno od crte najmanji je zajednički višekratnik. Najveću zajedničku mjeru i najmanji zajednički višekratnik, po volji odabranih prirodnih brojeva a i b, povezuje relacija: D (a, b) v(a, b) = a b. 0

21 Skupovi brojeva Primjer 1. Provjerimo prethodnu formulu koristeći se brojevima 36 i 54. Rastavimo zadane brojeve na proste faktore: Najveći zajednički djelitelj sada je a najmanji zajednički višekratnik 36 = 3 3, 54 = D(36, 54) = 3 3 = 18, v(36, 54) = = 108. Provjerimo vrijedi li: D(a, b) v(a, b) = a b. M(36, 54) v(36, 54) = = Doista, lijeva je strana jednaka desnoj Skup prirodnih brojeva s nulim Proširimo li skup prirodnih brojeva brojem 0 (nula), dobit ćemo skup 0 = {0, 1,, 3, 4,... }. Elemente ovog skupa nazivamo nenegativnim cijelim brojevima. Za elemente ovog skupa definiraju se operacije zbrajanja i množenja s istim svojstvima kao u skupu. U ovom skupu postoji neutralni element za zbrajanje 0. Naime, za svaki a 0 vrijedi a + 0 = 0 + a = a. Zbrojimo li bilo koji prirodni broj s nulom, dobit ćemo upravo taj broj. Pomnožimo li bilo koji prirodni broj nulom, rezultat je uvijek nula, tj. za svaki a 0 vrijedi: a 0 = 0 a = 0. Skup 0 nasljeđuje računske operacije i njihova svojstva iz skupa. 1

22 Skupovi brojeva Vježbaj! 1. Napiši sve brojeve manje od 100 koji su djeljivi s 1.. Zadani su brojevi 7, 44, 56, 91, 9, 99. Koji je od njih djeljiv s a) 4 b) 7 c) 9? 3. Kojim je brojevima višekratnik broj 4? 4. Napiši sve višekratnike broja 8 veće od 150, a manje od Je li 175 višekratnik broja 45? Objasni. 6. Je li 15 djelitelj broja 165? Objasni. 7. Odredi sve djelitelje broja: a) 7 b) 45 c) Napiši barem tri višekratnika broja: a) 7 b) 17 c) Napiši sve zajedničke djelitelje brojeva: a) 1 i 18 b) 15 i Odredi najmanji zajednički višekratnik brojeva: a) 16 i 4 b) 30 i Napiši barem tri zajednička višekratnika brojeva: a) 8 i 18 b) 9 i Odredi najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik brojeva: a) 54 i 7 b) 5 i 100. Odgovori! 1. Koja je tvrdnja točna? a) Svaki prirodan broj ima beskonačno mnogo višekratnika. b) Najmanji djelitelj svakog prirodnog broja jest broj 1. c) Najveći djelitelj svakog prirodnog broja veća je od tog broja.. Dovrši rečenicu. Umnožak najvećeg zajedničkog djelitelja mjere i najmanjeg zajedničkog višekratnika dvaju brojeva jednak je...

23 Skupovi brojeva Procijeni! 1. Dvoznamenkasti broj kojemu je znamenka jedinice 4 zapisujemo: a 4, gdje je a nepoznata znamenka. Koliki je a ako je zadani broj djeljiv s: a) 4 b) 9?. Odredi nepoznatu znamenku tako da je broj 11x 4 djeljiv s Odredi nepoznatu znamenku tako da je broj yx 0 djeljiv s 4. Napiši sva rješenja. 4. Koji je najmanji broj oblika yx 0 djeljiv s 9? Modeliraj! 1. Imaš 50 bombona. Želiš ih rasporediti u 8 tanjurića tako da u svakom tanjuriću bude jednak broj bombona. Na koliko načina to možeš učiniti?. Imaš 0 kvadratića. Složi od njih pravokutnik. Na koliko načina to možeš učiniti. 3. Veći kotač u jednom okretu prijeđe put od 70 cm, a manji kotač put od 40 cm. Koliko okreta mora napraviti manji kotač da prijeđe put koji veći kotač učini u 140 okreta? 3

24 Skupovi brojeva 1.. Skup cijelih brojeva U skupu prirodnih brojeva nismo definirali oduzimanje, tj. razlika bilo kojih dvaju prirodnih brojeva ne mora biti prirodni broj. Proširimo skup takvim brojevima da se razlika svaka dva prirodna broja nalazi u tom skupu. Dobili smo skup cijelih brojeva = {..., 3,, 1, 0, 1,, 3,...}. Skup cijelih brojeva čine pozitivni brojevi: 1,, 3, 4,..., negativni brojevi 1,, 3, 4,... i broj 0. Pozitivni brojevi imaju predznak + koji se ne piše, a negativni predznak. Skup nema niti najmanji niti najveći element. Za svaki njegov element a možemo odrediti prethodnika a 1 i sljedbenika a + 1. Tako je prethodnik broja 5 broj 6, a sljedbenik mu je broj 4. Dva su cijela broja suprotni brojevi ako im je zbroj nula. Ako je a, onda je a njemu suprotan broj jer je a + ( a) = 0. Tako je broj 3 suprotan broju 3, a 5 suprotan broju 5. Neka je a. Njemu je suprotan broj a. Broju a suprotan je broj ( a). Budući da je broju a suprotan i broj a, to vrijedi ( a) = a. Tako je ( 3) = 3, a 4 ( 1) = = 5. Skup cijelih brojeva nasljeđuje računske operacije zbrajanja i množenja iz skupa prirodnih brojeva sa svim njihovim svojstvima. Broj 1 neutralni je element za množenje, a broj 0 neutralni je element za zbrajanje u skupu cijelih brojeva. Za svaki a vrijedi: a 1 = a, a + 0 = a, a + ( a) = 0. Oduzimanje cijelih brojeva možemo svesti na zbrajanje sa suprotnim brojem. Ako su a i b cijeli brojevi, onda vrijedi: a b = a + ( b). 4

25 Skupovi brojeva Broj a nazivamo umanjenikom, broj b umanjiteljem, a a b razlikom brojeva a i b. Primjer 13. Izračunajmo vrijednost izraza: 3(x + y) [(x y) 3(x y)] ako je x =, y = 1. Uvrstimo zadane brojeve umjesto x i y: 3( +( 1)) [( ( 1)) 3 ( ( 1))]. Podsjetimo se da je množenje operacija višeg reda, pa nju najprije obavljamo (vodeći računa o zagradama). Umnožak cijelih brojeva jednakih predznaka pozitivan je broj. Umnožak dvaju cijelih brojeva različitih predznaka negativan je broj. 3(4 +( 1)) [( ( 1)) 3( + )]. Poštujući prioritet zagrada, izvršimo zbrajanja u okruglim zagradama. 3(4 +( 1)) [( + 1) 3( + )] = 3 3 [ 3 3 4]. Sada ponovno izvršimo naznačena množenja: 9 [6 1] = 9 ( 6) = = 15. Primjer 14. Izračunajmo ( 3 1). Izračunajmo najprije izraz u zagradi: 3 1 = 4, što gledamo kao zbrajanje dvaju negativnih brojeva: ( 3) + ( 1). Sada moramo izračunati ( 4). Ovo oduzimanje negativnog broja gledamo kao zbrajanje pozitivnog broja: + 4 = 6. Vježbaj! 1. Izračunaj. a) 3 + ( 7) b) 99 ( 11) c) 57 + ( 43) 100. Izračunaj. a) [3 ( 18)] b) 7 [( 57 13) (14 4)] 5

26 Skupovi brojeva 3. Pomnoži. a) 1 ( ) ( 1) b) 4 ( 50) ( 0) 4. Izračunaj. a) 6 10 ( 6) ( 9) b) ( 55) ( 7) 5. Izračunaj. a) 1 + {3 [140 (3 30) 70] + ( 1)} b) 5 5 { 5 5 [ 5 5 ( 5 5) 40] 40} 6. Pretpostavi da je izgradnja arene u Puli počela prve godine vladavine cara Vespazijana. Koliko je, uz tu pretpostavku, stara ta građevina? Odgovori! 1. Vrijedi li komutativnost za zbrajanje cijeli brojeva?. Vrijedi li komutativnost za oduzimanje cijeli brojeva? 3. Koji su cijeli brojevi jednaki svojim kvadratima? Procijeni! 1. Zbroj dvaju cijelih brojeva za 0 je veći od njihove razlike. Što možeš reći o tim brojevima?. Koji broj možeš napisati umjesto kvadratića da vrijedi jednakost? = Tri prijateljice našle su se na kavi i provele ugodno vrijeme. Prije odlaska zatraž ile su račun koji je iznosio 5 kuna. Svaka od njih dala je 10 kuna konobaru. Konobar nije imao 5 kuna za vratiti pa je svakoj djevojci dao po 1 kunu, a kune je zadržao sebi. Dakle, djevojke su dale po 10 kuna, konobar je svakoj vratio po jednu kunu, što znači da je svaka dala 9 kuna, a zajedno su platile 3 9 = 7 kuna. Ako su platile 7 kuna, a konobar je zadržao dvije kune, kamo je nestala jedna kuna? Modeliraj! 1. Marko je skupljao sitniš po svojim džepovima. U hlačama je pronašao 8 kn, u jakni 13 kuna, u pernici 0 kn. Je li mu to dovoljno da kupi ulaznicu za kino (5 kn) i kokice (15 kn)? 6

27 Skupovi brojeva. Jasna kaže: Zamislila sam neki broj. Dodala sam mu 17. Zbroj sam udvostručila. Dobila sam 4. Koji sam broj zamislila? 3. Temperatura je od 7 do 10 sati ujutro porasla za 5 C, a do 13 sati za još 7 C, kada je bila 13 C. Kolika je temperatura bila u 7 sati? 4. U tablici su prikazane jutarnje temperature mjerene u Mrkoplju tijekom jednog tjedna u siječnju. Koliko je iznosila prosječna jutarnja temperatura u tom tjednu? dan temperatura ( C) ponedjeljak utorak 3 srijeda 1 četvrtak 7 petak 1 subota 0 nedjelja 7 7

28 Skupovi brojeva 1.3. Skup racionalnih brojeva U skupu cijelih brojeva nismo definirali dijeljenje. Naime, količnik dvaju cijelih brojeva nije nužno cijeli broj. Tako je, primjerice, ali 1 : 3 = 4, 13 : 3. Proširimo skup tako da rezultati dijeljenja cijelih brojeva budu elementi tog novog skupa. Ako je m dijeljenik, a n djelitelj, n 0, onda njihov količnik zapisujemo u obliku razlomka m n. Ovdje m nazivamo brojnikom, a n nazivnikom tog razlomka. Brojevi koje možemo napisati u obliku razlomka čine skup racionalnih brojeva: Čitamo: je skup brojeva oblika m n nazivnik (n) prirodni broj. m Q= m Z, n N. n sa svojstvom da je brojnik (m) cijeli broj, a Uočimo da nazivnik ne može biti nula; dijeljenje nulom nije definirano u skupu. Ako je n = 1, onda je količnik m 1 = m, a to znači da je svaki cijeli broj ujedno i element skupa racionalnih brojeva. Primjeri racionalnih brojeva: ,, 5 =, 05, =, 1= Elementu skupa Q ne možemo odrediti neposrednog prethodnika niti neposrednog sljedbenika. Količnik, primjerice, brojeva 0 i 4 jednak je količniku brojeva 10 i, a to znači da su i razlomci 0 4 i 10 međusobno jednaki. 8

29 Skupovi brojeva Dva su razlomka a b i c međusobno jednaka ako su umnošci brojnika jednog d razlomka s nazivnikom drugog razlomka međusobno jednaki: a d = b c. Razlomke možemo proširivati i skraćivati. Razlomak proširujemo tako da mu i brojnik i nazivnik pomnožimo istim cijelim brojem različitim od nule. Razlomak skraćujemo tako da mu i brojnik i nazivnik dijelimo istim cijelim brojem različitim od nule. Primjer 15. a) Proširimo razlomak brojem 4. b) Skratimo razlomak a) Pomnožimo brojnik i nazivnik zadanog razlomka brojem 4: 4 8 = = b) Najveći broj kojim možemo skratiti razlomak jest najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika. U ovom je slučaju D (8, 4) = 14. Skratimo: 8 8 : 14 = =. 4 4 : 14 3 Skup jest potpuno uređen, a to znači da svaka dva racionalna broja možemo usporediti. Naime, za po volji odabrane a, b vrijedi samo jedna od triju sljedećih tvrdnji: a < b ili a = b ili a > b. Promatrajmo razlomke kojima su brojnik i nazivnik pozitivni. U slučaju da su im jednaki nazivnici, veći je onaj razlomak čiji je brojnik veći. U slučaju da su im jednaki brojnici, veći je onaj razlomak čiji je nazivnik manji. Tako je < i < Da bismo usporedili razlomke istog predznaka, nužno je da imaju jednake brojnike ili jednake nazivnike. Stoga ih svodimo na zajednički nazivnik (ili brojnik). To će biti višekratnik zadanih nazivnika (odnosno brojnika). 9

30 Skupovi brojeva Uspoređujemo li brojeve različitih predznaka, naravno, uvijek je veći pozitivan broj. Primjer 16. Usporedimo brojeve: a) i ; b) i. 0 a) Zajednički je nazivnik 18 pa prvi razlomak proširujemo s 3. Dobivamo 15 18, što je jednako drugom razlomku, pa vrijedi: 5 15 = b) Zajednički je nazivnik najmanji zajednički višekratnik brojeva 15 i 0, a to je 60. Prvi ćemo razlomak proširi s 4, a drugi s 3: pa je = =, = = >, odnosno >. 0 Brojevi a i 1 a, a 0 međusobno su recipročni brojevi. Za njih vrijedi 1 a a 1. a a Oznaka recipročnog broja je a 1. Dakle, 1 1 a a = a a= 1, a 0. Dva su racionalna broja međusobno recipročna ako im je umnožak 1. Primjeri međusobno recipročnih brojeva: i, 4 i, i, i

31 Skupovi brojeva Skup racionalnih brojeva, kao proširenje skupa cijelih brojeva, naslijedio je računske operacije definirane za cijele brojeve sa svim njihovim svojstvima. Ponovimo ta svojstva. Za po volji odabrane a, b, c vrijedi: 1. komutativnost zbrajanja: a + b = b + a,. komutativnost množenja: a b = b a, 3. asocijativnost zbrajanja: (a + b) + c = a + (b + c), 4. asocijativnost množenja: (a b) c = a (b c), 5. distributivnost množenja prema zbrajanju: (a + b) c = a c + b c, (distributivnost zdesna) a (b + c) = a b + a c, (distributivnost slijeva) 6. 0 je neutralni element za zbrajanje: a + 0 = 0 + a = a, 7. 1 je neutralni element za množenje: a 1 = 1 a = a, 8. za svaki racionalni broj a postoji suprotni broj a sa svojstvom: a +( a) = a + a = 0, 9. za svaki racionalni broj a, a 0, postoji broj koji zovemo recipročnim brojem broja a sa svojstvom: a a 1, odnosno, a a a a 1. a a 31

32 Skupovi brojeva Primjer 17. Izračunajmo brojeve: a) ; b) h) 7 4 : 3; i) ; c) ; d) ; e) ; f ) ; g) : ; 4 a) Razlomke možemo zbrajati ako imaju jednake nazivnike i tada je zbroj razlomak nazivnika koji je jednak nazivnicima pribrojnika, a brojnik mu je jednak zbroju brojnika pribrojnika: a c a c + = +, b 0. b b b Dakle, u razmatranom je primjeru b) Oduzimanje razlomaka svodi se na zbrajanje sa suprotnim brojem. U ovom se primjeru radi o oduzimanju razlomaka različitih nazivnika pa ih najprije moramo svesti na jednake nazivnike. Pritom za nazivnik razlike biramo najmanji zajednički nazivnik danih razlomaka. Budući da je v(4, 8) = 8, to će rezultat oduzimanja biti razlomak kojemu je nazivnik broj 8. Prema tome, da dobijemo razlomke jednakog nazivnika, valja nam 3 proširiti brojem, tj. moramo i brojnik i nazivnik pomnožiti brojem : = = = = c) Zajednički nazivnik razlomaka 7 3 i umnožak je njihovih nazivnika (8 i 5) 8 5 jer im je najveći zajednički djelitelj D (8, 5) = 1: = + = + = d) Umnožak dvaju razlomaka jest razlomak čiji je brojnik umnožak brojnika, a nazivnik umnožak nazivnika zadanih razlomaka: 3

33 Skupovi brojeva a b c d ac bd, b 0 i d 0. Tako je = = Dva razlomka, dakle, možemo množiti i njihov umnožak također pripada skupu. e) Prije množenja razlomke možemo skratiti. Pritom brojnik i nazivnik bilo kojeg od faktora dijelimo istim brojem. Ovdje ćemo 14 i 1 dijeliti brojem 7: = = ( : ) ( 17) = =. : 93 7 f ) Svaki je cijeli broj razlomak s nazivnikom 1, pa množenje razlomka cijelim brojem izvodimo kao množenje razlomka razlomkom: a b c a c a c = =, b 0. b 1 b Prije množenja brojeva 15 4 i 8, možemo ih skratiti (8 i 4 dijelimo s 4): g) Količnik dvaju razlomaka jest umnožak dijeljenika i recipročne vrijednosti djelitelja: a c a d a d : b d b, c bc b 0, c 0, d : h) Dijeljenje razlomka cijelim brojem izvodi se kao i dijeljenje razlomka razlomkom jer je cijeli broj razlomak s nazivnikom 1: a b c a c a a : : b, b 1 c b 0, c 0. 1 bc :

34 Skupovi brojeva i) Količnik dvaju razlomaka ponekad je napisan i kao dvojni razlomak. Neka su a, b, c, d brojevi i neka su b, c, d različiti od 0. Izraz a b c d nazivamo dvojnim razlomkom. Brojevi a i d vanjski su članovi dvojnog razlomka, a brojevi b i c unutarnji članovi. Očito je: a b a c a d ad = : = =. c b d b c bc d U dvojnom razlomku dopušteno je skraćivati bilo koji vanjski član s bilo kojim unutarnjim članom. Zadani dvojni razlomak možemo pojednostaviti tako da, umjesto glavne razlomačke crte, pišemo znak dijeljenja: = : = = Razlikujemo dvije vrste razlomaka: prave i neprave. Ako su m, n i m < n, razlomak m n nazivamo pravim razlomkom. Ako su m, n i m > n, razlomak m n nazivamo nepravim razlomkom. Tako je 3 7 pravi, a 5 nepravi razlomak. Mješoviti broj zbroj je cijelog broja i pravog razlomka. Tako je = + ; = Očito je da se mješoviti broj može prikazati u obliku nepravoga razlomka. Tako je: = + = + = ; = 5+ = + =

35 Skupovi brojeva Mješoviti broj pretvaramo u razlomak tako da cijeli broj množimo nazivnikom i tom umnošku dodamo brojnik. Tako dobivamo brojnik traženog razlomka. Nazivnik se ne mijenja. Dakle, b ac + b a+ =, c 0. c c Primjer 18. Pretvorimo mješoviti broj 3 5 u nepravi razlomak, a razlomak 17 u mješoviti broj. Prema prethodnome imamo: = + = Razlomak pretvaramo u mješoviti broj tako da brojnik dijelimo nazivnikom. Količnik je cijeli dio mješovitog broja. Ostatak je brojnik odgovarajućeg razlomka. 17 : = 8 1 Dakle, 17 = 8 1. Vježbaj! 1. Skrati razlomak. a) Izračunaj. 1 5 a) Trokut ima opseg b) c) b) c) m. Duljine dviju stranica su m i 9 18 duljina treće stranice? m. Kolika je 4. Pomnoži. 5 8 a) 3 b) 3 1 c) Napiši umjesto kvadratića odgovarajući broj a) 5 m = dm b) km = m c) 3 5 m = cm 35

36 Skupovi brojeva Izračunaj. 3 1 a) Podijeli. 1 b) a) 6 : b) 5 3 :3 c) 1 : Napiši umjesto kvadratića odgovarajući broj. a) dag = kg b) 9. Izračunaj. a) : b) Izračunaj a) b) Za a =, b = 3, c = 1 4 Odgovori! 1 1 c) d) 8 1: kg = t c) min = h 1 5 c) + : c) : 6 3 izračunaj vrijednost izraza 3b 4ac. 1. Kojim slovom označavamo skup racionalnih brojeva?. Zašto je svaki cijeli broj ujedno i racionalan? 3. Kojim brojem nije definirano dijeljenje? Zašto? 4. Znaš li koji je najveći racionalan broj? Procijeni! 1. Brzina zvuka je 300 m/s. Za koje vrijeme zvuk prijeđe pola kilometra?. Površina je pravokutnika je 8 cm, a duljina jedne njegove stranice iznosi 7 cm. 5 Koliki je opseg tog pravokutnika? 3. Josip i Ivan rješavali su test. Josip je od 5 zadataka točno riješio 0, a Ivan je od 30 zadataka točno riješio 4. Tko je bolje riješio test? 4. Kojim brojem možeš zamijeniti kvadratić? 500 : 400 = 1 :

37 Skupovi brojeva 5. Koji je broj bliže broju 1: 8 9 Modeliraj! 1. Ana je platila kg piletine kilograma iste piletine? ili 80 99? 1 5 kn. Koliko je Marija platila tri četvrtine. Koliko se odijela može sašiti od m tkanine ako je za jedno odijelo potrebno 3 4 m tkanine? 3. Od 1 kg brašna dobije se kg kruha. Koliko je brašna potrebno za 5 kg kruha? 4. U nekoj školi ima 8 učenika. Jednoga je dana 1 3 učenika bila na izletu, a 3 47 izostalo je zbog bolesti. Koliko je učenika prisustvovalo nastavi? 5. Ako je 5 3 zgrade stambeni prostor, a zgrade iznajmljeno je zalogajnici, koji 7 10 je dio zgrade neiskorišten? 6. Polovina razrednog odjela dobila je ocjenu dovoljan, a trećina je dobila ocjenu dobar. Preostalih pet učenika dobila su ocjenu odličan. Koliko je učenika u tom razrednom odjelu? Decimalni zapis racionalnog broja Racionalne brojeve zapisujemo i u decimalnom obliku. Decimalni se zapis racionalnog broja zapisanog u obliku razlomka dobije dijeljenjem brojnika nazivnikom, npr. 5 = 5: 8= 0, Decimalni broj može imati konačno ili beskonačno mnogo decimala. Ako se nakon konačnog broja koraka u dijeljenju brojnika nazivnikom dobije ostatak 0, racionalni broj ima konačan broj decimala. Npr =, ; =, ; = 0, 875; =0, Ako se prilikom dijeljenja jedna znamenka ili skupina znamenaka beskonačno puta ponavlja, broj ima beskonačno mnogo decimala, što bilježimo tako da iznad decimalnih mjesta koja se ponavljaju stavljamo točke. Skup znamenki koje se ponavlja- 37

38 Skupovi brojeva ju nazivamo periodom, a takav je broj periodičan decimalni broj, npr. 5 5:9 0, ,5. 9 = = = Primjer 19. Zapišimo u decimalnom obliku: a) 1 3 ; b) 8 11 ; c) 8 45 ; d) a) 1 = 13 : = 0, = 03, ; b) 8 = 811 : = 0, = 07, ; 3 11 c) 8 = 8: 45= 0, = 017, ; 45 d) 5 = 5: 13= 0, = 0, Primjer 0. Zapišimo u obliku razlomka: a) 0,3; b),5; c) 0,007 ; d) 0,3; e) 0,007. Decimalni broj konačnog zapisa pretvaramo u decimalni razlomak. To je razlomak čiji je nazivnik potencija broja 10: a) 0,3 = ; b) 5, = = ; c) 0, 007 = Prva dva razlomka imaju u nazivniku broj 10 jer decimalni zapis ima jedno decimalno mjesto. Treći razlomak u nazivniku ima 1000 = 10 3 jer decimalni broj ima 3 decimalna mjesta. d) Da bismo pretvorili periodični decimalni broj 0.3 u razlomak, obilježimo ga s x x = 0.3. Ovu jednadžbu možemo pisati i ovako: x = Množenjem brojem 10 dobivamo 10x = 33., Zapišemo li desnu stranu kao zbroj 10x 3 0., 3 to je 38

39 Skupovi brojeva 10x 3 x, 9x = 3 3 x =. 9 3 Zaključujemo da je 0,3 =. Napomenimo da je uobičajeno čisto periodične brojeve zapisivati s nazivnikom 9. 9 e) Da bismo pretvorili periodični decimalni broj u razlomak, period mora slijediti neposredno iza decimalne točke. Zato ćemo 0,007 zapisati kao razlomak s brojnikom 0,7 : 07, 0, 007 =. 100 Prema prethodno pokazanom postupku dobivamo: 7 07, = 9 pa je 7 07, , = = = Primjer 1. U računalo upišimo 1,6. Beskonačno periodični decimalni broj može se u računalo upisati jedino kao razlomak. Dakle, najprije je potrebno pretvoriti 5 16, =, 3 a nakon unosa razlomka (ili količnika 5 : 3), na zaslonu računala dobit ćemo prvih nekoliko decimala zadanog periodičnog broja: 1, Racionalne brojeve računalo zapisuje ili kao razlomke ili kao decimalne brojeve. Uporabom tipke S <=> D, Standardni zapis u obliku razlomka pretvaramo u Decimalni i obratno. 39

40 Skupovi brojeva Zaokruživanje brojeva Često se javlja potreba da se umjesto točne vrijednosti broja navede njegova približna vrijednost. Primjerice, udaljenost od 7 14 metra možemo zapisati kao 7,14 kilometar. Želimo li istaknuti da je taj broj odaljenost između mjesta A i B, nepotrebna je preciznost na tisućinke kilometara. Jednostavno kažemo da su mjesta A i B udaljena 7 kilometara. Ovdje smo broj zaokružili. Kod zaokruživanja broja vodimo računa o znamenci koju izostavljamo. Ako je ta znamenka 0, 1,, 3 ili 5, prethodna znameka ostaje ista. Tako možemo, primjerice, 3, 4 zaokružiti na 3,4 ili 0,15 možemo zaokružiti na o,15. Ako je znamenka koju odbacujemo 5, 6, 7, 8 ili 9, prethodnu znamenku treba povećati za 1. Tako je 7, 37 7,4, a 91,315 91,3. Znak čitamo: približno. Vježbaj! 1. Napiši u obliku decimalnoga broja. a) 9 b) c) Napiši zadani broj kao razlomak. a),5 b) 0,73 c) 0, Napiši kao decimalan broj. a) 1 b) Napiši u obliku razlomka.. a) 5,7 b). 0, c) c) ,34 5. Izračunaj... 1, 7 a) 3 (1 1, 3) b). 0,34 6. Izračunaj. a) 3 431, ,8 b) ,5 c) 3,53 ( 6,5) 7. Izračunaj. a) 8, ,065 : 3,57 b) 15 : (,5 7, : 1,8) 8. Izračunaj i rezultat zaokruži na cijeli broj. a) (6 30,6 5 30,6) : 10,9 b) 13,6 13,0 : 1, + 6,5 40

41 Skupovi brojeva 9. Kolika je vrijednost izraza zaokružena na 4 decimale? Odgovori! 3 ( 0,3)( 0, ) 1: (7 + 1, 5) 4 1. Blagajnica nema u blagajni kovanica lipa. Koliko će kuna vratiti kupcu koji plaća novčanicom 50 kuna, ako račun iznosi a) 35,70 kn b) 0,0 kn c) 45,50 kn?. Kolika je razlika između. a) 0,3 i Jesu li 3 i Procijeni! b). 0,3 i 0,3?. 0,3 recipročni brojevi? 1. U tablicu su prosječne ocjene učenika na kraju školske godine. Ime Prosjek Ante 4,3 Ema 4,94 Ivan 4,3 Olga 4,83 Una 4,45 a) Koliko ih prolazi s odličnim uspjehom? b) Tko ima najbolji prosjek? c) Poredaj učenike od njauspješnijeg do najmanje uspješnog. d) Koji bi učenik imao odličan uspjeh ako bi decimale zamijenile mjesta? e) Kojim se učenicima uspjeh ne bi promijenio zamjenom redoslijeda znamenaka iza decimalnog zareza?. Bez dijeljenja odredi koji razlomak ima konačni decimalni zapis, beskonačni periodni zapis ili mješovit beskonačni periodni zapis

42 Skupovi brojeva 3. Broj 7,4615 zaokružen je na jednu dvije, tri i četiru decimale. Koja je tvrdnja netočna? a) na jednu decimalu iznosi 7,5 b) na dvije decimale iznosi 7,46 c) na tri decimale iznosi 7,46 d) na četiri decimale iznosi 7, Koji od navedenih brojeva zaokruženi na dvije decimale iznose 3,15? 3, 147 3,1463 3,1591 3,1515 Modeliraj! 1. Litra benzina stoji 10,17 kuna. Koliko će Ante platiti ako je natočio 38,45 litara u spremnik svojeg automobila?. Američke mjere za tekućinu su bareli i galoni. Veza među njima dana je formulom 100 galona = barela. Koliko je galona barela? 3. Površina kopnenog dijela Republike Hrvatske iznosi km. Središnja Hrvatska zauzima trećinu kopnenog dijela. Na tome području živi,16 milijuna stanovnika. Kolika je gustoća naseljenosti Središnje Hrvatske? (Rezultat zaokruži na najbliži cijeli broj.) 4. U Hrvatskoj ima 8 nacionalnih parkova: Brijuni, površine 33,9 km, utemeljeni godine Kornati, površine 30 km, utemeljeni godine Krka, površine 109 km, utemeljen godine Mljet, površine 53,75 km, utemeljen godine Paklenica, površine 95 km, utemeljena godine Plitvička jezera, površine km, utemeljena godine Risnjak, površine 64 km, utemeljen godine Sjeverni Velebit, ima površinu 109 km, utemeljen godine. a) Poredaj nacionalne parkove po površini od najvećeg do najmanjeg. b) Poredajte nacionalne parkove po vremenu utemeljenja. c) Koliko je nacionalnih parkova koji su po površini manji od 100 km? d) Koliko je nacionalnih parkova utemeljeno poslije godine? 4

43 Skupovi brojeva 1.4. Skup iracionalnih brojeva Postoje brojevi koji se ne mogu prikazati u obliku razlomaka, tj. brojevi koji nisu racionalni. Takve brojeve nazivamo iracionalnim brojevima, oni čine skup iracionalnih brojeva, kojeg označujemo s I. Primjeri iracionalnih brojeva: = 1,41...; 3 = 1, ; p = 3, Iracionalni brojevi u decimalnom zapisu imaju oblik decimalnog broja s beskonačno mnogo decimalnih mjesta, ali se ni jedna znamenka niti skupina znamenaka ne ponavlja periodično. Decimalni zapis iracionalnog broja možemo odrediti samo približno (aproksimativno). Primjer. Odredimo približni iznos opsega kotača kojem je polumjer 50 cm ako uzmemo da je a) p = 3,14; b) p = 3, Koliko se puta treba okrenuti taj kotač da bi opisao ekvator Zemlje uzimajući da je približna duljina ekvatora km? Opseg kruga određujemo množenjem promjera brojem p o = rp. a) o = 50 cm 3,14 = 314 cm = 3,14 m b) o = 50 cm 3,14159 = 314,159 cm = 3,14159 m Da bismo odredili koliko će se puta okrenuti kotač pri obilasku zemaljske kugle, trebamo podijeliti put s opsegom kotača. a) m : 3,14 m = b) m : 3,14159 m = Razlika u broju okretaja u a) i b) slučaju je 6447 okretaja. To znači da bi se kotač opsega 3,14 m morao okrenuti za 6447 okretaja više nego kotač opsega 3,14159! 43

44 Skupovi brojeva 1.5. Skup realnih brojeva U izgradnji skupova brojeva pošli smo od skupa, skupa prirodnih brojeva u kojem je rezultat zbrajanja, odnosno, množenja bilo kojih dvaju prirodnih brojeva također broj iz tog skupa. Da bismo mogli oduzimati, skup prirodnih brojeva proširili smo nulom i brojevima suprotnim prirodnim brojevima i dobili skup. Očito je skup prirodnih brojeva sadržan u skupu cijelih brojeva. Kažemo da je podskup skupa i pišemo:. Rezultat dijeljenja dvaju cijelih brojeva nije nužno cijeli broj, pa smo skup proširili do skupa racionalnih brojeva u kojem se nalazi rezultat dijeljenja dvaju cijelih brojeva, pri čemu je djelitelj različit od nule. Budući da se svaki cijeli broj može prikazati u obliku razlomka, to vrijedi:. Elemente skupa prikazivali smo i u decimalnom obliku kao konačne ili periodične decimalne brojeve. Beskonačni neperiodični decimalni brojevi pripadaju skupu iracionalnih brojeva. Očito je da skupovi i nemaju zajedničkih elemenata pa kažemo da je njihov presjek 1 prazan skup te pišemo: =, gdje je oznaka za prazan skup, tj. skup koji nema niti jedan element. Skup racionalnih brojeva i skup iracionalnih brojeva zajedno čine skup realnih brojeva. Kažemo da je skup unija skupova i i pišemo: =. Odnos među skupovima brojeva je, dakle, sljedeći: i Presjek dvaju skupova čine elementi koji pripadaju jednom i drugom skupu. Presjek skupova A i B označavamo ovako: A B. Uniju dvaju skupova čine elementi koji pripadaju jednom ili drugom skupu. Uniju skupova A i B označavamo ovako: A B.

45 Skupovi brojeva 1.6. Brojevni pravac Uspostavimo vezu između točaka nekog pravca i elemenata skupa realnih brojeva. Nacrtajmo pravac x i istaknimo na njemu dvije točke: točku O i desno od nje točku E (slika 1). Točki O pridružimo broj nula (0), a točki E pridružimo broj jedan (1). Udaljenost točke E od točke O iznosi 1. To pišemo: OE = 1 ili d(o, E) = 1. Točku O nazivamo ishodištem, točku E jediničnom točkom, a dužinu OE jediničnom dužinom. Sada nije teško naći točke pravca koje su pridružene prirodnim, cijelim i ostalim racionalnim brojevima. Mogu se naći i točke pravca x koje su pridružene iracionalnim brojevima, npr., 3,... Pravac na kojem je istaknuto ishodište i jedinična točka nazivamo brojevnim pravcem. Svakom realnom broju pridružena je jedna točka brojevnog pravca, a svakoj točki brojevnog pravca pridružen je jedan realni broj. Kažemo da smo na pravcu x definirali koordinatni sustav. Uobičajeno je crtanje strelice koja pokazuje orijentaciju od točke O prema točki E. O E 0 1 slika 1 Primjer 3. Nađimo točku brojevnog pravca koja je pridružena prirodnom broju 3. Nanesimo iz ishodišta na desnu stranu pravca jediničnu dužinu triput (slika ). O E A 0 slika 1 x 3 x Kažemo da točka A ima koordinatu 3 i pišemo A(3). Broj 3 nazivamo apscisom točke A. Analogno, svakom broju n N možemo pridružiti (samo jednu) točku, A(n), brojevnog pravca (slika 3). O E A 0 1 n x slika 3 45

46 Skupovi brojeva Odredimo točke brojevnog pravca pridružene negativnim cijelim brojevima. Prenosimo iz ishodišta na lijevu stranu pravca jediničnu dužinu. Točke koje smo na taj način obilježili pridružene su brojevima 1,, 3,... (slika 4). O E x slika 4 Primjer 4. Pridružimo brojevima 3 i 3 točke brojevnog pravca x. Podijelimo jediničnu dužinu na 3 jednaka dijela. Na udaljenosti OE nalazi se 3 prva tražena točka. Označimo je slovom A. Dužinu 1 OE nanesimo puta lijevo 3 od ishodišta. Dobit ćemo drugu traženu točku. Označimo je slovom B. B 3 O A E x slika 5 Na opisani se način svakome racionalnom broju može pridružiti jedna (i samo jedna) točka brojevnoga pravca. Obrat ne vrijedi. Svakoj točki brojevnoga pravca nije pridružen racionalni broj jer postoje točke brojevnoga pravca kojima ne možemo pridružiti racionalan broj. Da bismo mogli nanositi i neke iracionalne brojeve na brojevni pravac, ponovimo Pitagorin poučak. Neka su a i b duljine kateta, a c duljina hipotenuze pravokutnog trokuta.tada vrijedi a + b = c. b a c 46

47 Skupovi brojeva Primjer 5. Pronađimo na brojevnom pravcu točku kojoj je pridružen broj. Nacrtajmo kvadrat iznad jedinične dužine. Duljinu njegove dijagonale računamo po Pitagorinu poučku: d = =. 1 O 1 slika 6 Dobiveni broj nije racionalan, ali lako, nanošenjem dijagonale kvadrata na pravac, nađemo na pravcu točku koja je pridružena broju. Prema tome, i iracionalne brojeve možemo prikazivati na brojevnom pravcu. Svakom realnom broju pridružena je točno jedna točka brojevnog pravca. Vrijedi i obrat: svakoj točki brojevnog pravca odgovara točno jedan realni broj. Vježbaj! 1. Nacrtaj točke u koordinatnom sustavu na pravcu A B C D Nacrtaj točke u koordinatnom sustavu na pravcu A B C D Nacrtaj točke u koordinatnom sustavu na pravcu. ( 5) ( 5) ( 6) A B C E x 4. Napiši barem dva racionalna broja x za koja vrijedi: a) 3 < x < 1 b) 3 x < 1 c) 1 4 < x < 5 4 d) 7 x

48 Skupovi brojeva Odgovori! 1. Točka A(a) nalazi se na brojevnom pravcu lijevo od točke B(b). Koja je od sljedećih tvrdnja točna? a) a < b b) b < a c) a = b. Na brojevnom je pravcu točka A( 4). Koja tvrdnja vrijedi za sve točke T(x) desno od točke A? x > 4 x < 4 x > 4 3. Na brojevnom je pravcu točka A(). Promatramo skup točaka T(x) za koje vrijedi x. Pripada li točka A tom skupu? 3. Zapiši matematičkim simbolom skup svih brojeva x koji su veći od i manji od a) Za koliko prirodnih brojeva vrijedi nejdnakost: < x <? b) Za koliko cijelih brojeva vrijedi nejdnakost: < x <? c) Za koliko cijelih brojeva vrijedi nejdnakost: x <? d) Za koliko racionalnih brojeva vrijedi nejdnakost: < x <? Procijeni! 1. Skupovi prikazani na slici sadrže svoje krajnje točke. Koliko cijelih brojeva sadrži zajednički dio tih skupova? 3 0, Koliko je prirodnih brojeva između 1,9 i 19 3? 7 3. Koji je od navedenih brojeva veći od? Koji je od navedenih brojeva najbliži broju 3? π 7. 3,1 48

49 Skupovi brojeva 1.7. Apsolutna vrijednost realnog broja Promatrajmo brojevni pravac. Svakoj točki pravca možemo pridružiti njezinu udaljenost od ishodišta. Ako je točka desno od ishodišta, udaljenost od ishodišta jednaka je koordinati točke. Tako je, primjerice, točka B(4) za 4 jedinice udaljena od ishodišta. Ako se točka nalazi lijevo od ishodišta, njezinoj koordinati treba promijeniti predznak kako bismo dobili udaljenost od ishodišta. Tako je, primjerice, točka A( 4) za 4 jedinice udaljena od ishodišta. Broju x pridružili smo točku brojevnog pravca A(x). Apsolutna vrijednost broja x udaljenost je točke A od ishodišta. Ishodište od samog sebe nije udaljeno, tj. njegova udaljenost iznosi 0, a to je i vrijednost njegove koordinate O(0). A O B slika 7 Na slici 7 vidi se da je udaljenost točke A od ishodišta jednaka udaljenosti točke B od ishodišta. Za njihove koordinate kažemo da imaju jednake apsolutne vrijednosti ili module. Apsolutnu vrijednost realnog broja x obilježavamo x. Iz prethodne definicije apsolutne vrijednosti slijedi da je: x ako je x< 0 x = 0 ako je x= 0 x ako je x> 0, ili, kraće zapisano: x ako je x< 0 x = x ako je x 0. Iz definicije je očito da apsolutna vrijednost realnog broja nikad nije negativna x 0 za svaki x. Naime, apsolutna vrijednost ne mijenja pozitivan broj (apsolutna vrijednost pozitivnog broja jest pozitivan broj), a negativnom mijenja predznak (apsolutna vrijednost negativnog broja pozitivan je broj). x 49

50 Skupovi brojeva Za svaki realni broj x vrijedi x = x budući da apsolutna vrijednost broja x predstavlja udaljenost točke T(x) od ishodišta. Naime, točke T(x) i T( x) jednako su udaljene od ishodišta pa su stoga i apsolutne vrijednosti njihovih koordinata jednake. Primjer 6. Izračunajmo a b ako je a) a = 3, b = 1, b) a = 3, b = 5, c) a = 3, b = 10. a) 3 ( 1) = = 4 = 4. b) 3 5 = =. c) Znamo da je 10 > 3 (jer je ( 10) > 3 ) pa je 3 10 negativan broj. U tom slučaju broju mijenjamo predznak pri izračunavanju apsolutne vrijednosti: 3 10 = (3 10 ) = = Navedimo neka svojstva apsolutne vrijednosti. 1. Apsolutna vrijednost umnoška realnih brojeva jednaka je umnošku njihovih apsolutnih vrijednosti: a b = a b za a, b.. Apsolutna vrijednost količnika dvaju realnih brojeva jednaka je količniku njihovih apsolutnih vrijednosti: a : b = a : b za a, b, b Apsolutna vrijednost zbroja realnih brojeva nije veća od zbroja njihovih apsolutnih vrijednosti: a + b a + b za a, b. (Ova se nejednakost naziva nejednakost trokuta.) 50

51 Skupovi brojeva Primjer 7. Provjerimo tri navedena svojstva apsolutne vrijednosti za 1. ( 1) = =, 1 = 1 = a =, b= : ( 1) = =, : 1 = :1 = ( 1) = 1 = 1, + 1 = + 1 = Doista, ( 1) Za koje realne brojeve vrijedi jednakost u svojstvu 3? 51

52 Skupovi brojeva 1.8. Međusobna udaljenost točaka brojevnog pravca Neka su A(a) i B(b) točke brojevnog pravca određene svojim koordinatama a i b. Te dvije točke određuju dužinu AB, koju označujemo AB. Pod duljinom dužine AB podrazumijevat ćemo međusobnu udaljenost točaka A i B i označujemo je AB ili d(a, B). Budući da je točka A udaljena od točke B upravo onoliko koliko je točka B udaljena od A, očito je AB = BA. Dakle, udaljenost ima svojstvo simetričnosti. Kako određujemo udaljenost točaka A i B? Pogledajmo njihov međusobni položaj. 1. Neka je a > b > 0, tj. a b > 0. 0 B b slika 8 Udaljenost točaka A i B dobit ćemo tako da od udaljenosti točke A od ishodišta oduzmemo udaljenost točke B od ishodišta: A a x AB = OA OB = a b = a b = a b jer je a b > 0. Ako je 0 < a < b (dakle, ako je na brojevnom pravcu točka B desno od točke A), onda je: AB = OB OA = b a = b a = (a b) = a b.. Neka je a, b < 0 i a < b < 0. To znači da je a b < 0, tj. a b = (a b). Sada je A a slika 9 B b 0 AB = OA OB = a b = a ( b) = (a b) = a b. Ako je a, b < 0 i b < a < 0 (dakle, ako je na brojevnom pravcu točka B lijevo od točke A), onda je: AB = OB OA = b a = b ( a) = a b = a b. x 5

53 Skupovi brojeva 3. Neka je b < 0 < a. B b 0 slika 10 A a x Ovdje ćemo međusobnu udaljenost točaka dobiti tako da zbrojimo njihove udaljenosti od ishodišta: AB = OB + OA = b + a = b + a = a b = a b. Zamijene li točke A i B mjesta, tj. ako je a < 0 < b, ponovno dobivamo: AB = OA + OB = a + b = a + b = (a b) = a b. Dakle, za bilo koje točke A(a) i B(b) na brojevnom pravcu vrijedi: AB = a b. Uočimo da formula vrijedi i ako se točke A i B podudaraju. Primjer 8. Odredimo udaljenost točaka A( 3 ) i B( + 1 3). AB = a b = 3 ( + 1 3) = = 1 = 1. Vježbaj! 1. Izračunaj. a) 5 7 b) 5 7 c) 5 ( ) 7. Izračunaj. a) 0, 1,5 b) 0, 1,5 c) 0, 1,5 3. Ako je a =, b = 7, c =,1 izračunaj: 3 a) a + b c b) a + b c c) a b + c d) a + b c 53

54 Skupovi brojeva Odgovori! 1. Kojim od navedenih brojeva možeš zamijeniti x tako da vrijedi 3x = 5? Zadatak ima više rješenja Za brojeve iz kojeg skupa prikazanog slikom vrijedi: x < 3? a) 3 3 b) 3 3 c) 3 3 Procijeni! 1. Kakav je odnos između brojeva a i b ako je a) a b = a b b) a b > a b? 54

55 POTENCIJE Potencije Monomi i polinomi Rastav polinoma na faktore Algebarski razlomci.

56 Potencije Rastavimo broj 88 na proste faktore. što možemo kraće zapisati.1. Potencije 88 = 3 3, 88 = 5 3. Dakle, kraće zapisujemo 5, a 3 3 kraće zapisujemo 3. Izraze poput 5 i 3 nazivamo potencijama. Primjer 1. Izračunajmo 5 4 i = = 65, = = Za realni broj a definiramo kvadrat broja a: kub broja a: i, općenito, n-tu potenciju broja a: a = a a, a 3 = a a a n a = a a a, nfaktora gdje je n prirodni broj. U potenciji (čitamo: a na entu) a nazivamo bazom (osnovicom), a n eksponentom potencije. Primijetimo da je a 1 = a. Primjer. Izračunajmo: a) 7 ; b) ( 0,3) ; c) 0 5 ; d) 5 1 ; 6 ( ) f )

57 Potencije a) 7 = 7 7= 49; b) ( 0,3) = ( 0,3) ( 0,3) = 0,09; c) 0 5 = = 0; d) e ) = = ; 64 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = 1. Ako je baza negativan realni broj, predznak potencije ovisi o parnosti eksponenta. Ako je eksponent paran, potencija je pozitivna, a ako je eksponent neparan, potencija je negativna. To znači da je za realni broj a < 0 i svaki prirodni broj k potencija a k pozitivna, a a k 1 negativna. Primjer 3. Izračunajmo koristeći se džepnim računalom: a) 0,7, b) 3 5. a) Računalo ima tipku s oznakom x. Ako je pritisnemo nakon unosa broja 0,7, rezultat će biti 0,49. b) Za ostale potencije treba se koristiti tipkom s oznakom potencije. Tako je 3 5 = Zbrajanje i oduzimanje potencija Zbroj dviju potencija, npr možemo kraće zapisati 6 4. To nije moguće učiniti sa zbrojem ili Prema tome, zbrajati i oduzimati možemo samo potencije kojima su i baze i eksponenti jednaki. Trebamo li zbrojiti 5a 4 + a 4, 57

58 Potencije zbrojit ćemo brojeve (koeficijente) 5 i, a potenciju a 4 ćemo prepisati. Dobit ćemo, dakle: 5a 4 + a 4 = (5 + )a 4 = 7a 4. Uočimo da smo se, u stvari, koristili pravilom distributivnosti. Potencije možemo zbrajati samo ako imaju jednake baze i jednake eksponente i to tako da zadanu potenciju množimo zbrojem koeficijenata pribrojnika. Primjer 4. Izračunajmo a) ; b) ; c) a 3 + 4a + 5a 3 a ; d) a 4 5b 4 b 4 + 3a 4. a) = 3 4 = 3 16 = 48; b) = = 6 7 = 16; c) Koristeći se komutativnošću i asocijativnošću zbrajanja realnih brojeva, dobivamo: a 3 + 4a + 5a 3 a = (a 3 + 5a 3 ) + (4a a ) = 7a 3 + 3a, d) Zbog komutativnosti i asocijativnosti zbrajanja imamo: a 4 5b 4 b 4 + 3a 4 = a 4 + 3a 4 5b 4 b 4 = 4a 4 6b Množenje potencija Pomnožimo a a. 4 5 Budući da je a 4 a a a a i a 5 a a a a a, to je a a ( a a a a) ( a a a a a) a. Očito je da smo bazu a ove potencije potencirali zbrojem eksponenata (4 + 5 = 9). Općenito: m n m n a a = a... a a... a= a... a= a + mfaktora nfaktora m + nfaktora a m a n = a m + n. Potencije jednakih baza množimo tako da bazu potenciramo zbrojem njihovih eksponenata. 58

59 Potencije Ako potencije nemaju jednake baze, nećemo ih moći pomnožiti. Npr. Primjer 5. Pomnožimo: a) x 3 x, b) 3 x 7 7 x , c) ab ab a b ab. a) Jedna potencija ima eksponent 3, a druga 1 pa je x x= x = x. b) Posebno smo pomnožili koeficijente (3 i 7), a posebno potencije (x 7 i x 3 ). 3x 7 7x 3 = 37 x 7+ 3 = 1x 10. c) Zbog komutativnosti množenja realnih brojeva možemo napisati ab ab = a a b b, a sada je zbog asocijativnosti množenja u skupu realnih brojeva: ab ab = ( a a ) ( b b ) = a b = ab Dijeljenje potencija Podijelimo a 9 s a a a a a a a a a a a 4 a : a a a a a a, a 0. 5 a a a a a a Ovdje se radi o dijeljenju potencija. Eksponent količnika mogli smo dobiti oduzimanjem eksponenata dijeljenika i djelitelja: 9 5 = 4. Općenito, a m : a n = a m n, a 0. Potencije jednakih baza dijelimo tako da bazu potenciramo razlikom eksponenata dijeljenika i djelitelja. Ako potencije nemaju jednake baze, pišemo ih u obliku razlomka. Npr a a : b =. 5 b 59

60 Potencije Primjer 6. Podijelimo: 7 8 a) 15xy: 5xy; b) x 5 x a) 15 xy: 5 xy= (15 : 5)( x : x)( y: y) = 3x y = 3 xy, b) Budući da razlomkom zapisujemo dijeljenje, ovaj količnik računamo ovako: 5 x 5 3 = x : x = x. x Izračunajmo sada a : a ako je a 0: a : a = a = a 0. S druge strane, dijelimo li realan broj različit od nule samim sobom, dobit ćemo 1, pa očekujemo da je a : a = 1. Budući da su lijeve strane posljednjih dviju jednakosti jednake, možemo izjednačiti njihove desne strane: a 0 = 1 za sve a, a 0. Potencija eksponenta 0 uz bilo koju bazu, različitu od 0, ima vrijednost 1. Time smo proširili skup eksponenata na skup nenegativnih cijelih brojeva. Podijelimo sada a : a 5. a : a 5 = a 5 = a 3 S druge strane, zadani količnik potencija jednakih baza možemo zapisati u obliku razlomka: 5 a a a 1 a : a. 5 3 a a a a a a a Kako su lijeve strane posljednjih dvaju izraza međusobno jednake, i desne moraju biti takve: a a Vrijedi općenito za a, a 0, n, a n 1. n a 60

61 Potencije Potencija negativnog eksponenta jednaka je recipročnoj vrijednosti potencije iste baze pozitivnog eksponenta Tako je 3 3 9, Posebno, ako je n = 1, vrijedi: a, a 0. a 1 1 Dakle, recipročnu vrijednost broja pišemo kao potenciju s eksponentom 1. Primjerice, Općenito vrijedi: Primjer 7. Izračunajmo: a) 4 ; b) a) = = = 0, b) 10 = = = 0, n a b =, ab, 0. b a.1.4. Potencije jednakih eksponenata Trebamo li pomnožiti (podijeliti) potencije jednakih eksponenata, možemo pomnožiti (podijeliti) njihove baze, a zajednički eksponent prepisati: n n n n n a b ab a : b = a: b Primjer 8. Izračunajmo: a) ,1 4 ; b) 16 3 : 8 3. n = ( ) n ( ) a) 100 0,1 = (100 0,1) = 10 = b) ( ) :8 = 16 :8 = = 8 61

62 Potencije.1.5. Potenciranje potencija Želimo li izračunati koliko je (a 3 ), razmišljamo ovako: kvadrirati a 3 znači pomnožiti a 3 samim sobom: ( a 3 ) a 3 a 3 a 3 3 a 6. Pogledamo li početak i kraj računa, možemo zaključiti da smo rezultat mogli dobiti množenjem eksponenata. Doista, općenito:... ( a m ) n a m... a m a m m a n faktora npribrojnika m n Dakle, m n mn ( a ) a. Potenciju potenciramo tako da bazu potenciramo umnoškom eksponenata. Primjer 9. Potencirajmo: a) ( abc) ; b) ( a a ) ; c) ( a ) :( a ). a) ( abc 4 3 ) 5 ( a 4 ) 5 ( b 3 ) 5 c 5 a 45 b 35 = = c 5 = a 0 b 15 c 5 ; b) ( a a 4 ) 3 ( a + 4 ) 3 ( a 6 ) 3 a 63 = = = = a 18 ; c) ( a 3 ) 6 :( a ) 5 a 36 : a 5 = = a 18 : a 10 = a Znanstveni oblik realnoga broja Jako velike i jako malene realne brojeve zapisujemo pomoću potencija u tzv. znanstvenom obliku. Tako masa Zemlje iznosi oko kg = 5, kg što je prikladnije napisati kao 5, kg. Zaokruženo, masa Zemlje iznosi kg. Slično je s masom elektrona. Utvrđeno je da ona iznosi 0, kg = 9,11 = kg. 6

63 Potencije što je za uporabu nespretno. Zapišemo li taj podatak kao 9, kg, stječe se predodžba o veličini te mase. Znanstveni oblik realnog broja umnožak je realnog broja a zapisanog u decimalnom obliku kojemu je cijeli dio jednoznamenkasti broj različit od nule i potencije broja 10 (n Z) a 10 n. Primjer 10. a) Upišimo u računalo broj 1, b) Izračunajmo: a) Zadanu potenciju možemo upisati tako da upišemo 1,31, znak množenja i na kraju zadanu potenciju. No, možemo nakon upisana broja upotrijebiti tipku x10 x čime dobivamo znanstveni oblik racionalnog broja. b) Unesemo li zadane brojeve u računalo, rezultat u obliku ne stane na zaslon. Stoga ga računalo automatski pretvara u znanstveni oblik: 6, Istaknimo pravila za računanje s potencijama: Zbrajanje i oduzimanje potencija a x n + b x n = (a + b)x n Množenje potencija jednakih baza x n x m = x n+m Množenje potencija jednakih eksponenata x n y n = (x y) n Dijeljenje potencija jednakih baza x n : x m = x n m, x 0 Dijeljenje potencija jednakih eksponenata x n : y n = (x : y) n, y 0 Potenciranje (x n ) m = x n m Potenciranje nulom x 0 = 1, x 0 Potenciranje negativnim eksponentom n 1 x, n x x 0. 63

64 Potencije Vježbaj! 1. Napiši u obliku potencije. a) b) ( ) ( ) ( ) ( ) c) d) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, Izračunaj. 3 a) 5 b) ( 6) 3 c) 4 3. Izračunaj. 4 d) 0,1 a) b) c) 4 ( 0,5) 16 ( 0,5) 4 4. Izračunaj a) 5 1 ( 4 ) 16 8 b) Izračunaj vrijednost izraz K = x 3 + x 3x + 1 za: a) x = 5 b) x = 0, c) x = 3 6. Pomnoži. a) m 3m 4 b) 0,a 7 a 4 5a c) 7. Podijeli. a) 8x 8 : 3x 3 b) 0,15a 4 b 5 : 0,5ab c) 8. Izračunaj. a) a 7 a 4 b) a 6 b 3 a b 1 c) a 4 : a 4 9. Izračunaj. 4 9 ab ab ab : ab a) (50b) 3 (10b) 3 : (0,15b) b) ab : ab Potenciraj. 3 4 a) ( xy ) 3 b) ( ab ) 3 c) ( a b) Izračunaj. 9 a) (u ) 4 (3u 3 ) 4 : (1u) b) ab : ab

65 Potencije 1. Napiši u znanstvenom obliku. a) b) 0, c) 345, Odgovori! 1. Koji broj stoji u kvadratiću? a) 10 = 10 b) 10 = 0,0001 c) = Procijeni! 1. Koja je potencija negativna? ( 1) 18 ( 1) 6 ( 1) 0 ( 1) 3. Koji je broj veći? a) ili Modeliraj! b) ili 1. Koliko je puta udaljenost Zemlje od Sunca (1, m) veća od udaljenosti Mjeseca od Zemlje (3, m)?. Masa protona iznosi 1, kg, a masa elektrona 9, kg. Koliko je puta masa elektrona manja od mase protona? 65

66 Potencije.. Monomi i polinomi Pogledajmo sljedeće izraze: x, x, 5ab, 7a, ab. To su umnošci realnog broja i potencija. Nazivamo ih jednočlanim izrazima ili monomima. Zbrojimo li dva monoma, dobit ćemo dvočlani izraz ili binom. Binomi su, npr. x 3 + x, 5a 4 b 3 4a 3 b 4, 7a 3. Monome koji zbrojeni čine binom nazivamo članovima toga binoma. Tako se binom x 3 + x sastoji od dva člana: x 3 i x. Ako zbrojimo tri monoma, dobit ćemo tročlani izraz ili trinom. Npr x x 7, 5ab ab ab, 17a b c. 4 Zbroj više monoma naziva se višečlanim izrazom ili polinomom. Takvi su: x + 7x 3x 7, 5a + ab 8ab ab + 10b, a b+ c d. 4 Uočimo da se monom sastoji od faktora, a polinom od članova. Pomnožiti dva binoma (3a + 4)(5a + 6), Primijenom zakona distributivnosti dobivamo: (3a + 4) (5a + 6) = 3a 5a + 3a a = Primjer 11. Pomnožimo ( x 5x+ )(4 x 1). = 15a 18a 0a 4 15a 38a ( 5 + )(4 1) = = ; x x x x x x x x x x x 66

67 Potencije..1. Kvadrat binoma Promatrajmo binom a + b. Njegov ćemo kvadrat izračunati tako da ga pomnožimo samim sobom: ( a b) ( a b)( a b) a ab ab b a ab b. Dakle, ( a b) a ab b. Gornju formulu nazivamo kvadratom zbroja. Desnu stranu formule čini zbroj kvadrata prvog i drugog člana zadanog binoma i dvostruki umnožak njegovih članova. Zamijenimo li u posljednjoj formuli b s ( b), dobit ćemo kvadrat razlike: ( a ( b)) a a ( b) ( b), odnosno, ( a b) a ab b. Kvadrat zbroja i kvadrat razlike jednim imenom nazivamo kvadratom binoma kojeg kraće zapisujemo: ( a b) a ab b. Pazi! ( a± b) a ± b. Primjer 1. Primjenom formule za kvadrat binoma, izračunajmo: a) (a + 3) ; b) (5 x 3 ) ; c) (a 5b) + (a + 5b). a) (a + 3) = a + a = a + 6a + 9; b) (5 x 3 ) = 5 5 x 3 + (x ) = 5 10x 3 + x 6 ; c) (a 5b) + (a + 5b) = (a) a 5b + (5b) + (a) + a 5b + (5b) = = 4a 0ab + 5b + 4a + 0ab + 5b = 8a + 50b. 67

68 Potencije... Kub binoma Zadan je binom a + b. Njegov kub možemo izračunati tako da binom pomnožimo njegovim kvadratom: 3 ( a b) ( a b)( a b) ( a b)( a ab b ) a a b ab a b ab b a 3a b 3 ab b. Dobili smo formulu za kub zbroja: ( a b) a 3a b 3ab b. Zamijenimo li u dobivenoj formuli b s ( b), dobit ćemo formulu za kub razlike: ( a ( b)) a 3a ( b) 3a( b) ( b), odnosno, ( a b) a 3a b 3ab b. Kub zbroja i kub razlike jednim imenom nazivamo kubom binoma i pišemo: ( a± b) = a ± 3a b+ 3ab ± b. Pazi! ( a± b) a ± b. Primjer 13. Uporabom formule za kub binoma, izračunajmo: a) (a + ) 3 ; b) (3a 4) 3. a) (a + ) 3 = a a + 3 a + 3 = a 3 + 6a + 1a + 8; b) (3a 4) 3 = (3a) 3 3 (3a) a = 7a 3 108a + 144a Razlika kvadrata Pomnožimo binom a + b binomom a b. Uočimo odmah da su prvi članovi tih binoma međusobno jednaki brojevi, a drugi su članovi suprotni brojevi. a b a b a ab ab b a b. Dobiveni je umnožak razlika kvadrata prvog i kvadrata drugog člana binoma s lijeve strane. ( a+ b) ( a b)= a b. 68

69 Potencije Primjer 14. Uporabom formule za razliku kvadrata, izračunajmo sljedeće umnoške: a) (a + 7)(a 7); b) (1 a 3 ) (1 + a 3 ); 1 1 c) a+ b a+ b+. a) (a + 7)(a 7) = a 7 = a 49; b) (1 a 3 ) (1 + a 3 ) = 1 (a 3 ) = 1 a 6 ; c) = ( + ) = Razlika i zbroj kubova Pomnožimo ( a b)( a ab b ) ( a b)( a ab b ) a a b ab a b ab b a b. Dobiveni umnožak ima oblik razlike dvaju kubova: Pomnožimo sada ( a b)( a ab b ). 3 3 ( a b)( a ab b ) a b ( a b)( a ab b ) a a b ab a b ab b a b. Rezultat ima oblik zbroja dvaju kubova: 3 3 ( a b)( a ab b ) a b. Formule koje smo dobili nazivamo razlikom kubova i zbrojem kubova. Primjer 15. Uporabom formule za zbroj i razliku kubova, izračunajmo sljedeće umnoške: a) (a )(a + a + 4); b) (1 + x)(1 x + x ). a) (a )(a + a + 4) = a 3 = a 3 8; b) (1 + x)(1 x + x ) = x 3 = 1 + x 3. 69

70 Potencije Vježbaj! 1. Kvadriraj zbroj. a) (a + x) b) (a + 7) c) ( + 3x) d) (4a + 5b) e) 1 a + f ) 3 4 a + b g) x y + 3. Izračunaj koristeći se formulom za kvadrat zbroja. a) 1 b) 404 c) 1,0 d) 1,1 3. Kvadriraj. a) ( a + b ) 1 b) a + a 4. Kvardiraj razliku. c) ( m 3 + m ) a) (x a) b) (5 a) c) (m 1) d) (3x 4y) 1 e) m 1 1 f ) a b g) (0,x 0,3) 5. Izračunaj koristeći se formulom za kvadrat razlike. a) 9,9 b) 998 c) 49,9 6. Kvadriraj. a) ( x x) b) x 7. Kubiraj zbroj. 1 x a) (a + x) 3 b) (1 + x) 3 c) (a + ) 3 d) + 3 a 8. Kubiraj razliku. 3 1 e) a + a 3 c) ( a b ab ) f ) ( ) 3 a b + ab a) (x ) 3 b) (1 xy) 3 c) (3a 1) 3 d) (ab 0,1) e) ( a b ) f ) a b 3 9. Pomnoži. a) (a 8)(a + 8) b) (x y)(x + y) c) + 3a 3a

71 Potencije 10. Pomnoži koristeći se razlikom kvadrata. a) b) c) Pomnoži. a) (u + v) (u uv + v ) b) (a + ) (a a + 4) 1. Pomnoži. a) (a u) (a + au + u ) b) (a 3b) (4a + 6ab + 9b ) 13. Kvadratu izraza ab 3 dodaj udvostručeni izraz 3ab 4. Što je rezu1at nakon sređivanja? 14. Pojednostavni izraz (a + 3)(a 3a + 9) 7. Odgovori! 1. Što je pogrešno izračunato? a) (a + 7) = a + 49 b) (a + 7) = 4a + 14a + 49 c) (5a a 5 ) = 5a 4 + 0a 7 + 4a 10. Otkrij pogrešku. a) (3 x) 3 = 7 x 3 b) (x + y) 3 = x 3 + x y + xy + y 3 Procijeni! 1. Promotri izraze A = (1 + x) i B = (1 x). Koji će izraz imati veću vrijednost ako je x = 0,5? a) A ili A 3 b) B ili B 3. Koji je broj veći? a) ili b) ili 71

72 Potencije.3. Rastav polinoma na faktore Neke polinome moguće je napisati u obliku umnoška. Kažemo da smo polinom faktorizirali ili rastavili na faktore. Pritom često rabimo formule za kvadrat binoma, kub binoma, razliku kvadrata, razliku kubova, zbroj kubova i slično Izlučivanje zajedničkog faktora Ako svaki član nekog polinoma sadrži isti faktor, možemo taj faktor izlučiti. Tako svaki član trinoma a ab 3ac sadrži faktor a pa taj faktor možemo izlučiti: a ab 3ac a( b 3c). Da bismo se uvjerili u ispravnost postupka, pomnožimo izraz u zagradi na desnoj strani posljednje jednakosti s a. Zbog distributivnosti množenja prema zbrajanju realnih brojeva, zaista, dobivamo zadani trinom. Primjer 16. Izlučimo zajednički faktor u sljedećim izrazima: a) a 3 a + 3a; b) 5a 5 b 3 a b 6 + a 3 b 4 ; c) 15x 3 0x + 5x. a) a 3 a + 3a = a(a 3 a + 3); b) 5a 5 b 3 a b 6 + a 3 b 4 = a b 3 (5a 3 b 3 + ab); Ako izlučujemo potenciju, potražimo onu koja ima najmanji eksponent jer je takva potencija zajednički faktor svake potencije većeg eksponenta. Da bismo saznali što ostaje nakon izlučivanja zajedničkog faktora, svaki član zadanog polinoma dijelimo izlučenim faktorom. Tako smo podijelili: 5a 5 b 3 : a b 3 = 5a 3, a b 6 : a b 3 = b 3, a 3 b 4 : a b 3 = ab. c) 15x 3 0x + 5x = 5x (3x 4x + 1). Zajednički faktor kojeg izlučujemo može biti i binom. Faktorizirajmo x(x ) + 3(x ). 7

73 Potencije Ovdje imamo dva pribrojnika: x(x ) i 3(x ). Njihov je zajednički faktor x pa ga možemo izlučiti: Primjer 17. x(x ) + 3(x ) = (x )(x + 3). Rastavimo na faktore: a) 3x 3 6x + 5x 10; b) 3a x 6a x + 5a 9x + 18x 15. a) Uočimo skupine od po dva člana. Iz prvih dvaju članova možemo izlučiti 3x, a iz zadnjih dvaju 5: 3x 6x + 5x 10 = 3x (x ) + 5(x ) = (x )(3x + 5). Isti bismo rezultat dobili uočavanjem drugih dvočlanih skupina. Mogli smo iz prvog i trećeg člana izlučiti x, a iz drugog i četvrtog : 3x 6x + 5x 10 = x(3x + 5) (3x + 5) = (3x + 5)(x ) = (x ) (3x + 5). Posljednja jednakost vrijedi zbog komutativnosti množenja. b) Uočimo prva tri člana i izlučimo a te iz posljednja tri člana i izlučimo 3: 3a x 6a x + 5a 9x + 18x 15 = a (3x 6x + 5) 3(3x 6x + 5) = = (a 3)(3x 6x + 5). Mogli smo napraviti skupine od po dva člana. Iz prvog i četvrtog člana možemo izlučiti 3x, iz drugog i petog 6x, a iz trećeg i posljednjeg 5: 3a x 6a x + 5a 9x + 18x 15 = 3x(a 3) 6x(a 3) + 5(a 3) = = (3x 6x + 5)(a 3) = (a 3)(3x 6x + 5)..3.. Rastav kvadratnog trinoma na faktore Kvadratni trinom x + px+ q, gdje su p i q realni brojevi, možemo faktorizirati ako postoje realni brojevi m i n takvi da vrijedi: m + n = p m n = q. 73

74 Potencije Tada možemo polazni kvadratni trinom napisati u obliku: x + ( m+ nx ) + mn, a njega možemo rastaviti na faktore: x + mx+ nx+ mn= x( x+ m) + nx ( + m) = ( x+ m)( x+ n). Primjer 18. Rastavimo na faktore kvadratne trinome: a) x + 7x + 10; b) x x 6. a) Pitamo se postoje li dva cijela broja kojih je zbroj 7, a umnožak 10. Umnožak 10 imaju brojevi: 1 i 10, 1 i 10, i 5 te i 5. Od tih parova odabiremo onaj čiji je zbroj 7, a to su i 5. Imamo: x + 7x + 10 = x + x + 5x + 10 = x(x + ) + 5(x + ) = (x + )(x + 5). b) Za rastav trinoma na faktore, tražimo cijele brojeve kojih je umnožak 6. Takvi su i 3, i 3, 1 i 6 te 1 i 6. Od tih parova brojeva odabiremo onaj par brojeva zbroj kojih je 1, a to su brojevi i 3. Sada srednji član zadanog trinoma ( x) možemo napisati kao x 3x: x x 6 = x + x 3x 6 = x(x + ) 3(x + ) = (x + )(x 3) Kvadrat binoma Formule za kvadrat binoma možemo napisati i ovako: a + ab+ b = ( a+ b), i primijeniti pri faktorizaciji. a ab+ b = ( a b) Primjer 19. Rastavimo na faktore: a) 4a 4a + 1; b) ab + ac + b + bc + c ; c) 4x 4x + 36 ax + 3a. 74 a) 4a 4a + 1 = (a) a = (a 1) ; b) Uočimo skupine od prvih dvaju članova i posljednjih triju članova. Iz prve skupine izlučimo a, a u drugoj prepoznajemo kvadrat binoma: ab + ac + b + bc + c = a(b + c) + (b + c) = (b + c)(a +(b + c)) = (b + c)(a + b + c),

75 Potencije c) 4x 4x + 36 ax + 3a = 4(x 6x + 9) a(x 3) = 4(x 3) a(x 3) = = (x 3)[4(x 3) a] = (x 3)(4x 1 a) Kub binoma Pri faktoriziranju polinoma možemo rabiti formule za kub binoma: Primjer 0. a 3 3a b 3ab b 3 ( a b) 3, a 3 3a b 3ab b 3 ( a b) 3. Rastavimo na faktore: a) 8 + 1x 3 + 6x 6 + x 9 ; b) x 4 3x 3 + 3x x. a) 8 + 1x 3 + 6x 6 + x 9 = x (x 3 ) + (x 3 ) = ( + x 3 ) 3, b) x 4 3x 3 + 3x x = x(x 3 3x + 3x 1) = x(x 1) Razlika kvadrata Formula razlike kvadrata može se napisati u obliku a b ( a b)( a b) i rabiti pri rastavu polinoma na faktore. Primjer 1. Rastavimo na faktore: a) 5 a ; b) x ; 81 c) ( + 3x) (3 x). a) 5 a = 5 a = (5 a)(5 + a); b) x = x x x x x ; = c) ( + 3x) (3 x) = [( + 3x) (3 x)][( + 3x) + (3 x)] = 4 1 = ( + 3x 3 + x)( + 3x + 3 x) = (5x 1)(x + 5). Pazi! Ne možeš faktorizirati zbroj kvadrat a + b. 75

76 Potencije.3.6. Razlika i zbroj kubova U zadacima rastava polinoma na faktore, ponekad je potrebno rabiti i formule za razliku kubova ili za zbroj kubova: 3 3 a b ( a b)( a ab b ), 3 3 a b ( a b)( a ab b ). Primjer. Rastavimo na faktore: a) 7a 3 + 8, b) x 6 1. a) 7a = (3a) = (3a + )(9a 6a + 4); b) Valja uočiti razliku kvadrata i rastaviti je na faktore: x 6 1 = (x 3 ) 1 = (x 3 1)(x 3 + 1) = (x 1)(x + x + 1)(x + 1)(x x + 1). Vježbaj! 1. Napiši u obliku kvadrata zbroja. a) x + xy + y b) x 4 + x y 3 + y 6 c) 4 + 4x + x 1 1 d) a + 10a + 5 e) 0,01a + 0,04ab + 0,04b f) + + x xy y. Napiši u obliku kvadrata zbroja. a) a ab + b b) a 4 16a + 64 c) 4m 1mn + 9n d) x xy + y e) 1 a+ a Napiši u obliku kuba zbroja. a) a 3 + 3a + 3a + 1 b) 8 + 6a + 1a + a 3 c) 7x x + 36x + 8 d) a a b + ab + b Napiši u obliku kuba razlike. 3 3 a) a 3 3a b + 3ab 4 b 6 b) 8a 3 4a b + 4ab 8b 3 c) x+ x x d) x x + 1x

77 Potencije 5. Napiši u obliku umnoška. a) 100 x b) 81a 64b c) 0,01 4a 5 16 d) a 4 b 4 e) a b 1 f ) a Izračunaj koristeći se razlikom kvadrata. a) b) c) 0.7 0,3 7. Pojednostavi izraz. a) (a + x) (a x) b) (x y) (x + y) c) 16 (a + ) 4 8. Rastavi na faktore. a) x 3 8 b) 1 x 3 y c) a b Rastavi na faktore. a) a 3 + x 3 b) 0,001a 3 b c) 7a 3 15b Rastavi na faktore. a) (a 8) 3 (a + 8) 3 b) (x y) 3 + (x + y) Izluči zajednički faktor. a) 4a + 8b b) a + ab c) 10a + 8a 1a 3 d) (x + 1) + x(x + 1) e) a(a b) 3b(a b) 1. Napiši u obliku umnoška. a) ax + ax + a b) 5a 4 0a 3 b + 16a b c) a 3 ab d) 5a 4 10a3b + a b e) a 4 b ab 4 f ) x a 13. Napiši u obliku umnoška. a) a + au + a + u b) 6a 9b + 4a 6ab c) a 3 4a 4a + 16 d) 14. Napiši u obliku umnoška. 1 1 ax + ay x xy a) a + 6a + 8 b) x 5x + 6 c) a + ab 4b 77

78 Potencije Odgovori! 1. Što treba napisati u kvadratić? a) a + 6a + = (a + 3) b) a 10ab + 5b = ( 5b) c) x 6 + 3x 4 y + 3x y + y 3 = (x + ) 3 d) 75a + 15a a 3 = (5 a) 3 e) 100 x 6 = ( x 3 )( + x 3 ) f ) x 3 = ( x)(4 + x + x ) g) a = (a + )(a 3a + 9). Koji je izraz kvadrat binoma 1 1 a +? a) a + b) a + a+ c) a a Ako je x 3 y 3 = abc i x + xy + y = b, koliko je x y? 1 a) a b) ab c) ac d) c 1 4. Ako je a b = 7 i ako je a + b = 9, koliko je a b? a) 9 b) 8 c) 7 5. Kolika je površina kvadrata stranice a + 7? 6. Kolika je površina pravokutnika stranica a + 7 i a 7? 7. Za koji x zadani izrazi nisu definirani? a) 4 b) 4 c) 4 x x 4 x 7x Zbroj dvaju brojeva je 70, a njihov je umnožak 600. Koliki je zbroj kvadrata tih brojeva? 9. Pojednostavi izraz 3a(a + 1) (a + 3)(3a 3 3a +a 1). Procijeni! 1. Što je rezultat sređivanja izraza a(a 1)(a )? a) a 3 b) a 3 3a c) a 3 d) a 3 + 3a +a. Izrazu a + 8b doda se udvostručen izraz a 4b. Što je rezultat nakon sređivanja? a) 3a b) 3a c) 3a + b d) 16b 3. Odredi monom koji je prekrio kvadratić. (x + x + 3)(x 4x + 1) = x 3 x x

79 Potencije 4. Koji je izraz za 4 manji od kvadrata binoma x? a) x 4x + 4 b) x 4x c) x 4 5. Izračunaj. a) b) Koji izraz nije faktoriziran? a) (x + 1)(x + 1) b) (x + 1) c) x(x + ) + 1 Modeliraj! 1. Stranice trokuta imaju duljne: x + 3x, x + i x + x + 1. Koliki je opseg tog trokuta?. Cijena C nekog proizvoda snižena je za 5 %, pa je povećana za %. Sada iznosi (C 0,05C) + 0,0 (C 0,05C). Uvjeri se da ove dvije promjene cijene nisu isto kao i sniženje za 3 %: C 0,03C. 3. Objasni grafičku interpretaciju kvadrata zbroja (a + b). a a b b 79

80 Potencije.4. Algebarski razlomci Razlomak čiji je i brojnik i nazivnik polinom nazivamo algebarskim razlomkom. Treba voditi računa o tome da razlomak nije definiran ako mu je nazivnik jednak nuli. Tako je, primjerice, razlomak 5 definiran za svaki a, b R osim za a = 0 ili b = 0. ab Razlomak a 1 a 1 definiran je za svaki realni broj, osim za a = 1, dok je x definiran za svaki realni broj x, osim za x = 3 i x = 3 jer je u tim slučajevima x 9 = 0, x 9 a dijeljenje s nulom nije definirano. Svojstva računskih operacija u skupu realnih brojeva prenose se i na algebarske razlomke Skraćivanje i proširivanje algebarskih razlomaka Razlomak skraćujemo tako da mu brojnik i nazivnik dijelimo zajedničkim faktorom različitim od nule. Da bismo mogli skraćivati algebarske razlomke, potrebno je faktorizirati i brojnik i nazivnik. Primjer 3. Skratimo razlomke: ab a 8a+ 15 a) ; b). a a a 10a+ 5 a) ab = ab = b ; a ab a( a b) a b a 8a+ 15 a 3 a 5a+ 15 a( a 3) 5( a 3) ( a 3)( a 5) a 3 b) = = = =. a 10a+ 5 ( a 5) ( a 5) ( a 5) a 5 Algebarske razlomke proširujemo tako da brojnik i nazivnik pomnožimo istim brojem ili algebarskim izrazom različitim od nule. Primjer 4. Proširimo razlomke b 1 a,, a ab a + ab a b tako da im nazivnici budu jednaki. 80

81 Potencije Najprije ćemo zadane nazivnike rastaviti na faktore: a ab = a(a b), a + ab = a(a b), a b = (a b)(a + b). Uočimo da će najmanji zajednički nazivnik biti najmanji zajednički višekratnik dobivenih izraza, a to je a(a b)(a + b). Zato prvi razlomak proširujemo s a + b, drugi s a b, a treći s a: b b ba ( + b) = =, a ab aa ( b) aa ( b)( a+ b) 1 1 a b = = a + ab aa ( + b) aa ( b)( a+ b) a 3 = a = a. a b ( a b)( a+ b) a( a b)( a+ b),.4.. Zbrajanje algebarskih razlomaka Algebarske razlomke zbrajamo (ili oduzimamo) tako da ih najprije svodimo na zajednički nazivnik, a onda brojnike zbrojimo (ili oduzimamo). Zajednički je nazivnik dvaju ili više razlomaka najmanji zajednički višekratnik njihovih nazivnika. Primjer 5. Zbrojimo: a) 4 a+ 1 a ; b) + ; c) a+ 1 a+ 1 x+ x 1 a) 4 a+ 1 a 3 4 a+ 1 + a 3 6 a + = = a+ 1 a+ 1 a+ 1 a+ 1 a+ b a + b ; a b a b d) 3 x + x + x +. b) c) d) 3 3( x 1) + ( x+ ) 3 x 3+ x+ 4 5x+ 1 + = = = ; x+ x 1 ( x+ )( x 1) ( x+ )( x 1) ( x+ )( x 1) a + b a + b ( a + b ) ( a + b ) a + ab + b a b ab = = = a b ( a b)( a+ b) ( a b)( a+ b) a b a b x x + x + x+ = x x+ 1 + x+ 1 = + ( ) ( ) xx ( + 1). 81

82 Potencije.4.3. Množenje algebarskih razlomaka Algebarske razlomke množimo tako da množimo brojnik brojnikom, nazivnik nazivnikom. Primjer 6. Pomnožimo x x 4 3 x 9. 9 x+ Najprije rastavimo na faktore sve polinome u oba razlomka, zatim skratimo i napokon pomnožimo razlomke. x x x x+ x x = = x x x x x x ( )( ) 3( 3) 3( ) 9 + ( 3)( + 3) Pazi! Kratiti možeš tak kad je sve skraćeno Dijeljenje algebarskih razlomaka Algebarske razlomke dijelimo tako da prvi razlomak množimo recipročnom vrijednošću drugog razlomka. Pritom se, kao kod racionalnih brojeva, recipročna vrijednost dobije zamjenom mjesta brojnika i nazivnika. Prije množenja, ako je moguće, razlomke treba kratiti. Primjer 7. Podijelimo :. x 4 4 x 8 x x x x ( ) ( 5) 4( 5) 4 = = = x 4 4 x 8 ( x )( x+ ) xx ( 4) x+ xx ( 4) x x + : x x x x x + x xx x ( x 5)( x 4) 4 x 5 4 4( x 5) = = = x+ xx ( 4) x+ x xx ( + ) 8

83 Potencije Vježbaj! 1. Skrati razlomke. a) xy + y xy b). Izračunaj a) Skrati razlomke. 3 a 3a + 3a 1 a) 3 a 1 4. Zbroji razlomke. 5 ab( a + b) 5 aba ( b) b) c) a + ab + b a b 3 a 4a+ 3a 1 b) c) a 4a+ 4 x x 6 x 6x+ 9 a 6 a+ 1 b 1 a a) + b) + c) a 3a ab a b 5. Pojednostavi izraz x + xy xy + y a) x y x + xy xy y b) 6. Pomnoži razlomke. x 10 10x a) 0 b) x y 3 x+ 3 y x 5x 6 x y c) 3 3 x y x+ y x + xy + y x y 7. Izračunaj vrijednost izraza za a = 0,5. a) a 3 a + a 3 a 3 b) + a Podijeli. a) x 4 9 : x b) x x 6 9. Pojednostavi. d) 3 x x x x a b b + a b a+ b a b x x x 9 a a a a 1 a+ 4 a 3 + x 4 y : x + y x 4xy + 4y x xy 1 3a a) + : a a a 4 b) + : a+ b a b a b a+ b 83

84 Potencije Odgovori! 1. Koji je rezultat sređivanja izraza: a 4? a a 4 Za koji a taj izraz nije definiran? 3 ( a + ). Koji je rezultat oduzimanja razlomaka? a + 1 a 1 Za koji a rezultat nije definiran? Za koji a zadani izraz nije definiran? Procijeni! 1. Kolika je vrijednost izraza a b ako je a =. Napiši algebarski izraz koji možeš skratiti s: a) 3 b) a c) 3a d) 3 + a Modeliraj! 1 x y, b = 1 x+ y? 1. Racionalni izraz 114x C = predstavlja cijenu preventivnih pregleda kako bi se 100 x na vrijeme bolest počela liječiti. Ovdje je x postotak pregledanog stanovništva, a cijena je izražena u milijunima kuna. a) Koliko su stajali preventivni pregledi ako je pregledano 14 posto stanovništva? b) Koliko su stajali preventivni pregledi ako je pregledano 94 posto stanovništva? c) Za koji x ovaj izraz nije definiran? Što to u praksi znači? 84

85 PROPORCIONALNOST Omjeri Upravna i obratna proporcionalnost Postotni račun 3.

86 Proporcionalnost 3.1. Omjeri Ako Marko ima 16 kuna, a njegov brat Ivan 8, kažemo da Marko ima puta više novca od Ivana. Dakle, uspoređujemo dvije veličine: količinu novca koju ima Marko uspoređujemo s količinom novca što je ima Ivan. Pritom smo iznos koji ima Marko podijelili iznosom kojim raspolaže Ivan, to jest odnos navedenih dviju količina novca slijedi kao rezultat dijeljenja 16 : 8, što možemo pisati i u obliku razlomka Uočimo da smo uspoređivali dvije istoimene veličine (novac). Omjer je količnik dvaju brojeva a i b različitih od nule, pišemo a : b. Prvi je član omjera a, a drugi je b. Upravo iz činjenice da omjer predstavlja količnik dviju (istoimenih) veličina, slijede sljedeća važna pravila: 1. Vrijednost se omjera ne mijenja ako se oba člana omjera pomnože ili podijele istim brojem različitim od nule. Ako članove omjera množimo istim brojem k 0, kažemo da smo omjer proširili (faktorom k), a ako smo ih podijelili istim brojem k 0, kažemo da smo omjer skratili (faktorom k).. Dva su omjera jednaka kad su im količnici jednaki. Primjer 1. Pojednostavimo sljedeće omjere: a) 5 : 55; b) 5,4 : 7,; c) : ; d) 5 3 : 4. a) 5 : 55 = (5 5) : (5 11) = 5 : 11 jer smo članove omjera mogli skratiti s 5. Uočimo da smo do navedenog rezultata mogli doći i koristeći se pravilima koja vrijede za razlomke: 5 : :. 86 b) 5,4 : 7, = 54 : 7 (omjer smo proširili za faktor 10) = 3 : 4 (omjer smo skratili s 18). c) : : 5: 4, svaki član omjera proširili smo faktorom 5 4.

87 Proporcionalnost d) : : 16 : 3. Ako je poznat drugi član omjera b i vrijednost k omjera a : b, možemo izračunati prvi član. Naime, iz a : b = k slijedi a = b k. Primjer. Izračunajmo prvi član omjera ako je: a) x : 5 = 10; b) x : 5 1 = ; c) x : a a 1 =. a) x : 5 = 10, to jest x b) x: =, to jest x= = = 10 pa je x = 10 5 = a 1 a 1 c) x : a 1, x a 1 a 1. a 1 = to jest = ( ) a 1 = ( + )( ) = + a 1 Ako je poznat prvi član omjera a i vrijednost k omjera a : b, to jest ako je a : b = k, a možemo izračunati drugi član. Naime, iz a : b = k slijedi b =. k Primjer 3. Izračunajmo drugi član omjera ako je: a) 4 : x = 0,5; b) 5 : x = ; c),3 : x = 1, a) 4 : x = 0, 5 = 05, x = = = 16. x 05, 1 4 b) : x 3 = 7. x = 7 x = 5 = 35 = , 3, c) 3, : x = 1, 15 = 115, x = =. x 115, 87

88 Proporcionalnost Vježbaj! 1. Pojednostavi omjere. a) 5 : b) 3 1 : Napiši omjer tako da drugi član bude 1. c) 0,06 : 0,04 a) 7 : b) 1 : 0,5 c) 9 : 3 3. Izračunaj vrijednost omjera. a) 51 : 34 b) 16 km : 80 km c) 10,8 m : 144 dm Odgovori! 1. Na geografskoj karti piše: 1 : Ako su točke A i B na karti udaljene cm, kolika je stvana udaljenost mjesta A i B u kilometrima?. Veličine kutova trokuta odnose se kao : 3 : 4. Koliki su ti kutovi? Modeliraj! 1. Ivan i Marko dijele 10 kn u omjeru : 3. Koliko će dobiti svaki?. Omjer širine i visine ekrana televizora jest 16 : 9. Ako je visina ekrana 0,5 m, kolika mu je širina? 3. Omjer svinjskog i junećeg mesa u kobasicama jest 4 : 3. Ako je nabavljeno,5 kg svinjetine za kobasice, koliko još treba kupitit junetine? 4. Trojica prijatelja kupila su lutriju tako da su platili 1 kn, 8, kn i 37 kn. Dobitak od kn podijelili se proporcionalno ulogu. Koliko je svaki dobio? 88

89 Proporcionalnost 3.. Upravna i obratna proporcionalnost Ako dvije veličine x i y ovise jedna o drugoj tako da povećanje (ili smanjenje) jedne od njih k puta povlači povećanje (odnosno smanjenje) druge veličine k puta, kažemo da su veličine x i y upravno proporcionalne. Pišemo y =k ili y = kx. x Dakle, količnik upravno proporcionalnih veličina uvijek je konstantan. Konstantni količnik zove se faktor proporcionalnosti. Primjer 4. Neka osoba u trgovini kupi kg jabuka i za to plati 14 kn. Idući dan kupi 3 kg jabuka i za to plati 1 kn. Za nekoliko dana kupi 5 kg jabuka i plati 35 kn. Što možemo na temelju navedenih podataka zaključiti? Cijena 1 kg jabuka pri prvoj kupnji iznosila je 14 kn = 7 kn. Pri idućoj kupnji cijena 1 kg jabuka iznosila je 1 kn = 7 kn, 3 a pri posljednje navedenoj 35 kn = 7 kn. 5 Dakle, cijena 1 kg jabuka u navedenoj trgovini nije se mijenjala u razmatranom vremenskom razdoblju. U ovom su primjeru količina jabuka x (izražena u kg) i novčani iznos y (izražen u kunama), potreban za nabavku te količine, upravno razmjerne veličine. Uočimo da smo vrijednosti tih dviju veličina x i y mogli predočiti u koordinatnom sustavu xoy. Naime, vezu između njih opisuje funkcija y = 7x jer je riječ o upravno proporcionalnim veličinama s faktorom proporcionalnosti k = 7. To znači da točke (, 14), (3, 1) i (5, 35) pripadaju jednom pravcu koji sadrži ishodište koordinatnog sustava (slika 1). Riječ je o 3 kolinearne točke. 89

90 Proporcionalnost y x slika 1 Primjer 5. Pokažimo da su, u slučaju jednolikog gibanja, put s i vrijeme t proporcionalne veličine. s Budući da je, u slučaju jednolikog gibanja, brzina v = konstantna, faktor proporcionalnosti jest upravo v. Vidimo da je s = v t. Promatramo li prijeđeni put s kao t funkciju vremena t, t 0, graf te funkcije jest polupravac s početkom u ishodištu koordinatnog sustava, koeficijenta smjera v (slika ). s slika 4 5 t 90

91 Proporcionalnost Primjer 6. Neka osoba želi za 1000 kn kupiti u mjenjačnici eure. Koliko će eura kupiti ako mjenjačnjica za 1 euro traži: a) 7,4 kn; b) 7,5 kn? Očito, traženu količinu eura izračunat ćemo dijeleći 1000 kn (kunski iznos koji želimo pretvoriti u eure) tečajem (koji u ovom primjeru predstavlja količinu kuna koju valja izdvojiti za 1 ). To znači da je u razmatranim slučajevima a) , 14 ; b) , , 75, Uočimo: ako se tečaj smanji, povećava se količina eura koju se za točno određenu (fiksnu) količinu kuna može u mjenjačnici kupiti i, obratno, smanji li se tečaj, povećava se količina eura koju možemo za navedeni fiksni iznos kuna kupiti. Dakle, označimo li s x tečaj, s y traženu iznos u eurima, a s k (fiksni) iznos kuna koji želimo promijeniti u eure, to možemo pisati na sljedeći način: k = y ili x y = k. x Ako dvije veličine x i y ovise jedna o drugoj na način da, ako se jedna od njih poveća (ili smanji) k puta, druga se veličina za toliko puta smanji (odnosno poveća), kažemo da su veličine x i y obratno proporcionalne. Pišemo k y = ili x y = k. x Dakle, umnožak obratno proporcionalnih veličina konstantan je. Primjer 7. Ako 8 radnika završi određeni posao za 6 sati, za koliko će sati taj posao obaviti 1 radnika uz pretpostavku da je učinkovitost svakog radnika podjednaka? Što znači da je učinkovitost svakog radnika podjednaka? To znači da za 1 sat svaki radnik obavi jednaku količinu određenog posla. U ovom primjeru 8 radnika završi posao za 6 sati pa je ukupno potrebno k = 8 6 = 48 sati rada da bi se taj posao oba- 91

92 Proporcionalnost vio. Ta je veličina nepromjenljiva (fiksna). Označimo li broj radnika s x, a broj sati koliko će svaki od njih raditi određeni posao s y, onda je x y = 48, to jest y = 48 x ili, u našem primjeru, y = 48 x = 48 1 = 4. Prema tome, navedeni posao obavit će 1 radnika radeći po 4 sata. Navedeno smo mogli predočiti i grafički (slika 3). s x Slika 3 9 Primjer 8. Ukupni godišnji neto prihod neke tvrtke u iznosu kn realiziran je proizvodnjom i prodajom komada proizvoda P, koje je proizvelo i prodalo 6 uposlenika. Ako se neto prihod dijeli na jednake iznose, koliko je dobio svaki uposlenik? Koliko bi svaki dobio da ih je bilo zaposleno a) 4; b) 8? Koliko je trebalo biti proizvedeno i prodano komada proizvoda P ako se željelo da svaki uposlenik (od njih 6) dobije po kn, uz pretpostavku da troškovi po jedinici proizvoda i jedinična cijena ostaju nepromijenjeni?

93 Proporcionalnost Svaki uposlenik dobit će jednak iznos = 80000kn. Da ih je bilo 4, dobili 6 bi po = kn, a da ih je bilo 8, dobili bi po = 60000kn. 4 8 Dakle, ako je neto prihod fiksan, broj uposlenika i broj proizvedenih i prodanih proizvoda obrnuto su razmjerne veličine. Neto prihod od kn ostvaren je proizvodnjom i prodajom komada proizvoda P. Prema tome, neto prihod po komadu proizvoda je = 40kn. Da je svaki uposlenik dobio kn, 1000 to bi značilo da je ukupni neto prihod iznosio kn = kn pa, ako taj iznos podijelimo neto prihodom po komadu proizvoda P, dobivamo traženi broj proizvedenih i prodanih komada proizvoda P: = 15000kn. 40 Budući da je neto prihod po komadu proizvoda P nepromijenjen, to znači da su ukupni neto prihod i broj proizvedenih i prodanih komada proizvoda P upravno razmjerne veličine. Vježbaj! 1. Koja tablica prikazuje proporcionalne veličine? a) broj komada cijena (kn) 1,0,00,80 3,60 b) prijedeni put (km) preostali dio puta (km) c) masa (kg) cijena (kn) 3,95 5,79 11,60 17,94. Tablica prikazuje odnos eura i hrvatske kune. EUR HRK 7,4 14,8 37,0 74,0 a) Prikaži podatke grafički. b) Pomoću grafa pročitaj koliko kuna vrijede 3 eura. c) Koliko eura se može dobiti za 3,7 kuna? 93

94 Proporcionalnost 3. Nacrtaj graf obratno proporcionalnih veličina zapisanih u tablici. duljina (cm) širina (cm) a) Koja duljina odgovara širini od 10 cm? b) Koja širina odgovara duljini od 1 cm? Procijeni! 1. Što je povoljnije: a) 3 kg detergenta koji stoji 61.0 kn ili 4,5 kg koji stoje kn b) limenka 850 g graha koja stoji 1,40 kn ili limenka 560 g graha koja stoji 8,40 kn? Modeliraj! 1. Kroz cijev proteče 18 L vode tijekom 6 min. Koliko će proteći vode tijekom 1 sata?. Ako 10 m platna stoji 360 kn, koliko se platna može dobiti za 80 kn? 3. Četiri ulaznice za utakmicu stoje 84 kune. Koliko novca mora za ulaznice imati blagajnik razrednog odjela od 6 učenika? 4. Pruga Rijeka Zagreb dugačka je 9 km. Koliko će biti dugačka crta koja će predstavljati tu prugu na karti u mjerilu 1 : ? 5. Automobil je vozeći brzinom 100 km/h put prevalio za 5 sati? Kojom brzinom treba voziti da isti put prevali za 4 sata? 6. Neki posao obavilo je troje radnika za 5 dana. Koliko će vremena taj posao raditi četvero radnika? 7. Marko će livadu pokositi za 6 sati, a Ivan za 5 sati. Za koliko će sati biti gotovi ako rade zajedno? 8. Proizvodi se izrađuju na 3 stroja. Zna se da za određenu količinu proizvoda stroj A treba 7 radnih dana, stroj B 4 radna dana, a stroj C 11 radnih dana. Za koliko će dana proizvesti istu količunu proizvoda ta tri stroja ako rade istovremeno? 94

95 Proporcionalnost 3.3. Postotni račun Postotak je broj kojim se označava koliko jedinica neke veličine dolazi na sto jedinica iste veličine. Postotak se izračunava iz razmjera dio : cjelina = postotak : 100. Prema tome, označimo li sa S temeljnu veličinu, s P postotni dio i s p postotak, koristeći se razmjerom P : S = p : 100, možemo izračunati jednu od navedenih triju veličina (S, p ili p) ako su poznate ostale dvije. 1. Ako je poznata temeljna veličina S i postotni dio P, postotak p računamo formulom P p = 100. S Primjer 9. Cijena neke robe iznosila je prije poskupljenja 15 kn, a nakon poskupljenja, 130 kn. Za koliko se postotaka cijena povećala? Ovdje je temeljna veličina početna cijena S = 15 kn, a postotni je dio povećanje cijene izraženo u kunama: P = 5 kn. Prema tome, traženi postotak povećanja iznosi p = = Kažemo da se cijena razmatrane robe povećala za 4%. Primjer 10. Cijena neke robe iznosila je prije sniženja 15 kn, a nakon sniženja 100 kn. Za koliko se postotaka cijena smanjila? Ponovno je temeljna veličina početna cijena S = 15 kn, a postotni je dio sniženje cijene izraženo u kunama: P = 5 kn. Prema tome, traženi je postotak smanjenja cijene 95

96 Proporcionalnost p = = Kažemo da se cijena razmatrane robe smanjila za 0%.. Ako je poznata temeljna veličina S i postotak p, postotni dio P računamo formulom ps P =. 100 Primjer 11. Početna cijena neke robe iznosila je 15 kn. Kolika je cijena nakon povećanja za 8%? Budući da je S = 15 kn, a postotak povećanja p = 8, to je cijena povećana za 8 P = 15 = Dakle, cijena je razmatrane robe nakon navedenog povećanja 15 kn + 10 kn = 135 kn. Primjer 1. Početna cijena neke robe iznosila je 15 kn. Kolika je cijena nakon smanjenja za 8%? Budući da je S = 15 kn, a postotak povećanja p = 8, to je cijena povećana za 8 P = 15 = Dakle, cijena je razmatrane robe nakon navedenog povećanja 15 kn 10 kn = 115 kn. 3. Ako je poznat postotni dio P i postotak p, temeljnu veličinu S izračunat ćemo formulom P S = 100. p Primjer 13. Cijena neke robe povećala se za 5 kn, odnosno, za 0%. Izračunajmo cijenu te robe prije i poslije naznačene promjene. 96

97 Proporcionalnost Zanima nas od kojega je iznosa 5 kn 0%. Dakle, trebamo izračunati vrijednost temeljne veličine. U razmatranom slučaju ona iznosi S = = Prema tome, početna je cijena robe bila 15 kn, a nakon poskupljenja za 0%, ona iznosi 15 kn + 5 kn = 150 kn. Primjer 14. Cijena neke robe smanjila se za 7,50 kn, odnosno, za 6%. Izračunajmo cijenu te robe prije i poslije naznačene promjene. Sada nas zanima od kojega je iznosa 7,50 kn 6%. Dakle, ponovno trebamo izračunati vrijednost temeljne veličine. U razmatranom slučaju ona iznosi , S = = Prema tome, početna je cijena robe bila 15 kn, a nakon smanjenja cijene za 6%, ona iznosi 15 kn 7,50 kn = 117,50 kn. Promil je broj kojim se označuje koliko jedinica jedne veličine dolazi na tisuću jedinica iste veličine. Dakle, promil se izračunava iz razmjera dio : cjelina = promil : Prema tome, označimo li sa S temeljnu veličinu, s P promilni dio i s p promil, koristeći se razmjerom P : S = p : možemo, analogno kao u postotnom računu, izračunati jednu od navedenih triju p veličina (S, P ili p) ako su poznate ostale dvije. Skraćeni zapis za je p (čitamo: p 1000 promila). Primjer 15. Za koji je iznos za proviziju od 1,5% i osiguranje od,5 plaćeno ukupno 3500 kn? 97

98 Proporcionalnost Budući da je 1,5% +,5 = 1,5% + 0,5% = 1,75%, potrebno je izračunati od kojeg iznosa 1,75% iznosi 3500 kn. Naravno, traženi iznos je S = = , Dakle, navedena provizija i osiguranje plaćeni su za iznos od kn. Vježbaj! 1. Zapiši u obliku postotka. a) 0, b) 0,0 c) 1,43 d) 0,35. Napiši kao racionalan broj. a) 3 % b) 1,44 % c) 0,5 % d) 3 % 3. Izračunaj. 4. Izračunaj. a) 30 % + 40 % b) 30 % 40 % % % + 90 % + 9 % 5. Izračunaj. a) 5 % od 17 b) 33 % od 500 c) 7,5 % od 0,5 6. a) Od koje broja 3 % iznosi 0? b) Od koje broja 45 % iznosi 45? 7. Koliko je 3 % od 0 % od 300? 8. Koliko je posto 10 od 90? Procijeni! 1. Ako 3 od 5 stomatologa preporučuju žvakaće gume bez šećera, koliki postotak to ne preporučuje?. Ako zarađuješ kuna mjesečno i dobiješ povišicu od 7 %, koliko će biti povećanje plaće? Koliko će tada iznositi plaća? 98

99 Proporcionalnost 3. Nakon povišice cijena od 5 %, robna kuća dala je popust od 5% na svu robu. Ana je rekla: Mogli su jednostavno ostaviti stare cijene. a) Ima li Ana pravo? Provjeri njezinu izjavu na jednom primjeru. b) Koliko sada stoje hlače kojima je prije cijena iznosila 400 kn? Modeliraj! 1. Od 350 učenika jedne škole, njih 30 ima pozitivnu ocjenu iz matematike. Koliko posto učenika je ocijenjeno negativnom ocjenom iz matematike?. Masa kruha iznosi 87,5%mase tijesta. Koliko treba kilograma tijesta da bi se dobilo 1 60 kg kruha? 3. Cijena čizama nakon sniženja od 0 % iznosi 617,80 kn. Kolika je bila cijena tih čizama prije sniženja? 4. Od kojeg broja 3 % iznosi 300? 5. Pšenica u zrnu sadrži u 0,0048 vitamina B1 i 0,0014 vitamina B. Brašno tipa 405 sadrži 0,0006 vitamina B1 i 0,0003 vitamina B. a) Koliko se grama vitamina B1 odnosno B nalazi u 5 t pšenice? b) Koliko se miligrama vitamina B1, odnosno B nalazi u 1 kg pšenice, odnosno u 1 kg brašna tipa 405? Usporedi. c) Koliko grama brašna sadrži 7,5 mg vitamina B1? 99

100 Proporcionalnost 100

101 LINEARNA FUNKCIJA Koordinatni sustav u ravnini Linearna funkcija 4.

102 Linearna funkcija 4.1. Koordinatni sustav u ravnini U prvom smo poglavlju opisali koordinatni sustav na pravcu. Pridruživanjem ishodištu O koordinate 0 i jediničnoj točki E koordinate 1 uspostavili smo vezu između točaka pravca i elemenata skupa realnih brojeva. Pravac na kojem je uveden koordinatni sustav nazvali smo brojevnim pravcem. Svakoj točki brojevnog pravca pridružen je jedan broj pa kažemo da točka brojevnog pravca ima jednu koordinatu koju nazivamo apscisom točke. slika 1 10 Na slici 1 nacrtana je mreža paralela i meridijana. Pomoću nje moguće je svakom mjestu (položaju) na površini Zemlje pridružiti uređeni par realnih brojeva: geografsku širinu i geografsku duljinu koji u potpunosti određuju položaj točke na Zemlji. Neka je x brojevni pravac određen ishodištem O i jediničnom točkom E. Neka je y drugi brojevni pravac čije je ishodište ista točka O. Njegovu jediničnu točku označimo s F. Neka je pravac y okomit na pravac x i to tako da točka F bude iznad točke O. Uobičajeno je da su jedinične dužine na brojevnim pravcima sukladne, tj. da su im duljine jednake. Tako smo konstruirali pravokutni koordinatni sustav u ravnini koji ćemo označavati s xoy (slika ). Kordinatni sustav definiran pomoću ishodišta O i jediničnih dužina OE i OF obilježavamo (O, OE, OF ).