ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ"

Σάρρα Παπανδρέου
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ Α. Απόδειξη από τη σελ. 94 του σχολικού βιβλίου A. Ορισμός από τη σελ. 88 του σχολικού βιβλίου Α3. Ορισμός από τη σελ. 59 του σχολικού βιβλίου Α4. α Λ β Σ γ Λ δ Σ ε Σ ΘΕΜΑ B B. z4 z z4 4 z z 4z 4 4z z zz 4z 4z 6 4zz 4z 4z 4 3zz zz 4 z 4 z Σελίδα από 3

2 άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο O,, ακτίνα ρ και εξίσωση y B. α) z z z z z z α τρόπος w z z 4 4 z z z z z z z 4 4 z z z z z z w z w w ww Im w iim w w β τρόπος 4 z z z z z z w z 4 z z z z z z z β) z 4 z z z w z z z z z z z z z z z z 4 Άρα w 4 και w, άρα 4w 4. Σελίδα από 3

3 B3. z z w 4 4 z z 4zz z z z z z z z z z z z z z z z z AB z z z z z 4 3 AΓ z z iz z z i 4 z 5 BΓ z3 z iz z iz z iz z z i 5 Άρα ΑΓ ΒΓ, οπότε ΑΒΓ ισοσκελές. ΘΕΜΑ Γ Γ. f συνεχής στο ως πηλίκο συνεχών και παρ/μη με f f και για θα είναι f + + f Σελίδα 3 από 3

4 και επειδή f συνεχής στο, θα είναι f γνησίως αύξουσα στο. lim f lim lim επειδή lim lim, άρα lim και lim f lim lim lim D.L.H. D.L.H. f γνησίως αύξουσα και συνεχής στο πεδίο ορισμού της A, οπότε το σύνολο τιμών θα είναι f A lim f, lim f,. Γ. 3 3 f f f 5 Επειδή f γνησίως αύξουσα στο θα είναι και, άρα f fa,, οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα A, τέτοιο ώστε f 3 και επειδή f, οπότε θα είναι μοναδικό. Άρα η εξίσωση έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα. Γ3. α τρόπος u Έστω Fu ftdt με Fu fu F συνεχής στο, 4 και παραγωγίσιμη στο, 4, οπότε από Θ.Μ.Τ. υπάρχει Σελίδα 4 από 3

5 τουλάχιστον ένα ξ, 4 τέτοιο ώστε F ξ f ξ f ξ F F f ξ 4 f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt 4 f f t dt 4 ξ 4 f ξ f 4 f 4 f t dt f 4 β τρόπος f / t 4 f f t f 4 f 4 f t Άρα Η συνάρτηση gt f4 ft άρα και στο, 4 με. 4 Άρα, t είναι συνεχής στο, f 4 f t dt γιατί η g δεν είναι πάντα f 4 f t dt f 4 dt f t dt f t dt f 4 dt f t dt f 4 t 4 4 f t dt f 4 4 f t dt f 4 4 Γ4. 4 f t dt lim g lim f t dt lim f t dt Σελίδα 5 από 3

6 4 f t dt f t dt F4 F lim lim D.L.H. F44 F f 44 f lim lim 4 4 lim4f 4f lim 4 g. 4 Άρα g συνεχής στο. Για g 4 Άρα g συνεχής στο,. Για g f t dt F4 F συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. F4 F F4F F4F F 4 4F F 4 F 4f 4 f F 4 F 4 f 4 f 4 f f t dt 4 f 4 f f 4 f t dt επειδή f άρα 4 f f 4 f 4 f Σελίδα 6 από 3

7 f 4 f 4 και f 4 f t dt από το Γ3. Οπότε g στο, και g συνεχής στο άρα g γνησίως αύξουσα στο,. ΘΕΜΑ Δ Δ. Εξ υποθέσεως ισχύει για κάθε : f f f f,, f f f f f f f Άρα θα ισχύει: Για έχουμε: f f c για κάθε. f f f c cc f f f f f Άρα f f f f f f () Θέτουμε f M, Η Μ συνεχής στο ως πράξη συνεχών. Από () M για κάθε. Άρα M για κάθε και Μ συνεχής Σελίδα 7 από 3

8 άρα M για κάθε, οπότε η Μ διατηρεί σταθερό πρόσημο στο. f M Άρα M για κάθε, f οπότε από () M f για κάθε. Θα δείξουμε ότι για κάθε () Αν ισχύει η σχέση αφού Αν () ισχύει Άρα για κάθε ισχύει. ln " " f f Αφού ln ln f ln, Δ. α) f Άρα f για κάθε, οπότε f / A f =, Σελίδα 8 από 3

9 f, f f f H f στρέφει τα κοίλα άνω στο και παρουσιάζει σημείο καμπής για f + σ. κ.,, τα κοίλα κάτω στο, f β) Η εξίσωση εφαπτομένης της C f στο σημείο της O, είναι: ε : yf f ε : y ε : y Αφού η f στρέφει τα κοίλα κάτω στο,, η ευθεία ε : y θα είναι πάνω από την C f στο διάστημα Έστω g,, μ άρα και στο διάστημα Η g συνεχής στο, άρα και στο, ως πολυωνυμική. Η f συνεχής στο άρα και στο, ως παραγωγίσιμη. Άρα το ζητούμενο εμβαδόν θα ισούται:,. Σελίδα 9 από 3

10 E g f d g f d ln d d ln d ln d ln d ln d ln d ln d ln ln ln f / Δ3. Αφού f f Άρα f f Η f συνεχής στο, άρα και η f συνεχής στο, οπότε η συνάρτηση f t dt είναι παραγωγίσιμη στο, όπως επίσης και η συνάρτηση f t dt τ.μ. lim f lim ln f Σελίδα από 3

11 f t dt lim Άρα το όριο είναι απροσδιοριστία της μορφής f t dt f f t dt ln f ln f f t dt f t dt lim lim f f D.L.H. D.L.H. f ln f f lim ln f lim lim f lim lim f f f lim f f, αφού f συνεχής. lim lim f f f D.L.H. Άρα οπότε Άρα lim ln f f t dt lim ln f f t dt lim ln f Δ4. Θεωρούμε τη συνάρτηση: t 3 f t dt f t dt, Σελίδα από 3

12 Η t είναι συνεχής στο, 3 ως πράξη συνεχών t 83 f t dt t 3 3 f t dt f για κάθε από Δ3. Η ισότητα θα ισχύει μόνο για Άρα f t t Άρα για κάθε t,. f t t dt αφού η ισότητα f t t dt f t dt t dt 3 t f t dt t t dt f t dt 3 8 f t dt 3 f t dt f t dt t Ομοίως ft Άρα t για κάθε t, f t t dt f για κάθε. f t t θα ισχύει μόνο για t. αφού η ισότητα θα ισχύει μόνο για t. f t t dt f t dt t dt 3 t ft dt t dt ft dt 3 Σελίδα από 3

13 ft dt 3 ft dt 3 3 f t dt t 3 t t 3 Άρα Οπότε από Θεώρημα Bolzano υπάρχει, 3 : t 3 f t dt 3 83 f tdt 3 f t dt 8 3 f t dt 3 3 Άρα η δοθείσα εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, 3). Σελίδα 3 από 3

Σχετικά έγγραφα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ www.orion.du.gr