Seria Fourier. Analiza spectrală a semnalelor periodice

Transcript

1 Seria Fourier. Analiza spectrală a semnalelor periodice Daca descompunem semnalul de intrare periodic intr-o serie de componente mai simple, putem calcula raspunsul la fiecare componenta si face sinteza raspunsurilor partiale. In domeniul frecventa: seria Fourier. Răspunsul sistemelor continue liniare şi invariante în timp la eponenţiala compleă de modul unitar y t j t h(t) e t e t h j e j d j t y t h e d H( ). ransformata Fourier a raspunsului la impuls h, calculata in : depinde de si h

2 j e t jt t yt e H h(t) Functie proprie a SLI Valoare proprie a SLI j H h e d H e j y t e H H e jt j t t a e j t h(t) y t a S e a H e j t y t ah e Daca semnalul de intrare este o combinatie liniara de eponentiale complee iesirea : o combinatie liniara de eponentiale complee j t jt 3 ransformari ortogonale Produsul scalar al vectorilor... ; y y y... y n * y y y,... y y... y... * y n * * * * n n n n Produsul scalar al functiilor din L [a,b] b *, t y t t y t dt a 4

3 Se observa ca se indeplinesc urmatoarele conditii: i), y y,, ii), y z, y, z, iii), y, y, * iv), y, y C, * n m n m * v), l yl l, yl. l l Norma este finita (spatiul L ): n,... b a t dt Un spatiu vectorial cu norma definita prin produsul scalar este un spatiu Hilbert (teoria aproimarii) 5 Vectori ortogonali (perpendiculari) Pentru doi vectori bidimensionali i j ; y iy jy Produsul scalar :, y y cos y, cos y -unghiul dintre vectori Conditia de ortogonalitate : Produsul scalar sa fie zero, y y 6 3

4 Functii ortogonale Vom considera doua semnale definite pe (, ), cu =/ spatiul L [,] Produsul scalar este: t cos t ; y t sin t cos t cos 4 cos t,sin t cos t sin t dt sin t dt Spatiul Hilbert Un sistem U={u } de vectori ortogonali doi cate doi se spune ca este complet in spatiul Hilbert, H, daca nu eista nici un vector H-U, care sa fie ortogonal pe toti vectorii din U (doar vectorul ): u,, if H U. Un sistem complet U formeaza baza ortogonala in spatiul Hilbert. Pentru orice element din H, eista o dezvoltare unica de forma H, au. 8 4

5 Eemple Daca multimea elementelor din U, n, este finita: spatiu Hilbert finit dimensional, cu dimensiunea n. Daca multimea este numarabila dar infinita: spatiu Hilbert infinit dimensional. Versorii {i, j, } formeaza o baza in spatiul tridimensional, cu n=3. Multimea functiilor {e j t } Z cu frecventa o baza infinit dimensionala pentru semnale periodice in timp continuu, de perioada 9 eorema lui Pitagora in spatiul Hilbert. Relatia dintre distanta si produsul scalar Fie diferenta intre doi vectori din spatiul Hilbert d y Distanta dintre ei: d, y y Avem in general: d, y y Re, y y Daca si y sunt ortogonali, d y y 5

6 Eemple, L [,] Norma pentru semnalele ortogonale t t t t cos si sin cos t cos t dt dt sin t Distanta dintre semnale este (cf. teoremei lui Pitagora) d cos t,sin t. Semnalele ce nu sunt ortogonale nu satisfac teorema lui Pitagora. E: cos t si cos t cos t, cost cos tdt /. d t t cos, cos / / /. d cos t,sin t d cos t, cos t. 6

7 Inegalitatea lui Schwartz in spatiul Hilbert (Cauchy- Bunyaovsy-Schwarz), y y Semnale ortogonale L [,] t cos t, y t sin t t, y t Produsul normelor este: Egalitatea are loc daca si numai daca si y sunt dependente liniar, y=, unde =const. y t Inegalitate < /. Nu eista o const. pt care y=. t Semnale ne-ortogonale L [,] t cos t; yt cos t yt t Egalitate. Eista o const. =- pentru care y=. t ; yt ; t, y t 3 Cea mai buna aproimare a unui vector in spatiul Hilbert Consideram un spatiu Hilbert, H, n-dimensional, in care este definita o baza ortonormala, ul, l u, ul ; u, l Coeficientii sunt calculabili cu, u. Cea mai buna aproimare: reprezentarea m-dimensionala, retinand m termeni din cei n: m cu Cu cat creste numarul de termeni din aproimare, m, descreste eroarea si aproimarea devine mai buna runchierea seriei. c,.., n U u u 4 7

8 eorema proiectiei Fie H-spatiu Hilbert, H s subspatiu Hilbert. Oricare ar fi vectorul din H, eista un vector ~ din H s care este cea mai buna aproimare a sa. Distanta de la la, este mai mica decat distanta de la la oricare alt vector din H s. Eroarea de aproimare e este ortogonala pe subspatiul H s min d, 5 OA, ~ OB,e u 3 BA H = spatiul 3D Hs= Planul orizontal (spatiul D) A e au au u u B 6 8

9 Spatiul Hilbert infinit dimensional UN u t, N, N baza ortogonala finita. Descompunerea semnalului se face: Aproimarea se face tot prin trunchiere: cu eroare minima t c u t, with c N N N, u t t u t Cu cat mai multi termeni (N mare): eroarea scade t c u t N t t t c u t N N 7 t c u t Eroarea devine : N t t c u t c u t c u t Inegalitatea lui Bessel Relatia lui Parseval N N N N N N Semnalul de aproimare N t converge in medie patratica catre (t) l.i.m. N t t t c u t < fiindca ab, t t L N N lim c u lim t t N N N 8 9

10 Remarci. Avem t t t t eorema lui Pitagora: ortogonalitate intre cea mai buna aproimare si eroarea de aproimare. Relatia lui Parseval ( teorema energiei, Rayleigh) W t c u t 3. Cea mai buna aproimare se obtine prin trunchierea seriei N t, t t N N N 9 In spatiul Seria Fourier eponentiala L, consideram baza ortogonala: j t u t e Z, jt jlt jl, t l e, e e ; Norma u t, l Pentru un semnal periodic (t)=(t+ ), jt jt t c e c t e dt

11 Seria Fourier trigonometrica Relatiile lui Euler cos j jt jt jt jt t e e ; sin t e e O baza ortogonala : U, cos t, sin t Orice semnal periodic, de perioada poate fi eprimat sub forma t t ; cos sin N t a a cos t b t sin Seria Fourier trigonometrica Coeficientii seriei sunt: a t, cost sin t t dt, componenta continua t,cos t a tcos tdt, t,sin t b tsin tdt.

12 Cateva observatii. a - componenta continua DC a semnalului (t). Semnalul fara componenta continua (a =) are numai componente oscilante : t a cos t b sin t ; t impar a ; t par b ; 3. Pentru semnale reale: t t c c * * jt jt * c t e dt t e dt c * 3 4. Puterea semnalului (t) relatia lui Parseval: W P c P c t O alta forma: a b P t dt a 4

13 Seria Fourier armonica Folosind relatia: a cos t b sin t a b cos t Seria Fourier trigonometrica devine: Forma armonica. b tg. A a b a t A cos t 5 Relatii intre coeficienti Pentru semnale reale c a b A, c c, ; arg c, ; arg c, ; c a ; arg c. 6 3

14 Diagrame spectrale pentru semnalele reale Semnalele periodice se pot reprezenta in domeniul frecventa. t, t, t Semnal rectangular, factor de umplere (duty cycle).5 7 Componenta continua DC: Partea oscilanta este impara t, t, t a t dt dt ; A a a 4 cos t 4 b tsin tdt ; b 4 ;,,3,... b 8 4

15 4 t sin t Forma armonica 4 t cos t A, armonica de ordinul, frecventa 9 Diagrama spectrala de amplitudini (, A ) Fundamentala frequency / Componenta continua Armonica de ordinul 3 Armonica de ordinul Seria Fourier armonica 3 5

16 Diagrama spectrala de faze (, ) Seria Fourier armonica 3 Diagrama spectrala de modul (, c ) Se porneste de la seria Fourier eponentiala Coeficientii c sunt: c t dt a j t jt c te dt e dt ; j j j c e ; ; c e ; c, 3 6

17 Diagrama spectrala de modul (, c ) c Functie para Frecvente negative Seria Fourier eponentiala 33 Diagrama spectrala de faze, pentru ω> si ω<, (, ) sgn Functie impara Seria Fourier eponentiala 34 7

18 Alte forme ale relatiei lui Parseval Seria Fourier eponentiala : P t dt c c c Forma trigonometrica si armonica P a a b t dt A A Eemplu. Puterea semnalului rectangular: / P t dt dt Diagrama spectrala de putere folosind seria Fourier armonica (, A /) Semnalul rectangular Frecvente eclusiv pozitive Se recomanda folosirea unei reprezentari logaritmice pentru putere ce avantajeaza reprezentarea puterilor mai putin semnificative 36 8

19 Diagrama spectrala de putere folosind seria Fourier eponentiala (, c ) Frecvente pozitive si negative 37 Pentru semnale de banda nelimitata : Banda de frecventa este infinita. Puterea scade cu cresterea frecventei, tinde spre zero pt frecvente ce tind la infinit Banda efectiva de frecvente = gama pozitiva de frecvente ce contin un procentaj semnificativ al puterii semnalului. In acest caz, in banda 9 se gaseste 96,5% din puterea semnalului. 38 9

20 Fenomenul Gibbs Fizicianul Albert Michelson a construit un analizor de spectru in 898. La iesirea filtrelor analizorului, a masurat amplitudinile componentelor spectrale, conform teoriei Cand a incercat sa recompuna prin insumare, semnalul initial, a observat ca apare o problema, la semnal anume. L-a rugat pe Gibbs sa ii eplice acest fenomen. 39 Semnalul analizat (de banda nelimitata): rectangular cu factor de umplere.5, fara componenta continua 4 t sin t sin 3t sin 5 t Printr-o trunchiere in frecventa, pastrand primele n armonici, de ordin impar, semnalul este aproimat cu unul de banda limitata: 4 t sin t sin 3t sin 5 t... sin n t 3 5 n 4

21 nt sin u Si t du n t u Si() sinus integral, functie impara / -/ sin u Si ; Si Si u du limsi 4 Fenomenul Gibbs Gibbs a aratat ca trunchiind semnalul rectangular cu factor de umplere.5, si pastrand n armonici de ordin impar, 4 t sin t sin 3t sin 5 t... sin n t 3 5 n Se obtine nt sin u Si t du n t u Semnalele de banda nelimitata nu pot fi perfect aproimate cu semnale de banda limitata. 4

22 O unda rectangulara cu =s, cu nf =8f Asimptote orizontale:, - 43 Prima supracrestere (maimul oscilatiei), de.8 V apare la momentul t m =6,5ms << Oscilatii in vecinatatea zonei de tranzitie. Depasirea valorii este de 9% impul de ridicare (rise time) t r tm f ω M =(n-)ω aproimativ nω cea mai mare frecventa retinuta M M 44

23 Semnale trunchiate pentru si respectiv 45 armonici Se poate observa ca oscilatiile nu scad ca si amplitudine, dar frecventa lor creste. Semnalul de aproimare converge in medie patratica catre semnalul (t). 45 Distributia Dirac periodica t t c j t c t e dt tdt Pentru [-/,/], (t)= (t). t t e j t 46 3

24 Proprietatile seriei Fourier eponentiale Coeficientii seriei Fourier a semnalului, de perioada t c jt c te dt Descompunerea Fourier t ce j t a.p.t.(aproape peste tot) 47. Liniaritatea semnalele (t) si y(t) periodice cu perioada : y, y at by t ac bc t c y t c. Deplasarea în timp j t t t e c j t c t t e dt e d e c jt jt Deplasarea in timp modulatie cu eponentiala complea 48 4

25 3. Conjugarea compleă Conjugarea complea in timp reflectarea in domeniul frecventa si conjugarea complea * * t c j t * jt c t e dt t e dt c 4. Reflectarea semnalului j c t e dt e d c j t t t c Reflectarea in timp reflectare in frecventa * * Scalarea variabilei timp (t) - perioada (at), perioada / a. j t c ate dt; a / a / a j c e d c c at 6. Modularea semnalului Modulatia in timp deplasare in domeniul frecventa c te e dt te dt c jt jt j t jt c t e 5 5

26 Dualitatea timp-frecventa O operatie in timp alta operatie in frecventa: De eemplu: modulatie in timp deplasare in frecventa A doua operatie in timp prima operatie in frecventa. Deplasare in timp modulatie in frecventa Acest comportament este numit dualitate. Reflectarea este o operatie auto-duala 5 7. Produsul a două semnale Convolutia coeficientilor. t y t c c c c n y y n n 8. Convoluţia periodică a semnalelor Semnalele periodice nu au energie finita, si convolutia nu se poate defini. Se foloseste convolutia circulara sau periodica, definita pe o perioada. y z t y t d t y t c c Operatii duale: inmultirea convolutia 5 6

27 Convoluţia periodică a doua semnale rectangulare, cu factor de umplere diferit Efect de circularitate Derivarea semnalului Dupa diferentiere, componenta continua=. Semnalul ramane periodic. Derivarea in timp inmultirea spectrului cu jω. d t dt j c. Integrarea semnalului Pentru ca semnalul sa ramana periodic dupa integrare, componenta continua trebuie sa fie nula. Integrarea in timp inmultirea spectrului cu /jω. t c d c j 54 7

28 . Semnale reale. Seriile componentelor para si impara (t) semnal real; Componentele para p (t) si impara i (t). Spectrul componentei pare p (t) real Spectrul componentei impare (semnal real) i (t) pur imaginar t t t Rec p c * c t t i t j Imc 55 8