1. Η ζπλάξηεζε παιηλδξνκήζεσο

Transcript

1 Γεκήηξηνο Φαηδεληθνιάνπ, Παλ Ισαλλίλσλ, Τκήκα Οηθνλνκηθψλ Δπηζηεκψλ Σεκεηψζεηο γηα ην κάζεκα Σηαηηζηηθή ΙΙΙ 1 Η ζπλάξηεζε παιηλδξνκήζεσο Η πνιιαπιή παιηλδξόκεζε (multiple regression) είλαη ην πην ζπνπδαίν εξγαιείν ζηελ εθαξκνζκέλε νηθνλνκηθή έξεπλα Σηνρεχεη ζηελ εθηίκεζε δηαθφξσλ ζεσξεηηθψλ ζρέζεσλ κεηαμχ ηεο δεζκεπκέλεο πξνζδνθψκελεο ηηκήο κίαο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο (Υ) θαη k εξκελεπηηθώλ κεηαβιεηώλ (explanatory variables), Φ 1,, Φ k : Ε(Υ i Φ 1 = x 1i,, Φ k = x ki ) = β 0 + β 1 x 1i + + β k x ki (1) Η Δμ (1) νλνκάδεηαη ζπλάξηεζε παιηλδξνκήζεσο ζηνλ πιεζπζκό (population regression function, PRF) Σχκθσλα κε ηελ (1), δεδνκέλνπ φηη Φ 1 = x 1i,, Φ k = x ki, ππάξρεη κία δεζκεπκέλε θαηαλνκή (conditional distribution) ηεο Υ, ε κέζε ηηκή ηεο νπνίαο είλαη Ε(Y i x i ) = Ε(Υ i Φ 1 = x 1i,, Φ k = x ki ) Έζησ Y i κία παξαηήξεζε απφ απηή ηελ θαηαλνκή θαη u i ε απφθιηζε ηεο Y i απφ ην κέζν ηεο δεζκεπκέλεο απηήο θαηαλνκήο, δειαδή u i = Y i Ε(Υ i Φ 1 = x 1i,, Φ k = x ki ) () Η ηπραία κεηαβιεηή u i νλνκάδεηαη όξνο ζθάικαηνο (error term) ή δηαηαξαθηηθόο όξνο (disturbance term), γηα ηνλ νπνίν ππνζέηνπκε φηη Ε(u i Φ 1 = x 1i,, Φ k = x ki ) = 0 γηα θάζε παξαηήξεζε i Αληηθαζηζηψληαο ηελ (1) ζηελ () θαη αλαδηαηάζζνληαο ηνπο φξνπο, πξνθχπηεη ε εμίζσζε παιηλδξνκήζεσο (regression equation) Y i = β 0 + β 1 x 1i + + β k x ki + u i, i = 1,, n (3) Οη εθηηκήζεηο ησλ ζπληειεζηψλ β 0, β 1,, β k ρξεζηκνπνηνχληαη γηα ηνπο εμήο ζθνπνχο: (1) αλάιπζε πνιηηηθήο, () εκπεηξηθφο έιεγρνο ηεο ζεσξίαο, θαη (3) πξνβιέςεηο Απφ ηελ Δμ (1), πξνθχπηεη φηη β j E( Yi xi ), x ji j 1,, k (4) Γειαδή, ν ζπληειεζηήο β j, πνπ νλνκάδεηαη ζπληειεζηήο κεξηθήο παιηλδξνκήζεσο (partial regression coefficient) θαη πνπ είλαη ε θιίζε (slope) ηνπ ππεξεπηπέδνπ παιηλδξνκήζεσο (regression hyperplane) σο πξνο ηελ πιεπξά επί ηεο νπνίαο κεηξείηαη ε Φ j, είλαη ε επίδξαζε ζηελ Ε(Y i x i ) κίαο κεηαβνιήο ζηελ Φ j θαηά κία κνλάδα, ελώ όιεο νη άιιεο εξκελεπηηθέο κεηαβιεηέο παξακέλνπλ ζηαζεξέο Σηηο θνηλσληθέο επηζηήκεο, ελψ ζηελ πξαγκαηηθφηεηα δελ κπνξνχκε λα θξαηήζνπκε θακκία κεηαβιεηή ζηαζεξή, επηηξέπνληαο κφλν ζηελ Φ j λα κεηαβιεζεί, δειαδή, δελ κπνξνχκε λα έρνπκε ειεγρόκελν πείξακα (controlled experiment), φπσο έρνπκε ζηηο αθξηβείο επηζηήκεο (exact sciences, φπσο Μαζεκαηηθά, Φπζηθή θά), εληνχηνηο ην ππφδεηγκα ηεο πνιιαπιήο παιηλδξνκήζεσο καο επηηξέπεη λα κηκεζνχκε ην ειεγρφκελν πείξακα Η παξνπζία θαη άιισλ εξκελεπηηθψλ κεηαβιεηψλ ζηελ Δμ (3), εθηφο απφ ηελ Φ j, ηζνδπλακεί κε ην λα θξαηνχκε απηέο ηηο κεηαβιεηέο ζηαζεξέο φηαλ ε Φ j κεηαβάιιεηαη 1

2 Αο ζεκεησζεί φηη ε παξαπάλσ εξκελεία ηνπ ζπληειεζηή β j, σο ε επίδξαζε ζηελ Ε(Y x i ) ηελ νπνία πξνθαιεί κία κεηαβνιή ζηελ Φ j θαηά κία κνλάδα, ελψ φιεο νη άιιεο εξκελεπηηθέο κεηαβιεηέο παξακέλνπλ ζηαζεξέο, είλαη ζσζηή κόλνλ όηαλ ν αξηζκόο απηώλ ηωλ άιιωλ εξκελεπηηθώλ κεηαβιεηώλ είλαη «αξθεηά» κεγάινο Γηφηη κφλνλ ηφηε κπνξνχκε λα ηζρπξηζζνχκε φηη ε κεηαβνιή ηεο Φ j παξηζηάλεη ηε κεηαβνιή ηνπ παξάγνληα πνπ απηή αληηπξνζσπεχεη θαη φρη θάηη άιιν Βι Wooldridge (006), ζει 13-14, 8 θαη 37 Σπλεπψο, πξέπεη λα ζπκπεξηιακβάλνπκε φιεο ηηο εξκελεπηηθέο κεηαβιεηέο πνπ, ζχκθσλα κε ηελ νηθνλνκηθή ζεσξία, επεξεάδνπλ ηελ Υ Δπεηδή ε ζσζηή εξκελεία ησλ ζπληειεζηψλ παιηλδξνκήζεσο είλαη βαζηθφ ζέκα, αο δνχκε κεξηθά παξαδείγκαηα Παξάδεηγκα 11 Θεσξήζαηε ην αθφινπζν ππφδεηγκα πξνζδηνξηζκνχ κηζζψλ, γλσζηφ ζηα Οηθνλνκηθά ηεο Δξγαζίαο σο ζπλάξηεζε ακνηβώλ (earnings function): wage i = β 0 + β 1 educ i + β exper i + β 3 tenure i + u i, (5) φπνπ wage i = σξηαία ακνηβή (ζε US $) ηνπ εξγαδνκέλνπ i, educ i = αξηζκφο εηψλ εθπαηδεχζεψο ηνπ, exper i = αξηζκφο εηψλ εκπεηξίαο ηνπ, θαη tenure i = αξηζκφο εηψλ πνπ ν εξγαδφκελνο i βξίζθεηαη ζηε ζέζε πνπ θαηέρεη απηή ηε ζηηγκή Η ζεκαζία ηνπ ζπληειεζηή β 1 είλαη ε εμήο: κεηαμχ δχν εξγαδνκέλσλ πνπ έρνπλ ηνλ ίδην αξηζκφ εηψλ εκπεηξίαο θαη παξακνλήο ζηε ζέζε πνπ θαηέρνπλ, απηφο πνπ έρεη έλα επηπιένλ έηνο εθπαηδεχζεσο ακείβεηαη, θαηά κέζν φξν, κε β 1 επηπιένλ δνιάξηα ηελ ψξα Η ζεκαζία ησλ ζπληειεζηψλ β θαη β 3 είλαη αλάινγε Παξάδεηγκα 1 Σπλήζσο, ε ζπλάξηεζε ακνηβψλ έρεη σο εμαξηεκέλε κεηαβιεηή φρη ηε κέζε σξηαία ακνηβή, αιιά ην ινγάξηζκφ ηεο, lwage i = ln(wage i ) Γειαδή, αληί ηεο (5), ζπλήζσο εθηηκάηαη ε αθφινπζε ινγαξηζκηθή-γξακκηθή (log-linear) εμίζσζε: 1 lwage i = β 0 + β 1 educ i + β exper i + β 3 tenure i + u i (6) Πνηα είλαη ηψξα ε ζεκαζία ηνπ ζπληειεζηή β 1 ; Πξνθαλψο, ηζρχεη φηη β 1 = (lwage i )/ (educ i ) = (1/wage i ) (wage i )/ (educ i ) (7) Αλ αληί ησλ απεηξνειαρίζησλ κεηαβνιψλ (νη νπνίεο ζπκβνιίδνληαη κε ) ρξεζηκνπνηήζνπκε δηαθξηηέο κεηαβνιέο, νη νπνίεο ζπκβνιίδνληαη κε Γ, ηφηε ε Δμ (7) γξάθεηαη πξνζεγγηζηηθά σο β 1 (1/wage i ) Γ(wage i )/Γ(educ i ) (8) ή, αλαδηαηάζζνληαο ηνπο φξνπο θαη πνιιαπιαζηάδνληαο κε 100, έηζη ψζηε λα πξνθχςεη ε πνζνζηηαία κεηαβνιή ζην κηζζφ, %Γ(wage i ) = 100[Γ(wage i )/(wage i )], έρνπκε 1 Η ινγηθή λα έρνπκε ην ινγάξηζκν ηνπ κηζζνχ (w) ζη αξηζηεξά, αληί ηνπ επηπέδνπ ηνπ, είλαη ε εμήο: Έζησ r = ε απφδνζε ελφο επηπιένλ έηνπο εθπαηδεχζεσο, δειαδή r = (w 1 w 0 )/w 0, φπνπ w 0 θαη w 1 είλαη ν κηζζφο πξηλ θαη κεηά ην επηπιένλ έηνο εθπαηδεχζεσο Απφ ηελ εμίζσζε απηή πξνθχπηεη φηη w 1 = (1 + r)w 0 Γηα s = educ επηπιένλ έηε εθπαηδεχζεσο, ν ηχπνο ηνπ αλαηνθηζκνύ (compounding interest) δίδεη w s = (1 + r) s w 0 Η ηειεπηαία πξνθχπηεη σο εμήο: Δθφζνλ w 1 = (1 + r)w 0, w = (1 + r)w 1, w 3 = (1 + r)w θιπ, έπεηαη, κεηά απφ δηαδνρηθέο αληηθαηαζηάζεηο, φηη w = (1 + r) w 0, w 3 = (1 + r) 3 w 0 θνθ Παίξλνληαο ηψξα ινγαξίζκνπο ζηε ζρέζε w s = (1 + r) s w 0, πξνθχπηεη φηη ln(w s ) = sln(1 + r) + ln(w 0 ) ή ln(w s ) = α + βs, φπνπ α = ln(w 0 ) θαη β = ln(1 + r) r (γηα κηθξέο ηηκέο ηνπ r) Άξα ε ζρέζε κεηαμχ κηζζνχ θαη εηψλ εθπαηδεχζεσο δελ είλαη γξακκηθή, αιιά ινγαξηζκηθή γξακκηθή, ν δε ζπληειεζηήο ηεο κεηαβιεηήο «έηε εθπαηδεχζεσο» ζ απηή ηε ζρέζε παξηζηάλεη ηελ απφδνζε ηεο εθπαηδεχζεσο Βι Ramanathan (199), ζει 61

3 ή %Γ(wage i ) 100β 1 Γ(educ i ) (9) %Γ(wage i )/Γ(educ i ) 100β 1 (10) Η πνζφηεηα %Γ(wage i )/Γ(educ i ) νλνκάδεηαη εκη-ειαζηηθόηεηα (semi-elasticity) θαη, φπσο βιέπνπκε ζηελ Δμ (10), γηα ην ππφδεηγκα (6), ηζνχηαη κε 100β 1 Γειαδή, 100β 1 είλαη ε πνζνζηηαία κεηαβνιή ζηελ σξηαία ακνηβή (wage i ) φηαλ ε εθπαίδεπζε (educ i ) απμάλεηαη θαηά έλα έηνο Φάξηλ παξαδείγκαηνο, αλ ε εθηίκεζε ηνπ β 1, ε νπνία πξνθχπηεη απφ ηελ Δμ (6), είλαη 0,05, ε εξκελεία ηεο είλαη ε εμήο: κεηαμχ δχν εξγαδνκέλσλ πνπ έρνπλ ηνλ ίδην αξηζκφ εηψλ εκπεηξίαο θαη παξακνλήο ζηε ζέζε, αλ ν έλαο απφ απηνχο έρεη έλα επηπιένλ έηνο εθπαηδεχζεσο, ηφηε απηφο ακείβεηαη πεξηζζφηεξν απφ ηνλ άιινλ θαηά 5% (= 100 0,05), θαηά κέζν φξν Παξάδεηγκα 13 Αο ππνζέζνπκε ηψξα φηη αληί ηεο Δμ (6) εθηηκάκε ηελ εμίζσζε lwage i = β 0 + β 1 leduc i + β exper i + β 3 tenure i + u i, (11) φπνπ leduc i = ln(educ i ) Πνηα είλαη ηψξα ε ζεκαζία ηνπ ζπληειεζηή β 1 ; Δδψ, ηζρχεη φηη β 1 = (lwage i )/ (leduc i ) = (educ i /wage i ) (wage i )/ (educ i ), (1) πνπ είλαη ε ειαζηηθόηεηα (elasticity) ηνπ κηζζνχ σο πξνο ηελ εθπαίδεπζε Γειαδή, β 1 είλαη ε πνζνζηηαία κεηαβνιή ζην κηζζφ φηαλ ε εθπαίδεπζε απμάλεηαη θαηά 1% (φρη θαηά έλα έηνο, πνπ είρακε ζην πξνεγνχκελν παξάδεηγκα), κε φια ηα άιια ζηαζεξά Φάξηλ παξαδείγκαηνο, αλ ε εθηίκεζε ηνπ β 1, ε νπνία πξνθχπηεη απφ ηελ Δμ (11), είλαη 1,, απηφ ζεκαίλεη φηη κεηαμχ δχν εξγαδνκέλσλ πνπ έρνπλ ηνλ ίδην αξηζκφ εηψλ εκπεηξίαο θαη παξακνλήο ζηε ζέζε, αλ ν έλαο απφ απηνχο έρεη 1% επηπιένλ έηε εθπαηδεχζεσο, ηφηε, θαηά κέζν φξν, απηφο ακείβεηαη πεξηζζφηεξν απφ ηνλ άιινλ θαηά 1,% Παξάδεηγκα 14 Τέινο, αο ππνζέζνπκε φηη αληί ηεο Δμ (6) εθηηκάκε ηελ εμίζσζε wage i = β 0 + β 1 leduc i + β exper i + β 3 tenure i + u i, (13) φπνπ ν ινγάξηζκνο ηψξα επξίζθεηαη κφλν ζηε δεμηά πιεπξά ηεο εμηζψζεσο Πνηα είλαη εδψ ε ζεκαζία ηνπ ζπληειεζηή β 1 ; Δδψ, έρνπκε φηη 3 β 1 = (wage i )/ (leduc i ) = (wage i )/[ (educ i )/educ i ] (14) Παίξλνληαο θαη πάιη δηαθξηηέο κεηαβνιέο θαη δηαηξψληαο ηελ Δμ (14) κε ην 100, έηζη ψζηε ζηνλ παξνλνκαζηή ηεο δεμηάο πιεπξάο λα πξνθχςεη ε πνζνζηηαία κεηαβνιή ζηελ εθπαίδεπζε, %Γ(educ i ) = 100[Γ(educ i )/(educ i )], ε Δμ (14) γξάθεηαη πξνζεγγηζηηθά σο εμήο: Γεληθά, d[ln(y)]/d[ln(x)] = ε yx = ειαζηηθφηεηα ηεο y σο πξνο x Έζησ u = ln(y) θαη v = ln(x), νπφηε x = e v Με βάζε ηνλ αιπζζσηφ θαλφλα (chain rule) παξαγσγίζεσο, παίξλνπκε d[ln(y)]/d[ln(x)] = du/dv = (du/dy) (dy/dx) (dx/dv) = {d[ln(y)]/dy} (dy/dx) (de v /dv) = (1/y) (dy/dx)e v = (x/y) (dy/dx) = ε yx Βι Chiang (1974), ζ Γηα λ απνδείμνπκε ηελ Δμ (14), ζέηνπκε u = wage θαη v = ln(educ), απφ ηελ νπνία πξνθχπηεη φηη educ = e v Άξα, κε βάζε θαη πάιη ηνλ αιπζζσηφ θαλφλα, (wage)/ (leduc) = u/ v = [ u/ (wage)] [ (wage)/ (educ)] [ (educ)/ v] = 1 [ (wage)/ (educ)] [ e v / v] = [ (wage)/ (educ)]e v = [ (wage)/ (educ)] (educ) = (wage)/[ (educ)/(educ)] 3

4 Γ(wage i ) (β 1 /100) %Γ(educ i ) (15) Έηζη, ράξηλ παξαδείγκαηνο, αλ ε εθηίκεζε ηνπ β 1, ε νπνία πξνθχπηεη απφ ηελ Δμ (13), είλαη 64,3, ηφηε ζπκπεξαίλνπκε φηη κεηαμχ δχν εξγαδνκέλσλ πνπ έρνπλ ηνλ ίδην αξηζκφ εηψλ εκπεηξίαο θαη παξακνλήο ζηε ζέζε, αλ ν έλαο απφ απηνχο έρεη 1% επηπιένλ έηε εθπαηδεχζεσο, ηφηε απηφο ακείβεηαη πεξηζζφηεξν απφ ηνλ άιινλ θαηά $0,643 ηελ ψξα, θαηά κέζν φξν Mε γξακκηθέο κνξθέο παιηλδξνκήζεσο Η Δμ (3) είλαη γξακκηθή (linear), επεηδή είλαη γξακκηθή σο πξνο ηηο παξακέηξνπο, πνπ ζεκαίλεη φηη ε παξάγσγνο ηεο Ε(Y i x i ) σο πξνο κία παξάκεηξν β j δελ εμαξηάηαη απφ θακκία παξάκεηξν Τν ίδην ηζρχεη θαη γηα ηελ Δμ (5) Η Δμ (6), σζηφζν, απνηειεί κεηαζρεκαηηζκφ ηνπ κε γξακκηθνχ ππνδείγκαηνο wage i = exp(β 0 + β 1 educ i + β exper i + β 3 tenure i + u i ), (16) φπνπ exp() = e () θαη e,7188 (ε βάζε ησλ θπζηθψλ ινγαξίζκσλ) Η Δμ (16) είλαη έλα ππόδεηγκα εθζεηηθήο κνξθήο (exponential form) θαη, φπσο είδακε ζην Παξάδεηγκα 1, νη ζπληειεζηέο β 1, β θαη β 3 είλαη εκη-ειαζηηθφηεηεο Η Δμ (11) απνηειεί επίζεο κεηαζρεκαηηζκφ ηνπ κε γξακκηθνχ ππνδείγκαηνο wage i = educ i β1 exp(β 0 + β exper i + β 3 tenure i + u i ) (17) Παξαθάησ, ζα δνχκε θαη άιια κε γξακκηθά ππνδείγκαηα πνπ κεηαζρεκαηίδνληαη εχθνια ζε γξακκηθά Όπσο δείρλεη ε Δμ (4), ε γξακκηθή ζπλάξηεζε ππνζέηεη φηη ε νξηαθή επίδξαζε ηεο εξκελεπηηθήο κεηαβιεηήο Φ j επί ηεο Ε(Y i x i ) είλαη ζηαζεξή θαη ίζε κε β j Σπλεπψο, αλ ζέινπκε ην ππφδεηγκά καο λα ελζσκαηψλεη ην θαηλφκελν ησλ θζηλνπζώλ νξηαθώλ επηδξάζεσλ (diminishing marginal effects), ηφηε ε Δμ (3) δελ είλαη θαηάιιειε, δηφηη δελ ζπκπεξηιακβάλεη κεηαβιεηέο φπσο ε Φ j Δπίζεο, αλ ην δηάγξακκα δηαζπνξάο (scatter diagram) κεηαμχ δχν κεηαβιεηψλ, Φ θαη Υ, ην νπνίν παξηζηάλεη ηα δεχγε παξαηεξήζεσλ (x i, Υ i ), έρεη ηε κνξθή ηνπ Γηαγξάκκαηνο 1, ηφηε, πξνθαλψο, ε αλάιπζή καο ζα πξέπεη λ αξρίζεη κ έλα πνιπψλπκν δεπηέξνπ βαζκνχ: Υ i = β 0 + β 1 x i + β x i + u i (18) Η Δμ (4) δελ ηζρχεη γηα ην ππφδεηγκα (18), δηφηη ε παξάγσγνο Ε(Y i x i )/ x i δελ ηζνχηαη κε β 1, αιιά Ε(Y i x i )/ x i = β 1 + β x i (19) Γειαδή, ε θιίζε δελ είλαη ζηαζεξή, αιιά εμαξηάηαη απφ ηελ ηηκή ηεο Φ, x i Σην Γηάγξακκα 1 δίδεηαη έλα δηάγξακκα δηαζπνξάο γηα ηελ Δμ (18), φπνπ ππνηίζεηαη φηη β 1 > 0 θαη β < 0, πνπ ζεκαίλεη θζίλνπζα νξηαθή επίδξαζε ηεο Φ επί ηεο Υ, εθφζνλ φζν πην κεγάιε είλαη ε ηηκή x i ηφζν πην κηθξή είλαη ε ηηκή ηεο παξαγψγνπ (19) 4

5 Υ Γηάγξακκα 1 Γηάγξακκα δηαζπνξάο γηα ηελ εμίζσζε Υ i = β 0 + β 1 x i + β x i + u i, φπνπ β 1 > 0 θαη β < 0 (θζίλνπζα νξηαθή επίδξαζε ηεο Φ επί ηεο Υ) Γεληθεχνληαο ηελ (18), έρνπκε ηελ πνιπσλπκηθή κνξθή (polynomial form) k βαζκνχ: Υ i = β 0 + β 1 x i + β x i + + β k x i k + u i (0) Τν ππφδεηγκα (0), αλ θαη είλαη κε γξακκηθφ σο πξνο ηε κεηαβιεηή Φ, ελ ηνχηνηο νλνκάδεηαη «γξακκηθφ», δηφηη είλαη γξακκηθφ σο πξνο ηηο παξακέηξνπο β 0, β 1,, β k Μπνξεί, σζηφζν, λα κεηαζρεκαηηζζεί εχθνια ζε γξακκηθφ ππφδεηγκα θαη σο πξνο ηηο κεηαβιεηέο, ζέηνληαο Φ = Φ 1, Φ = Φ,, Φ k = Φ k Έηζη, ε Δμ (0) κπνξεί λα γξαθεί φπσο ε Δμ (3) θαη άξα νη κέζνδνη πνπ ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε γηα ηελ εθηίκεζε ηεο Δμ (3) ηζρχνπλ θαη γηα ηελ Δμ (0) Αο ηνλίζνπκε, σζηφζν, φηη, εθφζνλ ζηε κεηαζρεκαηηζκέλε εμίζσζε φιεο νη εξκελεπηηθέο κεηαβιεηέο είλαη δπλάκεηο ηεο ίδηαο κεηαβιεηήο (Φ), έπεηαη φηη δελ ζα είρε λφεκα λα πνχκε φηη β j είλαη ε επίδξαζε κίαο θαηά κνλάδα κεηαβνιήο ηεο Φ j ζηελ Δ(Υ i x), ελψ νη ππφινηπεο εξκελεπηηθέο κεηαβιεηέο παξακέλνπλ ζηαζεξέο Απιψο, ιέκε φηη β j είλαη ε επίδξαζε κίαο θαηά κνλάδα κεηαβνιήο ηεο Φ j = Φ j ζηελ Ε(Υ i x), αθνχ φκσο νη επηδξάζεηο ησλ ππνινίπσλ δπλάκεσλ ηεο ίδηαο κεηαβιεηήο αθαηξεζνχλ Γηα λα επηβεβαηψζνπκε ηνλ ηειεπηαίν απηφλ ηζρπξηζκφ, ζέηνπκε ζηελ Δμ (18) Φ 1 = Φ θαη Φ = Φ, νπφηε πξνθχπηεη Απφ ηελ εμίζσζε απηή πξνθχπηεη φηη Υ i = β 0 + β 1 x 1i + β x i + u i (1) Ε(Y i x 1i, x i )/ x 1i = β 1 + β (dx i /dx 1i ) = β 1 + β (dx i /dx i ) Φ Αλαγλσξίδνληαο φηη κία είλαη κφλν ε κεηαβιεηή πνπ κεηαβάιιεηαη, ε Φ, θαζψο θαη φηη dx i /dx i = x i, θαη ιχλνληαο ηελ ηειεπηαία εμίζσζε σο πξνο β 1, έρνπκε φηη β 1 = Ε(Y i x i )/ x i β x i () Δξκελεχνληαο ηελ πνζφηεηα β (dx i /dx 1i ) = β x i σο ηελ επίδξαζε ηεο x i επί ηεο Ε(Y i x)/ x i, ε Δμ () επηβεβαηψλεη ηνλ σο άλσ ηζρπξηζκφ, φηη δειαδή β 1 είλαη ε επίδξαζε κίαο θαηά κνλάδα κεηαβνιήο ηεο Φ ζηελ Ε(Υ i x), αθνχ φκσο ε επίδξαζε ηεο Φ αθαηξεζεί 5

6 Παξάδεηγκα 1 Έζησ φηη ζηελ Δμ (5) ζέινπκε λα ειέγμνπκε ηελ ππφζεζε φηη ε εκπεηξία (exper) ελφο εξγαδνκέλνπ απμάλεη ην κηζζφ ηνπ, αιιά κε θζίλνληα ξπζκφ Σπλεπψο, ην ππφδεηγκα πξέπεη λα πεξηιακβάλεη θαη ηε κεηαβιεηή exper i, δειαδή wage i = β 0 + β 1 educ i + β exper i + β 3 tenure i + β 4 exper i + u i (3) Αλ απφ ηελ εθηίκεζε ηεο Δμ (3) πξνθχςεη φηη β > 0 θαη β 4 < 0, ηφηε ζα επηβεβαησζεί ε ππφζεζε ηεο θζίλνπζαο νξηαθήο απνδφζεσο ηεο εκπεηξίαο Αλ, φκσο, ε ππφζεζε Η 0 : β 4 = 0 (έλαληη κηαο δίπιεπξεο ελαιιαθηηθήο, Η 1 : β 4 0) δελ απνξξηθζεί, ηφηε ε παξαπάλσ ππφζεζε δελ ζα έρεη εκπεηξηθή ππνζηήξημε Έλα άιιν ππφδεηγκα πνπ δελ είλαη γξακκηθφ σο πξνο ηηο κεηαβιεηέο, αιιά κεηαηξέπεηαη εχθνια ζε γξακκηθφ είλαη ε αληίζηξνθε κνξθή (reciprocal form), δειαδή ε ππεξβνιή (hyperbola) Yi 1 β0 β1 ui, (4) xi ε νπνία, αλ ζέζνπκε Φ* = 1/Φ, γξάθεηαη σο Υ i = β 0 + β 1 x i * + u i (5) Η ειαζηηθόηεηα (elasticity) ηεο Υ σο πξνο Φ, ε νπνία, ζηελ πεξίπησζε πνπ έρνπκε k = 1, νξίδεηαη σο γηα ην ππφδεηγκα (4) ηζνχηαη κε de( Yi xi ) x ε i YX, (6) dxi E( Yi xi ) β ε 1 YX (7) xie( Yi xi ) Η Δμ (4), γηα β 0 > 0 θαη β 1 < 0, παξηζηάλεηαη παξαθάησ, ζην Γηάγξακκα Παξάδεηγκα Μία εθαξκνγή ηνπ ππνδείγκαηνο (4) είλαη απηή ηεο θακπύιεο Engel, φπνπ Υ = ε δαπάλε ελφο λνηθνθπξηνχ γηα έλα ζπγθεθξηκέλν αγαζφ, θαη Φ = ην εηζφδεκα ηνπ λνηθνθπξηνχ Αλ β 1 < 0, ηφηε θαη dε(υ i x i )/dx i = -β 1 /x i > 0 (αχμνπζα ζπλάξηεζε) (8) d Ε(Υ i x i )/dx i = β 1 /x i 3 < 0, (θνίιε ζπλάξηεζε) (9) νπφηε ην ππφδεηγκα (4) είλαη ζπλεπέο κε ηε γλσζηή εκπεηξηθή παξαηήξεζε φηη, θαζψο ην εηζφδεκα κίαο νηθνγέλεηαο απμάλεη, νη δαπάλεο ηεο γηα έλα θαλνληθό αγαζό (normal good) επίζεο απμάλνπλ (ηείλνληαο ζην αλψηαην φξην β 0 ), αιιά κε θζίλνληα ξπζκφ Βι Γηάγξακκα Αο ζεκεησζεί φηη ην απιό γξακκηθό ππόδεηγκα (simple regression model), 6

7 Υ i = β 0 + β 1 x i + u i, (30) δελ είλαη θαηάιιειν ζ απηή ηελ πεξίπησζε, επεηδή δελ είλαη ζπλεπέο κ απηή ηελ εκπεηξηθή παξαηήξεζε, εθφζνλ δίλεη έλα ξπζκφ απμήζεσο ησλ δαπαλψλ πνπ δελ είλαη θζίλσλ, αιιά ζηαζεξφο, dε(υ i x i )/dx i = β 1 Υ β 0 β 0 > 0, β 1 < 0 -β 1 /β 0 Γηάγξακκα Η αληίζηξνθε κνξθή: Y 1 β0 β1, φπνπ β 0 > 0, β 1 < 0 X Φ Μία άιιε επέθηαζε ηνπ γξακκηθνχ ππνδείγκαηνο είλαη ε εθαξκνγή ηνπ θαη ζηελ πεξίπησζε φπνπ ην αξρηθφ ππφδεηγκα είλαη ηεο κνξθήο Y i β β1 βk 0 x1 i xki ui, (31) ε νπνία είλαη κε γξακκηθή θαη σο πξνο ηηο κεηαβιεηέο θαη σο πξνο ηηο παξακέηξνπο Λνγαξηζκίδνληαο ηελ Δμ (31), πξνθχπηεη Υ i * = β 0 * + β 1 x 1i * + + β k x ki * + u i *, (3) φπνπ Υ * i = ln(υ i ), x * 1i = ln(x 1i ),, x * ki = ln(x ki ), β * 0 = ln(β 0 ) θαη u * i = ln(u i ) Τν κεηαζρεκαηηζκέλν ππφδεηγκα (3), ην νπνίν νλνκάδεηαη δηπιά ινγαξηζκηθό (log-log ή double-log model), είλαη γξακκηθφ ωο πξνο ηνπο ινγαξίζκνπο ησλ κεηαβιεηψλ θαζψο θαη σο πξνο β 1,, β k, αιιά φρη θαη * σο πξνο β 0 Απηφ δελ είλαη πξφβιεκα, σζηφζν, επεηδή, αλ ˆβ 0 είλαη έλαο ζπλεπήο εθηηκεηήο ηνπ β * 0, ν νπνίνο πξνθχπηεη απφ ηελ εθηίκεζε ηεο (3), ηφηε έλαο ζπλεπήο εθηηκεηήο ηνπ β 0 είλαη exp ( β ˆ 0 * ), φπνπ exp() = e () Αο ζεκεησζεί, φκσο, φηη γηα κηθξά δείγκαηα, ε εθαξκνγή ηνπ γξακκηθνχ ππνδείγκαηνο πξνυπνζέηεη φηη ν δηαηαξαθηηθφο φξνο u i έρεη ινγαξηζκηθά θαλνληθή θαηαλνκή, νπφηε ν κεηαζρεκαηηζκέλνο δηαηαξαθηηθφο φξνο, u * i, έρεη θαλνληθή θαηαλνκή 4 4 Γεληθά, κία ηπραία κεηαβιεηή Φ, ε νπνία παίξλεη κφλν ζεηηθέο ηηκέο, ιέγεηαη φηη έρεη ινγαξηζκηθά θαλνληθή θαηαλνκή αλ ν ινγάξηζκφο ηεο, Υ = ln(x), έρεη θαλνληθή θαηαλνκή 7

8 Τν ππφδεηγκα (31) ρξεζηκνπνηείηαη ζπρλά ζηηο εκπεηξηθέο νηθνλνκηθέο κειέηεο, πρ σο ζπλάξηεζε δεηήζεσο ελφο αγαζνχ ή ρξήκαηνο, σο θακπχιε Engel, σο ζπλάξηεζε παξαγσγήο, κέζνπ θφζηνπο θά Δίλαη γλσζηφ θαη σο ππόδεηγκα ζηαζεξώλ ειαζηηθνηήησλ (constantelasticity model), επεηδή ε ειαζηηθόηεηα ηεο Υ σο πξνο Φ j, ε νπνία γεληθψο νξίδεηαη σο ε Y X j E( Yi xi ) x x E( Y ji i ji x ) i, (33) γηα ην ππφδεηγκα (31) είλαη ζηαζεξή θαη ίζε κε β j (Απνδείμαηε απηφλ ηνλ ηζρπξηζκφ) Τν γξακκηθφ ππφδεηγκα εθαξκφδεηαη θαη φηαλ ην αξρηθφ ππφδεηγκα είλαη ηεο κνξθήο Y i e β 0 1 β1 x i u i, (34) απφ ηελ νπνία πξνθχπηεη ε εμίζσζε φπνπ Υ i * = ln(υ i ) θαη x i * =1/x i Υ i * = β 0 + β 1 x i * + u i, (35) Υ e β 0 0 -β 1 / Φ Γηάγξακκα 3 Η ινγαξηζκηθή αληίζηξνθε κνξθή, Y e β0 β1 / X, β1 0 Η ζπλάξηεζε (34) νλνκάδεηαη ινγαξηζκηθή αληίζηξνθε (log-inverse), δηφηη, κεηά ην κεηαζρεκαηηζκφ ηεο ζε γξακκηθή, ζην αξηζηεξφ ζθέινο έρνπκε ην ινγάξηζκν ηεο Υ, ελψ ζην δεμηφ έρνπκε κία αληίζηξνθε ζπλάξηεζε ηεο Φ Σ απηή ηελ πεξίπησζε, ε ειαζηηθφηεηα ηεο Υ σο πξνο Φ είλαη ε ΥΦ = -β 1 /Φ, νπφηε ην ππφδεηγκα απηφ είλαη θαηάιιειν ζηηο πεξηπηψζεηο φπνπ έρνπκε ιφγνπο λα πηζηεχνπκε φηη ε ειαζηηθφηεηα ε ΥΦ είλαη αληίζηξνθε ζπλάξηεζε ηεο Φ Γηα β 1 < 0, ε ζπλάξηεζε (34) παξηζηάλεηαη κε κία θακπχιε φπσο απηή ηνπ Γηαγξάκκαηνο 3, ε νπνία 8

9 έρεη ζεκείν θακπήο (inflection point) ζην ζεκείν φπνπ 5 x = -β 1 / Τν ππφδεηγκα (34) έρεη ρξεζηκνπνηεζεί γηα ηε ζπκπεξηθνξά ησλ πσιήζεσλ (Υ) κίαο επηρεηξήζεσο σο ζπλάξηεζε ησλ δαπαλψλ δηαθεκίζεσο (Φ) Όπσο δείρλεη ην Γηάγξακκα 3, νη απνδφζεηο ησλ δηαθεκίζεσλ είλαη αχμνπζεο γηα x < -β 1 / θαη θζίλνπζεο γηα x > -β 1 / Οη παξάκεηξνη β 0 θαη β 1 κπνξνχλ λα εθηηκεζνχλ απφ ηελ Δμ (35) Μία αθφκε επέθηαζε ηνπ γξακκηθνχ ππνδείγκαηνο είλαη ε εκηινγαξηζκηθή (semilog) ή γξακκηθή ινγαξηζκηθή (linear-log) κνξθή, Υ i = β 0 + β 1 ln(x i ) + u i, x i > 0, i = 1,,, n, (36) ηελ νπνία έρνπκε ήδε ζπλαληήζεη ζηελ Δμ (13) σο κία ζπλάξηεζε ακνηβψλ Ωο κία άιιε ρξήζε ηεο (36), έζησ φηη Υ i = ε κεληαία δαπάλε ηνπ λνηθνθπξηνχ i γηα έλα ζπγθεθξηκέλν αγαζφ θαη Φ i = ην κεληαίν εηζφδεκα ηνπ λνηθνθπξηνχ i, φπνπ Φ θαη Υ κεηξνχληαη ζε επξψ, νπφηε πξφθεηηαη γηα θακπχιε Engel Σ απηή ηελ πεξίπησζε, ζχκθσλα κε ηελ Δμ (15), έρνπκε φηη ΓΥ i (β 1 /100) (%Γx i ) Σπλεπψο, ε εθηίκεζε, παξαδείγκαηνο ράξηλ, ˆβ 1 = 17 ζεκαίλεη φηη κία αχμεζε ηνπ κεληαίνπ εηζνδήκαηνο ελφο κέζνπ λνηθνθπξηνχ θαηά 1% απμάλεη ηε κεληαία δαπάλε ηνπ γηα ην αγαζφ απηφ θαηά 1,7 επξψ (βι Παξάδεηγκα 14) Μπνξεί εχθνια λ απνδεηρζεί φηη ε ειαζηηθφηεηα ηεο Υ σο πξνο Φ είλαη ε ΥΦ = β 1 /Ε(Υ x), (37) νπφηε ην ππφδεηγκα (36) είλαη θαηάιιειν φηαλ ζεσξνχκε φηη ε ειαζηηθφηεηα ε ΥΦ είλαη αληίζηξνθε ζπλάξηεζε ηεο Ε(Υ x) Τν ππφδεηγκα είλαη επίζεο θαηάιιειν θαη σο ζπλάξηεζε πξνζθνξάο (supply function) ελφο αγαζνχ, φηαλ είλαη γλσζηφ φηη, γηα λα παξαρζεί κία ζεηηθή πνζφηεηα πξντφληνο (Υ), ε ηηκή ηνπ πξντφληνο (Φ) πξέπεη λα ππεξβαίλεη έλα θαηψηαην φξην, ην νπνίν εδψ είλαη β x = 0 / β e 1 (38) Τν φξην απηφ βξίζθεηαη αλ επηβάινπκε ζηελ (36) ηνλ πεξηνξηζκφ Ε(Υ i x i ) = β 0 + β 1 ln(x i ) > 0 Οη παξάκεηξνη β 0 θαη β 1 κπνξνχλ λα εθηηκεζνχλ θαηά ηα γλσζηά απφ ηελ εμίζσζε Υ i = β 0 + β 1 x i * + u i, φπνπ x i * = ln(x i ) (39) Τέινο, αλ πηζηεχνπκε φηη, εθηφο απφ ηε κεκνλσκέλε επίδξαζε θάζε κίαο απφ ηηο εξκελεπηηθέο κεηαβιεηέο ζηελ εμαξηεκέλε, ππάξρεη θαη αιιειεπίδξαζε (interaction) δχν ή πεξηζζνηέξσλ εξκελεπηηθψλ κεηαβιεηψλ, ηφηε πξέπεη λα ζπκπεξηιάβνπκε ζην ππφδεηγκα θαη ην γηλφκελν ησλ κεηαβιεηψλ απηψλ σο κία επηπξφζζεηε κεηαβιεηή Φάξηλ παξαδείγκαηνο, έζησ φηη κία επηρείξεζε επηζπκεί λα εθηηκήζεη κε δεδνκέλα ρξνλνινγηθψλ ζεηξψλ ηε ζπλάξηεζε δεηήζεσο ηνπ πξντφληνο ηεο, Υ = f(φ 1, Φ ), φπνπ Υ = δεηνχκελε πνζφηεηα, Φ 1 = ηηκή θαη Φ = δαπάλε δηαθεκίζεσο ηνπ πξντφληνο Αλ ε επηρείξεζε πηζηεχεη φηη, εθηφο απφ ηελ άκεζε επίδξαζε πνπ έρεη ε δηαθήκηζε ζηε δεηνχκελε πνζφηεηα (κε ην λα ελεκεξψλεη ηνπο θαηαλαισηέο γηα ηελ πνηφηεηα ηνπ πξντφληνο, ηελ ηηκή ηνπ, ηηο ρξήζεηο ηνπ, πνπ πσιείηαη θιπ), κπνξεί λα επεξεάδεη θαη ην πώο αληηδξνύλ νη θαηαλαισηέο ζηηο κεηαβνιέο ηεο ηηκήο, ηφηε ην ζσζηφ ππφδεηγκα είλαη 5 Γηα λα εληνπίζνπκε ην ζεκείν θακπήο, εμηζψλνπκε ηε δεχηεξε παξάγσγν ηεο (34) κε ην κεδέλ 9

10 Υ i = β 0 + β 1 x 1i + β x i + β 3 (x 1i x i ) + u i, (40) φπνπ β 1 < 0 (λφκνο ηεο δεηήζεσο), β > 0, ελψ ην πξφζεκν ηνπ β 3 είλαη δχζθνιν λα πξνζδηνξηζζεί ζεσξεηηθά Τν ππφδεηγκα (40) ελζσκαηψλεη ηελ ππφζεζε φηη ε δαπάλε δηαθεκίζεσο ηνπ πξντφληνο δελ επεξεάδεη κφλν άκεζα ηε δεηνχκελε πνζφηεηα, αιιά θαη έκκεζα, επεξεάδνληαο ηελ νξηαθή επίδξαζε ηεο ηηκήο ζηε δεηνχκελε πνζφηεηα, δειαδή E( Yi x1 i, xi ) x1i β1 β3xi (41) Έηζη, αλ β 3 > 0, ηφηε ε αχμεζε ησλ δαπαλψλ δηαθεκίζεσο θαζηζηά ηε δήηεζε ιηγψηεξν ειαζηηθή σο πξνο ηελ ηηκή Απηφ ζεκαίλεη φηη κία αχμεζε ηεο ηηκήο ηνπ πξντφληνο κεηψλεη ηε δεηνχκελε πνζφηεηα ιηγψηεξν φηαλ νη δαπάλεο δηαθεκίζεσο είλαη πςειέο απ φ,ηη φηαλ είλαη ρακειέο Η Δμ (40) κπνξεί λα εθηηκεζεί θαηά ηα γλσζηά, αθνχ πξψηα ζέζνπκε φπνπ Φ 1 Φ = Φ 3 Όηαλ ην ππφδεηγκα πεξηιακβάλεη αιιειεπηδξάζεηο, νη ζπληειεζηέο ησλ αξρηθψλ κεηαβιεηψλ κπνξεί λα κελ έρνπλ ελδηαθέξνπζα εξκελεία Σην παξαπάλσ παξάδεηγκα, έρνπκε φηη E( Yi x1 i, xi ) xi β β3x1 i (4) Σπλεπψο, β είλαη ε επίδξαζε ηεο δηαθεκίζεσο ζηε δεηνχκελε πνζφηεηα φηαλ ε ηηκή ηνπ αγαζνχ είλαη κεδέλ! Η εξκελεία απηή δελ είλαη ελδηαθέξνπζα, σζηφζν, δηφηη ε ηηκή δελ είλαη πνηέ κεδέλ Δπίζεο, ζε κία εκπεηξηθή εθαξκνγή, είλαη δπλαηφλ λα πξνθχςεη ˆ < 0, αιιά απηφ δελ ζεκαίλεη φηη ε δηαθήκηζε επεξεάδεη αξλεηηθά ηε δεηνχκελε πνζφηεηα Μία ιχζε ζ απηφ ην πξφβιεκα είλαη λα πξνζζαθαηξέζνπκε ζην δεμηφ ζθέινο ηεο (40) ηνλ φξν β 3 x1 x + β 3 x 1 x + β 3 x 1 x : Υ i = (β 0 β 3 x 1 x ) + (β 1 + β 3 x )x 1i + (β + β 3 x 1 )x i + β 3 (x 1i x i x 1i x x i x 1 + x1 x ) + u i, ή Υ i = x 1i + x i + β 3 (x 1i x 1 )(x i x ) + u i, (43) φπνπ 0 = β 0 β 3 x 1 x, 1 = β 1 + β 3 x, and = β + β 3 x 1 Έηζη, αληί λα εθηηκήζνπκε ηελ Δμ (40), εθηηκάκε ηελ (43), ηεο νπνίαο νη ζπληειεζηέο ησλ θιίζεσλ, 1 θαη, έρνπλ ρξήζηκεο εξκελείεο Σπγθεθξηκέλα, εθφζνλ ζηελ Δμ (43) ηζρχεη φηη E( Yi x 1 i, xi ) δ1 β3( xi x ), (44) x1 i έπεηαη φηη 1 είλαη ε επίδξαζε πνπ έρεη ζηε κέζε ηηκή ηεο Υ κία κεηαβνιή ηεο Φ 1 θαηά κία κνλάδα φηαλ ε Φ ηζνχηαη κε ηε κέζε ηηκή ηεο, Φ = x, νπφηε ν ηειεπηαίνο φξνο ησλ Δμ (43) θαη (44) είλαη κεδέλ Παξνκνίσο, είλαη ε επίδξαζε ζηε κέζε ηηκή ηεο Υ κίαο κεηαβνιήο ηεο Φ θαηά κία κνλάδα φηαλ ε Φ 1 ηζνχηαη κε ηε κέζε ηηκή ηεο 10

11 3 Ψεπδνκεηαβιεηέο Ψεπδνκεηαβιεηή (dummy variable) ή δίηηκε κεηαβιεηή (binary variable) είλαη κία κεηαβιεηή πνπ παίξλεη δχν κφλν ηηκέο, ζπλήζσο 0 θαη 1, θαη ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ θαηεγνξηνπνίεζε ησλ δεδνκέλσλ κε βάζε θάπνην πνηνηηθφ ραξαθηεξηζηηθφ, φπσο θχιν, ζξήζθεπκα, θπιή, θαηνρή απηνθηλήηνπ θιπ Παξάδεηγκα 31 Θεσξήζαηε ηελ αθφινπζε ζπλάξηεζε δεηήζεσο q i = + p i + u i, i = 1,,, n, (45) φπνπ q i = ινγάξηζκνο ηεο δεηνχκελεο πνζφηεηαο κίαο θξέκαο ηνπ δέξκαηνο απφ ηνλ θαηαλαισηή i θαη p i = ινγάξηζκνο ηεο ηηκήο πνπ πιεξψλεη γη απηή ηελ θξέκα απηφο ν θαηαλαισηήο Έζησ φηη έρνπκε δηαζηξσκαηηθά ζηνηρεία (cross-sectional data) n παξαηεξήζεσλ, δειαδή πιεξνθνξίεο γηα ηα δεχγε (p i, q i ), νη νπνίεο ειήθζεζαλ ζε κία δεδνκέλε ρξνληθή ζηηγκή απφ n θαηαλαισηέο (άλδξεο θαη γπλαίθεο), θαη φηη ζέινπκε λα εθηηκήζνπκε ηελ παξάκεηξν, πνπ είλαη ε ειαζηηθφηεηα ηεο δεηήζεσο ηεο ελ ιφγσ θξέκαο σο πξνο ηελ ηηκή [βι Δμ (1)] Δπεηδή ν παξάγσλ «θχιν» είλαη πηζαλφ λα επεξεάδεη ηφζν ην ζηαζεξφ φξν ( ) φζν θαη ηελ θιίζε ( ) ηεο Δμ (45), ζα πξέπεη ή λα εθηηκήζνπκε δχν μερσξηζηέο παιηλδξνκήζεηο, κία γηα θάζε θχιν, ή λα εθηηκήζνπκε ηελ Δμ (45) κε όιεο ηηο n παξαηεξήζεηο, αθνχ φκσο επηηξέςνπκε ην ζηαζεξφ φξν ή/θαη ηελ θιίζε λα δηαθέξνπλ απφ θχιν ζε θχιν Πξνηηκνχκε ηε δεχηεξε ιχζε, δηφηη ην κεγαιχηεξν δείγκα καο δίλεη πην αμηφπηζηα απνηειέζκαηα Αο ζεκεησζεί, σζηφζν, φηη ε ιχζε απηή πξνυπνζέηεη φηη ε δηαθχκαλζε ηνπ δηαηαξαθηηθνχ φξνπ (u i ) είλαη ίδηα γηα ηα δχν θχια Σπλεπψο, νξίδνπκε κία ςεπδνκεηαβιεηή D Wi, ε νπνία παίξλεη ηελ ηηκή 1 αλ ν θαηαλαισηήο i είλαη γπλαίθα θαη ηελ ηηκή 0 αλ είλαη άλδξαο Αο ππνζέζνπκε θαη αξρήλ φηη ν παξάγσλ «θχιν» επεξεάδεη κφλν ην ζηαζεξφ φξν Σ απηή ηελ πεξίπησζε, ε εμίζσζε πνπ εθηηκάκε είλαη q i = + 0 D Wi + p i + u i (46) Απφ ηελ Δμ (46) είλαη θαλεξφ φηη γηα κελ ηηο γπλαίθεο ν ζηαζεξφο φξνο είλαη + 0 γηα δε ηνπο άλδξεο είλαη Σπλεπψο, ν ζπληειεζηήο ηεο ςεπδνκεηαβιεηήο ( 0 ) είλαη ε δηαθνξά κεηαμχ ηνπ ζηαζεξνχ φξνπ ησλ γπλαηθψλ θαη απηνχ ησλ αλδξψλ Αθνχ εθηηκήζνπκε ηελ Δμ (46) κε φιεο ηηο n παξαηεξήζεηο, κπνξνχκε λα ειέγμνπκε ηελ ππφζεζε H 0 : 0 = 0, φηη δελ ππάξρεη δηαθνξά κεηαμχ ηνπ ζηαζεξνχ φξνπ ησλ γπλαηθψλ θαη απηνχ ησλ αλδξψλ Αο ζεκεησζεί φηη ελψ εδψ έρνπκε δχν θαηεγνξίεο θαηαλαισηψλ (άλδξεο θαη γπλαίθεο), εηζάγνπκε ζην ππφδεηγκα κία κφλν ςεπδνκεηαβιεηή, ηελ D Wi Δάλ είρακε εηζαγάγεη θαη ηελ ςεπδνκεηαβιεηή D Mi, φπνπ D Mi = 1 αλ ν θαηαλαισηήο i είλαη άλδξαο θαη D Mi = 0 αλ είλαη γπλαίθα, ηφηε ην ππφδεηγκα ζα ήηαλ q i = + 0 D Wi + 1 D Mi + p i + u i (47) Όπσο ζα δνχκε ζην επφκελν ηκήκα, ε Δμ (47) δελ κπνξεί λα εθηηκεζεί, δηφηη πάζρεη απφ ηέιεηα πνιπζπγγξακκηθόηεηα, επεηδή ππάξρεη κία αθξηβήο γξακκηθή ζρέζε κεηαμχ ελφο ππνζπλφινπ ησλ εξκελεπηηθψλ κεηαβιεηψλ, εθφζνλ γηα θάζε παξαηήξεζε i ηζρχεη ε αθξηβήο ζρέζε 1 = D Wi + D Mi, (48) 11

12 φπνπ ην 1 ζη αξηζηεξά ηεο Δμ (48) είλαη ε ηηκή ηεο ςεπδνκεηαβιεηήο ν ζπληειεζηήο ηεο νπνίαο ζηελ Δμ (47) είλαη α Τν πξφβιεκα απηφ είλαη γλσζηφ σο παγίδα ησλ ςεπδνκεηαβιεηώλ (dummy variable trap) [Αλ δελ ζπκπεξηιακβάλεηαη ζηαζεξφο φξνο ζηελ Δμ (47), ηφηε ε παξνπζία θαη ησλ δχν ςεπδνκεηαβιεηψλ ζ απηήλ, D Wi θαη D Mi, δελ δεκηνπξγεί πξφβιεκα] Όπσο, είδακε πην πάλσ, ε ιχζε απηνχ ηνπ πξνβιήκαηνο είλαη εχθνιε: απιψο παξαιείπνπκε ηελ ςεπδνκεηαβιεηή γηα κία απφ ηηο δχν θαηεγνξίεο Γεληθά, αλ έρνπκε k θαηεγνξίεο, πεξηιακβάλνπκε κφλν k 1 ςεπδνκεηαβιεηέο Η θαηεγνξία ηεο νπνίαο ηελ ςεπδνκεηαβιεηή παξαιείπνπκε νλνκάδεηαη θαηεγνξία αλαθνξάο ή ζπγθξίζεσο (control category, βι πην θάησ, Παξάδεηγκα 8) Σηελ πεξίπησζε ηεο Δμ (46), ε θαηεγνξία αλαθνξάο είλαη νη άλδξεο Παξάδεηγκα 3 Δάλ ζέινπκε λα επηηξέςνπκε ηφζν ζην ζηαζεξφ φξν φζν θαη ζηελ θιίζε λα δηαθέξνπλ κεηαμχ αλδξψλ θαη γπλαηθψλ, ηφηε ζα πξέπεη λα ζεσξήζνπκε ηελ εμίζσζε q i = ( + 0 D Wi ) + ( + 1 D Wi )p i + u i (49) Καηφπηλ, νξίδνπκε κία κεηαβιεηή αιιειεπηδξάζεσο, Z i = D Wi p i, νπφηε ε (49) γξάθεηαη σο q i = + 0 D Wi + p i + 1 Z i + u i (50) Αθνχ εθηηκήζνπκε ηελ Δμ (50), κπνξνχκε λα ειέγμνπκε ηελ ππφζεζε H 0 : 0 = 1 = 0, φηη νχηε ν ζηαζεξφο φξνο νχηε ε θιίζε δηαθέξνπλ κεηαμχ ησλ δχν θχισλ Φπζηθά, κπνξνχκε λα ειέγμνπκε θαη ηελ ππφζεζε H 0 : 0 = 0, φηη κφλνλ ν ζηαζεξφο φξνο δελ δηαθέξεη, θαζψο θαη ηελ ππφζεζε H 0 : 1 = 0, φηη κφλνλ ε θιίζε δελ δηαθέξεη Παξάδεηγκα 33 Μία άιιε ζπνπδαία ρξήζε ησλ ςεπδνκεηαβιεηψλ είλαη φηαλ ηα δεδνκέλα είλαη ρξνλνινγηθέο ζεηξέο θαη ζέινπκε λα ελζσκαηψζνπκε ζην ππφδεηγκα κία δηαξζξσηηθή κεηαβνιή (structural break) Πξφθεηηαη γηα κία πηζαλή κεηαβνιή ζηνπο ζπληειεζηέο ηνπ ππνδείγκαηνο, ε νπνία αληαλαθιά κεηαβνιή ζηε ζπκπεξηθνξά ησλ νηθνλνκνχλησλ αηφκσλ εμ αηηίαο θάπνηνπ ζεκαληηθνχ γεγνλφηνο πνπ έρεη ιάβεη ρψξα θαηά ηελ ρξνληθή πεξίνδν ηνπ δείγκαηνο, φπσο έλαο πφιεκνο, έλαο κεγάινο ζεηζκφο, έλα κεγάιν θξαρ ζην ρξεκαηηζηήξην, κία αιιαγή ζηνπο ζεζκνχο θιπ Η αλάιπζε είλαη ίδηα κε απηή πνπ είδακε πην πάλσ, ζηα Παξαδείγκαηα 31 θαη 3 Δδψ, νξίδνπκε D t = 0 αλ ε παξαηήξεζε t αλαθέξεηαη ζηελ πεξίνδν πξηλ απφ ην γεγνλφο θαη D t = 1 αλ απηή αλαθέξεηαη ζηελ πεξίνδν κεηά ην γεγνλφο Φάξηλ παξαδείγκαηνο, ζηελ πεξίπησζε πνπ έρνπκε κία κφλν εξκελεπηηθή κεηαβιεηή, Φ, αλ ππνζέζνπκε φηη ε δηαξζξσηηθή κεηαβνιή επεξεάδεη ηφζν ην ζηαζεξφ φξν φζν θαη ηελ θιίζε, ηφηε γξάθνπκε ηελ εμίζσζε σο νπφηε εθηηκάκε ηελ αθφινπζε εμίζσζε: φπνπ Ζ t = D t Φ t Υ t = ( + 0 D t ) + ( + 1 D t )Φ t + u t, Υ t = + 0 D t + Φ t + 1 Ζ t + u t, Παξάδεηγκα 34 Τέινο, κία αθφκε ζπνπδαία ρξήζε ησλ ςεπδνκεηαβιεηψλ είλαη φηαλ ηα δεδνκέλα πνπ έρνπκε είλαη ρξνλνινγηθέο ζεηξέο πνπ παξαηεξνχληαη κε ζπρλφηεηα κεγαιχηεξε απφ εηήζηα (ηξηκεληαία, κεληαία, εβδνκαδηαία θιπ) θαη ζέινπκε λα ελζσκαηψζνπκε ζην ππφδεηγκα ηνλ παξάγνληα επνρηθόηεηα (seasonality) Αλ έρνπκε ηξηκεληαία ζηνηρεία, ηφηε 1

13 νξίδνπκε D jt = 1 αλ ε παξαηήξεζε t πξνέξρεηαη απφ ην ηξίκελν j, φπνπ j = 1,, 3, 4, θαη D jt = 0 αιιηψο Δδψ, έρνπκε ηέζζεξηο ςεπδνκεηαβιεηέο (D 1t, D t, D 3t, D 4t ), αιιά, φηαλ ε εμίζσζε πεξηιακβάλεη θαη ζηαζεξφ φξν, πνπ είλαη ε ζπλεζηζκέλε πεξίπησζε, ηφηε ρξεζηκνπνηνχκε κφλν ηξεηο απφ απηέο, πξνθεηκέλνπ λ απνθχγνπκε ηελ «παγίδα ησλ ςεπδνκεηαβιεηψλ» Τν ηξίκελν ηνπ νπνίνπ ηελ ςεπδνκεηαβιεηή παξαιείπνπκε είλαη ην ηξίκελν αλαθνξάο (control quarter) Φάξηλ παξαδείγκαηνο, ζηελ πεξίπησζε πνπ έρνπκε κία κφλν εξκελεπηηθή κεηαβιεηή, Φ, αλ ππνζέζνπκε φηη ε επνρηθφηεηα επεξεάδεη κφλν ην ζηαζεξφ φξν, ηφηε, ρξεζηκνπνηψληαο ην πξψην ηξίκελν σο ηξίκελν αλαθνξάο, εθηηκάκε ηελ εμίζσζε Υ t = + D t + 3 D 3t + 4 D 4t + Φ t + u t Αο ζεκεησζεί φηη αλ φιεο νη εξκελεπηηθέο κεηαβιεηέο είλαη ςεπδνκεηαβιεηέο, δειαδή, αλ δελ ππάξρνπλ ζηελ εμίζσζε πνζνηηθέο εξκελεπηηθέο κεηαβιεηέο, ηφηε ε αλάιπζε παιηλδξνκήζεσο ηζνδπλακεί κε ηελ αλάιπζε δηαθπκάλζεσο (analysis of variance, ANOVA) 4 Δθηίκεζε θαη έιεγρνο ηνπ γξακκηθνύ ππνδείγκαηνο Όπσο έρνπκε δεη κέρξη ηψξα, ην γξακκηθφ ππφδεηγκα είλαη αξθεηά γεληθφ, εθφζνλ πνιιά κε γξακκηθά ππνδείγκαηα κπνξνχλ λα κεηαηξαπνχλ ζε γξακκηθά Δπνκέλσο, αο δνχκε πψο εθηηκάκε ηηο παξακέηξνπο ηνπ γξακκηθνχ ππνδείγκαηνο Υπάξρνπλ πνιιέο κέζνδνη εθηηκήζεσο ηεο Δμ (3) Η επηινγή ηεο κεζφδνπ εμαξηάηαη απφ ην ηη ππνζέζεηο κπνξνχκε (ξεαιηζηηθά) λα θάλνπκε γηα ην ππφδεηγκα Αξρίδνπκε κε ηηο θιαζζηθέο ππνζέζεηο (classical assumptions), πνπ, αλ ηζρχνπλ, ηφηε εθαξκφδνπκε ηελ απιή κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ (ordinary least squares, εθεμήο OLS) Καηφπηλ, ζα εμεηάζνπκε αξθεηνχο ειέγρνπο γηα ην αλ ηζρχνπλ νη θιαζζηθέο ππνζέζεηο Οη έιεγρνη απηνί νλνκάδνληαη δηαγλσζηηθνί έιεγρνη (diagnostic tests) Αλ ζε θάπνηα ζπγθεθξηκέλε εκπεηξηθή κειέηε νη έιεγρνη απηνί δείμνπλ φηη θάπνηεο απφ ηηο θιαζζηθέο ππνζέζεηο δελ ηζρχνπλ, ηφηε εθαξκφδνπκε ελαιιαθηηθέο κεζφδνπο εθηηκήζεσο, έηζη ψζηε νη εθηηκεηέο πνπ ζα πξνθχςνπλ λα έρνπλ φιεο ηηο βαζηθέο ηδηφηεηεο, ήηνη λα είλαη ακεξόιεπηνη (unbiased), απνηειεζκαηηθνί (efficient) θαη ζπλεπείο (consistent) 41 Oη θιαζζηθέο ππνζέζεηο Α1 Τν ζσζηφ ππφδεηγκα είλαη ε Δμ (3), ηελ νπνία, ράξηλ επθνιίαο, επαλαιακβάλνπκε: Y i = β 0 + β 1 x 1i + + β k x ki + u i, i = 1,, n (51) Α Ε(u i x) = 0, i = 1,, n, φπνπ x είλαη ε n (k+1) κήηξα ησλ n παξαηεξήζεσλ ησλ k εξκελεπηηθψλ κεηαβιεηψλ, ζπγθεθξηκέλα x 1 x 1 x 1 x n x x 1 x n x k1 x x k kn Α3 Var(u i x) = ζ, i = 1,, n (νκνζθεδαζηηθόηεηα) 13

14 Α4 Cov(u i, u j x) = 0, i j (έιιεηςε απηνζπζρεηίζεσο) Α5 n > k+1 Α6 Υπνζέηνπκε φηη δελ ππάξρνπλ αθξηβείο γξακκηθέο ζρέζεηο κεηαμχ ησλ εξκελεπηηθψλ κεηαβιεηψλ, φπσο πρ ε Δμ (48) ή, σο έλα άιιν παξάδεηγκα, ε ζρέζε x 1i = 1,5 +,4x i + 0,x 3i, ε νπνία θαζηζηά αδχλαηε ηελ εθηίκεζε ηεο Δμ (51) φηαλ απηή πεξηιακβάλεη ζηαζεξφ φξν (β 0 0) Αλ, φκσο, ε Δμ (51) δελ πεξηιακβάλεη ζηαζεξφ φξν (β 0 = 0), ηφηε ε σο άλσ ζρέζε δελ δεκηνπξγεί πξφβιεκα, ελψ, ε ίδηα ζρέζε αιιά ρσξίο ην 1,5 θαζηζηά αδχλαηε ηελ εθηίκεζε θαη ζ απηήλ ηελ πεξίπησζε Όηαλ ε χπαξμε αθξηβψλ γξακκηθψλ ζρέζεσλ θαζηζηά ηελ εθηίκεζε αδχλαηε, ηφηε ιέκε φηη ππάξρεη ηέιεηα πνιπζπγγξακκηθόηεηα (perfect multicollinearity) Δπηπιένλ, ππνζέηνπκε φηη p lim ( x ' x / n) Q, φπνπ x είλαη ε αλάζηξνθε (transposed) ηεο x θαη Q είλαη κία ηεηξαγσληθή (k+1) (k+1) κε ηδηάδνπζα (nonsingular) θαη άξα αληηζηξέςηκε (invertible) κήηξα ηεο νπνίαο ηα ζηνηρεία είλαη πεπεξαζκέλνη αξηζκνί Σεκείσζε: Σηελ πξάμε, ηέιεηα πνιπζπγγξακκηθφηεηα δελ ζπκβαίλεη ζπρλά, εθηφο φηαλ θάλνπκε ιάζνο ζηνπο νξηζκνχο ησλ κεηαβιεηψλ Απηφ πνπ ζπκβαίλεη ζπρλά ζηελ πξάμε είλαη ε (αηειήο) πνιπζπγγξακκηθόηεηα, πνπ ζεκαίλεη φηη ζπρλά ππάξρεη πςειή (αιιά φρη ηέιεηα) ζπζρέηηζε κεηαμχ ησλ εξκελεπηηθψλ κεηαβιεηψλ Ωο ζπλέπεηα, νη εθηηκήζεηο είλαη αλαθξηβείο, δειαδή ηα ηππηθά ηνπο ζθάικαηα είλαη κεγάια Αο ζπδεηήζνπκε ηηο ππνζέζεηο A1-A6 Η ππφζεζε Α1 ζεκαίλεη φηη ην ππφδεηγκά καο: (1) απνηειείηαη απφ κία κφλν εμίζσζε, () είλαη γξακκηθφ, θαη (3) πεξηιακβάλεη k εξκελεπηηθέο κεηαβιεηέο Η ππφζεζε Α, Ε(u i x) = 0, i = 1,, n, είλαη γλσζηή σο ππφζεζε ηεο κεδεληθήο δεζκεπκέλεο κέζεο ηηκήο (zero-conditional mean) ηνπ δηαηαξαθηηθνχ φξνπ Όηαλ ηζρχεη, ηφηε ιέκε φηη νη εξκελεπηηθέο κεηαβιεηέο Φ 1,, Φ k είλαη εμσγελείο (exogenous) Πην ζπγθεθξηκέλα, νλνκάδνληαη απζηεξώο εμσγελείο (strictly exogenous), εθφζνλ ε κήηξα x πεξηιακβάλεη φιεο ηηο παξαηεξήζεηο ησλ Φ 1,, Φ k, γηα i = 1,, n, θαη άξα ε ππφζεζε Α ζεκαίλεη φηη ε ηπραία κεηαβιεηή u i δελ ζπζρεηίδεηαη κε θακκία απφ ηηο παξαηεξήζεηο ησλ Φ 1,, Φ k Υπάξρεη έλαο πην αζζελήο νξηζκφο εμσγέλεηαο, ν νπνίνο ρξεζηκνπνηείηαη φηαλ ηα δεδνκέλα είλαη ρξνλνινγηθέο ζεηξέο, νπφηε νη κεηαβιεηέο έρνπλ δείθηε t (αληί ηνπ i, πνπ ρξεζηκνπνηείηαη φηαλ ηα δεδνκέλα είλαη δηαζηξσκαηηθά) θαη ν αξηζκφο ησλ παξαηεξήζεσλ ζπκβνιίδεηαη κε Τ Όηαλ ππνζέηνπκε φηη ν δηαηαξαθηηθφο φξνο ηεο πεξηφδνπ t είλαη αζπζρέηηζηνο κε ηηο ηηκέο ησλ εξκελεπηηθψλ κεηαβιεηψλ κφλνλ ηεο πεξηφδνπ t, x t, αιιά κπνξεί λα ζπζρεηίδεηαη κε απηέο άιισλ πεξηφδσλ, ηφηε ε ππφζεζε Α αληηθαζίζηαηαη κε ηελ αζζελέζηεξε ππφζεζε Ε(u t x 1t,, x kt ) = Ε(u t x t ) = 0, t = 1,, Τ, νπφηε νη Φ 1,, Φ k νλνκάδνληαη ηαπηνρξόλσο εμσγελείο (contemporaneously exogenous) Σπλέπεηα απηήο ηεο ππνζέζεσο είλαη φηη 14

15 Cov(u t, Φ jt ) = 0, j = 1,, k, t = 1,, Τ 6 Αλ γηα θάπνηα απφ ηηο εξκελεπηηθέο κεηαβιεηέο ε ζπλζήθε απηή δελ ηζρχεη, ε κεηαβιεηή απηή δελ είλαη ηαπηνρξφλσο εμσγελήο θαη ε ππφζεζε Α, ε νπνία είλαη ε πην θξίζηκε γηα ηελ εθαξκνγή ηεο κεζφδνπ OLS, παξαβηάδεηαη Αλ, παξά ηαχηα, ρξεζηκνπνηήζνπκε ηε κέζνδν OLS, ηφηε φιεο νη εθηηκήζεηο καο ζα είλαη αλαμηφπηζηεο Παξάδεηγκα 41 Θεσξήζαηε ην ππφδεηγκα Y t = β 0 + β 1 Y t-1 + u t, φπνπ u t iid (0, ζ ), t = 1,, Τ [Σεκείσζε: Ο ζπκβνιηζκφο u t iid (0, ζ ) ζεκαίλεη independently identically distributed, δειαδή φηη νη ηηκέο ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο u t, u 1, u,, u Τ, είλαη αλεμάξηεηεο κεηαμχ ηνπο θαη πξνέξρνληαη φιεο απφ ηελ ίδηα θαηαλνκή, ε νπνία έρεη κέζν ην κεδέλ θαη δηαθχκαλζε ζ ] Σ απηφ ην ππφδεηγκα, ηζρχεη φηη Cov(u t, Υ t-1 ) = 0, t = 1,, Τ, θαζφηη κία δηαηάξαμε πνπ ιακβάλεη ρψξα θαηά ηελ πεξίνδν t (δειαδή u t 0) δελ κπνξεί λα επεξεάζεη ηελ Υ t-1 Γη απηφλ ηνλ ιφγν, ζ απηφ ην ππφδεηγκα, ε εξκελεπηηθή κεηαβιεηή Υ t-1 είλαη ηαπηνρξφλσο εμσγελήο Ωζηφζν, δελ είλαη απζηεξψο εμσγελήο, δηφηη νη κειινληηθέο ηηκέο ηεο, Y t, Y t+1, Y t+ θιπ ζπζρεηίδνληαη κε ηνλ δηαηαξαθηηθφ φξν, u t Πξάγκαηη, απφ ηελ εμίζσζε Y t = β 0 + β 1 Y t-1 + u t είλαη πξνθαλέο φηη ε u t επεξεάδεη ηελ Υ t, νπφηε Cov(u t, Υ t ) 0 Απφ ηελ ίδηα εμίζσζε, είλαη επίζεο πξνθαλέο φηη, εθφζνλ ε u t επεξεάδεη ηελ Υ t, ε νπνία κε ηελ ζεηξά ηεο επεξεάδεη ηελ Y t+1, έπεηαη φηη ε u t επεξεάδεη θαη ηελ Y t+1, δειαδή Cov(u t, Y t+1 ) 0 Καη επέθηαζε, έρνπκε Cov(u t, Y t+ ) 0 θνθ Παξάδεηγκα 4 Έζησ φηη θάπνηνο πξνηείλεη λα ρξεζηκνπνηεζεί ην ππφδεηγκα (51) σο ζπλάξηεζε δεηήζεσο εληφπηνπ βνείνπ θξέαηνο, αιιά γηα ηελ εθηίκεζή ηεο έρνπκε ζπλνιηθά (aggregate) δεδνκέλα γηα κία ζεηξά εηψλ, δειαδή έρνπκε κία ρξνλνινγηθή ζεηξά αγνξαίσλ παξαηεξήζεσλ Σ απηφ ην παξάδεηγκα, έρνπκε Υ t = πνζφηεηα εληφπηνπ βνείνπ θξέαηνο πνπ πσιήζεθε θαηά ηε δηάξθεηα ηνπ έηνπο t, Φ 1t = ηηκή ηνπ εληφπηνπ βνείνπ θξέαηνο θαηά ην έηνο t, Φ t = ηηκή ελφο ππνθαηάζηαηνπ (πρ ε ηηκή ηνπ ρνηξηλνχ θξέαηνο), Φ 3t = εηζφδεκα ηνπ θαηαλαισηνχ θιπ Ο δηαηαξαθηηθφο φξνο u t παξηζηάλεη κεηαηνπίζεηο ηεο θακπχιεο δεηήζεσο εληφπηνπ βνείνπ θξέαηνο εμ αηηίαο ηπραίσλ παξαγφλησλ πνπ επεξεάδνπλ ηε δήηεζε Γηα παξάδεηγκα, έζησ φηη ζηελ ηξέρνπζα πεξίνδν ππάξρεη κία πξφζθαηξε αχμεζε ζηε δήηεζε εληφπηνπ βνείνπ θξέαηνο, επεηδή δηαδίδεηαη φηη ηα εηζαγφκελα θξέαηα πεξηέρνπλ δηνμίλεο, φπσο έγηλε ην θαινθαίξη ηνπ 1999 Η κεηαβνιή απηή ζηηο πξνηηκήζεηο ησλ θαηαλαισηψλ, ε νπνία κπνξεί λα ζπκβνιηζζεί κε Γu t > 0, ηζνδπλακεί κε κία κεηαηφπηζε πξνο ηα δεμηά ηεο θακπχιεο δεηήζεσο Με ηελ πξνυπφζεζε φηη ε θακπχιε πξνζθνξάο εληφπηνπ βνείνπ θξέαηνο έρεη ζεηηθή θιίζε, ε κεηαβνιή απηή ζα νδεγήζεη ζε αχμεζε ηεο ηηκήο ηνπ ζηελ ηξέρνπζα πεξίνδν, δειαδή Γx 1t > 0 Δθφζνλ φκσο απμήζεηο (κεηψζεηο) ζηε κεηαβιεηή u t πξνθαινχλ απμήζεηο (κεηψζεηο) ζηελ Φ 1t, έπεηαη φηη Cov(Φ 1t, u t ) > 0, δειαδή Φ 1t θαη u t δελ είλαη ζηνραζηηθά αλεμάξηεηεο, νπφηε ε ππφζεζε Α παξαβηάδεηαη θαη ε Ε(u t x) δελ είλαη κεδέλ, αιιά εμαξηάηαη απφ ηηο ηηκέο ηεο Φ 1t Σ απηφ ην παξάδεηγκα, ην πξφβιεκα είλαη φηη πνζφηεηα (Υ t ) θαη ηηκή (Φ 1t ) είλαη ελδνγελείο (endogenous) κεηαβιεηέο, νη νπνίεο πξνζδηνξίδνληαη ηαπηφρξνλα Σπλεπψο, ην ππφδεηγκα (51) δελ είλαη ππφδεηγκα παιηλδξνκήζεσο, δηφηη, φρη κφλν ε κεηαβιεηή Φ 1t επεξεάδεη ηε κεηαβιεηή Υ t, αιιά ηζρχεη θαη ην αληίζηξνθν Άξα, απφ κφλε ηεο, ε Δμ (51) απνηειεί έλα θαθψο εμεηδηθεπκέλν ππφδεηγκα, δηφηη ε ζπλάξηεζε πξνζθνξάο αγλνείηαη, ελψ ζα έπξεπε λ απνηειεί κέξνο ηνπ ππνδείγκαηνο Με άιια ιφγηα, ην ζσζηφ ππφδεηγκα ζηελ πξνθεηκέλε πεξίπησζε είλαη έλα ζύζηεκα ηαπηνρξόλσλ εμηζώζεσλ (system of simultaneous equations) 6 Γεληθά, αλ γηα δχν ηπραίεο κεηαβιεηέο U t θαη X t ηζρχεη φηη Ε(U t X t ) = 0, ηφηε ηζρχεη θαη φηη Ε(U t ) = 0 θαη Cov(U t, X t ) = 0 Γηφηη, κε βάζε ην λόκν ησλ επαλαιακβαλνκέλσλ πξνζδνθηώλ (law of iterated expectations), ηζρχεη φηη E X [Ε(U t X t )] = Ε(U t ) νπφηε, αλ Ε(U t X t ) = 0, ηφηε E X (0) = 0, δειαδή ζα έρνπκε φηη Ε(U t ) = 0 Αιιά, Ε(U t X t ) = Ε(U t ) ζεκαίλεη φηη U t θαη X t είλαη αζπζρέηηζηεο, δειαδή Cov(U t, X t ) = 0 Βι Wooldridge (006), ζει 75 15

16 Αο ζεκεησζεί, σζηφζν, φηη αλ ηα δεδνκέλα δελ είλαη ρξνλνινγηθέο ζεηξέο ζπλνιηθψλ κεγεζψλ, φπσο ππνζέζακε ζην παξαπάλσ παξάδεηγκα, αιιά είλαη δηαζηξσκαηηθέο παξαηεξήζεηο, ηφηε ε ππφζεζε Α αλακέλεηαη λα ηζρχεη, δηφηη ζ απηή ηελ πεξίπησζε ε απμεκέλε δήηεζε, Γu i > 0, δελ αλαθέξεηαη ζηελ αγνξαία δήηεζε, αιιά ζηε δήηεζε κφλνλ ηνπ θαηαλαισηή i, ε νπνία δελ είλαη ζπλήζσο ηθαλή λα επεξεάζεη ηελ ηηκή Η ππφζεζε A3, Var(u i x) = ζ, i = 1,, n, ζεκαίλεη φηη ε δηαθχκαλζε ηνπ u i, δεδνκέλσλ ησλ ηηκψλ πνπ έρνπλ πάξεη νη εξκελεπηηθέο κεηαβιεηέο, είλαη ζηαζεξή Τν θαηλφκελν απηφ νλνκάδεηαη νκνζθεδαζηηθόηεηα (homoscedasticity) Αλ ζε κία ζπγθεθξηκέλε έξεπλα ε ππφζεζε απηή παξαβηάδεηαη, ηφηε ιέκε φηη ππάξρεη εηεξνζθεδαζηηθόηεηα (heteroscedasticity) Αλ ην πξφβιεκα ππάξρεη, αιιά ν εξεπλεηήο ην αγλνήζεη (θαη εθαξκφζεη ηε κέζνδν OLS), ηφηε νη εθηηκεηέο ησλ ζπληειεζηψλ ζα είλαη κελ ακεξφιεπηνη θαη ζπλεπείο, αιιά δελ ζα είλαη απνηειεζκαηηθνί, πνπ ζεκαίλεη φηη ππάξρεη άιιε κέζνδνο πνπ δίλεη πην αθξηβείο εθηηκήζεηο (δειαδή κηθξφηεξα ηππηθά ζθάικαηα ησλ ζπληειεζηψλ) Αθφκε ρεηξφηεξα, ηα δηαζηήκαηα εκπηζηνζχλεο θαη νη έιεγρνη ππνζέζεσλ δελ ζα ηζρχνπλ Σπλήζσο, ε παξαβίαζε ηεο ππνζέζεσο Α3 νθείιεηαη ζηελ παξάιεηςε κίαο ζπνπδαίαο εξκελεπηηθήο κεηαβιεηήο απφ ην ππφδεηγκα Καηά θαλφλα, ε ππφζεζε Α3 παξαβηάδεηαη φηαλ ηα δεδνκέλα είλαη δηαζηξσκαηηθά Παξάδεηγκα 43 Θεσξήζαηε ην αθφινπζν ππφδεηγκα: Y i = β 0 + β 1 x 1i + u i, φπνπ Y i = απνηακίεπζε ηνπ λνηθνθπξηνχ i θαη x 1i = εηζφδεκα ηνπ λνηθνθπξηνχ i Ωο γλσζηφλ, γηα έλα δεδνκέλν επίπεδν εηζνδήκαηνο, έρνπκε κία νιφθιεξε θαηαλνκή απνηακηεχζεσλ Σηα λνηθνθπξηά κε κηθξά εηζνδήκαηα, πξνθαλψο δελ κπνξεί λα ππάξρεη κεγάιε δηαθχκαλζε ζηηο απνηακηεχζεηο, νη νπνίεο ζα είλαη φιεο θνληά ζην κεδέλ ελψ ζηα λνηθνθπξηά κε κεγάια εηζνδήκαηα είλαη θπζηθφ λα ππάξρνπλ κεγάιεο δηαθνξέο ζηελ απνηακίεπζε Σ απηφ ην παξάδεηγκα, ε δηαθχκαλζε ηνπ u i δελ είλαη ζηαζεξή, αιι είλαη ζεηηθή ζπλάξηεζε ηεο Φ 1 Η ππφζεζε Α4 ζεκαίλεη φηη, δεδνκέλεο ηεο κήηξαο x, νη δηαηαξαθηηθνί φξνη u i θαη u j, γηα i j, δελ ζπζρεηίδνληαη Όηαλ ε ππφζεζε απηή δελ ηζρχεη, ηφηε ππάξρεη απηνζπζρέηηζε (autocorrelation ή serial correlation) Αλ ππάξρεη απηνζπζρέηηζε θαη ν εξεπλεηήο ηελ αγλνήζεη (θαη εθαξκφζεη ηε κέζνδν OLS), νη ζπλέπεηεο είλαη ζνβαξέο Σπγθεθξηκέλα, φπσο θαη ζηελ πεξίπησζε ηεο εηεξνζθεδαζηηθφηεηαο, νη OLS εθηηκεηέο είλαη κελ ακεξφιεπηνη θαη ζπλεπείο, αιιά φρη απνηειεζκαηηθνί Δπηπιένλ, νη έιεγρνη ππνζέζεσλ θαη ηα δηαζηήκαηα εκπηζηνζχλεο είλαη άθπξα Η παξαβίαζε ηεο ππνζέζεσο Α4 νθείιεηαη ζπλήζσο ζηελ παξάιεηςε κίαο ζπνπδαίαο εξκελεπηηθήο κεηαβιεηήο απφ ην ππφδεηγκα Καηά θαλφλα, ε ππφζεζε Α4 παξαβηάδεηαη φηαλ ηα δεδνκέλα είλαη ρξνλνινγηθέο ζεηξέο, επεηδή νη επηδξάζεηο ησλ δηαηαξάμεσλ πνπ ζπκβαίλνπλ (δειαδή ησλ κεηαβνιψλ ζηηο ηηκέο ηνπ u) δηαρένληαη ζην ρξφλν, δειαδή δηαξθνχλ γηα πεξηζζφηεξεο απφ κία πεξηφδνπο Σχκθσλα κε ηελ ππφζεζε Α5, γηα ηελ εθηίκεζε ηεο Δμ (51), ε νπνία έρεη k+1 παξακέηξνπο (β 0, β 1,, β k ), είλαη απαξαίηεην λα έρνπκε ζηε δηάζεζή καο πεξηζζφηεξεο απφ k+1 παξαηεξήζεηο Καη αξράο, ρξεηαδφκαζηε ηνπιάρηζηνλ k+1 δηαθνξεηηθά ζεκεία απφ ηα νπνία λα πεξλά ην ππεξεπίπεδν παιηλδξνκήζεσο Με k+1 αθξηβψο παξαηεξήζεηο, είλαη κελ δπλαηή ε εθηίκεζε ησλ β 0, β 1,, β k, φρη φκσο θαη ν έιεγρνο ππνζέζεσλ ή ε θαηαζθεπή δηαζηεκάησλ εκπηζηνζχλεο γη απηνχο ηνπο ζπληειεζηέο, ιφγσ ειιείςεσο βαζκψλ ειεπζεξίαο θαη άξα αδπλακίαο εθηηκήζεσο ηνπ ζ Γη απηφ, ππνζέηνπκε φηη n > k + 1 Απφ ηελ ππφζεζε Α6, αο ζεκεησζεί φηη ε ζπνπδαηφηεηα ηεο ππνζέζεσο φηη ε κήηξα Q είλαη αληηζηξέςηκε θαη ηα ζηνηρεία ηεο είλαη πεπεξαζκέλνη αξηζκνί, θαίλεηαη φηαλ πξνζθεχγνπκε ζηελ αζπκπησηηθή ζεσξία γηα λα πξνζεγγίζνπκε ηελ θαηαλνκή δεηγκαηνιεςίαο ησλ εθηηκεηψλ, 16

17 φηαλ δελ ππνζέηνπκε φηη γλσξίδνπκε ηε κνξθή ηεο Τν πην θξίζηκν κέξνο απηήο ηεο ππνζέζεσο είλαη φηη, θαζψο ην n ηείλεη ζην άπεηξν, ε κήηξα Q είλαη αληηζηξέςηκε Τν άιιν κέξνο, δειαδή φηη ηα ζηνηρεία ηεο Q είλαη πεπεξαζκέλνη (finite) αξηζκνί, δελ είλαη πάληνηε θξίζηκν Παξάδεηγκα 44 Όηαλ ηα δεδνκέλα είλαη ρξνλνινγηθέο ζεηξέο, ππάξρεη ζπρλά κία ρξνληθή ηάζε (time trend) απμήζεσο ή κεηψζεσο ηεο Υ, νπφηε εηζάγνπκε ην ρξφλν (t) σο κία πξφζζεηε εξκελεπηηθή κεηαβιεηή Έηζη, θαζψο ην n, ε κήηξα Q ηείλεη λα γίλεη κε πεπεξαζκέλε θαη ε ππφζεζε Α6 παξαβηάδεηαη Οη εθηηκεηέο, σζηφζν, εμαθνινπζνχλ λα είλαη ζπλεπείο θαη λα έρνπλ αζπκπησηηθά θαλνληθέο θαηαλνκέο Γεληθά, φηαλ ε κήηξα Q ηείλεη λα γίλεη κε πεπεξαζκέλε θαζψο ην n, ε γλσζηή αζπκπησηηθή ζεσξία δελ ηζρχεη νη ηδηφηεηεο ησλ εθηηκεηψλ απνδεηθλχνληαη κε δηαθνξεηηθέο αζπκπησηηθέο κεζφδνπο Βι Schmidt (1976), ζει Δθηίκεζε ηνπ ππνδείγκαηνο κε ηε κέζνδν OLS Τν (k+1) 1 δηάλπζκα ησλ OLS εθηηκεηψλ είλαη ˆ 1 β ( x' x) x' Y, (5) φπνπ Y είλαη ην n 1 δηάλπζκα ησλ παξαηεξήζεσλ ηεο Υ Σχκθσλα κε ην ζεώξεκα ησλ Gauss- Markov, ππφ ηηο ππνζέζεηο A1-A6, νη εθηηκεηέο (5) είλαη άξηζηνη, γξακκηθνί θαη ακεξόιεπηνη (best linear unbiased estimators, BLUE) Απηφ ζεκαίλεη φηη κεηαμχ φισλ ησλ γξακκηθψλ θαη ακεξνιήπησλ εθηηκεηψλ ηνπ δηαλχζκαηνο β, νη OLS εθηηκεηέο (5), νη νπνίνη είλαη γξακκηθνί θαη ακεξφιεπηνη, έρνπλ ηε κηθξφηεξε δηαθχκαλζε, δειαδή είλαη νη αθξηβέζηεξνη Αλ ππάξρεη ηέιεηα πνιπζπγγξακκηθφηεηα, ε κήηξα x x είλαη ηδηάδνπζα (singular) θαη άξα κε αληηζηξέςηκε, νπφηε ε εθηίκεζε ησλ ζπληειεζηψλ απφ ηελ (5) δελ είλαη δπλαηή 43 Τν ηππηθό ζθάικα εθηηκήζεσο θαη ν ζπληειεζηήο πνιιαπινύ πξνζδηνξηζκνύ Έλα κέηξν θαιήο πξνζαξκνγήο ηνπ ππνδείγκαηνο ζηα δεδνκέλα είλαη ην ηππηθό ζθάικα εθηηκήζεσο (standard error of estimate, S), πνπ είλαη ε ζεηηθή ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ εμήο ακεξνιήπηνπ εθηηκεηνχ ηεο δηαθπκάλζεσο ηνπ δηαηαξαθηηθνχ φξνπ (ζ ): S n n i 1ˆ ui (53) k 1 Τν S κπνξεί λα εξκελεπζεί σο ε απφιπηε ηηκή ηνπ «αληηπξνζσπεπηηθνχ» ζθάικαηνο Δίλαη ζπλεπήο (αιι φρη θαη ακεξφιεπηνο) εθηηκεηήο ηνπ ζ θαη εθθξάδεηαη ζηηο ίδηεο κνλάδεο ζηηο νπνίεο εθθξάδεηαη θαη ε Y Δμ νξηζκνχ, φζν πην «κηθξή» είλαη ε ηηκή ηνπ S, ηφζν θαιχηεξε είλαη ε πξνζαξκνγή (fit) ηνπ ππνδείγκαηνο ζηα δεδνκέλα 7 Τν πξφβιεκα, σζηφζν, είλαη φηη ε ηηκή ηνπ S είλαη έλα απόιπην κέηξν πξνζαξκνγήο θαη δελ ππάξρεη έλα γεληθψο απνδεθηφ φξην κε ην νπνίν ζα κπνξνχζε λα ζπγθξηζεί Σπλεπψο, ζε κία ζπγθεθξηκέλε εθαξκνγή, δελ κπνξνχκε λα πνχκε φηη ε ηηκή ηνπ S είλαη «κηθξή» ή «κεγάιε», δηφηη ην S κπνξεί λα πάξεη κία 7 Σηελ αθξαία πεξίπησζε φπνπ S = 0, ην ππφδεηγκα είλαη καζεκαηηθφ, φρη ζηαηηζηηθφ! 17

18 νπνηαδήπνηε (ζεηηθή) ηηκή Γηα παξάδεηγκα, εθφζνλ ην S κεηξείηαη ζηηο ίδηεο κνλάδεο ζηηο νπνίεο κεηξείηαη θαη ε Υ, έπεηαη φηη ε ηηκή ηνπ ζ αιιάμεη αλ αιιάμνπκε ηηο κνλάδεο απηέο, αιι απηφ δελ ζεκαίλεη φηη έρεη αιιάμεη θαη ε πξνζαξκνγή ηνπ ππνδείγκαηνο ζηα δεδνκέλα Έλα θξηηήξην θαιήο πξνζαξκνγήο (goodness-of-fit) ηνπ ππνδείγκαηνο ζηα δεδνκέλα, ην νπνίν δελ πάζρεη απφ ην πξνεγνχκελν πξφβιεκα, είλαη ν ζπληειεζηήο πνιιαπινύ πξνζδηνξηζκνύ (coefficient of multiple determination), R, ν νπνίνο παίξλεη ηηκέο ζην δηάζηεκα 0 R 1 Η ζεηηθή ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ R είλαη ν ζπληειεζηήο πνιιαπιήο ζπζρεηίζεσο (multiple correlation coefficient), R Η πξνζαξκνγή είλαη θαιή αλ ε ηηκή ηνπ R είλαη θνληά ζηε κνλάδα Ωζηφζν, φπσο ηνλίδεη ν Wooldridge (006, ζει 44 θαη 88), ρακειέο ηηκέο ηνπ R δελ πξέπεη λα καο νδεγνχλ ζην ζπκπέξαζκα φηη ε παιηλδξφκεζε είλαη άρξεζηε Σηηο θνηλσληθέο επηζηήκεο, θαη ηδίσο φηαλ ηα δεδνκέλα είλαη δηαζηξσκαηηθά, ζπρλά ζπλαληψληαη εκπεηξηθέο κειέηεο φπνπ ε ηηκή ηνπ R είλαη κηθξφηεξε απφ 0,05, έλδεημε ηνπ πφζν δχζθνιε είλαη ε πξφβιεςε κεκνλσκέλσλ ηηκψλ ηεο Υ Παξά ηε ρακειή απηή ηηκή ηνπ R, φκσο, νη εθηηκήζεηο ησλ παξακέηξσλ κπνξεί λα είλαη αμηφπηζηεο Όηαλ πάιη ηα δεδνκέλα είλαη ρξνλνινγηθέο ζεηξέο, είλαη πηζαλφ ε ηηκή ηνπ R λα είλαη πςειή, αιιά ε παιηλδξφκεζε λα είλαη λόζνο (spurious) θαη νη εθηηκήζεηο ησλ παξακέηξσλ αλαμηφπηζηεο Σπλεπψο, δελ είλαη ζσζηφ λα αμηνινγνχκε κία παιηλδξφκεζε απνθιεηζηηθά θαη κφλν απφ ηελ ηηκή ηνπ R Αο ζεκεησζεί αθφκε φηη αλ ε παιηλδξφκεζε δελ πεξηιακβάλεη ζηαζεξφ φξν, 8 ηφηε, ζε κία ζπγθεθξηκέλε εθαξκνγή, δελ είλαη απίζαλν απφ ηνλ ζπλήζε νξηζκφ [βι Δμ (55) παξαθάησ] λα πξνθχςεη R < 0 Ωζηφζν, ζα ηζρχεη θαη πάιη φηη R 1 Αο ζεκεησζεί φηη ν R είλαη θαηάιιεινο γηα ηε ζχγθξηζε ηεο πξνζαξκνγήο δχν ππνδεηγκάησλ πνπ έρνπλ ηελ ίδηα εμαξηεκέλε κεηαβιεηή θαη ηνλ ίδην αξηζκό εξκελεπηηθψλ κεηαβιεηψλ, νη νπνίεο κπνξεί βεβαίσο λα δηαθέξνπλ ζηα δχν ππνδείγκαηα Φάξηλ παξαδείγκαηνο, αλ ε εμαξηεκέλε κεηαβιεηή ζηε κία παιηλδξφκεζε είλαη Y, ελψ ζηελ άιιε είλαη ln(y), ηφηε δελ πξέπεη λα ρξεζηκνπνηνχκε ην ζπληειεζηή R γηα ηε ζχγθξηζε Φπζηθά, νχηε ην ζπληειεζηή [βι Δμ (54)] πξέπεη λα ρξεζηκνπνηνχκε ζ απηή ηελ πεξίπησζε Αλ ν αξηζκφο ησλ εξκελεπηηθψλ κεηαβιεηψλ ζηα δχν ππφ ζχγθξηζε ππνδείγκαηα δηαθέξεη, ηφηε ν ζπληειεζηήο R είλαη αθαηάιιεινο γηα ηε ζχγθξηζε Γηφηη θαζψο πξνζζέηνπκε εξκελεπηηθέο κεηαβιεηέο ζ έλα ππφδεηγκα, ε ηηκή ηνπ R απμάλεηαη (ή παξακέλεη ε ίδηα, αλ νη επηπιένλ κεηαβιεηέο είλαη ηειείσο άζρεηεο), επεηδή ν R αγλνεί ηελ απψιεηα ησλ βαζκψλ ειεπζεξίαο πνπ ζπλεπάγεηαη ε εηζαγσγή επηπιένλ κεηαβιεηψλ Σπλεπψο, κε βάζε ην θξηηήξην R, πάληα ζα επηιέγακε ην ππφδεηγκα πνπ έρεη ηηο πεξηζζφηεξεο εξκελεπηηθέο κεηαβιεηέο Έλα θαιχηεξν θξηηήξην γηα ηε ζχγθξηζε ηεο πξνζαξκνγήο δχν ππνδεηγκάησλ, ηα νπνία έρνπλ κελ ηελ ίδηα εμαξηεκέλε κεηαβιεηή, αιιά δηαθέξνπλ σο πξνο ηνλ αξηζκφ ησλ εξκελεπηηθψλ κεηαβιεηψλ, είλαη ν δησξζσκέλνο ζπληειεζηήο πξνζδηνξηζκνύ (adjusted coefficient of determination), R, ν νπνίνο ιακβάλεη ππ φςηλ ηελ απψιεηα ησλ βαζκψλ ειεπζεξίαο θαη ν νπνίνο νξίδεηαη σο εμήο: ESS n 1 R 1, (54) TSS n k 1 8 Γελ ζπκπεξηιακβάλνπκε ζηαζεξφ φξν ζηελ παιηλδξφκεζε κόλνλ φηαλ ην ππαγνξεχεη ε ζεσξία, φπσο πρ ζηελ ζπλάξηεζε θαηαλαιψζεσο πνπ βαζίδεηαη ζηε ζεσξία ηνπ κνλίκνπ εηζνδήκαηνο (Permanent Income Hypothesis) 18 R

19 n φπνπ ESS i 1ˆi u είλαη ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ θαηαινίπσλ (error sum of n squares) θαη TSS i 1 ( Yi Y ) είλαη ε ζπλνιηθή κεηαβιεηόηεηα ηεο Υ (total sum of n squares), ε νπνία ηζνχηαη κε ην άζξνηζκα RSS + ΕSS, φπνπ RSS = ˆ i 1 ( Y i Y ) είλαη ε κεηαβιεηόηεηα ηεο Υ πνπ εξκελεύεηαη από ηελ παιηλδξόκεζε (regression sum of squares), δειαδή απφ ηηο κεηαβνιέο ησλ εξκελεπηηθψλ κεηαβιεηψλ Ο ππνινγηζκφο ησλ σο άλσ αζξνηζκάησλ θαη ε επαιήζεπζε ηεο ηαπηφηεηαο ΤSS RSS + ΕSS, ε νπνία ηζρχεη κε ηελ πξνυπφζεζε φηη ε παιηλδξφκεζε πεξηιακβάλεη ζηαζεξφ φξν, αλαθέξεηαη ζπλήζσο σο αλάιπζε δηαθπκάλζεσο (analysis of variance, ANOVA) Σηελ πεξίπησζε ηεο απιήο παιηλδξνκήζεσο (k = 1), ηα παξαπάλσ γίλνληαη πην θαηαλνεηά κε ηε βνήζεηα ηνπ Γηαγξάκκαηνο 41, φπνπ ππνζέηνπκε φηη ˆ0 0 θαη ˆ1 0 Υ Y i Y ˆ 0 ( x, Y ) Y i Y (x i, Υ i ) û i Yˆ i Y ˆ ˆ ˆ x Yi 0 1 i x x i Φ Γηάγξακκα 41 Η γξακκή παιηλδξνκήζεσο ηνπ δείγκαηνο θαη αλάιπζε δηαθπκάλζεσο Καη αξρήλ, αο ζεκεησζεί φηη ε γξακκή παιηλδξνκήζεσο ηνπ δείγκαηνο (sample regression function, SRF), Y ˆ ˆ 0 1x, δηέξρεηαη απφ ην ζεκείν ησλ κέζσλ ( x, Y ) Η ηδηφηεηα απηή θαίλεηαη ζην Γηάγξακκα 41, φπνπ ηα δεχγε παξαηεξήζεσλ (x 1, Υ 1 ),, (x n, Υ n ) παξηζηάλνληαη κε ηειείεο (), νη νπνίεο ζπληζηνχλ ην δηάγξακκα δηαζπνξάο (scatter diagram) Τν δεχγνο (x i, Υ i ) ππνηίζεηαη φηη βξίζθεηαη πάλσ απφ ηε γξακκή παιηλδξνκήζεσο θαη ρξεζηκνπνηείηαη γηα λα παξαζηαζεί γξαθηθά ην θαηάινηπν uˆ i Yi Yˆ i, θαζψο θαη νη δηαθνξέο Y i Y θαη Yˆ i Y Απφ ην Γηάγξακκα 41 είλαη θαλεξφ φηη Y i Y = ( Yˆ i Y ) + û i Υςψλνληαο ζην ηεηξάγσλν, n αζξνίδνληαο γηα φιεο ηηο ηηκέο ηνπ i, θαη παξαηεξψληαο φηη ˆ i 1uˆ i ( Yi Y ) 0, πξνθχπηεη ε ηαπηφηεηα ΤSS RSS + ΕSS Αο ζεκεησζεί φηη αλ ε γξακκή παιηλδξνκήζεσο πεξλνχζε απφ ην ζεκείν (x i, Υ i ), ηφηε ζα εμεγνχζε πιήξσο ηε δηαθνξά Y i Y θαη ζα είρακε φηη û i = 0 θαη αλ απηφ ζπλέβαηλε γηα φια ηα i, ηφηε ζα είρακε ΕSS = 0 θαη ΤSS RSS (ηέιεηα πξνζαξκνγή ηνπ ππνδείγκαηνο ζηα δεδνκέλα) 19

20 Υπελζπκίδεηαη φηη ν νξηζκφο ηνπ R είλαη R 1 ESS TSS, (55) φπνπ ΕSS/ΤSS είλαη ην θιάζκα ηεο κεηαβιεηφηεηαο ηεο Υ πνπ δελ εξκελεχεηαη απφ ηελ παιηλδξφκεζε, νπφηε ζέινπκε λα είλαη κηθξφ θαη άξα ην R λα είλαη πην θνληά ζηε κνλάδα Σπγθξίλνληαο ηελ (54) κε ηελ (55), είλαη θαλεξφ φηη, εθφζνλ n 1 > n k 1, έπεηαη φηη R < R Βεβαίσο, αλ ESS = 0 ή αλ n, νπφηε (n 1)/(n k 1) 1, ηφηε R = R Σπλεπψο, γεληθψο, ηζρχεη φηη R R (56) Αο ζεκεησζεί φηη ελψ γηα ηνλ R ηζρχεη πάληνηε φηη R 0 (κε ηελ πξνυπφζεζε φηη ζπκπεξηιακβάλνπκε ζηαζεξφ φξν ζην ππφδεηγκα), γηα ηνλ R δελ είλαη απίζαλν ζε κία ζπγθεθξηκέλε εθαξκνγή λα πξνθχςεη φηη R < 0 Απηφ κπνξεί λα ζπκβεί φηαλ, ελψ ράλνληαη πνιχηηκνη βαζκνί ειεπζεξίαο θαζψο πξνζηίζεληαη λέεο εξκελεπηηθέο κεηαβιεηέο, νπφηε ν δηνξζσηηθφο φξνο (n 1)/(n k 1) ζηνλ νξηζκφ (54) κεγαιψλεη, ην ESS δελ κεηψλεηαη αηζζεηά, πνπ ζεκαίλεη φηη θαθψο έρνπλ πξνζηεζεί νη λέεο εξκελεπηηθέο κεηαβιεηέο Γειαδή, αλ R < 0, ηφηε ζπκπεξαίλνπκε φηη ε πξνζαξκνγή ηνπ ππνδείγκαηνο ζηα δεδνκέλα είλαη θαθή θαη πξέπεη νπσζδήπνηε λ αιιάμνπκε ην ζχλνιν ησλ εξκελεπηηθψλ κεηαβιεηψλ 44 Καηαλνκέο δεηγκαηνιεςίαο ησλ OLS εθηηκεηώλ Μπνξεί λα δεηρζεί φηη ε δηαθχκαλζε ηνπ OLS εθηηκεηή (βι Wooldridge, 006, ζει 101) ˆ j ηνπ ζπληειεζηή j, j = 1,, k, είλαη φπνπ j ό Φ Var ( βˆ j x ), j 1,, k, (57) n (1 r ) ( x x ) j ό Φ i 1 r = ζπληειεζηήο πνιιαπινχ πξνζδηνξηζκνχ ζηελ παιηλδξφκεζε κεηαμχ X j θαη ησλ ππνινίπσλ εξκελεπηηθψλ κεηαβιεηψλ, ε νπνία πεξηιακβάλεη θαη ζηαζεξφ φξν Η ηεηξαγσληθή ξίδα ηεο Var ( βˆ j x) νλνκάδεηαη ηππηθό ζθάικα (standard error) ηνπ εθηηκεηή ˆ j Ο ηχπνο (57) δείρλεη φηη ε Var ( βˆ j x) εμαξηάηαη απφ ηνπο εμήο ηξεηο παξάγνληεο: Πξψηνλ, είλαη αχμνπζα ζπλάξηεζε ηνπ ζ δειαδή, φζν πεξηζζφηεξε αβεβαηφηεηα ππάξρεη ζηελ εμίζσζε ηφζν δπζθνιψηεξε θαζίζηαηαη ε εθηίκεζε ηνπ ζπληειεζηή j, j = 1,, k Η αβεβαηφηεηα απηή κπνξεί λα κεησζεί κε ηελ εηζαγσγή ζηελ εμίζσζε φζν ην δπλαηφλ πεξηζζνηέξσλ ζρεηηθψλ εξκελεπηηθψλ κεηαβιεηψλ (νη νπνίεο, φηαλ δελ πεξηιακβάλνληαη ξεηά ζηελ εμίζσζε, ηφηε πεξηιακβάλνληαη ζην δηαηαξαθηηθφ φξν) ji j 0