Ιστοσελίδα:

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ιστοσελίδα:"

Παραμονος Κανακάρης-Ρούφος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ÌÀÄ ½ Ð Ü Ιστοσελίδα: ÌÀÄ ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ¼ ÌÑ Ñ ÀÅÅÍ ÈÓÐÙØ ÕÒ Ó ÃÖ Ø

2 Αποκωδικοποιηση Γραμμικων Κωδικων Μπλοκ Soft-Decision Decoding ψ(t), 0 t < T N(t) b...b k channel coding C...C n X...X n modulation S(t) channel [c...c n ] = [b...b k ]G k n linear block coding T 0 dt demodulation Y...Y n (without detection) ˆb...ˆb k soft-decision channel decoder S i (t) = X i Ec ψ(t), 0 t < T,, c i = X i = binary antipodal modulation (BPSK, BPAM, etc.), c i = 0 T 0 ψ(t) dt =, E c : transmitted energy/coded symbol N(t) = zero-mean AWGN process, PSD= Y i = T 0 (S i(t) + N(t)) ψ(t) dt = X i Ec + N i, N i N ( 0, ) coherect demodulation [Y...Y n ] = E c [X...X n ] + [N...N n ] Y = E c X + N ÌÀÄ ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ½ ÌÑ Ñ ÀÅÅÍ ÈÓÐÙØ ÕÒ Ó ÃÖ Ø

3 Soft-decision decoding: hˆb...ˆb k i = b i0, i 0 = arg min i=,..., k Y z } { [Y...Y n ] E c X i z } { [X i... X in ] E c X i E c X j = l n ( Ec X il E c X jl ) = Ec = E c = 4E c d ij l n (X il X jl ) l n l : X il Xij Pr Y Ec X i > Y Ec X j i Ø Ð = Pr 0 Y + E c X i {z } =n «= E c YX T i > Y + E c X j {z } = Pr E c Y(X i X j ) T < Ø Ð 0 i 0 B Ec = X i + N (X i X j ) T < Ø Ð 0 i {z } =n C A E c YX T j i Ø Ð C A ÑÔÓÖ Ò ÒÓ ÌÀÄ ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ¾ ÌÑ Ñ ÀÅÅÍ ÈÓÐÙØ ÕÒ Ó ÃÖ Ø

4 Ec = Pr X i E c X i X T j + N(X i X j ) T < 0 0 = Pr επειδή: X i X T j = l n E c (n d ij ) C E c + {z} Z < 0A N(0,d ij ) X il X jl = ( ) + = ( )d ij + (n d ij ) = n d ij l n l n l : X il X jl l : X il = X jl και Z = N(X i X j ) T = l n N l(x il X jl ) N ( 0, σ ) όπου σ = l n var(n l)(x il X jl ) = = d ij l n Z N(0, d ij ) l : X il X jl = Pr Z < d ij Ec = Pr Z > d ij Ec = Q d! r! ij Ec dij E c p = Q dij ÌÀÄ ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ÌÑ Ñ ÀÅÅÍ ÈÓÐÙØ ÕÒ Ó ÃÖ Ø

5 0 Pr (i 0 Ø Ð i i ) = Pr union bound Κωδικες Καναλιου [ j M j i Y E c X i > Y E c X j X Pr Y E c X i > Y E c X j i Ø Ð = X Q j M j i P e = Pr ˆb...ˆb k b...b k = Pr(i 0 i) = X = X l=...m = M X i=...m M Pr(i 0 l l Ø Ð ) () X j =... M j i Q r dij E c! X l=...m l=...m M P e = Pr ˆbi...ˆb k b... b k (M )Q M j M j i i Ø Ð r dij E c Pr(i = l)pr(i 0 i i = l) X j M j l M(M )max i j r dmin E c! Q ( Q r dij E c! r dij E c!!) C A ½µ ÌÀÄ ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ÌÑ Ñ ÀÅÅÍ ÈÓÐÙØ ÕÒ Ó ÃÖ Ø

6 Για αντίποδη σηματοδοσία(bpsk, BPAM, κλπ): ( ) dmin E c P e (M )Q Για ορθογώνια σηματοδοσία(bfsk): ( ) dmin E c P e (M )Q [αποδεικνύεται ομοίως] Απλοποίηση του αποκωδικοποιητή για BPSK, BPAM: { i 0 = arg min Y } { E c X i arg min Y + E c X i E c YX T i i i = arg min {E c n } E c YX T { } i = arg max YX T i i i n i 0 = arg max X i=...m ij Y j j= } ÌÀÄ ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ÌÑ Ñ ÀÅÅÍ ÈÓÐÙØ ÕÒ Ó ÃÖ Ø

7 Παράδειγμα: Uncoded vs. Hamming(7,4)-coded T = 00μsec P = μw(λαμβανόμενη ισχύς) = 0dB (W/Hz) Uncoded: E b = E c = PT = = 0 0 = 0 0/0 = 0 (W/Hz) R = T R = 04 bps uncoded C = b X =, b =, b = 0 Y = E c X + N = E b X + N, N N ( 0, ML detection: ˆX = sgn(y ), ˆb = ), ˆx = 0, ˆx = ˆb =, Y > 0 0, Y < 0 ÌÀÄ ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ÌÑ Ñ ÀÅÅÍ ÈÓÐÙØ ÕÒ Ó ÃÖ Ø

8 ) ( ) Eb P b = Pr (ˆb b =... = Q ( ) 0 0 = Q = Q( 0) = Q(3.6) ) ) P e = Pr (ˆb...ˆb 4 b...b 4 = Pr (ˆb...ˆb 4 = b...b 4 4 ) = Pr (ˆbi = b i = ( P b ) 4 P e = i= ÌÀÄ ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ÌÑ Ñ ÀÅÅÍ ÈÓÐÙØ ÕÒ Ó ÃÖ Ø

9 Coded: (n, k) = (7, 4), d min = 3 R = 4 7 bits/ch. use = 4 7T bits sec = bps R = bps=5.7kbps ne c = ke b E c = k n E b = k n PT = , = 0 W/Hz M = k = 4 = 6 P e (M )Q ( d min E c ) = (6 )Q = 5Q(4.4) P e ( ) ( = 5Q ) 0 7 Uncoded R = 0Kbps W T = 0KHz P e = Coded (Hamming(7,4)) R = 5.7Kbps W T = 0KHz P e ÌÀÄ ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ÌÑ Ñ ÀÅÅÍ ÈÓÐÙØ ÕÒ Ó ÃÖ Ø

10 Hard-Decision Decoding ψ(t), 0 t < T N(t) b...b k channel coding C...C n X...X n modulation S(t) channel T 0 dt Y...Y n ˆX... ˆX n Ĉ...Ĉn ˆb...ˆb k hard-decision demodulation channel decoder (with detection) [C...C n ] = [b...b k ]G k n S i (t) = X i Ec ψ(t), 0 t < T, X i =, C i =, C i = 0 BPSK, BPAM, etc. T 0 ψ (t) dt = N(t) : AWGN, PSD= / Y i = T 0 (S i(t) + N(t))ψ(t) dt = X i Ec + N i, N i N ( 0, ˆX, Y i > 0 i = sgn(y i ) =, Y i < 0 ) ÌÀÄ ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ÌÑ Ñ ÀÅÅÍ ÈÓÐÙØ ÕÒ Ó ÃÖ Ø

11 Ĉi =, ˆX i = 0, ˆXi = Ĉ i = 0 ˆX i = Y i < 0 ) ) Pr(Ĉi = 0 C i = = Pr (Ĉi = C i = 0 = ǫ = Q ( ) E c C i ǫ ¼ ¼ ǫ ǫ ½ ǫ ½ Ĉ i ÌÀÄ ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ½¼ ÌÑ Ñ ÀÅÅÍ ÈÓÐÙØ ÕÒ Ó ÃÖ Ø

12 Hard-decision decoding: [ˆb,...,ˆb k ] = b i0, i 0 = arg min i=,..., k {d (ĉ,c i )} = arg min i=,... k {d (ĉ...ĉ n, c i...c in )} Υλοποίηση του hard-decision decoder Κατασκευή τυπικής διάταξης: c c c 3... c k e e + c e + c 3... e + c k e e + c e + c 3... e + c k.... e n k e n k + c e n k + c 3... e n k + c k (M = k ) n k n k ÌÀÄ ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ½½ ÌÑ Ñ ÀÅÅÍ ÈÓÐÙØ ÕÒ Ó ÃÖ Ø

13 Κατασκευάζουμε την η γραμμή. Βρίσκουμετην e / [ηγραμμή]καιέχειτοελάχιστοβάρος. Κατασκευάζουμε τη η γραμμή. Βρίσκουμετην e / [η-ηγραμμές]καιέχειτοελάχιστοβάρος. Κατασκευάζουμε τη 3η γραμμή. Βρίσκουμετη e 3 / [η-3ηγραμμές]καιέχειτοελάχιστοβάρος. Κατασκευάζουμε τη 4η γραμμή.. Βρίσκουμετη e n k / [η- n k ηγραμμές]καιέχειτοελάχιστοβάρος. Κατασκευάζουμετη n k ηγραμμή. ÌÀÄ ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ½¾ ÌÑ Ñ ÀÅÅÍ ÈÓÐÙØ ÕÒ Ó ÃÖ Ø

14 Ιδιότητες. Δενυπάρχουνδύοίδιες n-άδεςαπόδ.ανυπήρχανστηνίδιαγραμμή,τότε e l + c i = e l + c j, (i j) c i = c j, i j(ατοπο). Αν υπήρχαν σε διαφορετικές γραμμές, τότε e l + c i = e k + c j, (l k) e l = e k + (c i + c j ) e l = e k + c m,όπου c m = c i + c j C,επομένωςοι e l, e k ανήκουνστηνίδιαγραμμή(γραμμή k),άρα l = k(ατοπο).. Ητυπικήδιάταξηπεριέχειόλεςτιςπιθανές( n ) n-άδες,άραπεριέχει n M = n k = n k γραμμές. 3. Η κάθε γραμμή της τυπικής διάταξης ονομάζεται συνομάδα. 4. Αν y,y ανήκουνστηνίδιασυνομάδα(γραμμή),τότε y GT = y GT Απόδ. y = e l + c i y = e l + c j y GT = (e l + c i ) G T = e l GT + c i GT = e l GT y GT = (e l + c j ) G T = e l GT + c j GT = e l GT ÌÀÄ ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ½ ÌÑ Ñ ÀÅÅÍ ÈÓÐÙØ ÕÒ Ó ÃÖ Ø

15 Σύνδρομο: Γιακάθε n-άδα y {0, } n,ορίζουμεωςσύνδρομο s (n k) το s = y G T. Ιδιότητες. Κάθε συνομάδα έχει ένα μοναδικό σύνδρομο: s = e l G T = (e l + c ) G T =... = (e l + c k) G T. Τοσύνδρομοτηςηςσυνομάδαςείναι s = c GT =... = c k G T = 0 (n k) ÌÀÄ ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ½ ÌÑ Ñ ÀÅÅÍ ÈÓÐÙØ ÕÒ Ó ÃÖ Ø

16 Παράδειγμα (n, k) = (5, ) C = 0 0 G = G = Τυπική Διάταξη Σύνδρομο ÌÀÄ ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ½ ÌÑ Ñ ÀÅÅÍ ÈÓÐÙØ ÕÒ Ó ÃÖ Ø

17 Αλγόριθμος αποκωδικοποίησης Εστω ĉτοληφθένδυαδικόδιάνυσμα.τότε, s = ĉ G T είναιτοσύνδρομοτης συνομάδαςστηνοποίαανήκειτο ĉ. Εστωοαυτήείναιησυνομάδαμεαρχηγότο e l. Εφόσοντο ĉανήκειστηνσυνομάδααυτή,τότε ĉ = e l + ĉ i γιακάποιο i =,..., k. Άρα, j =,..., k, d(ĉ,c j ) = w(ĉ + c j ) = w(e l + c i + c j ) }{{} =c k, k=,..., k d(ĉ,c j ) = w( e l + c }{{ k ) } Ñ ÖÕ ØÓ e ÙÒÓÑ l min j (d (ĉ,c j )) = min k (e l + c l ) = w(e l )(εξ ορισμού) Άραδιαλέγουμε c opt k ĉ = e l + c opt j c opt j + e l = e l c opt k = ĉ + e l = 0 c i + c opt j Επομένως, ο αλγόριθμος αποτελείται απο τα παρακάτω βήματα: = 0 c i = c opt j. Demodulation followed by bit-by-bit detection ĉ,...,ĉ }{{ n. } ĉ. s = ĉ G T. 3. Βρίσκουμετησυνομάδαμεσύνδρομο s. Εστω eοαρχηγόςτης. 4. c opt j = ĉ + e ÌÀÄ ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ½ ÌÑ Ñ ÀÅÅÍ ÈÓÐÙØ ÕÒ Ó ÃÖ Ø

18 Απόδοση του hard-decision decoding P e ( k ) n j k dmin + l= n l ǫ l ( ǫ) n l Παράδειγμα Στο προηγούμενο παράδειγμα με κώδικα Hamming-(7,4) έχουμε ( ) Ec ǫ = Q = Q k n E b = Q 4 7 ( ) = Q, d min = 3. 7 Επομένως, 00 P e ( 4 7 A ǫ ( ǫ) A ǫ 3 ( ǫ) A ǫ 7 ( ǫ) 0 A 0 7 A ǫ = Q r! 40 = ÌÀÄ ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ½ ÌÑ Ñ ÀÅÅÍ ÈÓÐÙØ ÕÒ Ó ÃÖ Ø

19 Παράδειγμα (n, k) = (3, ) C = 0 0 0, B = 0, c i = BPSK x i =, c i = 0 Κωδικες Καναλιου Εστω Y = [.5.5.3] Soft-decision decoding: Y Hard-decision decoding: = = < Y = = ˆb = 0 ˆX = sgn(y) = [ ] ĉ = [ 0] d(000,ĉ) = > d(,ĉ) = ˆb = ÌÀÄ ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ½ ÌÑ Ñ ÀÅÅÍ ÈÓÐÙØ ÕÒ Ó ÃÖ Ø

20 Ανιχνευση Σφαλματος/ Διορθωση Σφαλματος Εστωκώδικας (n, k)μεελάχιστηαπόσταση d min. Ο κώδικας αυτός μπορεί να ανιχνεύσει μέχρι το πολύ e d = d min σφάλματα χωρίς πιθανότητα αποτυχίας, ενώ μπορεί να διορθώσει το πολύ e c = σφάλματα χωρίς πιθανότητα αποτυχίας. dmin Κωδικες Διορθωσης Καταιγισμου Σφαλματων Κανάλια με καταιγισμούς σφαλμάτων: - Ασύρματο κανάλι με διαλείψεις -Δίσκος CD Κώδικες: -Fire s code -Burton s code -Interleaving ÌÀÄ ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ½ ÌÑ Ñ ÀÅÅÍ ÈÓÐÙØ ÕÒ Ó ÃÖ Ø

Σχετικά έγγραφα

Ιστοσελίδα:

½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ÌÀÄ ½ Ð Ü Ιστοσελίδα: www.telecom.tuc.gr/courses/tel412 ÌÀÄ ½¾ Â ÛÖ ÈÐ ÖÓ ÓÖ ÃÛ ÛÒ ¼ ÌÑ Ñ ÀÅÅÍ ÈÓÐÙØ ÕÒ Ó ÃÖ Ø Συνελικτικοι Κωδικες (n, k) L blocks ½ ¾ k ½ ¾ k ½ ¾ k [ ] g1 G T kl