ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α"

Transcript

1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της μορφής G() = F() + c, c R είναι παράγουσες της στο Δ και κάθε άλλη παράγουσα G της στο Δ παίρνει τη μορφή G() = F() + c, c R ii. Αν c>, τότε ποιο εμβαδόν εκφράζει το cd ; β α i. Κάθε συνάρτηση της μορφής G() = F() + c, όπου c R, είναι μια παράγουσα της στο Δ, αφού G () = (F() + c) = F () = (), για κάθε. Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της στο Δ. Τότε για κάθε ισχύουν F () = () και G () = (), οπότε G () = F (), για κάθε. Άρα υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε G() = F() + c, για κάθε. β ii. Αν c>, τότε το cd εκφράζει το εμβαδόν ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου με α βάση β-α και ύψος c.

2 Άσκηση i. Έστω μία συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [ αβ, ]. Αν G είναι μια παράγουσα της β στο [ αβ, ], τότε να αποδείξετε ότι (t)dt = G( β ) G( α). α ii. Έστω, g συνεχείς συναρτήσεις στο [ αβ, ] και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις C,C, και τις ευθείες = α και = β. g Να ορίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω, αν () g() για κάθε αβ [, ]. i. Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση F() = (t)dt είναι μια παράγουσα της στο [ αβ, ]. α Επειδή και η G είναι μια παράγουσα της στο [ αβ, ], θα υπάρχει c R τέτοιο, ώστε G() = F() + c. () Από την (), για = α, έχουμε α G( α ) = F( α ) + c= (t)dt+ c= c, οπότε c = G( α ). α Επομένως, G() = F() + G( α ), οπότε, για = β, έχουμε β G( β ) = F( β ) + G( α ) = (t)dt + G( α) και άρα (t)dt = G( β ) G( α) α. β α β E () g() d ii. = [ ] α

3 Άσκηση 3 Έστω η συνεχής συνάρτηση :[ αβ, ] R. Ποια σχέση δίνει το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, τον άξονα και τις ευθείες =α, =β; β Η σχέση είναι: E( Ω ) = ()d. α 3

4 Άσκηση 4 i. Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ; ii. Έστω, g συνεχείς συναρτήσεις στο [ αβ, ] και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις C,C και τις ευθείες = α και = β. Να ορίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω, αν η g διαφορά () g() δεν έχει σταθερό πρόσημο στο διάστημα [ αβ, ]. i. Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει F () = (), για κάθε. ii. β E = () g()d. a 4

5 Άσκηση 5 Έστω μια συνάρτηση συνεχής στο [ αβ, ] και Ω το χωρίο που περικλείεται από την άξονα και τις ευθείες = α και = β. Να ορίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω. αν () αν () αν η δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [ αβ, ]. C, τον Αν () το εμβαδόν Ω του επιπέδου χωρίου που ορίζεται από τη C και τις β ευθείες =α, =β και τον άξονα ' είναι E( ) ()d Ω =. Αν () το εμβαδόν Ω του επιπέδου χωρίου που ορίζεται από τη C και τις β ευθείες =α, =β και τον άξονα ' είναι E( Ω ) = ( ())d. Αν η δε διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [ αβ, ] το εμβαδόν Ω του επιπέδου χωρίου που ορίζεται από τη β E( Ω ) = () d. α C και τις ευθείες =α,=β και τον άξονα ' είναι α α 5

6 Άσκηση 6 (εκτός εξεταστέας ύλης) i. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού. ii. Αν η είναι συνεχής στο διάστημα Δ ποια είναι η παράγωγος της συνάρτησης: g() F() = (t)dt με την προϋπόθεση ότι τα χρησιμοποιούμενα σύμβολα έχουν νόημα. α i. Έστω μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [ αβ, ]. Αν G είναι μια παράγουσα της β στο [ αβ, ], τότε: (t)dt = G( β ) G( α). α Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση F() = (t)dt είναι μια παράγουσα της στο [ αβ, ]. Επειδή α και η G είναι μια παράγουσα της στο [ αβ, ] θα υπάρχει c R τέτοιο, ώστε G() = F() + c. () Από την (), για = α, έχουμε α G( α ) = F( α ) + c= (t)dt+ c= c, οπότε c = G( α ). Επομένως, G() = F() + G( α ), οπότε, α β β για = β, έχουμε G( β ) = F( β ) + G( α ) = (t)dt + G( α) και άρα (t)dt = G( β ) G( α). α α g() ii. ( (t)dt α ) = (g()) g () 6

7 Άσκηση 7 (εκτός εξεταστέας ύλης) Θεωρούμε μια συνεχή συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και έστω α. Ποια είναι η παράγωγος της συνάρτησης F() = (t)dt, ; α F () = (). 7

8 ΘΕΜΑ Β Άσκηση (εκτός εξεταστέας ύλης) Δίνονται οι συναρτήσεις: και F() 3 3 () = n(t 8)dt = (u)du. i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και της F. ii. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση F είναι κυρτή ή κοίλη και να βρεθούν τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης. iii. Να αποδείξετε ότι () για κάθε > iv. Να αποδείξετε ότι η F είναι γνησίως αύξουσα. i. Θεωρούμε τη συνάρτηση Φ (t) = n(t 8). Είναι: t 8> t > 8 t > t (, ) (, + ) άρα η ϕ έχει πεδίο ορισμού το A = (, ) (, + ) στο οποίο είναι και συνεχής. Οπότε για την έχουμε: (, + ), αφού 3 (, + ). Για την F είναι: Η ορίζεται στο διάστημα (, + ) και επειδή 3 (, + ) είναι: >. Άρα D F = (, + ). ii. Οι συναρτήσεις, F είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο (, + ) με F () = () και F (X) = () = n( 8) για κάθε >. Είναι: F () = n( 8) = n( 8) = n 8 = = 3, αφού >. (Η συνάρτηση ln ειναι-) < < < < < 3 < < 3. F () n( 8) 8 9 Αφού > (η συνάρτηση ln είναι γνησίως αύξουσα). Άρα η F είναι κοίλη για κάθε (,3). 8

9 Όμοια: F () > > 3 Άρα η F είναι κυρτή για κάθε > 3. Επομένως, το σημείο M(3, F(3)) = (3, ) είναι το μοναδικό σημείο καμπής της C F. iii. Είναι: F () = () για κάθε (, + ). Άρα, οι ρίζες και το πρόσημο της ταυτίζονται με τις ρίζες και το πρόσημο της F δηλαδή: () < < < 3 από ii) και () > > 3 από ii). Επομένως η παρουσιάζει στο = 3 ολικό ελάχιστο, οπότε: () (3) () για κάθε (, + ). iv. Είναι: F () = () για κάθε (, + ) (από iii.) και η ισότητα ισχύει μόνο για = 3. Επομένως, η F είναι γνησίως αύξουσα. 9

10 Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση : R R με: () = i. Να δείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται. ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. iii. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της αν. iv. Να υπολογίσετε το όριο: lim + (t)dt. i. Για κάθε R η είναι παραγωγίσιμη με (6 + 3)( + ) ( + 3) () = = = + ( + ) ( + ) = = > ( + ) 4 Αφού > για κάθε R. Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο R, οπότε είναι και -, επομένως αντιστρέφεται. ii. Έπειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο R το σύνολο τιμών της θα είναι ( lim ( ), lim ( ) ) + Είναι: lim () = lim = lim = lim = lim () = lim = lim = lim = Άρα ( R ) = (lim (), lim ()) = (, + ). + iii. Η συνάρτηση είναι συνεχής, ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών συναρτήσεων, στο R άρα δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη. Θα μελετήσουμε τη συνάρτηση αν έχει πλάγια ή οριζόντια ασύμπτωτη.

11 Είναι: lim () = lim = lim = lim = lim [ () ] = lim = lim lim = = + + = lim = lim =. Άρα η ευθεία y = είναι πλάγια ασύμπτωτη της C στο iv. Έχουμε: t + 3t t + t + t (t)dt = dt = dt = t + t t(t + ) + t t t = dt t dt tdt dt = + = + = t + t + t + (t + ) = t + dt = + ln(t + ) = + ln( + ) ln = t + + ln( + ) Άρα + ln( + ) = = = (t)dt lim (t)dt lim lim lim + lim lim = + = + ( ) ln( ) ln( ) (ln( )) ( + ) = + lim + = + lim = + =

12 Άσκηση 3 (εκτός εξεταστέας ύλης) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : R R με () = ln (t)dt +. i. Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη. ii. () Να αποδείξετε ότι η g() = είναι σταθερή και να βρείτε την. () iii. Να υπολογίσετε τα όρια: lim + 5 και () lim 5 i. Έχουμε: () = ln (t)dt + (). Θέτουμε t = u,οπότε dt = du και για t = u = για t = u = Οπότε η () γράφεται: () = ln (u)du + (). Η (u) είναι συνεχής άρα η (u)du είναι παραγωγίσιμη οπότε και παραγωγίσιμη με () = (ln (u)du + ) = ln() (3) ii. Θα δείξουμε ότι g () =. Για κάθε R έχουμε: () () ()( ) g () = = = ( ) (3) () () ln () ()ln = = οπότε ( ) g( ) = c άρα ( ) = c. ( ) = c () = c αλλά () = (από ()), άρα c= οπότε () =.

13 iii. Είναι: () lim = lim = lim + =, αφού < <. 5 () lim = lim = lim =

14 Άσκηση 4 (εκτός εξεταστέας ύλης) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει: κάθε R. () = + (t )dt για i. Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη. ii. Να βρείτε τη συνάρτηση. iii. Να βρείτε το όριο: lim (). iv. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της. i. Έστω Επίσης: g() = (t )dt. Θέτουμε t = u t = + u, οπότε είναι dt = du. για t = είναι u = για t = είναι u = Έχουμε: g() = (u)du Επομένως, η σχέση της υπόθεσης γίνεται: () = + (u)du () Η είναι συνεχής άρα η () = (u)du είναι παραγωγίσιμη ως αρχική της. Επίσης η () = παραγωγίσιμη, οπότε η παραγωγίσιμη, ως άθροισμα παραγωγισίμων συναρτήσεων. ii. Από τη σχέση () του i) με παραγώγιση και των δύο μελών έχουμε: = + = = () () () () () () ( ()) = () () = + c () = + c () Αλλά η () για = γίνεται: () = (3) Η () για = δίνει: (3) () = c c =. Άρα: () =. iii. Είναι: + lim () = lim ( ) = lim = lim =, αφού = = +. lim lim 4

15 iv. Από iii) έχουμε: lim () =, επομένως η ευθεία y= είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C στο. Επίσης: () = = = +. lim lim lim ( ) C δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο +. Και τέλος επειδή η είναι συνεχής στο Επομένως η R, ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων, η C δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη. 5

16 Άσκηση 5 (εκτός εξεταστέας ύλης) Δίνεται η συνάρτηση με () = ln(6 t )dt. i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. ii. Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε την παράγωγό της. iii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο A(4,(4)). iv. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι κυρτή ή κοίλη και να βρεθούν τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης i. Θεωρούμε τη συνάρτηση Είναι: ϕ (t) = ln(6 t ). 6 t t ( 4, 4) άρα η φ ορίζεται στο διάστημα A = ( 4, 4), οπότε πρέπει: ( 4, 4) και 4< < 4 < < 6 ( 4, 4) Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι το D = (, 6). ii. Η συνάρτηση ϕ (t) = ln(6 t ) είναι συνεχής στο ( 4, 4) και η K() = παραγωγίσιμη στο διάστημα (,6) άρα και η είναι παραγωγίσιμη στο (,6) ως σύνθεση παραγωγισίμων συναρτήσεων με () = ( ln(6 t )dt) = ln[6 ( ) ] ( ) = ln( ). (4) = ln(6 t )dt = iii. Έχουμε: και (4) = ln( ) = ln οπότε η εξίσωση της C στο A(4,(4)) είναι: ε: y (4) = (4)( 4) ή ε: y = ln( 4) ή ε : y = ln() 4ln 6

17 iv. Για κάθε (,6) έχουμε: + + = + + = = () (ln( 4 )) + 4 ( 4) = = ( 4 ) Είναι: () ( 4) ( 4) 4 4 αφού 4 < στο (,6). Άρα η είναι κοίλη στο διάστημα [4,6). Όμοια () 4. Άρα η είναι κυρτή στο διάστημα (, 4]. H αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του 4 και επίσης ορίζεται εφαπτομένη της A(4,(4)), οπότε το A(4,(4)) = (4,) είναι σημείο καμπής. C στο 7

18 Άσκηση 6 (εκτός εξεταστέας ύλης) Δίνεται η συνεχής και άρτια συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει: 5 () 3 () = 3 (t)dt 4 i. Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο ii. Να βρείτε τη συνάρτηση. iii. Να βρείτε τον τύπο της. * R. iv. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: I = ()d. i. Για έχουμε: () = (t)dt 8 4 () η οποία είναι παραγωγίσιμη διότι: Η είναι συνεχής οπότε η (t)dt είναι παραγωγίσιμη και επειδή παραγωγίσιμη και (t)dt 4 4 παραγωγίσιμη. Επίσης 8 παραγωγίσιμο οπότε () = (t)dt 8 * παραγωγίσιμη στο R. ii. Από τη σχέση () για παραγωγίζοντας έχουμε: 3 () + 3 () = 3 () () = iii. Από ii) έχουμε: 3 = για κάθε () 4. Αν >, τότε: 4 () = + C (3) Για = η () δίνει: 6 () = 768 () = 8 Για = η (3) δίνει: () = 6 + C οπότε: 6 + C = 8 C = 3. Άρα 4 () = + 3 για κάθε >. Αν <, τότε: 4 () = + C (4) Για = έχουμε: ( ) = 6 + C και επειδή άρτια 8

19 ( ) = () 6 + C = 8 C = 3 Άρα 4 () = + 3 για κάθε < Αν =, τότε επειδή συνεχής έχουμε: Άρα 4 () = + 3 για κάθε R. 4 () = lim () = lim( + 3) = 3 iv. Είναι: 4 I ()d ( 3)d = = + = 5 = [ + 3] = 5 5 = + 3 [ ( ) + 3 ( )] = = (64 64) =. 9

20 Άσκηση 7 (εκτός εξεταστέας ύλης) Δίνεται η συνάρτηση: () = 3 + t ηµ ( + t)dt, με R (). i. Να βρείτε την (). ii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο M(, ()). iii. Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα. i. Θέτουμε: + t = u dt = du. Για t = έχουμε: u = Για t = έχουμε: u =. Οπότε η () γράφεται: () () = 3 + (u ) ηµ udu () = 3 uηµ udu + ηµ udu Άρα για κάθε R έχουμε: (3) () = 6 ηµ + ηµ udu + ηµ () = 6 + ηµ udu ii. Η () για = δίνει: () = Επίσης η (3) για = δίνει: () =. Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της y () = ()( ) ή y = ( ) ή y=. C στο M(, ()) έχει εξίσωση: iii. Για κάθε R έχουμε: () = (6 + ηµ udu) = 6 + ηµ >, αφού ηµ για κάθε R. Άρα η είναι κυρτή στο R

21 ΘΕΜΑ Γ Άσκηση (εκτός εξεταστέας ύλης) Δίνονται οι συναρτήσεις () = 3ln 3 και i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g g() = (t)dt. ii. Να μελετήσετε την g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. iii. Να αποδείξετε ότι: 3 9 g(). 4 4 iv. Να μελετήσετε τη συνάρτηση K() = g(3 ) ως προς τη μονοτονία, αν > i. Το πεδίο ορισμού της είναι: D = (, + ) στο οποίο είναι και συνεχής. Επειδή (, + ) το πεδίο ορισμού της g είναι: D = (, + ). g ii. Η συνάρτηση είναι συνεχής, άρα η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη, με g () = (t)dt = () = 3ln + 3. ( ) Έχουμε: g () > 3ln + 3 > 3(ln ) > ln < <, αφού (, + ). Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο (,], όμοια g γνησίως φθίνουσα στο [, + ) οπότε η g παρουσιάζει στο = ολικό μέγιστο. iii. Έχουμε: g() g() (), αφού η g παρουσιάζει στο = ολικό μέγιστο αλλά g() = (3ln 3)d = 3 lnd 3 d = = 3 lnd 3 =

22 3 3 = 3 ln 3 ( ln) d + = = 3 ln ln d + = = ln + = 3 9 =. () 4 4 Από (),() έχουμε: 3 9 g(). 4 iv. Η συνάρτηση είναι συνεχής και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη οπότε και η συνάρτηση Κ είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο ( ) = = = = 3 K () (t)dt (t)dt (3 )(3 ) 3 3 = 6(3 ) = 6 [9 ln3 9 ] = 54 (ln3 ). Είναι: 3 K () = 54 (ln3 ) = ln3 =, αφού (, + ), ln3 = ln = =. 3 3 Επίσης: 3 K () > 54 (ln3 ) > ln3 < lnγν.αύξ. > ln3 < ln 3 < < <, άρα Κ γνησίως αύξουσα στο 3 (, ] 3. Όμοια Κ γνησίως φθίνουσα στο [, ) 3 +.

23 Άσκηση (εκτός εξεταστέας ύλης) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : (, + ) R για την οποία ισχύει: () (t)dt = + + (). i. Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη για κάθε >. ii. Να βρείτε τον τύπο της. iii. Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα. iv. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο A(, ()) και να αποδείξετε ότι: + ln 3 i. Εχουμε: () = + + (t)dt () Η είναι συνεχής στο (, + ), οπότε η (t)dt είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) άρα και (t)dt παραγωγίσιμη στο (, + ). Επομένως παραγωγίσιμη στο (, + ). ii. Η () γράφεται: () (t)dt = + + και παραγωγίζοντας έχουμε () + () = + + () () = + () = + () = ( + ln) Άρα () = + ln+ c () Η () για = δίνει: () = ενώ η () για = δίνει: () = + c. Επομένως: + c= c=. Άρα () = + ln, >. iii. Για κάθε > έχουμε: () ( ln) = + = + > και () = + = <, για κάθε >. Άρα η είναι κοίλη στο (, + ). 3

24 iv. Είναι: () = + ln = () = + = 3 Οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο Α είναι: y = 3( ) ή y = 3 και επειδή η () = + ln κοίλη (από iii.) έχουμε: + ln 3. Η ισότητα ισχύει για =. 4

25 Άσκηση 3 Εκφώνηση Δίνεται η συνάρτηση με τύπο () = + ln, >. i. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii. Να αποδείξετε ότι για κάθε >. iii. Αν ισχύει λ για κάθε > και λ> τότε να αποδείξετε ότι λ=. iv. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C και τις ευθείες με εξισώσεις = και =. i. Για κάθε > έχουμε: () = ln + = + = ( ) Είναι: () < <,άρα γνησίως φθίνουσα στο (,]. () > >,άρα γνησίως αύξουσα στο [, + ). Η για = παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. Δηλαδή ( ) ( ) με τιμή () = + = 4. ii. Θέλουμε να δείξουμε ότι για κάθε >. Ισχύει: ln ln ln ( ln ln) ln > ln + ln + ln + 4 () 4 που ισχύει από i). (Η συνάρτηση ln είναι γνησίως αύξουσα) 5

26 iii. Για κάθε > ισχύει: l ln lnl (ln ln) ( )lnl ln lnl+ lnl () Έστω η συνάρτηση g() = ln lnl+ ln l, > και λ>, τότε: g () = ln + lnl= ln lnl Από () έχουμε: g(), για κάθε >. Αλλά g() =. Άρα g() g() για κάθε >. Η g είναι παραγωγίσιμη και στο = εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της παρουσιάζει ακρότατο οπότε από το θεώρημα Frmat έχουμε: g () = ln lnl= l=. iv. Είναι: () = + ln, > Παρατηρούμε ότι: ln και >, οπότε: () > στο [, ], άρα E = ln d [ ln] lnd + = + = = ln + () lnd = 4 + [ ln] d = = 4 + ln ( ) = =

27 Άσκηση 4 (εκτός εξεταστέας ύλης) Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z = + i, R, και η συνάρτηση με τύπο () = z Im(z) ορισμένη στο R. i. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο. ii. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της. iii. Να αποδείξετε ότι () z + () =. i. Έστω z =α+βi, α, β R, τότε α= και β=, R. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο είναι η ευθεία =. ii. Είναι: z = + 4 και Im(z) =. Άρα () = + 4. Η είναι συνεχής στο R άρα δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη. Επίσης: = + = = + ( + ) lim () lim ( 4 ) lim lim =, αφού lim ( 4 ) = +. Άρα y= οριζόντια ασύμπτωτη της C στο () + 4 lim = lim = lim = 4 και [ ] ( ) lim () ( 4) = lim = = = ( + ) + ( ) lim ( 4 ) lim 4 + lim = Άρα y = 4 πλάγια ασύμπτωτη της C στο. 7

28 8 4 () = + 4 = = iii. Είναι: ( ) οπότε: 4 + = = + 4 () z ()

29 Άσκηση 5 Δίνεται η συνάρτηση : (, + ) R με () = ln. i. Να υπολογίσετε το εμβαδόν E( λ ) του χωρίου που περικλείεται από τη και τις ευθείες = και =λ>. C του άξονα ii. Να βρείτε το lim E( l ). + l iii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της M(, ( )). iv. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την παραπάνω εφαπτομένη, την C και τον άξονα. i. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Αν l l l E( l ) = ()d = ln d = () lnd ( l ) = λ> τότε: ( ) l l = [ ln] d l+ =llnl ( l ) l+ = =llnl l+ l+ =llnl l+ (Αφού < <λ το ln > ) Αν <λ<, τότε ( ) E( l ) = ( ())d = ln d = ( l) () lnd = λ λ λ [ ] l = l ln + (ln) d = l = l +lln l+ ( l ) =llnl l+. lnl ii.έχουμε: lim E( l ) = lim ( llnl l+ ) = lim llnl + = lim + = l l l l l (ln l) = lim + = lim l lim ( ) l l + = l + =. l l l 9

30 iii. Η εξίσωση της εφαπτομένης της y () = ()( ) Αλλά ( ) = ln = και ( ) C στο σημείο Άρα η εξίσωση είναι: y ( ) =. Aφού ( ) =. = ή y M(, ( )) είναι: = iv. Για κάθε > έχουμε: () = <, άρα κοίλη, οπότε η γραφική παράσταση της εφαπτομένης στο Μ βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της. Επομένως: E = d ( ln ) d = 4 ( ) = lnd + = () lnd + = = [ ln] + d ln ln + = = = = ( ) τ.μ. 3

31 Άσκηση 6 (εκτός εξεταστέας ύλης) Δίνεται η συνάρτηση : (, ) i. Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη. u (t) + R για την οποία ισχύει: ( ). () = 3 3 dt du ii. Να αποδείξετε ότι η είναι κοίλη. g() = () είναι σταθερή. ln3 iii. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g με ( ) () iv. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο M(, ()). i. Έστω: (t) ϕ (t) = 3 και u (t) h(u) = 3 dt Η φ είναι συνεχής, άρα η h είναι παραγωγίσιμη οπότε και συνεχής οπότε παραγωγίσιμη. Επομένως παραγωγίσιμη. g() = h(u)du ii.για κάθε (, + ) έχουμε: για κάθε > για κάθε >. Άρα κοίλη. (t) () = 3 3 dt + 3 (t). αφού () = 3 h(u)dt άρα () () = 3h() + 3 = 3 3 dt + 3 οπότε () = 3 3 < iii. Για κάθε > έχουμε: 3 () g () = () () + 3 ln3 () = ln3 = + = () () () 3 3 αφού () () = 3 3. iv. Είναι: () = 3 και () = 3. Άρα η εφαπτομένη στο Μ έχει εξίσωση y 3 = 3( ) ή y = 3 3 3

32 Άσκηση 7 Δίνεται η συνάρτηση 3 () = + +. i. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία. ii. iii. Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. iv. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: I = ()d i. Η έχει πεδίο ορισμού το R, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με κάθε R. Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο R. () = > για ii. Από i) έχουμε ότι γνησίως αύξουσα στο R, άρα είναι - οπότε αντιστρέφεται. iii. Η είναι γνησίως αύξουσα στο R, άρα το σύνολο τιμών της είναι: (R) = (lim (), lim ()). + Είναι: = + + = = lim () lim ( 3 ) και lim () lim ( 3 ) + + = + + = +. Άρα ( R ) = (, + ). Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι: D = ( R ) = (, + ). iv. Είναι: I ()d =. Θέτουμε = (y), οπότε είναι: d = (y)dy. Επίσης: () = και () =. Άρα τα νέα άκρα ολοκλήρωσης είναι και. Επομένως: I = ()d = ( (y)) (y)dy = y (y)dy = [y(y)] (y) (y)dy = 4 y 3 y y y = () (y)dy = () ( y y )dy [ y] + + = + + = = + + = + 3= [ ( )] 3

33 ΘΕΜΑ Δ Άσκηση (εκτός εξεταστέας ύλης) Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις : R R με ισχύει: () = 3 3 και g: R R για τις οποίες () 3 g( + t)dt για κάθε R. Να αποδείξετε ότι: i. g(t)dt =. ii. Υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), τέτοιο ώστε g(t)dt =. iii. Η συνάρτηση ( ) ( ) F = g t dt είναι παραγωγίσιμη με F () = g(t)dt + g(). iv. Η εξίσωση g() + g(t)dt = έχει μία τουλάχιστον λύση στο (, ). i. Έστω h() = g( + t)dt. Θέτουμε u = + t έτσι du = dt. Αν t =, τότε: u =. Αν t =,τότε: u = +.Άρα + h() = g(u)du + +. Οπότε έχουμε: () 3 g(u)du g(u)du Θεωρούμε τη συνάρτηση: + K() g(u)du K() =, τότε: K() για κάθε R. Η Κ ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Frmat δηλαδή είναι παραγωγίσιμη και έχει ακρότατο στο = άρα K () = (). Όμως ( α ) = + = K () g(u)du 3 α g(u)du + g(u)du 33

34 ( ) g(u)du 3 g() + g( + ) () Οπότε από (),() έχουμε: 6 3 g(u)du = g(u)du = Δηλαδή το ζητούμενο. ii. Θεωρούμε τη συνάρτηση: ϕ () = g(t)dt. Η συνάρτηση g είναι συνεχής άρα η g(t)dt είναι παραγωγίσιμη οπότε και συνεχής. Επομένως η συνάρτηση ϕ είναι συνεχής στο [,]. Επίσης: ϕ() ϕ () = ( ) g(t)dt = ( )( ) = <. Άρα από το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), τέτοιο ώστε:. ϕ ( ) = g(t)dt = g(t)dt = iii. Είναι: g συνεχής άρα g(t)dt παραγωγίσιμη ως αρχική της g. F () = g(t)dt = g(t)dt + g() Άρα F παραγωγίσιμη με ( ). iv. Είναι: συνεχής ως παραγωγίσιμη στο R, άρα και στο [, ]. F παραγωγίσιμη στο (, ) (από iii) με F() = F( ), αφού: F() = F () = g(t)dt + g(). F( ) = g(t)dt = Άρα από το θεώρημα του Roll υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) (, ) τέτοιο ώστε: ξ F ( ξ ) = g(t)dt +ξg( ξ) =. 34

35 Άσκηση Δίνεται η συνάρτηση με τύπο () = + ln +, >. i. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα της. ii. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της. iii. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 4), τέτοιο ώστε ( ξ ) = 3 ξ. iv. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, τον άξονα και τις ευθείες = και =. i. Η είναι παραγωγίσιμη για κάθε > με () ln = + + = + = και επειδή () > > και () < < η είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ) και γνησίως φθίνουσα στο (,] και για = παρουσιάζει ακρότατο το () = + ln + = 3. ii. Είναι: + ln + lim () = lim ( + ln + ) = lim = + + ln (ln) αφού lim (ln) = lim = lim = lim ( ) = Άρα = κατακόρυφη ασύμπτωτη της C. () ln ln Επίσης ισχύει: lim = lim + + lim + = + + = + + αφού αφού + ln + ( ln) lim = lim = lim = () lim ln = +. + και lim () = lim ln = + + Άρα η C δεν έχει ασύμπτωτες στο +. 35

36 iii. Έστω g() = () 3 η οποία είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων στο [,4] και για την οποία ισχύει: g() g(4) < αφού g() = () 3 = + ln + = > 3 3 g(4) = (4) 3 = + ln4 + 3 <. 4 Άρα από το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 4) τέτοιο ώστε g( ξ ) = ( ξ ) = 3 ξ. iv. Είναι: ln και >. Άρα () = + ln + > για κάθε [, ]. Επομένως έχουμε: = + + = + + = E ln d d lnd ( ) [ ] = ln + () lnd + = [ ] = (ln ln) + ln d + = = + ln ( ) + = + τ.μ 36

37 Άσκηση 3 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο ln () = +l + 3, > και λ R. i. Αν η εφαπτομένη της C στο A(, ()) είναι παράλληλη προς την ευθεία () ε με εξίσωση ε : y = 3 να υπολογίσετε το λ. ii. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. iii. Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της C στο +. iv. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, την ασύμπτωτη της C στο + και τις ευθείες με εξισώσεις: = και =. i. Για κάθε > έχουμε: ln ln ( ln ) ln () () = +l + 3 = +l= +l= ln ln = +l () = +l. Ο συντελεστής της εφαπτομένης της C στο A(, ()) είναι: () = +λ= +λ και επειδή είναι παράλληλη προς την ευθεία ε ισχύει: +λ= 3 λ=. Άρα ln ln () = + + 3, > και () = +. ln ln + ii. Για κάθε > είναι: () = + =. Έστω g() = ln +, >. Είναι: g () = = > g () = =. 37

38 > > g () > > > > >. Άρα g γνησίως αύξουσα στο[, + ) Όμοια g γνησίως φθίνουσα στο (,]. Δηλαδή η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. Επομένως: g() g() g() 3 >, άρα () > για κάθε >, οπότε η δεν έχει ακρότατα και είναι γνησίως αύξουσα. iii. Είναι: lim + + ln () = lim = + ln 3 lim + + = + + =, αφού + ln + ( ln) lim = lim = lim = lim =. ( ) ln lim () = lim = + [ ] + ln ( ln) lim + 3 = lim + 3 = + () + = lim + 3 = 3. Άρα η ασύμπτωτη της στο + είναι η ευθεία y= iv. ln E = () 3d = d = ln * ln d = d = = n = n n=. *( < < ln > άρα ln θετικός) 38

39 Άσκηση 4 Δίνονται οι συναρτήσεις,g με () = + και g() = 3ln, όπου (, + ). i. Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης h με h() = () g(). ii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g και τις ευθείες με εξισώσεις: = και = λ, όπου λ>. iii. Να βρείτε το όριο lim E( l ). l + iv. Να βρείτε το όριο lim E( l ). + l i. Είναι: h() = () g() = + 3ln 3ln = για κάθε >. 3 Άρα h () = <, οπότε h είναι γνησίως φθίνουσα στο (, + ). Ακόμα h() =. Επομένως: Για κάθε > είναι h() < h() h() < και για κάθε < < είναι h() > h() h() >. ii. Για να προσδιορίσουμε το ζητούμενο εμβαδόν πρέπει να γνωρίζουμε αν λ> ή λ<. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν λ> τότε: λ λ E( λ ) = () g() d = h() d l l E( l ) = h()d = 3ln d = l [ ] l = ln + 3 () lnd + ( l ) = l l = (lnl ln) + 3[ln] 3 d + l = = lnl+ 3llnl 3( l ) + l = lnl+ 3llnl 3l+ 3 + l = 39

40 = (3l )lnl l+. Αν <λ< τότε:, E( λ ) = h() d = h()d = h()d λ E( l ) = (3l )lnl+ l. λ Αν λ= τότε προφανώς E() =. Επομένως E( l ) = (3l )lnl+ l. λ iii. Είναι: lim E( l ) = lim [(3l )lnl+ l ] = lim (3llnl lnl l+ ) = l + l + l + lnl = lim [ l(3lnl + )] = ( + )( + + ) = +. l + l l Αφού lim lnl = + και l + ln l (ln l) lim = lim = lim =. l ( l) l l + l + l + iv. Είναι: lim E( l ) = lim ( 3l ) lnl+ l = + + [( ) ( ) ] l l + = +. 4

41 Άσκηση 5 (εκτός εξεταστέας ύλης) * Δίνεται η συνάρτηση : R R, η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα (, ) και (, + ). Αν F() = (t)dt + (t)dt, τότε: i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g με g() = (t)dt. ii. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της F() = (t)dt + (t)dt. iii. Να μελετήσετε την F ως προς τη μονοτονία. iv. Να αποδείξετε ότι 5 F() (t)dt για κάθε (, ). i. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της D = (,) (, + ) και ο αριθμός ανήκει στο διάστημα (, + ). Άρα η συνάρτηση g έχει πεδίο ορισμού το D g = (, + ). ii. Είναι: F() = g() + g( ) Η συνάρτηση h() = g( ) ορίζεται σε εκείνα τα για τα οποία ισχύει > <. Άρα D h = (, ). Επομένως το πεδίο ορισμού της F αποτελείται από εκείνα τα για τα οποία ισχύει και D δηλαδή > και <. h D g Άρα D F = (, ). iii. Για κάθε (,) έχουμε: ( ) F () = (t)dt + (t)dt = ( (t)dt ) ( (t)dt ) = + = = () + ( )( ) = () ( ). 4

42 Οπότε: F () = () = ( ) = = 5 αφού γνησίως αύξουσα άρα και -. Επίσης: F () < () ( ) < () < ( ) < < < 5, αφού γνησίως αύξουσα. F () > () ( ) > () > ( ) > (5, ). Άρα F γνησίως φθίνουσα στο (,5] και F γνησίως αύξουσα στο [5,] iv. H F στο = 5, παρουσιάζει ολικό ελάχιστο άρα για κάθε (, ) ισχύει: F() F(5) F() (t)dt + (t)dt F() (t)dt. 4

43 Άσκηση 6 Δίνεται η συνάρτηση με () 3ln( ), = + >. i. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. iii. Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης 3 () + =. iv. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C, τον άξονα και τις ευθείες = και =. i. Για κάθε (, + ) είναι: () = (3 ln + ) = 3 ( ) = 3 3 = ( + ( ) ) = ( + ( ) ) = 3 3( ) = ( ) = Έχουμε: 3( ) () > > < αφού >. Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο (,] 3( ) () < < > Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα για κάθε. Άρα η για = παρουσιάζει ακρότατο με τιμή () = 3ln + = που είναι η μέγιστη ii. Το σύνολο τιμών θα είναι: ((, + )) = ( lim (), ()] ( lim (), ()] + + lim () = lim[3ln( ) + ] = 3 lim ln( ) + = αφού lim ( ) = + lim () = lim [3ln( ) + ] = αφού

44 + + () lim ( ) lim lim lim = = = =. ( ) () = Άρα ((, + )) = (, ]. iii. Είναι: 3 () + = () = 3 Έστω g() = () + τότε g () = (), οπότε η g έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την 3 g((,]) = (, + ] και επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα στο (,] έχει μοναδική ρίζα σε 3 αυτό. Άρα και η () + = έχει μοναδική ρίζα στο (,]. 3 g([, + )) = (, + ] και επειδή η g είναι γνησίως φθίνουσα στο [, + ) έχει μοναδική 3 ρίζα. Άρα και η () + = έχει μοναδική ρίζα στο [, + ). 3 Άρα η εξίσωση 3 () + = έχει δύο λύσεις, μία στο (,] και μία στο [, + ). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το iii) μπορεί να λυθεί και με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών. iv. Είναι: () = () = 3ln + = 3ln 3ln + = 3ln > και επειδή γνησίως φθίνουσα ([, ]) = [3ln +, ] δηλαδή () > στο [,]. Επίσης () 3ln 3ln 3ln 3( ) 3ln 5 3 = + + = + + = +. 3 Άρα E = ()d = 3 lnd (5 3)d 3 () lnd [5 ] + = + = 3 3 = 3[ln] 3 (ln) d = 3 3 = 3 (ln ) 3 d = 6ln 3( ) + = 5 = 6ln τ.μ. 44

45 Άσκηση 7 Δίνεται η συνάρτηση : (, + ) R, με 4 () = + 3ln +. i. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της. iii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: 4 3 l = ln l έχει μοναδική λύση για κάθε λ>. iv. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται και να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: 4 I (t)dt =. i. Για κάθε > έχουμε: () = 8 + >. Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ), οπότε δεν έχει ακρότατα. 3 3 ii. Είναι: 4 lim () = lim ( + 3ln + ) = + = lim () = lim ( + 3ln + ) = = Επίσης η είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ), από i), άρα το σύνολο τιμών της είναι: ((, + )) = (, + ). iii. Για κάθε λ> έχουμε: 3 l l = ln l = 3(ln ln l) l = 3lnl 4 l + 3lnl+ = ( l ) =. Αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει μοναδικό λ>, τέτοιο ώστε ( λ ) =. Αυτό ισχύει αφού το σύνολο τιμών της είναι το R (ΑΠΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ) και η είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). 45

46 iv.η συνάρτηση επειδή είναι γνησίως αύξουσα είναι και - άρα αντιστρέφεται. Θέτουμε t = () dt = ()d. Για t = είναι = () =λ. Για t = 4 είναι Επομένως: : 4= () () = () =. 3 (t)dt = ( ()) ()d = ()d = 8 + d = 4 3 λ λ λ λ (8 + 3)d = = + λ + λ = λ λ λ Ημερομηνία τροποποίησης: /9/5 46

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, 3/3/6 ΘΕΜΑ ο : Α. Τι ονομάζουμε αρχική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C f

Διαβάστε περισσότερα

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x.

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x. Δίνεται η συνάρτηση ln Τελευταία Επανάληψη α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e, δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ] ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι Αν () στο (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 9 Απριλίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017 Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0.

ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0. ΘΕΜΑ 5 ο Έστω συνάρτηση f :[0, + ) παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, + ) για την οποία ισχύει : 2 -f(t) 2f()+f ()= 2 e dt και f(0) = 0. i) Να δείξετε ότι + f() 0 για κάθε є [0, + ). ii) Να δείξετε ότι η f

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

x x = e, x > 0 έχει ακριβώς δυο Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

x x = e, x > 0 έχει ακριβώς δυο Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. Δίνεται η συνάρτηση f() ( )ln, >. Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ [, ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ln 1. ( ) vii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα η οποία είναι συνεχής στο και για την οποία ισχύει

ln 1. ( ) vii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα η οποία είναι συνεχής στο και για την οποία ισχύει Μαθηματικά Γ Λυκείου Θέμα 4o Α Δίνεται η συνάρτηση h ( ), η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ] β αβ Να δείξετε ότι h d hαβα Β Δίνεται η συνάρτηση f α ( ) ln i Να βρείτε το πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Γ Λυκείου 8-9 Θέμα A A Αν οι συναρτήσεις,g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση και ισχύει: g g παραγωγίσιμη στο μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. ΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ)

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. ΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ) ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΟ ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ) Στις επισυναπτόμενες σελίδες του παραπάνω βιβλίου έχουν γίνει από τον συγγραφέα

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Γ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0, + ).

Γ1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0, + ). ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. ίνεται η συνάρτηση f(),. Γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (, ). Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f( ( )) έχει στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν η f διατηρεί πρόσημο στο α,,β ότι το

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Για να προσδιορίσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης η πρέπει να βρούμε το πρόσημο της h, το οποίο εξαρτάται από τη συνάρτηση φ(x) = e x 1

Για να προσδιορίσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης η πρέπει να βρούμε το πρόσημο της h, το οποίο εξαρτάται από τη συνάρτηση φ(x) = e x 1 ΘΕΜΑ Έστω οι συναρτήσεις, g με () και g() ln( + ) +. Να αποδείξετε ότι οι C, C g έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο. Στη συνέχεια να δείξετε ότι στο σημείο αυτό έχουν κοινή εφαπτόμενη, την οποία και να βρείτε.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x > κοντά στο x0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x > κοντά στο x0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 Θέµα ο ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ B. α) Λάθος διότι η f είναι «-» που σηµαίνει δεν είναι πάντα γνησίως µονότονη. β) Σωστό διότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 2 Μαΐου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 2 Μαΐου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Μαΐου 09 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [., ] Αν G είναι μια παράγουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους

Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους Θέμα ο Α Έστω ότι f ), για κάθε α, ), β) Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα α, ] και [, β) Επομένως, για ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) f ( x ) για κάθε x A

f ( x) f ( x ) για κάθε x A ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f() ως προς το στο σημείο 0 ;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α. Θεωρία (Θεώρημα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου) Α. Α) ΨΕΥΔΗΣ Β) Θα δώσουμε ένα αντιπαράδειγμα Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΘΕΜΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα 0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος σχολικό έτος 03-04) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) Δίνεται η εξίσωση z-=z-3i,zc α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία ε: -3y+4= β) Να βρείτε την εικόνα του μιγαδικού z, για τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

και γνησίως αύξουσα στο 0,

και γνησίως αύξουσα στο 0, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Θέμα Α) Να δείξετε ότι αν f μια συνάρτηση ορισμένη σε διάστημα Δ και F μια παράγουσα της f στο Δ τότε: α) όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(χ) = F ( ) +c, c είναι παράγουσες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος 3 σχολικό έτος 4-5) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Λιτζερίνος Χρήστος Μπούζας

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] = -e f(), α>,για κάθε. α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά. β) Να βρείτε τις

Διαβάστε περισσότερα

Α1. Θεωρία Σελίδες Σχολικού Βιβλίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής& Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ, ΕΚΔΟΣΗ 2014

Α1. Θεωρία Σελίδες Σχολικού Βιβλίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής& Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ, ΕΚΔΟΣΗ 2014 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΜΑΡΤΗ ΘΕΜΑ Α Α Θεωρία Σελίδες 33-33 Σχολικού Βιβλίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής& Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ, ΕΚΔΟΣΗ ΑΘεωρία

Διαβάστε περισσότερα

y = 2 x και y = 2 y 3 } ή

y = 2 x και y = 2 y 3 } ή ΘΕΜΑ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις z = και w i =. i). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z και w. ii). Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί z,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (Γ Λυκείου) α) νδο η συνάρτηση f '' = c. (Υπόδ: παραγωγίζω την δοσμένη σχέση 2 φορές)

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (Γ Λυκείου) α) νδο η συνάρτηση f '' = c. (Υπόδ: παραγωγίζω την δοσμένη σχέση 2 φορές) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (Γ Λυκείου) Θ) Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι φορές ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ στο R και α

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Έστω (z) = z iz, z. α) Να λύσετε την εξίσωση : (z) = i. β) Αν (z) = να βρείτε το z. γ) Αν z = να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w=(z) είναι κύκλος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim.

ΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim. ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ A. Έστω μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1. Έστω η συνάρτηση f ( x,,1. Nα αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο. v v 1 και ισχύει : x vx A2. Να διατυπώσετε και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημα Bolzano.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ε Ν Δ Ε Ι Κ Τ Ι Κ Ε Σ Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

g x είναι συνάρτηση 1 1 στο Ag = R αλλά δεν είναι γνησίως

g x είναι συνάρτηση 1 1 στο Ag = R αλλά δεν είναι γνησίως ΘΕΜΑ Α Α. Απόδειξη θεωρήματος σελ. 99 σχολικού βιβλίου. Α. α. Ψευδής β. Θεωρούμε τη συνάρτηση, 0 g, 0 η οποία έχει γραφική παράσταση (σχήμα σχολικού βιβλίου σελ.5): y O y=g() Η g είναι συνάρτηση στο Ag

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης.

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης. . Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, µε συνεχή δεύτερη παράγωγο και σύνολο τιµών το διάστηµα [, ] a β, όπου a< < β. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν δύο τουλάχιστον σηµεία,, µε, ώστε f ( ) =

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου Ασκήσεις Επανάληψης σε όλο το εύρος της διδακτέας ύλης Κων/νος Παπασταματίου Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Τηλ. 4 3 598 Θε ματα ΟΕΦΕ - 5 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

2ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

2ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A wwwaskisopolisgr ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A Α Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα, Αν: η f είναι συνεχής στο, f f να

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο

1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα ο Σε κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις αφού πρώτα σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λανθασμένη), στη συνέχεια να δώσετε μια σύντομη τεκμηρίωση της όποιας απάντησή σας Αν για

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. οι f, g είναι συνεχείς στο και f (x) = g (x) για κάθε εσωτερικό σηµείο του, ÏÅÖÅ

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. οι f, g είναι συνεχείς στο και f (x) = g (x) για κάθε εσωτερικό σηµείο του, ÏÅÖÅ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α. α. Έστω δυο συναρτήσεις f, g ορισµένες σε ένα διάστηµα. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο και f () g ()

Διαβάστε περισσότερα

= R {x συν x = 0} ισχύει: 1 ( εφ x)' = συν

= R {x συν x = 0} ισχύει: 1 ( εφ x)' = συν ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε. Μονάδες 8 Γ2. Αν ( 1) : y x, και ( 2

) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε. Μονάδες 8 Γ2. Αν ( 1) : y x, και ( 2 Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 9.6.7 ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f ()

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΠΙΚΑΙΡΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( 3 ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) (( ) ( )) ( ) + = = και και και και. ζ να ταυτισθούν, δηλαδή θα πρέπει: f x ημ x. 6 x x x.

( ) ( ) ( 3 ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) (( ) ( )) ( ) + = = και και και και. ζ να ταυτισθούν, δηλαδή θα πρέπει: f x ημ x. 6 x x x. Ενδεικτικές Λύσεις Διαγωνίσματος (9--9) ΘΕΜΑ Α A. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. 5 Α. α. ψ β. Αντιπαράδειγμα σχολικού βιβλίου σελ. 99 Α. Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ. 6 Α4. α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Λ ΛΥΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

2011 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ 1. Δίνεται η συνάρτηση f: δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με f (0) = f(0) = 0, η οποία ικανοποιεί τη σχέση:

2011 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ 1. Δίνεται η συνάρτηση f: δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με f (0) = f(0) = 0, η οποία ικανοποιεί τη σχέση: ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. Δίνεται η συνάρτηση f: δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με f () f(), η οποία ικανοποιεί τη σχέση: (f () + f () ) f () + f (), για κάθε. Γ. Να αποδείξετε ότι f() ln( ),. Μονάδες 8 Γ. Να μελετήσετε

Διαβάστε περισσότερα

και δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α3. Ορισμός σελ. 73 Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ , δηλαδή αρκεί x 1 x

και δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α3. Ορισμός σελ. 73 Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ , δηλαδή αρκεί x 1 x ΘΕΜΑ Α Α1. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελ. 15 Α. α) Ψ β) Σχήμα 1 και μελέτη της f, όπου η f είναι συνεχής στο και δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, σχολικό βιβλίο σελ. 99 Α. Ορισμός σελ. 7 Α. α) Λ β) Σ γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ / ΤΜΗΜΑ : ΘΕΤΙΚΩΝ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΤΕΛΙΚΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ 2018

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ / ΤΜΗΜΑ : ΘΕΤΙΚΩΝ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΤΕΛΙΚΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ 2018 ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ / ΤΜΗΜΑ : ΘΕΤΙΚΩΝ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΤΕΛΙΚΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ 18 ΑΡΙΘΜΟΣ ΣΕΛΙΔΩΝ : 7 ΘΕΜΑ Α Α1. Πότε η ευθεία : λέγεται κατακόρυφη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω µια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > 0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Δευτέρα 13 Μαΐου 2019

Διαγώνισμα προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Δευτέρα 13 Μαΐου 2019 ΑΡΧΗ ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ ο ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Διαγώνισμα προσομοίωσης Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Δευτέρα Μαΐου 9 BAΘΜΟΣ../ ή / Ονοματεπώνυμο: Τμήμα:. ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε το παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θεµατικές διαδροµές στην Ανάλυση

Θεµατικές διαδροµές στην Ανάλυση Θεµατικές διαδροµές στην Ανάλυση Μια πορεία από τον ιαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισµό Γιάννης Λουριδάς, ηµήτρης Ντρίζος Τα θέµατα του παρόντος άρθρου εντάσσονται στην ύλη του ιαφορικού και Ολοκληρωτικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΕΡΟΣ Β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΡΟΣ Β ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ η Έκδοση, Ιανουάριος 7 Γιάννης Καραγιάννης

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Πολλές φορές στις πανελλαδικές εξετάσεις

Διαβάστε περισσότερα