CAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.

Transcript

1 Cap PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METODE GENERALE DE CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î aces paragraf vom reamii oţiuea de primiivă, proprieăţile primiivelor şi meodele geerale de calcul ale acesora Defiiţia Fie f : I, ude I ese u ierval Fucţia F : I se umeşe primiivă a fucţiei f pe iervalul I, dacă F ese derivabilă pe I şi F f, I Observaţia Dacă F ese o primiivă a lui f pe I, auci oricare ar fi cosaa reală C, fucţia G : I defiiă pri G F + C, I, ese de asemeea o primiivă a lui f pe I Mai mul, orice ală primiivă a lui f pe I ese de aceasă formă Îr-adevăr, dacă G F + C, auci G F f, deci G ese o primiivă a lui f pe I Reciproc, fie G o ală primiivă a lui f pe I şi fie H G F Peru orice I avem H G F f f 0 Fie acum a I u puc ierior fia Di Teorema lui Lagrage rezulă că peru orice I, eisă ξ î iervalul deschis de capee a şi asfel îcâ: H H( a) H ξ a 0 Dacă oăm cu C H(a), auci G() F() C, I, deci G F + C pe I Defiiţia Fie f : I şi F : I o primiivă a sa Mulţimea uuror primiivelor fucţiei f pe I se oează cu f d sau f d şi se umeşe iegrala edefiiă a fucţiei f Di Observaţia rezulă că f ( )d F ( ) + C, I, ude cu C am oa mulţimea uuror fucţiilor cosae pe I Observaţia Î capiolul urmăor se va arăa că orice fucţie coiuă pe u ierval admie primiive pe aces ierval Î coiuare reamiim abloul primiivelor fucţiilor elemeare uzuale

2 6 α+ α d + C,, α α + d l + C, (0, ), d l ( ) + C, (,0) a a d,, a > 0, a, e d e + l a C, si d cos + C, cos d si + C, d g+ C, cos \ ( + ) π ; d cg+ C, si \{ π; } d arcg+ C, + d arcsi+ C, (,) sh d ch + C, { } ch d sh + C, d l ( + + a ) +C, + a ( + + a ) +C ( a ) +C l,, d a l a,, a, a > 0 Propoziţia Fie f, g : I şi fie α, β oarecare Dacă f şi g au primiive pe I, auci αf + βg admie primiive pe I şi ( α f + β g)()d α f()d + β g()d Demosraţie Afirmaţia rezulă di proprieaea de lieariae a operaţiei de derivare: αf+ βg αf + βg Propoziţia Fie F : J o primiivă a fucţiei f : J şi fie u : I J o fucţie derivabilă pe I Auci

3 Cap PRIMITIVE 7 [ ()] ()d [ ()] f u u F u + C, I Demosraţia rezulă imedia di regula de derivare a fucţiilor compuse: F u () F u () u () f u () u (), I ( [ ]) [ ] [ ] Observaţia Di Propoziţia rezulă că peru calculul primiivei f o uu se poae proceda asfel: fucţiei Facem schimbarea de variabilă u(), I Fucţia u ese difereţiabilă pe I şi avem d d() u u ()d Î coiuare rezulă: f u() u ()d f()d F() + F u() + [ ] C [ ] C, I Precizăm că egaliaea f [ u ()] u ()d f ()d ese o egaliae formală Îr-adevăr, fucţia di membrul sâg ese defiiă pe J iar fucţia di membrul drep pe I, deci cele două fucţii u su egale î sesul egaliăţii fucţiilor Eemplul Să se calculeze d + a Dacă oăm, auci d ad şi vom avea: a d d ad arcg arcg + C, + a a a + a a a + a Î mod aalog se araă că d arcsi + C, ( aa, ), a > 0 a a Propoziţia Fie u : I J o fucţie bijecivă de clasă C cu u'() 0, I şi f : J o fucţie coiuă Dacă G : J ese o primiivă a fucţiei f ( u ) : J auci f [ u ()d ] G [ u () ] + C, I Demosraţie Deoarece [ ] ( u ) [ ] u u(), I, rezulă u() u (), I Aşadar avem: f [ u ()d ] f[ u ()] ( u ) [ u ()] u ()d f ( u ) [ u ()] u ()d

4 8 Cum G ese o primiivă a fucţiei f [ ] [ ] u u () u ()d Gu () +C f u, di Propoziţia rezulă că Observaţia 4 Di Propoziţia rezulă că peru calculul primiivei f u ()d, facem schimbarea de variabilă u() şi accepăm urmăorul calcul [ ] formal: [ ], u () Gu () +C C [ ] d u d, f u()d f() u ()d G() + părţi Eemplul Să se calculeze Noăm g, arcg, d d + g 4 d, (, ) 4 4 π π C g d d + d + arcg+ + + g g + + C Urmăorul rezula ese cuoscu sub umele de meoda de iegrare pri Propoziţia Dacă f şi g su de clasă C pe I, auci f () g ()d f()() g f ()()d g Demosraţie Coform regulii de derivare a produsului a două fucţii, avem: fg f g + fg Ţiâd seama de Propoziţia rezulă f () g ()d f()() g d f ()()d g f()() g f()()d g a d a d a d a arcsi d Eemplul Să se calculeze Dacă oăm cu f ( ) şi a a a g, auci a

5 Cap PRIMITIVE 9 f, g a şi d d a Aşadar a d a arcsi + a a a a d a + a arcsi + C, deci a a d a + a arcsi + C a Î mod asemăăor se araă că a a + d a + + l ( + + a ) + C, a + a d, de rezulă că PRIMITIVELE FUNCŢIILOR RAŢIONALE Pri fucţie raţioală se îţelege u rapor de două polioame (fucţii P poliomiale), adică o fucţie de forma: R, I ude P şi Q su Q polioame şi Q 0, I Dacă gradul lui P ese mai mare sau egal cu gradul lui Q, efecuăm împărţirea şi obţiem: P P ( C+ ), ude C ese u poliom şi grad P < gradq Q Q P De la cursul de algebră se şie că raporul admie urmăoarea descom- Q puere (uică) î fracţii simple: l A P Aj Aj j j + + K + + Q j j a j ( aj) ( aj) B + C B + C B + C b + c + b + c + b + c j j j j jmj jmj K m j j j j ( j j) ( j j) ude Aj i, aj, Bji, Cji, bj, c j su umere reale, b 4c < 0, j, şi Q() m l a al + b+ c + b + c K K (Descompuerea î facori ireducibili a poliomului Q) Aşadar, peru a calcula primiiva uei fucţii raţioale ese suficie să şim să calculăm primiive de forma j m j

6 0 avem ( a) d, respeciv B + C d, b ( + b+ c) 4c< 0, Calculul primului ip de primiivă ese imedia Îr-adevăr, peru ( a) ( a) + d C, iar a d + + d l a a + C Peru al doilea ip de primiivă procedăm asfel: B + C d B + C d ( ) 4 + b+ c b c b b 4c b Folosid oaţiile + şi a obţiem: 4 B + C B Bb d d d+ C + b+ c + a + a Evide avem: d ( )( + a ) ( + a ), peru l + a, peru Peru cealală primiivă sabilim, î cazul >, o relaţie de recureţă: d a + I d d I a a ( + a ) ( + a ) ( + a ) Dacă oăm cu f () şi g (), auci f () şi + a g () d şi + a ( + a ) d + I ( + a ) ( )( + a ) ( ) Î coiuare avem: I I + I a ( )( + a ) ( ) sau

7 Cap PRIMITIVE I + I a ( )( a ) ( () + ) d Î cazul avem I arcg + C + a a a Eemplul Să se calculeze primiiva fucţiei: f Ese uşor de observa că poliomul de la umior are rădăcia dublă şi admie descompuerea 4 ( ) Di eorema împărţirii rezulă: f +, deci f d + d ( ) ( + ) Fucţia de sub semul iegrală o descompuem î fracţii simple asfel: A B C+ D E+ F ( ) ( + ) Dacă amplificăm ambii membri ai acesei egaliăţi cu ( ) şi apoi dăm lui valoarea, rezulă B Î coiuare, recem î membrul sâg ermeul, aducem la acelaşi umior şi simplificăm cu Rezulă: A C+ D E+ F + + ( )( + + ) ( + ) Amplificâd ulima egaliae cu şi dâd apoi lui valoarea obţiem A Trecem î membrul sâg ermeul, aducem la acelaşi umior şi simplificăm cu Rezulă: + + C + D E + F sau ( + ) + + C + D + C+ E + D+F

8 Se obţie asfel sisemul: C 0, D, C + E, D + F, care admie soluţia: C 0, D, E, F Aşadar, avem: d d + d + d + d d l + + arcg + d+ + + l + + arcg + I + Di () rezulă: d d I + arcg Î fial avem: fd + l arcg + C + ( ) R cos si d PRIMITIVE DE FORMA: (, ) Puv (, ) Fie R( u, v) o fucţie raţioală de două variabile, ude (, ) Quv (, ) m ij i j i 0 j 0 m l i P uv a u v şi Quv, buv su două polioame de două variabile ij 0 j 0 j Presupuem că I ( π, π) ese u ierval şi Q( si, cos ) 0, I Peru calculul primiivei de forma R( si, cos ) d facem schimbarea de variabilă: g, I Iversâd fucţia, obţiem arcg şi d d + Pe de ală pare avem: g g cos şi si + g + g

9 Cap PRIMITIVE Î urma acesei schimbări de variabilă rezulă: R( cos, si ) d R, d R ()d, ude R ese o fucţie raţioală î Observaţia Iervalul I se poae îlocui cu orice al ierval J pe care fucţia g ese sric moooă şi Q( si, cos ) 0, J Eemplul Să se calculeze d, ( π, π ) + si Facem schimbarea de variabilă g şi obţiem: d + si d d d g + arcg arcg +C Î coiuare, prezeăm rei cazuri pariculare, î care se po face ale schimbări de variabile, ce coduc la calculul uor primiive de fucţii raţioale mai simple decâ cele obţiue î urma schimbării de variabilă g R( cos, si ) R( cos, si ) sau R g, ude R (respeciv R ) su fucţii raţioale π π Presupuem î plus că I, şi Q ( cos, si ) 0, I Î aces caz, se face schimbarea de variabilă g Iversâd fucţia, obţiem arcg şi d d + De la rigoomerie se şie că: g cos şi si + g + g Aşadar, î urma acesei schimbări de variabile obţiem:

10 4 R cos, si d R, d + + +, respeciv R ( g ) d R d + Î ambele cazuri problema s-a redus la calculul uor primiive de fucţii raţioale î π π Eemplul Să se calculeze d,, + sicos Peru îcepu observăm că: g + d d d + sicos + gcos g + g+ π π Dacă facem schimbarea de variabilă: g,,, obţiem: + d d d d + sicos g + arcg arcg +C ) R( ) R ( ) cos, si cos, si cos, I, ude R ese de asemeea, o fucţie raţioală de două variabile Î aces caz facem schimbarea de variabilă si Rezulă d cos d şi R ( cos, si ) cos d R (, ) d R ( )d cos Eemplul Să se calculeze d 4, π Dacă facem schimbarea si de variabilă: si, auci d cos d şi obţiem: ( ) d cos cos cos d d d si si + + +C si si ) R( ) R ( ) cos,si cos,si si

11 Cap PRIMITIVE 5 Î aces caz se recomadă schimbarea de variabilă cos Eemplul 4 Să se calculeze de variabilă cos obţiem: cos si d Dacă facem schimbarea 4 cos si d cos si si d d d 5 5 cos cos +C PRIMITIVE DE FORMA + + d R a b c Peru îcepu observăm că prir-o schimbare de variabilă de forma α + β se obţie o primiivă de forma: (, ) + d, ( ) sau (, ) d Îr-adevăr, dacă a > 0 şi b 4ac < 0, auci avem: R, d b 4a b a + b + c a a 4a 4a a Dacă facem schimbarea de variabilă a b b +, auci,d d a a a b R, a + b+ c d R, d a + 4a a şi R, d ( + ) Celelale două forme se obţi î cazurile a > 0, > 0, respeciv a < 0, > 0 Peru primiivele de forma ( + ) urmăoarele schimbări de variabile: + u+ ; R, d se poae face ua di + u ; + u± d Eemplul 4 Să se calculeze Dacă facem schimbarea de variabilă +, rezulă

12 6 d d d ( ) + + Facem acum o ouă schimbare de variabilă: + u Ridicâd la păra şi efecuâd calculele obţiem: u u + u +, d du şi + u u u Aşadar, avem: ( u + ) d du + + u u + u u ( u ) + u u du du l d + u + u u u u u u u u + du l u l u + +C ude u u R, d se poae face ua di Peru primiive de forma urmăoarele schimbări de variabile: u( ) ; u( ) u, iar peru primiive de forma (, ) R d u + ; u± + ;, u( ) ; a + b, m,,q Q 5 PRIMITIVE DE FORMA: d m Aces ip de primiive ese cuoscu sub umele de iegrale biome Maemaiciaul rus PL Cebâşev a arăa că acese primiive se po calcula umai î urmăoarele cazuri: Cazul : p Dacă oăm cu r umiorul comu al umerelor m şi şi facem schimbarea de variabilă r obţiem: p p ( + ) d ( + ) m mr r r a b a b r d Deoarece mr şi r rezulă că fucţia de sub semul iegrală ese raţioală p

13 Cap PRIMITIVE 7 Eemplul 5 Să se calculeze d 4 ( + ) 0 4 d 0 + Aşadar avem: m ; d, (0, ) şi p 0 4 Cum r 4 facem schimbarea de variabilă d şi obţiem: 4 d d d 4 d ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) C Cazul : ( + ) 9 ( + ) ( + ) ( + ) m +, p Dacă oăm u, > 0, auci u, d u du şi m m+ p m p p d ( + ) d ( + ) d ( + ) a b u au b u u u au b u Î coiuare facem schimbarea de variabilă umiorul lui p Rezulă u ( r ) b şi a m+ m+ p r rp r r d r au + b, ude r ese u au+ b u b d R a a d m + Cum şi rp, rezulă că fucţia de sub semul iegralei ese raţioală î Eemplul 5 Să se calculeze d, (,) m Avem m,, deci + Cum p, vom face schimbarea de variabilă Rezulă, d d şi

14 8 ( ) d d ( ) d ( ) ( ) + C m Cazul : + m + + p ; ; p Se poae arăa, aşa cum s-a proceda şi î cazul, că dacă facem schimbarea a + b r de variabilă, 0, ude r ese umiorul lui p, problema se reduce la calculul primiivei uei fucţii raţioale Eemplul 5 Să se calculeze d, > 0 ( + ) m Avem m ; şi p Evide + + p Facem schimbarea de variabilă +, > 0 şi obţiem, d ( ) d, d ( + ) ( ) d + d + C + Î îcheierea acesui capiol, prezeăm o lisă de primiive care u se po eprima pri fucţii elemeare e si cos sh Ei d; Si d ; Ci d ; Sh i d ; ch Ch i d ; S sid; ; C cos d φ() e d; d Li l