ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #4: Ασαφής Λογική Συνεπαγωγές. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #4: Ασαφής Λογική Συνεπαγωγές Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Γλωσσικές μεταβλητές - Γλωσσικοί διαμορφωτές Ασαφείς προτάσεις Συνάρτηση συμμετοχής Δομή ασαφούς κανόνα Ο ασαφής κανόνας ως ασαφής σχέση Βασικά στοιχεία κλασικής λογικής Η μετάβαση από την κλασική στη ασαφή λογική Μέθοδοι υπολογισμού της συνάρτησης συμμετοχής του κανόνα 4

5 Περιεχόμενα ενότητας (1) Γλωσσικές μεταβλητές Γλωσσικοί διαμορφωτές Ασαφείς προτάσεις Συνάρτηση συμμετοχής Δομή ασαφούς κανόνα Ο ασαφής κανόνας ως ασαφής σχέση Βασικά στοιχεία κλασικής λογικής 5

6 Περιεχόμενα ενότητας (2) Η μετάβαση από την κλασική στη ασαφή λογική Μέθοδοι υπολογισμού της συνάρτησης συμμετοχής του κανόνα Ασκήσεις 6

7 Γλωσσικές μεταβλητές

8 Γλωσσικές μεταβλητές (1) Μια σημαντική έννοια στην ασαφή λογική είναι η έννοια της γλωσσικής μεταβλητής (linguistic variable). Στην καθημερινή μας ζωή χρησιμοποιούμε λέξεις για να περιγράψουμε μεταβλητές. Για παράδειγμα όταν λέμε «σήμερα η θερμοκρασία είναι χαμηλή», εμείς χρησιμοποιούμε τη λέξη «χαμηλή» για να χαρακτηρίσουμε τη μεταβλητή «θερμοκρασία». Δηλαδή η γλωσσική μεταβλητή «θερμοκρασία» παίρνει τη γλωσσική τιμή «χαμηλή». Για να διατυπώσουμε με μαθηματικούς όρους τις λέξεις που περιγράφουν μια γλωσσική μεταβλητή χρησιμοποιούμε ασαφή σύνολα. 8

9 Γλωσσικές μεταβλητές (2) Ορισμός γλωσσικής μεταβλητής. Εάν οι τιμές μιας μεταβλητής δεν είναι αριθμοί αλλά λέξεις ή φράσεις από μια φυσική ή τεχνητή γλώσσα τότε αυτή η μεταβλητή χαρακτηρίζεται ως γλωσσική μεταβλητή. 9

10 Γλωσσικές μεταβλητές (3) Παράδειγμα. Οι άνθρωποι που διαβιούν ή εργάζονται σε ένα χώρο χαρακτηρίζουν τις περιβαλλοντικές συνθήκες που επικρατούν με τον όρο της θερμικής άνεσης. Η μεταβλητή αυτή εκφράζεται από έναν δείκτη που ονομάζεται PMV (Predicted Mean Vote) και παίρνει τιμές στο διάστημα [- 3,+3]. Η κλίμακα αυτή χαρακτηρίζεται από επτά ασαφή σύνολα όπως φαίνονται στο σχήμα. Εάν θεωρήσουμε τη θερμική άνεση ως γλωσσική μεταβλητή τότε τα επτά ασαφή σύνολα είναι οι τιμές της γλωσσικής μεταβλητής. 10

11 Γλωσσικές μεταβλητές (4) 11

12 Γλωσσικές μεταβλητές (5) Μαθηματικός ορισμός της γλωσσικής μεταβλητής. Μια γλωσσική μεταβλητή χαρακτηρίζεται από μια πεντάδα L=(u, T(u), U, G, M) όπου U είναι το όνομα της γλωσσικής μεταβλητής (π.χ. u είναι η θερμική άνεση) T(u) είναι το σύνολο των γλωσσικών τιμών της u (π.χ. T(θερμικής άνεσης)={κρύο, δροσερό, ελαφρώς δροσερό, φυσιολογικό, ελαφρώς θερμό, θερμό, ζεστό}) U είναι το υπερσύνολο αναφοράς στο οποίο παίρνει σαφείς τιμές η γλωσσική μεταβλητή (π.χ. PMV=[-3, +3]) 12

13 Γλωσσικές μεταβλητές (6) G είναι ένας συντακτικός κανόνας που παράγει τα ονόματα των γλωσσικών τιμών M είναι ένας σημασιολογικός κανόνας ο οποίος καθορίζει για κάθε γλωσσική τιμή του T ένα ασαφές σύνολο, δηλαδή μια συνάρτηση συμμετοχής. 13

14 Γλωσσικοί Διαμορφωτές 14

15 Γλωσσικοί Διαμορφωτές (1) Στην καθημερινή μας ζωή χρησιμοποιούμε περισσότερες από μια λέξεις για να περιγράψουμε μια γλωσσική μεταβλητή. Για παράδειγμα, εμείς βλέπουμε ότι η θερμική άνεση χαρακτηρίζεται με τις γλωσσικές τιμές «ελαφρώς δροσερό», «ελαφρώς θερμό». Δηλαδή χρησιμοποιούμε επίθετα ή επιρρήματα για να τροποποιήσουμε το νοηματικό περιεχόμενο μιας λέξης. Εάν θεωρήσουμε ότι η λέξη δροσερό είναι ένα ασαφές σύνολο τότε το πολύ δροσερό, το περισσότερο ή λιγότερο δροσερό το όχι-τόσο δροσερό είναι παραδείγματα διαμορφωτών που εφαρμόζονται στο ασαφές σύνολο δροσερό. 15

16 Γλωσσικοί Διαμορφωτές (2) Οι διαμορφωτές ουσιαστικά είναι τελεστές οι οποίοι επιδρούν πάνω στη συνάρτηση συμμετοχής ενός ασαφούς συνόλου και την τροποποιούν. Έστω ένα ασαφές σύνολο Α στο U, οι σημαντικότεροί γλωσσικοί διαμορφωτές του ασαφούς συνόλου Α και η επίδραση τους στη συνάρτηση συμμετοχής παρουσιάζονται στον πίνακα που ακολουθεί. 16

17 Γλωσσικοί Διαμορφωτές (3) 17

18 Γλωσσικοί Διαμορφωτές (4) Ο διαμορφωτής πολύ δημιουργεί μια συνάρτηση συμμετοχής που βρίσκεται εσωτερικά της αρχικής συνάρτησης συμμετοχής με το ίδιο σύνολο στήριξης και τις ίδιες τιμές συμμετοχής εκεί όπου η αρχική είχε ένα ή μηδέν. Ο διαμορφωτής σχεδόν δημιουργεί μια συνάρτηση συμμετοχής που βρίσκεται εξωτερικά της αρχικής συνάρτησης συμμετοχής με το ίδιο σύνολο στήριξης και τις ίδιες τιμές συμμετοχής εκεί όπου η αρχική είχε ένα ή μηδέν. Οι διαμορφωτές συν και μείον δίνουν ηπιότερους βαθμούς συμμετοχής σε σχέση με τους διαμορφωτές συγκεντρωτής και διαστολέας αντίστοιχα. 18

19 Γλωσσικοί Διαμορφωτές (5) Οι εκθέτες που χρησιμοποιούνται στις συναρτήσεις συμμετοχής των διαμορφωτών είναι αυθαίρετοι και μπορούν να αλλάξουν ανάλογα με την ερμηνεία των διαμορφωτών. Σε κάποιες εφαρμογές χρειάζεται να αλλαχθεί η ασάφεια ενός συνόλου Α τροποποιώντας την αντίθεση μεταξύ του υψηλού και του χαμηλού βαθμού συμμετοχής. Ο εντατικοποιητής αντίθεσης αυξάνει τις τιμές της συνάρτησης συμμετοχής που είναι μεγαλύτερες από 0.5 και μειώνει αυτές που είναι μικρότερες από 0.5. Ουσιαστικά μειώνει την ασάφεια του συνόλου Α. Ο διαμορφωτής INT μπορεί να εφαρμοστεί αρκετές φορές σε ένα ασαφές σύνολο Α (π.χ. INT(INT(A)). 19

20 Ασκήσεις

21 Ασκήσεις (1) 1. Να δοθούν τρία παραδείγματα γλωσσικών μεταβλητών. 2. Να βρεθεί ένας τελεστής contrast diminisher (DIM) ο οποίος να αυξάνει την ασάφεια ενός ασαφούς συνόλου με αντίστροφο τρόπο από ότι ο τελεστής INT (εντατικοποιητής αντίθεσης.) Δηλαδή, για οποιοδήποτε ασαφές σύνολο Α με συνάρτηση συμμετοχής μ Α (x) ο DIM να ικανοποιεί την ιδιότητα DIM(ΙΝΤ(μ Α (x))) = μ Α (x) 21

22 Ασκήσεις (2) Υπολογισμός της συνάρτησης συμμετοχής απλών και σύνθετων όρων γλωσσικών μεταβλητών Έστω U={1, 2, 3, 4, 5} και το ασαφές σύνολο μικρό το οποίο ορίζεται ως μικρό={1/1+0.9/2+0.6/3 +0.4/4 +0.2/5} πολύ μικρό={1/1+0.81/2+0.36/ / /5} όχι πολύ μικρό={0/1+0.19/2+0.64/ / /5} πολύ πολύ μικρό={1/ / / / /5} 22

23 Ασκήσεις (3) σχεδόν μικρό={1/ / / / /5} συν μικρό={1/ / / / /5} μείον μικρό={1/ / / / /5} όχι μικρό={0/1+0.1/2+0.4/3 +0.6/4 +0.8/5} INT μικρό={1/1+0.98/2+0.68/ / /5} 23

24 Ασκήσεις (4) Έστω U={1, 2, 3, 4, 5} και τα ασαφή σύνολα μικρό και μεγάλο τα οποία ορίζονται ως: μικρό={1/1+0.9/2+0.6/3 +0.4/4 +0.2/5} μεγάλο={0.2/1+0.4/2+0.6/3 +0.9/4 +1/5} 1. Να υπολογιστεί ο σύνθετος όρος x = όχι πολύ μικρό και όχι πολύ πολύ μεγάλο. x= {0/1+0.19/2+0.64/3+0.84/4+0.96/5} {1/1+0.97/2+0.81/3+0.35/4+0/5} ή x={0.19/2+0.64/3+0.35/4} 24

25 Ασκήσεις (5) Έστω τα ασαφή σύνολα Ζεστό και Κρύο τα οποία ορίζονται ως εξής: Ζεστό={0/-3+0/-2+0/-1+0/0+0.2/1+0.8/2+1/3} Κρύο={1/-3+0.8/-2+0.2/-1+0/0+0/1+0/2+0/3} 2. Να υπολογιστεί η συνάρτηση συμμετοχής της έκφρασης x=όχι πολύ κρύο και όχι πολύ ζέστη. x={0.36/ /-1+1.0/1+0.96/2+0.36/3} 25

26 Ασκήσεις (6) 3. Για να περιγράψουμε τις λέξεις "αρκετά" και "υπερβολικά" χρησιμοποιούμε τους διαμορφωτές AP και ΥΠ, οι οποίοι τροποποιούν τη συνάρτηση συμμετοχής ενός ασαφούς συνόλου Α ως εξής: μμ ΑΑPPPP xx = [μμ ΑΑ xx ] 1.5 και μμ ΥΥΥΥΥΥ xx = [μμ ΑΑ xx ] 4. Θεωρούμε τις γλωσσικές τιμές νέος κα μεγάλος που ορίζονται αντίστοιχα από κωδωνοειδείς συναρτήσεις συμμετοχής μμ ννεεοοοο = μμ bbbbbbbb xx; 20,2,0 = 1 1+( xx 20 μμ μμμμμμααλλλλλλ = μμ bbbbbbbb xx; 30, 3, 80 = )4 και 1 1+( xx )6 26

27 Ασκήσεις (7) Χρησιμοποιώντας τους διαμορφωτές ΑΡ και ΥΠ και κλασσικούς ασαφείς τελεστές να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις συμμετοχής που αντιστοιχούν στις γλωσσικές τιμές: a) x= νέος ή όχι αρκετά μεγάλος b) x = νέος και όχι υπερβολικά νέος c) max { d) min{ 1 1+ xx xx 20 4, 1 ( 4, 1 ( 1 1+ xx xx ) 1.5, 6) 4 } 27

28 Ασκήσεις (8) 4. Ας θεωρήσουμε την ασαφή πρόταση ΑΠ1= Εάν x 1 είναι αργό και το x 2 είναι μικρό Τότε το y είναι μεγάλο και τα ασαφή σύνολα να ορίζονται ως: μμ ααααααα xx 1 10 xxx 10 = 55 xx 1 20 εεεεεε 0 < xx εεεεεε xx 2 > 10 1 εεεεεε xx 1 35 εεεεεε 35 < xx 1 < 55 0 εεεεεε xx 1 > 55, μμ μμμμμμμμό xx 2 = Να βρεθεί η συνάρτηση συμμετοχής της ασαφούς πρότασης αντικαθιστώντας τον τελεστή "και" με το product min 28

29 Ασαφείς Κανόνες της μορφής Εάν Τότε

30 Ασαφείς Κανόνες της μορφής Εάν Τότε (1/3) Ένας ασαφής κανόνας της μορφής Εάν - Τότε καταγράφεται στην βιβλιογραφία με την εξής ορολογία: Fuzzy if-then rule Fuzzy implication Fuzzy conditional statement Ο τύπος του κανόνα είναι: ΕΑΝ Ασαφής_Πρόταση_1 ΤΟΤΕ Ασαφής_Πρόταση_2 Ο ασαφής κανόνας περιλαμβάνει απλές ή σύνθετες ασαφείς προτάσεις. Οι σύνθετες προτάσεις είναι μια συνένωση απλών προτάσεων με τα συνδετικά "και" (ασαφής τομή), "ή" (ασαφής ένωση) και "όχι" (ασαφές συμπλήρωμα). 30

31 Ασαφείς Κανόνες της μορφής Εάν Τότε (2/3) Η μορφή του κανόνα με απλές ασαφείς προτάσεις είναι: ΕΕάν x είναι Α AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA oooo PPPPPPPPPPPPPP (ΑΑίττττττ ) ΑΑΑΑΑΑΑΑ ήςς ΠΠΠΠόττττττττ Τότε y είναι Β CCCCCCCCCCCCCCCCCCCC oooo CCCCCCCCCCCCCCCCCCCC (ΕΕΕΕΕΕΕΕ όλλλλλλλλλλ ) ΑΑΑΑΑΑΑΑ ήςς ΠΠΠΠόττττττττ Ο ασαφής κανόνας περιλαμβάνει δυο απλές ασαφείς προτάσεις μια σε κάθε μέρος του κανόνα. Σε κάθε ασαφή πρόταση περιέχονται οι γλωσσικές μεταβλητές x και y και οι γλωσσικές τιμές Α και Β. Τα Α και Β είναι ασαφή σύνολα που ορίζονται στο πεδίο τιμών των γλωσσικών μεταβλητών. 31

32 Ασαφείς Κανόνες της μορφής Εάν Τότε (3/3) Η μορφή του κανόνα με σύνθετες ασαφείς προτάσεις είναι: ΕΕάν x είναι πολύ Α και yy εείνννννν όχχχχ ΒΒ AAAAAAAAAAAAAAAAAAAA oooo PPPPPPPPPPPPPP (ΑΑίττττττ ) ΑΑΑΑΑΑΑΑ ήςς ΠΠΠΠόττττττττ Τότε zz είναι σσσσσσσσόνν CC CCCCCCCCCCCCCCCCCCCC oooo CCCCCCCCCCCCCCCCCCCC (ΕΕΕΕΕΕΕΕ όλλλλλλλλλλ ) ΑΑΑΑΑΑΑΑ ήςς ΠΠΠΠόττττττττ Ο ασαφής κανόνας περιλαμβάνει δυο απλές ασαφείς προτάσεις μια σε κάθε μέρος του κανόνα. Επομένως το ερώτημα που προκύπτει είναι πώς καθορίζονται οι συναρτήσεις συμμετοχής των σύνθετων ή απλών ασαφών προτάσεων που εμπεριέχονται στους κανόνες; 32

33 Σύνθετες ή απλές ασαφείς προτάσεις

34 Σύνθετες ή απλές ασαφείς προτάσεις (1) Σύνθετη ασαφή πρόταση με συνδετικό "και". x είναι Α και y είναι Β στην ασαφή πρόταση οι γλωσσικές μεταβλητές x και y ορίζονται στα υπερσύνολα αναφοράς U και V.Η πρόταση αυτή διερμηνεύεται ως μια ασαφής σχέση AA BB στο U x V με συνάρτηση συμμετοχής: μμ AA BB (xx, yy) = tt nnnnnnnn[μμ ΑΑ (xx), μμ BB (yy)] με οποιοδήποτε τελεστή t-norm. 34

35 Σύνθετες ή απλές ασαφείς προτάσεις (2) Σύνθετη ασαφή πρόταση με συνδετικό "ή". x είναι Α ή y είναι Β Η πρόταση αυτή διερμηνεύεται ως μια ασαφής σχέση ΑΑ ΒΒ στο U x V με συνάρτηση συμμετοχής: μμ AA BB (xx, yy) = tt cccccccccccc[μμ ΑΑ (xx), μμ BB (yy)] conorm. με οποιοδήποτε τελεστή t- 35

36 Παράδειγμα

37 Παράδειγμα (1) Δένεται η ασαφής πρόταση ΑΠ= (το x είναι μικρό και τα y είναι όχι μεγάλο) ή το z είναι πολύ μικρό. Θεωρούμε για τα ασαφή σύνολα μικρό και μεγάλο τις γνωστές συναρτήσεις συμμετοχής από τα προηγούμενα. Απάντηση: μμ ΑΑΑΑ xx = {1/ / / / /5} 37

38 Ερμηνεία των ασαφών κανόνων

39 Ερμηνεία των ασαφών κανόνων (1) Βασικά στοιχεία κλασσικής λογικής. Στην κλασική λογική οι σχέσεις μεταξύ προτάσεων αναπαρίσταται με τον πίνακα αλήθειας. Ο θεμελιώδης πίνακας αλήθειας για τν σύζευξη, τη διάζευξη, τη συνεπαγωγή και την άρνηση (-) παρουσιάζονται στον Πίνακα 1. Στον κλασσικό προτασιακό λογισμό η σχέση "Εαν p Τότε q" γράφεται ως pp qq με τη συνεπαγωγή " " να θεωρείται ένας σύνδεσμος, όπου p και q είναι προτασιακές μεταβλητές των οποίων οι τιμές είναι αληθείς (ΑΑ 1) ή ψευδείς (ψψ 0). 39

40 Ερμηνεία των ασαφών κανόνων (2) Από τον Πίνακα 1 παρατηρούμε ότι οι εκφράσεις pp qq, pp qq και (pp qq) pp είναι ισοδύναμες, δηλαδή ταυτολογίες (λογικές συνεπαγωγές). pp qq pp qq (pp qq) pp (να αποδειχθεί με τις βασικές ταυτότητες των συνόλων) δηλαδή η συνεπαγωγή pp qq είναι ισοδύναμη με: (όχι p)ή q και με: ((p και q) ή (όχι p). 40

41 Ερμηνεία των ασαφών κανόνων (3) Ένα η υπόθεση και το συμπέρασμα είναι αληθή τότε και η συνεπαγωγή είναι αληθής κατά την κοινή εμπειρία. Εάν η υπόθεση είναι αληθής και συμπέρασμα ψευδές τότε η συνεπαγωγή είναι ψευδής. 41

42 Παραδείγματα

43 Παραδείγματα (1) Παράδειγμα: Εάν το φεγγάρι είναι δορυφόρος της Γής Τότε το φεγγάρι έχει νερό. Εάν η υπόθεση είναι ψευδής τότε το λογικό είναι να καταλήξουμε και σε συμπέρασμα ψευδές οπότε η συνεπαγωγή είναι αληθινή. Όμως εάν η υπόθεση είναι ψευδής μπορεί να προκύψει κάτι αληθινό οπότε η συνεπαγωγή είναι αληθής. 43

44 Παραδείγματα (2) Παράδειγμα: Εάν αυτό είναι το έτος 2100 τότε όλοι θα έχουν ένα ρομπότ για το νοικοκυριό. Επειδή δεν είναι ακόμα το έτος 2100 δεν μπορούμε να διαπιστώσουμε την αλήθεια του συμπεράσματος επομένως δε μπορούμε να το χαρακτηρίσουμε ψευδές και το θεωρούμε προσωρινά αληθινό. Ένα άλλο παράδειγμα: Εάν 1=2 είναι ψευδές, αλλά προσθέτοντας το 2=1 σε αυτήν την ψευδή πρόταση, συμπεραίνουμε κάτι αληθινό 3=3. 44

45 Από τη κλασσική στην ασαφή λογική Εάν στην έκφραση pp qq αντικαταστήσουμε τις προτάσεις p και q με τις ασαφείς προτάσεις Ασαφής_Πρόταση_1 (Α) και Ασαφής_Πρόταση_2 (Β) τότε έχουμε την ασαφή συνεπαγωγή Εάν Α Τότε ΒΒ ΑΑ ΒΒ, η οποία έχει συνάρτηση συμμετοχής μμ ΑΑ ΒΒ xx, yy [0,1] Χρησιμοποιώντας τις εκφράσεις ΑΑ ΒΒ και (ΑΑ ΒΒ) ΑΑ προκύπτουν οι παρακάτω μέθοδοι υπολογισμού της συνάρτησης συμμετοχής του ασαφούς κανόνα. Η συνάρτηση συμμετοχής του κανόνα είναι ένας ασαφής πίνακας. 45

46 Ασαφείς Συνεπαγωγές

47 Ασαφείς Συνεπαγωγές (1) Dienes-Rescher Συνεπαγωγή: Εάν στην σχέση ΑΑ ΒΒ αντικάταστήσουμε τους τελεστές της άρνησης και της σύζευξης με το ασαφές συμπλήρωμα και την ασαφή ένωση αντιστοίχως τότε δημιουργούμε την DR συνεπαγωγή με συνάρτηση συμμετοχής μμ DDDD(AA BB) (xx, yy) = max [1 μμ ΑΑ (xx), μμ BB (yy)] Lukasiewicz Συνεπαγωγή: Εάν στην σχέση ΑΑ ΒΒ αντικάταστήσουμε τους τελεστές της άρνησης και της σύζευξης με το ασαφές συμπλήρωμα και την ένωση με το φραγμένο άθροισμα αντιστοίχως τότε δημιουργούμε την L συνεπαγωγή με συνάρτηση συμμετοχής μμ LL(AA BB) (xx, yy) = min [1, 1 μμ ΑΑ (xx) + μμ BB (yy)] 47

48 Ασαφείς Συνεπαγωγές (2) Zadeh Συνεπαγωγή: Εάν στη σχέση (ΑΑ ΒΒ) ΑΑ αντικαταστήσουμε τους τελεστές της άρνησης της σύζευξης και της διάζευξης με το ασαφές συμπλήρωμα, την ασαφή ένωση και την ασαφή τομή αντιστοίχως τότε δημιουργούμε την Z συνεπαγωγή με συνάρτηση συμμετοχής μμ ΖΖ(AA BB) (xx, yy) = maaaa [min μμ ΑΑ (xx), μμ BB (yy), 1 μμ ΑΑ (xx)] Gödel Συνεπαγωγή: Η Gödel συνεπαγωγή είναι μια πολύ γνωστή συνεπαγωγή στην κλασική λογική. Η συνάρτηση συμμετοχής είναι: μμ GG(AA BB) (xx, yy) = 1 εεάνν μμ ΑΑ(xx) μμ BB (yy) μμ BB (yy) ααααααααώςς 48

49 Καθολικές συνεπαγωγές

50 Καθολικές συνεπαγωγές (1) Όταν Α και Β είναι σαφείς προτάσεις η συνεπαγωγή ΑΑ ΒΒ καλύπτει όλες τις δυνατές περιπτώσεις (Πίνακας 1) επομένως αυτή η κλασσική συνεπαγωγή είναι καθολική (global). Οι τέσσερις συνεπαγωγές που αναφέρθηκαν είναι καθολικές συνεπαγωγές. Όταν Α και Β είναι ασαφείς προτάσεις η συνεπαγωγή ΑΑ ΒΒ είναι τοπική (local) συνεπαγωγή αφού αυτή έχει μεγάλη αληθινή τιμή μόνον όταν και οι δύο προτάσεις έχουν μεγάλη αληθινή τιμή. Για παράδειγμα ο κανόνας «εάν το ρεύμα είναι μεγάλο τότε η τάση στην ωμική αντίσταση είναι μεγάλη» δεν μας λέει τίποτα για άλλες περιπτώσεις όπως «το ρεύμα είναι μικρό» κ.α. 50

51 Καθολικές συνεπαγωγές (2) Επομένως ο ασαφής κανόνας Εάν Α Τότε Β διερμηνεύεται ως Εάν Α Τότε Β αλλιώς τίποτα Όπου «τίποτα» σημαίνει ότι ο κανόνας δεν υπάρχει. 51

52 Τοπικές συνεπαγωγές

53 Τοπικές συνεπαγωγές (1) Αυτό στη λογική σημαίνει ότι η συνεπαγωγή ΑΑ ΒΒ θα γίνει ΑΑ ΒΒ = ΑΑ ΒΒ Αντικαθιστώντας τον τελεστή της διάζευξης με τον τελεστή min ή το αλγεβρικό γινόμενο δημιουργούνται οι συνεπαγωγές του Mamdani 1. Mamdani-Min Συνεπαγωγή. Συνάρτηση συμμετοχής μμ MMMM ΑΑ ΒΒ xx, yy = min [μμ ΑΑ xx μμ BB yy ] 2. Mamdani-Product (Larsen) Συνεπαγωγή. Συνάρτηση συμμετοχής μμ MMMM ΑΑ ΒΒ xx, yy = [μμ ΑΑ xx μμ BB yy ] 53

54 Τοπικές συνεπαγωγές (2) Οι συνεπαγωγές Mamdani-Min και Mamdani-Product είναι τοπικές συνεπαγωγές και ευρέως χρησιμοποιούμενες σε ασαφή συστήματα και στον ασαφή έλεγχο. 54

55 Παράδειγμα

56 Παράδειγμα (1) Παράδειγμα: Έστω U={1,2,3,4} και V={1,2,3}. Υποθέτουμε ότι το xx UU είναι αντιστρόφως ανάλογο του yy VV.Η γνώση αυτή διατυπώνεται με τον κανόνα: Εάν το x είναι μεγάλο Τότε το y είναι μικρό Όπου μεγάλο={0/1+0.1/2+0.5/3+1/4} και μικρό ={1/1+0.5/2+0.1/3} 1. μμ DDDD ={1/(1,1)+1/(1,2)+1/(1,3)+1/(2,1)+0.9/(2,2)+0.9/(2,3)+1/( 3,1)+0.5/(3,2)+ 0.5/(3,3)+1/(4,1)+0.5/(4,2)+0,1/(4,3)} 2. μμ LL ={1/(1,1)+1/(1,2)+1/(1,3)+1/(2,1)+1/(2,2)+1/(2,3)+1/(3,1) +1/(3,2)+ 0.6/(3,3)+1/(4,1)+0.5/(4,2)+0,1/(4,3)} 56

57 Παράδειγμα (2) 3. μμ ZZ ={1/(1,1)+1/(1,2)+1/(1,3)+0.9/(2,1)+0.9/(2,2)+0.9/(2,3)+0. 5/(3,1)+0.5/(3,2)+ 0.5/(3,3)+1/(4,1)+0.5/(4,2)+0,1/(4,3)} 4. μμ GG ={1/(1,1)+1/(1,2)+1/(1,3)+1/(2,1)+1/(2,2)+1/(2,3)+1/(3,1)+ 1/(3,2)+ 0.1/(3,3)+1/(4,1)+0.5/(4,2)+0,1/(4,3)} 5. μμ MMMM ={0/(1,1)+0/(1,2)+0/(1,3)+0.1/(2,1)+0.1/(2,2)+0.1/(2,3)+ 0.5/(3,1)+0.5/(3,2)+ 0.1/(3,3)+1/(4,1)+0.5/(4,2)+0,1/(4,3)} 6. μμ MMMM =0/(1,1)+0/(1,2)+0/(1,3)+0.1/(2,1)+0.05/(2,2)+0.01/(2,3) +0.5/(3,1)+0.25/(3,2)+ 0.05/(3,3)+1/(4,1)+0.5/(4,2)+0,1/(4,3)} 57

58 Παράδειγμα (3) Όπως παρατηρούμε στις 4 πρώτες συνεπαγωγές οι οποίες είναι καθολικές δεν καλύπτουν τον κανόνα αφού οι συνεπαγωγές αυτές δίνουν κανονικές τιμές συμμετοχής στα ζευγάρια (1,1), (1,2), (1,3) ενώ μμ μμμμμμααλλλλ (1)=0. Το αντίθετο συμβαίνει στις συνεπαγωγές του Mamdani (5 και 6) οι οποίες δίνουν μηδενικό βαθμό συμμετοχής στα ζευγάρια (1,1), (1,2), (1,3) και αυτό οφείλεται στο ότι οι συνεπαγωγές αυτές είναι τοπικές. 58

59 Ασκήσεις

60 Ασκήσεις (1) 1. Ο ασαφής κανόνας ΑΑ ΒΒ, που ουσιαστικά είναι μια ασαφής σχέση, διερμηνεύεται ως «το Α συνεπάγεται το Β» το οποίο είναι ισοδύναμο με τους τύπους ΑΑ ΒΒ (ΑΑ ΒΒ) ΑΑ. Οι ασαφείς προτάσεις Α και Β ορίζονται στα υπερσύνολα αναφοράς U και V αντίστοιχα. Να γίνει ένα γράφημα του ασαφή κανόνα. 2. Θεωρούμε τον ασαφή κανόνα «Εάν x 1 είναι αργό και το x 2 είναι μικρό Τότε το y είναι μεγάλο» και τα ασαφή σύνολα να ορίζονται ως: 60

61 Ασκήσεις (2) 1 εεάνν xx xx μμ αααααα ό (xx 1 ) = 1 εεάνν 35 < xx εεάνν xx 1 > xx 2 μμ μμμμμμμμ ό (xx 2 ) εεάνν 0 < xx = εεάνν xx 2 > 10 1 εεάνν yy > 2 55 xx μμ μμμμμμ άλλλλ (yy) = 1 εεάνν 1 < yy εεάνν yy 1 61

62 Ασκήσεις (3) a) Να χρησιμοποιηθεί ο τελεστήςmin για την ασαφή πρόταση την υπόθεση του κανόνα και να υπολογιστεί η συνάρτηση συμμετοχής της συνεπαγωγής με τη μέθοδο DR b) Να υπολογισθεί ο βαθμός συμμετοχής που προκύπτει άμεσα από την εφαρμογή της μεθόδου DR των παρακάτω περιπτώσεων 1. x 1 =20, x 2 =5, y= x 1 =40, x 2 =2, y= x 1 =0, x 2 =150, y=3 62

63 Ασκήσεις (4) c) Να επαναληφθεί το ερώτημα β με την μέθοδο MP και MM d) Να χρησιμοποιηθούν όλες οι μέθοδοι μετατροπής των ασαφών κανόνων σε ασαφείς σχέσεις για τον παραπάνω κανόνα. Να χρησιμοποιηθεί ο τελεστής product για την ασαφή πρόταση στην υπόθεση του κανόνα. 63

64 Τέλος Ενότητας