ΣTAYPOΣ ΠAYΛOY TMHMA XHMIKΩN MHXANIKΩN ΠOΛYTEXNIKH ΣXOΛH ΠANEΠIΣTHMIO ΠATPΩN MAΘHMATIKA MONTEΛA MIKPOBIAKHΣ ANAΠTYΞHΣ ΣE BIOANTIΔPAΣTHPEΣ

Transcript

1 ΣTAYPOΣ ΠAYΛOY TMHMA XHMIKΩN MHXANIKΩN ΠOΛYTEXNIKH ΣXOΛH ΠANEΠIΣTHMIO ΠATPΩN MAΘHMATIKA MONTEΛA MIKPOBIAKHΣ ANAΠTYΞHΣ ΣE BIOANTIΔPAΣTHPEΣ ΠATPA 2011

2 EIΣAΓΩΓH Σε πολλές βιοµηχανικές διεργασίες χρησιµοποιείται η δράση µικροοργανισµών για την παραγωγή προϊόντων ή για την ελάττωση των αρνητικών επιπτώσεων κάποιων ουσιών στο περιβάλλον. H ανάπτυξη των µικροοργανισµών γίνεται σε διατάξεις βιοαντιδραστήρων. Για την καλύτερη δυνατή αξιοποίηση της µικροβιακής δράσης είναι απαραίτητο να γίνει ορθολογικός σχεδιασµός και αριστοποίηση αυτών των διατάξεων. O σχεδιασµός και η αριστοποίηση απαιτούν δυνατότητα ποσοτικής περιγραφής της µικροβιακής ανάπτυξης και εποµένως γνώση της κινητικής της καθώς και της δυναµικής συµπεριφοράς του συστήµατος. Aπαιτείται εποµένως η κατασκευή αξιόπιστων µαθηµατικών µοντέλων της µικροβιακής ανάπτυξης σε βιοαντιδραστήρες. Oι µικροοργανισµοί είναι ιδιαίτερα πολύπλοκα συστήµατα και η µαθηµατική περιγραφή της λειτουργίας τους µπορεί να γίνει µόνο κάτω από κάποιες απλοποιητικές παραδοχές. Aνάλογα µε το µικροβιακό σύστηµα που επιθυµούµε να περιγράψουµε και τις διεργασίες στις οποίες θέλουµε να δώσουµε έµφαση χρησιµοποιούµε κατάλληλα µαθηµατικά µοντέλα διαφόρων βαθµών πολυπλοκότητας. Kάποια τέτοια µοντέλα παρουσιάζονται εδώ. Στο Kεφάλαιο 1 παρουσιάζεται ο βασικός τύπος βιοαντιδραστήρα, ο χηµοστάτης, και µερικά απλά µοντέλα µικροβιακής ανάπτυξης καθαρών καλλιεργειών, στα οποία λαµβάνονται υπ όψη διάφορες µικροβιακές διεργασίες. Στο Kεφάλαιο 2 παρουσιάζονται µερικά βασικά στοιχεία µεθόδων µελέτης της δυναµικής συµπεριφοράς συστηµάτων και χρησιµοποιούνται για την ανάλυση της δυναµικής συµπεριφοράς απλών µαθηµατικών µοντέλων βιοαντιδραστήρων. Στο Kεφάλαιο 3 παρουσιάζονται µαθηµατικά µοντέλα που περιγράφουν την µικροβιακή ανάπτυξη, όταν υπάρχει περιορισµός της ανάπτυξης των µικροοργανισµών από περισσότερα του ενός συστατικά. Στο Kεφάλαιο 4 παρουσιάζονται µαθηµατικά µοντέλα µικροβιακής ανάπτυξης, στα οποία λαµβάνεται υπ όψη η κατανοµή µιας ή περισσοτέρων ποσοτήτων στον µικροβιακό πληθυσµό. Στο Kεφάλαιο 5 εξετάζονται συστήµατα βιοαντιδραστήρων µε µικτές καλλιέργειες µικροοργανισµών και οι επιπτώσεις που έχουν στην δυναµική συµπεριφορά τους οι αναπτυσσόµενες αλληλεπιδράσεις µεταξύ των µικροβιακών πληθυσµών.

3 ΠEPIEXOMENA KEΦAΛAIO 1 BIOANTIΔPAΣTHPEΣ 5 1. XHMOΣTATHΣ 5 2. TO MONTEΛO MONOD ΣE XHMOΣTATH 7 3. ΠAPAΓΩΓH ΠPOΪONTOΣ 9 4. ΣYNTHPHΣH KAI ENΔOΓENHΣ METABOΛIΣMOΣ ΠPOΣKOΛΛHΣH KYTTAPΩN ΣTA TOIXΩMATA TOY XHMOΣTATH 12 KEΦAΛAIO 2 ΔYNAMIKH ΣYMΠEPIΦOPA BIOANTIΔPAΣTHPΩN ΣTOIXEIA ΔYNAMIKHΣ ΣYΣTHMATΩN ΔYNAMIKH ΣYMΠEPIΦOPA XHMOΣTATH Mοντέλο Monod Mοντέλο Andrews 21 KEΦAΛAIO 3 ΠEPIOPIΣMOΣ TOY PYΘMOY MIKPOBIAKHΣ ANAΠTYΞHΣ AΠO ΠOΛΛAΠΛA ΣYΣTATIKA TAΞINOMHΣH ZEYΓΩN ΣYΣTATIKΩN ΣYMΠΛHPΩMATIKA ΣYΣTATIKA Mη αλληλεπιδρώντα συµπληρωµατικά συστατικά Aλληλεπιδρώντα συµπληρωµατικά συστατικά Eξισώσεις του χηµοστάτη ANTIKATAΣTAΣIMA ΣYΣTATIKA ΓENIKEYMENA MONTEΛA MIKPOBIAKHΣ ANAΠTYΞHΣ Kυβερνητικά µοντέλα µικροβιακής ανάπτυξης 37 KEΦAΛAIO 4 MONTEΛA KATANEMHMENΩN ΠAPAMETPΩN IΣOZYΓIO ΠΛHΘYΣMOY ΣΩMATIΔIΩN Διεργασία διάσπασης σωµατιδίων Διεργασία συσσωµάτωσης σωµατιδίων Iσοζύγιο περιβαλλοντικών συστατικών IΣOZYΓIO ΠΛHΘYΣMOY KYTTAPΩN ΣE XHMOΣTATH Iσοζύγιο πληθυσµού κατανεµηµένου ως προς την µάζα των κυττάρων Iσοζύγιο πληθυσµού κατανεµηµένου ως προς την ηλικία των κυττάρων 54 KEΦAΛAIO 5 MIKTEΣ KAΛΛIEPΓEIEΣ MIKPOOPΓANIΣMΩN TAΞINOMHΣH MIKPOBIAKΩN AΛΛHΛEΠIΔPAΣEΩN AMEΣEΣ MIKPOBIAKEΣ AΛΛHΛEΠIΔPAΣEIΣ EMMEΣEΣ MIKPOBIAKEΣ AΛΛHΛEΠIΔPAΣEIΣ Kοµµενσαλισµός (commensalism) Συναγωνισµός (competition) Aµενσαλισµός (amensalism) και ανταγωνισµός (antagonism) Aµοιβαιοτισµός (mutualism) 90

4 4. ΣYNΔYAΣMOI AΛΛHΛEΠIΔPAΣEΩN Συναγωνισµός + κοµµενσαλισµός Συναγωνισµός + αµενσαλισµός Συναγωνισµός + ανταγωνισµός Συναγωνισµός + αµοιβαιοτισµός Θήρευση + συναγωνισµός 99 ΠPOBΛHMATA 101 BIBΛIOΓPAΦIA 111

5 5 KEΦAΛAIO 1 BIOANTIΔPAΣTHPEΣ 1. XHMOΣTATHΣ O χηµοστάτης είναι ένας αντιδραστήρας πλήρους ανάµιξης συνεχούς λειτουργίας (CSTR) στον οποίο λαµβάνει χώρα καλλιέργεια µικροοργανισµών. Παρουσιάστηκε για πρώτη φορά από τους Novick & Szilard (1950), που του έδωσαν το όνoµα chemostat και από τον Monod (1950), που του έδωσε το όνοµα bactogen. Tελικά η ονοµασία χηµοστάτης (chemostat) επεκράτησε. Ένας χηµοστάτης φαίνεται σχηµατικά στο σχ Mέσα στον χηµοστάτη λαµβάνει χώρα η ανάπτυξη των µικροοργανισµών. H υγρή τροφοδοσία περιέχει όλα τα απαραίτητα θρεπτικά συστατικά για την ανάπτυξη των µικροοργανισµών. Tαυτόχρονα υπάρχει και τροφοδοσία των απαραίτητων αερίων (π. χ. οξυγόνο για τους αερόβιους µικροοργανισµούς). Στην έξοδο λαµβάνεται ως προϊόν η βιοµάζα που είναι αποτέλεσµα της ανάπτυξης των µικροοργανισµών καθώς και διάφορα προϊόντα µεταβολισµού. Eπι πλέον υπάρχουν διατάξεις ρύθµισης της θερµοκρασίας, του ph κλπ. Y'PH TPO(O"O#IA F E!O"O# AEPI$N F Y%EPXEI&I#H (BIOMAZA) V AEPIA Σχήµα 1.1. Xηµοστάτης Aς θεωρήσουµε ότι έχουµε καθαρή καλλιέργεια, δηλαδή ανάπτυξη ενός µόνο τύπου µικροοργανισµών. Ένα ισοζύγιο βιοµάζας δίνει: V dx = Fx F " Fx + Vµx (1.1) όπου x είναι η συγκέντρωση της βιοµάζας στο εσωτερικό του χηµοστάτη, x F είναι η συγκέντρωσης της βιοµάζας στην τροφοδοσία, F είναι ο ρυθµός ροής δια µέσου του

6 6 χηµοστάτη, V είναι ο όγκος της υγρής φάσης στο εσωτερικό του χηµοστάτη, και µ είναι ο ειδικός ρυθµός ανάπτυξης των µικροοργανισµών, οριζόµενος ως ο ρυθµός παραγωγής βιοµάζας ανά µονάδα βιοµάζας. Oρίζοντας ως D = F/V τον ρυθµό αραίωσης του χηµοστάτη, δηλαδή το αντίστροφο του χρόνου παραµονής του αντιδραστήρα, το ισοζύγιο της βιοµάζας γράφεται: dx = D(x F " x) + µx (1.2) και αν θεωρήσουµε ότι έχουµε στείρα τροφοδοσία (sterile feed), δηλαδή δεν υπάρχουν µικροοργανισµοί στο ρεύµα της τροφοδοσίας, οπότε x F = 0, τότε σε µόνµη κατάσταση ο ρυθµός αραίωσης ισούται µε την ειδικό ρυθµό ανάπτυξης: D = µ (1.3) Mία ειδική κατάσταση, η οποία χρησιµοποιείται συχνά στο εργαστήριο για την µελέτη της ανάπτυξης µικροοργανισµών, είναι εκείνη στην οποία η τροφοδοσία περιέχει όλα τα απαραίτητα θρεπτικά συστατικά για την ανάπτυξη των µικροοργανισµών σε συγκεντρώσεις τέτοιες που µόνο ένα από αυτά επηρεάζει τον ειδικό ρυθµό ανάπτυξης. Tο συστατικό αυτό ονοµάζεται περιοριστικό του ρυθµού (rate-limiting) συστατικό και ο ειδικός ρυθµός ανάπτυξης είναι συνάρτηση της συγκέντρωσής του. Tα θρεπτικά συστατικά για την ανάπτυξη των µικροοργανισµών ονοµάζονται και υποστρώµατα (substrates). Ένα ισοζύγιο για το περιοριστικό του ρυθµού υπόστρωµα δίνει: ds = D(s F " s) " 1 µx (1.4) Y όπου s F είναι η συγκέντρωση του περιοριστικού του ρυθµού υποστρώµατος στην τροφοδοσία και Y είναι ένας στοιχειοµετρικός συντελεστής που παριστά την παραγόµενη βιοµάζα ανά µονάδα καταναλισκόµενου υποστρώµατος και ονοµάζεται συντελεστής απόδοσης. Ένα ερώτηµα που τίθεται είναι αν ο ειδικός ρυθµός ανάπτυξης m εξαρτάται µόνο από την συγκέντρωση s του υποστρώµατος ή είναι συνάρτηση και της συγκέντρωσης x της βιοµάζας. Tο ερώτηµα αυτό µπορεί να απαντηθεί πειραµατικά αν µετρήσει κανείς την συγκέντρωση s του υποστρώµατος στην έξοδο του χηµοστάτη για διάφορες τιµές του ρυθµού αραίωσης D και της συγκέντρωσης του υποστρώµατος στην τροφοδοσία s F. Όπως µπορεί εύκολα να δειχθεί από τις εξ. (1.3) και (1.4), αν ο ειδικός ρυθµός ανάπτυξης είναι συνάρτηση µόνο της συγκέντρωσης του υποστρώµατος, η συγκέντρωση του υποστρώµατος s στην έξοδο του χηµοστάτη θα εξαρτάται µόνο από την τιµή του ρυθµού αραίωσης D. Aν αντίθετα ο ειδικός ρυθµός ανάπτυξης είναι συνάρτηση και της συγκέντρωσης της βιοµάζας, τότε η συγκέντρωση του υποστρώµατος s στην έξοδο του χηµοστάτη θα εξαρτάται και από το s F. Πειράµατα των Grady et al.(1972) µε το βακτήριο Aerobacter Aerogenes υποδεικνύουν την πρώτη περίπτωση, όπως φαίνεται στον Πίνακα 1.1.

7 7 ΠINAKAΣ 1.1 Πειράµατα των Grady et al. (1972) σε χηµοστάτη D (h -1 ) s F (mg COD/L) s (mg COD/L) ± ± ± ± ± ± ± ± ± TO MONTEΛO MONOD ΣE XHMOΣTATH Tο απλούστερο και ευρύτερα χρησιµοποιούµενο µοντέλο για την περιγραφή της εξάρτησης του ειδικού ρυθµού ανάπτυξης από την συγκέντρωση ενός υποστρώµατος είναι το µοντέλο του Monod (1942): µ(s) = µ ms K + s (1.5) όπου µ m είναι ο µέγιστος ρυθµός ανάπτυξης, που λαµβάνεται όταν s >> K, και K είναι η επονοµαζόµενη σταθερά κορεσµού ή σταθερά Michaelis, η οποία ισούται µε την συγκέντρωση του υποστρώµατος στην οποία ο ειδικός ρυθµός ανάπτυξης ισούται µε το ήµισυ του µέγιστου ρυθµού ανάπτυξης. Kάνοντας χρήση του µοντέλου Monod στις εξισώσεις µόνιµης κατάστασης του χηµοστάτη (1.3) και (1.4) έχουµε: D = µ ms K + s D(s F " s) " 1 Y µ m s K + s x = 0 (1.6α) (1.6β) Oι εξισώσεις (1.6) έχουν δύο λύσεις ως προς x και s. H µία λύση είναι η x = 0, s = s F, δηλαδή η τετριµµένη κατάσταση κατά την οποία δεν αναπτύσσεται βιοµάζα στον

8 8 αντιδραστήρα και όσο υπόστρωµα τροφοδοτείται εξέρχεται αναλοίωτο. Aυτή η κατάσταση ονοµάζεται κατάσταση έκπλυσης (washout). Για την δεύτερη µόνιµη κατάσταση, που είναι εκείνη που έχει το πρακτικό ενδιαφέρον και την οποία θα ονοµάσουµε κανονική (normal) µόνιµη κατάσταση, η επίλυση των εξισώσεων (1.6) ως προς x και s δίνει τις συγκεντρώσεις της βιοµάζας και του υποστρώµατος σε µόνιµη κατάσταση ως συναρτήσεις των παραµέτρων λειτουργίας, δηλαδή του ρυθµού αραίωσης D και της συγκέντρωσης του υποστρώµατος στην τροφοδοσία s F : s = DK µ m " D # x = Y s F " DK & % ( $ µ m " D' (1.7α) (1.7β) Eίναι προφανές ότι για να έχει φυσικό νόηµα η µόνιµη κατάσταση που υπολογίζεται από τις εξισώσεις (1.7) πρέπει να ισχύει x > 0 και 0 < s < s F, το οποίο δίνει τον περιορισµό που πρέπει να ικανοποιούν οι συνθήκες λειτουργίας: D < µ m s F K + s F (1.8) Aν οι παράµετροι λειτουργίας D και s F δεν ικανοποιούν την συνθήκη (1.8), η µόνη µόνιµη κατάσταση που µπορεί να υπάρξει µέσα στον χηµοστάτη είναι η τετριµµένη κατάσταση έκπλυσης. Συχνά αυτό που επιδιώκεται στον χηµοστάτη είναι η µεγιστοποίηση του ρυθµού παραγωγής βιοµάζας, δηλαδή της παραγόµενης βιοµάζας ανά µονάδα χρόνου. Δηλαδή το µέγεθος που θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε είναι το P = D x (1.9) που το ονοµάζουµε παραγωγικότητα (productivity). Για την εύρεση της τιµής του ρυθµού αραίωσης στην οποία µεγιστοποιείται η παραγωγικότητα αντικαθιστούµε το x από την εξ. (1.7β) στην εξ. (1.9) και υπολογίζουµε το D για το οποίο dp/dd = 0. Προκύπτει: # D opt = µ m % 1" $ K & ( (1.10) K + s F ' Στο σχ. 1.2 φαίνονται η συγκέντρωση της βιοµάζας x, η συγκέντρωση του υποστρώµατος s και η παραγωγικότητα P, ως συναρτήσεις του ρυθµού αραίωσης D.

9 9 x s P 0 D Dopt µ m s F K + s F Σχήµα 1.2. Συγκέντρωση της βιοµάζας x, συγκέντρωση του υποστρώµατος s και παραγωγικότητα P, ως συναρτήσεις του ρυθµού αραίωσης D. 3. ΠAPAΓΩΓH ΠPOΪONTOΣ Kατά την καλλιέργεια µικροοργανισµών στον χηµοστάτη η βιοµάζα δεν είναι κατ ανάγκη το κύριο προϊόν. Kατά την ανάπτυξη των µικροοργανισµών µέσα στον αντιδραστήρα παράγονται διάφορα ενδεχοµένως χρήσιµα προϊόντα µεταβολισµού. Tέτοια προϊόντα είναι αλκοόλες, οργανικά οξέα, αντιβιοτικά, βιταµίνες, αµινοξέα, ένζυµα κλπ. Tο ισοζύγιο για ένα προϊόν είναι: dp = D(p F " p) + r p (1.11) όπου p είναι η συγκέντρωση του προϊόντος, p F είναι η συγκέντρωση του προϊόντος στην τροφοδοσία (ενδεχοµένως 0) και r p είναι ο ρυθµός παραγωγής του προϊόντος. Για τον ρυθµό παραγωγής προϊόντος r p οι Luedeking & Piret (1959) πρότειναν να είναι ανάλογος του ρυθµού ανάπτυξης: r p = α µ x (1.12) αν το προϊόν παράγεται από κάποια διεργασία µεταβολισµού σχετιζόµενη µε την ανάπτυξη του µικροοργανισµού (growth-associated product) και ανάλογος της βιοµάζας r p = β x (1.13)

10 10 αν το προϊόν παράγεται από κάποια διεργασία µεταβολισµού µη σχετιζόµενη µε την ανάπτυξη του µικροοργανισµού (non-growth-associated product). Kατά παρόµοιο τρόπο µε την µεγιστοποίηση του ρυθµού παραγωγής βιοµάζας από τον χηµοστάτη, µπορεί κανείς να βρει την βέλτιστη τιµή του ρυθµού αραίωσης D για την οποία µεγιστοποιείται η παραγωγικότητα προϊόντος Dp. 4. ΣYNTHPHΣH KAI ENΔOΓENHΣ METABOΛIΣMOΣ Oι µικροοργανισµοί καταναλώνουν ενέργεια και σε διεργασίες άλλες από την σύνθεση βιοϋλικού. Tέτοιες διεργασίες είναι: - H διατήρηση της διαφοράς των χηµικών δυναµικών µεταξύ του εσωτερικού και του εξωτερικού των κυττάρων. - H ανασύνθεση µακροµορίων (πρωτεΐνες, νουκλεϊκά οξέα), που έχουν αποσυντεθεί στα µονοµερή τους. - H κίνηση των κυττάρων. H κατανάλωση ενέργειας για όλες τις διεργασίες πλην της ανάπτυξης ονοµάζεται συντήρηση (maintenance), αφού έχει ως αποτέλεσµα την συντήρηση της βιωσιµότητας του κυττάρου. Διάφορα µοντέλα έχουν προταθεί για την συντήρηση. O Herbert (1958) υπέθεσε ότι η ενέργεια η απαιτούµενη για την συντήρηση του κυττάρου προέρχεται από οξείδωση µέρους της βιοµάζας. Aυτή η διεργασία ονοµάζεται ενδογενής µεταβολισµός. Aν θεωρήσουµε ότι ο ρυθµός οξείδωσης της βιοµάζας είναι ανάλογος της συγκέντρωσης της βιοµάζας, το ισοζύγιο βιοµάζας στον χηµοστάτη (1.2) τροποποιείται ως εξής: dx = "Dx + µ(s)x " µ cx (1.14) όπου µ c είναι σταθερά. Aν θεωρήσουµε ότι ισχύει το µοντέλο του Monod για τον ειδικό ρυθµό ανάπτυξης µ, οι συγκεντρώσεις του υποστρώµατος και της βιοµάζας σε µόνιµη κατάσταση υπολογίζονται από τις παρακάτω σχέσεις: s = (D + µ c )K µ m " D " µ c # x = Y s F " (D + µ c )K & D % ( $ µ m " D " µ c ' D + µ c (1.15α) (1.15β) Στο σχ. 1.3 φαίνεται η συγκέντρωση της βιοµάζας σε µόνιµη κατάσταση στον χηµοστάτη ως συνάρτηση του ρυθµού αραίωσης D, όπως υπολογίζεται από την εξ. (1.15β), για την περίπτωση που ο ενδογενής µεταβολισµός είναι σηµαντικός (µ c > 0) και για την περίπτωση που είναι αµελητέος (µ c = 0), οπότε η εξ. (1.15β) ανάγεται στην εξ. (1.7β). Παρατηρούµε ότι σηµαντικές διαφορές µεταξύ των δύο περιπτώσεων εµφανίζονται σε χαµηλούς ρυθµούς

11 11 αραίωσης. Eποµένως σε χαµηλούς ρυθµούς αραίωσης µπορεί να ελεγχθεί πειραµατικά σε κάποιο σύστηµα µικροοργανισµών το πόσο σηµαντικός είναι ο ενδογενής µεταβολισµός. µ c = 0 x µ c > 0 0 D Σχήµα 1.3. Συγκέντρωση της βιοµάζας x ως συναρτήση του ρυθµού αραίωσης D στο µοντέλο συντήρησης. Ένας άλλος τρόπος να ελεγχθεί πειραµατικά το πόσο σηµαντικός είναι ο ενδογενής µεταβολισµός σε µια καλλιέργεια µικροοργανισµών σε χηµοστάτη είναι µέσω του φαινόµενου συντελεστή απόδοσης, που ορίζεται ως ο λόγος της καθαρής παραγόµενης βιοµάζας (παραγόµενη µείον καταναλισκόµενη λόγω ενδογενούς µεταβολισµού) προς το καταναλισκόµενο υπόστρωµα: Y! = x s F " s (1.16) Για την περίπτωση αµελητέου ενδογενούς µεταβολισµού συνάγεται από τις εξ. (1.7) ότι ο φαινόµενος συντελεστής απόδοσης Y! ταυτίζεται µε το συντελεστή απόδοσης Y, που είναι σταθερός. Στην περίπτωση όµως σηµαντικού ενδογενούς µεταβολισµού η εξ. (1.16) δίνει: Y! = DY D + µ c (1.17) Παρατηρούµε ότι στην περίπτωση αυτή ο φαινόµενος συντελεστής απόδοσης είναι συνάρτηση του ρυθµού αραίωσης D, πράγµα το οποίο µπορεί να ελεγχθεί πειραµατικά. Tο µοντέλο του Herbert βασίζεται στην παραδοχή ότι η απαιτούµενη ενέργεια από το κύτταρο προέρχεται από οξείδωση µέρους της βιοµάζας του. Όµως η απαιτούµενη ενέργεια

12 12 µπορεί να ληφθεί και από την κατανάλωση υποστρώµατος. Δηλαδή µέρος του υποστρώµατος καταναλώνεται για την σύνθεση βιοµάζας και µέρος για τις ενεργειακές ανάγκες του κυττάρου. H πιο απλή τροποποίηση του ισοζυγίου του χηµοστάτη θα ήταν να προστεθεί στο ισοζύγιο για το υπόστρωµα (1.4) ένας όρος που να υποδηλώνει τον ρυθµό κατανάλωσης υποστρώµατος για ενεργειακούς λόγους. Oι Marr et al. (1963) και Pirt (1966) χρησιµοποίησαν ένα µοντέλο στο οποίο αυτός ο ρυθµός είναι απλώς ανάλογος της συγκέντρωσης της βιοµάζας: ds = D(s F " s) " 1 Y µ(s)x " µ cx # (1.18) Όµως ένα τέτοιο µοντέλο έχει την αδυναµία ότι στην περίπτωση που η συγκέντρωση του υποστρώµατος πέσει σε µηδενική τιµή, η εξ. (1.18) προβλέπει ότι το υπόστρωµα θα εξακολουθήσει να καταναλώνεται και εποµένως η συγκέντρωσή του θα πάρει αρνητικές τιµές. Oι Ramkrishna et al. (1966) πρότειναν ένα πιο ρεαλιστικό µοντέλο, στο οποίο λαµβάνονται υπ όψη και οι δύο διεργασίες για την ικανοποίηση των ενεργειακών αναγκών του κυττάρου, δηλαδή η οξείδωση βιοµάζας και η κατανάλωση υποστρώµατος. Oι εξισώσεις αυτού του µοντέλου είναι: dx = "Dx + µ ms K + s x " µ c K # K # + s x ds = D(s F " s) " 1 Y µ m s K + s x " µ c # s K # + s x (1.19α) (1.19β) όπου το µοντέλο του Monod χρησιµοποιείται για τον ειδικό ρυθµό ανάπτυξης των µικροοργανισµών. Tο µοντέλο των Ramkrishna et al. ανάγεται στο µοντέλο των Marr et al. και Pirt όταν K! " 0 και στο µοντέλο του Herbert όταν K! " #. 5. ΠPOΣKOΛΛHΣH KYTTAPΩN ΣTA TOIXΩMATA TOY XHMOΣTATH Πολλοί µικροοργανισµοί έχουν την τάση να προσκολλώνται σε στερεές επιφάνειες που βρίσκονται σε επαφή µε το υγρό στο οποίο αναπτύσσονται. H προσκόλληση αυτή έχει ως αποτέλεσµα τον σχηµατισµό στρώµατος (film), αν οι µικροοργανισµοί έχουν την τάση να προσκολλώνται και µεταξύ τους ή τον σχηµατισµό µονοκυτταρικής στοιβάδας αν δεν έχουν την τάση να προσκολλώνται µεταξύ τους. Ένα µοντέλο που περιγράφει την ανάπτυξη σε χηµοστάτη µικροοργανισµών που έχουν την τάση να προσκολλώνται στα τοιχώµατα του αντιδραστήρα προτάθηκε από τους Topiwala & Hamer (1971). Aποτελεί τροποποίηση του µοντέλου Monod σε χηµοστάτη και βασίζεται στις ακόλουθες παραδοχές: 1. H πυκνότητα των µικροοργανισµών που είναι προσκολληµένοι στο τοίχωµα είναι σταθερή.

13 13 2. H ανάπτυξη των κυττάρων στα τοιχώµατα αντισταθµίζεται από την είσοδο κυττάρων στο υγρό. 3. Tα κύτταρα που είναι προσκολληµένα στα τοιχώµατα δεν υφίστανται αποκόλληση. 4. O ρυθµός ανάπτυξης επάνω στα τοιχώµατα είναι ίδιος µε εκείνον στο υγρό. Oι εξισώσεις του µοντέλου για την βιοµάζα και το υπόστρωµα είναι: dx = "Dx + µ m s $ & K + s x + A % V x # ' ) (1.20α) ( ds = D(s F " s) " 1 Y µ m s $ & K + s x + A % V x # ' ) (1.20β) ( όπου x! είναι η επιφανειακή πυκνότητα της βιοµάζας στα τοιχώµατα και θεωρείται σταθερή, και A/V είναι ο λόγος της επιφάνειας των τοιχωµάτων που είναι σε επαφή µε το υγρό προς τον όγκο του υγρού. Oι προβλέψεις του µοντέλου των Topiwala & Hamer διαφοροποιούνται από εκείνες του µοντέλου Monod για χηµοστάτη σε µεγάλες τιµές του ρυθµού αραίωσης D. Aυτό φαίνεται στο σχ. 1.4, όπου παρίστανται η συγκέντρωση της βιοµάζας και η παραγωγικότητα ως συναρτήσεις του ρυθµού αραίωσης, για τις περιπτώσεις προσκόλλησης στα τοιχώµατα ( x! > 0) και µη προσκόλλησης στα τοιχώµατα ( x! = 0). Παρατηρούµε ότι ο χηµοστάτης µπορεί να λειτουργήσει σε ρυθµούς αραίωσης πολύ µεγαλύτερους του µέγιστου ρυθµού αραίωσης [εξ. (1.8)], ενώ αυξάνεται σηµαντικά και η παραγωγικότητα. Aυτό οφείλεται στο ότι η προσκόλληση των κυττάρων στα τοιχώµατα εµποδίζει την έκπλυσή τους από τον χηµοστάτη. Oι Baltzis & Fredrickson (1983) πρότειναν µια γενίκευση του µοντέλου των Topiwala & Hamer, που δεν περιλαµβάνει τις παραδοχές 1, 2, και 3. Συγκεκριµένα, θεώρησαν ότι εκτός από την διαδικασία προσκόλλησης υπάρχει και µια διαδικασία αποκόλλησης και εποµένως η πυκνότητα των προσκολληµένων κυττάρων x! δεν είναι σταθερή. Oι εξισώσεις του µοντέλου των Topiwala & Hamer τροποποιούνται ως εξής: dx = "Dx + µ m s $ & K + s x + A % V x # ' ) " A ( V d x " = k a x( x " m # x ") # k d x " d x # (1.21α) (1.21β) ds = D(s F " s) " 1 Y µ m s $ & K + s x + A % V x # ' ) (1.21γ) ( O πρώτος όρος στο δεξιό µέλος της εξ. (1.21β) είναι ο ρυθµός προσκόλλησης, ο οποίος θεωρείται ότι είναι ανάλογος της συγκέντρωσης βιοµάζας στο υγρό και ανάλογος της διαφοράς της πυκνότητας των προσκολληµένων κυττάρων από µια µέγιστη τιµή x m!, η οποία θεωρείται σταθερή. H x m! αντιπροσωπεύει την πυκνότητα των προσκολληµένων κυττάρων όταν έχει καλυφθεί όλη η επιφάνεια των τοιχωµάτων από µια µονοκυτταρική στοιβάδα. O

14 14 δεύτερος όρος στο δεξιό µέλος τηε εξ. (1.21β) είναι ο ρυθµός αποκόλλησης και θεωρείται ανάλογος της επιφανειακής πυκνότητας x!. x' > 0 x x' = 0 0 µ m s F D K + sf x' > 0 P x' = 0 µ m s F 0 K + sf D Σχήµα 1.4. Συγκέντρωση της βιοµάζας x και παραγωγικότητας P, ως συναρτήσεις του ρυθµού αραίωσης D, για τις περιπτώσεις προσκόλλησης ( x! > 0) και µη προσκόλλησης ( x! = 0) στα τοιχώµατα του χηµοστάτη. Oι προβλέψεις του µοντέλου των Baltzis & Fredrickson για τον χηµοστάτη σε µόνιµη κατάσταση είναι ενδιάµεσες µεταξύ εκείνων του µοντέλου Topiwala & Hamer και του µοντέλου Monod για χηµοστάτη. Tο µοντέλο ανάγεται στο µοντέλο Topiwala & Hamer όταν

15 15 k a! " και στο µοντέλο Monod για χηµοστάτη όταν k a = 0. Στο σχ. 1.5 φαίνεται η συγκέντρωση της βιοµάζας σε µόνιµη κατάσταση ως συνάρτηση του ρυθµού αραίωσης για τις τρεις περιπτώσεις. k a > 0 k a! " x k a = 0 0 D µ m s F K + s F Σχήµα 1.5. Συγκέντρωση της βιοµάζας x ως συναρτήση του ρυθµού αραίωσης D, για τις περιπτώσεις προσκόλλησης σύµφωνα µε το µοντέλο Topiwala & Hamer (k a! "), προσκόλλησης σύµφωνα µε το µοντέλο Baltzis & Fredrickson (k a > 0) και µη προσκόλλησης (k a = 0) στα τοιχώµατα του χηµοστάτη.

16 16 KEΦAΛAIO 2 ΔYNAMIKH ΣYMΠEPIΦOPA BIOANTIΔPAΣTHPΩN Oι βιοαντιδραστήρες είναι συστήµατα τα οποία είναι δυνατόν να παρουσιάσουν πολύπλοκη δυναµική συµπεριφορά, ιδιαίτερα σε περιπτώσεις όπου συµβαίνει ανάπτυξη µικτών καλλιεργειών µικροοργανισµών. H µελέτη της δυναµικής συµπεριφοράς βιοαντιδραστήρων γίνεται µε την περιγραφή του συστήµατος µε ένα µαθηµατικό µοντέλο και µε εφαρµογή σ αυτό των µεθόδων της δυναµικής ανάλυσης συστηµάτων διαφορικών εξισώσεων. 1. ΣTOIXEIA ΔYNAMIKHΣ ΣYΣTHMATΩN Ένα δυναµικό σύστηµα είναι ένα σύστηµα διαφορικών εξισώσεων, που περιγράφει την χρονική εξέλιξη ενός φαινοµένου. Kάθε δυναµικό σύστηµα µπορεί µε κατάλληλες µεθόδους να αναχθεί σε ένα σύστηµα συνήθων διαφορικών εξισώσεων α' τάξης της µορφής: dx 1 = f 1 (x 1, x 2,..., x n, t).. (2.1α). dx n = f n (x 1, x 2,..., x n, t) το οποίο σε συµπαγή διανυσµατική µορφή µπορεί να γραφεί: x = f(x, t) (2.1β) Aν οι συναρτήσεις του δεύτερου µέλους των εξ. (2.1) δεν είναι συναρτήσεις του χρόνου, το σύστηµα ονοµάζεται αυτόνοµο: x = f(x) (2.2) Aν το σύστηµα (2.2) είναι γραµµικό οµογενές: x = A x (2.3) x(0) = x 0 έχει για "# < t < # την µοναδική λύση: x(t) = e At x 0 (2.4)

17 17 όπου e At είναι ο θεµελιώδης πίνακας του γραµµικού συστήµατος και, αν ο πίνακας A έχει n διαφορετικές ιδιοτιµές λ 1,..., λ n, µπορεί να υπολογιστεί ως e At = Pe!t P "1 = e! 1t v 1 w 1 T e! nt v n w n T (2.5) όπου P είναι ο πίνακας που έχει για στήλες τα ιδιοδιανύσµατα (eigenvectors) του A: P = [v 1, v 2,..., v n ] (2.6α) Πρέπει να σηµειωθεί ότι ο P -1 έχει για σειρές τα ιδιοδιανύσµατα του A T, ο οποίος έχει τις ίδιες ιδιοτιµές µε τον A: P -1 = [w 1, w 2,..., w n ] T (2.6β) Eποµένως η λύση (2.4) του γραµµικού συστήµατος (2.3) µπορεί να γραφεί x(t) = e! 1t v1 w 1 T x e! nt vn w n T x0 (2.7) Όπως φαίνεται από την εξ. (2.7), για να είναι ένα αυτόνοµο οµογενές γραµµικό σύστηµα ευσταθές, δηλ. για να τείνει η λύση x(t) στο σηµείο ισορροπίας (µόνιµη κατάσταση) 0 καθώς t! ", πρέπει όλες οι ιδιοτιµές να έχουν αρνητικό πραγµατκό µέρος. Aν υπάρχει έστω και µία ιδιοτιµή µε θετικό πραγµατικό µέρος, το σύστηµα είναι ασταθές. Σε διδιάστατα συστήµατα τα σηµεία ισορροπίας χαρακτηρίζονται ανάλογα µε τον χαρακτήρα των ιδιοτιµών τους. Έτσι, εάν οι δύο ιδιοτιµές είναι πραγµατικές και οµόσηµες, το σηµείο ισορροπίας ονοµάζεται κόµβος, ευσταθής αν είναι αρνητικές και ασταθής αν είναι θετικές. Aν οι ιδιοτιµές είναι πραγµατικές και ετερόσηµες, το σηµείο ισορροπίας ονοµάζεται σαγµατικό σηµείο. Aν οι ιδιοτιµές είναι συζυγείς µιγαδικές, το σηµείο ισορροπίας ονοµάζεται εστία, ευσταθής αν έχουν αρνητικό πραγµατικό µέρος και ασταθής αν έχουν θέτικό πραγµατικό µέρος. Tέλος, αν οι ιδιοτιµές είναι καθαρά φανταστικές το σηµείο ισορροπίας ονοµάζεται κέντρο και είναι οριακά ευσταθές. Oι χαρακτηρισµοί αυτοί είναι δυνατόν να επεκταθούν και σε συστήµατα περισσοτέρων διαστάσεων, αλλά επειδή σ αυτά υπάρχουν περισσότερες από δύο ιδιοτιµές, οι όροι κόµβος, σαγµατικό σηµείο, εστία και κέντρο δεν µπορούν χρησιµοποιηθούν µε τον ίδιο τρόπο. Mπορούµε να γενικεύσουµε τους όρους αυτούς για συστήµατα περισσότερων διαστάσεων ως εξής: (α) αν όλες οι ιδιοτιµές είναι πραγµατικές και αρνητικές, το σηµείο ισορροπίας είναι ευσταθής κόµβος. (β) αν όλες οι ιδιοτιµές είναι πραγµατικές και θετικές, το σηµείο ισορροπίας είναι ασταθής κόµβος. (γ) αν όλες οι ιδιοτιµές είναι πραγµατικές και υπάρχουν και θετικές και αρνητικές ιδιοτιµές, το σηµείο ισορροπίας είναι σαγµατικό σηµείο.

18 18 (δ) αν υπάρχει ένα ζεύγος µιγαδικών ιδιοτιµών µε αρνητικό πραγµατικό µέρος, ενώ όλες οι υπόλοιπες ιδιοτιµές είναι πραγµατικές και αρνητικές, το σηµείο ισορροπίας είναι ευσταθής εστία. (ε) αν υπάρχει ένα ζεύγος µιγαδικών ιδιοτιµών µε θετικό πραγµατικό µέρος, ενώ όλες οι υπόλοιπες ιδιοτιµές είναι πραγµατικές και αρνητικές, το σηµείο ισορροπίας είναι ασταθής εστία. Eίναι προφανές ότι οι παραπάνω περιπτώσεις δεν καλύπτουν όλες τις δυνατότες. Ένα µη γραµµικό αυτόνοµο σύστηµα, όπως το (2.2) είναι δυνατόν να έχει περισσότερα του ενός σηµεία ισορροπίας. Tον χαρακτήρα αυτών των σηµείων ισορροπίας µπορούµε να τον προσδιορίσουµε µε την βοήθεια του Πρώτου Θεωρήµατος του Liapounov. Σύµφωνα µε αυτό το θεώρηµα, κοντά σε ένα σηµείο ισορροπίας x s το µη γραµµικό σύστηµα παρουσιάζει όµοια συµπεριφορά µε το γραµµικό σύστηµα, που προκύπτει από γραµµικοποίηση του συστήµατος γύρω από το σηµείο ισορροπίας: du = J(x s ) u (2.8) όπου u = x - x s είναι η απόκλιση από το σηµείο ισορροπίας και J(x s ) είναι ο Iακωβιανός πίνακας υπολογισµένος στο σηµείο ισορροπίας. Tα στοιχεία του Iακωβιανού πίνακα είναι οι πρώτες παράγωγοι των συναρτήσεων του δεύτερου µέλους της εξ. (2.2) ως προς τις µεταβλητές x 1,..., x n. H χρονική εξέλιξη ενός µη γραµµικού συστήµατος δεν καταλήγει κατ ανάγκη σε κατάσταση ισορροπίας (µόνιµη κατάσταση). Ένα µη γραµµικό σύστηµα µπορεί να καταλήγει σε περιοδική συµπεριφορά (οριακό κύκλο), οιονεί-περιοδική συµπεριφορά (τόρο) ή ακόµα και σε χαοτική συµπεριφορά (παράξενο ελκυστή). Oι µέθοδοι της δυναµικής ανάλυσης συστηµάτων διαφορικών εξισώσεων περιγράφονται εκτενώς από τον Παύλου (2000). 2. ΔYNAMIKH ΣYMΠEPIΦOPA XHMOΣTATH 2.1. Mοντέλο Monod Θεωρούµε την ανάπτυξη ενός µικροοργανισµού σε χηµοστάτη σε θρεπτικό µέσο στο οποίο ένα συστατικό είναι περιοριστικό του ρυθµού ανάπτυξης. O χηµοστάτης τροφοδοτείται µε το θρεπτικό µέσο αλλά όχι και µε µικροοργανισµούς. H εξάρτηση του ειδικού ρυθµού ανάπτυξης του µικροοργανισµού από την συγκέντρωση του περιοριστικού υποστρώµατος ακολουθεί το µοντέλο του Monod. Oι εξισώσεις που περιγράφουν το σύστηµα είναι: dx = - D x + µ m s K + s x (2.9α) ds = D (s F - s) - 1 Y µ m s K + s x (2.9β)

19 19 H δυναµική συµπεριφορά αυτού του µοντέλου αναλύθηκε από τους Koga & Humphrey (1967). H ανάλυση συνίσταται στην µελέτη της ευστάθειας των µονίµων καταστάσεων του συστήµατος µέ γραµµικοποίηση των διαφορικών εξισώσεων γύρω από κάθε µόνιµη κατάσταση και εξέταση των ιδιοτιµών του Iακωβιανού πίνακα. Mόνιµες καταστάσεις Tο σύστηµα (2.9) διαθέτει δύο µόνιµες καταστάσεις: 1. Έκπλυση των µικροοργανισµών: x s = 0, s s = s F. " 2. Kανονική µόνιµη κατάσταση: x s = Y $ DK % s F! ', s # µ m! D& s = DK µ m! D. Όπως έχει αναφερθεί στο Kεφάλαιο 1, η κανονική µόνιµη κατάσταση, όπως προκύπτει από τις παραπάνω εξισώσεις, έχει φυσικό νόηµα όταν οι παράµετροι λειτουργίας ικανοποιούν την παρακάτω συνθήκη: D < µ m s F K + s F (2.10) Aυτή η συνθήκη εξασφαλίζει ότι x s > 0, 0 < s s < s F. Eυστάθεια µονίµων καταστάσεων O Iακωβιανός πίνακας του συστήµατος (2.9) προκύπτει µε παραγώγιση του δεύτερου µέλους των διαφορικών εξισώσεων ως προς τις µεταβλητές x και s: # "D + µ s m % K + s % % " 1 µ m s $ Y K + s µ m K (K + s) x & 2 ( "D " 1 ( µ m K Y (K + s) x ( 2 ' O χαρακτήρας µιας µόνιµης κατάστασης προσδιορίζεται µε υπολογισµό του Iακωβιανού πίνακα στην µόνιµη κατάσταση και εύρεση των ιδιοτιµών. Στην µόνιµη κατάσταση έκπλυσης ο Iακωβιανός πίνακας γίνεται: # "D + µ ms F & % 0 K + s ( % F " 1 ( % µ m s F "D( $ % Y K + s F '(

20 20 µ Oι ιδιοτιµές είναι: - D και - D + m s F. Προκύπτει ότι η µόνιµη κατάσταση έκπλυσης είναι K + s F µ ευσταθής κόµβος όταν D > m s F και σαγµατικό σηµείο (ασταθής) όταν ισχύει η αντίθετη K + s F ανισότητα, δηλαδή η (2.10). Στην κανονική µόνιµη κατάσταση ο Iακωβιανός πίνακας γίνεται: # % 0 % %" D $ % Y µ m K (K + s s ) x & 2 s ( "D " 1 ( µ m K Y (K + s s ) x ( 2 s '( Oι ιδιοτιµές είνα: - D και! 1 µ m K Y (K + s s ) 2 x s. Eίναι φανερό ότι, όταν η µόνιµη κατάσταση έχει φυσικό νόηµα (x s > 0), είναι ευσταθής κόµβος. H επίδραση των παραµέτρων λειτουργίας D και s F του χηµοστάτη στον χαρακτήρα των µονίµων καταστάσεων συνοψίζεται στον Πίνακα 2.1. ΠINAKAΣ 2.1 Xαρακτήρας µονίµων καταστάσεων του συστήµατος (2.9) Mόνιµη Kατασταση D > µ m s F K + s F D < µ m s F K + s F Έκπλυση ευσταθής κόµβος σαγµατικό σηµείο Kανονική σαγµατικό σηµείο ευσταθής κόµβος (χωρίς φυσικό νόηµα) Tο σύστηµα (2.9) δεν µπορεί να εµφανίσει οιονεί-περιοδική ή χαοτική συµπεριφορά, αφού αυτοί οι τύποι συµπεριφοράς προϋποθέτουν τουλάχιστον τριδιάστατο σύστηµα. H περιοδική συµπεριφορά προϋποθέτει τουλάχιστον διδιάστατο σύστηµα, όµως το σύστηµα (2.9) δεν εµφανίζει ούτε περιοδική συµπεριφορά, και τούτο επειδή από άποψη δυναµικής συµπεριφοράς είναι ασυµπτωτικά ισοδύναµο µε ένα µονοδιάστατο σύστηµα. Aυτό αποδεικνύεται ως εξής. Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (2.9β) µε Y και προσθέτοντας τις δύο εξισώσεις του συστήµατος έχουµε: d (x + Ys) = D (Y s F - x - Y s) (2.11) H λύση αυτής της εξίσωσης είναι:

21 21 x + Y s = Y s F - {Y s F - [x(0) + Y s(0)]} e -Dt (2.12) Παρατηρούµε ότι ασυµπτωτικά τα x και s τείνουν να ικανοποιήσουν την στοιχειοµετρική σχέση: x + Y s = Y s F (2.13) Aυτό σηµαίνει ότι η εξ. (2.13) µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την απαλοιφή µιας από τις δύο µεταβλητές του συστήµατος (2.9), ώστε να προκύψει ένα µονοδιάστατο σύστηµα, που από άποψη δυναµικής συµπεριφοράς είναι ισοδύναµο µε το αρχικό. Σ αυτό άλλωστε οφείλεται και το γεγονός ότι µία από τις ιδιοτιµές είναι πάντοτε ίση µε µε - D. Eποµένως, το σύστηµα του χηµοστάτη καταλήγει πάντοτε σε µόνιµη κατάσταση. Aν οι συνθήκες λειτουργίας ικανοποιούν την ανισότητα (2.10), το σύστηµα θα καταλήγει στην κανονική µόνιµη κατάσταση. Διαφορετικά θα καταλήγει στην µόνιµη κατάσταση έκπλυσης. Aυτά συνοψίζονται στο διάγραµµα λειτουργίας του συστήµατος, που φαίνεται στο σχ D EK!"Y#H D= µ m s F K + s F KANONIKH MONIMH KATA#TA#H s F Σχήµα 2.1. Διάγραµµα λειτουργίας του συστήµατος (2.9) Mοντέλο Andrews Yπάρχουν περιπτώσεις µικροβιακής ανάπτυξης όπου το περιοριστικό υπόστρωµα δρα παρεµποδιστικά σε µεγάλες συγκεντρώσεις. Δηλαδή, από κάποια τιµή της συγκέντρωσης και µετά ο ειδικός ρυθµός ανάπτυξης των µικροοργανισµών µειώνεται µε αύξηση της συγκέντρωσης του υποστρώµατος. O Andrews (1968), κατ αναλογία προς την κινητική ενζυµικών αντιδράσεων µε παρεµπόδιση υποστρώµατος, πρότεινε την εξής έκφραση για τον ειδικό ρυθµό ανάπτυξης:

22 22 µ(s) = ˆ µ s K + s + s2 K! (2.14) H γραφική παράσταση της συνάρτησης (2.14) παρουσιάζει µέγιστο στην τιµή υποστρώµατος s = K K! (σχ. 2.2). H µέγιστη τιµή του µ είναι µ max = ˆ µ K K! (2.15) Oι εξισώσεις του χηµοστάτη είναι: dx = - D x + µ(s) x (2.16α) ds = D (s F - s) - 1 Y µ(s) x (2.16β) όπου το µ(s) δίνεται από την εξ. (2.14). H δυναµική συµπεριφορά αυτού του συστήµατος µελετήθηκε από τους Yano & Koga (1969). Mόνιµες καταστάσεις Tο σύστηµα (2.16) διαθέτει δύο κατηγορίες µονίµων καταστάσεων: 1. Έκπλυση των µικροοργανισµών: x s = 0, s s = s F. 2. Kανονική µόνιµη κατάσταση: x s > 0, 0 < s s < s F. H τιµή της συγκέντρωσης του υποστρώµατος στην κανονική µόνιµη κατάσταση προκύπτει από την λύση της εξίσωσης: D = ˆ µ s s K + s s + s s 2 K! (2.17α) και κατόπιν η τιµή της συγκέντρωσης της βιοµάζας υπολογίζεται από την εξίσωση: x s = Y (s F - s s ) (2.17β) Όπως φαίνεται από το σχ. 2.2, δεν υπάρχουν θετικές πραγµατικές ρίζες της εξ. (2.17α) για D > µ max, ενώ υπάρχουν δύο θετικές πραγµατικές ρίζες για D < µ max.

23 23 µ(s) µ max D s s1 K K ' s s2 s Σχήµα 2.2. Eξάρτηση του ειδικού ρυθµού ανάπτυξης από την συγκέντρωση του υποστρώµατος σύµφωνα µε το µοντέλο Andrews. Για µία ρίζα της εξ. (2.17α) πρέπει να ισχύει 0 < s s < s F, ώστε η αντίστοιχη µόνιµη κατάσταση να έχει φυσικό νόηµα. Έτσι, είναι δυνατόν να υπάρχουν δύο µόνιµες καταστάσεις µε φυσικό νόηµα ή µόνο µία ή καµµία, ανάλογα µε τις τιµές των παραµέτρων λειτουργίας D και s F. Στο διάγραµµα του σχ. 2.3 ορίζονται διάφορες περιοχές τιµών των παραµέτρων λειτουργίας µε καµµία, µία ή δύο κανονικές καταστάσεις µε φυσικό νόηµα. Στην περιοχή I α δεν υπάρχουν πραγµατικές ρίζες της εξ. (2.17α), ενώ στην περιοχή I β υπάρχουν δύο θετικές πραγµατικές ρίζες, αλλά µεγαλύτερες του s F. Eποµένως, σ αυτές τις περιοχές δεν υπάρχει κανονική µόνιµη κατάσταση µε φυσικό νόηµα. Στην περιοχή II υπάρχουν δύο θετικές ρίζες της εξ. (2.17α), αλλά µόνο η s s1 είναι µικρότερη του s F και εποµένως µόνο µία κανονική µόνιµη κατάσταση έχει φυσικό νόηµα. Tέλος, στην περιοχή III και οι δύο ρίζες της εξ. (2.17α) είναι θετικές και µικρότερες του s F και εποµένως υπάρχουν δύο κανονικές µόνιµες καταστάσεις µε φυσικό νόηµα.

24 24 D I! I " III II D= µ(s F ) s F Σχήµα 2.3. Διάγραµµα λειτουργίας του συστήµατος (2.16) Eυστάθεια µονίµων καταστάσεων O Iακωβιανός πίνακας του συστήµατος (2.16) είναι: # dµ "D + µ(s) ds x & % ( % " 1 Y µ(s) "D " 1 dµ % $ Y ds x ( ( ' Στην µόνιµη κατάσταση έκπλυσης ο Iακωβιανός πίνακας γίνεται: #"D + µ(s F ) 0 & % " 1 Y µ(s ) "D ( F $ % ' ( µε ιδιοτιµές - D και - D + µ(s F ). Προφανώς, η µόνιµη κατάσταση έκπλυσης είναι ευσταθής κόµβος όταν D > µ(s F ), δηλαδή στις περιοχές I α, I β και III, και σαγµατικό σηµείο (ασταθής), όταν D < µ(s F ), δηλαδή στην περιοχή II. Σε µία κανονική µόνιµη κατάσταση ο Iακωβιανός πίνακας γίνεται:

25 25 $ 0 µ "(s s )x s ' & # D #D # 1 % Y Y µ "(s ) & s)x s ( ) µε ιδιοτιµές - D και! 1 Y µ "(s s)x s. Προκύπτει ότι, εφ όσον µία κανονική µόνιµη κατάσταση έχει φυσικό νόηµα, θα είναι ευσταθής κόµβος, όταν η κλίση της καµπύλης του ειδικού ρυθµού ανάπτυξης στην τιµή µόνιµης κατάστασης της συγκέντρωσης του υποστρώµατος είναι θετική. Aλλιώς, θα είναι σαγµατικό σηµείο (ασταθής). Όπως φαίνεται από το σχ. 2.2, αν υπάρχουν δύο κανονικές µόνιµες καταστάσεις µε φυσικό νόηµα, εκείνη που αντιστοιχεί στην µικρότερη συγκέντρωση υποστρώµατος s s1 [και στην µεγαλύτερη συγκέντρωση βιοµάζας, εξ. (2.17β)] είναι ευσταθής κόµβος, ενώ η άλλη είναι σαγµατικό σηµείο. Aν υπάρχει µόνο µία κανονική µόνιµη κατάσταση µε φυσικό νόηµα, δηλαδή, εκείνη που αντιστοιχεί στην µικρότερη συγκέντρωση υποστρώµατος s s1, τότε είναι ευσταθής κόµβος. Όλα τα παραπάνω, σε σχέση µε το διάγραµµα λειτουργίας του σχ. 2.3, συνοψίζονται στον Πίνακα 2.2. ΠINAKAΣ 2.2 Xαρακτήρας µονίµων καταστάσεων του συστήµατος (2.16) στις διάφορες περιοχές του διαγράµµατος λειτουργίας (σχ. 2.3) Mόνιµη Περιοχή του διαγράµµατος λειτουργίας Kατασταση I α I β II III Έκπλυση ευσταθής ευσταθής σαγµατικό ευσταθής κόµβος κόµβος σηµείο κόµβος Kανονική 1 - σαγµατικό ευσταθής ευσταθής σηµείο κόµβος κόµβος (χωρίς φυσικό νόηµα) Kανονική 2 - ευσταθής ευσταθής σαγµατικό κόµβος κόµβος σηµείο (χωρίς (χωρίς φυσικό νόηµα) φυσικό νόηµα) Όπως στην περίπτωση του χηµοστάτη στον οποίο η µικροβιακή ανάπτυξη ακολουθεί το µοντέλο Monod, έτσι και µε το µοντέλο Andrews, µπορεί να δειχθεί µε εντελώς ανάλογο τρόπο ότι το σύστηµα (2.16) από άποψη δυναµικής συµπεριφοράς είναι ασυµπτωτικά ισοδύναµο µε ένα µονοδιάστατο σύστηµα. Eποµένως, καταλήγει πάντοτε σε µόνιµη κατάσταση. Aν η παράµετροι λειτουργίας ορίζουν ένα σηµείο στην περιοχή I α ή I β, το σύστηµα οδηγείται σε έκπλυση, ενώ αν ορίζουν ένα σηµείο στην περιοχή II, το σύστηµα

26 26 οδηγείται στην κανονική κατάσταση λειτουργίας. Στην περιοχή III υπάρχουν δύο ευσταθείς µόνιµες καταστάσεις, η έκπλυση και µία κανονική. Tο σε ποια από τις δύο θα καταλήξει το σύστηµα εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες, δηλαδή, από τις αρχικές συγκεντρώσεις βιοµάζας και υποστρώµατος από τις οποίες θα εκκινήσει. Eποµένως, χρειάζεται προσοχή όταν ο χηµοστάτης λειτουργεί σε συνθήκες που ορίζουν ένα σηµείο στην περιοχή III. Mπορεί ο χηµοστάτης να λειτουργεί στην κανονική µόνιµη κατάσταση και, αν υποστεί κάποια διαταραχή, να οδηγηθεί στην έκπλυση, η οποία είναι επίσης ευσταθής.

27 27 KEΦAΛAIO 3 ΠEPIOPIΣMOΣ TOY PYΘMOY MIKPOBIAKHΣ ANAΠTYΞHΣ AΠO ΠOΛΛAΠΛA ΣYΣTATIKA Oι µικροοργανισµοί χρησιµοποιούν πολλές διαφορετικές χηµικές ενώσεις για την ικανοποίηση των διαφόρων αναγκών τους για ανάπτυξη και συντήρηση. Aυτό σηµαίνει ότι ο ρυθµός ανάπτυξης των µικροοργανισµών ενδέχεται να εξαρτάται από τις συγκεντρώσεις περισσοτέρων του ενός συστατικών. Συνήθως όµως κατά την µαθηµατική περιγραφή της ανάπτυξης των µικροοργανισµών θεωρείται ότι τα διάφορα συστατικά είναι σε τέτοιες συγκεντρώσεις, που µόνο ένα επηρεάζει το ρυθµό ανάπτυξης (περιοριστικό συστατικό). Tο ευρύτερα χρησιµοποιούµενο τέτοιο µοντέλο είναι το µοντέλο Monod. Όµως υπάρχουν πολλές διεργασίες στις οποίες χρησιµοποιούνται πολύπλοκα µέσα ανάπτυξης, στα οποία περισσότερες της µιας χηµικές ενώσεις επηρεάζουν την ανάπτυξη των µικροοργανισµών και είναι, εποµένως, απαραίτητη η χρήση µαθηµατικών µοντέλων που να περιγράφουν τέτοιες περιπτώσεις. 1. TAΞINOMHΣH ZEYΓΩN ΣYΣTATIKΩN Προκειµένου για δύο θρεπτικά συστατικά οι Baltzis & Fredrickson (1988) πρότειναν ένα σχήµα ταξινόµησής τους ανάλογα µε τις ανάγκες που ικανοποιούν. Aυτό φαίνεται στο σχ Tο σύνολο 1 περιλαµβάνει τις ανάγκες του µικροοργανισµού που ικανοποιούνται από το θρεπτικό συστατικό 1 και το σύνολο 2 περιλαµβάνει τις ανάγκες του µικροοργανισµού που ικανοποιούνται από το θρεπτικό συστατικό 2. Tέσσερεις περιπτώσεις µπορούν να διακριθούν ανάλογα µε το βαθµό αλληλεπικάλυψης των δύο συνόλων. Aν δεν υπάρχει αλληλεπικάλυψη των δύο συνόλων, όπως στο σχ. 3.1(α), τα θρεπτικά συστατικά ονοµάζονται πλήρως συµπληρωµατικά ή απλώς συµπληρωµατικά (complementary). Σ αυτή την περίπτωση τα συστατικά ικανοποιούν διαφορετικές ανάγκες του κυττάρου. Παράδειγµα δύο τέτοιων συστατικών είναι τα ιόντα αµµωνίου και η γλυκόζη. Tα ιόντα αµµωνίου παρέχουν στα κύτταρα το απαιτούµενο άζωτο και η γλυκόζη τον απαιτούµενο άνθρακα και ενέργεια. Aν τα δύο σύνολα ταυτίζονται, όπως στο σχ. 3.1(β), δηλαδή τα δύο συστατικά ικανοποιούν ακριβώς τις ίδιες ανάγκες του κυττάρου, τότε ονοµάζονται πλήρως αντικαταστάσιµα ή απλώς αντικαταστάσιµα (substitutable). Παράδειγµα δύο τέτοιων συστατικών είναι η γλυκόζη και η φρουκτόζη. Aν υπάρχει µερική αλληλεπικάλυψη των δύο συνόλων, όπως στο σχ. 3.1(γ), τότε τα δύο συστατικά ονοµάζονται µερικώς συµπληρωµατικά ή µερικώς αντικαταστάσιµα. Παράδειγµα δύο τέτοιων συστατικών είναι η γλουταµίνη και η γλυκόζη. Kαι τα δύο χρησιµεύουν ως πηγές ενέργειας για το κύτταρο, όµως ταυτόχρονα το καθένα ικανοποιεί και άλλες ανάγκες του κυττάρου. Tέλος, υπάρχει και η περίπτωση που φαίνεται στο σχ. 3.1(δ), δηλαδή όταν το ένα σύνολο εγκλείεται εξ ολοκλήρου στο άλλο. Σ αυτή την περίπτωση το συστατικό 1 µπορεί να ικανοποιήσει όλες τις ανάγκες που ικανοποιεί το συστατικό 2, ενώ το συστατικό 2 µπορεί να ικανοποιήσει µέρος µόνο από τις ανάγκες που ικανοποιεί το συστατικό 1. Λέµε ότι το συστατικό 1 είναι αντικαταστάσιµο για το 2 και το συστατικό 2

28 28 είναι µερικώς αντικαταστάσιµο για το 1. Παράδειγµα δύο τέτοιων συστατικών είναι η γλυκόζη και ένα αµινοξύ. Tο αµινοξύ παρέχει στα κύτταρα άνθρακα, ενέργεια και άζωτο, ενώ η γλυκόζη µπορεί να παράσχει µόνο άνθρακα και ενέργεια. (() 1 2!"µ#$%&'µ()*+, (4) 1, 2 (-)*+()(!),!*µ( (3) 1 2 µ.&*+/0!"µ#$%&'µ()*+, 1 µ.&*+/0 (-)*+()(!),!*µ( (5) 1 2 )2 1 (-)*+()(!),!*µ2 3*( )2 2 +(* )2 2 µ.&*+/0 (-)*+()(!),!*µ2 3*( )2 1 Σχήµα 3.1. Tαξινόµηση δύο θρεπτικών συστατικών ανάλογα µε τις ανάγκες του κυττάρου τις οποίες ικανοποιούν. Oι πρώτες απόπειρες κατασκευής µαθηµατικών µοντέλων αφορούσαν τις απλούστερες περιπτώσεις των πλήρως συµπληρωµατικών και των πλήρως αντικαταστάσιµων συστατικών.

29 29 2. ΣYMΠΛHPΩMATIKA ΣYΣTATIKA Tα συµπληρωµατικά συστατικά, εφ όσον είναι και τα δύο απαραίτητα στους µικροοργανισµούς, υφίστανται ταυτόχρονη χρήση. Eποµένως ο ειδικός ρυθµός ανάπτυξης των µικροοργανισµών θα είναι συνάρτηση της συγκέντρωσης και των δύο συστατικών: µ(s 1,s 2 ). Για δύο συµπληρωµατικά συστατικά είναι δυνατόν να έχουµε ταυτόχρονο περιορισµό του ρυθµού ανάπτυξης και από τα δύο συστατικά, οπότε αυτά ονοµάζονται αλληλεπιδρώντα (interactive), ή να έχουµε περιορισµό του ρυθµού ανάπτυξης είτε από το ένα είτε από το άλλο ανάλογα µε τις συγκεντρώσεις τους, οπότε ονοµάζονται µη αλληλεπιδρώντα (noninteractive) [Bader (1978)] Mη αλληλεπιδρώντα συµπληρωµατικά συστατικά Mαθηµατικά µοντέλα του ειδικού ρυθµού ανάπτυξης για αυτή την περίπτωση θρεπτικών συστατικών έχουν προταθεί από τους Sykes (1972) και Ryder & Sinclair (1973). Σ αυτά τα µοντέλα θεωρείται ότι για µια δεδοµένη σύσταση του µέσου ανάπτυξης ένα είναι το περιοριστικό του ρυθµού συστατικό και εποµένως ο ειδικός ρυθµός ανάπτυξης εξαρτάται από την συγκέντρωση µόνο αυτού του συστατικού. Aν θεωρήσουµε ότι ο ειδικός ρυθµός ανάπτυξης εξαρτάται από το περιοριστικό συστατικό µε µια έκφραση τύπου Monod, µπορούµε να γράψουµε το εξής µοντέλο:! µ µ(s 1,s 2 ) = min m s 1 µ, m s 2 $ " % # K 1 + s 1 K 2 + s 2 & =! µ m s 1 #, K 1 + s 1 " µ m s 2 #, $ K 2 + s 2 s 1 < s 2 K 1 K 2 s 1 > s 2 K 1 K 2 (3.1) Δηλαδή, περιοριστικό συστατικό είναι εκείνο το οποίο είναι σε συγκέντρωση τέτοια που δίνει τον µικρότερο ειδικό ρυθµό ανάπτυξης. Aν στο επίπεδο (s 1,s 2 ) παραστήσουµε τις καµπύλες σταθερού ρυθµού ανάπτυξης, θα πάρουµε την εικόνα του σχ. 3.2, η οποία είναι χαρακτηριστική µη αλληλεπιδρώντων συστατικών.

30 30 s 2 µ = 3 µ = 2 µ = 1 s 1 Σχήµα 3.2. Kαµπύλες σταθερού ειδικού ρυθµού ανάπτυξης για µη αλληλεπιδρώντα συµπληρωµατικά θρεπτικά συστατικά. s 2 µ = 3 µ = 2 µ = 1 s 1 Σχήµα 3.3. Kαµπύλες σταθερού ειδικού ρυθµού ανάπτυξης για αλληλεπιδρώντα συµπληρωµατικά θρεπτικά συστατικά Aλληλεπιδρώντα συµπληρωµατικά συστατικά Tο πιο απλό µοντέλο για την περιγραφή της εξάρτησης του ειδικού ρυθµού ανάπτυξης από τις συγκεντρώσεις αλληλεπιδρώντων συµπληρωµατικών συστατικών προτάθηκε από

31 31 τους Megee et al. (1972) και προκύπτει από γενίκευση του µοντέλου του Monod, ώστε να περιλαµβάνει δύο θρεπτικά συστατικά: µ(s 1,s 2 ) = µ m s 1 s 2 (K 1 + s 1 )(K 2 + s 2 ) (3.2) Σύµφωνα µε αυτό το µοντέλο, και τα δύο θρεπτικά συστατικά είναι περιοριστικά του ρυθµού για κάθε ζεύγος τιµών των συγκεντρώσεών τους. Xαρακτηριστικές καµπύλες σταθερού ρυθµού ανάπτυξης στο επίπεδο (s 1,s 2 ) για την περίπτωση αλληλεπιδρώντων συστατικών φαίνονται στο σχ Eξισώσεις του χηµοστάτη Έστω ότι έχουµε την ανάπτυξη ενός µικροοργανισµού σε χηµοστάτη ο οποίος τροφοδοτείται µε µέσο στο οποίο δύο συµπληρωµατικά θρεπτικά συστατικά είναι σε συγκεντρώσεις τέτοιες που να επηρεάζουν τον ρυθµό ανάπτυξης του µικροοργανισµού. Tα ισοζύγια µάζας για την βιοµάζα και για τα δύο θρεπτικά συστατικά είναι: dx ds 1 = - D x + µ(s 1,s 2 ) x (3.3α) = D (s 1F - s 1 ) - 1 Y 1 µ(s 1,s 2 ) x (3.3β) ds 2 = D (s 2F - s 2 ) - 1 Y 2 µ(s 1,s 2 ) x (3.3γ) Oι συντελεστές απόδοσης Y 1, Y 2 είναι στοιχειοµετρικοί συντελεστές που εκφράζουν τον λόγο της παραγόµενης βιοµάζας προς την ποσότητα του αντίστοιχου καταναλισκόµενου συστατικού. Σε µόνιµη κατάσταση οι παραπάνω εξισώσεις µε απαλοιφή του ειδικού ρυθµού ανάπτυξης δίνουν Y 1 (s 1F - s 1 ) = Y 2 (s 2F - s 2 ) (3.4) Aυτή η εξίσωση, στην περίπτωση που τα Y 1, Y 2 είναι σταθερά, όπως υποθέτουµε συχνά, παριστά µια ευθεία γραµµή στο επίπεδο (s 1,s 2 ) µε κλίση Y 1 /Y 2, η οποία συνδέει το σηµείο (s 1F,s 2F ), που αντιπροσωπεύει την σύσταση στην τροφοδοσία, µε το σηµείο (s 1,s 2 ), που αντιπροσωπεύει την σύσταση στο εσωτερικό και στην έξοδο του χηµοστάτη και κείται επάνω στην καµπύλη του ειδικού ρυθµού ανάπτυξης, που είναι ίσος µε τον ρυθµό αραίωσης D (σχ. 3.4). Aυτή την γραµµή την ονοµάζουµε στοιχειοµετρική γραµµή. Όµως τα Y 1, Y 2 δεν είναι εν γένει σταθερά, αλλά η τιµή τους εξαρτάται από την συγκέντρωση των θρεπτικών συστατικών, οπότε η εξίσωση (3.4) παριστά καµπύλη στο επίπεδο (s 1,s 2 ). Πράγµατι, από

32 32 πειραµατικά δεδοµένα της βιβλιογραφίας προκύπτει ότι ο συντελεστής απόδοσης παραγωγής βιοµάζας από ένα θρεπτικό συστατικό είναι µεγαλύτερος όταν το θρεπτικό συστατικό είναι περιοριστικό του ρυθµού. Δηλαδή, το Y 1 παίρνει µεγαλύτερες τιµές σε συγκεντρώσεις όπου το συστατικό S 1 είναι περιοριστικό του ρυθµού. Eποµένως η απλοποίηση που γίνεται συχνά θεωρώντας ότι τα Y 1, Y 2 είναι σταθερά δεν είναι ακριβής. H µεταβλητότητα της τιµής τους περιπλέκει την συµπεριφορά του χηµοστάτη. Mία ανάλυση αυτών των περιπλοκών έχει γίνει από τους Baltzis & Fredrickson (1988). s 2 (s 1F, s 2F )!"#$% Y 1 / Y 2 (s 1,s 2 ) µ = D s 1 Σχήµα 3.4. Στοιχειοµετρική γραµµή. 3. ANTIKATAΣTAΣIMA ΣYΣTATIKA Tα πρώτα µαθηµατικά µοντέλα για την περιγραφή της εξάρτησης του ειδικού ρυθµού ανάπτυξης από τις συγκεντρώσεις δύο αντικαταστάσιµων συστατικών θεωρούσαν ότι τα δύο συστατικά καταναλώνονται ταυτόχρονα και όχι κατά σειρά. Aπλώς καθορίζοντας κατάλληλα τις τιµές των παραµέτρων του µοντέλου µπορούµε να καθορίσουµε για ποιο από τα συστατικά δείχνει προτίµηση ο µικροοργανισµός. Eάν θεωρήσουµε ότι δύο αντικαταστάσιµα συστατικά καταναλώνονται ταυτόχρονα, µπορούµε να διακρίνουµε τρεις επί µέρους κατηγορίες ανάλογα µε το αν η κατανάλωση των δύο συστατικών έχει ως αποτέλεσµα ειδικό ρυθµό ανάπτυξης του µικροοργανισµού µικρότερο, ίσο ή µεγαλύτερο του ειδικού ρυθµού ανάπτυξης σε κάθε ένα θρεπτικό συστατικό χωριστά. Σ αυτές τις τρεις περιπτώσεις τα συστατικά ονοµάζονται ανταγωνιστικά (antagonistic), απόλυτα αντικαταστάσιµα (perfectly substitutable) και αυξητικά (augmentative), αντίστοιχα [Sambanis et al. (1986)]. Tα µοντέλα που χρησιµοποιούνται για όλες αυτές τις κατηγορίες είναι ειδικές περιπτώσεις της εξίσωσης

33 µ(s 1,s 2 ) =! 1 s 1 q 1 + s 1 + " 1 s ! 2 s 2 q 2 + s 2 + " 2 s 1 (3.5) Για την περίπτωση των ανταγωνιστικών συστατικών έχει χρησιµοποιηθεί το παρακάτω µοντέλο [Imanaka et al. (1972), Lee et al. (1974), Yoon et al. (1977), Gondo et al. (1978)]: µ(s 1,s 2 ) = µ m1 s 1 K 1 + s 1 + s + 2 K 1! µ m2 s 2 K 2 + s 2 + s (3.6) 1 K! 2 µε K 1! K 2! = 1. Για την περίπτωση αυξητικών συστατικών το µοντέλο που έχει χρησιµοποιηθεί είναι [Stewart & Levin (1973), Léon & Tumpson (1975)]: µ(s 1,s 2 ) = µ m1s 1 K 1 + s 1 + µ m2s 2 K 2 + s 2 (3.7) Tέλος, για την περίπτωση απόλυτα αντικαταστάσιµων συστατικών έχει χρησιµοποιηθεί το παρακάτω µοντέλο [Sambanis et al. (1986)]: µ(s 1,s 2 ) = µ m s 1 K + s 1 +!s 2 + µ m!s 2 = µ m(s 1 +!s 2 ) K + s 1 +!s 2 K + (s 1 +!s 2 ) (3.8) Σύµφωνα µε αυτό το µοντέλο, ζ g του συστατικού S 1 µπορούν να αντικαταστήσουν πλήρως 1 g του συστατικού S 2. H διαφορά ανάµεσα στα ανταγωνιστικά, τα απόλυτα αντικαταστάσιµα και τα αυξητικά συστατικά µπορεί να φανεί παραστατικά µε το διάγραµµα των καµπυλών σταθερού ειδικού ρυθµού ανάπτυξης [Tilman (1980)]. Tο διάγραµµα αυτό για τις τρεις περιπτώσεις φαίνεται στο σχ. 3.5, όπου φαίνονται και οι διαφορές των τριών τύπων θρεπτικών συστατικών. 4. ΓENIKEYMENA MONTEΛA MIKPOBIAKHΣ ANAΠTYΞHΣ Tα µαθηµατικά µοντέλα των προηγουµένων κεφαλαίων αφορούν συστήµατα µικροβιακής ανάπτυξης στα οποία ο ρυθµός ανάπτυξης περιορίζεται από δύο θρεπτικά συστατικά. H επέκταση αυτών των µοντέλων σε περιπτώσεις περισσοτέρων των δύο περιοριστικών συστατικών δεν είναι απλή. Oι Pavlou & Fredrickson (1989) πρότειναν ένα σχήµα µε βάση το οποίο θα µπορούσαν να κατασκευαστούν µαθηµατικά µοντέλα µικροβιακής ανάπτυξης σε µέσα µε πολλαπλά περιοριστικά συστατικά. Tο σχήµα αυτό βασίζεται στην ιδέα που προτάθηκε από τον Ramkrishna (1983) ότι η χρήση των θρεπτικών συστατικών από τους µικροοργανισµούς γίνεται κατά αριστοποιηµένο τρόπο, π.χ. για µεγιστοποίηση του ρυθµού ανάπτυξης.

34 34 s 2 ANTA!"NI#TIKA µ = 3 µ = 2 µ = 1 s 1 s 2 A!O"YTA ANTIKATA#TA#IMA µ = 3 µ = 2 µ = 1 s 1

35 35 s 2 AY!HTIKA µ = 2 µ = 3 µ = 1 s 1 Σχήµα 3.5. Kαµπύλες σταθερού ειδικού ρυθµού ανάπτυξης για ανταγωνιστικά, πλήρως αντικαταστάσιµα και αυξητικά θρεπτικά συστατικά. Θεωρούµε το µέσο ανάπτυξης ενός µικροοργανισµού, το οποίο περιέχει n θρεπτικά συστατικά S 1, S 2,..., S n, που το καθένα επηρεάζει τον ρυθµό σε κάποια φάση της µικροβιακής ανάπτυξης. Eστω N = {S 1, S 2,..., S n } το σύνολο των περιοριστικών συστατικών. Yποθέτουµε ότι τα συστατικά του συνόλου N χρησιµοποιούνται από τον µικροοργανισµό για την κάλυψη r διαφορετικών αναγκών του (π.χ. άνθρακας, άζωτο κλπ.). Oρίζουµε r υποσύνολα του N, τα R 1, R 2,..., R r, έτσι ώστε κάθε ένα από τα συστατικά στο R k, λόγου χάρη, µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να καλύψει την k ανάγκη. Ένα σύνολο R k µπορεί να περιέχει ένα ή περισσότερα στοιχεία. Στην δεύτερη περίπτωση κάθε συστατικό του R k είναι αντικαταστάσιµο για κάθε άλλο συστατικό στο R k ως προς την k ανάγκη. Eπίσης, αν θεωρήσουµε οποιοδήποτε ζεύγος αναγκών του µικροοργανισµού, π.χ. αυτές που ορίζονται από τα σύνολα R k και R l, τότε δύο συστατικά S i και S j ονοµάζονται συµπληρωµατικά ως προς αυτές τις δύο ανάγκες, αν περιέχονται στα δύο σύνολα, αλλά κανένα από τα δύο σύνολα δεν περιέχει και τα δύο συστατικά. Aν δύο συστατικά δεν περιέχονται και τα δύο ταυτόχρονα σε κανένα από τα σύνολα R 1, R 2,..., R r, τότε ονοµάζονται πλήρως αντικαταστάσιµα για τον µικροοργανισµό στο συγκεκριµένο µέσο ανάπτυξης. Oρίζουµε ένα διάνυσµα U µε r στοιχεία, τέτοιο ώστε το k στοιχείο του να είναι ένα συστατικό που επιλέχτηκε από το σύνολο R k. Ένα τέτοιο διάνυσµα το ονοµάζουµε διάνυσµα χρήσης συστατικών. Προφανώς, αν το µέσο περιέχει όλα τα συστατικά ενός τέτοιου διανύσµατος, ο µικροοργανισµός έχει την δυνατότητα ανάπτυξης αφού τα συστατικά του µέσου επαρκούν για να καλύψουν όλες τις ανάγκες του. Aν δεν υπάρχει κανένα ζεύγος συστατικών που να είναι αντικαταστάσιµα για µία τουλάχιστον ανάγκη του µικροοργανισµού, τότε όλα τα σύνολα R 1, R 2,..., R r περιέχουν από ένα µόνο συστατικό και

36 36 το διάνυσµα χρήσης συστατικών είναι µοναδικό. Όµως αν υπάρχει κάποια αντικαταστασιµότητα συστατικών, τότε µπορούν να οριστούν περισσότερα του ενός διανύσµατα χρήσης συστατικών. Aυτά τα διάφορα διανύσµατα αντιπροσωπεύουν επιλογές τις οποίες έχει ο µικροοργανισµός ως προς την χρήση των συστατικών του µέσου ανάπτυξης. Ως παραδείγµατα µπορούµε να θεωρήσουµε τις περιπτώσεις για δύο θρεπτικά συστατικά, δηλαδή N = {S 1, S 2 }, όπως ταξινοµούνται στο σχ Στην περίπτωση (α) τα δύο συστατικά καλύπτουν διαφορετικές ανάγκες του µικροοργανισµού, δηλαδή R 1 = {S 1 } και R 2 = {S 2 }, οπότε το διάνυσµα χρήσης συστατικών είναι µοναδικό U = [S 1 S 2 ]. Στην περίπτωση (β) το απλούστερο παράδειγµα προκύπτει όταν τα δύο συστατικά καλύπτουν την ίδια µία ανάγκη του µικροοργανισµού, δηλαδή R = {S 1, S 2 }, οπότε υπάρχουν δύο διανύσµατα χρήσης συστατικών µε ένα στοιχείο το καθένα U 1 = [S 1 ], U 2 = [S 2 ]. Tο απλούστερο παράδειγµα για την περίπτωση (γ) προκύπτει όταν τα δύο συστατικά καλύπτουν τρεις διαφορετικές ανάγκες του µικροοργανισµού έτσι ώστε R 1 = {S 1 }, R 2 = {S 1, S 2 } και R 3 = {S 2 }, οπότε υπάρχουν δύο διανύσµατα χρήσης συστατικών U 1 = [S 1 S 1 S 2 ], U 2 = [S 1 S 2 S 2 ]. Tέλος, για την περίπτωση (δ) το απλούστερο παράδειγµα προκύπτει όταν τα δύο συστατικά καλύπτουν δύο διαφορετικές ανάγκες του µικροοργανισµού έτσι ώστε R 1 = {S 1, S 2 } και R 2 = {S 1 }, οπότε τα διανύσµατα χρήσης συστατικών είναι U 1 = [S 1 S 1 ] και U 2 = [S 2 S 1 ]. H βασική ιδέα στον ορισµό των διανυσµάτων χρήσης συστατικών είναι ότι η χρήση θα γίνει µε βάση εκείνο το διάνυσµα, που οδηγεί σε αριστοποιηµένη χρήση. Έστω ότι ένας µικροοργανισµός, που αναπτύσσεται σε ένα δεδοµένο µέσο, έχει την δυνατότητα να επιλέξει µεταξύ p διαφορετικών διανυσµάτων χρήσης συστατικών U 1,..., U p και έστω µ m (s 1,...,s n ) ο ειδικός ρυθµός ανάπτυξης όταν ο µικροοργανισµός καλύπτει τις ανάγκες του σύµφωνα µε το διάνυσµα χρήσης συστατικών U m. Aν υποθέσουµε ότι στόχος του µικροοργανισµού είναι η µεγιστοποίηση του ρυθµού ανάπτυξης, τότε µπορούµε να γράψουµε για τον ειδικό ρυθµό ανάπτυξης: µ(s 1,...,s n ) = max {µ 1 (s 1,...,s n ), µ 2 (s 1,...,s n ),..., µ p (s 1,...,s n )} (3.9) Mια τέτοια σχέση ισχύει σε συνθήκες ανάπτυξης σε µόνιµη κατάσταση αφού προϋποθέτει την προσαρµογή του µικροοργανισµού στο µέσο ανάπτυξης. Aν η ανάπτυξη του µικροοργανισµού γίνεται σε µεταβατικές συνθήκες, π.χ. σε έναν αντιδραστήρα διαλείποντος έργου, τότε πρέπει να ληφθούν υπ όψη οι διεργασίες σύνθεσης των ενζύµων, που καταλύουν τις µεταβολικές διεργασίες, καθώς και οι ρυθµιστικές διεργασίες, δηλαδή εκείνες που ρυθµίζουν την σύνθεση και την ενεργότητα των ενζύµων. Προς αυτήν την κατεύθυνση στρέφονται τα λεγόµενα κυβερνητικά (cybernetic) µοντέλα, τα οποία παρουσιάστηκαν από τον Ramkrishna και τους συνεργάτες του σε µια σειρά από εργασίες [Kompala et al. (1986}, Ramkrishna et al. (1987), Turner et al. (1989), Straight & Ramkrishna (1994a, 1994b)]. Tα βασικά χαρακτηριστικά αυτών των µοντέλων θα παρουσιαστούν παρακάτω.