Καθηγητής Γεώργιος Βούρος. Μαθηµατική Λογική και Λογικός Προγραµµατισµός

Transcript

1 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηµατική Λογική και Λογικός Προγραµµατισµός

2 Page 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

3 2011 Τµήµατα Πληροφορίας Ο κόκκινος κύβος είναι πάνω στον πράσινο κύβο Ο πράσινος κύβος είναι κάπου πάνω από τον µπλέ κύβο Ο πράσινος κύβος δεν είναι πάνω από τον µπλέ κύβο Ο κίτρινος κύβο είναι πάνω από τον πράσινο κύβο ή από τον µπλέ κύβο Υπάρχει κάποιος κύβος πάνω από τον µπλέ κύβο

4 Συµπεράσµατα Page 4 Ο κόκκινος κύβος βρίσκεται πάνω από τον πράσινο κύβο Ο πράσινος κύβος βρίσκεται πάνω από τον κίτρινο κύβο Ο κίτρινος κύβος βρίσκεται πάνω από τον µπλέ κύβο Ο µπλέ κύβος βρίσκεταιπάνω από τον µαύρο κύβο. Ο µαύρος κύβος βρίσκεται πάνω στο τραπέζι ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

5 2011 Απόδειξη Μας έχουν πει ότι ο κίτρινος κύβος βρίσκεται πάνω στον πράσινο κύβο ή πάνω από τον µπλέ κύβο. Επίσης µας έχουν πει ότι ο κόκκινος κύβος βρίσκεται πάνω στον πράσινο κύβο. Δεδοµένης της υπόθεσης ότι πάνω από ένα κύβο µπορεί να υπάρχει το πολύ ένας κύβος και ότι ένας κύβος δεν µπορεί να έχει δύο χρώµατα την ίδια χρονική στιγµή µπορούµε να συµπεράνουµε ότι ο κίτρινος κύβος δεν βρίσκεται πάνω στον πράσινο κύβο. Άρα ο κίτρινος κύβος θα πρέπει να βρίσκεται πάνω από τον µπλέ κύβο.

6 Πρότυπα Συλλογιστικής Όλα τα ThinkPad είναι IBM Όλα τα ΙΒΜ είναι Αµερικάνικα Εποµένως, όλα τα ThinkPad είναι Αµερικάνικα. Page 6 Όλα τα µπόθρα είναι καρέταλ µόρτα Όλα τα καρέταλ µόρτα είναι κάστα Εποµένως, όλα τα µπόρθα είναι κάστα Όλα τα Χ είναι Υ Όλα τα Υ είναι Ζ Εποµένως όλα τα Χ είναι Ζ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

7 2011 Ερωτήσεις Ποιά πρότυπα είναι ορθά (ότι και αν σηµαίνει αυτό)? Πόσα πρότυπα είναι αρκετά?

8 Πρότυπο Μη ορθά πρότυπα Page 8 Όλα τα Χ είναι Υ Κάποια Υ είναι Ζ Εποµένως, κάποια Χ είναι Ζ. Καλό στιγµιότυπο του προτύπου. Όλα τα ThinkPad είναι ΙΒΜ Κάποια ΙΒΜ κατασκευάζονται στην Ιαπωνία Εποµένως, κάποια ThinkPad κατασκευάζονται στην Ιαπωνία. Κακό στιγµιότυπο του προτύπου. Όλα τα ThinkPad είναι Η/Υ Κάποιου Η/Υ είναι Compaq Εποµένως, κάποια ThinkPad είναι Compaq. Επαγωγή Μη Ορθή ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

9 2011 Έχω δει 1000 µαύρα κοράκια Ποτέ δεν έχω δεί ένα κοράκι που να µην είναι µαύρο. Εποµένω, κανένα κοράκι δεν είναι µαύρο. Τώρα προσπαθήστε µε «άσπρη αρκούδα».

10 Απαγωγή Μη Ορθή Αν δε υπάρχει κάυσιµο, το αυτοκίνητο δεν θα ξεκινήσει. Αν δεν υπάρχει σπινθήρας, το αυτοκίνητο δεν θα ξεκινήσει. Page 10 Δεν υπάρχει σπινθήρας. Το αυτοκίνητο δεν θα ξεκινήσει. Συνεπώς, δεν υπάρχει καύσιµο. Ισχύει αν το αυτοκίνητο βρίσκεται σε κενό αέρος; ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

11 2011 Παραγωγή Λογική Συνεπαγωγή/Παραγωγή: Δεν λέει ότι το συµπέρασµα είναι αληθές πάντοτε, αλλά ότι Το Συµπέρασµα είναι αλληθές οποτεδήποτε οι υποθέσεις/συνθήκες είναι αληθείς.

12 Τυπική Λογική Page 12 Άλγεβρα 1. Τυπική γλώσσα για την κωδικοποίηση της πληροφορίας 2. Νόµιµοι µετασχηµατισµοί Λογική 3. Τυπική γλώσσα για την κωδικοποίηση της πληροφορίας 4. Νόµιµοι µετασχηµατισµοί ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

13 2011 Πρόβληµα Αλγεβρας Ο Γιώργος είναι τρεις φορές γηραιότερος από τη Μαρία. Η ηλικία του Γιώργου και η ηλικία της Μαρίας αθροίζουν σε δώδεκα. Πόσων χρονών είναι ο Γιώργος και πόσων η Μαρία; Χ-3Υ = 0 Χ + Υ =12-4Υ = -12 Χ=9 Υ=3

14 Πρόβληµα Λογικής Αν η Μαρία αγαπάει το Γιώργο, τότε η Μαρία αγαπάει το Τάσο. Αν είναι Δευτέρα, τότε η Μαρία αγαπάει το Γιώργο ή τον Τάσο, Page 14 Η Μαρία αγαπάει ένα πρόσωπο τη φορά. Αν είναι Δευτέρα η Μαρία αγαπάει τον Τάσο; Αν είναι Δευτέρα η Μαρία αγαπάει το Γιώργο; ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

15 2011 Τυποποίηση Απλές προτάσεις Η Μαρία αγαπάει το Γιώργο: Η Μαρία αγαπάει τον Τάσο: Είναι Δευτέρα: γ τ δ Υποθέσεις Αν η Μαρία αγαπάει το Γιώργο, τότε η Μαρία αγαπάει το Τάσο γ τ Αν είναι Δευτέρα, η Μαρία αγαπάει το Γιώργο ή το Τάσο δ γ τ Η Μαρία αγαπάει ένα πρόσωπο τη φορά γ τ Ερωτήσεις Αγαπάει η Μαρία το Γιώργο; Αγαπάει η Μαρία το Τάσο Κανόνες συµπερασµού γ τ

16 Προτασιακή Επίλυση Page 16 Π 1... Π κ Τ 1... Τ µ Ρ 1... Ρ λ Σ 1... Σ ν Π 1... Π κ Ρ 1... Ρ λ Τ 1... Τ µ Σ 1... Σ ν Αν ένα Π i στο αριστερό µέρος της πρώτης πρότασης είναι το ίδιο µε κάποιο Σ j στο δεξιό µέρος της άλλης πρότασης, τότε µπορούµε να απαλοίψουµε τα δύο σύµβολα, εφόσον βέβαια πάντοτε απαφοίφουµε µόνο ένα τέτοιο ζεύγος συµβόλων. Στην περίπτωση που ένα σύµβολο εµφανίζεται περισσότερες από µια φορά, τότε απαλοίφουµε µόνο µια εµφάνισή του. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

17 2011 Παραδείγµατα Π Σ Π Σ Π Σ Π Σ Σ Τ Σ Π Π Τ

18 Πρόβληµα Λογικής: 2 η Προσπάθεια Page 18 Αν η Μαρία αγαπάει το Γιώργο, τότε η Μαρία αγαπάει το Τάσο. Αν είναι Δευτέρα, τότε η Μαρία αγαπάει το Γιώργο ή τον Τάσο, Αν είναι Δευτέρα η Μαρία αγαπάει τον Τάσο; γ τ δ γ τ δ τ τ δ τ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

19 2011 Πρόβληµα Λογικής 3 η Προσπάθεια (και Τελευταία)... Η Μαρία αγαπάει ένα πρόσωπο τη φορά. Αν είναι Δευτέρα η Μαρία αγαπάει το Γιώργο; δ τ γ τ δ γ

20 Υπολογιστική Λογική Page 20 Αυτόµατη Συλλογιστική Στόχος Βάση Γνώσης Κανόνες Συμπερασμού Απόδειξη <- Βάση Γνώσης Έχει αποδειχθεί ο στόχος; Επιτυχία Επέλεξε Κανόνες Κ Επέλεξε Πρόταση Α Επέλεξε Πρόταση Β Γ <- Εφάρμοσε (Κ,Α,Β) Προτάσεις <- Προτάσεις Γ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

21 2011 Σύγκριση µε τη Μαθηµατική Λογική Μαθηµατική Λογική Συντακτικό, σηµασιολογία, ορθότητα και πληρότητα Έµφαση στο ελάχιστο σύνολο κανόνων για την απλοποίηση της ανάλυσης Αυτοί οι κανόνες δεν είναι πάντα εύκολο ή αποτελεσµατικό να υλοποιηθούν Υπολογιστική Λογική Συντακτικό, σηµασιολογία, ορθότητα και πληρότητα Ιδιαίτερη µέριµνα για την υπολογιστική αποτελεσµατικότητα Έµφαση σε διάφορες γλώσσες µε διαφορετικά σύνολα κανόνων συµπερασµού Ιδιαίτερη προσοχή στους κανόνες που µπορούν να αυτοµατοποιήσουν τις διαδικασίες συµπερασµού

22 Εφαρµογές Συστήµατα Βάσεων Δεδοµένων Βάση Δεδοµένων σε Μορφή Πίνακα Σχέση: Γονέας Νίκος Μαρία Τάσος Νίκος Μπία Γιάννης ΓιώργοςΠέγκυ Βάση Δεδοµένων σ Μορφή Προτάσεων Γονέας (Νίκος, Μαρία) Γονέας(Τάσος, Νίκος) Γονέας(Μπία, Γιάννης) Γονέας(Γιώργος, Πέγκυ) Page 22 Περιορισµοί Γονέας(Χ,Χ) Γονέας(Χ,Υ) Γονέας(Υ,Χ) Ορισµοί Γονέας(Χ,Υ) Γονέας(Υ,Ζ) εγγόνι(ζ,χ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

23 2011 Επαλήθευση Προγραµµάτων Πρόγραµµα L Ταξινομητής ταξινοµηµένη(l) Καθορισµός i. j. (i<j ταξινόµηση(l) i < ταξινόµηση(l) j ) Χρήσιµο για: Επιµέρους αποτίµηση Επαλήθευση Απόδειξη Τερµατισµού Ανάλυση Πολυπλοκότητας

24 Τεχνολογία Υλικού Κύκλωµα: Συµπεριφορά: Page 24 Εφαρµογές: Προσοµοίωση Διάγνωση Διαµόρφωση Δηµιουργία ελέγχων ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

25 2011 Ολοκλήρωση Πληροφορίας Οι Καταναλωτές Προσπελαύνουν και Ενηµερώνουν Με βάση το δικό τους Σχήµα Ανταλλαγές Κύριο Σχήµα Κανόνες Συντονισµού Ολοκληρωµένα δεδοµένα Οι Προµηθευτές Κατανεµηµένη Διαχείριση Με χρήση των δικών τους Σχηµάτων Σχήμα Σχήμα Σχήμα Κανόνες Κανόνες Κανόνες Κύριο Σχήμα Κανόνες Κανόνες Κανόνες Σχήμα Σχήμα Σχήμα Τεχνολογία Υπολογιστικής Λογικής

26 Αρθρώµατα Page 26 Επεξεργαστές Συστήµατα Αυτόµατης Συλλογιστικής (Prolog) Βάσεις Γνώσεις (Oρισµοί, περιορισµοί, νόµοι κλπ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

27 2011 Οδηγός µελέτης Προτασιακή Λογική Αν βρέχει, τότε το έδαφος είναι υγρό Σχεσιακή (Κατηγορηµατική) Λογική Αν ο Χ είναι γονέας του Υ τότε ο Υ είναι παιδί του Χ Λογική µεταεπιπέδου Ο Γιάννης πιστεύει οτιδήποτε του λέει η Μαρία

28 Κύρια Θέµατα Συντακτικό εκφράσεις που επιτρέπονται σε µια γλώσσα Page 28 Σηµασιολογία νόηµα των εκφράσεων Λογική Συνεπαγωγή υποθέσεις και συµπεράσµατα Αποδεικτικές µέθοδοι Ζητήµατα Εκφραστικότητα τελεστές, µεταβλητές, εκφράσεις... Υπολογιστική ιεράρχιση γραµµική, πολυωνυµική, αποφασισιµότητα,... Εκφραστικότητα εναντίον υπολογισιµότητας ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

29 2011 Μετα-επίπεδο Συχνά γράφουµε προτάσεις που αναφέρονται σε προτάσεις Πρόταση: Όταν βρέχει, είναι υγρά Μετα-πρόταση: Αυτή η πρόταση περιέχει µια αναφορική πρόταση Συνήθως αποδεικνύουµε πράγµατα σχετικά µε αποδείξεις

30 Διάλεξη 2 Page 30 ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

31 2011 Πολυπλοκότητα γραµµατικής Ο σκύλος κυνήγησε τη γάτα Ο σκύλος που έφαγε τον ποντικό κυνήγησε τη γάτα Τα άνθη της κερασιάς την άνοιξη... ανθίζουν

32 Ασάφειες Page 32 Leland Stanford Junior University Leland-Stanford Junior-University Leland-Stanford-Junior University Υπάρχει ένα κορίτσι στο δωµάτιο µε ένα τηλεσκόπιο ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

33 2011 Προτασιακές σταθερές Παραδείγµατα βρέχει βρέχει23 βρεχει βρέχειηχιονίζει Αντι-παραδείγµατα Βρέχει.η.χιονίζει

34 Άρνηση Σύνθετες προτάσεις (1/2) Page 34 βρέχει Η σταθερά στην οποία εφαρµόζεται η άρνηση καλείται στόχος Σύζευξη (βρέχει χιονίζει) Τα ορίσµατα της σύζευξης καλούνται συζευκταίοι Διάζευξη (βρέχει χιονίζει) Τα ορίσµατα της σύζευξης καλούνται διαζευκταίοι ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

35 2011 Σύνθετες προτάσεις (2/2) Συνεπαγωγή (βρέχει συνεφιά) Το αριστερό όρισµα της συνεπαγωγής καλείται συνθήκη ή προϋπόθεση Το δεξιό όρισµα της συνεπαγωγής καλείται συµπέρασµα Ισοδυναµία (βρέχει συνεφιά)

36 Παραδείγµατα παρενθέσεων Page 36 Η απαλοιφή των παρενθέσεων µπορεί να γίνει, (τ π) τ π Αρκεί να µη δηµιουργεί ασάφειες ((π τ) γ) π τ γ (π (τ γ)) π τ γ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

37 2011 Προτεραιότητες Μπορούµε να «πετάξουµε» τις παρενθέσεις αν η δοµή µιας πρότασης µπορεί να καθοριστεί µε βάση τις εξής προτεραιότητες (από πάνω προς τα κάτω) Ένας όρος σχετίζεται µε τον τελεστή υψηλότερης προτεραιότητας. Αν όλοι οι τριγύρω τελεστές έχουν την αυτή προτεραιότητα, ο όρος σχετίζεται µε το δεξιότερο τελεστή. π τ γ π τ γ π τ Όρος: προτασιακή σταθερά ή σύνθετη πρόταση

38 Ερµηνεία στην Προτασιακή Λογική Μια ερµηνεία (ε) στην προτασιακή λογική είναι ένας συσχετισµός των προτασιακών σταθερών µε τις τιµές αληθείας Τ και F. Page 38 π (ε) Τ τ (ε) F γ (ε) Τ π ε = Τ τ ε = F γ ε = Τ Η έννοια της ερµηνείας µπορεί να επεκταθεί για όλες τις προτάσεις µε την εφαρµογή της σηµασιολογίας των τελεστών. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

39 2011 Άρνηση Σηµασιολογία των τελεστών φ φ Τ F F Τ Σύζευξη Φ χ φ χ Τ Τ Τ Τ F F F F F F Τ F

40 Διάζευξη Σηµασιολογία των τελεστών Page 40 φ Χ φ χ Τ Τ Τ Τ F Τ F F F F Τ Τ Προσοχή : Στην αποκλειστική διάζευξη (που δεν είναι η περίπτωση παραπάνω), η διάζευξη είναι αληθής αν και µόνο αν (ανν) περιττός αριθµός όρων είναι αληθής. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

41 2011 Σηµασιολογία των τελεστών Συνεπαγωγή φ χ φ χ Τ Τ Τ Τ F F F F Τ F Τ Τ Η συνεπαγωγή αυτή (material implication) έχει το περίεργο χαρακτηριστικό ότι είναι αληθής αν η συνθήκη είναι ψευδής ή το συµπέρασµα αληθές ( φ χ). Για παράδειγµα η ακόλουθη πρόταση είναι αληθής Αν η Σάµος είναι το µεγαλύτερο νησί, τότε εγώ είµαι δισεκατοµµυριούχος

42 Ισοδυναµία Σηµασιολογία των τελεστών φ χ φ χ Τ Τ Τ Τ F F F F Τ F Τ F Page 42 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

43 2011 Ερµηνεία στην Προτασιακή Λογική Στη λογική καµία ερµηνεία δεν είναι καλύτερη από µια άλλη. Απουσία οποιασδήποτε επιπρόσθεης πληροφορίας, µια ερµηνεία είναι εξίσου καλή όσο και µια οποιαδήποτε άλλη. Ερµηνεία i π ι = Τ τ ι = F σ ι = Τ Ερµηνεία j π j = F τ j = F σ j = F

44 Πίνακες Αληθείας Ένας πίνακας αληθείας περιέχει όλες τις δυνατές ερµηνείες για τις προτασιακές σταθερές µιας γλώσσας. Page 44 Μια στήλη ανα σταθερά και µια γραµµή ανα ερµηνεία. π τ σ Τ Τ Τ Τ Τ F Τ F Τ Τ F F F Τ Τ F Τ F F F Τ F F F 2, ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

45 2011 Σηµασιολογία Προτασιακής Λογικής Η σηµασιολογία της προτασιακής λογικής αφορά τη σχέση των ερµηνειών των απλών προτάσεων και των ερµηνειών των σύνθετων προτάσεων που συντίθενται από τις απλές αυτές προτάσεις. Αποτίµηση π i = Τ (π τ) i =T τ i = F Αποσαφίνηση (π τ) i =T > > π i = F π i = Τ π i = F τ i = F

46 Αποτίµηση Page 46 Ερµηνεία i Ερµηνεία j π i = Τ π j =F τ i = F τ j = F σ i = Τ σ j =Τ (π τ) ( τ σ) (π τ) ( τ σ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

47 2011 Ιδιότητες προτάσεων Ταυτολογία Μια πρόταση καλείται ταυτολογία αν και µόνο αν αυτή ικανοποιείται υπό οποιαδήποτε ερµηνεία Ικανοποιήσιµη Μια πρόταση καλείται ικανοποιήσιµη αν και µόνο αν υπάρχει τουλάχιστον µια ερµηνεία που να την ικανοποιεί Μηικανοποιήσιµη Μια πρόταση καλείται µη-ικανοποιήσιµη αν και µόνο αν Δεν υπάρχει ερµηνεία που να την ικανοποιεί

48 Παράδειγµα Ταυτολογίας π τ Σ π τ τ σ ( π τ) ( τ σ) (το Ο δηλώνει F και το 1, T). Page 48 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

49 2011 Περισσότερες Ταυτολογίες Διπλή άρνηση π π Νόµοι του DeMorgan (π τ) π τ (π τ) π τ Εισαγωγή συνεπαγωγής π ( π τ) Επιµερισµός συνεπαγωγής (π (τ σ)) ((π τ) (π σ))

50 Αποσαφήνιση Διαγράφοντας σειρές (δηλαδή ερµηνείες), µένουν οι ερµηνείες που ικανοποιούν ένα σύνολο σύνθετων προτάσεων και εποµένως πιθανές ερµηνείες των ατοµικών προτάσεων. π τ σ Page ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

51 2011 Αποσαφήνιση Διαγράφοντας σειρές (δηλαδή ερµηνείες), µένουν οι ερµηνείες που ικανοποιούν ένα σύνολο σύνθετων προτάσεων και εποµένως πιθανές ερµηνείες των ατοµικών προτάσεων. π τ σ π σ Χ Χ

52 Αποσαφήνιση Διαγράφοντας σειρές (δηλαδή ερµηνείες), µένουν οι ερµηνείες που ικανοποιούν ένα σύνολο σύνθετων προτάσεων και εποµένως πιθανές ερµηνείες των ατοµικών προτάσεων. π τ σ π σ π τ σ Χ σ Χ Χ Page Χ Χ Χ Χ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

53 2011 Μέθοδος των Πινάκων Αληθείας και Αποδεικτικές Μέθοδοι στην Προτασιακή Λογική

54 Παραγωγή Στην παραγωγή τα συµπεράσµατα είναι αληθή οποτεδήποτε οι συνθήκες είναι αληθείς Page 54 Συνθήκη: π Συµπέρασµα: π τ Συνθήκη: π Μη - Συµπέρασµα: π τ Συνθήκες: π, τ Μη - Συµπέρασµα: π τ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

55 2011 Λογική Συνεπαγωγή Από ένα σύνολο υποθέσεων Δ συνεπάγεται λογικά το συµπέρασµα φ (ή το φ αποτελεί λογικό συµπέρασµα του συνόλου Δ) συµβολίζεται Δ = φ αν και µόνο αν κάθε ερµηνεία που ικανοποιεί τις συνθήκες Δ ικανοποιεί και το συµπέρασµα φ. {π} = π τ {π} # π τ {π,τ} = π τ

56 Μέθοδος των Πινάκων Αληθείας Μπορούµε να ελέγξουµε τη λογική συνεπαγωγή συγκρίνοντας τις ερµηνείες, όπως αυτές αποτυπώνονται στους πίνακες αληθείας Page 56 Δηµιουργούµε δύο πίνακες: Ένα για τις υποθέσεις και ένα για το συµπέρασµα. Στον πρώτο πίνακα διαγράφουµε τις ερµηνείες που δεν ικανοποιούν όλες τις υποθέσεις. Στο δεύτερο πίνακα διαγράφουµε όλες τις ερµηνείες που δεν ικανοποιούν ο συµπέρασµα. Αν οι εναποµείνασες ερµηνείες του πρώτου πίνακα είναι υποσύνολο των ερµηνειών του δεύτερου πίνακα, τότε από τις υποθέσεις συνεπάγεται λογικά το συµπέρασµα. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

57 2011 Παράδειγµα Από το π συνεπάγεται λογικά το π τ? π τ π τ

58 Παράδειγµα Page 58 Από το π συνεπάγεται λογικά το π τ? π τ π τ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

59 2011 Παράδειγµα Από το {π,τ} συνεπάγεται λογικά το π τ? π τ π τ

60 Παράδειγµα Αν η Μαρία αγαπάει το Γιώργο, τότε η Μαρία αγαπάει τον Τάσο Αν είναι Δευτέρα, τότε η Μαρία αγαπάει το Γιώργο ή τον Τάσο Αν είναι Δευτέρα,αγαπάει η γ τ δ Μαρία τον Τάσο? γ τ δ Page Χ Χ Χ Χ Χ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

61 2011 Προβλήµατα Στην προτασιακή λογική υπάρχουν παρα πολλέςερµηνείες. Θυµηθείτε ότι αν υπάρχουν ν προτασιακές σταθερές, τότε υπάρχουν 2 ν δυνατές ερµηνείες. Επίσης, µπορεί µεταξυ των υποθέσεων α υπάρχουν σταθερές που δεν έχουν καµία σχέση µε το συµπέρασµα. Πολύς χαµένος κόπος. Η λύση (?): Αποδεικτικές διαδικασίες.

62 Πρότυπες Μορφές Μια πρότυπη µορφή (απλά µορφή) είναι µια έκφραση που ικανοποιεί τους γραµµατικούς κανόνες της γλώσσας, αλλά στη θέση των σταθερών και υπο-εκφράσεων εµφανίζονται µετα- µεταβλητές. Page 62 Απλή µορφή φ (ψ φ) τα φ,ψ είναι µετα-µεταβλητές, στη θέση των οποίων µπορούν να µπουν σταθερές ή υπο-εκφράσεις Στιγµιότυπο της µορφής π (π τ) Στιγµιότυπο της µορφής ( π σ) ((π τ) (π σ)) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

63 2011 Κανόνες Συµπερασµού Ένας κανόνας συµπερασµού είναι ένας κανόνας που αποτελείται από ένα σύνολο µορφών προτάσεων που καλούνται υποθέσεις, και από ένα δεύτερο σύνολο µορφών προτάσεων που καλούνται συµπεράσµατα. φ ψ φ ψ

64 Στιγµιότυπα κανόνων Ένα στιγµιότυπο κανόνα είναι ένας κανόνας στον οποίο όλες οι µετα-µεταβλητές έχουν αντικατασταθεί µε συνεπή τρόπο από εκφράσεις, έτσι ώστε οι υποθέσεις και τα συµπεράσµατα να είναι συντακτικά νόµιµες προτάσεις Page 64 Βρέχει υγρό Βρέχει - Υγρό π (τ σ) π τ σ (π τ) σ π τ σ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

65 2011 Ορθοί κανόνες συµπερασµού Ένας κανόνας συµπερασµού καλείται ορθός, αν και µόνο αν σε κάθε στιγµιότυπο του κανόνα από τις υποθέσεις συνεπάγονται λογικά τα συµπεράσµατα. Μodus Ponens (MP) φ ψ φ ψ Modus Tolens (MT) φ ψ ψ φ Equivalence Elimination (EE) φ ψ φ ψ ψ φ Double Negation (DN) φ φ

66 Παράδειγµα Απόδειξης Page 66 Όταν βρέχει το έδαφος είναι υγρό. Όταν το έδαφος είναι υγρό, τότε γλυστράει. Βρέχει. Αποδείξτε ότι το έδαφος γλυστράει. 1. βρέχει υγρό Υπόθεση 2. υγρό γλυστράει Υπόθεση 3. βρέχει Υπόθεση 4. υγρό MP (1,3) 5. γλυστράει MP (2,4) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

67 2011 Απόδειξη (έκδοση 1 η ) Η απόδειξη ενός συµπεράσµατος από ένα σύνολο υποθέσεων είναι µια ακολουθία προτάσεων που τερµατίζει στο συµπέρασµα. Κάθε στοιχείο της ακολουθίας αυτής είναι ένα από τα ακόλουθα 1. µια υπόθεση 2. το αποτέλεσµα εφαρµογής ενός κανόνα συµπερασµού σε προηγούµενα στοιχεία της ακολουθίας

68 Παράδειγµα Ρίχνουµε ένα νόµισµα: Κεφαλή κερδίζεις. Γράµµατα χάνω. Έστω ότι το νόµισµα δείχνει γράµµατα. Δείξε ότι κερδίζεις. Page κ εσυ Υπόθεση 2. γ εγω Υπόθεση 3. κ γ Υπόθεση 4. εσυ εγωυπόθεση 5. γ Υπόθεση 6. εγω MP (2,5) 7. εσυ εγω ΕΕ (4) 8. εγω εσυ ΕΕ (4) 9. εσυ ΜΡ (8,6) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

69 2011 Λάθος Οι κανόνες συµπερασµού εφαρµόζονται µόνο σε προτάσεις και όχι σε τµήµατα αυτών. Προσοχή: Μερικές φορές (κατά λάθος) πετυχαίνει και για τµήµατα προτάσεων. 1. βρέχει συνεφιά Υπόθεση 2. συνεφιά υγρό Υπόθεση ΛΑΘΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ! 3. βρέχει υγρό 1,2 1. βρέχει συνεφιά Υπόθεση 2. βρέχει υγρό Υπόθεση ΛΑΘΟΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ! 3. βρέχει υγρό 1,2

70 Αξιωµατικά Σχήµατα (Σχήµατα Αξιωµάτων) Αν µια πρόταση είναι ταυτολογία, τότε αυτή είναι αληθής υπό οποιαδήποτε ερµηνεία. Συνεπώς, αυτή είναι αληθής υπό οποιεσδήποτε υποθέσεις. Άρα, θα πρέπει να µπορεί να αποδειχτεί ελλείψει υποθέσεων. Παράδειγµα: (π ( τ π)) Είναι ταυτολογία Πρόβληµα: Να αποδειχεί η (π ( τ π)) Λύση: Χρειαζόµαστε κάποιους κανόνες δίχως υποθέσεις για να ξεκινήσουµε. Ένα αξιωµατικό σχήµα είναι µια µορφή πρότασης που µπορεί να σχηµατίσει κανόνα συµπερασµού δίχως υποθέσεις. Page 70 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

71 2011 Πρότυπα Αξιωµατικά Σχήµατα ΙΙ: φ (ψ φ) ID: (φ (ψ χ)) ((φ ψ) ( φ χ)) CR: ( ψ φ) (( ψ φ) ψ) (ψ φ) (( ψ φ) ψ) EQ: ( φ ψ) (φ ψ) ( φ ψ) (ψ φ) ( φ ψ) ((ψ φ) (φ ψ)) OQ: (φ ψ) ( φ ψ) (φ ψ) ( φ ψ)

72 Κανόνες και Σχήµατα Αξιωµατικά σχήµατα και Κανόνες Συµπερασµού Page 72 φ (ψ φ) φ (ψ φ) Κανόνες Συµπερασµού ως Αξιωµατικά Σχήµατα φ ψ ψ (φ ψ) ( ψ φ) φ Για τη χρήση των αξιωµατικών σχηµάτων πρέπει να κρατήσουµε τουλάχιστον ένα κανόνα συµπερασµού. Συνήθως κρατάµε τον Modus Ponens ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

73 2011 Ταυτολογικά Αξιωµατικά Σχήµατα Ένα ταυτολογικό αξιωµατικό σχήµα ειναι µια µορφή πρότασης που δηλώνει ένα άπειρο σύνολο προτάσεων που είναι ταυτολογίες. φ (ψ φ)

74 Απλή απόδειξη Οποτεδήποτε το π είναι αληθές, τότε και το τ είναι αληθές. Οποτεδήποτε το τ είναι αληθές, το σ είναι αληθές. Να δειχθεί ότι οποτεδήποτε το π είναι αληθές, το σ είναι επίσης αληθές. Page π τ Υπόθεση 2. τ σ Υπόθεση 3. (τ σ) (π (τ σ)) ΙΙ 4. π (τ σ) ΜΡ (3,2) 5. (π (τ σ)) (( π τ) (π σ)) ID 6. (π τ) (π σ) ΜΡ (5,4) 7. (π σ) ΜΡ (6,1) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

75 2011 Απόδειξη (επίσηµη έκδοση) Η απόδειξη ενός συµπεράσµατος από ένα σύνολο υποθέσεων είναι µια ακολουθία προτάσεων που τερµατίζει στο συµπέρασµα. Κάθε στοιχείο αυτής της ακολουθίας µπορεί να είναι : 1. Μια υπόθεση 2. Στιγµιότυπο ενός αξιωµατικού σχήµατος 3. Το αποτέλεσµα της εφαρµογής ενός κανόνα συµπερασµού σε προηγούµενα στοιχεία της ακολουθίας.

76 Αποδειξιµότητα Page 76 Ένα συµπέρασµα φ καλείται αποδείξιµο από ένα σύνολο υποθέσεων Δ (συµβολίζεται µε Δ - φ), αν και µόνο αν υπάρχει πεπερασµένη απόδειξη του συµπεράσµατος από τις υποθέσεις χρησιµοποιώντας µόνο modus ponens και τα πρότυπα αξιωµατικά σχήµατα. Ο modus ponens και τα πρότυπα αξιωµατικά σχήµατα αποτελούν ένα αποδεικτικό σύστηµα. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

77 2011 Ορθότητα και Πληρότητα Ορθότητα: Ένα αποδεικτικό σύστηµα καλείται ορθό αν και µονο αν οποτεδήποτε το συµπέρασµα είναι αποδείξιµο από τις υποθέσεις, τότε από τις υποθέσεις συνεπάγεται λογικά το συµπέρασµα. (Δ - φ) (Δ = φ) Πληρότητα: Ένα αποδεικτικό σύστηµα καλείται πλήρες αν και µόνο αν οποτεδήποτε το συµπέρασµα είναι λογική συνέπεια των υποθέσεων, τότε το συµπέρασµα είναι αποδείξιµο από τις υποθέσεις. (Δ = φ) (Δ - φ)

78 Πίνακες Αληθείας και Αποδείξεις Page 78 Η µέθοδος των πινάκων αληθείας και η αποδεικτική µέθοδος επιτυγχάνουν στις ίδιες ακριβώς περιπτώσεις (βλ. ορθότητα και πληρότητα). Σε µεγάλα προβλήµατα, η αποδεικτική µέθοδος συνήθως απαιτεί λιγότερα βήµατα από την µέθοδο των πινάκων αληθείας. Όµως, στη χειρότερη περίπτωση η αποδεικτική µέθοδος µπορεί να απαιτήσει τόσα βήµατα ή και περισσότερα από τη µέθοδο των πινάκων αληθείας. Συνήθως, οι αποδεικτικές µέθοδοι είναι συντοµότερες από τους πίνακες αληθείας. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

79 2011 Μετα-Θεωρήµατα Θεώρηµα Παραγωγής: Δ - (φ ψ) αν και µόνο αν Δ {φ} - ψ Θεώρηµα Ισοδυναµίας: Δ - (φ ψ) και Δ -χ, τότε ισχύει ότι Δ - χ ψ φ

80 Απόδειξη δίχως το θεώρηµα Παραγωγής Πρόβληµα {π τ, τ σ} - (π σ) Page π τ Υπόθεση 2. τ σ Υπόθεση 3. (τ σ) (π (τ σ)) ΙΙ 4. (π (τ σ)) ΜΡ (2,3) 5. (π (τ σ)) ((π τ) ( π σ)) ID 6. ((π τ) ( π σ)) ΜΡ (5,4) 7. ( π σ) ΜΡ (6,1) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

81 2011 Απόδειξη µε το θεώρηµα Παραγωγής Πρόβληµα {π τ, τ σ} - (π σ) 1. π τ Υπόθεση 2. τ σ Υπόθεση 3. π Υπόθεση 4. τ ΜΡ (1,3) 5. σ ΜΡ (2,4)

82 Κανόνες στην Εξέταση Όταν σας ζητείται να δείξετε ότι µια έκφραση είναι αληθής, τότε µπορείτε να χρησιµοποιείσετε µετα-θεωρήµατα. Page 82 Όταν σας ζητείται να δώσετε µια τυπική απόδειξη (ή απλά απόδειξη) θα πρέπει να δώσετε όλη την απόδειξη Όταν σας ζητείται να δείξετε ότι µια έκφραση είναι αληθής χρησιµοποιώντας συγκεκριµένα αξιωµατικά σχήµατα και συγκεκριµενους κανόνες συµπερασµού, τότε θα πρέπει να κατασκευάσετε την απόδειξη µόνο και µόνο µε αυτά. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

83 2011 Μέθοδος της Επίλυσης στην Προτασιακή Λογική

84 Στιγµιότυπα Αξιωµατικών Σχηµάτων π (π π) π (τ π) π (σ π) τ (π τ) τ (τ τ) τ (σ τ) σ (π σ) σ (τ σ) σ (σ σ) π (π π π) π (π τ π) π (π σ π)... Page 84 Οι αποδείξεις µπορεί να είναι σύντοµες αλλα απαιτούν την εξέταση πολλών εναλλακτικών ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

85 2011 Προτασιακή Επίλυση Η προτασιακή επίλυση βασίζεται σε ένα και µόνο κανόνα συµπερασµού Με τη χρήση του κανόνα της επίλυσης (δίχως άλλους κανόνες συµπερασµού και αξιώµατα) είναι δυνατό να φτιάξουµε ένα ορθό και πλήρη µηχανισµό απόδειξης (αποδεικτικό σύστηµα) για την προτασιακή λογική. Ο χώρος αναζήτησης µε τη χρήση του κανόνα της επίλυσης είναι πολύ µικρότερος από τη χρήση του Modens Ponens και των Πρότυπων Σχηµάτων Αξιωµάτων.

86 Προτασιακή Μορφή Ατοµικός τύπος είναι είτε µια ατοµική πρόταση (προτασιακή σταθερά) ή η άρνηση µιας ατοµικής πρότασης π π Page 86 Ένας προτασιακός τύπος είναι είτε ένας ατοµικός τύπος ή η διάζευξη ατοµικών τύπων π π π τ Προτασιακή µορφή (πρόταση) είναι ένα σύνολο ατοµικών τύπων ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

87 2011 Κενά Σύνολα Η κενή πρόταση () είναι µη ικανοποιήσιµη Είναι ισοδύναµη µε την κενή διάζευξη Το κενό σύνολο προτάσεων είναι ικανοποιήσιµο Είναι ισοδύναµο µε την κενή σύζευξη Τι συµβαίνει µε µε ένα σύνολο προτάσεων που περιέχει µόνο την κενή πρόταση;

88 Μετατροπή σε Προτασιακή Μορφή (Μέθοδος ΣΑΕΤ) Page 88 (Σ) Απαλοιφή των συνεπαγωγών (Α) Εφαρµογή των Αρνήσεων φ τ φ τ φ τ ( φ τ) (φ τ) φ φ (φ τ) φ τ (φ τ) φ τ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

89 2011 Μετατροπή σε Προτασιακή Μορφή (Μέθοδος ΣΑΕΤ) (Ε) Επιµερισµός φ (τ σ) (φ τ) (φ σ) (τ σ) φ (φ τ) (φ σ) (τ σ) φ τ (σ φ) (τ σ) φ τ (σ φ) (Τ) Τελεστές φ 1... φ ν { φ 1,..,φ ν } φ 1... φ ν { φ 1 },.., {φ ν }

90 Παράδειγµα π (σ τ) Σ π ( σ τ) Α π ( σ τ) Ε π ( σ τ) Τ {π} { σ,τ} Page 90 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

91 2011 Παράδειγµα (π (σ χ)) Σ (π ( σ χ)) Α ( π ( σ χ)) ( π ( σ χ)) π (σ χ) Ε ( π σ) ( π χ) Τ { π, σ } { π, χ}

92 Κανόνας της Επίλυσης Page 92 Γενικός Παράδειγµα {φ 1,..., χ,..., φ ν } {ψ 1,... χ,..., ψ µ } {φ 1,..χ., φ ν, ψ 1,. χ.., ψ µ } {π,σ} { π, τ} - { π, σ, π, τ} ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

93 2011 Ζητήµατα Σύνθεση { π, τ} {π, τ} {τ} Μονοσύνολα { π,τ} {π} {π} { π} - {τ} {}

94 Ζητήµατα Πολλαπλά Συµπεράσµατα {π,σ} { π, σ} - {π, π} {σ, σ} Page 94 Απλή Εφαρµογή (ΛΑΘΟΣ) {π,σ} { π, σ} {} ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

95 2011 Ειδικές Περιπτώσεις Modus Ponens π σ π σ Modus Tolens π σ π σ Chaining π σ σ τ π τ { π, σ } {π } {σ} { π, σ } { σ } -- { π } { π, σ } { σ, τ} -- { π, τ}

96 Πληρότητα Page 96 Η µέθοδος της επίλυσης όπως τη γνωρίζουµε µέχρι τώρα για την προτασιακή λογική δεν είναι πλήρης. Δεν µπορούµε να δηµιουργήσουµε την ταυτολογία π (σ π) µε τη χρήση της µεθόδου αυτής. Δεν υπάρχουν υποθέσεις, συνεπώς δεν υπάρχουν συµπεράσµατα. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

97 2011 Απάντηση Το παραπάνω πρόβληµα δεν υφίσταται αν πάρουµε την προτασιακή µορφή των υποθέσεων (αν υπάρχουν τέτοιες) µαζί µε την άρνηση του συµπεράσµατος και προσπαθήσουµε να βγάλουµε ως συµπέρασµα την κενή πρόταση. Γενική Μέθοδος Για να αποφασίσουµε αν από ένα σύνολο υποθέσων Δ (πιθανώς κενό) συνεπάγεται λογικά η πρόταση φ, δηµιουργούµε το Δ { φ}, και µετατρέπουµε όλες τις υποθέσεις σε προτασιακή µορφή. Στη συνέχεια προσπαθούµε να εξάγουµε ως συµπέρασµα την κενή πρόταση {} µε τη χρήση του κανόνα της επίλυσης.

98 Παράδειγµα (π (σ τ)) Σ ( π σ τ) Α ( π σ τ) π σ τ Ε π σ τ Τ {π} {σ} { τ} Page 98 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

99 2011 Παράδειγµα Αν η Μαρία αγαπάει το Γιώργο,τότε η Μαρία αγαπάει το Τάσο. Αν είναι Δευτέρα, τότε η Μαρία αγαπάει το Γιώργο ή τον Τάσο. Αποδείξτε ότι αν είναι Δευτέρα, τότε η Μαρία αγαπάει τον Τάσο. 1. { γ, τ} Υπόθεση 2. { δ, γ,τ} Υπόθεση 3. {δ} Άρνηση του συµπεράσµατος 4. { τ} Άρνηση του συµπεράσµατος 5. {γ,τ} 3,2 6. {τ} 5,1 7. {} 6,4

100 Παράδειγµα Κεφαλή κερδίζεις. Γράµµατα χάνω. Δείξε ότι πάντοτε κερδίζεις. 1. { κ, εσυ} Υπόθεση 2. { γ, εγώ} Υπόθεση 3. {κ,γ} Υπόθεση 4. { κ, γ} Υπόθεση 5. {εγώ, εσύ} Υπόθεση 6. { εγω, εσύ} Υπόθεση 7. { εσυ} Άρνηση συµπεράσµατος 8. {γ, εσυ} 3,1 9. { εγω, εσυ} 8,2 10. {εσυ} 9,5 11. {} 10,7 Page 100 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

101 2011 Ορθότητα και Πληρότητα Μια πρόταση είναι αποδείξιµη από ένα σύνολο προτάσεων µε βάση τη µέθοδο της επίλυσης αν και µόνο αν υπάρχει τρόπος εξαγωγής της κενής πρότασης {} από τις προτάσεις του συνόλου Δ { φ}. Θεώρηµα Η µέθοδος της επίλυσης για την προτασιακή λογική είναι ορθή και πλήρης. Δηλαδή Δ = φ αν και µόνο αν Δ - φ

102 Αποφασισιµότητα Page 102 Μια κατηγορία ερωτήσεων είναι αποφασίσιµη αν και µόνο αν υπάρχει διαδικασία τέτοια ώστε όταν, δεδοµένης µιας ερώτησηςαπό την κλάσση αυτή, η διαδικασία τερµατίζει µε «ναι» αν η απάντηση είναι θετική ή «οχι» αν η απάντηση είναι αρνητική. Παράδειγµα: Για κάθε φυσικό αριθµό Ν, αποφασίστε αν είναι πρώτος. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

103 2011 Ηµι- Αποφασισιµότητα Μια κατηγορία ερωτήσεων είναι ηµι-αποφασίσιµη αν και µόνο αν υπάρχει διαδικασία τέτοια ώστε όταν, δεδοµένης µιας ερώτησης από την κλάσση αυτή, η διαδικασία τερµατίζει µε «ναι» αν η απάντηση είναι θετική. Αν µια κλάση είναι αποφασίσιµη, τότε προφανώς είναι ηµιαποφασίσιµη.

104 Αποφασισιµότητα της Λογικής Συνεπαγωγής στην Προτασιακή Λογική Page 104 Η µέθοδος της επίλυσης είναι µια διαδικασία απόφασης για την προτασιακή λογική. Η λογική συνεπαγωγή για την προτασιακή λογική είναι αποφασίσιµη (η µέθοδος της επίλυσης πάντοτε επιστρέφει την απάντηση «ΝΑΙ» ή την απάντηση «ΟΧΙ») Δυστυχώς, το πρόβληµα στη γενική του περίπτωση είναι NP-hard ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

105 2011 Προτάσεις Horn Μια πρόταση Horn αντιστοιχεί σε προτασιακή µορφή µε το πολύ ένα καταφατικό ατοµικό τύπο Παραδείγµατα {r, p, q} { p, q, r} {p} Κάθε πρόταση Horn µπορεί να γραφεί ως κανόνας: { p, q, r} p q r

106 Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Όταν ένα σύνολο προτάσεων είναι Horn, τότε η ικανοποιησιµότητα κα συνεπώς η λογική συνεπαγωγή µπορεί να αποφασισθεί σε χρόνο που είναι γραµµικά ανάλογος στο µέγεθος του συνόλου προτάσεων. Page 106 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

107 2011 H µέθοδος των δύο δακτύλων (Two Fingers Method - TFM) Function tfm(δ) {var fast :=Δ; var slow := Δ; do ( if slow = [] then return failure; Δ := concat (Δ, αποτέλεσµα επίλυσης (fast, slow)); If {} Δ then return Δ; If fast=slow then {fast :=Δ, slow := next(slow)} else fast:= next(fast))}

108 Παράδειγµα εφαρµογής της TFM Page {p,q} Υπόθεση 11. {r} 2,6 2. { p,r} Υπόθεση 12. {p} 4,6 3. { q,r } Υπόθεση 13. {q} 1,7 4. { r} Υπόθεση 14. {r} 6,7 5. {q,r} 1,2 15. {p} 1,8 6. {p,r} 1,3 16. {r} 5,8 7. { p} 2,4 17. {} 4,9 8. { q} 3,4 9. {r} 3,5 10.{q} 4,5 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

109 2011 Παράδειγµα εφαρµογής της TFM µε απαλοιφή προτασιακών µορφών (έλεγχο ύπαρξης) 1. {p,q} Υπόθεση 2. { p,r} Υπόθεση 3. { q,r } Υπόθεση 4. { r} Υπόθεση 5. {q,r} 1,2 6. {p,r} 1,3 7. { p} 2,4 8. { q} 3,4 9. {r} 3,5 10. {q} 4,5 11. {p} 4,6 12. {} 4,9

110 Παράδειγµα εφαρµογής της TFM µε έλεγχο συµπληρωµατικής Page {p,q} Υπόθεση 2. { p,r} Υπόθεση 3. { q,r } Υπόθεση 4. { r} Υπόθεση 5. {q,r} 1,2 6. {p,r} 1,3 7. { p} 2,4 8. { q} 3,4 9. {r} 3,5 10. {} 4,9 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

111 2011 Τερµατισµός Θεώρηµα: Είναι δυνατή η απόδειξη µια πρότασης (συµεράσµατος) από ένα σύνολο υποθέσεων µε τη µέθοδο της επίλυσης, µόνο και µόνο αν η πρόταση µπορεί να συναχθεί µε τη µέθοδο των δύο δακτύλων. Θεώρηµα: Η Προτασιακή Επίλυση µε την εφαρµογή της µεθόδου των δύο δακτύλων τερµατίζει πάντοτε. Απόδειξη: Από πεπερασµένο αριθµό προτασιακών σταθερών µπορούν να κατασκευαστεί και να συναχθεί πεπερασµένος στον αριθµό προστασιακών µορφών.

112 Διαδικασία Davis Putnam function dp (Δ) {for φ in vocabulary(δ) do {var Δ :={}; for Φ1 in Δ for Φ2 in Δ such that φ Φ1, φ Φ2 do {var Φ := Φ1-{φ} Φ2-{ φ}; if not tautology(φ ) then Δ :=Δ {Φ }}; Δ :=Δ-{Φ Δ φ Φ or φ Φ } Δ }; Return (if {} Δ then unsatisfiable else unsatisfiable ) Page 112 function tautology (Φ) {φ Φ and φ Φ } ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

113 {p, q} 2. {p, q} 3. { p, q} 4. { p, q} 5. {p} 1,2 6. {q} 1,3 7. { q} 2,4 8. { p} 3,4 9. {} 6,7 10. {} 5,8 Παράδειγµα εφαρµογής DP

114 Παράδειγµα εφαρµογής DP {p, q, r} {q, r} {p, q, r} {q, r} {p, q, r} { q, r} {p, q, r} { q, r} { p, q, r} { p, q, r} {r} { p, q, r} { r} { p, q, r} {} Page 114 Προσπαθήστε δίχως την εφαρµογή της DP ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

115 2011 Βασική Ιδέα και Κίνητρο για την Davis Putnam Logemann Loveland (DPLL) H DP µπορεί να απαιτήσει εξαιρετικά µεγάλο χρόνο και χώρο για µεγάλα προβλήµατα. H DPLL µπορεί να λύσει τέτοιου είδους προβλήµατα λύνοντας µικρότερα προβλήµατα σε σειρά. Βασική ιδέα: Επέλεξε ένα ατοµικό τύπο. Θεώρησε ότι ο τύπος αυτός είναι αληθής. Απλοποίησε το σύνολο των προτασικών µορφών (δες παρακάτω) και δείξε την ικανοποιησιµότητα. Επανέλαβε για την άρνηση του ατοµικού τύπου.

116 Davis Putnam Logemann Loveland (DPLL) function dpll(δ) { var φ; If Δ ={} then return yes; If {} Δ then return no; φ := choose vocabulary (Δ); if dpll(simplify(δ,φ)) return yes else return dpll(simplify(δ, φ))} Page 116 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

117 2011 Simplification function simplify(δ,φ) {var Δ ; For Φ Δ do {if φ Φ then skip else if negation(φ) Φ then Δ :=Δ {Φ-{negation(φ)}} else Δ :=Δ {Φ}}} Παράδειγµα: Simplify ({{p,q},{ p, r},{ r, s}}, p) = {{r},{ r,s}}

118 Σχεσιακή Λογική Ή Κατηγορηµατική Λογική Page 118 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

119 2011 Προτασιακή Λογική Οι σταθερές αναφέρονται σε ατοµικές προτάσεις βρεχει χιονίζει υγρο Σύνθετες προτάσεις δηλώνουν σχέσεις µεταξύ των σταθερών (προτάσεων) βρεχει χιονίζει υγρο

120 Σχεσιακή Λογική Οι σταθερές αναφέρονται σε αντικείµενα και σε σχέσεις µεταξύ αυτών Page 120 νικος, µαιρη, γιωργος, αγαπαει, ευτυχισµενος Απλές προτάσεις εκφράζουν σχέσεις µεταξύ αντικειµένων αγαπαει(νικος, µαιρη) Σύνθετες προτάσεις δηλώνουν σχέσεις µεταξύ σχέσεων αγαπαει(χ,ψ) αγαπαει(ψ,χ) αγαπαει(χ,ψ) αγαπαει(ψ,χ) ευτυχισµενος(χ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

121 2011 Δοµή της Παρουσίασης Συντακτικό και Άτυπη Σηµασιολογία της Σχεσιακής Λογικής Τυπική Σηµασιολογία Μεθοδος Herbrand Αποδεικτική µέθοδος Εννοποίηση Σχεσιακή µέθοδος της Επίλυσης Εφαρµογές Στρατηγικές

122 Λέξεις Οι µεταβλητές ξεκινούν πάντοτε µε κεφαλαίο γράµµα Page 122 Α,Β,Υ,Χ,Ψ,Ζ Οι σταθερές ξεκινούν µε ψηφία ή µε χαρακτήρες που αντιστοιχουν σε πεζα γράµµατα α,β,γ,µαιρη, γιωργος,1,2,3... ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

123 2011 Σταθερές Σταθερές οντοτήτων αναφέρονται σε οντότητες του «σύµπαντος» Συναρτησιακές σταθερές παριστούν συναρτήσεις πατερας 1, µητερα 1, ηλικια 1, συν 2, επι 2 Σχεσιακές σταθερές παριστούν σχέσεις µεταξυ οντοτητων προσωπο 1, ευτυχισµενος 1, γονεας 2, αγαπαει 2 Δεν υπάρχει συντακτική διάκριση µεταξύ σταθερών οντοτήτων, συναρτησιακών σταθερών και σχεσιακών σταθερών. Ο τύπος κάθε τέτοιας λέξης καθορίζεται από τα συµφραζόµενα.

124 Οροι Page 124 Ενας όρος είναι είτε µεταβλητή, είτε σταθερά οντοτήτων, ή συναρτησιακός όρος. Οι όροι αναφέρονται σε στοιχεία του «σύµπαντος» Οι όροι είναι ανάλογοι µε τις ονοµατικές φράσεις στη φυσική γλώσσα. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

125 2011 Συναρτησιακοί όροι Ένας συναρτησιακός όρος είναι µια έκφραση που σχηµατίζεται από µια συναρτησιακή σταθερά βαθµού ν και ν όρους που περιέχονται σε παρενθέσεις και χωρίζονται µε κόµα. πατερας(γιωργος) πατερας(νικος) συν(χ,2) Συναρτησιακοί όροι είναι όροι, και ως τέτοιοι µπορούν να εµφωλιάζονται σε άλλους συναρτησιακούς όρους συν( ηλικια(πατερας(γιωργος)) ηλικια(µητερας(νικος)))

126 Λογικές Προτάσεις Οι λογικές προτάσεις στη σχεσιακή λογική είναι ανάλογες αυτών στην προτασιακή λογική. Page 126 αγαπαει(νικος, µαρια) (αγαπαει(νικος, µπεττυ) αγαπαει(µπεττυ,νικος)) (αγαπαει(νικος, µπεττυ) αγαπαει(µπεττυ,νικος)) αγαπαει(χ,ψ) αγαπαει(ψ,χ) αγαπαει(χ,ψ) αγαπαει(ψ,χ) Οι κανόνες σε ότι αφορά τις παρενθέσεις είναι οι ίδιοι µε την προτασιακή λογική. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

127 2011 Προτάσεις στη Σχεσιακή Λογική Μια πρόταση στη σχεσιακή λογική είναι µια έκφραση που σχηµατίζεται από σχεσιακή σταθερά βαθµού ν και ν όρους που περιέχονται σε παρενθέσεις και χωρίζοντα από κόµα. ευτυχισµενος(νικος) αγαπαει(νικος, µαρια) Οι προτάσεις δεν είναι όροι και εποµένως δεν µπορούν να εµφωλιάζονται σε άλλες προτάσεις.

128 Ποσοτικά προσδιορισµένες προτάσεις Page 128 Οι ποσοτικά προσδιορισµένες προτάσεις (αυτές που περιέχουν ποσοδείκτες και ) µπορούν να συνδυαστούν µε άλλες προτάσεις Χ. µηλο(χ) Χ. βερυκοκο(χ) Χ. Ψ. αγαπαει(χ,ψ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

129 2011 Συντακτικός Έλεγχος Σταθερές οντοτήτων: νικος, µαρια, τασος, 1,2,... Συναρτησιακές σταθερές: πατερας 1, µητερα 1, ηλικια 1, συν 2, επι 2 Σχεσιακές σταθερές: προσωπο 1, ευτυχισµένος 1, γονεας 2, αγαπαει 2, αβ 2 αβ(πατερας(νικος), µητερα(νικος)) συν(πατερας(τασος), µαρια) ευτυχισµενος(πατερας(µαρια))

130 αγαπαει(χ,ψ) αγαπαει(ψ,χ) Page 130 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

131 2011 Συντακτικό σε ενθεµατική µορφή συν(2,3) 2+3 πλην(3,2) 3-2 επι(2,3) 2Χ3 ενωση(σ,τ) σ τ τοµη(σ,τ) σ τ µελος(α,β) α β...

132 Προτεραιότητα τελεστών + - = < > Page 132 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

133 2011 Μανιτάρια Σχεσιακές σταθερές: µανιtαρι, µπλε, δηλητηριωδες Τα µπλε µανιταρια ειναι δηλητηριωδη Αν κατι ειναι µπλε µανιταρι, τοτε ειναι δηλητηριωδες Αν κατι ειναι µανιταρι και µπλε, τότε είναι δηλητηριώδες Χ. (µανιταρι(χ) µπλε(χ) δηλητηριωδες(χ)) Κανένα µπλε µανιταρι δεν ειναι δηλητηριώδες Δεν υπάρχει κάτι που να είναι µπλε και µανιταρι και δηλητηριωδες Χ. (µανιταρι(χ) µπλε(χ) δηλητηριωδες(χ))

134 Περισσότερα... Μανιτάρια Σχεσιακές σταθερές: µανιταρι, µπλε, δηλητηριωδες Page 134 Ένα µανιταρι ειναι δηλητηριωδες µόνο αν είναι µπλε Αν κατι ειναι µανιταρι, είναι δηλητηριωδες, µόνο αν ειναι µπλε Αν κατι ειναι µανιταρι, και είναι δηλητηριωδες, τότε ειναι µπλε Χ. (µανιταρι(χ) δηλητηριωδες(χ) µπλε(χ)) Ένα µανιταρι δεν ειναι δηλητηριωδες εκτός αν είναι µπλε Αν κατι ειναι µανιταρι, δεν είναι δηλητηριωδες, αν δεν ειναι µπλε Αν κατι ειναι µανιταρι, και είναι δηλητηριωδες, τότε ειναι µπλε Χ. (µανιταρι(χ) δηλητηριωδες(χ) µπλε(χ)) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

135 2011 Διαπροσωπικές Σχέσεις Σταθερές οντοτήτων : µιχαλης, µαρια Σχεσιακη σταθερά: αγαπαει Όλοι αγαπούν τη Μαρια Χ. αγαπαει(χ,µαρια) Η Μαρια αγαπάει οποιονδήποτε την αγαπάει Χ. αγαπαει(χ,µαρια) αγαπαει(µαρια,χ) Κανένας δεν αγαπάει τη Μαρία Χ. αγαπαει(χ,µαρια) ή Χ. αγαπαει(χ,µαρια) Κανένας που αγαπάει τη Μαρία δεν αγαπάει το Μιχάλη Χ. (αγαπαει(χ,µαρια) αγαπαει(χ, µιχαλης))

136 Περισσότερες... Διαπροσωπικές Σχέσεις Σταθερές οντοτήτων : µιχαλης, µαρια Page 136 Σχεσιακη σταθερά: αγαπαει Όλοι αγαπούν κάποιον Χ. Ψ. αγαπαει(χ,ψ) Υπάρχει κάποιος που όλοι τον αγαπούν Ψ. Χ. αγαπαει(χ,ψ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

137 2011 Αναπαράσταση ως όρος ζευγος(ζευγος(α,β)), ζευγος(γ,δ)) Δυαδικά Δέντρα Αξιώµατα α β γ δ περιεχει(χ,χ) περιεχει(χ,υ) περιεχει(χ,ζ) περεχει(χ, ζευγος(υ,ζ))

138 Παράδειγµα [α,β,γ,δ] Λίστες Μεταβλητού Μήκους Page 138 Αναπαράσταση ως όρος.(α,.(β,.(γ,.(δ,nil)))) Γλώσσα Σταθερά οντοτήτων nil Συναρτησιακή Σταθερά. 2 Σχεσιακή Σταθερά µελος Αξιώµατα µελος(χ,.(χ,υ)) µελος(χ,ζ) µελος(χ,.(υ,ζ)) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

139 2011 Ειδικές Περιπτώσεις Σχεσιακής Λογικής Καθορισµένη Λογική Οχι µεταβλητές, οχι συναρτήσεις, οχι ποσοδείκτες Καθολική Λογική Οχι συναρτήσεις, οχι ποσοδείκτες Οι ελεύθερες µεταβλητές θεωρούνται έµµεσα καθορισµένες µε καθολικούς ποσοδείκτες Υπαρξιακή Λογική Οχι συναρτήσεις Συναστησιακή Λογική Οχι ποσοδείκτες.

140 Περιορισµοί της Καθορισµένης Λογικής Ο καθένας τους αγαπάει όλους αγαπαει(νικος,µαρια), αγαπαει(νικος,µπεττυ), αγαπαει(γιαννης,µαρια), αγαπαει(γιαννης,µπεττυ), αγαπαει(µπεττυ,µαρια),... Το άθροισµα δυο φυσικων αριθµών είναι µεγαλύτερος από τον καθένα από τους δύο 1+1>1 1+2>1 1+2>2... Τι γίνεται αν πρόκειται για τους πραγµατικούς αριθµούς; Page 140 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

141 2011 Περιορισµοί της Καθολικής Λογικής Για κάθε αριθµό υπάρχει ένας αριθµός που είναι µεγαλύτερος από αυτόν. Καθολική Λογική Χ<Ψ ΟΧΙ (εκφράζει ότι για κάθε Χ και Ψ ισχύει η σχέση)! Χ<α ΟΧΙ (εκφράζει ότι για κάθε Χ και µια σεθερά α ισχύει η σχέση)! Υπαρξιακή Λογική Χ. Ψ. Χ<Υ Συναρτησιακή Λογική Χ < f(χ)

142 Υπαρξιακοί και Καθολικοί Ποσοδείκτες Page 142 Έστω ότι Χ.π(Χ) είναι αληθές.αυτό ισχύει, Ανν π(χ) είναι αληθές για κάποιο Χ Ανν π(χ) είναι ψευδές για κάποιο Χ Ανν π(χ) είναι δεν είναι αληθές για κάποιο Χ Ανν δεν είναι αληθές ότι το π(χ) είναι αληθές για όλα τα Χ Ανν Χ. π(χ) δεν είναι αληθές Ανν Χ. π(χ) είναι ψευδές Ανν Χ. π(χ) είναι αληθές Γενικά Χ.φ είναι ισοδύναµο µε Χ. φ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

143 2011 Ανάγκη για Ποσοδείκτες Αφού το Χ.φ(Χ) είναι ισοδύναµο µε το Χ. φ(χ) και φ(χ) στη καθολική λογική είναι ισοδύναµο µε το Χ. φ(χ), γιατί να µη µπορούµε να δηλώσουµε την ύπαρξη οντοτήτων στην καθολική λογική µέσω της άρνησης; Παράδειγµα: Πως µπορούµε να πούµε ότι κάποιος αγαπάει το Μιχάλη µισει(χ,υ) αγαπαει(χ,υ) µισει(χ, Μιχαλη) Τι θέλουµενα πούµε: Χ. µισει(χ, Μιχαλης) Τι έχουµε δηλώσει: Χ. µισει(χ, Μιχαλης) Αυτό λέει ότι κανένας δεν µισεί το Μιχάλη, δηλαδή ότι όλοι τον αγαπούν. Στην Καθολική Λογική οι ποσοδείκτες δεν δίνονται άµεσα και εποµένως σε αυτούς δεν µπορούµε να εφαρµόσουµε την άρνηση.

144 Υπαρξιακοί Ποσοδείκτες και Συναρτήσεις Οι συναρτήσεις µπορούν να αντικατασταθούν από υπαρξιακούς ποσοδείκτες Page 144 αγαπαει(χ, f(x)) Υ. αγαπαει(χ,υ) Οι υπαρξιακοί ποσοδείκτες µπορούν να αντικατασταθούν από συναρτήσεις Υ. αγαπαει(χ,υ) αγαπαει(χ, f(x)) Θεώρηµα: Μια υπαρξιακή πρόταση είναι ικανοποιήσιµη αν και µόνο αν η αντίστοιχη συναρτησιακή πρόταση είναι ικανοποιήσιµη. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

145 2011 Σηµασιολογία στη Σχεσιακή Λογική

146 Σηµασιολογία στη Προτασιακή Λογική Μια πρόταση είναι ταυτολογία αν και µόνο αν ικανοποιείται υπό οποιαδήποτε ερµηνεία. Μια πρόταση είναι ικανοποιήσιµη αν και µόνο αν υπάρχει ερµηνεία που την ικανοποιεί. Μια πρόταση είναι µη-ικανοποιήσιµη αν και µόνο αν δεν υπάρχει ερµηνεία που να την ικανοποιεί. Page 146 Από ενα σύνολο υποθέσεων Δ συνεπάγεται λογικά το συµπέρασµα φ αν και µόνο αν κάθε ερµηνεία που ικανοποιεί τις υποθέσεις ικανοποιεί και το συµπέρασµα. Μια επµηνεία στην προτασιακή λογική είναι µια απεικόνιση από προτασιακές σταθερές στις τιµές αληθείας Τ, F. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

147 2011 Σηµασιολογία στη Σχεσιακή Λογική Μια πρόταση είναι ταυτολογία αν και µόνο αν ικανοποιείται υπό οποιαδήποτε ερµηνεία. Μια πρόταση είναι ικανοποιήσιµη αν και µόνο αν υπάρχει ερµηνεία που την ικανοποιεί. Μια πρόταση είναι µη-ικανοποιήσιµη αν και µόνο αν δεν υπάρχει ερµηνεία που να την ικανοποιεί. Από ενα σύνολο υποθέσεων Δ συνεπάγεται λογικά το συµπέρασµα φ αν και µόνο αν κάθε ερµηνεία που ικανοποιεί τις υποθέσεις ικανοποιεί και το συµπέρασµα. Ερώτηση: Τι είναι ερµηνεία στη σχεσιακή λογική; Δεν υπάρχουν προτασιακές σταθερές, αλλά σταθερές οντοτήτων, σχεσιακές σταθερές και συναρτησιακές σταθερές.

148 Δοµή της Παρουσίασης Εννοιολογική µορφοποίηση του σύµπαντος Μοντελοποίηση του σύµπαντος µε βάση τα αντικείµενα και τις σχέσεις Μοντελοποίηση του σύµπαντος µε τη µορφή γραφήµατος Μοντελοποίηση του κόσµου µε τη µορφή βάσης δεδοµένων Page 148 Σηµασιολογία της Σχεσιακής Λογικής Ατοµικές προτάσεις Λογικές-Σύνθετες προτάσεις Προτάσεις µε ποσοδείκτες Γενικά σχόλια Οντολογικά θέµατα Ο ρόλος της λογικής ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

149 2011 Σύµπαν Το σύµπαν είναι το σύνολο των αντικειµένων για τα οποία θέλουµενα δηλώσουµε κάτι. Πρωταρχικά αντικείµενα Σύνθετα αντικείµενα Πραγµατικά αντικείµενα Φανταστικά αντικείµενα Φυσικά αντικειµενα Αφηρειµενα εντικείµενα quark µηχανή, αυτοκίνητο ήλιος, Μιχάλης Sherlock Holmes γή, ωκεανός δικαιοσύνη

150 Κόσµος των κύβων Page 150 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

151 2011 Σύµπαν

152 Κύβοι Άλλα Σύµπαντα Page 152 Στοίβες Κοµάτια ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

153 2011 Σχέσεις Σχέση είναι ένα σύνολο από αντικείµενα ή σύνολο ν-άδων αντικειµένων που δηλώνουν µια συγκεκριµένη ιδιότητα ή συσχέτιση. Παραδείγµατα: Καθαρό αληθεύει αν ενας κύβος δεν έχει κανένα κύβο από επάνω του Τραπέζι αληθεύει αν ένας κύβος ακουµπάει στο τραπέζι Επάνω αληθεύει για δύο κύβους όπου ένας κύβος είναι πάνω στον άλλο Απο_επάνω αληθεύει για δυο κύβους, αν ο ένας είναι κάπου πάνω από τον άλλο Απο_κάτω - αληθεύει για δυο κύβους, αν ο ένας είναι κάπου κάτω από τον άλλο Στοίβα αληθεύει για τρεις κύβους αν σχηµατίζουν µια στοίβα.

154 Εννοιολογική µορφοποίηση µε τη µορφή γραφηµάτων Page 154 α δ β ε γ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

155 2011 Εννοιολογική µορφοποίηση µε τη µορφή γραφηµάτων επάν επάν α β επάν δ ε γ

156 Εννοιολογική µορφοποίηση µε τη µορφή γραφηµάτων Page 156 καθαρό επάν επάν α β στοίβ καθαρό τραπέζι επάν δ ε τραπέζι γ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

157 2011 Εννοιολογική µορφοποίηση ως βάση δεδοµένων Μια βάση δεδοµένων είναι ένα σύνολο από καλά καθορισµένες, ατοµικές προτάσεις όπου όλα τα ορίσµατα είναι σταθερές. {καθαρο(α), καθαρό(δ), τραπέζι(ε), τραπέζι(γ), επάνω(α,β), επάνω(β,γ), επάνω(δ,γ), στοίβα(α,δ,γ)}

158 Εννοιολογική µορφοποίηση ως βάση δεδοµένων Μια βάση δεδοµένων µπορεί να παρασταθεί και ως γράφηµα, όπου κάθε πρόταση αντιστοιχεί και σε µια ακµή του γραφήµατος. Page 158 καθαρό επάνω επάνω α β στοίβα καθαρό τραπέζι επάνω δ ε τραπέζι γ {καθαρο(α), καθαρο(δ), τραπεζι(ε), τραπεζι(γ), επανω(α,β), επανω(β,γ), επανω(δ,γ), στοιβα(α,δ,γ)} Δοµή της Παρουσίασης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

159 2011 Εννοιολογική µορφοποίηση του σύµπαντος Μοντελοποίηση του σύµπαντος µε βάση τα αντικείµενα και τις σχέσεις Μοντελοποίηση του σύµπαντος µε τη µορφή γραφήµατος Μοντελοποίηση του κόσµου µε τη µορφή βάσης δεδοµένων Σηµασιολογία της Σχεσιακής Λογικής Ατοµικές προτάσεις Λογικές προτάσεις Προτάσεις µε ποσοδείκτες Γενικά σχόλια Οντολογικά θέµατα Ο ρόλος της λογικής

160 Γραφήµατα/βάσεις δεδοµένων ως Ερµηνείες Page 160 Ορίζουµε µια ερµηνεία ως ένα γράφηµα µε εττικέτες, ή ως µια βάση δεδοµένων που αντιστοιχεί στο γράφηµα αυτό. Για πολλούς είναι ευκολότερο να θεωρούν την ερµηνεία ως γράφηµα. Η σηµασιολογία είναι απλούστερη όταν ορίζεται ως µια βάση δεδοµένων Πάντως και οι δύο θεωρήσεις είναι ισοδύναµες. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

161 2011 Στιγµιότυπα Στιγµιότυπο µιας πρότασης που δεν περιέχει συναρτήσεις, σε σχέση µε µια ερµηνεία, είναι µια πρόταση που προκύπτει από τη συνεπή αντικατάσταση κάθε ελεύθερης µεταβλητής µε την εττικέτα ενός κόµβου του γραφήµατος. π(α,β) τ(α,β,γ) π(α,α) τ(α,β,γ) Σηµειώστε ότι δεν αντικαθιστούµε µεταβλητές που είναι προσδιορισµένες. Α. Β. Π(Χ,Α,Β) Α. Β. Π(α,Α,Β)

162 Ατοµικές Προτάσεις Μια καθορισµένη ατοµική πρόταση είναι αληθής υπό µια ερµηνεία αν και µόνο αν η πρόταση αυτή είναι µέλος της βάσης δεδοµένων. Page 162 Ερµηνεία/βάση δεδοµένων {καθαρο(α), καθαρο(δ), τραπεζι(ε), τραπεζι(γ), επανω(α,β), επανω(β,γ), επανω(δ,γ), στοιβα(α,δ,γ)} Αληθές Καθαρο(α) Καθαρό(δ) Ψευδες καθαρό(β) καθαρό(γ) καθαρό(ε) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

163 2011 Λογικές προτάσεις Μια άρνηση είναι αληθής αν και µόνο αν ο στόχος της άρνησης είναι ψευδής Μια σύζευξη είναι αληθής αν και µόνο αν κάθε όρος της σύζευξης είναι αληθής Μια διάζευξη είναι αληθής αν και µόνο αν κάποιος όρος της διάζευξης είναι αληθής. Μια συνεπαγωγή είναι αληθής αν και µόνο αν η υπόθεση είναι ψευδής ή το συµπέρασµα είναι αληθές. Μια ισοδυναµία είναι αληθής αν και µόνο αν και οι δύο όροι της ισοδυναµίας έχουν την ίδια τιµή αληθείας.

164 Προτάσεις µε ποσοδείκτες Μια καθολικά προσδιορισµένη πρόταση είναι αληθής αν και µόνο αν κάθε στιγµιότυπό της είναι αληθές. Μια υπαρξιακά προσδιορισµένη πρόταση είναι αληθής αν και µόνο αν υπάρχει ένα στιγµιότυπο της που είναι αληθές. Page 164 Ερµηνεία/βάση δεδοµένων {καθαρο(α), καθαρο(δ), τραπεζι(ε), τραπεζι(γ), επανω(α,β), επανω(β,γ), επανω(δ,γ), στοιβα(α,δ,γ)} Αληθές Χ. (επάνω(χ,υ) επάνω(υ,χ)) Χ. καθαρό(χ) Ψευδές Χ επάνω(χ,υ) Χ. τραπέζι(χ) καθαρό(χ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

165 2011 Ανοικτές Προτάσεις Οι παραπάνω ορισµοί εφαρµόζονται σε κλειστές προτάσεις (δηλαδή σε προτάσεις δίχως ελεύθερες µεταβλητές) Μια ερµηνεία αποτελεί µοντέλο µιας ανοικτής πρότασης αν και µόνο αν κάθε στιγµιότυπο της πρότασης αυτής ικανοποιείται σε σχέση µε αυτή την ερµηνεία. Αληθές (επάνω(χ,υ) επάνω(υ,χ)) Ψευδές επάνω(χ,υ) Το παραπάνω απλώς δηλώνει ότι οι ελεύθερες µεταβλητές είναι προσδιορισµένες καθολικά

166 Προσέξτε τα παρακάτω: 1. x.p(x) p(x) H πρόταση αυτή είναι Ταυτολογία. Είναι στιγµιότυπο του αξιώµατος UI Page p(x) x.p(x) H πρόταση αυτή είναι Ικανοποιήσιµη. Αυτό ίσως να σας ξαφνιάσει. Θυµηθείτε ότι για να είναι µια πρόταση ταυτολογία θα πρέπει να είναι αληθής υπό οποιαδήποτε ερµηνεία (όλες οι ερµηνείες είναι µοντέλα): Έστω το σύµπαν {0, 1} και µια ερµηνεία για το p τέτοια ώστε µόνο το p(0) να είναι αληθές. Τότε για x = 0 η συνθήκη είναι αληθής αλλά το συµπέρασµα της συνεπαγωγής ψευδές. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

167 2011 Συναρτήσεις Μια συνάρτηση βαθµού ν θεωρείται ως µια (συνολοθεωρητική) σχέση που συσχετίζει κάθε συνδιασµό (ν- 1)-αντικειµένων στο σύµπαν (καλούνται ορίσµατα) µε ένα αντικειµένο (καλείται η τιµή της συνάρτησης) Αριθµητικά παραδείγµατα: Μοναδιαίες: sqrt, log Διµελείς: +,-,*,/ Άλλα Παραδείγµατα Μοναδιαίες: πατέρας, µητέρα

168 Συναρτήσεις Οι συναρτήσεις µπορεί να είναι ολικές και µονότιµες µία και µόνο µια τιµή για κάθε συνδυασµό ορισµάτων Page 168 Επιµέρους δεν ορίζονται για κάποιους συνδυασµούς ορισµάτων Πλειότιµες περισσότερες της µιας τιµής για κάθε συνδυασµό ορισµάτων Μιλάµε µόνο για ολικές και µονότιµες. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

169 2011 Συναρτήσεις και Βάσεις Δεδοµένων Μια συνάρτηση παρίσταται ως µια οποιαδήποτε άλλη σχέση. {αφεντικό( γιωργος, γιωργος), αφεντικο(νίκος, γιώργος)} Όµως για να φαίνεται ότι µιλάµε για συναρτήσεις, τις γράφουµε µε τη µορφή ισότητας. {αφεντικό( γιωργος)= γιωργος, αφεντικο(νίκος)= γιώργος }

170 Στιγµιότυπα (τελική έκδοση) Page 170 Το στιγµιότυπο µιας πρότασης υπό µια ερµηνεία είναι µια πρόταση που προκύπτει αν (α) αντικαταστήσουµε κάθε ελεύθερη µεταβλητή µε την εττικέτα ενός κόµβου από το γράφηµα (την ερµηνεία) µε συνέπεια (β) αντικαταστήσουµε κάθε καθορισµένο συναρτησιακό όρο µε την τιµή του υπό την ερµηνεία αυτή. Ερµηνεία {αφεντικό( γιωργος)= γιωργος, αφεντικο(νίκος)= γιώργος } Παράδειγµα π(χ,αφεντικό(χ)) π(νικος, αφεντικό(νικος)) π(νικος, γιωργος) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

171 2011 Σηµείωση Ο ορισµός µιας ερµηνείας που δίνεται εδώ δεν είναι ίδιος µε αυτόν που δίνεται σε βιβλία λογικής. Όµως είναι ισοδύναµος σε σχέση µε τα αποτελέσµατα που παράγει. Επίσης, είναι σηµαντικά απλούστερος από αυτούς τους ορισµούς και περισσότερο διαισθητικός για ανθρώπους που ενδιαφέρονται να δηµιουργήσουν υπολογιστικά συστήµατα.

172 Δοµή της Παρουσίασης Εννοιολογική µορφοποίηση του σύµπαντος Μοντελοποίηση του σύµπαντος µε βάση τα αντικείµενα και τις σχέσεις Μοντελοποίηση του σύµπαντος µε τη µορφή γραφήµατος Μοντελοποίηση του κόσµου µε τη µορφή βάσης δεδοµένων Page 172 Σηµασιολογία της Σχεσιακής Λογικής Ατοµικές προτάσεις Λογικές προτάσεις Προτάσεις µε ποσοδείκτες Γενικά σχόλια Οντολογικά θέµατα Ο ρόλος της λογικής ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ