DODATAK UDŽBENIKU ZA 6. RAZRED DEVETOGODIŠNJE ŠKOLE SUSTAVA KATOLIČKIH ŠKOLA ZA EUROPU

Transcript

1

2 DODATAK UDŽBENIKU ZA 6. RAZRED DEVETOGODIŠNJE ŠKOLE SUSTAVA KATOLIČKIH ŠKOLA ZA EUROPU Izrada: Ajla Pilav Edin Tabak Lektorisala: Ivana Mostarac Tehnička obrada: Edin Tabak

3 Sadržaj SKUPOVI...5 Obilježavanje i zadavanje skupova...5 Podskup, pravi podskup...8 Jednakost skupova...9 Unija i presjek skupova...10 Razlika skupova...11 Uređeni par. Direktni produkt skupova...12 Relacije...14 Funkcije...16 Koordinatni polupravac i koordinatni sustav u ravnini...18 KRUŽNICA, KRUG, KUT...20 Odnos pravca i kružnice...20 Odnos dvije kružnice...20 Vrste kutova...21 Prenošenje kutova...22 Grafičko zbrajanje kutova...23 Grafičko oduzimanje kutova...24 Zbrajanje i oduzimanje kutova...25 Množenje kutova prirodnim brojem...26 Dijeljenje kutova prirodnim brojem...26 DJELJIVOST BROJEVA...28 Djeljivost u skupu N 0, jednakost a = bq + r...28 Djeljiivost brojem RAZLOMCI...30 Zbrajanje razlomaka nejednakih nazivnika...30 Oduzimanje razlomaka nejednakih nazivnika...32 Jednadžbe oblika x ± a = b, a ± x = b...34 Nejednadžbe oblika x ± a b, a ± x b...37 Množenje razlomaka...40 Dijeljenje razlomaka...42 Jednadžbe oblika a x = b, a x = b, x a = b...45 Nejednadžbe oblika a x b, x a b, a x b...47

4 Aritmetička sredina...49 Brojevni izrazi sa zagradama...51 Primjena linearnih jednadžbi. Tekstualni zadaci...53

5 Obilježavanje i zadavanje skupova SKUPOVI Obilježavanje i zadavanje skupova Skup je osnovni pojam u matematici. Osnovni pojmovi se ne definiraju, ali ih možemo zamisliti. Skupove označavamo velikim tiskanim slovima latinice A, B, C,..., Ž; a elemente skupa nabrajamo (pišemo) u vitičaste zagrade i odvajamo zarezom. V = {a, e, i, o, u} skup vokala a, e, i, o, u elementi ili članovi skupa V Pr. 1. Napiši skup nota glazbene ljestvice. S = {do, re, mi, fa, so, la, ti} - znači da element pripada skupu, npr. a A (čita se: a pripada skupu A) - znači da element ne pripada skupu, npr. f V (čita se: f ne pripada skupu V) Pr. 2. Dat je skup A = {1, 2, 3, 4, 5}. Koja je od sljedećih tvrdnji točna, a koja netočna? a) 1 A T b) 7 A T c) 2 A N d) 3 A T e) 0 A T f) 4 A N Kako ćemo napisati skup M slova iz riječi matematika? Hoćemo li ovako: M ={m, a, t, e, m, a, t, i, k, a}? Nećemo, jer zašto bismo triput pisali slovo a, kad je to isti element skupa? Napisat ćemo ovako: M = {m, a, t, i, k, e} Elementi skupa se ne ponavljaju, tj. različiti su. Skup M možemo napisati i kao M = {a, e, i, k, m, t}. Redoslijed elemenata skupa nije bitan. 5

6 Obilježavanje i zadavanje skupova Skup možemo prikazati i grafički, na sljedeći način:. a. e Zatvorena kriva linija unutar koje su članovi skupa. i - Venov dijagram. o. u. o. u V Skup možemo napisati pomoću zajedničkih svojstava. Pr. 3. Napisati skup prirodnih brojeva koji su manji od 5. P = {1, 2, 3, 4, 5} Kod zadavanja skupa navođenjem svojstava elemenata možemo se koristiti i simbolima. Npr., prethodni primjer možemo zapisati i ovako: P = {x x N i x < 5} Pr. 4. Napisati elemente skupa E = {y y je slovo iz riječi atletika} E = {a, t, l, e, i, k} Pr. 5. Napisati elemente skupa F ={z z N i 3 < z 9}. F = {4, 5, 6, 7, 8, 9} Skupovi u matematici zadaju se na tri načina: 1. nabrajanjem svih elemenata 2. Venovim dijagramom 3. navođenjem bitnih svojstava njegovih elemenata. Skupovi se obilježavaju velikim slovima abecede, a simboli {,} koriste se kao oznake skupa. Skup čine različiti elementi, tj. svaki element skupa računa se samo jedanput. Pr. 6. Koje elemente ima skup ljudi rođenih na Veneri? Taj skup nema elemenata, to je prazan skup. Prazan skup je skup bez elemenata; obilježavamo ga znakom Ø ili rjeđe { }. Pr. 7. Je li nula element praznog skupa? Nije, jer prazan skup nema nijednog elementa, pa ni broj 0. Stoga pišemo: 0 Ø Postoje skupovi koji imaju beskonačno mnogo elemenata. Postoji jedan takav skup. To je skup prirodnih brojeva: N={1,2,3,...} -... beskonačno mnogo elemenata ( ). 6

7 Obilježavanje i zadavanje skupova Zadaci za vježbu: 1. Napiši skup slova kojima se piše riječ: a) KOŠARKA b) ČOKOLADA 2. Nabrajanjem elemenata napiši skup svih: a) planeta Sunčevog sustava b) duginih boja 3. Prikaži Venovim dijagramom skupove: a) H = {1, 5, 8, 45, 76, 980} b) V je skup tvog omiljenog voća c) K je skup kontinenata 4. Napiši skupove nabrajanjem elemenata: a) S = {x x je godišnje doba} b) G = {n n je prirodan broj između 1 i 7} c) P = {x x je nastavni predmet koji imaš u šestom razredu} 5. Dati su skupovi: A = {x x skup slova imena MIRA}, B = {y y skup slova imena TINA}, C = {z z skup slova imena TAMARA}. a) napiši ove skupove nabrajanjem elemenata! b) nacrtaj Venov dijagram za date skupove! 7

8 Podskup, pravi podskup Podskup, pravi podskup Pr. 1. Promatrajmo skupove A ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} i B = {2, 4, 6, 8}. Što možemo zaključiti o ovim skupovima? Zaključujemo da su elementi skupa B ujedno i elementi skupa A. To znači da je skup B sadržan, tj. podskup skupa A. Ako svaki element skupa B pripada skupu A, kaže se da je B podskup skupa A i piše se. - podskup, Ø, Zadatak 1. Skup C čine slova riječi lak, a skup D sva slova riječi kalem. a) ispiši elemente ta dva skupa. b) nacrtaj Venov dijagram skupa D, a potom zatvorenom linijom izdvoji elemente skupa C. c) pripada li svaki element skupa C skupu D? d) pripada li svaki element skupa D skupu C? e) što je točno: C D ili D C? Pr. 2. Odredi podskupove skupa F = {a, b, c},{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} Ako iz skupa svih podskupova izdvojimo zadani skup, onda svaki od preostalih podskupova čini pravi podskup tog skupa i tada umjesto pišemo samo. {a} F, {a, b} F, {a, b, c} F Zadatak 2. Odredi sve prave podskupove za skup E = {x x N 0 i x + 3< 6}. Zadaci za vježbu: 1. Napiši dva primjera praznog skupa (kao pr.1.). 2. Odredi sve podskupove skupa : {,, }. 3. Zadan je skup slova S = {a, k, o, r}. Napiši bar pet riječi koje se zapisuju pomoću elementa skupa S (slova se smiju ponavljati). Je li skup S podskup svake od riječi koju si napisao/la? 8

9 Jednakost skupova Jednakost skupova Pr. 1. Koliko članova ima skup L = {b, u, b, a, m, a, r, a} Članovi (elementi) skupa L su slova b, u, a, m, r, pa skup L ima 5 članova. Broj elemenata određuje se prebrojavanjem elemenata. Isti elementi se broje jedan put. Broj elemenata nekog skupa A naziva se kardinalan broj tog skupa i označava se sa k(a). Skupovi sa istim brojem elemenata su jednakobrojni. Skupovi s istim kardinalnim brojem i istim elementima su jednaki. M = {a, b, c, d} i N = {k, l, m, n} jednakobrojni O = {1, 2, 3} i P = {2, 3, 1} jednaki O = P Zadatak 1. Koji od skupova su jednakobrojni, a koji jednaki: {1, 3}; {1, 2, 3}; {a, b, c, a}; {13}; {1, 1, 1, 3, 3}; {b, c}? Zadatak 2. Dati su skupovi C = {3, x, 5, 8} i D = {7, 5, y, 3}. Odredi x i y tako da je C=D. Zadatak 3. Elementi jednog skupa su slova riječi matematika, a elementi drugog skupa slova riječi imetak. Jesu li ta dva skupa jednaka? Zadaci za vježbu: 1. Koliko članova ima skup : a) LOKOMOTIVA b) KARAKTERISTIKA 2. U skupovima E = {a, 3, 4, 8} i F = {1, 3, 8, b} odredi a i b tako da bude E=F. Jesu li skupovi {s, t, a, t, i, s, t, i, k, a} i {t, a, k, s, i} jednaki? Obrazloži odgovor! 9

10 Unija i presjek skupova Unija i presjek skupova Skup svih elemenata koji pripadaju prvom ili drugom skupu naziva se unija skupova i označava se sa A B. A B = {x x A ili x B} Pr. 1. Odredi uniju skupova A = {1, 2, 3, 4} i B = {2, 3, 4, 5, 6}. A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Skup svih elemenata zajedničkih za te skupove naziva se presjek skupova i označava se sa A B. A B = {x x A i x B} Pr. 2. Odredi presjek skupova C = {2, 3, 4, 5, 6, 7} i D = {2, 4, 6, 8, 10}. C D = {2,4, 6} Zadatak 1. Učenici jednog odjeljenja vole jesti čokoladu i bombone. Čokoladu jedu Mak, Ema, Jan i Ivana, a bombone Mia, Mak, Neven, Ema i Ivica. a) postoje li učenici tog odjeljenja koji vole jesti oboje? b) koliko učenika ima u razredu? (Napomena: u odjeljenju ne postoje dva učenika s istim imenom.) Zadaci za vježbu: 1. Odredi uniju i presjek skupova: a) A= {a, b, c, d, 0, 1} i B= {b, d, 1, 2, 3} b) C = {m, e, t, a, r} i D = {t, r, e, m, a}. 2. Za skupove E = {x x N i x < 7} i F = {x x N i x 5} odredi uniju i presjek. 10

11 Razlika skupova Razlika skupova Skup svih elemenata prvog skupa koji nisu elementi drugog skupa naziva se razlika dvaju skupova i označava se sa A\B. A\B = {x x A i x B} B\A = {x x B i x A} Pr. 1. Odredi razlike A\B i B\A skupova A = {1, 2, 3, 4} i B = {2, 3, 4, 5, 6}. A\B = {1} B\A = {5,6} Zadatak 1. Za skupove C = {1, 3, 4, 5 } i D = {2, 3, 4, 5, 6, 7} odredi: a) C\D b) D\C. Je li točno: C\D = D\C? Zadaci za vježbu: 1. Odredi A B, A B, A\B i B\A ako je: a) A = {r, i, b, a} i B = {r, a, k} b) A = {t, a, b, l, a} i B = {l, o, p, t, a}. 2. Za skupove E = {x x N i x < 8} i F = {x x N i x 4} odredi E F, E F, E\F i F\E. 11

12 Uređeni par. Direktni produkt skupova Uređeni par. Direktni produkt skupova (a, b) uređeni par U uređenom paru (a, b) smatramo da je a prvi član, dok je b drugi član. (a, b) (b, a), a b Dva uređena para su jednaka ako i samo ako su im jednaki prvi članovi i jednaki drugi članovi, tj. (x, y) = (a, b) ako je x = a i y = b. Pr. 1. Odredi x i y tako da je: a) (x, y) = (0, 1) b) (x, 8) = (7, y) a) x = 0, y = 1 b) x = 7, y = 8 Pr. 2. Odredi sve uređene parove u kojima je prvi element iz skupa A = (m, n), a drugi iz skupa B = {,, }. shema (predstavljena točkom) {(m, ), (m, ), (m, ), (n, ), (n, ), (n, )} Navedeni skup uređenih parova naziva se direktni (Dekartov) produkt i zapisuje se u obliku A x B. Direktni produkt skupa A i skupa B je skup svih uređenih parova (x, y) kod kojih je prvi član iz skupa A i drugi iz skupa B, tj. A x B = {(x, y) x A i y B}. 12

13 Uređeni par. Direktni produkt skupova Pr. 3. Za skupove A = {1, 2, 3} i B = {a, b} odredi: a) A B b) B A c) A A = A 2 d) B B = B 2 A B = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)} B A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)} A A = A 2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} B B = B 2 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)} Zadatak 1. Za skupove A= {, } i B= {1, 2, 3} odredi A x B, B x A, A 2, B 2 Zadaci za vježbu: 1. Za skupove A= {1,3,5} i B = {2,4} odredi A x B, B x A, A B i A B. 2. Dat je skup S= {x x N i x + 2 < 6}. Napiši skup S 2 i prikaži ga shematski. 3. Nađi sve uređene parove koji se mogu sastaviti od brojeva 0, 1, 2,..., 9, 10 i kojima je prvi član jednak drugom članu. 4. Nađi sve uređene parove prirodnih brojeva čiji zbroj daje 5. 13

14 Relacije Relacije Relacije ćemo označavati slovom R: x R y (čitamo: x je u relaciji sa y). Pr. 1. Zapiši sljedeće relacije : a) x R y; R biti jednak b) a R b; R biti manji c) c R d, R biti veći ili jednak a) x = y b) a < b c) c d Relacije možemo prikazati (zapisati) : - nabrajanjem elemenata - grafom Pr. 2. (Nabrajanje elemenata) Razvrstati elemente skupa tako da je R biti iste vrste: {pas, tulipan, ruža, Anja, dupin, konj, Tin, Mia, karanfil, mačka, Mak}. A = {Anja, Tin, Mia, Mak} B = {pas, dupin, konj, mačka} C = {tulipan, ruža, karanfil} Pr. 3. (graf) Predstavi relaciju R biti manji u skupu A = {1, 2, 3, 4} koristeći više grafova jedan graf 14

15 Relacije Zadatak 1. Prikaži jednim grafom relaciju R biti veći ili jednak u skupu {1, 2, 3, 4, 5} - kako se označava jednak Pr. 4. Odredi AxB skupova A = {1, 3, 5} i B = {2, 4} AxB = {(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4), (5, 2), (5, 4)} mreža shema Formirajmo skup R- x manje od y (x < y) R = {(1, 2), (1, 4), (3, 4)} Zaključimo: R AxB Zadaci za vježbu: 1. Predstavi jednim grafom relaciju R biti veći ili jednak u skupu B = {3, 4, 5, 6}. 2. Obitelj se sastoji od sljedećih članova: djed (d) 75 godina, otac (o) 50 godina, majka (m) 47 godina, sin (s) 10 godina i kćer (k) 7 godina. a) prikaži jednim grafom R biti stariji b) prikaži jednim grafom R biti mlađi 3. Dati su skupovi A= {1, 4, 6} i B= {2, 3, 5} a) odredi AxB, BxA, A 2, B 2. b) predstavi shemom i mrežom AxB i BxA c) u skupu BxA formiraj skup R: x > y 15

16 Funkcije Funkcije Pr. 1. Pridruži redne brojeve danima u tjednu: 1. ponedjeljak - dijagramom A B 2. utorak 3. srijeda 4. četvrtak 5. petak 6. subota 7. nedjelja Svako pravilo (propis, zakon, dogovor) po kojem se svakom elementu skupa A pridružuje točno jedan element skupa B naziva se funkcija (preslikavanje). A B Polazni skup, skup A, nazivamo domen (njegovi elementi su originali), a završni skup, skup B nazivamo kodomen (elementi - slike). Funkciju označavamo sa f(x) ili y. Pr. 2. Dati su skupovi A = {orač, krojač, stolar, limar} i B = {plug, igla, traktor, čekić}. Svakom zanimanju iz skupa A pridruži njegov alat. Prikaži to uređenim parovima i dijagramom. {(orač, traktor), (krojač, igla), (stolar, čekić), (limar, plug)} Pr. 3. Prikaži funkciju y = 4x dijagramom. (Uzet ćemo samo prva tri člana) x y = 4x

17 Funkcije 1. Prikaži funkciju f(x) = x + 2 dijagramom. BITNO : Funkcija pridružuje svakom elementu točno jedan element. Nijedan od ovih dijagrama ne predstavlja funkciju. Zadaci za vježbu: 1. Ptica leti brzinom od 3 km/h. Koliko će prijeći za 1, 2, 3, 4 h? Funkciju predstavi tablicom i dijagramom. 2. Sljedeće funkcije predstavi dijagramom: a) f(x) = 7x b) y = x

18 Koordinatni polupravac i koordinatni sustav u ravnini Koordinatni polupravac i koordinatni sustav u ravnini Predstavljanje točaka na koordinatnom polupravcu Svaki broj možemo predstaviti na brojevnom polupravcu. Polupravac 0x naziva se koordinatni (brojevni) polupravac, a brojevi kojima su točke označene nazivamo koordinate točaka. Dužina čiji se krajevi poklapaju s brojevima 0 i 1 predstavlja jedinicu mjere jediničnu dužinu. Broju 5 odgovara točka D. Kažemo da je koordinata točke D broj 5 i zapisujemo D (5). Pr. 1. Koja je koordinata točke: a) B B (2) b) C C (3) c) E E (8) Međutim, na koji način ćemo predstaviti točku koja se nalazi u ravnini? Za predstavljanje točaka u ravnini koristimo koordinatni sustav. Predstavljanje točaka u koordinatnom sustavu Okomite prave 0x i 0y čine pravokutni (Dekartov) koordinatni sustav, a ravnina u kojoj se sustav nalazi naziva se koordinatna ravnina. 0x apscisa 0y ordinata 0 koordinatni početak (ishodište) 18

19 Koordinatni polupravac i koordinatni sustav u ravnini Pr. 2. Predstavi u koordinatnom sustavu točke: A (3, 1) B (3, 5) C (4, 2) D (0, 3) Prva koordinata predstavlja x, a druga y. Zadatak 1. Predstavi u koordinatnom sustavu točke: A (3, 1), B (0, 3), C (3, 5), D (7, 5), E (9, 4), F (12, 6), G (11, 3), H (12, 0), I (9,2), J (7,1). Nakon toga ih spoji redom. Zadaci za vježbu: 1. Predstavi u koordinatnom sustavu točke: A (8, 2), B (6, 0), C (2, 0), D (0, 2), E (8, 3), F (4, 6), G (0, 3), H (4, 2). Plavom bojom spoji A, B, C, D, A. Crvenom bojom spoji E, F, G, E. Smeđom bojom spoji F i H. (Jedinična duž 1 cm) 19

20 Odnos pravca i kružnice KRUŽNICA, KRUG, KUT Odnos pravca i kružnice Odnos dvije kružnice 20

21 Vrste kutova Vrste kutova Kut čiji kraci čine jedan pravac nazivamo ispruženi (opruženi) kut. Kut veći od ispruženog, čiji se kraci poklapaju naziva se puni kut. Sam polupravac čini nula kut. Dva nadovezana kuta nazivaju se susjedni kutovi. Susjedni kutovi čiji zbroj iznosi ispruženi kut nazivaju se usporedni kutovi. Dva kuta koji imaju zajednički vrh, a kraci jednog leže na produžecima krakova drugog nazivaju se vršni (unakrsni) kutovi. Kut jednak svom usporednom kutu naziva se pravi kut. Kut manji od pravog kuta nazivamo šiljasti (oštri) kut. Kut veći od pravog, a manji od ispruženog kuta nazivamo tupi kut. Kut koji sadrži svaku dužinu čije mu krajnje točke pripadaju naziva se konveksni (ispupčeni, izbočeni) kut. 21

22 Prenošenje kutova Kut koji nije konveksan je nekonveksan ili konkavan (udubljen). Prenošenje kutova Neka je zadan kut α = xoy. Njemu jednak kut β = psq konstruirat ćemo na sljedeći način: Nacrtajmo proizvoljni polupravac Sq. Konstruirajmo lukove istim otvorom šestara (prvi luk ima centar O, a drugi S), čime su određene točke X i P (X Ox i P Sp). Sada prenosimo šestarom tetivu XY, tako da je PQ = XY. Time je određen i drugi krak Sq, kuta β. Zadatak 1. Nacrtaj proizvoljan kut, pa ga prenesi. Zadaci za vježbu: 1. Nacrtaj proizvoljan tupi, oštri i pravi kut, pa ih prenesi. Koji je od tih kutova najveći, a koji najmanji? 22

23 Grafičko zbrajanje kutova Grafičko zbrajanje kutova Neka su dati kutovi α i β. Odredimo (grafički) njihov zbroj, tj kut γ; γ = α + β. Na proizvoljni polupravac Mm prenesimo kut α Zatim na kut α prenesimo (nadovežimo) kut β mmp = γ Zadatak 1. Nacrtaj tri kuta: α šiljasti, β pravi, γ tupi. Odredi: a) α + β b) γ + β c) α + γ Zadaci za vježbu: 1. Nacrtaj četiri proizvoljna različita kuta i označi ih sa α, β, γ i δ redom. Odredi: a) α + γ b) β + δ c) β + γ 23

24 Grafičko oduzimanje kutova Grafičko oduzimanje kutova Neka su dati kutovi α i β. Odredimo (grafički) njihovu razliku, tj. kut γ; γ = α β. Na proizvoljni polupravac Ee prenesimo kut α Zatim u kut α prenesimo kut β eef = γ Zadatak 1. Nacrtaj tri kuta: α šiljasti, β pravi, γ tupi. Odredi: a) β α b) γ β c) γ α Zadaci za vježbu: 1. Nacrtaj dva proizvoljna šiljasta kuta α i β. Nakon toga nacrtaj dva proizvoljna tupa kuta γ i δ. Odredi: a) δ α. b) δ β c) γ α. 24

25 Zbrajanje i oduzimanje kutova Zbrajanje i oduzimanje kutova Kutove zbrajamo/oduzimamo tako što zbrojimo/oduzmemo odgovarajuće kutne jedinice, tj. stupnjeve sa stupnjevima, minute s minutama i sekunde sa sekundama. Pr. 1. Odredi zbroj i razliku zadanih kutova: a) α = b) α = β = β = α + β : α + β : = = = = β α : β α : = = Zadatak 1. Zbroji i oduzmi zadane kutove: a) α = 110 β = b) α = β = c) α = β = d) α = β = Zadaci za vježbu: 1. Izračunaj zbroj i razliku sljedećih kutova: a) α = β = b) α = β = c) α = β = d) α = β =

26 Množenje kutova prirodnim brojem Množenje kutova prirodnim brojem Kutove množimo prirodnim brojem tako da pomnožimo sve kutne jedinice (stupnjeve, minute i sekunde) tim prirodnim brojem. Pr. 1. Pomnoži kut α = brojem = = 34 9 Zadatak 1. Pomnoži kut brojem 5. Zadaci za vježbu: 1. Pomnoži kutove a) α = b) β = brojem Odredi 2 α + β i 3 β α ako je α = 22 5 i β = Dijeljenje kutova prirodnim brojem Pr. 1. Podijeli kut α = 75 brojem 4. Rj: = = 3 60 = : 4 =

27 Dijeljenje kutova prirodnim brojem Pr. 2. Podijeli kut brojem = = = = = 3 Rj: Zadatak 1. Izračunaj: a) b) Zadaci za vježbu: 1. Izračunaj: a) b) c) Ako su α = i β = izračunaj koliko je: a) α 2 b) β 2. 27

28 Djeljivost u skupu N0, jednakost a = bq + r DJELJIVOST BROJEVA Djeljivost u skupu N 0, jednakost a = bq + r Naučili smo da prilikom dijeljenja dva prirodna broja možemo (a i ne moramo) dobiti ostatak. Sada ćemo naučiti način kako to matematički zapisujemo. Pr. 1. Ema je kupila 150 čokolada za svoj rođendan. U odjeljenju ima 26 učenika i svakome je dala jednak broj čokolada. a) Koliko je najviše čokolada dobio svatko od njih? b) Koliko je čokolada ostalo Emi? = = a) Svaki od učenika je dobio po 5 čokolada. b) Emi je ostalo 20 čokolada. Ako su a djeljenik, b djelitelj, q količnik (a: b = q) i r ostatak, onda vrijedi: a = b q + r, 0 r < b Zadatak 1. Odredi količnik (i ostatak) brojeva 75 i 8; te zapiši u obliku jednakosti a = b q + r. Zadaci za vježbu: 1. Odredi količnik i ostatak, te zapiši u obliku jednakosti: a) b) Popuni tablicu: a b q r a = b q + r

29 Djeljiivost brojem 4 Djeljiivost brojem 4 Broj je djeljiv brojem 4 ako je njegov dvoznamenkasti završetak broj djeljiv sa 4. Pr. 1. Koji su od sljedećih brojeva djeljivi sa 4: 1 234, 3 624, , ? nije djeljivo sa nije djeljivo sa je djeljivo sa je djeljivo sa je djeljivo sa je djeljivo sa je djeljivo sa je djeljivo sa 4 Zadatak 1. Tijekom ljetovanja gospođa Rožić je svoje stvari spremila u hotelski sef, koji je imao četveroznamenkastu šifru. Znala je da je znamenka desetica 3, znamenka stotica 5 i znamenka tisućica 8. Znamenku jedinica je zaboravila, ali se sjeća da se radi o broju djeljivom sa 4. Koji su to brojevi? Zadaci za vježbu: 1. Koji su od brojeva 5 436, 7 228, , 8 937, djeljivi sa 4? 2. Od znamenki 0, 1, 2 i 8 sastavi šest troznamenkastih brojeva djeljivih sa 4, s tim da se znamenke mogu ponavljati. 29

30 Zbrajanje razlomaka nejednakih nazivnika RAZLOMCI Zbrajanje razlomaka nejednakih nazivnika Ponovimo kako se zbrajaju razlomci jednakih nazivnika = = = = Kada imamo jednake nazivnike, brojnike samo zbrojimo. Šta znaći proširiti razlomak? Proširimo razlomak 9 sa = = Ako brojnik i nazivnik jednog razlomka pomnožimo istim brojem, njegova vrijednost ostaje ista. Primjer 1. Izračunaj vrijednost izraza: =. Prvo je potrebno da ova dva razlomka proširimo i dovedemo na zajednički nazivnik. Odredit ćemo najmanji zajednički višekratnik za brojeve 2 i 3. Očito je NZV(2,3) = 6 jer brojevi 2 i 3 nemaju zajedničkih činitelja. Prvi razlomak moramo proširiti s 2 jer je 3 2 = 6, a drugi razlomak s 3 jer 2 3 = = = = = 29 6 = Dva razlomka različitih nazivnika zbrajamo tako što ih proširimo do jednakih nazivnika i onda zbrojimo brojnike. 30

31 Zbrajanje razlomaka nejednakih nazivnika Primjer 2. Zbroji razlomke: = Kod većih brojeva primjenjuje se postupak za određivanje NZV(8,12,10). 8, 12, , 6, 5 2 2, 3, 5 2 1, 3, 5 3 NZV(8,12,10) = = 120 Prvi razlomak moramo proširiti sa 120 : 8 = 15 Drugi razlomak moramo proširiti sa 120 : 12 = 10 Treći razlomak moramo proširiti sa 120 : 10 = = = = Primjer 3. Izračunaj vrijednost izraza: Rješenje: 1, = 1, = = = = = U postupku zbrajanja možemo sve pisati kao jedan razlomak. Zadaci za samostalan rad: Zadatak 1. Izračunaj: a) = b) = c) = d) =. Zadatak 2. Izračunaj: a) 2, = b) = c) = 31

32 Oduzimanje razlomaka nejednakih nazivnika Zadatak 3*. Koji je broj za veći od zbroja brojeva i 1 3 4? Oduzimanje razlomaka nejednakih nazivnika Postupak oduzimanja razlomaka nejednakih nazivnika je isti kao i zbrajanje. Potrebno je dovesti na jednake nazivnike i onda izvršiti računske operacije s brojnicima. Pr. 1. Izračunaj: = = Dva razlomka različitih nazivnika oduzimamo tako što ih proširimo do jednakih nazivnika i onda oduzmemo brojnike. Pr. 2. Izračunaj: = Rješenje: = = = Pr. 3. Izračunaj vrijednost izraza: Rješenje: ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = = = = = = 14 6 =

33 Oduzimanje razlomaka nejednakih nazivnika Zadaci za samostalan rad: Zadatak 1. Izračunaj: a) = b) = c) 7, Zadatak 2. Izračunaj vrijednost izraza: = d) = a) ( ,6) 2,1 = b) ( ) + 3,9 = Zadatak 3*. Izračunaj vrijednost izraza: a) ( ) ( ) = b) ( ) + ( ) = Zadatak 4*. Kroz planinu se buši km dug tunel. Koliko još kilometara treba probiti ako je s jedne strane probijeno km, a s druge km? 33

34 Jednadžbe oblika x±a=b,a±x=b I x + a = b, a + x = b Jednadžbe oblika x ± a = b, a ± x = b U jednadžbama oblika x + a = b, a + x = b, b > a, vrijednost nepoznate x dobijemo tako što od b oduzmemo a. x = b a. Primjer 1. Riješi jednadžbu: x = Rješenje: x = x = Primjer 2. Riješi jednadžbu: x = 21 x = x = 2,3. 5 Rješenje: I način II način x = 2,3 5 x = x = 10 x = x = 2,3 5 x = 2,3 7 5 x = 2,3 1,4 x = 0,9 34

35 Jednadžbe oblika x± =b,a±x=b Zadatak 1. Riješi jednadžbe: a) x = 5 4,b) x = 2 5 8,c) x = 1,5,d) 2,7 + x = Zadatak 2. Riješi jednadžbe: a) x = 17 5,b) 1,2 + x = Zadatak 3. Za koliko treba uvećati broj 7 2 da se dobije broj 4 1 3? II x a = b Jednadžbe oblika x a = b vrijednost nepoznanice x dobijemo tako što zbrojimo a i b. x = b + a. Primjer 3. Riješi jednadžbu: Rješenje: x = 2 3. x = 2 3 x = x = x = 19 6 Zadatak 4. Riješi jednadžbe: a) x 1,7 = 1 2 3, b) x 1 6 = 2 1 3, c) x 7 3 = 0,5, d) x 2 =

36 Jednadžbe oblika x±a=b,a±x=b III a x = b Jednadžbe oblika a x = b, a > b vrijednost nepoznanice x dobijemo tako što od a oduzmemo b. x = a b. Primjer 3. Riješi jednadžbu: Rješenje: 7 3 x = x = 2 5 x = x = x = Zadatak 5. Riješi jednadžbe: a) 2,9 x = 5 4, b) 1 8 x = 1 12, c) x = 1,5, d) 3 x = Zadaci za samostalan rad: 1) Riješi jednadžbe: a) x 2 3 = 1 6, b) x = 3 3 5, c) x = 0,3, d) x = 2. 2) Za koliko treba umanjiti da se dobije broj 6 5 6? 3) Koji broj treba oduzeti od zbroja brojeva 3 2 i 1 1 da bi se dobila njihova razlika?

37 Nejednadžbe oblika x±a b,a±x b Nejednadžbe oblika x ± a b, a ± x b Nejednadžbe oblika x ± a b rješavamo na sljedeći način: - x + a b x b a - x a b x b + a - a + x b x b a Znak nejednakosti ostaje isti. Primjer 1. Naći sve vrijednosti koje zadovoljavaju vrijednost x. x < x < x < = 9 8 x < 9 8 Predstavimo sada naše rješenje na brojevnom pravcu. Rješenje možemo predstaviti i kao interval: Primjer 2. Riješi nejednadžbu: x (0, 9 8 ). x Rješenje: x x x

38 Nejednadžbe oblika x±a b,a±x b Predstavimo rješenje na brojevnom pravcu i uz pomoć intervala. x [ 15 4, + ) Ako koristimo male zagrade ( ili ) podrazumijeva se da broj ne pripada intervalu, dok srednje zagrade [ ili ] označuju da broj pripada intervalu. Srednje zagrade ne mogu se koristiti kod vrijednosti +. Zadatak 1. Riješi nejednadžbe: a) x b) x 1 2 > 0,8 c) ( ) + x Nejednadžbe oblika a x b rješavamo na sljedeći način: - a x > b x < a b - a x < b x > a b Znak nejednakosti se mijenja. 38

39 Nejednadžbe oblika x±a b,a±x b Primjer 3. Riješi nejednadžbu: x 3 4 Rješenje: x x 20 x = x (0, ] Zadaci za samostalan rad: Zadatak 2. Riješi nejednadžbe: a) 2 7 x < 1 8 b) 3,1 x > c) x 2,7. 39

40 Množenje razlomaka Množenje razlomaka Prethodno smo naučili da zbroj jednakih pribrojnika možemo kraće zapisati u obliku umnoška npr = 6 5 = 30. Množenje razlomka prirodnim brojem Primjer 1. Odrediti umnožak: = = = Razlomak množimo prirodnim brojem tako što brojnik pomnožimo tim brojem, a nazivnik ostaje nepromijenjen. a a n n = b b Zadatak 1. Izračunaj (po mogućnosti krajnji rezultat skratiti): a) = b) = c) = I. Množenje razlomka razlomkom Primjer 2. Izračunaj: Rješenje: = = = Rezultat množenja dva razlomka je umnožak brojnika kroz umnožak nazivnika. a b c a c = d b d 40

41 Množenje razlomaka Primjer 3. Izračunaj koliko je 12 7 od Rješenje: 12 7 od = = = 9 2. Ukoliko je moguće skratiti razlomke prije množenja to bi bilo dobro i uraditi, jer ćemo time sebi olakšati postupak rješavanja. Primjer 4. Izračunaj: = Rješenje: Možemo kratiti prvi i 5 = posljednji razlomak, drugi = = 14 1 = 14. i treći razlomak Zadaci za samostalan rad: Zadatak 1. Izračunaj: a) = b) = c) = d) = Zadatak 2. Izračunaj: a) = b) = c) = d) = Zadatak 3. Izračunaj: a) = b) = c) = Zadatak 4*. Koliko je masa 1 kg zraka u sobi koja je m duga, m široka i m visoka, ako 1 m 3 zraka ima masu kg? (Napomena: Volumen kvadra se računa po formuli V = a b c, gdje su a duljina, b širina i c visina sobe.) 41

42 Dijeljenje razlomaka Dijeljenje razlomaka Recipročna vrijednost broja Recipročan broj broju a je 1 a. Recipročan broj broju a b je b a Primjer 1. Odrediti recipročne brojeve brojevima: 7, 13, 5, 13 i Za 7 recipročni broj je 1 7. Za 13 recipročni broj je Za 5 9 recipročni broj je 9 5. Za 13 2 recipročni broj je Za = 21 5 recipročni broj je I. Dijeljenje razlomka prirodnim brojem Primjer 2. Izračunaj: Rješenje: = 12 7 : 5 = =

43 Dijeljenje razlomaka II. Dijeljenje razlomka razlomkom Primjer 3. Izračunaj: Rješenje: Razlomak dijelimo prirodnim brojem tako da se nazivnik pomnoži prirodnim brojem = = 4 5. Ako je brojnik prvog razlomka djeljiv s brojnikom drugog razlomka i nazivnik prvog razlomka djeljiv s nazivnikom drugog razlomka, samo se izvrši dijeljenje brojnika s brojnikom i nazivnika s nazivnikom. Primjer 4. Izračunaj: a b n = a b n = = = 5 9. Razlomak dijelimo razlomkom tako što drugi razlomak zamijenimo recipročnim i onda ih pomnožimo. a b c d = a b d c Zadaci za samostalan rad: Zadatak 1. Izračunaj: a) 9 16 : 3 = b) : 9 = c) 5 6 : 5 = d) : 6 = 43

44 Dijeljenje razlomaka Zadatak 2. Izračunaj: a) 7 : = b) 5 = c) 5 : 5 = d) 4 4 : 3 3 =

45 Jednadžbe oblika a x=b, a :x=b, x :a=b Jednadžbe oblika a x = b, a x = b, x a = b U jednadžbama oblika a x = b, vrijednost nepoznanice x dobijemo kada b podijelimo s a: Primjer 1. Riješi jednadžbu: x = b a. Rješenje: 3 21 x = x = x = x = 14 5 Zadatak 1. Riješi jednadžbe: a) x = 12 5 b) x 9 4 = 3,4 c) 4,2x = 1 2. U jednadžbama oblika a x = b, vrijednost nepoznanice x dobijemo kada a podijelimo s b: x = a b. 45

46 Jednadžbe oblika a x=b, a :x=b, x :a=b Primjer 2. Riješi jednadžbu: 1,8 x = 6 5. Rješenje: x = x = 3 2 Zadatak 2. Riješi jednadžbe: a) 13 5 x = 1,2 b) ( ) : x = 1 2 c) 2,9 x = 1,3. U jednadžbama oblika x a = b, vrijednost nepoznanice x dobijemo kada a pomnožimo s b: x = b a. Primjer 3. Riješi jednadžbu: Rješenje: x 3 11 = x = x = 3 4 Zadatak 3. Riješi jednadžbe: a) x 2,5 = 12 5 b) x: ( ) = 1,4 c) x 3 4 =

47 Nejednadžbe oblika a x b, x :a b, a :x b Nejednadžbe oblika a x b, x a b, a x b Nejednadžbe oblika a x b i x a b rješavamo na sljedeći način: - a x b x b a - x a b x b a Znak nejednakosti ostaje isti. Primjer 1. Riješi nejednadžbu: Rješenje: 5 4 x > 2 3. x > x > x > 8 15 x ( 8 15, + ) Primjer 2. Riješi nejednadžbu: x: 1, Rješenje: x x 13 5 x (0, 13 5 ] 47

48 Nejednadžbe oblika a x b, x :a b, a :x b Zadatak 1. Riješi nejednadžbe: a) x 1, b) 7 2 x = c) x 1 3 = Nejednadžbe oblika a x b rješavamo na sljedeći način: - a x < b x > a b - a x > b x < a b Znak nejednakosti se mijenja. Primjer 3. Riješi nejednadžbu: Rješenje: 4 5 x x x = x (0, ] Zadatak 2. Riješi nejednadžbe: a) 2,1 x 7 3 b) 5 9 x = c) ( ) x =

49 Aritmetička sredina Aritmetička sredina Učitelj Anto je kupio 2 kg jabuka na tržnici. Kad je došao kući, primijetio je da u vrećici ima 8 jabuka iste veličine. Koliko otprilike teži svaka jabuka učitelja Ante? 2 kg 8 = 0,25 kg. Jabuke učitelja Ante prosječno teže po 0,25 kg. Primjer 1. Kako ćemo odrediti prosjek brojeva 5 i 9? Prosjek dva broja izračunat ćemo tako što ih zbrojimo i onda podijelimo sa 2. (5 + 9) 2 = 14 2 = 7. Ako pogledamo na brojevnom pravcu brojeve 5 i 9, vidjet ćemo da su podjednako udaljeni od broja 7. Broj 7 se nalazi točno na sredini između brojeva 5 i 9, i zovemo ga aritmetička sredina brojeva 5 i 9. Primjer 2. Izračunati aritmetičku sredinu brojeva 5, 12, 13, 15 i 23. Tražimo aritmetičku sredinu ovih pet brojeva na sljedeći način: = 68 5 = 13,6. Aritmetička sredina ili prosjek dva ili više brojeva dobije se kada zbroj tih brojeva podijelimo s ukupnim brojem pribrojnika. 49

50 Aritmetička sredina Primjer 3. Izračunati prosjek brojeva 2 1 5, 3 4, i 2,3. Prvo ćemo zbrojiti sve brojeve ,3 = = = = 27 4, Zatim ćemo dobiveni rezultat podijeliti sa 4: = = Prosjek brojeva 2 1 5, 3 4, i 2,3 iznosi Zadatak 1. Izračunati aritmetičku sredinu brojeva: a) 12, 15, 21, 17, 9 i 10 b) 14,2 ; 11,3 ; 5,9 i 10,7 c) 3 1 3, 2 1 2, i Zadatak 2. U tablici se nalaze temperature po danima u tjednu. Izračunati kolika je prosječna temperatura bila u toku tjedna i za koliko se razlikuje temperatura u petak u odnosu na prosječnu temperaturu. Dan Ponedjeljak Utorak Srijeda Četvrtak Petak Subota Nedjelja Temp. 21 C 19 C 18 C 24 C 25 C 25 C 22 C 50

51 Brojevni izrazi sa zagradama Brojevni izrazi sa zagradama Brojevni izrazi su izrazi sastavljeni samo od brojeva povezanih računskim operacijama sa ili bez zagrada. Vrijednost brojevnog izraza je točno jedan broj koji se dobiva nakon obavljanja svih računskih operacija. Izračunavanje vrijednosti brojevnog izraza zahtijeva pažljiv rad, poštovanje pravila računskih operacija i redoslijeda izvršavanja tih operacija. Pravila o redoslijedu izvršavanja računskih operacija su: a) ako u brojevnom izrazu nema zagrada, onda se uvijek množenje i dijeljenje izvode prije zbrajanja i oduzimanja, b) ako u brojevnom izrazu ima zagrada, onda se prvo izvršavaju računske operacije u zagradama uz poštovanje pravila a). Primjer 1. Izračunaj: Rješenje: ( ) 3 8 =. ( ) 3 8 = = = Primjer 2. Izračunaj: Rješenje: : (1, ) = (1, ) = ( ) = = = = = 24 4 = 6. 51

52 Brojevni izrazi sa zagradama Primjer 3. Izračunaj: [ 5 6 ( ) 2 3 ] ( ) =. Rješenje: [ 5 6 ( ) 2 3 ] ( ) = [ ] ( ) = [ ] = [ ] 3 8 = = = 1 6. Zadatak 1. Izračunaj vrijednosti brojevnih izraza: a) 7 10 (0, ) = b) (1 3 4 ) ( ) = c) [(0,4 + 1 ) ] (0,5 2 ) = d) [ : (1,6 1 1 ) : (1,02 0,88)] = Zadatak 2. Izračunaj brojevnu vrijednost izraza: 4,38 ( ,4) ,4 ( ) = 52

53 Primjena linearnih jednadžbi. Tekstualni zadaci Primjena linearnih jednadžbi. Tekstualni zadaci Najveći problem kod rješavanja tekstualnih zadataka učenicima predstavlja samo postavljanje problema, tj. kako ga zapisati matematički preko linearne jednadžbe. Potrebno je zadatak više puta pročitati i napisati sve nepoznanice koje postoje i slijediti uvjete teksta zadatka. Na kraju tekstualnog zadatka potrebno je ponuditi i tekstualni odgovor. Primjer 1. U knjižnici je u toku tri dana jedne školske godine prodano 600 bilježnica. Prvog dana je prodano 5 ukupne količine, a drugog dana 3 ostatka. Koliko je bilježnica 8 5 prodano trećeg dana? Postavka: Ukupno prodanih bilježnica 600 I dan 5 od II dan ostatka x = 600 I dan II dan I dan : = 375 II dan : ( ) 3 8 = = 135 Treći dan je prodano 90 bilježnica. Primjer 2. Zamislio sam broj. Od njega sam oduzeo 1,0. Dobivenu razliku sam pomnožio s 0,8, tom umnošku sam dodao 2,84 i dobiveni zbroj sam podijelio sa 0,01. Tako sam dobio broj 700. Koji sam broj zamislio? U ovom zadatku je potrebno redom čitati tekst zadatka i samo dopunjavati jednadžbu s uvjetima iz zadatka. 53

54 Primjena linearnih jednadžbi. Tekstualni zadaci x broj koji sam zamislio x 1,05 (x 1,05) 0,8 (x 1,05) 0,8 + 2,84 (x 1,05) 0,8 + 2,84 = 700 / 0,01 0,01 (x 1,05) 0,8 + 2,84 = 700 0,01 (x 1,05) 0,8 = 7 2,84 (x 1,05) 0,8 = 4,16 / 0,8 x 1,05 = 5,2 x = 5,2 + 1,05 x = 6,25 Primjer 3. Jedan gospodin je najprije potrošio 3 5 novca koji je imao, zatim 5 9 ostatka i potom još 3 8 početku? Postavka: ovog ostatka. Poslije toga mu je ostalo 800 kuna. Koliko je kuna imao u x ukupna količina novca I 3 5 x II (x 3 5 x) 5 9 = 2 5 x 5 9 = 2 9 x III - (x 3 5 x 2 9 x) 3 8 = 45x 27x 10x 45 x 3 5 x 2 9 x 1 x = x 1 x = x 3x = x 45 = 800 x = 800 x = = Gospodin je u početku imao 7200 kuna. 3 8 = 8x = 1 15 x 54

55 Primjena linearnih jednadžbi. Tekstualni zadaci Važno je obratiti pažnju na sljedeće izraze: - neki broj uvećati za 5 x neki broj uvećati 5 puta 5x izraz 5x 5 x Primjer 4. U 6.b razredu su 33 učenika. Djevojčica ima za 3 manje nego dječaka. Koliko je djevojčica, a koliko dječaka u tom razredu? Postavka: Dječaci: x Djevojčice: x 3 x + (x 3) = 33 x + x 3 = 33 2x = x = 36 x = 18 Dječaka je 18, a djevojčica 15. Zadaci za samostalan rad: Zadatak 1. Učenik je pročitao knjigu za 3 dana. Prvog dana je pročitao 3 knjige, drugog 8 dana 5 12 knjige, a trećeg dana 1 knjige i još 10 stranica. Koliko stranica ima ta knjiga? 6 Zadatak 2. U dvije posude nalazi se tekućina. Ako se iz prve u drugu posudu prelije 3,75 litara, tada će u drugoj posudi biti 2,5 litara vode manje nego u prvoj posudi. Koliko je vode bilo u drugoj posudi prije presipanja, ako je u prvoj posudi bilo 20 litara? Zadatak 3. Otac je od sina stariji 24 godine, a godine sina čine 5 godina oca. Koliko 13 godina ima sin, a koliko otac? Zadatak 4. Na jednoj polici ima dva puta više knjiga nego na drugoj. Ako se s prve ukloni 7 knjiga, a na drugu doda 10, na drugoj će biti 10 knjiga manje nego na prvoj polici. Koliko je bilo knjiga na svakoj polici? 55