ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ A)ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ
|
|
|
- Καλλίστη Βουρδουμπάς
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ A)ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ )Να λύσετε τις εξισώσεις : α) χ+= β) 3-χ=4 γ) χ=-6 δ) 4-χ=8 ε) χ- 3 =0 στ) χ- 5 =- )α) Να λυθεί η εξίσωση : (λ-)χ=λ () Ι)Αν λ- 0 λ η () έχει λύση χ= λ λ- ΙΙ)Αν λ-=0 λ= η () 0χ= και είναι αδύνατη β) Ομοια να λυθεί η εξίσωση : λχ=λ(λ-) Ι) ΙΙ) γ) Δίνεται η εξίσωση: (α -4)χ=α +α Ι) Η εξίσωση με α... και α... έχει λύση την χ=.... ΙΙ)Η εξίσωση με α=... είναι της μορφής 0χ=0 άρα ΙΙΙ) Η εξίσωση με α=... είναι της μορφής 0χ=8 άρα )Να λυθεί η εξίσωση α (χ-) = α(χ+) - α (χ-) = α(χ+) - α χ α = α χ+α- α χ-αχ=α +α- α(α-)χ=(α-)(α+) ()
2 Ι)Αν α(α-) 0 α 0 και α τότε η εξίσωση () έχει λύση χ= (α-)(α+) α(α-) ΙΙ)Αν α(α-)=0 α=0 ή α= Για α=0 η εξίσωση () γίνεται 0χ=- και είναι αδύνατη Για α= η εξίσωση () γίνεται 0χ=0 και είναι αόριστη Ομοια να λυθεί η εξίσωση : λ(λχ-) = 3(3χ-)-λ = α+ α 4)Να αποδείξετε ότι η εξίσωση α (χ-α)+χ=α(α + ) έχει μία λύση (ως προς χ) για κάθε τιμή του α ε R, και να βρείτε για ποια τιμή του α η λύση της είναι χ=. 0-3
3 Β)ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5)α) Να λυθούν οι εξισώσεις : Ι) χ- χ+ = χ+ 0 χ - ΙΙ) = (χ+)(χ+) 0 χ+ χ+ χ-=(χ+) (χ+)=(χ+) χ+ 0 και χ+ 0 χ-=χ+ χ+=χ+ χ - και χ - χ-χ=+ -χ=3 χ=-3(δεκτή) χ-χ=- χ=0 (δεκτή) *(οι λύσεις και στις δύο εξισώσεις είναι δεκτές αφού δεν συμπίπτουν με τους αντίστοιχους περιορισμούς) β)ομοια να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) 3 χ = 3 ΙΙ) χ = χ 3 ΙΙΙ) χ χ = χ χ+3 6)α)Να λύσετε την εξίσωση : χ χ = 8 χ- χ+ χ 4 χ χ 8 = χ- χ+ χ 4 χ χ 8 = χ- χ+ (χ )(χ+) ΕΚΠ=(χ-)(χ+) 0 χ- 0 και χ+ 0 χ χ 8 (χ-)(χ+) (χ-)(χ+) =(χ-)(χ+) χ- χ+ (χ )(χ+) χ και χ - χ(χ+) χ(χ-)=8 χ +χ-χ +χ=8 3
4 4χ = 8 χ= η οποία απορρίπτεται αφου χ συνεπώς η εξίσωση αδύνατη β) Ομοια να λύσετε την εξίσωση : 3 = 6 χ-3 χ+3 χ 9 γ)και την εξίσωση : + = χ χ + χ χ -χ χ χ δ) και τέλος την : + = χ- χ χ+ 4
5 Γ)ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ 7)α)Να λυθούν οι εξισώσεις : Ι) χ =3χ ΙΙ) χ -6=0 ΙΙΙ) χ(χ-)=5(χ-) χ -3χ=0 (χ-4)(χ+4)=0 χ(χ-)-5(χ-)=0 χ(χ-3)=0 χ-4=0 ή χ+4=0 (χ-)(χ-5)=0 χ=0 ή χ-3=0 χ=4 ή χ=-4 χ-=0 ή χ-5=0 χ=0 ή χ=3 χ= ή χ=5 β) Ομοια να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) χ -5χ=0 ΙΙ) 4χ -9=0 ΙΙΙ) χ(χ+3)=4(χ+3) Ιν) (χ+) =χ+ 8)α) Να λυθούν οι εξισώσεις : Ι) χ (χ+) +χ(χ +χ+)=0 ΙΙ) χ 3 -χ=χ +χ χ (χ+) +χ(χ+) =0 χ(χ -)=χ(χ+) χ(χ+)[χ+(χ+)]=0 χ(χ-)(χ+)=χ(χ+) χ(χ+)(χ+)=0 χ(χ-)(χ+)-χ(χ+)=0 χ=0 ή χ+=0 ή χ+=0 χ(χ+)(χ--)=0 χ=0 ή χ=- ή χ=- χ=0 ή χ+=0 ή χ-=0 χ=0 ή χ=- ή χ= β)ομοια να λυθούν οι : Ι) χ 3 (χ-)-9χ(χ-) 3 =0 ΙΙ) χ (χ-)= 4χ-4 5
6 Δ)ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ 9)α) Να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) χ = 5 ΙΙ) χ = - ΙΙΙ) 3χ- =4 Ιν) χ+ χ = χ 0 χ=5 ή χ=-5 αδύνατη αφού 3χ-=4 ή 3χ-=-4 χ+ χ = ή χ+ χ =- χ 0 3χ=6 ή 3χ=- χ+=χ ή χ+=-χ χ= ή χ=- 3 χ= ή χ=- 3 β)ομοια να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) χ =4 ΙΙ) χ-3 =- ΙΙΙ) χ- χ = 0 Ιν) 3χ- =5 ν) χ+ = 0)α) Να λυθεί η εξίσωση : χ-3 = χ+5 χ-3=χ+5 ή χ-3=-χ-5 0χ=8 που είναι αδύνατη ή χ=- χ=- β) Ομοια να λυθούν οι : Ι) χ-3 = χ ΙΙ) 3χ-4 = χ- 6
7 ) α)να λυθεί η εξίσωση: χ -3 = 5 χ -3=5 ή χ -3=-5 χ =8 ή χ =- αδύνατη χ =8 χ = 4 χ=4 ή χ=-4 β) Ομοια να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) χ -7 = 5 ΙΙ) χ -3 = 9 )α)να λυθεί η εξίσωση: ( x- -3) =3 x- -6=3 x-=9 x- = 9 χ-= 9 ή χ-=- 9 χ=+ 9 ή χ=- 9 χ= 3 ή χ=- 5 β)ομοια να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) 3(- x-3 ) = -6 ΙΙ) + x = 6- x ΙΙΙ) x- 4 x- + = 3 4 7
8 3)α)Να λυθεί η εξίσωση: ( χ +χ)=-4χ χ +χ=-4χ χ =-6χ χ =-3χ () *) Αν -χ 0 χ τότε χ =-χ άρα η () γίνεται -χ=-3χ χ=0 που είναι δεκτή εφ όσον 0 **)Αν -χ<0 χ> τότε χ =-+χ άρα η () γίνεται -+χ=-3χ 5χ= χ= 5 που απορρρίπτεται εφ όσον 5 < Συνεπώς μοναδική λύση της εξίσωσης η χ=0 β) Ομοια να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) χ+ =χ- ΙΙ) (χ -χ)=-χ 8
9 Ε)ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ χ ν =α 4)α)Να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) χ =4 ΙΙ) χ 4 =-4 ΙΙΙ) χ 3 =0 ιν) χ 5 =-3 ν) χ 6 =0 χ= ± 4 αδύνατη χ= 3 0 χ=- 5 3 χ=0 χ= ± χ=- β)ομοια να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) χ 4 =8 ΙΙ) χ =- ΙΙΙ) χ 5 = Ιν) χ 3 =- ν) χ 4 =0 5)α) Να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) 7χ 3-8=0 7χ 3 =8 χ 3 = 8 7 χ= χ= 3 ΙΙ) χ 6-6χ =0 χ (χ 4-6)=0 χ =0 ή χ 4-6=0 χ=0 ή χ 4 =6 χ=0 ή χ= ± 4 6 χ=0 ή χ= ± β) Να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) 4-9χ =0 ΙΙ) χ+χ 5 =0 ΙΙΙ) 8χ 4 +χ=0 Ιν) χ 7 -χ =0 ν) 6χ 4-8=0 6)α) Να λυθεί η εξίσωση : 8(χ-) 3 =5 (χ-) 3 = χ-= = 8 χ= χ= + 4 β) Να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) (χ-) =9 ΙΙ) (χ+) 5-6(χ+)=0 ΙΙΙ) 7(-χ) 3 =- 9
10 ΣΤ)Β-ΒΑΘΜΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 7)α)Να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) χ -3χ+=0 ΙΙ) 4χ -4χ+=0 ΙΙΙ) χ -χ+=0 α= β=-3 γ= α=4 β=-4 γ= α= β=- α= Δ=β -4αγ=(-3) -4.. Δ=β -4αγ=(-4) = Δ=β -4αγ=(-) -4.. = =9-8=>0 =6-6=0 =-8=-7<0 χ, = -β ± -(-3) ± = = χ=- β = 4 = α α 4 η εξίσωση είναι αδύνατη 3+ = = 4 3 = 4 β)να λύσετε τις εξισώσεις : Ι) 3χ -χ-8=0 ΙΙ) χ +χ-4=0 ΙΙΙ) 9χ -6χ+=0 Ιν) χ -4χ+4=0 ν) χ -χ +5=0 8)α)Να λυθεί η εξίσωση : (χ+3) +χ=3 χ +6χ+9+χ-3=0 χ +7χ+6= α= β=7 γ=6 Δ=β -4αγ= =49-4=5>0 χ, = -β = ± 7± 5 = α 7 5 = 6 β)να λυθούν οι εξισώσεις : Ι) (χ+) +(χ-3) =8 ΙΙ) (χ+ ) + χ=0 ΙΙΙ) χ(χ-4)=5-5χ 0
11 9)αΙ)Να λυθεί με δύο τρόπους η εξίσωση: χ -6χ=0 Α / τρόπος: χ -6χ=0 χ(χ-3)=0 χ=0 ή χ-3=0 χ=0 ή χ=3 Β / τρόπος: χ -6χ=0 α= β=-6 γ=0 Δ=β -4αγ=(-6) =36 >0 χ, = -β ± = α 6+ 6 = 3 ( 6) ± 36 = = 0 4 αιι)να λυθεί με δύο τρόπους η εξίσωση: χ -5=0 Α / τρόπος: χ -5=0 χ =5 χ= ± 5 Β / τρόπος: χ -5=0 α= β=0 γ=-5 Δ=β -4αγ=0-4. (-5)=0>0 χ, = -β ± = α = 5 = 0± 0 5 = 5 5 β) Να λυθούν με δύο τρόπους οι εξισώσεις : Ι) χ =5χ ΙΙ) (χ-) =6(χ-) ΙΙΙ) χ -8=0 Ιν) 3χ +8=0
12 0)α) Να λυθεί η εξίσωση: χ χ 5 χ χ 5 χ χ 5 = + = + = () χ+ χ- 4-χ χ+ χ- (-χ)(+χ) χ+ χ- (χ-)(+χ) ΕΚΠ=(χ-)(χ+) 0 χ και χ - () χ χ 5 (χ-)(χ+) =(χ-)(χ+) (χ-)(χ+) χ+ χ- (χ-)(+χ) χ(χ-)=χ(χ+)-5 χ(χ-)-χ(χ+)+5=0 χ -4χ-χ -χ+5=0 χ -6χ+5=0 α= β=-5 γ=6 Δ=β -4αγ=(-5) =5-4=>0 5 χ, = -β = απορριπτεται αφού χ ± ( 5) ± = α 5 + = 3 β) Να λυθούν οι εξισώσεις: Ι) χ χ+ = ΙΙ) + 3 = -9χ χ- χ 4χ + 4
13 )αι) Να λυθεί η εξίσωση: (χ-) +4χ--5=0 () Επειδή (χ-) =χ- ή () γίνεται: χ- +4χ--5=0 Θέτω χ-=ω και άρα η εξίσωση γίνεται: ω +4ω-5=0 με α= β=4 γ=-5 Δ=β -4αγ=4-4. (-5)=6+0=36> = -β± -4± 36 4± 6 ω, = = = = α 4 6 = 5 Επειδή χ-=ω και ω= ή ω=-5 => χ-= ή χ-=-5 Η χ-=-5 αδύνατη χ-= χ-= ή χ-=- χ=3 ή χ= αιι) Να λυθεί η εξίσωση: χ + χ--=0 () Αν χ- 0 χ τότε χ-=χ- και η () γίνεται χ +χ--=0 χ +χ-=0 α= β= γ=- Δ=β -4αγ= -4. (-)=+48=49>0 χ, = + 7 = 3 -β± -± 49 ± 7 = = = α 7 = 4 απορριπτεται χ Αν χ- <0 χ < τότε χ-=-χ+ και η () γίνεται χ -χ+-=0 χ -χ-0=0 Α= β=- γ=-0 Δ=β -4αγ=(-) -4. (-0)=+40=4>0 χ, = 4 -β± -(-) ± 4 ± 4 = = = α + 4 απορριπτεται χ< β)ομοια να λυθούν οι εξισώσεις: 3
14 Ι) χ + χ -8=0 ΙΙ) (χ+) -5 χ++6=0 ΙΙΙ) 3χ -0 χ-+0=0 Ιν) χ -χ+ χ--=0 )α) Να λυθεί η εξίσωση: χ 4 +χ -4=0 () Θέτω χ =ψ και η () γίνεται ψ +ψ-4=0 με α= β= γ=-4 Δ=β -4αγ= -4. (-4)= = 4 -β± -± 00 ± 0 ψ, = = = = α 0 = 6 Επειδή χ =ψ => χ =4 ή χ =-6 Η χ =-6 αδύνατη χ =4 χ= ± 4=± β) Ομοια να λυθούν οι: Ι) χ 4 +χ -=0 ΙΙ) χ 4-3χ +=0 ΙΙΙ) χ 4 +5χ +6=0 Ιν) χ 6 +3χ 3-4=0 4
15 Z) ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ Β-ΒΑΘΜΙΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ )Δίνεται η εξίσωση χ ( χ + ) = λ ( 3 χ - λ + ) α) Να λυθεί β) Να βρε θεί η τιμή του λ ε R για την οποία η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα γ) Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση Οι τύποι τωνριζών χ, μεδ >0 ισχύουν προφανώς και με Δ = 0 επομένως με Δ 0 ( παράδειγμα ) Α) χ ( χ + ) = λ ( 3 χ - λ + ) χ + χ = 3 λ χ - λ + λ χ + χ - 3 λ χ + + λ - λ = 0 χ + ( - 3 λ ) χ + λ - λ = 0 άρα α =, β = - 3 λ, γ = λ - λ και επομένως Δ = β - 4 α γ = ( - 3 λ ) - 4 ( λ - λ ) = 4 - λ + 9 λ - 8 λ + 8 λ = λ - 4 λ + 4 = ( λ - ) 0 - β ± Δ - ( - 3 λ ) ± ( λ - ) Επομένως : χ, = = α λ + λ - 4 λ ( λ - ) = = = λ λ - λ + λ λ = = 4 4 β) Για να έχει η εξίσωση μία διπλή ρίζα προφανώς πρέπει Δ = 0. Επειδή βέβαια Δ = ( λ - ) άρα ( λ - ) = 0 λ - = 0 λ = γ) Α. τρόπος : Για να έχει η εξίσωση μία τουλάχιστον ρίζα τον χ = 3 και επειδή οι ρίζες της εξίσωσης από το α) ερώτημα είναι χ = λ - ή χ = λ προφανώς πρέπει λ - = 3 ή λ = 3 λ = 4 ή λ = 6 Β. τρόπος : Η εξίσωση είναι χ + ( - 3 λ ) χ + λ - λ = 0. Για να έχει ρίζα τον χ = 3 αρκεί ο 3 να την επαληθεύει δηλαδή 5
16 3 + ( - 3 λ ) 3 + λ - λ = λ + λ - λ = 0 λ - 0 λ + 4 = 0 Επομένως α =, β = - 0, γ = 4 Δ = β - 4 α γ = ( - 0 ) = = 4 > 0 Αρα : 0 + = = 6 - β ± Δ - ( - 0 ) ± 4 0 ± α = = 4 λ, = = = = 0-8 ) Δίνεται η εξίσωση : α χ - ( α - 3 ) χ + α - = 0 με α ε R * Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης για τις διάφορες τιμές του α Φυσικά το πλήθος των ριζών μιας δευτεροβάθμιας ( αφού Α = α 0 ) εξαρτάται από την Δ ( διακρίνουσα ) Είναι : Α = α, Β = - ( α - 3 ), Γ = α - Δ = Β - 4 Α Γ = [ - ( α - 3 ) ] - 4 α ( α - ) = ( α - 3 ) - 4 α ( α - ) = 4 α - α α + 4 α = - 8 α + 9 επομένως Δ = - 8 α + 9 ι) Η εξίσωση έχει δύο ρίζες αν Δ > 0-8 α + 9 > 0-8 α > - 9 α < 9 8 ιι) Η εξίσωση έχει μία ρίζα αν Δ = 0-8 α + 9 = 0 α = 9 8 ιιι) Η εξίσωση είναι αδύνατη ( δεν έχει λύση ) αν Δ <0-8 α + 9 < 0-8 α < - 9 α > 9 8 Συμπερασματικά : για α < 9 8 και α 0 η εξίσωση έχει δύο ρίζες για α = 9 8 η εξίσωση έχει μία ρίζα και 6
17 για α > 9 / 8 η εξίσωση είναι αδύνατη. 3)Να δειχθεί ότι αν η εξίσωση ( α - β ) χ - 4 α χ + 4 β = 0 έχει μία διπλή ρίζα τότε η εξίσωση ( α + β ) χ - χ + 3 ( α - β ) = 0 έχει δύο άνισες ρίζες. Εφ όσον η πρώτη εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα άρα Δ = 0 Δ = ( - 4 α ) - 4 ( α - β ) 4 β = 6 α - 6 β ( α - β ) = 6 α - 3 α β + 6 β = 6 ( α - α β + β ) = 6 ( α - β ) ( ) Επομένως αφού Δ = 0 ( λόγω της ( ) ) 6 ( α - β ) = 0 α - β = 0 α = β Πρέπει να αποδείξουμε ότι η δεύτερη εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες δηλαδή Δ > 0 Ομως Δ = ( - ) - 4 ( α + β ) 3 ( α - β ) και επειδή α = β Δ = 4-4 ( α + α ) 3 ( α - α ) = 4-4 α = 4 > 0 και επομένως η δεύτερη εξίσωση έχει πράγματι δύο άνισες ρίζες. Παρατήρηση : Μια εξίσωση της μορφής α χ + β χ + γ = 0 έχει βέβαια δύο άνισες ρίζες αν Δ > 0, μία διπλή ρίζα αν Δ = 0 και καμία ρίζα αν Δ < 0 με την προϋπόθεση α 0 Ετσι στην παραπάνω άσκηση εφ όσον δίνεται ότι η πρώτη εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα είναι Α = α - β 0 β α Επομένως είναι και α + β 0 αφού αν α + β = 0 α = β = 0 το οποίο είναιαδύνατο επειδή β α 4)Για τις διάφορες τιμές του λ ε R να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης : ( λ - ) χ + ( λ - ) χ + ( λ - 3 ) = 0 Στην δοσμένη εξίσωση είναι α = λ -, β = λ -, γ = λ - 3 Επομένως : ι) Αν α = λ - = 0 λ = τότε προφανώς η εξίσωση γίνεται ( - ) χ + ( - 3 ) = 0 3 χ - = 0 πρωτοβάθμια και βέβαια έχει μία λύση ιι) Αν α = λ - 0 λ τότε Δ = ( λ - ) - 4 ( λ - ) ( λ - 3 ) = 4 λ - 4 λ λ + λ + 8 λ - 4 = 6 λ 3 Επομένως : α) Αν Δ > 0 6 λ - 3 > 0 λ > 3 / 6 η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες 7
18 β) Αν Δ = 0 6 λ - 3 = 0 λ = 3 / 6 η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα γ) Αν Δ < 0 6 λ - 3 < 0 λ < 3 / 6 η εξίσωση είναι αδύνατη δηλαδή δεν έχει ρίζες. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Δίνονται οι παρακάτω δευτεροβάθμιες ως προς χ εξισώσεις : ι) χ - λ χ - = 0 ιι) χ ( α - χ ) = α ιιι) χ ( χ + α ) = α - ( α + ) ιν) χ - 3 χ = λ ( χ - 3 ) ν) α χ ( χ + ) = 3 + χ - χ Σε κάθε μία από αυτές αντιστοιχίστε μία από τις σχέσεις : Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0, Δ 0 ( όπου Δ φυσικά η διακρίνουσα των παραπάνω εξισώσεων ) ) Για τις διάφορες τιμές του λ ε R να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης : ( λ - ) χ - ( λ + ) χ + λ = 0 3) Αφού αποδείξετε ότι η εξίσωση : λ χ + ( λ - ) χ - λ = 0 έχει για κάθε τιμή του λ ε R * δύο άνισες ρίζες, να λύσετε την εξίσωση και να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες μία λύση της εξίσωσης είναι ο χ = / 4 4)Δείξτε ότι η εξίσωση 3 χ + ( α + β + γ ) χ + α β + α γ + β γ = 0 έχει μία διπλή ρίζα αν και μόνον αν α = β = γ. 5)Να εξετάσετε αν η εξίσωση ( α - β ) χ + β = 0 με 0 < α < β έχει λύση και αν ναι να βρεθεί. 6)Δίνεται η εξίσωση : ( λ - 3 λ + ) χ + ( λ - ) χ + 3 = 0 Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε η παραπάνω εξίσωση : α) να έχει μία μόνο ρίζα β) να έχει μία διπλή ρίζα. 8
19 Η) ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ Με Δ 0 η εξίσωση αχ + βχ + γ=0, α 0 έχει ρίζες χ, χ με S= χ +χ = - β α και Ρ=χ. χ = γ α Επί πλέον η εξίσωση αχ +βχ+γ= 0 γράφεται και χ -Sχ+P=0 ) α)να κατασκευάσετε β-βάθμια εξίσωση με ρίζες χ =5 και χ =-7 Είναι S=χ +χ =5+(-7)=8 και Ρ=χ. χ =5(-7)=-05 Επομένως επειδή η β-βάθμια εξίσωση έχει μορφή χ - Sχ+ Ρ= 0 χ - 8χ-05=0 β)ομοια να κατασκευάσετε β-βάθμιες εξισώσεις με ρίζες : Ι) χ =, χ =-3 ΙΙ) χ = 3, χ = ΙΙΙ) χ =+, χ =- Ιν) χ =α, χ =- α S= χ +χ =.... S= χ +χ =... S= χ +χ =... S= χ +χ =... Ρ=χ χ =.... Ρ=χ χ =.... Ρ=χ χ =.... Ρ=χ χ =.... και επομένως η ζητούμενη εξίσωση που έχει την μορφή χ -Sχ+P=0 είναι: )Θεωρούμε την β-βάθμια εξίσωση χ +(λ+)χ-λ -=0 Α)Αποδείξτε ότι έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες Β)Αν χ, χ οι δύο ρίζες της παραπάνω εξίσωσης κατασκευάστε β-βάθμια εξίσωση με ρίζες ρ = και ρ = χ χ Α)Είναι Δ=Β -4ΑΓ=(λ+) 4.. (-λ -)=(λ+) + 8λ +8>0 ως άθροισμα τετραγώνων δηλαδή (λ+) 0, 8λ 0 και 8>0 => Δ>0 άρα η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες 9
20 Β)Η ζητούμενη β-βάθμια εξίσωση θα έχει την μορφή χ - Sχ+P=0 () όπου S=ρ +ρ = χ + χ = χ + χ χχ και Ρ= ρ ρ = χ = χχ χ () Ομως χ, χ είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης άρα χ +χ = - Β = λ+ και Α Γ λ χ χ = = Επομένως οι () γίνονται: Α χ + χ S=ρ +ρ = χχ λ+ - λ = λ+ λ + = και Ρ= ρ ρ = χχ = = -λ λ + Και συνεπώς πλέον η ζητούμενη εξίσωση () είναι η χ λ+ - λ + χ λ + = 0 (λ +)χ (λ+)χ- =0 3)Δίνεται η εξίσωση χ -αχ-=0 με ρίζες χ, χ. Να κατασκευάσετε β-βάθμια εξίσωση με ρίζες ρ =χ + και ρ =χ + 4)Δίνεται η εξίσωση χ χ +λ=0. α)να βρείτε για ποιές τιμές του λ η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες β) Να βρείτε τον λ για τον οποίο ισχύει χ χ +χ χ χ -χ =- όπου χ, χ οι ρίζες της εξίσωσησς α) Δ=(-) -4.. λ=4-4λ 0
21 Για να έχει η εξίσωση πραγματικές ρίζες πρέπει Δ 0 4-4λ 0 λ β) Είναι χ + χ = - Β Α =- - = και χ χ = Γ Α =λ =λ () Αρα χ χ +χ χ χ -χ =- χ χ (χ +χ ) (χ +χ )=- χ χ (χ +χ ) [(χ +χ ) -χ χ ] =- και επομένως λόγω των () λ. -( -λ)=- 4λ-4+λ=- 6λ= λ=/3 5)Δίνεται η εξίσωση χ - αχ+α-6=0. Αφού βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες, να βρείτε τον α έτσι ώστε χ χ + χ χ = Επί πλέον: 6) Δίνεται η εξίσωση ( χ - ) - λ ( χ - 3 ) = 0 που έχει ρίζες ρ, ρ. Αποδείξτε ότι η παράσταση ( ρ - 3 ) ( ρ - 3 ) είναι ανεξάρτητη του λ. 7)Δίνεται η εξίσωση χ + λ χ + λ - 4 λ - 5 = 0. Αν χ, χ οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να βρεθεί ο λ ε R ώστε να ισχύει : + = χ χ 4 8)Δίνεται η εξίσωση : 9 χ + 6 χ + γ = 0 με ρίζες ρ, ρ. Αν γνωρίζουμε ότι ρ - ρ =, α) να βρείτε τις ρίζες ρ, ρ β) να βρείτε τον γ.
Εξισώσεις πρώτου βαθμού
Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο 0ρισμός Εξισώσεις πρώτου βαθμού Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή αχ=β λέγεται εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο. Σε μια εξίσωση η μεταβλητή λέγεται άγνωστος.οι
β=0 Η εξίσωση (λ-2)χ=2λ-4 για λ=2 είναι αδύνατη. Σ Λ Αν η εξίσωση αχ+β=0 έχει δύο διαφορετικές λύσεις τότε είναι αόριστη. Σ Λ
3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ α 0 Η εξίσωση έχει μία μοναδική λύση την x= - αx+β=0 α=0 β 0 β=0 Η εξίσωση είναι αδύνατη, δηλαδή δεν έχει λύση. Η εξίσωση είναι αόριστη ή ταυτότητα, δηλαδή επαληθεύεται
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Η ΕΞΙΣΩΣΗ αχ +βχ+γ=0, α ¹ 0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ v Εξίσωση δευτέρου βαθμού καλείται η εξίσωση της μορφής : αχ + βχ + γ = 0, α ¹ 0 () v Για την επίλυση της εξίσωσης
ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΜΟΥ
5 ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΕΠΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ου ΒΑΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Για να βρούμε το πρόσημο του τριωνύμου αχ +βχ+γ βρίκουμε την διακρίνουσα Δ=β - 4αγ και αν: Δ>0,το τριώνυμο έχει δυο ρίζες χ 1,χ και το προσημό
Εξισώσεις 2 ου βαθμού
Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ
5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Για να επιλύσουμε μία παραμετρική εξίσωση ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: i) Βγάζω παρενθέσεις ii) Κάνω απαλοιφή παρανομαστών iii) Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους (άγνωστος είναι
4. Ανισώσεις. 4.1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού
Ανισώσεις ου Βαθμού Ανισώσεις. Πρωτοάθμιες Ανισώσεις Επιλύονται όπως οι εξισώσεις με την διαφορά ότι, όταν πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με αρνητικό αριθμό αλλάζει φορά η ανίσωση.. Υπενθύμιση α) χ χ, ή χ, ) χ
ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου
ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 013-014 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε να αποδείξετε
3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x ( 1) x 3 με 0 Γ1. Να λυθεί η εξίσωση f ( x) 0 για λ = -1 Γ. Για λ=3, να λυθεί η ανίσωση f ( x) 0 Γ3. Να αποδείξετε ότι στην
1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο
1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού; o Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που γράφεται ή μπορεί να γραφεί στη μορφή με α π.χ 5 6 Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς
Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων
ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,
4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31. Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου. Αν Ρ(Α ) 0,8 και Ρ(Β ) 0,71 δείξτε ότι Ρ( Α Β) 1,01 Ρ( Α Β) i Το ενδεχόµενο Έχουµε Α Βδεν είναι το κενό. Ρ( Α Β)
1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : α. 3
. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : α. 0 6 β. ( + ) + ( ) = ( + ) γ. ( + ) 4 = ( ) δ. ( 7) + = ε. ( ) + ( + 4)( 4) + 8 = ( + ) στ. ( 7) + = ζ. ( ) = ( )( 4) + 9. Ομοίως : α. ( + 5) (9 5) + 6 + 0 = 0 β.
4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31. Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου. Αν Ρ(Α ) 0,8 και Ρ(Β ) 0,71 δείξτε ότι Ρ( Α Β) 1,01 Ρ( Α Β) i Το ενδεχόµενο Α Β δεν είναι το κενό. Έχουµε Ρ( Α
) = 0. Λύσεις/Ρίζες της εξίσωσης. Ακριβώς δύο άνισες πραγματικές λύσεις, τις: Η εξίσωση δεν έχει πραγματικές λύσεις
4. Εξισώσεις 2ου βαθμού αx 2 + βx + γ = 0, α 0 α, β, γ παράμετροι και x η μεταβλητή Αν ρ ρίζα/λύση της εξίσωσης, τότε αρ 2 + βρ + γ = 0 Αν ρ 1, ρ 2 ρίζες/λύσεις της εξίσωσης, τότε το τριώνυμο γράφεται
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού; o Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που γράφεται ή μπορεί να γραφεί στη μορφή με α π.χ 5 6 Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς
2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι
3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον;
EΞΙΣΩΣΕΙΣ Ε ξ ι σ ω σ η ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Εστω η εξισωση: α+β=0 () Λυση η ριζα. της Aν εξισωσης α, β θετικοι λεγεται, να συγκρινεται κάθε τιμη τους του πραγματικου
12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Άσκηση 3. Να λυθεί η εξίσωση: 2(x 1) x 2. 4 x (1). Λύση. Έχουμε, για κάθε x D : x 5 12x. 2x 1 6 (1) x 4. . Συνεπώς: D.
Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 77 τ/8 Αλγεβρα Α Λυκείου ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Αντώνης Κυριακόπουλος - Θανάσης Μαλαφέκας Επιμέλεια: Χρήστος Λαζαρίδης, Χρήστος Τσιφάκης Στα επόμενα, με D θα συμβολίζουμε το σύνολο ορισμού
ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας
. Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση
ΑΛΓΕΒΡΑ= = = = = = Α =ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΓΕΒΡΑ Α ΥΚΕΙΟΥ ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΚΗΕΙ ΘΕΩΡΙΑ. Οι πράξεις και οι ιδιότητες τους Αν α, β, γ, δ πραγματικοί αριθμοί τότε ισχύουν οι ιδιότητες : α = β Û α + γ = β + γ Αν γ ¹ 0, α = β Û αγ = βγ αβ = 0 Û α
Εξισώσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 8 /
Εξισώσεις Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7.. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 7 / 8 / 8 A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο 5 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο Επιλεγμένες
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων
Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός Περιέχονται 50 συνδυαστικές ασκήσεις επανάληψης και θέματα εξετάσεων. Δεν συμπεριλαμβάνεται το κεφάλαιο των πιθανοτήτων, της γεωμετρικής προόδου, της μονοτονίας συνάρτησης,
Εξισώσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές σε 26 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο
Εξισώσεις Κώστας Γλυκός A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο 3 445 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 9 / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab
Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές σε 17 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο
Ανισώσεις Κώστας Γλυκός A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο 4 391 ασκήσεις και τεχνικές σε 17 σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 9 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις
( ) ( ) ( ) 1. α 0. Η παράσταση. Τα αποτελέσµατα σχετικά µε τις ρίζες της εξίσωσης συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα: Αν = 0
IΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Εξίσωση β βαθµού λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α, β, γ R µε α Η παράσταση α = β 4αγ λέγεται διακρίνουσα της εξίσωσης Τα αποτελέσµατα σχετικά µε τις ρίζες της
7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει
8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y
Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους :
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Σύνολα ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΓΡΑΦΗ ΣΥΝΟΛΟΥ Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ) Παράσταση με αναγραφή των στοιχείων Όταν δίνονται
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =
ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,
Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd
1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α Σ 5. Σ. Σ β Σ 6. Λ.
Εξισώσεις Β βαθμού. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»
1 Εξισώσεις Β βαθμού Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2 Λύση της εξίσωσης αχ 2 +βχ+γ=0, α 0 Εξίσωση δευτέρου βαθμού με έναν άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου Θέμα Α. Αν x, x οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης αx +βx+γ=, α να αποδείξετε ότι S P. (6 μονάδες) Β. Ελέγξατε αν κάθε μία από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή
να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.
Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1
ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΣΧΟΛ. ΧΡΟΝΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΛΥΚΕΙΟ ΑΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΣΧΟΛ. ΧΡΟΝΙΑ - ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΕΡΑ. Να λύσετε τα πιο κάτω συστήματα: α) χ+ψ=7 β)3κ+λ=4 γ) +y= δ)χ+ψ= χ-ψ=- 5κ=+3λ -y-y =7 4χψ=3.Να γίνουν οι πράξεις: α)
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πραγματικοί Αριθμοί Εξισώσεις 1/2/2015 Απαντήσεις
ΘΕΜΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πραγματικοί Αριθμοί Εξισώσεις //05 Απαντήσεις.Α) Σχολικό βιβλίο : σελίδα 90.Β) α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ.Γ) α) ii β) iii γ) ii δ) v ΘΕΜΑ ο.α) α) β) 3 3 3 : : : 8 4 4
Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ.
Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ 6 Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Θ Ε Μ Α ο Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f (χ)= για κάθε εσωτερικό σημείο του
4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 3 Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α) Σ 5. Σ. Σ β) Σ 6.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. x x x x β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση
A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις
![A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις](/thumbs/93/111356738.jpg "A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις")
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)
( ) x 3 + ( λ 3 1) x 2 + λ 1
Επαναληπτικό Διαγώνισµα Άλγεβρα Β Λυκείου Θέµα Α Α1. Έστω η πολυωνυµική εξίσωσης α ν χ ν + α ν 1 χ ν 1 +... + α 1 χ + α 0 = 0, µε ακέραιους συντελεστές. Να αποδείξετε ότι αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού
Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις.
Μαθηματικά B Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις. Μέρος Α.- Θεωρία. 1. Τι λέμε αλγεβρική και τι αριθμητική παράσταση; 2. Τι λέμε αναγωγή ομοίων όρων; 3. Τι λέμε εξίσωση α βαθμού; 4. Τι λέμε πρώτο
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης
4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και
Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2
Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ Η γραφική της παράσταση είναι μια καμπύλη που λέγεται παραβολή. Ανάλογα με το πρόσημο του α έχω και τα αντίστοιχα συμπεράσματα. αν α > 0 1) Η γραφική της παράσταση είναι πάνω
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και
Α ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις, όταν: () με R και (). Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Το πεδίο ορισμού της είναι A R. Επομένως A A R Α Θα εξετάσουμε αν για κάθε R ισχύει.
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' )
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις 6-0- Θέμα ο : Α.. Να δώσετε τον ορισμό της εξίσωσης ου βαθμού (μον.) Α.. Αν, ρίζες της εξίσωσης 0, να αποδείξετε ότι
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1
Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες
α έχει μοναδική λύση την x α
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος.. H εξίσωση ( α)( β) ( β)( γ) έχει τις ίδιες λύσεις με την εξίσωση α γ για οποιεσδήποτε τιμές των
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις :
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α). + ( 3 ) 6 = 0 β). 4 ( 3 ) + 3 = 0 γ). + ( ) = 0 δ). 5 + 5 = 0 ε). 4( 3) + 5 + 6 6 = 0 στ).( + 3 ) ( 3 + ) ( 3 ) = 0 η). + (3 ) + (4 3 ) = 0
ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Παραγοντοποίηση μιας αλγεβρικής παράστασης είναι η μετατροπή αυτής σε γινόμενο παραγόντων
ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Παραγοντοποίηση μιας αλγεβρικής παράστασης είναι η μετατροπή αυτής σε γινόμενο παραγόντων Μέθοδοι παραγοντοποίησης [ 1] Εξαγωγή κοινού παράγοντα Στηρίζεται
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έννοια του πολυωνύμου. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί να πάρει κάθε πραγματική τιμή. Μονώνυμο του x, είναι κάθε παράσταση της μορφής : x όπου α είναι
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Άσκηση i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε ότι
ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ Ονομάζουμε την διαδικασία με την οποία μετατρέπουμε μια παράσταση σε γινόμενο παραγόντων Προσοχή: Οι όροι μιας παράστασης χωρίζονται μεταξύ τους με συν (+) ή πλην (-) ενώ οι παράγοντες
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ
Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1
Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Εξίσωση πρώτου βαθμού ή πρωτοβάθμια εξίσωση με άγνωστο x ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής
3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i
ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός
014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής
Δ.Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ. Τελευταία ενημέρωση 16 Μαρτίου w w w. c o m m o n m a t h s. w e e b l y. c o m
Δ.Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου Τελευταία ενημέρωση 16 Μαρτίου 2016 ΒΑΘΜΟΥ w w w. c o m m o n m a t h s. w e e b l y. c o m A. Αρχικά θα ασχοληθούμε με τα τριώνυμα 2 ου βαθμού. Η γενική μορφή τους είναι
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα. ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Ισχύουν οι
Παραγοντοποίηση. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd
0 Παραγοντοποίηση Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 1 Ενότητα 4 η Ταυτότητες Παραγοντοποίηση Σκοπός Ο σκοπός της 4 η ενότητας είναι να αποκτήσουν την ικανότητα
Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος
x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y
ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός
01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους
2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi.
.1 Πολυώνυμα 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; i. 1 x + x ii. x + 7 x iii. 5 x + 7x x iv. 1 x + x v. 1 4 4 x + x + 4x vi. 1 x + 5x. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα
Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές
0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)
25 Λυμένα 2 α θέματα Άλγεβρας από την Τράπεζα Θεμάτων. 1 ο GI_A_ALG_2_999
5 Λυμένα α θέματα Άλγεβρας από την Τράπεζα Θεμάτων 1 ο GI_A_ALG 999 α) Με πράξεις βρίσκουμε: Δ=1, χ 1 = και χ =3. Άρα χ - 5χ + 6 = (χ-)(χ-3) β) (i) Πρέπει χ - 5χ + 6 0. Άρα (χ-)(χ-3) 0, οπότε χ και χ 3,
ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)
Άλγεβρα Α Λυκείου. Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ Πραγματικοί αριθμοί
wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ 006-08 Δίνεται ότι και y Πραγματικοί αριθμοί α) i Να βρεθούν τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται το ii Να βρεθούν τα όρια μεταξύ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ε Ν Δ Ε Ι Κ Τ Ι Κ Ε Σ Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σχολικό βιβλίο
1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R
Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = 4 6 6 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) v) 5 f() log vi) f() = 4 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 1. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) 2x 1 5
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. Να λυθούν οι ανισώσεις: i) ii) iii) iv) 4 9 v) 7 4 vi). Να λυθούν οι ανισώσεις: i) ( ) 4 ii) ( ) ( ) iii) 4( ) ( ) ( ) iv) ( ) ( ) 7( ) v) 4 9 ( ). Να λυθούν οι παρακάτω
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 3. Ασκήσεις: -5 Θεωρία ως και την 3.3 Ασκήσεις: 6-8 Άσκηση Δίνεται η παράσταση: A= 3 5 +
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΑΣΚΗΣΗ Το βάρος μαθητών σε κιλά είναι : 5, 5, 57, 5, 6, 5, 5, 5, 57, 5 Να υπολογίσετε : α ) τη μέση τιμή
0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2
![0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2](/thumbs/59/43483993.jpg "0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2")
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι
_ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +
Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς
Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς Να χαρακτηρίσετε µε Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) τους παρακάτω ισχυρισµούς:. Για κάθε α R ισχύει ότι : α =α.. Για κάθε α R ισχύει ότι : α = α.. Για κάθε α R ισχύει ότι
Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο
Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» www.ma8eno.gr Ανισώσεις γινόμενο και ανισώσεις πηλίκο Πρόσημο γινομένου της μορφής P()
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ 1. ημ x. 1 σφx 1 σφx 4 ΘΕΜΑ γ ε. 2 δ. 1
1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1. Να αποδείξετε ότι: 1 σφ 1 σφ ΘΕΜΑ 1. Nα λύσετε την εξίσωση: ημ 1 σφ 1σφ 4 ΘΕΜΑ Α. Να βρεθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί: α. συν330 ο = β. συν (-300 ο ) = γ. συν (-10 ο ) = δ.
1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R
ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) () = 6 + 6 iv) () = log ( log4(- )) v) () = ii) () = iii) () = log ( + ) 5 log 4 vii) () = 5 + 4 viii) ()
1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμου της συνάρτησης. 2.Να βρεθεί ο λєr ώστε πεδίο ορισμού της συνάρτησης: 3, να είναι το R.
. Να βρεθεί το πεδίο ορισμου της συνάρτησης χ f() ln( 5) Πρέπει -ln(-3) χ-3> ln(-3) lne χ > 3-3 e χ > 3 e 3 χ > 3 Οπότε το Π.Ο. της συνάρτησης είναι Α f (, e3)u(e3, ).Να βρεθεί ο λєr ώστε πεδίο ορισμού
( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x
ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και
Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a
Κεφ. εξισώσεις ανισώσεις εξάσκησηεπανάληψη Τhe Ds that make a champion: Devotion, Desire, Discipline Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... Μορφές Εξισώσεων Λύση ή ρίζα εξίσωσης Εξίσωση ου βαθμού ax + b
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία
ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση
3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 93 96
3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 93 96 A Ομάδας. Να λύσετε τις εξισώσεις 5 + 3 0 Δ 5 4, 5 6 4 4 Δ 36 36 0, i Δ 6 4 8 < 0, 6 + 9 0 i 3 + 4 + 0 6. η εξίσωση είναι αδύνατη. 3 3 (διπλ
2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.
Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ
( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και
ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.