ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R με f (), για κάθε > για την οποία ισχύει η σχέση: u f() ( ) + f(t) dt du, για κάθε >. () i. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα και κυρτή στο πεδίο ορισμού της. ii. Να βρεθεί ο τύπος της f. iii. iv. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις C f και C g, όπου g() και από την κατακόρυφη ευθεία. Αν Ε το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της h() ημf() + συνf(), με > και τις κατακόρυφες ευθείες και, τότε να δειχθεί ότι v. Να υπολογισθεί το όριο h(t) dt d E. f ημ t dt. ( ) t ΛΥΣΗ i. Αφού η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη έχουμε ότι οι f και f είναι συνεχείς στο (, + ). Αφού f (), για κάθε > και η f είναι συνεχής στο (, + ) τότε από συνέπειες θεωρήματος Bolzano προκύπτει ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, + ). Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της () ως προς έχουμε: ii. f () + f(t) dt, για κάθε >. () Για, από τη () προκύπτει ότι f () <. Επομένως, f () <, για κάθε >. Άρα, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, + ). Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της () ως προς έχουμε ότι f () f() >, για κάθε >. Άρα, η f είναι κυρτή στο (, + ). Από τα παραπάνω έχουμε: f ()<, f () f() για > f ()f () 4f () f() f () 4 f(). Άρα, από συνέπειες θεωρήματος μέσης τιμής υπάρχει πραγματική σταθερά c τέτοια ώστε: f () 4 f() + c, για κάθε >. (3) Για, από την () προκύπτει ότι f().

2 Για, η (3) γίνεται f () 4 f() + c ( ) 4 + c c. Επομένως, f () 4 f() f () f(), για κάθε > ή f () f(), για κάθε > και αφού f () <, για κάθε > έχουμε ότι f () f() f () f() f() (), για κάθε >. Άρα, από συνέπειες θεωρήματος μέσης τιμής υπάρχει πραγματική σταθερά c τέτοια ώστε f() + c, για κάθε >. Για η παραπάνω σχέση γίνεται Οπότε, f() + c c. f() f() ln f() ln, με > iii. iv. Θεωρώ την συνάρτηση φ() f() g() ln ln +, με >. Παρατηρώ ότι φ() ln +. H φ είναι συνεχής στο (, + ) ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιμη στο (, + ) με φ () + + <, για κάθε >. Άρα η φ είναι γνησίως φθίνουσα στο (, + ), οπότε και η ρίζα είναι μοναδική. Τέλος, για > φ φ() < φ() φ() < και για < < φ φ() > φ() φ() >. Οπότε το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με: E(Ω) φ() d φ() d ln + d ln d + [ln] () ln d + ( ) [ln] d + ( ) [] Το εμβαδόν που περικλείεται από την γραφική παράσταση της h() και τις κατακόρυφες ευθείες και π 4 δίνεται από τον τύπο: E h() d h() d διότι, < < f f > f() > f() π > f() > < f() < π. Οπότε, ημf() > και συνf() >, αφού f(), π και h() > για κάθε π 4,. Έχουμε ότι: h(t) dt d h(t)dt d h(t)dt d h(t)dt + h() d h(t) dt ημ( ln) + συν( ln) d

3 v. Έστω E ημ(ln) συν( ) Ε + + συν(ln) ημ( ) Ε + + Ε. Θέτω t u t u. Τότε, dt du. d E συν(ln) συν π 4 ημ π 4 Ι ημ ( ) Για t έχουμε u και για t έχουμε u. Άρα, + ημ(ln) f t dt. t f t dt f u t u du f u lnu du du u u lnu(lnu) Επομένως το ζητούμενο όριο γίνεται: ln Ι ημ ( ) διότι, DL H du [ln u] ln (ln ln) ln ln ημ( ) συν( ) ln ημ( ) DL H συν( ) ln ημ( ) συν( ). ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει η σχέση: i. Να βρείτε τον τύπο της f. ii. Να υπολογίσετε το όριο εφ f(t)dt, + +3 για κάθε R. () +4 f(t) dt.

4 ΛΥΣΗ i. Αφού η f είναι συνεχής στο R, τότε και η συνάρτηση ολοκλήρωμα f(t) dt είναι παραγωγίσιμη στο R. Οπότε παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της () ως προς έχουμε: ii. συν f(t) dt Από την () έχουμε: f(t) dt συν f(t) dt f() f() συν f(t)dt. ημ f(t) dt ημ f(t) dt συν f(t) dt. συν f(t) dt Όμως, από βασική τριγωνομετρική ταυτότητα έχουμε ότι: ημ f(t)dt + συν f(t) dt συν f(t) dt συν f(t) dt f() + f() f(), με R. + Α τρόπος: Έχουμε ότι: f(t)dt t dt + + t dt +3 + t dt dt. + t Θέτω G() +t dt, με αφού +. H G είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) αφού σύνθεση συνεχών, με G () +. H G είναι συνεχής στο [ + 3, + 4] με > και παραγωγίσιμη στο ( + 3, + 4). Από Θεώρημα Μέσης Τιμής, υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( + 3, + 4) τέτοιο ώστε: G( + 4) G( + 3) G (ξ) G (ξ) G( + 4) G( + 3) + 4 ( + 3) G (ξ) + t dt dt. + t Όμως, η G είναι γνησίως φθίνουσα στο [, + ) διότι G () <, για κάθε >. ( +) + Οπότε, + 3 < ξ < + 4 G G ( + 3) > G (ξ) > G ( + 4) ( + 4) < + t dt dt < + t + ( + 3) > ( + 4) < + t dt dt < + t + ( + 3) +4 + ( + 4) < + t dt < +3 + ( + 3). Όμως, διότι, + και + ( + 3) + + ( + 4) +t συνεχής ως

5 + + ( + 3) Άρα, από κριτήριο Παρεμβολής Β τρόπος: Θέτω G(t) t dt +t f(t) dt , με t [ + 3, + 4]και >. Η G είναι παραγωγίσιμη στο [ + 3, + 4] ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων άρα και συνεχής, με G (t), για κάθε t ( + 3, + 4), με >. Άρα, η G είναι γνησίως φθίνουσα στο [ + 3, + 4] και έχουμε: + 3 t + 4 G G( + 3) G(t) G( + 4) Άρα, +4 G( + 4) +3 dt G( + 4)[t] > + ( + 4) + ( + 4) Όμως, και + + ( + 4) + Άρα από Κριτήριο Παρεμβολής, +4 G(t) G(t)dt +4 dt G( + 3) dt G( + 3)[t] +3 G(t)dt + ( + 3) +4 + t dt +3 + ( + 3) t dt ΘΕΜΑ 3 + ( + 3) f(t) dt t < (t +)t + Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g: R R που ικανοποιούν τις σχέσεις f () g () f() g(), για κάθε R () και f() g(4). Να βρεθεί η μεγαλύτερη πραγματική σταθερά c για την οποία ισχύει f(4) > c. ΛΥΣΗ H () γίνεται f () f() g () g() f() g(), για κάθε R. Άρα, από συνέπειες Θεωρήματος Μέσης Τιμής υπάρχει πραγματική σταθερά c τέτοια ώστε f() g() + c f() g() c, για κάθε R. Θέτω h() f() g(), για κάθε R, δηλαδή h() c. Για και για 4 έχουμε αντίστοιχα ότι h() c και h(4) c.

6 Άρα, h() h(4) f() g() f(4) g(4) g() f(4) f(4) g() < Επομένως, f(4) < ln ln. Άρα, f(4) < ln f(4) < ln f(4) > ln. Οπότε, c ln. Επιμέλεια θεμάτων: Βασιλάκη Ρίτα - Γουμενάκη Εύα Γραμματικάκης Γιάννης Σπυριδάκη Ελευθερία Σταυρακάκης Γιάννης Φασουλάς Αλέξης Φασουλάς Χάρης Χριστοφάκης Γιώργος