«ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΥΡΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΣΤΑΘΜΟ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ»

Transcript

1 Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩN «ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΥΡΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΣΤΑΘΜΟ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ» Της σπουδάστριας ΒΑΤΣΕΡΗ ΑΝΤΙΓΟΝΗ Επιβλέπων Δρ. ΓΕΡΟΝΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής ΚΑΒΑΛΑ 2005

2

3 Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩN «ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΥΡΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΣΤΑΘΜΟ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ» Της σπουδάστριας ΒΑΤΣΕΡΗ ΑΝΤΙΓΟΝΗ Επιβλέπων Δρ. ΓΕΡΟΝΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής ΚΑΒΑΛΑ 2005

4

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 3 Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ 1.1 Γιατί δημιουργούνται ουρές αναμονής Τα χαρακτηριστικά των συστημάτων εξυπηρέτησης Ο συμβολισμός Kendal για τα συστήματα ουρών 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ POISSON 2.1 Η εκθετική κατανομή και η Poisson διαδικασία αφίξεων Λειτουργία της Ουράς Αναμονής Ιδιότητες της διαδικασίας Poisson 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΓΕΝΝΗΣΗΣ-ΘΑΝΑΤΟΥ, ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΟΥΡΕΣ 3.1 Τι ονομάζουμε διαδικασία γέννησης θανάτου Απλές Μαρκοβιανές ουρές Η έννοια της στατικής ισορροπίας Μέτρα λειτουργικότητας του συστήματος της ουράς 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΒΑΣΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΟΥΡΩΝ 4.1 Το Βασικό Μοντέλο Ουρών Αναμονής - Μία Μονάδα Εξυπηρέτησης (Μ/Μ/1) Το Βασικό Σύστημα με Παράλληλες Θέσεις Εξυπηρέτησης Η πεπερασμένης χωρητικότητας ουρά (Μ/Μ/1/Κ) 29 1

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕ ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ EXTEND 5.1 Προσομοίωση Ενδεικτικά παραδείγματα εφαρμογών της προσομοίωσης στην αξιολόγηση διαδικασιών Το λογισμικό EXTEND 33 2

7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι ουρές αναμονής (waiting lines, queues) είναι ένα φαινόμενο, που όλοι συναντούμε στη καθημερινή μας ζωή. Μερικές φορές φαίνεται να περνάμε την περισσότερη ζωή μας περιμένοντας σε ουρές. Συχνά περιμένουμε σ ένα πρατήριο βενζίνης, για να εφοδιάσουμε με καύσιμα το αυτοκίνητο μας, σε μία τράπεζα για να πραγματοποιήσουμε μία συναλλαγή, σ ένα ταχυδρομείο για να στείλουμε τα γράμματα, στη στάση λεωφορείων ή ταξί για να επιβιβαστούμε στο μέσο μεταφοράς, σ ένα θέατρο για να αγοράσουμε εισιτήρια, στους φωτεινούς σηματοδότες μίας διασταύρωσης επίσης στο σπίτι ξοδεύουμε χρόνο περιμένοντας σε τηλεφωνικές γραμμές όταν χρησιμοποιούμε το τηλέφωνο κ.α. Ουρές αναμονής παρουσιάζονται και σε άλλα συστήματα εξίσου σημαντικά, οι οποίες όμως δεν διακρίνονται τόσο εύκολα, όπως για παράδειγμα, σε αεροδρόμια, λιμάνια και σταθμούς τρένων όπου τα μέσα μεταφοράς δημιουργούν ουρές αναμονής για να εξυπηρετηθούν (διαδικασίες προσέγγισης, φόρτωσης, εκφόρτωσης). Με γνώμονα την θεωρία των ουρών αναμονής έγινε η συγγραφή αυτής της εργασίας και έχει σκοπό να βοηθήσει τους αναγνώστες, μέσω της λεπτομερούς ανάπτυξης της μεθοδολογίας των ουρών αναμονής και μια σειρά παραδειγμάτων, στην κατανόηση της ανάλυσης του απλούστερου συστήματος εξυπηρέτησης, το οποίο περιλαμβάνει μία ουρά αναμονής και μία θέση εξυπηρέτησης και του συστήματος με μία ουρά αναμονής και περισσότερες από μία παράλληλες θέσεις εξυπηρέτηση. Αυτή η εργασία αποτελείται από πέντε κεφάλαια: Στο πρώτο κεφάλαιο, θα δούμε τον λόγο για τον οποίο δημιουργούνται ουρές αναμονής, κάποια βασικά χαρακτηριστικά των συστημάτων εξυπηρέτησης, καθώς και τον συμβολισμό Kendall των συστημάτων ουράς. Στο δεύτερο κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με την εκθετική κατανομή, με την διαδικασία αφίξεων Poisson και τις ιδιότητες της καθώς επίσης και με την λειτουργία της ουράς αναμονής. 3

8 Στο τρίτο κεφάλαιο, θα αναλύσουμε βασικές έννοιες όπως αυτή της στατικής ισορροπίας, της διαδικασίας γέννησης-θανάτου και της απλής Μαρκοβιανής ουράς και επιπλέον θα δούμε τα μέτρα λειτουργικότητας του συστήματος της ουράς. Στο τέταρτο κεφάλαιο, θα γνωρίσουμε πως αναλύονται τα βασικά μοντέλα ουρών και θα δούμε παραδείγματα ουρών αναμονής βασισμένα στην θεωρία των μοντέλων αυτών. Στο πέμπτο κεφάλαιο, θα λύσουμε προβλήματα ουρών αναμονής χρησιμοποιώντας το extend, ένα πρόγραμμα που αναπτύσσει με ποιο εύκολο τρόπο τις ουρές αναμονής και που εξάγει χρήσιμα συμπεράσματα που βοηθούν στις επιχειρησιακές αποφάσεις. 4

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ 1.1 Γιατί δημιουργούνται ουρές αναμονής Οτιδήποτε (άνθρωπος, αυτοκίνητο, μηχάνημα) επιζητεί ή περιμένει να εξυπηρετηθεί ονομάζεται πελάτης (customer). Τα σημεία εξυπηρέτησης ονομάζονται θέσεις εξυπηρέτησης (servers). Το πλήθος των πελατών που φθάνει για εξυπηρέτηση στη μονάδα του χρόνου δεν είναι σταθερό στις περισσότερες περιπτώσεις, όπως και ο αριθμός των εξυπηρετούμενων πελατών δεν είναι συνήθως σταθερός. Οι ουρές αναμονής δημιουργούνται όταν η δυναμικότητα ενός συστήματος εξυπηρέτησης όπως αυτή προσδιορίζεται από το πλήθος των θέσεων εξυπηρέτησης και το ρυθμό εξυπηρέτησης της καθεμιάς από αυτές, δεν επαρκεί για να ικανοποιήσει τη ζήτηση. Υπάρχουν όμως και περιπτώσεις που η δυναμικότητα του συστήματος εξυπηρέτησης είναι επαρκής, αλλά δημιουργούνται ουρές αναμονής. Ο κύριος λόγος δημιουργίας ουρών αναμονής είναι το γεγονός ότι σε όλα τα συστήματα υπάρχει ένας βαθμός αβεβαιότητας ως προς την έκβαση διάφορων γεγονότων που συμβαίνουν σ αυτά. Η αβεβαιότητα σ ένα σύστημα εξυπηρέτησης εμφανίζεται με διάφορες μορφές. Για παράδειγμα, καθώς ο χρόνος εξελίσσεται το πλήθος των πελατών που καταφθάνουν στο σύστημα δεν είναι σταθερό, ούτε και γνωστό εκ των προτέρων. Επίσης άγνωστη είναι και η χρονική στιγμή που καταφθάνει κάθε πελάτης. Η αβεβαιότητα διέπει όμως και τη «συμπεριφορά» των θέσεων εξυπηρέτησης. Όπως, ο χρόνος που περιμένει κάθε πελάτης στη θέση εξυπηρέτησης ενδέχεται να μην είναι σταθερός και να μεταβάλλεται κάτω από διάφορες συνθήκες. Έτσι υπάρχουν πολλές φορές περισσότεροι πελάτες στο σύστημα (υπερφορτωμένο), απ όσους μπορεί να εξυπηρετήσει, ενώ σε άλλες το σύστημα βρίσκεται σε αδράνεια και δεν υπάρχει καθόλου ουρά αναμονής. 5

10 Συνεπώς η αβεβαιότητα που υπάρχει σ ένα σύστημα εξυπηρέτησης δημιουργεί ουρές αναμονής, ακόμα και στην περίπτωση όπου η δυναμικότητα του συστήματος εμφανίζεται να είναι επαρκής για να ικανοποιήσει τη ζήτηση. Από τα προηγούμενα είναι φανερό ότι και σε περιπτώσεις που οι πελάτες οι οποίοι συσσωρεύονται σε ουρές αναμονής δεν είναι άνθρωποι, όπως για παράδειγμα, προϊόντα σε γραμμές παραγωγής ο χρόνος αναμονής των πελατών και ο χρόνος που το σύστημα βρίσκεται σε αδράνεια, δημιουργούν κόστος. Γι αυτό το λόγο η θεωρία ουρών αναμονής αποσκοπεί στη μείωση του χρόνου της που είναι ένα από τα βασικά στοιχεία λειτουργικότητας του συστήματος. Έτσι το ζητούμενο είναι να βρεθεί ένα σημείο ισορροπίας ανάμεσα στο κόστος βελτίωσης του επιπέδου εξυπηρέτησης και στο κόστος που προκύπτει από την αναμονή των πελατών. 1.2 Τα χαρακτηριστικά των συστημάτων εξυπηρέτησης Τα μοντέλα της θεωρίας ουρών αναμονής στοχεύουν στη πρόβλεψη της αναμενόμενης συμπεριφοράς του συστήματος και στον υπολογισμό των βασικών δεικτών απόδοσής του. Οι δείκτες αυτοί είναι: ο μέσος χρόνος αναμονής ενός πελάτη στην ουρά, ο μέσος χρόνος αναμονής ενός πελάτη στο σύστημα, το μέσο πλήθος πελατών στην ουρά, το μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα, το ποσοστό απασχόλησης της θέσης ή των θέσεων εξυπηρέτησης και πολλοί άλλοι. Με την βοήθεια αυτών των δεικτών μπορούμε να εκτιμήσουμε την απόδοση ενός συστήματος εξυπηρέτησης και να υπολογίσουμε περισσότερα στοιχεία ώστε να πάρουμε τις καλύτερες δυνατές αποφάσεις. Αυτές οι αποφάσεις ικανοποιούν κάποιες απαραίτητες λειτουργικές προδιαγραφές του συστήματος που θα θέλαμε να ικανοποιούνται. Αυτές μπορεί να είναι η ύπαρξη κάποιας ελάχιστης χωρητικότητας στο χώρο αναμονής, η επίτευξη ενός επιθυμητού χρόνου αναμονής των πελατών και ο περιορισμός του μέγιστου πλήθους πελατών που βρίσκονται σε αναμονή. Πριν όμως υπολογίσουμε τους δείκτες απόδοσης για κάθε ένα από τα βασικά μοντέλα που θα αναπτύξουμε, θα παρουσιάσουμε τα βασικά συστατικά στοιχεία που αποτελούν ένα σύστημα εξυπηρέτησης. Στο σχήμα 1 βλέπουμε ένα απλό σύστημα εξυπηρέτησης του οποίου τα βασικά στοιχεία είναι η πηγή 6

11 πελατών, η διαδικασία αφίξεων, η ουρά αναμονής και η διαδικασία εξυπηρέτησης. Σχήμα 1 Ένα απλό σύστημα εξυπηρέτησης 1) Πηγή πελατών Το πρώτο βασικό στοιχείο του συστήματος εξυπηρέτησης είναι η πηγή των πελατών. Η πηγή των πελατών χαρακτηρίζεται από το πλήθος των πελατών το οποίο μπορεί να είναι άπειρο ή πεπερασμένο. 2) Η διαδικασία αφίξεων των πελατών (α) Κανονικές αφίξεις Στον κανονικό τρόπο άφιξης οι πελάτες φτάνουν ένας-ένας σε ίσα χρονικά διαστήματα. Οι κανονικές αφίξεις από φυσική άποψη είναι η απλούστερη διαδικασία όχι όμως και από μαθηματική. (β) Τυχαίες αφίξεις Εδώ υπάρχει αβεβαιότητα σχετικά με την άφιξη του πελάτη, δηλαδή αν θα φτάσει ποτέ, μόνος ή με άλλους μαζί και πότε. Ακόμη, μπορεί οι αφίξεις να είναι εξαρτημένες μεταξύ τους, να έχουμε αφίξεις κατά ομάδες κ.α. Όλοι αυτοί οι τρόποι αφίξεων κατατάσσονται στην τυχαία διαδικασία. Η περίπτωση αυτή είναι και εκείνη που εμφανίζεται συχνότερα στην πράξη. 7

12 3) Η πειθαρχία της ουράς Αναφέρεται στον τρόπο που επιλέγονται οι πελάτες της ουράς προς εξυπηρέτηση. Το πιο συνηθισμένο είναι να εξυπηρετείται ο καθένας με την σειρά του δηλαδή οι πρώτοι εξυπηρετούνται πρώτοι (first-in-first-out). Υπάρχουν και περιπτώσεις που οι τελευταίοι εξυπηρετούνται πρώτοι (last-infirst-out) όπως συμβαίνει π.χ. σ ένα σύστημα αποθήκευσης, όπου συνηθίζεται το τελευταίο αντικείμενο που αποθηκεύτηκε να είναι αυτό που θα πουληθεί πρώτο. 4) Δυνατότητα του συστήματος της ουράς Με αυτό το χαρακτηριστικό αναφερόμαστε στο μέγιστο αριθμό πελατών της ουράς στην περίπτωση που ο χώρος αναμονής είναι περιορισμένος και υπάρχει πληρότητα, τότε θα πρέπει να εξυπηρετηθεί κάποιος πελάτης για να προστεθεί στην ουρά ένας νέος. 5) Ο αριθμός των σημείων εξυπηρέτησης Αυτός αναφέρεται στον αριθμό παράλληλων σημείων που προσφέρουν ταυτόχρονη εξυπηρέτηση. Όπως π.χ. ταμεία τράπεζας. 6) Φάσεις εξυπηρέτησης Ένα σύστημα ουράς μπορεί να έχει περισσότερες από μια φάσεις εξυπηρέτησης. Π.χ. σε ένα αεροδρόμιο το σύστημα ουράς έχει σαν πρώτη φάση τον έλεγχο διαβατηρίων, σαν δεύτερη τον έλεγχο αποσκευών και σαν τρίτη τη σωματική έρευνα. 7) Η διαδικασία εξυπηρέτησης Βασικό στοιχείο που χαρακτηρίζει την διαδικασία εξυπηρέτησης είναι ο χρόνος που χρειάζεται για να εξυπηρετηθεί ο πελάτης, τον οποίο και ονομάζουμε χρόνο εξυπηρέτησης. Οι τυχαίες μεταβλητές που εκφράζουν το χρόνο εξυπηρέτησης των πελατών είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και ακολουθούν την ίδια κατανομή. Άλλο χαρακτηριστικό είναι η δυνατότητα εξυπηρέτησης του συστήματος δηλαδή το μέγιστο αριθμό πελατών που μπορεί να εξυπηρετήσει το σύστημα σε μια χρονική στιγμή. Τέλος η 8

13 προσφορά εξυπηρέτησης εκφράζει την ύπαρξη σημείων εξυπηρέτησης στο σύστημα της ουράς. Τα παρακάτω σχήματα παρουσιάζουν συστήματα ουρών, στα οποία φαίνονται μερικά από τα χαρακτηριστικά που περιγράψαμε προηγουμένως. Σχήμα 2 Μία ουρά αναμονής, μία φάση εξυπηρέτησης με μία θέση εξυπηρέτησης Σχήμα 3 Μία ουρά αναμονής, μία φάση εξυπηρέτησης με πολλαπλές θέσεις εξυπηρέτησης 9

14 Σχήμα 4 Μία ουρά αναμονής, δύο φάσεις εξυπηρέτησης με μία θέση εξυπηρέτησης Σχήμα 5 Μία ουρά αναμονής, δύο φάσεις εξυπηρέτησης με πολλαπλές θέσεις εξυπηρέτησης 10

15 Σχήμα 6 Τρεις ουρές αναμονής που οδηγούν σε μία θέση εξυπηρέτησης η καθεμία Τα επτά χαρακτηριστικά που προαναφέραμε είναι αρκετά για να μας δώσουν τις απαραίτητες πληροφορίες ώστε να κατασκευάσουμε τα στοχαστικά μοντέλα για να μελετήσουμε ένα σύστημα ουράς. 1.3 Ο συμβολισμός Kendal για τα συστήματα ουρών Ο D.G.Kendal (1953) πρότεινε ένα συμβολισμό στα συστήματα ουρών στην προσπάθειά του να το καθιερώσει για τους ερευνητές αυτού του χώρου και έτσι να υπάρξει μια κοινή γλώσσα αναφοράς για όλους. Στο συμβολισμό αυτόν ένα σύστημα ουράς περιγράφεται με μία σειρά από σύμβολα όπως Α/Β/Γ/Δ/Ε, όπου Α εκφράζει τη διαδικασία αφίξεων και συγκεκριμένα όταν στη θέση του είναι το Μ, τότε αυτό σημαίνει ότι η διαδικασία αφίξεων ακολουθεί την Poisson. Το Μ αναφέρεται στην εκθετική κατανομή, που συνοδεύει την Poisson και προκύπτει από τη λέξη Markovian, η οποία είναι μια άλλη ονομασία της εκθετικής. Χρησιμοποιώντας λοιπόν το Μ, εννοούμε κατανομή Poisson για το ρυθμό αφίξεων και αντίστοιχα εκθετική κατανομή για την κατανομή του χρόνου ανάμεσα στις διαδοχικές αφίξεις. Στη θέση του Β μπαίνει το γράμμα που αναφέρεται για το συμβολισμό της κατανομής του χρόνου εξυπηρέτησης. Στη θέση του Γ τοποθετείται το πλήθος 11

16 των παράλληλων θέσεων εξυπηρέτησης. Το Δ είναι θέση για τη χωρητικότητα του συστήματος εξυπηρέτησης, όταν αυτή είναι περιορισμένη και τέλος το γράμμα Ε εκφράζει την πειθαρχία της ουράς, δηλαδή το πλήθος των πελατών στην πηγή, όταν αυτό είναι πεπερασμένο. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται τα γράμματα που τοποθετούνται στις θέσεις των Α/Β/Γ/Δ/Ε, σε κάθε περίπτωση. Πίνακας 1 Συμβολισμός των ουρών Χαρακτηριστικά Σύμβολο Ερμηνεία Διαδικασία αφίξεων(α) Μ Poisson D Κανονική Εk Κατανομή Erlang παραμέτρου k=1,2, GI Γενική ανεξάρτητη Κατανομή χρόνου Μ Εκθετική Εξυπηρέτησης(Β) D Κανονική Εk Κατανομή Erlang παραμέτρου k G Γενική Αριθμός σημείων εξυπηρέτησης σε παράλληλη θέση(γ) 1,2, Περιορισμοί στο μέγεθος ουράς(δ) 1,2,, Πειθαρχία της ουράς FIFO Ο πρώτος στο σύστημα εξυπηρέτησης πρώτος Πειθαρχία της ουράς(ε) LIFO Ο τελευταίος στο σύστημα εξυπηρέτησης πρώτος SIRO Εξυπηρέτηση κατά τυχαίο τρόπο PRI Με προτεραιότητα GD Γενική συμπεριφορά Για παράδειγμα το σύστημα ουράς M/D/2//FIFO είναι το σύστημα που έχει Poisson διαδικασία αφίξεων, απαριθμητή κατανομή χρόνου εξυπηρέτησης, 2 παράλληλα σημεία εξυπηρέτησης, κανένα περιορισμό στο μήκος της ουράς και εξυπηρετείται πρώτος εκείνος που φθάνει πρώτος στο σύστημα. 12

17 Σε πολλαπλές περιπτώσεις χρησιμοποιούνται μόνο τα τρία πρώτα σύμβολα. Έτσι λοιπόν το M/D/2 εκφράζει το ίδιο με το προηγούμενο. Τα σύμβολα GI και G εκφράζουν γενικές κατανομές. Το GI σημαίνει ακόμα ότι οι διαδικασίες αφίξεων για κάθε πελάτη, είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και με την ίδια κατανομή τυχαίες μεταβλητές (Φακινός, Δ., 1994). 13

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ POISSON 2.1 Η εκθετική κατανομή και η Poisson διαδικασία αφίξεων Στη θεωρία των ουρών αναμονής ο αριθμός των αφίξεων ανά μονάδα χρόνου μπορεί να προσεγγισθεί από μία γνωστή στατιστική κατανομή, την κατανομή Poisson. Η κατανομή Poisson ορίζεται ως εξής: Έστω ότι ο μέσος όρος αφίξεων ανά μονάδα χρόνου είναι σταθερός και συμβολίζεται με λ. Τότε η πιθανότητα για Χ αφίξεις σε μία μονάδα χρόνου δίνεται από την σχέση: e PX ( αφίξεις) x! x. Το παρακάτω ιστόγραμμα είναι ενδεικτικό για την καλύτερη κατανόηση της κατανομής Poisson. Υποθέτουμε ότι 2, δηλαδή ότι κατά μέσο όρο συμβαίνουν 2 αφίξεις κάθε ώρα. Σχήμα 7 Κατανομή Poisson 14

19 Όπως παρατηρούμε στο ιστόγραμμα αν ο μέσος ρυθμός αφίξεων είναι 2 πελάτες την ώρα, η πιθανότητα για να πραγματοποιηθούν 0 αφίξεις σε μία ώρα είναι περίπου 14%, η πιθανότητα για άφιξη 1 πελάτη σε μία ώρα είναι περίπου 26% και για 2 πελάτες είναι το ίδιο ποσοστό, η πιθανότητα για 3 πελάτες είναι περίπου 17% κ.ο.κ. Για αφίξεις παραπάνω από 8 πελάτες οι πιθανότητες είναι πραγματικά μηδέν. Χρόνος εξυπηρέτησης Ο χρόνος που απαιτείται για την εξυπηρέτηση του πελάτη (από τη στιγμή που υπάρχει μονάδα εξυπηρέτησης ελεύθερη) μπορεί να είναι σταθερός ή όπως συμβαίνουν και στα περισσότερα συστήματα ουρών αναμονής να παρουσιάζει τυχαίες διακυμάνσεις. Για τις πιο πολλές περιπτώσεις συστημάτων ουράς αναμονής μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί την εκθετική κατανομή η οποία ορίζεται ως εξής: P(Χρόνος εξυπηρέτησης t) e t. Όπου με συμβολίζεται ο αριθμός των πελατών που εξυπηρετούνται στη μονάδα χρόνου. Το σχήμα δείχνει την εκθετική κατανομή όταν ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης πελάτη είναι 20 λεπτά, δηλαδή ο ρυθμός εξυπηρέτησης πελάτες ανά ώρα. είναι: 3 15

20 Σχήμα 8 Χρόνος Εξυπηρέτησης - Εκθετική Κατανομή Μονάδες Εξυπηρέτησης Για τον πελάτη που περιμένει στην ουρά μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μία μονάδα εξυπηρέτησης (π.χ. ταμεία στην τράπεζα, διάδρομοι διοδίων). Σε αυτή την περίπτωση ο πελάτης εξυπηρετείται από την πρώτη διαθέσιμη μονάδα (Οικονόμου και Γεωργίου, 2000). 2.2 Λειτουργία της Ουράς Αναμονής Η ουρά σχηματίζεται από πελάτες που περιμένουν τη σειρά τους να εξυπηρετηθούν. Η σειρά λοιπόν που εξυπηρετούνται οι πελάτες που περιμένουν στην ουρά είναι ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά των συστημάτων ουρών αναμονής. Οι μέθοδοι που εφαρμόζονται για την λειτουργία των ουρών είναι κυρίως οι εξής: FIFO (First In First Out): Οι πελάτες εξυπηρετούνται με βάση τη χρονολογική σειρά προσέλευσης, δηλαδή ο πελάτης που βρίσκεται πρώτος στη σειρά εξυπηρετείται και πρώτος. 16

21 LIFO (Last In First Out): Σ αυτήν την περίπτωση ο πελάτης που έχει φτάσει στην ουρά τελευταίος, εξυπηρετείται πρώτος. Τυχαία Επιλογή: Οι πελάτες επιλέγονται τυχαία από αυτούς που περιμένουν στην ουρά. Προτεραιότητες: Οι πελάτες χωρίζονται σε κατηγορίες με διαφορετικές προτεραιότητες. Επιλέγονται πρώτα οι πελάτες με την πιο υψηλή προτεραιότητα. Όταν δύο πελάτες έχουν την ίδια προτεραιότητα επιλέγεται αυτός που αναμένει τον περισσότερο χρόνο. Βέβαια το πιο συνηθισμένο σύστημα επιλογής πελατών είναι το FIFO, που όπως έχουμε πει η εξυπηρέτηση των πελατών γίνεται με βάση τη σειρά προέλευσης στην ουρά ((Οικονόμου και Γεωργίου, 2000). 2.4 Ιδιότητες της διαδικασίας Poisson Έστω X ( t), t 0 μια διαδικασία Poisson με παράμετρο. Η διαδικασία Poisson δεν παρέχει ένα κατάλληλο στοχαστικό μοντέλο μόνο που έχουμε αφίξεις πελατών σε μια ουρά αλλά γενικά εμφάνιση μέσα στο χρόνο ενός φαινομένου (βλέπε το παρακάτω σχήμα) του οποίου οι εμφανίσεις ικανοποιούν κάποιες συνθήκες. Σχήμα 9 t 17

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΓΕΝΝΗΣΗΣ-ΘΑΝΑΤΟΥ, ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΟΥΡΕΣ 3.1 Τι ονομάζουμε διαδικασία γέννησης θανάτου Η διαδικασία γέννησης θανάτου αποτελεί την πιο απλή τροποποίηση της διαδικασίας Poisson. Η διαδικασία αυτή λοιπόν μπορεί από οποιαδήποτε κατάσταση να μεταβαίνει όχι μόνο στην επόμενη, αλλά και στην προηγούμενη κατάσταση. Αυτή ονομάζεται έτσι από το γεγονός ότι χρησιμοποιήθηκε αρχικά ως στοχαστικό μοντέλο για την περιγραφή βιολογικών πληθυσμών, οι οποίοι αυξομειώνονται λόγω γεννήσεων και θανάτων. Συγκεκριμένα, έχουμε τον επόμενο ορισμό. ΟΡΙΣΜΟΣ 1: Μια Μαρκοβιανή αλυσίδα συνεχούς χρόνου { X ( t) : t 0} με χώρο καταστάσεων 0 λέγεται διαδικασία γέννησης θανάτου αν και μόνο αν οι απειροστές πιθανότητες μετάβασης P ( h) P( X ( t h) j X ( t) j) ij έχουν τη μορφή h o( h) αν j i 1 i P ( h) h o( h) αν j i 1 ij i oh ( ) διαφορετικά όπου 0 0, 0 0, i, i 0 ( i ). Οι ρυθμοί μετάβασης, ( ) i i i αναφέρονται ως ρυθμοί γέννησης και θανάτου αντίστοιχα. Έτσι το αντίστοιχο διάγραμμα ρυθμών μετάβασης έχει τη μορφή: 18

23 Σχήμα 10 Ενώ στο παρακάτω σχήμα δίνεται η αλυσίδα συνεχούς χρόνου { ( ) : 0}, όπου υποθέτουμε 0 0. X t t Σχήμα 11 Χ ( t,ω 0 ) t 3.2 Απλές Μαρκοβιανές ουρές Με τον όρο Μαρκοβιανή ουρά εννοούμε κάθε σύστημα εξυπηρέτησης, το οποίο μπορεί να περιγραφεί με τη βοήθεια μιας Μαρκοβιανής αλυσίδας συνεχούς χρόνου. Έστω μια ουρά όπου τόσο οι αφίξεις όσο και οι αναχωρήσεις των πελατών γίνονται μεμονωμένα και όχι ομαδικά. Θεωρώντας κάθε άφιξη ως γέννηση και κάθε αναχώρηση ως θάνατο στο σύστημα με συγκεκριμένο αριθμό πελατών, είναι φανερό ότι από κάθε κατάσταση η μετάβαση γίνεται μόνο στις διπλανές καταστάσεις. Αν επιπλέον ο αριθμός των πελατών στο σύστημα, ως συνάρτηση του χρόνου, έχει τη 19

24 Μαρκοβιανή ιδιότητα, τότε η ουρά περιγράφεται με μια διαδικασία γέννησης θανάτου και αναφέρεται ως απλή Μαρκοβιανή ουρά. Απαραίτητη συνθήκη γι αυτό είναι τόσο οι ενδιάμεσοι χρόνοι αφίξεων όσο και οι χρόνοι εξυπηρέτησης ανεξάρτητες ακολουθίες ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με την εκθετική κατανομή. Η διαδικασία γέννησης θανάτου είναι κατάλληλο στοχαστικό μοντέλο για την περιγραφή και μελέτη βιολογικών πληθυσμών. Συνήθως σε τέτοια συστήματα είναι 0 0. Η διαδικασία γέννησης θανάτου χρησιμοποιείται επίσης ως στοχαστικό μοντέλο και σε άλλα στοχαστικά συστήματα, όπως στα συστήματα εξυπηρέτησης, αφού ο αριθμός των πελατών αυξομειώνονται λόγω αφίξεων αναχωρήσεων. Σε ένα τέτοιο σύστημα είναι 0 0, αφού ο ρυθμός αυτός αναφέρεται σε αφίξεις πελατών που βρίσκουν το σύστημα άδειο. Από την άλλη μεριά, αν το σύστημα έχει πεπερασμένη χωρητικότητα s, ( s ), τότε αλλάζουμε την διαδικασία υποθέτοντας ότι ρυθμός αυτός αναφέρεται 0 s, αφού ο σε αφίξεις πελατών που βρίσκουν το σύστημα πλήρες και αναχωρούν αμέσως, χωρίς να μεταβάλλουν τον αριθμό των πελατών που ήδη υπάρχουν στο σύστημα. Σ αυτή την περίπτωση, η διαδικασία έχει πεπερασμένο χώρο καταστάσεων S {0,1,2,..., s} και αναφέρεται ως πεπερασμένη διαδικασία γέννησης θανάτου. Όπως για τη διαδικασία Poisson, έτσι και εδώ, ασχολούμαστε με την εύρεση πιθανοτήτων p ( t) P( X ( t) n), ( ns, t 0) n. Γενικά η κατανομή { p i (0)} της αρχικής τ.μ. X (0) θεωρείται δεδομένη. Διαδικασίες γέννησης - θανάτου και γενικότερα Μαρκοβιανές αλυσίδες συνεχούς χρόνου με την ιδιότητα ότι για κάθε t 0 λέγονται κανονικές ή μη αποκλίνουσες. 20

25 3.3 Η έννοια της στατικής ισορροπίας Η έννοια της «στατιστικής ισορροπίας» βρίσκεται συχνά σε συστήματα που περιγράφονται με πιθανότητες και συνήθως ορίζεται ανάλογα με το σύστημα. Η έννοια αυτή αποδείχτηκε εξαιρετικά χρήσιμη για την απλοποίηση πολλών πολύπλοκων καταστάσεων, αφού η μελέτη των συστημάτων σε κατάσταση «στατιστικής ισορροπίας» μας δίνει σπουδαίες πληροφορίες για το σύστημα. Είναι σημαντικό να σημειώσουμε ότι όλα τα μοντέλα που θα εξετάσουμε στη συνέχεια περιγράφουν την συμπεριφορά του συστήματος όταν αυτό βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας (steady state). Ένα σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας όταν η συμπεριφορά του δεν εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες που υπάρχουν κατά την έναρξη της λειτουργίας του. Για να κατανοήσουμε την έννοια αυτή ας δώσουμε το ακόλουθο παράδειγμα. Μία τράπεζα αρχίζει τη λειτουργία της στις 8 το πρωί. Την ώρα αυτή περιμένουν συνήθως έξω πελάτες, που εισέρχονται όλοι μαζί και σχηματίζουν μία μεγάλη ουρά αναμονής μπροστά από τα ταμεία. Η κατάσταση που δημιουργείται δεν είναι τυπική της λειτουργίας του συστήματος, αλλά χαρακτηριστική της συγκεκριμένης ώρας, που το σύστημα επηρεάζεται από τις συνθήκες εκκίνησης. Τυπική λειτουργία θα μπορούσε να θεωρηθεί εκείνη κατά την οποία ο μέσος ρυθμός αφίξεων παραμένει σταθερός για κάποιο χρονικό διάστημα. Έτσι στις περισσότερες περιπτώσεις έχει την έννοια της κατάστασης στην οποία περιέρχεται το σύστημα μετά από ένα εύλογο χρονικό διάστημα από την αρχική του κατάσταση στη διάρκεια του οποίου εξαλείφεται η επίδραση των συνθηκών εκκίνησης. Στο παραπάνω παράδειγμα της τράπεζας, το εύλογο χρονικό διάστημα παρέρχεται όταν το αρχικά ασυνήθιστο μήκος της ουράς (λόγω της μαζικής εισόδου πελατών) φθάνει στα τυπικά επίπεδα μεταβλητότητας σύμφωνα με την κατανομή αφίξεων και εξυπηρέτησης. Η περίοδος που απαιτείται ώστε το σύστημα να μην εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες εκκίνησης και να συγκλίνει σε κατάσταση ισορροπίας, ονομάζεται παροδική περίοδος. Αν δεν μπορέσουμε να απομονώσουμε μία περίοδο λειτουργίας του συστήματος που να έχει εξαλειφθεί η επίδραση της αρχικής κατάστασης, τότε το σύστημα δεν φθάνει σε κατάσταση ισορροπίας. 21

26 Στις περιπτώσεις αυτές για να περιγράψουμε τη λειτουργία του συστήματος και να οδηγηθούμε σε βέλτιστες αποφάσεις, συνήθως καταφεύγουμε στην τεχνική της προσομοίωσης. 3.5 Μέτρα λειτουργικότητας του συστήματος της ουράς Οι πιθανότητες η ουρά να έχει ένα ορισμένο πληθυσμό σε κατάσταση «στατιστικής ισορροπίας», μας επιτρέπει να υπολογίσουμε μερικές ποσότητες που χρησιμεύουν σαν μέτρα λειτουργικότητας, ή αλλιώς θα μπορούσαμε να πούμε ότι μας δείχνει πόσο αποτελεσματική είναι η ουρά από άποψη συνωστισμού. Ένα από τα πρώτα μέτρα είναι η αναμενόμενη τιμή των πελατών στο σύστημα στην κατάσταση στατιστικής ισορροπίας. Έστω Q ο αριθμός των πελατών στο σύστημα σε κατάσταση στατιστικής ισορροπίας και τιμή του αριθμού αυτού. Τότε έχουμε: L η μέση n L E( Q) np n(1 ) n n0 n0 22

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΒΑΣΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΟΥΡΩΝ 4.1 Το Βασικό Μοντέλο Ουρών Αναμονής - Μία Μονάδα Εξυπηρέτησης (Μ/Μ/1) Εδώ θα εξετάσουμε τις ουρές εκείνες που εμφανίζονται πιο συχνά στην πράξη, αρχίζοντας από τη συμπεριφορά του απλούστερου συστήματος ουρών αναμονής. Το βασικό λοιπόν μοντέλο με μία μονάδα εξυπηρέτησης και μία φάση εξυπηρέτησης συμβολίζεται με το συμβολισμό Μ/Μ/1. Για την περιγραφή του βασικού μοντέλου με μία ουρά αναμονής και μία θέση εξυπηρέτησης θα χρησιμοποιήσουμε ένα απλό παράδειγμα και θα παραθέσουμε τις μαθηματικές σχέσεις του μοντέλου. Ορισμένες από αυτές τις σχέσεις χρησιμοποιούνται και σε άλλα μοντέλα της θεωρίας ουρών αναμονής. Μία εταιρεία διαθέτει αλυσίδα από συνοικιακά καταστήματα τροφίμων. Πρόσφατα έχει ανοίξει σ ένα προάστιο της Θεσσαλονίκης ένα τέτοιο κατάστημα, το οποίο διαθέτει ένα ταμείο. Οι πελάτες σχηματίζουν μία ουρά αναμονής και πρώτα εξυπηρετείται αυτός που φθάνει πρώτος (FIFO). Τις ώρες αιχμής οι πελάτες φθάνουν μπροστά στο ταμείο με μέσο ρυθμό 8 άτομα την ώρα και ο υπάλληλος του ταμείου είναι σε θέση να εξυπηρετεί κατά μέσο όρο 12 πελάτες την ώρα. Ας υποθέσουμε, ότι οι πελάτες φθάνουν σύμφωνα με τη διαδικασία Poisson και ότι εξυπηρετούνται σύμφωνα με την εκθετική κατανομή. Αντικειμενικός σκοπός της διευθύντριας του καταστήματος της κυρίας Αγγέλου είναι να υπολογίσει τους βασικούς δείκτες απόδοσης του συστήματος, όταν αυτό βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας. Για να εφαρμόσουμε το μοντέλο που θα περιγράψουμε παρακάτω στο σύστημα του παραδείγματος θα πρέπει να διέπεται από τις εξής παραδοχές: 23

28 1. Οι πελάτες εξυπηρετούνται με βάση τη σειρά προσέλευσης (FIFO). 2. Όλοι οι πελάτες μένουν στο σύστημα έως ότου εξυπηρετηθούν ανεξάρτητα με το μέγεθος της ουράς. 3. Οι αφίξεις ακολουθούν κατανομή Poisson (το πρώτο συμβολισμό M / M /1 ). 4. Ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί εκθετική κατανομή (το δεύτερο M στον συμβολισμό M / M /1). 5. Υπάρχει μόνο μία μονάδα εξυπηρέτησης πελατών (το 1 στον συμβολισμό M / M /1 ). 6. Ο ρυθμός εξυπηρέτησης πελατών είναι μεγαλύτερος του αντίστοιχου ρυθμού αφίξεων. Όταν οι παραπάνω συνθήκες ικανοποιούνται, μπορούμε να αναπτύξουμε μία σειρά από μαθηματικές σχέσεις που περιγράφουν τη συμπεριφορά του συστήματος. Όπως προαναφέραμε λοιπόν στο πιο απλό σύστημα ουράς το M στο M / M /1 οι αφίξεις γίνονται σύμφωνα με τη διαδικασία Poisson με παράμετρο. Οπότε = μέσος όρος αφίξεων ανά μονάδα χρόνου (η μέση τιμή της διαδικασίας αφίξεων Poisson). Οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές με εκθετική κατανομή, το οποίο σημαίνει ότι η διαδικασία αναχωρήσεων όσο το σύστημα δεν είναι κενό, είναι μια διαδικασία Poisson με παράμετρο. Οπότε = μέσος όρος πελατών που εξυπηρετούνται ανά μονάδα χρόνου (η μέση τιμή της διαδικασίας εξυπηρέτησης Poisson). Για να υπάρχει κατάσταση ισορροπίας, θα πρέπει να ισχύει η θεμελιώδης σχέση. Στην περίπτωση αυτή ισχύουν για τους δείκτες απόδοσης του συστήματος οι σχέσεις που ακολουθούν: 1. Το μέσο πλήθος πελατών που εξυπηρετούνται στη μονάδα του χρόνου συμβολίζεται με L s και δίνεται από τον τύπο: L s 24

29 2. Η πιθανότητα να είναι η θέση εξυπηρέτησης απασχολημένη, ονομάζεται βαθμός απασχόλησης της θέσης συμβολίζεται με και είναι: 3. Το μέσο πλήθος πελατών που περιμένει στην ουρά αναμονής συμβολίζεται με L q και είναι: L q 2 ( ) 4. Το μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα συμβολίζεται με δίνεται από τη σχέση: L L και 5. Ο μέσος χρόνος αναμονής ενός πελάτη στην ουρά συμβολίζεται με W q και είναι: W q Lq, Wq ( ) 6. Ο μέσος χρόνος που παραμένει ένας πελάτης συνολικά στο σύστημα, δηλαδή ο μέσος χρόνος αναμονής συν ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης, συμβολίζεται με W W 1 και είναι: 7. Η πιθανότητα να μην υπάρχει κανένας πελάτης στο σύστημα συμβολίζεται με p 0 και είναι: p Η πιθανότητα να είναι το πλήθος των πελατών n που βρίσκονται στο σύστημα μεγαλύτερο από έναν αριθμό, έστω k, συμβολίζεται με pn k και είναι: p n k k1 25

30 Ας δούμε όμως πως θα υπολογίσουμε τους διάφορους δείκτες απόδοσης για το κατάστημα τροφίμων στα προάστια της Θεσσαλονίκης. Η διαδικασία αφίξεων έχει μέσο ρυθμό μπορεί να εξυπηρετήσει κατά μέσο όρο 8 πελάτες την ώρα και ο ταμίας 12 πελάτες την ώρα. Η εκθετική κατανομή που εκφράζει τους χρόνους ανάμεσα σε διαδοχικές αφίξεις έχει τιμή 1/ 1/8 ώρες, δηλαδή 7.5 λεπτά, ενώ η εκθετική κατανομή που εκφράζει το χρόνο εξυπηρέτησης κάθε πελάτη έχει τιμή 1/ 1/12 ώρες, δηλαδή 5 λεπτά. Το σύστημα φθάνει σε κατάσταση ισορροπίας αφού βλέπουμε ότι ισχύει. Οπότε χρησιμοποιούμε τις προηγούμενες σχέσεις για να υπολογίσουμε τους δείκτες απόδοσης του συστήματος (Οικονόμου και Γεωργίου, 2000). Η πιθανότητα να είναι η θέση εξυπηρέτησης απασχολημένη είναι: 8 2 0, που σημαίνει ότι η θέση είναι απασχολημένη κατά το 66.67% του συνολικού χρόνου λειτουργίας της. Επειδή όμως το κατάστημα έχει ένα ταμείο υπάρχει η πιθανότητα ένας πελάτης που φθάνει να βρει τη μοναδική θέση απασχολημένη και συνεπώς αυτός ο πελάτης να περιμένει. Η πιθανότητα ένας πελάτης που φθάνει να εξυπηρετηθεί αμέσως είναι ίση με την πιθανότητα να μην έχουμε κανένα πελάτη στο σύστημα και είναι: p Το μέσο μήκος της ουράς είναι: L q ( ) 12(12 8) 48 πελάτες Το μέσο πλήθος πελατών στο σύστημα δίνεται από τη σχέση: 8 L

31 Ο μέσος χρόνος αναμονής ενός πελάτη στην ουρά είναι: W q Lq ώρες, δηλαδή 10 λεπτά Ενώ ο μέσος χρόνος παραμονής ενός πελάτη στο σύστημα είναι: 1 W ώρες, δηλαδή 15 λεπτά Και από τον τελευταίο τύπο βρίσκουμε την πιθανότητα να έχουμε παραπάνω από τρεις πελάτες στο σύστημα και για k 3: 8 pn Επομένως στο εξεταζόμενο σύστημα εξυπηρέτησης ο πελάτης παραμένει κατά μέσο όρο στο σύστημα 15 λεπτά και στην ουρά 10 λεπτά, το μέσο μήκος της ουράς είναι 1.33 πελάτες και η πιθανότητα να βρίσκονται περισσότεροι από τρεις πελάτες στο σύστημα είναι μικρότερη από 20%. Συνεχίζοντας συμπεραίνουμε ότι η θέση παραμένει αδρανής 33.33% του χρόνου λειτουργίας της. Αυτό το ποσοστό συμπίπτει με την πιθανότητα ένας πελάτης που φθάνει στο ταμείο να εξυπηρετηθεί αμέσως. Με άλλα λόγια κατά μέσο όρο το 1/3 των πελατών βρίσκει τη θέση αδρανή και εξυπηρετείται κατευθείαν. Οπότε αν υποθέσουμε ότι οι πελάτες είναι διαθετιμένοι να αναμένουν στην ουρά κατά μέσο όρο 10 λεπτά και 5 λεπτά στη θέση εξυπηρέτησης, το σύστημα αυτό λειτουργεί ικανοποιητικά. Η επιλογή που θα μπορούσε να κάνει η κυρία Αγγέλου για να βελτιώσει ακόμα περισσότερο την απόδοση του συστήματος εξυπηρέτησης είναι να προσθέσει ένα ακόμα ταμείο. Έτσι μας δίνεται η δυνατότητα να πούμε δυο λόγια για το σύστημα με περισσότερες από μία παράλληλες θέσεις εξυπηρέτησης. 27

32 4.2 Το Βασικό Σύστημα με Παράλληλες Θέσεις Εξυπηρέτησης Η επέκταση του βασικού μοντέλου είναι το σύστημα M / M / s στο οποίο υπάρχουν περισσότερες από μία παράλληλες θέσεις εξυπηρέτησης. Στο σύστημα αυτό οι πελάτες σχηματίζουν μία κοινή για όλους ουρά αναμονής μπροστά από τις θέσεις εξυπηρέτησης και εξυπηρετούνται από την πρώτη διαθέσιμη μονάδα εξυπηρέτησης όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα. Κλασσικό παράδειγμα τέτοιου συστήματος είναι η ουρά αναμονής στις τράπεζες, όπου ο πρώτος στην ουρά πελάτης εξυπηρετείται από τον πρώτο ταμία που είναι ελεύθερος. Οι βασικές παραδοχές του μοντέλου αυτές του βασικού μοντέλου M / M /1 M / M / s είναι σε πολλά σημεία ίδιες με και είναι οι ακόλουθες: Οι πελάτες σχηματίζουν μία ουρά αναμονής και εξυπηρετούνται με βάση τη σειρά προσέλευσης (FIFO) πηγαίνοντας σε όποια θέση εξυπηρέτησης αδειάσει. Όλοι οι πελάτες μένουν στο σύστημα έως ότου εξυπηρετηθούν ανεξάρτητα με το μέγεθος της ουράς και δεν αποχωρούν. Οι αφίξεις ακολουθούν κατανομή Poisson (το πρώτο M / M /1). M στο συμβολισμό Ο χρόνος εξυπηρέτησης σε κάθε θέση ακολουθεί την ίδια εκθετική κατανομή (το δεύτερο M στον συμβολισμό M / M /1 Υπάρχουν περισσότερες από μία παράλληλες θέσεις εξυπηρέτησης ( το s στον συμβολισμό M / M / s ). Ο ρυθμός εξυπηρέτησης πελατών είναι μεγαλύτερος του αντίστοιχου ρυθμού αφίξεων. Η ουρά έχει απεριόριστη χωρητικότητα. Η πηγή των πελατών περιέχει άπειρους πελάτες. ). 28

33 Τα χαρακτηριστικά μεγέθη του Μοντέλου Μ/Μ/s Έστω: = μέσος όρος αφίξεων πελατών ανά μονάδα χρόνου (π.χ. ώρα) = μέσος όρος πελατών που είναι δυνατόν να εξυπηρετηθούν σε κάθε μονάδα χρόνου εξυπηρέτησης ανά μονάδα χρόνου s =αριθμός μονάδων εξυπηρέτησης Χρόνος εξυπηρέτησης και ρυθμός εξυπηρέτησης Έστω ότι ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης για κάθε πελάτη είναι 1/ και έστω ότι στο σύστημα υπάρχουν s μονάδες εξυπηρέτησης. Ο ρυθμός εξυπηρέτησης σε κάθε μία μονάδα χωριστά είναι μ πελάτες στη μονάδα του χρόνου. Επομένως ο συνολικός ρυθμός εξυπηρέτησης πελατών στο σύστημα το οποίο έχει s μονάδες εξυπηρέτησης είναι s. Η συνθήκη για να βρίσκεται ένα τέτοιο σύστημα με πολλές μονάδες εξυπηρέτησης σε κατάσταση ισορροπίας παραμένει η ίδια όπως και στο βασικό μοντέλο: Ο συνολικός ρυθμός εξυπηρέτησης πελατών πρέπει να υπερβαίνει τον αριθμό αφίξεων, δηλαδή: s. 4.3 Η πεπερασμένης χωρητικότητας ουρά (Μ/Μ/1/Κ) Στα μοντέλα που περιγράψαμε πρωτύτερα υποθέσαμε ότι το πλήθος των πελατών στην ουρά δεν περιορίζεται από τη χωρητικότητα του συστήματος και ότι η πηγή των πελατών περιέχει άπειρους πελάτες. Εδώ θα παρουσιάσουμε δύο μοντέλα, για τα οποία υπάρχουν περιορισμοί είτε στην ουρά αναμονής, είτε στην πηγή των πελατών. Για το σύστημα με πεπερασμένη χωρητικότητα στην ουρά αναμονής ισχύουν ανάλογες παραδοχές με αυτές που κάναμε για το σύστημα M / M /1. Η μόνη διαφορά είναι το περιορισμένο πλήθος των θέσεων αναμονής, δηλαδή το πεπερασμένο μήκος της ουράς. Αυτό σημαίνει ότι οι πελάτες που φθάνουν στο σύστημα εξυπηρέτησης, όταν η ουρά είναι «γεμάτη», δεν εισέρχονται 29

34 σ αυτό διότι δεν υπάρχει χώρος για να περιμένουν. Επειδή η χωρητικότητα του συστήματος είναι περιορισμένη, θα υπάρχουν χρονικές στιγμές που εκ των πραγμάτων δεν θα μπορούν να εισέλθουν άλλοι πελάτες στο σύστημα μέχρι να αδειάσει κάποια θέση. Τις περιόδους που το σύστημα είναι πλήρες, ο πραγματικός ρυθμός αφίξεων εκμηδενίζεται, αφού δεν μπορούν να εισέλθουν νέοι πελάτες και κατά συνέπεια δεν υπάρχει περίπτωση το μήκος της ουράς να τείνει στο άπειρο. Επομένως, λόγω του περιορισμένου μήκους της ουράς δεν είναι απαραίτητο να ισχύει η θεμελιώδης σχέση, ώστε το σύστημα να φθάνει σε κατάσταση ισορροπίας. Αν συμβολίσουμε με k το πλήθος των πελατών στο σύστημα, τότε το k είναι η χωρητικότητα της ουράς μαζί με τη θέση εξυπηρέτησης, δηλαδή για s 1 οι διαθέσιμες θέσεις αναμονής είναι συμβολισμό του Kendall, παριστάνεται με k 1.Το σύστημα αυτό σύμφωνα με τον M / M /1/ k Υποθέτουμε ότι οι πελάτες καταφθάνουν με μέσο ρυθμό σύμφωνα με την κατανομή Poisson και ότι οι χρόνοι εξυπηρέτησης ακολουθούν την εκθετική κατανομή με μέσο χρόνο εξυπηρέτησης 1/ θέσης εξυπηρέτησης είναι όπως ήδη γνωρίζουμε.. Ο βαθμός απασχόλησης της. Οι σημαντικότεροι δείκτες απόδοσης του συστήματος αυτού είναι οι ακόλουθοι: Η πιθανότητα να μην υπάρχει κανένας πελάτης στο σύστημα είναι: p 1 0 k 1 1 και η πιθανότητα να έχουμε n πελάτες στο σύστημα: n pn p0, όταν n k. 30

35 Το αναμενόμενο πλήθος πελατών στο σύστημα δίνεται από τη σχέση: ( k 1) L k1 1 1 k1 Και το αναμενόμενο πλήθος πελατών στην ουρά από τη σχέση: L L (1 p ) q 0 Ο αναμενόμενος χρόνος παραμονής του πελάτη στο σύστημα και ο μέσος χρόνος παραμονής του στην ουρά είναι: W L (1 p ) k W q Lq (1 p ) k Η σχέση που συνδέει το W με το W q : 1 Wq W. 31

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕ ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ EXTEND 5.1 Προσομοίωση Η προσομοίωση είναι μία μέθοδος επιχειρησιακής έρευνας που χρησιμοποιείται αρκετά συχνά για την επίλυση προβλημάτων και πολλές φορές αντικαθιστά τη χρήση αναλυτικών μαθηματικών μοντέλων. Προσομοίωση λοιπόν είναι μια τεχνική η οποία μετράει και περιγράφει διάφορα χαρακτηριστικά συμπεριφοράς ενός φυσικού συστήματος, όταν μία ή περισσότερες τιμές για τις ανεξάρτητες μεταβλητές είναι στοχαστική δηλαδή δεν είναι σταθερή. Είναι γνωστό ότι όταν μία από τις ανεξάρτητες μεταβλητές ενός προτύπου είναι τυχαία μεταβλητή, τότε και η εξαρτημένη μεταβλητή (Y ) επίσης αποτελεί τυχαία μεταβλητή. Ο σκοπός της προσομοίωσης είναι να περιγράψει το ρόλο και τα χαρακτηριστικά των πιθανών τιμών που μπορεί να πάρει η εξαρτημένη (Y ), δίνοντας πιθανές τιμές στις ανεξάρτητες X1, X 2,..., X k. Με την προσομοίωση μπορούμε επανειλημμένα και τυχαία να δοκιμάζουμε τιμές για κάθε μη σταθερή μεταβλητή που εισάγουμε ( X1, X 2,..., X k ) στο πρότυπό μας και να υπολογίζουμε την τιμή που προκύπτει από την γραμμική ανάλυση για την εξαρτημένη μεταβλητή (Y ). Έπειτα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις ενδεικτικές αυτές τιμές του Y για να εκτιμήσουμε τον πραγματικό ρόλο και άλλα χαρακτηριστικά της ανάλυσης του Y. Για παράδειγμα, μπορούμε να συνδυάσουμε αυτά τα δείγματα για να κατασκευάσουμε μία ανάλυση που να δείχνει την συχνότητα των παρατηρήσεων. Η Διοικητική Επιστήμη μέσα από την προσομοίωση προσφέρει το βασικότερο εργαλείο αξιολόγησης διαδικασιών. Μερικά παραδείγματα που έχει εφαρμοσθεί η προσομοίωση για αξιολόγηση και σχεδιασμό διαδικασιών φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. 32

37 5.3 Ενδεικτικά παραδείγματα εφαρμογών της προσομοίωσης στην αξιολόγηση διαδικασιών Προγραμματισμός λειτουργίας ταμείων σε τράπεζες, διόδια, supermarket και γενικότερα σταθμούς εξυπηρέτησης Προγραμματισμός λειτουργίας γραμμών παραγωγής σε εργοστάσιο Σχεδιασμός διαδικασιών για την διεκπεραίωση των προμηθειών Σχεδιασμός διαδικασιών για την αποτελεσματικότερη λειτουργία Νοσοκομείου Σχεδιασμός διαδικασιών εξυπηρέτησης πλοίων σε λιμάνι ή αεροπλάνων σε αεροδρόμιο με στόχο την βελτίωση του συντονισμού και της ασφάλειας ( Πραστάκος Κ. Γ., 2002.) 5.3 Το λογισμικό Extend Το Extend είναι το πρόγραμμα προσομοίωσης της εταιρείας ImagineThat Inc που θα χρησιμοποιήσουμε για την ανάλυση του μοντέλου που ερευνούμε και θα μας βοηθήσει στην προσομοίωση και στην εξαγωγή συμπερασμάτων στις ουρές αναμονής. Ξεκινώντας, θα πρέπει να κατασκευάσουμε το μοντέλο στο Extend. Πριν από αυτό θα χρειαστεί να ανοίξουμε όλες τις βιβλιοθήκες που για να χρησιμοποιήσουμε τα βασικά δομικά στοιχεία (blocks) που περιλαμβάνονται μέσα σε αυτές. Η πρώτη και απαραίτητη για το σχεδιασμό οποιουδήποτε συστήματος είναι η βιβλιοθήκη διακριτού χρόνου (DE: Discrete Event) η οποία περιέχει το μπλοκ του συγχρονιστή (Execute) το οποίο είναι επίσης απαραίτητο για κάθε μοντέλο προσομοίωσης. Μετά το άνοιγμα αυτών των απαραίτητων στοιχείων χρειάζεται να θέσουμε την χρονική υποδιαίρεση εκτέλεση της προσομοίωσης. Δηλαδή πόσος χρόνος θα περνάει σε κάθε βήμα της προσομοίωσης. Για παράδειγμα λεπτό, ώρα, ημέρα. Στην επόμενη φάση πρέπει να γίνει η εισαγωγή των δομικών στοιχείων στο χώρο που θα σχεδιαστεί το μοντέλο. Αυτό βέβαια προϋποθέτει μια πρώτη μελέτη του μοντέλου ώστε να γίνει και η κατάλληλη επιλογή των στοιχείων που 33

38 χρειάζονται. Επιλέγοντας λοιπόν από το μενού του Extend Library > Open Library > Discrete Event >Open. Έπειτα ανοίγουμε το παράθυρο της βιβλιοθήκης Library>Discrete Event>Open Library Window. Όπως φαίνεται παρακάτω. Ανοίγοντας την βιβλιοθήκη προκύπτει ένας πίνακας στοιχείων. Έτσι λοιπόν από το μενού File>Open Model. Ανοίγουμε ένα νέο μοντέλο και με την διαδικασία drag and - drop βάζουμε ένα στοιχείο στο μοντέλο. Κάνοντας διπλό κλικ σε ένα στοιχείο εμφανίζεται το παράθυρο διαλόγου του στοιχείου με τις ανάλογες επιλογές. 34

39 Επιλέγουμε το πρώτο μπλοκ και από την καρτέλα activity ορίζουμε το χρόνο καθυστέρησης που για παράδειγμα μπορεί να εξυπηρετηθεί ένας πελάτης σε ένα ταμείο τράπεζας. Αν έχουμε τοποθετήσει όπως φαίνεται παρακάτω τα στοιχεία στο μοντέλο πρέπει να τα συνδέσουμε και μεταξύ τους. Τα αντικείμενα κινούνται στο χώρο και προσομοιώνουν έγγραφα, άτομα, υλικά κτλ., που υφίστανται κάποια επεξεργασία περνώντας από κάθε μπλοκ. Τα αντικείμενα μπορούν να έχουν ιδιότητες, όπως για παράδειγμα αυτή του κόστους και εισάγονται στο σύστημα από μια γεννήτρια (Generator) ή ένα μπλοκ εισαγωγής (Import Blocks). Οι τιμές είναι αριθμοί που εκφράζουν κάποιες παραμέτρους των μπλοκ του μοντέλου, όπως είναι το μήκος μιας ουράς που περιμένουν 5 πελάτες. Βλέπουμε στο σχήμα την σύνδεση ακροδέκτη εξόδου αντικειμένων της γεννήτριας με την είσοδο αντικειμένων της ουράς αναμονής και την σύνδεση της εξόδου των τιμών της ουράς αναμονής με το σχεδιογράφο (Plotter) και με έναν καταγραφέα τιμών (Read out). Μπορούμε να συνδέσουμε έναν ακροδέκτη εξόδου με έναν ή και περισσότερους ακροδέκτες εισόδου, αλλά ένας ακροδέκτης εισόδου δέχεται είσοδο από ένα μόνο ακροδέκτη εξόδου. 35

40 Ειδικά για τα στοιχεία της σχεδιαστικής βιβλιοθήκης (Plotter) είναι δυνατό να συνδεθεί ένας ακροδέκτης εξόδου αντικειμένων σε ακροδέκτη εισόδου. Προσομοίωση Δημόσιας Υπηρεσίας Για την καλύτερη κατανόηση του Extend είναι χρήσιμο να δώσουμε ένα παράδειγμα που βρίσκει εφαρμογή στην καθημερινή πραγματικότητα. Όλοι μας έχουμε βρεθεί σε κάποια δημόσια υπηρεσία ώστε να διεκπεραιώσουμε κάποια προσωπική μας υπόθεση. Χρησιμοποιούμε λοιπόν τα απαραίτητα βασικά δομικά στοιχεία για να πραγματοποιήσουμε τις διαδικασίες που προκύπτουν στους σταθμούς εξυπηρέτησης την είσοδο, την εξυπηρέτησή τους σε κάποιο γκισέ και την έξοδό τους. Εφόσον πρόκειται για προσομοίωση επίδειξης περιορίζουμε το χρόνο της σε μια ώρα ώστε να παραχθούν κατανοητά συμπεράσματα. Η προσομοίωση αυτή έχει στόχο την μελέτη εναλλακτικών λύσεων λειτουργίας των σταθμών εξυπηρέτησης. Τα μεγέθη που μας απασχολούν είναι ο χρόνος αναμονής στην ουρά, το μέγεθος της ουράς, και η συμπεριφορά του συστήματος σε μετατροπές όπως η προσθήκη ενός επιπλέον σταθμού εξυπηρέτησης. 36

41 Περιγραφή του συστήματος Οι βιβλιοθήκες που θα χρησιμοποιήσουμε είναι οι ακόλουθες: Generic, Discrete Event, Plotter, Statistics. Tα αντικείμενα τους τα βλέπουμε στο σχήμα. Σημαντικό στοιχείο της προσομοίωσης είναι ο καθορισμός του ρυθμού εισόδου του κοινού στο μοντέλο. Έτσι χρησιμοποιούμε το μπλοκ γεννήτριας (Generator) για τον τρόπο και τον ρυθμό εισόδου. Ο συνολικός χρόνος της προσομοίωσης είναι 60 λεπτά. Υποθέτουμε ότι τα 30 πρώτα λεπτά μπαίνει κοινό κάθε 0,4 λεπτά ενώ τα υπόλοιπα 30 κάθε 1,5 λεπτά. Αυτά μπορούμε να τα ορίσουμε με διπλό κλικ στο αντικείμενο που βρίσκεται κάτω από την είσοδο. Στον πίνακα γίνεται αντιστοίχηση χρόνου και μέσου όρου αφίξεων αν χρησιμοποιήσουμε τα στοιχεία ως μέσες τιμές μιας εκθετικής κατανομής., που θα εισαγάγουμε στην εκθετική κατανομή για να παράγει εισερχόμενους. Οι χρονικές τιμές στην αριστερή στήλη υποδηλώνουν ως πότε η έξοδος του μπλοκ θα είναι ίση με την τιμή στα δεξιά. Όπως βλέπουμε η έξοδος του πίνακα θα είναι ίση με 0,4 από το 0 μέχρι το 29 λεπτό και επίσης ορίζεται να σταματήσει η προσομοίωση όταν υπερβεί το χρονικό όριο που ορίζεται στον πίνακα. Το αντικείμενο Queue FIFO υπάρχει για να συγκεντρώνει τους εισερχόμενους που παράγει η γεννήτρια και δεν μπορούν να εξυπηρετηθούν και επομένως 37

42 δεν απορροφώνται από το μοντέλο. Τα γκισέ εξυπηρέτησης παρουσιάζονται στο μοντέλο ως μπλοκ δραστηριότητας (Activity Delay). Κάθε μπλοκ του μοντέλου καταγράφει τον αριθμό των εισερχομένων από αυτό και το ποσοστό του χρόνου που χρησιμοποιείται το μπλοκ (utilization). Την πληροφορία αυτή μπορούμε να την δούμε κάνοντας κλικ τα μπλοκ του μοντέλου. Καθώς έχουμε συνδέσει τις εξόδους των δύο μεταβλητών με το μπλοκ του σχεδιογράφου (Plotter), κατά την διάρκεια της προσομοίωσης, γίνεται καταγραφή του κοινού που περιμένει στην ουρά (κόκκινη γραμμή) και αυτών που εξυπηρετούνται από τα γκισέ (μπλε γραμμή). Από τα λίγα που μπορούμε να καταλάβουμε από το σχήμα θα λέγαμε ότι το σύστημα λειτουργεί ικανοποιητικά. Γι να βγάλουμε όμως πιο συγκεκριμένα συμπεράσματα μπορούμε να λάβουμε συγκεντρωτικά στοιχεία για τα βασικά μπλοκ του μοντέλου, όπως είναι η ουρά αναμονής και η ουρά των γκισέ. Το Queue Stats παρουσιάζει τα στατιστικά στοιχεία της ουράς αναμονής και το Activity Stats τα στοιχεία των τριών γκισέ. 38

43 Παρατηρούμε τα νούμερα στον πρώτο πίνακα η μέση τιμή πλήθους σε αναμονή είναι 4 άτομα και ο χρόνος εξυπηρέτησης τους από 4 μέχρι περίπου 8,5 λεπτά. Στον δεύτερο μπορούμε να παρατηρήσουμε το υψηλό ποσοστό χρήσης των γκισέ που φτάνει το 100% (utilization). Αφού τελειώσαμε με την διαδικασία της προσομοίωσης. Θα ήταν πολύ χρήσιμο να παρουσιάζαμε τα βασικότερα δομικά στοιχεία του Extend. Τα 39

44 μπλοκ δηλαδή που μπορεί να χρησιμοποιήσει ο χρήστης για το σχεδιασμό των μοντέλων και που είναι αποθηκευμένες σε βιβλιοθήκες. Συγχρονιστής (Executive) Περιέχεται στην βιβλιοθήκη Discrete Event και θεωρείται η καρδιά κάθε μοντέλου διακριτού χρόνου. Πρέπει να τοποθετείται στην πάνω αριστερή γωνία του μοντέλου και χρησιμοποιείται για τον έλεγχο του χρόνου και του τερματισμού της προσομοίωσης. Δεν χρειάζεται να αλλάξει τίποτα στις ρυθμίσεις αυτού του μπλοκ. Γεννήτρια αντικειμένων (Generator) Περιέχεται και αυτό στην βιβλιοθήκη Discrete Event και χρησιμοποιείται για την παραγωγή και εισαγωγή αντικειμένων στο μοντέλο και μάλιστα σύμφωνα με μια προκαθορισμένη κατανομή. Στο παράθυρο επιλογών του μοντέλου μπορεί να γίνει επιλογή κατανομής μέσα από πλήθος διαθέσιμων κατανομών. Ανάλογα με την κατανομή που επιλέγεται κάθε φορά μπορεί να προκύψουν από ένα ως τρία ορίσματα που καθορίζουν τα χαρακτηριστικά της κατανομής. Τα αντικείμενα δημιουργούνται στα χρονικά πλαίσια που ορίζουν οι κατανομές 40

45 Στο κάτω μέρος της γεννήτριας αντικειμένων διακρίνονται τέσσερις ακροδέκτες που έχουν τη δική τους χρησιμότητα. V: Ο ακροδέκτης αυτός, όταν είναι συνδεδεμένος, καθορίζει των αριθμό των αντικειμένων που θα παράγονται κάθε φορά. 1: Όταν είναι συνδεδεμένος, θέτει τη τιμή που χρησιμοποιείται στο πεδίο (1) της επιλεγμένης κατανομής που ορίζεται στο μενού επιλογών του μπλοκ. 2: Όταν ο ακροδέκτης είναι συνδεδεμένος θέτει την τιμή που χρησιμοποιείται στο πεδίο (2) της επιλεγμένης κατανομής, όπως ορίζεται στο μενού επιλογών του μπλοκ. 3: Όταν είναι συνδεδεμένος, θέτει τη τιμή που χρησιμοποιείται στο πεδίο (3) της επιλεγμένης κατανομής όπως ορίζεται στο μενού επιλογών του μπλοκ. Ο μαύρος ακροδέκτης στο πλάι του σχήματος που είναι η έξοδος αντικειμένων του μπλοκ, συνδέεται με κάποιο μπλοκ ουράς ή αποθήκευσης που χρησιμοποιεί το μοντέλο, αφού τα αντικείμενα που δεν χρησιμοποιούνται από το μοντέλο κατά την δημιουργία τους, χάνονται. Ουρά αναμονής (Queue FIFO) Περιέχεται και αυτό στην βιβλιοθήκη Discrete Event και υλοποιεί μια ουρά αναμονής first-in-first-out ( FIFO). Ο μέγιστος αριθμός αντικειμένων που μπορούν να περιμένουν στην ουρά αυτή ορίζεται από το μενού επιλογών. Δίνεται η δυνατότητα να τερματιστεί η προσομοίωση όταν γεμίσει η ουρά. Οι ακροδέκτες που υπάρχουν πάνω στο μπλοκ χρησιμεύουν ως εξής: L: Βρίσκεται στο κάτω αριστερά μέρος του μπλοκ και δείχνει τον αριθμό των αντικειμένων που βρίσκονται τη δεδομένη στιγμή στην ουρά. Αυτός ο ακροδέκτης εξόδου συνήθως συνδέεται με την είσοδο ενός σχεδιαστικού (Plotter), ώστε να παρατηρείται η συμπεριφορά της ουράς σε όλη τη διάρκεια της προσομοίωσης. W: Βρίσκεται κάτω δεξιά του μπλοκ και δείχνει το χρόνο που περίμενε στην ουρά το αντικείμενο που φεύγει από τον ακροδέκτη εξόδου τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή. F: Βρίσκεται πάνω δεξιά του μπλοκ και έχει τιμή 1 όταν γεμίσει η ουρά, αλλιώς έχει τιμή 0. 41

46 Τέλος υπάρχουν και δύο ακροδέκτες αντικειμένων ένας λευκός εισόδου και ένας μαύρος εξόδου. Δραστηριότητα (Activity Delay) Το μπλοκ αυτό υπάρχει στην βιβλιοθήκη Discrete Event και υλοποιεί μια διαδικασία που προκαλεί καθυστέρηση στο σύστημα. Χρησιμοποιείται για να εκφράσει διαδικασία επεξεργασίας, μετατροπής, έγκρισης κ.α. Ο ακροδέκτης U που υπάρχει στο επάνω δεξιά μέρος του μπλοκ βγάζει το επίπεδο χρήσης του μπλοκ (utilization). Ο D κάτω αριστερά είναι ακροδέκτης εισόδου τιμής και καθορίζει το χρόνο που καθυστερεί το μπλοκ να εξάγει το αντικείμενο. Επιλογή (Decision 2) Περιέχεται στην βιβλιοθήκη Business Process Reengineering (BPR). Με αυτό το μπλοκ μπορούμε να επιλέξουμε την έξοδο που θα ακολουθήσει το αντικείμενο εισόδου, χρησιμοποιώντας τις τιμές των ακροδεκτών εισόδου σε μια συνάρτηση επιλογής για να διαλέξει την έξοδο. Στην πραγματικότητα πρόκειται για την εφαρμογή μιας εντολής If then else με παραμέτρους τις τιμές των ακροδεκτών εισόδων τιμών. Στο παράθυρο του μπλοκ παρακάτω βλέπουμε πως δηλώνεται η επιλογή της εξόδου (path), με τους ακροδέκτες εισόδου τιμών να ονομάζονται V

47 Η έξοδος επιλέγεται με μια απλή εντολή ελέγχου. Όταν γίνει αληθής η παράσταση που βρίσκεται μέσα στην παρένθεση, τότε εκτελείται και η εντολή εξόδου. Στον πίνακά μας αν η τιμή του V1 είναι μικρότερη του V2, τότε η είσοδος θα βγει από το YesPath, που συμβολίζεται με Υ. Αν δεν είναι μικρότερη τότε θα εκτελεστεί η εντολή του Else και το αντικείμενο εισόδου θα βγει από το NoPath που συμβολίζεται με Ν. Συγχώνευση (Merge) Περιέχεται στην βιβλιοθήκη Business Process Reengineering (BPR). Είναι το μπλοκ που χρησιμεύει για να αντιμετωπίζει, όταν υπάρχει τον περιορισμό των ακροδεκτών εισόδου αντικειμένων που δεν παίρνουν περισσότερες από μια εισόδους. Αυτό λοιπόν το μπλοκ συγχωνεύει αντικείμενα από μια ως τρεις πηγές και τα στέλνει διαδοχικά στην έξοδό τους και με αυτό τον τρόπο αποφεύγεται η εισαγωγή καθυστέρησης στο σύστημα. Λειτουργία (Operation) Περιέχεται και αυτό στην βιβλιοθήκη Business Process Reengineering (BPR) και χρησιμοποιείται για να μοντελοποιήσει την διαδικασία κατά την οποία περισσότερα από ένα αντικείμενα συγχωνεύονται ώστε να δημιουργηθεί ένα σύνθετο αντικείμενο στην έξοδο. Σε αυτό το μπλοκ μπορεί να τεθεί και καθυστέρηση. Ο ακροδέκτης D όταν είναι συνδεδεμένος, καθορίζει το χρόνο που απαιτείται την επεξεργασία των αντικειμένων. Οι ακροδέκτες Α1-3 ορίζοντας τον ακροδέκτη εισόδου, καθορίζουν ποιο θα είναι το αντικείμενο που θα μπει τελευταίο στο μπλοκ. 43

48 Μέσω του παράθυρου επιλογών μπορούμε να επιλέξουμε πόσα αντικείμενα πρέπει να μπουν στο μπλοκ για να γίνει η ομαδοποίηση και από πού: από τον πάνω ακροδέκτη ένα από τον μεσαίο δύο και από τον κάτω ένα. Επίσης καθορίζεται ότι από τον πάνω ακροδέκτη εισόδου θα έρθει το αντικείμενο που θα μπει τελευταίο στο μπλοκ. Στο processing time φαίνεται ότι χρειάζεται ένα λεπτό από την στιγμή που θα φτάσουν όλα τα αντικείμενο στο μπλοκ για να ολοκληρωθεί η συγχώνευση τους. Λειτουργία, αντίστροφη (Operation, Reverse) Περιέχεται αυτό στην βιβλιοθήκη Business Process Reengineering (BPR). Το μπλοκ της αντίστροφης λειτουργίας, όπως είναι και το όνομά του εκτελεί το αντίθετο από αυτό της λειτουργίας (operation). Δηλαδή μπορεί να πάρει ένα αντικείμενο και να το αναπαράγει σε μια ως τρεις εξόδους. Και σε αυτό το μπλοκ είναι δυνατό να τεθεί καθυστέρηση. Γενικά ισχύει ότι ισχύει και για το μπλοκ λειτουργίας (operation). Έξοδος (Exit 4) Το μπλοκ αυτό υπάρχει στην βιβλιοθήκη Discrete Event. Αποτελεί τερματικό στοιχείο του μοντέλου. Καταλήγουν σε αυτό τα αντικείμενα που διένυσαν το μοντέλο και δεν χρειάζονται πια. Μπορεί να καταγράφει πληροφορίες από τα 44

49 αντικείμενα που φτάνουν σε αυτό όπως να μετρά πόσα αντικείμενα καταλήγουν σε αυτό και από ποια είσοδο. Στην εργασία αυτή έγινε μια συλλογική προσπάθεια να μελετήσουμε τις ουρές αναμονής που είναι ένας από τους πρώτους κλάδους της επιχειρησιακής έρευνας που αναπτύχθηκαν και έχει πολλές εφαρμογές σε καθημερινά προβλήματα. Μιλήσαμε για τα βασικά συστατικά στοιχεία των συστημάτων εξυπηρέτησης και περιγράψαμε τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά τους. Αναφερθήκαμε και περιγράψαμε τον συμβολισμό Kendall για τα συστήματα ουρών, την Poisson διαδικασία αφίξεων και διαδικασία γέννησης-θανάτου και αναλύσαμε την έννοια της στατικής ισορροπίας. Στη συνέχεια, αναλύσαμε το απλούστερο σύστημα εξυπηρέτησης, το οποίο περιλαμβάνει μία ουρά αναμονής και μία θέση εξυπηρέτησης. Κατόπιν, επεκτείναμε την ανάλυση μας στα συστήματα με μία ουρά αναμονής και περισσότερες από μία παράλληλες θέσεις εξυπηρέτησης. Περιγράψαμε το μοντέλο με πεπερασμένη χωρητικότητα στο χώρο αναμονής και τέλος χρησιμοποιώντας το εργαλείο προσομοίωσης Extend εφαρμόσαμε ένα παράδειγμα ουράς αναμονής για την καλύτερη και πιο εύκολη κατανόηση των συστημάτων ουράς. 45