½ Τετραγωνίζω=κατασκευάζωκάτιίσουεμβαδούμεδοθέντετράγωνο. Δείτεκαιτην υποσημείωσηστηνπρότασηβ 14. ¾

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "½ Τετραγωνίζω=κατασκευάζωκάτιίσουεμβαδούμεδοθέντετράγωνο. Δείτεκαιτην υποσημείωσηστηνπρότασηβ 14. ¾"

Θεόκλεια Ακρίδας
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ã Ð Ó ËØÓ Õ ÛÒ ÐÓ ³ À ÛÑ ØÖ ØÛÒ ÇÖ Ó ÛÒÛÒ º½ ÇÖ ÑÓ ØÓÙ ÐÓÙ ³ ÌÓ ÐÓ ³ Ò ÒØÓÑÓ ÓÑÓ Ò Ñ Ñ ÒÓ ½ ÔÖÓØ Ó ÓÖ ¹ ÑÓ Ø Ò ÖÕ º ËØÓ Ñ Ð Ø ÖÓ Ñ ÖÓ ØÓÙ ÔÖ Ø ÔÓØ Ð Ñ Ø ÔÓÙ ÓÖÓ Ò ÓÖÓÙ ÙÒ Ù ÑÓ ÓÖ Ó ÛÒÛÒ Ø ØÖ ôòûò ÓÙ Ô Ö ¹ ÕÓÑ ÒÓÙº ËØÓ Ø ÐÓ ØÓÙ ÙÔ ÖÕ Ò Ù ØÓÙ ÈÙ ÓÖ ÓÙ Â ÛÖ Ñ ØÓ ÔÓÙ Ñ Ö ÐÓ Ñ Æ ÑÓ ØÛÒ ËÙÒ Ñ Ø ÒÛÒ ÔÛ ØÓ ÔÛ Ø ØÖ ÛÒÞÓÙ¹ Ñ Ò ÙÖØ ÔÓÐ ÛÒÓº ½ Ë Ñ ÛÒ Ñ ÔÓ ÓÙ ØÓÖ Ó ØÓ ÐÓ ³ Õ ÈÙ Ö ÔÖÓ Ð Ù º Ï ÙÒ Û ÓÐÓÙ Ó Ñ ØÓÒ Ù Ð Ø Ò Ñ Ð ÓÖ Ó ôò Òô Ø Ð ÒÓÙÑ Ø ÔÖ Ø Ô Ö Ñ ôòº ÇÖ ÑÓ ½º Ã ÓÖ Ó ôò Ó Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ Ð Ø Ø Ô Ö Õ Ø Ó Ù ¹ ÔÓÙ Ô Ö ÕÓÙÒ Ø Ò ÓÖ ÛÒ º ¾º Ã Ô Ö ÐÐ Ð Ö ÑÑÓ ÕÛÖÓ ÓÔÓ Ó ÔÓØ Ô Ø Ô Ö ÐÐ Ð ¹ Ö ÑÑ ÖÛ Ô Ø Ò Ñ ØÖ ØÓÙ Ñ Þ Ñ Ø Ó ØÓÙ Ô Ö ÔÐ ÖôÑ Ø Ð Ø ÒôÑÛÒº ¾ ½ Τετραγωνίζω=κατασκευάζωκάτιίσουεμβαδούμεδοθέντετράγωνο. Δείτεκαιτην υποσημείωσηστηνπρότασηβ 14. ¾ Γνώμωνστηνκυριολεξίασημαίνειέναπράγμαπουεπιτρέπεισεκάτιναγίνειγνωστό,εξ ουκαιτασημερινάεμπειρογνώμονας,νηογνώμονας.κατάτονηρόδοτο,οι Ελληνεςέμαθαν

2 Ã ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï À ÏÅ ÌÊïÁ ÌÏÆ ÇÊÂÇ ÏÆïÁÏÆ ËÕ Ñ º½ ÒôÑÓÒ º ³ Ò ÒôÑÓÒ Ø Ò Ò Ó ÔÖÛØ ÓÒÓÙ Ð Ó ÖÓÐÓ Ó Ò Ö ØÓ ØÓÒ ÓÖÞÓÒØ ØÓ ÓÔÓÓÙ ÕÖ ÑÓÔÓ ØÓ Ò Ñ ØÖ Ø Ó ÕÖ ¹ ÒÓº Ç Ñ Ñ Ø Ó ÔÖÓ Òô Ñ Ø Ö Ò ØÓ ÒÓÑ ØÓ Ô Ö ÑÓ Ó ÛÑ ØÖ Õ Ñ ËÕ Ñ º½µº º¾ Ç ÈÖÓØ ØÓÙ ÐÓÙ ³ È Ö Ð ÔÓÙÑ Ø Ò ÈÖ Ø ³ ½ ÔÓÙ Ò Ñ Ò Ù ØÛÒ ÈÖÓØ ÛÒ ³ ¾» Ñ ÐÐÓÒ Ô Ö Ñ Ð ØÓÙ Ñ Ø ¹ Ù Ð ÓÙ ÕÖ ÒÓÙº Ë Ñ ôòóùñ Ñ ÒÓ Ø ØÓ ÔÓØ Ð Ñ ÑÔÓÖ Ò Ö Ø Û ÙØ ÔÓÙ Ñ Ö ÐÓ Ñ Ô Ñ Ö Ø Ø Ø a(b + c) = ab + ac. Ø ÈÖÓØ ³ ¾» ØÓ Ô Ö ØÛ ËÕ Ñ º¾ Ô Ü Ö Ñ ô ÓÙÑ Ñ ÒÓ Ø ÈÖ Ø ³ ¾ Ò Ö Ø Ø ØÖ ÛÒ Òô ³ ÓÖ Ó ôò º ³ ¾º AE = DC + FB, Ð Ö a 2 = ab + ac Ò a = b + c, ³ º AE = AD + BD, Ð Ö (a + b)a = ab + a 2. τονπόλο,τονγνώμονακαιτιςδώδεκαώρεςτιςμέραςαπότουςβαβυλωνίους.σύμφωναδε μετολεξικότουσουίδα,οαναξίμανδρος( π.χ.)ήταναυτόςπρωτοχρησιμοποίησε τονγνώμονα. ΑκολουθούμετονΕυκλείδησυμβολίζονταςτετράγωνα,ορθογώνιακαιπαραλληλόγραμμα,μετιςδιαγωνίουςτους.

3 º¾º ÈÊÇÌï Ë ÁË ÌÇÍ Á ÄïÁÇÍ ï ËÕ Ñ º¾ ÈÖÓØ ³ ¾» º ÈÖ Ø ³ º Ò Ñ Ù Ö ÑÑ ØÑ ØÙÕ Ø Ø ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ð Ø Ù Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ ØÑ Ñ ØÛÒ Ø Ù Ó ÓÖ ØÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ ÓÖ Ó ÛÒÓÙº ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ º ÈÖ Ø Û ØÓÒ ÒÛ Ø ÛÒÙÑ Ø ÔÓ (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab. Å Ñ ¹ Ð Ö Ô Ü ÔÓÙ Þ Ø Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò ÔÖÓØ ØÓÙ ÐÓÙ ³ Ò Ü Ô Ü Ø ³ º Ô Ø Ò ÈÖ Ø ³ ¾ (a + b) 2 = (a + b)b + a(a + b).

4 ¼ Ã ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï À ÏÅ ÌÊïÁ ÌÏÆ ÇÊÂÇ ÏÆïÁÏÆ ÐÐ Ô Ø Ò ÈÖ Ø ³ ÕÓÙÑ Ô (a + b)a = a 2 + ba, (a + b)b = ab + b 2. ³ Ö ÔÖÓ ÔØ ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓº Ç Ù Ð ØÓ Ð Ô Ö ÛÑ ØÖ º À Ô Ü Ò Ò ÓÐ ÐÐ Ñ ÐÐÓÒ ÕÓ ÒÓØ Ò º È Ö Ö Û ÔÛ ÈÖ Ø ³ Ò Ô Ö Ø Ø Ø Ò ÐÐ Ò ÆÓÑ Ñ Ø º È Ö Ø Ö Ø ØÓ ËÕ Ñ º ØÓ Ò Ñ Ñ Ø Ò ØÓÙ ¼¼ ÔºÉº Ô ÖÔÓÙº ÈÖ Ø ³ º Ò Ù Ö ÑÑ ØÑ Ò ØÑ Ñ Ø Ø Ø ØÓ ÖÓ Ñ ØÓÙ Ô Ö Õ Ñ ÒÓÙ Ø Ò ØÑ Ñ Ø Ø Ð Ù ÓÖ Ó ôò Ó ØÓÙ Ø ØÖ ô¹ ÒÓÙ Ø ÓÖ ØÛÒ Ò ÛÒ ØÛÒ ÛÒ ØÑ Ñ ØÛÒ Ò Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ ØÓÙ Ñ Ó Ø Ù º Ø Ò Ù ØÑ ØÑ Ñ Ø ØÓ Ò ØÑ Ñ Ø ØÓ Ð Û Ø ØÓ ÖÓ Ñ ØÓÙ ÓÖ Ó ÛÒÓÙ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ø ØÓÙ Ø ØÖ ôòóù Ø Ò Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø º ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ab + [(a + b)/2 b] 2 = [(a + b)/2] 2 º Ø Ò ÙÑ Ø ³ ÈÖ Ø ³ Ô Ö ØÓÙÑ Ñ ÒÓ ØÓ Õ Ñ ËÕ Ñ º µº À Ð Ø ÈÖ Ø Ò Ø Ü Ö º Ανκαι,εφαρμόζειτηνΠρότασηβ 6στουςαριθμούςστοΛήμματηςΠρότασηςι 28. ΟιπαλαιότερεςεκδόσειςτωνΣτοιχείωνπεριείχανκαιμίαάλληαπόδειξητηςΠρότασης β 4πουαποδίδεταιστονΘέωνατονΑλεξανδρέα. Ηαπόδειξηαυτήδιαφέρειελάχιστααπό τηνυπάρχουσα.

5 º¾º ÈÊÇÌï Ë ÁË ÌÇÍ Á ÄïÁÇÍ ï ½ ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ (2a + b)b + a 2 = (a + b) 2 º ËÕ Ð Ø ÈÖÓØ ³» º Ô Ö Ø Ö ÓÙÑ Ø Õ Ñ Ø º º ÓÙÑ b xº ³ÇÔÛ ÑÔÓÖÓ Ñ ÓÐ Ò Ó Ñ Ó ÈÖÓØ ³» ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ñ Ø Ö ¹ ØÓ Ò ÓÐ Ø Ü ô Ð Ø Ü ô ( ) 2 ( b b = 2 2 x ( ) 2 b (b + x)x + = 2 ) 2 + x(b x), ( ) 2 b 2 + x, ( ) 2 ( ) 2 b b x 2 bx + = 2 2 x, ( ) 2 ( ) 2 b b x 2 + bx + = x, ÒØ ØÓ Õ º Ð Ó ÈÖÓØ» Ñ ÕÒÓÙÒ Ø Ò ÙÖ ÓÐ Ü ÔÛ ÙÑ¹ ÔÐ ÖôÒ Ø ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓº Ç Ù Ð ÛÖ Ó Ü ÕÛÖ Ø Ô Ö ÔØô Ó Ò ÙÔ ÖÕÓÙÒ ÖÒ Ø Ñ Ñ º À ÙÑÔÐ ÖÛ ØÓÙ Ø ØÖ ô¹ ÒÓÙ Ò ØÓ ÔÖôØÓ Ñ Ø Ð Ø Ø ØÖ ÛÒ Ü Û ÔÛ ÐÓ Παρατηρείστεότιοιόροι x(b x)και (b+x)xδίδουντοαντίστοιχοεμβαδόντουγνώμονα.

6 ¾ Ã ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï À ÏÅ ÌÊïÁ ÌÏÆ ÇÊÂÇ ÏÆïÁÏÆ ÙÑ Ñ Ø Ô ØÓ ÕÓÐ Óº Ó Ñ Ø Ñ Ø x 2 + bx + c = 0, ( ) 2 ( ) 2 b b x 2 + bx + = c, 2 2 ( x + 2) b 2 ( ) 2 b = c. 2 ËØÓ Ô Ñ ÒÓ Ñ ÔÖ Ô Ò Ü Õ Ø ØÖ ÛÒ ÖÞ ØÓÙ ( b 2) 2 cº ÙØ Ü ÖØ Ø Ô ØÓ Ñ Ó ØÓ ÔÖ ÑÓ ØÓÙ c Ö Ô Ø ôö Ô ØÓÒ Ù Ð Ó ÓÔÓÓ Ò Õ ØÓ ÈÙ Ö Ó Â ôö Ñ Ø Õ Ö ØÓÙ Ò ÐÐ ÙØ ØÓ Ñ Ñ ÕÖ Ø Ò ÈÖ Ø ³ ¾ ÔÓÙ Ô Ð ØÓ Ñ ÙØ Ò ÔÛ ÖÙÑÑ ÒÓº ³ Ö ÐÓ Ô Ò Ò ÑÔÓÖÓ Ñ Ò Ñ Ð Ñ Ð Ø Ø ØÖ ÛÒ Ü Û ÓÒ ÓÖ Ø ÈÖÓØ ³» ÐÐ Ñ ÐÐÓÒ Ô ô ÒÛ ØôÒ Ð ÛÒº À ÈÖ Ø ³ Ô Õ Ø ÐÐ ÖÑ Ò º Â ØÓÙÑ x yº Ì Ø = x + y x y Ô Ö Ø Ö Ø Ø Õ Ø ÈÖ Ø ³ Ò (x + y)(x y) = x 2 y 2, Ç Ô Ñ Ò ÈÖÓØ ³ ¹½¼ Ò Ô Ö ÐÐ Ø Ñ Ø ØÛÒ ³ º Ã ¹ Ø Ô Ò Ó Ù Ð ØÖ Ø ØÖ ÓÖ Ø Þ Ø Ñ Ø ÈÖ Ø ³ ½½ Ò Ø Ò Ø Ù ØÓÙ ÒÓÒ Ó Ô ÒØ ôòóù ØÓ ÐÓ ³ Ó ÈÖÓØ ³ ½¾ ½ Ò ÓÙÒ ØÓ ÈÙ Ö Ó Â ôö Ñ Ø ÐÓ ÈÖ Ø ³ ½ Ò ÓÖÛÒ Ø ÓÐÓÙ ô ÕÓÐ Ø Ñ ØÓÒ Ø ØÖ ÛÒ Ñ ÔÓÐÙ ôòûòº ÈÖ Ø ³ ½½º Æ ØÑ Ó Ù ô Ø ØÓ Ô Ö Õ Ñ ÒÓ Ô Ð Ø Ò Ù Ò Ô Ø ØÑ Ñ Ø ÓÖ Ó ôò Ó Ò Ò Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ ØÓÙ ÐÓ ÔÓ ØÑ Ñ ØÓº ³ ØÛ Ó Ù ÔÖ Ô Ò ØÑ ô Ø ØÓ Ô Ö Õ Ñ ÒÓ Ô Ð Ø Ò Ù Ò Ô Ø ØÑ Ñ Ø ÓÖ Ó ôò Ó Ò Ò Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ ØÓÙ ÐÓ ÔÓ ØÑ Ñ ØÓº Ô Ü º ÒÓÙÑ Ø Ò Ô Ü Ñ Õ Ð º ØÓ Ñ Ñ Ó Â Ô ÒÛ Ø Ò Ø ØÓ Ó

7 º¾º ÈÊÇÌï Ë ÁË ÌÇÍ Á ÄïÁÇÍ ï ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ½½º ô Ø Â Â Âº ËØ Ò ÖÕ Ó Ù Ð Ô Ö Ö Ø Ò Ø Ù ØÓÙ Õ Ñ ØÓ Ø Ö ØÓ Ô Ø Ø ØÖ ÛÒÓ ØÓ ÕÓØÓÑ ØÓ Ñ Ó ÙÒ Ø Ô ØÓ ÓÔÓÓ Ò Ø ØÓ Ó ô Ø Ò Ñ Ø Ò ½¼ Ö Ô Ø Ò ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Â ½½ Ø ÀÂ Ô ØÓ Ãº Ä Û Ø Ø ÑÒ Ø ØÓ Â ô Ø ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó ÔÓÙ Ô Ö ÕÓÙÒ Ó Â Ò Ø Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Âº Å Ø Ò Ó Ø ÈÖ Ø ³ ØÓÙ ÈÙ ÓÖ ÓÙ Â ÛÖ Ñ ØÓ ³ ÕÒ Ø ØÓ Ñ Ó Â Õ Ø Ô ÙÑ Ø Ø Ø ΤοσημείοΘχωρίζειτοΑΒσεμέσοκαιάκρολόγο,δηλαδήείναιηχρυσήτομήτουΑΒ. Γιατηνχρυσήτομήκαιτιςτεράστιεςεπιπτώσειςτηςσταμαθηματικά,αλλάκαισεάλλες επιστήμες,δείτελ.χ.τηνιστοσελίδα τομή. Πρότασηα 46. Πρότασηα 10. ½¼ Πρότασηα 3. ½½ ΠάλιλόγωτηςΠρότασηςα 46.

8 Ã ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï À ÏÅ ÌÊïÁ ÌÏÆ ÇÊÂÇ ÏÆïÁÏÆ ËØ Ò ÕÓÙÑ Ø Ò Ø Ø Ø ³ Ø Ô Ù ÕÓØÓÑ Ø ØÓ ÔÖÓ Ø Ø ÙØ Ö ØÓ Ô Ö Õ Ñ ÒÓ Ô Ø ÓÖ Ó ôò Ó Ñ Þ Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ò Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ º ½¾ Ã Ø Ô Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Ø Ò ÙÔ ØÓ ÈºÂ À Ò Ñ Ø Ò Ö ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó ÔÓÙ Ô Ö ÕÓÙÒ Ó Ñ Þ Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ò Ó Ñ ØÓ ³Ø ØÖ ÛÒÓ Ø º ÐÐ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ Ò Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ø Ò ÓÖ ÛÒ ØÓ º ³ Ö ØÓ ÖÓ Ñ ÓÖ Ó ÛÒÓÙ ÔÓÙ Ô Ö ÕÓÙÒ Ó ØÓÙ Ø ØÖ ôòóù Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ º ÙØ ØôÖ ÙÒ Ô Ø ³ Ö ØÓ ÖÓ Ñ ØÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ô Ø ÓÖ Ó ÛÒÓÙ ØÓÙ Ø ØÖ ôòóù Ò Ó Ñ ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ º Ô Û Ô Ö Ø ÔÖ Ñ Ø ÒÓÒØ ÓÐ Ö ØÓ Ó Ò Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ö ÐÓ Ô Ò ØÓ Ô Ö Õ Ñ ÒÓ Ô Ø ÓÖ Ó ôò Ó Ò Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø º ÌÓ Ã Ò ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø Ô Ò Ñ Ø Àº ÌÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ò ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø º ³ Ö ØÓ Ã Ò Ó Ñ ØÓ Ö ØÓ Ó Ò Ãº ³ Ö ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Â Ò Ó Ñ ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó Â º Ã ØÓ Ñ Ò Â Ò ÙØÓ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ø Â Ó Ò Ñ Ø Ò ØÓ Â Ò ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Âº ³ Ö ØÓ Ô Ö Õ Ñ ÒÓ Ô Ø Â ÓÖ Ó ôò Ó Ò Ó Ñ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Âº ËÕ Ð Ó Ï ÙÒ Û Ó Ù Ð Ò Ñ Ð ÔÛ Ø Ø Ò Ø Ù ØÓÙ ÐÐ Ñ ÒÓ ôò Ø Ò Ð ØÓÙº Ø Ø Õ Ð Ø ³» µº ÔÓ Ð ÔØ ØÓ ÑÙ Ø ØÓÙ ÔÓÐ Ö Ø Ö Ø Ò Ø³ ¼º ½¾ Πρότασηβ 6.

9 º¾º ÈÊÇÌï Ë ÁË ÌÇÍ Á ÄïÁÇÍ ï ³ ØÛ b ØÓ Ó Ò ØÑ Ñ x ØÓ Ñ Ð Ø ÖÓ ÓÑÑ Ø ØÓÙº ÙÒ ³ ÕÓÙÑ Ø b(b x) = x 2, b 2 = x 2 + bx. Å Ø Ò ³ ØÓ ØÓ Ñ Ø Õ Ñ ØÞ Ø Ø Ò ( ) 2 ( b b 2 + = x + b 2, 2 2) ØÓ ÈºÂº Ñ Ò ØÑ Ñ d Ø ØÓ Ó ô Ø ( ) 2 ( b d 2 = b 2 + = x + b 2, 2 2) Ö x = d b, ÔÛ Ø Ù Ø º 2 ËØ Ò Ø³ ¼ ÙØ Ô Û Ò Ò ÛÑ ØÛÑ Ò Ø Ò Ò Ø Ð Ø ØÖ ÛÒ ôò ÔÖÓ Ð Ñ ØÛÒ Ø³ ¼º ÌÓ Ø Ø Ð ÙØ ÔÖ Ø Ü ØÓ ÔÛ Ö ÓÙÑ Ò Ñ Ó ô µ ÙÔ Ø ÔÖÓ ÙÔÓ Ø ³ º ÇÙ ¹ Ø ÙØ Ò Ø ÔÛ Ô Ö Ô ÒÛ Ñ Ø Ò Ó Ø ³ Ò Ø Ö Ø Ø Ñ Ø Ò Ò Ù Ø Ø³ ¾ º Ø ÑÛ ³ ½½ Ò Ò ÖÓÙ À ÈÖ Ø ³ Ò Ô Ö ØÓÙ ÒÓÒ Ó Ô ÒØ ôòóù Ñ ÔÐ ÙÖ x ôò Ó bº ÔÓ Ò Ø Ø b : x = x : (b x) Ð Ó Ò Ñ Ñ ÛÒ Ñ Ø Ò ÈÖ Ø Ø³ ½ b(b x) = x 2. Æ ÐÓ Ô Ò ØÓ ÓÙ Ø Ò Ñ Ø ³ ½½ Ò ÔÖÓ ÓÖ ÓÙÑ Ø Ò ÔÐ ÙÖ x Ò ÒÓÒ Ó Ô ÒØ ôòóù Ø Ò Ø ôò Ó bº Ç Ù Ð ØÓ ÔÓ¹ ÛÔ ÙØ ØÓ ÐÓ ³ ÐÐ ØÓ ÐÓ ³ ÔÓÙ Ø Ù Þ ØÓ Ô ÒØ ÛÒÓº ½ ½ Ημαθηματικήαλήθειαδενεξαρτάταιαπότακίνητρα.ΟΕυκλείδηςτοδίδαξεαυτόσεπολλέςγενεέςμαθηματικών.Τοναδιδάσκειςσεμίατάξηείναιτελείωςδιαφορετικό,βέβαια.Οι μαθητέςέχουνκάθεδικαίωμανακαταλαβαίνουντοπωςταειδικότεραβήματακατευθύνονται στοσυγκεκριμένοστόχο.

10 Ã ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï À ÏÅ ÌÊïÁ ÌÏÆ ÇÊÂÇ ÏÆïÁÏÆ Ç ÈÖÓØ ³ ½¾»½ Ò ÔÓÐ Ñ ÒØ Ñ Ö Ó Ò Ò ØÔÓØ ÐÐÓ Ô ØÓÒ Æ ÑÓ ØÛÒ ËÙÒ Ñ Ø ÒÛÒº ÅÓÐ Ø Ø Ø ËØÓ Õ Ô Ö ¹ Ø ÒØ Ò Ò ÖÓÒØ Ó Ø ÖÑ ÞÓÒØ ÔÓØ Ü Ò º ÈÖ Ø ³ ½¾º ËØ Ñ ÐÙ ôò ØÖ ÛÒ ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø ÔÐ ÙÖ ÔÓÙ ÙÔÓØ Ò Ø Ò Ñ¹ Ð ÛÒ Ò Ñ Ð Ø ÖÓ Ô ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ ÔÐ ÙÖôÒ ÔÓÙ Ô Ö ÕÓÙÒ Ø Ò Ñ Ð ÛÒ Ø Ó ÓÖ ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó ÔÓÙ Ô Ö Õ ¹ Ø Ô Ñ ØÛÒ ÔÐ ÙÖôÒ ÖÛ Ô Ø Ò Ñ Ð ÛÒ Ø Ò ÓÔÓ Ö Ø ØÓ Ô Ø Ò ÔÐ ÙÖ ÔÓÙ Ð Ñ Ò Ø ÜÛØ Ö ØÓÙ ØÖ ôòóù Ô Ø Ò ØÓ ÔÖÓ Ø Ò Ñ Ð ÛÒ º ³ ØÛ Ñ ÐÙ ôò Ó ØÖ ÛÒÓ ØÓ Ñ Ñ Ð ÛÒ Ø Ò Õ Ô ØÓ Ñ Ó ØÓ Ô Ø Ò º ½ Ä Û Ø ØÓ Ø ØÖ ÛÒÓ Ø Ò Ñ Ð Ø ÖÓ Ô ØÓ ÖÓ Ñ ØÛÒ Ø ØÖ ôòûò ØÛÒ Ø Ó ÓÖ ØÓ ÓÖ Ó ôò Ó ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ô Ø º ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ½¾º Æ ÑÓ ÙÒ Ñ Ø ÒÛÒ Ñ ÐÙ ôò ØÖ ÛÒ º Ô Ü º Ô ØÓ ÈÙ Ö Ó Â ôö Ñ ³ Ò º Ô ØÓ ÛÒÙÑ ôö Ñ ³ ¾ ½ Πρότασηα 12.

11 º¾º ÈÊÇÌï Ë ÁË ÌÇÍ Á ÄïÁÇÍ ï Ô³ ÔÓÙ ÔÖÓ ÔØ ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓº ËØ ÕÖÓÒ Ðô Ò Ò cos º Ô Ò Ñ Ð ØÓ ÙÒ ÑØÓÒÓ Ò ÖÒ Ø Ô Ö¹ ÒÓÙÑ ØÓ ÔÓØ Ð Ñ º ÈÖ Ø ³ ½ º ¹¾ cos º ½ Æ Ø Ù Ø Ø ØÖ ÛÒÓ Ó Ñ Ó Ò Ù Ö ÑÑÓ Õ Ñ º ³ ØÛ ØÓ Ó Ò Ù Ö ÑÑÓ Õ Ñ º Ø Ø Ò Ø Ù Ø Ø ØÖ ¹ ÛÒÓ Ó Ñ ØÓ º ½ ËÕ Ñ º ÈÖ Ø ³ ½ º Ì ØÖ ÛÒ Ñ Ø ØÖ ÔÐ ÖÓÙº Ô Ü º Ã Ø Ù Þ Ø ÓÖ Ó ôò Ó Ñ ÔÐ ÙÖ ÓÙ Ô Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ñ ØÓ º ½ Ò Ò Ø ØÖ ÛÒÓ ÕÓÙÑ Ø Ð ô º Ñ Ð Ø Ö Ô Ø Ò º ÐÐÛ ØÛ Ø Ò ½ ΟΝόμοςτωνΣυνημιτόνωνθαανεπτύσσετοσεπλήρηδύναμηπολύκαιρόμετάτονΕυκλείδη. ½ ΚατάτονΑριστοτέλησταμετάταΦυσικά,οτετραγωνισμόςορίζεταικαλύτεραωςη εύρεσητουμέσουανάλογου,παράτουτετραγώνουίσουπεριεχομένου. Καιαυτόδιότι,το πρώτοαναφέρετσιστηναιτίαενώτούστεροστοσυμπέρασμακαιμόνο. ½ Πρότασηα 45.

12 Ã ï Ä ÁÇ º Á ÄïÁÇ ï À ÏÅ ÌÊïÁ ÌÏÆ ÇÊÂÇ ÏÆïÁÏÆ Ô Ø ÒÓÙÑ Ø Ò ØÓ Ø ô Ø º ÕÓØÓÑÓ Ñ Ø Ò ØÓ À Ö ÓÙÑ ØÓ Ñ Ð Ó Â ÒØÖÓÙ Àº Ô Ø ÒÓÙÑ Ø Ò ØÓ Âº Á ÕÙÖ Þ Ñ Ø Ø Â 2 º ÈÖ Ñ Ø À 2 À 2 º ½ À À Ò Ñ Ø Ò ÀÂ Ô Ø Ù º ³ Ö À 2 ÀÂ 2 À 2 Â 2 º ½ ÖôÒØ ØÓ À 2 Ô Ø Ó Ð Ô Ö Ø ÖôÒØ Ø À ÔÖÓ ÔØ ØÓ Þ ØÓ Ñ ÒÓº ÌÓ Ô Ö Ô ÒÛ ôö Ñ Õ Ø Ò ØÓÙ Ü º Ò Ó ÓÔ Ø ÛÖ ÔÓÙ Ò ÔØ Õ Ø ³ ¹ Ñ Û Ø ³ ³ ÓÖÙ ô Ø Ò ³ ½ º Ò ÜÙÔ Ö Ø Ò Ò ÐÐÓ ÓÔ Ô ØÓ Ò Ñ Ø ô Ñ Ù Ö Ñ Ò Òô ÐÐ ô Ò Ô ÒØ Ñ Ñ ÒØ ÖôØ Ø ÛÖ ÐÐ Ø ÔÖ Ø ÙÒ Ñ º ½ Πρότασηβ 5. ½ Πρότασηα 47.

Σχετικά έγγραφα

Morganναδώσειμίαεναλλακτικήμέθοδο,αποδεικνύονταςπρώταότιηευθείαπουδιχοτομεί κάθεταμίαχορδήπεριέχειτοκέντροτουκύκλου. Παρ όλααυτά,καιαυτήημέθοδοςέχει

Morganναδώσειμίαεναλλακτικήμέθοδο,αποδεικνύονταςπρώταότιηευθείαπουδιχοτομεί κάθεταμίαχορδήπεριέχειτοκέντροτουκύκλου. Παρ όλααυτά,καιαυτήημέθοδοςέχει Ã Ð Ó ËØÓ Õ ÛÒ ÐÓ ³ È Ö ÐÓÙ º½ È Ö Õ Ñ Ò ØÓÙ ÐÓÙ ³ ÇÖ ÑÓ ½ ½½ ÈÖ Ø ½ ÈÛ Ö ÓÙÑ ØÓ ÒØÖÓ ØÓÙ ÐÓÙº ÈÖÓØ ¾ ½ ÉÓÖ ÐÓ Ø ÑÒ Ñ ÒÓ ÔØ Ñ ÒÓ º ÈÖÓØ ½ ½ ÔØ Ñ Ò º ÈÖÓØ ¾¼ ¾¾ ½ ÛÒ ØÑ Ñ Ø ÐÓÙ Ø ØÖ ÔÐ ÙÖ ÐÓÙº Ã ï Ä ÁÇ