Transformarea Fourier a semnalelor analogice

Transcript

1 ransformarea Fourier a semnalelor analogice O reprezenare specrala aplicabila semnalelor neperiodice hp://shannon.ec.up.ro/eaching/ssis/cap5.pdf ransformarea Fourier penru semnale aperiodice Semnalul () poae fi periodiza prin repearea sa la infini din in. k k k k Semnalul ese versiunea periodizaa a lui (). Penru se obine semnalul neperiodic ()

2 Semnalul recangular, p, oherwise repeare Neperiodic Periodic Semnalul neperiodic si cel periodic, de perioada. 3 Creserea perioadei face ca semnalul periodic sa se apropie de cel neperiodic Semnalul periodic ese de banda nelimiaa, cu seria Fourier: Produsul c k 4

3 Produsul c k si anvelopa () = anvelopa penru c k c k, Relaia dinre produs si anvelopa k 5 Demonsraie Coeficienii seriei Fourier penru semnalul periodic sun: Cu noaia: Rezula: jk ck e d jk ck e d j e d ck k, Semnalele egale pe [-/, /] 6 3

4 Specrul semnalului drepunghiular penru diverse valori ale perioadei 7 Caeva observaii Anvelopa nu ese afecaa de. Cu ca crese componenele specrale sun mai aproape. disana Reprezenarea specrala discrea devine coninua. Iar semnalul periodic devine neperiodic. 8 4

5 Definiii. Perechea Fourier ransformaa Fourier inversa j j e d e d ransformaa Fourier direca, funcia de densiae specrala, sau Specru Specrul unui semnal periodic ese discre: linii specrale la frecvenele k c k, k Specrul unui semnal aperiodic ese coninuu. 9 eorema de reconsrucie. Semnale din clasa L ransformaa Fourier a unui semnal din L, nu aparine neapara de L : ransformaa ese convergena (()L ) dar ()L. p σ σ ω sin ω ω Daca semnalul () aparine clasei de funcii L si ese margini pe oaa aa reala, aunci ransformaa Fourier inversa ese R lim F R R e j d 5

6 Remarci ransformaa Fourier ese o funcie complea. ransformaa Fourier H() a raspunsului la impuls h() al unui sisem: raspunsul in frecvena al sisemului. Dependena modulului lui H() in funcie de frecvena se numese caracerisica de modul a sisemului, H() Dependena fazei lui H() in funcie de frecvena se numese caracerisica de faze a sisemului, arg{h()} Proprieai:. Liniariaea Daca semnalele (), y() L au ransformaele Fourier (ω), Y(ω) aunci penru a, b=cons., semnalul a()+by() L si are ransformaa Fourier (ω)+by(ω). ema: demonsraia. a by a by. Deplasarea in imp j e F j j j e d e d e. 6

7 F 3. Modularea semnalului j e j j j. j e e e d e d Dualiaea operaie in imp ala operaie in frecvena (modulaie deplasare in frecvena) A doua operaie in imp efec: prima operaie in frecvena (deplasare in imp modulaie) Scalarea variabilei imp Daca () L versiunea scalaa (/a) L, specrul ese o versiune scalaa a semnalului (). Operaie auoduala. a. a a F j a ae d a a a. a a j e a d a ; a 4 7

8 Eemplu: semnalul recangular Specrul semnalului ese sin p Versiunea scalaa in imp cu a=: Cu a=/ sin sin p p = sin sin p p 5 Comprimarea in imp epandare in frecvena Epandarea in imp comprimare in frecvena 6 8

9 Specrul consanei () * * F 5. ransfomaa conjugaei complee a semnalului * * j * j F * e d e d 7 6. Reflecarea in imp Demonsraie: ema F 7. Derivarea in imp ' F j 8 9

10 8. Inegrarea in imp Penru () L fara componena coninua ()=, inegrala semnalului ese o din L F d penru j 9. Convoluia semnalelor: eorema convoluiei Convoluia a doua semnale din L ese o din L. Convoluia in imp -> produs in frecvena. y Y 9 Demonsraie F j y y e d j e e dd u j F j y d e d j ju e d y u e du. y Y

11 Eemplu. Specrul semnalului riunghiular Semnalul riunghiular ese obinu prin convoluia a doua semnale drepunghiulare cu aceeasi duraa p p p p sin sin sin p. eorema de derivare a specrului Derivaa specrului ese ransformaa Fourier a semnalului j(). d ω j dω j j j e d e d j e d d d d d d d

12 . Proprieai ale specrelor semnalelor reale din L Specrul unui semnal real si par ese real si par. Specrul unui semnal real si impar ese pur imaginar si impar. Re = ; Im j j p P i I j Re Im * j Re Im e j e j * * ; ; Re Re ; Im Im. Modulul si parea reala ale specrului: funcii pare. Faza si parea imaginarea ale specrului: funcii impare. 3 Semnal real impar sin j j p p e e Specrul unui semnal real impar ese pur imaginar si impar 4

13 p sin Deplasare in imp p e j sin and p e j sin sin j j cos e e j Relaia lui Euler sin(u) =-cos (u) 5. eorema lui Parseval penru semnale din L Forma echivalena: y ransformaa Fourier a semnalului () cu variabila imp, d y d y d Y d Semnalul () cu variabila frecvena 6 3

14 3. Relaia dinre ransformaa Fourier a unui semnal aperiodic si coeficienii seriei Fourier eponeniale ai semnalului obinu prin periodizarea semnalului aperiodic Aceasa relaia a fos deja sabilia. ck k, p p cos j c k k cos j k cos k j k 7 ransformaa Fourier penru semnale din L ) Semnale de energie finia () L L ransformaa Fourier a unui semnal din L L ese din L d d Energia semnalului (relaie de ip Parseval sau Rayleigh). Densiaea de energie: () Relaia se poae scrie folosind norma in L : 8 4

15 j l.i.m. e d ) Semnale de energie finia () L \ L lim e j d ransformaa Fourier in clasa L norma L a ransformaei Fourier runchierea () prin inmulirea cu p τ () duce la aproimarea lui () L L. Avem doua aproimari. Cea mai buna ese cea cu duraa mai mare. Cealala ese o aproimare a primei. Eroarea inde spre zero daca duraa inde spre infini. 9 Daca eorema lui Plâncherel L aunci: j i) eisa l.i.m e d, R, ii) penru R are loc egaliaea: R j l.i.m e d R R 3 5

16 Observaii i) ransformaa Fourier a semnalelor din L ese si ea in L. ii) oae proprieaile demonsrae penru ransformarea Fourier raman valabile si penru ransformarea. Penru semnale din L ese valabila relaia Rayleigh. Ea nu ese valabila penru semnale din L \ L. iii) Penru ( ) si y( ) din L are loc relaia: * * y d Y d - Cele inegrale sun formele de eprimare ale unor produse scalare. Relaia poae fi scrisa si in forma:, y,y Daca cele doua semnale sun egale, avem relaia lui Parseval: d d 3 Proprieai suplimenare ale ransformarii Fourier din L 4. Convoluia specrelor (eorema convoluiei specrelor) y Y. Z Y L ju Z uy udu u y e ddu ju j j y ue due d y e d y F. 3 6

17 5. eorema simeriei F F Se pornese de la o pereche cunoscua ((), (ω)) Care ese specrul semnalului ()? Se schimba variabilele si consanele de imp cu cele de frecvena, Se obine perechea ((), π(-ω)). 33 p τ Eemple: Semnalul poara emporala sin. p and. τ sin sin. p 34 7

18 8 35 Semnalul riunghiular simeric. sin p ri. and sin ri sin. ri 36 Semnal cauzal eponenial cazaor. e wih ω j e j d e d e e j j j j j arcg j arg arg j arg arg

19 arcg 37 Semnal ani-cauzal eponenial cazaor ω e. wih ω e. wih j. arg arg arcg. j 38 9

20 Semnal simeric eponenial cazaor s s e e ω e ;.,, s j j 39 Semnalul Gaussian Specrul semnalului Gaussian ese o Gaussian e a e a 4a, a. 4

21 ransformarea Fourier penru disribuii ) Specrul disribuiei Dirac ) Specrul consanei () c c 4 3) Specrul repei uniare () j 4) Specrul semnalului sgn() sgn u j, sgn,, 4

22 5) Specrul semnalului /(π) j, j sgn, j, 43 6) ransformaa Fourier a inegralei unui semnal care are componena coninua, () τ dτ ω jω π δ ω y τdτ τσ -τdτ ω Y ω ω ω ω πδω π ω δ ω jω jω ω δω δω 44

23 7) Specrul eponenialei complee ω e j πδ ω-ω 45 8) Specrul semnalului cosω jω jω e e cosω π δ ω-ω δ ω ω 46 3

24 9) Specrul semnalului sinω sin jπ δ ω-ω δ ω ω 47 ransformarea Fourier penru semnale periodice δ y δ ω δ ω jkω e ω k Y y ω π c δω - k k k ω 48 4

25 Repariia unei variabile aleaoare Repariia unei variabile aleaoare ese descrisa de funcia de densiae de probabiliae f () : f si f d i) Media ii) Puerea μ E E f d; iii) Puerea de flucuaie in jurul mediei: variana (dispersie) iv) Abaere sandard (grad de imprasiere in jurul mediei) f d; μ μ Var E f d σ Var. 49 Eemplu: repariia gaussiana (normala) μ σ f e πσ -medie σ abaere sandard πσ μ,σ π e μ σ e d d 5 5

26 Reparizarea in imp a energiei semnalului Reparizarea in imp a energiei semnalului : W d : densiae de repariie in imp a energiei. W momen de imp c in jurul caruia se grupeaza energia semnalului si o dispersie a acesuia, : d c d c σ d d 5 Reparizarea in frecvena a energiei semnalului Reparizarea in frecvena a energiei semnalului, cu specrul W d ; :densiae de repariie in frecvena a energiei. W Frecvena c in jurul careia se grupeaza energia semnalului si o dispersie in frecvena, : ω ω dω ω ωc ω dω ω c σω ω dω ω dω 5 6

27 Valorile abaerilor sandard si ne dau informaii despre duraa efeciva si banda efeciva a semnalului ( ). Relaia de inceriudine Heisenberg-Gabor Daca si po fi definie, aunci penru orice semnal avem: Egalul are loc daca si numai daca Eemplu: semnalul gaussian a 4a e e a c ; σ ; ωc σω a 4a ese un semnal Gaussian. σσ ω. 53 Energia in inervalul de imp 3 a a W6 W6 e d % a W 3 a Energia in banda de frecvene W a a W 3 a a W6 e d 3 a,3σ 3 3 3,3, a a ω ; 99.74% 3 Duraa semnalului ; banda B 3 a a produsul duraa-banda B 9 penru 99.74% W 54 7

28 Observaii: i) Inerpreari ale inegaliaii Heisenberg-Gabor σσ ω Daca duraa semnalului crese banda (ininderea specrala) descrese. Eemplu: proprieaea de scalare in imp. La o duraa a semnalului fiaa, ininderea specrala ese σ ω C σ σ Dinre oae semnalele cu aceeasi duraa, semnalul gaussian are banda de frecvene minima. Dinre oae semnalele de banda de frecvene impusa, cea mai mica duraa o are semnalul gaussian. Folosirea sa ese indicaa in elecommunicaii: la banda impusa ofera cea mai mare vieza de ransmisie. 55 ii) Nu inodeauna se po deermina σ si σ ω ω e j W d ; ; C C ω ω ω ω dω dω arcg ω ω ω dω (funcie para) σ ; σ nu poae fi defini ω dω 56 8

29 In inervalul [,] energia semnalului: = W d e d e W Impunem W =,995W si avem: =,65/ω Energia in banda de frecvene [,B ω ] ese B B WB d arcg W B ω ω Impunem W Bω =,995W si avem: B ω 7,3ω Rezula produsul duraa-banda 337,3 Un asfel de semnal, la o duraa impusa, are o banda foara larga, asfel inca 99,5% din energia sa sa fie ransmisa. 57 iii) Semnalul poara emporala p, cu In duraa ese cuprinsa oaa energia semnalului. In domeniul frecvena: B B sin W ω dω d B B Energia ce nu ese cuprinsa in inervalul [,B ω ] ese Impunem W Bω =,995W si avem produsul duraa-banda 3. La aceeasi duraa, semnalul drepunghiular are o banda de frecvena mai mica deca semnalul eponenial. B B sin d W W B B W 58 9

30 Penru B 65 ;, 5 % W, 995W B 65 B 3 59 Raspunsul in frecvena al sisemelor liniare si invariane in imp coninuu ( ) * h( ) ( ) H( ) Raspunsul sisemului poae fi deermina inversand ransformaa Fourier a produsului dinre specrul semnalului de inrare si raspunsul in frecvena al sisemului. 6 3

31 Raspunsul in frecvena al SLI ransformaa Fourier a raspunsului la impulsul uniar h(), ese raspunsul sisemului in frecvena H(ω). Cunoscand H(ω) se poae afla iesirea penru orice inrare. i)se deermina (ω)=f{()}, ii)se deermina Y(ω)=(ω)H(ω), unde H(ω)=F{h()}, iii) Se calculeaza y()=f - {Y(ω)}. Se descompune Y(ω) inr-o suma de fracii simple. 6 Raspunsul SLI la semnale periodice c e, y c H k e. k k jk jk k k Meoda armonica cos arg H H 6 3

32 Calculul raspunsului unui sisem liniar si invarian in imp caraceriza prinr-o ecuaie difereniala liniara si cu coeficieni consani N k N k k k d k H d y d a bk, an k d N b k j Y k N, an k a j k k k i) Funcia raspuns in frecvena ese, penru circuiele elecrice cu consane concenrae, de ip fracie raionala de variabila jω ii) Coeficienii puerilor variabilei jω din raspunsul in frecvena sun aceeasi cu coeficienii ce inervin in srucura ecuaiei difereniale ce descrie sisemul (circuiul) k 63 dy H d h k e y k,, k k j Eemple i) SLI cauzal, descris de ecuaia difereniala de ordin unu 64 3

33 ii) SLI cauzal, descris de ecuaia difereniala de ordinul doi d y dy d 6 8y 3 d d d j 3 j 3 H H j 6 j 8 j j j j h e e 65 iii) o un SLI cauzal, descries prinr-o ecuarie difereniala de ordin doi d y dy d y d d d j j j H j a j a j j j a j a j j j j e e e e e e e e e e h e e h j j j j j cos sin e e cos

34 Se caua raspunsul y() al sisemului din eemplul ii), la o eponeniala cauzala H e j3 j j 4 / e j Y H Y j3 j j j 4 3 j j 6 j 4 4 y e e e 3 6 Sisemul (si semnalul de inrare) ese cauzal deci si raspunsul sau ese cauzal 67 Se caua raspunsul y() al sisemului din eemplul iii), la o eponeniala cauzala e j H j j / e j Y j j j j j j j j Y ; a, j j a j a a a j j j je e e e sin y je je je je je e 68 34

35 Reprezenarea caracerisicilor de frecvena f : Hz Hz log lg, Reprezenarea frecvenei in coordonae logarimice Reprezenarea modulului raspunsului in frecvena in coordonae logarimice, (nu se eclude uilizarea coordonaelor liniare.) inre frecvenele ω si ω avem o decada, inre frecvenele ω si ω avem o ocava. 69 Penru frecvena (aa orizonala) 5 rad / s 5Hz 5 rad / s 5 Hz : o decada 6 7 rad / s rad / s : o decada lg... 5 mm... lungimea penru o decada lg... mm... lungimea penru o ocava lg 5.3mm 5mm Penru nivel (aa vericala) db log H lg H A ;nivelul de referina H H H O cresere cu db inseamna ca H(ω) =H. O scadere cu db,a=-, inseamna ca H(ω) =. H. O cresere cu 4dB inseamna H(ω) = H. O scadere cu 4dB, inseamna H(ω) = - H. 7 35

36 Cresere cu 3dB =muliplicarea valorii de referina cu, Scadere cu 3dB = muliplicarea valorii de referina cu / (.77). Creserea (scadere) cu 6dB= dublarea (injumaairea) valorii de referina db H db H / Siseme de ordinul inai dy d y In auomaizari forma ipica ese: dy y d k K H j H K ; K K ; arcg. Caracerisica de modul ese o funcie para. Caracerisica de faza ese o funcie impara. 7 36

37 H, / lg lg k ecuaia unei paralele la aa frecvenei, asimpoa la sanga, / lg H lg k lg ecuaia unei drepe, asimpoa la frecvene mari (la dreapa) -db/decada -6dB/ocava 73 Caracerisici de frecvena, K=, ω = Reprezenarea curbei prin asimpoe 74 37

38 Hodograful folosi penru sudiul sabiliaii, H 75 H d y d Siseme de ordinul doi K j dy d. y K, / si 76 38

39 Caracerisici de faza 77 Caracerisici de faza dealiu 78 39

40 Sisem rece sus dy d y d RC d dy d y k ; d d k j H j 79 Funcia de corelaie penru un semnal de energie infinia, dar puere medie finia R lim * d, Produsul * cu ecepia reflecarii unui ermen. Daca semnalul ese periodic, perioada jk R ck e, Funcia R N k se consruiese ca si in cazul convoluiei, ese periodica de perioada R R * d, 8 4

41 eorema Wiener-Hincin: R Fourier eponeniale unde R c c k k P - puerea medie pe o perioada R k are coeficienii seriei k k c R R n P c c ; R k P R a semnalului () Se definese densiaea specrala de puere a semnalului ransformaa Fourier a funciei de corelaie: R S c k k n 8 ca R lim * d, Daca semnalul ese neperiodic, dar de puere finia, P funcia de corelaie ese conjuga simerica(simerie Hermiica) R * R Penru semnalul runchia p R S se definese densiaea specrala de puere: S lim eorema Wiener-Hincin 8 4

42 eorema Wiener-Hincin: Funcia de corelaie si densiaea specrala de puere a unui semnal, formeaza o pereche de ransformae Fourier., cu, R S S S S j R Se d R Sd P Valoarea funciei de corelaie in origine reprezina chiar puerea medie a semnalului R R 83 Semnalul reapa uniara P lim d lim R R lim d, lim d lim lim, Se observa ca funcia de corelaie ese para / 84 4

43 Semnalul runchia: e j j S j e j e j j j lim lim sin sin e sin sin 85 Funcia de inercorelaie penru semnale de puere finia Ry lim y d In cazul a doua semnale periodice, de perioada, funcia de inercorelaie ese si ea periodica de aceeasi perioada: Ry Ry y d Ry R y 86 43

44 Ry P Py R Ry y R R Coeficien de inercorelaie al semnalelor: y ; y R y Semnale orogonale sau necorelae: R y, Funcie de inercovariana Ky lim m y my d Media emporala m lim d Media unui semnal periodic ese ocmai componena sa coninua m lim d 87 recerea semnalelor de puere medie finia prin SLI (periodice) S H S y Densiaile specrale de puere ale semnalelor de inrare si iesire sun legae prinr-o relaie erem de simpla. Penru un semnal periodic avem: Coeficienii seriei semnalulului de iesire sun dai de: Rezula: c y k k S c k k k c H k y k S c H k k k 88 44

45 Funcii de corelaie penru semnale de energie finia funcia de inercorelaie Ry y d y y funcia de (auo)corelaie R d Valoarea corelaiei in origine ese energia semnalului R d d 89 Funcii de corelaie penru semnale de energie finia Ry R y ; R R Semnale reale: Ry R y ; R R Funcia de (auo)corelaie ese simerica, dar nu si funcia de inercorelaie 9 45

46 recerea semnalelor de energie finia prin SLI y S H S Densiai specrale de energie y R S y y R S Y R R R h 9 46