OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja"

Transcript

1 OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja = 00 ( ) = 00 = UKUPNO 4 BODA : ( ) = = = UKUPNO 4 BODA 3. Svaka knjiga ima po korice pa je ukupan broj korica 6, a njihova ukupna debljina mm. Ukupan broj stranica je odnosno 30. Zato je ukupna debljina svih stranica jednaka 30:0 odnosno 3 mm. Na kraju, debljina svi knjiga zajedno je + 3 odnosno 47 mm.... UKUPNO 4 BODA 4. Najveći jednoznamenkasti broj je 9, a najveći dvoznamenkasti broj je 99 pa je 999 = = Dakle, treba dodati 0 puta... UKUPNO 4 BODA. Znamenka 7 se pojavljuje u brojevima 7, 7, 7, 37, 47, 7, 67, 70, 7, 7, 73, 74, 7, 76, 77, 78, 79, 87 i 97. Dakle, znamenka 7 je napisana 0 puta... UKUPNO 4 BODA 6. Ana Beata, Ana Cvijeta, Ana Danijela, Ana Ema Beata Cvijeta, Beata Danijela, Beata Ema Cvijeta Danijela, Cvijeta Ema Danijela Ema Poklone mogu razmijeniti na 0 načina. ( za svaku razmjenu bod ). UKUPNO 0 BODOVA 7. U utorak je obojio 4 letvice više nego u ponedjeljak, u srijedu 8 letvica više, u četvrtak letvica više, u petak 6 letvica više i u subotu 0 letvica više nego u ponedjeljak. Kako je = 60, to znači da je obojio ukupno 60 letvica više nego da je svaki dan obojio kao u ponedjeljak. S obzirom da je = 86 i 86 : 6 = 3, onda je u ponedjeljak obojio 3 letvicu. U srijedu je obojio 8 letvica više nego u ponedjeljak odnosno 39 letvica... UKUPNO 0 BODOVA 8. A B C D E Dužine su:. ( za svaku dužinu bod )... UKUPNO 0 BODOVA

2 OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00.. razred-rješenja. 8 ima 6 djelitelja:,, 3, 6, 9 i 8. 4 ima 8 djelitelja:,, 3, 4, 6, 8, i ima 3 djelitelja:, 7 i 49. Najviše djelitelja ima broj 4.. Kako su razlike uzastopnih članova 7 =, 7 7 = 0 i 37 7 = 0, te je 0 : = i 0 : 0 =, onda sljedeća razlika treba biti 0 = 40, a zatim 40 = 80. Zato u nizu slijedi broj = 77 odnosno = 7 Dva broja koji nastavljaju niz su 77 i UKUPNO 4 BODA 3. U zadanom vremenskom razdoblju sat će se oglasiti 87 = 86 puta. Dijeljenjem 86 :, dobit ćemo 7 i ostatak. Sat je u tom vremenu napravio 7 ciklusa tik, tak, tok, bim, bam te proizveo još jedan zvuk. Sljedeći po redu nakon tik jest zvuk tak = = = = Ako je najmanji od tih brojeva, srednji po veličini je 3, a najveći 3 3 = 9. Uvjete zadatka opisuje jednadžba = 48. Tada je 3 = 48, odakle je = 48 : 3 = 37. Traženi brojevi su 37, i Prirodni broj je djeljiv s ako je djeljiv i s 3 i s. Da bi bio djeljiv s, zadnja znamenka mu mora biti 0. Da bi bio djeljiv s 3, zbroj znamenaka mu mora biti djeljiv s 3. Najmanji zbroj četvorki djeljiv s 3 je Traženi broj je broj UKUPNO 0 BODOVA

3 7. Traženi su brojevi oblika abcde, pri čemu znamenke zadovoljavaju uvjete: b je iz skupa {3,, 7} pa je biramo na 3 načina, c je iz skupa {6, 8, 9}te je biramo na 3 načina, d je bilo koja od zadanih znamenaka pa je biramo na 8 načina, e je iz skupa {0, 6, 8}, no zbog a = e mora biti e 0 što znači da je biramo na načina i a je određena znamenkom e. Ukupan broj brojeva koji zadovoljavaju uvjet je = 44. UKUPNO 0 BODOVA 8. Neka je duljina kraće stranice pravokutnika izražena u centimetrima. Tada je duljina dulje stranice 4. Opseg tog pravokutnika je ( + 4) = 0 pa je = 0 = 4 BODA Stranica kvadrata dugačka je 4 = 8 cm pa je površina 64 cm. 4 BODA UKUPNO 0 BODOVA

4 OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja. Kako je 0. i 3 0, onda i Dalje je 3 odnosno.... UKUPNO 4 BODA. Neka je ukupan broj kuglica u kutiji. Kako je 7, crvene i plave kuglice čine 7 ukupnog broja kuglica Preostale kuglice su zelene pa ih ima. S obzirom da zelenih kuglica ima 0, vrijedi 0. Dakle, 0 : 4. U kutiji su ukupno 4 kuglice..... UKUPNO 4 BODA 3. Neka je traženi broj. Prema uvjetima zadatka možemo pisati (4 ) 8(9 ) Traženi broj je UKUPNO 4 BODA 4. Neka je veličina kuta uz osnovicu tog trokuta. Tada je + 0 veličina kuta među krakovima tog trokuta. Zato vrijedi = 80 Dalje je = 80, odnosno 3 = 60, pa je = 3 0'. Kutovi trokuta su veličine 3 0', 3 0' i 73 0'..... UKUPNO 4 BODA. Neka je količina dovezenog krumpira. Kako je 3 7 količina prodanog krumpira, onda je 3 4 ostatak. 7 7 Zato vrijedi Dalje je odnosno Na kraju je = 470. Dostavljač je na tržnicu dovezao 470 kg krumpira.

5 6. Neka je broj boca od 0.8 l. Tada je 78 broj boca od 3 4 l. 3 Zato vrijedi 0.8 (78 ) Rješavanjem jednadžbe slijedi = BODA Napunjeno je 30 boca od 0.8 l i 48 boca od 3 4 l..... UKUPNO 0 BODOVA c vc a b 7. Površinu pravokutnog trokuta računamo: c c.4 6 c = m.... UKUPNO 0 BODOVA 8. F D C G E A B Prema uvjetima zadatka je AC = BC = b (to su kraci jednakokračnog trokuta). Nadalje je CD = CF = b (stranica kvadrata). Konačno, ACD = ACB + BCD = γ + 90 i BCF = BCA + ACF = γ + 90, pa vrijedi ACD = BCF. Prema poučku S-K-S o sukladnosti trokuta zaključujemo da je ΔACD ΔBCF. Iz dokazane sukladnosti slijedi AD = BF. UKUPNO 0 BODOVA

6 OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja. y y A B S B S D C C Sjecište dijagonala kvadrata je u točki S(, ). Dijagonale kvadrata su okomite i jednakih duljina, a točka S je njihovo zajedničko polovište. Tada je A(, 8) i D(7, )... UKUPNO 4 BODA. : = 4 cm : 80 km = 4 cm : cm Traženo mjerilo je : UKUPNO 4 BODA 3. Iz uvjeta zadatka moguće je sastaviti jednakost Nakon što Hrvoje napusti skupinu jednakost glasi Oduzimanjem druge jednakosti od prve dobivamo da je 6 = Dakle, Hrvoje ima 4 godinu... UKUPNO 4 BODA 4. Neka je c početna cijena krumpira. To znači da domaćica raspolaže s 0c kn. Nakon sniženja će nova cijena biti c 0%c = 0.8c. Ako je količina krumpira kojeg može kupiti po novoj cijeni, onda vrijedi 0.8c = 0c. Rješavanjem jednadžbe slijedi =. Po novoj cijeni se može kupiti kg... UKUPNO 4 BODA. Prva osoba za jedan dan obavi posla, a druga osoba posla. 6 Oni skupa za jedan dan mogu obaviti 3 posla. 6 4 Dakle, za cijeli posao im treba 4 dana... UKUPNO 4 BODA

7 6. D y C A y B Označimo dimenzije početnog pravokutnika s i y. Vrijedi: BC = 3y, AB = DC = + y, AD =. Kako je BC = AD, onda je 3y = odnosno =.y. Neka je p površina početnog pravokutnika. Tada je p = y =.y y Dalje je p ABCD = p = 7.y y = 70 odnosno y y = 0 pa je y = 0 cm. Slijedi = cm. AB = + y = cm BC = 3y = 30 cm Na kraju,o ABCD = AB + BC = 0 cm... UKUPNO 0 BODOVA 7. Produljeni razmjer a : b : c = : 3 : 3. možemo pisati u obliku a : b : c = 30:80 :48, odnosno a : b : c = : 40 : 4. Tada vrijedi a =, b = 40 i c = 4,. Prema uvjetu zadatka je c = b 8 km, tj. 4 = Iz posljednje jednadžbe nalazimo da je = 0.. Udaljenosti tvornica A, B i C od luke su redom 7. km, 0 km i km... UKUPNO 0 BODOVA 8. Neka je s odnosno s duljina puta od mjesta A do mjesta B odnosno duljina puta u povratku. Neka je t odnosno t vrijeme provedeno u vožnji od mjesta A do mjesta B odnosno u povratku. Neka je v odnosno v prosječna brzina na putu do mjesta B odnosno u povratku Tada je s s 0.6s 0.74s, t i t s s Dalje je v i v t t 37 s 6 s s s t Zato vrijedi v: v : t t t s s Dakle, v : v = 4 : UKUPNO 0 BODOVA

8 OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja. Količnici uzastopnih članova su, 4, 8. Kako je 4 : = i 8 : 4 =, onda sljedeći količnik treba biti 8 = 6, a zatim 6 = 3. Zato u nizu slijedi broj 9 6 = 307, odnosno = UKUPNO 4 BODA. Potrebno je uočiti da je = (0 4 ) Iz toga slijedi jednakost (0 4 ) 9999 = Dakle, iza znamenke biti će nula, pa će broj imati znamenaka... UKUPNO 4 BODA 3. Površina romba je jednaka polovini umnoška duljina njegovih dijagonala p p p 4 Površina romba iznosi 4 cm... UKUPNO 4 BODA 4. 4a 4ab a 3 ab 4 a ( a b) = a ( a b ) = = 4 a ( a b) a a b a b = 4 = a b.. UKUPNO 4 BODA. Vrijedi a 4a + 00 = a a = (a ) Za a = najmanja vrijednost je UKUPNO 4 BODA 6. Iz a : b = 8 : slijedi da je a = 8 i b =,. Primjenom Pitagorina poučka dobiva se c = (8) + (), tj. c = 89. Duljina hipotenuze je c = 7. Opseg trokuta je 00 cm pa je = 00. Rješavanjem ove jednadžbe dobivamo =.. Duljine stranica trokuta su a = 0 cm, b = 37. cm i c = 4. cm.... UKUPNO 0 BODOVA

9 7. Broju n prethodnik je broj n,a sljedbenik n +. Iz uvjeta zadatka slijedi jednadžba: n 49 = 3(n ) (n + ) n 49 = 3(n n + ) (n + n +) n 49 = 3n 6n + 3 n 4n 0n = 0 n = Traženi broj je, a njegov sljedbenik UKUPNO 0 BODOVA 8. Neka su AD visina na krak BC i CE visina na osnovicu AB. Kako je BC < AB, onda je AD > CE. To znači da je AD = 4 cm, a CE = 0 cm. AB CE BC AD Kako je p, onda vrijedi 0 AB = 4 BC 6 odnosno AB BC. AB Primijenimo li Pitagorin poučak na ΔBCE, slijedi 0 BC, odnosno nakon sređivanja BC = cm i AB = 30 cm. 4 BODA Na kraju, o = AB + BC = 30 + = 80 cm.... UKUPNO 0 BODOVA

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

RJEŠENJA ZA 4. RAZRED

RJEŠENJA ZA 4. RAZRED RJEŠENJA ZA 4. RAZRED OVDJEJEDANJEDANNAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK OCI- JENITI I BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN..

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

4 Sukladnost i sličnost trokuta

4 Sukladnost i sličnost trokuta 4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb

Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb Periodične funkcije Branimir Dakić, Zagreb Periodičnost 1 je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 29. siječnja 2007.

OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 29. siječnja 2007. Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 9. siječnja 007.. U brojevnom

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

MINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I SPORTA REPUBLIKE HRVATSKE AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJE HRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO

MINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I SPORTA REPUBLIKE HRVATSKE AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJE HRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO MINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I SPORTA REPUBLIKE HRVATSKE AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJE HRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 21. siječnja 2016. 4. razred-osnovna

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Temeljni pojmovi o trokutu

Temeljni pojmovi o trokutu 1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.

Διαβάστε περισσότερα

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov

Διαβάστε περισσότερα

Pitanja za usmeni dio ispita iz matematike

Pitanja za usmeni dio ispita iz matematike PITANJA ZA MATURALNI ISPIT Pitanja za usmeni dio ispita iz matematike. Dokazati da je zbroj unutarnjih kutova u trokutu 80 0,a spoljnjih 60 0.. Dokazati da je spoljnji kut trokuta jednak zbroju dva nesusjedna

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo

Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo January 24, 2012 Uvod U Bosni i Hercegovini već pedesetak godina se organizuju

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Zbirka oglednih zadataka iz matematike za pripreme za upis na Ekonomski fakultet

Zbirka oglednih zadataka iz matematike za pripreme za upis na Ekonomski fakultet X. GIMNAZIJA Zbirka oglednih zadataka iz matematike za pripreme za upis na Ekonomski fakultet Pripremila Vesna Skočir PREDGOVOR Zbirka sadrži zadatke koji su se zadnjih nekoliko godina pojavljivali na

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

POPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= *

POPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= * POPIS ZADATAKA:.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=+i i i.riješi zadatak:izi= * i i.izračunaj:(8+6i)(8-6i)=.odredi realne brojeve i y za koje vrijedi:(-i)+(+i)y=i.riješi kvadratnu jednadžbu :9²-=0

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y . ANALITICKA GEOMETRIJA. Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca: a + by + c = 0 Opci oblik pravca: gdje je : y = k+ l k koeficijent smjera pravca, k = tan α l odsjecak pravca na osi y k > 0 pravac je

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

3. Masa soli i čiste vode u moru kod Protarasa (Cipar) je u omjeru 7 : 193. Koliko kilograma soli ima u 1000 kg morske vode?

3. Masa soli i čiste vode u moru kod Protarasa (Cipar) je u omjeru 7 : 193. Koliko kilograma soli ima u 1000 kg morske vode? MATEMATIČKI KLOKAN C RJEŠENJA Pitanja za 3 boda: 1. Na slici je veliki jednakostraničan trokut koji ima površinu 9. Dužine paralelne stranicama dijele stranicu na tri jednaka dijela. Kolika je ukupna površina

Διαβάστε περισσότερα

O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija

O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija O fiksnim točkama... O fiksnim točkama osnovnih trigonometrijskih funkcija Matea Jelčić, Kristina Ivankić, Mirela Katić Žlepalo 3 i Bojan Kovačić Sažetak U ovom članku razmatramo fiksne točke četiriju

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni teoremi diferencijalnog računa

Osnovni teoremi diferencijalnog računa Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tena Pavić Osnovni teoremi diferencijalnog računa Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

Διαβάστε περισσότερα

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003. Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Prirodni i cijeli brojevi

1.1. Prirodni i cijeli brojevi BROJEVI Upitate li nekoga, kome matematika i nije osobito bliska, c ime se matematic ari bave, moz ete oc ekivati odgovor: brojevima! I premda bas i nije toc an, odgovor nije neobic an. Jer, prva iskustva

Διαβάστε περισσότερα

SKUP REALNIH BROJEVA BROJEVI I RAČUNSKE OPERACIJE. Koja je vrijednost izraza : ? A. B. C. 5 D. 7. Koja je od navedenih tvrdnji istinita?

SKUP REALNIH BROJEVA BROJEVI I RAČUNSKE OPERACIJE. Koja je vrijednost izraza : ? A. B. C. 5 D. 7. Koja je od navedenih tvrdnji istinita? SŠ AMBROZA HARAČIĆA MALI LOŠINJ ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE Viša (A) razina Zadaci i rješenja sa nacionalnih ispita i državnih matura 006.-0. Prikupio i obradio: Ivan Brzović,prof. Mali Lošinj,rujan

Διαβάστε περισσότερα

Vjerojatnost - 1. dio. Uvod u vjerojatnost. 1. Kolika je vjerojatnost da se pri bacanju dviju kocki pojavi: a) zbroj 8 b) barem jedna četvorka?

Vjerojatnost - 1. dio. Uvod u vjerojatnost. 1. Kolika je vjerojatnost da se pri bacanju dviju kocki pojavi: a) zbroj 8 b) barem jedna četvorka? Vjerojatnost - 1. dio Uvod u vjerojatnost 1. Kolika je vjerojatnost da se pri bacanju dviju kocki pojavi: a zbroj 8 b barem jedna četvorka? ( 5, 11 36 36. Ako se znade da je od 100 žarulja pet neispravnih,

Διαβάστε περισσότερα

RE[EWA ZADATAKA IV RAZRED

RE[EWA ZADATAKA IV RAZRED Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije DRU[TVO MATEMATI^ARA SRBIJE OKRU@NO TAKMI^EWE IZ MATEMATIKE U^ENIKA OSNOVNIH [KOLA 19.04.008 IV RAZRED 1. Tri prijateqa, Milo{, Uro{ i Jano{, poklonili su

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE

EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE **** MLADEN SRAGA **** 0. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE α LOGARITMI Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: Mladen Sraga

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA - TESTOVA 1. dio

ZBIRKA - TESTOVA 1. dio **** IVANA SRAGA **** 03. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE ZBIRKA - TESTOVA. dio. polugodište α Autori: IVANA SRAGA Grafički urednik: Mladen Sraga Ivana Sraga

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Program za tablično računanje Microsoft Excel

Program za tablično računanje Microsoft Excel Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ FIZIKE Srednje škole 1. skupina

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ FIZIKE Srednje škole 1. skupina ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ FIZIKE 6..9. Srednje škole. skupina. zadatak ( bodova) Tramvaj vozi između dvije stanice udaljene 6 m tako da polazi sa prve stanice iz mirovanja i ubrzava ubrzanjem m/s dok ne

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 6. razred osnovne škole

MATEMATIKA 6. razred osnovne škole Matematika 6. razred osnovne škole 1 MATEMATIKA 6. razred osnovne škole OPERACIJE S RAZLOMCIMA 1. Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik Zajednički nazivnik dvaju razlomaka. Provesti heuristički razgovor

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem

Dirichletov princip. Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem Dirichletov princip Dirichletov princip je jedan od najjednostavnijih elementarnih kombinatornih principa. U najjednostavnijem obliku glasi ovako: Dirichletov princip: Ako n + 1 predmet rasporedimo kako

Διαβάστε περισσότερα

U teoriji vjerojatnosti razmatraju se događaji koji se mogu, ali ne moraju dogoditi. Takvi se događaji zovu slučajnim događajima.

U teoriji vjerojatnosti razmatraju se događaji koji se mogu, ali ne moraju dogoditi. Takvi se događaji zovu slučajnim događajima. Sažetak vjerojatnost Skup ishoda U teoriji vjerojatnosti razmatraju se događaji koji se mogu, ali ne moraju dogoditi. Takvi se događaji zovu slučajnim događajima. Jednostavne događaje u nekom pokusu zvat

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić

Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016 Tomislav Berić tberic@math.hr Sadržaj 1 Operatori na Hilbertovim prostorima 1 1.1 Normalni operatori..................................... 3 1.2 Unitarni

Διαβάστε περισσότερα

Vježbe iz matematike 1

Vježbe iz matematike 1 Vježbe iz matematike B. Ivanković N. Kapetanović 8. rujna 005. Uvod Vježbe su tijekom dugog niza održavanja nadopunjavane. Osnovu vježbi napravila je Nataša Kapetanović, ing. matematike, a podebljao ih

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

Domena kompozicije funkcija

Domena kompozicije funkcija Domena kompozicije funkcija Petar Žugec Fizički odsjek Prirodoslovno-matematičkog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu Kompozicija dviju funkcija fx) i gx) u oznaci f g)x) definirana je na način: f g)x) fgx))

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

POLIEDRI. Ivana Bojović 171/03

POLIEDRI. Ivana Bojović 171/03 POLIEDRI Ivana Bojović 171/03 Sadržaj Poliedarske površi...2 Prizma...5 Piramida...8 Zarubljena piramida...10 Pravilni poliedri...11 Površina poliedara...12 Površina prizme...12 Površina pravouglog paralelopipeda...13

Διαβάστε περισσότερα

I. dio. Zadaci za ponavljanje

I. dio. Zadaci za ponavljanje I. dio Zadaci za ponavljanje ZADACI ZA PONAVLJANJE. BROJEVI: Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi. Izgradnja skupova N, Z, Q, R.. Odredi najveću zajedničku mjeru M(846, 46).. Napiši broj u sustavu

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA. Osijek, 1994.

Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA. Osijek, 1994. Dr. Miljenko Crnjac, Mr. Dragan Jukić, Dr. Rudolf Scitovski MATEMATIKA Osijek, 994. M. Crnjac, D. Jukić, R. Scitovski Matematika Udžbenik U-6 Recenzenti: Prof.dr.sc. Hrvoje Kraljević Prof.dr.sc. Harry

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Zbirka zadataka

Matematika Zbirka zadataka Matematika Zbirka zadataka Kristina Devčić Božidar Ivanković Veleučilište Nikola Tesla u Gospiću Uvod Unaprijed se zahvaljujemo na svakom komentaru o propustima i nedosljednostima, a svaka primjedba glede

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

5. Upi{i brojeve 14, 15, 16, 17, 18 i 19 u krugove, ali tako da zbirovi na svakoj od stranica zami{qenog trougla budu me usobno

5. Upi{i brojeve 14, 15, 16, 17, 18 i 19 u krugove, ali tako da zbirovi na svakoj od stranica zami{qenog trougla budu me usobno Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije DRU[TVO MATEMATI^ARA SRBIJE OP[TINSKO TAKMI^EWE IZ MATEMATIKE U^ENIKA OSNOVNIH [KOLA 15.03.2008. III RAZRED 1. Izra~unaj: a) 52 10 + 12, b) 7 8 + 124, v)

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA

5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA 5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMEARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINAAMA 5. Funkcije zadane u paametaskom obliku Ako se koodinate neke tocke,, zadaju u obliku funkcije neke tece pomjenjive, koja se tada naziva paameta,

Διαβάστε περισσότερα