Αναλυτικές Λύσεις Winkler Aνώτερης Tάξης για Εύκαμπτους Πασσάλους. Higher Order Winkler Analytical Solutions for Flexible Piles

Transcript

1 Αναλυτικές Λύσεις Winkler Aνώτερης Tάξης για Εύκαμπτους Πασσάλους Higher Order Winkler Analytical Slutins fr Flexible Piles ΑΓΑΠΑΚΗ, Ε.Γ. ΜΥΛΩΝΑΚΗΣ, Γ.Ε. Πολιτικός Μηχανικός, Π.Π., Μεταπτυχιακή Φοιτήτρια UCLA Πολιτικός Μηχανικός, Καθηγητής, Π.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Εξάγονται πρωτότυπες αναλυτικές λύσεις τύπου Winkler για εύκαμπτους ελαστικούς πασσάλους με χρήση τριών (αντί μίας στην κλασική λύση) εδαφικών σταθερών. Αυτό επιτρέπει την ορθολογικότερη βαθμονόμηση του προσομοιώματος έναντι αυστηρότερων λύσεων τύπου πεπερασμένων ή συνοριακών στοιχείων, με εξίσωση των τριών όρων δυσκαμψίας (σε μετάθεση, στροφή και σύζευξη των παραπάνω) στην κεφαλή του πασσάλου, και συνεπώς στην ακριβέστερη εκτίμηση των εσωτερικών δυνάμεων κατά μήκος του πασσάλου. Η μέθοδος δεν αυξάνει την πολυπλοκότητα της ανάλυσης, καθώς η τάξη της διαφορικής εξίσωσης και οι συνοριακές συνθήκες δεν επηρεάζονται. ABSTRACT : Nvel analytical slutins f the Winkler tye are derived fr flexible elastic iles, which emly three sil cnstants, instead f ne in the classical frmulatin. This allws a mre ratinal calibratin f the mdel against rigrus slutins such a finite- r bundary-elements, by matching all three stiffness cnstants (against swaying, rcking and crss-swaying rcking) at the ile head, leading t a better reresentatin f ile-sil interactin, and estimatin f the internal frces alng the bdy f the ile. The methd des nt increase the cmlexity f the analysis, as the rder f the gverning differential equatin and the bundary cnditins at the tw ends f the ile d nt change. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Παρουσιάζονται νέες αναλυτικές λύσεις βάσει του προσομοιώματος Winkler, για εύκαμπτους ελαστικούς πασσάλους εδραζόμενους σε γραμμικώς ελαστικό έδαφος. Αντίθετα με τις κλασικές λύσεις οι οποίες εμπεριέχουν μία και μοναδική εδαφική σταθερά, οι προτεινόμενες λύσεις περιλαμβάνουν τρεις εδαφικές σταθερές οι οποίες δημιουργούν ορθές αντιδράσεις και ροπές επί του δομικού στοιχείου, ανάλογες με το εύρος της εδαφικής μετατόπισης, στροφής, και καμπυλότητας, αντίστοιχα. Η παρουσία των τριών ανεξάρτητων σταθερών επιτρέπει τη βαθμονόμηση του προσομοιώματος βάσει αυστηρών αριθμητικών λύσεων τύπου συνεχούς μέσου, με εξίσωση των τριών όρων δυσκαμψίας (σε μετάθεση, στροφή και σύζευξη μετάθεσης-στροφής) στην κεφαλή του πασσάλου. Η ορθολογικότερη αυτή βαθμονόμηση επιτρέπει την ακριβέστερη περιγραφή της αλληλεπίδρασης εδάφους-θεμελίου και την εκτίμηση των ροπών κατά μήκος του πασσάλου, έναντι των κλασικών λύσεων. Σημειώνεται ότι η μέθοδος δεν οδηγεί σε αύξηση της πολυπλοκότητας της ανάλυσης, καθώς η τάξη της διαφορικής εξίσωσης του πασσάλου δεν μεταβάλλεται και έτσι δεν εισάγονται πρόσθετες, μηκλασικές, συνοριακές συνθήκες όπως συμβαίνει στις θεωρίες βαθμίδας της Μηχανικής του Συνεχούς Μέσου. Αποδεικνύεται βάσει διαστατικής ανάλυσης ότι οι εδαφικές σταθερές εξαρτώνται μόνο από τη σχετική στιφρότητα πασσάλου-εδάφους, τον λόγο Pissn του εδάφους και τις συνθήκες στροφής στην κεφαλή του πασσάλου. Παρουσιάζονται κλειστές λύσεις για τις τρεις εδαφικές σταθερές και συγκρίσεις με αριθμητικά αποτελέσματα από

2 αναλύσεις πεπερασμένων στοιχείων. Η μέθοδος αποτελεί γενίκευση των μοντέλων τύπου Hetenyi (196) και Pasternak (195), τα οποία κάνουν χρήση δύο εδαφικών σταθερών. Το προσομοίωμα Winkler (1867) το πρώτο που αναπτύχθηκε για την εξιδανίκευση του εδάφους σε προβλήματα αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής βασίζεται στην εύλογη πλην όμως προσεγγιστική προσομοίωση του εδάφους ως σύστημα όμοιων, ανεξάρτητων μεταξύ τους, γραμμικών ελατηρίων που προσδιορίζονται από μία μόνο εδαφική σταθερά, k. Σύμφωνα με την εν λόγω θεωρία, η στατική δυσκαμψία στην κεφαλή ενός εύκαμπτου πασσάλου σε ομοιογενές έδαφος, υπολογίζεται από τις απλές σχέσεις (Hetenyi, 196): 3 EI, HR EI, E I (1α,β,γ) E 1/ I k () όπου λ η παράμετρος Winkler (διαστάσεις 1/Μήκος) και E I η καμπτική στιφρότητα της διατομής του πασσάλου (διαστάσεις Δύναμη x Μήκος ). Οι εκφράσεις στις Εξισώσεις 1α,β και γ παρέχουν τους συντελεστές δυσκαμψίας σε πλευρική μετάθεση, περιστροφή της κορυφής και σύζευξη πλευρικής μετάθεσης-περιστροφής, αντίστοιχα. Για πάσσαλο ελεύθερο να στραφεί στην κεφαλή, η πλευρική δυσκαμψία για επιβαλλόμενη δύναμη υπό μηδενική ροπή δίνεται από E I 3 (3) η οποία προκύπτει από συνδυασμό των παραπάνω εξισώσεων και προβλέπει στιφρότητα για τον ελεύθερο να στραφεί στην κεφαλή πάσσαλο ίση με το 50% αυτής του πακτωμένου στην κεφαλή πασσάλου (σε αντιδιαστολή με 5% για ένα υποστύλωμα). Είναι γνωστό ότι η εξιδανίκευση των ελατηρίων με τη θεώρηση μίας και μόνο σταθεράς k, σε σχέση με την ανάλυση του εδάφους ως συνεχούς μέσου, δίνει αναντιστοιχία στα αποτελέσματα της αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής. Αυτό συμβαίνει γιατί το προσομοίωμα Winkler δεν μπορεί να προσομοιώσει τη σύζευξη μεταξύ των ελατηρίων. Έτσι πρώτος ο Wieghardt (19) και αργότερα οι Filnenk-Brdich (190), Hetenyi (196), Pasternak (195) και Vlasv-Lentiev (1966) πρότειναν βελτιώσεις στο αρχικό μοντέλο με την εισαγωγή μιας δεύτερης σταθεράς (k φ ), η οποία μπορεί να ερμηνευτεί είτε μέσω μιας μεμβράνης που συνδέει τις βάσεις των ελατηρίων Winkler (Hetenyi 196) ή μέσω στροφικών ελατηρίων κατανεμημένων κατά μήκος του πασσάλου (Shanchez-Saliner198).. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Το υπό διερεύνηση πρόβλημα παρουσιάζεται στο Σχήμα 1. Πάσσαλος εδραζόμενος σε ομοιογενές έδαφος υποκείμενος σε οριζόντια φόρτιση και ροπή στην κεφαλή του. Ο πάσσαλος προσομοιώνεται μέσω γραμμικώς ελαστικής, ομοιογενούς κυλινδρικής δοκού σταθερής διατομής τύπου Euler-Bernulli, διαμέτρου d, μήκους L και μέτρου ελαστικότητας E. Επιπλέον, ο πάσσαλος θεωρείται εύκαμπτος, έτσι ώστε να μην παραμορφώνεται σε όλο το μήκος του, αλλά μόνο μέχρι το «ενεργό» μήκος, L α (Randlh, 1981) πέραν του οποίου δεν αποκρίνεται σε πλευρική φόρτιση στην κεφαλή του, και συνεπώς το πραγματικό του μήκος δεν επηρεάζει τη δυσκαμψία του. Το έδαφος υποτίθεται γραμμικώς ιξωδοελαστικό, με μέτρο ελαστικότητας E s και λόγο Pissn s. Στη διεπιφάνεια πασσάλου-εδάφους η επαφή θεωρείται τέλεια, χωρίς ολίσθηση ή αποκόλληση μεταξύ των δύο υλικών. Για στατικές συνθήκες φόρτισης, οι κύριες διαστατικές παράμετροι του προβλήματος είναι το μήκος του πασσάλου, L, η διάμετρος, d, το μέτρο ελαστικότητας, Ε, και το μέτρο ελαστικότητας του εδάφους, E s. Οι θεμελιώδεις διαστάσεις είναι το μήκος [L] και η δύναμη [F]. Επομένως, ο αριθμός των κύριων διαστατικών παραμέτρων είναι Μ= και ο αντίστοιχος των θεμελιωδών διαστάσεων είναι Ν=. Από εφαρμογή του θεωρήματος Buckingham (191) προκύπτει ότι για την περιγραφή του προβλήματος αρκούν ΜΝ= αδιάστατες παράμετροι.

3 Αυτές οι παράμετροι είναι ο λόγος μήκος πασσάλου προς τη διάμετρο, L/d και η σχετική στιφρότητα πασσάλου-εδάφους, E /E s. Επιπρόσθετα, υπεισέρχονται στη λύση οι αδιάστατοι λόγοι Pissn του πασσάλου,, και του εδάφους, s. Σχήμα 1. (α) Ορισμός προβλήματος, (β) Στοιχειώδες τμήμα πασσάλου επί ελατηριωτής θεμελίωσης με τρεις ομάδες κατανεμημένων ελατηρίων Winkler. Figure 1. (a) Prblem definitin, (b) Infinitesimal ile segment f 3-arameter Winkler mdel 3. ΕΥΘΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗ Για την περιγραφή της συμπεριφοράς του πασσάλου, προτείνεται το προαναφερθέν επαυξημένο μοντέλο Winkler που εμπεριέχει τρεις εδαφικές σταθερές k, k φ και k c (Σχήμα 1β). Στο πλαίσιο αυτής της θεωρίας, η εξίσωση ισορροπίας του πασσάλου είναι c 0 E I k u k u k u () όπου ο εκθέτης ( ) δηλώνει παραγώγιση ως προς την κατακόρυφη μεταβλητή (z). Οι τρεις εδαφικές σταθερές δημιουργούν ορθές αντιδράσεις και ροπές επί του δομικού στοιχείου του πασσάλου, οι οποίες είναι ανάλογες του εύρους της καμπυλότητας του πασσάλου, της στροφής του πασσάλου και της εδαφικής μετατόπισης, αντίστοιχα. Οι σταθερές των ελατηρίων Winkler k, k φ και k c σχετίζονται με την εδαφική στιφρότητα μέσω των παρακάτω σχέσεων οι οποίες ικανοποιούν τις διαστάσεις των επιμέρους όρων στην Εξίσωση. k E s, k E s d, kc c E s d (5α,β,γ) όπου δ, δ φ και δ c είναι αδιάστατες σταθερές Winkler, οι τιμές των οποίων εξετάζονται παρακάτω. Σημειώνεται ότι η Εξίσωση μπορεί να εξαχθεί βάσει της εναλλακτικής υπόθεσης ότι η εδαφική αντίδραση εξαρτάται από ανώτερες παραγώγους της μετατόπισης q k u k u k u () () c (6) θεώρηση που δεν περιλαμβάνει κατανεμημένες ροπές και στην οποία οι παράγωγοι περιττής τάξης δεν έχουν συμπεριληφθεί για προφανείς λόγους. Τονίζεται ότι παρά τη σύμπτωση των

4 εξισώσεων ισορροπίας, η παραπάνω παραδοχή δεν είναι ισοδύναμη με το επαυξημένο προσομοίωμα Winkler του Σχήματος 1β (Αγαπάκη 01). Σύμφωνα με το τριπαραμετρικό μοντέλο Winkler, η δυσκαμψία ενός απειρομήκους πασσάλου εδραζόμενου σε ομοιογενές έδαφος υπολογίζεται από τις εξισώσεις ( E I)' ( E I)' HR (7) (8) ( E I)' (9) όπου EI ' EI cesd (10) και λ, μ οι παράμετροι Winkler (με διαστάσεις 1/Μήκος) και E I η καμπτική στιφρότητα της διατομής του πασσάλου. Οι δύο παράμετροι Winkler λαμβάνονται από τις σχέσεις (Shanchez-Saliner 198, Αγαπάκη 01): k k φ 1 EI' ( EI)'k k k φ 1 EI' ( EI)'k (11) (1) Για πάσσαλο ελεύθερο να στραφεί στην κεφαλή, η πλευρική δυσκαμψία για επιβαλλόμενη δύναμη υπό μηδενική ροπή προκύπτει H E ' 3 I (13) Τέλος, για λ=μ και (E I) =E I, οι παραπάνω σχέσεις μεταπίπτουν στις Εξισώσεις 1 και 3.. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Θεωρώντας γνωστές τις στριφρότητες Κ ΗΗ, HR και Κ, είναι δυνατόν να προσδιοριστούν οι σταθερές δ, δ φ και δ c του μοντέλου ακολουθώντας αντίστροφη ανάλυση. Συγκεκριμένα, από τις Εξισώσεις 7-9 προκύπτει η έκφραση για την καμπτική στιφρότητα E HR I ' (1) η οποία ισχύει στο συμβατικό προσομοίωμα Winkler και επιτρέπει, μέσω της Εξίσωσης 10, τον προσδιορισμό της σταθεράς δ c βάσει των συντελεστών δυσκαμψίας στην κεφαλή του πασσάλου EI c 1 Esd EI HR (15)

5 Η χρήση της απόλυτης τιμή HR στην Εξίσωση 15 ισχύει για δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα συστήματα αναφοράς. Με πρόσθεση των Εξισώσεων 11 και 1 κατά μέλη και μετά από συνδυασμό των Εξισώσεων 7 και 9, προκύπτει η σταθερά k ο k EI c Esd (16) Με συνδυασμό των Εξισώσεων 5α και 16 λαμβάνουμε ότι EI d c Esd (17) Με διαίρεση κατά μέλη των Εξισώσεων 11 και 1, προκύπτει η σταθερά k φ φ k ( EI)'( ) (18) Άρα, από την Εξίσωση 18 λαμβάνοντας υπόψη τις Εξισώσεις 7-10 και 1, η σταθερά δ φ δίνεται ως συνάρτηση των συντελεστών δυσκαμψίας EI EI d d φ c c 3 Es d Es d Es d HR (19) Δεδομένου ότι οι συντελεστές δυσκαμψίας γράφονται στην πιο εύχρηστη μορφή 3 Es d, HR HREs d, R REs d (0α,β,γ) από τις Εξισώσεις 15, 17, 19 και 0 προκύπτουν οι απλούστερες εκφράσεις HR ο HR 1 φ HR E I Esd HR c 1 Esd EI (1) () (3) όπου χ, χ HR, χ αδιάστατες σταθερές, οι οποίες είναι διαθέσιμες στη βιβλιογραφία. Συγκεκριμένα, αντικαθιστώντας στις παραπάνω εκφράσεις τις ακριβέστερες διαθέσιμες σχέσεις για τα χ, χ HR, χ του Syngrs (00) οι οποίες έχουν τροποποιηθεί ως εξής 1/ 1/ 3/ Ε Ε Ε 0.75, HR 0.1, 0.15 Es Es Es (α,β,γ) και τη ροπή αδράνειας της κυλινδρικής διατομής του πασσάλου I = πd /6, οι Εξισώσεις 1- απλοποιούνται στις ακόλουθες

6 1/ Ε Ε ο 1, φ 0.1, c (5) Es Es οι οποίες αρκούν για την εφαρμογή της μεθόδου. Η αντίστοιχη έκφραση για τη σταθερά δ του μονοπαραμετρικού προσομοιώματος προκύπτει ως δ ο =1.17, η οποία είναι φυσιολογικά μεγαλύτερη από τον αντίστοιχο συντελεστή στην Εξίσωση 5 και βρίσκεται σε καλή συμφωνία με τις προτάσεις μεταξύ άλλων του Syngrs (00) και Gazetas (1991). 5. ΜΕΓΙΣΤΕΣ ΚΑΜΠΤΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ Για πάσσαλο ελεύθερο στην κεφαλή του, η μέγιστη καμπτική ροπή βρίσκεται σε βάθος z=π/λ και προκύπτει από τη λύση της Εξίσωσης για συνοριακές συνθήκες Q(0)=P και M(0)=0. Αποδεικνύεται ότι για την καμπτική ροπή στην κεφαλή ισχύει (Αγαπάκη, 01) M z 3 z e sin z P (6) Η μέγιστη καμπτική ροπή για το τριπαραμετρικό προσομοίωμα προκύπτει ίση με M Pd max 1/ E M Es (7) όπου ο αδιάστατος συντελεστής χ Μ είναι ίσος με 0.1. Για το μονοπαραμετρικό προσομοίωμα, ο αντίστοιχος συντελεστής είναι ίσος με 0.13 και υποδηλώνει ότι το μονοπαραμετρικό προσομοίωμα υπερεκτιμά τη ροπή στην κεφαλή έναντι του τριπαραμετρικού κατά 10% περίπου. Αναφορικά με πάσσαλο δεσμευμένο έναντι στροφής στην κεφαλή του, ισχύει η Εξίσωση 7 με χ Μ =0.8 και με τη μέγιστη ροπή να αναπτύσσεται στην κεφαλή. Με αντίστοιχους υπολογισμούς για το μονοπαραμετρικό προσομοίωμα λαμβάνουμε χ Μ =0.3, το οποίο φανερώνει ότι το εν λόγω μοντέλο υπερεκτιμά τη ροπή στην κεφαλή κατά περίπου 0%. 6. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Οι τρεις σταθερές Winkler απεικονίζονται στο Σχήμα. 100 Winkler cnstants 10 1 δ c δ δ E / E s 3-arameter Winkler mdel 1-arameter Winkler mdel Mdified Syngrs Σχήμα. Σταθερές Winkler για πάσσαλο σε ομοιογενές έδαφος, συναρτήσει του E /E s Figure. Winkler cnstants fr a ile in hmgeneus sil as functin f E /E s

7 Παρατηρούμε ότι η αδιάστατη παράμετρος δ ο στο τριπαραμετρικό προσομοίωμα λαμβάνει τιμές μικρότερες από ότι στο μονοπαραμετρικό, και δεν μεταβάλλεται με τη σχετική δυσκαμψία πασσάλου-εδάφους, Ε /E s. Αντίθετα οι παράμετροι δ φ και δ c παρουσιάζουν έντονη αύξηση με το Ε /E s. / Esd arameter Winkler mdel 1-arameter Winkler mdel Mdified Syngrs Gazetas (1991) Davies & Budhu (1986) HR / Esd / Esd H / Esd Free Head E / E s Σχήμα 3. Συντελεστές δυσκαμψίας πασσάλου για ομοιογενές έδαφος (ν = 0.5, ν s = 0.) Figure 3. Pile stiffness cefficients fr hmgeneus sil (ν = 0.5, ν s =0.) 3,0,5 1-arameter Winkler mdel 3-arameter Winkler mdel Randlh (1981) M max / Pd,0 1,5 1,0 Fixed Head Free Head 0,5 0, E / E s Σχήμα. Μέγιστες καμπτικές ροπές πασσάλων, υπκείμενων σε πλευρικό φορτίο P, για διάφορες συνοριακές συνθήκες στην κεφαλή και λόγους στιφρότητας (ν s = 0.) Figure. Maximum bending mments n a ile with different bundary cnditins at the head under a hrizntal lad P, fr different ile-sil stiffness cntrasts (ν s = 0.) Στο Σχήμα 3 (α-γ) παρουσιάζονται οι συντελεστές δυσκαμψίας για πάσσαλο πακτωμένο στην κεφαλή (Εξισώσεις 1 & 7-9) συναρτήσει του λόγου στιφρότητας Ε /E s. Παρατηρείται ότι οι σχέσεις για τους συντελεστές δυσκαμψίας του τριπαραμετρικού προσομοιώματος είναι σε πολύ καλή συμφωνία με τις αντίστοιχες εκφράσεις της βιβλιογραφίας. Σε σύγκριση με το μονοπαραμετρικό μοντέλο, οι συντελεστές δυσκαμψίας παρουσιάζουν μικρή απόκλιση ειδικά

8 για τον όρο Κ HR. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 3δ, για πάσσαλο ελεύθερο στην κεφαλή του, παρατηρούμε ότι το τριπαραμετρικό μοντέλο υπερεκτιμά τον συντελεστή δυσκαμψίας σε οριζόντια μετάθεση συγκριτικά με άλλες λύσεις. Αναφορικά με το λόγο στιφρότητας, είναι προφανές ότι η αύξηση του λόγου Ε /E s συνεπάγεται αύξηση της δυσκαμψίας. Στο Σχήμα γίνεται σύγκριση των μέγιστων ροπών στην κεφαλή και σε βάθος z=π/λ για πακτωμένο και ελεύθερο στην κεφαλή πάσσαλο, αντίστοιχα, με αυτές της βιβλιογραφίας (Randlh 1981). Υπάρχει καλή σύγκλιση της λύσης Randlh με την αντίστοιχη αναλυτική του τριπαραμετρικού μοντέλου Winkler για μικρούς λόγους δυσκαμψίας πασσάλου-εδάφους (από ) σε αντίθεση με το κλασικό μοντέλο Winkler. Για μεγαλύτερες τιμές του λόγου, η αριθμητική λύση προσεγγίζει αυτή του μονοπαραμετρικού μοντέλου Winkler. 7. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Τα κύρια συμπεράσματα της παρούσας εργασίας συνοψίζονται στα παρακάτω: Το προτεινόμενο προσομοίωμα εμπεριέχει τρεις εδαφικές σταθερές και συνεπώς μπορεί να αναπαράγει ταυτόχρονα και τους τρεις συντελεστές δυσκαμψίας στην κεφαλή του πασσάλου, έναντι του μονοπαραμετρικού προσομοιώματος που συνήθως βαθμονομείται ώστε να αναπαράγει μόνο την στιφρότητα σε οριζόντια μετάθεση της κεφαλής. Το προτεινόμενο προσομοίωμα βελτιώνει την εκτίμηση των μέγιστων ροπών σε πλευρικά φορτιζόμενους πασσάλους έναντι του κλασικού μονοπαραμετρικού μοντέλου. Τα παραπάνω επιτυγχάνονται χωρίς ουσιαστική αύξηση της πολυπλοκότητας της ανάλυσης, καθώς η τάξη της διαφορικής εξίσωσης και οι συνοριακές συνθήκες στα δύο άκρα του πασσάλου δεν μεταβάλλονται έναντι του κλασικού προσομοιώματος. 8. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Οι συγγραφείς αναγνωρίζουν τη συμβολή της υποψήφιας διδάκτρος κας Ξένιας Καρατζιά στην επιμέλεια του κειμένου του άρθρου. 9. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Αγαπάκη, Ε. (01). Αναλυτικές λύσεις Winkler ανώτερης τάξης για εύκαμπτους πασσάλους και τοίχους, Διπλωματική Εργασία, ΠανεπιστήμιοΠατρών Buckingham, E. (191), On hysically similar systems; illustratins f the use f dimensinal equatins, Physical Review Gazetas, G. (1991). Fundatin Vibratins, in Fundatin Engineering Handbk, (H.Y. Fang, ed.), Van Nstrand Reinhlds, New Yrk, Filnenk-Brdich, M.M. (190), Sme arximate theries f the elastic fundatin, (in Russian), Uchenyie Zaiski Mscvskg Gsudarstuenng Universiteta Mechanika 6. Hetenyi, M. (196), Beams n elastic fundatins, University f Michigan Press. RandlhM. F. (1981), The resnse f flexible iles t lateral lading, Getechnique 31, N., Sanchez Saliner, I. (198), Static and Dynamic Stiffness f Piles., Getechnical Engineering rert GR 8-31, The University f Texas at Austin. Syngrs,. (00), Seismic resnse f iles and ile-surted bridge iers evaluated thrugh case histries. PhD., City University f New Yrk, Pasternak, P. L. (195) On a New Methd f Analysis f an Elastic Fundatin by Means f Tw Cnstants Gsudarstvenne Izdatelstv Literaturi Stritelstvui Arkhitekture, Mscw. Vlasv, V. Z. and U. N. Lentiev (1966), Beams, Plates, and Shells n Elastic Fundatin. Israel Prgram fr Scientific Translatins, Jerusalem (translated frm Russian). Wieghardt,. (19), Uber den Balkennachgiebiger Unterlage, ZAMM, Winkler, E. (1867), Die Lehre vn der Elastizitat und Festiget, Dminicus, Prague.