MAJHMATIKH QRHMATOOIKONOMIA I

Transcript

1 MAJHMAIKH QRHMAOOIKONOMIA I MHMA EFARMOSMENWN MAJHMAIKWN 6 o upìdeigma tou Vasicek: Το υπόδειγµα του Black για την τιµο όγηση παραγώγων του επιτοκίου είναι απ ό και ευρέω χρησιµοποιούµενο. Ενα βασικό του µειονέκτηµα όµω είναι ότι δεν µοντε οποιεί την δυναµική του επιτοκίου παρά µόνο την κατανοµή του κάποια µε οντική στιγµή. Συνεπώ µπορεί µόνο να χρησιµοποιηθεί για την τιµο όγηση παραγώγων ευρωπα κού τύπου. Το υπόδειγµα του Vasicek, όπω και υποδείγµατα διωνυµικών δέντρων που εξετάσαµε πριν, µοντε οποιεί την εξέ ιξη στο χρόνο των επιτοκίων. Μπορεί συνεπώ να χρησιµοποιηθεί και για την τιµο όγηση παραγώγων που η αξία του εξαρτάται από την τροχιά των επιτοκίων. Η κεντρική υπόθεσή του είναι ότι το στιγµιαίο επιτόκιο ικανοποιεί την στοχαστική διαφορική εξίσωση Ornstein-Uhlenbeck: drt) αµ rt))dt + σdβt), 1) οι α, µ, σ είναι θετικέ σταθερέ, ενώ η β ) είναι ανέ ιξη Wiener κάτω από το αδιάφορο κινδύνου µέτρο Q. Με µια πρώτη µατιά β έπει κανεί ότι ο πρώτο όρο στο δεξί µέ ο τη 1) τείνει να επαναφέρει την r ) στην τιµή µ. Η ύση τη εξίσωση χωρί τον θόρυβο σ ) µε αρχική συνθήκη r) r θα ήταν r D r ; t) r e αt + µ1 e αt ). Ο υπερτιθέµενο ευκό θόρυβο περιµένουµε να δηµιουργήσει διακυµάνσει γύρω από αυτήν την ύση. Και η στοχαστική διαφορική εξίσωση 1) όµω µπορεί να υθεί ακριβώ. Από τον κανόνα του Itô: Εποµένω de αt rt)) e αt αrt)dt + drt)) µαe αt dt + σe αt dβt). t rt) r e αt + µ1 e αt ) + σe αt e αs dβs) r D r ; t) + σz t, ) t Z t : e αt e αs dβs). Η Z είναι ανέ ιξη Gauss γιατί;) Εποµένω ό ε οι πο υδιάστατε κατανοµέ τη καθορίζονται από τι µέσε τιµέ και τι συνδιακυµάνσει των τιµών τη. Φυσικά E Q [Z t ] γιατί;), ενώ έχουµε: Ειδικώτερα, και άρα [ t E Q [Z t Z s ] e αt+s) E Q e αp dβp) e αt+s) E Q [ t s t s e αt+s) e p dp s e αp dβp)) ] ] e αq dβq) e α t s e αt+s). 3) rt) Q N E Q [Zt ] 1 e t, ) r D r ; t), σ 1 e t ). 1

2 Ο οκ ηρώνοντα τώρα την ) στο διάστηµα [, ] αµβάνουµε: rt)dt r D r ; t)dt + σ Z t dt. Επειδή τώρα η Z είναι ανέ ιξη Gauss, ο τε ευταίο όρο τη παραπάνω σχέση θα ακο ουθεί κανονική κατανοµή. Μά ιστα και το διάνυσµα Z, Z tdt) R θα ακο ουθεί διδιάστατη κανονική κατανοµή. Από το θεώρηµα του Fubini η αναµενόµενη τιµή του Z tdt είναι µηδέν ενώ τη διασπορά του µπορούµε να την υπο ογίσουµε ω εξή : ] E [ Q Z s ds) ] E [ Q Z s ds) Z t dt) t E Q [Z t Z s ]dsdt t e αt eαs e αs dsdt E Q [Z t Z s ]dsdt ηt) dt, ηt) : 1 e αs. α Στη δεύτερη ισότητα παραπάνω έχουµε χρησιµοποιήσει το θεώρηµα του Fubini. κάνουµε αφού Εποµένω, E Q [ Z t Z s ] E Q [Z t ]E Q [Z s ] ) 1 σ. rt)dt Q N r D r ; t) dt, σ η s)ds. Συνεπώ µπορούµε να τιµο ογήσουµε οµό ογα χωρί τοκοµερίδια εύκο α: B, ) E Q [ e R rs)ds] e R r Dr ;t) dt+ 1 σ R ηs) ds. µε τον ίδιο τρόπο µπορούµε να υπο ογίσουµε την αξία του οµο όγου τη στιγµή t : Bt, ) E Q [ e R t rs)ds Ft ] e R t r D rt);s) ds+ 1 σ R t ηs) ds. Μπορούµε να το Ενθυµούµενοι τη µορφή τη ύση r D r, t) τη ντετερµινιστική εξίσωση µπορούµε να ξαναγράψουµε την προηγούµενη σχέση ω : Bt, ) e η t)rt) µα R t ηs)ds+ 1 σ R t ηs) ds. 4) Ο µόνο στοχαστικό όρο στον εκθέτη είναι ο rt) που έχει κανονική κατανοµή κάτω από το Q, συνεπώ η κατανοµή τη Bt, ) κάτω από το Q είναι ογ. κανονική. Θα θέ αµε τώρα να τιµο ογήσουµε ένα δικαίωµα αγορά ενό οµο όγου όψεω L και ωρίµανση. Η ωρίµανση του δικαιώµατο αγορά είναι τη στιγµή t < ενώ η παραδοτέα τιµή είναι K. Η απόδοση του δικαιώµατο στην ωρίµανσή του είναι βέβαια V t LBt, ) K) +. Η αρχική του αξία θα είναι οιπόν: V B, t)e Q [LBt, ) K) + ], 5)

3 το Q είναι το µέτρο που αντιστοιχεί στη χρήση τη B, t) ω numeraire. Γνωρίζουµε µά ιστα πώ να υπο ογίζουµε Q -αναµενόµενε τιµέ : [ E Q e R ] t rs)ds X E Q [X]. B, t) Στα π αίσια του υποδείγµατο του Black η βασική upìjesh που κάναµε για να υπο ογίσουµε την αναµενόµενη τιµή στην 5) είναι ότι η κατανοµή τη Bt, ) κάτω από το Q είναι ογαριθµική κανονική. Τούτο µπορεί να δειχθεί στα π αίσια του υποδείγµατο του Vasicek. Πράγµατι, για οποιοδήποτε λ R έχουµε: E [e λrt)] 1 [ Q B, t) EQ e λrt) R t rs)ds] Οπω είδαµε όµω η κατανοµή κάτω από το Q) του τυχαίου διανύσµατο X rt), t rs)ds) είναι -διάστατη κανονική. Η µέση του τιµή M R και ο πίνακα διασπορά του D µπορούν εύκο α να υπο ογιστούν από τι ) και 3). Συνεπώ για οποιοδήποτε διάνυσµα u R οι εκθετικέ ροπέ του X δίνονται από την σχέση: E Q [ e u X] e u M+ 1 u Du. Εποµένω, E Q [ e λrt) R t rs)ds] e λ D11+λM1 D1) e EQ [ R t rs)ds]+v arq [ R t rs)ds] Συνεπώ, για κάθε λ R έχουµε: e λ D11+λM1 D1) E Q [ e R t rs)ds] e λ D11+λM1 D1) B, t). E Q [ e λrt)] e λ D11+λM1 D1), και άρα η κατανοµή κάτω από το Q τη rt) είναι κανονική µε µέση τιµή M 1 D 1 και διασπορά Var Q [rt)] Var Q [rt)] D 11 σ 1 e t ). Από την 4) β έπουµε ότι και κάτω από το Q η αξία του οµο όγου Bt, ) ακο ουθεί ογαριθµική κανονική κατανοµή και άρα η 5) γίνεται: V LB, t)e Q [Bt, ) K/L) + ] LB, t) E Q [Bt, )]Nd 1 ) K ) L Nd ) LB, )Nd 1 ) KB, t)nd ), 6) ln d 1, ) E Q [Bt, )] K/L ± 1 η t)d 11 η t)d 1/ 11 ln ) LB, ) KB,t) ± 1 η t)d 11. 7) η t)d 1/ 11 o upìdeigma twn Hull&White: Συγκρίνοντα την τιµή του δικαιώµατο αγορά του οµο όγου που αµβάνουµε από το υπόδειγµα του Vasicek µε αυτήν που αµβάνουµε από το υπόδειγµα του Black φαίνεται ότι συµφωνούν αν στο µοντέ ο του Black θέσουµε τη διασπορά τη ln Bt, ) ίση µε η t)d 11. Προσοχή όµω! Ενώ στο µοντέ ο του Black οι τιµέ των οµο όγων B, t) και B, )) 3

4 που χρησιµοποιούµε είναι οι παρατηρούµενε τιµέ του, στο µοντέ ο του Vasicek είναι εκείνε που υπο ογίζονται από την 5) και ενδεχοµένω διαφορετικέ από τι παρατηρούµενε. Οι Hull και White πρότειναν µια τροποποίηση του υποδείγµατο του Vasicek ώστε οι τιµέ των οµο όγων όπω υπο ογίζονται από το µοντέ ο να ταυτίζονται µε τι αντίστοιχε παρατηρούµενε. Συγκεκριµένα, αν η τιµή µ προ την οποία έ κεται το στιγµιαίο επιτόκιο δεν είναι σταθερή, α ά µια µη στοχαστική συνάρτηση του χρόνου, ό οι οι υπο ογισµοί που κάναµε στο υπόδειγµα του Vasicek µπορούν να γίνουν µε τον ίδιο ουσιαστικά τρόπο. Αν οιπόν υποθέσουµε ότι το στιγµιαίο επιτόκιο ικανοποιεί την στοχαστική διαφορική εξίσωση: drt) αµt) rt))dt + σdβt), 8) οι α, σ είναι θετικέ σταθερέ, η µ ) είναι µια ντετερµινιστική συνάρτηση του χρόνου, ενώ η β ) είναι ανέ ιξη Wiener κάτω από το αδιάφορο κινδύνου µέτρο Q, τότε όπω θα εξακριβώσετε επανα αµβάνοντα του προηγούµενου υπο ογισµού : t B, ) exp η )r α e αt µs)e αs ds dt + σ η s)ds. Ενα άσσοντα την σειρά ο οκ ήρωση στο διπ ό ο οκ ήρωµα και παίρνοντα το ογάριθµο των δύο µε ών τη µπορούµε να ξαναγράψουµε την παραπάνω σχέση ω εξή : ln B, ) η )r α µs)η s)ds + σ η s)ds. 9) Ω εδώ δεν έχουµε επι έξει τη µορφή τη συνάρτηση µ ). Θα προσπαθήσουµε να το κάνουµε τώρα µε τέτοιο τρόπο ώστε να prosarmìsoume το αποτέ εσµα τη 9) στι παρατηρούµενε τιµέ των οµο όγων. Πιο συγκεκριµένα θα υποθέσουµε ότι η συνάρτηση B, ) είναι µια γνωστή οµα ή) συνάρτηση η παρατηρούµενη τιµή των οµο όγων) και θα προσπαθήσουµε να επι έξουµε τη συνάρτηση µ ) ώστε η 9) να ικανοποιείται για κάθε. Ειπωµένο διαφορετικά, θα προσπαθήσουµε να ύσουµε την ο οκ ηρωτική εξίσωση 9) ω προ µ. Παρατηρήστε ότι η άγνωστη συνάρτηση µ εµφανίζεται στην παραπάνω εξίσωση µέσω τη συνέ ιξή τη µε τη συνάρτηση η. Εφαρµόζοντα οπόν τον µετασχηµατισµό Laplace στα δυο µέ η τη εξίσωση και χρησιµοποιώντα την ιδιότητα ότι η συνέ ιξη δύο συναρτήσεων µετασχηµατίζεται στο γινόµενο των µετασχηµατισµών Laplace των συναρτήσεων θα πάρουµε µια α γεβρική εξίσωση για την ˆµ την οποία µπορούµε εύκο α να ύσουµε. Αν µπορέσουµε έχοντα πια υπο ογίσει την ˆµ να αντιστρέψουµε το µετασχηµατισµό Laplace θα έχουµε ύσει την εξίσωση. Πιο συγκεκριµένα, ˆηu) η s)ds µs)η s)ds u) ˆµuηu), e ut ηt)dt u) 1 u η u) ut 1 e αt 1 e dt α uα + u), u α + u) + u). Αν ορίσουµε οιπόν gt) ln B, t) και εφαρµόσουµε το µετασχηµατισµό Laplace στην εξίσωση 9) αµβάνουµε: ĝu) r ˆηu) αˆµuηu) + σ η s)ds u) r uα + u) α ˆµu) uα + u) + σ u α + u) + u). 4

5 Επι ύοντα ω προ ˆµ έχουµε οιπόν: αˆµu) r + uα + u)ĝu) + σ u + u). Αποµένει τώρα να αντιστρέψουµε τον µετασχηµατισµό. Εχουµε οιπόν: σ ) u + u) σ 1 u 1 σ 1 e u), + u ενώ παρατηρώντα ότι g) και g ) r έχουµε: r + uα + u)ĝu) g ) g)u + u ĝu)) + α g) + uĝu)) g + αg u). Συνεπώ, αµt) g t) + αg t) + σ 1 e t ). Με τον ίδιο τρόπο που κάναµε την τιµο όγηση δικαιωµάτων αγορά οµο όγων κατά το υπόδειγµα του Vasicek µπορούµε να κάνουµε την τιµο όγηση και κατά το υπόδειγµα των Hull & White. Μά ιστα η τιµή του δικαιώµατο αγορά ενό οµο όγου όψεω L και ωρίµανση, µε παραδοτέα τιµή K και ωρίµανση του δικαιώµατο ) t δίνεται ακριβώ από τι σχέσει 6) και 7). Μόνο που τώρα η θεωρητική τιµή που αποδίδει το υπόδειγµα στα οµό ογα δη αδή τα B, t) και B, )) όγω τη προσαρµογή ταυτίζεται µε την παρατηρούµενη τιµή του. Το να τιµο ογήσουµε οµό ογα µε σταθερά τοκοµερίδια είναι εξίσου εύκο ο, αφού αυτά µπορούν να θεωρηθούν σαν µια σειρά από οµό ογα χωρί τοκοµερίδια. Τέ ο ειναι δυνατόν να τιµο ογήσουµε caps και floors στα π αίσια του υποδείγµατο, αρκεί να παρατηρήσουµε ότι η αξία ενό caplet στην ωρίµανσή του t είναι: V t L t) rt, ) R) + Bt, ) L [1 Bt, )1 + R t))] +, Συνεπώ η τιµο όγηση ενό caplet ανάγεται στην τιµο όγηση ενό δικαιώµατο πώ ηση οµο όγου όψεω 1 + R t)) και ωρίµανση. Κατ αντιστοιχία η τιµο όγηση ενό floorlet ανάγεται στην τιµο όγηση ενό δικαιώµατο αγορά οµο όγου. 5