ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ. Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Γεωτεχνολογία & Περιβάλλον»

Transcript

1 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Γεωτεχνολογία & Περιβάλλον» «Εφαρµογή της µεθόδου των Σπαρτιάτικων Τυχαίων Πεδίων στην γεωστατιστική ανάλυση της χωρικής κατανοµής περιβαλλοντικών ρύπων» Μεταπτυχιακή ιατριβή Εµµανουήλ Α. Βαρουχάκης Εξεταστική Επιτροπή. Χριστόπουλος, Αν. Καθηγητής (επιβλέπων) Σ. Μερτίκας, Καθηγητής Κ. Κοµνίτσας, Αν. Καθηγητής Χανιά Φεβρουάριος 005

2 Περίληψη Περίληψη Η συγκεκριµένη µεταπτυχιακή εργασία ασχολείται µε την χωρική εκτίµηση φυσικών µεγεθών (συγκεντρώσεις χρωµίου) σε σηµεία µιας περιοχής ενδιαφέροντος όπου δεν υπάρχουν µετρήσεις. Από την µαθηµατική πλευρά, ο γενικός στόχος είναι η αναπαραγωγή της χωρικής κατανοµής της περιβαλλοντικής ρύπανσης στα σηµεία ενός καννάβου, βάσει των µετρηµένων τιµών στα ανοµοιογενώς κατανεµηµένα σηµεία δειγµατοληψίας. Από την σκοπιά των εφαρµογών, ο γενικός στόχος είναι η ανάλυση της περιβαλλοντικής επικινδυνότητας που προκύπτει από ένα περιορισµένο πλήθος µετρήσεων περιβαλλοντικών ρυπαντών. Η χωρική εκτίµηση είναι αποτέλεσµα των µεθόδων γεωστατιστικής ανάλυσης οι οποίες βασίζονται στην χωρική εξάρτηση των τιµών ενός δείγµατος. Οι πιο διαδεδοµένες είναι γνωστές µε την ονοµασία Kriging. Οι µέθοδοι αυτές χαρακτηρίζονται από ισχυρούς µαθηµατικούς περιορισµούς ως προς την εφαρµογή τους. Όταν οι περιορισµοί αυτοί δεν ικανοποιούνται επηρεάζεται αρνητικά η ακρίβεια της χωρικής εκτίµησης. Εποµένως, υπάρχει ανάγκη για την ανάπτυξη νέων, πιο ευέλικτων µεθόδων χωρικής εκτίµησης. Μια καινοτόµος µέθοδος γεωστατιστικής ανάλυσης η οποία ονοµάζεται µοντέλα Σπαρτιάτικών Τυχαίων Πεδίων παρέχει ένα διαφορετικό τρόπο ανάλυσης των χωρικών δεδοµένων σε σχέση µε τα κλασικά γεωστατιστικά πρότυπα. Ο όρος Σπαρτιάτικα Τυχαία Πεδία (ΣΤΠ) χαρακτηρίζει γεωστατιστικά µοντέλα που προσδιορίζονται από ένα σχετικά µικρό αριθµό παραµέτρων, οι οποίες δεν προϋποθέτουν τον υπολογισµό του ηµιβαριογράµµατος. Σε αντίθεση µε το ηµιβαριόγραµµα, ο προσδιορισµός των παραµέτρων των ΣΤΠ βασίζεται σε σχετικά απλούς στατιστικούς περιορισµούς, που υπολογίζονται αποτελεσµατικά από το υπάρχον δείγµα. Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται για πρώτη φορά σε πραγµατικό δείγµα το οποίο αποτελείται από µετρήσεις συγκέντρωσης χρωµίου στο έδαφος σε 359 σηµεία µέτρησης τα οποία βρίσκονται στην περιοχή των βουνών Jura (Ελβετία). ίνεται έµφαση στον προσδιορισµό των παραµέτρων του µοντέλου βάσει των στατιστικών περιορισµών του δείγµατος. Εξετάζονται δυο µέθοδοι για την εκτίµηση των i

3 Περίληψη παραµέτρων: η πρώτη βασίζεται στον ορισµό ενός αυθαίρετου κανονικού καννάβου που καλύπτει την περιοχή της µελέτης, ενώ η δεύτερη χρησιµοποιεί τα τρίγωνα Delaunay. Συνάγεται από την ανάλυση ότι η µέθοδος των τριγώνων Delaunay χωρίς εξοµάλυνση των δεδοµένων δεν αποδίδει ικανοποιητικά. Στην συνέχεια εξετάζεται η ακρίβεια της χωρικής εκτίµησης της µεθόδου ΣΤΠ, συγκρίνοντας τις εκτιµήσεις του µοντέλου µε τις πραγµατικές τιµές σε ένα σύνολο σηµείων επιβεβαίωσης (validation points). Εξετάζεται η ακρίβεια της χωρικής εκτίµησης της µεθόδου ΣΤΠ και πραγµατοποιείται συγκριτική ανάλυση µε την µέθοδο Kriging. Συγκρίνοντας τα αποτελέσµατα των δύο µεθόδων διαπιστώνεται ότι η επίδοσή τους στην ανάλυση του συγκεκριµένου δείγµατος είναι ανάλογη. Ως γενικό συµπέρασµα, τα αποτελέσµατα της εφαρµογής της µεθόδου ΣΤΠ είναι ενθαρρυντικά, καθώς υπάρχουν πολλά περιθώρια βελτίωσης τόσο της εκτίµησης των παραµέτρων του µοντέλου όσο και της χωρικής εκτίµησης. ii

4 Abstract Abstract Spartan Spatial Random Fields (SSRF s) are a recently proposed geostatistical model (Hristopulos, 003) with applications in environmental risk assessment and natural resources estimation. The SSRF models are determined by a small number of parameters, the inference of which from the sample does not require the variogram calculation. The SSRF parameter inference is based on relatively simple statistical restrictions that are calculated effectively. This study presents an application of a specific SSRF model in the estimation of environmental pollutants, at points where their concentration is unknown, using a real data set. The study focuses on practical methodological issues, such as the inference of the model parameters from points distributed on an irregular sampling grid, and the determination of an optimal correlation neighborhood for the SSRF estimator. The estimation error of the method is discussed and a detailed comparison of the SSRF model with a classical kriging method is applied. It is concluded that, at least within the scope of the present study, the SSRF framework provides a competitive alternative for spatial estimation. iii

5 Πρόλογος Πρόλογος Η εκπόνηση της συγκεκριµένης µεταπτυχιακής διατριβής δεν θα ήταν δυνατή χωρίς την καθοδήγηση και την επίβλεψη του Αναπληρωτή Καθηγητή κ. ιονύση Χριστόπουλου, τον οποίο και θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαιτέρως. Επίσης ευχαριστίες οφείλω στον Καθηγητή κ. Στυλιανό Μερτίκα και στον Αναπληρωτή Καθηγητή κ. Κωνσταντίνο Κοµνίτσα για τις πολύτιµες συµβουλές και παρατηρήσεις τους. Μέρος της µεταπτυχιακής εργασίας χρηµατοδοτήθηκε από τον ΕΛΚΕ Πολυτεχνείου Κρήτης στα πλαίσια του προγράµµατος «Σπαρτιάτικά µοντέλα τυχαίων πεδίων για Γεωστατιστικές εφαρµογές» για την ενίσχυση της βασικής έρευνας. iv

6 Περιεχόµενα Περιεχόµενα Περίληψη...i Abstract...iii Πρόλογος...iv Περιεχόµενα...v Κατάλογος Σχηµάτων... viii Κατάλογος Πινάκων...xi. Εισαγωγή.... Γεωστατιστική.... Τυχαία πεδία Βασικές έννοιες τυχαίων πεδίων Μέση τιµή ιασπορά Συνάρτηση συνδιασποράς Στατιστική οµοιογένεια Στατιστική ισοτροπία Χωρική εξάρτηση Προσδιορισµός ηµιβαριογράµµατος Χωρική εκτίµηση....4 Περιορισµοί κλασικών γεωστατιστικών µεθόδων....5 Γεωστατιστική ανάλυση τυχαίου πεδίου...5. Σπαρτιάτικα τυχαία πεδία...7. Εισαγωγή...7. Περιγραφή του µοντέλου των ΣΤΠ Εκτίµηση παραµέτρων µοντέλου Μέθοδος κυψελίδων σε κανονικό πλέγµα Μέθοδος κυψελίδων σε ανοµοιογενές πλέγµα Μέθοδος τριγώνων Delaunay Επιβεβαίωση της µεθόδου Delaunay Εκτίµηση πεδίου σε σηµεία χωρίς µετρήσεις...50 v

7 Περιεχόµενα 3. Εφαρµογή στην χαρτογράφηση περιεκτικότητας Cr στο έδαφος της περιοχής ενδιαφέροντος Περιγραφή της γεωγραφικής περιοχής ιερευνητική στατιστική ανάλυση Ανάλυση χωρικής συνέχειας Προσδιορισµός χωρικής τάσης Προσδιορισµός ηµιβαριογράµµατος δείγµατος χρωµίου Μεθοδολογία γεωστατιστικής ανάλυσης Γεωστατιστική ανάλυση µε την µέθοδο Kriging Εφαρµογή της µεθόδου κανονικού Kriging Εφαρµογή µοντέλου Σπαρτιάτικων Τυχαίων Πεδίων Εφαρµογή της µεθόδου Delaunay Εφαρµογή ΣΤΠ µε την µέθοδο της διασταυρωµένης επιβεβαίωσης Σύγκριση µεθόδου ΣΤΠ µε την µέθοδο Kriging Συµπεράσµατα Προτάσεις για µελλοντική έρευνα...98 Ελληνική βιβλιογραφία...00 ιεθνής βιβλιογραφία...00 ια-δικτυακές πηγές...0 Παραρτήµατα...0 Παράρτηµα Α «Προσδιορισµός αναλυτικών λύσεων στατιστικών περιορισµών για περιοδική συνάρτηση δείγµατος»...03 Παράρτηµα Β «Υπολογισµός ισοτροπικής λύσης»...09 Προγράµµατα MATLAB... Παράρτηµα Γ «Υπολογισµός στατιστικών περιορισµών µε την µέθοδο Delaunay» Παράρτηµα «ηµιουργία τυχαίου πεδίου δύο διαστάσεων»...3 Παράρτηµα Ε «Υπολογισµός στατιστικών περιορισµών δείγµατος (σύνολο εκπαίδευσης)»...4 Παράρτηµα Ζ «Προσδιορισµός συναρτησιακής απόστασης»...5 Παράρτηµα Η «Υπολογισµός παραµέτρων δείγµατος (σύνολο εκπαίδευσης)»...6 vi

8 Περιεχόµενα Παράρτηµα Θ «Εκτίµηση στα σηµεία του συνόλου επιβεβαίωσης»...8 Παράρτηµα Ι «Εκτίµηση στα σηµεία του συνόλου επιβεβαίωσης µετά την αφαίρεση των ακραίων τιµών»... Παράρτηµα Κ «Υπολογισµός στατιστικών περιορισµών δείγµατος»...3 Παράρτηµα Λ «Υπολογισµός παραµέτρων δείγµατος»...4 Παράρτηµα Μ «Εκτίµηση στα σηµεία του δείγµατος µε την µέθοδο της διασταυρωµένης επιβεβαίωσης»...5 Παράρτηµα Ν «Εκτίµηση στα σηµεία της περιοχής µελέτης όπου δεν υπάρχούν µετρήσεις»...8 vii

9 Κατάλογος Σχηµάτων Κατάλογος Σχηµάτων Σχήµα.: Γράφηµα τάσης τυχαίας µεταβλητής....7 Σχήµα.: Γράφηµα συνηµίτονου µε εκθετικά µειούµενο πλάτος διακύµανσης (Χριστόπουλος 004α)....9 Σχήµα.3: Σύστηµα κύριων αξόνων (ΚΑ, ΚΑ) σε σχέση µε το σύστηµα συντεταγµένων x και y και ισοϋψής καµπύλη (έλλειψη) του ηµιβαριογράµµατος (Χριστόπουλος 004β)....5 Σχήµα.4: Σχηµατικό διάγραµµα µιας περιοχής B() r γύρω από το διάνυσµα απόστασης (Χριστόπουλος 004β)...8 Σχήµα.5: Παρουσίαση χαρακτηριστικών στοιχείων ηµιβαριογράµµατος (Surfer V.8.0.4, 00)....0 Σχήµα.6: Ηµιβαριόγραµµα της κατανοµής περιεκτικότητας χρωµίου στα Ελβετικά βουνά Jura ως συνάρτηση της απόστασης µεταξύ δύο σηµείων µέτρησης...4 Σχήµα.: Απεικόνιση κανονικού πλέγµατος (τετραγωνικό 0x0) το οποίο περιλαµβάνει τιµές ενός δείγµατος κατανεµηµένες πάνω στα σηµεία του Σχήµα.: Απεικόνιση τετραγωνικού πλέγµατος 4x4 που καλύπτει µικρό δείγµα (Hristopulos 003) Σχήµα.3: ειγµατικά σηµεία τυχαίου πεδίου (Mulchrone 00)....4 Σχήµα.4: ιάγραµµα πολυγώνων Voronoi (Mulchrone 00)...4 Σχήµα.5: Παράδειγµα δηµιουργίας τριγώνων Delaunay (Mulchrone 00)...43 Σχήµα.6: Εφαρµογή της µεθόδου τριγώνων Delaunay στα σηµεία µέτρησης του δείγµατος χρωµίου (Cr) Σχήµα 3.: Χωρική κατανοµή συγκέντρωσης χρωµίου (Goovaerts 997)...56 Σχήµα 3.: ιάγραµµα πιθανότητας κανονικής κατανοµής δείγµατος χρωµίου Σχήµα 3.3: Ιστόγραµµα κανονικής κατανοµής Cr χρησιµοποιώντας την εντολή «hist» της Matlab. Το ιστόγραµµα περιγράφει την συχνότητα εµφάνισης των µετρήσεων του δείγµατος στα αντίστοιχα διαστήµατα συγκέντρωσης χρωµίου...60 Σχήµα 3.4: Ιστόγραµµα κανονικής κατανοµής Cr χρησιµοποιώντας την εντολή «histfit» της Matlab. Το ιστόγραµµα περιγράφει την συχνότητα εµφάνισης των µετρήσεων του δείγµατος στα αντίστοιχα διαστήµατα συγκέντρωσης χρωµίου....6 viii

10 Κατάλογος Σχηµάτων Σχήµα 3.5: Η τάση του δείγµατος παρουσιάζεται από την γραµµή (-) κόκκινου χρώµατος ενώ οι τιµές του δείγµατος από την γραµµή (-) µπλε χρώµατος....6 Σχήµα 3.6: Παράδειγµα απεικόνισης ανισοτροπίας (Surfer V.8.0.4, 00)...63 Σχήµα 3.7: Πειραµατικό ηµιβαριόγραµµα δείγµατος Cr σαν συνάρτηση της απόστασης...65 Σχήµα 3.8: Απεικόνιση ανισοτροπίας στο δείγµα χρωµίου...67 Σχήµα 3.9: Προσαρµογή πειραµατικού ηµιβαριογράµµατος Cr στο Εκθετικό µε Φαινόµενο Πυρήνα µοντέλο ηµιβαριογράµµατος, κατά την κατεύθυνση του άξονα (y)...68 Σχήµα 3.0: Προσαρµογή πειραµατικού ηµιβαριογράµµατος Cr στο Εκθετικό µε Φαινόµενο Πυρήνα µοντέλο ηµιβαριογράµµατος, κατά την κατεύθυνση του άξονα (x)...68 Σχήµα 3.: Προσαρµογή πειραµατικού ηµιβαριογράµµατος Cr στο µοντέλο ηµιβαριογράµµατος, Φαινόµενου πυρήνα µε Περιοχή Αντισυσχέτισης Σχήµα 3.: Προσαρµογή πειραµατικού ηµιβαριογράµµατος Cr στο Τετραγωνικό µοντέλο ηµιβαριογράµµατος...69 Σχήµα 3.3: Προσαρµογή πειραµατικού ηµιβαριογράµµατος Cr στο Σφαιρικό µε Φαινόµενο Πυρήνα µοντέλο ηµιβαριογράµµατος...70 Σχήµα 3.4: Προσαρµογή πειραµατικού ηµιβαριογράµµατος Cr στο Σφαιρικό µοντέλο ηµιβαριογράµµατος Σχήµα 3.5: Χάρτης σηµείων όπου υπάρχουν µετρήσεις χρωµίου στα σηµεία του συνόλου εκπαίδευσης και επιβεβαίωσης στο χώρο. Με κόκκινο κύκλο (ο) παρουσιάζονται τα σηµεία του συνόλου επιβεβαίωσης ενώ µε µαύρο αστεράκι (*) τα σηµεία του συνόλου εκπαίδευσης...7 Σχήµα 3.6: ιάγραµµα διασποράς εκτιµώµενων και πραγµατικών συγκεντρώσεων χρωµίου. Με κόκκινο (ο) δηλώνεται το κάθε σηµείο του συνόλου επιβεβαίωσης το οποίο αντιστοιχίζει την πραγµατική µε την εκτιµώµενη συγκέντρωση χρωµίου. Ο άξονας (x) παρουσιάζει τις εκτιµώµενες συγκεντρώσεις χρωµίου ενώ ο άξονας (y) τις πραγµατικές συγκεντρώσεις Σχήµα 3.7: ιάγραµµα διασποράς εκτιµώµενων και πραγµατικών συγκεντρώσεων χρωµίου. Με κόκκινο (ο) δηλώνεται το κάθε σηµείο του συνόλου επιβεβαίωσης το οποίο αντιστοιχίζει την πραγµατική µε την εκτιµώµενη συγκέντρωση χρωµίου. Ο άξονας (x) παρουσιάζει τις εκτιµώµενες συγκεντρώσεις χρωµίου ενώ ο άξονας (y) τις πραγµατικές συγκεντρώσεις Σχήµα 3.8: Χάρτης περιεκτικότητας χρωµίου (σε ppm) χρησιµοποιώντας το Σφαιρικό µε Φαινόµενο Πυρήνα µοντέλο ηµιβαριογράµµατος ix

11 Κατάλογος Σχηµάτων Σχήµα 3.9: Χάρτης περιεκτικότητας χρωµίου (σε ppm) χρησιµοποιώντας το µοντέλο Σπαρτιάτικών Τυχαίων Πεδίων x

12 Κατάλογος Πινάκων Κατάλογος Πινάκων Πίνακας.: Αποτελέσµατα επιβεβαίωσης της µεθόδου Delaunay για δείγµα τυχαίου πεδίου περιοδικής συνάρτησης...47 Πίνακας.: Αποτελέσµατα επιβεβαίωσης της µεθόδου Delaunay για το πρώτο ΣΤΧ...47 Πίνακας.3: Αποτελέσµατα επιβεβαίωσης της µεθόδου Delaunay για το δεύτερο ΣΤΧ...48 Πίνακας.4: Αποτελέσµατα επιβεβαίωσης της µεθόδου Delaunay για δείγµα τυχαίων πεδίων κατανεµηµένων σε ανοµοιογενές πλέγµα...49 Πίνακας 3.: Επιτρεπτή συγκέντρωση χρωµίου σε έδαφος της Ολλανδίας (EC 003) Πίνακας 3.: Στατιστικές ιδιότητες δείγµατος χρωµίου...60 Πίνακας 3.3: Τάξεις απόστασης, πλήθος ζευγών ανά τάξη και τιµές πειραµατικού ηµιβαριογράµµατος για την κατανοµή Cr Πίνακας 3.4: Τιµές παραµέτρων των θεωρητικών µοντέλων ηµιβαριογράµµατος Πίνακας 3.5: Σφάλµα εκτίµησης µεθόδου κανονικού Kriging για διαφορετικά θεωρητικά µοντέλα ηµιβαριογράµµατος....8 Πίνακας 3.6: Σφάλµα εκτίµησης µεθόδου κανονικού Kriging εξαιρουµένων την µέγιστης και της ελάχιστης συγκέντρωσης του δείγµατος για διαφορετικά θεωρητικά µοντέλα ηµιβαριογράµµατος....8 Πίνακας 3.7: Βέλτιστες τιµές παραµέτρων για διαφορετικούς συνδυασµούς αρχικών εκτιµήσεων...84 Πίνακας 3.8: Ανάλυση σφάλµατος εκτίµησης ΣΤΠ σε 00 σηµεία του συνόλου επιβεβαίωσης Πίνακας 3.9: Μέτρηση σφάλµατος εκτίµησης σε 98 σηµεία του συνόλου επιβεβαίωσης Πίνακας 3.0: Σφάλµα εκτίµησης µοντέλου Σπαρτιάτικων Τυχαίων Πεδίων...9 Πίνακας 3.: Σφάλµα εκτίµησης µοντέλου Σπαρτιάτικων Τυχαίων Πεδίων...9 Πίνακας 3.: Σφάλµα εκτίµησης µοντέλου Σπαρτιάτικων Τυχαίων Πεδίων εξαιρουµένων την µέγιστης και της ελάχιστης συγκέντρωσης του δείγµατος...93 xi

13 Κατάλογος Πινάκων Πίνακας 3.3: Σφάλµα εκτίµησης µοντέλου Σπαρτιάτικων Τυχαίων Πεδίων εξαιρουµένων την µέγιστης και της ελάχιστης συγκέντρωσης του δείγµατος...93 xii

14 Κεφάλαιο. Εισαγωγή. Γεωστατιστική Η επιστήµη της Γεωστατιστικής έχει γνωρίσει ιδιαίτερη ανάπτυξη τις τελευταίες δύο δεκαετίες. Το πεδίο εφαρµογών της έχει διευρυνθεί και περιλαµβάνει εφαρµογές που έχουν άµεση σχέση µε τις ερευνητικές δραστηριότητες ανίχνευσης και εντοπισµού ορυκτών πόρων και περιβαλλοντικών ρύπων. Η γεωστατιστική ανάλυση ασχολείται µε κατανοµές στις οποίες τα χαρακτηριστικά της χωρικής εξάρτησης παίζουν πρωτεύοντα ρόλο. Οι µέθοδοι γεωστατιστικής ανάλυσης οδηγούν στον προσδιορισµό της χωρικής κατανοµής µεταβλητών σε σηµεία µιας περιοχής όπου δεν είναι γνωστές. Αυτές οι µεταβλητές χαρακτηρίζουν µεγέθη µε οικονοµική ή περιβαλλοντική σηµασία. (Χριστόπουλος 004β). Οι κλασικές γεωστατιστικές µέθοδοι οι οποίες χρησιµοποιούνται για το σκοπό αυτό χαρακτηρίζονται από ισχυρούς µαθηµατικούς περιορισµούς ως προς την εφαρµογή τους. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα, όταν οι περιορισµοί αυτοί δεν ικανοποιούνται από το πειραµατικό δείγµα, του υπό µελέτη φαινοµένου, η χωρική εκτίµηση των µεταβλητών να περιλαµβάνει υψηλό ποσοστό σφάλµατος (Hristopulos 003). Η Γεωστατιστική περιλαµβάνει ένα σύνολο στατιστικών τεχνικών που αφορούν τυχαίες µεταβλητές οι οποίες µεταβάλλονται στο χώρο (τυχαία πεδία). Οι τεχνικές αυτές βασίζονται στην υπόθεση ότι η χωρική διακύµανση της µεταβλητής εµπεριέχει τυχαίο χαρακτήρα, οπότε χρησιµοποιούν στατιστικές µεθοδολογίες (π.χ µέση τιµή, διασπορά κ.α.) για οποιαδήποτε εκτίµηση απορρέει από τις σηµειακές µετρήσεις της µεταβλητής (Χριστόπουλος 004β). Πιο αναλυτικά, η Γεωστατιστική στηρίζεται στην µαθηµατική έννοια του τυχαίου πεδίου. Η Γεωστατιστική έχει κοινά σηµεία µε τη Θεωρία Πιθανοτήτων και τη Στατιστική. Η Θεωρία Πιθανοτήτων ασχολείται µε τους νόµους και τις ιδιότητες που διέπουν τις τυχαίες µεταβλητές. Η Στατιστική περιλαµβάνει το σύνολο των µεθόδων οι οποίες επιτρέπουν τον προσδιορισµό των παραµέτρων που χαρακτηρίζουν τις τυχαίες µεταβολές βάσει των δεδοµένων. Η Θεωρία των Τυχαίων Πεδίων αποτελεί µια

15 Κεφάλαιο γενίκευση της Θεωρίας Πιθανοτήτων που εφαρµόζεται σε τυχαίες µεταβλητές µε χωρική εξάρτηση (Χριστόπουλος 004β). Η Γεωστατιστική αποσκοπεί στην εκτίµηση των στατιστικών παραµέτρων που προσδιορίζουν τη χωρική κατανοµή βάσει του υπάρχοντος δείγµατος (π.χ. τιµών συγκέντρωσης), καθώς και στη χρήση αυτών των παραµέτρων προκειµένου να εκτιµηθούν οι συγκεντρώσεις σε σηµεία όπου δεν υπάρχουν µετρήσεις (Χριστόπουλος 004b). Η ανάγκη της εκτίµησης φυσικών µεγεθών σε σηµεία όπου δεν υπάρχουν µετρήσεις, δεν είναι καινούρια. Στατιστικοί επιστήµονες, µηχανικοί µεταλλείων, µηχανικοί πετρελαίων, υδρολόγοι και γεωλόγοι οι οποίοι ασχολήθηκαν µε το πρόβληµα ανέπτυξαν την επιστήµη της Γεωστατιστικής. Αρχικά η Γεωστατιστική εφαρµόστηκε κυρίως στην γεωλογία, στην µεταλλειολογία και στην υδρολογία. Στην συνέχεια βρήκε εφαρµογές και σε άλλα επιστηµονικά και τεχνολογικά πεδία (Myers 005). Μερικές από τις εφαρµογές στις οποίες χρησιµοποιείται σήµερα η γεωστατιστική περιλαµβάνουν (Χριστόπουλος 004β): Tην έρευνα κοιτασµάτων (π.χ. εκτίµηση έκτασης, βάθος και ποσοτικοποίηση συνολικής περιεκτικότητας κοιτάσµατος). Tην ωκεανογραφία (π,χ. χαρτογράφηση βυθού, ανάλυση κυµατισµών). Tην µορφολογική ανάλυση φυσικών και τεχνολογικών ανοµοιογενών (π.χ. πορωδών) υλικών. Tην χαρτογράφηση και την απεικόνιση συγκεντρώσεων ρυπαντών σε διάφορα περιβαλλοντικά µέσα (αέρας, υπέδαφος, επιφανειακοί-υπόγειοι υδατικοί πόροι). Tο χαρακτηρισµό της ποιότητας βιοµηχανικών προϊόντων (π.χ., προϊόντα χαρτιού, υλικά υψηλής τεχνολογίας όπως ηµιαγωγοί).

16 Κεφάλαιο Tην τοπογραφική ανάλυση και στα γεωγραφικά συστήµατα πληροφορίας (GIS). Tην ανάλυση βροχοπτώσεων σε περιοχές που υπάρχουν λίγοι βροχοµετρικοί σταθµοί. Tο προσδιορισµό γεωλογικών και υδρο-γεωλογικών δεδοµένων (π.χ. τύπος υπεδάφους, υδραυλική αγωγιµότητα, πορώδες, αποθηκευτικότητα, εξατµισοδιαπνοή, υδραυλικό ύψος). Tην εκτίµηση του περιβαλλοντικού κινδύνου και του κινδύνου για την ανθρώπινη υγεία (π.χ. εκτίµηση της περιεκτικότητας των ρυπαντών σε ελεγχόµενη περιοχή, προσδιορισµός των πιθανοτήτων υπέρβασης κρίσιµων ορίων) Ο κοινός στόχος σε όλες τις εφαρµογές της Γεωστατιστικής είναι ο προσδιορισµός και ο έλεγχος της χωρικής κατανοµής µεταβλητών που χαρακτηρίζουν µεγέθη µε οικονοµική ή περιβαλλοντική σηµασία. Οι πιο δηµοφιλείς και διαδεδοµένες µέθοδοι γεωστατιστικής ανάλυσης είναι γνωστές µε την ονοµασία Kriging. Ωστόσο οι µέθοδοι αυτές όπως προαναφέρθηκε χαρακτηρίζονται από µαθηµατικούς περιορισµούς οι οποίοι επηρεάζουν την εφαρµογή τους. Αυτοί οι περιορισµοί αφορούν τον προσδιορισµό της χωρικής εξάρτησης των τυχαίων µεταβλητών (.4). Για αυτό είναι επιθυµητή η ανάπτυξη νέων µεθόδων γεωστατιστικής ανάλυσης ώστε να υπάρχουν εναλλακτικές προτάσεις.. Τυχαία πεδία Ως «τυχαίο πεδίο» µπορεί να θεωρηθεί ένα σύνολο τυχαίων µεταβλητών που περιγράφουν τη χωροχρονική µεταβολή του σχετικού φυσικού µεγέθους (π.χ τιµές συγκεντρώσεων ρύπων). Σε αντίθεση µε τις συναρτήσεις οι οποίες έχουν µια συγκεκριµένη µαθηµατική έκφραση, π.χ f ( x) = cos( x), ένα τυχαίο πεδίο που δεν έχει σαφή µαθηµατική έκφραση αντιπροσωπεύει ένα σύνολο δυνατών καταστάσεων. 3

17 Κεφάλαιο Κάθε κατάσταση αποτελεί ένα δείγµα του πεδίου και χαρακτηρίζεται από µια πιθανότητα πραγµατοποίησης που καθορίζεται από την πολυδιάστατη Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας του πεδίου. Εποµένως, ένα τυχαίο πεδίο µπορεί να θεωρηθεί ως µία πολυδιάστατη τυχαία µεταβλητή. Λόγω της αλληλεξάρτησης των φυσικών µεγεθών σε διαφορετικά σηµεία του χώρου, τα τυχαία πεδία έχουν ιδιαίτερες µαθηµατικές ιδιότητες που τα ξεχωρίζουν από ένα σύνολο ανεξάρτητων τυχαίων µεταβλητών (Χριστόπουλος 004α). Υπάρχουν διάφορες κατηγορίες τυχαίων πεδίων. Αν το πεδίο λαµβάνει τιµές µόνο από ένα µετρήσιµο σύνολο αριθµών ονοµάζεται πεδίο διακριτών τιµών. Αν οι τιµές του πεδίου προέρχονται από ένα συνεχές διάστηµα πραγµατικών αριθµών, το πεδίο ονοµάζεται πεδίο συνεχών τιµών. Όταν η µεταβολή ορίζεται σε ένα συνεχή χώρο, όπως π.χ. στα φυσικά πεδία, δηµιουργείται ένα πεδίο συνεχούς χώρου. Αντίθετα όταν ορίζεται στις θέσεις ενός πλέγµατος (καννάβου) ονοµάζεται πλεγµατικό πεδίο. Τα πλεγµατικά πεδία χρησιµοποιούνται σε υπολογιστικές (π.χ. προσοµοίωση κατανοµής ρυπαντών σε υδροφόρο ορίζοντα) αλλά και σε θεωρητικές µελέτες γιατί η συµµετρία του πλέγµατος επιτρέπει την χρησιµοποίηση αριθµητικά αποτελεσµατικών µεθόδων (π.χ. ταχείς µετασχηµατισµούς Fourier). Επιπλέον τα πλεγµατικά πεδία επιτρέπούν την σύγκριση των επιδόσεων διαφορετικών γεωστατιστικών µεθόδων (Χριστόπουλος 004α). Στην πράξη οι µετρήσεις αντιπροσωπεύουν ένα πεπερασµένο πλήθος σηµείων, η κατανοµή των οποίων στο χώρο δεν έχει κατ' ανάγκη τη συµµετρία ενός κανονικού πλέγµατος. Σε αυτές τις περιπτώσεις το δίκτυο των σηµείων δειγµατοληψίας είναι ανοµοιογενές. Επίσης χρησιµοποιείται ο όρος άτακτο πλέγµα (disordered lattice) και ο όρος εξωπλεγµατική κατανοµή (off lattice). Σε αυτές τις περιπτώσεις, χρειάζονται γεωστατιστικές µέθοδοι που να λειτουργούν ικανοποιητικά µε τους περιορισµούς της εκάστοτε χωρικής κατανοµής. Αν η κατανοµή των δεδοµένων είναι εξωπλεγµατική, η εκτίµηση ή η προσοµοίωση της διαδικασίας πραγµατοποιείται πάνω σε ένα πλεγµατικό υπόβαθρο που καλύπτει την περιοχή ενδιαφέροντος (Χριστόπουλος 004α). 4

18 Κεφάλαιο Η έννοια του τυχαίου πεδίου βασίζεται σε δύο άλλες βασικές έννοιες: την τυχαιότητα και την αλληλεξάρτηση των τιµών φυσικών µεγεθών σε διαφορετικά σηµεία του χώρου. Η τυχαιότητα χαρακτηρίζει φαινόµενα στα οποία η γνώση µιας κατάστασης µε απόλυτη ακρίβεια είναι αδύνατη λόγω διαφόρων περιορισµών. Τέτοιοι περιορισµοί προέρχονται από την µεταβλητότητα των διαφόρων φυσικών µεγεθών στον χώρο και την αβεβαιότητα που οφείλεται στον περιορισµένο αριθµό µετρήσεων. Σε αυτές τις περιπτώσεις το αποτέλεσµα (η τιµή του φαινοµένου) καθορίζεται από µία συνάρτηση κατανοµής πιθανότητας, η οποία προσδιορίζει τις πιθανότητες εµφάνισης κάθε κατάστασης. Η χωρική εξάρτηση (αλληλεξάρτηση) είναι το ιδιαίτερο γνώρισµα των τυχαίων πεδίων και περιγράφει την εξάρτηση των τιµών του πεδίου σε διαφορετικά σηµεία του χώρου µεταξύ τους. Η κατανοµή πιθανότητας του πεδίου εµπερικλείει συσχετίσεις µεταξύ διαφορετικών σηµείων, έτσι ώστε η πιθανότητα παρατήρησης µιας τιµής σε ένα σηµείο να εξαρτάται από τις τιµές στα γειτονικά σηµεία (Χριστόπουλος 004α)..3 Βασικές έννοιες τυχαίων πεδίων Ένα τυχαίο πεδίο συµβολίζεται ως ( ) X s, όπου s ένα διάνυσµα θέσης, s = ( x, y) X ( s ) συµβολίζει το σύνολο των δυνατών καταστάσεων του πεδίου, ενώ ως x ( s ) συµβολίζονται οι τιµές που αντιστοιχούν σε µια κατάσταση. Η Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας (ΣΠΠ) του πεδίου παριστάνεται ως f X [ x( s )]. Ο δείκτης X δηλώνει το πεδίο, ενώ το όρισµα της συνάρτησης είναι οι τιµές της κατάστασης του πεδίου (π.χ. συγκεντρώσεις ρυπαντών).. Το Ένα παράδειγµα ΣΠΠ η οποία αντιστοιχεί σε τυχαίο πεδίο κανονικής κατανοµής δίνεται από την εξίσωση: f X ( x() s m () s ) X [ x( s )] = exp. πσx σ X Η Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας τυχαίου πεδίου περιλαµβάνει τις τιµές σε ολόκληρο το χώρο όπου ορίζεται το πεδίο. Εποµένως αποτελεί την κοινή ΣΠΠ για 5

19 Κεφάλαιο ένα οποιοδήποτε πλήθος σηµείων. Η µονοδιάστατη η αλλιώς σηµειακή ΣΠΠ περιγράφει τις δυνατές καταστάσεις του πεδίου σε ένα συγκεκριµένο σηµείο. Είναι δυνατόν η µονοδιάστατη ΣΠΠ να αλλάζει από σηµείο σε σηµείο και αυτό συµβαίνει όταν το πεδίο είναι ανοµοιογενές. Ανάλογα, η δισδιάστατη ΣΠΠ του πεδίου εκφράζει την αλληλεξάρτηση των δυνατών καταστάσεων σε δύο σηµεία και η πολυδιάστατη περιγράφει την αλληλεξάρτηση των δυνατών καταστάσεων για ένα σύνολο Ν σηµείων (Χριστόπουλος 004α). Ένα άλλο είδος συναρτήσεων το οποίο δίνει πληροφορίες σχετικά µε τις ιδιότητες ενός τυχαίου πεδίου είναι οι στατιστικές ροπές. Οι στατιστικές ροπές είναι αιτιοκρατικές συναρτήσεις, οι οποίες αντιπροσωπεύουν µέσες τιµές, ως προς όλες τις δυνατές καταστάσεις. Στην πράξη συνήθως είναι χρήσιµες οι ροπές χαµηλών τάξεων (µέχρι δεύτερης τάξης), όπως η µέση τιµή, η διασπορά, η συνάρτηση συνδιασποράς, και το ηµιβαριόγραµµα (Χριστόπουλος 004a)..3. Μέση τιµή Η µέση τιµή ενός τυχαίου πεδίου δίνεται από την παρακάτω σχέση, mx s = E[ X s ]. Το σύµβολο [ ()] () () προς το σύνολο των καταστάσεων του πεδίου, δηλαδή E X s δηλώνει τη µέση τιµή υπολογισµένη ως [ ] E X() s = dxfx (;) x s x, (.) όπου x οι τιµές που αντιστοιχούν σε µια κατάσταση. Τα όρια του ολοκληρώµατος εξαρτώνται από τον χώρο στον οποίο ορίζεται το πεδίο Χ. Αν το πεδίο παίρνει όλες τις θετικές και αρνητικές τιµές το ολοκλήρωµα κυµαίνεται από έως. Αν το πεδίο παίρνει µόνο θετικές τιµές τότε το ολοκλήρωµα κυµαίνεται από το 0 έως το. Αν είναι γνωστό ότι οι τιµές του πεδίου περιορίζονται σε ένα προκαθορισµένο διάστηµα [α,β], το ολοκλήρωµα υπολογίζεται σε αυτό το διάστηµα. Από την εξίσωση (.) παρατηρείται ότι η µέση τιµή µπορεί να έχει εξάρτηση από τη θέση s, η οποία προέρχεται από πιθανή εξάρτηση της µονοδιάστατης 6

20 Κεφάλαιο συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας από τη θέση. Επειδή η ΣΠΠ δεν είναι πάντα γνωστή εκ των προτέρων η µέση τιµή εκτιµάται από το δείγµα µε στατιστικές µεθόδους. Αυτή δίνεται από το µέσο όρο των τιµών που περιλαµβάνονται στο δείγµα, (Χριστόπουλος 004α), M mˆ X () s = xi () s. (.) M i = Η µέση τιµή περιγράφει τις τάσεις µεγάλης εµβέλειας σε ένα τυχαίο πεδίο (π.χ. η τάση µιας τυχαίας µεταβλητής που ορίζεται σε διάστηµα [0,L], όπου L=00, και δίνεται από την συνάρτηση f = cos( π L/ 0) παρουσιάζεται στο σχήµα.). Σχήµα.: Γράφηµα τάσης τυχαίας µεταβλητής. Η µέση τιµή m () s προσδιορίζεται από πρότυπες συναρτήσεις. Αυτές διαχωρίζονται X σε πρότυπα γενικής και τοπικής εξάρτησης. Στην περίπτωση γενικής εξάρτησης µια µοναδική µαθηµατική σχέση περιγράφει την µεταβολή σε όλη την περιοχή. Τέτοια πρότυπα εξάρτησης είναι: 7

21 Κεφάλαιο Η γραµµική εξάρτηση, π.χ. mx () s = m0 + bs, η οποία εκφράζει την ύπαρξη µιας σταθερής κλίσης Η πολυωνυµική εξάρτηση, π.χ. m () s = m0 + bs + bs X Η περιοδική εξάρτηση, π.χ. mx () s = m0 + A cos( ) n n kns + φ = n, όπου οι µεταβλητές k n αντιστοιχούν σε χωρικές συχνότητες και οι φ n σε φάσεις N Η υπέρθεση δύο η περισσοτέρων προτύπων, π.χ. ενός πολυωνυµικού και ενός περιοδικού, m () ( 0 ) ( N X = m + bs + b s + m0 + A cos( ) n n n + φ = n ) s k s. Σε περιπτώσεις όµως στις οποίες τα γενικά πρότυπα εξάρτησης δεν επαρκούν για τον ακριβή προσδιορισµό των τάσεων είναι προτιµότερη η χρήση τοπικών συναρτήσεων εξάρτησης (π.χ. τοπικά πολυώνυµα). Τέτοιες µορφές εξάρτησης χρησιµοποιούνται στο µοντέλο της τοπικά ζυγισµένης παλινδρόµησης (Χριστόπουλος 004a)..3. ιασπορά Η διασπορά ενός τυχαίου πεδίου δίνεται από τη µέση τιµή του τετραγώνου της διακύµανσης σύµφωνα µε την εξίσωση (.3). { } σ () s X E X() mx() = E χ () s s s (.3) Γενικά είναι δυνατόν η διασπορά να µεταβάλλεται από σηµείο σε σηµείο ενώ διατηρείται σταθερή µόνο όταν το πεδίο είναι στατιστικά οµοιογενές. Η µεταβολή της διασποράς ενός τυχαίου πεδίου στον χώρο σηµαίνει ότι οι διακυµάνσεις του πεδίου αλλάζουν µέγεθος από σηµείο σε σηµείο (Isaaks & Srivastava 989). Στο επόµενο σχήµα (Σχήµα.) φαίνεται το γράφηµα µιας απλής συνάρτησης (όχι τυχαίου πεδίου) της οποίας το πλάτος διακύµανσης αλλάζει. Στην 8

22 Κεφάλαιο περίπτωση ενός τυχαίου πεδίου η µεταβολή των διακυµάνσεων δεν είναι εξίσου κανονική και όχι πάντοτε ορατή µε απλή επισκόπηση (Χριστόπουλος 004α). Σχήµα.: Γράφηµα συνηµίτονου µε εκθετικά µειούµενο πλάτος διακύµανσης (Χριστόπουλος 004α)..3.3 Συνάρτηση συνδιασποράς Μια άλλη ιδιότητα η οποία δίνει χρήσιµες πληροφορίες για ένα τυχαίο πεδίο είναι η κεντρική συνάρτηση συνδιασποράς (ΚΣΣ) η οποία ορίζεται µε την βοήθεια της εξίσωσης (.4), (Isaaks & Srivastava 989), { }{ } c ( s, s X ) E X( s ) mx( s ) X( s ) mx( s ). (.4) Το τυχαίο πεδίο χ( s) X( s) m X ( s ) αντιστοιχεί στην διακύµανση του πεδίου X ( s ) γύρω από την µέση τιµή στο σηµείο s. Η µέση τιµή του πεδίου διακύµανσης είναι ίση µε το µηδέν, [ s ] E χ ( ) = 0. Βάσει των προηγουµένων η ΚΣΣ είναι ισοδύναµη µε την συνδιακύµανση, δηλαδή c (, ) = E[ χ( ) χ( )] X s s s s. Πιο συγκεκριµένα η ΚΣΣ περιγράφει ποσοτικά την εξάρτηση των διακυµάνσεων του πεδίου σε δύο διαφορετικά σηµεία. Όταν τα σηµεία της συνάρτησης συνδιασποράς 9

23 Κεφάλαιο συµπίπτουν η τιµή της ισούται µε την διασπορά του πεδίου στο συγκεκριµένο σηµείο, c ( s, s ) = σ ( s ), όπως προκύπτει από την εξίσωση (.3) και (.4). Αντίθετα όταν η X X απόσταση µεταξύ δύο σηµείων µεγαλώνει η εξάρτηση των διακυµάνσεων µειώνεται. Ένα παράδειγµα µεταβολής της συνάρτησης συνδιασποράς µε την απόσταση δίνεται παρακάτω: Έστω ότι η συνάρτηση συνδιασποράς µεταξύ δύο σηµείων τυχαίου πεδίου δίνεται από το εκθετικό πρότυπο, c s s = X(, ) σ Xexp r, όπου r το Ευκλείδειο µέτρο ξ του διανύσµατος απόστασης µεταξύ δύο σηµείων και ξ το µήκος συσχέτισης (.3.5). Αν r = 0 τότε c X ( s, s ) = σ, ενώ αν r = ξ τότε X c X ( s, s ) = 0.36σ. X Σε γεωστατιστικές αναλύσεις η πειραµατικά προσδιοριζόµενη χωρική εξάρτηση προσαρµόζεται σε ένα βέλτιστο πρότυπο το οποίο επιλέγεται από ένα σύνολο αποδεκτών θεωρητικών προτύπων (π.χ εκθετικό, γκαουσιανό). Εποµένως είναι απαραίτητη η ύπαρξη συνθηκών αποδοχής για την συνάρτηση συνδιασποράς. Οι συνθήκες αποδοχής καθορίζονται από το θεώρηµα του Bochner (Bochner 959). Αυτό εκφράζεται µε την βοήθεια της φασµατικής πυκνότητας ισχύος της συνδιασποράς η οποία δίνεται από τον µετασχηµατισµό Fourier (Press et all 99), της συνάρτησης συνδιασποράς. Η φασµατική πυκνότητα ισχύος ορίζεται από το ολοκλήρωµα, c ( k) = drexp( ik r) c ( r), (.5) X X όπου r το διάνυσµα απόστασης µεταξύ δύο σηµείων, dr = dx dy και k είναι το διάνυσµα της χωρικής συχνότητας (κυµατάνυσµα). Μια συνάρτηση c () r είναι αποδεκτή συνάρτηση συνδιασποράς αν ισχύουν οι παρακάτω τρεις συνθήκες: X 0

24 Κεφάλαιο ) Αν υπάρχει η φασµατική πυκνότητα ισχύος c ( k) (δηλαδή αν υπάρχει ο µετασχηµατισµός Fourier της συνάρτησης). X ) Αν η c ( k) είναι µη αρνητική σε όλο το πεδίο συχνοτήτων δηλαδή X c ( k) 0 για κάθε k. X 3) Αν το ολοκλήρωµα της c ( k) σε ολόκληρο το πεδίο συχνότητας είναι φραγµένο (δηλαδή αν υπάρχει η διασπορά). X Από πρακτική άποψη για να διαπιστωθεί αν µια συνάρτηση αποτελεί αποδεκτό πρότυπο συνάρτησης συνδιασποράς χρειάζεται να υπολογιστεί ο µετασχηµατισµός Fourier της συνάρτησης (Χριστόπουλος 004a)..3.4 Στατιστική οµοιογένεια Ορισµένες παραδοχές που θέτουν περιορισµούς στις ιδιότητες ενός τυχαίου πεδίου µπορούν να οδηγήσουν σε µια πιο αποτελεσµατική γεωστατιστική ανάλυση. Η πιο ευρέως χρησιµοποιηµένη απλουστευτική παραδοχή είναι η στατιστική οµοιογένεια, η οποία αποτελεί επέκταση του κλασικού ορισµού της οµοιογένειας. Μια ιδιότητα είναι οµοιογενής αν η αντίστοιχη µεταβλητή έχει σταθερή τιµή στο χώρο. Αντίθετα ένα τυχαίο πεδίο X ( s ) είναι στατιστικώς οµοιογενές αν η µέση τιµή είναι σταθερή, m X () s = m X, η συνάρτηση συνδιασποράς ορίζεται και εξαρτάται αποκλειστικά από το διάνυσµα απόστασης r = s s µεταξύ των δύο σηµείων, cx( s, s) = cx( r ), και η διασπορά του πεδίου είναι επίσης σταθερή. Οι παραπάνω προϋποθέσεις ορίζουν την στατιστική οµοιογένεια κατά την ασθενή έννοια. Ένα τυχαίο πεδίο είναι στατιστικώς οµοιογενές κατά την ισχυρή έννοια όταν η πολυδιάστατη ΣΠΠ για Ν σηµεία (όπου Ν οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος) παραµένει αµετάβλητη από µετασχηµατισµούς οι οποίοι αλλάζουν την θέση των σηµείων χωρίς να αλλάζουν τις µεταξύ τους αποστάσεις. Εποµένως η έννοια της στατιστικής οµοιογένειας είναι ότι οι στατιστικές ιδιότητες ενός τυχαίου πεδίου δεν εξαρτώνται από τις χωρικές συντεταγµένες των σηµείων,

25 Κεφάλαιο άρα και από το σύστηµα αναφοράς. Πρακτικά η στατιστική οµοιογένεια προϋποθέτει ότι δεν υπάρχουν συστηµατικές τάσεις έτσι ώστε η µεταβολή των τιµών του πεδίου µπορεί να αποδοθεί σε διακυµάνσεις γύρω από µια σταθερή στάθµη ίση µε την µέση τιµή (Χριστόπουλος 004α)..3.5 Στατιστική ισοτροπία Μια άλλη ιδιότητα που µπορεί να φανεί χρήσιµη στην γεωστατιστική ανάλυση ενός τυχαίου πεδίου είναι η στατιστική ισοτροπία. Ένα πεδίο είναι στατιστικώς ισοτροπικό αν είναι στατιστικώς οµοιογενές και συγχρόνως η συνάρτηση συνδιασποράς εξαρτάται µόνο από το µέτρο (ευκλείδεια απόσταση), αλλά όχι από τη κατεύθυνση του διανύσµατος απόστασης r. Αυτό είναι σηµαντικό από πρακτική άποψη επειδή διευκολύνει τον προσδιορισµό της χωρικής εξάρτησης. Αν µια συνάρτηση συνδιασποράς είναι στατιστικώς ισοτροπική είναι και εξ ορισµού στατιστικώς οµοιογενής, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει. Στην περίπτωση στατιστικώς ισοτροπικών πεδίων οι δύο πιο σηµαντικές παράµετροι οι οποίες προσδιορίζουν πολύ βασικά χαρακτηριστικά της συνάρτησης συνδιασποράς είναι η διασπορά σ = (0) και το µήκος συσχέτισης ξ. Η διασπορά αποτελεί µέτρο X cx του πλάτους των διακυµάνσεων του πεδίου. Το µήκος συσχέτισης ορίζει το διάστηµα µέσα στο οποίο υπάρχει αλληλεξάρτηση, δηλαδή ορίζει την απόσταση µέσα στην οποία η τιµή του πεδίου σε ένα σηµείο επηρεάζει την τιµή σε ένα άλλο σηµείο (Χριστόπουλος 004α)..3.6 Χωρική εξάρτηση Υπάρχουν διάφοροι τρόποι µέτρησης της χωρικής εξάρτησης. ύο από τους πλέον ευρέως χρησιµοποιούµενους είναι το ηµιβαριόγραµµα και η συνάρτηση συσχέτισης. Και οι δύο συναρτήσεις περιγράφουν την εξάρτηση δύο σηµείων στον χώρο κατά τη στατιστική έννοια καθώς και οι δύο συναρτήσεις αναφέρονται σε ζεύγη σηµείων, εποµένως η τιµή τους εξαρτάται από την απόσταση µεταξύ των σηµείων. Ο όρος κατά τη στατιστική έννοια, προσδιορίζει ότι η περιγραφόµενη εξάρτηση προκύπτει ως µια µέση τιµή από ένα µεγάλο αριθµό

26 Κεφάλαιο ζευγών και δεν χαρακτηρίζει ένα µεµονωµένο ζεύγος σηµείων (Χριστόπουλος 004β). Η συνάρτηση συσχέτισης για ένα τυχαίο πεδίο ισούται µε τον λόγο της συνάρτησης συνδιασποράς προς την διασπορά και δίνεται από την παρακάτω εξίσωση, ρ X c () r = σ () s X X (.6) ενώ το ηµιβαριόγραµµα ενός τυχαίου πεδίου ορίζεται βάσει της εξίσωσης (.7), {[ ] } γ (, ) X sr = E X( s+ r) X( s ). (.7) ηλαδή το ηµιβαριόγραµµα ορίζεται σε σχέση µε ένα ζεύγος σηµείων µε την βοήθεια της µέσης τιµής του τετραγώνου της διαφοράς δ X( sr ; ) X( s+ r) X( s ). Το πεδίο της διαφοράς δ X (; sr ) αποκαλείται βήµα απόστασης r. Αν το πεδίο X () s είναι στατιστικώς οµοιογενές το ηµιβαριόγραµµα συνδέεται άµεσα µε την συνάρτηση συνδιασποράς βάσει της εξίσωσης γ () r = σ c () r. X X X Για στατιστικώς οµοιογενή πεδία το ηµιβαριόγραµµα περιέχει την ίδια πληροφορία µε την συνάρτηση συνδιασποράς. Αν η διαφορά δ X (; sr ) είναι στατιστικά οµοιογενής, το τυχαίο πεδίο X () s ονοµάζεται πεδίο µε στατιστικώς οµοιογενείς διαφορές. Σε αυτήν την περίπτωση το ηµιβαριόγραµµα γ () r εξαρτάται αποκλειστικά από την απόσταση r µεταξύ των σηµείων και αυτό είναι απόρροια της στατιστικής οµοιογένειας του πεδίου διαφορών. Αν το πεδίο X () s είναι στατιστικά οµοιογενές το ίδιο ισχύει και για τις διαφορές δ X (; sr ), το αντίστροφο όµως δεν ισχύει απαραίτητα (Χριστόπουλος 004β). X Οι παράµετροι του ηµιβαριογράµµατος καθορίζουν την χωρική εξάρτηση των τιµών του πεδίου σε δυο γειτονικά σηµεία. Από τον ορισµό του ηµιβαριογράµµατος µε την βοήθεια της µέσης τιµής του τετραγώνου των διαφορών προκύπτει ότι το ηµιβαριόγραµµα είναι 3

27 Κεφάλαιο ηµιθετικά ορισµένο, γ () r 0. Ωστόσο το αντίστροφο δεν ισχύει πάντοτε καθώς µια X ηµιθετικά ορισµένη συνάρτηση δεν είναι κατ ανάγκη αποδεκτή ως ηµιβαριόγραµµα. Σε περίπτωση στατιστικά οµοιογενούς πεδίου, αν η χωρική εξάρτηση είναι ισοτροπική, το ηµιβαριόγραµµα προσδιορίζεται από δύο παραµέτρους: το όριο και το µήκος συσχέτισης. Η τιµή του ηµιβαριογράµµατος για πολύ µεγάλες αποστάσεις r τείνει ασυµπτωτικά προς ένα όριο ίσο µε την διασπορά σ X του τυχαίου πεδίου. Αυτή η ιδιότητα βασίζεται στην σχέση γ X() r = σ X cx() r και το γεγονός ότι σε µεγάλες αποστάσεις η τιµή της συνάρτησης συνδιασποράς τείνει προς το µηδέν. Η παρουσία σηµαντικών τάσεων µεγάλης εµβέλειας σηµαίνει ότι η προϋπόθεση της στατιστικής οµοιογένειας δεν ισχύει. Τότε το ηµιβαριόγραµµα δεν προσεγγίζει κάποια τιµή ισορροπίας όταν η απόσταση τείνει προς το άπειρο (Χριστόπουλος 004β). Αν τα χαρακτηριστικά της συσχέτισης µεταβάλλονται σε διαφορετικές κατευθύνσεις στο χώρο τότε η εξάρτηση είναι ανισοτροπική Οι δύο κύριοι τύποι ανισοτροπίας που συναντώνται στην πράξη είναι η γεωµετρική ανισοτροπία και η ανισοτροπία ζώνης. Η γεωµετρική ανισοτροπία αναφέρεται σε περιπτώσεις στις οποίες το άνω φράγµα του ηµιβαριογράµµατος είναι ανεξάρτητο της κατεύθυνσης αλλά η ταχύτητα προσέγγισης του φράγµατος εξαρτάται από την διεύθυνση (Hohn 999). Σε αυτήν την περίπτωση το r r d ηµιβαριόγραµµα εκφράζεται ως συνάρτηση γ X,, ξ ξ των αδιάστατων d r rd αποστάσεων,, όπου ξ ξ ξ,, ξd είναι τα µήκη συσχέτισης στις αντίστοιχες διευθύνσεις (Χριστόπουλος 004β). d Η ανισοτροπία ζώνης αναφέρεται στην περίπτωση στην οποία το άνω φράγµα εξαρτάται από την χωρική διεύθυνση. Το ηµιβαριόγραµµα τότε µπορεί να εκφραστεί ως άθροισµα συνισταµένων (Hohn 999), όπως φαίνεται στην εξίσωση (.8), γ () r γ () γ () r (.8) ˆ X = X, r + X, 4

28 Κεφάλαιο Στην παραπάνω σχέση η συνάρτηση γ (), r, όπου r = r, περιγράφει µια ισοτροπική X εξάρτηση ενώ η συνάρτηση γ () ˆ, r περιγράφει την ανισοτροπική εξάρτηση του άνω X φράγµατος από την κατεύθυνση του µοναδιαίου διανύσµατος ˆr (Χριστόπουλος 004β). Στην περίπτωση της γεωµετρικής ανισοτροπίας χρειάζονται περισσότερα του ενός µήκη συσχέτισης ξ,, ξd. Κάποια από αυτά, αλλά όχι όλα, µπορεί να είναι ίσα µεταξύ τους. Εποµένως χρειάζονται πρόσθετες παράµετροι για τον προσδιορισµό της ανισοτροπίας του ηµιβαριογράµµατος. Σε ένα δισδιάστατο σύστηµα αν, ξ x και δηλώνουν τα µήκη συσχέτισης κατά µήκος των κυρίων αξόνων, οι ανισοτροπικές παράµετροι είναι: () Ο λόγος ρ y/ x ξy ξx που ονοµάζεται ανισοτροπικός λόγος. () Η γωνία προσανατολισµού που καθορίζει τον προσανατολισµό των κυρίων αξόνων ανισοτροπίας σε σχέση µε το καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων (Σχήµα.3). ξ y Σχήµα.3: Σύστηµα κύριων αξόνων (ΚΑ, ΚΑ) σε σχέση µε το σύστηµα συντεταγµένων x και y και ισοϋψής καµπύλη (έλλειψη) του ηµιβαριογράµµατος (Χριστόπουλος 004β). Για να κατανοηθεί η έννοια της γωνίας προσανατολισµού ορίζονται οι ισοϋψείς καµπύλες ως ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων ( r, r ) στα οποία η τιµή του ηµιβαριογράµµατος είναι σταθερή. Σε πολλές περιπτώσεις οι καµπύλες αυτές έχουν την µορφή ελλείψεως καθώς αυτό συµβαίνει για διάφορα πρότυπα ηµιβαριογράµµατος, όπως το εκθετικό και το γκαουσσιανό ανισοτροπικό ηµιβαριόγραµµα. Η γωνία προσανατολισµού είναι τότε η γωνία που σχηµατίζει ο x y 5

29 Κεφάλαιο µεγάλος άξονας (ΚΑ) της έλλειψης µε τον οριζόντιο άξονα του συστήµατος συντεταγµένων (Σχήµα.3), (Χριστόπουλος 004β). Το ηµιβαριόγραµµα εν γένει αυξάνεται ανάλογα, όχι κατ' ανάγκη γραµµικά, µε την απόσταση µεταξύ των σηµείων, ενώ αντίστροφα η συνάρτηση συσχέτισης µειώνεται. Αυτό συµβαίνει επειδή η συνάρτηση συσχέτισης περιγράφει την εξάρτηση των τιµών του πεδίου σε δύο διαφορετικά σηµεία του χώρου, και η εξάρτηση µειώνεται όσο αυξάνει η απόσταση. Το ηµιβαριόγραµµα αντίθετα µετρά πόσο διαφέρουν µεταξύ τους οι διακυµάνσεις του πεδίου ως συνάρτηση της απόστασης. Εποµένως, οι τιµές του ηµιβαριογράµµατος αυξάνονται όσο µεγαλώνει η απόσταση. Για στατιστικά οµοιογενή πεδία, οι δύο συναρτήσεις είναι ισοδύναµες, δηλαδή εµπεριέχουν την ίδια πληροφορία σε διαφορετική µορφή. Υπάρχουν ωστόσο περιπτώσεις τυχαίων πεδίων στις οποίες το ηµιβαριόγραµµα είναι αποκλειστικά συνάρτηση της απόστασης µεταξύ δύο σηµείων, ενώ η συνάρτηση συσχέτισης εξαρτάται τόσο από την απόσταση όσο και από τις ακριβείς θέσεις των σηµείων στον χώρο (Χριστόπουλος 004β). Ευρέως χρησιµοποιηµένα µοντέλα ηµιβαριογραµµάτων τα οποία είναι επιτρεπτά και σε πρακτικές εφαρµογές είναι το εκθετικό, το γκαουσιανό, το σφαιρικό, το γενικευµένο, το δυναµονοµικό ή αλγεβρικό και το φαινόµενο πυρήνα. Το εκθετικό µοντέλο χαρακτηρίζει κατανοµές µε απότοµες χωρικές µεταβολές σε αντίθεση µε το γκαουσιανό το οποίο χαρακτηρίζει οµαλότερες αυξοµειώσεις. Το αλγεβρικό µοντέλο χαρακτηρίζει εξάρτηση µε µακριά χωρική εµβέλεια ενώ το µοντέλο πυρήνα αντιστοιχεί σε µεταβολές που συντελούνται σε αποστάσεις µικρότερες από τη διακριτική ικανότητα που επιτρέπει το δείγµα (Χριστόπουλος 004β). Ένας άλλος τρόπος προσδιορισµού της χωρικής εξάρτησης τυχαίου πεδίου, ο οποίος θα εφαρµοστεί στην συγκεκριµένη εργασία είναι µε την µέθοδο των Σπαρτιάτικών Μοντέλων Τυχαίων Πεδίων. Στην συγκεκριµένη µέθοδο για να προσδιοριστεί η χωρική εξάρτηση του τυχαίου πεδίου απαιτείται ο υπολογισµός ενός αριθµού παραµέτρων χωρίς να είναι απαραίτητος ο υπολογισµός του ηµιβαριογράµµατος. Για να υπολογιστούν αυτές 6

30 Κεφάλαιο οι παράµετροι ορίζονται στατιστικοί περιορισµοί οι οποίοι µπορούν να υπολογιστούν από το δείγµα (Hristopulos 003)..3.7 Προσδιορισµός ηµιβαριογράµµατος Στην περίπτωση γεωγραφικών κατανοµών, µεταλλευτικών κοιτασµάτων, και κατανοµών περιβαλλοντικών ρυπαντών όπου τα δεδοµένα περιορίζονται συνήθως σε ένα µοναδικό δείγµα επιχειρείται να προσδιοριστεί µια εκτίµηση του πραγµατικού ηµιβαριογράµµατος από αυτό. Η εκτίµηση αυτή ονοµάζεται δειγµατικό ηµιβαριόγραµµα και υπολογίζεται βάσει των τιµών του δείγµατος ως εξής: { } N γˆ ( r ) = X( s ) X( s ) ϑ ( r ), ( k =,, N ) (.9) X k i j i j k c n( rk ) i, j= ϑ ij, i j B( k) ( r k) = s s r (.0) 0, otherwise Η συνάρτηση τάξης ϑ ( r ) ορίζει διαφορετικές οµάδες (τάξεις) διανυσµάτων ij k απόστασης, επιλέγοντας τα διανύσµατα εκείνα που βρίσκονται σε µια κλειστή περιοχή B( r k ) γύρω από το διάνυσµα r k (Σχήµα.4). Η µεταβλητή n( r k ) είναι ίση µε το πλήθος των ζευγών σηµείων που περιέχονται µέσα στην τάξη B( r k ). Το δειγµατικό ηµιβαριόγραµµα ορίζεται για ένα διακριτό και πεπερασµένο σύνολο αποστάσεων r,( k =,, N ) το πλήθος των οποίων είναι ίσο µε τον συνολικό αριθµό τάξεων k N. c c 7

31 Κεφάλαιο Σχήµα.4: Σχηµατικό διάγραµµα µιας περιοχής B() r γύρω από το διάνυσµα απόστασης (Χριστόπουλος 004β). Εποµένως, ο υπολογισµός αυτός προσδιορίζει µια τιµή του δειγµατικού ηµιβαριογράµµατος για κάθε r k βάσει του µέσου όρου των διαφορών X( i) X( j) s s σε όλα τα ζεύγη σηµείων, το διάνυσµα απόστασης των οποίων ανήκει στην περιοχή B( r k ). Το γˆ X ( r k ) είναι ένας καλός εκτιµητής του γ X ( r k ) όταν ο µέσος όρος των διαφορών στην τάξη του r k προσεγγίζει µε ακρίβεια την µέση τιµή [ () s X( s r )] E X + (Χριστόπουλος 004β). k Αυτό ισχύει όταν εκπληρώνεται η εργοδική υπόθεση (Christakos & Hristopulos 998) η οποία επιτρέπει την εναλλαγή του στοχαστικού µε τον δειγµατικό µέσο. Στον υπολογισµό του ηµιβαριογράµµατος για να ισχύει η εργοδική ιδιότητα πρέπει να εκπληρώνονται κάποιες προϋποθέσεις, όπως: () το πεδίο διαφοράς X() s X( s+ r ) να είναι στατιστικά οµοιογενές, () το πλήθος ζευγών σε κάθε τάξη να είναι µεγάλο ώστε ο δειγµατικός µέσος του τετραγώνου της διαφοράς να υπολογίζεται µε καλή στατιστική ακρίβεια και (3) ο αριθµός των τάξεων πρέπει να είναι αρκετά µεγάλος ώστε να επιτρέπει µια πυκνή προσέγγιση της µεταβολής του ηµιβαριογράµµατος σαν συνάρτηση της απόστασης (Χριστόπουλος 004β). k 8

32 Κεφάλαιο Αφού υπολογιστεί το πειραµατικό ηµιβαριόγραµµα προσαρµόζεται σε ένα θεωρητικό µοντέλο, π.χ., r Εκθετικό: γ X() r = σ X exp ξ r Γκαουσιανό: γ X() r = σ X exp ξ το οποίο επιτρέπει τον υπολογισµό του ηµιβαριογράµµατος για οποιαδήποτε απόσταση. Αυτό επιτυγχάνεται χρησιµοποιώντας την αρχή των ελαχίστων τετραγώνων, από την οποία υπολογίζονται και οι βέλτιστες παράµετροι ξ και του θεωρητικού µοντέλου. σ X Το θεωρητικό πρότυπο χρειάζεται για την εκτίµηση των τιµών του πεδίου σε σηµεία όπου δεν υπάρχουν µετρήσεις. Στην συνέχεια για να γίνει αποδεκτό το ηµιβαριόγραµµα και να χρησιµοποιηθεί στην γεωστατική ανάλυση ελέγχεται σύµφωνα µε τις συνθήκες αποδοχής ηµιβαριογράµµατος (Χριστόπουλος 004b). Αν υπάρχει ανισοτροπική χωρική εξάρτηση θα πρέπει να υπολογιστεί το ηµιβαριόγραµµα σε διάφορες κατευθύνσεις στον χώρο, προκειµένου να προσδιοριστούν οι κύριες κατευθύνσεις της ανισοτροπίας. Αυτό προϋποθέτει τον ορισµό τάξεων σε σχέση όχι µόνο µε το µέτρο αλλά και την κατεύθυνση του διανύσµατος απόστασης. Κάθε τάξη έχει µία ανοχή ως προς το µέτρο ( δ r) και µια γωνιακή ανοχή (δφ ) ως προς την κατεύθυνση του διανύσµατος, έτσι ώστε κάθε τάξη να περιλαµβάνει ένα ικανό αριθµό σηµείων. Το ηµιβαριόγραµµα υπολογίζεται συνήθως στις διευθύνσεις Βορράς-Νότος και Ανατολή- ύση ενώ για την γωνιακή ανοχή χρησιµοποιούνται οι τιµές 5 0, 0 0, 0 0 και Προς το παρόν όµως δεν υπάρχει απόλυτα ασφαλής ποσοτική µέθοδος ανίχνευσης και χαρακτηρισµού της ανισοτροπίας στις γεωστατιστικές µελέτες (Χριστόπουλος 004α). 9

33 Κεφάλαιο Το σχήµα.5 παρουσιάζει τα χαρακτηριστικά ενός ηµιβαριογράµµατος τα οποία εξετάζονται αναλυτικά παρακάτω. ιασπορά Μήκος συσχέτισης Θεωρητικό µοντέλο ηµιβαριογράµµατος Πειραµατικό ηµιβαριόγραµµα «Κλίµακα» Όριο (οροφή) Φαινόµενο πυρήνα Σχήµα. 5: Παρουσίαση χαρακτηριστικών στοιχείων ηµιβαριογράµµατος (Surfer V.8.0.4, 00). Το φαινόµενο πυρήνα ποσοτικοποιεί την διασπορά του δειγµατικού σφάλµατος καθώς και την µικρής κλίµακας µεταβλητότητα, π.χ. την χωρική µεταβλητότητα που υπάρχει σε αποστάσεις µικρότερες από τις αποστάσεις µεταξύ των σηµείων του δείγµατος. Το «όριο» (οροφή) είναι η τιµή που πλησιάζει ασυµπτωτικά το δειγµατικό ηµιβαριόγραµµα. Η «κλίµακα» (scale) είναι η διαφορά της «οροφής» από το «φαινόµενο πυρήνα» και δηλώνει την µεταβλητότητα τω συσχετισµένων διακυµάνσεων. Το µήκος συσχέτισης είναι η απόσταση στην οποία το ηµιβαριόγραµµα προσεγγίζει πολύ κοντά, π.χ. κατά 95-97%, την τιµή οροφής. 0

34 Κεφάλαιο Η διασπορά είναι η µέση τετραγωνική απόκλιση κάθε τιµής του δείγµατος από την µέση τιµή και δηλώνεται από την διακεκοµµένη οριζόντια γραµµή στο σχήµα. Το πειραµατικό ηµιβαριόγραµµα παρουσιάζει τις οµάδες των ζευγών µε τις αντίστοιχες δειγµατικές τιµές του ηµιβαριογράµµατος. Το θεωρητικό µοντέλο ηµιβαριογράµµατος αποτελεί µια συνεχή θεωρητική καµπύλη που προσαρµόζεται στο πειραµατικό..3.8 Χωρική εκτίµηση Ο προσδιορισµός της χωρικής εξάρτησης, καθώς τόσο της τάσης όσο και των διακύµανσεών των τιµών του πεδίου οδηγεί σε δύο βασικές διαδικασίες της Γεωστατιστικής που είναι η χωρική εκτίµηση και η προσοµοίωση. Και οι δύο διαδικασίες βοηθούν στην αναπαράσταση ενός τυχαίου πεδίου σε σηµεία όπου δεν υπάρχουν ακριβείς τιµές µε βάση την διαθέσιµη γνώση (π.χ. µετρήσεις σε γειτονικά σηµεία, εκτιµήσεις ειδικών, γεωλογικά δεδοµένα). Η διαθέσιµη γνώση χρησιµοποιείται για να επιβληθούν στατιστικοί περιορισµοί. Χρησιµοποιώντας στατιστικά πρότυπα χωρικής εξάρτησης (ηµιβαριογράµµατα) προσδιορίζονται οι άγνωστες τιµές βάσει της συσχέτισης. Η επανάληψη αυτής της διαδικασίας σε όλα τα σηµεία ενός υπολογιστικού πλέγµατος επιτρέπει τη χαρτογράφηση µιας ολόκληρης περιοχής (Χριστόπουλος 004β). Πιο συγκεκριµένα, ο όρος χωρική εκτίµηση περιλαµβάνει όλες τις µαθηµατικές διαδικασίες που επιτρέπουν τον υπολογισµό των τιµών του πεδίου σε σηµεία στα οποία δεν υπάρχουν µετρήσεις µιας ιδιότητας. Η χωρική εκτίµηση µπορεί να είναι είτε σηµειακή, αν αναφέρεται στην τιµή του πεδίου σε ένα συγκεκριµένο σηµείο, είτε γενική, οπότε αποσκοπεί στον υπολογισµό µιας χαρακτηριστικής τιµής που περιγράφει ολόκληρη την περιοχή. Η χωρική εκτίµηση του πεδίου προϋποθέτει την ύπαρξη ενός προτύπου χωρικής εξάρτησης, έτσι ώστε η τιµή της ιδιότητας να επηρεάζεται από τις γειτονικές τιµές του πεδίου. Αυτή η αλληλεξάρτηση επιτρέπει εκτίµηση του πεδίου σε σηµεία όπου

35 Κεφάλαιο δεν υπάρχουν µετρήσεις βάσει της συµπεριφοράς σε γειτονικά µετρηθέντα σηµεία. Σε πολλές περιπτώσεις, ο τελικός στόχος είναι η εκτίµηση σε ένα σύνολο σηµείων και όχι σε ένα µεµονωµένο σηµείο. Αυτό µπορεί να γίνει µε επανάληψη της σηµειακής εκτίµησης σε όλα τα σηµεία ενδιαφέροντος. Υπάρχουν ωστόσο διάφοροι µέθοδοι χωρικής εκτίµησης οι οποίες στηρίζονται σε παρόµοιες αρχές. Η βασική ιδέα είναι πως η τιµή στο σηµείο εκτίµησης δίνεται από ένα συνδυασµό, γραµµικό ή µη γραµµικό των γειτονικών τιµών. Η εκτιµούµενη τιµή προκύπτει από την βελτιστοποίηση κάποιου στατιστικού µέτρου, π.χ., από την µεγιστοποίηση της πιθανότητας ή από την ελαχιστοποίηση του σφάλµατος της εκτίµησης. Οι πλέον διαδεδοµένες µέθοδοι βασίζονται στη γραµµική παρεµβολή σε συνδυασµό µε την ελαχιστοποίηση του τετραγωνικού σφάλµατος της εκτίµησης. Αυτό το σύνολο των µεθόδων είναι γνωστό ως «Kriging» (Χριστόπουλος 004β). Η διαδικασία της προσοµοίωσης αντιθέτως, αποσκοπεί στο να παράγει πολλές από τις πιθανές καταστάσεις του πεδίου οι οποίες βρίσκονται σε καλή συµφωνία µε τους υπάρχοντες στατιστικούς περιορισµούς που προκύπτουν από το πειραµατικό δείγµα π.χ., οι προσοµοιούµενες καταστάσεις να έχουν την ίδια µέση τιµή, τυπική απόκλιση και ηµιβαριόγραµµα µε αυτό που υπολογίζεται βάσει των µετρήσεων. Εποµένως, η προσοµοίωση αποσκοπεί στη παραγωγή πολλών εναλλακτικών σεναρίων, τα οποία είναι εφικτά µε βάση τις υπάρχουσες µετρήσεις (Χριστόπουλος 004β)..4 Περιορισµοί κλασικών γεωστατιστικών µεθόδων Οι κλασικές γεωστατιστικές µέθοδοι που εφαρµόζονται ευρέως υστερούν σε δύο τουλάχιστον σηµεία: Στον υπολογισµό του δειγµατικού ηµιβαριογράµµατος και στην απουσία φυσικών µοντέλων (π.χ. διαφορικές εξισώσεις συνέχειας) από τον προσδιορισµό της χωρικής εξάρτησης. Όπως προαναφέρθηκε το ηµιβαριόγραµµα είναι µία συνάρτηση δύο σηµείων, ανάλογη της συνάρτησης συσχέτισης, που εκφράζει πως µεταβάλλεται η εξάρτηση δύο µεταβλητών ως συνάρτηση της µεταξύ τους απόστασης. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα πειραµατικού ηµιβαριογράµµατος παρουσιάζεται στο Σχήµα.6.

36 Κεφάλαιο Η τυπική διαδικασία προσδιορισµού περιλαµβάνει αρχικά τον υπολογισµό του πειραµατικού ηµιβαριογράµµατος και έπειτα την (µη γραµµική) προσαρµογή του ηµιβαριογράµµατος σε κάποιο από τα ευρέως χρησιµοποιούµενα θεωρητικά µοντέλα. Τα µοντέλα αυτά συνήθως προσδιορίζονται από d + παραµέτρους, όπου d είναι ο αριθµός των διευθύνσεων ανισοτροπίας. Οποιαδήποτε φυσική γνώση (π.χ. νόµοι διατήρησης µάζας, ενέργειας) σχετικά µε το φαινόµενο δεν λαµβάνεται υπόψη, αλλά θεωρείται ότι οι σχετικές πληροφορίες περιέχονται ήδη στο πειραµατικό ηµιβαριόγραµµα. Ωστόσο, η διαδικασία προσαρµογής δεν εξασφαλίζει ότι τα θεωρητικά µοντέλα ηµιβαριογράµµατος διατηρούν τη φυσική πληροφορία. Το ηµιβαριόγραµµα αποτελεί ένα χρήσιµο εργαλείο για την ανάλυση της χωρικής εξάρτησης, όµως υπάρχουν διάφορα προβλήµατα σχετικά µε τον προσδιορισµό και την χρήση του όπως: ) Η υπολογιστική πολυπλοκότητα αυξάνεται µε το τετράγωνο του αριθµού των σηµείων. Αυτή η συµπεριφορά συνεπάγεται µεγάλο χρόνο υπολογισµού για δείγµατα που περιέχουν µετρήσεις σε πολλά σηµεία. Για να επιλυθεί αυτό το πρόβληµα χρησιµοποιείται συχνά ο υπολογισµός του ηµιβαριογράµµατος κατά µήκος συγκεκριµένων κατευθύνσεων. Ωστόσο, αυτή η προσέγγιση προϋποθέτει γνώση των κυρίων αξόνων στατιστικής ανισοτροπίας, η οποία δεν είναι συνήθως εκ των προτέρων γνωστή. ) Η χωρική εξάρτηση φυσικών µεταβλητών είναι συχνά ανισοτροπική. Ωστόσο, οι υπάρχουσες µέθοδοι για τον προσδιορισµό της ανισοτροπίας του ηµιβαριογράµµατος βασίζονται συνήθως στη µέθοδο δοκιµής και σφάλµατος. 3) Απαιτείται ο υπολογισµός ενός σηµαντικού αριθµού «στατιστικών περιορισµών» για να γίνει δυνατή η προσαρµογή του ηµιβαριογράµµατος σε ένα συνεχές θεωρητικό πρότυπο. Για παράδειγµα, όπως φαίνεται στο Σχήµα.6, οι τιµές του ηµιβαριογράµµατος υπολογίζονται σε όλα τα σηµεία που συµβολίζονται µε κύκλους. 3