Μέτρα σε δίκτυα-ιδιότητες και εφαρμογές

Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΠΜΣ : Στατιστική και Μοντελοποίηση Διπλωματική εργασία Μέτρα σε δίκτυα-ιδιότητες και εφαρμογές Γρηγοριάδης Ιωάννης Επιβλέπων καθηγητής : Πολυχρόνης Μωυσιάδης Θεσσαλονίκη

2 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ο τομέας των δικτύων είναι ένας σχετικά πρόσφατος και ραγδαία αναπτυσσόμενος τομέας. Με το πέρασμα των χρόνων, διάφορα είδη δικτύων εισβάλουν ολοένα και περισσότερο στην καθημερινή μας ζωή. Έτσι, η κατανόηση τους και η ενασχόληση με αυτά παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον. Κύριο αντικείμενο μελέτης των δικτύων αποτελεί η σημαντικότητα κάθε κόμβου και ο ρόλος του μέσα στο δίκτυο. Η σημαντικότητα των κόμβων εκτιμάται μέσω της κεντρικότητας τους, η οποία ορίζεται με διάφορους τρόπους. Η παρούσα εργασία λοιπόν, επιχειρεί να εμβαθύνει σε όλα τα παραπάνω πεδία με στόχο την αποσαφήνιση της κεντρικότητας σε δίκτυα, τόσο θεωρητικά όσο και μέσω παραδειγμάτων, καθώς και να παρουσιάσει ένα διαφορετικό τρόπο δημιουργίας δικτύων και τη συσχέτιση τους με τα πραγματικά δίκτυα. 1

3 Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΔΙΚΤΥΑ Ορισμός δικτύου, είδη και ιδιότητες Θεωρία τυχαίων γραφημάτων Ορισμός και ιστορική εξέλιξη της κεντρικότητας στα δίκτυα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΔΙΚΤΥΑ Κεντρικότητα Βαθμού (Degree Centrality) Ιδιοδιανυσματική Κεντρικότητα (Eigenvector Centrality) Κεντρικότητα Katz (Katz centrality) Βαθμική Κεντρικότητα Page(Pagerank) Alpha κεντρικότητα (Alpha centrality) Κεντρικότητα Eνδιαμεσότητας (Betweenness Centrality) Κεντρικότητα Εγγύτητας (Closeness Centrality) Συντελεστής Σύμπλεξης (Clustering Coefficient) Κεντρικότητα ομφαλoύ και αυθεντίας (hubs and authorities centrality) Κεντρικότητα πληροφορίας (Information centrality) Κεντρικότητα πυρηνοποίησης (coreness centrality) h-δείκτης (h-index) loby δείκτης (loby index) C-δείκτης (C-index) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΜΕΤΡΩΝ ΚΕΝΤΡΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ Παράδειγμα κοινωνικού δικτύου Παράδειγμα δικτύου παραπομπών ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ-ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΒΙΒΛΙΟΓΑΦΙΑ

4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ανάγκη για την αποτελεσματική αντιμετώπιση πολύπλοκων συστημάτων έγινε το εφαλτήριο για τη δημιουργία των δικτύων. Η απεικόνιση των δικτύων βοηθάει στην ευκολότερη διαχείριση των συστημάτων μέσω του τμηματικού διαχωρισμού τους. Αυτός είναι ο λόγος, για τον οποίον τα δίκτυα βρίσκουν εφαρμογή σε μεγάλο πλήθος τομέων. Φυσικά, δίκτυα διαφορετικών ειδών παρουσιάζουν διαφορετικές ιδιότητες. Για την αντιμετώπιση σύνθετων δικτύων μεγάλη είναι η συνδρομή της θεωρίας τυχαίων γραφημάτων. Η θεωρία τυχαίων γραφημάτων προσπαθεί μέσω της δημιουργίας γραφημάτων να εντοπίσει ιδιότητες και να δώσει απαντήσεις που αφορούν πραγματικά δίκτυα. Τα πιο γνωστά τυχαία γραφήματα προκύπτουν με διωνυμική κατανομή βαθμού (Erdos-Renyi) ή χρησιμοποιώντας κάποια επιλεκτική σύνδεση στις συνδέσεις τους (Barabasi-Albert). Ένα από τα σημαντικότερα αντικείμενα μελέτης στα δίκτυα είναι η κεντρικότητα των κόμβων τους. Η κεντρικότητα καθορίζει την αξία του κάθε κόμβου μέσα στο δίκτυο και επιτρέπει με διάφορους τρόπους την απόδοση ιδιοτήτων στις κορυφές του. Όμως, όπως είναι λογικό η σημερινή χρήση της κεντρικότητας των δικτύων δεν παρουσιάζει πολλά κοινά με την αρχική. Mία ιστορική αναδρομή στην εξέλιξη της κεντρικότητας μέσα στο πέρασμα των χρόνων, θα καταστήσει εφικτή αυτή τη σύγκριση. Όλα τα παραπάνω ζητήματα θα αναφερθούν αναλυτικά στο πρώτο κεφάλαιο της εργασίας. Το δεύτερο κεφάλαιο σχετίζεται αποκλειστικά με τα μέτρα κεντρικότητας σε δίκτυα. Η αναλυτική παρουσίαση του κάθε μέτρου, ο τρόπος και ο λόγος δημιουργίας του καθώς και διάφορες ιδιότητες και παραλλαγές του, θα εξεταστούν με προσοχή. Δεκατέσσερα μέτρα μαζί με τα θεωρητικά αποτελέσματα για τις μεταξύ τους συσχετίσεις, περιγράφονται και συνδράμουν στην επιλογή του κατάλληλου μέτρου από τους αναγνώστες ανάλογα με τις ανάγκες τους. Στο τρίτο κεφάλαιο, πραγματοποιείται η μετάβαση από τη θεωρία στην πράξη. Δυο παραδείγματα δικτύων παρουσιάζονται και γίνεται η εφαρμογή των εξεταζόμενων μέτρων. Το πρώτο παράδειγμα αναφέρεται σε ένα κατευθυνόμενο δίκτυο Twitter. Λόγω της κατεύθυνσης των ακμών του, ορίζονται για τα περισσότερα μέτρα δύο υποκατηγορίες. Η πρώτη, αφορά τα μέτρα τα οποία υπολογίζουν την κεντρικότητα των κόμβων δίνοντας βαρύτητα στις εισερχόμενες ακμές του ενώ η δεύτερη εστιάζει στις 3

5 εξωτερικές ακμές. Για όλα τα μέτρα έχουν δημιουργηθεί συναρτήσεις υπολογισμού τους, ενώ για τα μέτρα που χρησιμοποιούν παραμέτρους γίνεται εξέταση των επιπτώσεων της αλλαγής παραμέτρου στην κατανομή κεντρικότητας των χωρώνκόμβων. Βέβαια, δε λείπει η ερμηνεία των αποτελεσμάτων όλων των μέτρων κεντρικότητας για το συγκεκριμένο δίκτυο και η συσχέτιση τους με τα θεωρητικά αποτελέσματα του δευτέρου κεφαλαίου. Μάλιστα, προτείνεται και η δημιουργία ενός καινούριου μέτρου και εξετάζεται η αποτελεσματικότητα και η συσχέτισή του με τα ήδη υπάρχοντα. Στη συνέχεια δημιουργείται ένα τυχαίο γράφημα (Erdös-Rènyi), αποτελούμενο από τον ίδιο αριθμό κόμβων με το αρχικό και ελέγχεται αν υπάρχει κάποια συσχέτιση στην κατανομή των τιμών κεντρικότητας για το κάθε μέτρο στα δύο δίκτυα. Στο δεύτερο παράδειγμα εξετάζεται ένα δίκτυο αναφορών. Για την ακρίβεια, βασιζόμενοι σε αποτελέσματα ερευνών, δημιουργούμε ένα τυχαίο γράφημα (Barabasi- Albert) και γίνεται η υπόθεση ότι αντιστοιχεί σε δίκτυο αναφορών. Έπειτα, αντλούμε ένα καινούριο δίκτυο από το δίκτυο αναφορών, από το οποίο θα προσπαθήσουμε να εξάγουμε συμπεράσματα για την κατανομή των επιστημόνων. Το καινούριο δίκτυο είναι κατευθυνόμενο και σταθμισμένο και γίνεται προσπάθεια για εύρεση συσχέτισης ορισμένων μέτρων, τα οποία αφορούν κυρίως δίκτυα αναφορών, με μέτρα που είναι ευρέως χρησιμοποιούμενα σε μεγαλύτερης γκάμας δίκτυα. Στο τελευταίο μέρος της εργασίας, παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της έρευνας και κάποιες προτάσεις για μελλοντική έρευνα. 4

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΔΙΚΤΥΑ 1.1 Ορισμός δικτύου, είδη και ιδιότητες Τα δίκτυα θα αποτελέσουν το κύριο αντικείμενο συζήτησης της παρούσας διπλωματικής. Έτσι, αρχικά ας δούμε τον τρόπο με τον οποίο τα ορίζουμε. Ένα δίκτυο, στην απλούστερη μορφή του, είναι ένα σύνολο σημείων που ενώνονται μεταξύ τους με γραμμές. Στην ορολογία των δικτύων, τα σημεία ονομάζονται κορυφές ή κόμβοι και οι συνδετικές γραμμές ονομάζονται ακμές. Στην καθημερινή μας ζωή υπάρχουν πολλά συστήματα τα οποία αποτελούνται από επιμέρους τμήματα που συνδέονται μεταξύ τους με διάφορους τρόπους. Τέτοιου είδους συστήματα, ιδίως σε περιπτώσεις που κρίνεται απαραίτητη η μελέτη τους, είναι ωφέλιμο να αναπαρασταθούν σε μορφή δικτύου. Στην εποχή μας, το πιο ευρέως γνωστό δίκτυο είναι το διαδίκτυο (Internet). To διαδίκτυο σχηματίζει ένα τεράστιο δίκτυο που συνδέει εκατομμύρια υπολογιστές σε παγκόσμιο επίπεδο, οι οποίοι μπορούν να επικοινωνούν μεταξύ τους για όσο χρόνο βρίσκονται συνδεδεμένοι σε αυτό. Επομένως, συνδέοντας την έννοια του διαδικτύου με τον ορισμό των δικτύων, μπορούμε να πούμε ότι οι υπολογιστές παίζουν τον ρόλο των κόμβων ενώ οι ακμές αντιστοιχούν στην επικοινωνία μεταξύ των υπολογιστών. Το δίκτυο αποτελεί μια μορφή αναπαράστασης ενός συστήματος με στόχο την απλούστευσή του, μέσω του διαχωρισμού του σε μικρότερα τμήματα, και της κατανόησης της ολικής λειτουργίας του μέσω της εξερεύνησης των σχέσεων των συνδεόμενων τμημάτων του. Η προσπάθεια αυτή μπορεί να ενισχυθεί με την εισαγωγή επιπρόσθετων στοιχείων στους κόμβους και τις ακμές του δικτύου. Τέτοια στοιχεία είναι η ονομασία των κόμβων και η προσθήκη βαρών στις ακμές που αντιστοιχούν σε μία επιπλέον πληροφορία για τη σχέση των εκάστοτε συνδεόμενων κόμβων. Κινούμενοι σε αυτή τη γραμμή πλεύσης, οι επιστήμονες στην προσπάθεια τους να μελετήσουν τα δίκτυα ανέπτυξαν μια πληθώρα μαθηματικών, υπολογιστικών και στατιστικών εργαλείων αποσκοπώντας στην 5

7 καλύτερη ερμηνεία ολόκληρου του δικτύου, αλλά και του κάθε κόμβου ξεχωριστά. Η εύρεση της κορυφής με τις περισσότερες συνδέσεις και του μήκους του μονοπατιού που ενώνει δύο κόμβους, συγκαταλέγονται στη μεγάλη λίστα αυτών των εργαλείων. Μάλιστα, η εφαρμογή αυτών των εργαλείων βρίσκει αντίκρισμα σε μεγάλο εύρος δικτύων λόγω της απλοποιημένης μορφής που παρουσιάζουν τα περισσότερα δίκτυα. Ο εύκολος και απλοϊκός τρόπος δημιουργίας των δικτύων σε συνδυασμό με τη μεγάλη χρησιμότητα τους, έχει σαν επακόλουθο την ύπαρξη μεγάλου αριθμού διαφορετικών ειδών δικτύων. Ήδη έγινε αναφορά στο διαδίκτυο. Ας δούμε τώρα τις σημαντικότερες κατηγορίες δικτύων. Ένα από τα σημαντικότερα είδη δικτύων που παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον τα τελευταία χρόνια είναι τα κοινωνικά δίκτυα. Ένα κοινωνικό δίκτυο είναι μια κοινωνική δομή αποτελούμενη από κοινωνικούς παράγοντες (όπως άτομα ή οργανώσεις), οι οποίοι έχουν τη δυνατότητα να συνδέονται μεταξύ τους με κάποια σχέση. Για παράδειγμα ένα κοινωνικό δίκτυο μπορεί να αποτελείται από άτομα που συνδέονται μεταξύ τους με σχέσεις φιλίας (Facebook, Twitter) ή από εταιρίες που συνδέονται με επιχειρηματικές σχέσεις. H μελέτη των κοινωνικών δικτύων παρέχει ένα σύνολο μεθόδων για την ανάλυση της δομής όλων των κοινωνικών οντοτήτων καθώς επίσης και μια ποικιλία από θεωρίες που εξηγούν τη σχέση των οντοτήτων μεταξύ τους. Ειδικότερα, μέσω της ανάλυσης των κοινωνικών δικτύων ελέγχονται οι τοπικές αλλά και οι ευρύτερες σχέσεις μεταξύ των οντοτήτων στο δίκτυο, εντοπίζονται σημαντικές οντότητες που ασκούν μεγάλη επιρροή στις υπόλοιπες και εξετάζεται η δυναμική ολόκληρου του δικτύου. Από όλα τα παραπάνω γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι τα κοινωνικά δίκτυα και η ανάλυσή τους είναι άρρηκτα συνδεδεμένα με τους τομείς της ψυχολογίας και της κοινωνιολογίας. Ένα άλλο πολύ σημαντικό δίκτυο είναι ο Παγκόσμιος Ιστός (World Wide Web). Aν και στην καθημερινότητα πολλές φορές το ίντερνετ και ο παγκόσμιος ιστός αντιμετωπίζονται σαν ταυτόσημες έννοιες, η πραγματικότητα διαφέρει. Ο παγκόσμιος ιστός είναι ένα δίκτυο αποθηκευμένων πληροφοριών σε ιστοσελίδες. Οι κόμβοι του δικτύου είναι ιστοσελίδες και οι ακμές είναι υπερσύνδεσμοι, δηλαδή τα τονισμένα αποσπάσματα κειμένου που οδηγούν από μια ιστοσελίδα σε άλλη. Οι δισεκατομμύρια σελίδες και σύνδεσμοι του παγκόσμιου ιστού δεν είναι απλά ιδιαίτερα βοηθητικές προς όλο τον κόσμο αλλά παρουσιάζουν και μεγάλο ενδιαφέρον από την σκοπιά των δικτύων. 6

8 Αναπαράσταση κοινωνικού δικτύου Το γεγονός ότι υπάρχει η τάση να εισάγονται υπερσύνδεσμοι μεταξύ ιστοσελίδων με όμοιο περιεχόμενο, συνεπάγεται ότι η δομή των συνδέσμων αποκαλύπτει κάποια πράγματα για το περιεχόμενο των ιστοσελίδων. Επίσης το πόσο σημαντική θέση έχει μια ιστοσελίδα ανάμεσα στις υπόλοιπες, επηρεάζεται από το πλήθος των συνδέσεων στη συγκεκριμένη σελίδα. Επομένως, με μια πρώτη ματιά, εξετάζοντας το δίκτυο παγκοσμίου ιστού μπορούμε να βγάλουμε συμπεράσματα για την κάθε ιστοσελίδα. Ένας κλάδος που τα τελευταία χρόνια χρησιμοποιεί αρκετά τα δίκτυα είναι η βιολογία. Για παράδειγμα, ένα από τα πιο γνωστά δίκτυα από αυτόν τον κλάδο είναι τα νευρωνικά δίκτυα. Τα νευρωνικά δίκτυα είναι δίκτυα που έχουν σαν κόμβους τους νευρώνες του ανθρωπίνου εγκεφάλου, που συνδέονται μεταξύ τους ανταλλάσσοντας ηλεκτρικά σήματα. Γνωστά είναι επίσης και τα δίκτυα τροφής (τροφική αλυσίδα), τα οποία αποτελούν οικολογικά δίκτυα που οι κορυφές τους αντιστοιχούν στα είδη του οικοσυστήματος και οι ακμές τους στη σχέση θηρευτή-θηράματος, τα δίκτυα αλληλεπιδράσεων κυττάρων, πρωτεϊνών κτλ. 7

9 Νευρωνικό δίκτυο ανθρωπίνου εγκεφάλου Ένα ακόμη είδος δικτύων που θα θέλαμε να σχολιάσουμε είναι το δίκτυο βιβλιογραφικών αναφορών (παραπομπών). Ένα δίκτυο παραπομπών έχει ως κόμβους επιστημονικές εργασίες και οι ακμές αντιστοιχούν σε παραπομπή από μια εργασία σε μια άλλη. Όμοια, και σε αυτή την περίπτωση είναι λογικό εργασίες, που παραπέμπει η μία στην άλλη, να έχουν σχετικό περιεχόμενο. Ακόμη, αν θεωρήσουμε δεδομένο ότι μια εργασία που έχει πολλές βιβλιογραφικές αναφορές θα έχει εξέχουσα θέση σε σχέση με τις άλλες, τότε μπορούμε να κατανοήσουμε τη χρησιμότητα του δικτύου και τη συνεισφορά του στην κατάταξη των επιστημονικών εργασιών. Τέλος, θα γίνει αναφορά στον τρόπο σύνδεσης των κορυφών σε ένα δίκτυο. Υπάρχουν δίκτυα στα οποία πρέπει να διαχωρίζεται η σύνδεση ενός κόμβου Α με έναν κόμβο Β από την σύνδεση του κόμβου Β με τον κόμβο Α. Για παράδειγμα, στον παγκόσμιο ιστό, όταν μια ιστοσελίδα έχει έναν υπερσύνδεσμο που οδηγεί σε μια άλλη, δεν μπορώ να ξέρω σίγουρα ότι και η άλλη σελίδα θα έχει υπερσύνδεσμο για την αρχική. Όμοια, σε ένα δίκτυο παραπομπών όταν μια επιστημονική εργασία παραπέμπει 8

10 σε μία άλλη, είναι σχεδόν βέβαιο ότι η πρώτη δημοσιεύτηκε αργότερα από τη δεύτερη και άρα στις περισσότερες περιπτώσεις δεν μπορεί η δεύτερη να έχει βιβλιογραφική αναφορά για την πρώτη. Από τα παραπάνω, γίνεται επιτακτική η ανάγκη δημιουργίας δικτύων με κατευθυνόμενες ακμές. Τα δίκτυα αυτά ονομάζονται κατευθυνόμενα δίκτυα. Στην περίπτωση που δεν έχουμε κατευθυνόμενες ακμές, τα δίκτυα θα ονομάζονται μη κατευθυνόμενα. Έχει γίνει νωρίτερα αναφορά στην προσθήκη βαρών στις ακμές, ώστε να δοθεί περισσότερη πληροφορία για τα στοιχεία του δικτύου. Δίκτυα που εμφανίζουν βάρη στις ακμές τους ονομάζονται σταθμισμένα δίκτυα ενώ αντίστοιχα, δίκτυα που δεν εμφανίζουν βάρη ονομάζονται μη σταθμισμένα δίκτυα. 1.2 Θεωρία τυχαίων γραφημάτων Όπως είδαμε, η δημιουργία ενός δικτύου έχει ως στόχο την καλύτερη κατανόηση ενός συστήματος μέσω της απεικόνισής του. Η εξέλιξη στην έρευνα των δικτύων οδήγησε στη μελέτη σύνθετων δικτύων, τα οποία τα τελευταία χρόνια αποτελούν ένα μεγάλο μέρος των εξεταζόμενων δικτύων. Ένα σύνθετο δίκτυο είναι ένα δίκτυο το οποίο δεν παρουσιάζει τετριμμένα τοπολογικά χαρακτηριστικά, δηλαδή δεν παρουσιάζει χαρακτηριστικά που απαντώνται στη δομή ενός δικτύου απλής μορφής. Η ανάγκη για μοντελοποίηση σύνθετων δικτύων αποτέλεσε την απαρχή της δημιουργίας των τυχαίων γραφημάτων. Τα τυχαία γραφήματα είναι απεικονίσεις δικτύων που δημιουργούνται με τυχαία κατανομή των ακμών τους. Δημιουργοί της θεωρίας των τυχαίων γραφημάτων ήταν οι P.Erdos και A.Renyi (1959,1960,1961), έχοντας ως έναυσμα της προσπάθειάς τους, την ανακάλυψη του Erdos ότι η χρησιμοποίηση πιθανολογικών μεθόδων είναι χρήσιμη στην αντιμετώπιση προβλημάτων στη θεωρία γραφημάτων. Ο αρχικός ορισμός που έδωσαν στο τυχαίο γράφημα είναι η δημιουργία ενός δικτύου με Ν κορυφές και n ακμές, οι οποίες επιλέγονται τυχαία από τις συνολικά N(N1) πιθανές ακμές του δικτύου. Έχουμε λοιπόν ένα χώρο 2 9

11 πιθανοτήτων με στοιχεία γραφήματα, κάθε ένα από τα οποία αποτελείται από Ν κορυφές και n ακμές και η επιλογή του κάθε γραφήματος είναι ισοπίθανη. Ένας εναλλακτικός και σχεδόν ισοδύναμος ορισμός με τον παραπάνω είναι ο ορισμός του διωνυμικού μοντέλου. Σύμφωνα με το διωνυμικό μοντέλο έχουμε Ν κορυφές με πιθανότητα σύνδεσης p, μεταξύ όλων των ζευγών κορυφών του δικτύου. Έτσι, ο συνολικός αριθμός των ακμών του δικτύου είναι μια τυχαία μεταβλητή με αναμενόμενη τιμή N( N 1) E( n) p. Επομένως, αν G 0 είναι ένα 2 γράφημα με τις παραπάνω ιδιότητες, τότε η πιθανότητα το γράφημα που κατασκευάστηκε με την παραπάνω διαδικασία να συμπίπτει με το G 0 είναι : 0 N( N1) n 2 n p(g ) p (1 p). Η θεωρία των τυχαίων γραφημάτων επικεντρώνεται στην αναζήτηση ιδιοτήτων των παραπάνω γραφημάτων, οι οποίες σχετίζονται με ιδιότητες σύνθετων γραφημάτων όταν το. Πολλές από αυτές τις ιδιότητες μπορούν να οριστούν με πιθανολογικές μεθόδους. Οι Erdos και Renyi χρησιμοποίησαν τον ορισμό, ότι σχεδόν όλα τα γραφήματα θα έχουν μια ιδιότητα Q, εάν η πιθανότητα να έχουν τα γραφήματα την ιδιότητα είναι 1 όταν το. Ο κύριος στόχος της θεωρίας τυχαίων γραφημάτων είναι ο καθορισμός της πιθανότητας σύνδεσης, για την οποία μια ιδιότητα του γραφήματος είναι περισσότερο πιθανό να προκύψει. Η μεγάλη διαπίστωση των Erdos και Renyi ήταν ότι για μια συγκεκριμένη τιμή της πιθανότητας σύνδεσης, είτε σχεδόν όλα τα γραφήματα θα έχουν αυτή την ιδιότητα είτε δεν θα την έχει σχεδόν κανένα. Για πολλές ιδιότητες μάλιστα, υπάρχει μία κρίσιμη πιθανότητα για την οποία όταν μια πιθανότητα σύνδεσης (συνάρτηση του πλήθους κορυφών) αυξάνεται σε αργότερο ρυθμό από ότι αυτή (για ), τότε η ιδιότητα αυτή δεν υπάρχει σχεδόν σε όλα τα γραφήματα με την ίδια πιθανότητα σύνδεσης. Σε αντίθετη περίπτωση, αν η πιθανότητα σύνδεσης αυξάνεται με γρηγορότερο ρυθμό από την κρίσιμη πιθανότητα, τότε σχεδόν όλα τα γραφήματα που δημιουργήθηκαν με την ίδια πιθανότητα σύνδεσης θα έχουν τη συγκεκριμένη ιδιότητα. Έτσι λοιπόν, με την μελέτη των τυχαίων γραφημάτων μπορούμε να βγάλουμε συμπεράσματα για ιδιότητες που υπάρχουν σε άλλα δίκτυα από διάφορους τομείς. Ο ορισμός των Erdos και Renyi όμως παρουσιάζει δύο προβλήματα. Το πρώτο πρόβλημα που προκύπτει σχετίζεται με την ίδια πιθανότητα 10

12 σύνδεσης μεταξύ όλων των κόμβων του δικτύου. Τα τυχαία γραφήματα που δημιουργήθηκαν με αυτόν τον τρόπο ορίζουν ένα δίκτυο με Ν κορυφές και πιθανότητα σύνδεσης p για όλους τους κόμβους. Στα περισσότερα πραγματικά δίκτυα κάτι τέτοιο δεν ισχύει. Συνήθως έχουμε περιπτώσεις ανοιχτών συστημάτων, τα οποία αυξάνονται με τη συνεχή προσθήκη κόμβων. Το δεύτερο πρόβλημα είναι ότι οι νεοεισερχόμενοι κόμβοι δε συνδέονται με ίδια πιθανότητα σε όλους τους υπάρχοντες κόμβους του δικτύου, αλλά ακολουθούν επιλεκτική σύνδεση ανάλογα με το πλήθος συνδέσεων του κάθε κόμβου. Τα δύο αυτά προβλήματα οδήγησαν τους Α.Barabasi και R.Albert στη δημιουργία τυχαίων γραφημάτων με ένα διαφορετικό τρόπο. Τα γραφήματα αυτά ονομάστηκαν γραφήματα ελεύθερα κλίμακας (scale-free). Τα γραφήματα ελεύθερης κλίμακας είναι δίκτυα όπου η κατανομή των συνδέσεων των κόμβων τους ακολουθεί κατανομή νόμου δύναμης (power-law). Δηλαδή, αν Χ είναι η τυχαία μεταβλητή που μετράει τις συνδέσεις κάθε κόμβου, τότε P(X k) k a, όπου α είναι παράμετρος που παίρνει τιμές κυρίως στο διάστημα [2,3]. Πρακτικά, τα τυχαία γραφήματα που δημιουργούνται με αυτόν τον τρόπο χρησιμοποιούνται σε αρκετά μεγαλύτερο βαθμό σε σχέση με το μοντέλο των Erdos και Renyi, εξαιτίας της προσέγγισης της συμπεριφοράς των περισσότερων πραγματικών δικτύων. 1.3 Ορισμός και ιστορική εξέλιξη της κεντρικότητας στα δίκτυα Όπως είδαμε στην προηγούμενη ενότητα, το δίκτυο αποτελεί μια οπτική αναπαράσταση ενός συστήματος, διαιρούμενου σε μικρά τμήματα με στόχο τη μελέτη των χαρακτηριστικών των τμημάτων αλλά και ολόκληρου του συστήματος. Ένα από τα σημαντικότερα χαρακτηριστικά των κόμβων του δικτύου είναι η κεντρικότητα τους. Η κεντρικότητα του κάθε κόμβου είναι ένα μέτρο σημαντικότητας, που αντικατοπτρίζει τη σημασία του κόμβου σε όλο το δίκτυο. Φυσικά, δεν θεωρούνται σε όλα τα δίκτυα σημαντικοί οι κόμβοι που έχουν τις ίδιες πάντα ιδιότητες. Ο ορισμός της 11

13 σημαντικότητας των κόμβων και κατά συνέπεια και της κεντρικότητάς τους, εξαρτάται από το είδος του κάθε φορά εξεταζόμενου δικτύου και από το τι θέλει να μελετήσει ο ερευνητής. Για παράδειγμα, σε ένα κοινωνικό δίκτυο είναι λογικό να θεωρηθούν σημαντικοί, κόμβοι που έρχονται σε επικοινωνία με μεγάλο αριθμό άλλων. Σε αυτή την περίπτωση το μεγάλο πλήθος ακμών από έναν κόμβο αντιστοιχεί σε μεγάλο πλήθος σχέσεων φιλίας και φαντάζει ικανό ώστε να προσδώσει στο άτομο εξέχουσα θέση στο δίκτυο. Σε ένα δίκτυο ροής πληροφοριών όμως, ίσως να μην είναι ικανές μόνο οι πολλές συνδέσεις του κόμβου για να χαρακτηριστεί σημαντικός. Είναι λογικός ο ισχυρισμός ότι στα δίκτυα πληροφοριών, ένας κόμβος θα έχει σημαντική θέση στο δίκτυο όταν μπορεί να ελέγξει τις πληροφορίες που διακινούνται μεταξύ πολλών κόμβων. Επομένως την κεντρικότητα του δεν θα την κρίνει η άμεση σύνδεση του με άλλους κόμβους, αλλά η συχνή παρεμβολή του μεταξύ μονοπατιών των ζευγών κόμβων που ανταλλάζουν πληροφορίες μέσα στο δίκτυο. Έτσι, δόθηκε το έναυσμα για τη δημιουργία μιας σειράς μέτρων κεντρικότητας, τα οποία μπορούν να εφαρμοστούν κάθε φορά ανάλογα με το δίκτυο και τις ανάγκες του ερευνητή. Ας δούμε τώρα, πως δημιουργήθηκε αρχικά η ανάγκη για τον υπολογισμό της κεντρικότητας, κάνοντας μια ιστορική αναδρομή στην κεντρικότητα των δικτύων. H ιδέα της κεντρικότητας σε κοινωνικά δίκτυα εισήχθη πρώτη φορά από τον A.Bavelas. O Bavelas ασχολήθηκε ειδικότερα με την επικοινωνία σε μικρές ομάδες και υπέθεσε μία σχέση μεταξύ της κεντρικότητας και της επιρροής της στις διεργασίες της ομάδας. Στα τέλη του 1940, πραγματοποιήθηκε η πρώτη ερευνητική εφαρμογή της κεντρικότητας υπό την καθοδήγηση του Bavelas, στο εργαστήριο δικτύων του M.I.T. Οι πρώτες μελέτες οι οποίες διεξήχθησαν από τους H.Leavitt (1949) και S.Smith (1950), αναφέρθηκαν από τους Bavelas (1950) και Βarret (1951) και περιγράφηκαν για πρώτη φορά λεπτομερώς από τον Leavitt (1951). Όλες αυτές οι έρευνες κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι η κεντρικότητα σχετίζεται με την αποτελεσματικότητα της ομάδας σε επίλυση προβλημάτων, την αντίληψη ηγεσίας και την προσωπική ικανοποίηση των συμμετεχόντων. Οι παραπάνω έρευνες αποτέλεσαν το έναυσμα για την πραγματοποίηση μιας σειράς πολλών πειραμάτων μεταξύ των δεκαετιών του 1950 και Υπήρξαν επεκτάσεις, τροποποιήσεις και επεξεργασίες των αρχικών αποτελεσμάτων. Ωστόσο, τα συγκεντρωτικά αποτελέσματα από όλες τις έρευνες ήταν συχνά αντιφατικά μεταξύ 12

14 τους. Αυτός ήταν και ο λόγος ο οποίος οδήγησε τον Burgess (1968) να δηλώσει oτι οι έρευνες δεν έχουν παράγει συνεπή συγκεντρωτικά αποτελέσματα. Παρά τη σύγχυση αυτή, τα αποτελέσματα έδειχναν με βεβαιότητα ότι η κεντρικότητα σχετίζεται με τον τρόπο που οργανώνονται οι ομάδες για την επίλυση τουλάχιστον κάποιων ειδών προβλημάτων. Κριτικές για αυτό το γεγονός συντάχθηκαν από τους Flament (1956,1960,1963,1965), Mulder (1956,1958), Glanzer και Glaser (1957,1961),Cohen (1964), Shaw (1964), Burgess (1968), Snadowsky (1972) και Rogers και Agarwala- Rogers (1976) Ωστόσο, οι εφαρμογές της κεντρικότητας δεν περιορίστηκαν μόνο σε πειραματικές μελέτες για την αντιμετώπιση προβλημάτων από ομάδες. Οι Cohn και Marriott (1958) χρησιμοποίησαν την κεντρικότητα, στην προσπάθεια τους να κατανοήσουν την πολιτική ενσωμάτωση στο πλαίσιο της ποικιλομορφίας της ινδικής κοινωνικής ζωής. Πιο συγκεκριμένα, αναζήτησαν πως μπορεί να διοικηθεί ένα μεγάλο και ανομοιογενές έθνος όπως η Ινδία. Ο Pitts (1965) εξέτασε τις συνέπειες της κεντρικότητας σε μονοπάτια επικοινωνίας για την αστική ανάπτυξη. Ειδικότερα, ανακατασκεύασε το δίκτυο μεταφοράς μέσω ποταμιών του δωδέκατου αιώνα στην κεντρική Ρωσία, σε μια προσπάθεια να εξηγήσει την πρωτοκαθεδρία της σύγχρονης πόλης της Μόσχας μεταξύ των πολλών οικισμών της περιοχής. Αποδείχθηκε ότι όντως η Μόσχα ήταν ένα σημαντικό κέντρο στο μεσαιωνικό δίκτυο μεταφοράς. Οι Beauchamp (1965) και Mackenzie (1966) διερεύνησαν τις επιπτώσεις της κεντρικότητας στον σχεδιασμό των οργανισμών. Ο Beauchamp υποστήριξε ότι η αποτελεσματικότητα ενός καινούργιου οργανισμού που συνδυάζει δύο ή περισσότερους υπάρχοντες οργανισμούς, θα μπορούσε να βελτιστοποιηθεί συνδέοντας τις υπομονάδες τους, στα πιο κεντρικά σημεία τους. Ο Mackenzie από την άλλη, ισχυρίστηκε ότι η σχέση μεταξύ της οργανωτικής δομής και της αποτελεσματικότητας θα πρέπει να εξαρτάται από την πολυπλοκότητα της εργασίας του οργανισμού. Πιο πρόσφατα, ο Czepiel (1974) χρησιμοποίησε την έννοια της κεντρικότητας για να εξηγήσει τη διάχυση της τεχνολογικής καινοτομίας στη βιομηχανία σιδήρου και χάλυβα. Τα αποτελέσματα του δεν ήταν στατιστικά σημαντικά, αλλά αποδείχθηκε ότι σε γενικές γραμμές, οι επιχειρήσεις χάλυβα που ήταν περισσότερο κεντρικές στο δίκτυο επικοινωνίας μεταξύ των επιχειρήσεων, υιοθετούσαν γρηγορότερα καινούριους τρόπους χύτευσης. Ο Rogers (1974) μελέτησε την εμφάνιση δύο ειδών κεντρικότητας σε δίκτυο διεπιχειρησιακών σχέσεων. Με αυτή την έρευνα, ανακάλυψε ότι ανεξάρτητα από το ποια από τις δύο κεντρικότητες θα χρησιμοποιήσει, ορισμένοι οργανισμοί 13

15 τείνουν να είναι σταθερά περισσότερο κεντρικοί από άλλους. Επιπρόσθετα, απέδειξε ότι η κεντρικότητα ενός οργανισμού ήταν προβλέψιμη τόσο από τα χαρακτηριστικά της, όσο και από τις ιδιότητες του δικτύου στο οποίο άνηκε. Η κεντρικότητα όμως, δεν χρησιμοποιήθηκε μόνο σε πολύ εξειδικευμένες περιπτώσεις όπως παραπάνω. Ακόμα και σήμερα η έννοια της κεντρικότητας απασχολεί άτομα που εργάζονται σε οργανισμούς επικοινωνίας και σχεδιασμού. Είναι φανερό πλέον, πως η κεντρικότητα των δικτύων αποτελεί αναπόσπαστο κομμάτι πολλών οργανισμών και παίζει σημαντικό ρόλο σε πολλούς τομείς της καθημερινής μας ζωής. Από τις απλοϊκές έρευνες που διενεργήθηκαν πριν πενήντα χρόνια, έχουμε περάσει πλέον σε ένα στάδιο όπου η ύπαρξη εκατοντάδων μέτρων κεντρικότητας αποτελεί ένα δυνατό εργαλείο στη μελέτη και την κατανόηση των ιδιοτήτων τόσο του κάθε κόμβου ξεχωριστά, όσο και ολόκληρου του δικτύου. Για το λόγο αυτό στο παρακάτω κεφάλαιο θα αναπτυχθούν τα σημαντικότερα μέτρα κεντρικότητας σε δίκτυα και θα διερευνηθούν οι ιδιότητες τους. 14

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΔΙΚΤΥΑ 2.1 Κεντρικότητα Βαθμού (Degree Centrality) Ίσως το απλούστερο μέτρο κεντρικότητας σε ένα δίκτυο είναι ο βαθμός της κάθε κορυφής του. Ο Freeman (1978) όρισε ότι ο βαθμός των κόμβων σε ένα δίκτυο ισούται με τον αριθμό των γειτονικών τους κόμβων, δηλαδή τον αριθμό των κόμβων με τους οποίους συνδέονται. Αντίστοιχα, όταν αναφερόμαστε σε κατευθυνόμενα δίκτυα, είθισται να διαχωρίζουμε τον εσωτερικό και τον εξωτερικό βαθμό κάθε κόμβου. Ως εσωτερικός βαθμός (in-degree) του κόμβου ορίζεται το συνολικό πλήθος των κατευθυνόμενων ακμών, οι οποίες καταλήγουν στον κόμβο, σε αντίθεση με τον εξωτερικό βαθμό (out-degree) που προσμετρά όλες τις κατευθυνόμενες ακμές που φεύγουν από τον κόμβο με κατεύθυνση τους υπόλοιπους κόμβους του δικτύου. Βέβαια, και σε αυτήν την περίπτωση μπορούμε να υπολογίσουμε το συνολικό βαθμό ενός κόμβου, θεωρώντας ουσιαστικά ότι το δίκτυο είναι μη κατευθυνόμενο, αθροίζοντας απλά τον εσωτερικό με τον εξωτερικό του βαθμό. Ο βαθμός της κάθε κορυφής αναφέρεται και ως κεντρικότητα βαθμού, κυρίως στη βιβλιογραφία των κοινωνικών δικτύων και αντίστοιχα κεντρικότητα εσωτερικού ή εξωτερικού βαθμού, αν πρόκειται για κατευθυνόμενα δίκτυα. Παρά το γεγονός ότι η κεντρικότητα βαθμού είναι ένα από τα απλούστερα μέτρα, σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να γίνει αρκετά διαφωτιστικό. Σε ένα κοινωνικό δίκτυο οι συνδέσεις των κόμβων, αντιστοιχούν στην ύπαρξη μιας σχέσης μεταξύ προσώπων. Έτσι, φαίνεται εύλογο να θεωρήσουμε ότι κόμβοι με πολλές συνδέσεις θα έχουν μία εξέχουσα θέση στο δίκτυο, με την έννοια της δυνατότητας άμεσης επιρροής μεγάλου πλήθους κόμβων και μεγαλύτερης πρόσβασης σε πληροφορίες που διακινούνται στο δίκτυο, σε σύγκριση με άλλους κόμβους που έχουν λιγότερες συνδέσεις. Για το λόγο αυτό κατανέμεται μεγάλη κεντρικότητα στους υψηλόβαθμους κόμβους του κοινωνικού δικτύου. Το συγκεκριμένο μέτρο, λόγω της 15

17 απλότητας του, βρίσκει εφαρμογές και σε πολλά άλλα είδη δικτύων. Ένα παράδειγμα ενός μη-κοινωνικού δικτύου, είναι ένα δίκτυο παραπομπών για την αξιολόγηση επιστημονικών εργασιών. Ο συνολικός αριθμός παραπομπών από άλλες εργασίες σε μια συγκεκριμένη εργασία (ο εσωτερικός της βαθμός στο δίκτυο) αποτελεί ένα ακατέργαστο μέτρο σχετικά με την επιρροή της συγκεκριμένης εργασίας στις άλλες, και χρησιμοποιείται ευρέως ως μέτρο αξιολόγησης επιστημονικών ερευνών. Η κεντρικότητα βαθμού ενός κόμβου i σε ένα μη κατευθυνόμενα δίκτυο αλλά και οι κεντρικότητες εσωτερικού και εξωτερικού βαθμού σε κατευθυνόμενα δίκτυα, δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις : k i N A (2.1.1) j ij k out i N A (2.1.2) j ij k in i N A (2.1.3) j ji N : Το πλήθος των κορυφών του δικτύου A ij : To στοιχείο του πίνακα γειτνίασης που βρίσκεται στην (i, j) θέση (Να ληφθεί υπ όψη ότι σε μη κατευθυνόμενα δίκτυα ισχύει A ij = A ji ενώ στα κατευθυνόμενα δίκτυα εν γένει ισχύει A ij A ji ) Στην περίπτωση που εξετάζουμε την κεντρικότητα σε ένα σταθμισμένο δίκτυο, όπου στην κάθε ακμή αντιστοιχεί ένα βάρος, ο τρόπος ορισμού της κεντρικότητας αλλάζει. Αρχικά, η κεντρικότητα εξισώθηκε με το άθροισμα των βαρών όλων των ακμών που συνδέονται με τον εξεταζόμενο κόμβο (Barrat et al., 2004). Το μέτρο αυτό, που προέκυψε από την επέκταση της κεντρικότητας βαθμού σε σταθμισμένα δίκτυα, ονομάστηκε δύναμη του κόμβου και ορίστηκε ως εξής : 16

18 s i N w (2.1.4) j ij w ij : Το βάρος της ακμής που συνδέει τους κόμβους i, j Αν θεωρήσουμε ότι εξετάζουμε ένα μη σταθμισμένο δίκτυο προσδίδοντας σε κάθε ακμή του, βάρος ίσο με τη μονάδα, εύκολα φαίνεται ότι η σχέση (2.1.4) οδηγεί στη σχέση (2.1.1). Βλέπουμε λοιπόν, ότι σε ένα μη κατευθυνόμενο δίκτυο ο ορισμός της κεντρικότητας βαθμού και της δύναμης του κόμβου διαχωρίζονται. Μπορούμε να πούμε ότι και οι δύο ορισμοί δεν εξετάζουν επαρκώς όλα τα δεδομένα του δικτύου για την κατανομή της κεντρικότητας. Από τη μία, η κεντρικότητα βαθμού επικεντρώνεται αποκλειστικά στον αριθμό των συνδέσεων του κόμβου με τους υπολοίπους και από την άλλη, η δύναμη του κόμβου λαμβάνει υπόψη της μόνο τα βάρη, αδιαφορώντας για το πλήθος των γειτόνων του. Για παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα ο κόμβος B και ο κόμβος C έχουν την ίδια δύναμη (5), γιατί ταυτίζεται το άθροισμα των βαρών των ακμών τους, ασχέτως αν ο Β έχει τους διπλάσιους γείτονες από τον C Σχήμα : Παράδειγμα σταθμισμένου δικτύου 17

19 Στρεφόμενος προς την κατεύθυνση αντιμετώπισης του παραπάνω προβλήματος ο T.Opsahl (2010), προσπάθησε να συνδυάσει τα δύο παραπάνω μέτρα. Στην προσπάθεια αυτή συντέλεσε η εισαγωγή μίας παραμέτρου συντονισμού a, η οποία καθορίζει το βαθμό επίδρασης της κεντρικότητας ενός κόμβου από το πλήθος των συνδέσεων του και από τα βάρη των ακμών του. Πιο συγκεκριμένα, εισήγαγε ένα μέτρο κεντρικότητας των κόμβων, που ισούται με το γινόμενο του πλήθους των γειτονικών τους κόμβων επί το άθροισμα των βαρών των ακμών τους, ρυθμιζόμενο από μία παράμετρο. Το καινούριο αυτό μέτρο ορίστηκε ως εξής : s C () i k k s wa i (1 a) a D i i i ki a (2.1.5) a : Η θετική παράμετρος συντονισμού Για παράδειγμα αν θέσουμε α=0.5 στο προηγούμενο κατευθυνόμενο γράφημα θα είχαμε k = (1, 4, 2, 1, 2), s = (0.5, 5.0, 5.0, 1.0, 6.5), οπότε: C D wa = (0.71, 4.47, 3.16, 1.00, 3.61) που δίνει μεγαλύτερη κεντρικότητα στον κόμβο Β από ότι στον C Η επιλογή της παραμέτρου a εξαρτάται αποκλειστικά από το εκάστοτε ερευνητικό πλαίσιο και τα δεδομένα του δικτύου. Όταν a (0,1), η κεντρικότητα γίνεται ανάλογη της κεντρικότητας βαθμού του κόμβου, ενώ όταν a 1, η καινούρια κεντρικότητα και η κεντρικότητα βαθμού αποκτούν μια αρνητική σχέση. Έτσι, όταν δύο ή περισσότεροι κόμβοι έχουν την ίδια δύναμη, είμαστε σε θέση να ρυθμίσουμε ποιος από τους κόμβους θα έχει τη μεγαλύτερη κεντρικότητα, με κριτήριο τις συνδέσεις του με τους υπόλοιπους κόμβους. Με αυτόν τον τρόπο καθορίζουμε την τιμή της παραμέτρου αναλόγως αν οι συνδέσεις αυτές, θεωρούμε ότι του προσδίδουν θετικές ή αρνητικές ιδιότητες. Όταν a 1, η νέα κεντρικότητα ταυτίζεται με τη δύναμη του κόμβου, ενώ όταν α=0 ταυτίζεται με το βαθμό. Σε κατευθυνόμενα και σταθμισμένα 18

20 δίκτυα το μέτρο προσαρμόζεται και διασπάται χρησιμοποιώντας κάθε φορά ή τον εσωτερικό ή τον εξωτερικό βαθμό του κόμβου. Έτσι, θα έχουμε : out wa out s i CDout () i ki out ki a (2.1.6) in wa in s i CDin() i ki in ki a (2.1.7) out s i : Η εξωτερική δύναμη του κόμβου που ορίζεται ως το άθροισμα των βαρών των εξωτερικών ακμών του in s i : H εσωτερική δύναμη του κόμβου που ορίζεται ως το άθροισμα των βαρών των εσωτερικών ακμών του Για να επιτραπεί η σύγκριση κόμβων που ανήκουν σε διαφορετικά δίκτυα (πιθανόν διαφορετικού μεγέθους), χρησιμοποιείται η κανονικοποιημένη κεντρικότητα βαθμού. Για τον υπολογισμό της, απλά διαιρούμε την κεντρικότητα βαθμού με το μέγιστο πιθανό αριθμό συνδέσεων μιας κορυφής. Έχει οριστεί επίσης και η * κεντρικότητα βαθμού ενός δικτύου ως εξής: Έστω i ο κόμβος με τη μεγαλύτερη κεντρικότητα βαθμού στο δίκτυο G. Η κεντρικότητα βαθμού του δικτύου είναι : N ( k * k ) i i i1 k(g) N max[ ( k k )] i1 * i i (2.1.8) 19

21 N k * i i1 max[ ( k )] : Η μέγιστη τιμή του αθροίσματος, η οποία προκύπτει i από την επιλογή του κατάλληλου γραφήματος Όμως, ο παρονομαστής της σχέσης μεγιστοποιείται στην περίπτωση του αστεροειδούς γραφήματος. Σε ένα τέτοιο γράφημα, ο κεντρικός κόμβος έχει κεντρικότητα βαθμού ίση με Ν-1 και η κεντρικότητα όλων των υπόλοιπων κόμβων ισούται με 1. Επομένως, με λίγες πράξεις η σχέση γίνεται k(g) N ( k k ) * i i i (2.1.9) Εν τούτοις, το αρχικό μέτρο αλλά ακόμη και η παραλλαγή του, παρά την ευκολία υπολογισιμότητάς τους, λαμβάνουν υπόψη τους μόνο την ύπαρξη ή όχι σύνδεσης μεταξύ των κόμβων και τα βάρη των ακμών τους. Το μειονέκτημα αυτό, καθιστά περιορισμένες τις δυνατότητες του μέτρου και δημιουργεί την ανάγκη για δημιουργία άλλων μέτρων, τα οποία θα είναι απαλλαγμένα από τον αυστηρά τοπικό χαρακτήρα της κεντρικότητας βαθμού και θα διερευνούν τη χρησιμότητα του κάθε κόμβου σε ολόκληρο το δίκτυο, αντιμετωπίζοντας την κεντρικότητα ως κάτι πιο πολύπλοκο. 2.2 Ιδιοδιανυσματική Κεντρικότητα (Eigenvector Centrality) Ένα άλλο μέτρο, λιγότερο τοπικό και πιο σύνθετο υπολογιστικά σε σύγκριση με την κεντρικότητα βαθμού, είναι η ιδιοδιανυσματική κεντρικότητα. Είδαμε ότι ο λόγος που ο βαθμός κεντρικότητας δε βρίσκει εφαρμογή σε μεγάλο φάσμα δικτύων, 20

22 είναι ότι λαμβάνει υπόψη μόνο την ύπαρξη συνδέσεων μεταξύ κόμβων. Οι κόμβοι όμως που συνδέονται με έναν συγκεκριμένο κόμβο δεν είναι εξίσου σημαντικοί μεταξύ τους. Είναι εύλογο, λοιπόν να ορίσουμε ένα μέτρο κεντρικότητας, το οποίο συνυπολογίζει τόσο το πλήθος των γειτονικών κόμβων, όσο και τη σημαντικότητα του κάθε γείτονα. Αυτό επιτυγχάνεται με την ιδιοδιανυσματική κεντρικότητα. Το μέτρο αυτό αναθέτει σε κάθε κόμβο τη σχετική βαθμολογία κεντρικότητας, σύμφωνα με την αρχή ότι οι συνδέσεις με υψηλόβαθμους κόμβους συνεισφέρουν περισσότερο στη βαθμολογία του, σε σύγκριση με κόμβους που έχουν τον ίδιο αριθμό συνδέσεων αλλά αντιστοιχούν σε χαμηλόβαθμους κόμβους. κεντρικότητα Για τον υπολογισμό του μέτρου ας κάνουμε κάποιες αρχικές υποθέσεις για την x i του κάθε κόμβου i. Για παράδειγμα μπορούμε να αρχίσουμε θέτοντας xi 1 για κάθε i. Προφανώς αυτό δεν είναι ένα χρήσιμο μέτρο κεντρικότητας, αλλά μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε για τον υπολογισμό ενός καλύτερου μέτρου γειτόνων του i, έτσι ώστε : ' x i, το οποίο ορίζουμε να είναι το άθροισμα των κεντρικοτήτων των x A x (2.2.1) ' i ij j j A ij είναι το (i, j) -στοιχείο του πίνακα γειτνίασης. Μπορούμε επίσης να γράψουμε την παραπάνω σχέση σε μορφή πινάκων ' x Ax x είναι το διάνυσμα με στοιχεία x i. 21

23 Επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία ώστε να έχουμε καλύτερες εκτιμήσεις, έχουμε μετά από t βήματα ένα διάνυσμα κεντρικότητας xt () που δίνεται από τη σχέση : t x( t) A x(0) (2.2.2) Τώρα ας εκφράσουμε το x (0) ως γραμμικό συνδυασμό των ιδιοδιανυσμάτων v i του πίνακα γειτνίασης: x(0) civi (2.2.3) i για κατάλληλες τιμές της σταθεράς c i. Έχουμε : x(t) A c v c k v c v (2.2.4) t t t i i i i i i 1 i i i i i 1 t i είναι οι ιδιοτιμές του A 1 είναι η μεγαλύτερη από τις ιδιοτιμές. Αφού i 1 i 1 όλοι οι όροι του αθροίσματος, εκτός του πρώτου 1 μειώνονται εκθετικά καθώς το t μεγαλώνει και έτσι όταν t έχουμε : 22

24 t x(t) c v i i i Με άλλα λόγια το οριακό διάνυσμα κεντρικοτήτων είναι απλά ανάλογο με το μεγαλύτερο ιδιοδιάνυσμα του πίνακα γειτνίασης. Ισοδύναμα μπορούμε να πούμε ότι η κεντρικότητα x ικανοποιεί τη σχέση: Ax x (2.2.5) 1 Αυτό είναι το ιδιοδιάνυσμα κεντρικότητας όπως το όρισε αρχικά ο Bonacich το Σύμφωνα με τον Bonanich, (1987,1991) το ιδιοδιάνυσμα είναι ανάλογο με το άθροισμα των σειρών ενός πίνακα, που σχηματίζεται προσθέτοντας όλες τις δυνάμεις του πίνακα γειτνίασης και σταθμίζοντας με τις αντίστοιχες δυνάμεις των αντιστρόφων ιδιοτιμών: S A Είναι επίσης γνωστό ότι τα στοιχεία του πίνακα, ο οποίος είναι υψωμένος σε δύναμη κ, δίνουν το πλήθος των περιπάτων μήκους κ, από τον κόμβο i στον κόμβο j. Έτσι το μέτρο αυτό, αποτελεί ένα σταθμισμένο μέτρο του πλήθους των περιπάτων κάθε μήκους για κάθε κόμβο του δικτύου. Όπως είπαμε, η κεντρικότητα xi του κόμβου i είναι ανάλογη του αθροίσματος των κεντρικοτήτων των γειτόνων του : x (2.2.6) 1 i i Ajix j j 23

25 Αυτό δίνει στην ιδιοδιανυσματική κεντρικότητα την πολύ καλή ιδιότητα ότι μπορεί να είναι μεγάλη είτε επειδή μπορεί ένας κόμβος να έχει μεγάλο πλήθος γειτόνων, είτε επειδή έχει σημαντικούς γείτονες, είτε και τα δύο. Η παραπάνω ιδιότητα καθιστά την ιδιοδιανυσματική κεντρικότητα ένα χρήσιμο εργαλείο σε ένα μεγάλο φάσμα δικτύων. Ένα παράδειγμα είναι τα κοινωνικά δίκτυα, καθώς σε τέτοιου είδους δίκτυα η κεντρικότητα ενός κόμβου αποτελεί συνάρτηση τόσο του πλήθους των συνδέσεων, όσο και της κεντρικότητας των κόμβων που έρχονται σε επικοινωνία με τον συγκεκριμένο κόμβο. Η σχέση (2.2.6) δεν ορίζει την κανονικοποιημένη μορφή της ιδιοδιανυσματικής κεντρικότητας. Παρά το γεγονός ότι συνήθως ενδιαφερόμαστε μόνο για το ποιος κόμβος έχει υψηλή ή χαμηλή ιδιοδιανυσματική κεντρικότητα και επομένως δε μας ενδιαφέρουν οι απόλυτες τιμές, αν θέλουμε να κανονικοποιήσουμε την ιδιοδιανυσματική κεντρικότητα μπορούμε απλά να απαιτήσουμε το άθροισμά τους να είναι ίσο με το συνολικό πλήθος των κόμβων στο δίκτυο (πράγμα που εξασφαλίζει ότι η μέση κεντρικότητα παραμένει σταθερή όσο το δίκτυο μεγαλώνει). Η ιδιοδιανυσματική κεντρικότητα μπορεί να υπολογιστεί και για κατευθυνόμενα και για μη κατευθυνόμενα δίκτυα. Λειτουργεί όμως καλύτερα για μη κατευθυνόμενα δίκτυα. Σε κατευθυνόμενα δίκτυα προκύπτουν κάποιες επιπλοκές. Πρώτον, ένα μη κατευθυνόμενο δίκτυο έχει έναν πίνακα γειτνίασης που στη γενική περίπτωση είναι ασύμμετρος. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν δύο σύνολα ιδιοδιανυσμάτων : Δεξιά ιδιοδιανύσματα Αριστερά ιδιοδιανύσματα Επομένως υπάρχουν δύο μέγιστα ιδιοδιανύσματα. Προκύπτει ένα δίλλημα μεταξύ αυτών, για τη χρήση τους στον υπολογισμό της ιδιοδιανυσματικής κεντρικότητας. Στις περισσότερες περιπτώσεις επιλέγουμε να χρησιμοποιήσουμε το δεξί ιδιοδιάνυσμα. Ο λόγος είναι ότι η κεντρικότητα σε κατευθυνόμενα δίκτυα συνήθως απονέμεται με βάση άλλους κόμβους που συνδέονται στο δικό μας, και όχι το γεγονός ότι ο δικός μας κόμβος συνδέεται με άλλους. Για καλύτερη κατανόηση ας δούμε ένα παράδειγμα. 24

26 Στο World Wide Web o αριθμός και το κύρος των ιστοσελίδων που συνδέονται στη σελίδα μας, μπορεί να αποτελέσει μια εύλογη ένδειξη της σημαντικότητας ή της χρησιμότητας της. Από την άλλη, το γεγονός ότι η ιστοσελίδα συνδέεται με άλλες σημαντικές σελίδες δεν δίνει κάποια χρήσιμη πληροφορία. Ο καθένας μπορεί να δημιουργήσει μια ιστοσελίδα που συνδέεται με χιλιάδες άλλες, αλλά αυτό δε θα την κάνει σημαντική (με την έννοια της ιδιοδιανυσματικής κεντρικότητας). Παρόμοια πράγματα ισχύουν σε δίκτυα παραπομπών και άλλα κατευθυνόμενα δίκτυα. Έτσι ο ορισμός της ιδιοδιανυσματικής κεντρικότητας ενός κόμβου i που χρησιμοποιείται περισσότερο σε ένα κατευθυνόμενο δίκτυο, την καθιστά ανάλογη της κεντρικότητας των κόμβων οι οποίοι συνδέονται με τον ίδιο, όπως είδαμε στη σχέση (2.2.6). Η σχέση αυτή σε μορφή πινάκων πλέον γράφεται : Ax x 1 x είναι το δεξί μέγιστο ιδιοδιάνυσμα. Ωστόσο υπάρχουν ακόμα προβλήματα με την ιδιοδιανυσματική κεντρικότητα σε κατευθυνόμενα δίκτυα. Σχήμα: Παράδειγμα δικτύου 25

27 Στο παραπάνω σχήμα, ο κόμβος Α συνδέεται με το υπόλοιπο γράφημα, αλλά έχει μόνο ακμές που φεύγουν από τον κόμβο και δεν υπάρχει ακμή που έρχεται σε αυτόν. Ένας τέτοιος κόμβος έχει πάντα κεντρικότητα μηδέν επειδή δεν υπάρχουν μη μηδενικοί όροι στο άθροισμα (2.2.6). Αυτό πιθανόν να μην είναι μεγάλο πρόβλημα. Ίσως όταν σε ένα κόμβο δεν έρχεται καμία ακμή από άλλους κόμβους, να πρέπει ο κόμβος αυτός να έχει μηδενική κεντρικότητα. Ας δούμε όμως τώρα τον κόμβο D, ο οποίος έχει μια ακμή που έρχεται σε αυτόν, αλλά αυτή η ακμή προέρχεται από τον κόμβο Α και έτσι ο D έχει επίσης μηδενική κεντρικότητα, αφού ο μοναδικός όρος στο άθροισμα (2.2.6) είναι μηδέν. Γενικεύοντας τη συγκεκριμένη περίπτωση, βλέπουμε ότι ένας κόμβος μπορεί να δέχεται ακμές από άλλους κόμβους, οι οποίοι με τη σειρά τους δέχονται ακμές από πολλούς άλλους, και ούτω καθεξής, αλλά αν η διαδικασία καταλήγει σε κόμβο ή κόμβους με μηδενικό εσωτερικό βαθμό η τελική κεντρικότητα του κόμβου θα είναι μηδέν. Με μαθηματικούς όρους, μόνο οι κόμβοι που ανήκουν σε ένα ισχυρά συνδεδεμένο παράγοντα (component) (δηλαδή το μέγιστο υπογράφημα στο οποίο όλοι οι κόμβοι του συνδέονται μεταξύ τους με μονοπάτια δύο κατευθύνσεων) δύο η περισσοτέρων κόμβων ή στον εξωτερικό παράγοντα(out-component) (δηλαδή το σύνολο τον κόμβων που είναι προσβάσιμοι μέσω κατευθυνόμενων μονοπατιών, ξεκινώντας από ένα συγκεκριμένο κόμβο) ενός τέτοιου παράγοντα, μπορούν να έχουν μη μηδενικό ιδιοδιάνυσμα κεντρικότητας. Σε πολλές περιπτώσεις, ωστόσο, κόμβοι με υψηλό εσωτερικό βαθμό θεωρείται κατάλληλο να έχουν υψηλή κεντρικότητα, ακόμα και αν δεν ανήκουν σε ένα ισχυρά συνδεδεμένο παράγοντα ή στον εξωτερικό παράγοντα του. Για παράδειγμα ιστοσελίδες με πολλές συνδέσεις, μπορούν εύλογα να θεωρηθούν σημαντικές ακόμα και αν δεν ανήκουν σε ένα ισχυρά συνδεδεμένο παράγοντα. Επίσης τα άκυκλα δίκτυα (κατευθυνόμενα δίκτυα χωρίς κατευθυνόμενους κύκλους), όπως είναι τα δίκτυα παραπομπών, δεν έχουν ισχυρά συνδετικούς παράγοντες που αποτελούνται από περισσότερους από έναν κόμβο. Έτσι όλοι οι κόμβοι έχουν κεντρικότητα μηδέν. Είναι σαφές πλέον ότι το γεγονός αυτό μετατρέπει την ιδιοδιανυσματική κεντρικότητα σε ένα άχρηστο μέτρο για τέτοιου είδους δίκτυα. Μια παραλλαγή της ιδιοδιανυσματικής κεντρικότητας, η οποία αντιμετωπίζει αυτό το πρόβλημα είναι η Katz κεντρικότητα. 26

28 2.3 Κεντρικότητα Katz (Katz centrality) Είδαμε παραπάνω ότι το πρόβλημα που αντιμετωπίζει η ιδιοδιανυσματική κεντρικότητα βρίσκεται στο γεγονός ότι ακόμα και κόμβοι που έχουν υψηλό εσωτερικό βαθμό, είναι πιθανό εν τέλει να έχουν μηδενική κεντρικότητα. Σίγουρα σε ορισμένα δίκτυα αυτό είναι ανεπιθύμητο. Η κεντρική ιδέα για την αντιμετώπιση αυτού του προβλήματος είναι η δημιουργία ενός μέτρου κεντρικότητας, το οποίο θα καταλογίζει σε κάθε κόμβο κάποια μη μηδενική κεντρικότητα ανεξάρτητα από τη θέση του κόμβου στο δίκτυο και την κεντρικότητα των γειτόνων του. Αυτή ακριβώς είναι η συνεισφορά της κεντρικότητας Katz. Η κεντρικότητα Katz x i ενός κόμβου i ορίζεται με τον εξής τρόπο (2.3.1) xi Ax ij j j α, β: θετικές σταθερές. Αναλύοντας τον παραπάνω τύπο, παρατηρούμε ότι ο πρώτος όρος της κεντρικότητας είναι η ιδιοδιανυσματική κεντρικότητα του κόμβου. Ωστόσο με την προσθήκη της θετικής σταθεράς β εξασφαλίζεται ότι κάθε κόμβος του δικτύου θα έχει κάποια μη μηδενική κεντρικότητα. Έτσι ακόμα και κόμβοι με μηδενικό εσωτερικό βαθμό, έχουν μη μηδενική κεντρικότητα. Επομένως έχουν συνεισφορά στην κεντρικότητα των κόμβων στους οποίους συνδέονται. Με αυτό το μέτρο δηλαδή, κόμβοι με υψηλό εσωτερικό βαθμό θα έχουν υψηλή κεντρικότητα ανεξάρτητα από την κεντρικότητα των γειτόνων τους. Φυσικά, κόμβοι που έχουν συνδυασμό υψηλού εσωτερικού βαθμού και ύπαρξης γειτόνων με υψηλή κεντρικότητα θα παρουσιάζουν υψηλότερη κεντρικότητα σε σχέση με άλλους κόμβους με εξίσου υψηλό εσωτερικό βαθμό, όπου οι γείτονες τους όμως έχουν χαμηλή κεντρικότητα. Η σχέση (2.3.1) σε μορφή πινάκων γράφεται : 27

29 x aax 1 (2.3.2) 1 είναι το διάνυσμα (1,1,1,.). Λύνοντας ως προς x έχουμε : x 1 ( aa) 1 Επειδή όπως είδαμε και στην ιδιοδιανυσματική κεντρικότητα, τα μέτρα κεντρικότητας μας ενδιαφέρουν περισσότερο ως μέτρα σύγκρισης, η απόλυτη τιμή της κεντρικότητας κάθε κόμβου είναι μικρής σημασίας. Για το λόγο αυτό μπορούμε να δώσουμε στην παράμετρο β όποια τιμή θέλουμε. Για λόγους ευκολίας, συνήθως θέτουμε β=1 και έχουμε : x 1 ( aa) 1 (2.3.3) Για τον υπολογισμό πλέον της κεντρικότητας, υπάρχει μία μόνο παράμετρος α. Η παράμετρος αυτή ρυθμίζει την ισορροπία μεταξύ του πρώτου όρου και της σταθεράς στη σχέση (2.3.1). Στην παράμετρο α όμως δεν μπορούμε να δώσουμε αυθαίρετα μια οποιαδήποτε μεγάλη τιμή. Εάν a 0 τότε από τη σχέση (2.3.1) εύκολα προκύπτει ότι όλοι οι κόμβοι θα έχουν την ίδια κεντρικότητα β. Όσο αυξάνεται το α, οι κεντρικότητες μεγαλώνουν και τελικά μετά από κάποια τιμή αποκλίνουν. Από τη σχέση (2.3.3) παρατηρούμε ότι η απόκλιση πραγματοποιείται όταν αποκλίνει το στοιχείο 1 ( I aa), δηλαδή όταν 1 det( I aa) =0 det( ) 0 28

30 Αυτή όμως είναι η χαρακτηριστική εξίσωση, οι ρίζες 1 της οποίας αποτελούν ιδιοτιμές του πίνακα γειτνίασης. Καθώς το α αυξάνεται, η ορίζουσα μηδενίζει πρώτη φορά όταν 1 1 1: η πρώτη ιδιοτιμή του πίνακα γειτνίασης. 1 Δηλαδή το σημείο που αρχίζει η απόκλιση είναι για. Επομένως αφού θέλουμε οι κεντρικότητες να συγκλίνουν, επιβάλλεται να επιλέξουμε τιμή για το 1. Πέραν αυτού ωστόσο, δεν υπάρχει κάποια επιπλέον καθοδήγηση για την 1 επιλογή της τιμής του α. Δίνοντας στο α τιμές κοντά στο ανώτατο όριο του 1 1 σημαίνει ότι δίνουμε αρκετά μεγάλη βαρύτητα στον ιδιοδιανυσματικό όρο και ελάχιστη βαρύτητα στον σταθερό όρο. Έτσι τα αποτελέσματα αυτού του μέτρου κεντρικότητας θα είναι παρόμοια με της ιδιοδιανυσματικής κεντρικότητας με τη διαφορά ότι θα αποδίδει μικρές μη μηδενικές τιμές κεντρικότητας σε κόμβους που δεν ανήκουν ούτε σε ισχυρά συνδεδεμένους παράγοντες ούτε και στους εξωτερικούς παράγοντες τους. Οι περισσότεροι ερευνητές επιλέγουν το α σύμφωνα με την παραπάνω διαδικασία. Σχετικά με το χρόνο υπολογισιμότητας της κεντρικότητας Katz, διαπιστώνεται ένα πρόβλημα. Επιχειρώντας να υπολογίσουμε την κεντρικότητα από τη σχέση (2.3.3), αν το δίκτυο αποτελείται από n σε πλήθος κόμβους, ο χρόνος αντιστροφής ενός πίνακα είναι ανάλογος του 3 n. Επομένως για μεγάλα δίκτυα ο υπολογισμός γίνεται απαγορευτικά αργός. Ένας τρόπος αντιμετώπισης αυτού του προβλήματος είναι η χρήση της αναδρομικής σχέσης (2.3.1), με αρχική εκτιμητική επιλογή κεντρικοτήτων (ακόμα και κακών εκτιμήσεων) x,και στη συνέχεια χρήση της σχέσης 1 29

31 ' x Ax 1 για καλύτερη εκτίμηση. Επαναλαμβάνοντας αυτή τη διαδικασία πολλές φορές, οι κεντρικότητες θα συγκλίνουν σε κάποιες τιμές, πολύ κοντινές στις σωστές κεντρικότητες. Ο χρόνος υπολογισιμότητας τώρα είναι ανάλογος του γινομένου των μη μηδενικών στοιχείων του πίνακα γειτνίασης και του αριθμού επαναλήψεων. Ωστόσο ο υπολογισμός του κατάλληλου πλήθους επαναλήψεων, ώστε οι κεντρικότητες να συγκλίνουν στις επιθυμητές τιμές εξαρτάται από λεπτομέρειες του δικτύου και από την επιλογή της παραμέτρου α. Δηλαδή ούτε η εύρεση του ακριβή απαιτούμενου αριθμού επαναλήψεων δεν είναι εύκολη διαδικασία. Παρόλα αυτά η σχέση (2.3.1) προτιμάται από την (2.3.3) για μεγάλα δίκτυα. Η κεντρικότητα Katz εκτός από μη κατευθυνόμενα δίκτυα μπορεί να εφαρμοστεί εξίσου καλά και σε κατευθυνόμενα. Μάλιστα αρκετές φορές η χρήση της είναι ιδιαίτερα χρήσιμη. Μια παραλλαγή της κεντρικότητας μπορεί να προκύψει αν θεωρήσουμε ότι ο όρος β στη σχέση (2.3.1) δεν είναι ίδιος για κάθε κόμβο. Δηλαδή x a A x (2.3.4) i ij j j είναι κάποια εγγενής μη δικτυακή συνεισφορά στην κεντρικότητα κάθε κόμβου. Για παράδειγμα σε κοινωνικά δίκτυα η σημαντικότητα κάθε κόμβου μπορεί να εξαρτάται από μη δικτυακούς παράγοντες, όπως είναι το εισόδημα ή η ηλικία και αν έχουμε πληροφορίες σχετικά με αυτούς τους παράγοντες μπορούμε να τις ενσωματώσουμε στο. 30

32 2.4 Βαθμική Κεντρικότητα Page(Pagerank) Ένα ακόμα μέτρο κεντρικότητας στα δίκτυα είναι η βαθμική κεντρικότητα page (Pagerank). Αρχικά ας δώσουμε έναν ορισμό της σελιδοβαθμικής κεντρικότητας, ο οποίος διαφέρει από τους ορισμούς των μέχρι τώρα αναφερόμενων μέτρων. Για τη μελέτη αυτού του ορισμού, είναι αναγκαία η κατανόηση της έννοιας του μοντέλου του τυχαίου σέρφερ. Το μοντέλο του τυχαίου σέρφερ αναφέρεται σε ένα χρήστη του διαδικτύου, ο οποίος πλοηγείται σε ιστοσελίδες. Σύμφωνα με το μοντέλο, ο χρήστης επιλέγει τυχαία κάθε φορά τη σελίδα που θα συνεχίσει την πλοήγηση του, ακολουθώντας υπερσυνδέσμους από τη σελίδα που βρίσκεται. Επειδή όμως υπάρχουν και σελίδες χωρίς υπερσυνδέσμους (sink pages), σε τέτοιες περιπτώσεις ο χρήστης θα επιλέγει τυχαία μια άλλη ιστοσελίδα. Ας προσαρμόσουμε τα παραπάνω δεδομένα σε ένα δίκτυο. Κάθε ιστοσελίδα θα αποτελεί έναν κόμβο του δικτύου, ενώ οι υπερσύνδεσμοι που οδηγούν από τη μία ιστοσελίδα στην άλλη, θα αποτελούν τις ακμές του δικτύου. O χρήστης επιλέγει κάθε φορά με ίση πιθανότητα ποιον από τους υπερσυνδέσμους (ακμές) θα ακολουθήσει, ενώ όπως είπαμε υπάρχει και η πιθανότητα να επιλέξει τυχαία μια άλλη ιστοσελίδα (κόμβο). Ορίζουμε λοιπόν τις τιμές της βαθμικής κεντρικότητας page σε ένα δίκτυο ως τις στάσιμες πιθανότητες του παρακάτω τυχαίου περιπάτου: Έστω ότι εφαρμόζουμε το μοντέλου του τυχαίου σέρφερ, ξεκινώντας από έναν κόμβο και εκτελώντας τυχαίο περίπατο με πιθανότητα, να συνεχίσουμε τον περίπατο σε έναν γειτονικό κόμβο και πιθανότητα 1, να μεταφερθούμε σε έναν οποιονδήποτε κόμβο του δικτύου. Η βαθμική κεντρικότητα page των κόμβων του δικτύου δίνεται από τις στάσιμες πιθανότητες του συγκεκριμένου τυχαίου περιπάτου. Δηλαδή, η τιμή της βαθμικής κεντρικότητας page κάθε κόμβου του δικτύου αντιστοιχεί στην πιθανότητα, μέσω ενός τυχαίου περιπάτου που ξεκινάει από οποιοδήποτε κόμβο, να σταματήσει ο περίπατος αυτός στο συγκεκριμένο κόμβο. σχέση : Έτσι, η τιμή της βαθμικής κεντρικότητας page κάθε κόμβου δίνεται από τη 31

33 Pr( p ) i Pr( p j ) 1 (2.4.1) L( p ) N p jm ( pi) j (p j ) είναι το σύνολο των κόμβων που συνδέονται με τον p j L( p j ) είναι ο εξωτερικός βαθμός του p j Ν είναι το συνολικό πλήθος των κόμβων του δικτύου. Αποδεικνύεται ότι η σχέση (2.4.1) είναι λύση στάσιμης κατάστασης δυναμικής διαδικασίας. Η σχέση (2.4.1), μπορεί να μετατραπεί σε μορφή πινάκων ως εξής: 1 1 p Dout p 1 (2.4.2) N out D : Ο διαγώνιος πίνακας με στοιχεία D ( i, i) max( k,1) out 1: Το διάνυσμα στήλη (1,1,1,...1) out i Θεωρούμε τώρα, ότι το άθροισμα των βαθμικών κεντρικοτήτων page όλων τον κόμβων του δικτύου ισούται με τη μονάδα. Έχουμε λοιπόν, 1 Jp, όπου J είναι ο πίνακας που έχει όλα τα στοιχεία του μονάδες. Από τη σχέση (2.4.2), έχουμε: 32

34 1 1 p Dout p Jp N 1 1 ( Dout J) p Tp (2.4.3) N T : O πίνακας μετάβασης του τυχαίου σέρφερ Με αυτόν τον τρόπο, βλέπουμε ότι ουσιαστικά οι τιμές της βαθμικής κεντρικότητας page αποτελούν το ιδιοδιάνυσμα του πίνακα μετάβασης του τυχαίου σέρφερ, που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή ίση με τη μονάδα. Υπάρχει επομένως, φανερά, κάποια συσχέτιση μεταξύ βαθμικής κεντρικότητας page και ιδιοδιανυσματικής κεντρικότητας. Ας προσπαθήσουμε τώρα να συνδέσουμε τον ορισμό της βαθμικής κεντρικότητας page με τα προηγούμενα μέτρα κεντρικότητας. Στην κεντρικότητα Katz αν έχουμε έναν κόμβο με υψηλή κεντρικότητα, ο οποίος συνδέεται με άλλους κόμβους, τους προσδίδει επίσης υψηλή κεντρικότητα. Το γεγονός αυτό σε πολλές περιπτώσεις είναι ανεπιθύμητο. Η κεντρικότητα δηλαδή που λαμβάνει ένας κόμβος από τη σύνδεση του με κάποιον άλλο υψηλόβαθμο, πρέπει να μοιράζεται σε όλους τους γειτονικούς κόμβους του υψηλόβαθμου, ώστε να περιορίζεται η αύξηση της κεντρικότητας του αρχικού κόμβου. Ένα απλό παράδειγμα παρατηρούμε σε δίκτυα ιστοσελίδων. Ο κατάλογος ιστοσελίδων Yahoo συνδέεται με εκατομμύρια άλλες σελίδες. Αυτό όμως δεν πρέπει να αυξάνει σε μεγάλο βαθμό την κεντρικότητα της κάθε σελίδας που συνδέεται, διότι στην πραγματικότητα η σύνδεση της σελίδας με τη Yahoo δεν πρέπει να αυξάνει τη σημαντικότητά της, καθώς αποτελεί ένα ελάσσονος σημασίας γεγονός. Ένας απλός τρόπος αντιμετώπισης του παραπάνω προβλήματος είναι να διαιρέσουμε την κεντρικότητα κάθε κόμβου που συμβάλλει στη διαμόρφωση των κεντρικοτήτων των άλλων κόμβων, με τον εξωτερικό βαθμό του. Έτσι έχουμε x x (2.4.4) j i Aij out j k j 33