ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ. Π.Π. ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής. 27 Ἀπριλίου Τµήµατα Τεχνολογικής : Ζ4. ιάρκεια : 3 ώρες

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ. Π.Π. ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής. 27 Ἀπριλίου Τµήµατα Τεχνολογικής : Ζ4. ιάρκεια : 3 ώρες"

Δαμοκλής Παχής
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Π.Π. ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ 7 Ἀπριλίου 5 Τµήµατα Τεχνολογικής : Ζ4 ιάρκεια : 3 ώρες Λυγάτσικας Ζήνων - 7 Ἀπριλίου 5

2 . α ) Εστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. είξτε ότι : i. Αν f x) > σε κάθε εσωτερικό σηµείο x του, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το. ii. Αν f x) < σε κάθε εσωτερικό σηµείο x του, τότε η f είναι γνησίως ϕθίνουσα σε όλο το. Μονάδες ϐ ) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. i. Αν η f δεν είναι συνεχής στο x, τότε η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο x. ii. Για κάθε συνάρτηση f παραγωγίσιµη σε διάστηµα [a, b], ισχύει b a f x)dx fx) + c, c R iii. Αν z µιγαδικός αριθµός και z ο συζυγής του, τότε ισχύει z z z. iv. Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση f και η γραφική πα- ϱάσταση της f έχει κοινό σηµείο µε την ευθεία y x, τότε το σηµείο αυτό ανήκει και στο γράφηµα της f. v. Αν µια συνάρτηση f είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη στο R και στρέφει τα κοίλα προς τα άνω, τότε κατ ανάγκη ϑα ισχύει f x) > για καθε πραγµατικό αριθµό x. Μονάδες Λυγάτσικας Ζήνων - 7 Ἀπριλίου 5

3 . Για κάθε n N ορίζω τον µιγαδικό z n+ + i z n µε z. Εστω M n η εικόνα του z n, n N. α ) Υπολογίστε τους z, z, z 3, z 4 και δείξτε ότι z 4 R. ϐ ) Να παρασταθούν στο µιγαδικό επίπεδο οι εικόνες M, M, M,- M 3 και M 4. γ ) Εστω u n z n, n N. δ ) Μονάδες i. είξτε ότι η ακολουθία u n ) n N είναι µια γεωµετρική πρόοδος µε ) n u n ii. Να ϐρείτε τον µικρότερο ϕυσικό n έτσι ώστε όλοι οι µιγαδικοί M k µε k n να ανήκουν σε δίσκο µε κέντρο το O και ln ακτίνα,. Υποθέστε ότι ln 8, 64. i. είξτε ότι n N: z n+ z n z n+ i. ii. είξτε ότι το τρίγωνο OM n M n+ είναι ισοσκελές. Μονάδες 3 iii. Αν l n M M + M M + + M n M n, να ϐρείτε το όριο n + l n 3 Λυγάτσικας Ζήνων - 7 Ἀπριλίου 5

4 3. ίδεται συνάρτηση f :, ) R µε τύπο fx) ln x + + α)x όπου α, + ). α ) είξτε ότι η συνάρτηση έχει ολικό µέγιστο, έστω Aα). Μονάδες 5 ϐ ) Να υπολογίσετε το Aα) και να ϐρείτε το α + Aα). Μονάδες 5 γ ) Αποδείξτε ότι υπάρχει περιοχή του έτσι ώστε ιχύει ότι Aα) >, για κάθε α. δ ) Να ϐρείτε τις ασυµπτώτους της fx). Μονάδες Μονάδες 5 ε ) είξτε ότι η fx) έχει ακριβώς πραγµατικές ϱίζες ρ < ρ όταν α, µε την περιοχή του ερωτήµατος 3γ όπου Aα) >. ϝ ) είξτε ότι ρ + ln + x )dx α )ρ ρ ) ρ + ρ + ρ ρ + ρ + ρ ) ) ρ Λυγάτσικας Ζήνων - 7 Ἀπριλίου 5 4

5 4. Εστω α [, + ) και J α) J n α) t α) n + t) n+. + t και για n N ορίζω α ) Υπολογίστε το J α) και το J α) συναρτήσει το α. ϐ ) είξτε ότι J n+ α) )n+ α n+ n + + J n α) για κάθε n N. γ ) Αν px) 5 x5 4 x4 + 3 x3 x + x, δείξτε ότι J 5 α) ln + α) pα) Μονάδες 5 δ ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα Kα) t α) 5. ε ) είξτε ότι α [, + ), ισχύει Μονάδες 3 ln + α) pα) α6 6 Μονάδες 6 ϝ ) Ποιά µαθηµατική ερµηνεία ϑα δίναται στο αποτέλεσµα της προηγούµενης ερώτησης, 4ε ; Μονάδες 3 5 Λυγάτσικας Ζήνων - 7 Ἀπριλίου 5

6 Λύσεις του ιαγωνίσµατος -Τυπογραφικά λάθη είναι πι- ϑανά και αναπόφευκτα!-. α ) Θεώρηµα σελίδα 53 Σχολικό Βιβλίο. ϐ ) i. Σ ii. Λ iii. Σ iv. Σ v. Λ. α ) z z + i + i z + i + i) i i z 3 + i i i z 4 + i i R ϐ ) Παρατηρείστε ότι η διάταξη των εικόνων συµπεριφέρεται σαν την γνωστή µας σπείρα. Πράγµατι, η άσκηση λαµβάνει υπόψη αυτό το µοτίβο. Λυγάτσικας Ζήνων - 7 Ἀπριλίου 5 6

7 γ ) i. Παρατηρώ ότι : z n+ και λόγο λ + i ΠΠ ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής z n z n. Άρα, η u n ) n N είναι γ. πρόδος µε πρώτο όρο u ) n ) n. Εποµένως, u n u λ n ii. Ζητάµε ) να ϐρούµε ένα n έτσι ώστε z k,, για κάθε k n. Η ισοδύναµα, u n, n,. ) n, ln + n ln ln, ln + n ln ) ) ln ln n ln ln ln n ln n ln ln 8, 64 n 9 δ ) i. Ας υπολογίσουµε πρώτα το z n+ z n z n+ + i z n z n + i z n... + i i + i ii. Από το προηγούµενο αποτέλεσµα έχω : z n+ z n z n+ M n+m n i OM n+ Άρα, το τρίγωνο είναι ισοσκελές. iii. Αφού παρατηρήσουµε πρώτα ότι : M n M n OM n u n, έχουµε : l n M M + M M + + M n M n u + u + + u n [S na λn λ ] άθροισµα γπ ) n Εποµένως, l n n +, αφού ) n. ες σελ. 86 Σχολικό. n + 7 Λυγάτσικας Ζήνων - 7 Ἀπριλίου 5

3. Το γράφηµα της συνάρτησης fx) είναι : Σχῆµα : fx) ln x + + α)x Για να καταλάβετε την άσκηση προσπαθείστε να την ξαναγράψετε χρησιµοποιώντας τώρα σαν συνάρτηση την gx) ln x + α)x, α <, x, + )

α ) Υπολογίζοντας την πρώτη παράγωγο : f x) 4x 8x + αx + 4αx x + x α) + 4x α) + x + [ Το τριώνυµο του αριθµητού της ) έχει διακρίνουσα 6 α) 8 µε α > η >.

8 3. Το γράφηµα της συνάρτησης fx) είναι : Σχῆµα : fx) ln x + + α)x Για να καταλάβετε την άσκηση προσπαθείστε να την ξαναγράψετε χρησιµοποιώντας τώρα σαν συνάρτηση την gx) ln x + α)x, α <, x, + ) Σχῆµα : gx) ln x + α)x Αφού x <, ο τύπος της fx) ln x ) + α)x. α ) Υπολογίζοντας την πρώτη παράγωγο : f x) 4x 8x + αx + 4αx x + x α) + 4x α) + x + [ Το τριώνυµο του αριθµητού της ) έχει διακρίνουσα 6 α) 8 µε α > η >. Άρα, η f x) έχει δύο πραγµατικές ϱίζες ξ, ξ ± ξ ξ <. Εποµένως µια ϱίζα είναι ϑετική και η άλλη αρνητική. Αλλά, a ) α 3) 4α 6 + < α α > α > ) ] α) 8α 3)α ) α 3) ). Αλλά, α που είναι αληθές αφού α > από υπόθεση. Εστω ξ ) α 3) + < < < ξ. α Εποµένως για, ξ ) η f x) > και fx), ενώ στο ξ, ), η f x) < και fx). Άρα, στο ξ η fx) παρουσιάζει max. Λυγάτσικας Ζήνων - 7 Ἀπριλίου 5 8

9 ϐ ) Aα) fρ ) ln + ) α 3 + α) + ) α 3 α α α α α 3 ln) + ln + ) α α 3 α α + α για γ ) Αφού δ ) α + α 3 α + και α + Aα) + Aα) +, έπεται ότι υπάρχει περιοχή του έτσι ώστε Aα) > για κάθε α. α + fx) [ ln x ) + α)x ] ) x x Αλλά, ln x ), άρα το όριο στην ) είναι : x ) + α) ). Εποµένως η συνάρτηση έχει κατακόρυφη ασύµπτωτο την x. fx) x x x x ln x ) + α)x ln x ) x + α) ) 3) Αλλά, ln x ) x x + + x + H x x Άρα, η 3) δίνει όριο ) ln x ) x x x + α) + + α)) Άρα, η fx) δεν έχει οριζόντιες ασύµπτωτες. Επίσης, fx) x x ln x ) + α)x x x ln x ) + α)x x x [ ln x ) x x x ) + α) + ) + α) Άρα, δεν έχει ούτε πλάγιες ασύµπτωτες. ) ε ) Στο διάστηµα, ξ ) η f είναι αύξουσα, άρα το Πεδίο Τιµών της είναι το fx), fξ ) x, fξ )) µε fξ ) Aα) >. Εποµένως αφού αλλάζει πρόσηµο η fx) έχει ϱίζα ρ στο, ξ ). ] 9 Λυγάτσικας Ζήνων - 7 Ἀπριλίου 5

10 ) Στο ξ, ) η f είναι ϕθίνουσα µε Πεδίο Τιµών fx), fξ ), fξ )) µε fξ ) Aα) >. x Εποµένως αφού αλλάζει πρόσηµο η fx) έχει ϱίζα ρ στο ξ, ). fρ ) fρ ) { ln ρ ) α )ρ ln ρ ) α )ρ 4) ϝ ) ρ ρ + ln + x )dx ρ x + ) + ln x ))dx ρ ) ρ ρ + x) + ln x ) x + ) ) ρ x dx ρ + ρ + + ρ ) ln ρ ) ρ + ρ ) ln ρ ) ρ ρ ) 4) α )ρ ρ ) ρ + ρ + ρ ρ + ρ + ρ ) ) 4. Πρόκειται για µια άσκηση που δίνει την προσέγγιση του ln + α) από ένα πολυώνυµο 5ου ϐαθµού για κάθε α [, + ). Το πολυώνυµο δεν είναι τίποτα άλλο παρά το γνωστό ανάπτυγµα Taylor της ln + x): lnx + ) x x + x3 3 x4 4 ±... Το πολυώνυµο παρεµβολής px) 5 x5 4 x4 + 3 x3 x + x το έχουµε συναντήσει ξανά στην Aiii) σελ. 38 στο σχολικό ϐιβλίο. Εδώ χρησιµοποιούµε την µεθοδολογία του J. Bernoulli το 694 στο Effectionis omnium quadraturan & rectification curvarum per seriem quandam generalissiman, σύµφωνα µε την οποία χρησιµοποιούµε ολοκληρώσεις κατα παράγοντες ώστε να πάρουµε generalissiman σειρές όµοιες µε αυτές που ϐρήκαν µετέπειτα οι Taylor και Cauchy ανακαλύπτοντας ότι η µέθοδος αυτή έξυπνα τροποποιηµένη µπορεί να δώσει το αναπτύγµα µιας συνάρτησης µε τον γνωστό όρο-υπόλοιπο σαν ένα ολοκλήρωµα. α ) J α) J α) + t ln + t) α ln + α) ln ln + α) t α) + t) αν u t) ut) + t) + t t α) ) + t t α + t ) α + + t + α ) + α + ln + α) t α) + t + t Λυγάτσικας Ζήνων - 7 Ἀπριλίου 5

11 ϐ ) γ ) δ ) Kα) J n+ α) t α) n+ ) t α) n+ + t) n+ + t) n+ [ ] t α) n+ α n + ) + t) n+ n + )t α) n α) n+ α n + + t α) n + t) n+ α) n+ n + + J nα) J α) ln + α) J α) α) J α) α) J 3 α) α)3 3 J 4 α) α)4 4 J 5 α) α)5 5 t α) 5 + J α) ln + α) α n + ) + t) n+ + J α) α + ln + α) α + J α) α3 3 + α + ln + α) α + J 3 α) α4 4 α3 3 + α + ln + α) α + J 4 α) α5 5 + α4 4 α3 3 + α + ln + α) α ln + α) pα) t α)6 6 α α6 6. ε ) Επειδή t α t α t α) 5, ϑα ισχύει : αφού + t) 6. Επειδή α >, η ανισότητα 5) δίνει t α) 5 + t) 6 ) t α) 5 + t) 6 t α)5 5) t α) 5 J 5 α) Kα) Εποµένως, ln + α) pα) α6. Άρα, ln + α) pα) 6 α 6 6 α6 6. ϝ ) Η τελευταία σχέση λέει ότι η τιµή του 5ου ϐαθµού πολυωνύµου, pα), είναι µια προσεγγιστική τιµή του λογαρίθµου ln + α) για α [, + ). Ας δούµε λίγο εγκυκλοπαιδικά το τελευταίο. Υποθέστε ότι ϑέλουµε να ϐρούµε τη τιµή ενός λογαρίθµου µε προσέγγιση της τάξης.3 µε την ϐοήθεια πολυωνύµου 5ου ϐαθµού. Αφού λύσουµε την εξίσωση α6 6.3 και πάρουµε α , τότε το πολυώνυµό µας 5ου ϐαθµού µπορεί να δώσει µε προσέγγιση το πολύ.3, τη τιµή του λογαρίθµου ln ). Για παράδειγµα : p ) ενώ η τιµή του ln ) Εποµένως η τιµή είναι µια καλή προσέγγιση αφού <.3 Λυγάτσικας Ζήνων - 7 Ἀπριλίου 5

Σχετικά έγγραφα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ o ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ A Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα και δυο φορές παραγωγίσιµη σε κάθε εσωτερικό