Κεφάλαιο 4 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Transcript

1 Κεφάλαι 4 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Σύνψη Στ τέταρτ τύτ κεφάλαι, ρίζνται ι φυσικές πσότητες τυ ηλεκτρικύ δυναμικύ και της ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας για σημειακά και μη φρτία. ενώ μελετάται τ ηλεκτρικό στατικό πεδί ως διατηρητικό πεδί. Επίσης, μελετώντας της δυναμική τυ ηλεκτρικύ διπόλυ μέσα σε μγενές ηλεκτρικό πεδί, ρίζεται η έννια της ηλεκτρικής διπλικής ρπής, Πραπαιτύμενη γνώση Κανόνες παραγώγισης και λκληρώσεως. Μερική παράγωγς. 4.1 Έργ ηλεκτρικύ πεδίυ και ηλεκτρική δυναμική ενέργεια Έως τώρα έχυμε εξετάσει τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ των ηλεκτρικών φρτίων από δυναμικής άπψης, δηλ. με βάση την ηλεκτρστατική δύναμη Coulomb πυ αναπτύσσεται μεταξύ των φρτίων. Εντύτις δεν έχυμε αναφερθεί στ τι συμβαίνει από ενεργειακής άπψης, δηλ. πια ενέργεια χαρακτηρίζει τα ηλεκτρικά φρτία στις ηλεκτρστατικές αλληλεπιδράσεις. Γι αυτόν τν λόγ, ας εξετάσυμε την απλή περίπτωση, όπυ δυ σημειακά θετικά ηλεκτρικά φρτία Q και q, αλληλεπιδρύν μεταξύ τυς όπως δείχνει τ σχ Τ φρτί Q πρς χάριν απλότητς θεωρείται ακίνητ, ενώ τ φρτί q δύναται να κινείται ελεύθερα στ χώρ. Εφόσν τ q είναι μώνυμ τυ Q, σύμφωνα με τν νόμ τυ Coulomb θα απωθηθεί από αυτό κατά μήκς της ακτινικής διεύθυνσης. Η ηλεκτρική δύναμη F q πυ ασκείται πάνω στ q, είναι συνευθειακή και μόρρπη τυ ηλεκτρικύ πεδίυ Ε, τ πί δημιυργείται από τ φρτί Q, λόγω της σχέσης F q =qe. Η ηλεκτρική δύναμη F q λιπόν, καθώς μετατπίζει τ φρτί q από ένα αρχικό σημεί Α σε ένα τελικό Β κατά μήκς της ακτινικής διεύθυνσης (βλ. σχ. 4.1), παράγει έργ W πάνω στ φρτί q. To έργ αυτό είναι ίσ με B Β Β W F d F d cosφ W F d (4.1) AB q q AB A Α Α επειδή κατά την διάρκεια της αυθόρμητης απωστικής κίνησης τυ φρτίυ q, ισχύει πάντα φ=0. q Εάν τώρα θεωρήσυμε μια τυχαία διαδρμή τυ φρτίυ μεταξύ των σημείων Α και Β, όπως δείχνει τ σχ. 4.1 (διακεκμμένη γραμμή), τ έργ πυ παράγει τ ηλεκτρικό πεδί Ε λόγω της ηλεκτρικής δύναμης F q πάνω στ φρτί q κατά την μετατόπισή τυ από τ Α στ Β στην νέα αυτή διαδρμή, είναι AB B W F dl F cosφdl (4.) A q q d φ A dl όπυ dl είναι η στιχειώδης μετατόπιση τυ q πάνω στην τυχαία διαδρμή, και φ είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων F q και dl. Η πσότητα cosφdl είναι η πρβλή τυ dl στην διεύθυνση της F q, ή αλλιώς στην ακτινική διεύθυνση. Για κάθε στιχειώδες τμήμα της τυχαίας διαδρμής ισχύει +Q d dl cos φ (4.3) q Ε F q Σχήμα 4.1 Κίνηση θετικύ ηλεκτρικύ φρτίυ q από τ σημεί Α στ σημεί Β, εντός ηλεκτρικύ πεδίυ πυ δημιυργείται από τ ακίνητ θετικό σημειακό φρτί Q. Η αυθόρμητη διαδρμή πυ διαγράφει τ φρτί q είναι ακτινική. Για πιαδήπτε άλλη τυχαία διαδρμή τυ φρτίυ μεταξύ των σημείων Α και Β, τ έργ πυ παράγει τ ηλεκτρικό πεδί είναι τ ίδι με αυτό της ακτινικής τρχιάς ΑΒ. Εν γένει τ έργ εξαρτάται μόν από τις θέσεις των Α και Β σημείων, και όχι από την διαδρμή τυ φρτίυ q μεταξύ αυτών. B Ε

2 Λόγω της εξ. 4.3, τ λκλήρωμα της εξ. 4. ανάγεται στ λκλήρωμα της εξ Έτσι λιπόν συμπεραίνυμε ότι για πιαδήπτε τυχαία διαδρμή από τ σημεί Α στ σημεί Β, τ έργ πυ παράγει η ηλεκτρική δύναμη Coulomb είναι τ ίδι. Από τα παραπάνω καταλήγυμε στ γεγνός ότι, τ έργ πυ παράγεται ή καταναλώνεται από την ηλεκτρική δύναμη Coulomb κατά την κίνηση ενός φρτίυ από μια θέση A σε μια άλλη θέση B, εξαρτάται μόν από την αρχική και τελική θέση τυ φρτίυ, ενώ είναι ανεξάρτητ από την διαδρμή πυ τ φρτί ακλυθεί μεταξύ αυτών των δυ θέσεων (Gant & Phillips, 1975), (Young. & Feedman, 010). Ως συνέπεια τύτυ, μπρύμε να ειπύμε ότι τ έργ πυ παράγει η ηλεκτρστατική δύναμη κατά μήκς μιας κλειστής διαδρμής ενός φρτίυ, είναι μηδέν. Από την Μηχανική γνωρίζυμε ότι τέτια χαρακτηριστικά στην κίνηση σωμάτων, επιφέρυν μόν ι διατηρητικές δυνάμεις και τα διατηρητικά πεδία πυ τις δημιυργύν, όπως για παράδειγμα είναι η βαρυτική δύναμη και τ βαρυτικό πεδί αντιστίχως. Απδείξαμε λιπόν ότι τ ηλεκτρστατικό πεδί και η δύναμη πυ αυτό δημιυργεί, είναι επίσης διατηρητικές φυσικές πσότητες (Knight, 010). Αντικαθιστώντας την ηλεκτρική δύναμη Coulomb στην εξ. 4.1, παίρνυμε για τ έργ της B B B 1 Qq Qq d Qq 1 Qq 1 1 Qq Qq AB ( ) ( ) AB 4πε A 4πε 4πε A 4πε A B A 4πεA 4πε B (4.4) W d W Από την Μηχανική γνωρίζυμε ότι όταν σ ένα σώμα ασκύνται μόν διατηρητικές δυνάμεις, η μηχανική τυ ενέργεια, δηλ. τ άθρισμα της κινητικής και δυναμικής τυ ενέργειας, παραμένει σταθερή σε πιαδήπτε θέση και αν αυτό ευρεθεί. Ισχύει δηλ. Ε K +U c (4.5) όπυ Ε, Κ και U, είναι η μηχανική, η κινητική και η δυναμική ενέργεια τυ κινυμένυ σώματς αντιστίχως. Η εξ. 4.5 ισχύει και για την κίνηση τυ φρτίυ q μέσα στ ηλεκτρστατικό πεδί από την θέση Α στην θέση Β (σχ. 4.1), όπυ Κ και U είναι η κινητική και η δυναμική ενέργεια αντιστίχως τυ κινυμένυ φρτίυ μέσα στ ηλεκτρικό πεδί. Έτσι μπρύμε να γράψυμε για τ φρτί q καθώς αυτό κινείται από τ σημεί Α στ σημεί Β, K +U K +U K K U U K K ( U U ) Κ U (4.6) A A B B B A A B B A B A AB AB Η εξ. 4.6 μας πληρφρεί ότι η μεταβλή της κινητικής ενέργειας πυ επιφέρει η ηλεκτρστατική δύναμη σ ένα φρτί, είναι ίση με την αρνητική μεταβλή της δυναμικής ενέργειας τυ φρτίυ μέσα στ ηλεκτρικό πεδί. Με άλλα λόγια διαπιστώνυμε, ότι όπως μια μάζα η πία ευρίσκεται εντός βαρυτικύ πεδίυ χαρακτηρίζεται από βαρυτική δυναμική ενέργεια, έτσι και τ ηλεκτρικό φρτί όταν ευρίσκεται εντός ηλεκτρικύ πεδίυ χαρακτηρίζεται από ηλεκτρική δυναμική ενέργεια. Από την Μηχανική και τ θεώρημα έργυ-κινητικής ενέργειας, γνωρίζυμε ότι η μεταβλή της κινητικής ενέργειας ενός σώματς ισύται με την παραγωγή ή δαπάνη έργυ σε αυτό. Έτσι από τις εξισώσεις 4.4 και 4.6, παίρνυμε (4.4) Qq Qq W Κ U U U (4.7) AB AB AB A B (4.6) 4πεA 4πεB Συμπεραίνυμε λιπόν ότι, τ έργ πυ απαιτείται για να μετακινηθεί ένα ηλεκτρικό φρτί από μια θέση τυ ηλεκτρστατικύ πεδίυ σε μια άλλη, είναι ίσ με την αρνητική μεταβλή της ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας τυ φρτίυ μεταξύ αυτών των θέσεων (Halliday, Resnick & Kane, 009). Από την εξ. 4.7 συνάγυμε ότι η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια ενός φρτίυ q σε σημεί Α πυ απέχει απόσταση A από ένα άλλ φρτί Q, και εντός τυ ηλεκτρικύ πεδίυ πυ δημιυργεί τ Q, είναι U A 1 Qq 4πε (4.8) A Η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια περιγράφει την αλληλεπίδραση των δύ φρτίων και μπρεί να είναι, είτε θετική όταν τα φρτία είναι μώνυμα (άπωση), είτε αρνητική όταν τα φρτία είναι ετερώνυμα (έλξη). Αρνητική δυναμική ενέργεια δηλώνει ένα δέσμι και σταθερό σύστημα φρτίων, όπως πχ πυρήναςηλεκτρόνια. Θετική δυναμική ενέργεια δηλώνει ένα ασταθές σύστημα. Όταν η απόσταση των σημειακών φρτίων πρσεγγίζει τ άπειρ, η δυναμική ενέργεια πρσεγγίζει τ μηδέν. Επειδή όπως στην Μηχανική, έτσι και στν ΗΜ μας ενδιαφέρυν περισσότερ ι μεταβλές της δυναμικής ηλεκτρικής ενέργειας, συνήθως θεωρύμε την δυναμική ηλεκτρική ενέργεια στ άπειρ ίση με μηδέν. Υπό αυτήν την έννια, η δυναμική

3 3 ενέργεια ενός σημειακύ φρτίυ σε μία θέση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ, είναι ίση με τ έργ πυ πρέπει να καταναλωθεί για να μεταφερθεί τ φρτί από μια πλύ μακρινή θέση (στ άπειρ) στην συγκεκριμένη θέση. Τελειώνντας, ας διερευνήσυμε τ έργ της ηλεκτρικής δύναμης βάσει της εξ Όταν τ φρτί q είναι μώνυμ τυ Q (σχ. 4.1), θα απωθηθεί αυθόρμητα από τ σημεί Α πρς τ Β, με την μετατόπιση d να είναι μόρρπη της ηλεκτρικής δύναμης F, πότε τ έργ είναι θετικό. Σύμφωνα με τ θεώρημα έργυενέργειας, θετικό έργ πρκαλεί αύξηση της κινητικής ενέργειας τυ φρτίυ q και αντίστιχη μείωση της δυναμικής τυ ενέργειας. Πράγματι, καθώς τ φρτί q επιταχύνεται από την ηλεκτρική δύναμη, αυξάνει την κινητική τυ ενέργεια μειώνντας ταυτόχρνα την δυναμική τυ (βλ. εξ. 4.8). Εάν τ φρτί q κατευθύνεται με ταχύτητα από τ σημεί Β στ σημεί Α, η απωστική ηλεκτρική δύναμη είναι αντίθετη της μετατόπισης d, και τ έργ της είναι αρνητικό, δηλ. η δύναμη καταναλώνει ενέργεια. Αυτό έχει ως συνέπεια, η κινητική ενέργεια τυ φρτίυ q να ελαττώνεται καθώς πλησιάζει τ φρτί Q, ενώ ταυτόχρνα η δυναμική τυ ενέργεια αυξάνεται. Στην αντίθετη περίπτωση όπυ τ φρτί q είναι ετερώνυμ τυ Q, κατά την μετατόπισή τυ από τ σημεί Α πρς τ Β, η ηλεκτρική δύναμη πυ ασκείται πάνω στ q είναι αντίθετη της μετατόπισης d και επμένως τ έργ της είναι αρνητικό. Τότε εάν τ φρτί q κινείται με μια αρχική ταχύτητα από τ Α πρς τ Β, η ηλεκτρική δύναμη τ επιβραδύνει μειώνντάς τυ την κινητική ενέργεια και αυξάνντάς τυ την δυναμική. Εάν όμως τ φρτί q κινείται από τ σημεί Β πρς τ Α, τότε η ηλεκτρική δύναμη είναι μόρρπη της μετατόπισης d και επμένως τ έργ της είναι θετικό. Τότε η ηλεκτρική δύναμη επιταχύνει τ φρτί q, αυξάνντας την κινητική τυ ενέργεια και ελαττώνντάς τυ την δυναμική. Πρσχή! Τα ετερώνυμα ηλεκτρικά φρτία έχυν αρνητική δυναμική ενέργεια (έλξη φρτίων), πότε όσ πλησιέστερα είναι τ ένα ως πρς τ άλλ, τόσ μικρότερη είναι η δυναμική τυς ενέργεια (μεγάλς αρνητικός αριθμός, εξ. 4.8). Αντιθέτως για τα μώνυμα ηλεκτρικά φρτία, όσ περισσότερ πλησιάζυν μεταξύ τυς, τόσ αυξάνεται η ηλεκτρική δυναμική τυς ενέργεια (μεγάλς θετικός αριθμός, εξ. 4.8). Σε κάθε περίπτωση, αφήνντας ελεύθερα τα ηλεκτρικά φρτία να κινηθύν αυθόρμητα υπό την επίδραση της ηλεκτρστατικής δύναμης Coulomb, τα φρτία κινύνται πάντα τ ένα ως πρς τ άλλ, έτσι ώστε η ηλεκτρική δυναμική τυς ενέργεια να μειωθεί στ ελάχιστ δυνατό. Κάθε ηλεκτρικό φρτί δηλαδή, τείνει πάντα να καταλάβει μια θέση ελάχιστης ηλεκτρική δυναμικής ενέργειας Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια συνόλυ σημειακών ηλεκτρικών φρτίων Η δυναμική ηλεκτρική ενέργεια μεταξύ δύ σημειακών ηλεκτρικών φρτίων ρίζεται από την εξ Πρσέξτε ότι η εξ. 4.8, ρίζει την ηλεκτρική δυναμική ενέργεια τυ σημειακύ φρτίυ q σε απόσταση A ως πρς τ φρτί Q (σχ. 4.1), τ πί θεωρύμε ότι ευρίσκεται στην αρχή των αξόνων ενός καρτεσιανύ συστήματς συντεταγμένων. Ταυτχρόνως όμως, η ίδια εξίσωση ρίζει και την ηλεκτρική δυναμική ενέργεια τυ φρτίυ Q ως πρς τ φρτί q. Αυτό συμβαίνει διότι με τν ίδι τρόπ, μπρύμε να θεωρήσυμε ότι τ φρτί Q ευρίσκεται μέσα στ ηλεκτρικό πεδί τυ φρτίυ q και σε απόσταση A από αυτό, εφόσν βεβαίως θεωρήσυμε την αρχή ενός συστήματς καρτεσιανών συντεταγμένων στην θέση τυ φρτίυ q. Έτσι η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια ρίζεται αμιβαίως για ένα ζεύγς ηλεκτρικών φρτίων με απόσταση μεταξύ τυς, ως 1 Qq U (4.9) 4 πε Από φυσική άπψη, η δυναμική ενέργεια τυ συστήματς των δυ φρτίων q και Q, είναι η ενέργεια πυ πρέπει να απδθεί στ σύστημα των ηλεκτρικών φρτίων για να απμακρυνθύν μεταξύ τυς σε άπειρη απόσταση, έχντας μηδενική κινητική ενέργεια τ καθένα, έτσι ώστε να σταματήσει κάθε ηλεκτρστατική αλληλεπίδραση μεταξύ τυς. Για την περίπτωση δύ ετερσήμων σημειακών φρτίων, η εξ. 4.9 δίνει αρνητική δυναμική ενέργεια, πυ σημαίνει ότι τα δυ φρτία είναι δέσμια τ ένα ως πρς τ άλλ, μιας και έλκνται από την δύναμη Coulomb, ώστε να τείνυν να ενωθύν. Για να σταματήσυν να αλληλεπιδρύν μεταξύ τυς, δηλ. να έλκνται, κάπις πρέπει να τυς εφαρμόσει μια αντίθετη δύναμη από αυτήν τυ Coulomb, ώστε παράγντας έργ πάνω τυς, να τα απμακρύνει σε άπειρη απόσταση μεταξύ τυς, με απτέλεσμα να σταματήσει η ηλεκτρστατική αλληλεπίδρασή τυς. Αντιθέτως για δύ μόσημα σημειακά φρτία, η δυναμική τυς ενέργεια είναι θετική, και τα φρτία λόγω της απωστικής δύναμης Coulomb τείνυν να απμακρυνθύν μεταξύ τυς πρς τ άπειρ. Για να τα διατηρήσει κάπις σε σταθερή απόσταση τ ένα από τ άλλ, πρέπει να ασκήσει πάνω τυς αντίθετη δύναμη από αυτήν τυ Coulomb, και επμένως να δαπανήσει ενέργεια ίση με την δυναμική ενέργεια πυ έχυν τα φρτία όταν απέχυν απόσταση.

4 4 Εάν τώρα θεωρήσυμε ένα σημειακό φρτί q να περιβάλλεται από Ν σημειακά ηλεκτρικά φρτία Q i, όπυ i=1,, Ν, η συνλική δυναμική ενέργεια τυ φρτίυ q δίνεται από τ αλγεβρικό άθρισμα των ηλεκτρικών δυναμικών ενεργειών τυ q με κάθε ένα φρτί Q i ξεχωριστά, δηλ. ισχύει U q Q Q Q q Q 4πε 4πε N 1 N i (... ) U (4.10) 1 i1 i όπυ i είναι η απόσταση τυ q φρτίυ από τ φρτί Q i. Ισχύει δηλ. για την ηλεκτρική δυναμική ενέργεια η αρχή της επαλληλίας. Υπενθυμίζυμε ότι η δυναμική ενέργεια είναι μνόμετρη φυσική πσότητα. Έτσι ι όρι τυ αθρίσματς της εξ είναι θετικί αριθμί για μώνυμα φρτία q και Q i, ενώ είναι αρνητικί για ετερώνυμα φρτία. Στην περίπτωση πυ έχυμε μια κατανμή Ν σημειακών ηλεκτρικών φρτίων q 1, q, q N στ χώρ, η συνλική δυναμική ενέργεια τυ συστήματς των φρτίων είναι τ άθρισμα των δυναμικών ενεργειών ανά ζεύγς φρτίων, δηλ. ισχύει U 1 q q q q q q q q q q q q N 3 4 N i j ( ) U 4πε N 3 4 N 4πε i j (4.11) ij όπυ ij είναι η απόσταση μεταξύ των q i και q j φρτίων (Knight, 010). Πρσέξτε ότι για να μην συμπεριλάβυμε στ άθρισμα τ ίδι ζευγάρι φρτίων δύ φρές, θεωρύμε πάντα γινόμενα φρτίων q i q j με i<j. Σε κάθε περίπτωση, για να εύρυμε την δυναμική ενέργεια ενός ή περισστέρων φρτίων, τα φρτία πρέπει να τπθετύνται στις σχέσεις πάντα με τα πρόσημά τυς. Πρέπει να σημειώσυμε ότι η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια ενός συστήματς Ν σημειακών φρτίων σε συγκεκριμένες θέσεις, είναι ίση με τ έργ πυ πρέπει να δαπανηθεί για να μεταφερθύν αυτά τα Ν φρτία από τ άπειρ (U=0), σ αυτές τις θέσεις. Παράδειγμα 4.1 Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια πρωτνίων Ο πυρήνας τυ Ηλίυ έχει δύ πρωτόνια τα πία απέχυν μεταξύ τυς απόσταση περίπυ d= m. Πια είναι η αμιβαία ηλεκτρική δυναμική ενέργειά τυς; Τ ηλεκτρικό φρτί τυ πρωτνίυ είναι q= C. Λύση Η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια μεταξύ δυ πρωτνίων δίνεται από την εξ. 4.9, όπυ q=q είναι τ φρτί τυ πρωτνίυ. Έτσι έχυμε q 9 Nm ( C) 14 U 910 U J -15 4πε d C 3 10 m Στην ατμική κλίμακα η ενέργεια μετράται σε μνάδες ηλεκτρνιβόλτ (ev), όπυ 1 ev = Joule. Άρα η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια των δυ πρωτνίων είναι U= ev. Παρατηρύμε ότι η ενέργεια είναι θετική, πυ σημαίνει ότι τα πρωτόνια απωθύνται μεταξύ τυς. Εντύτις τα πρωτόνια παραμένυν δεσμευμένα στν πυρήνα, διότι εκτός της απωστικής ηλεκτρικής δύναμης υπάρχει και η πυρηνική δύναμη, η πία είναι ελκτική. Σε απστάσεις υπατμικών διαστάσεων, όπως αυτές των πυρήνων των ατόμων (10-15 m), η πυρηνική δύναμη είναι ισχυρότερη της ηλεκτρικής. Για να καταλάβυμε πόσ δυνατή είναι η πυρηνική δύναμη, αρκεί να υπλγίσυμε την απωστική δύναμη Coulomb μεταξύ των δυ -q πρωτνίων τυ ατόμυ τυ Ηλίυ, η πία υπλγίζεται περίπυ ίση με 5 Ν. Αυτή η μακρσκπικύ μεγέθυς δύναμη, είναι αναλγικά μια τεράστια δύναμη, εάν σκεφθεί κανείς ότι δημιυργείται μεταξύ δύ σωματιδίων τυ ατμικύ πυρήνα. α α qq Παράδειγμα 4. Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια μάδς σημειακών ηλεκτρικών φρτίων Τρία σημειακά ηλεκτρικά φρτία είναι τπθετημένα στις κρυφές ισπλεύρυ τριγώνυ πλευράς α, όπως φαίνεται στ σχ. 4.. Τα φρτία είναι q 1 =, q =+3q και q 3 =-q, όπυ q= C ενώ η πλευρά τυ τριγώνυ είναι α=10 cm. Πια είναι η συνλική ηλεκτρική δυναμική ενέργεια τυ συστήματς των ηλεκτρικών φρτίων; a +3q Σχήμα 4. Ηλεκτρικά σημειακά φρτία τπθετημένα στις κρυφές ισπλεύρυ τριγώνυ (παράδειγμα 4.).

5 5 Λύση Για να υπλγίσυμε την ηλεκτρική δυναμική ενέργεια U τυ συστήματς των φρτίων, πρέπει να υπλγίσυμε την δυναμική ενέργεια κάθε ζεύγυς φρτίων, και στη συνέχεια να αθρίσυμε τις επιμέρυς δυναμικές ενέργειες, όπως υπδεικνύει η εξ Έτσι έχυμε για την δυναμική ενέργεια τυ συστήματς των φρτίων όπυ U U U U U (1) U13 U 3 1 qq 1 3q U () 4πε a 4πε a qq 1 (-) q U (3) 4πε a 4πε a qq 1 (-6) q U (4) 4πε a 4πε a H εξ. 1 λόγω των, 3 και 4 εξισώσεων γίνεται 1 3q -q -6q 1 q 1 5q U ( ) (3- - 6) - 4πε a a a 4πε a 4πε a -9 9 Nm 5 (1 10 C) 7 U U J - C m Η συνλική ηλεκτρική δυναμική ενέργεια τυ συστήματς των τριών φρτίων είναι αρνητική, γεγνός πυ σημαίνει ότι συνλικά υπάρχει ελκτική αλληλεπίδραση μεταξύ των φρτίων, ώστε να δημιυργείται ένα δέσμι σύστημα. Έτσι εάν τα τρία φρτία αφεθύν ελεύθερα να κινηθύν, θα καταλήξυν να ενωθύν τ ένα με τ άλλ, με τ αρνητικό φρτί να καταλαμβάνει θέση ανάμεσα στα δυ θετικά. 4. Τ ηλεκτρικό δυναμικό Έχυμε ρίσει την ηλεκτρική δυναμική ενέργεια ενός φρτίυ q ως μια μνόμετρη φυσική πσότητα, η πία εξαρτάται από την θέση τυ φρτίυ μέσα στ ηλεκτρικό πεδί ενός άλλυ φρτίυ Q, και τ μέγεθς τυ ιδίυ τυ φρτίυ q. Εάν θεωρήσυμε την ηλεκτρική δυναμική ενέργεια ανά μνάδα τυ φρτίυ q (ανά C), τότε παίρνυμε μία μνόμετρη φυσική πσότητα, η πία νμάζεται ηλεκτρικό δυναμικό V και εξαρτάται μόν από την θέση τυ φρτίυ q εντός τυ ηλεκτρικύ πεδίυ και τ φρτί Q πυ δημιυργεί τ πεδί. Με άλλα λόγια τ ηλεκτρικό δυναμικό είναι μια ιδιότητα τυ χώρυ τυ ηλεκτρικύ πεδίυ, πυ για κάθε σημεί τυ χώρυ λαμβάνει μια συγκεκριμένη τιμή, η πία και καθρίζει την ηλεκτρική δυναμική ενέργεια κάθε φρτίυ πυ θα ευρεθεί στ συγκεκριμέν σημεί. Έτσι θεωρώντας ένα δκιμαστικό φρτί q, τ πί τπθετείται μέσα στ ηλεκτρικό πεδί ενός άλλυ σημειακύ φρτίυ Q, (βλ. σχ. 4.1), εξ ρισμύ τ ηλεκτρικό δυναμικό δίνεται ως U V (4.1) q (Seas, 1951), (Young. & Feedman, 010), (Knight, 010), (Giancoli, 01), (Seway & Jewett, 013). Επειδή η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια τυ φρτίυ q σε απόσταση από τ σημειακό φρτί Q ρίζεται ως qq U K (4.13) τ ηλεκτρικό δυναμικό πυ δημιυργεί ένα σημειακό ηλεκτρικό φρτί στ χώρ είναι Q V K (4.14)

6 6 Παρατηρύμε ότι τ ηλεκτρικό δυναμικό είναι ανάλγ της πσότητς τυ ηλεκτρικύ φρτίυ, τ πί δημιυργεί τ ηλεκτρικό πεδί στ χώρ, και αντιστρόφως ανάλγ της απόστασης από αυτό. Επίσης όπως πραναφέραμε, τ ηλεκτρικό δυναμικό είναι μια μνόμετρη φυσική πσότητα, η πία παίρνει μια συγκεκριμένη τιμή για κάθε σημεί τυ χώρυ. Έτσι τ δυναμικό πυ δημιυργεί στ χώρ ένα θετικό φρτί είναι θετικό, ενώ τ αντίστιχ δυναμικό ενός αρνητικύ φρτίυ είναι αρνητικό. Η μνάδα μέτρησης τυ ηλεκτρικύ δυναμικύ στ ΔΣΜ είναι τ Volt (V), όπυ 1 V=J/C. Τ Volt (βόλτ) ρίσθηκε πρς τιμήν τυ Ιταλύ φυσικύ Alessando Volta ( ), πίς πρώτς παρήγαγε ηλεκτρική ενέργεια από στιχεί χημικής ενέργειας (μπαταρία). Από την εξ. 4.13, μπρύμε να γράψυμε ότι η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια ενός φρτίυ q σε ένα σημεί τυ ηλεκτρικύ πεδίυ, είναι τ γινόμεν τυ δυναμικύ σ αυτό τ σημεί επί τ ηλεκτρικό φρτί, δηλ. ισχύει U qv (4.15) Κάπις θα ερωτήσει: «Τί μας χρειάζεται τ ηλεκτρικό δυναμικό, αφύ μπρύμε να χρησιμπιήσυμε τ ηλεκτρικό πεδί;». Η απάντηση είναι ότι τ δυναμικό ως μνόμετρη φυσική πσότητα, σε πλλές περιπτώσεις μας δίνει πλενέκτημα στην περιγραφή των ηλεκτρικών φαινμένων έναντι τυ διανυσματικύ μεγέθυς της έντασης τυ ηλεκτρικύ πεδίυ Ε. Επίσης κάπια πρβλήματα είναι ευκλότερ να αντιμετωπισθύν με ενεργειακή θεώρηση, παρά με δυναμική, πότε τ ηλεκτρικό δυναμικό και η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια είναι εξαιρετικά χρήσιμα μεγέθη. Τ ίδι συμβαίνει και στην Μηχανική, όπυ συχνά για την επίλυση πρβλημάτων πρτιμύμε την ενεργειακή ανάλυση (θεώρημα έργυ-ενέργειας) από την δυναμική (νόμι Νεύτωνα). Εκτός τύτυ, πρέπει να τνίσυμε την θεμελιώδη φυσική σημασία τυ ηλεκτρικύ δυναμικύ ή ακριβέστερα της διαφράς δυναμικύ, ως την γενεσιυργό αιτία της κίνησης των ηλεκτρικών φρτίων στ χώρ, δηλ. της δημιυργίας ηλεκτρικύ ρεύματς. Θα αναφερθύμε παρακάτω στην ιδιαίτερη αυτή φυσική σημασία τυ ηλεκτρικύ δυναμικύ, όπως επίσης και στ κεφάλαι 6. Έτσι λιπόν για την μελέτη των ηλεκτρικών φαινμένων, έχυμε από την μία πλευρά τ μνόμετρ μέγεθς τυ ηλεκτρικύ δυναμικύ και από την άλλη τ διανυσματικό τυ ηλεκτρικύ πεδίυ. Ωστόσ υπάρχει μια άρρηκτη σχέση μεταξύ αυτών των δυ μεγεθών. Ας συγκρίνυμε για παράδειγμα τ ηλεκτρικό δυναμικό και τ ηλεκτρικό πεδί πυ δημιυργεί στ χώρ ένα σημειακό φρτί Q. Τ δυναμικό V δίνεται από την εξ. 4.14, ενώ τ ηλεκτρικό πεδί E από την εξίσωση. Q E K ˆ (4.16) Συγκρίνντας τις εξισώσεις 4.14 και 4.16, παρατηρύμε ότι τ μέτρ τυ ηλεκτρικύ πεδίυ είναι η αρνητική πρώτη παράγωγς τυ ηλεκτρικύ δυναμικύ ως πρς την απόσταση (Alonso & Finn, 199). Διαφρετικά μπρύμε να ειπύμε ότι η αρνητική μεταβλή τυ ηλεκτρικύ δυναμικύ κατά μήκς μιας κατεύθυνσης στ χώρ, μας δίνει τ μέτρ και την κατεύθυνση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ Ε, βάσει της σχέσης dv E ˆ (4.17) d Alessando Volta ( ) ( ipedia/commons/4/4a/alessando _Volta.jpg) Τ παρόν έργ απτελεί κινό κτήμα (public domain). Εναλλακτικά μπρύμε να περιγράψυμε την εξ. 4.17, λέγντας ότι, όταν τ δυναμικό V αυξάνεται κατά μήκς μιας κατεύθυνσης ˆ στ χώρ, τ διάνυσμα Ε αυξάνεται πρς αυτήν την κατεύθυνση αλλά κατευθύνεται αντίθετα από τ ˆ. Αντιθέτως εάν τ V μειώνεται κατά την κατεύθυνση ˆ, τ διάνυσμα Ε μειώνεται επίσης και έχει κατεύθυνση ίδια με τυ ˆ. Η εξ έχει γενικότερη ισχύ, διότι ισχύει και για μη σημειακά φρτία. Για τ ηλεκτρστατικό πεδί σημειακύ φρτίυ, τ ηλεκτρικό δυναμικό δίνεται από την εξ Όλα τα σημεία τα πία απέχυν ίση απόσταση από ένα σημειακό φρτί έχυν τ ίδι δυναμικό, εφόσν δεν υπάρχει άλλ φρτί στ χώρ. Ο γεωμετρικός τόπς όλων των σημείων πυ ισαπέχυν από ένα σημεί απόσταση, είναι η επιφάνεια μιας σφαίρας με ακτίνα. Βάσει λιπόν της εξ. 4.14, και της ακτινικής συμμετρίας πυ αυτή παρυσιάζει στ χώρ, τ ηλεκτρικό δυναμικό πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας είναι

7 7 τ ίδι για όλα τα σημεία της επιφάνειας, και η επιφάνεια της σφαίρας νμάζεται ισδυναμική επιφάνεια (Giancoli, 01). Γενικότερα για περιχές τυ χώρυ όπυ τ δυναμικό δεν αλλάζει αλλά είναι σταθερό, δημιυργύνται επιφάνειες ι πίες νμάζνται ισδυναμικές επιφάνειες (Feynman, Leighton & Sands, 009). Σύμφωνα με την εξ. 4.17, επειδή κατά μήκς και κατά πλάτς μιας ισδυναμικής επιφάνειας τ δυναμικό δεν αλλάζει, τότε ισχύει dv 0 V c (4.18) Η εξ βάσει της εξ. 4.17, μάς πληρφρεί ότι ι συνιστώσες τυ ηλεκτρικύ πεδίυ Ε σε κάθε παράλληλη διεύθυνση πρς κάθε ισδυναμική επιφάνεια είναι μηδέν. Με άλλα λόγια δεν μπρεί ένα φρτί να κινείται πάνω σε μια ισδυναμική επιφάνεια υπό την επίδραση κάπιας ηλεκτρικής δύναμης, διότι δεν υπάρχει ηλεκτρικό πεδί κατά μήκς και κατά πλάτς της. Εφόσν λιπόν τ ηλεκτρικό πεδί είναι πάντα μηδέν εφαπτμενικώς της ισδυναμικής επιφάνειας, αυτό σημαίνει ότι τ πεδί Ε μπρεί να είναι μόν κάθετ στην επιφάνεια, πότε και ι δυναμικές ηλεκτρικές γραμμές τυ είναι πάντα κάθετες σε κάθε ισδυναμική επιφάνεια, όπως V=c ακριβώς δείχνει τ σχ Ε Από την εξ μπρύμε να υπλγίσυμε τ ηλεκτρικό πεδί με παραγώγιση τυ δυναμικύ ως πρς την χωρική συντεταγμένη. Αντιστρόφως από την ίδια εξίσωση, μπρύμε με λκλήρωση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ ως πρς την απόσταση, να υπλγίσυμε τ ηλεκτρικό δυναμικό σε μια χωρική διάσταση ως V ( ) E( ) d (4.19) Για παράδειγμα, ένα σημειακό θετικό φρτί πυ δημιυργεί στ χώρ ηλεκτρικό πεδί, τ πί περιγράφεται από την εξ. 4.16, δημιυργεί ταυτχρόνως στν ίδι χώρ, ηλεκτρικό δυναμικό, τ πί υπλγίζεται από την εξ. 4.19, ως ή V ( ) K Q d KQ d V ( ) K Q (4.0α) 1 Q V() 4πε (4.0β) Σχήμα 4.3 Οι δυναμικές γραμμές τυ ηλεκτρικύ πεδίυ είναι κάθετες σε κάθε ισδυναμική επιφάνεια (V=c). Για σταθερή απόσταση από τ σημειακό ηλεκτρικό φρτί Q, τ ηλεκτρικό δυναμικό παραμένει σταθερό. Έτσι γύρω από τ φρτί σχηματίζνται ισδυναμικές επιφάνειες, ι πίες είναι μόκεντρες σφαίρες, όπως δείχνει τ σχ Για Ε V 3 Ε V V 1 Σχήμα 4.4 Ισδυναμικές επιφάνειες (μόκεντρες σφαίρες) ηλεκτρικύ πεδίυ E γύρω από σημειακό φρτί Q. Q Ε θετικό Q τ ηλεκτρικό δυναμικό φθίνει καθώς αυξάνεται η απόσταση από τ φρτί, δηλαδή όσ αυξάνεται τ εμβαδόν της ισδυναμικής επιφάνειας ισχύει V 3 <V <V 1. Στν ηλεκτρισμό, μεγάλη φυσική σημασία έχει η διαφρά δυναμικύ μεταξύ δυ σημείων, η πία νμάζεται και ηλεκτρική τάση. Στην πραγματικότητα, η διαφρά δυναμικύ είναι η γενεσιυργός αιτία για την ύπαρξη τυ ηλεκτρικύ πεδίυ (βλ. εξ. 4.17). Η ηλεκτρική τάση μετράται σε Volts από ειδικά όργανα τα πία νμάζνται βλτόμετρα, και θα την μελετήσυμε πι διεξδικά σε επόμενα κεφάλαια. Γνωρίζντας τ ηλεκτρικό πεδί στ χώρ, η διαφρά δυναμικύ μεταξύ δυ σημείων Α και Β μπρεί να υπλγισθεί βάσει της εξ. 4.0, γράφντας

8 8 VB (4.19) V V dv ( ) V V E( ) d B A B A VA B (4.1) A όπυ E () είναι τ ηλεκτρικό πεδί κατά την διεύθυνση της απόστασης μεταξύ των σημείων Α και Β (Halliday, Resnick & Kane, 009). Για τν υπλγισμό τυ δυναμικύ σ ένα σημεί τυ χώρυ, μπρύμε να χρησιμπιήσυμε την εξ. 4.1, θεωρώντας τ σημεί Α στ άπειρ, όπυ τ δυναμικό συνήθως ρίζεται με την τιμή 0, μιας και είναι πλύ απμακρυσμέν από τ φρτί (βλ. εξ. 4.0β). Θα ιδύμε παρακάτω κάπια παραδείγματα υπλγισμύ ηλεκτρικύ δυναμικύ στ χώρ. Για δύ πιαδήπτε σημεία Α και Β μέσα σ ένα ηλεκτρικό πεδί, μπρύμε να εύρυμε την διαφρά δυναμικύ μεταξύ τυς, γενικεύντας την εξ. 4.1 στην μρφή B B A () V V E ds (4.) A όπυ τ λκλήρωμα τυ ds είναι τ μήκς μιας διαδρμή μεταξύ των σημείων Α και Β. Παρατηρύμε ότι τ επικαμπύλι λκλήρωμα τυ εσωτερικύ γινμένυ E() ds, είναι ίσ με την διαφρά δυναμικύ η πία είναι ανεξάρτητη της διαδρμής μεταξύ των δύ σημείων (Halliday, Resnick & Walke, 013). Αυτό είναι συνέπεια τυ ότι τ ηλεκτρστατικό πεδί είναι διατηρητική φυσική πσότητα, όπως απδείξαμε πρηγυμένως στ εδάφι 4.1. Έως τώρα, πρς χάριν απλότητς, θεωρήσαμε ότι τ δυναμικό μεταβάλλεται κατά μήκς μιας χωρικής συντεταγμένης. Στην πραγματικότητα η μεταβλή τυ δυναμικύ για τις τρεις καρτεσιανές συντεταγμένες x,y και z, ενδέχεται να μην είναι ίδια. Τότε η εξ θα πρέπει να γραφεί για κάθε μία χωρική συντεταγμένη ξεχωριστά, δίνντάς μας έτσι τις συνιστώσες τυ ηλεκτρικύ πεδίυ Ε x, Ε y και Ε z αντιστίχως. Θα μελετήσυμε παρακάτω αυτή την περίπτωση. Από τις εξισώσεις τυ ηλεκτρικύ δυναμικύ και της ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας για σημειακά φρτία, (εξ. 4.0 και 4.9 αντιστίχως), παρατηρύμε ότι και ι δύ πσότητες είναι αντιστρόφως ανάλγες της απόστασης. Έτσι όταν i, τόσ τ δυναμικό όσ και η δυναμική ενέργεια τείνυν στ μηδέν. Την ίδια συμπεριφρά παρυσιάζει και τ βαρυτικό δυναμικό της Γης. Τόσ τ ηλεκτρικό όσ και τ βαρυτικό 1 δυναμικό νμάζνται κεντρικά ή ακτινικά δυναμικά, διότι παρυσιάζυν σφαιρική συμμετρία ( V ), δηλ. δεν εξαρτώνται από την κατεύθυνση στ χώρ αλλά μόν από την απόσταση Τ ηλεκτρικό δυναμικό συνόλυ σημειακών ηλεκτρικών φρτίων Ας θεωρήσυμε τώρα τη γενική περίπτωση όπυ στν χώρ υπάρχυν περισσότερα από ένα σημειακά ηλεκτρικά φρτία. Έστω λιπόν ότι υπάρχυν διάσπαρτα Ν ηλεκτρικά φρτία Q i, όπυ i=1,, Ν. σε αντίστιχες θέσεις 1,, N. Τ ερώτημα είναι πώς διαμρφώνεται τ δυναμικό πυ παράγει η μάδα των φρτίων σ ένα σημεί τυ χώρυ; Η απάντηση δίνεται από την αρχή της επαλληλίας, όπυ θα πρέπει πρώτα να υπλγίσυμε τ ηλεκτρικό δυναμικό, τ πί δημιυργεί κάθε φρτί ξεχωριστά στ υπό μελέτη σημεί, και στην συνέχεια να αθρίσυμε αλγεβρικά όλα τα δυναμικά για να εύρυμε τ πραγματικό δυναμικό στ συγκεκριμέν σημεί. Δηλαδή τ ηλεκτρικό δυναμικό σ ένα σημεί τυ χώρυ, δίνεται από τ αλγεβρικό άθρισμα των δυναμικών πυ δημιυργεί στ σημεί αυτό κάθε ηλεκτρικό φρτί τυ χώρυ, ως V 1 Q Q Q 1 Q 4πε 4πε N 1 N i (... ) V (4.3) 1 i1 i όπυ i είναι η απόσταση τυ q i φρτίυ από τ σημεί τυ χώρυ στ πί επιθυμύμε να υπλγίσυμε τ δυναμικό (Knight, 010), (Seway & Jewett, 013). Στη συνέχεια θα εξετάσυμε κάπια παραδείγματα υπλγισμύ ηλεκτρικύ δυναμικύ από συστήματα σημειακών ηλεκτρικών φρτίων.

9 9 Παράδειγμα 4.3 Ηλεκτρικό δυναμικό ατόμυ Τ ηλεκτρικό δυναμικό γύρω από τ κέντρ ενός ατόμυ περιγράφεται με την εξίσωση, Ze 1 3 V ( ), όπυ R είναι η ακτίνα τυ ατόμυ, Ζ ατμικός τυ αριθμός και η απόσταση 3 4πε R R από τ κέντρ τυ. Να ευρεθεί η έκφραση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ γύρω από τ κέντρ τυ ατόμυ. Λύση Εφόσν γνωρίζυμε πως μεταβάλλεται τ δυναμικό με την απόσταση, μπρύμε να υπλγίσυμε τ ηλεκτρικό πεδί από την σχέση dv d Ze 1 3 Ze 1 Ze 1 E ˆ E = [ ( )] [( ) 0 ] E ( ) d d 4πε R R 4πε R 4πε R Ze 1 E ( )ˆ 3 4πε R Παράδειγμα 4.4 Ηλεκτρικό δυναμικό ηλεκτρικύ διπόλυ Ένα ηλεκτρικό δίπλ απτελείται από δυ σημειακά φρτία +10 nc και -10 nc σε απόσταση a=0 cm, όπως φαίννται στ σχ Υπλγίστε τ ηλεκτρικό δυναμικό τυ δίπλυ στα σημεία Α, Β και Γ, εάν ι απστάσεις πυ σημειώννται στ σχήμα είναι b=10 cm και c=15 cm. Λύση Τ ηλεκτρικό δυναμικό στ σημεί Α δίνεται από την εξ. 4.3, πότε γράφυμε 1 Q 1 Q 1 q 1 q 1 ( a c) c 1 q( a c) 4πε 4πε 4πε c 4πε a c 4 πε c( a c) 4 πε c( a c) 1 VA q VA Nm 1010 C (0.0m 0.30m) 910 VA 100V C 0.15m (0.0m 0.15m) Τ ηλεκτρικό δυναμικό V A είναι αρνητικό, επειδή τ σημεί Α είναι πι κντά στ αρνητικό φρτί q. Ομίως τ δυναμικό στ σημεί B δίνεται ως 1 q 1 q 1 ( a b) b 1 qa VB q VB 4πε b 4πε a b 4 πε b( a b) 4 πε b( a b) -9 9 Nm C 0.0m 910 VB 600V C 0.10m (0.0m m) Τ δυναμικό V B είναι θετικό, διότι τ σημεί Β είναι πι κντά στ θετικό φρτί. Τέλς μπρύμε να υπλγίσυμε τ δυναμικό στ σημεί Γ, τ πί ανήκει στην μεσκάθετ της απόστασης α, επειδή ισαπέχει από τα φρτία q και q. Τ ηλεκτρικό δυναμικό στ σημεί Γ δίνεται ως 1 q 1 q V Γ VΓ 0V 4πε c 4πε c b a Σχήμα 4.5 Ηλεκτρικό δίπλ (παράδειγμα 4.4). Ομίως μπρεί να δειχθεί ότι κάθε σημεί της μεσκαθέτυ έχει δυναμικό μηδέν, διότι όλα τα σημεία ισαπέχυν από τα φρτία και q. Άρα μπρύμε να ειπύμε ότι η μεσκάθετς τυ παραδείγματς, είναι μια ισδυναμική γραμμή, ή πι γενικά, τ κάθετ επίπεδ πυ περνά από τ μέσν της απόστασης α, είναι μία ισδυναμική επιφάνεια, όπυ τ V=0. B c c Γ c A -q

10 Τ δυναμικό και η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια συνεχύς κατανμής φρτίυ Όταν τ ηλεκτρικό φρτί έχει συνεχή κατανμή στ χώρ, δηλ. δεν μπρεί να θεωρηθεί σημειακό, τότε χωρίζντας τ φρτί σε άπειρ αριθμό στιχειωδών φρτίων dq, τ δυναμικό δύναται να γραφεί ως 1 dq V 4πε (4.4) Αντιστίχως η ηλεκτρική δυναμική ενέργειά ενός μή σημειακύ ηλεκτρικύ φρτίυ ως πρς ένα άλλ σημειακό φρτί q, μπρεί να υπλγισθεί ως ένα άθρισμα των ηλεκτρικών δυναμικών ενεργειών ενός μεγάλυ πλήθυς απειρστών φρτίων dq. Έτσι μπρύμε να γράψυμε q dq U 4πε (4.5) Στη συνέχεια θα ιδύμε κάπια παραδείγματα υπλγισμύ δυναμικύ και ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας πυ αφρύν μη σημειακά φρτία. x=0 dq P Παράδειγμα 4.5 Ηλεκτρικό δυναμικό x μιόμρφα φρτισμένης ράβδυ x Μια λεπτή μιόμρφα φρτισμένη ράβδ με L μήκς L και φρτί Q, ευρίσκεται τπθετημένη κατά l μήκς τυ άξνα x, όπως φαίνεται στ σχ Να ευρείτε μια έκφραση για τ δυναμικό V στ σημεί Ρ, Σχήμα 4.6 Λεπτή μιόμρφα θετικά φρτισμένη τ πί απέχει απόσταση l από την αρχή τυ άξνα. ράβδς με μήκς L και φρτί Q (παράδειγμα 4.5). Λύση Επειδή έχυμε συνεχή κατανμή φρτίυ, χωρίζυμε την ράβδ σε στιχειώδη φρτία dq με στιχειώδες μήκς dx τ καθένα. Έστω λιπόν ένα στιχειώδες φρτί dq σε απόσταση x από την αρχή της ράβδυ. Η απόσταση τυ σημείυ Ρ από τ φρτί dq είναι l-x, και επμένως τ στιχειώδες δυναμικό πυ δημιυργείται από τ φρτί dq σ αυτό τ σημεί είναι 1 dq dv 4πε l x Επειδή η ράβδς είναι λεπτή και μιόμρφα φρτισμένη, θα έχει γραμμική πυκνότητα φρτίυ λ ίση με Q λ () L Τ φρτί dq έχει μήκς dx, και επμένως λόγω της εξίσωσης μπρύμε να γράψυμε Q dq λdx dq dx (3) L Η εξ. 3 στην 1 δίνει 1 Qdx dv 4 πε L( l x) Επειδή τ φρτί της ράβδυ εκτείνεται από τ x=0 έως x=l, λκληρώνντας την εξ. 4 με αυτά τα όρια για την μεταβλητή x έχυμε L L ll ll 1 Q dx Q dx Q d( l x) Q da dv 4πε L l x 4πε L l x 4πε L l x πε L a (5) 0 0 l όπυ κάνντας αλλαγή της μεταβλητής λκλήρωσης, ρίσαμε α=l-x, με αντίστιχη αλλαγή στα όρια λκλήρωσης. Τελικά από την εξ. 5 γράφυμε για τ δυναμικό στ σημεί Ρ l (1) (4)

11 11 Q ll Q Q Q l V ln a [ln( l L) ln l] [ln l ln( l L)] V ln 4πε L 4πε L 4πε L 4πε L l L l Παράδειγμα 4.6 Ηλεκτρικό δυναμικό μιόμρφα φρτισμένυ ημικυκλίυ Ένα ημικυκλικό τόξ είναι μιόμρφα ηλεκτρικά φρτισμέν, όπως δείχνει τ σχ Η γραμμική πυκνότητα φρτίυ τυ ημικυκλίυ είναι λ=3.5 nc/m. Υπλγίστε τ δυναμικό στ κέντρ τυ ημικυκλίυ O. Δίνεται η διηλεκτρική σταθερά τυ κενύ ε = C /N m. Λύση Επειδή έχυμε συνεχή κατανμή φρτίυ, για να εύρυμε τ συνλικό ηλεκτρικό δυναμικό V τ πί δημιυργείται στ κέντρ Ο τυ ημικυκλίυ, θα dq θεωρήσυμε στιχειώδες φρτί dq στ ημικύκλι και θα εύρυμε τ στιχειώδες δυναμικό dv. Μετά θα λκληρώσυμε κατά μήκς τυ ημικυκλίυ R για να υπλγίσυμε τ συνλικό ηλεκτρικό δυναμικό V στ κέντρ Ο. Τ στιχειώδες φρτί dq δημιυργεί στιχειώδες δυναμικό dv στ Ο ίσ με 1 dq dv 4πε R (1) Έστω ότι τ φρτί dq έχει μήκς dl. Επειδή η γραμμική πυκνότητα φρτίυ είναι σταθερή ισχύει Η εξ. στην 1 δίνει dq λdl () 1 λdl dv 4πε R (3) Ολκληρώνντας την εξ. 3 πάνω σε όλ τ μήκς τυ ημικυκλίυ πυ είναι πr παίρνυμε τ δυναμικό V στ σημεί Ο. Άρα έχυμε R R -9 1 λdl 1 λ 1 λπr λ C/m dv dl V V 98.9V -1 4πε R 4πε R 4πε R 4ε C /Nm 0 0 O Σχήμα 4.7 Ημικυκλικό μιόμρφα ηλεκτρικά φρτισμέν τόξ ακτίνας R (παράδειγμα 4.6). Παράδειγμα 4.7 Ηλεκτρικό δυναμικό μιόμρφα φρτισμένης μνωτικής σφαίρας Να ευρεθεί και να παρασταθεί γραφικώς τ ηλεκτρικό δυναμικό, τ πί δημιυργεί μιόμρφα φρτισμένη μνωτική σφαίρα ακτίνας R και φρτίυ Q. Λύση Μπρύμε να υπλγίσυμε τ ηλεκτρικό δυναμικό από τ ηλεκτρικό πεδί, τ πί έχει υπλγισθεί στ παράδειγμα 3.4 τυ πρηγυμένυ κεφαλαίυ. Συγκεκριμένα τ ηλεκτρικό πεδί πυ δημιυργεί η μνωτική σφαίρα, δίνεται ως και Q E, για >R (1) 4πε o Q E, για <R () 3 4πε R o Για, τ Ε0. Ομίως θεωρύμε ότι για πλύ μεγάλες τιμές της απόστασης, τ δυναμικό είναι μηδέν. Ισχύει δηλ. για, τ V=0. Βάσει της εξ. 4.1, μπρύμε να υπλγίσυμε τ ηλεκτρικό δυναμικό σε απόσταση από τ κέντρ της σφαίρας ως εξής: για >R και λόγω της εξ. 1 γράφυμε

12 1 Q Q d dv ( ) E( ) d V ( ) V ( ) d V ( ) 0 4πε 4πε o o Q 1 Q 1 Q 1 1 Q V ( ) ( ) V ( ) ( ) V ( ) ( ) V ( ) 4πε 4πε 4πε 4πε o o o o Από την εξ. 3 συμπεραίνυμε ότι στην επιφάνεια της σφαίρας, δηλ. για =R, τ δυναμικό είναι Q V( R) (4) 4πε R o Με αναφρά αυτήν την τιμή τυ δυναμικύ, μπρύμε από την εξ. 4.1 και την εξ. να γράψυμε για <R V 3Q/8πε o R Q/4πε o R (4) Q Q Q dv ( ) E( ) d V ( ) V ( R) d V ( ) d 4πε R 4πε R 4πε R 3 3 R R R o o o R Q Q Q Q Q R V ( ) V ( ) ( ) 4πε R 4πε R 4πε R 4πε R 4πε R o o R o o o Q Q Q 3Q Q Q V ( ) V ( ) V ( ) ( 3 ) 4πε R 8πε R 8πε R 8πε R 8πε R 8πε R R 3 3 o o o o o o Σχήμα 4.8 Μεταβλή τυ ηλεκτρικύ δυναμικύ μιόμρφα φρτισμένης μνωτικής σφαίρας, ακτίνας R και φρτίυ Q, ως συνάρτηση της απόστασης από τ κέντρ της (παράδειγμα 4.7). R Τ παραπάνω εξαγόμεν συμπέρασμα για την τιμή τυ δυναμικύ σε μια καμπύλη επιφάνεια θα τ χρησιμπιήσυμε ευθύς αμέσως για την μελέτη της κατανμής των φρτίων στην επιφάνεια ενός αγωγύ σε ηλεκτρστατική ισρρπία. Παράδειγμα 4.8 Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια μιόμρφα φρτισμένης σφαίρας Μια συμπαγής μνωτική σφαίρα ακτίνας R, έχει σταθερή πυκνότητα φρτίυ ρ και λικό φρτί Q. Να ευρείτε μια έκφραση για την λική ηλεκτρική δυναμική ενέργεια της φρτισμένης σφαίρας. Υπόδειξη: Θεωρείστε ότι η σφαίρα απτελείται από διαδχικά στρώματα μκέντρων σφαιρικών φλιών φρτίυ dq ρ(4 π d), και λάβετε υπόψη ότι η στιχειώδης ηλεκτρική δυναμική ενέργεια τυ φρτίυ dq είναι du Vdq. Για =R, η εξ. 4 δίνει τ δυναμικό πάνω στην επιφάνεια της σφαίρας ίδι με αυτό της εξίσωσης 4. Επμένως τ δυναμικό πυ δημιυργεί η μνωτική σφαίρα στ χώρ, δίνεται από τις εξισώσεις 3 και 5, τ πί και αναπαριστάται γραφικώς στ σχ Αξίζει να σημειώσυμε την εξ. 4, η πία μας πληρφρεί ότι για σταθερό φρτί της σφαίρας, όσ μεγαλύτερη είναι η ακτίνα της, τόσ μικρότερ είναι τ ηλεκτρικό δυναμικό στην επιφάνειά της. Γενικότερα ισχύει ότι για δεδμένη πσότητα φρτίυ, όσ μεγαλύτερη είναι η καμπυλότητα [1] μιας επιφάνειας, τόσ μικρότερ είναι τ δυναμικό της. Τ συμπέρασμα αυτό είναι σημαντικό και ισχύει ανεξαρτήτως τυ εάν η σφαίρα είναι μνωτική, ή αγώγιμη. Βεβαίως στην δεύτερη περίπτωση στ εσωτερικό της σφαίρας τ Ε=0, πότε τ δυναμικό είναι σταθερό και όχι αυτό της εξίσωσης 3. d (3) (5) Σχήμα 4.9 Φρτισμένη μνωτική σφαίρα ακτίνας R και φρτίυ Q. Η σφαίρα απτελείται από μόκεντρυς σφαιρικύς φλιύς πάχυς d (παράδειγμα 4.8). R [1] Η επιφάνεια μιας σφαίρας μεγάλης ακτίνας έχει μικρή καμπυλότητα, ενώ μιας μικρής ακτίνας έχει μεγάλη καμπυλότητα.

13 13 Λύση Έστω στιχειώδης σφαιρικός φλιός ακτίνας και πάχυς d, όπως δείχνει τ σχ Ο φλιός έχει στιχειώδη όγκ dv 4π d (πρσέξτε ότι εδώ ρίζυμε τν όγκ της σφαίρας ως V ενώ τ ηλεκτρικό δυναμικό ως V). Τ φρτί τυ φλιύ είναι dq ρdv dq ρ4π d (1) Για ηλεκτρικό δυναμικό V η ηλεκτρική δυναμική ενέργεια τυ φλιύ είναι (1) du Vdq du Vρ4π d () όπυ ρ η σταθερή πυκνότητα φρτίυ της σφαίρας Q Q 3Q ρ 3 V 4 ρ σφαίρας 3 πr 4πR (3) 3 Ο φλιός περικλείει φρτί q, και εφόσν έχει ακτίνα <R, τ δυναμικό στην επιφάνεια τυ φλιύ δίνεται από την εξίσωση (βλ. εξ. 5, παράδειγμα 4.7) Οι εξισώσεις 3 και 4 στην δίνυν o Q V( ) (3 ) 8πε R R (4) o Q 3Q 3Q du (3 ) 4 π d du (3 ) d (5) 8πε R R 4πR 8πε R R 3 4 o Για να υπλγίσυμε την λική ηλεκτρική δυναμική ενέργεια της σφαίρας, θα πρέπει να λκληρώσυμε την εξ. 5 ως πρς την ακτίνα, από 0 έως R, διότι η σφαίρα μπρεί να θεωρηθεί ένα άθρισμα πλλών στιχειωδών μκέντρων φλιών. Έτσι γράφυμε R R R R R 3Q 9Q 3Q 4 9Q 3Q 4 U du (3 ) d d d d d πε R R 8πε R 8πε R 8πε R 8πε R 0 o 0 o 0 o o 0 o 0 3 R 5 R 3 5 9Q 3Q 9Q R 3Q R 3Q 3Q 3Q 1 1 3Q 5 1 ( ) ( ) 8πε R 3 8πε R 5 4πε R 40πε R 8πε R 40πε R 4πε R 10 4πε R o 0 o 0 o o o o o o 3Q 4 3Q ( ) U 4πε R 10 10πε R o o 4.3 Ισδυναμική επιφάνεια αγωγύ Στ πρηγύμεν κεφάλαι εξετάσαμε την ηλεκτρστατική ισρρπία ενός αγωγύ. Μεταξύ άλλων συνθηκών παραθέσαμε ότι τ ηλεκτρικό φρτί συγκεντρώνεται στην επιφάνεια τυ αγωγύ και μάλιστα τείνει να συσσωρεύεται σε αιχμηρά σημεία της επιφανείας, όπως δείχνει τ σχ Στ παρόν εδάφι θα πρσπαθήσυμε να εξηγήσυμε γιατί συμβαίνει αυτό. Καταρχήν, εφόσν υπάρχει ηλεκτρστατική ισρρπία στν αγωγό, κανένα ηλεκτρικό φρτί δεν κινείται ύτε κατά μήκς ύτε κατά πλάτς της επιφάνειας τυ αγωγύ. Τύτ σημαίνει ότι τα επιφανειακά ηλεκτρικά φρτία σχηματίζυν ηλεκτρικό πεδί, τ πί είναι πάντα κάθετ στην επιφάνεια, δηλ. E, ενώ δεν υπάρχει ριζόντια συνιστώσα ηλεκτρικύ πεδίυ (παράλληλη στην επιφάνεια τυ αγωγύ), δηλ. E// 0. Έτσι, λόγω των εξισώσεων και 18, ισχύει ότι τ δυναμικό παντύ στην επιφάνεια είναι τ ίδι, δηλ. V=c. Επμένως η επιφάνεια τυ κάθε αγωγύ σε ηλεκτρστατική V A =V B =V Γ =c + + B A Γ Ε=0, V=c Σχήμα 4.10 Αγωγός σε ηλεκτρστατική ισρρπία. Η επιφάνειά τυ είναι μια ισδυναμική επιφάνεια. Τ ηλεκτρικό δυναμικό στην επιφάνεια και στ εσωτερικό τυ αγωγύ είναι τ ίδι.

14 14 ισρρπία, είναι μια ισδυναμική επιφάνεια. Ταυτχρόνως, επειδή στ εσωτερικό τυ αγωγύ τ ηλεκτρικό πεδί είναι μηδέν, και εκεί τ ηλεκτρικό δυναμικό είναι παντύ σταθερό και ίσ με την τιμή πυ έχει στην επιφάνεια (βλ. σχ. 4.10). Από τις εξισώσεις 4.0 συμπεράναμε ότι τ δυναμικό πυ δημιυργεί ένα σημειακό φρτί στ χώρ, είναι αντιστρόφως ανάλγ της απόστασης από τ φρτί. Επειδή σημεί και σφαίρα έχυν την ίδια συμμετρία, δύναται να δειχθεί ότι τ ηλεκτρικό δυναμικό της σφαίρας για >R, είναι τ ίδι με αυτό τυ σημειακύ φρτίυ. Στ πρηγύμεν παράδειγμα 4.7, απδείξαμε ότι για δεδμένη πσότητα φρτίυ στην επιφάνεια μιας σφαίρας, τ δυναμικό είναι αντιστρόφως ανάλγ της ακτίνας της σφαίρας. Έτσι για επιφάνειες ιδίυ ηλεκτρικύ φρτίυ, ι επιφάνειες με μικρή ακτίνα (μεγάλη καμπυλότητα), έχυν μεγαλύτερ δυναμικό από τις επιφάνειες μεγάλης ακτίνας (μικρή καμπυλότητα). Η επιφάνεια ενός αγωγύ με δεδμέν φρτί, εάν δεν είναι σφαιρική αλλά έχει τυχαί σχήμα, όπως αυτό τυ σχήματς 4.10, θα απτελείται από μέρη με μεγαλύτερη καμπυλότητα (μαλές επιφάνειες), και μέρη με μικρότερη καμπυλότητα (ανώμαλες επιφάνειες, αιχμές, ακίδες, κλπ). Για να είναι τ δυναμικό σταθερό σε κάθε περιχή και σημεί της επιφάνειας τυ αγωγύ, θα πρέπει σύμφωνα με την εξ. 5 (βλ. παράδειγμα 4.7), τ φρτί να συσσωρεύεται σε περιχές μεγάλης καμπυλότητας (μικρό R). Δηλαδή σε επίπεδες περιχές της επιφάνειας τυ αγωγύ, η κατανμή των φρτίων είναι αραιότερη (σημεί Β στ σχ. 4.10), ενώ για αιχμηρές περιχές της επιφάνειας (σημεί Γ στ σχ. 4.10), η κατανμή των φρτίων είναι πυκνότερη. Έτσι εξηγείται γιατί ι ακίδες συσσωρεύυν μεγαλύτερα φρτία από τις επίπεδες επιφάνειες, και επμένως αναπτύσσυν υψηλότερα ηλεκτρικά πεδία (βλ. σχέση E=σ/ε ). 4.4 Βαθμίδα ηλεκτρικύ δυναμικύ Είδαμε ότι τ ηλεκτρικό πεδί ρίζεται από την μεταβλή τυ ηλεκτρικύ δυναμικύ κατά μήκς μιας κατεύθυνσης, η πία κατεύθυνση ρίζεται από τ μναδιαί διάνυσμα ˆ (βλ. εξ. 4.17). Έτσι λιπόν, τ διάνυσμα Ε κείται στη κατεύθυνση τυ διανύσματς ˆ, και μπρεί να αναλυθεί σε τρεις συνιστώσες ενός ρθκαννικύ συστήματς αναφράς, ώστε να ισχύει E E iˆ E ˆj E k ˆ (4.6) x y z Οι καρτεσιανές συντεταγμένες Ε x, E y και E z τυ διανύσματς Ε, δίννται από τις αντίστιχες μεταβλές τυ δυναμικύ στις διευθύνσεις x,y και z (Benumof, 1961), (Gant & Phillips, 1975), (Lobkowicz & Melissinos, 1975), (Young. & Feedman, 010), (Seway & Jewett, 013). Αυτές ι μεταβλές τυ δυναμικύ στις τρεις διευθύνσεις, εκφράζνται από την έννια της μερικής παραγώγυ [] τυ δυναμικύ ως E x V ( x, y, z) x (4.7α) όπυ παραγωγίζυμε τ δυναμικό ως πρς x, θεωρώντας τα y και z σταθερές. Αντιστίχως λαμβάνυμε και E E y z V ( x, y, z) y V ( x, y, z) z (4.7β) (4.7γ) Έτσι λιπόν, γνωρίζντας την συνάρτηση τυ δυναμικύ V(x,y,z) ως πρς τις καρτεσιανές συντεταγμένες τυ χώρυ, βάσει των εξισώσεων 4.7 και της εξ. 4.6, μπρύμε να υπλγίσυμε τ ηλεκτρικό πεδί Ε ως V ( x, y, z) ˆ V ( x, y, z) ˆ V ( x, y, z) ˆ E i j k (4.8) x y z [] f Γενικά η μερική παράγωγς της συνάρτησης f(x,y,z) ως πρς x, συμβλίζεται ως, με τυς δείκτες y και z να x yz, υπενθυμίζυν ότι αυτές ι μεταβλητές θεωρύνται σταθερές κατά την παραγώγιση (βλ. παράρτημα 4).

15 15 Η εξ. 4.8 γράφεται συντμγραφικά ως E V( x, y, z) (4.9) όπυ τ νμάζεται διανυσματικός τελεστής τυ ανάδελτα, ή αλλιώς τελεστής κλίσης, και εκφράζει τ διανυσματικό χαρακτήρα της μεταβλής μιας βαθμωτής συνάρτησης στις τρεις διαστάσεις. Ο τελεστής ρίζεται ως ˆ ˆ i j kˆ (4.30) x y z και είναι γνωστός ως κλίση (gad) ή βαθμίδα της συνάρτησης στην πία εφαρμόζεται. [3] Έτσι στην πρκειμένη περίπτωση τ ηλεκτρικό πεδί είναι τ αρνητικό της βαθμίδας τυ ηλεκτρικύ δυναμικύ, δηλ. εκφράζει τ πώς μεταβάλλεται τ δυναμικό στ χώρ. Παράδειγμα 4.9 Τ ηλεκτρικό πεδί ως βαθμίδα ηλεκτρικύ δυναμικύ Στ χώρ γύρω από μια κατανμή ηλεκτρικύ φρτίυ, τ ηλεκτρικό δυναμικό δίνεται από την 3 σχέση V ( x, y, z) 5xyz x yz 3xz. Να ευρεθεί η διανυσματική έκφραση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ πυ δημιυργεί η κατανμή τυ φρτίυ. Λύση Επειδή τ ηλεκτρικό πεδί είναι η βαθμίδα τυ δυναμικύ μπρύμε να υπλγίσυμε τις συνιστώσες τυ ηλεκτρικύ πεδίυ στις τρεις κατευθύνσεις x, y και z. Έτσι ισχύει για την συνιστώσα Ε x, V ( x, y, z) (5xyz x yz 3 xz ) Ex (5yz 4xyz 3 z ) E 4xyz 5yz 3z x x Για την συνιστώσα E y στν άξνα y, ισχύει x V ( x, y, z) (5xyz x yz 3 xz ) Ey (5xz x z) Ey x z 5xz y y Για την συνιστώσα στν άξνα z, E z ισχύει V ( x, y, z) (5xyz x yz 3 xz ) Ez (5xy x y 6 xz) Ez x y 5xz 6xz z z Γνωρίζντας τις συνιστώσες Ε x, Ε y και Ε z, μπρύμε να γράψυμε την διανυσματική έκφραση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ ως ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (4 5 3 ) ( 5 ) ( 5 6 ) ˆ x y z E E i E j E k E xyz yz z i x z xz j x y xz xz k 4.5 Ηλεκτρικό δίπλ σε μγενές ηλεκτρικό πεδί * Δύ ίσα και αντίθετα ηλεκτρικά φρτία σε απόσταση d μεταξύ τυς, απτελύν ένα ηλεκτρικό δίπλ (Halliday, Resnick & Kane, 009), (Young & Feedman, 010), (Giancoli, 01), (Halliday, Resnick & Walke, 013), (Αλεξόπυλς & Μαρίνς, 199). Τ ηλεκτρικό πεδί πυ σχηματίζεται από ένα τέτι ηλεκτρικό δίπλ, τ μελετήσαμε με την βήθεια των ηλεκτρικών δυναμικών γραμμών στ κεφάλαι (βλ. σχ..). Η έννια τυ ηλεκτρικύ διπόλυ και τ πώς αυτό συμπεριφέρεται στην φύση, είναι πλύ σημαντική μιας και πλλά συστήματα στη Φυσική και τη Χημεία, όπως για παράδειγμα τα άτμα, τα μόρια, ι κεραίες πμπών και δεκτών κ.α., μπρύν να θεωρηθύν σαν ηλεκτρικά δίπλα. Από φυσικής άπψης είναι σημαντικό να εξετάσυμε την συμπεριφρά ενός ηλεκτρικύ διπόλυ, όταν αυτό ευρεθεί μέσα σ ένα μγενές ηλεκτρικό πεδί Ε, όπως φαίνεται στ σχ Καταρχήν όσν αφρά την δυναμική τυ διπόλυ, επειδή τα φρτία τυ είναι αντίθετα, αντίθετες είναι και ι δυνάμεις πυ ασκύνται στ καθένα από αυτά από [3] Η βαθμίδα της συνάρτησης f ρίζεται ως, (,, ) ˆ ˆ f x y z ˆ i j k f ( x, y, z). x y z

16 16 τ ηλεκτρικό πεδί Ε. Αυτό έχει ως απτέλεσμα, τα δυ φρτία να τείνυν να απμακρυνθύν μεταξύ τυς. Εφόσν όμως η απόσταση d μεταξύ των φρτίων παραμένει σταθερή, τ δίπλ αναγκαστικά περιστρέφεται γύρω από έναν άξνα περιστρφής, πίς περνά κάθετα από τ μέσν της απόστασης d. Η περιστρφή αυτή είναι συνέπεια της δράσης τυ ζεύγυς δυνάμεων F και F, ι F =qe πίες όντας μη συγγραμμικές, ασκύν μια ρπή επάνω στ d p δίπλ, τ πί τελικά ευθυγραμμίζεται με τ διάνυσμα τυ πεδίυ Ε. φ τ E Από την Μηχανική γνωρίζυμε ότι η ρπή πυ F -q ασκεί μια δύναμη F σε απόσταση από τ σημεί στρέψης -q =-qe τυ άξνα περιστρφής, ρίζεται από τ εξωτερικό γινόμεν τ F F sin φnˆ (4.31) όπυ ˆn είναι τ μναδιαί διάνυσμα, κάθετ στ επίπεδ πυ ρίζυν τα διανύσματα και F. [4] Επειδή τ σημεί στρέψης τυ διπόλυ είναι τ κέντρ της απόστασης d πυ χωρίζει τα δυ φρτία, η συνλική ρπή πυ ασκείται από τ ηλεκτρικό πεδί πάνω στ δίπλ είναι d d τ ( F ) [ ( F)] (4.3) Ο πρσανατλισμός τυ διπόλυ ως πρς τ ηλεκτρικό πεδί Ε, ρίζεται από την γωνία φ μεταξύ της απόστασης d και της δύναμης F, όπως φαίνεται στ σχ Τότε από την εξ εξάγυμε ότι τ μέτρ της ρπής τ είναι d d τ F sin φ F sin φ Fd sin φ τ qed sin φ (4.33) με διεύθυνση κάθετη στ μέσν της απόστασης d και φρά πρς τα «μέσα» της σελίδας (βλ. σχ. 4.11). Η πσότητα qd νμάζεται ηλεκτρική διπλική ρπή p, και είναι διάνυσμα με φρά από τ αρνητικό πρς τ θετικό φρτί κατά μήκς της απόστασης d (Benumof, 1961), (Lobkowicz & Melissinos, 1975), (Αλεξόπυλς & Μαρίνς, 199), (Young & Feedman, 010), (Knight, 010). Ισχύει δηλ. p qd (4.34) Η ηλεκτρική διπλική ρπή έχει μνάδες C.m στ ΔΣΜ. H εξ μπρεί να γραφτεί λόγω της 4.34 ως τ pesin φ (4.35) Πι γενικά η εξ δύναται να εκφραστεί σε διανυσματική μρφή, (δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι η ρπή είναι διανυσματική πσότητα), ως τ p E (4.36) Σχήμα 4.11 Ηλεκτρικό δίπλ μέσα σε μγενές εξωτερικό πεδί. Τ ζεύγς των ηλεκτρικών δυνάμεων πυ ασκεί τ πεδί στα ηλεκτρικά φρτία, δημιυργεί ηλεκτρική διπλική ρπή πυ τείνει να ευθυγραμμίσει τ δίπλ με τις δυναμικές γραμμές τυ πεδίυ (βλ. τ κείμεν). Η μηχανική ρπή τ μεγιστπιείται όταν η ηλεκτρική διπλική ρπή p είναι κάθετη στ πεδί E. [5] Γενικά η ρπή τ τείνει να περιστρέψει τ διάνυσμα p, ώστε τελικά να τ ευθυγραμμίσει με τ διάνυσμα Ε. Η θέση της ευθυγράμμισης είναι θέση ευσταθύς ισρρπίας (p//e, φ=0 ). Για να εκτρέψυμε τ δίπλ από τη θέση ευσταθύς ισρρπίας (φ=0 ) σε μια άλλη πυ ρίζεται από γωνία φ, θα πρέπει να περιστρέψυμε τ δίπλ κατ αυτήν τη γωνία φ, εξασκώντας ρπή τ αντίθετη αυτής πυ εξασκεί τ πεδί πάνω στ δίπλ (εξ. 4.36). Τ έργ πυ πρέπει να παράγυμε για να περιστρέψυμε τ δίπλ μέσα στ πεδί Ε ώστε να σχηματίσει μ αυτό γωνία φ, είναι [4] Για να ρισθεί τ διάνυσμα ˆn και επμένως η κατεύθυνση τυ διανύσματς της ηλεκτρικής διπλικής ρπής τ, χρησιμπιείται κανόνας τυ δεξιόστρφυ κχλία. [5] Δεν πρέπει να συγχέυμε την μηχανική ρπή τ της δύναμης F, με την ηλεκτρική διπλική ρπή p.

17 17 φ W τdφ (4.37) 0 Τ μείν φείλεται στ γεγνός ότι η ρπή τ τείνει να περιστρέψει τ δίπλ σε γωνίες αντίθετης φράς από την φ. Η εξ μέσω της 4.35 γίνεται φ W pesin φdφ pe ( cos φ) pe cos φ = pe(cosφ cos0) W pe(cosφ 1) 0 φ φ 0 0 Από την εξ συμπεραίνυμε ότι τ W είναι πάντα αρνητικό, γεγνός πυ δηλώνει ότι κάπις πρέπει να δαπανήσει ενέργεια για να στρέψει τ δίπλ από την θέση ισρρπίας, στην πία έχει την ελάχιστη ενέργεια. Επίσης από την εξ. 4.7 έχυμε συμπεράνει ότι τ έργ W της ηλεκτρικής δύναμης, η πία είναι διατηρητική δύναμη, είναι ίσ με την αρνητική μεταβλή της δυναμικής ενέργειας τυ φρτίυ μέσα στ ηλεκτρικό πεδί. Έτσι στην πρκειμένη περίπτωση τυ ηλεκτρικύ διπόλυ, μπρύμε μίως να γράψυμε ότι (4.38) W U ( U U ) U U U U pe cosφ pe (4.39) B A A B A B Από την εξ συμπεραίνυμε ότι τ ηλεκτρικό δίπλ έχει ηλεκτρική δυναμική ενέργεια μέσα στ πεδί Ε, η πία ρίζεται από την σχέση U p EU pe cos φ (4.40) (4.38) (Halliday, Resnick & Kane, 009), (Knight, 010), (Young & Feedman, 010), (Seway & Jewett, 013), (Halliday, Resnick & Walke, 013). Λόγω της εξ. 4.40, συμπεραίνυμε ότι η ελάχιστη δυναμική ενέργεια τυ ηλεκτρικύ διπόλυ μέσα στ μγενές ηλεκτρικό πεδί, συμβαίνει για παράλληλ πρσανατλισμό της ηλεκτρικής διπλικής ρπής p με τ διάνυσμα τυ ηλεκτρικύ πεδίυ Ε, και είναι Umin pe για φ=0. Η ελάχιστη δυναμική ενέργεια τυ διπόλυ είναι αρνητική και αντιστιχεί σε κατάσταση ευσταθύς ισρρπίας τυ διπόλυ μέσα στ πεδί. Αυτό σημαίνει ότι πιαδήπτε διαταραχή απμακρύνει τ δίπλ από αυτήν την ενεργειακή κατάσταση, τ δίπλ τείνει να επανέλθει σε αυτήν εντελώς αυθρμήτως. Αντιθέτως η μέγιστη δυναμική ενέργεια τυ διπόλυ είναι θετική, και αντιστιχεί σε αντιπαράλληλ πρσανατλισμό της ηλεκτρικής διπλικής ρπής p με τ διάνυσμα τυ ηλεκτρικύ πεδίυ Ε, και είναι Umax pe για φ=180. Η μέγιστη δυναμική ενέργεια τυ διπόλυ αντιστιχεί σε θέση μη ευσταθύς ισρρπίας. Η παραμικρή διαταραχή τυ διπόλυ από την θέση αυτή, έχει ως απτέλεσμα την περιστρφή τυ πρς την κατάληψη της θέσεως ευσταθύς ισρρπίας (φ=0 ), όπυ έχει την ελάχιστη δυναμική ενέργεια Αλληλεπιδράσεις ηλεκτρικών διπλικών ρπών* Όπως πραναφέραμε πι πάνω, αρκετά συστήματα στη φύση παρυσιάζυν ιδιότητες ηλεκτρικών διπόλων, ή πι σωστά απτελύν τα ίδια ηλεκτρικά δίπλα. Τέτια συστήματα μπρεί να είναι άτμα ή μόρια όπυ τ θετικό φρτί τυς παρυσιάζει έναν πρσανατλισμό ως πρς τ αρνητικό. Για παράδειγμα τ μόρι τυ νερύ (H O), ή αυτό τυ χλωριύχυ νατρίυ (NaCl), παρυσιάζυν μόνιμη ηλεκτρική διπλική ρπή, δηλαδή τ «κέντρ» τυ θετικύ φρτίυ δεν συμπίπτει με αυτό τυ αρνητικύ. [6] Τα μόρια αυτά νμάζνται διπλικά μόρια. Αντιθέτως τα άτμα των ευγενών αερίων, λόγω τυ ηλεκτρνιακύ τυς νέφυς γύρω από τν πυρήνα τυς, έχυν μια σφαιρική συμμετρία ώστε να μην παρυσιάζυν μόνιμη ηλεκτρική διπλική ρπή, διότι τα κέντρα τυ θετικύ και αρνητικύ φρτίυ συμπίπτυν. Εντύτις, όταν μη πλικά άτμα ή μόρια ευρεθύν μέσα σε ηλεκτρικό πεδί, είναι δυνατόν να απκτήσυν διπλική ρπή μιας και η σφαιρική συμμετρία της κατανμής των ηλεκτρνίων αίρεται. Οι διπλικές ρπές των ατόμων ή μρίων είναι υπεύθυνες για τις δυνάμεις van de Waals, ι πίες πρέρχνται από την αλληλεπίδραση των διπλικών ρπών (Alonso & Finn, 199), (Giancoli, 01), (Seway & Jewett, 013). Η δυναμική ενέργεια πυ αναπτύσσεται μεταξύ δυ πλικών ατόμων ή μρίων είναι [6] Τ μόρι τυ νερύ παρυσιάζει ηλεκτρική διπλική ρπή ίση με Cm.

18 18 A U (4.41) 6 όπυ τ Α εξαρτάται από τις διπλικές ρπές και τ αρνητικό πρόσημ δηλώνει την ελκτική αλληλεπίδραση των ρπών και επμένως των ατόμων ή των μρίων. Αυτή η αλληλεπίδραση είναι υπεύθυνη για τις δυνάμεις μεταξύ των μρίων τυ νερύ στην υγρή και στερεά κατάσταση. Επίσης ι δυνάμεις van de Waals, χαρακτηρίζυν τυς αντίστιχυς δεσμύς van de Waals, ι πίι επιτυγχάνυν τις καταστάσεις υγρπίησης και στερεπίησης ευγενών και αδρανών αερίων, όπως Η, Ο, Ν κ.ά. Λόγω της μικρής 6 εμβέλειας αυτών των δεσμών (δυνάμεων),, η ενέργειά τυς είναι της τάξης τυ 0.1 ev. Γενικά χαρακτηρίζνται σαν ασθενείς δεσμί σε σύγκριση με τυς ιντικύς και μιπλικύς δεσμύς. Ας δύμε κάπιες περιπτώσεις για τ πώς δρυν τα ηλεκτρικά δίπλα στην καθημερινή μας ζωή. Αναφέραμε πι πάνω ότι τ νερό απτελείται από πλικά μόρια. Αντιθέτως τ λίπς δεν διαθέτει πλικά μόρια, πότε δεν είναι δυνατή η αλληλεπίδραση των μρίων λίπυς με μόρια νερύ μιας και δεν αναπτύσσνται μεταξύ τυς ελκτικές δυνάμεις van de Waals. Αυτός είναι και λόγς για τν πί δεν είναι δυνατόν να απμακρύνυμε λίπς από τα χέρια μας πλένντάς τα μόν με νερό. Απεναντίας, είναι γνωστό ότι τ σαπύνι διαθέτει μόρια όπυ τ ένα τυς άκρ είναι πλικό και τ άλλ όχι. Χρησιμπιώντας σαπύνι και νερό είναι δυνατή η απμάκρυνση λίπυς από τα χέρια μας, διότι τα μόρια τυ σαπυνιύ ενώννται με τ ένα τυς πλικό άκρ με τα πλικά μόρια τυ νερύ, ενώ με τ άλλ μη πλικό αλλά λιπόφιλ άκρ τυς ενώννται με τα μόρια τυ λίπυς. Έτσι με σαπύνι και νερό μπρύμε να καθαρίζυμε τα λίπη. Ένα άλλ παράδειγμα τ πί στηρίζεται στην αλληλεπίδραση πλικών μρίων, είναι η θέρμανση τρφών στν φύρν μικρκυμάτων. Τα φαγητά στν φύρν μικρκυμάτων ζεσταίννται λόγω της ύπαρξης των πλικών μρίων πυ υπάρχυν σε αυτά. Τα πλικά μόρια στις τρφές φείλνται κυρίως στ νερό πυ αυτές περιέχυν. Εφαρμόζντας ένα εναλλασσόμεν ηλεκτρικό πεδί μικρής έντασης και υψηλής συχνότητας, τα μόρια ταλαντώννται πλύ γρήγρα, πρσκρύντας τ ένα πάνω στ άλλ, ώστε τα φαγητά να θερμαίννται λόγω τριβής. Αντιθέτως τα πιάτα ή γενικώς τα σκεύη, τα πία δεν έχυν πλλά πλικά μόρια, δεν θερμαίννται τ ίδι εύκλα μέσα στ φύρν μικρκυμάτων. Γενικότερα χωρίς την ύπαρξη των διπόλων και ιδίως της πλικότητας τυ νερύ, η Χημεία και η Βιχημεία θα ήταν πλύ διαφρετική. Ακόμη και η ύπαρξη της ζωής στην Γη, η πία συντελείται μέσω σειράς βιχημικών αντιδράσεων, θα ήταν αμφίβλη. Παράδειγμα 4.10 Διπλική ρπή τυ χλωριύχυ καλίυ Τ μόρι τυ χλωριύχυ καλίυ (KCl) έχει διπλική ρπή Cm. α) Εάν αυτή πρέρχεται από δυ φρτία ± C σε απόσταση l μεταξύ τυς, υπλγίστε την απόσταση l. β) Πόση είναι η μέγιστη και η ελάχιστη ρπή την πία ασκεί στ μόρι KCl ένα ηλεκτρικό πεδί έντασης Ε=610 4 Ν/C; Σ ένα πρόχειρ σχήμα δείξτε τυς σχετικύς πρσανατλισμύς της ηλεκτρικής διπλικής ρπής p και τυ ηλεκτρικύ πεδίυ Ε όταν η ρπή είναι μέγιστη και ελάχιστη. Λύση α) Η ηλεκτρική διπλική ρπή p ρίζεται ως Άρα από την εξ.1 η απόσταση l μπρεί να υπλγισθεί ως 30 p 810 Cm l l l 19 q C p ql (1) m β) Η ρπή τυ διπόλυ μέσα στ πεδί E ρίζεται ως τ = p E pesin () όπυ θ είναι η γωνία πυ σχηματίζει τ διάνυσμα της ηλεκτρικής ρπής με αυτό τυ διανύσματς τυ ηλεκτρικύ πεδίυ. Από την εξ. καταλαβαίνυμε ότι τ μέτρ της ρπής είναι μέγιστ όταν sinθ=±1, δηλ. για θ=90 ή 70. Τότε τα διανύσματα p και Ε είναι κάθετα μεταξύ τυς, όπως φαίνεται στ. σχ. 4.1α. Αντιθέτως η ρπή είναι ελάχιστη, δηλ. μηδενική, όταν sinθ=0, δηλ. για θ=0 ή 180, όπως δείχνει τ σχ. 4.1β.