ΙΞΩ ΕΣ ΚΑΙ ΟΙ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΟΡΜΗΣ

Transcript

1 ΙΞΩ ΕΣ ΚΑΙ ΟΙ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΟΡΜΗΣ Ο Νόος του Νεύτωνα για το ιξώδες (Newton s law of viscosity) ΣΧΗΜΑ.-(BSL) F A V du or τ y Y dy ( Newton' s law of vis cosity) Ρευστά που υπακούουν τον νόο του Νεύτωνα λέγονται Νευτωνικά ρευστά (Newtonian fluids). Πολυερή (polymeric liquids), αιωρήατα (suspensionς), γαλακτώατα (slurries), πάστες (pastes) και άλλα ρευστά που δεν περιγράφονται ρεολογικά απο τον νόο του Νεύτωνα λέγονται ή-νευτωνικά ρευστά (non- Newtonian fluids). Συχνά το κινηατικό ιξώδες χρησιοποιείται που ορίζεται: ν ρ Τυπικές ονάδες για το ιξώδες είναι Pa.s και τυπικές τιές για τον αέρα στούς 20 o C,.80-5 Pa.s, Pa.s για την γλυκερόλη (glycerol) ή ακόα εγαλύτερες τιές για τα τηγένα πολυερή (molten polymers).

2 2 Οι πίνακες.-.-4 (BSL) δίνουν τιές για ιξώδη τυπικών ρευστών (ακόα και για υγρά έταλλα). O ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ ΣΕ ΤΡΕΙΣ ΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Θεωρούε ροή όπου οι συνιστώσες της ταχύτητας είναι: u u (, y, z, t); u u (, y, z, t); u u (, y, z, t) y y z z Σε οποιαδήποτε στιγή το κυβικό στοιχείο πορεί να διατηθεί ε τέτοιο τρόπο ώστε το ισό ρευστό να αποακρυνθεί από έσα του. Σε ία τέτοια περίπτωση, ποιά είναι η δύναη που πρέπει να εξασκηθεί ώστε να αντικαταστήσει το αποακρυνθέν ρευστό? Υπάρχουν δύο συνιστώσες/συνεισφορές:. Η δύναη της πίεσης που είναι πάντα κάθετη και συπιεστική (compressive) στην επιφάνεια. Αυτές είναι pδ, pδ, pδ στις τρείς κατευθύνσεις. 2. Ιξωδική δύναη (Viscous force) όταν υπάρχουν κλίσεις ταχύτητας. Ας υποθέτουε γενικά ότι ία δύναη τ εξασκείται όπως φαίνεται στο σχήα.2-a. Αυτή πορεί να αναλυθεί σε τρείς συνιστώσες, ία κάθετη και δύο y z

3 3 διατητικές (στις τρείς καρτεσιανές συντεταγένες). Οταν αυτές διαιρεθούν ε την επιφάνεια τότε τρία στοιχεία του τανυστή τάσης, τ, προκύπτουν τ, τ, τ. Κάνοντας το ίδιο σε όλες τις άλλες κατευθύνσεις, όλα τα εννέα y z στοιχεία του τανυστή τάσης (stress tensor) πορούν να οριστούν (τρία κάθετα και έξι διατητικά στοιχεία (elements)) Η κάθετη τάση στην επιφάνεια πορεί τώρα να οριστεί: π + όπου i and j πορεί να είναι, y, ή z. ij pδ ij τ ij δ ij είναι ο δείκτης του Kronecker delta, o οποίοw ορίζεται να είναι ισον ε εάν ij και ηδέν εάν i j. i δείχνει το επίπεδο πάνω στο οποίο η δύναη εξασκείται, και j την δι(κατ)εύθυνση της δύναης. Για παράδειγνα τ y είναι η διατητική τάση που εξασκείται στην κατεύθυνση y πάνω σε ένα επίπεδο κάθετο στην κατεύθυνση. Γενικεύοντας το νόο του Νεύτωνα για το ιξώδες πρέπει να λάβουε υπ όψη: Οι ιξωδικές τάσεις πορεί να είναι γραικοί συνδιασοί των κλίσεων ταχύτητας Οι παράγωγοι χρόνου δεν πρέπει να υπάρχουν (some n-newtonian fluids are ecluded shear thickening)

4 4 Οι ιξωδικές τάσεις για ρευστά σε ισορροπία (at a rest or under purely rotation) είναι ηδέν. Το ρευστό είναι ισοτροπικό (isotropic). Η συπιεστικότητα του ρευστού (compressibility) πρέπει να ληφθεί υπ όψη. Χρησιοποιώντας όλες τις παραδοχές ο γενικός νόος του Νεύτωνα πορεί να γραφεί: τ ij u u 3 j i + + i 3 j i u i ( 2 i κ ) δ ij όπου κ είναι το διασταλτικό ιξώδες (dilatational viscosity) το οποίο είναι ηδέν για ονοατοικά αέρια σε χαηλές πυκνότητες. Αυτός είναι: τ T ( + ( v) ) + ( 2 κ )( v)δ v 3 όπου δ είναι ο οναδιαίος τανυστής ε στοιχεία δ ij, κλίσης τής ταχύτητα (velocity gradient tensor), τανυστής, and v είναι ο τανυστής της T ( v) είναι ο ανάστροφος v είναι η απόκλιση της ταχύτητας (divergence of the velocity vector) που είναι ηδέν για ασυπίεστα ρευστά. Ως εκ τούτου το διασταλτικό ιξώδες (dilatational viscosity) έχει σηασία όνο για τα συπιεστά ρευστά και άλιστα σε εφαρογές απορρόφησης ήχου (sound absorption) και σε ρευστά που περιέχουν φυσσαλίδες. Σε αυτό το άθηα ενδιαφερόαστε για ασυπίεστα ρευστά και ως εκ τούτου ο γενικός νόος του Νεύτωνα πορεί να απλοποιηθεί: u T ( ) j ui v + ( v or τ + ij i j τ )

5 5 Συβαση προσήου (sign convention): Θεωρούε τ y οτι είναι η δύναη στην θετική διεύθυνση πάνω σε ένα επίπεδο κάθετο στην διεύθυνση y, και ότι αυτή η δύναη εξασκείται απο ένα ρευστό σε ία περιοχή σε ικρότερη y συντεταγένη πάνω σε ρευστό σε περιοχή ε εγαλύτερη συντεταγένη y. Οως τα u περισσότερα βιβλία γράφουν το νόο τοθ Νεύτvνα: τ y + - αντίθετη y σύβαση προσίου. Σε αυτό το άθηα θεωρούε συπίεση, οπότε εφελκυστική τάση θεωρείται αρνητική. pδ ij and τ ii θετικές σε

6 6

7 7 ΕΧΑΡΤΗΣΗ ΙΞΩ ΟΥΣ ΑΠΟ ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΚΑΙ ΠΙΕΣΗ Το ιξώδες ειναι συνάρτηση της θεροκρασίας και πίεσης. Το σχήα.3- δίνει ία ολική εικόνα της εξάρτησης του ιξώδους απο την θεροκρασία και πίεση. Το ειωένο ιξώδες (reduced viscosity) απεικονιζεται σαν συνάρτηση r c της ειωένης θεροκρασίας (reduced temperature) T T T και της ειωένης r c πίεσης (reduced pressure) p p p. r c Το ειωένο ιξώδες είτε πρέπει να είναι διαθέσιο για να χρησιποποιήσουε το σχήα.3- ή πορεί να υπολογισθεί εάν ία τιή του είναι γνωστή σε ία θεροκρασία και πίεση (given T and p). Εάν critical p-v-t στοιχεία είναι διαθέσια τότε: / 2 2 / 3 / 2 2 / 2 / 6 6.6( MT ) ( V ) and 7.70M p T c c c c c c όπου p c σε atm, T c σε K, και V c σε cm 3 g-mole.

8 8 Για ειγατα πορούε να χρησιποποιήσουε: N a ca a c N a ca a c N a ca a c T T p p ' ' ' Παρατηρείται οτι το ιξωδες των υγρών ελλατώνεται ε αύξηση της θεροκρασίας, ενώ για τα αέρια συβαίνει το αντίθετο. Αυτό οφείλεται στο διαφορετικό ηχανισό για την εταφορά ορής στα αέρια (συγκρούσεις ορίων - molecular collisions) και τα υγρά (ελεύθερος όγκος - free volume).

9 9

10 0 MOΡΙΑΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΙΞΩ ΕΣ ΑΕΡΙΩΝ Θεωρούε ένα αέριο που αποτελείται από άκαπτα (rigid), η-ελκυόενα (nonattracting) σφαιρικά όρια ε διάετρο d και άζα, m και ε πυκνότητα αριθού ορίων (number density, molecules per unit volume) n. Εάν η έση απόσταση εταξύ ορίων είναι πολλές φορές εγαλύτερη του d, τότε η κατανοή των οριακών ταχυτήτων (distribution of molecular velocities) (τυχαίας κατευθύνσεως) είναι: T u 8Κ πm όπου K είναι η σταυερά του Boltzamann. Η συχνότητα του οριακού «βοβαρδισού» (frequency of molecular bombardment) ανά ονάδα επιφάνειας είναι: Z 4 nu Το έσο ελεύθερο ονοπάτι (mean free path) εταξύ συγκρούσεων είναι: λ 2πd 2 n Κατά έσο όρο, τα όρια που πλησιάζουν ένα επίπεδο, είχαν την τελευταία σύγκρουση τους σε ία απόσταση α 2 3 λ. Το σχήα.4- δείχνει ενα πεδίο ροής ε κλίση ταχύτητας στη y-κατεύθυνση, όπου ένα αέριο ρέει στην -κατεύθυνση. FIGURE.4-

11 Η -ροή ορής ανά ονάδα επιφάνειαςτ y όρια ρέουν δια έσου του επιπέδου που έχει σταθερό y. Επίσης: - τ y Zmu y-a Zmu y+a (-momentum flu) θα αλλάξει επειδή u y± a u y ± 3 2 du λ dy Συνδιάζοντας : 2 mκt / π 2 πmκt 3 nmuλ 3 ρuλ πd 3π πd Αυτό το αποτέλεσα ανήκει στον Mawell (860). Μπορούε να συπεράνουε ότι το ιξώδες αυξάνεται ε T. Οως έχει βρεθεί πειραατικά ότι το ιξώδες αυξάνει αναλογικά ε την T. ιάφορες άλλες θεωρίες για ονοατοικά αέρια έχουν αναπτυχθεί. Μια τέτοια είναι η θεωρία Chapman-Enskog που δίνει καλύτερα αποτελέσατα. Βασίζεται στην έννοια του Lennard-Jones potential που περιγράφει/διέπει τις διατοικές (interatomic) δυνάεις. (βλέπε Fig..4-3) Για πιο πολλές λεπτοέρειες βλέπε (BSL Transport Phenomena).

12 2 To κύριο ήνυα ποθ εξάγεται είναι ότι, ο ηχανισός της εταφοράς της ορής στα αέρια γίνεται δια έσου οριακών συγκρούσεων. Αύξηση της θεροκρασίας, αυξάνει την κινετική ενέργεια και έτσι τον αριθό συγκρούσεων. Μεγαλύτερος αριθός συγκρούσεων σηαίνει εγαλύτερη αντίσταση για ροή και έτσι εγαλύτερο ιξώδες.

13 3 ΜΟΡΙΑΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΙΞΩ ΟΥΣ ΓΙΑ ΥΓΡΑ MOLECULAR THEORY OF VISCOSITY OF LIQUIDS Ο Eyring υπέθεσε οτι σε ένα καθαρό υγρό σε ισορροπία, τα όρια βρίσκονται σε συνεχή κίνηση. Οως, επειδή ειναι πολύ κοντά εταξύ τους, το καθένα βρίσκεται έσα σε ένα «κλουβι» (cage) που σχηατίζεται από τα άλλα γειτονικά όρια. Το «κλουβι» (cage) παριστάνει (αντιπροσωπεύεται??) από ένα φράγα ενέργειας (energy barrier) ύψους G + o / N, στο οποίο + G ειναι η ελεύθερη οριακή ενέργεια (molar free energy of activation) για διαφυγή (escape) από το «κλουβί» (cage) για να καλύψει ία κενή θέση (adjoine a vacant site) (βλέπε Σχήα.5-). o Τα πηδήατα για διαφυγή (jumps for escapes) είναι α και η συχνότητα τους (frequency),ν, ανά όριο δίνεται από: ΚT + ν ep( Go / RT) h όπου h είναι η σταθερά του Planck. Σε ενα ρευστό ποθ ρέει στην -κατεύθυνση ε κλίση ταχύτητας du /dy, η συχνότητα των οριακών αναδιατάξεων αυξάνει (επειδή το φράγα της δυναική ενέργειας έχει παραορφωθεί) (βλέπε Fig..5-)

14 + + α τ yv G G ± o δ 2 όπου V είναι ο όγκος ενός mole υγρού και ( )( δ τ y V / 2) α 4 ± είναι το έργο πάνω στα όρια (work done on the molecules) για να ανέλθουν στο υψηλότερο σηείο του φράγατος ενέργειας. Η συχνότητα των πηδηάτων προς τα επρός (frequency of the forward jumps) ορίζεται να είναι ν + και των αντιστοίχων προς τα πίσω, ν _. Αυτές οι συχνότητες είναι: ΚT + ν ± ep( Go / RT )ep( ± aτ yv / 2δRT ) h Η ταχύτηρτα (net velocity) ε την οποία όρια στο στρώα A ολισθαίνουν προς τα επρός στο στρώα B είναι: u A u B + Tο προφίλ της ταχύτητας είναι: α( ν ν _) du α ( ν + ν _) dy δ Συνδιάζοντας τις παραπάνω εξισώσεις du dy α ΚT ep( G δ h + o α ΚT ep( G δ h + o / RT ) (ep( + ατ yv / 2δRT ) ep( ατ yv / 2δRT )) / RT ) ( 2sinh( ατ V / 2δRT )) Αυτή η εξίσωση ορίζει η-γραική συπεριφορά την οποία η-νευτωνικά υγρά ακολουθούν. Οως, πορεί να γραικοποιηθεί χρησιποποιώντας 3 5 sinh + ( ) + ( ) +... και κρατώντας όνο τον πρώτο όρο 3! 5! πορούε να γράψουε: δ Nh + ep( Go / RT ) α V + Εχει βρεθεί ότι το G o συσχετίζεται ε την εσωτερική ενέργεια ατοποίησης/εξάτησης (internal energy of vaporization): y

15 5 G o U vap + Χρησιοποιώντας αυτό και α / δ τότε δ Nh ep(0.408 U α V Επίσης, U vap H vap RT όπου T b είναι το σηείο βρασού, τότε δ Nh ep(3.8t α V b b / T ) vap / RT ) Η τελευταία σχέση δείχνει ότι το ιξώδες ειώνεται ε αύξηση της θεροκρασίας εκθετικά το οποίο είναι ια πολλή καλή προσέγγιση ακόη και για σύνθετα υγρά (comple liquids). ΙΞΩ ΕΣ ΓΙΑ ΑΙΩΡΗΜΑΤΑ (SUSPENSIONS) ΚΑΙ ΓΑΛΑΚΤΩΜΑΤΑ (EMULSIONS) H πρώτη έκφραση(??) για το ιξώδες αιωρηάτων προήλθε απο τον Einstein. Θεώρησε ένα αιώρηα σφαιρικών σωατιδίων τόσο αραιό, ώστε η κίνηση ενός σωατιδίου να ην επηρεάζει την κίνηση των άλλων σφαιρικών σωατιδίων και έτσι του όλου αιωρήατος. Υπολόγισε το ιξώδες ενός αιωρήατος σαν: eff φ 2 όπου o είναι το ιξώδες του υγρού του αιωρήατος (suspending medium) και φ είναι το κλάσα όγκου των σφαιρικών σωατιδίων. Για αιωρήατα ε κλάσατα όγκου εγαλύτερο απο 5%, αλληλεπιδράσεις (interactions) γίνονται εφανείς και για αυτές τις περιπτώσεις διαφορες αλλες σχέσεις έχουν αναπτυχθεί. Μια τέτοια ειναι η εξίσωση του Mooney: eff 0 ep 5 2 φ ( φ / φ ) o

16 6 όπου φ o είναι ία επειρική σταθερά περίπου ίση ε 0.74 to Μια άλλη προσέγγιση είναι η «cell theory» που αναπτύχθηκε απο τον Graham, eff φ ψ ( + ψ )( ψ όπου ψ 2[( 3 φ φ ) / 3 φ φ ], και φma είναι το κλάσα όγκου που αντιστοιχεί ma ma πειραατικά στο εγαλύτερο δυνατό «πακετάρισα» (closest packing of the spheres). Για πυκνά αιωρήατα (concentrated suspensions) η σφαιρικών σωατιδίων, η εξίσωση Krieger-Doughrty ισχύει: eff 0 φ φma φ A ma Οι τιές του A και φma εχουν καταχωρηθεί στον πίνακα.6-. Για γαλακτώατα ή αιωρήατα πολύ ικρών σωατιδίων στα οποία υπάρχει εσωτερική ροή (σταγονίδια) (internal circulation), η εξίσωση του Taylor πορεί να χρησιοποιηθεί. 5 eff o + 2 φ 0 o + όπου είναι το ιξώδες της διασκορπισένης φάσης (dispersed phase). Τέλος για αραιά αιωρήατα (dilute suspensions) φορτισένων σωατιδίων (charged spheres) η εξίσωση του Smoluchowski πορεί να χρησιοποιηθεί, 2 eff 5 ( Dζ / 2πR) + φ ok e όπου D είναι η διηλεκτρική σταθερά (dielectric constant) του υγρού, k e είναι η ειδική ηλεκτρική αγωγιότητα του αιωρήατος (specific electrical conductivity), ζ ειναι η ηλεκτροκινετική δυναική (electrokinetic potential) των σωατιδίων, και R είναι η ακτίνα του σωατιδίου. )

17 7 ΣΥΝΑΓΩΓΙΚΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΟΡΜΗΣ (CONVECTIVE MOMENTUM TRANSPORT) Μέχρι τώρα έχουε συζητήσει οριακή εταφορά ορής (molecular transport of momentum). Οως, η ορή πορεί να εταφερθεί και ε άλλο ηχανισό γνωστό σαν συναγωγική εταφορά ορής (convective transport). Βλέπε Σχήα.7- για εξήγηση. Ο ογκοετρικός ρυθός ροής για έσου της επισκιασένης επιφάνειας στο Σχήα.7-(a) είναι u. Αυτή η ροή εταφέρει ορή ίση ε ρv. Ετσι, ο ρυθός ροής (momentum flu) δια έσου της επισκιασένης επιφάνειας είναι u ρv. Οοια, ο ρυθός ροής ορής δια έσου της επισκιασένης επιφάνειας στο Σχήα.7-(b) είναι u y ρv και στο Σχήα.7-(c) είναι u z ρv. Κάθε ία απο τις τρεις ορές έχει τρείς συνιστώσες, έτσι συνολικά εννέα. Για παράδειγα: ρ u u y ειναι η y-συναγςγική ορή δια έσου επιφάνειας κάθετη στην - κατεύθυνση.

18 8 τ y ειναι ο y-οριακός ρυθός ροής ορής στην -κατεύθυνση. Ολες οι εννέα συνιστώσες πορούν να συνοψισθούν: ρvv i j δ i δ j ρ u i u j Για να υπολογίσουε τη ροή ορής δια έσου επιφάνειας οποιασδήποτε κατεύθυνσης (arbitrary orientation) βλέπε Fig ΣΧΗΜΑ.7-2 (BSL) Ο ρυθός ροής της ορής δια έσου της επιφάνειας είναι: (n. v)ρv ή [n. ρvv ] Οοια ο οριακός ρυθός ορής είναι: [n. π ] pn +[n. τ] Ετσι ο συνολικός ρυθός ροής (combined momentum flu) είναι φπ + ρvvpδ + τ + ρvv Ετσι, φ y είναι ο συνδιασένος ρυθός ροής της ορής στη y-κατεύθυνση (combined flu of the y-momentum) δια έσου τηε επιφάνειας καθετη στην -κατεύθυνση ε οριακο και συναγωγικό ηχανισό (molecular and convective mechanisms).

19 9