Κατηγορηματική Λογική

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κατηγορηματική Λογική"

Transcript

1 Κατηγορηματική Λογική Επέκταση της προτασιακής λογικής. Ο κόσμος περιγράφεται σαν ένα σύνολο αντικειμένων, ιδιοτήτων και σχέσεων. Αντιμετωπίζει το πρόβλημα της μη προσπελασιμότητας των στοιχείων των γεγονότων της προτασιακής λογικής. Π.χ., η πρόταση " ο τζίμης είναι τίγρης " αναπαριστάται με τίγρης(τζίμης) Ύπαρξη μεταβλητών, που αυξάνει σημαντικά την εκφραστική ικανότητά της, Επιτρέπει την αναπαράσταση "γενικής" γνώσης. Επεκτείνει την προτασιακή λογική εισάγοντας όρους (terms), κατηγορήματα (predicates) και ποσοδείκτες (quantifiers).

2 Αλφάβητο Κατηγορηματικής Λογικής (1/3) Σταθερές, π.χ. a, b, c, a_1, a_2, κ.λ.π. Τα ονόματα των σταθερών ξεκινούν με πεζά γράμματα ή αριθμούς. Μεταβλητές, π.χ. Χ, Υ, Χ1, Χ2, Man κ.λ.π. Αναπαριστώνται από κεφαλαία σύμβολα του λατινικού αλφάβητου, ή τουλάχιστον τα ονόματα τους ξεκινούν με κεφαλαίο γράμμα. Συναρτησιακό σύμβολο (functor), π.χ. f, g, date κ.λ.π. Σύμβολα κατηγορημάτων, π.χ. p, q, color, κ.λ.π. Τάξη (arity): το πλήθος των ορισμάτων (arguments) ή παραμέτρων (parameters). Κάθε σύμβολο κατηγορήματος έχει μια συγκεκριμένη τάξη. Συνδετικά: Όμοια με εκείνα της προτασιακής λογικής και με την ίδια σημασιολογία. " " σύζευξη (λογικό "ΚΑΙ"), " " διάζευξη (λογικό "Η"), " " άρνηση, " " συνεπαγωγή ("ΕΑΝ ΤΟΤΕ"), " " ισοδυναμία ("ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ"). 2

3 Αλφάβητο Κατηγορηματικής Λογικής (2/3) Δύο ποσοδείκτες: τον υπαρξιακό ποσοδείκτη " " (existential quantifier) και τον καθολικό ποσοδείκτη " " (universal quantifier). Τρία σύμβολα στίξης: "(", ")" και ",". Δύο σύμβολα αλήθειας "T" (αληθές) και "F" (ψευδές). Ένας όρος (term) της κατηγορηματικής λογικής είναι είτε: μια σταθερά μια μεταβλητή ένας συναρτησιακός όρος (functional term), της μορφής F(t 1,t 2,...,t n ), όπου F είναι ένα συναρτησιακό σύμβολο (functor) τάξης n και τα ορίσματα t 1, t 2,...,t n είναι επίσης όροι. παραδείγματα όρων: Χ, νίκος, πατέραςτου(νίκου), πατέραςτου(πατέραςτου(νίκου)) Ένας ατομικός τύπος (atomic formula) έχει την μορφή p(a 1,a 2,...,a n ) p είναι ένα σύμβολο κατηγορήματος (ή κατηγόρημα) τάξης n και τα a 1,a 2,...,a n ορίσματα (arguments). Για να ελεγχθεί αν δύο όροι είναι ίσοι χρησιμοποιείται το γνωστό από τα μαθηματικά σύμβολο της ισότητας "=", π.χ. Χ=Υ. Για τον έλεγχο ανισότητας προηγείται το σύμβολο της άρνησης, π.χ. (Χ=Υ) Κάθε όρισμα ενός κατηγορήματος είναι ένας όρος. 3

4 Αλφάβητο Κατηγορηματικής Λογικής (3/3) Η σύνδεση προτάσεων για τη δημιουργία ορθά δομημένων τύπων γίνεται με τη χρήση συνδετικών. Στην κατηγορηματική λογική οι ορθά δομημένοι τύποι περιέχουν και ποσοδείκτες. Παράδειγμα ορθά δομημένου τύπου: Χ φάλαινα(χ) θηλαστικό(χ) Για την επεξήγηση του τύπου και την απόδοση λογικής τιμής απαιτείται ορισμός της σημασιολογίας. 4

5 Σημασιολογία Κατηγορηματικής Λογικής Αφηρημένος κόσμος (abstract world) ή πεδίο (domain) Αποτελείται από Aντικείμενα, ιδιότητές τους και σχέσεις μεταξύ τους Ιδιότητες: Kατηγορήματα 1 ης Tάξης, π.χ. strong(hercules) Σχέσεις: Kατηγορήματα Aνώτερης Tάξης, π.χ. father_of(zeus,hercules). Μια ερμηνεία αντιστοιχεί τους όρους και ατομικούς τύπους της λογικής στα αντικείμενα και σχέσεις του κόσμου. Η απεικόνιση όρων σε αντικείμενα ονομάζεται ανάθεση όρων (term assignment). Οι σταθερές αντιστοιχούνται στα αντικείμενα του κόσμου Οι συναρτησιακοί όροι αναφέρονται σε αντικείμενα, στα οποία δεν δίνουμε ένα συγκεκριμένο όνομα αλλά χρησιμοποιούμε μια περίφραση για να αναφερθούμε σ' αυτά, π.χ. date(2014,11,13) αναπαριστά το «σήμερα», οπότε date(2014,11,14) είναι το «αύριο». Το αριστερό πόδι του Σωκράτη μπορεί να αναπαρασταθεί ως πόδι(σωκράτης,left) Ένας ατομικός τύπος μπορεί να είναι αληθής ή ψευδής. Μπορεί να απεικονίζει: Αν ισχύει κάτι ή όχι (arity=0, προτασιακή λογική, π.χ. it_rains). Μια ιδιότητα ενός αντικειμένου (arity=1). Μια σχέση ανάμεσα σε μια διατεταγμένη πλειάδα (tuple) αντικειμένων. 5

6 Μεταβλητές και Ποσοδείκτες Στην κατηγορηματική λογική πρώτης τάξης (first order predicate logic) oι μεταβλητές αναφέρονται μόνο σε αντικείμενα και όχι σε συναρτησιακά σύμβολα ή κατηγορήματα. Επιβάλλεται η ποσοτικοποίηση των μεταβλητών από έναν από τους ποσοδείκτες. άνθρωπος(x) θνητός(x) άνθρωπος(χ) μαθηματικός(χ) Τι ακριβώς αναπαριστούν οι παραπάνω τύποι; H αποσαφήνιση της σημασίας των παραπάνω εκφράσεων απαιτεί την εισαγωγή κατάλληλων ποσοδεικτών. Ο υπαρξιακός ποσοδείκτης " " (existential quantifier). ( Χ)(φ(X)) προφέρεται "υπάρχει Χ, τέτοιο ώστε ο τύπος φ(x) να αληθής" Ο καθολικός ποσοδείκτης " " (universal quantifier). ( Χ)(φ(X)) προφέρεται "για κάθε Χ, o φ(x) είναι αληθής" Έτσι μια σωστότερη αναπαράσταση της παραπάνω γνώσης είναι: ( Χ)(άνθρωπος(X) θνητός(x)) "όλοι οι άνθρωποι είναι θνητοί" ( Χ)(άνθρωπος(Χ) μαθηματικός(χ)) "κάποιος άνθρωπος είναι μαθηματικός" 6

7 Εμβέλεια Ποσοδεικτών Σε έναν τύπο ( Χ)(φ(X)) ή ( Χ)(φ(X)), το φ(x) ονομάζεται εμβέλεια (scope) των Χ και Χ αντίστοιχα. Η εμβέλεια του Χ στον τύπο ( Χ)(άνθρωπος(X) θνητός(x)) είναι ο τύπος άνθρωπος(x) θνητός(x). Μια εμφάνιση (occurrence) κάποιας μεταβλητής, μπορεί να είναι: δεσμευμένη (bound). ελεύθερη (free). Πχ, στον τύπο ( Χ)(φ(X,Y)) η εμφάνιση της μεταβλητής Χ είναι δεσμευμένη η εμφάνιση της μεταβλητής Y είναι ελεύθερη. Ένας τύπος που στερείται ελεύθερων μεταβλητών ονομάζεται κλειστός τύπος (closed formula). Βασικός όρος (ή τύπος) (ground term), είναι ένας όρος (ή τύπος) που δεν περιέχει καμία μεταβλητή. Βασικοί όροι: επάγγελμα(προγραμματιστής) και φορολογούμενος(νίκος, επάγγελμα(προγραμματιστής)) 7

8 Σειρά Ποσοδεικτών Η ύπαρξη πολλών ποσοτικοποιημένων μεταβλητών απαιτεί περισσότερη προσοχή. Η σειρά των μεταβλητών παίζει σημαντικό ρόλο. Για παράδειγμα. Έστω το κατηγόρημα αγαπά(<αντρασ>, <ΓΥΝΑΙΚΑ>) ( Χ)(( Υ)(αγαπά(X,Υ))) ( Υ)(( Χ)(αγαπά(X,Υ))) Εξηγήστε τη διαφορά... 8

9 1. ( Χ)(( Υ)(αγαπά(X,Υ))) 2. ( Υ)(( Χ)(αγαπά(X,Υ))) Ο πρώτος σημαίνει "για κάθε άντρα Χ, δηλαδή για ένα αντικείμενο του πεδίου, υπάρχει μια γυναίκα που την αγαπά, δηλ. «κάθε άντρας αγαπά (τουλάχιστον) μια γυναίκα». Ο δεύτερος σημαίνει ότι "υπάρχει (τουλάχιστον) μια γυναίκα που την αγαπούν όλοι οι άντρες". 9

10 Αντικατάσταση και Ενοποίηση Η αντικατάσταση (substitution) αφορά την αντικατάσταση των μεταβλητών από κάποιους όρους. Παριστάνεται με {Χ i /t i } όπου Χ i η μεταβλητή και t i ο όρος. Π.χ. η αντικατάσταση {Χ/φάλαινα} στον τύπο: είναι(x, θηλαστικό) θα δώσει τον τύπο: είναι(φάλαινα, θηλαστικό) Ενοποίηση (unification) είναι η διαδικασία κατά την οποία δύο εκφράσεις γίνονται συντακτικά όμοιες με την χρήση αντικαταστάσεων. Π.χ. οι ακόλουθες προτάσεις: είναι(λιοντάρι, θηλαστικό, X) είναι(λιοντάρι, Y, σαρκοβόρο) ενοποιούνται με την αντικατάσταση θ={x/σαρκοβόρο, Y/θηλαστικό}. 10

11 Ενοποιητής Για δύο εκφράσεις φ 1 και φ 2, o ενοποιητής (unifier) τους, είναι μια αντικατάσταση θ τέτοια ώστε η έκφραση φ 1 θ να είναι όμοια με την φ 2 θ. Οι εκφράσεις φ 1 και φ 2 ονομάζονται ενοποιήσιμες (unifiable). Ο γενικότερος ενοποιητής (mgu-most general unifier) ενοποιεί τις εκφράσεις με τις λιγότερες δυνατές αντικαταστάσεις. Εύρεση του γενικότερου ενοποιητή: Δύο σταθερές ενοποιούνται αν και μόνο αν είναι ίδιες. Μια μεταβλητή ενοποιείται με οποιοδήποτε όρο, εισάγοντας μια νέα αντικατάσταση στον γενικότερο ταυτοποιητή. Δύο συναρτησιακοί όροι ενοποιούνται αν έχουν το ίδιο συναρτησιακό σύμβολο, την ίδια τάξη (αριθμό ορισμάτων) και αν κάθε όρισμα του πρώτου μπορεί να ενοποιηθεί με το αντίστοιχο σε θέση όρισμα του δεύτερου όρου. Δυο ατομικοί τύποι ενοποιούνται αν έχουν το ίδιο κατηγόρημα, την ίδια τάξη (αριθμό ορισμάτων) και αν κάθε όρισμα του πρώτου μπορεί να ενοποιηθεί με το αντίστοιχο σε θέση όρισμα του δεύτερου ατομικού τύπου. 11

12 Έστω οι εκφράσεις: 1. fun5(ab(5),99,date(2013,11,22)) 2. fun5(z,μ,date(2014,m,d)) 3. fun5(z,χ,date(y,m,d)) 4. fun5(z,m, ) 5. fun5(a,b,c) 6. fun5(a,b,c) 7. fun(a,b,c) 8. fun5(a,b,c,d) Ενοποιητής - Παράδειγμα Ποιές από αυτές ενοποιούνται και ποιός είναι ο MGU; 12

13 1. fun5(ab(5),99,date(2013,11,22)) 2. fun5(z,μ,date(y,m,d)) 3. fun5(z,χ,date(y,m,d)) 4. fun5(z,m, ) 5. fun5(a,b,c) 6. fun5(k,m,n) 7. fun(a,b,c) 8. fun5(a,b,c,d) Ενοποιητής Λυμένο Παράδειγμα Ποιές από αυτές ενοποιούνται και ποιός είναι ο MGU; Απάντηση: Ενοποιουνται η (1) με την (3) με ενοποιητή θ={ζ/ab(5), X/99, D/22, M/11, Y/2013}. Επίσης η (2) με την (3), με MGU = {M/X} η (6) μόνο με την (5), με MGU={A/k,B/m,C/n} η (5) με όλες τις προηγούμενες, π.χ. με την (2): { A/Ζ,B/Μ,C/date(Y,M,D)} οι (8) και (7) με καμία. 13

14 Χαρακτηριστικά Αλγορίθμου Ενοποίησης Ο αλγόριθμος ενοποίησης είναι αποδοτικός. Είναι μη ορθός. Η μη ορθότητα του αλγορίθμου έγκειται στις περιπτώσεις όπου η προς ενοποίηση μεταβλητή εμφανίζεται στον όρο με τον οποίο θα ενοποιηθεί. Π.χ. η ενοποίηση Χ=επάγγελμα(Χ) δίνει Χ=επάγγελμα(επάγγελμα(επάγγελμα(...))) Οι έννοιες της αντικατάστασης και της ενοποίησης είναι σημαντικές για την εφαρμογή των κανόνων συμπερασμού της κατηγορηματικής. 14

15 Παράδειγμα Αναπαράστασης Γνώσης Γνώση για τα χαρακτηριστικά διαφόρων ειδών ζώων: Τα ζώα που έχουν τρίχωμα ή παράγουν γάλα είναι θηλαστικά. Τα ζώα που έχουν φτερά και γεννούν αυγά είναι πουλιά. Τα θηλαστικά που τρέφονται με κρέας ή έχουν κοφτερά δόντια είναι σαρκοβόρα. Κάθε σαρκοβόρο με χρώμα καφέ-πορτοκαλί που έχει μαύρες ρίγες είναι τίγρης. Κάθε σαρκοβόρο με χρώμα καφέ-πορτοκαλί που έχει μαύρες βούλες είναι τσιτάχ. Κάθε πουλί το οποίο δεν πετά και κολυμπά είναι πιγκουΐνος. Αναπαραστήστε σε κατηγορηματική λογική τις παραπάνω προτάσεις. 15

16 Παράδειγμα Αναπαράστασης Γνώσης Γνώση για τα χαρακτηριστικά διαφόρων ειδών ζώων: Κάθε ζώο το οποίο έχει τρίχωμα ή παράγει γάλα είναι θηλαστικό. Κάθε ζώο που έχει φτερά και γεννάει αυγά είναι πουλί. Κάθε θηλαστικό που τρέφεται με κρέας ή έχει κοφτερά δόντια είναι σαρκοβόρο. Κάθε σαρκοβόρο με χρώμα καφέ-πορτοκαλί που έχει μαύρες ρίγες είναι τίγρης. Κάθε σαρκοβόρο με χρώμα καφέ-πορτοκαλί που έχει μαύρες βούλες είναι τσιτάχ. Κάθε πουλί το οποίο δεν πετά και κολυμπά είναι πιγκουΐνος. Οι προτάσεις αναπαριστώνται σε κατηγορηματική λογική ως: X (έχει(x,τρίχωμα) παράγει(x, γάλα)) είναι(x, θηλαστικό) X (έχει(x, φτερά) γεννάει(x, αυγά)) είναι(x, πουλί) X (είδος(x,θηλαστικό) ((τρέφεται(x, κρέας) έχει(x, δόντια(κοφτερά))) ) είναι(x, σαρκοβόρο) X (είναι(x,σαρκοβόρο) χρώμα(x,καφέ-πορτοκαλί) έχει(x,ρίγες(μαύρες)) είναι(x, τίγρης) X (είναι(x,σαρκοβόρο) χρώμα(x,καφέ-πορτοκαλί) έχει(x,βούλες(μαύρες)) είναι(x,τσιτάχ). X (είναι(x,πουλί) ( πετά(x) ) κολυμπά(x) ) είναι(x, πιγκουΐνος). Πως εξάγεται νέα γνώση (νέες προτάσεις); 16

17 Ισοδυναμίες Υπάρχει σύνολο ισοδυναμιών για το μετασχηματισμό των τύπων της λογικής. Δύο "κατηγορίες" ισοδυναμιών": Κοινές με την προτασιακή λογική Εκείνες που αφορούν ποσοσδείκτες Από την Προτασιακή Λογική Ισοδυναμία Ονομασία (1) p p νόμος της διπλής άρνησης (2) ( p q) (p q) νόμος De Morgan (3) ( p q) (p q) νόμος De Morgan (4) (p q) r (p r) (q r) επιμερισμός ως προς την σύζευξη (5) (p q) r (p r) (q r) επιμερισμός ως προς την διάζευξη (6) (p q) p q (7) (p q) (p q) (q p) (p q) ( p q) 17

18 (8) X (p(x)) X ( p(x)) (9) X (p(x)) X ( p(x)) (10) X (p(x) q) X(p(X)) q (11) X(p(X) q) X (p(x)) q (12) X(p(X)) q X(p(X) q) (13) X(p(X)) q X(p(X) q) Ισοδυναμίες Για Ποσοδείκτες Επιμερισμός: Παντού, όπου το q δεν περιέχει ελεύθερες εμφανίσεις της μεταβλητής Χ. (14) X(p(X)) Υ(p(Υ)) (15) X(p(X)) Υ(p(Υ)) μετονομασία μεταβλητών (16) X(p(Χ) q(χ)) X(p(Χ)) X(q(Χ)) X p q X p X q το επιμερίζει το (17) X(p(Χ) q(χ)) X(p(Χ)) X(q(Χ)) X p q X p X q το επιμερίζει το 18

19 Παρατηρήσεις πάνω στις ισοδυναμίες Η μετονομασία δεσμευμένων μεταβλητών σε ένα τύπο και στην εμβέλεια του αντίστοιχου ποσοδείκτη, διατηρεί την ισοδυναμία (ισοδυναμίες (14) και (15)). X (έχει(x,τρίχωμα) παράγει(x, γάλα)) είναι(x, θηλαστικό). Ζ (έχει(ζ,τρίχωμα) παράγει(ζ, γάλα)) είναι(ζ, θηλαστικό). Η σύζευξη καθολικά ποσοτικοποιημένων τύπων είναι ισοδύναμη με την καθολικά ποσοτικοποιημένη σύζευξή τους: X(p(Χ)) X(q(Χ)) X(p(Χ) q(χ)) Η διάζευξη υπαρξιακά ποσοτικοποιημένων τύπων είναι ισοδύναμη με την υπαρξιακά ποσοτικοποιημένη διάζευξή τους: X(p(Χ)) X(q(Χ)) X(p(Χ) q(χ)) ΔΕΝ ισχύουν οι ισοδυναμίες: X (p(χ)) X (q(χ)) X (p(χ) q(χ)) X (p(χ)) X (q(χ)) X (p(χ) q(χ)) Δώστε από ένα παράδειγμα που να το αποδεικνύει 19

20 Προσημασμένη Συζευκτική Κανονική Μορφή Ύπαρξη τύπων που αν και φαινομενικά διαφορετικοί, είναι λογικά ισοδύναμοι. (( X)(p(X) q(x))) ( X)(p(X) q(x)) Αναγωγή σε μια κανονική μορφή. Προσημασμένη συζευκτική κανονική μορφή (prenex conjunctive normal form): X Y ( p(x) q(x) (p(x) p(x) q(x, Y))... (r(x,y) s(x)) ) Τα βασικά δομικά στοιχεία: τα λεκτικά στοιχεία (literals) (ατομικός τύπος ή η άρνηση ενός ατομικού τύπου) οι προτάσεις (clauses) (πεπερασμένη διάζευξη (disjunction) κανενός ή περισσοτέρων λεκτικών στοιχείων). Π.χ. η έκφραση p(x) p(x) q(x, Y) είναι μια πρόταση. Η Κενή πρόταση (empty clause) αναπαρίσταται με το σύμβολο. Ένας τύπος (formula) αποτελείται από μια σύζευξη προτάσεων προσημασμένης από υπαρξιακούς και καθολικούς ποσοδείκτες. X ( έχει(x,τρίχωμα) παράγει(x, γάλα) είναι(x, θηλαστικό). X ( ( έχει(x, φτερά) είναι(x, πουλί)) ( γεννάει(x, αυγά)) είναι(x, πουλί)) ) 20

21 Διαδικασία Αναγωγής σε Κανονική Μορφή Οποιοσδήποτε τύπος της κατηγορηματικής λογικής μπορεί να αναχθεί σε ένα ισοδύναμο τύπο της προσημασμένης συζευκτικής κανονικής μορφής της λογικής. Η διαδικασία περιλαμβάνει τα ακόλουθα βήματα: Απαλοιφή των συνδετικών της ισοδυναμίας και συνεπαγωγής (ισοδυναμίες (6), (7)) Μετονομασία των μεταβλητών έτσι ώστε δύο μεταβλητές που ποσοτικοποιούνται από διαφορετικούς ποσοδείκτες να μην έχουν το ίδιο όνομα. (ισοδυναμίες (14), (15)) Μετατροπή των τύπων έτσι ώστε ο τελεστής της άρνησης να εφαρμόζεται μόνο σε ατομικούς τύπους (ισοδυναμίες (1), (2), (3), (8) και (9)) Μεταφορά των ποσοδεικτών με αναδρομική εφαρμογή των ισοδυναμιών (10)-(13) Εφαρμογή των ισοδυναμιών επιμερισμού ως προς την σύζευξη και διάζευξη έτσι ώστε ο τελικός τύπος να αποτελείται από συζεύξεις προτάσεων (ισοδυναμίες (4), (5)). 21 (1) p p (2) ( p q) (p q) (3) ( p q) (p q) (4) (p q) r (p r) (q r) (5) (p q) r (p r) (q r) (6) (p q) p q (7) (p q) (p q) (q p) (8) X (p(x)) X ( p(x)) (9) X (p(x)) X ( p(x)) (10) X (p(x) q) X(p(X)) q (11) X(p(X) q) X (p(x)) q (12) X(p(X)) q X(p(X) q) (13) X(p(X)) q X(p(X) q) (14) X(p(X)) Υ(p(Υ)) (15) X(p(X)) Υ(p(Υ)) (16) X(p(Χ) q(χ)) X(p(Χ)) X(q(Χ)) (17) X(p(Χ) q(χ)) X(p(Χ)) X(q(Χ))

22 Παράδειγμα Αναγωγής σε Κανονική Μορφή X (βλάβη(x) Υ(σύμπτωμα(Χ,Υ))) ( Υ(βλαβη(Υ) μηχάνημα(λειτουργεί)) Απαλοιφή του συνδετικού της ισοδυναμίας (ισοδυναμία (6)): X ( βλάβη(x) Υ(σύμπτωμα(Χ,Υ))) ( Υ(βλαβη(Υ) μηχάνημα(λειτουργεί)) Επειδή η μεταβλητή Υ εμφανίζεται ποσοτικοποιημένη από δύο διαφορετικούς ποσοδείκτες, η δεύτερη της εμφάνιση μετονομάζεται σε Ζ X ( βλάβη(x) Υ(σύμπτωμα(Χ,Υ))) ( Ζ(βλάβη(Ζ) μηχάνημα(λειτουργεί)) Εφαρμογή των ισοδυναμιών DeMorgan και (9) (άρνηση μόνο σε τύπους): X ( βλάβη(x) Υ(σύμπτωμα(Χ,Υ)) ) Ζ( βλάβη(ζ) μηχάνημα(λειτουργεί) ) Εφαρμογή των ισοδυναμίων (10) και (12) (ομαδοποίηση των λεκτικών): X Υ Ζ (( βλάβη(x) σύμπτωμα(χ,υ)) ( βλάβη(ζ) μηχάνημα(λειτουργεί)))

23 Κανονική Μορφή κατά Skolem Είναι δυνατό να υπάρξει κάποια κανονική μορφή στην οποία να εξαλείφονται πλήρως οι ποσοδείκτες; Κανονική μορφή κατά Skolem: οι υπαρξιακά ποσοτικοποιημένες εμφανίσεις μεταβλητών αντικαθίστανται από σταθερές ή συναρτήσεις καθολικά ποσοτικοποιημένων μεταβλητών. 1) Έστω X i η πρώτη από αριστερά υπαρξιακά ποσοτικοποιημένη μεταβλητή στον τύπο και Χ 1... Χ i-1 οι καθολικά ποσοτικοποιημένες μεταβλητές του τύπου, μέσα στην εμβέλεια των οποίων βρίσκεται το X i, δηλαδή που βρίσκονται στα "αριστερά του X i, τότε a) Αν το πλήθος των καθολικών μεταβλητών (Χ 1... Χ i-1 ) είναι μηδέν, δηλαδή δεν υπάρχουν καθολικά ποσοτικοποιημένες μεταβλητές στα αριστερά της X i, τότε κάθε εμφάνιση της X i στο τύπο αντικαθίσταται από μια νέα σταθερά Skolem sk Xi (Skolem constant). b) Αν το πλήθος των καθολικών μεταβλητών είναι μεγαλύτερο του μηδενός, τότε κάθε εμφάνιση της μεταβλητής Xi στον τύπο αντικαθίσταται από μια νέα συνάρτηση Skolem (Skolem function) στις μεταβλητές Χ1... Χi-1, sk_funcxi(χ1,...,χi-1). c) Διάγραψε τον υπαρξιακό ποσοδείκτη Xi από τον τύπο. 2) Αν υπάρχουν άλλοι υπαρξιακοί ποσοδείκτες στον τύπο, τότε πήγαινε στο βήμα 1. 3) Διάγραψε όλους τους καθολικούς ποσοδείκτες. Με άλλα λόγια, αντικαθιστούμε κάθε μεταβλητή που έχει υπαρξιακό ποσοδείκτη με μια συνάρτηση των μεταβλητών που βρίσκονται στα αριστερά της έχοντας καθολικό ποσοδείκτη. (Αν δεν υπάρχουν μεταβλητές με το αριστερά της την αντικαθιστούμε με μια σταθερά) 23

24 Παράδειγμα Κανονικής Μορφής κατά Skolem X Υ Ζ (( βλάβη(x) σύμπτωμα(χ,υ)) ( βλάβη(ζ) μηχάνημα(λειτουργεί))) Υπάρχει μόνο ένας υπαρξιακός ποσοδείκτης ( Υ) μέσα στην εμβέλεια του καθολικού ποσοδείκτη X. Ο ποσοδείκτης αντικαθίσταται από την συνάρτηση Skolem sk_function Y (X): X Ζ( ( βλάβη(x) σύμπτωμα(χ, sk_func Y (X)) ) ( βλάβη(ζ) μηχάνημα(λειτουργεί))) Διαγράφονται όλοι οι καθολικοί ποσοδείκτες από τον παραπάνω τύπο: ( βλάβη(x) σύμπτωμα(χ, sk_func Y (X)) ) ( βλάβη(ζ) μηχάνημα(λειτουργεί)) Η συνάρτηση Skolem δεν εξαρτάται από την μεταβλητή Z αλλά μόνο από την Χ. 24

25 Προτασιακή Μορφή της Κατηγορηματικής Λογικής Μετατροπή ενός τύπου κανονικής μορφής σε ένα σύνολο προτάσεων- προτασιακή μορφή της λογικής (clausal form). Ο μετασχηματισμός βασίζεται στον κανόνα της απαλοιφής σύζευξης: p q p Ένας τύπος της μορφής p q r s μετατρέπεται στο σύνολο των τύπων {p,q,r,s} Το σύνολο των τύπων που προκύπτει αποτελείται από προτάσεις. Για παράδειγμα ο τύπος ( βλάβη(x) σύμπτωμα(χ, sk_func Y (X)) ) ( βλάβη(ζ) μηχάνημα(λειτουργεί)) μετατρέπεται στις προτάσεις: βλάβη(x) σύμπτωμα(χ, sk_func Y (X)) βλάβη(ζ) μηχάνημα(λειτουργεί) p q, q 25

26 Μορφή Kowalski Όλες οι προτάσεις εκφράζονται σαν λογικές ισοδυναμίες της μορφής q 1, q 2,,q n r 1, r 2,,r m Οι ατομικοί τύποι r i είναι σε διάζευξη, ενώ οι q j σε σύζευξη. Τα r i αποτελούν τα συμπεράσματα της πρότασης, ενώ τα q j τις υποθέσεις της. Τόσο τα συμπεράσματα όσο και οι υποθέσεις δεν περιέχουν αρνήσεις ατομικών τύπων. Η διαδικασία μετατροπής μιας πρότασης σε μορφή Kowalski είναι εξαιρετικά απλή. Για παράδειγμα έστω η πρόταση p q r s t Το πρώτο βήμα αφορά την συγκέντρωση όλων των ατομικών τύπων σε άρνηση στο αριστερό μέρος της πρότασης, με εφαρμογή της ισοδυναμίας p q q p : q s p r t Εφαρμογή του νόμου DeMorgan p q (p q) ( q s) p r t Εφαρμογή της ισοδυναμίας (p q) p q q s p r t Αντικατάσταση των συμβόλων της σύζευξης και της διάζευξης με το σύμβολο ",". q, s p, r, t 26

27 Παράδειγμα Μορφής Kowalski Για παράδειγμα οι προτάσεις: βλάβη(x) σύμπτωμα(χ, θόρυβος) ένταση(θόρυβος,μεγάλη) βλάβη(w) εξάρτημα(ζ,w,δεν_λειτουργεί) αντικατάσταση(ζ) στην μορφή Kowlaski βλάβη(x) σύμπτωμα(χ, θόρυβος),ένταση(θόρυβος,μεγάλη) βλάβη(w),εξάρτημα(ζ,w,δεν_λειτουργεί) αντικατάσταση(ζ) Περισσότερο αναγνώσιμη μορφή. 27

28 Περιπτώσεις Πρότασεων Kowalski q 1, q 2,,q n r 1, r 2,,r m Γενική Περίπτωση: Αν m > 0 και n > 0, τότε η πρόταση ερμηνεύεται σαν ισχύει r 1 ή r 2 ή r m εάν q 1 και q 2 και q n Προτάσεις Horn (Horn clauses): m=1 Επιτρέπεται μόνο ένας ατομικός τύπος στο συμπέρασμα, είναι δηλαδή στη μορφή: q 1, q 2,,q n r Κανόνας Αν m=0, τότε οι υποθέσεις καταλήγουν σε αναληθή συμπέρασμα: q 1, q 2,,q n Στόχος, Ερώτηση Αν n=0, τότε αναπαριστάται μια πρόταση χωρίς υπόθεση. r 1, r 2,,r m Γεγονότα Αν m=0 και n=0, τότε έχουμε μια πρόταση πάντα αναληθή και συμβολίζεται με την κενή πρόταση. 28

29 Μηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων Ο βασικός μηχανισμός εξαγωγής συμπερασμάτων στην κατηγορηματική λογική είναι η απόδειξη. Υπάρχει ένα πλήθος κανόνων συμπερασμού. Αυτοί που ισχύουν στην προτασιακή λογική, Επιπλέον υπάρχουν δύο κανόνες που αφορούν προτάσεις που περιέχουν ποσοτικοποιημένες μεταβλητές. Όλοι οι κανόνες βασίζονται στην έννοια της αντικατάστασης μεταβλητών. Για παράδειγμα έστω ότι η βάση γνώσης περιέχει τις προτάσεις ( Χ)(άνθρωπος(X) θνητός(x)) (1) άνθρωπος(νίκος) (2) Σύμφωνα με τον κανόνα συμπερασμού (7) και την αντικατάσταση θ={χ/νίκος} είναι δυνατό να εξαχθεί το συμπέρασμα: άνθρωπος(νίκος) θνητός(νίκος) (3) Με εφαρμογή του κανόνα "τρόπος του θέτειν" (modus ponens) στις προτάσεις (2) και (3), εξάγεται η πρόταση θνητός(νίκος) (4) 29

30 Κανόνες Συμπερασμού της Κατηγορηματικής Λογικής Κανόνας Συμπερασμού Ονομασία (1) p 1 p 2... p n p i απαλοιφή σύζευξης (and elimination) (2) p 1, p 2,... p n p 1 p 2... p n εισαγωγή συζεύξεων (and introduction) (3) p i p 1 p 2... p n εισαγωγή διαζεύξεων (or introduction) (4) απαλοιφή διπλής άρνησης p p (double negation elimination) (5) p, p q q τρόπος του θέτειν (modus ponens) (6) p q, q r p r αρχή της ανάλυσης (resolution) (7) απαλοιφή καθολικού ποσοδείκτη Xp(X) p(a) θ={x/a} (universal elimination) (8) εισαγωγή υπαρξιακού ποσοδείκτη p(a) Xp(X) θ={x/a} (existential introduction) 30

31 Γενικευμένος Τρόπος του Θέτειν "Γενικευμένος τρόπος του θέτειν" - ΓΤΘ (generalized modus ponens): p' 1, p' 2, p' n, p1 p2 p q n q όπου θ το σύνολο των αντικαταστάσεων οι οποίες κάνουν τα p' i και p i όμοια. Η εξαγωγή του συμπεράσματος γίνεται σε ένα βήμα: ( Χ)(άνθρωπος(X) θνητός(x)) άνθρωπος(νίκος) θνητός(νίκος) (με θ={χ/νίκος}) Μια αποδεικτική διαδικασία που χρησιμοποιεί ως μοναδικό κανόνα συμπερασμού τον ΓΤΘ είναι ορθή αλλά στην γενική περίπτωση δεν είναι πλήρης. Μια τέτοια διαδικασία είναι πλήρης μόνο αν η βάση γνώσης αποτελείται από προτάσεις Horn. 31

32 Η Αρχή της Ανάλυσης στη Κατηγορηματική Λογική Η αρχή της ανάλυσης (resolution) είναι ο μοναδικός κανόνας που απαιτείται για την εξαγωγή όλων των σωστών συμπερασμάτων σε μια αποδεικτική διαδικασία που χρησιμοποιεί τη μέθοδο της "εις άτοπο απαγωγής" (refutation). Η διαδικασία απόδειξης είναι ορθή και πλήρης. Στην απλή περίπτωση περιλαμβάνει προτάσεις οι οποίες περιέχουν το p q, z q' πολύ δύο λεκτικά στοιχεία (literals): ( p z) Τα λεκτικά στοιχεία q' και q ονομάζονται συμπληρωματικά ζεύγη Οι αντικαταστάσεις μεταβλητών που προκύπτουν εφαρμόζονται στο αναλυθέν (resolvent) p z. 32

33 Διαδικασία Απόδειξης Η διαδικασία απόδειξης περιλαμβάνει την εισαγωγή της άρνησης της προς απόδειξης πρότασης στο αρχικό σύνολο προτάσεων εφαρμογή του κανόνα της ανάλυσης μέχρι το σύστημα να εξαγάγει την κενή πρόταση (άτοπο). Π.χ. έστω ότι θέλουμε να διερευνήσουμε αν το έμβολο μιας μηχανής χρειάζεται αντικατάσταση: βλάβη(μηχανή) σύμπτωμα(έμβολο, θόρυβος) μέρος(έμβολο, μηχανή) εξάρτημα(έμβολο, μηχανή, δεν_λειτουργεί) βλάβη(w) εξάρτημα(ζ,w,δεν_λειτουργεί) αντικατάσταση(ζ) βλάβη(x) σύμπτωμα(r, θόρυβος) μέρος(r,x) αντικατάσταση(r) Εισάγεται η άρνηση της πρότασης αντικατάσταση(έμβολο) και εφαρμόζεται διαδοχικά ο κανόνας της ανάλυσης. Οι προτάσεις πρέπει να είναι σε μορφή διαζεύξεων (προτασιακή μορφή της κατηγορηματικής λογικής). 33

34 Απόδειξη βασισμένη στην αρχή της ανάλυσης στην Κατηγορηματική Λογική βλάβη(w) εξάρτημα(ζ,w,δεν_λειτουργεί) αντικατάσταση(ζ) αντικατάσταση(έμβολο) θ={ζ/έμβολο} εξάρτημα(έμβολο, δεν_λειτουργεί) βλάβη(μηχανή ) βλάβη(w) εξάρτημα(έμβολο,w,δεν_λειτουργ εί) μηχανή, θ'={w/μηχανή} βλάβη(μηχανή) (κενή πρόταση) 34

35 Απόδειξη και Αναζήτηση Η εύρεση απόδειξης αποτελεί ουσιαστικά ένα πρόβλημα αναζήτησης Ο μοναδικός τελεστής μετάβασης είναι ο κανόνας της ανάλυσης Αναζήτηση κατά πλάτος (breadth-first), Παράγει τις συντομότερες αποδείξεις. Δραματική αύξηση αριθμού των κόμβων. Εμφανίζεται πρόβλημα της συνδυαστικής έκρηξης. Γραμμική ανάλυση (linear resolution), Τουλάχιστον μία από τις προτάσεις σε κάθε απόπειρα ανάλυσης πρέπει να είναι είτε πρόταση εισόδου ή προηγούμενο αναλυθέν στο συγκεκριμένο κλαδί του δένδρου αναζήτησης. Πλεονεκτήματα και Μειονεκτήματα της "αρχής της Ανάλυσης" Βάση για την δημιουργία του λογικού προγραμματισμού. Γλώσσα Prolog Χρησιμοποιεί προτάσεις Horn και SLD - ανάλυση. 35

36 Πλεονεκτήματα και Μειονεκτήματα της Κατηγορηματικής Λογικής Πλεονεκτήματα της κατηγορηματικής λογικής: Αντιστοιχία με τη φυσική γλώσσα, ικανοποιητική έκφραση ποσοτικοποίησης των εννοιών με τους κατάλληλους ποσοδείκτες, ικανότητα να συλλάβει τη γενικότητα. Μειονεκτήματα Αδυναμία έκφρασης ασάφειας: Κάθε πρόταση μπορεί να είναι μόνο αληθής ή ψευδής. Αθροιστικότητα των αποτελεσμάτων: Ένα συμπέρασμα προστίθεται στη γνώση χωρίς να δίνεται η δυνατότητα αναθεώρησής του αν αργότερα κριθεί ότι είναι εσφαλμένο. Λογικός Προγραμματισμός Η κλασική λογική επεκτείνεται με διάφορες εντολές ελέγχου και λειτουργικές δομές, Ευελιξία και ευκολία στην ανάπτυξη εφαρμογών. Χαρακτηριστικό παράδειγμα τέτοιου συστήματος είναι η γλώσσα Prolog. 36

37 Μη-μονότονη λογική Σε μια μονότονη λογική, υπάρχει ένα σύστημα αξιωμάτων S (η αρχική βάση γνώσης) και ένα σύνολο τύπων F που αποδεικνύονται (συνάγονται) από το S. Η προσθήκη ενός ή περισσοτέρων αξιωμάτων στο S (απόκτηση νέας γνώσης), το σύνολο F αυξάνει μονότονα. Πλεονεκτήματα: Κάθε φορά που προστίθεται ένα νέο γεγονός στο S, δε χρειάζονται νέοι έλεγχοι. Για κάθε νέο γεγονός που αποδεικνύεται δεν είναι απαραίτητη η καταγραφή των γεγονότων πάνω στα οποία βασίζεται η αλήθεια του. Μειονεκτήματα: η προσθήκη νέων αξιωμάτων μπορεί να μειώσει το σύνολο των δυνατών συμπερασμάτων, αφαιρώντας κάποια που αποδεικνύονται εσφαλμένα μετά την προσθήκη Οι μη-μονότονες συλλογιστικές είναι κατάλληλες για την αντιμετώπιση κάποιων καταστάσεων που εμφανίζονται συχνά στον πραγματικό κόσμο: Καταστάσεις για τις οποίες δεν έχουμε πλήρη γνώση Καταστάσεις στις οποίες, η γνώση δημιουργείται κατά τη διάρκεια της εκτέλεσης ενεργειών, για τις οποίες δεν είμαστε βέβαιοι για την αναγκαιότητα ή ορθότητά τους. Καταστάσεις στις οποίες η γνώση μεταβάλλεται. Καταστάσεις στις οποίες το σύστημα χρησιμοποιεί υποθέσεις (assumptions). 37

38 Αναιρέσιμη Λογική Η αναιρέσιμη λογική (defeasible logic) είναι απλή αλλά αποδοτική προσέγγιση στη μη-μονότονη λογική Έχει πολλές εφαρμογές στο σημασιολογικό διαδίκτυο και ηλεκτρονικό εμπόριο Π.χ. μοντελοποίηση εμπορικών κανόνων (business rules) και κανονισμών (regulations), μοντελοποίηση συμβολαίων (contracts), συλλογιστική σε νομικά θέματα (legal reasoning), στρατηγικές διαπραγμάτευσης πρακτόρων (agent negotiation), ενοποίηση ετερογενών πηγών γνώσης και οντολογιών (ontology integration). Η αναιρέσιμη λογική αναπαριστά και διαχειρίζεται αντιφάσεις (conflicts) μεταξύ των κανόνων ενός προγράμματος. Οι αντιφάσεις εκφράζονται ως αντικρουόμενα συμπεράσματα. Η απλούστερη μορφή μιας αντίφασης είναι όταν το συμπέρασμα ενός κανόνα αποτελεί την άρνηση του συμπεράσματος του άλλου κανόνα. Παράδειγμα: r 1 : πιγκουΐνος(x) πουλί(x) r 2 : πουλί(x) πετάει(x) r 3 : πιγκουΐνος(x) πετάει(x) r 3 > r 4 r 4 : βαρύ(x) ~> πετάει(x) 38 Ισχυρός κανόνας Αναιρέσιμος κανόνας Αναιρέσιμος κανόνας Σχέση Υπεροχής Αναιρετής

Υπολογιστική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Υπολογιστική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Υπολογιστική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Ενότητα 3: Λογική: Κατηγορηματική Λογική, Σχέση Λογικής και Λογικού Προγραμματισμού. Νίκος

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων

Μηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων Μηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων Μηχανισμός Εξαγωγής Συμπερασμάτων Ο βασικός μηχανισμός εξαγωγής συμπερασμάτων στην κατηγορηματική λογική είναι η απόδειξη. Υπάρχει ένα πλήθος κανόνων συμπερασμού. Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Η λογική είναι μια γλώσσα αναπαράστασης γνώσης (knowledge representation) Κατηγορηματίκή λογική

Η λογική είναι μια γλώσσα αναπαράστασης γνώσης (knowledge representation) Κατηγορηματίκή λογική Λογική Η λογική είναι μια γλώσσα αναπαράστασης γνώσης (knowledge representation) Ύπαρξη διαφόρων λογικών: Προτασιακή λογική Κατηγορηματίκή λογική Λογική πρώτης τάξεως (Propositional logic) (Predicate logic)

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Λογική Αποσαφήνιση και τυποποίηση της διαδικασίας της ανθρώπινης σκέψης Η μαθηματική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Λογική. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου

Κεφάλαιο 9. Λογική. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Κεφάλαιο 9 Λογική Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Λογική Aποσαφήνιση και την τυποποίηση της διαδικασίας της ανθρώπινης σκέψης. Η µαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Γνώση. Γνώση (knowledge) είναι ο κοινός παράγοντας (π.χ. κανόνες) που περιγράφει συνοπτικά τις συσχετίσεις μεταξύ των δεδομένων ενός προβλήματος.

Γνώση. Γνώση (knowledge) είναι ο κοινός παράγοντας (π.χ. κανόνες) που περιγράφει συνοπτικά τις συσχετίσεις μεταξύ των δεδομένων ενός προβλήματος. Γνώση Η γνώση είναι διαφορετική από τα δεδομένα Γνώση (knowledge) είναι ο κοινός παράγοντας (π.χ. κανόνες) που περιγράφει συνοπτικά τις συσχετίσεις μεταξύ των δεδομένων ενός προβλήματος. Η γνώση για κάποιο

Διαβάστε περισσότερα

Λογική. Προτασιακή Λογική. Λογική Πρώτης Τάξης

Λογική. Προτασιακή Λογική. Λογική Πρώτης Τάξης Λογική Προτασιακή Λογική Λογική Πρώτης Τάξης Λογική (Logic) Αναλογίες διαδικασίας επίλυσης προβλημάτων υπολογισμού και προβλημάτων νοημοσύνης: Πρόβλημα υπολογισμού 1. Επινόηση του αλγορίθμου 2. Επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

Γνώση. Γνώση (knowledge) είναι ο κοινός παράγοντας (π.χ. κανόνες) που περιγράφει συνοπτικά τις συσχετίσεις μεταξύ των δεδομένων ενός προβλήματος.

Γνώση. Γνώση (knowledge) είναι ο κοινός παράγοντας (π.χ. κανόνες) που περιγράφει συνοπτικά τις συσχετίσεις μεταξύ των δεδομένων ενός προβλήματος. Γνώση Η γνώση είναι διαφορετική από τα δεδομένα Γνώση (knowledge) είναι ο κοινός παράγοντας (π.χ. κανόνες) που περιγράφει συνοπτικά τις συσχετίσεις μεταξύ των δεδομένων ενός προβλήματος. Η γνώση για κάποιο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Κατηγορηματική Λογική Πρώτης Τάξεως και Λογικά Προγράμματα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Κατηγορηματική Λογική Πρώτης Τάξεως και Λογικά Προγράμματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Κατηγορηματική Λογική Πρώτης Τάξεως και Λογικά Προγράμματα Λέξεις Κλειδιά Μαθηματική Λογική, Προτασιακή Λογική, Κατηγορηματική Λογική, Προτάσεις Horn, Λογικά Προγράμματα Περίληψη Το κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

9.1 Προτασιακή Λογική

9.1 Προτασιακή Λογική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 9 Λογική Η λογική παρέχει έναν τρόπο για την αποσαφήνιση και την τυποποίηση της διαδικασίας της ανθρώπινης σκέψης και προσφέρει µια σηµαντική και εύχρηστη µεθοδολογία για την αναπαράσταση και

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Υπολογιστική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Υπολογιστική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Ενότητα 2: Λογική: Εισαγωγή, Προτασιακή Λογική. Νίκος Βασιλειάδης, Αναπλ. Καθηγητής Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

! όπου το σύµβολο έχει την έννοια της παραγωγής, δηλαδή το αριστερό µέρος ισχύει ενώ το δεξιό µέρος συµπεραίνεται και προστίθεται στη βάση γνώσης.

! όπου το σύµβολο έχει την έννοια της παραγωγής, δηλαδή το αριστερό µέρος ισχύει ενώ το δεξιό µέρος συµπεραίνεται και προστίθεται στη βάση γνώσης. Αποδείξεις (1/2)! Χρησιµοποιούµε τις συνεπαγωγές της βάσης γνώσης για να βγάλουµε νέα συµπεράσµατα. Για παράδειγµα:! Από τις προτάσεις:! Ακαι Α Β! µπορούµε να βγάλουµε το συµπέρασµα (τεχνική modus ponens

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 9: Προτασιακή λογική. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 9: Προτασιακή λογική. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 9: Προτασιακή λογική Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 2015-2016 Τεχνητή Νοημοσύνη Λογικοί Πράκτορες Διδάσκων: Τσίπουρας Μάρκος Εκπαιδευτικό Υλικό: Τσίπουρας Μάρκος http://ai.uom.gr/aima/ 2 Πράκτορες βασισμένοι

Διαβάστε περισσότερα

Προτασιακή Λογική. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος

Προτασιακή Λογική. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος Προτασιακή Λογική (Propositional Logic) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος - 2015 Λογική Λογική είναι οι κανόνες που διέπουν τη σκέψη. Η λογική αφορά τη μελέτη των διαδικασιών

Διαβάστε περισσότερα

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος. Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60 Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Λογικοί πράκτορες. Πράκτορες βασισµένοι στη γνώση

Λογικοί πράκτορες. Πράκτορες βασισµένοι στη γνώση Λογικοί πράκτορες Πράκτορες βασισµένοι στη γνώση Βάση γνώσης (knowledge base: Σύνολο προτάσεων (sentences Γλώσσα αναπαράστασης της γνώσης Γνωστικό υπόβαθρο: «Αµετάβλητο» µέρος της ΒΓ Βασικές εργασίες:

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 8η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Λογικός Προγραμματισμός

Λογικός Προγραμματισμός Λογικός Προγραμματισμός Αναπαράσταση γνώσης: Λογικό Σύστημα. Μηχανισμός επεξεργασίας γνώσης: εξαγωγή συμπεράσματος. Υπολογισμός: Απόδειξη θεωρήματος (το συμπέρασμα ενδιαφέροντος) από αξιώματα (γνώση).

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 15/02/2018 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 15-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 11: Λογική πρώτης τάξης. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 11: Λογική πρώτης τάξης. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 11: Λογική πρώτης τάξης Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 12: Συμπερασμός στη λογική πρώτης τάξης. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 12: Συμπερασμός στη λογική πρώτης τάξης. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 12: Συμπερασμός στη λογική πρώτης τάξης Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2017 18 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης 8.1. (i) Έστω ότι α και β είναι δύο τύποι της προτασιακής

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 20/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 20-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές μορφές - Ορισμοί

Κανονικές μορφές - Ορισμοί HY-180 Περιεχόμενα Κανονικές μορφές (Normal Forms) Αλγόριθμος μετατροπής σε CNF-DNF Άρνηση (Negation) Βασικές Ισοδυναμίες με άρνηση Νόμος De Morgan Πίνακες Αληθείας Κανονικές μορφές - Ορισμοί Ορισμός:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι

ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι Για τον προτασιακό λογισμό παρουσιάσαμε την αποδεικτική θεωρία (natural deduction/λογικό συμπέρασμα) τη σύνταξη (ορίζεται με γραμματική χωρίς συμφραζόμενα και εκφράζεται με συντακτικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική

Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική Κεφάλαιο 2 Λογικός προγραμματισμός Υπολογισμός με λογική Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό χωρίζεται σε δύο ενότητες. Στην πρώτη ενότητα επιχειρείται μια ιστορική αναδρομή στη λογική και τον λογικό προγραμματισμό,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση: Έστω ότι έχουμε τους παίκτες Χ και Υ. Ο κάθε παίκτης, σε κάθε κίνηση που κάνει, προσπαθεί να μεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να κερδίσει. Ο Χ σε κάθε κίνηση που κάνει

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών. Σχεσιακός Λογισμός

Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών. Σχεσιακός Λογισμός Σχεσιακός Λογισμός Γλώσσα βασισμένη στον Κατηγορηματικό Λογισμό 1 ης Τάξης (First Order Predicate Calculus) Οι περισσότερες γλώσσες επερώτησης σχεσιακών βάσεων δεδομένων βασίζονται στον Σχεσιακό Λογισμό

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 16/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 17-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη. ΗΥ-180 Spring 2019

Επανάληψη. ΗΥ-180 Spring 2019 Επανάληψη Έχουμε δει μέχρι τώρα 3 μεθόδους αποδείξεων του Προτασιακού Λογισμού: Μέσω πίνακα αληθείας για τις υποθέσεις και το συμπέρασμα, όπου ελέγχουμε αν υπάρχουν ερμηνείες που ικανοποιούν τις υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές

Αναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές ναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές Γενικά Προτασιακή λογική Λογική πρώτης τάξης Λογικός προγραµµατισµός Επεκτάσεις της Λογικής Πρώτης Τάξης Συστήµατα Κανόνων Επίλογος ναπαράσταση γνώσης ναπαράσταση γνώσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Λύσεις Άσκηση 1 [30 μονάδες] Να αποδείξετε τα πιο κάτω λογικά επακόλουθα χρησιμοποιώντας τα συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 434: Λογικός Προγραμματισμός

ΕΠΛ 434: Λογικός Προγραμματισμός ΕΠΛ 434: Λογικός Προγραμματισμός και Τεχνητή Νοημοσύνη Επισκ. Λέκτορας Λοΐζος Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής ρ Πανεπιστήμιο Κύπρου (Χειμερινό Εξάμηνο 2008 2009) Προγράμματα στην Prolog Αλγόριθμος = Λογική +

Διαβάστε περισσότερα

\5. Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus)

\5. Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus) \5 Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus) 51 Αντικείμενα Ιδιότητες και Σχέσεις Θεωρείστε την παρακάτω εξαγωγή συμπεράσματος: Κανένας ακέραιος δεν είναι μεγαλύτερος από το τετράγωνό του Το 1 2 είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-1

ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-1 Επίλυση Resolution Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: H Μέθοδος της Επίλυσης στον Προτασιακό Λογισμό στον Κατηγορηματικό Λογισμό ΕΠΛ 412 Λογική στην Πληροφορική 4-1 Το όνειρο του

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη ( )

Τεχνητή Νοημοσύνη ( ) Εβδομάδα Διάλεξη Ενδεικτικά θέματα διαλέξεων Ενδεικτικά θέματα εργαστηρίων/φροντιστηρίων 1 1 1 2 2 3 2 4 3 5 3 6 4 7 4 8 5 9 Τεχνητή Νοημοσύνη (2017-18) Γενικές πληροφορίες για το μάθημα. Εισαγωγή στην

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος. Ενότητα 3: Θεωρία λογικού προγραμματισμού. Παναγιώτης Σταματόπουλος Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Τίτλος Μαθήματος. Ενότητα 3: Θεωρία λογικού προγραμματισμού. Παναγιώτης Σταματόπουλος Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Τίτλος Μαθήματος Ενότητα 3: Παναγιώτης Σταματόπουλος Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Περιγραφή ενότητας Σύνταξη και σημασιολογία λογικών προγραμμάτων. Μοντελοθεωρητική σημασιολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Αρχεία και Βάσεις Δεδομένων

Αρχεία και Βάσεις Δεδομένων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αρχεία και Βάσεις Δεδομένων Διάλεξη 7η: Σχεσιακός Λογισμός Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Σχεσιακός Λογισμός Γλώσσα βασισμένη στον Κατηγορηματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική βαθμολογική εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 02/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά καλή βαθμολογική εικόνα (

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Πέμπτη, 30 Οκτωβρίου 2014 Διάρκεια : 10:30 12.00 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου ΠΡΟΤΥΠΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Οδηγίες:

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://eclass.uoa.gr/ Οκτώβριος 2017 Οργάνωση Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Κατηγορήματα και ποσοδείκτες Συνεπαγωγή Αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

Λογική. Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF

Λογική. Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://eclass.uoa.gr/ Οκτώβριος 2018 Οργάνωση και περιεχόμενα Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Κατηγορήματα και ποσοδείκτες

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Γνώσης. Θεωρητικό Κομμάτι Μαθήματος Ενότητα 2: Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής

Συστήματα Γνώσης. Θεωρητικό Κομμάτι Μαθήματος Ενότητα 2: Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρητικό Κομμάτι Μαθήματος Ενότητα 2: Βασικές Αρχές Αναπαράστασης Γνώσης και Συλλογιστικής Νίκος Βασιλειάδης, Αναπλ. Καθηγητής Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Στάμου Αναπαράσταση Οντολογικής Γνώσης και Συλλογιστική. Κριτική Ανάγνωση: Ανδρέας-Γεώργιος Σταφυλοπάτης

Γιώργος Στάμου Αναπαράσταση Οντολογικής Γνώσης και Συλλογιστική. Κριτική Ανάγνωση: Ανδρέας-Γεώργιος Σταφυλοπάτης Γιώργος Στάμου Αναπαράσταση Οντολογικής Γνώσης και Συλλογιστική Κριτική Ανάγνωση: Ανδρέας-Γεώργιος Σταφυλοπάτης Γλωσσική επιμέλεια και επιμέλεια διαδραστικού υλικού: Αλέξανδρος Χορταράς Copyright ΣΕΑΒ,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Δευτέρα 2 Νοεμβρίου 2015 Διάρκεια : 10:30 12:00 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Ονοματεπώνυμο: Αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ : Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Σκελετοί Λύσεων Άσκηση [0 μονάδες] α Να αναφέρετε τρεις μεθόδους μέσω των οποίων μπορούμε να αποφασίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη

ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη Λογικοί Πράκτορες Προτασιακή Λογική Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Παιχνίδια τύχης αναζήτηση expectiminimax Παιχνίδια ατελούς

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 08/02/2018 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen 08-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/02/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/23/2017

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Ορθότητα και Πληρότητα

4.3 Ορθότητα και Πληρότητα 4.3 Ορθότητα και Πληρότητα Συστήματα αποδείξεων όπως η μορφολογική παραγωγή και η κατασκευή μοντέλων χρησιμοποιούνται για να δείξουμε την εγκυρότητα εξαγωγών συμπερασμάτων. Ένα σύστημα αποδείξεων μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Ε ανάληψη. Παιχνίδια τύχης. Παιχνίδια ατελούς ληροφόρησης. Λογικοί ράκτορες. ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη 2006. αναζήτηση expectiminimax

Ε ανάληψη. Παιχνίδια τύχης. Παιχνίδια ατελούς ληροφόρησης. Λογικοί ράκτορες. ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη 2006. αναζήτηση expectiminimax ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη Προτασιακή Λογική Propositional Logic Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Παιχνίδια τύχης αναζήτηση expectiminimax Παιχνίδια ατελούς

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Προτασιακός Λογισμός. Προηγούμενη φορά. Βάσεις της Μαθηματικής Λογικής. 02 Προτασιακός Λογισμός

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Προτασιακός Λογισμός. Προηγούμενη φορά. Βάσεις της Μαθηματικής Λογικής. 02 Προτασιακός Λογισμός HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 08/02/2018 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen Προηγούμενη

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση, Πίνακες Αληθείας, Λογική Συνεπαγωγή, Ταυτολογίες, Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής CNF

Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση, Πίνακες Αληθείας, Λογική Συνεπαγωγή, Ταυτολογίες, Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής CNF Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση, Πίνακες Αληθείας, Λογική Συνεπαγωγή, Ταυτολογίες, Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής CNF 2 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2018 Κρεατσούλας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Υποδ: Χρησιμοποιήστε τον ορισμό της λογικής συνεπαγωγής (λογικής κάλυψης).

Υποδ: Χρησιμοποιήστε τον ορισμό της λογικής συνεπαγωγής (λογικής κάλυψης). Κανόνας Ανάλυσης 1 Μυθικός Αθάνατος 3 Μυθικός Θηλαστικό ------------------------------ 7 Αθάνατος Θηλαστικό 4 Αθάνατος έχεικέρας -------------------------------- 8 Θηλαστικό έχεικέρας 5 Θηλαστικό έχεικέρας

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές

Αναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές ναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές! Γενικά Προτασιακή λογική Λογική πρώτης τάξης Λογικός προγραµµατισµός Επεκτάσεις της Λογικής Πρώτης Τάξης Συστήµατα Κανόνων Επίλογος ναπαράσταση γνώσης " ναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 11 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 11 ης διάλεξης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2015 16 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 11 ης διάλεξης 11.1 (α) Μετατρέψτε σε κανονική συζευκτική μορφή (CNF)

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές

Αναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές Αναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές Γενικά Προτασιακή λογική Λογική πρώτης τάξης Λογικός προγραµµατισµός Επεκτάσεις της Λογικής Πρώτης Τάξης Συστήµατα Κανόνων Επίλογος Μειονεκτήµατα προτασιακής λογικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 1ο μέρος σημειώσεων: Προτασιακός Λογισμός Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Β Ομάδα Ασκήσεων "Λογικού Προγραμματισμού" Ακαδημαϊκού Έτους

Β Ομάδα Ασκήσεων Λογικού Προγραμματισμού Ακαδημαϊκού Έτους Page 1 of 10 ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Β Ομάδα Ασκήσεων "Λογικού Προγραμματισμού" Ακαδημαϊκού Έτους 2018-19 Οι ασκήσεις της ομάδας αυτής πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/02/2017 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 2/21/2017

Διαβάστε περισσότερα

Αναπαράσταση γνώσης και συλλογιστική

Αναπαράσταση γνώσης και συλλογιστική εφάλαιο 1 Αναπαράσταση γνώσης και συλλογιστική 1.1 Tυπική αναπαράσταση γνώσης ι φορμαλισμοί τυπικής αναπαράστασης γνώσης και συλλογιστικής χαρακτηρίζονται από τρία βασικά στοιχεία: τη σύνταξη (syntax),

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε.

ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε. ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Τ.Ε. Θέματα Εξετάσεων Εξεταστικής Σεπτεμβρίου στο μάθημα «ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ» ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δρ. Ηλ. Μηχ. & Τ.Υ. Αριστομένης Θανόπουλος Ημερομηνία: 12 / 2 / 2015

Διαβάστε περισσότερα

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκοντες: Δ.Φωτάκης Θ. Σούλιου η Γραπτή Εργασία Ημ/νια παράδοσης 5/4/8 Θέμα (Διαδικασίες Απαρίθμησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ σε ΓΝΩΣΗ ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. ηµήτρης Ψούνης ΠΛΗ31, Απαντήσεις Ερωτήσεων Quiz - ΓΝΩΣΗ 1. ΣΩΣΤO τo (b): NAI ΕΞΗΓΗΣΗ: ΤΕΣΤ 7 / ΑΣΚΗΣΗ 1.

ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ σε ΓΝΩΣΗ ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. ηµήτρης Ψούνης ΠΛΗ31, Απαντήσεις Ερωτήσεων Quiz - ΓΝΩΣΗ 1. ΣΩΣΤO τo (b): NAI ΕΞΗΓΗΣΗ: ΤΕΣΤ 7 / ΑΣΚΗΣΗ 1. ηµήτρης Ψούνης ΠΛΗ31, Απαντήσεις Ερωτήσεων Quiz - ΓΝΩΣΗ 1 ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ σε ΓΝΩΣΗ ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ 1 Η πρόταση «εν είναι όλα τα άλογα τετράποδα» είναι ισοδύναµη µε την πρόταση. a.

Διαβάστε περισσότερα

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνταξη Λογικός Συμπερασμός Σημασιολογία Ορθότητα και Πληρότητα Κανονικές Μορφές Προτάσεις Horn ΕΠΛ 412 Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή

Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Ασάφεια (Fuzziness) Ποσοτικοποίηση της ποιοτικής πληροφορίας Οφείλεται κυρίως

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118 - Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2013

ΗΥ118 - Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2013 ΗΥ118 - Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2013 2 η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 2.1 [2 μονάδες] Έστω μεταβλητές και σταθερές στο σύνολο των ανθρώπων και η προτασιακή μορφή Ρ(x, y) με το νόημα "o x αγαπά

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Νόµοι ισοδυναµίας. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Παρασκευή, 24/02/2017

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Νόµοι ισοδυναµίας. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Παρασκευή, 24/02/2017 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 24/02/2017 Κατηγορηµατικός Λογισµός Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II

Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΚΡΗΣΗ Εισαγωγή στις Βάσεις Δεδομζνων II Ενότητα: Λογική και Θεωρία Συνόλων Διδάσκων: Πηγουνάκης Κωστής ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΧΟΛΗ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηµατική Λογική Προτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και µελέτης επιχειρηµάτων για πεπερασµένο πλήθος «λογικών αντικειµένων». «Λογικό αντικείµε

Κατηγορηµατική Λογική Προτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και µελέτης επιχειρηµάτων για πεπερασµένο πλήθος «λογικών αντικειµένων». «Λογικό αντικείµε Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός στο Λογικό Προγραμματισμό. Πώς υπολογίζεται η έξοδος ενός Λογικού Προγράμματος;

Υπολογισμός στο Λογικό Προγραμματισμό. Πώς υπολογίζεται η έξοδος ενός Λογικού Προγράμματος; Υπολογισμός στο Λογικό Προγραμματισμό Πώς υπολογίζεται η έξοδος ενός Λογικού Προγράμματος; Herbrand Universe H L Είναι τα δεδομένα που μεταχειρίζεται ένα Λογικό Πρόγραμμα, προκειμένου να απαντήσει μια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Αποφασισιµότητα. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Βασικές µέθοδοι απόδειξης. 07 -Αποδείξεις. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 2017

Αποφασισιµότητα. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Βασικές µέθοδοι απόδειξης. 07 -Αποδείξεις. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 2017 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηµατική Λογική

Κατηγορηµατική Λογική Προβλήµατα της Προτασιακής Λογικής Γιατί δεν µας αρκεί η Προτασιακή Λογική; Εστω ότι ισχύουν τα P και Q: P : «Ο Σωκράτης είναι άνθρωπος» Q : «Κάθε άνθρωπος είναι ϑνητός» R : «Ο Σωκράτης είναι ϑνητός» Μπορούµε

Διαβάστε περισσότερα