ΚΥΚΛΟΣ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Άσκηση 1. Λύση

Transcript

1 ΚΥΚΛΟΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Άσκηση 1 Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου x +y =4 που είναι παράλληλες στην ευθεία x+y=0. Λύση Έστω ε x+y=0 (1) Υποθέτουμε ότι: Ρ(x1,y1) το σημείο επαφής της ζητούμενης εφαπτομένης (η) με τον κύκλο C. Τότε: η xx1+yy1=4 () Όμως: ε//η=> λε=λη=> x1=y1 (3) Αλλά: PC άρα: x1 +y1 =4 (3) => x1 +x1 =4=> x1 =4=> x1 ==> x1=± Αν x1= => y1= οπότε: η x +y =4=>x+y= Αν x1= => y1= οπότε: η -x -y =4=>x+y= Ευσταθίου Πέτρος

2 ος τρόπος Έστω η: y=λx+β η εξίσωση της ζητούμενης ευθείας. Επειδή ε//η=> λε=λη=>-1=λη Άρα: η:y=-x+β Βρίσκουμε τα κοινά σημεία της (η) και του κύκλου, λύνοντας το σύστημα: Το τριώνυμο πρέπει να έχει διπλή ρίζα ως προς x, δηλαδή πρέπει η διακρίνουσα του τριωνύμου θα είναι ίση με το 0, άρα: Δ=(-β) -4*(β -4)=0=> 4β -8β +3=0=> β =8=> β=± Επομένως: η y=-x± 3 ος τρόπος Όπως είπαμε στο ο τρόπο λύσης η ευθεία (η) θα έχει την μορφή: η: y=-x+β ή η: -x+y+β=0 πρέπει όμως d(κ,η)=r, όπου Κ(0,0) το κέντρο του κύκλου C και R= η ακτίνα του C. Έτσι: d(κ,η)=r=> ==> β = => β=±. Επομένως η εξίσωση της ευθείας (η) είναι: η y=-x± Ευσταθίου Πέτρος

3 ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου χ +ψ =9 που γράφονται απο το σημείο (0,6) ΛΥΣΗ Για χ=0 και ψ=6 η εξίσωση του κύκλου δίνει: 0 +6 =9=>36=9 άτοπο,άρα Τ(0,6) C Επειδή επιπλέον 0 +6 >9 το σημείο Τ είναι εξωτερικό σημείο του κυκλικού δίσκου Αν λοιπόν ΤΡ με Ρ(χ 1,ψ 1 ) είναι μια από τις ζητούμενες εφαπτομένες του κύκλου (Ρ σημείο επαφής),τότε: ΤΡ χχ 1 +ψψ 1 =9 Επειδή Τ ΤΡ θα είναι: 0*χ 1 +6*ψ 1 =9=>6ψ 1 =9=>ψ 1 =9/6=>ψ 1 =3/ () Όμως Ρ(χ 1,ψ 1 ) C,άρα: χ 1 +ψ 1 =9=> χ 1 + =9 => x 1 =9 => χ 1 = =>χ 1 =± και άρα: Ευσταθίου Πέτρος

4 3 3 Αν χ 1 = 3 χ+ψ=6 Αν χ 1 = χ+ψ= και ψ 1 = τότε:τρ x + y ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ και ψ 1 = τότε:τρ x + y =9 => =9 => ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνονται τα σημεία Α(1,),Β(,4) και Γ(3,1) α)να αποδειχθεί ότι :γωνία ΒΑΓ = 90 0 β)να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία Α,Β και Γ ΛΥΣΗ α)είναι και λ ΑΒ 1 31 Επειδή λαβλαγ=-1 έχω ΑΒ ΑΓ. β)το κέντρο του κύκλου προφανώς είναι το μέσο του ΒΓ Αρα:Μ(, ) 5 5 δηλαδή Μ(, ) Ευσταθίου Πέτρος

5 Η ακτίνα του κύκλου είναι: R= = = Η εξίσωση του κύκλου είναι: = ΑΣΚΗΣΗ 4 Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του στην ευθεία (ε):χ+ψ+1=0 και διέρχεται από τα σημεία Α(-1,) και Β(3,-1) ΛΥΣΗ Το κέντρο του κύκλου θα βρίσκεται και στην μεσοκάθετη του ΑΒ Όμως = = Ευσταθίου Πέτρος

6 Το μέσο,έστω Μ του ΑΒ είναι: Μ, δηλμ(1, ) Άρα η εξίσωση της μεσοκάθετης (η)(με = ),είναι: η ψ = (χ-1)=>6ψ-3=8(χ-1)=>8χ-6ψ-5=0 Το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο τομής των ευθείων (ε) και (η) Και επομένως οι συντεταγμένες του κέντρου βρίσκονται από την λύση του συστήματος των εξισώσεων: Άρα Κ( ) Η ακτίνα του κύκλου είναι: R= = = Επομένως η εξίσωση του κύκλου είναι: = Ευσταθίου Πέτρος

7 ΑΣΚΗΣΗ 5 Να βρεθεί η αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι ομόκεντροι οι κύκλοι C 1 :x +y +Α 1 χ+β 1 y+γ 1 =0 και C :x +y +Α χ+β y+γ =0 ΛΥΣΗ Η εξίσωση C 1 :x +y +Α 1 χ+β 1 y+γ 1 =0 παριστάνει κύκλο αν Α 1 +Β 1-4Γ 1 >0 (1) Το κέντρο του κύκλου αυτού είναι:κ 1 ( ) Η εξίσωση C :x +y +Α χ+β y+γ =0 παριστάνει κύκλο αν Α +Β -4Γ >0 () Το κέντρο του κύκλου αυτού είναι:κ ( ) Για να είναι οι κύκλοι ομόκεντροι πρέπει τα σημεία Κ 1,Κ να ταυτίζονται,που σημαίνει ότι: =>Α 1 =Α =>Β 1 =Β Η σχέση (1) γράφεται: Α 1 +Β 1 >4Γ 1 Η σχέση () γράφεται: Α 1 +Β 1 >4Γ Επομένως :(Α 1 +Β 1 )>4(Γ +Γ )=> Α 1 +Β 1 >(Γ 1 +Γ ) Ευσταθίου Πέτρος

8 ΑΣΚΗΣΗ 6 Θεωρούμε τον κύκλο C:χ +ψ +4ψ=0 και το σημείο Α(-1,-1) Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας που ορίζει στον κύκλο χορδή,με μέσο το σημείο Α. ΛΥΣΗ Η εξίσωση C:χ +ψ +4ψ=0 γράφεται: C:χ +(ψ+) =4 Η οποία παριστάνει κύκλο κέντρου Κ(0,-) και ακτίνας R= Επειδή (-1) +[(-1)+] =1+1=<4, το σημείο Α είναι εσωτερικό του κύκλου C Η ζητούμενη ευθεία(ε) είναι κάθετη στην ΚΑ και διέρχεται από το σημείο Α Είναι: και επειδή ΚΑ ε θα είναι: * =-1=>-1* =-1=> Επομένως η εξίσωση της ευθείας (ε) θα είναι: ε ψ+1=1(χ+1)=>ψ=χ Ευσταθίου Πέτρος

9 Άσκηση 7 Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις. α)έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β)έχει κέντρο το σημείο (3,-1) και ακτίνα 5 γ)έχει κέντρο το σημείο (-,1) και διέρχεται από το σημείο (-,3) δ)έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με Α(1,3) και Β(-3,5) ε)διέρχεται από τα σημεία (,1),(1,), και (-,-1) ΛΥΣΗ α)η αρχή των αξόνων είναι το σημείο: Ο(0,0) Άρα:C x +y =8 β)η εξίσωση του κύκλου είναι: C (x-3) +(y+1) =5 γ)αν Α(-,1) είναι το κέντρο του κύκλου και Κ(-,3) είναι το σημείο απ όπου περνά τότε:r= = = Άρα η εξίσωση του κύκλου είναι: C (x+) +(y-1) =4 δ)αν Α(1,3) και Β(-3,5),τότε το μέσο Μ είναι το Μ(-1,4) Η απόσταση ΑΒ είναι: ΑΒ= = = άρα R= AB= Άρα η εξίσωση του κύκλου είναι: C (x+1) +(y-4) = Ευσταθίου Πέτρος

10 ε)το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο της τομής των μεσοκαθέτων των ΑΒ,ΑΓ,ΒΓ. Εύρεση της μεσοκαθέτου της ΑΒ Είναι:λ ΑΒ = =-1 και το Τ( ) είναι το μέσο του ΑΒ Αν (η) είναι η εξίσωση της μεσοκάθετης του ΑΒ (με λ η =1),τότε: η y- =1 => x-y=0 (1) Εύρεση της μεσοκαθέτου της ΒΓ Το μέσο της ΒΓ είναι το Ρ Είναι:λ ΒΓ = =1 Αν (ε) είναι η εξίσωση της μεσοκάθετης του ΒΓ (με λ ε =-1),τότε η y- =-1 => x+y=0 Εύρεση των συντεταγμένων του κέντρου του κύκλου Λύνουμε το σύστημα: Άρα το κέντρο του κύκλου είναι το Ο Η ακτίνα του κύκλου είναι: R= = = Επομένως η εξίσωση του κύκλου είναι:c x +y =5 Άσκηση 8 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σημείο (1,0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x+y+6=0 και 3x+y-1= Ευσταθίου Πέτρος

11 ΛΥΣΗ Έστω ότι:ε 3x+y+6=0 η 3x+y-1=0 Παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες του Α δεν ικανοποιούν τις εξισώσεις των (ε) και (η),αφού: 3* και 3* Ακόμα:λ ε =-3 και λ η =-3,άρα:(ε)//(η) Έστω C (x-x 0 ) +(y-y 0 ) =R Η εξίσωση του ζητούμενου κύκλου. Επειδή το Α C,θα έχουμε: (1-x 0 ) +(0-y 0 ) =R =>(1-x 0 ) +y 0 =R (1) To σημείο Κ(x 0,y 0 ) ανήκει στη μεσοπαράλληλη των (ε) και (η) Αν (ζ) είναι η μεσοπαράλληλη των (ε) και (η) τότε:ζ 3x+y+k=0 Έστω Λ(0,-6) σημείο της (ε) και Ρ(0,1) σημείο της (η) Τότε το μέσο Ν(0,3) είναι σήμειο της ευθείας (ζ), οπότε:3*0+3+κ=0,άρα κ=-3 Έτσι:ζ 3x+y-3=0 Επειδή όμως Κ (ζ) θα έχουμε:3x 0 +y 0 =3 => y 0 =3(1-x 0 ) () Τότε η (1) λόγω της () γράφεται:(1-x 0 ) +[3(1-x 0 )] =R => => 10(1-x 0 ) =R (3) Eίναι:R= d(ε,η)= d(λ,η)= * = = = (4) Οι σχέσεις (3) και (4) δίνουν: Ευσταθίου Πέτρος

12 10(1-x 0 ) = => (1-x 0 ) = => 1-x 0 = => x 0 = => Αν X 0 = τότε:y o =3 =3 =- οπότε η εξίσωση του κύκλου είναι:c + = Aν x 0= τότε:y 0 =3 =3 = οπότε η εξίσωση του κύκλου είναι:c = Άσκηση 9 Δίνεται η ευθεία y=λx και ο κύκλος x +y -4x+1=0.Να βρεθεί η τιμή του λ ώστε η ευθεία: α)να τέμνει τον κύκλο β)να εφάπτεται του κύκλου γ)να μην έχει κοινά σημεία με τον κύκλο ΛΥΣΗ Έστω ε y=λx και C x +y -4x+1=0 Βρίσκουμε το πλήθος των κοινών σημείων της (ε) και του (C),λύνοντας το σύστημα y=λx (1) χ +y -4x+1=0 () Η () λόγω της (1) γράφεται (1+λ )χ -4χ+1=0 (3) Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης (3) είναι: Ευσταθίου Πέτρος

13 Δ=(-4) -4(1+λ )=16-4(1+λ )=16-4-λ =1-λ =4(3- ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ λ ) α)έστω Δ > 0 τότε: 4(3-λ ) > 0 => 3-λ < 0 => - < λ < Η (ε) τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α και Β.Οι τετμημένες των Α και Β είναι οι λύσεις του συστήματος των εξισώσεων (1) και () β) Έστω Δ=0 τότε: 4(3-λ )=0 => 3-λ =0 => λ= Η (ε) τότε εφάπτεται του κύκλου στα σημεία Α και Β.Οι εξισώσεις των εφαπτομένων στην περίπτωση αυτή είναι: ε 1 y= x ε y=- x γ) Ευσταθίου Πέτρος

14 Έστω Δ < 0 τότε: 4(3-λ ) < 0 => 3-λ > 0 => λ (-,- ) ( ) Η (ε) και ο κύκλος (C) δεν έχουν κοινά σημεία. Άσκηση 10 Δίνεται ο κύκλος x +y -x-1=0 και η ευθεία y=x-3.να αποδείξετε ότι η ευθεία εφάπτεται του κύκλου και στη συνέχεια να βρείτε το σημείο επαφής ΛΥΣΗ Αρκεί να αποδείξουμε ότι:d(κ,ε)=r,όπου Κ είναι το κέντρο του κύκλου Η εξίσωση x +y -x-1=0 γράφεται:(x-1) +y = Και επομένως παριστάνει κύκλο κέντρου Κ(1,0) και ακτίνας R= Επομένως η (ε) εφάπτεται του κύκλου Αν Ρ(x 1,y 1 ) είναι το σημείο επαφής,τότε: ΚΡ ε => λ ΚΛ *λ ε =-1 => λ ΚΡ *1=-1 => λ ΚΡ =-1 (1) Όμως:λ ΚΡ = = (x 1-1 0) () Εκ των σχέσεων(1)και()συμπεραίνουμε: =-1=> y 1 =-x 1 +1(3) Επειδή όμως Ρ C θα είναι: χ 1 +y 1 -x 1-1=0 = (3) => x 1 +(1-x 1 )-x 1-1=0 => x 1-4x 1 =0 => Ευσταθίου Πέτρος

15 x 1 (x 1 -)=0 => Aν x 1 =0 και y 1 =1 τότε:ρ(0,1) απορρίπτεται διότι Ρ (ε) Αν x 1 = και y 1 =-1 τότε:ρ(,-1) δεκτή διότι Ρ (ε) ος τρόπος Για να είναι η ευθεία (ε) εφαπτόμενη του κύκλου θα πρέπει ευθεία και κύκλος να έχουν ένα μόνο κοινό σημείο ή το σύστημα των εξισώσεων:,να έχει ακριβώς μια λύση. Η σχέση () λόγω της (1) γράφεται: χ +(x-3) -x-1=0 => x +x -6x+9-x-1=0 => x -8x+8=0 => x -4x+4=0 => (x-) =0 => x-=0 => x=(διπλή) Για x=- η σχέση (1) δίνει:y=-1 Επομένως το σημείο επαφής είναι το Ρ(-,-1) 3 ος τρόπος Αν η ευθεία (ε) δεν εφάπτεται του κύκλου C,τότε θα υπάρχει κάποια άλλη ευθεία παράλληλη της (ε) που θα εφάπτεται του κύκλου στο σημείο Ρ Αν (η) είναι η ευθεία αυτή,τότε: η xx 1 +yy 1 -(x+x 1 )=0 => (x 1-1)x+yy 1 -(1+x 1 )=0 Πρέπει:ε//η => λ η =λ ε => - =1 => y 1 =1-x 1 Επεδή όμως Ρ C θα είναι: x 1 +y 1 -x 1-1=0 => x 1 +(1-x 1 )-x 1-1=0 => x 1-4x 1 =0 => x 1 (x 1 -)=0 => Aν x 1 =0 και y 1 =1 τότε:η -x+y-1=0 Αν x 1 = και y 1 =-1 τότε:η x-y-3=0 δηλαδή (ε) (η) Το σημείο επαφής είναι το Ρ(,-1) Ευσταθίου Πέτρος

16 Άσκηση 11 Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στην ευθεία y=x και είναι ομόκεντρος του κύκλου x +y -x+4y+1=0 ΛΥΣΗ Επειδή ισχύει:(-) +4-4*1=16 > 0 η εξίσωση C:x +y -x+4y+1=0 παριστάνει κύκλο κέντρου Κ(1,-) και η ακτίνα:ρ= = *4= Αν C λοιπόν είναι ο ζητούμενος κύκλος,τότε το κέντρο του θα είναι Κ(1,-) και η ακτίνα του,έστω R θα είναι: R=d(Κ,ε)= = = Ο ζητούμενος κύκλος έχει εξίσωση: C (x-1) +(y+) = Ευσταθίου Πέτρος

17 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1.Η εξίσωση (χ-χ 0 ) +(y-y 0 ) =k,k είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου Σ Λ.Το κέντρο του κύκλου (χ-1) + (y+) =9, βρίσκεται πάνω στην ευθεία χ+y=-1. Σ Λ 3.Ο κύκλος που έχει κέντρο Κ(0,3) και διέρχεται από το Α(-4,0) έχει ακτίνα ρ=5 Σ Λ 4.Ο κύκλος (χ+1) +(y-4) =5 τέμνει τον άξονα χ χ στα σημεία (-4,0) και (,0) Σ Λ 5.Αν Κ και Κ είναι τα κέντρα των κύκλων (χ-1) +(y-1) =4 και (χ+1) +(y-1) =5 αντίστοιχα, Ο η αρχή των αξόνων, τότε OK OK ' 0 Σ Λ 6.Ο κύκλος με εξίσωση (χ+) +(y+) =4 εφάπτεται με τους άξονες χ χ και y y Σ Λ 7.Ο κύκλος (χ-α) +(y-β) =β εφάπτεται με τον χ χ Σ Λ 8.Οι κύκλοι (χ+1) +(y-) =5 και (χ+1) +(y-) =36 δεν έχουν κοινά σημεία Σ Λ 9.Οι κύκλοι χ +y =1 και (χ-3) +y =4 εφάπτονται εξωτερικά Σ Λ 10.Οι κύκλοι χ +y =4 και χ +(y-1) =1 εφάπτονται εσωτερικά Σ Λ Ευσταθίου Πέτρος

18 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου ο οποίος έχει κέντρο το σημείο Κ(6,4) και διέρχεται από το σημείο Α(,1).Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα των κύκλων με εξισώσεις: (x-3) +(y-1) =5 (x+) +y =4 x +(y-3) =5 x +y =9 3.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου ο οποίος έχει διάμετρο το τμήμα ΑΒ με Α(7,5) και Β(1,-3). 4.να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος έχει κέντρο το σημείο Κ(5,-3) και επιπλέον: i)έχει ακτίνα ίση με ii)διέρχεται από το σημείο Α(,1) iii)εφάπτεται της ευθείας ε: y=-3x+ 5.Να βρεθεί ο κύκλος ο οποίος έχει κέντρο το σημείο Κ(5,-4) και εφάπτεται της ευθείας ε:y=3x+1. 6.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος διέρχεται από τα σημεία Α(3,1) και Β(-1,3) και το κέντρο του ανήκει στην ευθεία ε:3χ-y-=0. 7.Να βρείτε τι παριστάνουν οι εξισώσεις: i)x +y -3x+5y+10=0 ii)x +y +5x-y+=0 iii)x +y -x+6y+10= Ευσταθίου Πέτρος

19 8.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (8χ-5) +(8y+1) =19 παριστάνει κύκλο του οποίου να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα. 9.Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση χ +y +3λχ-4λy+5=0 παριστάνει κύκλο και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου αυτού.ποιός είναι ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων αυτών; 10.Δίνεται ο κύκλος χ +y =9 και το σημείο Α(1,).Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής του κύκλου η οποία έχει μέσο το σημείο Α. 11.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου,ο οποίος έχει κέντρο το σημείο Κ(1,3) και ορίζει πάνω στην ευθεία ε:3χ-4y+14=0 χορδή μήκους 6. 1.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου C,οποίος έχει ακτίνα ίση με 15 και εφάπτεται εξωτερικά του κύκλου C : χ +y =5 στο σημείο του Α(-3,4). 13.Να αποδείξετε ότι τα μέσα των χορδών του κύκλου C:(χ-5) +(y+3) =0 οι οποίες έχουν ως ένα άκρο τους το σημείο Α(3,1) του C, ανήκουν σε άλλο κύκλο του οποίου να βρείτε την εξίσωση Ευσταθίου Πέτρος

20 14.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3χ +3y -4x+6y-1=0 παριστάνει κύκλο.στη συνέχεια να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. 15.Θεωρούμε τον κύκλο C: x +y -10x+16=0 και την ευθεία ε:y=κχ.να βρεθούν οι τιμές του κ για τις οποίες η ευθεία ε και ο κύκλος C: i)τέμνονται σε δύο σημεία ιι)εφάπτονται iii)δεν έχουν κοινά σημεία 16.Να βρεθεί η συνθήκη μεταξύ των Α,Β,Γ ώστε ο κύκλος C: x +y +Ax+By+Γ=0 να διέρχεται από την αρχή των αξόνων και να εφάπτεται τσην ευθεία Αχ+Βy=0 17.Δίνεται ο κύκλος C:x +y -10x-6y+9=0.Να δειχτεί ότι το σημείο Α(,-1) ανήκει στον κύκλο C και να βρεθούν οι συντεταγμένες του αντιδιαμετρικού του σημείου Α. 18. να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου ο οποίος έχει κέντρο το σημείο Α(-,3) και εφάπτεται του άξονα: i)x x ii)y y 19.Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων: C: x +y -xημθ+yσυνθ-10=0 ανήκουν σε κύκλο, του οποίου να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα. 0.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που εφάπτεται στις ευθείες στις ευθείες ε 1 :χ+3ψ-4=0 και ε :χ+6ψ+14=0 στο σημειο Α(,-3) που ανήκει σε μία απ αυτές. 1.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο την διάκεντρο των δύο κύκλων χ +ψ +χ-6ψ+1=0 και χ +ψ +6χ-6ψ-7= Ευσταθίου Πέτρος

21 .Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει το κέντρο του στον άξονα χ χ και διέρχεται από τα σημεία Α(,3) και Β(4,5) 3.Να βρεθεί το κ ώστε η εξίσωση κ(χ +3ψ )+(ψ-3χ+1)(ψ+3χ+)=0 να παριστάνει κύκλο και έπειτα να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου. 4.Δίνεται ο κύκλος (χ+3) +(ψ-3) =40 και το σημείο Α(3,). Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής που έχει μέσον το σημείο Α. 5.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το Κ(α,1) και εφάπτεται στις ευθείες ε 1 :5χ+1ψ-35=0 και ε :5χ+1ψ-9=0. 6.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο με πλευρές ε 1 :χ+ψ+4=0,ε :χ-ψ+1=0 και ε 3 :χ-ψ+8=0. 7Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος διέρχεται από το σημείο Α(-3,0) και εφάπτεται της ευθείας ε: x+y=7 στο σημείο B(3,). 8.Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων από το σημείο Α(1,6) στον κύκλο (χ+1) +ψ =0. 9.Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου (χ+3) +(ψ-) =40 που είναι παράλληλες προς την ευθεία ε:3χ+ψ-8=0. 30.Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου χ +ψ -6χ+ψ+5=0 που είναι κάθετες στην ευθεία ε:χ+ψ+7= Ευσταθίου Πέτρος

22 31.Να βρεθεί το κ ώστε το μήκος της εφαπτομένης που φέρεται από το σημείο Α(4,3) στον κύκλο χ +ψ +κψ=0 να είναι 8. 3.Να αποδείξετε ότι ι)ο κύκλος χ +ψ =3 και η ευθεία χ-ψ-5=0 δεν έχουν κοινά σημεία. ιι) η εξίσωση χ +ψ -3+λ(χ-ψ-5)=0 παριστάνει κύκλο. Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων αυτών; Π.33.Δίνεται η εξίσωση x y 1 x 1 y 1 0 α)να δειχτεί ότι η εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε. β)να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των παραπάνω κύκλων Π.34.Δίνεται η εξίσωση x y 4x 6y 9 0. α)να δείξετε ότι παριστάνει κύκλο και να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του. β)να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του παραπάνω κύκλου ώστε να είναι παράλληλη στην δ:χ+y-3=0. Π.35.Δίνεται ο κύκλος x 4x y 8y α)να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου β)να βρεθούν οι εφαπτόμενες του κύκλου που διέρχονται από την αρχή των αξόνων. Π.36.Δίνεται η εξίσωση x y x y 1 0. α)να δείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. β)να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του παραπάνω κύκλου που άγονται από το σημείο Μ(1,3) γ)να υπολογίσετε τη γωνία των εφαπτομένων αυτών Ευσταθίου Πέτρος

23 Π.37.Δίνεται η εξίσωση x y 1 x (1 ) y 0, α)να εξετάσετε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση παριστάνει κύκλο. β)να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των παραπάνω κύκλων γ)για ποια τιμή του λ η οικογένεια των παραπάνω κύκλων διέρχεται από το Ο(0,0). Π.38.Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση χ=λy και ο κύκλος με εξίσωση x y y 0. α)να αποδείξετε ότι η ευθεία και ο κύκλος τέμνονται με ένα σημείο τομής το Ο(0,0) β)αν Α το δεύτερο κοινό τους σημείο, να βρεθούν οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ΟΑ συναρτήσει του λ. γ)να αποδείξετε ότι καθώς το λ μεταβάλλεται το Μ κινείται επίσης σε κύκλο με εξίσωση 1 1 x y. 4 Π.39.Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, ο οποίος διέρχεται από το Α(-1,0) και Β(3,4) και τέμνει από την ευθεία ε1:χ+y+1=0 χορδή μήκους 8. Π.40.Δίνεται η εξίσωση C:x +y -κy-3λ=0 με λ>0. Α)Δείξτε ότι η εξίσωση C παριστάνει κύκλο. Β)Αν κ=1 και λ=1 δείξτε ότι ο κύκλος που προκύπτει εφάπτεται στην ευθεία 3x+4y+6=0 Γ)Αν κ=0 και λ=1 να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου στα σημεία του που έχουν τετμημένη χ 1 = Ευσταθίου Πέτρος

24 Π.41.α)Να δειχτεί ότι η εξίσωση C:x +y -6x+4y+1=0 είναι κύκλος και να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του. β)να δειχτεί ότι οι ευθείες ε 1 :y=x-4 και ε :3x+y-7=0 τέμνονται σε σημείο του προηγούμενου κύκλου. γ)να βρεθούν οι εφαπτομένες στον κύκλο C που είναι παράλληλες στην ευθεία ε 1. Π.4. Δίνεται η εξίσωση x 1 y 1 ( x 1) 0 (1) Α.Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες η (1) παριστάνει κύκλο και στη συνέχεια να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου. Β. Για τις παραπάνω τιμές του λ να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του κέντρου του κύκλου. Γ. Να βρεθούν οι τιμές του ώστε ο κύκλος (1) να εφάπτεται στην ευθεία ε:4x+3y-=0. Π.43.Α.Να βρείτε την εφαπτομένη ευθεία ε του κύκλου C:x +y = στο σημείο Α(-1,1) Β.Δίνεται η εξίσωση x +y -+λ(x-y+)=0 (1), α)να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η (1) να παριστάνει κύκλο. β)για λ= να βρείτε τι παριστάνει η (1) γ)να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την (1) διέρχονται από σταθερό σημείο. δ)να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την (1) εφάπτονται της ευθείας ε (του ερωτήματος Α) Π.44.Δίνεται μια γραμμή : x x y y 0 όπου κ,λ θετικοί αριθμοί. Α)Να αποδείξετε ότι η γραμμή είναι εξίσωση κύκλου και βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. Β)Δείξτε ότι η ευθεία με εξίσωση ε:κx+κλ=λy δεν τέμνει τον παραπάνω κύκλο. Γ)Αν το τρίγωνο που σχηματίζει με τους άξονες η ευθεία ε είναι ισοσκελές δείξτε ότι το κέντρο του κύκλου είναι Ευσταθίου Πέτρος

25 σημείο της δεύτερης και τέταρτης γωνίας των αξόνων. ΑΣΚΗΣΗ 1 ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί η σχετική θέση της ευθείας χ+ψ+ 1=0 ως προς την παραβολή ψ =χ ΛΥΣΗ C ψ =χ Λύνουμε το σύστημα: ψ =χ (1) χ+ψ+1=0 () Η σχέση (1) λόγω της () γράφεται: (-χ-1) =χ=>(χ+1) =χ=>χ +χ+1=χ=>χ +1=0(αδύνατη) στο R Αυτό σημαίνει ότι η παραβολή και η ευθεία δεν έχουν κοινά σημεία Ευσταθίου Πέτρος

26 ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η παραβολή ψ =4χ και η ευθεία (ε):ψ=χ-1 α) Να δείξετε ότι η (ε) περνά από την εστία της παραβολής β) Να βρείτε τα κοινά σημεία Α,Β της (ε) και της παραβολής γ) Να δείξετε ότι οι εφαπτομένες της παραβολής στα σημεία Α,Β είναι κάθετες δ) Να δείξετε ότι κάθε ευθεία που περνά από την εστία και τέμνει την παραβολή σε δύο σημεία έχει την ιδιότητα (γ) ΛΥΣΗ Υποθέτουμε ότι C ψ =4χ α)οι συντεταγμένες της εστίας Ε είναι Ε(1,0) (διότι ρ=4 ή ρ=) Η εστία Ε ανήκει στην ευθεία (ε) διότι: Για χ=1 και ψ=0 η (ε) ικανοποιείται β) Εύρεση των συντεταγμένων των Α και Β Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων: Ευσταθίου Πέτρος

27 (χ-1) =4χ χ -6χ+1=0χ=3 Αν χ= 3+ =>ψ=3+ -1=+.Αρα Α(3+,+ ) Αν χ= 3- =>ψ=3- -1=-.Αρα Α(3-,- ) γ)εύρεση της εξίσωσης της εφαπτομένης ε 1 της C στο σημείο Α είναι ε 1 ψ(+ )=(χ+3+ )=> χ-(1+ )ψ+(3+ )=0 με = = = -1 Εύρεση της εξίσωσης της εφαπτομένης ε της C στο σημείο Β Είναι ε ψ(- )=(χ+3- )=> χ-(1- )ψ+(3- )=0 με = = = -( +1) Επειδή είναι * =( -1)*[ -( +1)]= -( -1)=-+1=-1 συμπεραίνουμε ότι οι ευθείες ε 1 και ε είναι κάθετες δ)υποθέτουμε ότι έχουμε την παραβολή με εξίσωση C ψ =ρχ και την ευθεία (ε) με εξίσωση ε ψ=λχ+β για την οποία δεχόμαστε ότι περνά από την εστία Ε(ρ/,0) Επειδή Ε (ε) θα έχουμε: 0=λ*ρ/+β=>β=-λρ (1) Έστω Α(χ 1,ψ 1 ),Β(χ,ψ ) τα σημεία τομής (ε) και της C Ευσταθίου Πέτρος

28 Η εφαπτομένη της C στο σημείο Α έχει εξίσωση: ε 1 ψψ 1 =ρ(χ+χ 1 ) με λε 1 = ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Η εφαπτομένη της C στο σημείο Β έχει εξίσωση: ε ψψ =ρ(χ+χ ) με λε = Τότε θα είναι λε 1 * λε =( )* = () ΘΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΟΥΜΕ ΤΗΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Ψ 1 Ψ Τα ψ 1,ψ είναι οι τεταγμένες των κοινών σημείων τομής της ευθείας (ε) με την καμπύλη C. Αρα αποτελούν λύση του συστήματος των εξισώσεων: = λ - ρψ+ρβ (3) Αν είναι οι ρίζες της () τότε ψ 1 ψ = (4) Η σχέση () λόγω της (4): λε 1 * λε = = = = = =-1 Άρα θα είναι: ε 1 ε Ευσταθίου Πέτρος

29 Άσκηση 3 Δίνεται η παραβολή y =x. Α) να βρεθούν η εστία και η διευθετούσα της. Β) να βρεθεί η απόσταση του σημείου της Α(,1) από την εστία Ε και να συγκριθεί με την απόσταση (ΟΕ). Γ) να αποδείξεται ότι σε κάθε παραβολή το σημείο της με την μικρότερη απόσταση από τη εστία είναι η κορυφή της Ο. Δ) να βρεθεί σημείο στην παραβολή y =px που να απέχει από την εστία απόσταση διπλάσια της ΟΕ. Λύση Η εξίσωση της παραβολής είναι: C y = x Α) πρέπει λοιπόν να είναι: p= => p=, οπότε Η εστία της παραβολής: Ε( 8 1,0) Η διευθετούσα της παραβολής είναι: δ x=- 8 1 Β) προφανώς το Α C. Είναι: d(α,ε)= Επομένως d(α,ε)>(oe) Γ) έστω Μ(x,y) τυχαίο σημείο της C. Τότε: μ.μ d(μ,ε)= y -px= = (1) η παράσταση όμως της σχέσης (1) γίνεται ελάχιστη όταν x=0(x,p είναι ομόσημοι) Ευσταθίου Πέτρος

30 Για x=0 είναι y=0, άρα το σημείο Ο(0,0) απέχει από την εστία Ε την ελάχιστη απόσταση. Δ) έστω Μ(x,y) το ζητούμενο σημείο. Τότε: d(μ,ε)= (ΟΕ)=> x+ = => x+ =±p=> Για χ= p είναι y =p p => y=±p 3p Για χ= είναι αδύνατη διότι πρέπει x, p ομόσημοι Επομένως τα ζητούμενα σημεία Μ είναι τα: Μ( 0) ή Μ(,-p) Άσκηση 4 Δίνεται η παραβολή: C:y =px και δύο χορδές ΟΒ,ΟΓ, ώστε γωνία ΒΟΓ=90 ο. να αποδειχθεί ότι η ΒΓ διέρχεται από σταθερό σημείο. Λύση Υποθέτουμε ότι η εξίσωση της ΟΒ είναι: ΟΒ y=λx, λr * Επειδή ΟΒ ΟΓ θα έχουμε: 1 => λογ= Ευσταθίου Πέτρος

31 Εύρεση των συντεταγμένων του σημείου B. Το σημείο Β είναι κοινό σημείο των ΟΒ και C. Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των ΟΒ και C. Επομένως: B(, ) λ x = px x 0 x=. Τότε: y=λ. Εύρεση των συντεταγμένων του σημείου Γ. Το σημείο Γ είναι κοινό σημείο ων ΟΓ και C. Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των ΟΓ και C. Επομένως: Γ(pλ,pλ). Εύρεση της εξίσωσης της ΒΓ. Είναι: λβγ= = =px x 0 x=pλ.. Τότε: y=- pλ =-pλ. Επομένως η εξίσωση της ΒΓ θα είναι: ΒΓ y+pλ= Για y=0 η σχέση (1) δίνει: 0+pλ= (x-pλ ) λ 0 => p(1-λ )= x-pλ =>x=p Άρα η ΒΓ περνά από το σημείο Μ(p,0) που είναι σταθερό. Άσκηση 5 Από το σημείο (-,3) προς τη παραβολή y =8x γράφονται δύο εφαπτόμενες ευθείες. Α) να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων αυτών ευθειών. Β) να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες αυτές ευθείες είναι κάθετες Ευσταθίου Πέτρος

32 Λύση Έστω C y =8x και Μ(-,3) Το ΜC αφού 9-16 Α) έστω ΜΡ1 και ΜΡ οι εφαπτόμενες της C που φέρνουμε από το σημείο Μ. Τότε: ΜΡ1 yy1=4(x+x1) (1) και ΜΡ yy=4(x+x) () Επειδή όμως ΜΜΡ1 θα είναι: 3y1=4(-+x1)=>y1= (3) Όμως Ρ1(x1,y1) C και επομένως: y1 =8x1=> [ =8x1=> 1=> ( 1=> x1-17x1+8=0=>+8=0=> Αν χ1 η εξίσωση της ΜΡ1 είναι: ΜΡ1 8y=4(x+8) ή MP1 4x-8y+3=0 ή ΜΡ1 x-y+8=0 (4) Αν χ1 Η εξίσωση της ΜΡ1 είναι: Ευσταθίου Πέτρος

33 ΜΡ1 y(-)=4(x+ )=> -y=4x+=> y=-x-1 (5) Β) είναι: λμρ1= και λμρ=-, οπότε: λμρ1=λμρ= (-)=-1 και άρα ΜΡ1 ΜΡ. Άσκηση 6 Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0,0) στις παρακάτω περιπτώσεις. Α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Ox και έχει παράμετρο p=5. Β) είναι συμμετρική ως προς το άξονα Ox και διέρχεται από το σημείο (-1,4) Γ) είναι συμμετρική ως προς το άξονα Oy και διέρχεται από το σημείο (,). Δ) έχει άξονα συμμετρίας το Oy και εστία Ε(0,-4). Ε) έχει εστία Ε(-,0) και και διευθετούσα δ: x-=0. Στ) έχει άξονα συμμετρίας τον Ox και εφάπτεται της ευθείας y=4x+1. Λύση Α) η εξίσωση της παραβολής θα είναι: y =px ή y =10x Β) η εξίσωση της παραβολής θα είναι: C y =px (1) Επειδή όμως ΑC θα είναι: 4 =p(-1)=> 16=-p=>p=-8 Επομένως: C y =-16x. Γ) η εξίσωση της παραβολής θα είναι: C x =py () Επειδή όμως ΒC θα είναι: 4=p*=>4=4p=>p=1 Επομένως: C x =y Δ) η εξίσωση της παραβολής θα είναι: C x =py (3) Πρέπει: -4= και άρα: C x =-16y. Ε) η διευθετούσα της παραβολής είναι η δ x=. Η εξίσωση της παραβολής θα είναι: C y =px. (4) Επειδή όμως ισχύει: και άρα θα είναι: C y =-8x Ευσταθίου Πέτρος

34 Στ) η εξίσωση της παραβολής θα είναι: C y =px (5) Το σύστημα: πρέπει να έχει μία μόνο λύση. Η σχέση (1) λόγω της () γράφεται: (4x+1) =px=> 16x +8x+1-px=0=> 16x +(8-p)x+1=0 (8) Για να έχει η εξίσωση (8) μία μόνο λύση, πρέπει: Δ=0=>(8-p) -4*16*1=0=> 4(4-p) =64=> (4-p) =16=> 4-p=±4=> Δεκτή γίνεται η τιμή p=8(διότι p>0) Επομένως C y =16x. Άσκηση 7 Έστω η παραβολή C: y =px και μια χορδή της ΑΒ παράλληλη με τον άξονα y y, η οποία περνάει από την εστία. Να αποδειχθεί ότι: Α) (ΑΒ)=(ΕΚ), όπου Κ το σημείο που τέμνει ο άξονας x x τη διευθετούσα. Β) οι εφαπτόμενες στα Α και Β διέρχονται από το Κ. Λύση Α) η εστία της παραβολής είναι: Ε(,0) Επομένως η εξίσωση της ΑΒ θα είναι: ΑΒ x= (1) Ευσταθίου Πέτρος

35 Τα κοινά σημεία της ΑΒ με την παραβολή έχουν συντεταγμένες που βρίσκονται από την λύση του συστήματος των εξισώσεων: Επομένως: Α(,p) και B(,-p) Τότε όμως είναι: d(α,β)=(αβ)=p (1) Ακόμα είναι: Κ(,0) και Ε(,0) οπότε (ΕΚ)=p () Από τις σχέσεις (1) και () παίρνουμε: (ΑΒ)=(ΕΚ) (3) Β) η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Α είναι: ε1 yp=p(x+ )=> y=x+ (4) για x= και y=0 η σχέση (4) ικανοποιείται και άρα Κ (ε1). Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Β είναι: ε y(-p)=p(x+ )=> y=-x- (5) Για x= και y=0 η σχέση (5) ικανοποιείται και άρα Κ (ε) Άρα το Κ είναι κοινό σημείο των (ε1) και (ε). Άσκηση 8 Ισόπλευρο τρίγωνο ΟΑΒ είναι εγγεγραμμένο στην παραβολή y =4px με κορυφή το Ο. Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του Ευσταθίου Πέτρος

36 ΛΥΣΗ Αν το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόπλευρο τότε θα είναι ΟΑ=ΟΒ και άρα το σημείο Ο θα είναι σημείο της μεσοκάθετης της ΑΒ. Η ΟΜ λοιπόν θα είναι διάμεσος και ύψος στο τρίγωνο ΟΑΒ και άρα και διχοτόμος. Τότε τα σημεία Α,Β θα είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα x x. Επειδή είναι Β Α=60 ο θα είναι και Μ Α=30 ο και Μ Β=- 30 ο. Επομένως: λοα= εφ30 ο = 3 και άρα η εξίσωση της ΟΑ είναι: ΟΑ y 3 x λοβ=εφ(-30 ο )= 3 και άρα η εξίσωση της ΟΒ είναι: ΟΒ y= 3 x Η ΑΒ είναι κάθετη στον άξονα x x και άρα θα έχει εξίσωση: ΑΒ x=x1 όπου Α(x1,y1). Θα βρούμε λοιπόν το x1. Το σημείο Α είναι κοινό σημείο των ΟΑ και της C και επομένως οι συντεταγμένες του σημείου Α βρίσκονται από την λύση του συστήματος των εξισώσεων: Ευσταθίου Πέτρος

37 =4px x =1px Επομένως θα είναι Α(1p,4 p) διότι: y= 1p=4 p Άρα:ΑΒ x=1p. Άσκηση 9 Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής y =3x που είναι παράλληλη στην ευθεία x-y+008=0. Λύση Έστω C y =3x και ε xy+008=0. Αν (η) είναι η ζητούμενη ευθεία και Ρ(x1,y1) το σημείο επαφής, τότε: η yy1= (x+x1)=> 3x- yy1+3x1=0 (1) Είναι όμως: ε//η=> λε=λη=> = => y1= επειδή όμως ΡC θα ισχύει: y1 =3x1=> =3x1=> =x1 Επομένως η εξίσωση της ευθείας (η) θα είναι: η 3x-y* =0=> x- + =0=> 16x-8y+3= Ευσταθίου Πέτρος

38 Άσκηση 10 Έστω η παραβολή y =4px, p>0. Μια χορδή της ΑΒ είναι κάθετη στον άξονα και έχει μήκος 8p. Να αποδειχθεί ότι =0. Λύση Έστω C y =4px Για την παραπάνω παραβολή άξονας συμμετρίας είναι ο x x. Άρα, λόγω του ότι ΑΒ x x, τα σημεία Α και Β θα είναι συμμετρικά ως προς τον x x. Αν υποθέσουμε ότι Α(x1,y1) και Β(x1,-y1), επειδή είναι d(α,β)=8p, θα έχουμε: d(α,β)= 8p=> => y1 =8p=>y1=±4p Όμως ΑC=> (±4p) =4px1=> 16p =4px1=> x1=4p. Επομένως θα είναι: Α(4p,4p) και Β(4p,-4p). Τότε θα είναι: =(4p,4p) και =(4p,-4p), οπότε: =4p*4p+4p(-4p)=0 άρα Ευσταθίου Πέτρος

39 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1 1.Η παραβολή C:y= x έχει εστία Ε(0,) και 8 διευθετούσα y=- Σ Λ.Η ευθεία y=x είναι εφαπτομένη της παραβολής 1 C:x= 4 y. Σ Λ 1 3.Η παραβολή C: y x έχει άξονα συμμετρίας τον χ χ Σ 4 Λ 4.Στην παραβολή με άξονα συμμετρίας τον χ χ, αν το ρ είναι θετικό, τότε και το χ είναι θετικό. Σ Λ 5.Αν το σημείο (1,-) ανήκει στην παραβολή 1 C:x= p y τότε και το (1,) ανήκει στην ίδια παραβολή Σ Λ 1 6.Αν η παραβολή C: y x περνά από το (,3) τότε p 1 έχει διευθετούσα y 3 Σ Λ 7.Η παραβολή που έχει κορυφή το σημείο Ο(0,0) και διευθετούσα 1 1 x, έχει εξίσωση y x Σ Λ 8.Η κορυφή της παραβολής ισαπέχει από την εστία και την διευθετούσα αυτής. Σ Λ Ευσταθίου Πέτρος

40 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής,που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον άξονα χ χ,στις παρακάτω περιπτώσεις: α)έχει εστία Ε(,0) β)έχει εστία Ε(-3/,0) γ)έχει διευθετούσα την ευθεία δ:χ=-1 δ)διέρχεται από το σημείο Α(-1,).Να προσδιορίσετε την εστία και την διευθετούσα της παραβολής στις παρακάτω περιπτώσεις: ι)y =8χ ιι)y =-6x iii)x = y iv)x =- y. 3.Δίνεται η παραβολή C:y =-x.να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής η οποία : ι)είναι παράλληλη στην ευθεία ζ:χ+y=1 ιι)διέρχεται από το σημείο Α(,1) 4.Να βρείτε την εξίσωση της χορδής της παραβολής C:y =8x η οποία έχει το σημείο Μ(,-3) ως μέσο και δεν είναι παράλληλη στον άξονα χ χ. 5.Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης στην παραβολή C:y =16x η οποία σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής C:x =-16y που απέχει από την κορυφή της απόσταση ίση με Ευσταθίου Πέτρος

41 7.Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής, η οποία έχει κορυφή Ο(0,0),άξονα συμμετρίας τον άξονα χ χ και εφάπτεται στην ευθεία ε:y=-x+. 8.Να αποδείξετε ότι τα μέσα των χορδών της παραβολής C:y =4x,οι οποίες έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ=-1, βρίσκονται σε ευθεία γραμμή,την οποία και να προσδιορίσετε. 9.Να βρεθεί το σημείο της παραβολής C: y =4x που έχει την μικρότερη απόσταση από την ευθεία ε:y=4x+. 10.Δίνεται η παραβολή C:y =px και η εφαπτομένη της ε στο Α(χ 1,y 1 ) η οποία τέμνει τους άξονες χ χ και y y στα σημεία Β και Κ αντίστοιχα. Έστω Γ το σημείο τομής της διευθετούσας δ:χ=- και της ευθείας ΕΚ. ι)να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Β,Γ,Κ και να αποδείξετε ότι το Κ είναι το μέσο των ΑΒ και ΕΓ. ιι)να αποδείξετε ότι ΑΒ ΕΓ και ότι το τετράπλευρο ΑΕΒΓ είναι ρόμβος. 11.Δίνονται ο κύκλος C 1 : x +y -6x-7=0 και η παραβολή C:y =1x.Να δειχτεί ότι α)ο κύκλος και η παραβολή τέμνονται σε δύο σημεία Α και Β β)οι εφαπτόμενες της παραβολής στα Α και Β τέμνονται πάνω στον κύκλο. 1.Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Μ(6,1), τέμνει την παραβολή y =1x στα σημεία Α,Β και το Μ είναι μέσο του ΑΒ Ευσταθίου Πέτρος

42 13.Να βρεθεί το μήκος της χορδής της παραβολής y =px που είναι κάθετη στον άξονα χ χ και διέρχεται από την εστία της παραβολής. 14.Δίνεται η παραβολή y =px και η εφαπτομένη της στο τυχαίο σημείο της Μ(α,β) που τέμνει τον άξονα ψψ στο σημείο Α.Αν Ε είναι η εστία της παραβολής να δειχτεί ότι ΑΕ ΑΜ. 15.Να βρεθούν οι εφαπτομένες της παραβολής C : y 4x που σχηματίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδό 4 τ.μ. 16.Δίνεται η παραβολή C : y 4x και η εφαπτομένη ε στο τυχαίο της σημείο Α. Αν η κάθετη της ε στο Α τέμνει τον x x στο σημείο Β, έστω Μ το μέσο του ΑΒ. Α. Να αποδείξετε ότι το Μ κινείται σε παραβολή Β. α) Αν Ε η εστία της παραβολής C, να αποδείξετε ότι ΕΜ ΑΒ. β) Αν το τρίγωνο ΑΕΒ είναι ισόπλευρο, να βρείτε τις συντεταγμένες του Α. 17.Να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες της παραβολής : y οι οποίες άγονται από τυχαίο σημείο της διευθετούσας της παραβολής, είναι κάθετες. C px, Π.18.Δίνεται η παραβολή x =py. Α)Να βρεθεί το p αν η παραβολή διέρχεται από το σημείο Α(6,-9). Β)Να βρεθεί η εστία Ε και η διευθετούσα δ της παραπάνω παραβολής. Γ)Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής στο σημείο 3, 3. B Δ)Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει η ευθεία ΕΒ με τον χ χ Ευσταθίου Πέτρος

43 Π.19.Δίνεται η παραβολή y =4x και η ευθεία (ε):y=x-1 Α)Να δείξετε ότι η (ε) περνά από την εστία της παραβολής Β)Να βρείτε τα κοινά σημεία Α,Β της (ε) με την παραβολή. Γ)Να δείξετε ότι οι εφαπτομένες της παραβολής στα σημεία Α,Β είναι κάθετες Ευσταθίου Πέτρος

44 ΕΛΛΕΙΨΗ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 Να βρεθεί η εκκεντρότητα και οι εστίες καθεμιάς από τις παρακάτω ελλείψεις: x a) y 1 4 )4x 9y 36 ΛΥΣΗ x Α)Για την καμπύλη C y 1,έχουμε: 4 a 4 a Επομένως: Β) Για την καμπύλη x y C x y Επομένως : Ευσταθίου Πέτρος

45 Άσκηση Να βρεθούν οι εφαπτόμενες της έλλειψης x y που είναι παράλληλες προς την ευθεία ε: x+y= ΛΥΣΗ Είναι 1. Υποθέτουμε ότι η ζητούμενη εφαπτομένη της 1 έλλειψης είναι: 1 9x x1 16y y Επειδή (ε)//(ε 1 ) θα 9x1 16y1 ισχύει: 1 x y1 9 Όμως το σημείο Ρ είναι σημείο της έλλειψης,επομένως: 16y y1 144 y1 y y1 81 y1 y1 5 5 Επομένως θα έχουμε: : y1 x1 x x y Αρα: 1 9x 16 y x y y1 x1 x x y : 1 9x 16y x y Ευσταθίου Πέτρος

46 Άσκηση 3 Ο κύκλος με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα β διέρχεται από τις x y εστίες της έλλειψης 1 με α>β. Να βρεθεί η εκκεντρότητα της έλλειψης. ΛΥΣΗ Ο κύκλος έχει εξίσωση: C1 x y. x y 1 Οι εστίες της έλλειψης C a έχουν συντεταγμένες Ε 1 (-γ,0) και Ε (γ,0). Επειδή όμως C Από την σχέση:. Επομένως η εκκεντρότητα θα είναι: Ευσταθίου Πέτρος

47 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1.Η ευθεία χ= είναι εφαπτομένη της έλλειψης x y 1 3 Σ Λ.Εστιακή απόσταση μιας έλλειψης ονομάζεται η απόσταση δύο σημείων της που είναι συμμετρικά ως προς το κέντρο της. Σ Λ x y 3.Η εφαπτομένη της έλλειψης 1 στο σημείο a της Μ(ασυνθ,βημθ) είναι (συνθ)x+(ημθ)y=1 Σ Λ 4.Η εκκεντρότητα της έλλειψης 4x +y =4 3 είναι 3 Σ Λ 5.Η ευθεία y=-3 είναι εφαπτομένη της έλλειψης x y 1 9 Σ Λ x y 6.Η εξίσωση 1 παριστάνει έλλειψη μόνο a αν α>β. Σ Λ 7.Η εστιακή απόσταση μιας έλλειψης είναι το μισό του μεγάλου άξονα. Η εκκεντρότητα είναι 1 Σ Λ 8.Δύο ελλείψεις που έχουν τις ίδιες εστίες είναι όμοιες Σ Λ 9.Δύο όμοιες ελλείψεις έχουν πάντα τις ίδιες εστίες Σ Λ 10.Δύο από τις κορυφές και οι εστίες οποιαδήποτε έλλειψης βρίσκονται στην ίδια ευθεία Σ Λ 11.Όσο η εκκεντρότητα μιας έλλειψης πλησιάζει προς το 0 τόσο η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος Σ Λ 1.Το σημείο Α(,-) βρίσκεται έξω από την έλλειψη x y Σ Λ Ευσταθίου Πέτρος

48 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης,η οποία έχει: ι)εστίες Ε (-4,0),Ε(4,0) και μήκος μεγάλου άξονα 1 ιι)εστίες Ε (0,-5),Ε(0,5) και μήκος μικρού άξονα ιιι)εστίες Ε (-3,0),Ε(3,0) και εκκεντρότητα 5 3.Να βρείτε τα μήκη των αξόνων,τις κορυφές,τις εστίες και την εκκεντρότητα των ελλείψεων: ι)5x +4y =100 ii)5x +169y =845 3.Αν οι εφαπτόμενες της έλλειψης C: x y + 1 a β στα σημεία της Β και Γ τέμνονται στο Μ(χ 0,y 0 ), να βρεθεί : ι)η εξίσωση της ευθείας ΒΓ ιι)ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία η ΒΓ διέρχεται από την εστία Ε(γ,0). 4.Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε,η οποία τέμνει την x y 4 3 έλλειψη C: 1 σε δύο σημεία Κ,Λ έτσι ώστε το τμήμα ΚΛ να έχει ως μέσο το σημείο Μ(1,-1). 5.Δίνεται η έλλειψη C: 1 x a y β και η εφαπτομένη σε ένα σημείο της Ν(χ 1,y 1 ), η οποία τέμνει τους άξονες χ χ και y y στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Αν Μ(χ 0,y 0 ) είναι το μέσο του y τμήματος ΑΒ,να αποδείξετε ότι Ευσταθίου Πέτρος

49 6.Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψης: C:x +3y =3 οι οποίες είναι: i)παράλληλες στην ευθεία ε:x+3y+1=0. ii)κάθετες στην ευθεία ε:x+y+=0. 7.Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψη 9 y 5 C: 1 που φέρνουμε από το σημείο Μ(3,3). 8.Εστω Μ(χ,y) σημείο της έλλειψης C:β χ +α y =α β. Αν Ε(γ,0) και Ε (-γ,0) οι εστίες της έλλειψης C,να αποδείξετε ότι (ΜΕ)=α-εχ και (ΜΕ )=α+εχ. 9.Έστω η έλλειψη C: 1.Να αποδείξετε ότι το γινόμενο των αποστάσεων των εστιών της από κάθε εφαπτομένη της είναι β. y β 10.Δίνεται η έλλειψη C: 1 y β και το σημείο της Ρ(χ 1,y 1 ). Η κάθετη στην έλλειψη στο σημείο Ρ τέμνει τον χ χ στο σημείο Δ.Αν Η η προβολή του Ρ στον χ χ να αποδείξετε ΟΔ=ε ΟΗ, όπου ε η εκκεντρότητα της έλλειψης. y 4 11.Να βρεθούν οι εφαπτόμενες της έλλειψης 1 οποίες φέρνουμε από το σημείο (3,4). 9,τις 5 y 9 1.Δίνεται η έλλειψη 1 και (ε) μια τυχαία εφαπτομένη της. Αν d(e 1,ε) και d(ε,ε) είναι οι αποστάσεις των εστιών της από την εφαπτομένης (ε),να δειχθεί ότι d(ε 1,ε)d(Ε,ε)= Ευσταθίου Πέτρος

50 13.Από το σημείο Μ(-6,7) φέρνουμε τις εφαπτόμενες ΜΑ,ΜΒ 3 y 4 στην έλλειψη 1.Να βρεθεί η απόσταση του Μ από την ΑΒ. 14.Να δειχτεί ότι το σημείο Μ(3,) είναι εξωτερικό σημείο της 5 y 0 έλλειψης 1 και να βρεθούν οι εφαπτόμενες της έλλειψης,οι οποίες διέρχονται από το Μ. 15.Δίνονται δύο κωνικές τομές,η παραβολή y =px και η έλλειψη 4x +y =3p, p>0. i) Να αποδείξετε ότι οι εστίες Ε και Ε της έλλειψης είναι τα 3 σημεία Ε(0, ) και Ε (0,- 3 ) ii)να αποδείξετε ότι τα σημεία τομής Κ και Λ των δύο κωνικών τομών είναι τα σημεία Κ(, ) και Λ(, ). iii)να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των δύο κωνικών τομών στο σημείο Κ(, ) είναι κάθετες. 16. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης x C : 9 y 1 που τέμνει τους άξονες στα σημεία Α και Β έτσι 4 ώστε το τρίγωνο ΑΟΒ να είναι ισοσκελές ψ 4 17.Έστω η έλλειψη C : x 1 και το σημείο Μ(4,0). Έστω Ρ, Σ τα σημεία επαφής των εφαπτομένων της έλλειψης που διέρχονται από το Μ. Να αποδειχθεί ότι ΟΜ ΡΣ Ευσταθίου Πέτρος

51 18.Δίνονται οι ελλείψεις x ψ C1 : 1 και C : α x β ψ 1, με 0 α β. α β π Η ημιευθεία y (εφθ)x, x 0,0 θ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ τέμνει τη C 1 στο σημείο Γ(x 1,ψ 1 ) και τη C στο σημείο Δ(x,ψ ). Αν λ 1 ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης C 1 στο Γ και λ ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της C στο Δ, να αποδειχθεί ότι : 1 λ1λ εφ θ 19.Να αποδείξετε ότι τα μέσα των χορδών της έλλειψης x : α C y 1, α β β που έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ βρίσκονται σε ευθεία γραμμή της οποίας να βρείτε την εξίσωση. β α 0.Να συγκριθούν οι εκκεντρότητες των ελλείψεων C1: x y 1 και C : x y a a με α>β. 1.Να βρεθεί η μορφή της εξίσωσης της έλλειψης με εκκεντρότητα..δίνεται ο κύκλος χ +y x y =4 και η έλλειψη 1. 6 Α)Να δείξετε ότι το σημείο 1, 3 είναι κοινό τους σημείο και στη συνέχεια να βρείτε όλα τα κοινά τους σημεία. Β)Να δείξετε ότι τα κοινά τους σημεία είναι κορυφές ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Γ)Να βρεθούν τα σημεία Μ(x 0,y 0 ) ώστε x0 y0 4 και ' 6 (Ε, Ε οι εστίες της έλλειψης) Ευσταθίου Πέτρος

52 ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 Να βρείτε την εξίσωση της ισοσκελούς υπερβολής που έχει τις x y ίδιες εστίες με την έλλειψη ΛΥΣΗ Για την έλλειψη είναι : α =5 και β =16,οπότε: γ =α -β =5-16=9, άρα γ=3. Επομένως οι εστίες της έλλειψης είναι Ε 1 (-3,0) Ε (3,0) Επειδή η υπερβολή είναι ισοσκελής θα είναι α=β, οπότε 9 9. Άρα η εξίσωση της ισοσκελούς υπερβολής θα είναι C x y 9 Άσκηση Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής που έχει τις εστίες της στον άξονα χ χ συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων και ακόμα: 3 Α)έχει εστιακή απόσταση (Ε Ε)=6 και εκκεντρότητα. Β)έχει εστιακή απόσταση (Ε Έ)=0 και ασύμπτωτες 4 4 y x και y=- x. 3 3 Γ)έχει εστιακή απόσταση (Ε Έ)=4 και ασύμπτωτες τις διχοτόμους των γωνιών των αξόνων Ευσταθίου Πέτρος

53 ΛΥΣΗ Η εξίσωση της υπερβολής θα είναι x y C a 1. Α)Αν Ε Ε=6 τότε γ=6 και άρα γ= Αν Επειδή β =γ -α =9-4=5 x y Η εξίσωση της υπερβολής θα είναι C B)Av Ε Ε=0 τότε γ=0 και άρα γ=10 4 Αν οι ασύμπτωτες της είναι οι ευθείες y x τότε πρέπει: Επειδή Τότε: x y Η εξίσωση της υπερβολής θα είναι C : Γ)Αν Ε Ε =4 τότε γ=4 και άρα γ= Η υπερβολή θα είναι ισοσκελή και άρα β=α Επειδή 4 4 άρα Η εξίσωση της υπερβολής θα είναι x y C x y : Ευσταθίου Πέτρος

54 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ x y 1.Η εξίσωση μιας υπερβολής είναι 1. a Ισχύει πάντα α>β. Σ Λ x y.η υπερβολή 1. τέμνει τον y y σε a δύο σημεία. Σ Λ 3.Η ισοσκελής υπερβολή x -y =α έχει εκκεντρότητα. Σ Λ 4.Το σημείο (5,4) ανήκει σε μια ασύμπτωτη ευθεία της υπερβολής 16x -5y =40 Σ Λ 5.Υπάρχουν υπερβολές που οι ασύμπτωτες τους είναι κάθετες μεταξύ τους. Σ Λ 6.Η εξίσωση κx +λy =0 παριστάνει υπερβολή για κάθε κ,λ Σ Λ 1 7.Η ευθεία y x εφάπτεται της υπερβολής x y 1 4 Σ Λ x y 8.Κάθε ασύμπτωτη της υπερβολής 1 a είναι κάθετη σε μία από τις ασύμπτωτες της υπερβολής y x 1. a Σ Λ x y 9.Η υπερβολή 1 τέμνει τον άξονα y y στα 5 4 σημεία (0,) και (0,-) Σ Λ 10.Η εκκεντρότητα της υπερβολής είναι πάντα μη αρνητικός αριθμός. Σ Λ Ευσταθίου Πέτρος

55 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.Να βρείτε τις εστίες,την εκκεντρότητα και τις ασύμπτωτες της υπερβολής με εξίσωση: i)5x -16y =400 ii)4x -y =4 iii)64y 169x =10816.Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,η οποία έχει: i)εστίες τα σημεία Ε (-5,0),Ε(5,0) και η απόσταση των κορυφών της είναι ίση με 6, ii)εστίες τα σημεία Ε (0,-10),Ε(0,10) και εκκεντρότητα 4 5 iii)εστίες τα σημεία Ε ( -5,0) και Ε(5,0) και διέρχεται από το σημείο Μ(-4,3). 3.Έστω Μ(χ 1,y 1 ) ένα σημείο της υπερβολής C: 1 Ε (-γ,0), Ε(γ,0) οι εστίες της. Αν r =(ΜΕ ) και r=(με),να αποδείξετε ότι r = 1 και r= 1,όπου ε η εκκεντρότητα της C. 4.Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής C: 8x -3y =4, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία ε:x-y+1=0. 5.Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής C:4x -5y =0, η οποία είναι κάθετη στην ε:x+y-6=0. 6.Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής C:4χ -3y =1, η οποία διέρχεται από το σημείο Μ(0,- 1 1 ) y β και Ευσταθίου Πέτρος

56 7.Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής C:8x y =8 η οποία απέχει από την εστία Ε(3,0) απόσταση ίση με. 8.Να αποδείξετε ότι η απόσταση μιας εστίας της υπερβολής y β 1 από μια ασύμπτωτη της είναι ίση με β. 9.Να αποδείξετε ότι το γινόμενο των αποστάσεων ενός μεταβλητού σημείου Μ της υπερβολής 1 ασύμπτωτες της είναι σταθερό. y β από τις 10.Να βρεθεί η οξεία γωνία των ασύμπτωτων μιας υπερβολής,η οποία έχει εκκεντρότητα ίση με. 11.Αν η εφαπτομένη της υπερβολής 1 σ ένα σημείο Μ, διαφορετικό του Α(α,0) τέμνει την ευθεία ε 1 :χ=α στο Κ, να αποδείξετε ότι ΟΚ//Α Μ. 1.Να αποδείξετε ότι το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζεται από μια εφαπτομένη της υπερβολής 1 x a y β y ασύμπτωτές της είναι σταθερό και ίσο με αβ. 13.Έστω η υπερβολή 1 y β β και τις και η ευθεία ε, η οποία διέρχεται από το σημείο Κ(0,-β) και έχει συντελεστή λ. Αν η ε τέμνει τις ευθείες ε 1 :χ=-α και ε :χ=α στα σημεία Γ και Γ αντίστοιχα, να βρείτε : i)την εξίσωση του κύκλου ΓΓ ii)τις τιμές του λ για τις οποίες ο παραπάνω κύκλος διέρχεται από τις εστίες της υπερβολής Ευσταθίου Πέτρος

57 y 4 14.Να βρεθεί η εξίσωση της χορδής της υπερβολής 1, που το σημείο Μ(3,1) είναι μέσο της χορδής. 15.Να βρείτε την εκκεντρότητα της υπερβολής x : α ψ β C 1 α β 0, ασύμπτωτες είναι αν η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι 16.Έστω η υπερβολή C : x ψ α και το σημείο της Μ ( x 0, ψ0) με ψ0 0. Από το σημείο Μ φέρνουμε κάθετη στην εφαπτομένη της υπερβολής στο Μ η οποία τέμνει τους άξονες στα σημεία Ρ και Σ. Να αποδειχθεί ότι το Μ είναι το μέσο του τμήματος ΣΡ. C x y α β β β ε1 : y x σχηματίζει με την ασύμπτωτη ε : y x α α 17.Θεωρούμε την υπερβολή : 1. Αν η ασύμπτωτη βρείτε την εκκεντρότητα της υπερβολής. γωνία π, να 3 18.Ο κύκλος με εξίσωση x +y =16 διέρχεται από τις κορυφές της υπερβολής C της οποίας η μία ασύμπτωτη έχει εξίσωση 4 y x.να βρεθούν: 3 Α) οι εστίες της υπερβολής Β)η εστιακή τους απόσταση Γ)η εξίσωση της Δ)να προσδιοριστεί το ορθογώνιο βάσης της υπερβολής Ε)η εκκεντρότητά της Ευσταθίου Πέτρος

58 x y 19.Δίνεται η υπερβολή 1 με κλάδους C 1 και C και a τυχαίο σημείο της Μ(x 1,y 1 ) στον κλάδο C 1 ( y 1 0 ) A)Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) στο σημείο Μ και να βρείτε τα σημεία τομής της (ε) με τους άξονες. Β)Να δείξετε ότι η (ε) τέμνει τον χ χ σε σημείο μεταξύ των κορυφών της υπερβολής Γ)Με δεδομένο ότι η (ε) τέμνει τον κλάδο C στο Μ (x,y ) να δείξετε ότι y 1 y <0. 0.Θεωρούμε την υπερβολή C:x -y =1 και την ευθεία (ε):x+y=α.να βρεθούν οι τιμές του α,για τις οποίες η (ε) εφάπτεται στη C. x y 1. Έστω η υπέρβολή C : 1. Να δειχτεί ότι κάθε a παράλληλη προς μία ασύμπτωτη τέμνει την υπερβολή σ ένα μόνο σημείο..έστω Μ τυχαίο σημείο της υπερβολής y -x =α, (ε) η εφαπτομένη στο Μ και Α,Β τα σημεία που η (ε) τέμνει τις ασύμπτωτες. Τότε το εμβαδό του τριγώνου ΟΑΒ είναι σταθερό. 3. Να υπολογιστεί το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζεται x y από τις ασύμπτωτες της υπερβολής: 1 και την ευθεία 16 9 y= Ευσταθίου Πέτρος