ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΣΤΙΣ ΧΗΜΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΣΤΙΣ ΧΗΜΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ Νικόλαος Σ. Θωµαΐδης Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Τµήµα Χηµείας, Παν. Αθηνών 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΟΡΙΣΜΟΙ Oι χηµικές µετρήσεις χρησιµοποιούνται ως πηγή πληροφορίας για διάφορους σκοπούς και λήψη σηµαντικών αποφάσεων. Εποµένως, τα τελευταία χρόνια γίνεται ολοένα και περισσότερο κατανοητό από τους αναλυτικούς χηµικούς ότι το αποτέλεσµα µιας µέτρησης δεν µπορεί ουσιαστικά να αξιοποιηθεί αν δεν συνοδεύεται από µια κατάλληλη δήλωση της αβεβαιότητας του. Η EURACHEM ορίζει την αβεβαιότητα (uncertainty) ως «µια παράµετρο που συνδέεται µε το αποτέλεσµα µιας µέτρησης, η οποία χαρακτηρίζει την διασπορά των τιµών που λογικά µπορούν να αποδοθούν στο προσδιοριζόµενο συστατικό» [1]. Όταν η αβεβαιότητα εκφράζεται ως τυπική απόκλιση, τότε αναφέρεται ως τυπική αβεβαιότητα (standard uncertainty, u). Ως συνδυασµένη τυπική αβεβαιότητα (combined standard uncertainty, u c ) ορίζεται η αβεβαιότητα που προκύπτει από τον συνδυασµό των τυπικών αβεβαιοτήτων και δίνεται ως η τετραγωνική ρίζα του αθροίσµατος των τετραγώνων των τυπικών αβεβαιοτήτων κάθε συνιστώσας, σταθµισµένων ανάλογα µε το πώς το αποτέλεσµα της µέτρησης µεταβάλλεται από τις συνιστώσες. Η εκτεταµένη αβεβαιότητα (expanded uncertainty, U) χρησιµοποιείται συνήθως για να καλύψει τις απαιτήσεις των τελικών χρηστών της µέτρησης και εκφράζει ένα µεγαλύτερο διάστηµα από την συνδυασµένη τυπική αβεβαιότητα, στο οποίο η τιµή του µετρούµενου µεγέθους έχει µεγαλύτερη πιθανότητα να υπάρξει. Υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας τη συνδυασµένη αβεβαιότητα µε ένα συντελεστή κάλυψης (coverage factor) k, o οποίος λαµβάνει την τιµή στις χηµικές µετρήσεις και αντιστοιχεί σε επίπεδο εµπιστοσύνης περίπου 95%. Τα συστατικά της αβεβαιότητας χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, ανάλογα µε τη µέθοδο εκτίµησης τους. Η αβεβαιότητα τύπου Α εκτιµάται από µια σειρά επαναλαµβανόµενων µετρήσεων, χρησιµοποιώντας στατιστικές µεθόδους. Η αβεβαιότητα τύπου Β υπολογίζεται µε άλλες τεχνικές εκτός στατιστικής, όπως δεδοµένα από πιστοποιητικά διακριβώσεων, δεδοµένα προηγούµενων πειραµατικών µετρήσεων σε σχετικά µεγάλο χρονικό διάστηµα, εµπειρία και οποιαδήποτε άλλη σχετική πληροφορία.. ΤΑ ΝΕΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ IO/IEC 1705 Το νέο πρότυπο IO/IEC 1705 [], που ήδη εφαρµόζεται για τη διαπίστευση των εργαστηρίων δοκιµών και διακριβώσεων, απαιτεί πλέον την εκτίµηση της αβεβαιότητας των µετρήσεων. Συγκεκριµένα στην παράγραφο δίνει τις γενικές απαιτήσεις στο θέµα, όπως: 1. Θεωρεί δεδοµένη την εφαρµογή διαδικασίας για την εκτίµηση της αβεβαιότητας των µετρήσεων για όλες τις διακριβώσεις και τύπους διακριβώσεων (IO/IEC 1705, ). Αυτό ίσχυε και εφαρµοζόταν στα εργαστήρια διακριβώσεων και

2 πριν την εφαρµογή του IO/IEC Κύρια πηγή πληροφορίας για τον αυστηρά µετρολογικό υπολογισµό της αβεβαιότητας στις φυσικές µετρήσεις των εργαστηρίων διακρίβωσης ήταν και είναι ο οδηγός IO Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, γνωστός και ως GUM [3].. Για τα εργαστήρια δοκιµών, τονίζει ότι πρέπει να διαθέτουν και να εφαρµόζουν διαδικασίες για την εκτίµηση της αβεβαιότητας των µετρήσεων. Όµως διαφοροποιείται από την προηγούµενη τοποθέτηση στο ότι «σε ορισµένες περιπτώσεις η φύση της µεθόδου δοκιµής µπορεί να αποκλείει τον αυστηρό, µετρολογικό και στατιστικά έγκυρο υπολογισµό της αβεβαιότητας των µετρήσεων». Στις περιπτώσεις αυτές το εργαστήριο πρέπει να προσπαθήσει τουλάχιστον να εντοπίσει όλες τις πηγές αβεβαιότητας και να κάνει µια λογική εκτίµηση της αβεβαιότητας. Επίσης τονίζει ότι αυτή η λογική εκτίµηση πρέπει να χρησιµοποιεί προηγούµενη εµπειρία και δεδοµένα επικύρωσης (IO/IEC 1705, ). 3. Ειδικά για τα εργαστήρια δοκιµών αναφέρεται χαρακτηριστικά ότι ο βαθµός αυστηρότητας που χρειάζεται σε µια εκτίµηση της αβεβαιότητας των µετρήσεων εξαρτάται από παράγοντες όπως οι απαιτήσεις της µεθόδου δοκιµής (π.χ. ποιοτική ή ηµιποσοτική ή ποσοτική µέθοδος, εµπειρική (empirical) ή µη εµπειρική µέθοδος (non empirical or rational method)), οι απαιτήσεις του πελάτη και η ύπαρξη στενών ορίων στα οποία βασίζονται οι αποφάσεις για τη συµµόρφωση µε µια προδιαγραφή (IO/IEC 1705, , ΣΗΜΕΙΩΣΗ 1). H τελευταία δήλωση σηµαίνει ότι αν υπάρχουν όρια (ελάχιστο, µέγιστο ή περιοχή τιµών) στα οποία λαµβάνονται σηµαντικές αποφάσεις, τότε η αβεβαιότητα σε αυτό το όριο θα πρέπει να είναι όσο το δυνατό πιο αυστηρά υπολογισµένη και να περιλαµβάνει όλες τις δυνατές συνιστώσες που συνεισφέρουν στην τελική αβεβαιότητα. Αυτή η εργασία όµως έχει ως συνέπεια τον ποσοτικό πλέον εντοπισµό των κύριων πηγών της αβεβαιότητας και ως εκ τούτου τη λήψη ενεργειών για την ελαχιστοποίηση αυτών των πηγών και την βελτίωση της ποιότητας του τελικού αποτελέσµατος της µέτρησης. 4. Σε συµφωνία µε τα παραπάνω είναι και η απαίτηση του προτύπου να λαµβάνονται υπόψη όλες οι συνιστώσες της αβεβαιότητας που είναι σηµαντικές για τη δεδοµένη περίσταση (IO/IEC 1705, ). Το σηµαντικό στοιχείο που εξακολουθεί να υπάρχει στο IO/IEC 1705 είναι η διαφοροποίηση στην αντιµετώπιση µεταξύ µετρήσεων εργαστηρίων δοκιµών (κυρίως χηµικών και µικροβιολογικών) και εργαστηρίων διακριβώσεων (φυσικές µετρήσεις). Αυτή η διαφοροποίηση εξακολουθεί να υφίσταται γιατί σε πολλές περιπτώσεις ο αυστηρά µετρολογικός υπολογισµός της αβεβαιότητας, που διατυπώνεται στον οδηγό IO GUM [], είναι πολύ δύσκολο έως αδύνατο να εφαρµοστεί στις περισσότερες χηµικές µετρήσεις. Το πρότυπο IO/IEC 1705 επιτρέπει τη χρήση προσεγγίσεων για την εκτίµηση της αβεβαιότητας που δεν βασίζονται στην συστατικό προς συστατικό προσέγγιση του IO GUM («bottomup» προσέγγιση). Η EURACHEM στην προσπάθεια της να βοηθήσει τα χηµικά εργαστήρια να εκπληρώσουν τις απαιτήσεις του IO/IEC 1705, εξέδωσε την δεύτερη έκδοση του οδηγού Quantifying Uncertainty in Analytical Measurement [1]. Στον οδηγό αυτό τονίζεται ότι η αβεβαιότητα των χηµικών µετρήσεων θα πρέπει να συµπεριλαµβάνεται και να προκύπτει από τις υπάρχουσες διαδικασίες διασφάλισης ποιότητας. Η κύρια διαδικασία η οποία είναι οικεία στους αναλυτικούς χηµικούς

3 είναι η επικύρωση της µεθόδου. Ωστόσο τα παραδείγµατα που αναφέρονται στον οδηγό της EURACHEM δίνουν περισσότερο έµφαση στη «bottom-up» προσέγγιση από ότι σε αυτά που ο υπολογισµός της αβεβαιότητας προκύπτει από τα αποτελέσµατα της επικύρωσης της µεθόδου, επιτείνοντας ως ένα σηµείο τη σύγχυση και την αβεβαιότητα (!) µεταξύ των χηµικών [4,5]. Στην παρούσα εισήγηση γίνεται µια προσπάθεια να διευκρινιστούν τα στάδια που οδηγούν στον όσο το δυνατό µετρολογικά σωστό υπολογισµό της αβεβαιότητας χηµικών µετρήσεων, µε έµφαση στη χρήση δεδοµένων από την επικύρωση µιας µεθόδου και την καθηµερινή ορθή εργαστηριακή πρακτική. Σε κάθε περίπτωση υπολογισµού της αβεβαιότητας γίνεται προσπάθεια να παρατεθεί ένα παράδειγµα υπολογισµού. Οι δύο προσεγγίσεις χρησιµοποιούνται παράλληλα. Η µετρολογικά προτεινόµενη, αναλυτική περιγραφή των πηγών αβεβαιότητας, επιτρέπει τον εντοπισµό και την ποσοτικοποίηση των πηγών µε την µεγαλύτερη συνεισφορά. Αντίθετα η επικύρωση µιας µεθόδου επικεντρώνεται στα σφάλµατα που προκύπτουν από την αναλυτική πορεία, αλλά έχει την τάση να υποτιµά πηγές αβεβαιότητας µε σηµαντική συνεισφορά, όπως η δειγµατοληψία και ορισµένα στάδια προκατεργασίας [5]. 3. ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Όταν οι αναλυτικοί χηµικοί µετρούν τη συγκέντρωση µιας ουσίας σε ένα δείγµα, θα πρέπει να έχουν κατά νου ότι το ευρισκόµενο αποτέλεσµα είναι µόνο µια εκτίµηση της αληθούς τιµής. Το αποτέλεσµα της µέτρησης αποκλίνει από την πραγµατική τιµή εξαιτίας των συστηµατικών (σταθερών ή αναλογικών) και τυχαίων σφαλµάτων που αναπόφευκτα υπάρχουν. Αυτά µπορούν να διακριθούν στις εξής περιπτώσεις [6]: 1. Το συστηµατικό σφάλµα της µεθόδου (method bias).. Το συστηµατικό σφάλµα του εργαστηρίου (laboratory bias). 3. Το σφάλµα από δείγµα σε δείγµα (run error), το οποίο είναι τυχαίο σφάλµα, οφειλόµενο µεταξύ άλλων παραγόντων και στον παράγοντα χρόνο και συµπεριλαµβάνεται συνήθως στην ενδοεργαστηριακή αναπαραγωγιµότητα (ή ενδιάµεση επαναληψιµότητα, intermediate precision, όπως χαρακτηριστικά αναφέρεται στον IO GUM). 4. Το σφάλµα επαναληψιµότητας (reproducibility error), το οποίο είναι τυχαίο και προέρχεται από τις επαναληπτικές αναλύσεις ενός δείγµατος. Αυτή η λίστα είναι γνωστή και ως κλίµακα σφαλµάτων (ladder of errors) [4], διότι τα σφάλµατα κατατάσσονται ιεραρχικά: 1. Σφάλµατα από τη µέθοδο ως έχει,. Σφάλµατα από τη µέθοδο όπως εφαρµόζεται από ένα συγκεκριµένο εργαστήριο, 3. Σφάλµατα από τη µέθοδο όπως εφαρµόζεται από ένα συγκεκριµένο εργαστήριο, µια συγκεκριµένη µέρα, και τέλος 4. Σφάλµατα που προκύπτουν τη συγκεκριµένη µέρα για µια µέτρηση Η αβεβαιότητα συνδέεται άµεσα µε τα παραπάνω είδη σφαλµάτων και κατά τον υπολογισµό της πρέπει να λαµβάνονται υπόψη. Ωστόσο η εξής διευκρίνιση είναι απαραίτητη: Το σφάλµα είναι η διαφορά από την αληθή τιµή, ενώ η αβεβαιότητα είναι ένα εύρος στο οποίο βρίσκεται µε αξιοπιστία σε ένα επίπεδο εµπιστοσύνης η µέτρηση µας.

4 Τα τυχαία σφάλµατα προσδιορίζονται µε πειράµατα επαναληψιµότητας και δεν µπορούν να διορθωθούν, µπορούν όµως να µειωθούν αυξάνοντας τον αριθµό των µετρήσεων. Τα συστηµατικά σφάλµατα είναι δυσκολότερο να ποσοτικοποιηθούν. Το συστηµατικό σφάλµα της µεθόδου (method bias) αναφέρεται σαφώς σε κάποιο πρότυπο και το αποτέλεσµα τέτοιων µετρήσεων χρησιµοποιούνται για την επίτευξη ιχνηλασιµότητας. Τα βήµατα για την ποσοτικοποίηση των συστηµατικών σφαλµάτων περιλαµβάνουν συνήθως: 1. Ανάλυση πρότυπων υλικών αναφοράς που να προσοµοιάζουν το δείγµα (matrix certified reference materials, CRMs).. Σύγκριση της µεθόδου σε χρήση µε µια πρότυπη µέθοδο. 3. Πειράµατα ανακτήσεων. Είτε είναι σηµαντικό το συστηµατικό σφάλµα, είτε όχι (είτε δηλαδή γίνει διόρθωση των συστηµατικών σφαλµάτων των αποτελεσµάτων των µετρήσεων, είτε όχι), η αβεβαιότητα που προκύπτει από αυτά τα συστηµατικά σφάλµατα πρέπει να περιλαµβάνεται στον υπολογισµό της συνολικής αβεβαιότητας [1,5]. Οι πιθανές πηγές της αβεβαιότητας που συναντώνται στις χηµικές µετρήσεις προέρχονται συνήθως από τα παρακάτω στάδια της ανάλυσης (µε τις αντίστοιχες συνιστώσες αβεβαιότητας) [7]: 1. Ατελής ορισµός του προσδιοριζόµενου συστατικού (αποτυχία στο να οριστεί επακριβώς η µορφή του προσδιοριζόµενου συστατικού, παραδοχές που ενσωµατώνονται στη µέθοδο, αλλά δεν ορίζονται).. ειγµατοληψία (ανοµοιογένεια, σφάλµατα από την στρατηγική δειγµατοληψίας, αλλοίωση του δείγµατος κατά τη δειγµατοληψία κ.ά.). 3. Προκατεργασία δείγµατος (ατελής παραλαβή ή προσυγκέντρωση του προσδιοριζόµενου συστατικού, επιµόλυνση, παρεµποδίσεις, αβεβαιότητα στον ογκοµετρικό εξοπλισµό και στο ζυγό, ανεπαρκής γνώση της επίδρασης των περιβαλλοντικών συνθηκών). 4. Ανάλυση πιστοποιηµένων υλικών αναφοράς και σύγκριση τους µε το δείγµα (αβεβαιότητα της πιστοποιηµένης τιµής, διαφορά µήτρας του υλικού αναφοράς και του δείγµατος). 5. Βαθµονόµηση του οργάνου µέτρησης (αβεβαιότητα στις περιεκτικότητες προτύπων ουσιών και υλικών αναφοράς). 6. Τελική µέτρηση (παρεµποδίσεις, συστηµατικά σφάλµατα χειριστή, ανεπάρκεια οργάνου για τη συγκεκριµένη µέτρηση, όπως διακριτική ικανότητα, αδυναµία διόρθωσης υποβάθρου κ.ά.). 7. Επεξεργασία αποτελεσµάτων και παρουσίαση τους (αβεβαιότητα σε τιµές σταθερών που χρησιµοποιούνται στους υπολογισµούς, σηµαντικά ψηφία, στρογγυλοποίηση). 8. Ερµηνεία των αποτελεσµάτων Όπως ήδη τονίστηκε η επικύρωση της µεθόδου δίνει στοιχεία για την αβεβαιότητα από τα εξής τµήµατα της: 1. Ανάλυση δείγµατος υπό συνθήκες ενδοεργαστηριακής επαναληψιµότητας ή αναπαραγωγιµότητας. Στην πρώτη περίπτωση, στην οποία αναλύονται n δείγµατα την ίδια µέρα, η τυπική απόκλιση του µέσου όρου που προκύπτει, r, χρησιµοποιείται ως έχει στον υπολογισµό αβεβαιότητας. Στην περίπτωση χρήση της ενδοεργαστηριακής αναπαραγωγιµότητας, όπου αναλύονται m υποδείγµατα n φορές το καθένα σε m διαφορετικές ηµέρες, τότε στον

5 υπολογισµό της αβεβαιότητας χρησιµοποιείται η τυπική απόκλιση του µέσου όρου, που προκύπτει από την ανάλυση διακύµανσης (διακύµανση από δείγµα σε δείγµα), x / n. Από τέτοιες µελέτες µπορούν να προκύψουν και συµπεράσµατα για την οµοιογένεια του υλικού και έτσι να έχουµε µια εκτίµηση της αβεβαιότητας που προκύπτει από την δειγµατοληψία ή την υποδειγµατοληψία στο εργαστήριο.. Ανάλυση πιστοποιηµένων υλικών αναφοράς (CRM). Το συνολικό συστηµατικό σφάλµα µιας µεθόδου και του εργαστηρίου που την χρησιµοποιεί (method bias + laboratory bias) εκτιµάται µε την ανάλυση πιστοποιηµένων υλικών αναφοράς υπό συνθήκες επαναληψιµότητας. Η τρόπος αυτός έχει αποδειχθεί ότι δίνει την καλύτερη εκτίµηση αβεβαιότητας, διότι πληροφορεί για την συνδυαστική δράση πολλών πηγών της. Η συνολική αβεβαιότητα αυτού του σταδίου είναι ο συνδυασµός της τυπικής απόκλισης του µέσου όρου n προσδιορισµών και της τυπικής αβεβαιότητας της «αληθούς τιµής» του CRM που παρέχεται στο πιστοποιητικό του (συνήθως ως εύρος σε επίπεδο εµπιστοσύνης 95%). 3. Καµπύλη βαθµονόµησης. Η πιο συνηθισµένη περίπτωση (και η ενδεικνυόµενη) είναι η χρήση γραµµικής καµπύλης αναφοράς για τον προσδιορισµό της άγνωστης συγκέντρωσης ενός δείγµατος. Η αβεβαιότητα στην συγκέντρωση προκύπτει από την εξίσωση του σφάλµατος της συγκέντρωσης χρησιµοποιώντας γραµµή παλινδρόµησης. Σχετικό παράδειγµα δίνεται παρακάτω. 4. Ανθεκτικότητα της µεθόδου (robustness). Από τα πειράµατα ανθεκτικότητας και κατά τη βελτιστοποίηση της µεθόδου, µελετάται η επίδραση διαφόρων παραµέτρων, όπως π.χ. η θερµοκρασία ενός σταδίου, η ποσότητα ενός οξέος ή διαλύτη και οποιαδήποτε άλλη παράµετρος επηρεάζει το τελικό αποτέλεσµα. Τα αποτελέσµατα τέτοιων πειραµάτων µπορούν να χρησιµοποιηθούν για τον υπολογισµό της αβεβαιότητας που σχετίζεται µε την παράµετρο που µεταβάλλεται. 5. Εκλεκτικότητα (selectivity). Κάτι ανάλογο συµβαίνει και στα πειράµατα εκλεκτικότητας, όπου µελετάται η επίδραση διαφόρων παρεµποδιστών στο αποτέλεσµα του προσδιορισµού. Τα αποτελέσµατα τέτοιων πειραµάτων µπορούν να χρησιµοποιηθούν για τον υπολογισµό της αβεβαιότητας που σχετίζεται µε τον πιθανό παρεµποδιστή που µεταβάλλεται. Έχοντας προσδιορίσει κάθε πιθανή συνιστώσα της συνολικής αβεβαιότητας, το επόµενο βήµα είναι να ποσοτικοποιηθεί (επακριβώς ή προσεγγιστικά) κάθε µια από αυτές τις πηγές ως τυπική απόκλιση. Είναι πιθανό να µπορούµε να ποσοτικοποιήσουµε κάθε συνιστώσα ξεχωριστά, αλλά στην πράξη συχνά προσδιορίζουµε µια συνολική συνιστώσα που συσχετίζεται µε διάφορες πηγές αβεβαιότητας. Κάποια από τα συστατικά που αναφέρθηκαν είναι τύπου Α και προσδιορίζονται ως η τυπική απόκλιση µια σειράς µετρήσεων, ενώ κάποια άλλα συστατικά είναι τύπου Β και προσδιορίζονται ως τυπικές αποκλίσεις ή σχετικές τυπικές αποκλίσεις από πιστοποιητικά διακριβώσεων, υλικών αναφοράς, προδιαγραφές κατασκευαστή, ή ακόµα και από εκτίµηση του αναλυτή από προηγούµενη εµπειρία µε το χρησιµοποιούµενο υλικό ή όργανο. 4. ΠΟΡΕΙΑ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ

6 Ο οδηγός της EURACHEM περιλαµβάνει τα εξής στάδια εκτίµησης της αβεβαιότητας: 1. Προδιαγραφή του µετρούµενου συστατικού.. Ταυτοποίηση των πηγών αβεβαιότητας 3. Ποσοτικοποίηση της τυπικής αβεβαιότητας κάθε πηγής 4. Υπολογισµός της συνδυασµένης αβεβαιότητας Στον οδηγό [1] δίνονται οι απαραίτητες λεπτοµέρειες κάθε βήµατος. Στην παρούσα εισήγηση θα αναφερθούµε στο κάθε βήµα ξεχωριστά µε έµφαση σε κάποιες απαραίτητες διευκρινήσεις και µε συγκεκριµένα παραδείγµατα καταγραφής των πηγών και του υπολογισµού τους Προδιαγραφή του µετρούµενου συστατικού. Στην πράξη σηµαίνει καταγραφή µε σαφήνεια του τι ακριβώς µετρείται και διατύπωση µιας ποσοτικής σχέσης µεταξύ της συγκέντρωσης του προσδιοριζόµενου συστατικού και των παραµέτρων από τους οποίους υπολογίζεται ή εξαρτάται. Ιδιαίτερη σηµασία έχει το είδος της µεθόδου που χρησιµοποιείται. Στις εµπειρικές µεθόδους, η ίδια η χρησιµοποιούµενη µέθοδος καθορίζει τον ορισµό του προσδιοριζόµενου συστατικού: π.χ. προσδιορισµός απελευθέρωσης Cd από ιζήµατα µε διαδοχικές εκχυλίσεις (sequential extractions) και AA. Αντίθετα στις µη εµπειρικές µεθόδους το προσδιοριζόµενο συστατικό είναι ανεξάρτητο από το είδος της τεχνικής που χρησιµοποιείται: π.χ. προσδιορισµός ολικού Cd σε ιζήµατα µε AA. Για τον προσδιορισµό µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε οποιαδήποτε τεχνική ενόργανης ανάλυσης, όµως ο ορισµός του προσδιοριζόµενου στοιχείου δεν αλλάζει. Όπου είναι εφικτό περιλαµβάνονται συντελεστές διόρθωσης (για ανακτήσεις, καθαρότητα αντιδραστηρίων, οµοιογένεια υλικού), ώστε να συµπεριληφθεί η αβεβαιότητας του στο τελικό υπολογισµό. Η τελική σχέση υπολογισµού του προσδιοριζόµενου συστατικού πρέπει να περιλαµβάνεται αναλυτικά στη σχετική τυποποιηµένη διαδικασία λειτουργίας της µεθόδου (OP). Παράδειγµα Έστω ότι προσδιορίζεται η περιεκτικότητα του ολικού Cd σε ένα δείγµα ιζήµατος µε φασµατοµετρία ατοµικής απορρόφησης µετά από χώνευση. H εξίσωση που δίνει την περιεκτικότητα του Cd είναι: C V [ Cd] = m (1) όπου C: η συγκέντρωση στο τελικό διάλυµα, προσδιοριζόµενη µε χρήση καµπύλης αναφοράς V: ο όγκος του τελικού διαλύµατος µετά τη χώνευση, και m: η µάζα ιζήµατος που χωνεύτηκε Η αβεβαιότητα στην περιεκτικότητα του Cd, u Cd, είναι αποτέλεσµα της αβεβαιότητας στον προσδιορισµό της συγκέντρωσης, u(c), του όγκου, u(v) και της µάζας, u(m). Αν στον υπολογισµό της αβεβαιότητας συµπεριληφθούν π.χ. η αβεβαιότητα δειγµατοληψίας (πειράµατα ανοµοιογένειας) και η αβεβαιότητα ανάκτησης, τότε

7 στην εξίσωση (1) περιλαµβάνονται και οι αντίστοιχοι συντελεστές διόρθωσης, F HOM και F rec : C V F HOM [ Cd ] = () m Frec Ακόµη και στην περίπτωση που οι συντελεστές αυτοί είναι µονάδα (δηλαδή δεν απαιτείται διόρθωση), οι αβεβαιότητες που προέρχονται από αυτές τις πηγές µπορούν να συµπεριληφθούν στον τελικό υπολογισµό της αβεβαιότητας, αν είναι της ίδιας τάξης µε την αβεβαιότητα την προερχόµενη από τα τυχαία σφάλµατα. 4.. Ταυτοποίηση των πηγών αβεβαιότητας Για κάθε παράµετρο στη σχέση () δηµιουργείται ένας κατάλογος από τις πιθανές πηγές αβεβαιότητας, όπως ήδη έχει αναφερθεί στην παράγραφο 3. Στον κατάλογο αυτό θα περιλαµβάνονται και πηγές αβεβαιότητας παραµέτρων που δεν εµφανίζονται στην εξίσωση υπολογισµού του προσδιοριζόµενου συστατικού. Στη συνέχεια είναι δυνατό να κατασκευαστεί ένα διάγραµµα «αιτίας-αποτελέσµατος» (cause and effect diagram) στο οποίο θα περιλαµβάνονται όλες οι πηγές αβεβαιότητας του καταλόγου. Αν και το διάγραµµα αυτό είναι προαιρετικό, διευκολύνει στο να συγχωνευτούν οι πηγές που επηρεάζουν πολλές παραµέτρους. Ως παράδειγµα η επαναληψιµότητα εµφανίζεται ως πηγή αβεβαιότητας στον ογκοµετρικό εξοπλισµό, στην ζύγιση και στον προσδιορισµό της συγκέντρωσης. Εποµένως η επαναληψιµότητα είναι µια ξεχωριστή πηγή αβεβαιότητας που περιλαµβάνει µια οµάδα συστατικών και εκτιµάται ξεχωριστά. 4.. Ποσοτικοποίηση της τυπικής αβεβαιότητας κάθε πηγής Στο στάδιο αυτό υπολογίζεται η αβεβαιότητα κάθε συστατικού και εκφράζεται ως τυπική απόκλιση ή σχετική τυπική απόκλιση. Μερικές από τις σηµαντικότερες περιπτώσεις αναφέρονται παρακάτω Υπολογισµός αβεβαιότητας από στοιχεία ανάπτυξης in-house µεθόδου και στοιχεία επικύρωσης της µεθόδου Κατά την ανάπτυξη και επικύρωση µιας µεθόδου πραγµατοποιούνται σειρά πειραµάτων επαναληψιµότητας, ενδοεργαστηριακής αναπαραγωγιµότητας, ανάλυσης υλικών αναφοράς, σύγκρισης της µεθόδου σε χρήση µε µια πρότυπη µέθοδο, ανακτήσεων και δοκιµές οµοιογένειας για τη διερεύνηση αντιπροσωπευτικής δειγµατοληψίας. Τα δεδοµένα που προκύπτουν µπορούν να χρησιµοποιηθούν και για τον υπολογισµό της αβεβαιότητας. Μελέτη υπολογισµού τυχαίων σφαλµάτων Συνήθως χρησιµοποιούνται τα αποτελέσµατα ανάλυσης δείγµατος υπό συνθήκες ενδοεργαστηριακής αναπαραγωγιµότητας. H απλούστερη περίπτωση είναι ο προσδιορισµός του συστατικού n φορές την ίδια µέρα (υπό συνθήκες επαναληψιµότητας) και η σχετική τυπική απόκλιση του, RD r, χρησιµοποιείται στον υπολογισµό της συνδυασµένης αβεβαιότητας ως έχει.

8 Όµως τα πειράµατα αναπαραγωγιµότητας µπορούν, αν σχεδιαστούν κατάλληλα, να δώσουν περισσότερες πληροφορίες από την εκτίµηση των τυχαίων σφαλµάτων. Τέτοιες πληροφορίες είναι η χρονική σταθερότητα του δείγµατος και η οµοιογένεια του, καθώς και η αβεβαιότητα κατά την υποδειγµατοληψία στο εργαστήριο. Σε τέτοια πειράµατα συνήθως αναλύονται m υποδείγµατα n φορές το καθένα σε m διαφορετικές ηµέρες. Κάθε ηµέρα προκύπτει µια µέση τιµή, X και η r,i. Η συνολική διακύµανση του δείγµατος (within- αντίστοιχη διακύµανση της, sample variance), ηµερών και είναι το µέτρο των τυχαίων σφαλµάτων. Η εξίσωση [8]: o, είναι ο µέσος όρος των επιµέρους διακυµάνσεων, o = ( X ij X i ) / m( n 1) (3) Η µέση τιµή, X, των µέσων τιµών κάθε µέρας, η οποία θα δίνεται από την εξίσωση: i j = n (4) x o / και θα χρησιµοποιείται στον υπολογισµό της τυπικής αβεβαιότητας. i r,i, των m o δίνεται επίσης από την X i, θα έχει διακύµανση,, x Παράδειγµα Κατά την επικύρωση µεθόδου προσδιορισµού Cd σε δείγµατα PVC µετά από χώνευση µε οξέα και µέτρηση µε φασµατοµετρία ατοµικής απορρόφησης σε φλόγα (AA), πραγµατοποιούνται προσδιορισµοί ενός δείγµατος µε περιεκτικότητα 118 mg/kg εις τετραπλούν (n=4) καθηµερινά για πέντε (m=5) διαφορετικές µέρες. Τα αποτελέσµατα παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα: X 1 X X 3 X 4 X i r,i 1 η µέρα η µέρα η µέρα η µέρα η µέρα Συνολική µέση τιµή, X και η συνολική διακύµανση του δείγµατος, Εποµένως η τυπική απόκλιση της συνολικής µέσης τιµής είναι: o x = / n = 1.16 mg/kg o και η σχετική τυπική αβεβαιότητα που θα χρησιµοποιηθεί για τον υπολογισµό της συνδυασµένης αβεβαιότητας είναι:

9 RD r = X x = Μελέτη υπολογισµού συστηµατικών σφαλµάτων Υπολογισµός αβεβαιότητας από χρήση πιστοποιηµένων υλικών αναφοράς Στην περίπτωση αυτή αναλύεται υλικό αναφοράς n φορές και προσδιορίζεται ο µέσος όρος X της περιεκτικότητας και η τυπική της απόκλιση r. Κατόπιν ο X συγκρίνεται µε την «αληθή τιµή», µ, του CRM µε τη δοκιµασία t για να διαπιστωθεί η ύπαρξη ή µη, στατιστικά σηµαντικής διαφοράς: ( X µ) t = r n Όπως ήδη έχει αναφερθεί η συνολική αβεβαιότητα, u bias, αυτού του σταδίου είναι ο συνδυασµός της τυπικής απόκλισης, r / n, του µέσου όρου, X, n προσδιορισµών υπό συνθήκες αναπαραγωγιµότητας και της τυπικής αβεβαιότητας, u CRM, της «αληθούς τιµής» του CRM, µ, που δίνεται στο πιστοποιητικό του. Συνήθως στο πιστοποιητικό δίνεται το εύρος, a, που κυµαίνεται το µ, σε επίπεδο εµπιστοσύνης 95%, εποµένως η u CRM θα είναι α/. Παράδειγµα Για τον προσδιορισµό Cd σε πολυαιθυλένιο, πραγµατοποιούνται έξι (n=6) προσδιορισµοί υλικού αναφοράς µε πιστοποιηµένη περιεκτικότητα σε Cd 197,9±4,8 mg/kg (95%). Οι προσδιορισµοί δίνουν τα παρακάτω αποτελέσµατα: Προσδιορισµοί (6 διαφορετικές µέρες) Χ 1 Χ Χ 3 Χ 4 Χ 5 Χ 6 X r RD r (mg/kg) (%) Από την ανάλυση CRM υπολογίζουµε και το συντελεστή διόρθωσης για τυχόν συστηµατικά σφάλµατα (ή συντελεστής διόρθωσης για την ανάκτηση), F rec, (βλ. εξίσωση ()), ο οποίος ορίζεται ως το πηλίκο της ευρισκόµενης περιεκτικότητας X προς την «αληθή τιµή, µ. Από την εφαρµογή της δοκιµασίας t στα παραπάνω δεδοµένα προκύπτει ότι οι µέσοι όροι X και µ, δεν διαφέρουν στατιστικά (t=1.14<.57=t crit, για n-1=5 βαθµούς ελευθερίας σε επίπεδο 95%), εποµένως ο συντελεστής διόρθωσης F rec, µπορεί να θεωρηθεί 1,0. Όµως η αβεβαιότητα του µπορεί να συµπεριληφθεί στη συνολική αβεβαιότητα, αφού είναι της ίδιας τάξης µε την τυπική απόκλιση των πειραµάτων ποσοτικοποίησης των τυχαίων σφαλµάτων. H τυπική αβεβαιότητα, u CRM, της «αληθούς τιµής» του CRM από το πιστοποιητικό είναι: u CRM = α/ = 4.8/ =.4 mg/kg εποµένως η συνολική αβεβαιότητα, u bias, θα είναι:

10 u = u + r = bias CRM =.6 mg/kg n 6 Υπολογισµός αβεβαιότητας από σύγκριση της µεθόδου σε χρήση µε πρότυπη µέθοδο αναφοράς Αν πιστοποιηµένα υλικά αναφοράς δεν είναι διαθέσιµα, τότε το συστηµατικό σφάλµα της µεθόδου µπορεί να ελεγχθεί µε σύγκριση της µε µια πρότυπη µέθοδο αναφοράς. Έστω ότι συγκρίνουµε δύο µεθόδους: η 1 η δίνει µέσο όρο Χ 1 µε τυπική απόκλιση 1 για n 1 προσδιορισµούς, ενώ η η δίνει αντίστοιχα µέσο όρο Χ, µε τυπική απόκλιση για n προσδιορισµούς. Αν οι δύο σειρές µετρήσεων έχουν τυπικές αποκλίσεις που δεν διαφέρουν σηµαντικά (ελέγχεται εφαρµόζοντας την δοκιµασία F [8]), τότε υπολογίζεται η συνολική τυπική απόκλιση (pooled standard deviation), p,: ( n1 1) 1 + ( n 1) P = (5) ( n + n ) 1 και υπολογίζεται η παράµετρος t για να διαπιστωθεί η ύπαρξη ή µη στατιστικής διαφοράς συνήθως σε επίπεδο σηµαντικότητας 95%: t ( X 1 = (6) X 1 n P + 1 ) 1 n όπου το t έχει n 1 +n - βαθµούς ελευθερίας. Ωστόσο από την παραπάνω σχέση παρατηρούµε ότι η διαφορά των µέσων όρων συγκρίνεται µε τον όρο 1 1 n + P 1 n, o οποίος αντιπροσωπεύει την συνεισφορά στην αβεβαιότητα τη σχετική µε τα συστηµατικά σφάλµατα της µεθόδου, u bias. Παράδειγµα Μια µέθοδος σε χρήση (µέθοδος 1) που προσδιορίζει τη συγκέντρωση του e, συγκρίνεται µε µια πρότυπη µέθοδο (µέθοδος ). Τα αποτελέσµατα για κάθε µέθοδο σε mg/kg είναι [1]: X r n Mέθοδος Mέθοδος H συνολική τυπική απόκλιση σύµφωνα µε την εξίσωση (5) είναι: P =.05 Ενώ το t σύµφωνα µε την εξίσωση (6) είναι: t = 0.46

11 To t crit για 8 βαθµούς ελευθερίας είναι.3, δηλαδή t crit > t, οι µέσοι όροι των δύο σειρών αποτελεσµάτων δεν διαφέρουν στατιστικά, δηλαδή η µέθοδος 1 έχει στατιστικά µηδενικό συστηµατικό σφάλµα. Η αβεβαιότητα όµως που συνδέεται µε αυτό µπορεί να συµπεριληφθεί στη συνολική αβεβαιότητα, άρα σύµφωνα µε τα παραπάνω: 1 1 ubias = P + = 1.4 mg/kg n n 1 Υπολογισµός αβεβαιότητας από πειράµατα ανακτήσεων Τα συστηµατικά σφάλµατα της µεθόδου ελέγχονται και µε πειράµατα ανάκτησης. Η ανάκτηση, R, υπολογίζεται από n ανεξάρτητους προσδιορισµούς και υπολογίζεται η µέση ανάκτηση, R, µαζί µε την τυπική της απόκλιση, r. H περίπτωση αυτή αντιµετωπίζεται όπως στην ανάλυση CRM, δηλαδή η προσδιορισθείσα R συγκρίνεται µε την θεωρητική ανάκτηση 1,0 (ανάκτηση 100%, στην περίπτωση που η µέθοδος δεν έχει συστηµατικό σφάλµα) µε δοκιµασία t και η αβεβαιότητα η σχετική µε τα συστηµατικά σφάλµατα της µεθόδου, u bias, είναι r. Παράδειγµα Κατά την ανάπτυξη µεθόδου προσδιορισµού του υφαλοχρώµατος Irgarol 1051 σε θαλασσινό νερό, πραγµατοποιήθηκαν πειράµατα ανάκτησης, στα οποία εµβολιάστηκαν µε 10 µg/l της ουσίας έξι (n=6) τυφλά δείγµατα θαλασσινού νερού (µε µη ανιχνεύσιµη ποσότητα Irgarol 1051), ακολουθήθηκε η πορεία εκχύλιση στερεής φάσης και προσδιορίστηκαν οι συγκεντρώσεις στα τελικά εκλούσµατα µε HPLC. Τα αποτελέσµατα δίνονται στον παρακάτω πίνακα: n R r X (µg/l) R Από την εφαρµογή της δοκιµασίας t στα παραπάνω δεδοµένα προκύπτει ότι η ανάκτηση R διαφέρει στατιστικά από την µονάδα (1.0) (t=16.3>>.57=t crit, για n-1=5 βαθµούς ελευθερίας σε επίπεδο 95%), εποµένως ο συντελεστής διόρθωσης F rec, µπορεί να θεωρηθεί ίσος µε 0,90. Αν θα γίνει ή όχι διόρθωση των τελικών αποτελεσµάτων προσδιορισµού αυτό είναι στην κρίση του αναλυτικού χηµικού που χρησιµοποιεί τη µέθοδο. Σε κάθε περίπτωση, ότι και αν αποφασιστεί, θα πρέπει να περιλαµβάνεται στον ορισµό του προσδιοριζόµενου συστατικού (Βήµα 1, 4.1). Αν περιληφθεί στον ορισµό τότε η αβεβαιότητα του πρέπει να συµπεριληφθεί στη συνολική αβεβαιότητα: u bias = r =0, Υπολογισµός αβεβαιότητας, u C, προσδιοριζόµενης συγκέντρωσης C από γραµµική καµπύλη αναφοράς Συνήθως για τον προσδιορισµό της συγκέντρωσης C άγνωστου δείγµατος, απαιτείται κατασκευή καµπύλης αναφοράς µε εξίσωση y = a + bx. Η τυπική αβεβαιότητα, u C, στην προσδιοριζόµενη συγκέντρωση δίνεται από τη εξίσωση [8]:

12 1 y x 1 1 ( y ) o y u C = + + b m n b ( xi x) (7) i όπου b: η κλίση της καµπύλης αναφοράς n: ο αριθµός των προτύπων διαλυµάτων που χρησιµοποιήθηκαν για την κατασκευή της καµπύλης αναφοράς m: ο αριθµός των επαναλήψεων κατά τη µέτρηση του άγνωστου δείγµατος y o : o µέσος όρος των αποκρίσεων αυτών των επαναλήψεων y : ο µέσος όρος των αποκρίσεων των προτύπων διαλυµάτων x i : η συγκέντρωση κάθε πρότυπου διαλύµατος x : ο µέσος όρος των συγκεντρώσεων των προτύπων διαλυµάτων, και y x : η τυπική απόκλιση των τιµών y που προκύπτουν από την γραµµική συσχέτιση και δίνεται από τη σχέση: 1 ( y ˆ) i y i y x = (8) n Παρατηρούµε ότι η τελευταία εξίσωση χρησιµοποιεί τα y-υπόλοιπα (y-residuals), y i yˆ, τα οποία υπολογίζονται από τα περισσότερα στατιστικά λογισµικά. Σηµειωτέον, ότι ο όρος ŷ είναι η προβλεπόµενη τιµή y από την εξίσωση παλινδρόµησης για x τις συγκεντρώσεις των πρότυπων διαλυµάτων. Παράδειγµα Κατά τον προσδιορισµό Cd σε δείγµα PVC µετά από χώνευση µε οξέα και µέτρηση µε AA, κατασκευάστηκε καµπύλη αναφοράς µε χρήση πρότυπων διαλυµάτων (n=4), µε συγκεντρώσεις (x i ) 0.50, 1.00, 1.50 και.00 mg/l και καταγράφηκαν οι αντίστοιχες απορροφήσεις (y i ): x i (mg/l) y i Η εξίσωση της γραµµικής παλινδρόµησης µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων δίνει: y i = x i, µε συντελεστή συσχέτισης r= Κατασκευάζονται οι πίνακες:

13 y i ŷ yˆ y i ( y i yˆ) E E E E-06 ( y i yˆ) =.7E-05 i y =0.195 = y x x i (mg/l) ( x i x) x = 1.5 ( x i x) = 1.5 i Στη συνέχεια µετράµε το διάλυµα του άγνωστου δείγµατος πέντε φορές (m=5) και ο µέσος όρος των απορροφήσεων είναι y o = Από την εξίσωση της καµπύλης αναφοράς, για y o =0.106 προκύπτει C = 0.64 mg/l. Η αβεβαιότητα στην συγκέντρωση που προσδιορίστηκε προκύπτει από την εφαρµογή της εξίσωσης (7) και είναι: y x 1 1 ( yo y) u C = + + = mg/l b m n b ( xi x) i Υπολογισµός αβεβαιοτήτων τύπου Β Όπως ήδη έχει τονιστεί η αβεβαιότητα τύπου Β υπολογίζεται µε άλλες τεχνικές εκτός στατιστικής, όπως δεδοµένα από πιστοποιητικά διακριβώσεων, δεδοµένα προηγούµενων πειραµατικών µετρήσεων σε σχετικά µεγάλο χρονικό διάστηµα, εµπειρία και οποιαδήποτε άλλη σχετική πληροφορία. Συνήθως αυτά τα δεδοµένα θα έχουν τη µορφή εύρους ±α, από το οποίο θα πρέπει να υπολογίσουµε µια τυπική απόκλιση. Αυτό γίνεται όταν αναγνωρίσουµε την πιθανή κατανοµή που έχουν οι τιµές του µεγέθους του οποίου την αβεβαιότητα θέλουµε να υπολογίσουµε. Οι κατανοµές που συναντούµε είναι τριών ειδών: 1. Κανονική κατανοµή: Η τυπική απόκλιση υπολογίζεται από το εύρος διαιρώντας µε ένα αριθµό, ανάλογα το επίπεδο εµπιστοσύνης που ορίζεται. Στην Αναλυτική Χηµεία συνήθως δίνονται τα αποτελέσµατα σε επίπεδο

14 εµπιστοσύνης 95%, οπότε το εύρος διαιρείται µε τον αριθµό. Αυτό το παράδειγµα συναντήσαµε στον υπολογισµό της αβεβαιότητας από το εύρος που συνοδεύει την πιστοποιηµένη τιµή µιας παραµέτρου ενός υλικού αναφοράς ( 4..1).. Τετραγωνική κατανοµή: Όταν το πιστοποιητικό διακρίβωσης δίνει το εύρος ±α, χωρίς να ορίζει επίπεδο εµπιστοσύνης (π.χ. 5 ml ± 0.05 ml), τότε η αβεβαιότητα της τιµής δίνεται από τη σχέση u(x)=α/ 3. Το ίδιο µπορεί να χρησιµοποιηθεί και στην περίπτωση εκτίµηση ενός εύρους ή µιας µέγιστης περιοχής τιµών, χωρίς να υπάρχει γνώση του είδους της κατανοµής. 3. Τριγωνική κατανοµή: Στην περίπτωση που γνωρίζουµε ότι οι τιµές ενός µεγέθους είναι πιθανότερο να κυµαίνονται γύρω από το µέσο όρο και σπάνια να λαµβάνουν ακραίες τιµές, τότε υποθέτουµε ότι η κατανοµή είναι τριγωνική και η αβεβαιότητα υπολογίζεται από τη σχέση u(x)=α/ 6. Οι συνηθέστερες περιπτώσεις τύπου Β που συναντώνται κατά την εκτίµηση της αβεβαιότητας χηµικών µετρήσεων είναι οι αβεβαιότητες σε µετρήσεις όγκου και µάζας. Υπολογισµός αβεβαιότητας σε µετρήσεις όγκου Η αβεβαιότητα σε µετρήσεις όγκου έχει τρία συστατικά: 1. Αβεβαιότητα από την ανοχή που δίνει ο κατασκευαστής στο πιστοποιητικό διακρίβωσης. Επειδή δεν δηλώνεται το επίπεδο εµπιστοσύνης, θεωρείται ότι η κατανοµή είναι τριγωνική και η αβεβαιότητα δίνεται ως u(x)=α/ 3.. Αβεβαιότητα από τη διακύµανση κατά το γέµισµα µέχρι τη χαραγή. Υπολογίζεται µε επαναληπτικά πειράµατα γέµισης ζύγισης (π.χ. για n=10) και το αποτέλεσµα δίνεται ως τυπική απόκλιση. 3. Αβεβαιότητα που προέρχεται από την επίδραση της θερµικής διαστολής. Η αβεβαιότητα αυτή πηγάζει από τη διαφορά θερµοκρασίας που επικρατεί στο εργαστήριο, από τη θερµοκρασία αναφοράς των 0 C, στην οποία αναφέρεται ο πιστοποιηµένος όγκος των ογκοµετρικών σκευών. Παράδειγµα Η αβεβαιότητα σε ογκοµετρική φιάλη τύπου Α των 50 ml (µε πιστοποιηµένο όγκο στους 0 C, V 0 = ml) υπολογίζεται ως εξής: Αβεβαιότητα στο διακριβωµένο όγκο: Ο κατασκευαστής ορίζει στο πιστοποιητικό ότι η απόκλιση είναι ±0.0 ml. Το επίπεδο εµπιστοσύνης δεν ορίζεται. Η αβεβαιότητα είναι: 0.0 u 1 ( V ) = = 0.01 ml 3 Αβεβαιότητα από επαναληψιµότητα: Κατά την εκτέλεση 10 κύκλων γέµισµαζύγιση, η τυπική απόκλιση του όγκου βρέθηκε 0.04 ml, άρα: u ( V ) = 0.04 ml H θερµοκρασία του εργαστηρίου είναι 4 C. Η µεταβολή του ονοµαστικού όγκου των 50 ml λόγω θερµικής διαστολής είναι: V = V0 aw Τ (9) Ο συντελεστής θερµικής διαστολής του νερού, α W, είναι , η διαφορά θερµοκρασίας Τ=4 C και ο πιστοποιηµένος όγκος στους 0 C, V 0 = ml, εποµένως:

15 V = 0.04 ml Θεωρούµε ότι η κατανοµή είναι τετραγωνική, άρα η αβεβαιότητα αυτής της πηγής είναι: 0.04 u 3 ( V ) = = 0.04 ml 3 Άρα η συνολική τυπική αβεβαιότητα στον όγκο είναι: u ( V ) = u ( V ) + u ( V ) + u ( V ) = ml 1 3 Υπολογισµός αβεβαιότητας σε µετρήσεις µάζας Η αβεβαιότητα στον προσδιορισµό της µάζας υπολογίζεται από τα δεδοµένα της διακρίβωσης του ζυγού και υπάρχουν στο πιστοποιητικό διακρίβωσης. Εξαρτάται από τη µάζα που ζυγίζουµε και συνήθως θεωρούµε ότι το εύρος που δηλώνεται στο πιστοποιητικό ακολουθεί τετραγωνική κατανοµή. Παράδειγµα Το πιστοποιητικό διακρίβωσης ζυγού 4 δεκαδικών αναφέρει ότι στα 100 mg η αβεβαιότητα είναι ±0.14 mg. Σε ζυγίσεις περίπου 100 mg η αβεβαιότητα θα είναι: 0.14 u ( m) = = mg 3 Αν πραγµατοποιούνται ζυγίσεις εκ διαφοράς, δηλαδή δύο ζυγίσεις, η συνολική αβεβαιότητα της ζύγισης θα είναι: u ( m) = 0.08 = 0.11 mg 4.3. Υπολογισµός της συνδυασµένης τυπικής αβεβαιότητας Η συνδυασµένη τυπική αβεβαιότητα υπολογίζεται ακολουθώντας το νόµο διάδοσης σφαλµάτων. Επειδή οι πηγές της αβεβαιότητας έχουν διαφορετικές µονάδες, η συνδυασµένη αβεβαιότητα υπολογίζεται συνήθως ως σχετική τυπική αβεβαιότητα. Εφαρµόζοντας όλα τα παραπάνω σε ένα παράδειγµα θα δούµε πως οδηγούµαστε στον υπολογισµό της συνδυασµένης τυπικής αβεβαιότητας. Κατά τη διάρκεια της παρούσας εισήγησης αναφερθήκαµε σε στοιχεία επικύρωση που αφορούσαν τον προσδιορισµό Cd στα πλαστικά. Θα χρησιµοποιήσουµε λοιπόν αυτά τα στοιχεία. Παράδειγµα Ο προσδιορισµός Cd στα πλαστικά µε AA περιλαµβάνει τα εξής στάδια: 1. Οµογενοποίηση και υποδειγµατοληψία.. Ζύγιση του δείγµατος. Ζυγίζονται µε ακρίβεια 4 ου σηµαντικού ψηφίου 15 mg. 3. Χώνευση µε µίγµα οξέων. 4. Αν το χωνευµένο δείγµα δεν είναι διαυγές, ακολουθεί διήθηση. 5. Αραίωση σε διακριβωµένη ογκοµετρική φιάλη των 50 ml. 6. Κατασκευή καµπύλης αναφοράς µε πρότυπα διαλύµατα συγκεντρώσεων 0.50, 1.00, 1.50 και.00 mg/l.

16 7. Μέτρηση του άγνωστου χωνευµένου δείγµατος πέντε (5) φορές και καταγραφή της µέσης απορρόφησης του. 8. Υπολογισµός της συγκέντρωσης του άγνωστου δείγµατος σε mg/l. 9. Υπολογισµός της περιεκτικότητας στο αρχικό δείγµα σε mg/kg. Ο τελικός υπολογισµός της περιεκτικότητας γίνεται µε τη βοήθεια της σχέσης: C V [ Cd]( mg / Kg) = (10) m Τα στάδια που εισέρχεται αβεβαιότητα και η αντίστοιχη τιµή της είναι: Ζύγιση Έστω ότι ζυγίστηκαν 15.6 mg εκ διαφοράς. Από τα παραπάνω δεδοµένα, η αβεβαιότητα σε αυτή την περιοχή βαρών έχει υπολογιστεί σε u(m)=0.08 mg. Άρα η σχετική τυπική αβεβαιότητα της ζύγισης είναι: u( m) 0.11 = m 15.6 ιήθηση Συνήθως οι αβεβαιότητες πρέπει να ποσοτικοποιούνται από κάποια δεδοµένα. Υπάρχουν όµως περιπτώσεις όπου δεν είναι δυνατός ο απευθείας υπολογισµός της αβεβαιότητας και που ο αναλυτικός χηµικός πρέπει να κάνει µια εκτίµηση της τιµής της. Συνήθως αυτή βασίζεται σε προηγούµενη εµπειρία, η οποία µπορεί να βρεθεί στη διεθνή βιβλιογραφία. Από µια τέτοια περίπτωση [9] µπορούµε να εκτιµήσουµε ότι η αβεβαιότητα από τη διήθηση εκτιµάται ως τυπική απόκλιση u F =0.03. Επειδή ο συντελεστής διόρθωσης του αποτελέσµατος λόγω διήθησης είναι µονάδα (F F =1), η σχετική τυπική αβεβαιότητα είναι: u F = 0.03 FF Στο συγκεκριµένο παράδειγµα δεν θα ληφθεί υπόψη και δίνεται ως πληροφόρηση µόνο. Αν το στάδιο της διήθησης περιλαµβάνονταν στην ανάλυση του πιστοποιηµένου υλικού αναφοράς, τότε η εκτίµηση του δεν θα ήταν αναγκαία, αφού η αβεβαιότητα του θα συνυπολογίζονταν µε τη συνολική αβεβαιότητα της προκατάληψης της µεθόδου. Αραίωση στα 50 ml Στον υπολογισµό της αβεβαιότητας του όγκου δεν θα ληφθεί υπόψη η συνεισφορά της επαναληπτικότητας, διότι έχει συνυπολογιστεί στην αβεβαιότητα που προέρχεται από τα πειράµατα αναπαραγωγιµότητας. Έτσι η αβεβαιότητα στον όγκο, µε βάση τα παραπάνω δεδοµένα, είναι: u ( V ) = u1( V ) + u3 ( V ) = = ml και η σχετική τυπική αβεβαιότητα: u( V ) 0.03 = = V 50 Προσδιορισµός της συγκέντρωσης από την καµπύλη βαθµονόµησης

17 Από τα δεδοµένα του παραδείγµατος της 4.., και για συγκέντρωση Cd στο χωνευµένο δείγµα C=0.64 mg/l, η αβεβαιότητα υπολογίστηκε σε u(c)=0.013 mg/l. H σχετική τυπική αβεβαιότητα είναι: u( C) = = 0.0 C 0.64 Υπολογίζοντας την περιεκτικότητα του δείγµατος σε Cd (mg/kg) µε βάση της σχέση (10), προκύπτει: [Cd] = 54.8 mg/kg Αβεβαιότητα από τα πειράµατα αναπαραγωγιµότητας Τα πειράµατα αναπαραγωγιµότητας, που αναφέρονται στο πρώτο παράδειγµα της 4..1, κατά την επικύρωση της µεθόδου, για περιεκτικότητα 188 mg/kg, έδωσαν σχετική τυπική απόκλιση: x RD = = X r Αυτή χρησιµοποιείται ως έχει στον υπολογισµό της συνδυασµένης σχετικής τυπικής αβεβαιότητας. Πρέπει να σηµειωθεί ότι η τυπική αβεβαιότητα που υπολογίστηκε στο συγκεκριµένο παράδειγµα από την διακύµανση του δείγµατος δεν περιέχει την αβεβαιότητα από την ανοµοιογένεια του προς δοκιµή υλικού. Τα αποτελέσµατα όµως της ενδοεργαστηριακής αναπαραγωγιµότητας που αναφέρονται στον πίνακα του αντίστοιχου παραδείγµατος, έτσι όπως έχουν σχεδιαστεί και εκτελεστεί, περιέχουν συστατικά τα οποία µε ανάλυση της διακύµανσης τους (ANOVA) µπορούν να οδηγήσουν στον υπολογισµό της αβεβαιότητας από την ανοµοιογένεια του υλικού. Αβεβαιότητα από τα πειράµατα ανάλυσης CRM Από τα πειράµατα ανάλυσης πιστοποιηµένου υλικού αναφοράς, µε πιστοποιηµένη περιεκτικότητα σε [Cd] CRM =197.9 mg/kg, που αναφέρονται στο δεύτερο παράδειγµα της 4..1, η αβεβαιότητα είχε υπολογιστεί ως u bias =.6 mg/kg. Εποµένως, η σχετική τυπική αβεβαιότητα είναι: ubias.6 = = Cd CRM Υπολογισµός της συνδυασµένης σχετικής τυπικής αβεβαιότητας Η συνδυασµένη σχετική τυπική αβεβαιότητα για την περιεκτικότητα [Cd] στο δείγµα πλαστικού δίνεται από τη σχέση: uc ([ Cd]) = [ Cd] u Cd uc ([ Cd]) = 0.06 [ Cd] bias CRM RD r u( C) + C u( V ) + V u( m) + m = Για την προσδιορισθείσα συγκέντρωση [Cd] = 54.8 mg/kg, η συνδυασµένη τυπική αβεβαιότητα είναι u C ([ Cd]) = mg/kg

18 Στο παρακάτω γράφηµα φαίνεται διαγραµµατικά η συνεισφορά κάθε πηγής αβεβαιότητας στο τελικό αποτέλεσµα. Οι πηγές µε τη µεγαλύτερη συνεισφορά είναι η βαθµονόµηση, η αβεβαιότητα από τα συστηµατικά σφάλµατα της µεθόδου και τα τυχαία σφάλµατα. u([cd]) (mg/kg) bias RDr C(cal) V m Υπολογισµός της διευρυµένης τυπικής αβεβαιότητας Για συντελεστή κάλυψης k= (95%), η διευρυµένη αβεβαιότητα U είναι: U = u C και για το συγκεκριµένο παράδειγµα: U ([ Cd]) = uc ([ Cd]) = 6.6 = 13. mg/kg Εποµένως γράφουµε ότι η περιεκτικότητα του Cd στο δείγµα πλαστικού είναι: (54.8 ± 13.) mg/kg Συµπερασµατικά, στην παρούσα εισήγηση έγινε µια προσπάθεια να διευκρινιστούν τα κύρια σηµεία του οδηγού της EURACHEM για τον υπολογισµό της αβεβαιότητας στις χηµικές µετρήσεις. Αναλύθηκαν οι κύριες πηγές που συνεισφέρουν στην αβεβαιότητα του τελικού αποτελέσµατος µιας χηµικής µέτρησης. Μέσα από συγκεκριµένα παραδείγµατα αποδείχθηκε ότι ο αυστηρά µετρολογικός υπολογισµός όλων των πηγών της αβεβαιότητας δεν είναι δυνατός στις περισσότερες περιπτώσεις και ότι η προσεκτική σχεδίαση και εκτέλεση της επικύρωσης της µεθόδου δίνει όλα τα απαραίτητα στοιχεία για τον υπολογισµό της αβεβαιότητας. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ευχαριστώ ιδιαιτέρως τη χηµικό του ΓΧΚ, κ. Άρτεµις Αλίβερτη, για την παραχώρηση των στοιχείων επικύρωσης του προσδιορισµού καδµίου στα πλαστικά. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

19 [1] ΕURACHEM/CITAC Guide, Quantifying Uncertainty in Analytical Measurement, nd edition, 000. [] IO/IEC 1705, General requirements for the competence of testing and calibration laboratories, Geneva, witzerland, [3] ΙO, Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, Geneva, witzerland, [4] M. Thompson, Estimation of Uncertainty in Atomic pectrometry, Workshop, 10 th BNA, UK, 000. [5] Ε. Hund, D. Luc Massart, J. meyers-verbeke, Trends Anal. Chem., 0 (001) [6] D. Luc Massart, B. G. M. Vandeginste, L. M. C. Buydens,. de Jong, P. J. Lewi, J. meyers-verbeke, Handbook of Chemometrics and Qualimetrics, Part A, Elsevier, Amsterdam, [7] Α. Williams, Accred. Qual. Assur., 1 (1996) [8] J. C. Miller and J. N. Miller, tatistics for Analytical Chemistry, 3 rd ed., Ellis Horwood, Chichester, [9] J. Hlavay, K. Polyak, Accred. Qual. Assur., 6 (001)