ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο. 5.1 Η ευθεία στο επίπεδο-οι κωνικές τοµές. (α) Η ευθεία στο επίπεδο. Ο xy του επιπέδου, µία ευ- π π

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙ 5 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤ ΕΠΙΠΕ Πολλές από τις καµπύλες του επιπέδου είναι γνωστές από τα µαθήµατα του Λυκείου. Αυτές είναι οι ευθείες του επιπέδου µε εξίσωση ως προς ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων y της µορφής ( ) ( ) Α +Β y+γ = 0, Α, Β 0, 0 καθώς και οι κωνικές τοµές, υπό ευρεία έννοια, δηλαδή οι καµπύλες που προκύπτουν από την τοµή ορθού κυκλικού κώνου (µε δύο χοάνες) µε ένα επίπεδο και έχουν πολυωνυµικές εξισώσεις δευτέρου βαθµού Α + Β y+γ y + + Ε y+ζ = 0, Α, Β, Γ 0,0,0. ( ) ( ) Η τελευταία µπορεί να είναι η εξίσωση έλλειψης (κύκλου), υπερβολής, παραβολής ή ακόµη και ζεύγους τεµνόµενων ή παράλληλων ευθειών. Μία πλήρη ταξινόµηση των καµπύλων του επιπέδου µε εξίσωση πολυωνυµική δευτέρου βαθµού θα κάνουµε στο κεφάλαιο 6 µε τη βοήθεια της φασµατικής θεωρίας πινάκων. Στο παρόν κεφάλαιο θα κάνουµε πρώτα µία σύντοµη αναδροµή στις παραπάνω καµπύλες και στη συνέχεια θα εισάγουµε ένα καινούριο σύστηµα συντεταγµένων του επιπέδου, τις ονοµαζόµενες πολικές συντεταγµένες και θα µελετήσουµε ορισµένες σηµαντικές καµπύλες του επιπέδου, τις οποίες ταξινοµούµε στις ακόλουθες κατηγορίες: Καµπύλες των οποίων η εξίσωση δίνεται σε πολικές συντεταγµένες. Καµπύλες µε πολυωνυµική εξίσωση βαθµού µεγαλύτερου του. Καµπύλες που η µελέτη τους είναι απλούστερη µέσω των παραµετρικών τους εξισώσεων. 5. Η ευθεία στο επίπεδο-ι κωνικές τοµές Στην παράγραφο αυτή θα κάνουµε µία σύντοµη ανασκόπηση των βασικών καµπύλων του επιπέδου. (α) Η ευθεία στο επίπεδο. Σε ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων y του επιπέδου, µία ευ- π π θεία ε έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = tan ω, όπου ω 0,, π

2 0 Κεφάλαιο 5. Καµπύλες στο επίπεδο είναι η γωνία που πρέπει να περιστραφεί ο άξονας, γύρω από το ση- µείο τοµής του µε την ε κατά τη θετική φορά, µέχρι να συµπέσει αυτήν. Αν είναι ε, τότε λ = 0, ενώ, αν είναι ε, τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης για την ε. y Αν η ευθεία ε έχει συντελεστή διεύθυνσης λ και περνάει από το σηµείο ε Α, y του επιπέδου, τότε η εξίσω- ( ) 0 0 σή της είναι y y0 = λ ( 0). u Αν η ευθεία ε είναι κάθετη στον άξονα των και περνάει από το σηµείο Α, y, τότε έχει εξίσωση: ( ) 0 0 n i ω Α (, y ) 0 0 Σχήµα 5. = 0. Γενικά, µία καµπύλη του επιπέδου είναι ευθεία, αν, και µόνον αν, έχει εξίσωση της µορφής y 0, µε ΑΒ, 0, 0. () Α +Β +Γ = ( ) ( ) Αν η ευθεία ε έχει εξίσωση Α +Β y+γ = 0, µε Β 0, τότε η εξίσωση της ε γίνεται Α Γ y = Β Β. (3) και η ευθεία ε έχει συντελεστή διεύθυνσης λε Α =. Ένα διάνυσµα πα- Β ράλληλο προς την ευθεία ε είναι το u = ( Β, Α ) =Βi Αj, ενώ ένα διάνυσµα κάθετο προς την ε είναι το n = Α Β = Α i+ Βj. Η γωνία (, ) ω = ( ε, ε ) [ 0,π) y ε ω u u ε που σχηµατίζει η ευθεία ε µε την ευθεία ε είναι η γωνία που πρέπει να περιστραφεί η ευθεία ε, γύρω από το σηµείο τοµής τους, κατά τη θετική φορά (αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ωρολογίου) µέχρις ότου συµπέσει µε την ευθεία ε. Μ Σχήµα 5.

3 5. Η ευθεία στο επίπεδο-κωνικές τοµές 03 Αν οι ευθείες ε και ε έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ και λ, αντίστοιχα, τότε η γωνία ω που σχηµατίζει η ε µε την ε προσδιορίζεται από τις ισότητες: tan ω λ λ =, αν + λ λ λλ, (4) π ω =, αν λλ =. (5) Στην περίπτωση που δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης µιας εκ των δύο ευθειών, τότε έχουµε:, αν ε yy και λ 0 λ tan ω =, (6), αν ε yy και λ 0 λ π ενώ είναι ω =, αν ε yy και λ = 0 ή ε yy και λ = 0. Αν θεωρήσουµε τη γωνία δύο ευθειών ε και ε ανεξάρτητη της φοράς διαγραφής της, τότε οι ευθείες ορίζουν δύο γωνίες παραπληρωµατικές ω και π ω οι οποίες προσδιορίζονται από την ισότητα u u cosω = u u, (7) όπου u και u είναι τα παράλληλα διανύσµατα των ευθειών ε και ε, αντίστοιχα. Σηµειώνουµε ακόµα, ότι κάθε ευθεία ε : Α +Β y+γ= 0 του επιπέδου διαµερίζει το επίπεδο σε τρία υποσύνολα: ε + = y, : Α+Β y+γ > 0, y {( ) } (θετικό ηµιεπίπεδο), ε =, : Α+Β y+γ< 0, {( y) {( y) (αρνητικό ηµιεπίπεδο) ε =, : Α+Β y+γ= 0 (ευθεία ε ) Ισχύει ότι: ( ) ( ) } } 0, 0 ε + Γ > 0, Σχήµα 5.3 0, 0 Γ< 0. ε : Α +Β y+γ= 0, Γ> 0 ε ε + ε ε

4 04 Κεφάλαιο 5. Καµπύλες στο επίπεδο (β) κύκλος y Σε ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων y του επιπέδ ου, ο κύκλος µε κέντρο το σ ίο (, y ) ηµε Κ 0 0 και ακτίνα ρ > 0 έχει εξί- σωση ( ) ( ) y y = ρ. () Γενικότερα, µία καµπύλη του επιπέδου είναι κύκλος, αν, και µόνον αν, ως προς ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων έχει εξίσωση της µορφής + y +Α+Β y+γ = 0, () µ ε Α + Β 4Γ > 0 ή ισοδύναµα όπου Α +Β 4Γ ρ =. Κ Σχήµα 5.4 Α Β + + y+ = ρ, (3) Η εφαπτοµένη του κύκλου () στο σηµείο του (, y) ( )( ) ( y y )( y y ) =. ρ Μ έχει εξίσωση + (4) ρ (γ) Η παραβολή Παραβολή είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, τα οποία απέχουν ίσες αποστάσεις από µία σταθερή ευθεία δ (διευθετούσα) και από ένα σταθερό σηµείο Ε (εστία), που δεν ανήκει στη δ. Ας θεωρήσουµε ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων y που έχει: αρχή το µέσον του ευθυγράµµου τµήµατος ΕΚ, όπου Ε η εστία της παραβολής και Κ είναι το ίχνος της κάθετης από την εστία προς τη διευθετούσα και άξονα την κάθετη ευθεία από την εστία Ε προς τη διευθετούσα δ. Αν, ως προς το παραπάνω ορθοκανονικό σύστηµα y, η εστία Ε έχει p συντεταγµένες,0, τότε η διευθετούσα έχει εξίσωση p = και η εξίσωση της παραβολής είναι y = p. ()

5 5. Η ευθεία στο επίπεδο-κωνικές τοµές 05 Η εφαπτοµένη της παραβολής στο σηµείο της (, y) yy p( ) Μ έχει εξίσωση = +. () δ y y δ i Ε ( p/,0) Ε ( p/,0 ) Σχήµα 5.5 Παραβολή, y = p, p >0 Σχήµα 5.6 Παραβολή, y = p, p < 0 (δ) Η έλλειψη Έλλειψη είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου των οποίων το άθροισµα των αποστάσεων από δύο σταθερά σηµεία Ε και Ε (εστίες) είναι σταθερό και µεγαλύτερο της εστιακής απόστασης ΕΕ. Θεωρούµε ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων y που έχει αρχή το µέσον του ΕΕ και άξονα την ευθεία που ορίζεται από τις δύο εστίες. Αν Ε ( γ,0), Ε ( γ,0) και για το τυχόν σηµείο Μ (, y) της έλλειψης ισχύει ότι ΜΕ + Μ Ε = α > γ, τότε η έλλειψη έχει εξίσωση y + =, όπου β = α γ. () α β Η εφαπτοµένη της έλλειψης µε την εξίσωση () στο σηµείο της Ν (, y ) έχει εξίσωση yy + =, () α β ενώ η εκκεντρότητα ε της έλλειψης µε την εξίσωση () είναι ο αριθµός γ ε = <. α

6 06 Κεφάλαιο 5. Καµπύλες στο επίπεδο y Μ (, y) y Μ (, y) (- γ,0) Ε Ε ( γ,0 ) ( γ,0) E - E( γ,0) Σχήµα 5.7 Σχήµα 5. 8 (ε) Η υπερβολή Υπερβολή είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου των οποίων η απόλυτη τιµή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σηµεία του Ε και Ε (εστίες) είναι σταθερή και µικρότερη της εστιακής απόστασης ΕΕ. Θεωρούµε ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων y που έχει αρχή το µέσον του ΕΕ και άξονα την ευθεία που ορίζεται από τις δύο εστίες. Αν Ε ( γ,0), Ε ( γ,0) και για το τυχόν σηµείο Μ (, y) της υπερβολής ισχύει ότι ΜΕ ΜΕ = α < γ, τότε η υπερβολή έχει εξίσωση y =, όπου β = γ α. () α β Η εφαπτοµένη της υπερβολής µε την εξίσωση () στο σηµείο Ν (, y ) αυτής έχει εξίσωση yy =, () α β ενώ η εκκεντρότητα ε της υπερβολής µε την εξίσωση () είναι ο αριθµός γ ε = >. α

7 5. ι πολικές συντεταγµένες ι πολικές συντεταγµένες Θεωρούµε έναν οριζόντιο άξονα µε αρχή και θετικό ηµιάξονα. Τον άξονα αυτόν τον ονοµάζουµε πολικό άξονα, ενώ την αρχή την ονοµάζουµε πόλο. Αν Μ είναι ένα σηµείο του επιπέδου διάφορο του πόλου, τότε είναι δυνατόν µε περιστροφή του πολικού άξονα περί το σηµείο κατά κάποια γωνία θ να επιτύχουµε το σηµείο Μ να βρεθεί πάνω στον άξονα. Αν είναι ρ = Μ, τότε οι αριθµοί ρ και θ λέγονται πολικές συντεταγµένες του σηµείου Μ και γράφουµε Μ ( ρ,θ). Είναι φανερό ότι, αν το σηµείο Μ βρεθεί πάνω στο θετικό ηµιάξονα, τότε είναι ρ > 0, ενώ, αν το σηµείο Μ βρεθεί πάνω στον αρνητικό ηµιάξονα, τότε είναι ρ<0. Όταν Μ, τότε ρ=0, ενώ δεν ορίζεται η γωνία θ για το σηµείο αυτό. Η γωνία θ µπορεί να µετριέται σε οποιαδήποτε µονάδα µέτρησης γωνιών (συνήθως σε ακτίνια) και θεωρείται προσανατολισµένη. ι περιστροφές του πολικού άξονα που είναι αντίθετες (αντ. ίδιες) προς την κίνηση των δεικτών του ωρολογίου ορίζουν θετικές (αντ. αρνητικές) γωνίες. ( ρ,θ) Μ Μ ( ρ,θ+π ) θ θ+π Σχήµα 5.9 Από τον τρόπο προσδιορισµού των πολικών συντεταγµένων ( ρ,θ ) του σηµείου Μ του επιπέδου, που είναι διαφορετικό της αρχής, προκύπτει ότι τα άπειρα ζεύγη και -ρ,θ+π+κπ () (ρ,θ+κπ) ( ) κ Μ. µε, είναι επίσης πολικές συντεταγµένες του σηµείου Έτσι βλέπουµε ότι η παραπάνω αντιστοιχία µεταξύ των διατεταγµένων ζευγών πραγµατικών αριθµών και των σηµείων του επιπέδου δεν είναι αµφιµονοσήµαντη. Για να επιτύχουµε να είναι αµφιµονοσήµαντη η παρα-

8 08 Κεφάλαιο 5. Καµπύλες στο επίπεδο πάνω αντιστοιχία, πρέπει να περιορίσουµε τις συντεταγµένες ρ και θ έτσι, ώστε ρ > 0 και 0 θ<π, () οπότε επιτυγχάνουµε µία αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία µεταξύ των συνόλων Π { } και * + [ 0, π), όπου Π εί- y ναι το σύνολο των σηµείων του επιπέδου. Αν θεωρήσουµε τώρα το καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων y έτσι, ώστε ο άξονας να είναι και ο πολικός άξονας, Μ (, y) έχουµε την ακόλουθη σχέση µεταξύ των ρ καρτεσιανών συντεταγµένων(, y ) του ση- µείου Μ και των πολικών συντεταγµένων ( ρ,θ) θ * + [ 0, π) αυτού: = ρ cos θ y, = ρ sin θ. (3) Σχήµα 5. 0 Αντίστροφα ισχύουν: ρ = Μ = + y, (4) y θ = tan, αν 0. (5) π 3π Για = 0, y > 0 είναι θ =, ενώ για = 0, y < 0, είναι θ =. Αξίζει εδώ να σηµειωθεί, ότι ο περιορισµός των πολικών συντεταγµένων * 0, π είναι αναγκαίος στην περίπτωση που θέλουµε η στο σύνολο [ ) + απεικόνιση f :, ρ,θ f ρ,θ = ρcos θ,ρ sin θ =, y ( ) ( ) ( ) ( ) να είναι αντιστρέψιµη. Αυτό είναι απαραίτητη προϋπόθεση για την εγκυρότητα της λύσης προβληµάτων της Μαθηµατικής Ανάλυσης στα οποία γίνεται χρήση πολικών συντεταγµένων σε αντικατάσταση των καρτεσιανών. Όµως, όταν µελετάµε καµπύλες του επιπέδου σε πολικές συντεταγµένες µε εξίσωση της µορφής ρ = f θ (6) το σύνολο µένων ζευγών εξίσωση * + [ 0, π) ( ) F ( ρ,θ) = 0 ή ( ) δεν επαρκεί για την περιγραφή όλων των διατεταγ- ρ,θ που ικανοποιούν τις εξισώσεις (6). Για παράδειγµα, η θ ρ = + cos

9 5.3 Εξισώσεις καµπύλων σε πολικές συντεταγµένες 09 ικανοποιείται από διαφορετικά ζεύγη ( ρ,θ ), για θ [ 0, 4π),αντί [ 0, π) ενώ η εξίσωση ρ ρ 3 cosθ = cosθ, για = ικανοποιείται από το ζεύγος ( 3, π) + θ, π θ,π δίνει ρ < 0. Επίσης, η εξίσωση µε ρ = 3< 0. Όλες οι πολικές συντεταγµένες του σηµείου Μ (, y) δίνονται από τις σχέσεις y ρ =± + y και θ = tan. (7) Μέσω των εξισώσεων (3) και (7) µία εξίσωση καµπύλης σε καρτεσιανές F ρ,θ = 0 ή συντεταγµένες µετασχηµατίζεται σε εξίσωση της µορφής ( ) ρ = f ( θ ) και αντίστροφα. Για παράδειγµα, η εξίσωση + y = a, a > 0, µετασχηµατίζεται στην εξίσωση ρ = a ρ = a ή ρ = a. γεωµετρικός τόπος των σηµείων που ικανοποιούν καθεµία από τις εξισώσεις αυτές είναι ο κύκλος ακτίνας a, µε κέντρο τον πόλο. Αντίστροφα, αν θεωρήσουµε την εξίσωση 3 ρ =, + cosθ τότε χρησιµοποιώντας τις εξισώσεις (7) λαµβάνουµε 3 ± + y = ± y + = y + =, + ± + y που είναι εξίσωση υπερβολής Εξισώσεις καµπύλων σε πολικές συντεταγµένες Μία καµπύλη σε πολικές συντεταγµένες µπορεί να έχει περισσότερες ρ,θ έχει πολικές συντεταγ- από µία εξισώσεις. Επειδή το τυχόν σηµείο ( ) µένες όλα τα ζεύγη της µορφής (), η δεδοµένη καµπύλη µε εξίσωση ρ,θ 0 ρ = f θ F ( ) = ή ( ) έχει και τις ακόλουθες ισοδύναµες εξισώσεις: (Ι) F ( ρ,θ + κπ) = 0 ή ρ = f ( θ+ κπ ), κ, (ΙΙ) F (-ρ,θ+π + κπ) = 0 ή - ρ = f ( θ+π + κπ ), κ. Η (Ι) για κ = 0 δίνει τη δεδοµένη εξίσωση, ενώ είναι δυνατόν για τις άλλες ακέραιες διαφορετικές τιµές του κ να λαµβάνουµε εξισώσεις διαφορετικές της δεδοµένης, όπως επίσης και από τις εξισώσεις του τύπου (ΙΙ).

10 0 Κεφάλαιο 5. Καµπύλες στο επίπεδο Μ ( ) ( ) Στη συνέχεια θα ασχοληθούµε µε την εύρεση των εξισώσεων σε πολικές συντεταγµένες των βασικών καµπύλων του επιπέδου, όπως είναι η ευθεία, ο κύκλος και οι κωνικές τοµές. Όµως, εδώ µας χρειάζεται η απόσταση δύο σηµείων, έστω ρ,θ και Μ ρ,θ του επιπέδου σε πολικές συντεταγµένες, Από το νόµο των συνηµίτονων στο τρίγωνο ΜΜ (σχήµα 5. ) έχουµε: ( ) d = ΜΜ = ρ + ρ ρρ cos θ θ () (α) Η πολική εξίσωση ευθείας Αν Κ είναι το ίχνος της κάθετης από τον πόλο προς την ευθεία ε και ( d, ω ) είναι ένα ζεύγος πολικών συντεταγµένων αυτού, τότε από το τρίγωνο ΚΜ έχουµε = d () ή ισοδύναµα ρ cos( θ - ω) ( ) ρ Α cos θ +Β sin θ +Γ = 0, (3) όπου Α= cos ω, Β= sin ω και Γ= d. Αν είναι ω = 0, τότε έχουµε ευθεία κάθετη στον πολικό άξονα και η εξίσωση () γίνεται: d ρ =. (4) cos θ π Αν είναι ω =, τότε έχουµε ευθεία παράλληλη προς τον πολικό άξονα και η εξίσωση () γίνεται d ρ =. (5) sinθ ( ρ,θ ) Μ ε Μ ( ρ,θ) θ-θ Μ ( ρ,θ ) θ Κ ( d, ω) θ θ ω Σχήµα 5. Σχήµα 5.

11 5.3 Εξισώσεις καµπύλων σε πολικές συντεταγµένες Αν η ευθεία ε περνάει από τον πόλο, τότε η γωνία ω δεν ορίζεται µονοσήµαντα. Όλα τα σηµεία της ευθείας έχουν πολικές συντεταγµένες ( ρ,θ 0 ), όπου ρ και θ 0 = (, ε ) =σταθερή. Τότε η εξίσωση της ευθείας ε είναι: θ = θ 0. (6) Με τον περιορισµό > θ0 ρ 0, η εξίσωση θ = είναι εξίσωση ηµιευθείας. (β) Η πολική εξίσωση του κύκλου Θεωρούµε κύκλο C κέντρου Κ ( ρ,θ ) 0 0 και ακτίνας a. Τότε από τον τύπο () της απόστασης δύο σηµείων του επιπέδου έχουµε: Μ ( ρ, θ) Κ ( ρ, θ ) 0 0 ( ρ,θ) Μ C ( ) = ρ + ρ ρρ cos θ θ a. (7) 0 0 Ειδικές περιπτώσεις 0 Σχήµα 5.3 (i) Αν Κ, τότε ρ0 = 0 και η εξίσωση (7) γίνεται ρ σωση του κύκλου C (, a) είναι: ρ = a, οπότε µία εξί- = a. (8) (ii) Αν είναι Κ ( a,0), όπου a η ακτίνα του κύκλου, τότε η εξίσωση (7) γίνε- ται: (iii) Αν είναι νεται: ρ = a cosθ. (9) Κ π a,, όπου a η ακτίνα του κύκλου, τότε η εξίσωση (7) γί- (γ) Η πολική εξίσωση των κωνικών τοµών Υπενθυµίζουµε ότι, αν ρ = a sinθ. (0) Ε είναι η εστία της κωνικής τοµής και ξ είναι η διευθετούσα ευθεία αυτής, τότε το τυχόν σηµείο Μ της κωνικής τοµής ικανοποιεί την ισότητα

12 Κεφάλαιο 5. Καµπύλες στο επίπεδο Μ ( ρ,θ) ΜΕ = e. () ΜΡ Ρ Η κωνική τοµή είναι έλλειψη, για e <, παραβολή, για e =, Ν υπερβολή, για e >. d Ε Στη συνέχεια θεωρούµε τον πόλο δ πάνω στην εστία Ε, ως πολικό άξονα τον κύριο άξονα της κωνικής Σχήµα 5.4 τοµής που περιέχει τις εστίες και τη διευθετούσα ξ αριστερά του πόλου, (σχήµα 5.4). Τότε από την εξίσωση () λαµβάνουµε: ρ = e, () d + ρ cos θ όπου d είναι η απόσταση του πόλου από τη διευθετούσα ξ ή µε επίλυση ως προς ρ έχουµε τη γενική εξίσωση των κωνικών τοµών: ed ρ =. (3) e cosθ Ειδικές περιπτώσεις (i) Αν είναι Ε και η διευθετούσα ξ είναι δεξιά του πόλου, τότε η εξίσωση (3) γίνεται: ed ρ =. (4) + e cosθ (ii) Αν είναι Ε και η διευθετούσα είναι παράλληλη και κάτω (αντίστ. πάνω) από τον πολικό άξονα, τότε η εξίσωση (3) γίνεται: ρ = ed (αντίστοιχα, esinθ ρ ed = ) (5) + e sinθ Παράδειγµα. Η εξίσωση 6 ρ = ή ισοδύναµα 3 cosθ ρ =, cosθ 3 συγκρινόµενη µε την εξίσωση (3) δίνει e = < και d = 6, οπότε είναι 3 εξίσωση έλλειψης. Τα άκρα του κύριου άξονά της είναι πάνω στον πολικό άξονα και βρίσκονται, αν θέσουµε θ = 0 και θ = π. Αυτά είναι τα σηµεία

13 5.3 Εξισώσεις καµπύλων σε πολικές συντεταγµένες 3 Α(3, 0) και 3 Β, π. Μ ( ρ,θ) Σε καρτεσιανές συντεταγµένες είναι 3 Α(3, 0), Β,0 και το κέντρο της 3 έλλειψ ης είναι το σηµείο C,0 4, οπότε έχουµε a = 9. Από την 4 ισότητα ae = a b έπεται ότι b =, οπότε η εξίσωση της έλλειψης σε καρτεσιανές συντεταγµένες είναι 9 δ 3 4 y + =. 9 ( ) 3 4 Ε Σχήµα 5.5 Παράδειγµα. Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο το σηµείο (, π ) Κ και 3 ακτίνα 3, βάσει του τύπου (7), είναι: π ρ ρ cos θ - = 8. 3 Παράδειγµα 3. Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο το σηµείο Κ π (, 6 ) και ακτίνα είναι: π π ρ 4ρ cos θ = 0 ρ = 4cos θ 6 6. θ Παράδειγµα 4. Να βρεθούν όλες οι εξισώσεις της καµπύλης ρ = cos. Λύση. τύπος Ι δίνει εξισώσεις: θ ρ = cos + κπ, κ και οδηγεί στις διαφορετικές θ ρ = cos, για κ = 0 και θ ρ = cos, για κ =. τύπος ΙΙ δίνει θ π ρ = cos κπ + + και οδηγεί στις εξισώσεις:

14 4 Κεφάλαιο 5. Καµπύλες στο επίπεδο θ ρ = sin, για κ=0 και θ ρ = sin, για κ =. Παρατήρηση Η πολική εξίσωση ευθείας είναι µοναδική. Πράγµατι, θεωρώντας τη γενιρ Α cos θ +Β sin θ +Γ= 0, επειδή ισχύει ότι κή µορφή της εξίσωσης ευθείας ( ) cos( θ + κπ) = cos θ και ( ) sin θ + κπ = sin θ, όλες οι εξισώσεις τύπου Ι οδηγούν στη θεωρηθείσα εξίσωση. Επίσης, αφού cos θ π κπ cos θ si n θ+ π+ κπ = sin θ, ( + + ) = και ( ) όλες οι εξισώσεις τύπου ΙΙ οδηγούν πάλι στη θεωρηθείσα εξίσωση Σχεδίαση καµπύλων σε πολικές συντεταγµένες Είναι χρήσιµο να ξέρουµε τις εξισώσεις τύπου Ι και ΙΙ µιας καµπύλης σε πολικές συντεταγµένες, όταν προσπαθούµε να τη σχεδιάσουµε, ενώ είναι αναγκαίο να θεωρούµε τις εξισώσεις τύπου Ι και ΙΙ, όταν θέλουµε να προσδιορίσουµε τα σηµεία τοµής καµπύλων σε πολικές συντεταγµένες. Γενικά για τη µελέτη και τη σχεδίαση µιας καµπύλης που η εξίσωσή της δίνεται σε πολικές συντεταγµένες εξετάζουµε τα ακόλουθα:. Τοµές µε τον πολικό άξονα µε την ακόλουθη διαδικασία: Θέτουµε στη δεδοµένη εξίσωση θ = κπ, κ και βρίσκουµε τις αντίστοιχες τιµές του ρ. Επίσης, οι τοµές µε τον άξονα θ = π βρίσκονται, αν π θέσουµε στη δεδοµένη εξίσωση θ = κπ +, κ και προσδιορίσουµε τις αντίστοιχες τιµές του ρ.. Περιοδικότητα της δεδοµένης εξίσωσης ως προς θ, που κυρίως οφείλεται στην ύπαρξη τριγωνοµετρικών συναρτήσεων. 3. Συµµετρίες. Έστω ότι από τους τύπους Ι και ΙΙ προκύπτουν διάφορες f ρ,θ = 0, f ρ,θ = 0 είναι δύο εξισώσεις της δεδοµένης καµπύλης και ( ) ( ) από αυτές, διαφορετικές µεταξύ τους ή ταυτιζόµενες, δηλαδή είναι δυνατόν να θεωρείται µία µόνον εξίσωση. Τότε η καµπύλη είναι συµµετρική ως προς: f ρ,θ = f ρ, θ, (i) τον πολικό άξονα, αν ( ) ( ) i j i j

15 5.4 Σχεδίαση καµπύλων σε πολικές συντεταγµένες 5 (ii) τον άξονα θ π =, αν f ( ρ,θ) f ( ρ, π θ) i =, (iii) τον πόλο, αν fi( ρ,θ) = fj( ρ, π+θ) και = f ( ρ,θ θ) f ( ρ,θ +θ) (iv) τον άξονα θ θ 0, αν i j =. 0 j 0 4. Ασύµπτωτες. προσδιορισµός των ασύµπτωτων είναι γενικά δύσκολος. Συχνά είναι εύκολο να προσδιοριστεί η διεύθυνση µιας ασύµπτωτης, ως εξής: Αν για θ = θ0 είναι ρ =±, τότε υπάρχει ασύµπτωτη που σχηµατίζει γωνία θ 0 µε τον πολικό άξονα. lim ρ=α Αν ισχύει ότι, τότε ο κύκλος µε εξίσωση θ = α είναι ασύµπτωτη της καµπύλης. ρ 5. Εφαπτόµενες στον πόλο. Αν ισχύει ότι lim θ = θ0, όπου στα- ρ 0 θερά, τότε η ευθεία θ = θ 0 είναι εφαπτόµενη της καµπύλης στον πόλο. Πρακτικά οι εφαπτόµενες µιας καµπύλης στον πόλο βρίσκονται, αν θέσου- µε ρ = 0 και επιλύσουµε ως προς θ την προκύπτουσα εξίσωση. Παράδειγµα. Να σχεδιάσετε την καµπύλη = ( cosθ) ρ. Λύση. Για θ = κπ, κ, από τη δεδοµένη εξίσωση λαµβάνουµε ρ = 0, ( ) =. Εποµένως τα σηµεία ( 0, 0) (4, π) ενώ για θ = κ+ π, κ λαµβάνουµε ρ 4 και είναι τα σηµεία τοµής της καµπύλης µε τον πολικό άξονα. π µοίως, γ ια θ = κπ +, κ λαµ- βάνουµε ρ =, ενώ για π θ = ( κ + ) π +, κ λαµβάνουµε ρ =, οπότε οι τοµές π της καµπύλης µε τον άξονα θ = π είναι τα σηµεία, και 3π,. Σχήµα 5. 6 ρ = cosθ ( ) θ 0

16 6 Κεφάλαιο 5. Καµπύλες στο επίπεδο Αν είναι ρ = f ( θ) = ( cosθ), ισχύει ότι f ( θ) = f ( θ), οπότε η καµπύλη είναι συµµετρική ως προς τον πολικό άξονα. Όλες οι εξισώσεις ρ = + cosθ και είναι της καµπύλης τύπου ΙΙ οδηγούν στην εξίσωση ( ) εύκολο να διαπιστωθεί ότι η καµπύλη δεν παρουσιάζει άλλες συµµετρίες. Για ρ = 0 έχουµε θ = 0, οπότε ο πολικός άξονας εφάπτεται της καµπύλης στον πόλο. Από τα παραπάνω και τον πίνακα θ cos θ ρ 0 π 0 0 π π 0 4 π 3π 0 4 3π π 0 0 εύκολα µπορούµε να σχεδιάσουµε τη δεδοµένη καµπύλη, η οποία λέγεται καρδιοειδής και αποτελεί µια ειδική περίπτωση της γενικής εξίσωσης ρ = α( ± cosθ ), α > 0. Επίσης και οι εξισώσεις ρ = α( ± sinθ ),α > 0, παριστούν καρδιοειδείς καµπύλες µε άξονα συµµετρίας την ευθεία π θ =. Σχήµα 5. 7, ρ = α( + sinθ) Σχήµα 5. 8, ρ = α( sinθ)

17 5.4 Σχεδίαση καµπύλων σε πολικές συντεταγµένες 7 Παράδειγµα. Να σχεδιάσετε την καµπύλη ρ = αsin θ. π Λύση. Για θ = κπ ή θ = κπ +, κ είναι ρ = 0, οπότε ο πόλος είναι το µοναδικό σηµείο τοµής της καµπύλης µε τον πολικό άξονα και τον άξονα που είναι κάθετος στον πολικό άξονα στον πόλο. Επιπλέον οι ευθείες θ = 0 και θ = π είναι εφαπτόµενες της καµπύλης στον πόλο, ενώ από την ισότητα ρ = f θ = αsin θ = αsin θ+ π = f π+ θ ( ) ( ) ( ) προκύπτει ότι η καµπύλη είναι συµµετρική ως προς τον πόλο. Επίσης για τη δεδοµένη εξίσωση ισχύουν π π f θ = f + θ 4 4 και 3π 3π f θ = f + θ 4 4, π 3π οπότε η καµπύλη είναι συµµετρική ως προς τις ευθείες θ = και θ =. 4 4 Μία διαφορετική εξίσωση της δεδοµένης καµπύλης προκύπτει από τον τύπο ΙΙ και είναι η ρ = α sin θ. Έτσι έχουµε τις εξισώσεις f ( ρ,θ) = ρ αsin θ=0 και ( ) f ρ,θ = ρ+α sin θ=0. Ισχύουν f( ρ, θ) = ρ αsin θ= f ( ρ, θ) (συµµετρία ως προς τον πολικό άξονα) f ρ, π θ = ρ αsin π θ = ρ-αsinθ = f ρ,θ (συµµετρία ως ( ) ( ) ( ) προς τον άξονα θ = π ). Με βάση τις παραπάνω συµµετρίες, η καµπύλη κατασκευάζεται εύκολα θεωρώντας µόνο τον κλάδο της µε θ 0, π, όπου έχουµε ότι 4 [ ] ρ [ 0, α] si n θ 0, και Η δεδοµένη καµπύλη λέγεται τετράφυλλο (four-leaved rose), όπως επίσης και καµπύλη µε εξίσωση ρ = αcos θ, της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από αυτήν της καµπύλης µε εξίσωση ρ = αsin θ µε περιστροφή γύ- π ρω από τον πόλο κατά γωνία φ =, 4 αφού ισχύει: Σχήµα 5.9, ρ = αsin θ

18 8 Κεφάλαιο 5. Καµπύλες στο επίπεδο π π α sin θ = αsin θ = αcos θ. 4 Γενικά οι εξισώσεις ρ = αsin κθ και ρ = αcosκθ, κ, όπου ο κ είναι θετικός ακέραιος µεγαλύτερος του, λέγονται φύλλα (rose curves). Παράδειγµα 3. Να σχεδιάσετε την καµπύλη ρ = α cos θ,α>0. Λύση. Η δεδοµένη εξίσωση είναι ισοδύναµη µε τις εξισώσεις = f ( ) = Α ή g ( ) ρ θ α cos θ ( ) ρ = θ = α cos θ ( Β ). Για την εξίσωση (Α) η µεταβλητή θ πρέπει να ικανοποιεί την ανίσωση π π cos θ 0 θ κπ, κπ +, κ 4 4. π Για ρ = 0 λαµβάνουµε cos θ = 0 θ = κπ ±, κ, οπότε οι ευθείες 4 π 3π θ = και θ = είναι εφαπτόµενες της καµπύλης στον πόλο. 4 4 Παρατηρούµε ακόµη ότι: f f ( θ) = α cos( θ) = α cos θ = f ( θ), ( θ+π) α cos( π θ) α cos θ f ( θ) ( π-θ) = α cos( π-θ) = α cos θ = f ( θ), f = + = =, οπότε η καµπύλη (Α) είναι συµµετρική ως προς τον πολικό άξονα, ως προς τον άξονα θ = π και ως προς τον πόλο. Εποµένως αρκεί να τη σχεδιάσου- µε για θ 0, π, οπότε το υπόλοιπο γράφηµα θα ορίζεται από τις παραπάνω συµµετρίες. Σχετικά έχουµε τον 4 πίνακα: θ cosθ ρ θ π 0 α 0 4 Σχετικά µε την καµπύλη (Β), παρατηρούµε ότι το τυχόν σηµείο του γραφήµατός της είναι το ρ,θ = g θ,θ = f θ,θ ( ) ( ( ) ) ( ( ) )

19 5.4 Σχεδίαση καµπύλων σε πολικές συντεταγµένες 9 και ως εκ τούτου ταυτίζεται µε το σηµείο ( ( θ ),θ π) f + που είναι και ση- µείο του γραφήµατος της (Α). Έτσι η εξίσωση (Β) έχει το ίδιο γράφηµα µε την εξίσωση (Α). ιαφορετικά θα µπορούσαµε να καταλήξουµε στο ίδιο συ- µπέρασµα παρατηρώντας ότι η εξίσωση (Β) είναι µία εξίσωση τύπου ΙΙ για την καµπύλη µε εξίσωση (Α). Σχήµα 5.0 ρ = α cos θ Σχήµα 5. ρ = α sin θ ι καµπύλες µε εξισώσεις ρ = α cos θ και ρ = α sin θ λέγονται ληµνίσκοι του Bernoulli ή απλά ληµνίσκοι. Η καρτεσιανή µορφή των παραπάνω εξισώσεων είναι ( + y ) = α ( y ) και ( ) + y = α y, αντίστοιχα. Παράδειγµα 4. Να σχεδιάσετε την καµπύλη ρ =. + θ Λύση. Για θ = κπ, κ, είναι ρ =, οπότε υπάρχουν άπειρες το- + κπ µές της καµπύλης µε τον πολικό άξονα, δηλαδή τα σηµεία,κπ + κπ, κ. Ειδικότερα, για κ = 0 είναι ρ = 0, οπότε η καµπύλη περνάει από τον πόλο. Υπάρχει απειρία εξισώσεων τύπου Ι και ΙΙ, αλλά δεν υπάρχει συµµετρία. Στο διάστηµα (0, + ) η συνάρτηση ρ = ρ( θ) = είναι γνησίως αύ- + θ ξουσα και ισχύει: lim ρ =, θ οπότε η δεδοµένη καµπύλη προσεγγίζει τον κύκλο ρ = ασυµπτωτικά από το εσωτερικό του, σχήµα 5..

20 0 Κεφάλαιο 5. Καµπύλες στο επίπεδο Για θ 0, η καµπύλη < ( ) ρ = ρ θ = δεν είναι συνεχής για + θ θ = και επειδή για θ ±0 είναι ρ ±, η καµπύλη έχει µία ασύµπτωτη ευθεία ε που σχηµατίζει γωνία - ακτινίων µε τον πολικό άξονα. Επιπλέον ισχύει ότι lim ρ =, όταν θ, οπότε η δεδοµένη καµπύλη προσεγγίζει ασυµπτωτικά από έξω τον κύκλο µε εξίσωση ρ =. Σχήµα 5., ρ = Σχήµα 5.3, ρ = θ ( + θ) Σχήµα 5.4, ρθ = α Υπερβολική έλικα Σχήµα 5.5, ρ = e Λογαριθµική έλικα αθ

21 5.5 Τοµές καµπύλων σε πολικές συντεταγµένες Η παραπάνω καµπύλη µπορεί να θεωρηθεί ότι ανήκει στην οµάδα των ελίκων ή σπειρών (spirals), που έχουν γενικά εξισώσεις της µορφής: ρ=αθ κ, α,κ, Αρχιµήδειες έλικες ή σπείρες. Για κ = η εξίσωση ρ = αθ ορίζει την έλικα του Αρχιµήδη, για κ = η εξίσωση ρθ = α ορίζει την υπερβολική έλικα, γιακ = η εξίσωση ρ = θ ορίζει την έλικα του Fermat, ενώ για κ = / η εξίσωση ρ = ορίζει την καµπύλη που ονοµάζεται lituus. θ αθ Επιπλέον η εξίσωσηρ = e, ορίζει τη λογαριθµική έλικα Τοµές καµπύλων σε πολικές συντεταγµένες Όπως ξέρουµε για τις καµπύλες µε εξίσωση σε καρτεσιανές συντεταγ- µένες, κάθε πραγµατική λύση του συστήµατος των εξισώσεων τους δίνει ένα σηµείο τοµής των γραφικών παραστάσεων των δύο καµπύλων και αντίστροφα. Αυτό ακριβώς το αντίστροφο, δεν ισχύει όταν οι καµπύλες δίνονται σε πολικές συντεταγµένες. Αυτό οφείλεται στο ότι κάθε σηµείο έχει περισσότερα από ένα ζεύγη πολικών συντεταγµένων. Για παράδειγµα, τα ζεύγη και, π αντιστοιχούν στο ίδιο ση- (,0) ( ) µείο του επιπέδου και ικανοποιούν, το πρώτο από αυτά την εξίσωση του κύκλου ρ =, ενώ το δεύτερο ικανοποιεί την εξίσωση της καρδιοειδούς κα- µπύλης ρ = ( cosθ). Κανένα όµως από αυτά τα ζεύγη δεν ικανοποιεί και τις δύο δεδοµένες εξισώσεις. Έτσι, παρατηρούµε ότι ένα σηµείο ( ) Μ ρ,θ του επιπέδου είναι δυνατόν να είναι κοινό σηµείο των γραφικών παραστάσεων δύο καµπύλων, χωρίς κάποιο ζεύγος από τις πολικές συντεταγµένες του να ικανοποιεί και τις δύο εξισώσεις των καµπύλων. Το πρόβληµα αυτό αίρεται, αν θεωρήσουµε τις διάφορες εξισώσεις των καµπύλων τύπου Ι και ΙΙ και επιλύσουµε όλα τα δυνατά συστήµατα µε πρώτη εξίσωση ενός µόνου τύπου για την πρώτη καµπύλη και δεύτερη εξίσωση ενός τύπου για τη δεύτερη καµπύλη. Για παράδειγµα, αν δίνονται οι καµπύλες µε εξισώσεις ρ f θ και ρ = g θ, αρκεί να βρούµε τις λύσεις των συστηµάτων = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ρ = f θ+ κπ ρ = f θ + κπ ή, ρ = g θ+ λπ -ρ = g θ+π + λπ για όλους τους ακεραίους κ, λ που δίνουν διαφορετικά συστήµατα. Η παραπάνω διαδικασία είναι δυνατόν να οδηγήσει και σε ταυτιζόµενες λύσεις. πόλος πρέπει να ελέγχεται χωριστά, αν είναι κοινό σηµείο των δύο καµπύλων.

22 Κεφάλαιο 5. Καµπύλες στο επίπεδο Παράδειγµα. Να βρεθούν τα κοινά σηµεία των καµπύλων µε εξισώσεις ρ cos θ = και ρ = + 4cosθ. Από το ( ) Λύση. Η πρώτη καµπύλη έχει µοναδική εξίσωση τύπου Ι και ΙΙ ρ cos θ = Η δεύτερη καµπύλη έχει εξίσωση τύπου Ι τη δεδοµένη και επιπλέον έχει µία ακόµη εξίσωση τύπου ΙΙ : ρ = + 4cosθ. Για την εύρεση των σηµείων τοµής, αρκεί να λύσουµε τα συστήµατα ρ cos θ = ρ cos θ = ( Σ ) και ( Σ ). ρ=+4cosθ ρ = -+4cosθ Σ µε απαλοιφή του λαµβάνουµε ρ ρ cos θ = Σχήµα 5.6 ρ=+4cosθ θ = 0 π 5π cos θ + cos θ = 0 ( cos θ )( cosθ + ) = 0 θ,,π 3 3. ι αντίστοιχες τιµές του ρ είναι ρ = 4, ρ = 4 και ρ =, οπότε προκύπτουν τα σηµεία τοµής π 5π ( ) ( ) να παρασταθεί και ως 4,, 4, και (, π). Το τελευταίο µπορεί 3 3 (, 0). Το σύστηµα ( Σ ) δεν δίνει σηµεία τοµής δια- φορετικά από αυτά που βρήκαµε παραπάνω. Παράδειγµα. Να βρεθούν τα σηµεία τοµής των καµπύλων µε εξισώσεις ρ = cosθ και ρ = sin θ. Λύση. Εύκολα διαπιστώνουµε ότι οι δεδοµένες εξισώσεις είναι µοναδικές για τις καµπύλες που παριστούν. Από το σύστηµα των δύο εξισώσεων έχουµε: π 5π cos θ = sin θ θ = ή θ =, 4 4 οπότε προκύπτουν τα ζεύγη ( ρ,θ ) =, π 5π ή -, 4 4 που είναι οι πολικές συντεταγµένες του ιδίου σηµείου Α του επιπέδου. Σχήµα 5. 7 Α

23 5.6 Γεωµετρικοί τόποι σε πολικές συντεταγµένες 3 πόλος είναι σηµείο τοµής των δύο καµπύλων, αφού η πρώτη εξίσωση δίνει ρ = 0 για θ = π, ενώ η δεύτερη εξίσωση δίνει ρ = 0 για θ = Γεωµετρικοί τόποι σε πολικές συντεταγµένες Πολλές φορές σε προβλήµατα γεωµετρικών τόπων είναι πιο εύκολο να θεωρήσουµε ένα πολικό σύστηµα συντεταγµένων και ως προς αυτό να f ρ,θ = 0 ή βρούµε την εξίσωση του ζητούµενου τόπου στη µορφή ( ) ρ f ( ) = θ. Η εκλογή του πόλου και του πολικού άξονα παίζει πρωτεύοντα ρόλο στην απλούστευση του προβλήµατος. Παράδειγµα. Θεωρούµε κύκλο διαµέτρου Α = α και την εφαπτοµένη του ε στο Α. Μεταβλητή ηµιευθεία t τέµνει τον κύκλο στο Β και την ευθεία ε στο Γ. Πάνω στην ηµιευθεία t ορίζουµε σηµείο Μ έτσι, ώστε Μ = ΒΓ. Να βρεθεί η εξίσωση του γεωµετρικού τόπου του σηµείου Μ. Λύση. Θεωρούµε το σηµείο ως πόλο και την ευθεία που ορίζεται από Γ τα και Α ως πολικό άξονα. Τότε η εξίσωση του κύκλου µε διάµετρο την Α = α είναι ρ = αcos θ, ενώ η εξίσωση Β Μ ε της ευθείας ε είναι α θ Α ρ =. cos θ Αν το τυχόν σηµείο Μ του γεωµετρικού τόπου έχει πολικές συντεταγµένες (ρ,θ), τότε τα σηµεία Β και Γ θα έχουν πολικές συντεταγµένες ( α cos θ,θ) και α (, θ cos ), αντίστοιχα. θ Σχήµα 5. 8, Κισσοειδής Από την ισότητα Μ = ΒΓ λαµβάνουµε α ρ αcos θ ρ α cos θ cos θ cos θ. Η προκύπτουσα καµπύλη λέγεται κισσοειδής και η καρτεσιανή εξίσωση αυτής είναι της µορφής 3 y =. α

24 4 Κεφάλαιο 5. Καµπύλες στο επίπεδο Παράδειγµα. Θεωρούµε κύκλο κέντρου Κ, ακτίνας α και µία διάµετρο ΚΑ αυτού. Θεωρούµε ακόµη την κάθετη ευθεία ε στο µέσον της ακτίνας Κ. Μία µεταβλητή ηµιευθεία t τέµνει την ε στο Β και τον κύκλο στο Γ. Πάνω στην ηµιευθεία t παίρνουµε σηµείο Μ, έτσι ώστε Μ = ΒΓ. Να βρεθεί η εξίσωση του γεωµετρικού τόπου του σηµείου Μ. Λύση. Θεωρούµε το σηµείο ως πόλο και την ευθεία που ορίζεται από τα σηµεία και Α ως πολικό άξονα. Τότε η εξίσωση του κύκλου ( Κ,α) είναι ρ = 4α cos θ, ενώ η εξίσωση της ευθείας ε είναι α ρ =. cos θ ε Μ ( ρ,θ) Β Κ ( α,0) Γ Α Αν το τυχόν σηµείο Μ του γεωµετρικού τόπου έχει πολικές συντεταγµένες ρ,θ, τότε τα ση- ( ) µεία Β και Γ έχουν πολικές συντεταγµένες α,θ και ( 4α cos θ,θ), cos θ αντίστοιχα, οπότε η εξίσωση Μ = ΒΓ Σχήµα 5.9, Τριχοτόµος γίνεται α ρ = 4α cos θ ρ = α 4cosθ cos θ cos θ. Η προκύπτουσα καµπύλη λέγεται τριχοτόµος και η καρτεσιανή της εξίσωση είναι ( ) 3α y = α + Παρατηρούµε ότι η παραπάνω εξίσωση, όπως και η εξίσωση της κισσοειδούς, µπορούν να γραφούν στη µορφή f (, y) = 0, όπου το πρώτο µέλος είναι πολυώνυµο ως προς, y βαθµού 3, δηλαδή βαθµού µεγαλύτερου του. Και οι δύο αυτές καµπύλες ανήκουν στις ανώτερες αλγεβρικές καµπύλες που θα εξετάσουµε παρακάτω..

25 5.7 Ανώτερες αλγεβρικές καµπύλες Ανώτερες αλγεβρικές καµπύλες Μία καµπύλη λέγεται αλγεβρική, αν η εξίσωσή της είναι της µορφής,, όπου f y, είναι πολυώνυµο ως προς, y. Κάθε άλλη κα- f ( y ) = 0 ( ) µπύλη του επιπέδου λέγεται υπερβατική. Παραδείγµατα αλγεβρικών κα- µπύλων είναι οι ευθείες και οι κωνικές τοµές, ενώ οι τριγωνοµετρικές, οι λογαριθµικές και οι εκθετικές καµπύλες είναι υπερβατικές. Στην παράγραφο αυτή θα µελετήσουµε µερικές αλγεβρικές καµπύλες του επιπέδου βαθµού µεγαλύτερου του, οι οποίες µαζί µε τις υπερβατικές καµπύλες αναφέρονται ως ανώτερες καµπύλες του επιπέδου. Στην προηγούµενη παράγραφο συναντήσαµε µερικές τέτοιες καµπύλες, όπως τις εξισώσεις των ληµνίσκων, την κισσοειδή και την τριχοτόµο. Η µελέτη αυτών των καµπύλων ήταν σχετικά απλή µε χρήση πολικών συντεταγµένων. Στην παράγραφο αυτή θα µελετήσουµε κάποιες από τις ανώτερες καµπύλες του επιπέδου σε καρτεσιανές συντεταγµένες. Παράδειγµα. Κογχοειδής του Νικοµήδη. Μεταβλητή ευθεία ε που περνάει από την αρχή καρτεσιανού συστήµατος αξόνων y τέµνει τη σταθερή ευθεία = a στο σηµείο Α. Πάνω στην ευθεία ε και γύρω από το Α παίρνουµε τα σηµεία Μ και Μ έτσι, ώστε: ΑΜ = ΑΜ = b. Να βρεθεί η εξίσωση του γεωµετρικού τόπου των σηµείων Μ και Μ. Λύση. Από τα δεδοµένα του προβλήµατος και τα όµοια τρίγωνα ΑΒ, ΜΚ και ΑΜΝ (σχήµα 5.30) έχουµε ΑΒ ΜΚ ΜΝ = = Β ΑΚ ΑΝ ΑΒ y ΜΝ = = a a, από τις οποίες λαµβάνουµε ay y( a) ΑΒ = και ΜΝ =. Έτσι από το τρίγωνο ΑΜΝ λαµβάνουµε Μ y A Β b = a Ν Κ Μ (, y) y + ( a) ( a) ( y )( ) = b + a = b. Κογχοειδής του Νικοµήδη Σχήµα 5. 30

26 6 Κεφάλαιο 5. Καµπύλες στο επίπεδο Εργαζόµενοι όµοια για το σηµείο Μ βρίσκουµε την ίδια εξίσωση του γεωµετρικού τόπου µε αυτήν του σηµείου Μ, θεωρώντας ότι: Μ = και Μ Ν = y. Το πρόβληµα αυτό µπορούσε να λυθεί ευκολότερα µε χρήση πολικών συντεταγµένων µε πόλο και πολικό άξονα τον. Τότε προκύπτουν οι εξισώσεις a ρ = ± b. cos θ Παράδειγµα. Ωοειδής (oval) του Cassini Να βρεθεί η εξίσωση του γεωµετρικού τόπου σηµείου Μ του επιπέδου που κινείται έτσι, ώστε το γινόµενο των αποστάσεων του από δύο σταθερά ση- µεία Α και Β να είναι σταθερό, έστω. c Σχήµα 5. 3 y τέτοιο, ώστε το ση- Λύση. Θεωρούµε καρτεσιανό σύστηµα αναφοράς µείο να είναι µέσον του ΑΒ και Α( a,0 ), Β ( a, 0), a = σταθερά. Αν Μ (, y) είναι τυχόν σηµείο του γεωµετρικού τόπου, τότε θα έχουµε 4 ΜΑ ΜΒ = c ΜΑ ΜΒ = c ( + a) + y ( a) + y = c ( a ) 4 + y + 4a =c 4. Για c = a, η καµπύλη γίνεται ληµνίσκος του Bernoulli µε εξίσωση

27 5.8 Παραµετρικές εξισώσεις καµπύλων του επιπέδου 7 ( y ) a ( ) + = y. Για c < a, η καµπύλη αποτελείται από δύο κλειστές καµπύλες που στο σχήµα 5.3 είναι στο εσωτερικό του ληµνίσκου Παραµετρικές εξισώσεις καµπύλων του επιπέδου Πολλές φορές είναι χρήσιµο να χρησιµοποιούµε δύο εξισώσεις για να παραστήσουµε µία καµπύλη του επιπέδου, από µία για κάθε συντεταγµένη Μ, y της καµπύλης. Έτσι έχουµε τις παραµετρικές εξι-- του σηµείου ( ) σώσεις της καµπύλης, αν κάθε συντεταγµένη σηµείου (, y) Μ εκφράζεται σε όρους µιας µεταβλητής (παραµέτρου) t, δηλαδή οι παραµετρικές εξισώσεις είναι της µορφής = () t, y = y( t), t Ι. () Από τις εξισώσεις () µε απαλοιφή της µεταβλητής t λαµβάνουµε την καρτεσιανή εξίσωση της καµπύλης. Όµοια, αν ( ρ,θ είναι οι συντεταγµένες του τυχόντος σηµείου Μ της κα- ) µπύλης, τότε οι εξισώσεις ρ = ρ t, θ = θ t, t Ι () () ( ) ορίζουν επίσης µια παραµετρική παράσταση της καµπύλης. Η απαλοιφή του t από τις () οδηγεί στην εξίσωση της καµπύλης σε πολικές συντεταγµένες. Γενικά η παράµετρος t µπορεί να οριστεί µε διάφορους τρόπους και έτσι οι παραµετρικές εξισώσεις δεν είναι συνήθως µοναδικές. ι παραµετρικές εξισώσεις ευθείας του επιπέδου που περνάει από τα σηµεία Μ (, y) και Μ (, y) µπορούν να προκύψουν από την εξίσωση y y =, y y αν εξισώσουµε τους δύο λόγους µε την παράµετρο t και λύσουµε τις εξισώσεις που προκύπτουν ως προς και, οπότε λαµβάνουµε τις εξισώσεις ( ) ( ) = + t, y = y + t y y, t. Μια παραµετρική παράσταση του κύκλου µε εξίσωση y a + = (αντίστοιχα, ( ) ( ) y y y = a ), είναι η = acos t = 0 + acos t, t [ 0,π] (αντίστοιχα,, t [ 0,π]. y = asin t y = y0 + asin t Μια παραµετρική παράσταση της έλλειψης

28 8 Κεφάλαιο 5. Καµπύλες στο επίπεδο y + = a b ορίζεται από τις εξισώσεις = acos t, t [ 0,π], y = bsin t ενώ η υπερβολή µε εξίσωση y = a b έχει παραµετρικές εξισώσεις = a π π 3π 3π cos t, t 0,,,π. y = btan t Αν µία καµπύλη έχει καρτεσιανή εξίσωση y = f ( ), Ι, τότε µία παραµετρική παράσταση αυτής είναι η = t (), t Ι. y = f t Για παράδειγµα, οι παραβολές µε εξισώσεις = 4ay και y = 4a έχουν παραµετρικές παραστάσεις, αντίστοιχα, = t t = t, t και 4a, t. y = 4a y = t Στη συνέχεια θα µελετήσουµε µερικές χαρακτηριστικές καµπύλες του επιπέδου που ορίζονται απλούστερα µε τις παραµετρικές εξισώσεις, αντί της καρτεσιανής εξίσωσης ή της εξίσωσης σε πολικές συντεταγµένες. Παράδειγµα. Κυκλοειδής. Να βρεθεί η εξίσωση της καµπύλης που διαγράφεται από ένα σηµείο κύκλου ακτίνας α που κυλίεται πάνω σε µία δεδοµένη ευθεία ε. Λύση. Θεωρούµε καρτεσιανό σύστηµα αξόνων y του οποίου ο οριζόντιος άξονας συµπίπτει µε την ευθεία ε, ενώ η αρχή του συµπίπτει µε το σηµείο Μ του κύκλου που διαγράφει τη ζητούµενη καµπύλη, στην αρχική του θέση. Στο σχήµα 5.3 ο κύκλος είναι σε τυχούσα θέση, όπου το σηµείο Μ έχει µετακινηθεί από την αρχή. Αν Κ είναι το κέντρο του ΚΒ, ΚΜ = t. κύκλου, θα χρησιµοποιήσουµε ως παράµετρο τη γωνία ( ) Από την περιγραφή του προβλήµατος έχουµε Β = ΜΒ = αt και

29 5.8 Παραµετρικές εξισώσεις καµπύλων του επιπέδου 9 ( sin ) ( cost) =Α=Β+ΒΑ= αt αsin t = α t t, t, t. y =ΑΜ=ΒΚ ΝΚ= α αcos t y = α y α Κ Α Μ t Ν Β Γ ( πα,0) Σχήµα 5. 3, Κυκλοειδής Για t [ 0, π] ορίζεται το τόξο ΜΓ της καµπύλης, το οποίο στη συνέχεια, για t > π, επαναλαµβάνεται περιοδικά. Από τη δεύτερη των παραµετρικών εξισώσεων εκφράζουµε την παράµετρο t ως συνάρτηση του y και µε αντικατάσταση στην πρώτη εξίσωση λαµβάνουµε την καρτεσιανή εξίσωση της κυκλοειδούς καµπύλης α y α cos = ± αy y. α Όταν ο κύκλος κυλίεται στο αντίθετο ηµιεπίπεδο της ευθείας ε, η διαγραφόµενη από το σηµείο Μ καµπύλη είναι πολύ σηµαντική για τη Φυσική και λέγεται καµπύλη ελάχιστου χρόνου (brachistochrone), αφού είναι η καµπύλη της πιο απότοµης κατηφοριάς, υπό την έννοια ότι ένα κινητό ολισθαίνει µεταξύ δύο σηµείων της καµπύλης στον ελάχιστο δυνατό χρόνο. Παράδειγµα. Υποκυκλοειδής. Ένας κύκλος ακτίνας b κυλίεται στο εσωτερικό κύκλου ακτίνας a. Να βρεθεί η εξίσωση της καµπύλης που διαγράφεται από το σηµείο Μ του κυλιόµενου κύκλου. Λύση. Θεωρούµε καρτεσιανό σύστηµα αξόνων και έστω θ, 0,, y, όπως στο σχήµα 5.33 = ( Α Κ) [ ) φ = ( ΚΜ, ΚΓ ) και ω (, ) = ΚΝ ΚΜ, όπου Κ είναι το κέντρο του κυλιόµενου κύκλου. Τότε από την ισότητα των µηκών των τόξων ΑΓ και ΜΓ έχουµε

30 30 Κεφάλαιο 5. Καµπύλες στο επίπεδο a a θ = bφ φ = θ b. Επιπλέον, από την ισότητα Γ π π a π a-b ω = θ φ θ θ + = + b = θ b έπεται ότι a-b sin ω = cos θ, b οπότε τελικά λαµβάνουµε: =Β= + Β a-b = ( a b) cosθ + bcos θ, Σχήµα b a-b y =ΒΜ= Κ Ν= ( a b) sinθ-bsin θ b. Η διαγραφόµενη καµπύλη λέγεται υποκυκλοειδής και αν ο λόγος των ακτίνων a είναι θετικός ακέραιος, τότε το σηµείο Μ που διαγράφει την b y y Κ a θ Ν Μ Α Β Σχήµα Σχήµα 5. 35

31 5.8 Παραµετρικές εξισώσεις καµπύλων του επιπέδου 3 καµπύλη περνάει ξανά από το σηµείο Α που ξεκίνησε και η παραγόµενη καµπύλη είναι κλειστή. Γενικά, αν ο αριθµός a είναι ρητός, τότε το σηb µείο Μ κάποτε θα περάσει ξανά από τη θέση του Α, ενώ αυτό δεν θα συµβεί, αν ο αριθµός a είναι άρρητος. b Στην ειδική περίπτωση που είναι a = 4b, η παραγόµενη καµπύλη λέγεται υποκυκλοειδής των τεσσάρων ανακάµψεων ή αστεροειδής (σχή- µα 5.34 ). Τότε οι παραµετρικές εξισώσεις γίνονται 3 3 { acos θ, y asin θ }, θ [ 0, π ] = =, ενώ η καρτεσιανή εξίσωση είναι 3 + y 3 = a 3. Όταν ο κύκλος ακτίνας b κυλίεται στο εξωτερικό του κύκλου ακτίνας a, τότε η παραγόµενη καµπύλη λέγεται επικυκλοειδής και οι παραµετρικές εξισώσεις αυτής λαµβάνονται από αυτές της υποκυκλοειδούς µε αντικατάσταση του b από το b, δηλαδή είναι a+b = ( a+b) cos θ-b cos θ b a+b y = ( a+ b) sinθ-bsin θ b. Στην περίπτωση της επικυκλοειδούς ισχύουν τα ίδια, όπως και στην περίπτωση της υποκυκλοειδούς, ανάλογα µε το αν ο αριθµός a είναι ακέραιος, ρητός ή άρρητος. b Στην ειδική περίπτωση που είναι b = a, τότε η παραγόµενη καµπύλη είναι µία καρδιοειδής και οι παραµετρικές εξισώσεις γίνονται: = a( cosθ cos θ),θ [ 0, π]. y = a( sinθ -sinθ) 3at 3at Παράδειγµα 3. Να σχεδιάσετε την καµπύλη: =, y =, t t + t Λύση. Η καµπύλη αυτή λέγεται φύλλο του Καρτεσίου και η γραφική της παράσταση (σχήµα 5.36 ), γίνεται µε τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα: t 0 0,5 + -0,5 ± - 0 4a 3 3a a 3 0 a 7 ± 6a 7 y a 3a 4a 6a a 7

32 3 Κεφάλαιο 5. Καµπύλες στο επίπεδο Κατά τα γνωστά από την Ανάλυση, η ευθεία + y+ a = 0 είναι ασύµπτωτη της καµπύλης αφού ισχύουν: lim t ± lim t ± () t () y t = = ±. Σχήµα 5.36 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρεθούν όλες οι δυνατές πολικές συντεταγµένες του σηµείου Α που,. έχει καρτεσιανές συντεταγµένες ( ). Να υπολογιστεί η απόσταση των σηµείων (, π ) Β, π. 3 Στη συνέχεια, να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόµενων των κύκλων µε εξισώσεις ρ = και ρ = στα σηµεία Α και Β, αντίστοιχα. Α και ( ) π 3. Να βρεθεί η πολική εξίσωση κύκλου µε κέντρο Κ 4, και ακτίνα 4. 3 Στη συνέχεια, βρείτε την εξίσωση του κύκλου σε καρτεσιανές συντεταγ- µένες. 4. Να προσδιορίσετε το είδος των καµπύλων: 4 (i) ρ =, (ii) ρ =, (iii) ρ =. cosθ sinθ + cosθ Στη συνέχεια, να σχεδιάσετε τις παραπάνω καµπύλες και να µετασχη- µατίσετε τις εξισώσεις τους σε καρτεσιανές συντεταγµένες. 5. Να µετασχηµατιστούν από τις πολικές σε καρτεσιανές συντεταγµένες οι παρακάτω εξισώσεις: (i) = cos θ cos θ ρ α (ii) ρ = α ( + cosθ) α (iii) ρ = (iv) ρ = α 4cosθ sin θ cos θ.

33 Ασκήσεις Να βρεθούν όλες οι δυνατές εξισώσεις σε πολικές συντεταγµένες της καθ µπύλης ρ = sin, την οποία στη συνέχεια να σχεδιάσετε. 7. Να σχεδιάσετε τις καµπύλες: (i) ρ = acos3θ (ii) (iv) a ρ = (v) sin θ ρθ= a (iii) ρ = b acosθ ρ = a 4cosθ cos θ. 8. Να βρεθούν τα σηµεία τοµής των καµπύλων: (i) ρ = cos θ και ρ = cosθ (ii) ρθ = και (iii) ρ = cos θ και ρ = cos θ. π θ = 9. Θεωρούµε κύκλο κέντρου Κ και ακτίνας α, µία διάµετρο Α και ευθεία ε κάθετη στο µέσον της Κ. Μεταβλητή ευθεία που περνάει από το τέµνει την ε στο Β και τον κύκλο στο. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Ρ που είναι τέτοια, ώστε Ρ = Β, (τριχοτόµος). 0. Μεταβλητή ευθεία ε που περνάει από τον πόλο τέµνει τη σταθερή α ευθεία ρ = στο Α. Πάνω στην ευθεία ε και γύρω από το Α λαµcos θ βάνουµε σηµεία Μ και Μ τέτοια, ώστε ΑΜ = ΑΜ = β. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ και Μ, (κογχοειδής).. Μεταβλητή ευθεία ε που περνάει από τον πόλο τέµνει τη σταθερή α ευθεία ρ = στο Α. Αν η προβολή του Α πάνω στον πολικό άξοcos θ να είναι το σηµείο Β, τότε πάνω στην ευθεία ε και γύρω από το Α λαµβάνουµε σηµεία Μ και Μ τέτοια, ώστε ΑΜ = ΑΜ = ΑΒ. Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ και Μ, (στροφοειδής).. Στο καρτεσιανό σύστηµα αναφοράς y θεωρούµε τον κύκλο µε εξί- σωση + y ay =0, τη διάµετρο ΚΑ και την εφαπτόµενη ε του κύκλου στο Α. Μεταβλητή ευθεία που περνάει από το τέµνει τον κύκλο στο Β και την ε στο Γ. ι παράλληλες από τα Β και Γ προς τις ε και Α, αντίστοιχα, τέµνονται στο Μ. Να βρεθεί ο γεωµετρικός

34 34 Κεφάλαιο 5. Καµπύλες στο επίπεδο τόπος του σηµείου Μ. 3. Η πρώτη ποδική καµπύλη µιας δεδοµένης καµπύλης ως προς κάποιο σταθερό σηµείο, είναι ο γεωµετρικός τόπος του ίχνους της κάθετης από το σταθερό σηµείο προς µία µεταβλητή εφαπτόµενη της κα- µπύλης. Να αποδείξετε ότι: (i) Η πρώτη ποδική καµπύλη ενός κύκλου ως προς κάποιο σηµείο του, είναι µία καρδιοειδής. (ii) Η πρώτη ποδική καµπύλη της παραβολής y = 4 a, a > 0, ως προς το σηµείο τοµής της διευθετούσας µε τον άξονά της, είναι η στροφοειδής καµπύλη µε εξίσωση (iii) (iv) ( ) ( ) 3 + a + y = a + y. Η πρώτη ποδική καµπύλη της παραβολής προς την κορυφή της ( 0, 0), είναι η κισσοειδής y 3 =. a Η πρώτη ποδική καµπύλη της υπερβολής το κέντρο της είναι ο ληµνίσκος ( y ) a ( ) + = y. y = 4 a, a > 0, ως y = a ως προς 4. Να βρεθούν οι παραµετρικές εξισώσεις του γεωµετρικού τόπου του ση- µείου Μ της άσκησης, αν θεωρήσουµε ως παράµετρο t = ΑΓ ˆ. 5. Όταν µια χορδή, που είναι περιτυλιγµένη γύρω από ένα κύκλο, ξετυλίγεται ενώ κρατιέται τεντωµένη, τότε το ένα άκρο της διαγράφει µία κα- µπύλη που λέγεται εξειλιγµένη (involute) του κύκλου. Να αποδείξετε ότι οι παραµετρικές εξισώσεις της εξειλιγµένης του κύκλου µε εξίσωση ρ = α είναι οι = α( cos θ+ θsin θ), α( sin θ θcos θ) y =.