Ημιγραμμικοποίηση και Διαγωνοποίηση των Διδιάστατων Εξισώσεων Euler για Ροές με Ελεύθερη Επιφάνεια

Transcript

1 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ Ι τεύχ. Te. Cro... TCG I No 47 Ημιγραμμικοποίηση και Διαγωνοποίηση των Διδιάστατων Εξισώσεων Eer για Ροές με Ελεύθερη Επιφάνεια ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ Γ. ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΠΟΥΛΟΣ Δρ. Πολιτικός Μηχανικός Δ. Π. Θ. ΙΩΑΝΝΗΣ Β. ΣΟΥΛΗΣ Αν. Καθηγητής Δ.Π.Θ. Περίληψη Η εργασία αυτή πραγματεύεται τη θεωρητική ανάλυση ημιγραμμικοποίησης των διδιάστατων εξισώσεων Eer σε καρτεσιανό και μετασχηματισμένο ξ η σύστημα συντεταγμένων. Αναλύεται ο τρόπος εύρεσης των πινάκων διαγωνοποίησης συναρτήσει των ιδιοτιμών. Οι παραπάνω πίνακες χρησιμοποιούνται ευρύτατα στις πεπλεγμένες τεχνικές ( Cork e - Wr DI κ.ά.). Η διατύπωση των εξισώσεων ροής ελεύθερης επιφανείας Eer και Ner - tokes συναρτήσει των πινάκων ημιγραμμικοποίησης και των πινάκων διαγωνοποίησης κάνουν εφικτή τη χρησιμοποίηση πεπλεγμένων τεχνικών όπου επιλύονται διδιαγώνια συστήματα. Σε αυτό οφείλεται και η ευρύτατη εφαρμογή των παραπάνω πινάκων σε πλείστα προβλήματα Υπολογιστικής Ρευστομηχανικής. Με τη χρήση της τεχνικής αυτής αυξάνεται κατά πολύ η ταχύτητα συγκλίσεως των αριθμητικών τεχνικών όπως αποδεικνύεται στις εφαρμογές.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Υποβλήθηκε: Έγινε δεκτή:.. Η ραγδαία ανάπτυξη των υπολογιστών είχε ως αποτέλεσμα τη δημιουργία πληθώρας υπολογιστικών τεχνικών για την επίλυση των εξισώσεων ροής ελεύθερης επιφανείας Eer και Ner-tokes. Τεχνικές οι οποίες είναι βασισμένες στις μεθόδους των πεπερασμένων διαφορών πεπερασμένων στοιχείων και πεπερασμένων όγκων είναι πλέον διαθέσιμες για την επίλυση μόνιμης διατμητικής ασυμπίεσης ή και συμπιεστής ροής για μονοδιάστατη διδιάστατη και τριδιάστατη εσωτερική ή εξωτερική ροή. Οι περισσότερες όμως από αυτές τις τεχνικές έχουν το μειονέκτημα της βραδείας σύγκλισης (ρητές τεχνικές) λόγω των απαιτούμενων υπολογισμών και του μικρού χρονικού βήματος προελάσεως. Η ανάπτυξη πεπλεγμένων τεχνικών έλυσε εν μέρει το παραπάνω πρόβλημα με τη χρησιμοποίηση μεγάλων χρονικών βημάτων. Παρά ταύτα τα τελικά συστήματα επίλυσης απαιτούσαν την αντιστροφή τριδιαγώνιων πινάκων γεγονός που απαιτούσε μεγάλο υπολογιστικό χρόνο. Αυτό οδήγησε στην εύρεση της διαγωνοποίησης των πινάκων ημιγραμμικοποίησης ώστε το τελικό σύστημα να απαιτεί αντιστροφή μόνο διδιαγώνιων πινάκων. Αρχικά οι πεπλεγμένες διδιαγώνιες τεχνικές εφαρμόστηκαν για την επίλυση των εξισώσεων Ner tokes και στη συνέχεια για την επίλυση των διδιάστατων εξισώσεων ελευθέρας επιφανείας. Συγκεκριμένα οι os και Cdr [] επίλυσαν τις εξισώσεις ροής ελευθέρας επιφανείας με μέσες τιμές ταχυτήτων καθ ύψος με μία πεπλεγμένη μέθοδο εναλλακτικής διευθύνσεως (DI) χρησιμοποιώντας τους πίνακες ημιγραμμικοποίησης. Η τεχνική στηρίζεται στο πεπλεγμένο σχήμα e - Wr με δευτέρας τάξης ακρίβεια ως προς τις χρονικές και χωρικές παραγώγους με χρήση κεντρικών διαφορών. Οι εξισώσεις εμπεριείχαν το τυρβώδες ιξώδες λόγω των μεγάλων γεωμετρικών μεταβολών των στερεών ορίων. Οι os και Zo [] εξομοίωσαν την υπερκρίσιμη ροή σε αγωγό με κυματοειδή όρια στη μία πλευρά. Χρησιμοποίησαν δύο τεχνικές μία ρητή τεχνική στηριζόμενη στο σχήμα Cork και μία πεπλεγμένη τεχνική εναλλακτικής διευθύνσεως (DI) όπου χρησιμοποιήθηκαν και οι πίνακες ημιγραμμικοποίησης. Μία συστηματική παράθεση για τους τρόπους ημιγραμμικοποιήσεως δίνεται από τον Hrs []. Στην παρούσα εργασία διατυπώνονται οι εξισώσεως ροής ελευθέρας επιφανείας (άμεσα προερχόμενες εκ των εξισώσεων Eer) συναρτήσει των πινάκων ημιγραμμικοποίησης και των πινάκων διαγωνοποίησης κάνοντας εφικτή τη χρησιμοποίηση πεπλεγμένων τεχνικών για την επίλυση διδιαγώνιων συστημάτων. Δίδονται δε μερικές εφαρμογές για την ταχύτητα συγκλίσεως. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ Ε Η Ι Λ πίνακες ημιγραμμικοποίησης των συναρτήσεων F G πίνακες ημιγραμμικοποίησης των συναρτήσεων F G μη συντηρητικοί πίνακες των ολική ενέργεια ολική ενθαλπία μοναδιαίος πίνακας πίνακας ιδιοτιμών

2 48 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ Ι τεύχ. Te. Cro... TCG I No λ Μ ξ η e f f e f e f ez ιδιοτιμή πίνακας μετατροπής των πινάκων Α Β σε μη συντηρητικούς μετασχηματισμένες συνιστώσες θέσης σταθεροί συντελεστές σταθεροί συντελεστές ταχύτητα μεταδόσεως κυματισμών εσωτερική ενέργεια πίνακες στο φυσικό σύστημα συντεταγμένων εξωτερικές δυνάμεις επιτάχυνση της βαρύτητας βάθος νερού ορίζουσα μετασχηματισμού Α Β πίνακες διαγωνοποίησης των αντίστοιχα ξ πίνακες διαγωνοποίησης των αντίστοιχα Α Β p ρ στοιχεια των πινάκων Α Β αντίστοιχα αντίστοιχα στατική πίεση πυκνότητα Α Β πίνακες ημιγραμμικοποίησης των ξ πίνακες ημιγραμμικοποίησης των o o κλίσεις πυθμένος κατά τις διευθύνσεις f f κλίσεις τριβών κατά τις διευθύνσεις F G Q πίνακες στο φυσικό σύστημα συντεταγμένων F G Q w W f πίνακες στο μετασχηματισμένο σύστημα συντεταγμένων μετασχηματισμένες ταχύτητες πίνακας μη συντηρητικών μεταβλητών του πίνακα ταχύτητες κατά τις z διευθύνσεις παραγόμενο έργο εξωτερικών δυνάμεων. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ EER Οι εξισώσεις Eer λαμβάνονται από τις εξισώσεις Ner - tokes εάν απαλειφθούν οι όροι του ιξώδους. Σε μορφή καρτεσιανών συντεταγμένων οι εξισώσεις Eer γράφονται [] ως: t Q z Οι πίνακες f και Q καθορίζονται: w E p w H w w f w Q f w p f wh W e e ez f p w H (.) όπου ρ η πυκνότητα w οι συνιστώσες των ταχυτήτων κατά χ z διευθύνσεις Η η ολική ενθαλπία p η πίεση f e οι εξωτερικές δυνάμεις και Ε η ολική ενέργεια ( E e p ) με e την εσωτερική ενέργεια ανά μονάδα μάζης και W f W f f e το παραγόμενο έργο από τις εξωτερικές δυνάμεις. Η ημιγραμμική έκφραση της εξισώσεων. γράφεται: F Q t t (.) F ή t C C Q z Οι πίνακες καθορίζονται ως: (.) (.4) C (.5)

3 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ Ι τεύχ. Te. Cro... TCG I No 49 Η εύρεση των πινάκων C είναι δυνατή αρκεί οι πίνακες f παραγωγισθούν ως προς τα στοιχεία του πίνακα (για το κάθε στοιχείο ξεχωριστά) όπου κάθε παράγωγος αποτελεί και έναν πίνακα. Οι παραπάνω πίνακες αποτελούν τη συντηρητική έκφραση των ημιγραμμικοποιημένων εξισώσεων Eer. Για την εύρεση των ημιγραμμικοποιημένων μη συντηρητικών εξισώσεων Eer πρέπει οι παραπάνω πίνακες να διατυπωθούν σε μη συντηρητική μορφή. Αυτό είναι δυνατόν να γίνει με την εύρεση κατάλληλου πίνακα που θα μετατρέπει τους πίνακες C σε μη συντηρητική μορφή. Οι ιδιοτιμές των πινάκων των συντηρητικών και μη συντηρητικών εξισώσεων είναι ίδιες. Η ιδιότητα αυτή κάνει την εύρεση των ιδιοτιμών πιο απλή. Ο πίνακας μετατροπής των μεταβλητών του παραπάνω συστήματος εξισώσεων Eer από συντηρητική σε μη συντηρητική καθορίζεται από τη σχέση Hr []: w (.6) p (.7) Η σχέση μεταξύ συντηρητικών και μη συντηρητικών Ιακωβιανών μπορεί να διατυπωθεί συναρτήσει του πίνακα Μ. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση. και αντικαθιστώντας και πολλαπλασιάζοντας με από αριστερά η εξίσωση. παίρνει την παρακάτω μορφή: Q t Q t Q t (.8) Η παραπάνω εξίσωση αποτελεί τη μη συντηρητική έκφραση των εξισώσεων Eer συναρτήσει των πρωτογενών μεταβλητών. Ο πίνακας που προκύπτει από το γινόμενο που περιέχει η εξίσωση.8 ονομάζεται Ιακωβιανός πίνακας μη συντηρητικών μεταβλητών και προέρχεται από την εξίσωση: Q Q (.9). ΗΜΙΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΡΟΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΑΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ.. Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ( ) Υπάρχει μια κατηγορία προβλημάτων ροής με ελεύθερη επιφάνεια τα οποία δύνανται να περιγραφούν θεωρώντας μέσες τιμές των φυσικών ποσοτήτων κατά το βάθος. Στην περίπτωση αυτή ενδείκνυται η χρήση διαφορικών εξισώσεων δύο διαστάσεων. Αυτή η απλοποιημένη παραδοχή τριδιάστατης ροής δικαιολογείται στην περίπτωση όπου οι γραμμές ροής έχουν μεγάλη ακτίνα καμπυλότητας με συνέπεια η παραδοχή της υδροστατικής κατανομής πιέσεως (P= ) να προσεγγίζεται ικανοποιητικά. Οι εξαρτημένες μεταβλητές είναι οι ταχύτητες ροής καθώς και το βάθος σε κάθε σημείο του πεδίου ροής os [4]. Σύμφωνα με τα παραπάνω από την εξίσωση.5 είναι δυνατόν να βρεθούν οι αντίστοιχοι πίνακες για τις διδιάστατες εξισώσεις ελευθέρας επιφανείας ακολουθώντας την ανάλογη διαδικασία. Οι εξισώσεις. για σταθερή υπερκρίσιμη και υποκρίσιμη ροή ελευθέρας επιφανείας στο χώρο των δύο διαστάσεων και για καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων και με την παραδοχή υδροστατικής κατανομής πιέσεως και με ταυτόχρονη απουσία της επιδράσεως του ανέμου και των δυνάμεων Coros [4] είναι: F G Q t (.) όπου οι μεταβλητές F G Q είναι οι πίνακες: F G Q o o Στις ανωτέρω εξισώσεις είναι το βάθος του νερού η επιτάχυνση της βαρύτητας o o είναι οι κλίσεις του πυθμένος κατά τις διεύθυνσεις αντίστοιχα f f είναι οι κλίσεις τριβής κατά τις ανωτέρω διευθύνσεις. Με τη λύση των ανωτέρω εξισώσεων είναι δυνατόν να υπολογισθούν οι ταχύτητες και το βάθος ροής. Ο πίνακας των εξαρτημένων μεταβλητών μπορεί να διατυπωθεί (Potopoos et. [5]) ως: f f (.)

4 5 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ Ι τεύχ. Te. Cro... TCG I No Οι αντίστοιχοι Ιακωβιανοί πίνακες Α και Β υπολογίζονται σύμφωνα με τις εξισώσεις.5 παραγωγίζοντας ως προς τους πίνακες F και G: F G F G F G F G F G Τελικώς οι πίνακες Α και Β είναι: (.) (.4).. Μετασχηματισμός-ημιγραμμικοποίηση εξισώσεων ροής Η δυσκολία προσδιορισμού των οριακών συνθηκών σε περιπτώσεις πεδίων με πολύπλοκη γεωμετρία αντιμετωπίζεται ή με εξομοίωση των καμπύλων ορίων με ευθύγραμμα τμήματα παράλληλα προς τις και διευθύνσεις ή με υπολογισμό των φυσικών ποσοτήτων ροής σε σημεία μεταξύ των κόμβων με κάποια μέθοδο παρεμβολής. Και στις δύο περιπτώσεις η απώλεια σε ακρίβεια υπολογισμών είναι προφανής. Η τεχνική των πεπερασμένων στοιχείων έλαβε μεγάλη ανάπτυξη λόγω της δυνατότητας που έχει να προσομοιάζει περίπλοκα γεωμετρικά σχήματα. Το μεγάλο όμως μειονέκτημα των πεπερασμένων στοιχείων είναι η αρκετά πολύπλοκη μαθηματική διεργασία που απαιτείται για τον σχηματισμό του αλγορίθμου καθώς και οι απαιτούμενοι χρόνοι προγραμματισμού τού προς επίλυση προβλήματος. Στη μέθοδο των πεπερασμένων όγκων οι εξισώσεις των διαφορών κρατούν τη συντηρητική τους μορφή και συγχρόνως είναι απλές στον υπολογισμό των γεωμετρικών χαρακτηριστικών κάθε στοιχείου χωριστά. Ο μετασχηματισμός καθενός στοιχείου έχει κύριο χαρακτηριστικό γνώρισμα την ισαποχή των κορυφών και το προκύπτoν δίκτυο των ισαπεχόντων κόμβων αποτελεί το υπολογιστικό δίκτυο. Οι εξισώσεις. μπορούν να διατυπωθούν (Σούλης κ.ά. [6]) ως: F G Q t F F G G F G Αναλυτικότερα: G F Q Q (.5) όπου η Ιακωβιανή μετασχηματισμού και και οι μετασχηματισμένες ταχύτητες: (.6) Η Ιακωβιανή του μετασχηματισμού από το φυσικό στο τοπικό ξ σύστημα συντεταγμένων (βλ. σχήμα ) είναι: (.7) = Ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: (.8)

5 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ Ι τεύχ. Te. Cro... TCG I No 5 Σχ.. Μετασχηματισμός πρώτης τάξεως του πεδίου ροής από καρτεσιανό σύστημα στο μετασχηματισμένο σύστημα. F.. Fow fed frst order trsforto fro rtes sste to trsfored sste. Οι πίνακες και σε μετασχηματισμένο σύστημα συντεταγμένων [7] είναι: F G (.9) οι οποίοι μπορούν να παραχθούν από το άθροισμα των πινάκων Α και Β στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων χωρίς να είναι αναγκαία η παραγώγιση των F και G ως προς τον πίνακα του καινούριου συστήματος συντεταγμένων: (.) (.) Ως εκ τούτου οι πίνακες είναι [5]: με = 4. ΔΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ ΗΜΙΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ 4.. Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Ο πίνακας μετασχηματισμού Μ των πινάκων Α και Β από συντηρητική σε μη συντηρητική μορφή είναι: (4.) (4.) (4.) Η χρησιμότητα των παραπάνω πινάκων έγκειται στο ότι δίνουν τη δυνατότητα εύρεσης των μη συντηρητικών πινάκων. Οι μη συντηρητικοί πίνακες έχουν την ιδιότητα να έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα με τους αντίστοιχους συντηρητικούς με αποτέλεσμα η εύρεση των ιδιοτιμών να είναι απλούστερη και η διαγωνοποίησης των συντηρητικών πινάκων Α και Β να είναι εφικτή με λιγότερες αλγεβρικές πράξεις. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση.9 παράγονται οι μη συντηρητικοί πίνακες : (4.4) Αντικαθιστώντας στην παραπάνω εξίσωση ή (4.5)

6 5 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ Ι τεύχ. Te. Cro... TCG I No 4.. Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Οι ιδιοτιμές χρησιμοποιούνται για τη διαγωνοποίηση των παραπάνω πινάκων. Οι ιδιοτιμές ενός τετραγωνικού πίνακα προκύπτουν από την επίλυση της παρακάτω εξίσωσης: I det (4.6) όπου Ι ο μοναδιαίος πίνακας: και όμοια: Οι ιδιοτιμές που προκύπτουν από την παραπάνω εξίσωση (4.6) στο χώρο των δύο διαστάσεων χρησιμοποιώντας τους πίνακες της εξίσωσης 4.5 είναι: και (4.7) για τους Α και Β πίνακες αντίστοιχα. Η εύρεση των αριστερών ιδιοδιανυσμάτων προκύπτει από την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων για κάθε ιδιοτιμή ξεχωριστά (συνoλικά συστήματα ) και για τον κάθε πίνακα και αντίστοιχα. Για την εύρεση χρησιμοποιούνται οι μη συντηρητικοί πίνακες με αποτέλεσμα το παραγόμενο σύστημα να είναι απλούστερης μορφής παρά εάν χρησιμοποιούνται οι συντηρητικοί πίνακες. (4.8) ή σε μορφή πινάκων: (4.9) Αναλυτικότερα για τον πίνακα Α ο εξαγόμενος έστω πίνακας προκύπτει από την επίλυση των τριών ακόλουθων συστημάτων: (4.) (4.) (4.) Επιλύοντας τα τρία παραπάνω συστήματα τελικώς προκύπτει ο πίνακας. Παρόμοια διαδικασία εφαρμόζεται και στην εύρεση του πίνακα. (4.) όπου α α α τυχαίοι σταθεροί πραγματικοί αριθμοί που προκύπτουν από την πρώτου βαθμού απειρία των συστημάτων. Αντίστοιχα ο πίνακας (4.) με τυχαίους σταθερούς αριθμούς. Οι πίνακες είναι: και και Αναλυτικά είναι: (4.)

7 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ Ι τεύχ. Te. Cro... TCG I No 5 (4.4) Οι συντηρητικοί πίνακες Α Β μπορούν τώρα να διατυπωθούν συναρτήσει τριών πινάκων Cork [7] ως: (4.5) όπου Λ Α Λ Β διαγώνιοι πίνακες με στοιχεία τις ιδιοτιμές των πινάκων. 4.. Μετασχηματισμένο σύστημα συντεταγμένων Οι ιδιοτιμές των πινάκων στο μετασχηματισμένο σύστημα συντεταγμένων είναι [5]: (4.6) Ο αντίστοιχος πίνακας μετασχηματισμού Μ από τη συντηρητική σε μη συντηρητική μορφή είναι ο ίδιος όπως διατυπώνεται στις εξισώσεις 4. καθώς και ο τρόπος εύρεσης των πινάκων. (4.7) Τελικώς οι αντίστοιχοι πίνακες για το μετασχηματισμένο δίκτυο είναι: (4.8) Αναλυτικότερα: (4.9) (4.) Το γινόμενο των παραπάνω πινάκων εκφράζει τους πίνακες όπως παρακάτω: (4.) 5. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Η αναπτυχθείσα τεχνική [5] ανήκει στην κατηγορία των τεχνικών των πολλαπλών βημάτων (predtor - orretor) στηριζόμενη στο πεπλεγμένο αριθμητικό σχήμα Cork. Η μέθοδος περιλαμβάνει δύο βήματα στον predtor και δύο βήματα στον orretor. Το πρώτο βήμα χρησιμοποιεί τη ρητή μέθοδο predtor - orretor Cork. Σε αυτό το βήμα η μέθοδος προσεγγίζει με εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών ρητής μορφής τις εξι-

8 54 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ Ι τεύχ. Te. Cro... TCG I No σώσεις ροής. Το δεύτερο βήμα μεταφέρει τις εξισώσεις του πρώτου βήματος σε πεπλεγμένη μορφή. Η σύγκριση ως προς τον αριθμό των ανακυκλώσεων έγινε με μία ρητή μέθοδο πεπερασμένων όγκων os [4]. 5.. γωγός Neso Η σύγκλιση του διδιάστατου αλγορίθμου για υπερκρίσιμη ροή εφαρμόστηκε πρώτον σε αγωγό μεταφοράς νερού ενός υδροδυναμικού έργου με πλάτος εκχειλιστή μεγαλύτερο του πλάτους της λεκάνης αποτόνωσης. Ως εκ τούτου το σχήμα του αγωγού μεταφοράς του νερού πρέπει υποχρεωτικώς να συγκλίνει στην κατάντη περιοχή. Ο Neso [8] μελέτησε πειραματικώς στο εργαστήριο μία τέτοια μορφή ορθογώνιου αγωγού προκειμένου να διερευνήσει το είδος της αναπτυσσόμενης υπερκρίσιμης ροής λόγω της συγκλίσεως των πλευρικών τοιχίων του αγωγού. Η κλίση του αγωγού δίδει o =.8 και ισοδυναμεί με. μοίρες ενώ o =.. Στη στέψη το πλάτος του αγωγού είναι =.76 στην δε έξοδο το πλάτος είναι =.58. Στο Σχήμα δείχνεται η κάτοψη του αγωγού. Σχ. : Συγκριτικός αριθμός ανακυκλώσεων μεταξύ ρητής και πεπλεγμένης τεχνικής για Q=.67 se. Αγωγός Neso. F : Coprte terto er etwee ept d pt teqe for Q=.67 se. Νeso e. Σχ. : Κάτοψη αγωγού Neso. F. : Neso e top ew. Ο αριθμός των ανακυκλώσεων που χρειάζεται η κάθε αριθμητική τεχνική παρουσιάζεται στο σχήμα και 4. Παρουσιάζονται δύο καμπύλες οι οποίες δείχνουν το μέγιστο και το μέσο όρο λάθους. Η μεν ρητή μέθοδος πεπερασμένων όγκων για Q=.67 se επιλύει τη ροή σε 8 ανακυκλώσεις ενώ η παρούσα πεπλεγμένη μέθοδος Cork σε περίπου 6 ανακυκλώσεις. Σχ. 4: Συγκριτικός αριθμός ανακυκλώσεων μεταξύ ρητής και πεπλεγμένης τεχνικής για Q=.8 se. Αγωγός Neso. F. 4: Coprte terto er etwee ept d pt teqe for Q=.8 se. Νeso e. Ο μέσος όρος λάθους και των δύο μεθόδων είναι της τάξεως -8. Για Q=.8 se οι αντίστοιχες απαιτούμενες ανακυκλώσεις είναι 5 και 8 αντίστοιχα. Σε επί % ποσοστό η προτεινόμενη μέθοδος είναι 58% και 65% ταχύτερη από τη ρητή μέθοδο πεπερασμένων όγκων εν αναφορά με τον αριθμό των ανακυκλώσεων.

9 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ Ι τεύχ. Te. Cro... TCG I No γωγός Rose oot και Hs Η δεύτερη εφαρμογή αφορά σε έναν αποκλίνοντα στην πάνω πλευρά αγωγό τον οποίο μελέτησαν οι Rose oot και Hs [9]. Ο αριθμός Frode (εισόδου) είναι ίσος με. και το βάθος εισόδου.. Οι κλίσεις του αγωγού κατά τις και διευθύνσεις είναι ίσες με μηδέν το δε μήκος του αγωγού.. Σχ. 5: Κάτοψη αγωγού Roseoot κ.ά. F. 5: Rose oot d Hs e top ew. Σχ. 6: Συγκριτικός αριθμός ανακυκλώσεων μεταξύ ρητής και πεπλεγμένης. γωγός Rose oot και Hs. F. 6: Coprte terto er etwee ept d pt teqe. Rose oot d Hs e. Στο σχήμα 5 δείχνεται η κάτοψη του αγωγού ενώ στο σχήμα 6 ο αναγκαίος αριθμός των ανακυκλώσεων για σύγκλιση. Στις γραφικές παραστάσεις ο μέσος όρος λάθους υπολογίστηκε βάσει των αξονικών ταχυτήτων σε κάθε ανακύκλωση και επί του συνόλου των κομβικών σημείων του πεδίου ροής. Να αναφερθεί ότι η πεπλεγμένη τεχνική απαιτεί περισσότερο χρόνο από ανακύκλωση σε ανακύκλωση συγκρινόμενη με τη ρητή τεχνική. 6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η ημιγραμμικοποίηση των διδιάστατων εξισώσεων ελευθέρας επιφανείας σε καρτεσιανό και μετασχηματισμένο σύστημα συντεταγμένων καθώς και η διαγωνοποίηση των αντίστοιχων πινάκων αποτελούν τη βάση για την ανάπτυξη πεπλεγμένων αριθμητικών τεχνικών. Η χρησιμοποίηση των πινάκων ημιγραμμικοποίησης των διαφορικών εξισώσεων καθώς και οι πίνακες διαγωνοποίησης των παραπάνω πινάκων έχουν ως αποτέλεσμα την αύξηση των εντολών προγραμματισμού στους αναπτυχθέντες αλγορίθμους. Αυτό είναι δυνατόν να αποφευχθεί με τη χρησιμοποίηση κατάλληλων υποπρογραμμάτων που θα υπολογίζουν γινόμενα και αθροίσματα πινάκων. Το μειονέκτημα αυτό αντισταθμίζεται από τη δυνατότητα των πεπλεγμένων τεχνικών να χρησιμοποιούν μεγαλύτερο χρονικό βήμα και ως εκ τούτου η σύγκλιση να επιτυγχάνεται με μικρότερο αριθμό ανακυκλώσεων. Η ταυτόχρονη χρησιμοποίηση των πινάκων ημιγραμμικοποίησης και η διαγωνοποίησή τους κάνει τους αλγόριθμους ταχύτερους. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙ. os T. d Cdr. H. Dept - ered Ope-Ce Fow ode.. Hdr. Er. CE 995 o. No 6 pp os T. d Zo G. Dept - ered to of perrt Fow Ce wt w dew.. Hdr. Er. CE o. 6 No 6 pp Hrs C. Ner Coptto of Iter d Eter Fows 988 o. Fdets of Ner Dsretzto o We & os td. 4. os.. Ner etod for rt d perrt Ope Ce Fow Cto It.. for Ner etods Fds 99o. pp Potopoos.G. os.. Ipt do ee for Dept ered Free - rfe Fow Eqtos. Hdr. Er. (..C.E) o. pp Σούλης Ι. Β Μπέλλος Κ. Συντηρητικές Εξισώσεις Μηχανικής Ρευστών Διατυπωμένες σε Γενικευμένο Σύστημα Συντεταγμένων Μέρος Α. Μαθηματική Ανάλυση 988 Τεχνικά Χρονικά Επιστημονική Περιοχή Β Τεύχος Cork R. W. Ner etod for o te Eqtos of Copresse sos Fow 98 I or o. No. 9 pp Neso F.. Coe Ctes Coer perrt Fow..r Eeer Wter Eperet tto seeos Pper Rose H. oot.. d Hs E. Y. Des of Ce Epsos Trs. CE 95 o. 6 pp Ιωάννης Β. Σούλης Αν. Καθ. Τομ. Υδραυλικών Έργων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Δ.Π.Θ. Ξάνθη T.T. 67 e sos@t..dt.r Αλέξανδρος Γ. Παναγιωτόπουλος Δρ. πολιτικός μηχανικός Δημαρχείου Αιγάλεω Αττικής Τ.Τ. 4 e kp@.o.r

10 56 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ Ι τεύχ. Te. Cro... TCG I No Eteded sr e-erzto d Dozto of D Eer Eqtos for Free rfe Fows EXNDER G. PNGIOTOPOO P.D. C Eeer D..Tr. OHNNE. OI sso. Prof. D..Tr. strt Ts reser works des wt te teoret ss of te seerzto of te d Eer (free-srfe fow) fow eqtos Crtes d trsfored ξ η oordte sste. ss s perfored for te dozto of tres wt eees. Tese tres re wde sed pt er teqes (Cork e-wr DI d oters). Te epresso of free-srfe fow Eer d Ner-tokes eqtos ters of se-erzto d dozto tres ke posse te ppto of pt do er sees. Tese tr fortos of te oer fow eqtos re wde sed Coptto Fd Ds. fter do ts te eerto oeree of te pt sees reses s s edet fro te rret pptos. Te rpd proress tt s ee eed opter rdwre d softwre s rested eros optto teqes for te soto of free-srfe fow Eer d Ner-tokes eqtos. Howeer ost of tese teqes re sow e oeree prtr we te re sed o ept etods. Te deeopet of pt teqes s prt soed ts proe se t perts er te steps. ost of te pt teqes reqre te soto of trdo sste of eqtos w reqres osdere etr proessor t optto te. Reet reserers e fod pt fortos tt perfor erso of o pper or ower ok do tres. It tese teqes were pped for te soto of Ner-tokes eqtos. For free-srfe fows pt teqes e o reet ppered te eer tertre [] []. Te o of te rret reser work s to preset t te do (se-erzto d dozto) forto of te Eer eqtos wt prtr ppto to te free-srfe eqtos. Te Eer fow eqtos. e erzed rest eqtos.. Te tres C (eqtos.5) re te oserte forto of te se-erzed for of Eer eqtos. For te o-oserte for of te se-erzed Eer eqtos te oe tres st e epressed o-oserte for. Te eees of oserte d o-oserte eqtos re te se. Te trsforto tr s e eqtos.6. d.7. tted: De epted: r.. Te reto etwee oserte d o-oserte os Α d ters of tr s e eqto.9. Te oer fow eqtos for te ps do ss tt te fow s ooeeos opresse D wt drostt pressre dstrto d see of Coros d wd fores re e eqtos.. Te tr of depede res s e fter Potopoos et [5] eqtos.. Te orrespod o tres d re e eqtos. d.4. F tese tres re Eqtos. e wrtte dow trsfored sste ξ η s eqtos.5 fter os [6]. Te eot opoets d te ps do re reted to te eot opoets te optto do wt eqtos.6. Te o of te trsforto tr fro te ps to optto o oordte sste see F.. s e eqtos.7 we te prt dertes re e eqto.8. Te osd refer to te trsfored sste. Tese re Eqtos. d. od Te tr etwee d d te erse tr - re e eqto 4.. Te se of te oe tres s sed po te ft tt te e epf t

11 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ Ι τεύχ. Te. Cro... TCG I No 57 te o-oserte tres. s eqto.9 te tres re rest eqtos 4.5. Te eees re sed to doze te oe tres. Tese es re ted fro te soto of eqtos 4.6. Te eees re e fro eqtos 4.7 for te d tres respete. Te oserte tres ow e epressed s te prodt of tree tres Cork [7] s Eqtos od. Te do tres re F for te trsfored sste Eqtos od. teep tes re oo sed dr strtres s oees for sperrt fows etwee spw rest d eer dssptor. Weeer te rest et s reter t te wdt of te eer dssptor te te st oere te dowstre dreto. Neso [8] stded te spe p of te te sdews. Fre 5. sows te p ew of te spw. Te frst test r sed Q=.67 s d =.69 (rest e). Te opted rests of pt predtor-orretor do er teqe [5] re opred wt tose of ept teqe [4]. Te pt er teqe oeres fter 6 tertos see F.5. we te ept teqe reqres 8 tertos to ee te se oeree (ere error<. -8 ). t resed dsre rte of Q=.8 se te orrespod ers re 5 d 8 respete see F.5.4. Te e epso sow F.5.5 ws so sed to test te oprte perfore of te two er sees. For te pt teqe te reqred er of tertos ws 85 to ee soto (error<. -7 ). Te ept er etod oeres fter 65 tertos. It st e oted tt te pt teqe reqres ore CP te per terto (opred wt ept teqe). ss ws de for te dozto of tres wt eees. Tese tres re wde sed pt er teqes (Cork e d Wr DI d oters) order to soe te Ner-tokes te Eer d free-srfe fow eqtos. Fro te tested free-srfe fow pptos te oeree rte for te pt see s fster f t s opred wt ept teqe. oes. os sso. Prof. Fd e.hdr. Dso C Er. Dept. D..Tr. Xt Hes 67 e sos@t..dt.r eder G. Potopoos P.D. C Eeer Dro Eeo - ttks 4 Hes e kp@.o.r