ΑΠΟ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ (DEMODULATION) ΚΥΜΑΤΟΣΕΙΡΑΣ

Transcript

1 /5/14 1:56:33 µµ ΑΠΟ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ (DEMODULAION) ΚΥΜΑΤΟΣΕΙΡΑΣ Μέσα από τα Φυσικά κανάλια είναι αδύνατον να διαβιβαστούν απευθείας αριθµοί! Η διαβίβαση των αριθµών µέσα από τα φυσικά κανάλια γίνεται έµµεσα µε τη βοήθεια των κυµατοµορφών. Για παράδειγµα επιλέγουµε τη βασική κυµατοµορφή ψ(t) µε πεπερασµένη διάρκεια Τ, η οποία παρουσιάζει τα εξής χαρακτηριστικά: ( ) ψ ( ) ψ t dt = t dt = 1 ψ(t) ψ ( t) = για t< ή για t 1. Μπορεί να διέλθει από το φυσικό κανάλι µε µικρή παραµόρφωση, ή ακόµα και χωρίς παραµόρφωση.. Η ενέργειά της είναι µονάδα. t sagri@di.uoa.gr 1

2 /5/14 1:56:33 µµ Χρησιµοποιώντας τη βασική κυµατοµορφή ψ(t)και ολισθηµένα αντίγραφά της κατασκευάζουµε την κυµατοσειρά: 7Α 3Α ΣΤΙΓΜΙΟΤΥΠΟ ΚΥΜΑΤΟΣΕΙΡΑΣ ΤΕΤΡΑ ΙΚΟΥ ASK Τ Τ 3Τ 4Τ 5Τ 6Τ 5Α Α a n: A 3A A 5A A 7A ( ) = ψ ( ) {,3,5,7 } s t a t n a A A A A n= n n ΣΤΙΓΜΙΟΤΥΠΟ ΚΥΜΑΤΟΣΕΙΡΑΣ ΤΕΤΡΑ ΙΚΟΥ PAM ( ) ( ) s t = a { 3,,,3 } n p t n t an A A A A n= sagri@di.uoa.gr

3 /5/14 1:56:33 µµ ΑΠΟ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΓΝΩΣΤΗΣ ΚΥΜΑΤΟΜΟΡΦΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑ AWG ΘΟΡΥΒΟΥ Στο δέκτη κατά την n-στη περίοδο σηµατοδοσίας γίνεται επεξεργασία του τµήµατος της κυµατοσειράς που αντιστοιχεί στην n-στη ολίσθηση της κυµατοµορφής ( ) = ψ [ ], < ( + 1) s t a t n n t n n στο σήµα αυτό έχει προστεθεί και ο θόρυβος του καναλιού, που είναι AWG θόρυβος n(t)µε µέση τιµή µηδέν και PSD G n (f) G n (f)=n / Στο δέκτη δηλαδή φθάνει το σήµα r(t) ( ) = ψ [ ] + ( ), < ( + 1) r t a t n n t n t n n Στη διαβίβαση διακριτών δεδοµένων είναι χαρακτηριστικό ότι ο δέκτης γνωρίζει επακριβώς την βασική κυµατοµορφή ψ(t), η οποία είναι ένα αιτιατό σήµα και απαιτείται µόνο να προσδιορίσει την τυχαία µεταβλητή a n, στην οποία ο ποµπός έχει αποτυπώσει την πληροφορία. Τη διαδικασία αυτή του προσδιορισµού της α n για κάθε περίοδο σηµατοδοσίας από το λαµβανόµενο ενθόρυβο σήµα r(t) καλούµε αποδιαµόρφωση (demodulation) του σήµατος της κυµατοσειράς. sagri@di.uoa.gr 3

4 /5/14 1:56:33 µµ Για τηδιαδικασία της αποδιαµόρφωσης χρησιµοποιείται φίλτρο για την εξουδετέρωση κατά το δυνατόν της επίδρασης του θορύβου στην ακρίβεια µέτρησης της α n. Έστω h(t)η κρουστική απόκριση του φίλτρου. (Απόκριση Συχνότητας H(f)). Θεωρώντας τη διαδικασία αποδιαµόρφωσης για n=, ισχύει s(t)=a ψ(t) +n(t) για <=t<. r(t)=s(t)+n(t) h(t) t= r=s+v v Gaussian µ= σ=σ r(t)=s(t)+n(t) s(t)=a ψ(t) h(t) t= r=s+v v Gaussian µ= σ=σ ειγµατοληπτώντας την έξοδο του φίλτρου στο τέλος της διάρκειας επεξεργασίας, δηλαδή τη χρονική στιγµή t= λαµβάνουµε το δείγµα r. r=s+v Επειδή το φίλτρο είναι γραµµικό το δείγµα r θα αποτελείται από δύο συνιστώσες, δηλαδή r=s+ν. Οι συνιστώσες αυτές: ν: Είναι η έξοδος του φίλτρου που οφείλεται µόνο στον θόρυβο n(t). s: Είναι η έξοδος του φίλτρου που οφείλεται στο σήµα a ψ(t). sagri@di.uoa.gr 4

5 /5/14 1:56:33 µµ Σύµφωνα µε τις ιδιότητες του Gaussian θορύβου θα ισχύει ότι η ν είναι µία τυχαία µεταβλητή, µε κατανοµή Gaussian και µέση τιµή µηδέν. Από τις γνώσεις µας για τα σήµατα ισχύος γνωρίζουµε ότι η διακύµανση της ν, η σ ν θα ισούται: σ N N H ( f ) df h( t) dt v = = Ο δεύτερος προσθετέος του r, το s, οφείλεται στο σήµα και είναι η τιµή που θα είχε το r αν δεν υπήρχε θόρυβος. Ισχύει s=s(τ)*h(τ) t=, δηλαδή: ( ) ( ) ( ) ψ ( ) s = h t s t dt = a h t t dt Προσδιορισµός Βέλτιστου Φίλτρου Στο σηµείο αυτό τίθεται το ερώτηµα: Ποιο είναι το βέλτιστο φίλτρο για την εφαρµογή αυτή; ηλαδή ποια πρέπει να είναι η συνάρτηση h(t) ώστε να ελαχιστοποιηθεί η επίδραση του θορύβου στον προσδιορισµό του s; Ισοδύναµα Ποια πρέπει να είναι η συνάρτηση h(t) ώστε να γίνει µέγιστος ο λόγος s σ ( ) ( ) a ψ t h t dt = N h( t) dt sagri@di.uoa.gr 5

6 /5/14 1:56:33 µµ ηλαδή ποια η h(t) ώστε ο λόγος να γίνει µέγιστος; ψ ( ) ( ) t h t dt ( ) h t dt Προσδιορισµός της Βέλτιστης Λύσης Γνωριµία µε το µαθηµατικό τύπο Cauchy-Schwartz Για τις µιγαδικές συναρτήσεις g 1 (t) και g (t) ισχύει. ( ) ( ) ( ) ( ) g t g t dt g t dt g t dt 1 1 Η ισότητα ισχύει µόνο όταν g 1 (t)=cg * (t), cοποιοσδήποτε µιγαδικός αριθµός. ή αλλιώς για τις πραγµατικές συναρτήσεις g 1 (t) και g (t) ισχύει. ( ) ( ) g t g t dt 1 ( ) g t dt 1 ( ) g t dt Η ισότητα ισχύει µόνο όταν g 1 (t)=cg (t), cοποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός. sagri@di.uoa.gr 6

7 /5/14 1:56:33 µµ Ποια η h(t) ώστε να γίνει µέγιστος ο λόγος ( ) ( ) g t g t dt 1 ( ) g t dt Ανακεφαλαιώνοντας Αναζήτηση Τύπος Cauchy-Schwartz 1 ( ) g t dt ψ ( ) ( ) t h t dt ( ) h t Η ισότητα ισχύει µόνο όταν g 1 (t)=cg (t), cοποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός. dt Εφαρµόζοντας λοιπόν τον τύπο Cauchy-Schwartz για g 1 (t)=ψ(-t)και g (t)=h(t) προκύπτει: ψ ( ) ( ) t h t dt ( ) h t dt ψ ( Τ t) Η ισότητα ισχύει µόνο όταν h(t)=cψ(-t), cοποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός. dt Θέτοντας -t=z προκύπτει εύκολα ( ) ψ ( ) ψ Τ t dt = z dz = 1 ψ δηλαδή ( ) ( ) t h t dt ( ) h t dt 1 Η ισότητα ισχύει µόνο όταν h(t)=cψ(-t), cοποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός. sagri@di.uoa.gr 7

8 /5/14 1:56:33 µµ Εποµένως η µεγαλύτερη τιµή που µπορεί να λάβει το κλάσµα είναι ψ ( ) ( ) t h t dt ( ) h t Η ισότητα ισχύει µόνο όταν h(t)=cψ(-t), cοποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός, και αυτή είναι η κρουστική απόκριση του βέλτιστου φίλτρου. dt = 1 Ανακεφαλαιώνοντας λοιπόν, για h(t)=cψ(-t), a N s σ = και αυτό αποτελεί τη µέγιστη τιµή του λόγου για καθορισµένα a και Ν. Παρατηρείστε ότι αν δεχθούµε h(t)=ψ(-t), (c=1)s=a, δηλαδή το δείγµα στην έξοδο του φίλτρου, όταν δεν υπάρχει θόρυβος καναλιού, ισούται µε την υπό προσδιορισµό µεταβλητή α! F Η σχέση h(t)=cψ(-t), που δίνει την κρουστική απόκριση του βέλτιστου φίλτρου, µας δείχνει ότι τελευταίο αυτό είναι προσαρµοσµένο στην γνωστή κυµατοµορφή ψ(t) του επικοινωνιακού συστήµατος. Για το λόγο αυτό το βέλτιστο φίλτρο στη βιβλιογραφία αναφέρεται και ως matched (προσαρµοσµένο) φίλτρο. Είναι ενδιαφέρον να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας, Η(f) του βέλτιστου φίλτρου. Ισχύει: Η(f)=F{h(t)}= F{ψ(-t)}=Υ * (f) exp(-jπf) Όπου Υ(f) =F{ψ(t)} sagri@di.uoa.gr 8

9 /5/14 1:56:33 µµ Matched Φίλτρο και Τρόπος Υλοποίησής του. Το βέλτιστο φίλτρο λήψης, λόγω της οµοιότητας που παρουσιάζει η κρουστική του απόκριση µε την κυµατοµορφή λήψης, καλείται και Φίλτρο Προσαρµοσµένο (matched)στην Κυµατοµορφή Σηµατοδοσίας Παράδειγµα Κυµατοµορφής και Προσαρµοσµένου Φίλτρου ψ(t) s(t)=h(t)*ψ(t) s(t) s = a s t h(t)=ψ(-t) t N σ = Matched Φίλτρο και Τρόπος Υλοποίησής του. Φίλτρο Συσχέτισης Αποδείξαµε ότι το βέλτιστο φίλτρο έχει κρουστική απόκριση h(t) =ψ(-t), όµως προκύπτει το πρόβληµα: πώς µπορεί να υλοποιηθεί το φίλτρο αυτό; Αςυποθέσουµε ότι στην είσοδο του βέλτιστου φίλτρου, οδηγείται σήµα x(t). Στην έξοδο του φίλτρου τη χρονική στιγµή Τ θα ληφθεί: ( ) ( ) ( ) ψ ( ) x = x t h t dt = x t Τ t dt Αλλάζοντας τη µεταβλητή ολοκλήρωσης σε z=-t sagri@di.uoa.gr 9

10 /5/14 1:56:33 µµ ( ) ψ ( ) x = x z z dz Επειδή όµως η κυµατοµορφή ψ(t)ισούται µε µηδέν εκτός του διαστήµατος [,Τ] ( ) ψ ( ) x = x z z dz H παράσταση όµως που δίνει την xµπορεί να υλοποιηθεί από το πιο κάτω κύκλωµα. ψ(t) x(t) ( ) dt x ηλαδή τα δύο κυκλώµατα για το ίδιο σήµα στην είσοδο δίνουν την ίδια ακριβώς έξοδο τη χρονική στιγµή Τ. ψ(t) x(t) ( ) dt x h(t)=ψ(τ-t) t= Το κύκλωµα λοιπόν αυτό, µπορεί να υλοποιήσει µε βέλτιστο τρόπο την αποδιαµόρφωση. Από τον τρόπο που έχει κατασκευαστεί καλείται Φίλτρο Συσχέτισης x sagri@di.uoa.gr 1

11 /5/14 1:56:33 µµ Αποδιαµόρφωση της Κυµατοσειράς 7Α 3Α Τ Τ 3Τ 4Τ 5Τ 6Τ 5Α Α ψ 1 κυµατοµορφή βάσης ADC j ( )dt ( j 1) {1,,1,3,1,4} Αποδιαµόρφωση Φώραση ΣΥΜΦΩΝΑ ή ΣΥΧΡΟΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ COHEREN SYSEMS Το φίλτρο συσχέτισης περιλαµβάνει µια λειτουργία γνωστή στις τηλεπικοινωνίες ως Σύµφωνη Αποδιαµόρφωση (Coherent Demodulation). Τα συστήµατα που χρησιµοποιούν την τεχνική αυτή είναι τα πλέον αποδοτικά ως προς την ισχύ. Η λειτουργία της Σύµφωνης Αποδιαµόρφωσης παρουσιάζει µια δυσκολία που δεν έγινε φανερή µέχρι τώρα, επειδή δεχθήκαµε ότι οι κυµατοµορφές διέρχονται από το κανάλι χωρίς καµία αλλαγή! Στην πράξη όµως µια αρµονική κυµατοµορφή, όταν διέρθει από ένα κανάλι, αλλάζει η φάση της κατά µια άγνωστη τυχαία ποσότητα φ. sagri@di.uoa.gr 11

12 /5/14 1:56:33 µµ Αποδιαµόρφωση της Κυµατοσειράς 7Α 3Α Τ Τ 3Τ 4Τ 5Τ 6Τ 5Α Α PLL Τοπικός Ταλαντωτής ADC j ( )dt ( j 1) {1,,1,3,1,4} Αποδιαµόρφωση Φώραση Η ύπαρξη αυτή της φ έχει ως αποτέλεσµα η βασική κυµατοµορφή στην είσοδο του δέκτη να έχει τη µορφή ψ(t)=y cos(πf c t+φ )και εποµένως και ο τοπικός ταλαντωτής του δέκτη πρέπει να δίνει ένα σήµα µε την ίδια συχνότητα και την ίδια φάση. Όταν η συµπεριφορά του καναλιού µεταβάλλεται σχετικά αργά, δηλαδή αυτή δεν αλλάζει σηµαντικά σε χρόνο που έχει διάρκεια µερικές εκατοντάδες σύµβολα, ο δέκτης χρησιµοποιεί ειδικό ηλεκτρονικό κύκλωµα παρακολούθησης της φάσης, το Βρόχο Κλειδώµατος της Φάσης (Phase Locked Loop-PLL). Στην περίπτωση που το κανάλι αλλάζει συµπεριφορά ταχύτερα χρησιµοποιούνται άλλες τεχνικές προσδιορισµού της φάσης ή ακόµη και υποβέλτιστες τεχνικές αποδιαµόρφωσης. sagri@di.uoa.gr 1

13 /5/14 1:56:33 µµ Παράδειγµα Η βασική κυµατοµορφή, ψ(t) σε ένα σύστηµα είναι της µορφής ( ) ( ) ψ t = ψ cos π f t, t µε 1/f c =Τ c <<. Να υπολογίσετε τη σταθερά ψ ώστε η ενέργεια της ψ(t) να είναι µοναδιαία. Απάντηση 1 cos( 4 ) ( ) π fct ψ c + E = ψ cos π f t dt = ψ dt = + cos( 4π f ) ct dt αλλάζοντας τη µεταβλητή ολοκλήρωσης µε 4πf c t=φ ψ 4 1 πf c ψ sin ( 4π fc ) E = + cos( φ) dφ 1 4π f = + c 4π fc c και θέτοντας f c =1/Τ c ψ E = 1+ sin c 4 ( ) c Θυµηθείτε ότι για το sinc(4f c Τ) ισχύει: ( ) sin c 4 = για 4Τ/Τ c =ακέραιος, ή για 4Τ/Τ c >>1 c οπότε E = ψ Για να είναι µοναδιαία η ενέργεια πρέπει λοιπόν να ισχύει ψ = και η βασική κυµατοµορφή θα είναι ψ ( t) = cos ( π fct), t sagri@di.uoa.gr 13

14 /5/14 1:56:33 µµ Παράδειγµα Υποθέστε ότι η βασική κυµατοµορφή φθάνει στο δέκτη µε διαφορά φάσης φ, οπότε η κυµατοµορφή s(t) s( t) = a cos ( π fct + φ), t όπου α το διαβιβαζόµενο σύµβολο, ενώ ο τοπικός ταλαντωτής έχει φάση φ L ψ L ( t) = cos ( π fct + φl), t Να υπολογίσετε την έξοδο, s, του φίλτρου συσχέτισης. t = cos f t +, t ψ ( ) ( π φ ) L c L s( t) = a cos ( π fct + φ), t ( ) dt s s = a cos( π f ) cos( ) ct + φ π fct + φl dt a s = cos( fct ) cos( fct L) dt π + φ π + φ = a s = a cos ( φ φl) ( π c φ φl) ( φ φ ) = cos dt + cos 4 f t + + dt L Η τελευταία σχέση δείχνει ότι αν φ =φ L ισχύει s=a δηλαδή ισχύει το ίδιο, όπως και στην περίπτωση που δεν είχαµε ολίσθηση φάσης µέσα από το κανάλι. Όταν όµως φ -φ L είναι διάφορο του µηδενός, το s<a, οπότε το λαµβανόµενο σήµα ελαττώνει την ενέργειά του. sagri@di.uoa.gr 14

15 /5/14 1:56:33 µµ ΕΠΙ ΟΣΕΙΣ ΥΑ ΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΣΥΜΒΟΛΑ: ΑΝΤΙΠΟ Α ΚΑΙ ΟΝ OFF Για σύστηµα µε κυµατοµορφές, s 1 (t) & s (t) µε ενέργειες Ε 1 & Ε, ισχύει: si Ε s s σ i 1 =, i = 1, & Pe = Q Ν σ Για αντίποδα: s 1 =-s E 1 =E =E b και P e E Q b = N Για ΟΝ- ΟFF: s = E =και E b =E/ P e E b = Q N P b =f([ε b /N ] dβ ) υαδικό On OFF Αντίποδα Σύµβολα E b Pe = Q N 3 db ΟΝ-ΟFF: Σύµβολα E b Pe = Q N [ε b /N ] dβ sagri@di.uoa.gr 15

16 /5/14 1:56:33 µµ Παράδειγµα ιαθέτουµε ηλεκτρικό κανάλι µε απόσβεση L=3 db και AWG θόρυβο µε φασµατική πυκνότητα θορύβου Ν /=1-7 Watt/Hz. Με βάση το κανάλι αυτό κατασκευάζεται σύστηµα διαβίβασης δεδοµένων µε δύο αντίποδα σύµβολα και πιθανότητα σφάλµατος P b =1-6. Αν η ισχύς του ποµπού είναι P Watt να υπολογίσετε τη µέγιστη δυνατή τιµή του ρυθµού διαβίβασης R bmax. N / Λύση P L db =3 db L=1 + δέκτης P R Από το διάγραµµα επιδόσεων των αντίποδων σηµάτων προκύπτει ότι για P b =1-6 πρέπει (Ε b /N ) db =1.4 db (Ε b /N )=1 1.4 (Ε b /N )=11 Ισχύει: P R =P /L P R mwatt Ε b R b =P R (Ε b /N )N R b =P R Οπότε : R b =P R /[(Ε b /N )N ]R b x1-3 Watt/[11xx1-7 Watt/Hz] R b 91 bits/sec R bmax = 91 bits/sec Την άσκηση αυτή µπορούµε να επιλύσουµε χρησιµοποιώντας τον µαθηµατικό τύπο της πιθανότητας σφάλµατος για τα αντίποδα σήµατα. Έτσι κρατάµε από την προηγούµενη διαφάνεια ότι P R mwatt. Από τον µαθηµατικό τύπο της πιθανότητας σφάλµατος για τα αντίποδα σήµατα E b Pb = Q N Οπότε (Ε b /N ) =[Q -1 (P b )] (Ε b /N )=.5x[Q -1 (1-6 )] Από το διάγραµµα του Q(k) προκύπτει [Q -1 (1-6 )]=4.8 Οπότε : (Ε b /N )=.5x[Q -1 (1-6 )] (Ε b /N )= 11.3 Ισχύει: P R =P /L P R mwatt Ε b R b =P R (Ε b /N )N R b =P R Οπότε : R b =P R /[(Ε b /N )N ]R b x1-3 Watt/[11.3xx1-7 Watt/Hz] R b 89 bits/sec R bmax = 89 bits/sec sagri@di.uoa.gr 16

17 /5/14 1:56:33 µµ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ P e σε Μ-PAM Αν θεωρήσουµε ότι ο θόρυβος του καναλιού είναι µηδενικός, σε ένα Μ-PAM οι παλµοί που φθάνουν στο δέκτη είναι όλοι πολλαπλάσια ενός παλµού µε µοναδιαία ενέργεια ψ(t). Οι Μ διαφορετικοί παλµοί είναι p m (t)=α m A ψ(t) ( ) A = m + 1 M, m =,1,,..., M 1 m Ή πιο αναλυτικά τα Μ διαφορετικά πλάτη των παλµών είναι πολλαπλάσια του πλάτους ψ( t) -(Μ-1)Α,..., -3Α, -Α, Α, 3Α,...,(Μ-1)Α Ή πιο αναλυτικά τα Μ διαφορετικά πλάτη των παλµών είναι πολλαπλάσια του πλάτους ψ(t) -(Μ-1)Α,..., -3Α, -Α, Α, 3Α,...,(Μ-1)Α Εποµένως (στην περίπτωση που ο θόρυβος του καναλιού είναι µηδέν) µετά την αποδιαµόρφωση η έξοδος θα έχει τιµή s: ( ) s = A A = A E, A = m + 1 M, m =,1,,..., M 1 m m g m όπου Ε g είναι η ενέργεια του απόλυτα µικρότερου πλάτους παλµού Αν ο θόρυβος δεν είναι αµελητέος, τότε στην έξοδο του αποδιαµορφωτή, στην εκάστοτε τιµή του συµβόλου προστίθεται και η Gaussian τυχαία µεταβλητή v, µε µ= και σ =Ν /. sagri@di.uoa.gr 17

18 /5/14 1:56:33 µµ Από τό κεφάλαιο της φώρασης γνωρίζουµε ότι στην περίπτωση του Μ-PAM η πιθανότητα σφάλµατος, P e =P M είναι: ( M ) 1 A Pe = PM = Q M σ και αντικαθιστώντας Α και σ από την προηγούµενη διαφάνεια Ισχύει όµως P M ( M ) 1 E g = Q M N M ε M g M 1 ε av = εm = ( m+ 1 M ) = ε g M m= M m= 3 Οπότε Επειδή Ε av =log (M)E bav Επειδή Συνεπάγεται: sagri@di.uoa.gr 18

19 /5/14 1:56:33 µµ P e =f([ε b /N ] dβ ) για Μ-αδικα µονοδιάστατα σήµατα [ε b /N ] dβ Στο σηµείο αυτό πρέπει να αναφέρουµε ότι κάθε Μ-δικό κανάλι µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την υλοποίηση ενός δυαδικού καναλιού. ΚΩ ΙΚ/ΤΗΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ {d n } {s m } Μ-Α ΙΚΟ ΚΑΝΑΛΙ ΑΠ/ΤΗΣ {s m} ΣΥΜΒΟΛΩΝ {d n} k bits σε 1 Μ-αδικό σύµβολο M-Α ΙΚΟ P e R Τ 1 Μ-αδικό σύµβολο σε k bits Ισχύει πάντα: ΥΑ ΙΚΟ P b R b Τ b k=log (M)οπότε ισχύει επίσης πάντοτε R b =kr και Τ b =/k sagri@di.uoa.gr 19

20 /5/14 1:56:33 µµ Σε ένα Μ-PAM στη βαθµίδα Κωδικοποίησης Συµβόλων συνήθως χρησιµοποιείται ο Kώδικας Gray Κώδικας Gray για 8-αδικό PAM σύστηµα Με τον κώδικα Gray εξασφαλίζεται ότι, όταν συµβεί ένα λάθος κατά τη διαβίβαση ενός συµβόλου, µε µεγάλη πιθανότητα, µόνο ένα bit της ισοδύναµης δυαδικής ακολουθίας θα είναι λανθασµένο. Στην περίπτωση του Μ-PAM όταν χρησιµοποιείται κώδικας Gray ισχύει: P b =P e /k, k=log (M) Παράδειγµα ιαθέτουµε ηλεκτρικό κανάλι µε AWG θόρυβο µε φασµατική πυκνότητα θορύβου Ν /=1-7 Watt/Hz. Με βάση το κανάλι αυτό κατασκευάζεται σύστηµα διαβίβασης δεδοµένων 16-PAM αντίποδα σύµβολα και πιθανότητα σφάλµατος P b =1-4. Αν η ισχύς λήψης είναι P R mwatt να υπολογίσετε τη µέγιστη δυνατή τιµή του ρυθµού διαβίβασης R bmax. Λύση Επειδή P e =P b k, k=log (M) P e =4x1-4 Από το διάγραµµα επιδόσεων του 16 PAM προκύπτει ότι για P e =4x1-4 πρέπει (Ε b /N ) db =1 db (Ε b /N )=1.1 (Ε b /N )=16 Ισχύει: Ε b R b =P R (Ε b /N )N R b =P R Οπότε : R b =P R /[(Ε b /N )N ]R b x1-3 Watt/[16xx1-7 Watt/Hz] R b 794 bits/sec R bmax = 794 bits/sec sagri@di.uoa.gr

21 /5/14 1:56:33 µµ Την άσκηση αυτή µπορούµε να επιλύσουµε χρησιµοποιώντας τον µαθηµατικό τύπο της πιθανότητας σφάλµατος για τα 16-PAM συατήµατα. Επειδή P e =P b k, k=log (M) P e =4x1-4 Από τον µαθηµατικό τύπο της πιθανότητας σφάλµατος για τα αντίποδα σήµατα και επιλύοντας ως προς (Ε b /N ) E b M 1 1 M = Q Pe = Q 4 1 = 1.6 Q (.1 1 ) N 6log ( M ) ( M 1) Από τo διάγραµµα της συνάρτησης Q(k) για Q(k)=.1x1-4 k=3.53 E b = = 13 Οπότε N και : R b =P R /[(Ε b /N )N ]R b x1-3 Watt/[13xx1-7 Watt/Hz] R b 831 bits/sec R bmax = 831 bits/sec Ορθοκανονικές Κυµατοµορφές Θεωρείστε τις κυµατοµορφές: ψ ( t), ψ ( t) 1 Με µηδενική τιµή έξω από το διάστηµα [,Τ] και µε την ιδιότητα Τότε οι κυµατοµορφές αυτές καλούνται ορθογώνιες (orthogonal) Αν επιπλέον ισχύουν οι σχέσεις 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ψ t ψ t dt = ψ t ψ t dt = 1 1 ( ) ( ) Eψ = ψ t dt = ψ t dt = οι κυµατοµορφές καλούνται ορθοκανονικές. ( ) ( ) Eψ = ψ t dt = ψ t dt = 1 sagri@di.uoa.gr 1

22 /5/14 1:56:33 µµ ( ) Παραδείγµατα Ορθοκανονικών Κυµατοµορφών Θεωρείστε τις δύο κυµατοµορφές: ψ1 t = cos( π fct) Ισχύει: ( ) ψ t = sin( π fct) Eψ = 1 ψ 1 t dt = cos( π f t) dt = 1+ sinc 4f ( ) [ C ] ( c ) Eψ = ψ t dt = sin( π f t) dt = 1 sinc 4f ( ) [ C ] ( c ) Όταν 4f C =ακέραιος ή όταν f C >>1 E ψ 1 = Eψ = 1 ( ) ψ1 t = cos( π fct) ( ) ψ t = sin( π fct) Επιπλέον ισχύει I = ψ1( t) ψ ( t) dt = cos( π f ) sin( ) ct π fct dt και τελικά ( π f ) 1 cos 4 I = ψ 1( t) ψ ( t) dt = 4π f c c Όταν f C =ακέραιος ή όταν f C >>1 ( ) ψ ( ) I = ψ t t dt = 1 sagri@di.uoa.gr

23 /5/14 1:56:33 µµ Παραδείγµατα Ορθοκανονικών Κυµατοµορφών ( t) = π f t ( ) ψ1 cos( C ) ψ t = cos( π fct + πt / Τ) Παρατηρείστε ότι οι κυµατοµορφές έχουν ενέργεια µονάδα. Επιπλέον ισχύει: I = ψ1( t) ψ ( t) dt = cos( π f ) cos( / ) ct π fct + πt dt 1 π I = cos 4 f ( ) c t dt sin t / dt π + π Τ π π sin 4π fc + sin 4π fc + 1 cos( π ) I = + = π π π 4π fc + 4π fc + Παραδείγµατα Ορθοκανονικών Κυµατοµορφών Εύκολα καταλήγουµε ότι Ι= αρκεί f C =ακέραιο, ή για Τ>>1/f C sagri@di.uoa.gr 3

24 /5/14 1:56:33 µµ Όταν χρησιµοποιηθούν οι ορθοκανονικές κυµατοµορφές ψ ( t), ψ ( t) 1 τότε γίνεται δυνατή η διαβίβαση µέσω του καναλιού διανυσµάτων µε δύο συνιστώσες, ή αλλιώς µιγαδικών αριθµών. Αυτό επιτυγχάνεται µέσω της κυµατοµοφής s(t) ( ) = ψ ( ) + ψ ( ) s t a t b t 1 όπου (a, b) ανήκει σε αλφάβητο (αστερισµό) Α Ο δέκτης σχεδιάζεται µεφίλτρα προσαρµοσµένα στις δύο κυµατοµοφές ως κάτωθι: h 1 (t)=ψ 1 (Τ-t) r 1 h (t)=ψ (Τ-t) Αποδεικνύεται (σχετικά) εύκολα η σχέση εισόδου εξόδου είναι όπως στον πιο κάτω πίνακα. r out input r(t) out 1 r 1 r ψ 1 (t) 1 ψ (t) 1 n(t) n 1 n Τα n 1 και n είναι τυχαίες µεταβλητές, στατιστικά ανεξάρτητες µε Gaussian κατανοµή και τις ίδιες παραµέτρους (iid) µέση τιµή και σ =Ν / sagri@di.uoa.gr 4

25 /5/14 1:56:33 µµ Παράδειγµα Εργαστηριακού Συστήµατος µε δύο ορθογώνιες κυµατοµορφές ψ 1 (t)και ψ (t) ( t) = π f t ψ ( ) ψ1 cos( C ) fc = t = sin( π fct) Ακολουθία Συµβόλων Κυµατοσειρά Εξ. Απδ1 Εξ. Απδ sagri@di.uoa.gr 5

26 /5/14 1:56:33 µµ ( ) ψ1 t = cos( π fct) ( ) = π ( + ) ψ t cos fc 1 t Ακολουθία Συµβόλων fc = Κυµατοσειρά Εξ. Απδ Εξ. Απδ1 ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ 1. Όταν r (t)=ψ 1 (t) r 1 =1 & r = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 = ψ 1 1 = ψ 1 ψ1 1 = = r t h t dt t dt t dt ενώ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r = ψ t h t dt = ψ t ψ t dt = ψ t ψ t dt = Όταν r(t)=ψ (t) r =1 & r 1 = Αποδεικνύεται όπως και στο Όταν r (t)=n(t) r 1 =n 1 & r =n, n 1,n iid Gaussian µε µέση τιµή και διακύµανση σ =Ν / Τα πιο πάνω έχουν ήδη αποδειχθεί εκτός από την ανεξαρτησία των n 1,n sagri@di.uoa.gr 6

27 /5/14 1:56:33 µµ Οι συνιστώσες του θορύβου n 1, και n Είναι µεταξύ τους ασυσχέτιστες (Ε[n 1 n ]=. Πράγµατι! σ 1 = E[ n1n ] = E n( τ ) h1 ( τ ) dτ n( w) h ( w) dw σ 1 = E n( τ ) h1 ( τ ) n( w) h ( w) dτ dw [ ( ) ( ) ( ) ( )] σ = E n τ h τ n w h w dτ dw 1 1 σ 1 = h1 ( τ ) h ( w) E[ n( τ ) n( w) ] dw dτ N σ 1 = h1 ( τ ) h ( w) δ ( τ w) dw dτ N σ 1 = h1 ( τ ) h ( w) δ ( τ w) dw dτ N σ 1 = h1 ( τ )[ h ( τ )] dτ N σ 1 = ψ 1( z) ψ ( z) dz = Είναι όµως γνωστό ότι δύο Gaussian µεταβλητές όταν είναι ασυσχέτιστες είναι και στατιστικά ανεξάρτητες. sagri@di.uoa.gr 7

28 /5/14 1:56:33 µµ Από τα πιο πάνω προκύπτει ότι u(t)=aψ 1 (t)+bψ (t)+n(t) h 1 (t)=ψ 1 (Τ-t) r 1 h (t)=ψ (Τ-t) r Όταν στην είσοδο τεθεί σήµα u(t)=aψ 1 (t)+bψ (t)+n(t) στις εξόδους λαµβάνουµε: r 1 =a+ n 1 & r =b+n Όπου n 1,n ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές µε Gaussian κατανοµή, µέση τιµή µηδέν και διακύµανση σ n1 =σ n =Ν / ΖΩΝΟΠΕΡΑΤΑ ΣΗΜΑΤΑ ΥΟ ΙΑΣΤΑΣΕΩΝ 1. PHASE SHIF KEYING (PSK) ΜΕΤΑΛΛΑΓΗ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ ΦΑΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕ ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΚΥΜΑΤΟΜΟΡΦΕΣ Es π m um ( t) = cos π fct +, m =,1,..., M 1 t Μ Το σήµα αυτό µπορεί να αναλυθεί : sagri@di.uoa.gr 8

29 /5/14 1:56:33 µµ Μ-PSK Es π m um ( t) = cos π fct +, m =,1,..., M 1 t Μ Ισοδύναµα Αναλύεται σε. π m um ( t) = Es cos cos( π fct) + M ψ 1( t) π m Es sin sin( π fct), M ψ ( t) m =,1,..., M 1 t { Και εποµένως ο αστερισµός είναι π m π m sm = Es cos,sin M M m =,1,..., M 1 E s (1,), Ή αναλυτικά ( Es cos( π Μ), Es sin( π Μ) ) ( Es cos( π ( M 1 ) Μ), Es sin( π ( M 1) Μ) )} Σηµαντική Ιδιότητα του Μ-PSK! Όλα τα στοιχεία του αστερισµού ενός Μ-PSK έχουν την ίδια ενέργεια Ε=Ε s Πράγµατι τα στοιχεία του αστερισµού είναι Με Ε m : π m π m sm = Es cos,sin M M m =,1,..., M 1 π m π m E = E cos + E sin = E M M m =,1,..., M 1 m s s s sagri@di.uoa.gr 9

30 /5/14 1:56:33 µµ Παράδειγµα Κυµατοσειράς Τετραδικού PSK (QPSK) Παράδειγµα Αστερισµού Τετραδικού PSK (QPSK) ΑΠΟ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΗΣ PSK ΚΥΜΑΤΟΣΕΙΡΑΣ PLL Τοπικός Ταλαντωτής ψ 1 ( t) = cos ( π fct + φ) j ( )dt ( j 1) π m Es cos + nc M -π/ j ( )dt ( j 1) k π m E s sin + ns M sin C ψ ( t) = ( π f t + φ) sagri@di.uoa.gr 3

31 /5/14 1:56:33 µµ Στους Αστερισµούς αυτούς δίνεται συγχρόνως και η απεικόνιση των bits του δυαδικού καναλιού. Για την απεικόνιση αυτή έχει χρησιµοποιηθεί Κώδικας Gray. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ P e ΣΕ Μ-PSK Για -αδικό PSK (Αντίποδα Σύµβολα ) Τη σχέση αυτή την έχουµε ήδη αποδείξει: Για Μ> αποδεικνύεται: log Για Μ-PSK, Μ>=4 ( ) M Eb π Pe = Q sin N Μ sagri@di.uoa.gr 31

32 /5/14 1:56:33 µµ Μ-PSK P ε =f([ε b /N ] dβ ) [ε b /N ] dβ Σύγκριση Συστηµάτων ΜPAM MPSK M-PAM M-PSK sagri@di.uoa.gr 3

33 /5/14 1:56:33 µµ Όπως και τα µονοδιάστατα συστήµατα (PAM), έτσι και στα συστήµατα µε δύο βασικές κυµατοµορφές η απεικόνιση των bits στα σύµβολα µπορεί να γίνει µε βάσει τον κώδικα Gray. Στην περίπτωση αυτή ισχύει λοιπόν: P b =P e /k, k=log (M) Κώδικας Gray για 8-αδικό Σύστηµα Απεικόνιση των τιµών των bits σε 8- PSK µε βάση τον Gray Κώδικα. ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΚΑΤΑ ΠΛΑΤΟΣ (QUADRAURE AMPLIUDE MODULAION-QAM QAM ) E E sm t Amc fct Ams fct g g ( ) = cos( π ) sin( π ) sm ( t) = Amc Eg cos( π fct) + Ams Eg sin( π fct) ψ ( t) 1 ψ ( t) ( ) ( ) A = ( M 1), M 3,, 1, 1,,( M 1) mc c c c A = ( M 1), M 3,, 1, 1,,( M 1) ms s s s ΟΑστερισµός του QAM προκύπτει ως καρτεσιανό γινόµενο των δύο PAM Aστερισµών και εποµένως περιέχει Μ=Μ c XM S Σύµβολα. sagri@di.uoa.gr 33

34 /5/14 1:56:33 µµ ΑΠΟ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΗΣ QAM ΚΥΜΑΤΟΣΕΙΡΑΣ PLL Τοπικός Ταλαντωτής ψ 1 ( t) = cos ( π fct + φ) j ( )dt ( j 1) Amc E + n g c -π/ j ( )dt ( j 1) k Ams Es + ns sin C ψ ( t) = ( π f t + φ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΤΕΡΙΣΜΩΝ QAM sagri@di.uoa.gr 34

35 /5/14 1:56:33 µµ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ M-QAM P MQAM 4Q 3 ε avqam ( ) M 1 N Πιθανότητα Σφάλµατος ανά σύµβολο για M-QAM P MQAM 4Q ( M ) ( M 1) N 3log ε b sagri@di.uoa.gr 35

36 /5/14 1:56:33 µµ Παράδειγµα ιαθέτουµε ηλεκτρικό κανάλι µε AWG θόρυβο µε φασµατική πυκνότητα θορύβου Ν /=1-8 Watt/Hz. Με βάση το κανάλι αυτό κατασκευάζεται σύστηµα διαβίβασης δεδοµένων 16-QAM σύµβολα και πιθανότητα σφάλµατος P b =1-5. Αν η ισχύς λήψης είναι P R mwatt να υπολογίσετε τη µέγιστη δυνατή τιµή του ρυθµού διαβίβασης R bmax. Λύση Επειδή P e =P b k, k=log (M) P e =4x1-5 Από το διάγραµµα επιδόσεων του 16-QAM προκύπτει ότι για P e =4x1-5 πρέπει (Ε b /N ) db =13.5 db (Ε b /N )= (Ε b /N )=.4 Ισχύει: Ε b R b =P R (Ε b /N )N R b =P R Οπότε : R b =P R /[(Ε b /N )N ]R b x1-3 Watt/[.4xx1-8 Watt/Hz] R b 45 bits/sec R bmax = 45 bits/sec ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜQAM - MPSK ΓΙΑ Μ-QAM ΓΙΑ Μ-PSK 3ε ( ) avqam P 4Q εavpsk P MQAM MPSK Q sin M 1 N N Για να είναι P MQAM ~P MPSK αρκεί τα υπόρριζα να είναι ίσα. Αν ορίσουµε R M =ε avpsk /ε avqam ( π Μ) sagri@di.uoa.gr 36

37 /5/14 1:56:33 µµ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ M-QAM & MPSK M-QAM M-PSK Η χρήση του κώδικα Gray για την απεικόνιση των τιµών των bits στα σύµβολα του QAM ώστε να εξασφαλίζεται πως τα γειτονικά σύµβολα θα διαφέρουν µόνο σε ένα bit, δεν γίνεται µε τόσο προφανή τρόπο, όπως στο M-PAM και στο Μ-PSK. Εν τούτοις στη βιβλιογραφία προτείνονται κατάλληλες απεικονίσεις όπως αυτή του 16-QAM που δίνεται πιο κάτω. Και στο QAM λοιπόν µπορούµε να δεχθούµε ότι ισχύει: P b =P e /k, k=log (M) sagri@di.uoa.gr 37

38 /5/14 1:56:33 µµ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕ Μ ΟΡΘΟΓΩΝΙΕΣ ΚΥΜΑΤΟΜΟΡΦΕΣ Σε ένα πλήθος εφαρµογών, στις οποίες υπάρχει διαθέσιµο µεγάλο εύρος ζώνης, ενώ η ισχύς είναι δυσεύρετη, χρησιµοποιούνται Συστήµατα µε Μ κυµατοµορφές όλες µεταξύ τους ορθογώνιες! Τέτοια συστήµατα είναι τα M-FSK (Frequency Shift Keying) Για το σκοπό αυτό µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε κυµατοµορφές ψ m (t)της µορφής ψ m ( t) = cos ( fc m f ) t t π + < m =,1,..., M 1 Όπως θα δούµε στη συνέχεια, επιλέγοντας κατάλληλα την ποσότητα f όλες οι πιο πάνω κυµατοµορφές γίνονται ορθογώνιες µεταξύ τους. Πράγµατι! Imn = ψ ( ) ( ) cos ( ) cos ( ) m t ψ n t = π f c + m f t π fc + n f t dt 1 Imn = cos π ( f ( ) ) cos ( ) c + m+ n f t dt + π m n ft dt I Ι mn mn sin = ( π ( m n) f ) π ( m n) f Για m διάφορο του n, όταν επιλεγεί f=k(1/),ή ισοδύναµα όταν f=kr/τότε Ι mn =, ενώ για m=n Ι mn =1. ηλαδή, επιλέγοντας να ισχύει f=kr/,οι ψ m και ψ n καθίστανται ορθοκανονικές κυµατοµορφές. I mn = 1 m n m = n sagri@di.uoa.gr 38

39 /5/14 1:56:33 µµ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΤΑΛΛΑΓΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ (FREQUENCY SHIF KEYING - FSK) Το Μ-FSK είναι ένα σύστηµα µε Μ ορθογώνιες µεταξύ του κυµατοµορφές s m (t), m=,1,,m-1 Es R sm ( t) = cos fc m t t π + < R = 1 m =,1,..., M 1 κάθε µία από τις οποίες έχει ενέργεια E s. ΑΠΟ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΥΜΦΩΝΗΣ ΦΑΣΗΣ Μ- ΙΚΩΝ FSK ΣΗΜΑΤΩΝ Το f επιλέγεται ως f =1/(Τ)=R/ Με τον τρόπο αυτό το εύρος ζώνης της κυµατοσειράς γίνεται ελάχιστο. sagri@di.uoa.gr 39

40 /5/14 1:56:33 µµ Όταν στην είσοδο υπάρχει µόνο η κυµατοµορφή s m (t) στην έξοδο λαµβάνεται ένα διάνυσµα µε Μ συνιστώσες από τις οποίες όλες είναι µηδέν εκτός από τη m-στη που έχει τιµή: Es ή πιο σύντοµα: 1 M 1 Εποµένως ο αστερισµός Α του συστήµατος αυτού είναι το σύνολο των Μ διανυσµάτων µε Μ συνιστώσες το κάθε ένα: A A = { s, s,..., s } = { E s,,...,,, E s,...,,,,..., E s } Όταν στην είσοδο υπάρχει µόνο ο θόρυβος του καναλιού n(t) στην έξοδο λαµβάνεται ένα διάνυσµα µε Μ συνιστώσες οι οποίες είναι iid τυχαίες µεταβλητές µε κατανοµή Gaussian µέση τιµή µηδέν και διακύµανση σ =Ν / Όταν λοιπόν στην είσοδο φθάσει το σήµα: u( t) = sm ( t) + n( t) στην έξοδο του αποδιαµορφωτή λαµβάνεται το διάνυσµα [ ] r = v,..., v, E v, v,..., v,...,, E,,,..., + = + v,..., v, + v, v,..., v m 1 s m m+ 1 M 1 s m 1 m m+ 1 M 1 ή r = s+ v Με βάση το διάνυσµα r γίνεται η φώραση του συµβόλου που έχει αποσταλεί. sagri@di.uoa.gr 4

41 /5/14 1:56:33 µµ ΦΩΡΑΣΗ ΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ FSK Για λήψη στην έξοδο του αποδιαµορφωτή r = s+ v Η φώραση στα συστήµατα M-FSK γίνεται µε βάση την αρχή της ελάχιστης απόστασης του διανύσµατος r από τα διανύσµατα του αστερισµού. Καθώς όλα τα διανύσµατα του αστερισµού Α έχουν το ίδιο µέτρο s m = E s το κριτήριο της ελάχιστης απόστασης απλοποιείται στο κριτήριο s = s r > r j =,1,..., M 1, j m m m j ηλαδή ο Φωρατής στα συστήµατα αυτά αναδεικνύει το δείκτη της µέγιστης συνιστώσας του διανύσµατος λήψης r. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ M-FSK M-QAM M-FSK M-QAM sagri@di.uoa.gr 41

42 /5/14 1:56:33 µµ Από τις επιδόσεις των συστηµάτων M-FSK προκύπτει ότι αυτά έχουν πολύ µικρότερη απαίτηση σε ισχύ από τα µονοδιάστατα και τα δυδιάστατα συστήµατα αλλά πρέπει να αναφέρουµε ότι χρειάζονται πολύ περισσότερο εύρος ζώνης ανά διαβιβαζόµενο σύµβολο. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΣΥΜΦΩΝΗ ΑΠΟ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ Μ-FSK Στο Μ-FSK η επίτευξη σύµφωνης αποδιαµόρφωση είναι εξαιρετικά δύσκολη, επειδή κάθε φίλτρο συσχέτισης απαιτεί διαφορετικό PLL και η κάθε συχνότητα εµφανίζεται µόνο 1/Μ του χρόνου. Για το λόγο αυτό καταφεύγουµε σε ασύµφωνη αποκωδιαµόρφωση. ΑΣΥΜΦΩΝΗ ΑΠΟ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΗΜΑΤΟΣ M-FSK 4

43 /5/14 1:56:33 µµ ΑΣΥΜΦΩΝΗ ΑΠΟ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΗΜΑΤΟΣ M-FSK Όταν στην είσοδο του δέκτη βρίσκεται η s m (t) κυµατοµορφή µε φάση φ m και ο θόρυβος του καναλιού n(t) E u t f c m f t m n t s ( ) = cos π ( + ) + φ + ( ) αποδεικνύεται ότι στο ζεύγος εξόδων r kc και r ks του ασύµφωνου αποδιαµορφωτή λαµβάνονται οι τιµές: k =,1,..., M 1 ΑΣΥΜΦΩΝΗ ΑΠΟ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΗΜΑΤΟΣ M-FSK και χρησιµοποιώντας τις συναρτήσεις cott(x)και sinc(x) cott ( x) ( π x) cos 1 = π x τα ζεύγη εξόδων γίνονται ( ) φ ( ) r = E sinc k m f cos cott k m f sinφ + n kc s m m kc ( ) φ ( ) r = E cott k m f cos + sinc k m f sinφ + n k =,1,..., M 1 ks s m m ks Όπως µπορείτε να διαπιστώσετε από το διάγραµµα των συναρτήσεων cott(x)και sinc(x)που δίνεται στην επόµενη σελίδα, αυτές µηδενίζονται και οι δύο για όλα τα x που είναι άρτιοι ακέραιοι. sagri@di.uoa.gr 43

44 /5/14 1:56:33 µµ ΑΣΥΜΦΩΝΗ ΑΠΟ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΗΜΑΤΟΣ M-FSK 1.8 cott(x) sinc(x) cos( π x) 1 cot t( x) = π x sinπ x sin c( x) = π x Αν επιλέξουµε λοιπόν f= f=1 f=rf=r Τα ζεύγη εξόδων του ασύµφωνου αποδιαµορφωτή γίνονται. ΑΣΥΜΦΩΝΗ ΑΠΟ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΗΜΑΤΟΣ M-FSK r = n, r = n k =,1,..., M 1 k m kc kc ks ks Ενώ όταν k=m Και αν εφαρµόσουµε : r = r + r n nc ns Και δεχθούµε πολύ ισχυρό σήµα σε σχέση µε το θόρυβο προκύπτει r = n + n k =,1,..., M 1 k m k kc ks Ενώ όταν k=m r = E k = m m s sagri@di.uoa.gr 44

45 /5/14 1:56:33 µµ ΑΣΥΜΦΩΝΗ ΑΠΟ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΗΜΑΤΟΣ M-FSK Στις προηγούµενες σχέσεις µπορείτε να διαπιστώσετε ότι ο θόρυβος έπαψε να είναι Gaussian οπότε και η φώραση σύµφωνα µε το κριτήριο ελάχιστης απόστασης δεν ισχύει πλέον. Εν τούτοις στην πράξη εφαρµόζεται το ίδιο κριτήριο µε αποτέλεσµα την µικρή αύξηση της πιθανότητας σφάλµατος. Επίσης το κύκλωµα της αποδιαµόφωσης δεν διαθέτει πλέον το βέλτιστο φίλτρο, και αυτό είναι αιτία να αυξηθεί επιπλέον η πιθανότητα σφάλµατος. Τέλος,επειδή στο ασύµφωνο M-FSK υποχρεωθήκαµε να διπλασιάσουµε την τιµή του f σε σχέση µε την τιµή που χρησιµοποιήσαµε στο σύµφωνο M-FSK, θα διπλασιαστεί ανάλογα και το αντίστοιχο εύρος ζώνης που απαιτείται για τη διαβίβαση των κυµατοσειρών ΑΣΥΜΦΩΝΗ ΑΠΟ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ Μ-FSK sagri@di.uoa.gr 45

46 /5/14 1:56:33 µµ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΣΥΜΦΩΝΗΣ & ΑΣΥΜΦΩΝΗΣ ΑΠΟ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΓΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑ Μ-FSK ΣΥΜΦΩΝΗ ΑΠΟ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΑΣΥΜΦΩΝΗ ΑΠΟ ΙΑΜΟΡΦΩΣΗ Μπορείτε να παρατηρήσετε ότι, στα ορθογώνια συστήµατα που περιγράψαµε, η απόσταση µεταξύ οποιουδήποτε ζεύγους συµβόλων του αστερισµού έχει την ίδια τιµή. Στα συστήµατα λοιπόν αυτά, όταν συµβαίνει λάθος στην διαβίβαση ενός συµβόλου του αστερισµού, στο δέκτη προκύπτει µε την ίδια πιθανότητα οποιαδήποτε από τα υπόλοιπα Μ-1 σύµβολα. Στα ορθογώνια λοιπόν συστήµατα δεν ωφελεί σε τίποτα να γίνει απεικόνιση των bits στα σύµβολα µε βάση το Gray κώδικα. Επειδή κατά το σφάλµα συµβόλου προκύπτει οποιοδήποτε σύµβολο µε την ίδια πιθανότητα, τα k bits που αντιστοιχούν στο διαβιβαζόµενο σύµβολο αντικαθίστανται από k τυχαία bits.για αυτό το λόγο κατά µέσο όρο τα µισά από τα k bits θα είναι λανθασµένα. Στα ορθογώνια λοιπόν συστήµατα ισχύει: P b =P e / sagri@di.uoa.gr 46

47 /5/14 1:56:33 µµ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Οι διαφάνειες του αρχείου αυτού καλύπτουν την ύλη που περιέχεται στο βιβλίο του J. Proaki στις σελίδες: