Αποτελεσµατική διαχείριση ουρών αναµονής στον τραπεζικό τοµέα- Μελέτη περίπτωσης DoNotWait.gr

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗ» ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Αποτελεσµατική διαχείριση ουρών αναµονής στον τραπεζικό τοµέα- Μελέτη περίπτωσης DoNotWait.gr Διπλωµατική Εργασία της Αγγελικής Μήτσου ΑΕΜ: 500 Εξεταστική Επιτροπή Επιβλέπων: Συµεωνίδης Παναγιώτης Μέλη: Μπουτσούκη Χριστίνα Τσαδήρας Αθανάσιος ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΡΤΙΟΣ 206 -i-

2

3 Πρόλογος Στην παρούσα διπλωµατική αρχικά γίνεται µια παρουσίαση των βασικών αρχών της θεωρίας ουρών αναµονής και της σχέσης της µε την ικανοποίηση των πελατών, δίνοντας έµφαση στον τραπεζικό τοµέα. Εν συνεχεία, µελετάται η περίπτωση της εφαρµογής DoNotWait.gr, που στόχο έχει τη βελτίωση του χρόνου αναµονής των πελατών µέσα στα καταστήµατα τραπεζών. Στη συνέχεια, πραγµατοποιείται µελέτη χρηστών µε τη βοήθεια πρωτογενούς έρευνας και στατιστικής ανάλυσης. Τέλος, γίνεται µια ανασκόπηση των πεπραγµένων και µια αναφορά σε µελλοντικές επεκτάσεις της εφαρµογής. Η εργασία αυτή πραγµατοποιήθηκε στα πλαίσια του Διατµηµατικού Προγράµµατος Μεταπτυχιακών Σπουδών στην Πληροφορική και Διοίκηση, του Αριστοτελείου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης υπό την επίβλεψη του καθηγητή Παναγιώτη Συµεωνίδη, τον οποίο σε αυτό το σηµείο θα ήθελα να ευχαριστήσω για όλη την κατανόηση που έδειξε καθ όλη τη διάρκεια εκπόνησης της διπλωµατικής µου. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κύριο Άνδρα Χρήστο για την πρόσβαση που µου έδωσε στην εφαρµογή DoNotWait.gr. Η ολοκλήρωση της διπλωµατικής εργασίας χρηµατοδοτήθηκε από το Ι.Κ.Υ. στο πλαίσιο του προγράµµατος χορήγησης υποτροφιών για µεταπτυχιακές σπουδές πρώτου κύκλου µάστερ στην Ελλάδα µε ένταξη στην αγορά εργασίας, ακαδ.έτους Θα ήθελα να αφιερώσω τη συγκεκριµένη διπλωµατική σε όσους δεν χάνουν την ευγένεια και το χαµόγελό τους. Αγγελική Μήτσου Μάρτιος 206 -i-

4

5 Περιεχόµενα ΠΡΟΛΟΓΟΣ... I ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... III ΕΙΣΑΓΩΓΗ.... ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟΝ ΤΡΑΠΕΖΙΚΟ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΚΕΝΟ.2 ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕΛΕΤΕΣ ΣΚΟΠΟΣ ΔΟΜΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΛΗΨΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΟΝΤΕΛΑ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ Πηγή πελατών Διαδικασία αφίξεων Ουρά αναµονής Πειθαρχία ουράς Διαδικασία εξυπηρέτησης Έξοδος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Εκθετική οικογένεια κατανοµών ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΜΟΝΤΕΛΩΝ Μοντέλο Μ / Μ / Μοντέλο Μ / Μ / s ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΥΡΩΝ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΣΤΟΝ ΤΡΑΠΕΖΙΚΟ ΤΟΜΕΑ Παράδειγµα Ανάλυσης Δεδοµένων και Αποτελέσµατα iii-

6 3 ΟΥΡΕΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ ΣΤΟΝ ΤΡΑΠΕΖΙΚΟ ΤΟΜΕΑ ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ Έννοια και κατηγορίες της υπηρεσίας Έννοια της ποιότητας Σηµασία της ποιότητας στις υπηρεσίες Μέτρηση της ποιότητας στις υπηρεσίες ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ ΣΤΙΣ ΤΡΑΠΕΖΕΣ Απόδοση των εργαζοµένων Άλλοι παράγοντες ικανοποίησης της εξυπηρέτησης Μέτρηση ικανοποίησης πελατών από την εξυπηρέτηση ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ DONOTWAIT.GR ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΤΙΚΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΕΧΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΦΕΛΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΥΠΆΡΧΟΥΣΑ ΚΑΤΆΣΤΑΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΉΣ ΒΙΩΣΙΜΟΤΗΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΜΕΛΕΤΗ ΧΡΗΣΤΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟ Μέτρηση αξιοπιστίας και εγκυρότητας ερωτηµατολογίου ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΕΙΓΜΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗ ΕΡΕΥΝΑΣ Πιλοτική φάση έρευνας Η διαδικασία της έρευνας ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Περιγραφική Στατιστική Ανάλυση Συγκριτική Στατιστική Ανάλυση ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΕΠΙΛΟΓΟΣ iv-

7 6. ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΕΣ ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ-ΠΡΟΣΘΗΚΕΣ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 0 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ v-

8 Περιεχόµενα Εικόνων Εικόνα. Αναπαράσταση ενός απλού συστήµατος εξυπηρέτησης... 0 Εικόνα 2. Αναπαράσταση συστήµατος µε µία ουρά αναµονής µε µία φάση εξυπηρέτησης και µία θέση εξυπηρέτησης... 3 Εικόνα 3. Αναπαράσταση συστήµατος µε µία ουρά αναµονής, µία φάση εξυπηρέτησης µε πολλαπλές θέσεις εξυπηρέτησης... 3 Εικόνα 4. Αναπαράσταση συστήµατος µε µία ουρά αναµονής, δύο φάσεις εξυπηρέτησης µε µία θέση εξυπηρέτησης... 4 Εικόνα 5. Αναπαράσταση συστήµατος µε µία ουρά αναµονής, δύο φάσεις εξυπηρέτησης, πολλαπλές θέσεις εξυπηρέτησης... 5 Εικόνα 6. Γράφηµα εκθετικής κατανοµής... 8 Εικόνα 7. Αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της εκθετικής κατανοµής... 9 Εικόνα 8. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Γάµµα κατανοµής Εικόνα 9. Αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της Γάµµα κατανοµής... 2 Εικόνα 0. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Βήτα κατανοµής Εικόνα. Αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της Βήτα κατανοµής Εικόνα 2. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Weibull κατανοµής Εικόνα 3. Αθροιστική συνάρτηση της κατανοµής Weibull Εικόνα 4. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Gaussian κατανοµής Εικόνα 5. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της αντίστροφης Gaussian κατανοµής Εικόνα 6. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Bernoulli Εικόνα 7. Αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της Bernoulli... 3 Εικόνα 8. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Reyleigh κατανοµής... 3 Εικόνα 9. Αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της Reyleigh κατανοµής Εικόνα 20. Σύστηµα ουράς Μ / Μ / Εικόνα 2. Σύστηµα ουράς Μ / Μ / s Εικόνα 22. Βασικά στάδια µεθοδολογίας MUSA Εικόνα 23. Γράφηµα Απόδοσης / Σηµαντικότητας Πηγή: Mihelis et al., vi-

9 Εικόνα 24. Δηµιουργία λογαριασµού πελάτη Εικόνα 25. Εντοπισµός θέσης χρήστη µέσω GPS... 6 Εικόνα 26. Εµφάνιση καταστηµάτων για εξυπηρέτηση στο χάρτη... 6 Εικόνα 27. Check-in στο κατάστηµα επιλογής Εικόνα 28. Σύστηµα συστάσεων καταστηµάτων κοντά στο χρήστη Εικόνα 29. Όψη διευθυντή για διαχείριση ταµείων Εικόνα 30. Συγκεντρωτικά στοιχεία καταστηµάτων Εικόνα 3. Όψη ταµείων για εξυπηρέτηση πελατών Εικόνα 32. Ραβδόγραµµα Φύλο % Εικόνα 33. Ραβδόγραµµα Ηλικία % Εικόνα 34. Ραβδόγραµµα προτίµησης τρόπου εξυπηρέτησης µέσω εφαρµογής Εικόνα 35. Ραβδόγραµµα Συνολική ικανοποίηση % Εικόνα 36. Ραβδόγραµµα ικανοποίησης µέσω εφαρµογής Εικόνα 37. Ραβδόγραµµα ικανοποίησης από τον κλασικό τρόπο εξυπηρέτησης Εικόνα 38. Ραβδόγραµµα αριθµού ατόµων επιλογής τρόπου εξυπηρέτησης ανάλογα µε την ηλικία Εικόνα 39. Ραβδόγραµµα αριθµού ατόµων ικανοποίησης από την εφαρµογή ανάλογα µε την ηλικία Εικόνα 40. Ραβδόγραµµα αριθµού ατόµων ικανοποίησης µε τον κλασικό τρόπο εξυπηρέτησης vii-

10 Περιεχόµενα Πινάκων Πίνακας. Μοτίβο αφίξεων Πίνακας 2. Συχνότητα χρόνου εξυπηρέτησης Πίνακας 3. Αποτελέσµατα ανάλυσης αξιοπιστίας Cronbach Alpha Πίνακας 4. Πίνακας Συχνοτήτων Φύλο Πίνακας 5. Πίνακας Συχνοτήτων Ηλικία Πίνακας 6. Πίνακας Συχνοτήτων Μορφωτικό Επίπεδο Πίνακας 7. Πίνακας Συχνοτήτων Ετήσιο Εισόδηµα Πίνακας 8. Πίνακας συχνοτήτων πραγµατοποίησης συναλλαγών Πίνακας 9. Πίνακας συχνοτήτων προτίµησης εξυπηρέτησης Πίνακας 0. Πίνακας συχνοτήτων Συνολική ικανοποίηση Πίνακας. Πίνακας συχνοτήτων ικανοποίησης µέσω της εφαρµογής Πίνακας 2. Πίνακας συχνοτήτων ικανοποίησης µε τον κλασικό τρόπο εξυπηρέτησης Πίνακας 3. Μέσος Όρος ικανοποίησης µέσω εφαρµογής και µέσω κλασικού τρόπου εξυπηρέτησης Πίνακας 4. Πίνακας συχνοτήτων επιθυµίας προσθήκης δυνατότητας αξιολόγησης υπαλλήλου Πίνακας 5. Συχνότητα εµφάνισης ερωτήσεις ικανοποίησης πελατών... 8 Πίνακας 6. Συχνότητα εµφάνισης σχετικές µε κριτήρια επιλογής τράπεζας Πίνακας 7. Chi-Square Test Τρόπος εξυπηρέτησςης/ηλικία Πίνακας 8. Crosstabs Ηλικία/Προτίµηση τρόπου εξυπηρέτησης Πίνακας 9. Chi-Square Test Ικανοποίηση από τη χρήση της εφαρµογής/ηλικία Πίνακας 20. Crosstabs Ικανοποίηση από την εφαρµογή/ηλικία Πίνακας 2. Chi-Square Test Ικανοποίηση µε κλασικό τρόπο εξυπηρέτησης/ηλικία Πίνακας 22. Crosstabs Ικανοποίηση από τον κλασικό τρόπο/ηλικία viii-

11 -i-

12

13 Εισαγωγή Οι ουρές αναµονής είναι ένα φαινόµενο µε το οποίο ερχόµαστε σχεδόν όλοι µας καθηµερινά αντιµέτωποι. Αναφέρεται στο φαινόµενο που δηµιουργείται στην περίπτωση που η ζήτηση για εξυπηρέτηση σε µία υπηρεσία είναι µεγαλύτερη από την ικανότητα του συστήµατος να εξυπηρετήσει αυτή τη ζήτηση. Συνεπώς, ο σκοπός του προβλήµατος αυτού είναι να βρεθεί µία ισορροπία µεταξύ της ζήτησης για εξυπηρέτηση και της ικανότητα εξυπηρέτησης, ή αλλιώς σε οικονοµικούς όρους, µεταξύ του κόστους εξυπηρέτησης και του κόστους αναµονής σε µία ουρά. Έτσι, η θεωρία ουρών αναµονής ουσιαστικά παρέχει εκείνα τα µαθηµατικά µοντέλα που από τη µία θα βοηθήσουν να περιγράψουν την κατάσταση σε µία ουρά αναµονής και από την άλλη θα παράσχουν την απαιτούµενη πληροφόρηση σχετικά µε τα χαρακτηριστικά του συστήµατος, ώστε να επιλυθεί το πρόβληµα της ουράς αναµονής που περιγράφηκε παραπάνω.. Προσδιορισµός προβλήµατος στον τραπεζικό τοµέα και επιχειρηµατικό κενό Συγκεκριµένα στον τραπεζικό τοµέα παρόλο που υιοθετήθηκαν εναλλακτικοί τρόποι εξυπηρέτησης internet banking, ένα µεγάλο ποσοστό των πελατών προτιµά την εξυπηρέτησή του µε φυσική παρουσία στα καταστήµατα. Οι ουρές αναµονής που εµφανίζονται αποτρέπουν τους πελάτες να εξυπηρετηθούν καθώς διαθέτουν περιορισµένο χρόνο στη διάθεσή τους και αυτό µεγεθύνει τη δυσαρέσκειά τους. Αυτό οδηγεί σε µειωµένη απόδοση του οργανισµού και µειωµένη κερδοφορία [33]. Από την άλλη πλευρά, επτά στους δέκα Έλληνες χρησιµοποιούν το διαδίκτυο 69.7% και µάλιστα το 60.4% σε καθηµερινή βάση, σύµφωνα µε ην έρευνα Web ID της Focus Βari Οκτώβριος-Δεκέµβριος 204 σε δείγµα ατόµων. Το ποσοστό αυτό είναι ακόµα µεγαλύτερο, συγκεκριµένα το 94.4% στις ηλικίες 8-24 το χρησιµοποιεί καθηµερινά [83]. Επίσης, σηµαντικό στοιχείο αποτελεί και το γεγονός ότι το 56% των χρηστών χρησιµοποιούν smartphone για να συνδεθούν στο διαδίκτυο και αυτό το --

14 ποσοστό φαίνεται να έχει καλές προοπτικές καθώς η διείσδυση των κινητών τηλεφώνων στην καθηµερινότητα τον τελευταίο χρόνο ανήλθε σε 62% [84]. Συνεπώς, υπάρχει αυτό το επιχειρηµατικό κενό στο οποίο θα µπορούσε να αξιοποιηθεί η χρήση του διαδικτύου µε σταθερές και mobile συσκευές για την αποτελεσµατική διαχείριση ουρών αναµονής. Οι πελάτες, δεν θα αναγκάζονται να περιµένουν µέσα στο κατάστηµα µέχρι να εξυπηρετηθούν αλλά θα µπορούν µε τη χρήση του διαδικτύου να κάνουν online check-in στο κατάστηµα που τους ενδιαφέρει και να προσέρχονται σε αυτό όταν πλησιάζει η στιγµή να εξυπηρετηθούν. Αυτό όπως είναι φυσικό δεν αποφέρει οφέλη µόνο για τους πελάτες, αλλά και για τον οργανισµό που το υιοθετεί που στην παρούσα φάση είναι η τράπεζα. Συγκεκριµένα, πέρα από τα πολλαπλά οφέλη που θα παρέχει στον εργασιακό χώρο, όπως πιο ήσυχο περιβάλλον εργασίας, η διοίκηση θα µπορεί να γνωρίζει πόσοι πελάτες εξυπηρετήθηκαν, πόσοι πελάτες έλαβαν νούµερο εξυπηρέτησης και δεν παρέµειναν για εξυπηρέτηση και διάφορους άλλους δείκτες κρίσιµους για τη λήψη αποφάσεων..2 Σχετικές µελέτες Όσον αφορά προηγούµενες µελέτες που έχουν πραγµατοποιηθεί, αφορούν κυρίως την αξιοποίηση της θεωρίας ουρών αναµονής στον τραπεζικό τοµέα µε σκοπό την παρουσίαση ενός αποδοτικότερο µοντέλου από τα ήδη υπάρχοντα τα οποία αναφέρονται στο δεύτερο κεφάλαιο της παρούσας εργασίας [6] [9]. Άλλες µελέτες έχουν επικεντρωθεί στον εντοπισµό των παραγόντων ικανοποίησης των πελατών στον τραπεζικό τοµέα οι οποίοι παρουσιάζονται στο τρίτο κεφάλαιο [3] [33]. Επίσης, η Erste Bank έχει βραβευτεί για παρόµοιο λογισµικό το οποίο διαχειρίζεται τις ουρές αναµονής όπως παρουσιάζεται στον ακόλουθο υπερσύνδεσµο Σκοπός Σκοπός της παρούσας διπλωµατικής είναι η παρουσίαση ενός εναλλακτικού τρόπου διαχείρισης των ουρών αναµονής ο οποίος αξιοποιεί τη χρήση του διαδικτύου και στη συνέχεια γίνεται η σύγκρισή του µε τον παραδοσιακό τρόπο αναµονής στον τραπεζικό τοµέα. Η σύγκριση αυτή πραγµατοποιείται µε τη χρήση στατιστικής ανάλυσης σε δεδοµένα τα οποία συλλέχθηκαν µε τη µορφή πρωτογενούς έρευνας. Το κύριο ερώτηµα -2-

15 που θέλουµε να απαντήσουµε είναι εάν το πελατειακό κοινό προτιµά την εξυπηρέτησή του µέσω της εφαρµογής έναντι του παραδοσιακού τρόπου εξυπηρέτησης..4 Δοµή εργασίας Το παρόν έργο στο δεύτερο κεφάλαιο, µετά από συλλογή στοιχείων από ακαδηµαϊκή αρθρογραφία και βιβλιογραφία, εισάγει τον αναγνώστη στις βασικές έννοιες της θεωρίας ουρών αναµονής, µε έµφαση στον τραπεζικό τοµέα. Συγκεκριµένα, γίνεται µια µικρή εισαγωγή στη λήψη αποφάσεων και στη σύνδεσή της µε τη θεωρία ουρών αναµονής. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται τα βασικά συστατικά στοιχεία των συστηµάτων εξυπηρέτησης, τα στατιστικά µοντέλα που κυρίως χρησιµοποιούνται και τα βασικότερα µοντέλα της θεωρίας ουρών αναµονής. Στη συνέχεια, το τρίτο κεφάλαιο πραγµατεύεται το ζήτηµα της αναµονής και του χρόνου εξυπηρέτησης των πελατών ως συστατικό στοιχείο της ποιότητας των τραπεζικών ιδρυµάτων. Έτσι, σε αυτό το κεφάλαιο εξετάζεται η έννοια της ποιότητας στις υπηρεσίες, η σηµαντικότητα της ποιότητας στις εταιρείες παροχής υπηρεσιών, αναφέρονται συνοπτικά τα δύο βασικά µοντέλα µέτρησης της ποιότητας, ενώ στη συνέχεια αναλύονται οι παράγοντες ποιότητας εξυπηρέτησης. Η ανάγκη βελτίωσης του χρόνου εξυπηρέτησης των πελατών σε µία ουρά αναµονής σε µία τράπεζα απορρέει από το γεγονός ότι µία µεγάλη ουρά αναµονής και ο αργός χρόνος ανταπόκρισης του συστήµατος στις απαιτήσεις των πελατών, δηλαδή µία αργή εξυπηρέτηση των πελατών, µπορεί να µειώσει την ικανοποίηση των πελατών και να οδηγήσει σε µείωση της επίδοσης του οργανισµού και µειωµένη κερδοφορία [33]. Ο λόγος είναι ότι ο χρόνος εξυπηρέτησης των πελατών είναι σηµαντική παράµετρος της ποιότητας των υπηρεσιών που παρέχονται από τα τραπεζικά ιδρύµατα. Η ποιότητα µπορεί να αποτελέσει το ανταγωνιστικό πλεονέκτηµα µίας τράπεζας [34], εξαιτίας της τεράστιας σηµασίας που έχει στην ικανοποίηση και την πιστότητα των πελατών [35] [36] [37]. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η εφαρµογή DoNotWait.gr η οποία είναι ιδανική για την προαναφερόµενη χρήση και στο πέµπτο κεφάλαιο γίνεται µελέτη χρηστών µε τη βοήθεια της στατιστικής ανάλυσης µέσω του προγράµµατος IBM SPSS Statistics 22.0, τα δεδοµένα της οποίας συλλέχθηκαν µέσω πρωτογενούς έρευνας ερωτηµατολογίων. Το έκτο και τελευταίο κεφάλαιο αποτελείται από τον σχολιασµό του έργου. Επίσης, γίνονται προτάσεις για µελλοντικές προσθήκες ή επεκτάσεις της εφαρµογής µε στόχο την περαιτέρω ανάπτυξη και βελτιστοποίησή της. -3-

16 Στο παράρτηµα της εργασίας παρουσιάζεται το ερωτηµατολόγιο της έρευνας που χρησιµοποιήθηκε για τη µελέτη χρηστών.. Λέξεις Κλειδιά Θεωρία Ουρών Αναµονής, Τραπεζικός τοµέας, Ικανοποίηση πελατών, Ποιότητα εξυπηρέτησης -4-

17 2 Θεωρία Ουρών Αναµονής Ουρές αναµονής συναντάµε καθηµερινά σε διάφορες δραστηριότητες της καθηµερινής µας ζωής. Δεδοµένου ότι η θεωρία ουρών αναµονής εµπίπτει στις µεθόδους και τεχνικές λήψης αποφάσεων, στο κεφάλαιο αυτό αρχικά θα αναφερθούµε σύντοµα στις µεθόδους αυτές. Παρουσιάζονται επίσης κάποιες βασικές έννοιες καθώς και ο σκοπός των µοντέλων της θεωρίας ουρών αναµονής. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται τα συστατικά στοιχεία των συστηµάτων εξυπηρέτησης και τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά τους. Τέλος, γίνεται µια αναφορά στον τρόπο συµβολισµού των µοντέλων ουρών αναµονής και στην εφαρµογή της θεωρίας στον τραπεζικό τοµέα. 2. Διαδικασία Λήψης Αποφάσεων Η λήψη αποφάσεων γίνεται σύµφωνα µε τις προτάσεις της διοίκησης, εφόσον προσδιοριστούν οι στόχοι και έχουν συλλεχθεί πληροφορίες Η διαδικασία λήψης αποφάσεων αποτελείται από τρία βασικά στάδια [65] : προσδιορισµός των εναλλακτικών λύσεων, ανάλυση των εναλλακτικών λύσεων και επιλογή της καλύτερης εναλλακτικής λύσης. Στη συνέχεια, εφαρµόζεται το πρόγραµµα και αξιολογείται., κάτι το οποίο οδηγεί στη συλλογή και διαχείριση των πληροφοριών, δηλαδή στην επαναπληροφόρηση, που µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον προσδιορισµό τυχόν προβληµάτων και προτάσεις επίλυσης αυτών. Οι µέθοδοι και οι τεχνικές λήψης αποφάσεων είναι οι εξής:. Γραµµικός προγραµµατισµός: Πρόκειται για ένα µαθηµατικό µοντέλο, το οποίο χρησιµοποιείται για να προσεγγιστεί το πρόβληµα της κατανοµής των περιορισµένων µέσων / πόρων που διαθέτει ένα σύστηµα µέσω εναλλακτικών, και ανταγωνιστικών µεταξύ τους, λύσεων, έτσι ώστε να βρεθεί η καλύτερη δυνατή. Τα στοιχεία που υπεισέρχονται σε ένα µοντέλο γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα ακόλουθα: -5-

18 o Μεταβλητές του συστήµατος που αντιπροσωπεύουν τις αποφάσεις που θα πρέπει να ληφθούν o Κριτήριο της επίδοσης του συστήµατος που θα πρέπει να είναι κατάλληλο και που εκφράζεται µέσα από µία µαθηµατική συνάρτηση των µεταβλητών του συστήµατος o Τυχόν περιορισµοί που εισέρχονται στη µαθηµατική συνάρτηση και που ικανοποιούν τις τιµές των µεταβλητών, που αντιπροσωπεύουν τις συνθήκες λειτουργίες του συστήµατος o Εξωγενείς, ως προς τη µοντελοποίηση, παραµέτρους του συστήµατος που είναι γνωστές. 2. Θεωρία πιθανοτήτων: Η θεωρία πιθανοτήτων έχει τη βάση της στη στατιστική και ως επί το πλείστο χρησιµοποιείται για να ληφθούν αποφάσεις σε συνθήκες αβεβαιότητας. Στη θεωρία αυτή εκφράζεται µέσω ποσοστών η πιθανότητα να συµβεί ή όχι ένα γεγονός. 3. Προσοµοίωση: Η προσοµοίωση αποτελεί ένα µοντέλο που χρησιµοποιείται ως κυρίως για την επιµόρφωση στελεχών εταιρειών, καθώς βάσει αυτού του µοντέλου δηµιουργείται ένα πιθανό σενάριο βασισµένο σε µία πραγµατική κατάσταση, στο οποίο τα στελέχη καλούνται να διερευνήσουν εναλλακτικές επίλυσης. Το βασικό πλεονέκτηµα αυτού του µοντέλου είναι ότι µπορεί να καταδεικνύει το µέγεθος τόσο επιτυχηµένων όσο και αποτυχηµένων προσπαθειών για την επίλυση του προβλήµατος, ειδικά των πολύπλοκων προβληµάτων. 4. Τεχνική των Δελφών: Η τεχνική αυτή ακολουθεί τα πιο κάτω βήµατα: α προσδιορισµός του προβλήµατος, β παροχή πιθανών λύσεων µέσω ερωτηµατολογίων, γ επεξεργασία ερωτηµατολογίων και παραγωγή νέων ερωτηµατολογίων µε βάση τις απαντήσεις που δόθηκαν, δ αποστολή εκ νέου των νέων ερωτηµατολογίων, ε επανάληψη της πιο πάνω διαδικασίας, έως ότου να επιτευχθεί συµφωνία οµοφωνία στη λύση του προβλήµατος. Εκτός των παραπάνω µοντέλων, υπάρχει επίσης και η θεωρία ουρών αναµονής. Η θεωρία αυτή, όπως ήδη αναφέρθηκε, χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων αναµονής. Τα προβλήµατα αυτά απορρέουν από το γεγονός ότι η τρέχουσα ζήτηση είναι πολύ µεγαλύτερη από τη δυνατότητα του συστήµατος να εξυπηρετήσει [66]. Η λύση που προτείνεται µέσα από αυτό το µοντέλο ουσιαστικά αντισταθµίζει το κόστος -6-

19 της ουράς αναµονής, το οποίο µπορεί να είναι για παράδειγµα η απώλεια των πελατών, µε το κόστος για την εξάλειψη της ουράς. Η θεωρία ουρών αναµονής εξετάζεται διεξοδικά στη συνέχεια. 2.2 Ιστορική αναδροµή Η θεωρία ουρών αναµονής εµφανίστηκε στις αρχές του εικοστού αιώνα και µελετήθηκε αρχικά από τον Δανό Μαθηµατικό Agner Krarup Erlang. Η µελέτη έγινε πάνω σε προβλήµατα που εµφανίστηκαν στην τηλεφωνία []. Ωστόσο, η θεωρία ουρών αναµονής µελετήθηκε εκτενέστερα στη συνέχεια και όπως είναι φυσικό βρήκε ευρεία εφαρµογή και σε άλλους κλάδους. Εντάσσεται στο γνωστικό πεδίο της Επιχειρησιακής Έρευνας και ειδικότερα στο στοχαστικό µέρος της [2] [3]. 2.3 Βασικές Έννοιες Αρχικά, κρίνεται σκόπιµο να γίνει µια αναφορά στην έννοια του συστήµατος εξυπηρέτησης. Ως σύστηµα εξυπηρέτησης νοείται ένα σύνολο στοιχείων που αλληλοεπιδρούν µεταξύ τους και αποτελούν µια ολότητα µε σκοπό την παραγωγή αποτελέσµατος. Στο σύστηµα εξυπηρέτησης, ο πελάτης customer, µπορεί να είναι είτε έµψυχο ον όπως ο άνθρωπος, ή όχι, όπως µηχάνηµα, εργασία κ.α. Ο πελάτης επιζητεί ή αναµένει εξυπηρέτηση. Η εξυπηρέτηση αυτή πραγµατοποιείται από τον εξυπηρετητή server, ο οποίος εξυπηρετεί άµεσα τον πελάτη σε περίπτωση που δεν είναι απασχοληµένος και αµέσως µετά την εξυπηρέτηση ο πελάτης τις περισσότερες φορές εξέρχεται από το σύστηµα. Σε διαφορετική περίπτωση, ο πελάτης περιµένει στην ουρά αναµονής [4] [5]. Υπάρχουν περιπτώσεις που ο πελάτης εξέρχεται από το σύστηµα χωρίς να εξυπηρετηθεί [] [6]. Μπορούµε εύκολα να διακρίνουµε µια ουρά αναµονής σε µια τράπεζα ή στα ταµεία των πολυκαταστηµάτων, ενώ σε κάποια άλλα συστήµατα όπως για παράδειγµα στους δροµολογητές διαδικτύου µε πακέτα δεδοµένων και στα συγκοινωνιακά, οι ουρές αναµονής διακρίνονται έπειτα από ανάλυση [3] [6] [7]. Συγκεκριµένα, σε µια τράπεζα οι πελάτες του συστήµατος εξυπηρέτησης είναι τα φυσικά ή νοµικά πρόσωπα τα οποία εισέρχονται στο κατάστηµα και επιζητούν εξυπηρέτηση. Οι πελάτες αυτοί εισέρχονται για τη διενέργεια οικονοµικών συναλλαγών στα ταµεία. Οι υπάλληλοι που βρίσκονται στα ταµεία είναι οι εξυπηρετητές. Όταν οι ταµίες δεν είναι απασχοληµένοι τότε οι πελάτες εξυπηρετούνται αµέσως, σε -7-

20 διαφορετική περίπτωση σχηµατίζουν µια ουρά αναµονής και εξυπηρετούνται µε την πειθαρχία ουράς που ακολουθείται. Σε διαφορετική περίπτωση, φεύγουν από την τράπεζα χωρίς να εξυπηρετηθούν. Η εµφάνιση των ουρών αναµονής γίνεται όταν το πλήθος των εξυπηρετητών και ο ρυθµός εξυπηρέτησής τους, δεν επαρκεί για να ικανοποιήσει τη ζήτηση [6] [7] [8]. Αυτός όµως δεν είναι ο µόνος παράγοντας εµφάνισης των ουρών αναµονής. Τις περισσότερες φορές, δεν γνωρίζουµε το αποτέλεσµα εκ των προτέρων, λόγω του ότι στα συστήµατα υπάρχει αβεβαιότητα uncertainty ως προς την έκβαση διάφορων γεγονότων που συµβαίνουν σε αυτά. Αυτό σηµαίνει, ότι το αποτέλεσµα ενός γεγονότος βασίζεται σε πιθανότητες. Αυτά τα γεγονότα και τα συστήµατα ονοµάζονται στοχαστικά stohastic. Αντίθετα, αν το αποτέλεσµα ενός γεγονότος είναι εκ των προτέρων γνωστό τότε το γεγονός και το σύστηµα χαρακτηρίζεται ως προσδιοριστικό deterministic [7]. Όπως είναι φυσικό, η υποαπασχόληση εξυπηρετητών και ο χρόνος αναµονής των πελατών προσθέτουν κόστος σε ένα σύστηµα. Η εκτίµηση της απόδοσης του συστήµατος και του κόστους λειτουργίας γίνεται µε τη βοήθεια δεικτών των µοντέλων της θεωρίας ουρών αναµονής, και συνεισφέρουν στη λήψη καλύτερων δυνατών αποφάσεων. Ενδεικτικά, κάποιοι δείκτες είναι ο µέσος χρόνος αναµονής ή ο µέσος χρόνος παραµονής ενός πελάτη στο σύστηµα, το µέσο πλήθος των πελατών στην ουρά ή στο σύστηµα, το ποσοστό απασχόλησης της θέσης εξυπηρέτησης κ.α Τα µοντέλα της θεωρίας ουρών αναµονής δεν επηρεάζονται από συνθήκες που υπάρχουν στα συστήµατα κατά την έναρξη της λειτουργίας τους. Συγκεκριµένα, το σύστηµα εξετάζεται όταν βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας steady state. Αυτή η περίοδος από την έναρξη λειτουργίας µέχρι την κατάσταση ισορροπίας ονοµάζεται παροδική περίοδος transient period, warm up period. Η τεχνική της προσοµοίωσης παρέχει λύσεις για την περίπτωση όπου δεν µπορούµε να αποµονώσουµε µια περίοδο λειτουργίας του συστήµατος κατά την οποία έχει εξαλειφθεί η επίδραση της αρχικής κατάστασης [7]. 2.4 Μοντέλα Ουρών Αναµονής Τα µοντέλα της θεωρίας ουρών αναµονής στοχεύουν στην πρόβλεψη της αναµενόµενης συµπεριφοράς του συστήµατος, όταν αυτό λειτουργεί για σχετικά µεγάλο χρονικό διάστηµα και στον υπολογισµό των βασικών δεικτών απόδοσής του [7]. Ουσιαστικά -8-

21 στόχος είναι η µελέτη της συµφόρησης που προκύπτει από την τυχαία προσέλευση πελατών σε κάποιο σύστηµα και την τυχαιότητα στο χρόνο εξυπηρέτησης τους [5]. Με άλλα λόγια, χρησιµοποιεί µαθηµατικά µοντέλα και δείκτες για να εκτιµήσει και ενδεχοµένως να βελτιώσει τη ροή των πελατών µέσα από ένα σύστηµα εξυπηρέτησης [67]. Θεωρούνται πολύ χρήσιµα για τον εντοπισµό των κατάλληλων επιπέδων του προσωπικού, του εξοπλισµού, καθώς και στη λήψη αποφάσεων σχετικά µε την κατανοµή των πόρων και το σχεδιασµό των νέων υπηρεσιών. Σε αντίθεση µε τις µεθοδολογίες προσοµοίωσης, τα µοντέλα αναµονής απαιτούν πολύ λίγα στοιχεία και µπορούν να οδηγήσουν σε σχετικά απλές φόρµουλες για την πρόβλεψη διαφόρων µέτρων απόδοσης, όπως η µέση καθυστέρηση ή η πιθανότητα να περιµένει κάποιος περισσότερο από ένα δεδοµένο χρονικό διάστηµα προτού εξυπηρετηθεί. Αυτό σηµαίνει ότι βασικά πλεονεκτήµατα αυτών των µοντέλων είναι η ευκολία και το χαµηλό κόστος ανάπτυξης και χρήσης τους. Επιπλέον, δεδοµένου ότι είναι εξαιρετικά γρήγορα για να τρέξουν ως αναλύσεις, παρέχουν έναν απλό τρόπο για να εκτελέσει κάποιος µία ανάλυση τι θα γίνει αν, να εντοπίσει συµβιβασµούς και να βρει ελκυστικές λύσεις, αντί να περιοριστεί µόνο στην εκτίµηση των επιδόσεων για ένα συγκεκριµένο σενάριο [68]. Είναι ένα πολύ σηµαντικό εργαλείο για τον προσδιορισµό του τρόπου διαχείρισης ενός συστήµατος εξυπηρέτησης µε τον πλέον αποδοτικό τρόπο [9]. Η µείωση του χρόνου αναµονής στο σύστηµα, πραγµατοποιείται µε τρείς τρόπους: µε κατάλληλο σχεδιασµό της δυναµικότητάς του, µε βελτίωση του µέσου ρυθµού εξυπηρέτησης, ή µε αύξηση του πλήθους των θέσεων εξυπηρέτησης. Αυτό που αποσκοπεί είναι να βρεθεί ένα σηµείο ισορροπίας στα κόστη που αφορούν τη βελτίωσης του επιπέδου εξυπηρέτησης και την αναµονή των πελατών [6] [7]. 2.5 Συστατικά στοιχεία συστηµάτων εξυπηρέτησης Ένα σύστηµα εξυπηρέτησης αποτελείται από την πηγή των πελατών calling population, τη διαδικασία αφίξεων arrival process, την ουρά αναµονής queue και τη διαδικασία εξυπηρέτησης service process [7] [8] [] [2]. Στην Εικόνα παρουσιάζεται ένα απλό σύστηµα εξυπηρέτησης, το οποίο αποτελείται από την πηγή πελατών, την ουρά αναµονής, τη φάση εξυπηρέτησης όπου στο -9-

22 συγκεκριµένο παράδειγµα θεωρούµε ότι υπάρχει ένας εξυπηρετητής και τέλος η έξοδος από το σύστηµα. Στη συνέχεια αναλύονται ένα προς ένα τα συστατικά στοιχεία εξυπηρέτησης. Πηγή πελατών Ουρά αναµονής Έξοδος Φάση εξυπηρέτησης Εικόνα Αναπαράσταση ενός απλού συστήµατος εξυπηρέτησης 2.5. Πηγή πελατών Η πηγή των πελατών, αφορά το πλήθος των πελατών που αποζητά εξυπηρέτηση. Το πλήθος των πελατών µπορεί να είναι άπειρο ή πεπερασµένο. Άπειροι υποψήφιοι πελάτες, συνήθως εµφανίζονται σε συστήµατα όπου οι υπηρεσίες απευθύνονται σε ευρύ κοινό, και κατά συνέπεια η είσοδος ενός πελάτη στο σύστηµα δεν επηρεάζει ή µειώνει το πλήθος των υποψήφιων πελατών. Σε αντίθετη περίπτωση, το σύστηµα έχει περιορισµένο αριθµό πελατών. Η πηγή των πελατών επηρεάζει το µέσο αριθµό αφίξεων στο σύστηµα που συµβολίζεται µε λ Διαδικασία αφίξεων Αποτελεί τη διαδικασία εισόδου στο σύστηµα εξυπηρέτησης. Σε αυτό το χαρακτηριστικό ορίζεται ο ρυθµός µε τον οποίο εισέρχονται στο σύστηµα -0-

23 εξυπηρέτησης οι πελάτες. Υπάρχουν περιπτώσεις όπου οι πελάτες καταφθάνουν τυχαία, είτε προκαθορισµένα ανά οµάδες batch. Ο καλύτερος τρόπος για να περιγραφεί ο ρυθµός αφίξεων των πελατών µε τυχαίες µεταβλητές είναι η καταγραφή είτε του πλήθους των πελατών που καταφθάνουν σε ένα διάστηµα ή του χρόνου µεταξύ δύο επιτυχών αφίξεων []. Καθορίζεται συνήθως από τον µέσο ρυθµό άφιξης των πελατών και το στατιστικό-πιθανοθεωρητικό µοντέλο των αφίξεων ή από τον µέσο χρόνο αναµονής ανάµεσα σε δύο διαδοχικές αφίξεις και την εξάρτηση των χρόνων αυτών. Το µέσο πλήθος αφίξεων ονοµάζεται µέσος ρυθµός αφίξεων arrival rate. Σε πολλά από τα µοντέλα, το πλήθος των αφίξεων δεν είναι γνωστό εκ των προτέρων αλλά ακολουθεί την κατανοµή Poisson. Έτσι, µέσω αυτής µπορούµε να υπολογίσουµε την πιθανότητα να αφιχθεί κάποιο πλήθος πελατών [67]. H κατανοµή Poisson είναι µία διακριτή κατανοµή όπου η παράµετρος λ µέση τιµή στις ουρές αναµονής παριστάνει το µέσο πλήθος αφίξεων στη µονάδα του χρόνου. Η κατανοµή του χρόνου που µεσολαβεί ανάµεσα σε δύο διαδοχικές αφίξεις ακολουθεί την εκθετική κατανοµή και έχει µέση τιµή ίση µε /λ, όπου λ είναι η µέση τιµή της αντίστοιχης Poisson Ουρά αναµονής Υπάρχουν τέσσερις κύριοι τύποι ουρών αναµονής, οι οποίοι διαµορφώνονται ανάλογα µε τη δοµή της: µία ουρά µε ένα σηµείο εξυπηρέτησης, µία ουρά µε πολλά σηµεία εξυπηρέτησης, πολλές ουρές µε πολλά σηµεία εξυπηρέτησης πολλές ουρές µε ένα σηµείο εξυπηρέτησης [2][3] Η ουρά αναµονής ανάλογα µε το πλήθος των πελατών που µπορεί να δεχτεί διαµορφώνεται η χωρητικότητά της η οποία µπορεί να είναι είτε περιορισµένη ή άπειρη. Οι πελάτες δεν εισέρχονται στο σύστηµα και ο πραγµατικός ρυθµός αφίξεων µηδενίζεται όταν η ουρά έχει περιορισµένη χωρητικότητα και οι εξυπηρετητές είναι κατειληµµένοι []. Στην ουρά αναµονής µας απασχολούν και άλλοι παράγοντες, οι οποίοι είναι πολύ δύσκολο να προβλεφθούν και να µελετηθούν. Η δυσκολία αυτή οφείλεται στο γεγονός ότι οι παράγοντες εντάσσονται στη συµπεριφορά των πελατών. Ορισµένοι από αυτοί --

24 είναι η αλλαγή ουράς αναµονής jockeying, η έξοδος από το σύστηµα χωρίς να εξυπηρετηθούν ενώ έχουν ενταχθεί σε µια ουρά renenging, και η έξοδός τους από το σύστηµα χωρίς να µπουν ποτέ σε µια ουρά αναµονής balking Πειθαρχία ουράς Η πειθαρχία ουράς αναφέρεται στον τρόπο ο οποίος ακολουθείται για την επιλογή του επόµενου πελάτη. Στην περίπτωση της µεθόδου FIFO First In First Out, ο πελάτης που εισέρχεται πρώτος στο σύστηµα εξυπηρετείται πρώτος [], ενώ αντίθετα στη µέθοδο LIFO Last In First Out, ο πελάτης που µπαίνει τελευταίος εξυπηρετείται πρώτος. Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ο πελάτης µπορεί να επιλεγεί µε τυχαίο τρόπο ή µε προτεραιότητες, για παράδειγµα άνθρωποι µε κινητικά προβλήµατα να έχουν προτεραιότητα έναντι των άλλων όταν περιµένουν να εξυπηρετηθούν Διαδικασία εξυπηρέτησης Τα βασικά χαρακτηριστικά της διαδικασίας εξυπηρέτησης είναι το πλήθος των θέσεων εξυπηρέτησης, το πλήθος των διαδοχικών φάσεων εξυπηρέτησης και η κατανοµή του χρόνου εξυπηρέτησης. Ο ρυθµός εξυπηρέτησης αφορά το πλήθος των πελατών που µπορεί να εξυπηρετήσει η θέση στη µονάδα του χρόνου. Ο ρυθµός εξυπηρέτησης µπορεί να είναι σταθερός δηλαδή όλοι οι πελάτες εξυπηρετούνται στον ίδιο ακριβώς χρόνο ή να υπάρχει µεταβλητότητα στο χρόνο εξυπηρέτησης [67]. Το µέσο πλήθος πελατών που εξυπηρετεί η θέση στη µονάδα του χρόνου ονοµάζεται µέσος ρυθµός εξυπηρέτησης και συµβολίζεται µε µ. Όταν ακολουθείται η κατανοµή Poisson στη διαδικασία αφίξεων, ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί την εκθετική κατανοµή []. Ο µέσος αριθµός των εξυπηρετούµενων πελατών ονοµάζεται µέσος ρυθµός εξυπηρέτησης service rate. Και συµβολίζεται µε µ, ενώ αντίστοιχα ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί την εκθετική κατανοµή µε µέση τιµή ίση µε /µ. Επίσης κάποιος πελάτης µπορεί να έχει ανάγκη είτε από µία και µόνο εξυπηρέτηση single phase, είτε από πολλές φάσεις εξυπηρέτησης multiple phases, για κάθε µία από τις οποίες είναι πιθανό να υπάρχει διαφορετική ουρά. Στις παρακάτω εικόνες Εικόνες 2-5 παρουσιάζονται τέσσερις µορφές διαδικασιών εξυπηρέτησης. Πιο αναλυτικά, στην Εικόνα 2 παρουσιάζεται ένα απλό σύστηµα εξυπηρέτησης µε µία θέση -2-

25 εξυπηρέτησης. Συγκεκριµένα οι πελάτες καταφθάνουν και σχηµατίζουν µία ουρά αναµονής περιµένοντας να εξυπηρετηθούν από έναν εξυπηρετητή σε µία φάση εξυπηρέτησης και αµέσως µετά εξέρχονται από το σύστηµα. Θέση Αφίξεις Ουρά Έξοδος Εικόνα 2 Αναπαράσταση συστήµατος µε µία ουρά αναµονής µε µία φάση εξυπηρέτησης και µία θέση εξυπηρέτησης Στην περίπτωση που υπάρχουν περισσότερες από µία θέσεις που λειτουργούν παράλληλα, τότε θεωρούµε ότι υπάρχουν πολλαπλές-παράλληλες θέσεις εξυπηρέτησης καθώς τα άτοµα-εξυπηρετητές δρουν ανεξάρτητα. Όπως µπορούµε να δούµε και από την Εικόνα 3 οι πελάτες µετά τις αφίξεις, αναµένουν την εξυπηρέτησή τους σε µια ουρά αναµονής και οι εξυπηρετητές δρουν ανεξάρτητα. Ο καθένας εξυπηρετεί έναν πελάτη ανάλογα µε την πειθαρχία ουράς που ακολουθείται. Στη συνέχεια εξέρχονται από το σύστηµα. Και στο συγκεκριµένο σύστηµα, υπάρχει µία φάση εξυπηρέτησης. Αφίξεις Ουρά Έξοδος Φάση Εικόνα 3 Αναπαράσταση συστήµατος µε µία ουρά αναµονής, µία φάση εξυπηρέτησης µε πολλαπλές θέσεις εξυπηρέτησης -3-

26 Στα συστήµατα των Εικόνων 2 και 3 παρατηρούµε ότι η εξυπηρέτηση του πελάτη ολοκληρώνεται από µια µόνο θέση εξυπηρέτησης. Υπάρχουν όµως και συστήµατα όπου ο πελάτης πρέπει να περάσει από περισσότερες από µία διαδοχικές φάσεις εξυπηρέτησης για να ολοκληρωθεί η εξυπηρέτησή του. Μια αναπαράσταση αυτών των συστηµάτων µπορούµε να δούµε στις Εικόνες 4 και 5. Συγκεκριµένα, στην Εικόνα 4 µετά τις αφίξεις των πελατών και την αναµονή τους στην ουρά, οι πελάτες περνάνε στην πρώτη φάση εξυπηρέτησης όπου υπάρχει ένας εξυπηρετητής. Στη συνέχεια δεν εξέρχονται απευθείας από το σύστηµα, καθώς δεν έχει ολοκληρωθεί η εξυπηρέτησή τους. Για την ολοκλήρωσή της απαιτείται η εξυπηρέτησή τους από έναν εξυπηρετητή ο οποίος έπεται του προηγούµενου. Συγκεκριµένα, οι πελάτες περνάνε στη δεύτερη φάση εξυπηρέτησης αφού προηγουµένως έχουν εξυπηρετηθεί από τον εξυπηρετητή στην πρώτη φάση. Στη συνέχεια εξέρχονται από το σύστηµα. Αφίξεις Φάση Φάση 2 Ουρά Εικόνα 4 Αναπαράσταση συστήµατος µε µία ουρά αναµονής, δύο φάσεις εξυπηρέτησης µε µία θέση εξυπηρέτησης Στην Εικόνα 5 παρουσιάζεται ένα πιο πολύπλοκο σύστηµα. Οι πελάτες εισέρχονται στο σύστηµα και αναµένουν την εξυπηρέτησή τους σε µια ουρά αναµονής. Στη συνέχεια περνάνε στην πρώτη φάση εξυπηρέτησης όπου υπάρχουν τρεις εξυπηρετητές. Αυτοί οι εξυπηρετητές όπως προαναφέρθηκε και στο σύστηµα της Εικόνας 3 δρουν ανεξάρτητα άρα αποτελούν πολλαπλές-παράλληλες θέσεις εξυπηρέτησης. Οι πελάτες αφού εξυπηρετηθούν από τους εξυπηρετητές της πρώτης φάσης, αναµένουν την εξυπηρέτησή τους από τη δεύτερη φάση µε σκοπό να εξέλθουν από το σύστηµα. Όπως παρατηρούµε και στην εικόνα, η δεύτερη φάση αποτελείται πάλι από τρεις παράλληλες θέσεις εξυπηρέτησης. Μόλις ολοκληρωθεί η εξυπηρέτησή τους στη δεύτερη φάση οι πελάτες εξέρχονται από το σύστηµα. -4-

27 Ένα τυπικό παράδειγµα συστήµατος µε πολλαπλές φάσεις εξυπηρέτησης είναι οι γραµµές παραγωγής όπου τα ηµικατεργασµένα προϊόντα περνούν από διαδοχικές φάσεις έτσι ώστε να εξέλθουν από το εργοστάσιο ως προϊόντα. Αφίξεις Ουρά Φάση Φάση 2 Εικόνα 5 Αναπαράσταση συστήµατος µε µία ουρά αναµονής, δύο φάσεις εξυπηρέτησης, πολλαπλές θέσεις εξυπηρέτησης Έξοδος Οι πελάτες µετά την εξυπηρέτηση συνήθως, επιστρέφουν άµεσα στην πηγή. Υπάρχουν περιπτώσεις που επιστρέφουν µε κάποια χρονική καθυστέρηση ή εγκαταλείπουν το σύστηµα και δεν επιστρέφουν ποτέ στην πηγή. 2.6 Στατιστικά µοντέλα θεωρίας ουρών αναµονής Η πιθανότητα της άφιξης των πελατών σε µία ουρά αναµονής ακολουθεί την κατανοµή Poisson, που δηµιουργεί µία εκθετική πυκνότητα πιθανότητας για το χρόνο µεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων [38] [66]. Ως εκ τούτου, στην ενότητα αυτή παρατίθεται συνοπτικά η εκθετική οικογένεια κατανοµών και οι εκθετικές κατανοµές που χρησιµοποιούνται στη θεωρία ουρών αναµονής Εκθετική οικογένεια κατανοµών Η εκθετική οικογένεια κατανοµών είναι µία σηµαντική κατηγορία οικογένεια κατανοµών. Η εκθετική οικογένεια κατανοµών έχει γενικά την εξής µορφή της εξίσωσης [77]: -5-

28 Τ p η = h ep η t a η όπου η είναι η φυσική παράµετρος, t είναι η επαρκής στατιστική παράµετρος sufficient statistic, το h αφορά το υποκείµενο µέτρο και το αη διασφαλίζει ότι η κατανοµή προσεγγίζει τη µονάδα. Εναλλακτικά γράφεται και ως εξής : α η η Τ = log h ep t d Η οικογένεια εκθετικών κατανοµών περιλαµβάνει όλες εκείνες τις συνεχείς, διακριτές ή µικτού τύπου κατανοµές, των οποίων η συνάρτηση πιθανότητας ή η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας µπορεί να γραφεί ως εξής στη γενική της µορφή general form : f y ; θ = ep[ d θ e y + g θ + h y ] i i i i i i όπου οι d, e, g και h είναι όλες γνωστές συναρτήσεις και έχουν την ίδια µορφή για όλα τα y i. Ο Craig 2009 αναφέρει πως η εκθετική οικογένεια κατανοµών είναι µία οικογένεια συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας για µία τυχαία µεταβλητή Χ, η οποία έχει την παρακάτω µορφή : p θ = f g θep{ c ϕ h } k j= j j j Σύµφωνα µε έναν άλλον ορισµό, µία συνάρτηση πιθανότητας µπορούµε να ισχυριστούµε ότι ανήκει στην εκθετική οικογένεια κατανοµών αν ισχύουν τα παρακάτω:. Το πεδίο ορισµού = { R : f, θ > 0} της τυχαίας µεταβλητής Χ δεν θα S f πρέπει να εξαρτάται από τις άγνωστες παραµέτρους θ, θ 2,, θ s 2. Αν µπορεί να γραφεί στην παρακάτω µορφή ή σε κάποια από τις εναλλακτικές που δίνονται παρακάτω s α f, θ = ep{ ηi θ Ti X B θ } h i=

29 -7- β = + Η = s i i i B X T f } ep{, θ θ η θ γ = = s i i i h X T f } ep{, θ β θ η θ δ = + = s i i i H X T f } ep{, θ β θ η θ Εκτός από τη γενική µορφή της εκθετικής οικογένειας κατανοµών, υπάρχει και κανονική µορφή που δίνεται από τον τύπο : = Α = s i i i h X T f } ep{, η η η Για τα µέλη της εκθετικής κατανοµής ισχύει η εξής σχέση [78]: Από τα πιο πάνω γίνεται κατανοητό ότι µία κατανοµή ανήκει στην εκθετική οικογένεια κατανοµών όταν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που έχει µπορεί να γραφεί σε εκθετική µορφή. Η κατανοµή Poisson µπορεί να γραφεί επίσης σε εκθετική µορφή [79]:! ] ep[log! e θ θ θ θ = Άλλα παραδείγµατα κατανοµών που µπορούν να γραφούν σε εκθετική µορφή είναι τα εξής : Gaussian / σ µ πσ = e p Bernoulli a a p = Πολυωνυµική = = n i i n i a n p 2!!...!! ln ln 0 ln = + = θ θ θ θ θ θ L E L E L E

30 Εκθετικές Κατανοµές Η εκθετική κατανοµή χρησιµοποιείται πολύ συχνά σε συστήµατα ουρών, συνήθως για χρόνους ανάµεσα σε αφίξεις, ολοκλήρωσης εργασιών κτλ. Έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της εξής µορφής , όπως φαίνεται και από την εικόνα Εικόνα 6 όπου απεικονίζεται η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της εκθετικής κατανοµής όπου παράµετρος λ και µέση τιµή /λ : λ λe, 0 f = 0, < Εικόνα 6 Γράφηµα εκθετικής κατανοµής Πηγή: Η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας έχει τη µορφή που αναφέρεται πιο κάτω και απεικονίζεται στο αντίστοιχο σχήμα Εικόνα 7: F e = λ f d = 0, < 0,

31 Εικόνα 7 Αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της εκθετικής κατανοµής Πηγή: Οι ιδιότητες της εκθετικής κατανοµής που εφαρµόζεται στη θεωρία ουρών αναµονής είναι οι εξής :. Η εκθετική κατανοµή είναι η µοναδική συνεχής κατανοµή που έχει την ιδιότητα της έλλειψης µνήµης memoryless, σύµφωνα µε την οποία ισχύει : P X > s + t X > t = P X > s Σύµφωνα µε µία άλλη ιδιότητα της εκθετικής κατανοµής, οι χρόνοι αναµονής µεταξύ δύο διαδοχικών συµβάντων σε µία διαδικασία Poisson είναι εκθετικά κατανεµηµένοι. Αυτό σηµαίνει ότι αν Νt µε t 0 είναι µία διαδικασία Poisson µε µέσο ρυθµό ν, Τ είναι ο χρόνος αναµονής µέχρι το πρώτο συµβάν και Τ n είναι ο χρόνος αναµονής από το n µέχρι το n οστό συµβάν όταν n = 2, 3., τότε οι τυχαίες µεταβλητές Τ, T 2.. είναι ανεξάρτητες και ισόνοµες µε κοινή εκθετική κατανοµή Εν. 3. Αν Χ,.Χ n είναι ανεξάρτητες µεταβλητές που ακολουθούν την εκθετική κατανοµή µε ep0, b, τότε η n X i i= κατανέµεται σύµφωνα µε την Γάµµα n, b. Μία ακόµη ιδιότητα της εκθετικής κατανοµής είναι η εξής. Αν X,..., Xn είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές µε το Xi να έχει µία εκθετική κατανοµή -9-

32 λi, τότε η κατανοµή της ελάχιστης X,..., Xn είναι επίσης εκθετική λ λn µε η πιθανότητα ότι η ελάχιστη τιµή θα είναι Xi είναι λi/λ λn. Στη συνέχεια θα αναφερθούµε µε συντοµία στις βασικές κατανοµές της εκθετικής οικογένειας κατανοµών που έχουν εφαρµογή στη θεωρία ουρών αναµονής. Γάµµα κατανοµή Μία µεταβλητή Χ είναι µία Gamma µεταβλητή όταν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι της παρακάτω µορφής Χρησιµοποιείται κυρίως για χρόνους ολοκλήρωσης µιας εργασίας ή οµάδας εργασιών. Η γραφική αναπαράσταση εµφανίζεται στην Εικόνα 8: Εικόνα 8 Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Γάµµα κατανοµής Πηγή: f = λe Γ α λ λ α, λ > 0, α > όπου a Γ α = e d, a > 0 µε α=παράµετρος µορφής και β=παράµετρος κλίµακας

33 Εικόνα 9 Αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της Γάµµα κατανοµής Πηγή: Όταν α =, τότε Γ = και η κατανοµή γίνεται εκθετική µε λ = / β. Όταν α >, τότε η κατανοµή είναι µονοκόρυφη µε κορυφή στο = βα-. Όταν α είναι ακέραιος, τότε Γα = α! και η κατανοµή είναι γνωστή ως κατανοµή Erlang. Είναι χρήσιµη για τους χρόνους εξυπηρέτησης σε ουρές. Συγκεκριµένα, εάν µια λειτουργία αφορά επαναλαµβανόµενες εργασίες µε εκθετικούς χρόνους, η συνολική διάρκεια παριστάνεται µε Erlang. Η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας είναι της µορφής και η γραφική αναπαράσταση φαίνεται στην Εικόνα 9: a y = y e dy 0 Γ α

34 -22- Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Γάµµα κατανοµής τριών παραµέτρων είναι της µορφής [40]: /,, Γ = a b c a c e b c b a f α με α > 0, b > 0, > c Η συνάρτηση η οποία συνδέει τη Γάµµα κατανοµή µε την Poisson είναι η εξής [7]: + Γ Γ = t n dt e e e n F = = 0! n i i i e Βήτα κατανοµή Η Βήτα κατανοµή είναι χρήσιµη για φαινόµενα µε αναλογίες, όπως για παράδειγµα ποσοστό ελαττωµατικών ανά παρτίδα. Μία µεταβλητή Χ είναι µία Βήτα µεταβλητή όταν η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι της παρακάτω µορφής και η αναπαράσταση φαίνεται στην Εικόνα 0.Οι παράµετροι α και β µετασχηµατίζουν τη γραφική παράσταση., = β β a B f a µε α>0, β>0 και = Β 0, d a a β β Πιο αναλυτικά, ισχύουν τα εξής: = = 0, ; du u u a f a a β β β Γ Γ + Γ β α β α β a

35 -23-, Β = β α β α Εικόνα 0 Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Βήτα κατανοµής Πηγή: Η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας είναι της παρακάτω µορφής και απεικονίζεται στην Εικόνα :,,,, ; β α β α β α β a F Ι = Β Β =

36 -24- Εικόνα Αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της Βήτα κατανοµής Πηγή: Ιδιαίτερα χρήσιµη είναι η παρακάτω σχέση , η οποία συνδέει τις συναρτήσεις Βήτα και Γάµµα:, β α β α β α + Γ Γ Γ = B Η παραπάνω σχέση µπορεί να γραφεί και στην παρακάτω εκθετική µορφή [79]: = Γ + Γ Γ = Γ Γ + Γ ] log log ep[ β χ β α α χ β α β α β β α a ] log log ep[ α χ β α β β α Γ + Γ Γ = Μία τυχαία µεταβλητή Χ έχει την Βήτα κατανοµή, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που είναι της µορφής ισχύει ότι α < χ < α + h [7]:

37 -25-, + + = q p q p Y a h a q p B h p + + Γ Γ + Γ = q p q p a h a q p h q p Μία άλλη έκφραση της Βήτα κατανοµής δίνεται από τον εξής τύπο [80]: = 2 / cos sin 2, π ω ν θδθ θ ω ν B + = 0 ν ν ω y dy y Dirichlet κατανοµή Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Dirichlet κατανοµής είναι της µορφής : = = K i a i k k a B a a f,..., ;,..., Ως µέλος της οικογένειας εκθετικών κατανοµών, η Dirichlet µπορεί να γραφεί και στην εξής µορφή : log log... log... ep,... = Γ Γ + = k i i k T k u k u U p p u u bf p p Dir Η γενικευµένη µορφή της κατανοµής Dirichlet έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας που είναι της µορφής : = + = = [ ], [ k i b a b k j j k i a i b k i i i i k p p p b a B Liouville κατανοµή Η κατανοµή Liouville είναι µία γενικευµένη µορφή της κατανοµής Dirichlet, θέτοντας ότι [8]: n a n a n h X X d d f n n < dt t t f h a a n n n Γ Γ Γ = α α α α Weibull κατανοµή Η Weibull κατανοµή µπορεί να θεωρηθεί ως µια γενίκευση της εκθετικής και χρησιµοποιείται σε προβλήµατα αξιοπιστίας. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Weibull κατανοµής για δύο παραµέτρους είναι της µορφής :

38 -26- < = 0 0, 0,, ; / e k k f k λ κ λ λ λ, όπου λ και k είναι οι παράµετροι. Συγκεκριµένα, όταν k =, τότε η κατανοµή είναι εκθετική µε λ = /λ. Στην παρακάτω εικόνα 2 απεικονίζεται η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας αυτής της κατανοµής. Εικόνα 2. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Weibull κατανοµής Πηγή: Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής είναι της µορφής και απεικονίζεται στην Εικόνα 3. k e k F /, ; λ λ = για 0 και F; κ; λ = 0 για <

39 Εικόνα 3 Αθροιστική συνάρτηση της κατανοµής Weibull Πηγή: Υπάρχουν ορισµένες κατανοµές που δεν είναι άµεσα εκθετικές, αλλά µπορούν να λάβουν µία τέτοια µορφή. Μία από αυτές είναι και η κατανοµή Gaussian, ή αλλιώς η κανονική κατανοµή, που έχει εφαρμογή στη θεωρία αναμονής ουρών. Η κατανοµή Gaussian είναι της µορφής που απεικονίζεται παρακάτω : P = N µ, γ = γ γ 2 ep[ µ ] 2π Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι της µορφής Εικόνα 4: µ /2σ χ µ f ; µ, σ = e = φ 2 2πσ σ σ

40 Εικόνα 4 Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Gaussian κατανοµής Πηγή: Επίσης, υπάρχει και η αντίστροφης συνάρτησης Gaussian. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της αντίστροφης συνάρτησης Gaussian , που απεικονίζεται στην πιο κάτω εικόνα, είναι της µορφής Εικόνα 5 [4]: λ 2 λ 2 λ 2 λ µ p, [ ] / ep{ } [ ] / µ λ = µ = ep{ π 2µ 2π 2µ µ } -28-

41 Εικόνα 5 Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της αντίστροφης Gaussian κατανοµής Εναλλακτικά, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της εν λόγω κατανοµής µπορεί να γραφεί και στις ακόλουθες τρεις µορφές [4]: µφ, [ ] / 2 φ µ p µ φ = e ep{ φ + } όταν IGμ, φμ 3 2π 2 µ p 2 λ, [ ] / 2 φ φ λ φ λ = e ep{ + } όταν IGλ/φ, λ 3 2π 2 λ λ 2 λ 2 p, [ ] / ep[ { 2 / α λ = α α + }] όταν IGα 2 /2, λ 3 2π Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής δίνεται από τον τύπο [39]: F µ, λ = Φ{ λ χ } + e m 2λ / µ Φ{ λ + } µ Τέλος, η χαρακτηριστική συνάρτηση της αντίστροφης Gaussian κατανοµής έχει ως εξής [39]: 2 λ 2iµ t ep[ { µ λ / 2 }]

42 -30- Μία ακόµη κατανοµή είναι η Bernoulli. Η Bernoulli µπορεί επίσης να γραφεί σε εκθετική µορφή Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Bernoulli απεικονίζεται στην παρακάτω εικόνα 6. = = = =,, ; k p o k p q p k f Εικόνα 6 Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Bernoulli Η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας, που απεικονίζεται παρακάτω στην Εικόνα 7, είναι της µορφής : = = = = αλλιώς k p o k p q p k f 0,,, ;

43 Εικόνα 7 Αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της Bernoulli Εκτός των παραπάνω υπάρχει και η Reyleigh κατανοµή. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας , που απεικονίζεται στην παρακάτω εικόνα 8, είναι [80]: 2 ep[ 2b 2 ] Εικόνα 8 Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Reyleigh κατανοµής Πηγή: Evans et al., 2000 Η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας, που απεικονίζεται παρακάτω , φαίνεται στην Εικόνα 9 [80]: b 2 ep[ 2b 2 2 ]

44 Εικόνα 9 Αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της Reyleigh κατανοµής Πηγή: Evans et al., Συµβολισµός µοντέλων Η αναπαράσταση των µοντέλων της θεωρίας ουρών αναµονής γίνεται µε τρία στοιχεία : είσοδος / εξυπηρέτηση / αριθµός εξυπηρετητών []. Ανάλογα µε το σύστηµα δηµιουργείται και το κατάλληλο µοντέλο. Ο συµβολισµός A/B/s/k/N προτάθηκε από τον D.G. Kendall. Ακολουθεί η επεξήγηση των συµβόλων : Α : συµβολίζει την κατανοµή εισόδου των πελατών. Το συνηθέστερο σύµβολο το οποίο αναφέρεται στην εκθετική κατανοµή που συνοδεύει την Poisson είναι το Μ Markovian. Άλλα σύµβολα είναι το G general για οποιαδήποτε κατανοµή, D για γνωστό και σταθερό ρυθµό αφίξεωνdeterministic. Β : συµβολίζει την κατανοµή του χρόνου εξυπηρέτησης και χρησιµοποιούνται τα σύµβολα όπως το Α s : πλήθος των παράλληλων θέσεων εξυπηρέτησης k : χωρητικότητα του συστήµατος εξυπηρέτησης, όταν αυτή είναι περιορισµένη. Το k είναι το πλήθος των θέσεων αναµονής slots µαζί µε τις θέσεις εξυπηρέτησης servers. Ν : παριστάνει το πλήθος των πελατών στην πηγή όταν αυτό είναι πεπερασµένο. Τα δύο τελευταία σύµβολα παραλείπονται όταν το σύστηµα έχει άπειρη χωρητικότητα και άπειρους πελάτες στην πηγή. Για παράδειγµα, όταν ένα µοντέλο έχει δύο θέσεις -32-

45 εξυπηρέτησης, διαδικασία αφίξεων που ακολουθεί την Poisson και εκθετική κατανοµή για το χρόνο εξυπηρέτησης, η αναπαράσταση του µοντέλου είναι η Μ/Μ/2 και µε µια αναφορά στις τιµές λ και µ Μοντέλο Μ / Μ / Στην παρακάτω Εικόνα 20 αποτυπώνεται ένα σύστηµα ουρών µε βάση το µοντέλο Μ / Μ /. Σε αυτό το µοντέλο περιγράφονται πόσοι πελάτες είναι στο σύστηµα, τόσο στην ουρά αναµονής όσο και στην εξυπηρέτηση [38] [69]. Οι αφίξεις σε αυτό το σύστηµα γίνονται µε βάση την κατανοµή Poisson και ο ρυθµός των αφίξεων είναι ίσος µε λ. Η εξυπηρέτηση γίνεται από ένα σηµείο εξυπηρέτησης και οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι ανεξάρτητες και τυχαίες µεταβλητές. Ο χρόνος εξυπηρέτησης µ ακολουθεί την εκθετική κατανοµή µε µέση τιµή µ -, ενώ τέλος οι µονάδες εξυπηρετούνται µε το σύστηµα προτεραιότητα κατά άφιξη [74]. Εικόνα 20 Σύστηµα ουράς Μ / Μ / Πηγή: Tanebaum, 996 Οι προϋποθέσεις που ισχύουν σε αυτό το µοντέλο είναι οι εξής [70] :. Οι πελάτες εξυπηρετούνται µε σειρά αφίξεως FIFO 2. Κάθε αντικείµενο στην άφιξη αναµένει να εξυπηρετηθεί και δεν εγκαταλείπει την ουρά αναµονής 3. Ο ρυθµός των αντικειµένων στην άφιξη ακολουθεί κατανοµή Poisson και τα αντικείµενα προέρχονται από ένα άπειρο ή πολύ µεγάλο πλήθος 4. Ο ρυθµός εξυπηρέτησης ακολουθεί εκθετική κατανοµή 5. Ο µέσος ρυθµός εξυπηρέτησης είναι µεγαλύτερος από το µέσο ρυθµό άφιξης Στο µοντέλο Μ / Μ / ενδέχεται να υπάρχει περιορισµένο µήκος ουράς. Για -33-

46 παράδειγµα, στην περίπτωση ενός τραπεζικού ιδρύµατος που έχει έρθει η ώρα κλεισίµατος του καταστήµατος, δεν µπορούν να εισέλθουν άλλοι πελάτες στην ουρά, ή σε ένα τηλεφωνικό κέντρο οι τηλεφωνικές κλήσεις είναι τόσες όσες και οι διαθέσιµες γραµµές αναµονής. Σε αυτήν την περίπτωση επηρεάζονται σηµαντικοί παράµετροι του µοντέλου [69] [70]. Παράδειγµα υπολογισµού βασικών δεικτών απόδοσης στο µοντέλο Μ/Μ/ Υποθέτουµε ότι σε ένα κατάστηµα τραπέζης µετά από συλλογή δεδοµένων οι πελάτες καταφθάνουν µε µέσο ρυθµό αφίξεων 23 άτοµα την ώρα. Οι πελάτες εξυπηρετούνται µε τη µέθοδο FIFO και σχηµατίζουν µια ουρά αναµονής για εξυπηρέτηση µε άπειρη χωρητικότητα. Στην εξυπηρέτηση υπάρχει ένας υπάλληλος ταµείο που εξυπηρετεί κατά µέσο όρο 32 πελάτες την ώρα. Οι πελάτες καταφθάνουν σύµφωνα µε τη διαδικασία Poisson και εξυπηρετούνται σύµφωνα µε την κανονική κατανοµή. Σκοπός µας είναι να υπολογίσουµε τους βασικούς δείκτες απόδοσης του συστήµατος όταν αυτό βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας, δηλαδή λ<µ. Ο βαθµός απασχόλησης της θέσης εξυπηρέτησης είναι : ρ=λ/µ= 23/32=0, Αυτό σηµαίνει ότι το ταµείο είναι απασχοληµένο κατά 7% του συνολικού χρόνου λειτουργίας. Η πιθανότητα ένας πελάτης που φθάνει στο σύστηµα να εξυπηρετηθεί αµέσως είναι ίση µε την πιθανότητα να µην έχουµε κανέναν πελάτη στο σύστηµα, δηλαδή : P 0 = -λ/µ=-0,7875=0, Το µέσο πλήθος στην ουρά αναµονής, δηλαδή το µέσο µήκος της ουράς ισούται µε : L q =λ 2 /µµ-λ=23 2 / =529/288=, Το µέσο πλήθος πελατών στο σύστηµα και ο µέσος χρόνος αναµονής στην ουρά είναι : L=λ/µ-λ=23/32-23=23/9=2, W q =L q /λ=,83/23=0,079 ώρες

47 Τέλος, ο µέσος χρόνος παραµονής ενός πελάτη στο σύστηµα είναι : W=/µ-λ=/32-23=/9=0, ώρες Μοντέλο Μ / Μ / s Το µοντέλο αυτό εφαρµόζεται στην περίπτωση που υπάρχουν περισσότερα του ενός σηµεία εξυπηρέτησης, όπως στην περίπτωση των τραπεζών. Όλες οι µονάδες εξυπηρέτησης εξυπηρετούν τα αντικείµενα µε το ίδιο µ. Το µοντέλο αυτό απεικονίζεται στην παρακάτω Εικόνα 2. Εικόνα 2 Σύστηµα ουράς Μ / Μ / s Πηγή: Tabari et al., 202 Οι προϋποθέσεις που ισχύουν σε αυτό το µοντέλο είναι οι εξής [70]:. Οι πελάτες εξυπηρετούνται µε σειρά αφίξεως FIFO 2. Κάθε αντικείµενο εξυπηρετείται από την πρώτη διαθέσιµη µονάδα εξυπηρέτησης 3. Ο ρυθµός των αντικειµένων στην άφιξη ακολουθεί κατανοµή Poisson 4. Ο ρυθµός εξυπηρέτησης ακολουθεί εκθετική κατανοµή 5. Ο µέσος ρυθµός εξυπηρέτησης είναι µεγαλύτερος από το µέσο ρυθµό άφιξης -35-