Τμήμα Μηχανικών Σχεδίασης Προϊόντων και Συστημάτων

Transcript

1 Τμήμα Μηχανικών Σχεδίασης Προϊόντων και Συστημάτων Αλέξανδρος Ξανθόπουλος dpsd01042 Επιβλέπων: Σοφία Κυρατζή 1 ο Μέλος: Δαρζέντας Ιωάννης 2 ο Μέλος: Φίλιππος Αζαριάδης

2 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟΥ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ ΑΠΟ ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΣΚΙΤΣΟ Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή Πρόλογος Περιγραφή του ζητήματος προβλήματος προς επίλυση Το σκίτσο στον σχεδιασμό (design) 6 2 Προαπαιτούμενες Γνώσεις - Ορολογία Προβολές Ορθή προβολή Αξονομετρικές προβολές Πλάγια παράλληλη προβολή Άλλες κατηγορίες προβολής Σκίτσο Δισδιάστατο και Τρισδιάστατο Σχέδιο Στερεό Μοντέλο Αναπαράσταση Στερεού Μοντέλου Συνολοθεωρητικό μοντέλο στερεού (Constructive Solid Geometry (CSG)) Μοντέλο αναπαράστασης συνόρου (Boundary Representation Model - BRep) Δισδιάστατος και Τρισδιάστατος Χώρος Τοπολογική και γεωμετρική περιγραφή σκίτσου και στερεού Αντιστοιχία μεταξύ σκίτσου και στερεού μοντέλου 33 3 Ανακατασκευασιμότητα Σκίτσου Μέθοδοι ελέγχου ανακατασκευασιμότητας του σκίτσου Γεωμετρικές Μέθοδοι Η μέθοδος Line Labeling 38 1

3 3.1.3 Η μέθοδος του «Διαγράμματος Τομής» (Cross-section) Κατασκευή ενός διαγράμματος τομής από σκίτσο Παράδειγμα 47 4 Μέθοδος κατασκευής στερεού από δισδιάστατο σκίτσο με την χρήση του διαγράμματος τομής Ανακατασκευή Στερεού από σκίτσο Επεξεργασία σκίτσου γενικής όψης Κατασκευή ενός στερεού από δεδομένο σκίτσο Κατασκευή Στερεού από το Διάγραμμα Τομής ενός Σκίτσου Υλοποίηση της μεθόδου με την χρήστη του προγράμματος σχεδίασης AutoCAD Αποτελέσματα - Παραδείγματα Σύγκριση στερεών Παράδειγμα Α Παράδειγμα Β 74 6 Συμπεράσματα Χρησιμότητα Συγκρίσεις με άλλες μεθόδους Παρατηρήσεις περιορισμοί Αποκλίσεις 81 7 Βιβλιογραφία 82 2

4 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟΥ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ ΑΠΟ ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟ ΣΚΙΤΣΟ 1 Εισαγωγή 1.1 Πρόλογος Το σκίτσο είναι η βάση και το ξεκίνημα που ανοίγει στο μελλοντικό έργο την πόρτα προς το φαινόμενο της δημιουργίας (Νάσια Ευθυμίου,2007) εξασφαλίζοντας έτσι στην εργασία μας ένα δημιουργικό τομέα σκέψης και έκφρασης. Αυτό βασίζεται κυρίως στο ότι η ασάφεια και η γενικευμένη απροσδιοριστία που ενυπάρχει στα σκίτσα, είναι αυτό ακριβώς το στοιχείο που επιτρέπει αλλά και προτρέπει την εξέλιξη της διαδικασίας σχεδιασμού, καθιστώντας πιο κατανοητή τη διερεύνηση και την ανάπτυξη διαφορετικών εναλλακτικών προτάσεων σε ένα σχεδιαστικό ζήτημα (Goel, 1995). Επιπρόσθετα θα πρέπει να σημειωθεί ότι ένα σκίτσο, λόγω του ότι είναι αφηρημένο, εμπεριέχει πολύ μεγάλη πληροφορία, εκπηγάζοντας άμεσα από τη σκέψη και την προσωπικότητα του δημιουργού (Αμερικάνου, 1997). Οι διάφορες αναπαραστάσεις που αποτυπώνονται στη σκέψη μας μέσω της εμπειρίας προηγούμενων αισθητηριακών αντιλήψεών μας, εν δυνάμει εμπεριέχονται στα σκίτσα τα οποία φιλοτεχνούμε. Όλη αυτή η υποκειμενική και ασαφής πληροφορία θα χαθεί εάν υπάρξει η νοητικά «πραξικοπηματική» μετάβαση από το ένα επίπεδο σκέψης, που είναι το αφηρημένο σκίτσο, στο επόμενο, που είναι το συγκεκριμένο τρισδιάστατο σχήμα. Για τους παραπάνω λόγους θεωρείται πολύ σημαντική η δημιουργική αξιοποίηση ενός υπάρχοντος δισδιάστατου σκίτσου στην εργασία μας, ώστε να αποφευχθεί η συνήθης μη αξιοποίησή του στη ροή της εργασίας μας. Είναι πράγματι σύνηθες το στάδιο αυτό μελέτης, που περιλαμβάνει την παραγωγή σκίτσων, να απουσιάζει τελείως από τη διαδικασία μελέτης. 3

5 Στην περίπτωση που ο σχεδιαστής δημιουργήσει ένα δισδιάστατο σκίτσο και θέλει να μεταβεί στο τρισδιάστατο αντικείμενο μια μεθοδολογία αυτόματης μετάβασης θα ήταν πολύ χρήσιμη. Ο λόγος είναι ότι αυτή η μεταβολή δεν αποτελεί δημιουργική αλλά τυπική διαδικασία που καταναλώνει χρόνο. Οπότε ο αυτοματισμός της είναι κερδισμένος χρόνος για τον σχεδιαστή. Κατά συνέπεια η ανάπτυξη μίας μεθόδου με την οποία μπορούμε να δημιουργούμε ένα τρισδιάστατο σχέδιο από ένα δισδιάστατο σκίτσο, θεωρείται πολύ χρήσιμη και αξιοποιήσιμη από την επιστημονική κοινότητα. Η διερεύνηση της τοπολογικής και γεωμετρικής σχέσης που έχει ένα τρισδιάστατο ψηφιακό μοντέλο με την αντίστοιχη δισδιάστατη περιγραφή αυτού (σκίτσο τρισδιάστατου αντικειμένου), παράλληλα με την ανάπτυξη μίας συσχετιζόμενης μεθοδολογίας περιγραφής των δύο μοντέλων, δύναται να καταστήσει εφικτή την κατασκευή ενός τρισδιάστατου αντικειμένου από ένα υπάρχον δισδιάστατο σχέδιο, όταν το τελευταίο αποτελεί την προβολή ενός στερεού σε ένα επίπεδο του χώρου. Για την επίτευξη του στόχου αυτού, έχουν προταθεί διάφορα μαθηματικά και πληροφοριακά μοντέλα, καθώς και γεωμετρικές μεθοδολογίες. Ο στόχος της διπλωματικής εργασίας είναι η παρουσίαση μιας μεθοδολογίας για την κατασκευή ενός τρισδιάστατου αντικειμένου από ένα δισδιάστατο σχέδιο (σκίτσο). Επιπλέον, η παρούσα διπλωματική αναλύει σε ποιο βαθμό απαιτείται η συμμετοχή του χρήστη (διάδραση) για την δημιουργία του τελικού τρισδιάστατου μοντέλου, ενώ παράλληλα μελετάται η περιπλοκότητα της μεθόδου ανακατασκευής και οι απαιτούμενες γνώσεις για την επίτευξη αυτού του στόχου. 1.2 Περιγραφή του ζητήματος προβλήματος προς επίλυση Στην Εικόνα 1 φαίνεται η ορθή προβολή (σκίτσο) ενός τρισδιάστατου σχήματος, στο επίπεδο ΧΥ. Στην ορθή προβολή ενός τρισδιάστατου αντικειμένου στο επίπεδο, δημιουργούνται, από τις κορυφές του αντίστοιχου στερεού, κάθετες γραμμές προβολής που προβάλλουν τις κορυφές του τρισδιάστατου σχήματος στα αντίστοιχα σημεία του σκίτσου. 4

6 Εικόνα 1. Η προβολή ενός τρισδιάστατου σχήματος στο επίπεδο. Η αντίστροφη διαδικασία προβολής, δηλαδή η κατασκευή ενός τρισδιάστατου αντικειμένου από την προβολή του (σκίτσο), είναι ένα μαθηματικά άλυτο πρόβλημα, με αποτέλεσμα να απαιτείται η δημιουργία μαθηματικών και ευριστικών μοντέλων για την επίλυση του. Επίσης, για ένα σκίτσο είναι αντιληπτό ότι υπάρχει άπειρος αριθμός στερεών αντικείμενων των οποίων η ορθογώνια προβολή τους μπορεί να ταυτίζεται με το ίδιο σκίτσο. Το γεγονός ότι, παρόλα αυτά, πολλοί παρατηρητές αντιλαμβάνονται το δισδιάστατο αντικείμενο με τον ίδιο τρόπο, σημαίνει ότι το σκίτσο περιέχει συγκεκριμένες πληροφορίες οι οποίες κατευθύνουν στην πιο πιθανή ερμηνεία για το αντικείμενο που προβάλλεται στο επίπεδο, από τις άπειρες που αυτό μπορεί να έχει (Masry και Lipson, 2004). Για την «κατασκευή στερεού από σκίτσο» απαιτούνται στοιχεία τόσο από την επιστήμη των Μαθηματικών, όσο και από τις επιστήμες της Πληροφορικής και της Τεχνητής Νοημοσύνης. Η τελευταία έχει συνδράμει ιδιαίτερα σε διαδικασίες ανακατασκευής που προσπαθούν να προσομοιώσουν την ανθρώπινη αντίληψη με την χρήση υπολογιστών (Eysenck και Keane, 2007). Παρατηρούμε επομένως ότι η μεθοδολογία για το σχεδιασμό ενός τρισδιάστατου σχεδίου από ένα δεδομένο δισδιάστατο σκίτσο, είναι πολύ 5

7 σημαντική για πολλούς επιστημονικούς τομείς, που αξιοποιούν τα ανυσματικά γραφικά Η/Υ. Η ανάπτυξη μίας τέτοιας μεθόδου είναι ο στόχος αυτής της εργασίας. Επίσης θα αποσαφηνιστούν και μέθοδοι αξιοποίησης και χρήσης της μεθόδου αυτής. 1.3 Το σκίτσο στον σχεδιασμό (design) Είναι γενικά αποδεκτή η τεράστια σημασία που έχει το σκίτσο ως εργαλείο και μέσον μελέτης και σκέψης. Επίσης το σκίτσο αποτελεί από καταβολής κόσμου τον πλέον διαδεδομένο και αποτελεσματικό τρόπο επικοινωνίας. Για παράδειγμα, σύμφωνα με αρχαιολογικά ευρήματα, προτού ακόμα να αναπτυχθεί η γλώσσα ως τρόπος επικοινωνίας, σε περιπτώσεις αγοραπωλησίας, αλλά και γενικότερα, χρησιμοποιούνταν σημειώσεις που περιελάμβαναν σκίτσα. Μέσω των σημειώσεων αυτών εξηγούνταν το τί πουλιόταν και τί αγοραζόταν. Από το χαρακτηριστικό αυτό παράδειγμα, γίνεται φανερός ο σημαντικός ρόλος που έχει το σκίτσο στο χώρο του σχεδιασμού (design), αλλά και στα διάφορα κινήματα τέχνης. Βασική ωστόσο παρατήρηση είναι ότι ο ρόλος του σκίτσου στο σχεδιασμό, είναι διαρκώς επεκτάσιμος, με αποτέλεσμα την επινόηση νέων τρόπων αξιοποίησης αυτού. Για παράδειγμα, η Εικόνα 2α παρουσιάζει ένα αρχικό σκίτσο, που αποτελεί την πρωταρχική σύλληψη μίας ιδέας. Η Εικόνα 2β δείχνει τα λεπτομερή σκίτσα της ίδιας ιδέας, τα οποία αποτελούν προστάδιο μελέτης της αρχικής σύλληψης, ενώ η Εικόνα 2γ παρουσιάζει την υλοποιημένη ιδέα της πρωταρχικής σύλληψης. Το παραπάνω παράδειγμα ακολουθεί το «ιδέα μέσο αναπαράσταση» (Χιωτάκης Τ. & Χωραφάς Ε., 1994). Παρατηρούμε επίσης ότι το σκίτσο σε κάθε μία οντότητα σε αυτό το τρίπτυχο έχει ενεργό ρόλο, ο οποίος είναι επεκτάσιμος, όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως, με την έννοια ότι μπορεί να αναθεωρηθεί και να επαναβαπτιστεί η χρησιμότητά του. 6

8 (α) (β) (γ) Εικόνα 2. α) Το σκίτσο ως πρωταρχική σύλληψη, β) Το σκίτσο ως μέσον μελέτης της πρωταρχικής ιδέας, γ) η υλοποίηση της πρωταρχικής σύλληψης. Πιο συγκεκριμένα, στον σχεδιασμό έχει παρατηρηθεί η χρησιμότητα παραγωγής ενός δισδιάστατου σχεδίου από ένα τρισδιάστατο μοντέλο. Από την άλλη, η κατασκευή ενός τρισδιάστατου αντικειμένου από ένα δισδιάστατο σχέδιο είναι εξίσου χρήσιμη και συχνή. Για παράδειγμα μία πολύ συνηθισμένη ανάγκη στο αρχιτεκτονικό σχεδιασμό, και όχι μόνο, είναι αφού σχεδιαστεί το αντικείμενο μελέτης, που στην προκειμένη περίπτωση είναι συνήθως ένα κτίριο, σε ένα πρόγραμμα τρισδιάστατης σχεδίασης (3D CAD), να μπορούν να παραχθούν τα αντίστοιχα δισδιάστατα σχέδια, που στην προκειμένη περίπτωση αποτελούν τις όψεις του αντικειμένου. Για τον λόγο αυτό έχουν αναπτυχθεί συγκεκριμένα εργαλεία και διαδικασίες για την ικανοποίηση αυτής της ανάγκης. Από την άλλη πλευρά είναι επίσης σημαντική η εξαγωγή του τρισδιάστατου μοντέλου από δισδιάστατα σκίτσα και σχέδια. Στο παράδειγμα της Εικόνα 2 είναι πολύ χρήσιμο στον μελετητή να μπορεί, αφού καταλήξει στο δισδιάστατο σχέδιο του αντικειμένου που μελετά, να μπορέσει εύκολα και απρόσκοπτα να κατασκευάσει το αντίστοιχο τρισδιάστατο αντικείμενο. Συγκεκριμένα ο μελετητής, έχοντας αναπτύξει τα αντίστοιχα δισδιάστατα σκίτσα, το πρόγραμμα του παρέχει τις κατάλληλες εντολές/εργαλεία για τρισδιάστατη μοντελοποίηση, πχ extrude για την εξώθηση δισδιάστατων 7

9 στοιχείων του σκίτσου, revolve για την δημιουργία αντικειμένων εκ περιστροφής, κτλ. Είναι ξεκάθαρο ότι κατά την διαδικασία σχεδίασης ο μετασχηματισμός της πληροφορίας από δισδιάστατη σε τρισδιάστατη είναι συνήθης και ιδιαίτερα χρήσιμος. Από την αναγκαιότητα αυτή ίσως να έχει την αφετηρία της η κατηγορία προγραμμάτων BIM (Building Information Modeling), τα οποία αντιμετωπίζουν τις σχεδιαστικές οντότητες πληροφοριακά (Böhms, 2008). Από αυτές μπορεί ο χρήστης να παίρνει διάφορες αναπαραστάσεις είτε δισδιάστατες είτε τρισδιάστατες. Το σκίτσο εμφανίζεται λοιπόν ως ακρογωνιαίος λίθος στη δημιουργική φάση του σχεδιασμού. Η σημασία του αυτή καθιστά αναγκαία τη διερεύνησή του, με στόχο την ανάπτυξη μίας μεθοδολογίας για την αυτόματη κατασκευή του αντίστοιχου τρισδιάστατου μοντέλου. Στο επόμενο κεφάλαιο (Κεφάλαιο 2) γίνεται αναφορά στα είδη προβολής, στην έννοια του σκίτσου και του στερεού και σε άλλες έννοιες που χρησιμοποιούνται στην παρούσα διπλωματική εργασία. Το Κεφάλαιο 3 αναφέρεται σε μεθόδους που ελέγχουν την ύπαρξη στερεού από δεδομένο σκίτσο (μεθόδους ανακατασκευασιμότητας ενός σκίτσου), με έμφαση στη μέθοδο του «Διάγραμματος τομής», η οποία χρησιμοποιείται στην παρούσα διπλωματική. Στα Κεφάλαια 4 και 5 περιγράφεται η προτεινόμενη μέθοδος κατασκευής στερεού από σκίτσο, αναλύεται η απαιτούμενη συμμετοχή του χρήστη, και παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της εφαρμογής αυτής σε διάφορα σκίτσα, ακολουθούμενα από παρατηρήσεις και συμπεράσματα. 8

10 2 Προαπαιτούμενες Γνώσεις - Ορολογία 2.1 Προβολές Η έννοια της προβολής χρησιμοποιείται για τον ορισμό θεμελιωδών εννοιών σε πολλούς τομείς της επιστήμης των Μαθηματικών, όπως στην Ευκλείδεια, Σφαιρική, και Υπερβολική Γεωμετρία, στην Στερεομετρία, στην Μαθηματική Ανάλυση κτλ. (Carlbom, 2005). Η διευρυμένη αυτή χρήση της προβολής δείχνει τη σημασία και τη βαρύτητα που έχει ως μαθηματική έννοια. Στην παράγραφο αυτή θα αναλυθεί η έννοια της προβολής και θα παρουσιαστούν και θα εξηγηθούν οι κυριότεροι τύποι μαθηματικών προβολών. Η προβολή ενός σημείου Α σε ένα επίπεδο π, ορίζεται ως εξής (Εικόνα 3α) (Αργυρόπουλος et al.) «Αν Α είναι ένα σημείο εκτός ενός επιπέδου π, ορίζουμε ως προβολή του Α στο επίπεδο π το σημείο τομής Α του π με την κάθετη ευθεία από το Α στο π. Η προβολή ενός σχήματος του χώρου στο π είναι το σύνολο των προβολών των σημείων του σχήματος στο π». (α) (β) Εικόνα 3. α) η προβολή του Α στο επίπεδο π, β)γωνία σημείου από επίπεδο (ΑΜΑ ) Από τον ορισμό αυτό αποδεικνύεται ότι η προβολή μιας ευθείας σε ένα επίπεδο, που δεν είναι κάθετη σε αυτό, είναι επίσης ευθεία. Αν η ευθεία είναι κάθετη στο επίπεδο τότε η προβολή της σε αυτό είναι ένα σημείο, το ίχνος της. Αυτό γνωρίζοντας ότι: i) ορθή προβολή ή ίχνος ενός σημείου Α 9

11 πάνω σε μιαν ευθεία ε, ονομάζεται το σημείο τομής Α' της ευθείας ε με την κάθετη προς αυτήν που διέρχεται από το Α. ii) Ορθή προβολή ή ίχνος ενός σημείου Α πάνω σε ένα επίπεδο π, είναι το σημείο Α' του π στο οποίο η ΑΑ' είναι κάθετη σε όλες τις ευθείες του π που διέρχονται από το Α' (δηλαδή η ΑΑ' είναι κάθετη στο π) (Αργυρόπουλος et al.). Καθίσταται φανερό ότι οι βασικές ιδιότητες της στερεομετρίας προϋποθέτουν την έννοια της προβολής. Επίσης, με τη βοήθεια της έννοιας της προβολής ορίζεται η θεμελιώδης έννοια της απόστασης σημείου από επίπεδο (δείτε Εικόνα 3α) (Αργυρόπουλος et al.). «Απόσταση του σημείου Α από το επίπεδο π λέγεται το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΑ, όπου Α η προβολή του Α στο επίπεδο π». Η έννοια της προβολής χρησιμοποιείται επίσης για τον ορισμό της γωνίας μεταξύ ευθείας και επιπέδου (Εικόνα 3β) (Αργυρόπουλος et al.). «Γωνία ευθείας και επιπέδου είναι η γωνία που σχηματίζεται από την ευθεία και την προβολή της στο επίπεδο (γωνία ΑΜΑ ), αν η ευθεία δεν είναι κάθετη στο επίπεδο. Αν η ευθεία είναι κάθετη στο επίπεδο ως γωνία ορίζεται η ορθή» Γενικεύοντας την έννοια της προβολής, προκύπτει ότι η προβολή ενός τρισδιάστατου αντικείμενου σε μία επιφάνεια είναι η «δισδιάστατη αναπαράσταση του αντικειμένου επί της επιφάνειας αυτής, όπως αυτή προκύπτει από τα ίχνη του αντικειμένου πάνω στην επιφάνεια (Εικόνα 4α & β). Στην συνέχεια περιγράφονται τα βασικά είδη προβολών, τα οποία χρησιμοποιούνται ανάλογα με τα διαφορετικά επιστημονικά πεδία στα οποία εφαρμόζονται. 10

12 (α) (β) Εικόνα 4. α) Προβολή ενός αντικειμένου επί το επίπεδο του δαπέδου, β) Προβολή των γύρω κτιρίων επί του σφαιρικού αντικειμένου Ορθή προβολή Ορθή προβολή ονομάζεται η προβολή του τρισδιάστατου χώρου σε ένα επίπεδο μέσω ευθειών καθέτων στο επίπεδο προβολής (Θεοχάρης & Μπεμ, 1999). Πιο συγκεκριμένα, για την τεχνική παράσταση των προβολών ενός αντικειμένου χρησιμοποιείται ένας χώρος, ο οποίος σχηματίζεται από έξι κάθετα μεταξύ τους επίπεδα, τα καλούμενα επίπεδα προβολής (Εικόνα 5α). Αν σε αυτόν τον χώρο τοποθετηθεί ένα αντικείμενο, τότε μπορεί να κατασκευαστεί η προβολή του τελευταίου στα έξι αυτά επίπεδα (Εικόνα 5β). (α) (β) Εικόνα 5. α) Τα 6 επίπεδια προβολής που είναι μεταξύ τους κάθετα, β) Μία ορθή προβολή ενός αντικειμένου. Εδώ βλέπουμε 3 όψεις. 11

13 Οι έξι εικόνες του τεμαχίου στα επίπεδα προβολής καλούνται όψεις του αντικειμένου (Heinzler et al., 1992). Στην ορθή προβολή οι κύριες έδρες του προς απεικόνιση αντικειμένου είναι παράλληλες προς τα επίπεδα προβολής, και από τις κορυφές του σχεδιάζονται ακτίνες κάθετες προς τα επίπεδα προβολής. Οι ακτίνες είναι μεταξύ τους παράλληλες και ονομάζονται «προβολικές ακτίνες». Κάθε ακτίνα από αυτές συναντά το επίπεδο προβολής σε ένα σημείο, όπου και έχουμε το αντίστοιχο ίχνος. Αν ενωθούν αυτά τα ίχνη με γραμμές, τότε παίρνουμε την αντίστοιχη όψη (Εικόνα 5β). Άρα οι γραμμές που αποτελούν την όψη του αντικειμένου αντιστοιχούν στις ακμές που ορίζουν το περίγραμμα του τελευταίου. Στην ορολογία κατασκευής ενός τεχνικού σχεδίου, οι 6 βασικές όψεις καλούνται πρόσοψη, κάτοψη, άνοψη, πίσω όψη και πλάγια από δεξιά ή αριστερά όψη. Από την παραπάνω διαδικασία γίνεται αντιληπτό ότι η ορθή προβολή είναι πολύ χρήσιμη σε επιστήμες όπως είναι η αρχιτεκτονική, ο βιομηχανικός σχεδιασμός και γενικά, όσε επιστήμες χρησιμοποιούν τεχνικό και κατασκευαστικό σχέδιο. Επίσης, οι αναπαραστάσεις ενός αντικειμένου σε ορθή προβολή είναι πολύ χρήσιμες για την μελέτη του αντικειμένου και την τροποποίησή του. Για αυτό το λόγο όλα τα προγράμματα CAD και BIM (Mortenson, 2007), κάνουν ευρύτατη χρήση των ορθών προβολών με το όνομα «views», «orthographic views» κτλ για τη διευκόλυνση του χρήση (Εικόνα 6α). 12

14 (α) (β) Εικόνα 6. Οι τρεις ορθές προβολές του αντικειμένου στα δεξιά Αξονομετρικές προβολές Οι αξονομετρικές προβολές αποτελούν μία ευρύτερη κατηγορία προβολών. Για παράδειγμα σε όλα τα προγράμματα σχεδιασμού σε Η/Υ, χρησιμοποιούνται τρισδιάστατες αξονομετρικές αναπαραστάσεις των αντικειμένων (Εικόνα 6β). Από τις αξονομετρικές προβολές θα εξεταστούν οι πιο σημαντικές και συνήθεις. Ισομετρική προβολή Η ισομετρική προβολή χρησιμοποιείται στις περιπτώσεις όπου υπάρχει κάτι που θέλουμε να απεικονίσουμε σε τρεις όψεις. Η σχεδίαση της ισομετρικής προβολής ενός τρισδιάστατου αντικειμένου βασίζεται στους παρακάτω κανόνες (Heinzler et al., 1992). Σε μία ισομετρική προβολή οι διαστάσεις του αντικειμένου σχεδιάζονται στην ίδια κλίμακα. 1. Οι διευθύνσεις Χ και Υ (Εικόνα 7) σχηματίζουν γωνία 30 ως προς την οριζόντια, ενώ η διεύθυνση Ζ είναι κατακόρυφη. 2. Η σχέση πλευρών είναι x:y:z = 1:1:1. Για το λόγο αυτό οι προβολές ονομάζονται ισομετρικές. 13

15 Εικόνα 7. Το σύστημα σχεδίασης ισομετρικών προβολών. Οι ισομετρικές προβολές είναι χρήσιμες στο σχεδιασμό βιομηχανικών προϊόντων, στο σχεδιασμό επίπλων και γενικά αντικειμένων τα οποία μελετούμε μέσω των τριών βασικών τους όψεων. Διμετρική προβολή Άλλη σημαντική κατηγορία των αξονομετρικών προβολών είναι η διμετρική προβολή. Οι διμετρικές προβολές χρησιμοποιούνται όταν πρόκειται να μελετηθούν πιο προσεκτικά στοιχεία του αντικειμένου που εμφανίζονται σε μια μόνο από τις όψεις του. Επομένως μπορούν να χρησιμοποιηθούν επικουρικά, μαζί με τις ισομετρικές προβολές, για την παρουσίαση ενδεχομένως σε δεύτερο και πιο διεισδυτικό επίπεδο του τρισδιάστατου αντικειμένου. Η σημαντικότερη διαφορά σε σχέση με την ισομετρική προβολή είναι ότι στη διμετρική προβολή χρησιμοποιούνται δύο διαφορετικές κλίμακες για την αναπαράσταση του αντικειμένου μελέτης (Εικόνα 8). 14

16 Εικόνα 8. Παράδειγμα διμετρικής προβολής. Συγκεκριμένα, οι κανόνες σχεδίασης της διμετρικής προβολής είναι (Τενικό σχέδιο, 1992): 1. Διευθύνσεις αξόνων ως εξής Διεύθυνση Χ, υπό γωνία 42 προς την οριζόντια διεύθυνση Y, υπό γωνία 7 προς την οριζόντια και Διεύθυνση Ζ κατακόρυφη. 2. Η σχέση πλευρών είναι x:y:z = 0,5:1:1. Αναφορικά με τη χρήση των διμετρικών προβολών, αυτή δε διαφέρει ιδιαίτερα από τη χρήση των ισομετρικών προβολών. Είναι επίσης χρήσιμες στο σχεδιασμό βιομηχανικών προϊόντων και επίπλων. Στα προγράμματα σχεδίασης με Η/Υ χρησιμοποιούνται διαρκώς τόσο ισομετρικές όσο και διμετρικές προβολές των υπό μελέτη αντικειμένων. Για παράδειγμα, στο AutoCAD, διατίθενται προκαθορισμένες οπτικές γωνίες για ισομετρικές απεικονίσεις του αντικειμένου (menu VIEW > 3D VIEWS> SW/SE/NW/NE isometric). Τριμετρική προβολή Η τριμετρική προβολή είναι η τελευταία από τις βασικές κατηγορίες αξονομετρικών προβολών. Στη τριμετρική προβολή η κατεύθυνση της 15

17 προβολής είναι τέτοια ώστε η στροφή των τριών αξόνων του χώρου να είναι άνισα κατανεμημένη. Η κλίμακα κατά μήκος καθενός από τους τρεις άξονες και οι γωνίες μεταξύ των οποίων καθορίζονται χωριστά, όπως προσδιορίζεται από τη γωνία θέασης (Εικόνα 9) (Παυλίδης, 1996). Εικόνα 9 Τριμετρική προβολή Γενικά χρησιμοποιούνται λιγότερο συχνά σε σχέση με δύο προηγούμενες κατηγορίες. (α) (β) Εικόνα 10 Διαφορά τριμετρικής προβολής (α) από διμετρική (β) Πλάγια παράλληλη προβολή Βασική ομοιότητα της πλάγιας παράλληλης προβολής με τη διμετρική προβολή είναι ότι και σε αυτή χρησιμοποιούνται επίσης δύο διαφορετικές κλίμακες. Επίσης και η κατηγορία αυτής της προβολής χρησιμοποιείται όταν 16

18 υπάρχει κάτι σημαντικό που πρέπει να μελετηθεί σε μια όψη του αντικειμένου. Σημειώνεται ότι η προβολή αυτή λέγεται επίσης και Kavalier, όταν το μήκος των παράλληλων στον άξονα Ζ ακμών του αντικειμένου, δεν αλλάζει κλίμακα κατά την σχεδίαση της προβολής. Η σχεδίαση της πλάγιας παράλληλης προβολής ενός αντικειμένου (Εικόνα 11α) βασίζεται στους παρακάτω κανόνες (Heinzler et al., 1992). (): 1. Διεύθυνση αξόνων ως εξής: Διεύθυνση Χ, υπό γωνία 45. Διεύθυνση Y, οριζόντια. Διεύθυνση Ζ κατακόρυφη. 2. Η σχέση πλευρών είναι x:y:z = 0,5:1:1. Η πλάγια παράλληλη προβολή είναι γνωστή και ως «προβολή καταψύκτη», που είναι δημοφιλής στην απεικόνιση επίπλων (Εικόνα 11β). Συγκεκριμένα, στην προβολή «καταψύκτη» ο άξονας υποχωρεί και κλιμακώνεται στο μισό σε μέγεθος, μερικές φορές και δύο τρίτα του αρχικού. (α) (β) Εικόνα 11. α) Παράδειγμα πλάγιας παράλληλης προβολής, β) Πάγκος που ανάγεται στην προβολή καταψύκτη: μια λοξή προβολή με γωνία 30 και με αναλογία 0,5. 17

19 2.1.4 Άλλες κατηγορίες προβολής Εκτός από τα παραπάνω είδη προβολής, που συναντώνται συχνότερα στην σχεδίαση με ηλεκτρονικό υπολογιστή, στην παράγραφο αυτή θα αναφερθούν και άλλες κατηγορίες προβολών που προσανατολίζονται σε πιο εξειδικευμένες απαιτήσεις. Κεντρική προβολή Κεντρική προβολή ονομάζεται η προβολή ενός τρισδιάστατου χώρου σε άλλον τρισδιάστατο χώρο μέσω ευθειών που διέρχονται από το κέντρο προβολής ( Εικόνα 12α)(Whitehead). Προοπτική απεικόνιση είναι η κεντρική προβολή του τρισδιάστατου χώρου σε επίπεδο προβολής. Βλέπουμε εδώ πώς αξιοποιείται ο ορισμός της κεντρικής προβολής για τον ορισμό της θεμελιώδους έννοιας της προοπτικής, του τρόπου με τον οποίο αντιλαμβανόμαστε το χώρο γύρω μας (Εικόνα 12β). (α) (β) Εικόνα 12. Παραδείγματα Κεντρικής Προβολής Χαρτογραφική Προβολή Με τον όρο χαρτογραφική προβολή ονομάζεται η μέθοδος αναπαράστασης που ακολουθείται για την απεικόνιση της επιφάνειας της Γης. Ένα πρόβλημα που έχει η σύνταξη των χαρτών είναι η αναπαράσταση της σφαιροειδούς επιφάνειας της Γης σε επίπεδο (Knippers, 1998). Μια τέτοια 18

20 όμως επιχείρηση κρίνεται αδύνατη, επειδή η τελική αναπαράσταση θα παρουσιάζει στρέβλωση του αρχικού αντικειμένου. Εικόνα 13. Κυλινδρική προβολή για χαρτογραφική μελέτη. Επομένως κατά την κατασκευή των χαρτών ακολουθούνται διάφοροι μέθοδοι προβολής των διαφόρων σημείων της επιφάνειας της Γης σε επίπεδο ή σε επιφάνεια που μπορεί να αναπτυχθεί στη συνέχεια σε επίπεδο, όπως είναι η κωνική και η κυλινδρική επιφάνεια. Το κάθε είδος αυτών των προβολών έχει δικά του χαρακτηριστικά που το καθιστούν αυτό προτιμητέο για συγκεκριμένη χρήση (Εικόνα 13). Κωνική Προβολή Στην κωνική προβολή θεωρείται ότι ο οφθαλμός του παρατηρητή βρίσκεται στο κέντρο της Γης. Επομένως, τα προς αναπαράσταση σημεία της επιφάνειάς της προβάλλονται επί της εσωτερικής επιφάνειας κώνου που εφάπτονται ενός ή περισσοτέρων παραλλήλων κύκλων της Γης. Οι κύκλοι αυτοί λέγονται «παράλληλοι επαφής» (Εικόνα 14). 19

21 Εικόνα 14. Κωνική προβολή για χαρτογραφική μελέτη. Με τον όρο «Αζιμουθιακή προβολή» (Knippers, 1999), χαρακτηρίζεται η μέθοδος προβολής κατά την οποία τα σημεία της σφαιρικής επιφάνειας προβάλλονται επί επιπέδου εφαπτόμενου σε ένα σημείο της επιφάνειας. Αυτό θα μπορούσε να θεωρηθεί και ως κωνική προβολή ο κώνος της οποίας όμως έχει ύψος μηδέν. 2.2 Σκίτσο Ως σκίτσο θεωρείται ένα ελεύθερο σχέδιο που εκτελείται εν συντομία. Σε γενικές γραμμές, ένα σκίτσο είναι ένας γρήγορος τρόπος για να καταγράψει κάποιος μια ιδέα. Πιο συγκεκριμένα για ένα καλλιτέχνη το σκίτσο είναι ένας τρόπος για να δοκιμάσει διάφορες ιδέες και να δημιουργήσει μια σύνθεση πριν προχωρήσει σε ένα νέο πιο ολοκληρωμένο έργο, ειδικά όταν το τελικό έργο είναι δαπανηρό και χρονοβόρο (Kandinsky, 1996). Ένα παράδειγμα για την πρώτη περίπτωση είναι η παραγωγή ενός προϊόντος κατά το τελευταίο στάδιο το οποίο κοστίζει και πρέπει να έχουμε καταλήξει από πριν πως θα είναι το τελικό σχέδιο. Ενώ για την δεύτερη περίπτωση μπορούμε να αναφέρουμε την περίπτωση ενός ζωγράφου που για να δημιουργήσει το τελικό έργο του που θα χρειαστεί χρόνο, συνήθως έχει μια εικόνα του θέματός του σε πρόχειρο σχέδιο. Συνεπώς το σκίτσο οξύνει την ικανότητα του καλλιτέχνη να επικεντρωθεί στα πιο σημαντικά στοιχεία ενός θέματος. 20

22 Υπάρχουν ποικίλα παραδοσιακά και νέα μέσα για τη δημιουργία ενός σκίτσου. Στα παραδοσιακά μέσα ανήκουν το μολύβι ή τα παστέλ, τα οποία συχνά προτιμώνται λόγω χρονικών περιορισμών, η ακουαρέλα, ο πηλός ή το μαλακό κερί, ο γραφίτης κ.α.. Εκτός από τα παραδοσιακά μέσα υλικά, στη σημερινή εποχή διατίθενται διαφόρων κατηγοριών προγράμματα σχεδίασης με την χρήση του Η/Υ. Οι δύο βασικές κατηγορίες προγραμμάτων είναι αυτά των ανυσματικών γραφικών (vector graphics) και των σημειακών γραφικών (raster graphics). Στη πρώτη κατηγορία ανήκουν προγράμματα όπως το AutoCAD, το Solidworks αλλά και προγράμματα που υποστηρίζουν animation όπως το ΜΑΥΑ και το 3DBlender. Στη δεύτερη κατηγορία, που αφορά στην επεξεργασία εικόνας, ανήκει το Photoshop, ενώ στην περίπτωση που αφορά στην επεξεργασία video ανήκει το Premiere. Τέλος υπάρχουν υβριδικά προγράμματα, όπως είναι το CorelDraw, που συνδυάζουν τα αναυσματικά γραφικά με τα σημειακά. Η ικανότητα να καταγράφει κάποιος γρήγορα εντυπώσεις με σκίτσο (Εικόνα 15) έχει βρει ποικίλες εφαρμογές στο σημερινό πολιτισμό. Για παράδειγμα στις αίθουσες δικαστηρίων καλλιτέχνες σκιτσάρουν τα τεκταινόμενα. Εικόνα 15. Παράδειγμα σκίτσου. André Masson, Μελάνι σε χαρτί, 23,5 x 20,6 cm. Museum of Modern Art της Νέας Υόρκης. 21

23 Το σκίτσο, όπως χρησιμοποιείται στην παρούσα διπλωματική, είναι ένα γραμμικό σχέδιο, χωρίς επιπρόσθετα στοιχεία, το οποίο θεωρείται ως η ορθογραφική προβολή ενός τρισδιάστατου αντικειμένου. Συγκεκριμένα, το στερεό όταν προβάλλεται βρίσκεται σε γενική θέση, και επομένως δεν υπάρχουν περιπτώσεις που μία έδρα του στερεού προβάλλεται ως γραμμή στο σκίτσο ή δύο διαφορετικές ακμές ή κορυφές συμπίπτουν κατά την προβολή τους. (α) (β) Εικόνα 16 Το πλήρες σκίτσο (αριστερά) και το φυσικό σκίτσο (δεξιά). Το σκίτσο μπορεί να καταταχθεί σε δύο κατηγορίες: το πλήρες σκίτσο και το φυσικό σκίτσο. Το πλήρες σκίτσο αναπαριστά τις ορατές και τις μη ορατές ακμές, κορυφές και έδρες ενός στερεού στο επίπεδο (Εικόνα 16α), ενώ το φυσικό σκίτσο αναπαριστά μόνο το ορατό τμήμα αυτού (Εικόνα 16β) (Κυρατζή & Σαπίδης, 2006). Παρόλο που τα δύο είδη σκίτσου μεταφέρουν διαφορετικές πληροφορίες σχετικά με το προβαλλόμενο στερεό αντικείμενο, οι μέθοδοι ανακατασκευής που σχετίζονται με τα δύο είδη σκίτσου, εν γένει αντιμετωπίζουν το σκίτσο σαν ένα επίπεδο γράφο. Γράφος είναι μία δομή που αποτελείται από ένα σύνολο κόμβων που συνδέονται μεταξύ τους με γραμμές (Μανωλόπουλος, 1996). Ο γράφος συμβολίζεται ως G(V, E), όπου V/E είναι αντίστοιχα οι κόμβοι/γραμμές του γράφου. Κάθε γραμμή e προσδιορίζεται από δύο κόμβους u, v που ονομάζονται τερματικοί κόμβοι. Η γραμμή e ονομάζεται προσπίπτουσα στους κόμβους u, v ή λέγεται ότι ενώνει τα u, v. Βαθμός ενός κόμβου u (deg(u)) είναι ο αριθμός των γραμμών e που προσπίπτουν στον κόμβο αυτόν. Σε ένα 22

24 πλήρες σκίτσο που αναπαριστά ένα τριεδρικό πολύεδρο, ο βαθμός κάθε κόμβου είναι ίσο με τρία (Diestel, 1997). 2.3 Δισδιάστατο και Τρισδιάστατο Σχέδιο Με τον όρο «δισδιάστατο σχέδιο» ορίζεται ένα σχέδιο που αναπαριστά μία δισδιάστατη όψη ενός αντικειμένου. Έτσι δεν αποσκοπεί στο να δώσει την αίσθηση του χώρου. Αποτελεί υπό αυτήν την έννοια μία από τις 6 όψεις που παράγονται από ορθή προβολή και προκύπτει από την ορθή προβολή (Εικόνα 17). (Μονεμβασίτου et al., 1998). Εικόνα 17 Παράδειγμα ενός δισδιάστατου σχέδιου. Στον αντίποδα του δισδιάστατου σχεδίου είναι το τρισδιάστατο σχέδιο (Μονεμβασίτου et al., 1998). Αυτό προκύπτει από τις υπόλοιπες κατηγορίες προβολής, όπως είναι για παράδειγμα η διμετρική προβολή. Φιλοδοξεί στο να μεταδόσει πληροφορίες που αφορούν και την τρίτη διάσταση του αντικειμένου που αναπαριστά (Εικόνα 18). 23

25 Εικόνα 18 Παράδειγμα ενός τρισδιάστατου σχέδιου. 2.4 Στερεό Μοντέλο Για τον ορισμό ενός στερεού μοντέλου θα πρέπει να αναφερθούν αναλυτικά οι ιδιότητές του. Για τον λόγο αυτό η χρήση λογισμικών συστημάτων που δε βασίζονται στον χρήστη για τον έλεγχο ορθότητας ενός στερεού μοντέλου είναι περισσότερο επιθυμητά. Η εξασφάλιση ορθότητας από το λογισμικό προαπαιτεί τον ορισμό της έννοιας «στερεό μοντέλο». Ένα στερεό Σ είναι ένα σύνολο τρισδιάστατων σημείων που είναι πεπερασμένο και κλειστό. Κάθε σημείο του στερεού Σ είναι εσωτερικό σημείο ή σημείο συνόρου. Ένα σημείο P του στερεού Σ καλείται εσωτερικό σημείο αν η γειτονιά του (σφαίρα με κέντρο το P και ακτίνα να τείνει στο μηδέν) ανήκει εξ ολοκλήρου στο στερεό. Αντίστοιχα, ένα σημείο P του στερεού Σ καλείται σημείο συνόρου, αν ένα τμήμα της γειτονιάς του βρίσκεται έξω από το στερεό (Εικόνα 19), ( M.A. Armstrong, 1983). 24

26 Εικόνα 19 Τα σημεία ενός στερεού. Επίσης η έννοια της συνεκτικότητας είναι προϋπόθεση για ένα στερεό. Ένα στερεό Σ πρέπει να είναι συνεκτικό. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε ζεύγος σημείων του Α και Β υπάρχει καμπύλη που τα συνδέει και η οποία εμπεριέχεται εξ ολοκλήρου στο στερεό (Εικόνα 20α). Το σύνολο Σ1UΣ2 (Εικόνα 20β) δεν είναι συνεκτικό στερεό, γιατί ένα τμήμα της καμπύλης που ενώνει τα σημεία Α και Β κείτεται εκτός του Σ1UΣ2 (Armstrong, 1983). (α) (β) Εικόνα 20 Συνεκτικό στερεό (αριστερά), μη συνεκτικό στερεό (δεξιά) Το σύνορο του στερεού έχει μεγάλη σημασία για τον ορισμό του στερεού. Τα σημεία συνόρου βρίσκονται σε μία επιφάνεια που καλύπτει το στερεό και αποτελεί το σύνορο αυτού διαχωρίζοντας τα εσωτερικά του σημεία από αυτά που βρίσκονται έξω από το στερεό. Για το σύνορο ενός στερεού ισχύουν οι παρακάτω περιορισμοί (Mortenson, 2006) : Είναι συνεκτικό. Αποτελεί μία προσανατολισμένη επιφάνεια: σε κάθε σημείο του υπάρχει διεύθυνση «προς τα μέσα» και διεύθυνση «προς τα έξω». Δεν τέμνει τον εαυτό του. 25

27 Είναι μία κλειστή επιφάνεια, δηλαδή δεν έχει σύνορο. Εφάπτεται στο εσωτερικό του στερεού: για κάθε σημείο του συνόρου, η γειτονιά του τέμνει το εσωτερικό του στερεού. Αναλλοίωτη Μορφή (Rigidity): Ένα στερεό έχει αναλλοίωτες γεωμετρικές ιδιότητες, που δεν αλλάζουν με την αλλαγή θέσης ή/και προσανατολισμού στο χώρο. Ομογενώς Τρισδιάστατο: Δεν περιλαμβάνει τμήματα 2Δ (dangling faces) ή 1Δ (dangling edges). Κλειστότητα σε σχέση με στερεούς μετασχηματισμούς και κανονικοποιημένες πράξεις συνόλων: όταν σε ένα στερεό εφαρμοστεί ένας μετασχηματισμός ή μία πράξη συνόλων, το αποτέλεσμα είναι πάντα ένα ή περισσότερα (ορθά) στερεά. Πεπερασμένη περιγραφή: δηλαδή να μην είναι fractal. Boundary Determinism: Το σύνορο προσδιορίζει σαφώς και κατά τρόπο μοναδικό το εσωτερικό του στερεού, δηλαδή το σύνορο αποτελεί πλήρη περιγραφή του στερεού Αναπαράσταση Στερεού Μοντέλου Αναφορικά με την απεικόνιση του στερεού στον υπολογιστή ώστε ο χρήστης να μπορέσει να το μελετήσει και να το επεξεργαστεί ανακύπτουν πολλά ζητήματα και προβλήματα. Ένα από τα πλέον βασικά ζητήματα είναι ο τρόπος αναπαράστασής του στερεού μοντέλου, έτσι ώστε να περιγράφεται επαρκώς η τοπολογία και η γεωμετρία αυτού. Η κατάλληλη αναπαράσταση του στερεού εξαρτάται κάθε φορά από τις απαιτήσεις και τις ανάγκες της εκάστοτε εργασίας. Ενδεικτικά αναφέρονται ορισμένοι στόχοι που εξυπηρετεί ένα στερεό στον υπολογιστή. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επαλήθευση και την μελέτη της απόδοσης ενός μηχανισμού ή την ανάλυση αντοχής ενός αντικειμένου. Σε εφαρμογές εικονικής πραγματικότητας και physics simulation χρησιμοποιείται για την προσομοίωση φυσικών φαινομένων όπως είναι η ελαστικότητα, η βαρύτητα κτλ. Υπάρχουν μοντέλα αναπαράστασης που περιγράφουν προσεγγιστικά την γεωμετρία του στερεού μοντέλου και χρησιμοποιούνται κυρίως σε 26

28 εφαρμογές φωτορεαλισμού (rendering). Αυτές οι μέθοδοι είναι η αναπαράσταση με τρίγωνα, δηλαδή τα 3D meshes και η αναπαράσταση με σημεία, δηλαδή τα point clouds. Ωστόσο σε άλλες εφαρμογές, όπως στο βιομηχανικό σχεδιασμό, απαιτείται η περιγραφή του μοντέλου να δίνεται με ακρίβεια. Σε εφαρμογές αυτού του είδους, οι πιο γνωστές μέθοδοι αναπαράστασης είναι το συνολοθεωρητικό Μοντέλο ή Constructive Solid Geometry (CSG) και το Μοντέλο Αναπαράστασης Συνόρου (Boundary Representation Model - BRep) Συνολοθεωρητικό μοντέλο στερεού (Constructive Solid Geometry (CSG)) Στο Συνολοθεωρητικό μοντέλο αναπαράστασης, ένα στερεό ορίζεται ως ο συνδυασμός απλών στοιχειωδών στερεών, γνωστών και ως πρωτογενών (Εικόνα 21). Εικόνα 21 Τα πρωτογενή στερεά. Το μοντέλο βασίζεται στην χρήση των κανονικοποιημένων συνολοθεωρητικών πράξεων, της τομής, της ένωσης και της διαφοράς (Εικόνα 22), πάνω στα πρωτογενή στερεά (Hoffmann, 1989). Οι κανονικοποιημένες αυτές πράξεις έχουν την κλειστότητα που απαιτείται για τον ορισμό του μοντέλου. Αυτό σημαίνει ότι το αποτέλεσμα μιας τέτοιας πράξης σε στερεά είναι πάντα ένα στερεό. 27

29 Εικόνα 22 Οι λογικές πράξεις. Σημειώνεται ότι στη Συνολοθεωρητική Αναπαράσταση Μοντέλου η αναπαράσταση των στερεών γίνεται από μία δενδρική δομή, και συγκεκριμένα από ένα διατεταγμένο δυικό δέντρο (Εικόνα 23). Εικόνα 23 Το δυϊκό δέντρο ενός στερεού Συνολοθεωρητικό Μοντέλο Σε αυτή τη δομή κάθε κόμβος του δέντρου, εκτός από την ρίζα του, έχει έναν πατέρα και κάθε κόμβος του δέντρου, εκτός από τους τερματικούς κόμβους, έχει δύο παιδιά. Οι τερματικοί κόμβοι του δέντρου αντιστοιχούν στα πρωτογενή στερεά. Οι υπόλοιποι κόμβοι είναι οι κανονικοποιημένες συνολοθεωρητικές πράξεις. Τέλος η ρίζα του δέντρου αντιστοιχεί στο στερεό μοντέλο. Κάθε κόμβος του δέντρου που αντιστοιχεί σε μία από τις πράξεις 28

30 συνόλων, αποτελεί την ρίζα για το τμήμα του δέντρου που βρίσκεται κάτω από αυτόν (Hoffmann, 1989) Μοντέλο αναπαράστασης συνόρου (Boundary Representation Model - BRep) Στο μοντέλο αναπαράστασης συνόρου, το στερεό ορίζεται με ακρίβεια και σαφήνεια από το σύνορό του, το οποίο αποτελούν οι κορυφές, οι ακμές και οι έδρες. Συγκεκριμένα για το σύνορο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες (Hoffmann, 1989): Κορυφή του μοντέλου: σημείο(εικόνα 24α). o Γεωμετρικές ιδιότητες: Σημείο του τρισδιάστατου χώρου που ορίζεται από διατεταγμένη τριάδα αριθμών. o Τοπολογικές ιδιότητες: Ανήκει σε ορισμένες έδρες και σε ορισμένες ακμές. Ακμή του μοντέλου: πεπερασμένο τμήμα καμπύλης, δεν τέμνει τον εαυτό της, είναι προσανατολισμένη, τα άκρα της ορίζονται από δύο κορυφές(εικόνα 24β). o Γεωμετρικές ιδιότητες: τμήμα καμπύλης που ξεκινά από την αρχική κορυφή και καταλήγει στην τελική κορυφή. o Τοπολογικές ιδιότητες: Αρχική κορυφή και τελική κορυφή Βρόχοι στους οποίους ανήκει η ακμή Ακμές με ίδιες κορυφές Έδρα: πεπερασμένο, συνεκτικό, τμήμα προσανατολισμένης επιφάνειας που δεν τέμνει τον εαυτό της και έχει ως σύνορο έναν ή περισσότερους βρόχους ακμών(εικόνα 24γ). o Γεωμετρικές ιδιότητες: Μαθηματικό μοντέλο για Τμήμα Επιφάνειας (με σύνορο ίδιο με αυτό της έδρας) ή Βασική (εκτεταμένη) Επιφάνεια που περιέχει την έδρα 29

31 o Τοπολογικές ιδιότητες: Βρόχοι που ορίζουν το εξωτερικό σύνορο και τα εσωτερικά σύνορα της έδρας. Βρόχος: κλειστή ακολουθία όπου ακμές εναλλάσσονται με κορυφές. Η ακολουθία αυτή δεν τέμνει τον εαυτό της. o Τοπολογικές ιδιότητες: Ακολουθία ακμών που εναλλάσσονται με κορυφές. Συνήθως, οι βρόχοι είναι προσανατολισμένοι. Αυτός ο προσανατολισμός και μια δεδομένη σύμβαση επιτρέπουν τον προσδιορισμό του εσωτερικού της αντίστοιχης έδρας. Στερεό Τμήμα: Σύνολο εδρών που ορίζουν συνεκτικό κλειστό ομογενώς-τρισδιάστατο σημειοσύνολο. (α) (β) (γ) Εικόνα 24: α)κορυφές ενός στερεού, β)ακμές ενός στερεού, γ)έδρες ενός στερεού. Οι σχέσεις γειτνίασης ενός στερεού αναπαρίστανται από τον πίνακα γειτνίασης (adjacency matrix) του μοντέλου (Εικόνα 25). Οι στήλες και οι γραμμές του πίνακα γειτνίασης αποτελούνται από τις κορυφές του μοντέλου και τα στοιχεία του πίνακα παίρνουν τιμή 1 ή 0, ανάλογα με το αν υπάρχει ή όχι ακμή που συνδέει τις αντίστοιχες κορυφές. Ο πίνακας γειτνίασης μπορεί να κατασκευαστεί με αντίστοιχο τρόπο για τις έδρες του στερεού. 30

32 Εικόνα 25 Ένα τυπικός πίνακας γειτνίασης κορυφών ενός στερεού. Το σύνορο του στερεού προκύπτει από την ένωση όλων των εδρών του (που είναι υποσύνολα του συνόρου) και ακολουθεί τους περιορισμούς που αναφέρθηκαν στα εισαγωγικά του 2.4. Κάθε έδρα είναι πεπερασμένη και μπορεί να οριστεί από μία επιφάνεια και από το σύνορο της: τις ακμές και τις κορυφές του στερεού που την περιορίζουν (Εικόνα 26α). Κάθε ακμή μίας έδρας είναι προσανατολισμένη: στα «αριστερά» της, κατά την φορά κίνησης, βρίσκεται το εσωτερικό της έδρας (Εικόνα 26β) (Hoffmann, 1989). (α) (β) Εικόνα 26 Ο προσανατολισμός της έδρας του στερεού. Ο αριθμός των κορυφών, ακμών και εδρών ενός στερεού συνδέονται μεταξύ τους με την παρακάτω σχέση, που είναι γνωστή ως «Νόμος του Euler» (Mortenson, 2006): F E + V L = 2 (B G), 31

33 όπου F ο αριθμός των εδρών του στερεού, Ε ο αριθμός των ακμών, V ο αριθμός των κορυφών, L ο αριθμός των εσωτερικών βρόγχων στις έδρες του στερεού, B ο αριθμός των τμημάτων από τα οποία αποτελείται το στερεό, και G ο αριθμός των διαμπερών οπών του. Ο νόμος του Euler αποτελεί μία αναγκαία συνθήκη ορθότητας ενός στερεού. Αν για τα δομικά στοιχεία ενός στερεού δεν ισχύει ο νόμος του Euler, τότε το στερεό δεν είναι σωστό. Όταν ο αριθμός των διαμπερών οπών G είναι μηδέν, τότε το στερεό είναι ομοιομορφικό (homeomorphic) με την σφαίρα (σημ. το σύνορο του κείτεται πάνω σε μία σφαίρα). Αντίστοιχα όταν το G είναι ίσο ή μεγαλύτερο από ένα (υπάρχουν διαμπερείς οπές), τότε το στερεό μοντέλο είναι ομοιομορφικό με σφαίρα με ένα ή περισσότερους δακτυλίους. 2.5 Δισδιάστατος και Τρισδιάστατος Χώρος Αναφορικά με τις διαφορές που υπάρχουν για την περιγραφή και μοντελοποίηση δισδιάστατων και τρισδιάστατων αντικειμένων, αναφέρονται τα παρακάτω. Φορά διαγραφής: o Στο δισδιάστατο χώρο υπάρχει μία κλειστή καμπύλη που έχει μία φορά διαγραφής που την διαγράφει ολόκληρη. o Στο τρισδιάστατο χώρο υπάρχει μία κλειστή επιφάνεια που έχει άπειρες φορές διαγραφής και η «πλήρης διαγραφή» δεν είναι εύκολο πρόβλημα. Άξονας περιστροφής: o Στο δισδιάστατο χώρο έχουμε έναν ή κανέναν άξονα περιστροφής. o Στο τρισδιάστατο χώρο έχουμε άπειρους άξονες περιστροφής. Οπές: o Στο δισδιάστατο χώρο τα αντικείμενα δεν έχουν οπές o Στο τρισδιάστατο χώρο τα αντικείμενα έχουν οπές. Αλληλοεπικάλυψη των αντικειμένων: 32

34 o Στο δισδιάστατο χώρο ένα αντικείμενο δεν μπορεί να κρύβει κάποιο άλλο. o Στο τρισδιάστατο χώρο ένα αντικείμενο μπορεί να κρύβει άπειρα άλλα αντικείμενα Τοπολογική και γεωμετρική περιγραφή σκίτσου και στερεού Η περιγραφή της τοπολογίας ενός στερεού μοντέλου βασίζεται στις έννοιες της κορυφής, ακμής και έδρας. Τα στοιχεία αυτά επειδή ανήκουν στο σύνορο του στερεού, αποτελούν ένα μοντέλο περιγραφής του (δείτε κεφ. 2.4). Στο σημείο αυτό τίθεται σκόπιμο να δοθεί μια περιγραφή των εννοιών τοπολογία και γεωμετρία όσον αφορά στο στερεό αντικείμενο και το αντίστοιχο σκίτσο. Τοπολογία και Γεωμετρία Στερεού Η τοπολογία ενός στερεού ορίζεται από τις σχέσεις γειτνίασης μεταξύ των κορυφών, των ακμών, και των εδρών του στερεού. Τα στοιχεία αυτά συμβολίζονται αντίστοιχα με V (Vertices), E (Edges) και F (Faces). Με τον όρο «Γεωμετρία Στερεού» καλούνται οι μαθηματικές εξισώσεις που περιγράφουν τις κορυφές, τις ακμές, και τις έδρες του στερεού στον χώρο. Τοπολογία και Γεωμετρία στοιχεία σκίτσου Σε αντιστοιχία με το στερεό μοντέλο, η τοπολογία του σκίτσου ορίζεται από τις σχέσεις γειτνίασης μεταξύ των κόμβων, των γραμμών, και των περιοχών του σκίτσου. Οι κόμβοι, οι γραμμές και οι περιοχές ενός σκίτσου συμβολίζονται αντίστοιχα με J (Junctions), L (Lines), R (Regions). Για τον προσδιορισμό της «Γεωμετρίας Σκίτσου» χρησιμοποιούνται οι μαθηματικές εξισώσεις που περιγράφουν τους κόμβους και τις γραμμές του σκίτσου Αντιστοιχία μεταξύ σκίτσου και στερεού μοντέλου Η σχέση μεταξύ των στοιχείων που περιγράφουν ένα στερεό μοντέλο και την αντίστοιχη προβολή αυτού στο επίπεδο XY (σκίτσο) είναι πολύ σημαντική και απαραίτητη για τον ερευνητή που προσδοκά να αναπαράγει το τρισδιάστατο στερεό από ένα σκίτσο αυτού. 33

35 Συγκεκριμένα, τα σκίτσα που μελετώνται στην παρούσα διπλωματική εργασία, προκύπτουν από την ορθή προβολή ενός στερεού αντικειμένου, για το οποίο ισχύει: 1. Το επίπεδο προβολής (Ζ = 0) δεν είναι παράλληλο σε καμία έδρα του στερεού. 2. Οι έδρες και οι ακμές του στερεού δεν είναι παράλληλες με την κατεύθυνση προβολής, οπότε: Οι κορυφές του στερεού προβάλλονται στους κόμβους του σκίτσου. Οι ακμές του στερεού προβάλλονται στις γραμμές του σκίτσου. Οι έδρες του στερεού προβάλλονται στις περιοχές του σκίτσου. 34

36 3 Ανακατασκευασιμότητα Σκίτσου Ένα σκίτσο είναι ανακατασκευάσιμο όταν αποτελεί την προβολή ενός σωστού στερεού μοντέλου (Ros & Thomas, 2000, 1998; Sugihara, 1986; Whiteley, 1991). Για τον έλεγχο της ανακατασκευασιμότητας ενός σκίτσου έχουν αναπτυχθεί κριτήρια και συνθήκες που πρέπει να ισχύουν, ώστε αυτό να αποτελεί την προβολή ενός σωστού στερεού. Το κεφάλαιο αυτό μελετά τα τοπολογικά και γεωμετρικά χαρακτηριστικά που πρέπει να έχει ένα σκίτσο για να είναι ανακατασκευάσιμο. Τις τελευταίες δεκαετίες πολλοί ερευνητές (Ros & Thomas, 2000, 1998; Sugihara, 1986; Whiteley, 1991) προσπάθησαν να δώσουν λύσεις στο πρόβλημα της ανακατασκευασιμότητας (realizability) ενός σκίτσου μέσα από θεωρήματα που αφορούν τους γράφους και την μοντελοποίηση στερεών. Κάποια σκίτσα αποτελούν πάντα την προβολή ενός πολύεδρου, ενώ κάποια άλλα είναι σπανίως ανακατασκευάσιμα. Για την ακρίβεια, εάν τα σημεία ενός γραμμικού σχεδίου τοποθετηθούν τυχαία, η πιθανότητα αυτό να αποτελεί την προβολή σωστού στερεού είναι σχεδόν μηδενική. 3.1 Μέθοδοι ελέγχου ανακατασκευασιμότητας του σκίτσου Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπάρχουν σκίτσα όπου μία μικρή μετακίνηση των κόμβων επηρεάζει άμεσα την ανακατασκευασιμότητα τους και άλλα που δεν είναι τόσο ευαίσθητα σε αριθμητικά λάθη. Για παράδειγμα, η κόλουρη πυραμίδα στην Εικόνα 27α είναι επιρρεπής στα αριθμητικά λάθη και το σκίτσο είναι ανακατασκευάσιμο μόνο όταν οι τρεις εσωτερικές γραμμές του τέμνονται στο ίδιο σημείο. Όταν δηλαδή βρίσκεται σε «ειδική θέση». Από την άλλη πάλι, το σκίτσο της πυραμίδας στην Εικόνα 27β είναι ανακατασκευάσιμο όποια και αν είναι η γεωμετρική θέση των κόμβων του σκίτσου. Τα περισσοτέρα σκίτσα ανήκουν στην πρώτη κατηγορία. 35

37 (α) (β) Εικόνα 27 Το σκίτσο της κώλουρης πυραμίδας στο (α) απαιτεί οι κόμβοι αυτού να βρίσκονται σε «ειδική θέση» για να αντιστοιχεί στην προβολή ενός σωστού στερεού, ενώ το σκίτσο στο (β) είναι ανακατασκευάσιμο όποια και αν είναι η θέση των κόμβων του. Όπως φαίνεται στην Εικόνα 28, η γεωμετρική θέση των στοιχείων ενός σκίτσου επηρεάζει την ανακατασκευασιμότητα του. Συγκεκριμένα, δύο ίδιες τοπολογικές δομές με διαφορετικά γεωμετρικά χαρακτηριστικά συνεπάγονται διαφορετικά αποτελέσματα ως προς την ανακατασκευασιμότητα του σκίτσου. Αυτό σημαίνει ότι τα αλγεβρικά κριτήρια ανακατασκευασιμότητας δεν επαρκούν για να κριθεί η ύπαρξη στερεού για δοθέν σκίτσο. (α) (β) Εικόνα 28 (α) Το σκίτσο δεν αντιστοιχεί στην προβολή στερεού, (β) ένα ανακατασκευάσιμο σκίτσο. Μελετώντας τις ειδικές γεωμετρικές θέσεις ενός σκίτσου για τις οποίες αυτό μπορεί να είναι ανακατασκευάσιμο (Εικόνα 28β) και αναλύοντας τις 36

38 σχέσεις μεταξύ των γραμμών, κόμβων και περιοχών του, έχουν διατυπωθεί ποικίλα γεωμετρικά κριτήρια για τον έλεγχο ανακατασκευασιμότητας του. Τα παρακάτω κριτήρια (Ros & Thomas, 1998; Stolfi, 1987; Whiteley, 1979) αποτελούν αναγκαία συνθήκη ύπαρξης στερεού, και χρησιμοποιούνται για να απορρίψουν τα μη-ανακατασκευάσιμα σκίτσα (Ros & Thomas, 2005). Τα σκίτσα που ικανοποιούν τους παραπάνω περιορισμούς θεωρείται ότι βρίσκονται σε ειδική γεωμετρική θέση (Εικόνα 28β). Αν δύο διαφορετικές περιοχές ενός σκίτσου μοιράζονται δύο διαφορετικές γραμμές, τότε αυτές πρέπει να είναι συνευθειακές (Εικόνα 29α). e1 e2 e1 e3 e2 O δ γ α M N ε β (α) (β) (γ) Εικόνα 29: Αναγκαίες συνθήκες ανακατασκευασιμότητας σκίτσου. Έστω τρεις διαφορετικές περιοχές ενός σκίτσου. Αν ανά δύο μοιράζονται μία γραμμή, τότε οι γραμμές αυτές πρέπει να τέμνονται σε ένα κοινό σημείο. Όταν οι γραμμές του σκίτσου είναι παράλληλες, το σημείο αυτό βρίσκεται στο άπειρο (Εικόνα 29β). Έστω μία περιοχή με τέσσερις γραμμές: (δείτε την περιοχή ε στην Εικόνα 29γ). Τα σημεία M και Ν είναι η τομή αντίστοιχα των γραμμών (δ-α) με την (δ-γ) και των (α-β) με την (β-γ). Ο περιορισμός που πρέπει να ισχύει είναι ότι τα σημεία Μ, Ν και Ο πρέπει να είναι συνευθειακά. Η ευθεία που σχηματίζουν τα τρία αυτά σημεία αντιστοιχεί στην τρισδιάστατη ευθεία στην οποία πρέπει να τέμνονται τα επίπεδα των περιοχών α και γ. Στην περίπτωση που ο αριθμός των γραμμών της περιοχής είναι τρία, το κριτήριο ταυτίζεται με το (Κ2). Σημειώνεται ότι το κριτήριο εξηγείται για μία με τέσσερις γραμμές και αντίστοιχα ισχύει για 37

39 περιπτώσεις που μία περιοχή περιλαμβάνει περισσότερες από τέσσερις γραμμές Η μέθοδος Line Labeling Ένα εργαλείο που χρησιμοποιείται για την ερμηνεία του φυσικού σκίτσου ως τρισδιάστατο αντικείμενο είναι η λεγόμενη μέθοδος «Ανάθεση Ετικετών σε Γραμμές» (Line Labeling). Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή (Huffman, 1971; Clowes, 1971) κάθε γραμμή του σκίτσου ταξινομείται σε «κυρτή», «κοίλη» ή «γραμμή συνόρου». Συγκεκριμένα υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις: 1. «+» ( «-»): Η γραμμή είναι κυρτή (κοίλη). Αυτό σημαίνει ότι οι δύο έδρες του στερεού που τέμνονται στην γραμμή αυτή έχουν μεταξύ τους γωνία > (<) 180ο. 2. ή : Η γραμμή είναι γραμμή συνόρου. Από τις δύο περιοχές που από κοινού μοιράζονται την γραμμή αυτή μόνο η μία, στην δεξιά πλευρά του βέλους, αντιστοιχεί σε ορατή έδρα του στερεού. Η δεύτερη περιοχή περιγράφει μία μη-ορατή ή μερικώς ορατή έδρα. Η μέθοδος Line Labeling βασίζεται στον «Κατάλογο Κόμβων» (Εικόνα 30) που δημιουργήθηκε από τους Huffman (Huffman, 1971) και Clowes (Clowes, 1971). 38

40 Εικόνα 30 Ο «Κατάλογος κόμβων» των Huffman και Clowes (Κατάλογος κόμβων L, W, Y και T.) Ο παραπάνω κατάλογος αυτός απεικονίζει όλους τους κόμβους ενός σκίτσου που αντιστοιχούν σε κορυφές ενός τριεδρικού σωστού στερεού και τις επιτρεπτές ετικέτες γύρω από αυτούς. Ο «Κατάλογος Κόμβων» προέκυψε από την συστηματική μελέτη όλων των πιθανών προβολών μίας τρίεδρης κορυφής από κάθε πιθανή οπτική γωνία. Ένας αλγόριθμος εφαρμογής της μεθόδου Line Labeling έχει ως στόχο τον σχηματισμό μίας συμβατής ανάθεσης ετικετών στις γραμμές ενός σκίτσου, δηλαδή την ανάθεση ετικετών με τέτοιο τρόπο ώστε (α) κάθε γραμμή να λαμβάνει την ίδια ετικέτα από τους δύο τερματικούς της κόμβους και (β) ο τελικός συνδυασμός των ετικετών γύρω από έναν κόμβο να ανήκει στον «Κατάλογων Κόμβων» (Sugihara, 1986). Η μέθοδος Line Labeling αποτελεί μία αναγκαία συνθήκη ύπαρξης στερεού από δεδομένο σκίτσο. Αυτό σημαίνει ότι αν για ένα σκίτσο δεν υπάρχει συμβατή ανάθεση τότε δεν υπάρχει στερεό που να αντιστοιχεί στο δεδομένο σκίτσο (Εικόνα 31α). Σε διαφορετική περίπτωση, δεν μπορεί να βγει συμπέρασμα σχετικά με την ανακατασκευασιμότητα του σκίτσου. Για παράδειγμα, η Εικόνα 31β δείχνει ένα μη-ανακατασκευάσιμο σκίτσο με 39

41 συμβατή ανάθεση ετικετών. Επίσης, για ένα δεδομένο σκίτσο υπάρχουν περισσότερες από μία συμβατές αναθέσεις ετικετών στις γραμμές του (Εικόνα 31(γ)). (α) (β) (γ) Εικόνα 31 (α) Σκίτσο με ασύμβατη «ανάθεση ετικετών», (β) λάθος σκίτσο με συμβατή «ανάθεση ετικετών», (γ) σκίτσο με πολλαπλές «αναθέσεις ετικετών» (Varley, 2002). Σημειώνεται ότι υπάρχουν περιπτώσεις σκίτσων που δεν υποδεικνύουν όλες οι συμβατές αναθέσεις του την γεωμετρία ενός σωστού στερεού. Για παράδειγμα, η Εικόνα 32 δείχνει ένα στερεό με επίπεδες έδρες το οποίο επιδέχεται έξι διαφορετικές συμβατές αναθέσεις ετικετών για τις γραμμές του. Παρατηρείται ότι μόνο οι δύο από αυτές είναι σωστές. Στις υπόλοιπες τέσσερις αναθέσεις οι γραμμές E1 και E3, ενώ ανήκουν στην ίδια περιοχή του σκίτσου δεν λαμβάνουν την ίδια ετικέτα. Αυτό έχει ως συνέπεια η αντίστοιχη έδρα του στερεού, για τους συγκεκριμένους συνδυασμούς ετικετών να μην είναι επίπεδη. Επιπρόσθετα, οι αναθέσεις ετικετών στις περιπτώσεις (e) και (f) επηρεάζουν την τοπολογία του στερεού, αφού η ακμή E3 δεν θα ανήκει στην έδρα F3 του αντίστοιχου στερεού, ενώ η ακμή Ε1 θα ανήκει (Sapidis et al., 2005). 40

42 Εικόνα 32 Σκίτσο με πολλαπλές «αναθέσεις ετικετών». Βλέπουμε ότι μόνο οι δύο πρώτες αντιστοιχούν σε ένα στερεό που είναι σωστό. Πολλοί ερευνητές έχουν ασχοληθεί με την σχεδίαση αλγορίθμων για την επιτυχή ανάθεση ετικετών σε σκίτσα. Συγκεκριμένα, ο Sugihara (Sugihara, 1986) προτείνει έναν κατάλογο επιτρεπτών συνδυασμών για πλήρη σκίτσα και ο Parodi (Parodi et al., 1998) παρουσιάζει έναν «Επεκταμένο Κατάλογο Κόμβων» για σκίτσα τριέδρων στερεών, εισάγοντας περισσότερα είδη κόμβων και τους επιτρεπτούς συνδυασμούς ετικετών γύρω από αυτά. Ο Varley (Varley, 2002) επεκτείνει τον «Κατάλογο Κόμβων» για φυσικά σκίτσα τετράεδρων στερεών. Στο (Ding & Young, 1998) δίνονται ένας κατάλογος πιθανών συνδυασμών ετικετών για σκίτσα με ατελή σύνορα, ο οποίος βασίζεται στον Κατάλογο Κόμβων των Huffman και Clowes και συγκλίνει σε αυτόν όταν το σκίτσο αποκτά την τελική του μορφή. Επιπρόσθετα με τις παραπάνω έρευνες σημειώνεται ότι έχουν κατασκευαστεί κατάλογοι για σκίτσα από Origami αντικείμενα (Kanade, 1980; Koreas, 1999), για καμπύλα στερεά (Lee at al., 1985; Malik, 1987) και για σκιαγραφημένα σκίτσα (Waltz, 1972). 41

43 Στις εργασίες (Myers & Hancock, 1997, 2000) η μέθοδος Line Labeling εφαρμόζεται μέσα από μία διαδικασία βελτιστοποίησης και με την βοήθεια ενός γενετικού αλγορίθμου εντοπίζονται όλοι οι λάθος συνδυασμοί που προκύπτουν από την εφαρμογή της μεθόδου στο σκίτσο. Άλλη μελέτη (Kirousis, 1990) εισάγει ένα σύνολο περιορισμών στον αλγόριθμο εφαρμογής της μεθόδου, που λαμβάνεται από την μορφή που πρέπει να έχει το σκίτσο ενός σωστού στερεού. Αυτό χρησιμεύει για την εύρεση και απόρριψη των συνδυασμών εκείνων που δεν αντιπροσωπεύουν ένα σωστό στερεό. Ο Tambouratzis (Tambouratzis, 1991) προτείνει έναν αλγόριθμο που βασίζεται σε αρμονικά δίκτυα (harmony network), ενώ οι Grimstead και Martin (Grimstead & Martin, 1996) εφαρμόζουν την μέθοδο ταυτόχρονα με την σχεδίαση του σκίτσου Η μέθοδος του «Διαγράμματος Τομής» (Cross-section) Το διάγραμμα τομής είναι γεωμετρική έννοια. Αφορά στη τομή ενός τρισδιάστατου στερεού με ένα επίπεδο ή αντίστοιχα ενός δισδιάστατου σχήματος με μία ευθεία γραμμή. Μέσω της έννοιας του διαγράμματος τομής μπορούμε να αποφανθούμε για ιδιότητες σχημάτων και στερεών που σε μία πρώτη ματιά δε θα μπορούσαμε να υποπτευθούμε ότι σχετίζεται με αυτές. Για παράδειγμα σύμφωνα με την αρχή του Cavalieri, στερεά που έχουν μεταξύ τους διαγράμματα τομής ίσου εμβαδού, έχουν ίσο όγκο (Πλατάρος, 2004). Αυτό φαίνεται στην παρακάτω εικόνα (Εικόνα 33). Τα διαγράμματα τομής αποτελούν βασικό εργαλείο και έννοια της περιγραφικής γεωμετρίας και χρησιμοποιούνται για διάφορες γεωμετρικές κατασκευές και επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων. Στο χώρο των Γραφικών με H/Y το διάγραμμα τομής χρησιμοποιείται για τη μελέτη και τον ορισμό ενός τρισδιάστατου σχήματος. 42