ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΡΩΝΑΚΗΣ. ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Διδακτική προσέγγιση

Transcript

1 ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΟΡΩΝΑΚΗΣ ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΣΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Διδακτική προσέγγιση Αφορμή γι αυτή τη σύντομη εργασία έδωσε μια ημερίδα διδασκαλίας των Μαθηματικών, η οποία οργανώθηκε από το Σχολικό Σύμβουλο Μαθηματικών κ. Ι. Καλογεράκη το Νοέμβριο του 25. Στόχος μας είναι να διατυπώσουμε και να αποδείξουμε δύο θεωρήματα που αναφέρονται στην αλλαγή μεταβλητής στο ορισμένο ολοκλήρωμα Για τις αποδείξεις θα χρειαστούμε το παρακάτω θεώρημα: Έστω I διάστημα πραγματικών αριθμών και f : I μια συνεχής και - συνάρτηση. Τότε η f είναι γνησίως μονότονη και η f είναι συνεχής συνάρτηση. Την απόδειξη μπορεί να βρεί ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης στο [2], σελ. 78. Θα πρέπει να τονίσουμε ότι δεν ισχύει το συμπέρασμα, αν το I δεν είναι διάστημα. Παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης είναι η Η f είναι συνεχής και -, ενώ η σημείο x. x, x< f( x) x-, 2 x 3 f x, x< ( x) δεν είναι συνεχής στο x+, x 2 Επίσης, θα χρειαστούμε, και θα το αναφέρουμε ως λήμμα, ένα θεώρημα σχετικό με την παραγωγισιμότητα της αντίστροφης συνάρτησης. Τα υπόλοιπα θεωρήματα που θα χρησιμοποιήσουμε υπάρχουν στο Σχολικό Βιβλίο και, πιστεύουμε, ότι οι μαθητές που κατέχουν την ύλη των μαθηματικών της Γ λυκείου θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης δεν θα δυσκολευτούν να κατανοήσουν τις αποδείξεις. Λήμμα Έστω f : J γνησίως μονότονη και συνεχής συνάρτηση, όπου J διάστημα και f J I. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x J και f ( x ), τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο y f( x ) και ισχύει f y. f ( x ) Απόδειξη Επειδή η f είναι γνησίως μονότονη και συνεχής, υπάρχει η αντίστροφη f της f, η οποία είναι συνεχής και γνησίως μονότονη. Επίσης, από τη μονοτονία και τη συνέχεια της f προκύπτει ότι το I f( J) είναι μη τετριμμένο διάστημα. Θεωρούμε τη συνάρτηση y y h: I y με hy ( ) f ( y) f ( y )

2 2 Η h είναι καλά ορισμένη, αφού για κάθε y I με y y, f y f y ( ) ( ) λόγω της μονοτονίας της f. Θα αποδείξουμε τώρα ότι lim hy ( ) f ( x ). y y Έστω. Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο x θα υπάρχει τέτοιο ώστε να ισχύει f( x) f( x ) x x f ( x ), για κάθε x I με x x () Η f είναι συνεχής στο y f( x ), άρα για το θα υπάρχει ένα τέτοιο ώστε να ισχύει f ( y) f ( y ), για κάθε y I με y y (2) Επειδή η επιλογή του ήταν τυχαία, από τις () και (2) προκύπτει ότι lim hy ( ) f( x). y y Για κάθε y I με y y έχουμε hy ( ), οπότε f y f y ( ) ( ) y y y y h( y ). f ( y) f ( y ) Επομένως, f ( y) f ( y ) lim lim y y h ( y ) f ( ), άρα x f y y y y y. f ( x ) Παρατηρήσεις i. Το συμπέρασμα του λήμματος δεν ισχύει, αν f ( x ). Π.χ. για τη συνάρτηση f y ισχύει f () και f. 3 f( x) x, x ii. Αποδεικνύεται ότι αν f ( x ), τότε αν η f είναι γνησίως αύξουσα, ενώ αν η f είναι γνησίως φθίνουσα f y. Θεώρημα J, και :J συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση (δηλ. υπάρχει η Έστω και είναι συνεχής). Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο I J, τότε ισχύει

3 3 ( ) f t t dt f x dx () ( ) Απόδειξη Αρχικά παρατηρούμε ότι υπάρχουν τα ολοκληρώματα στα δύο μέλη της (), λόγω της συνέχειας των συναρτήσεων f o και f στα διαστήματα, και ( ), ( ) αντίστοιχα. Αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι ίσα. Θέτουμε ( ) και ( ). Αν η είναι σταθερή, τότε, προφανώς, ισχύει η ισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε. Αν η δεν είναι σταθερή, από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών προκύπτει ότι το I J είναι διάστημα το οποίο περιέχει το διάστημα με άκρα τα σημεία και. Θεωρούμε τις συναρτήσεις και F : I u με Fu ( ) f( xdx ), u I H : J με Ht ( ) F t, t J Επειδή η f είναι συνεχής, η F είναι παραγωγίσιμη με F u f u. Επίσης, η H είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγισίμων συναρτήσεων και από τον κανόνα της αλυσίδας παίρνουμε H t F t t Επομένως,, t J H t f t t. Από το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού και το γεγονός ότι H F F παίρνουμε ότι f t t dt H t dt H H H (2) Επίσης έχουμε H F F f x dx (3)

4 4 Από τις (2) και (3) προκύπτει ότι ( ) f t t dt f x dx ( ) Εφαρμογή t Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I= t 5 2 dt 2 Θεωρούμε τις συναρτήσεις f( x) x, x - και t t 2, t Με εφαρμογή του θεωρήματος βρίσκουμε ότι I= log3 2. Θεώρημα 2 Έστω J, και :J συνάρτηση η οποία είναι συνεχώς παραγωγίσιμη με x για κάθε x J και I J. Αν η συνάρτηση f : I είναι συνεχής, τότε να αποδείξε τε ότι ισχύει ( ) f tdt f x xdx () ( ) Απόδειξη Επειδή η είναι συνεχής και x για κάθε x J, από το θεώρημα του Bolzano προ κύπτει ότι η διατηρεί πρόσημο στο J, άρα η είναι γνησίως μονότονη. Η ικανοποιεί τις προυποθέσεις του λήμματος, άρα υπάρχει η και είναι παραγωγίσιμη στο I. Εύκολα ελέγχουμε ότι τα ολοκληρώματα στα δύο μέλη της () υπάρχουν. Η συνάρτηση f o : J είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων, άρα υπάρχει μια παράγουσα G: J της f o (βλ. [], σελ. 334) Δηλαδή ισχύει t f t G o για κάθε t J (2) Η συνάρτηση G o είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγισίμων συναρτήσεων. Από τη (2) και τον κανόνα της αλυσίδας παίρνουμε G x G x x f o o x x x = f o x x f x (3)

5 5 Από το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού και τις σχέσ εις (2) και (3) παίρνουμε: και ( ) ( ) f t dt G t dt G G (4) ( ) ( ) f( x) xdx G o xdx Go ( ) ( ) ( ) ( ) Από τις (4) και (5) προκύπτει ότι G G G( ) G( ) (5) = ( ) f t dt f x x dx ( ) Εφαρμογή 4 Να υπολογί σετε το ολοκλήρωμα I= dt. t Θεωρούμε τις συναρτήσεις f( x ), x και t t, t,4. Επειδή x t για t, 4 και x x 2 με εφαρμογή του θεωρήματος 2 2 t 3 βρίσκουμε ότι I= 2 log 2. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ []Ανδρεαδακης,Σ.,Καταργύρης,Β.,Μέτης,Σ.,μπρουχούτας,Κ.,Παπασταυρίδης,Σ.,Πο λύζος,γ., Μαθηματικά Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση, Ο.Ε.Δ.Β., 23. [2] Νεγρεπόντης,Σ.,Γιωτόπουλος,Σ.,Γιαννακούλιας,Ε., Απειροστικός Λογισμός, Εκδόσεις Συμμετρία, Αθήνα 987. Γ. ΚΟΡΩΝΑΚΗΣ

6 6