P (Ā) = k P ( C A) = 0

Transcript

1 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Τηλεπικοινωνιών ΤΗΛ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΥΧΑΙΑ ΣΗΜΑΤΑ 4ο Εξάμηνο 9- η ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΣΚΗΣΗ Το διαστημόπλοιο Άριαν αποτελείται από 3 βασικά υποσυστήματα (Α,Β,Γ) και λειτουργεί κανονικά εκτός αν χαλάσουν ή περισσότερα από αυτά. Το υποσύστημα Α έχει πιθανότητα να χαλάσει. Το υποσύστημα Β θα χαλάσει με υπό συνθήκη πιθανότητα.5 εάν χαλάσει τουλάχιστον ένα άλλο υποσύστημα, αλλιώς θα χαλάσει με πιθανότητα.. Το υποσύστημα Γ θα χαλάσει με πιθανότητα.5 εάν και το υποσύστημα Α χαλάσει, αλλιώς δεν γίνεται να χαλάσει. Υπολογίστε: (i) την πιθανότητα να χαλάσουν και τα τρία υποσυστήματα. (5%) (ii) την πιθανότητα το διαστημόπλοιο να υπολειτουργεί. (5%) (iii) την από κοινού πιθανότητα το διαστημόπλοιο να λειτουργεί, αλλά το υποσύστημα Γ να χαλάσει. (5%) (iv) την υπό συνθήκη πιθανότητα να χάλασαν τα υποσυστήματα Α και Β, δεδομένου ότι χάλασαν δύο ή περισσότερα υποσυστήματα. (5%) (v) υλοποιήστε την απάντηση του ερωτήματος (iv) στο MATLAB, χρησιμοποιώντας γεννήτριες τυχαίων αριθμών. (6%) ΛΥΣΗ Ορίζουμε ενδεχόμενα A, B, C, D = {το υποσύστημα Α,Β,Γ,Δ λειτουργεί κανονικά} και S = {το διαστημόπλοιο λειτουργεί κανονικά}. Οι πιθανότητες που μας δίνονται στην εκφώνηση είναι: P (Ā) = P ( B Ā, C) = P ( B A, C) = P ( B Ā, C) =.5 P ( B A, C) =. P ( C Ā) =.5 P ( C A) =

2 Και το αντίστοιχο δέντρο: A C.9. B B.5 B.5 C.5 B Ā.5.5 B C.5 B (i) Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας, έχουμε: P (Ā, B, C) = P ( B Ā, C)P ( C Ā)P (Ā) =.5.5 =.5 (ii) Διαμερίζουμε και εφαρμόζουμε κανόνα της αλυσίδας: (iii) P ( S) = P (A, B, C) + P (Ā, B, C) + P (Ā, B, C) + P (Ā, B, C) = = P ( C A, B)P (A, B) + P (B Ā, C)P ( C Ā)P (Ā) + P ( B Ā, C)P (C Ā)P (Ā) +.5 = = = =.75 P (S, C) = P ((Ā, B, C) C) + P ((A, B, C) C) + P ((A, B, C) C) + P ((A, B, C) C) = = + + P ((A, B, C) C) + = = P (A, B, C) = = P ( C A, B)P (A, B) = =

3 (iv) Εφαρμόζουμε τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας και έπειτα διαμερισμό P (Ā, B S) = = P (Ā, B, S) P ( S) P (Ā, B) P ( S) = = = P (Ā, B, C) + P (Ā, B, C) P ( S) = = =.75 = 3 (v) Ιδια λογική όπως η άσκηση που λύθηκε στην τάξη. Ορίζουμε Τ.Μ a, b, c που παίρνουν τιμή αν το αντίστοιχο υποσύστημα δουλεύει, αν δεν δουλεύει. Παράγουμε τριάδες από τυχαίους αριθμούς και τους μετατρέπουμε σε Τ.Μ σταδιακά (πρώτα το a, μετά το c και τέλος το b) με βάση τις εξαρτήσεις τους. Τέλος μετράμε τριάδες που πληρούν τα ζητούμενα για να υπολογίσουμε την πιθανότητα. ΚΩΔΙΚΑΣ %c l e a r memory, screen and c l o s e a l l graphs clear a l l ; close a l l ; clc ; %number o f eperiments i t e r = ; %random numbers m = rand( i t e r, 3 ) ; %transformation to random v a r i a b l e s m( :, ) = [m(:,) > ] ; m( :, 3 ) = [m( :, ) = = ]. [m( :, 3 ) >. 5 ] + [m( :, ) = = ]. ; tmp = [m(:,)== m( :, ) = = ]. [m( :, ) >. 5 ] ; tmp = [m(:,)== & m( :, ) = = ]. [m( :, ) >. ] ; m( :, ) = tmp + tmp ; %choose the l i n e s with s= m3 = m(sum(m, ) <, : ) ; %choose the l i n e s with a=,b=, s= m4 = m(m(:,)== & m( :, ) = =, : ) ; %p r o b a b i l i t y = #l i n e s (m4)/# l i n e s (m3) p = size (m4, ) / size (m3, )

4 ΑΣΚΗΣΗ Ενα δοχείο περιέχει ζευγάρια μπάλες διαφορετικών χρωμάτων: υπάρχουν ακριβώς μπάλες κάθε χρώματος και διαφορετικά χρώματα. Οι παίκτες τραβούν τυχαία μπάλες από το δοχείο, χωρίς επιστροφή. (i) Εάν υπάρχουν δύο παίκτες, που ο πρώτος τραβάει μπάλες και έπειτα ο δεύτερος τραβάει μπάλες, υπολογίστε την πιθανότητα ότι τουλάχιστον ένας θα τραβήξει μπάλες ίδιου χρώματος. (8%) (ii) Αν υπάρχει μόνο ένας παίκτης που τραβάει 4 μπάλες, ποια η πιθανότητα να τραβήξει τουλάχιστον ένα ζευγάρι μπάλες ίδιου χρώματος; (8%) ΛΥΣΗ (i) Η πιθανότητα να τραβήξει ζευγάρι έστω ένας είναι το συμπλήρωμα της πιθανότητας να μην τραβήξει κανείς ζευγάρι, οπότε: P (at least one pair) = P (no pair) = P (st player no pair, nd player no pair) = = P (nd player no pair st player no pair)p (st player no pair) ( ) Ο πρώτος παίκτης επιλέγει μπάλες από, με συνολικά πιθανούς τρόπους, από τους οποίους αποτελούνται από μπάλες ίδιου χρώματος. Οπότε: ( ) ( ) P (st player no pair) = ( ) = ( ) ( ) Ο δεύτερος παίκτης, δεδομένου ότι ο πρώτος δεν έβγαλε ζευγάρι, επιλέγει από μπάλες με πιθανούς τρόπους. Επειδή ο πρώτος παίκτης τράβηξε διαφορετικές μπάλες, τα πιθανά ζευγάρια που μπορεί να τραβήξει ο δεύτερος είναι, οπότε: ( ) ( ) P (nd player no pair st player no pair) = ( ) = ( ) ( ) Οπότε συνολικά: P (at least one pair) = ) ( ) ( (ii) Η πιθανότητα να τραβήξει έστω ένα ζευγάρι είναι: P (at least one pair) = P (one pair) + P (two pairs) ( ) Για την πρώτη πιθανότητα θέλουμε να έχουμε ακριβώς ένα ζευγάρι, κάτι που μπορεί να συμβεί με τρόπους. Οι άλλες ( μπάλες ) της τετράδας πρέπει να είναι διαφορετικές. Αυτές οι μπάλες μπορούν να επιλεχθούν με πιθανούς τρόπους (καθώς λείπουν μπάλες) και μπορούν να σχηματίσουν ζευγάρι ( ) με τρόπους. Οπότε:

5 ( ) [( ) ( )] [( ) ] ( ) P (one pair) = ( ) = ( ) 4 4 ( ) Για την περίπτωση που θέλουμε ζευγάρια, αυτά μπορούν να επιλεγούν με τρόπους, οπότε: Και τελικά: ( ) P (two pairs) = ( ) 4 [( ) P (at least one pair) = ] ( ) ) ( 4 + ( ) Υλοποίηση των ερωτημάτων σε MATLAB Ενδεικτικά, δίδεται ο κώδικας που παράγει τα ζητούμενα σε Matlab. Κωδικοποιούμε τις μπάλες με αριθμούς, με κάθε αριθμό να εμφανίζεται δύο φορές. Επειτα δημιουργούμε όλους τους δυνατούς συνδυασμούς, δύο δυάδες στο πρώτο ερώτημα, μια τετράδα στο δεύτερο ερώτημα. Τέλος επιλέγουμε τους επιθυμητούς συνδυασμούς και μετράμε για να υπολογίσουμε τις επιθυμητές πιθανότητες. ΚΩΔΙΚΑΣ %c l e a r memory, screen and c l o s e a l l graphs clear a l l ; close a l l ; clc ; =? ; %c r e a t e v e c t o r with each c o l o r i n s e r t e d t w i c e tmp = [ : ; : ] ; vec = reshape (tmp,, ) ; %%%% QUESTION %choose 4 b a l l s out o f the b a l l s in vec, in a l l p o s s i b l e ways t b l = nchoose ( vec, 4 ) ; %f o r each unordered combination c r e a t e a l l p o s s i b l e ordered permutations t b l = [ ] ; for i =: size ( t b l )

6 end t b l = [ t b l ; perms ( t b l ( i, : ) ) ] ; %choose the l i n e s with a p a i r in elements : or 3:4 m3 = t b l ( t b l (:,)== t b l ( :, ) t b l (:,3)== t b l ( :, 4 ), : ) ; p = size (m3, ) / size ( tbl, ) %%%% QUESTION %choose 4 b a l l s out o f the b a l l s in vec, in a l l p o s s i b l e ways t b l = nchoose ( vec, 4 ) ; %m4 c o n t a i n s a when the unique elements o f a row o f t b l are under 4 = %t h e r e i s at l e a s t one p a i r m4 = [ ] ; for i =: size ( tbl, ) m4 = [m4 ; length ( unique ( t b l ( i, : ) ) ) < 4 ] ; end p = sum(m4)/ size ( tbl, )

7 ΑΣΚΗΣΗ 3 Ο Γιώργος και ο Γιάννης ανταγωνίζονται στο τρέξιμο. Οι χρόνοι τους εκφράζονται από τις Τ.Μ και y αντίστοιχα, με συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας: { { εάν c εάν y f ( ) = f y (y ) = αλλού αλλού Εστω Α το γεγονός ο Γιώργος κέρδισε τον αγώνα και Τ.Μ w = y. Υπολογίστε: (i) την σταθερά c. (5%) (ii) την αναμενόμενη τιμή E(w) (5%) (iii) τον ελάχιστο αριθμό αγώνων που πρέπει να τρέξουν, ώστε ο Γιάννης να έχει τουλάχιστον.99 πιθανότητα να κερδίσει ή περισσότερους αγώνες. Θεωρήστε τους αγώνες ανεξάρτητους. (5%) Υπολογίστε στο MATLAB, χρησιμοποιώντας γεννήτριες τυχαίων αριθμών: (iv) την αναμενόμενη τιμή E(w) (6%) (v) την αναμενόμενη τιμή E(w A) (6%) (vi) την πιθανότητα ο Γιώργος να κάνει χρόνο κάτω από.5 δεδομένου ότι κερδίζει P ( <.5 A) (6%) ΛΥΣΗ (i) Για να είναι η f y έγκυρη Σ.Π.Π, πρέπει να έχει ολοκλήρωμα. + f y (y ) dy = c dy = cy = i c = (ii) Αρκεί να χρησιμοποιήσουμε την γραμμικότητα της μέσης τιμής: E(w) = E(y ) = E(y) E() = = = = y f y (y ) dy = f ( ) d = (iii) Από την στιγμή που οι αγώνες είναι ανεξάρτητοι, μας αρκεί να υπολογίζουμε τις πιθανότητες νίκης για έναν αγώνα. Καθώς η νίκη εξαρτάται από τους χρόνους και των δύο, οπότε μας χρειάζεται η από κοινού Σ.Π.Π τους. Οι, y είναι ανεξάρτητες, οπότε: f,y (, y ) = f ( )f y (y ) =,, y Που σχηματικά αντιστοιχεί στο παρακάτω σκιασμένο εμβαδό, ενώ το σκούρο τρίγωνο δείχνει την περιοχή που ισχύει y, δηλαδή κερδίζει ο Γιάννης:

8 y Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα να κερδίσει ο Γιάννης θέλουμε το διπλό ολοκλήρωμα της από κοινού Σ.Π.Π στην τριγωνική περιοχή, δηλαδή: P (y ) = dy d = = d = = = = Η πιθανότητα να κερδίσει ο Γιάννης έναν ή περισσότερους από n αγώνες είναι το συμπλήρωμα της πιθανότητας να κερδίσει ο Γιώργος ακριβώς n αγώνες, οπότε: ( P = P (A) n = ( ) n 3. ) n = ( ) n 3.99 Αντικαθιστώντας τιμές του n ή χρησιμοποιώντας λογαρίθμους λύνουμε την τελευταία ανίσωση και βρίσκουμε τον αριθμό των αγώνων που μας ζητείται. (iv) + (v) + (vi) Εφαρμόζουμε την ίδια λογική όπως στην άσκηση που λύθηκε στην τάξη. Παράγουμε δυάδες από τυχαίους αριθμούς, τους μετατρέπουμε σε Τ.Μ. και επιλέγουμε τις ζητούμενες. ΚΩΔΙΚΑΣ %c l e a r memory, screen and c l o s e a l l graphs clear a l l ; close a l l ; clc ; %number o f eperiments i t e r = ; %random numbers m = rand( i t e r, ) ;

9 %transformation to random v a r i a b l e s m( :, ) = m( :, ) + ; m( :, ) = ( ) m( :, ) + ; %q u e s t i o n i v E = mean(m(:,) m ( :, ) ) %q u e s t i o n v m3 = (m(m( :, ) < m ( :, ), : ) ) ; Ea = mean(m3(:,) m3 ( :, ) ) %q u e s t i o n v i m4 = m3(m3( :, ) <. 5, : ) ; p = length (m4)/ size (m3, )

10 ΑΣΚΗΣΗ 4 Οι Τ.Μ, y ακολουθούν την από κοινού Σ.Π.Π: { cy εάν, y f,y (, y ) = αλλού Υπολογίστε: (i) την σταθερά c. (5%) (ii) την πιθανότητα P ( y). (5%) (iii) την πιθανότητα P (y ). (5%) (iv) την πιθανότητα P (min(, y) ), όπου min(, y) το μικρότερο των, y. (5%) (v) την πιθανότητα P (ma(, y) 3 4 ), όπου ma(, y) το μεγαλύτερο των, y. (5%) ΛΥΣΗ Η f,y ορίζεται στην περιοχή που δείχνει το σχήμα, αλλά δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε απευθείας εμβαδά καθώς δεν είναι ομοιόμορφη. Θα χρησιμοποιήσουμε σχήματα για να δούμε εποπτικά τα όρια που θα χρησιμοποιήσουμε στα διάφορα ολοκληρώματα. y (i) Για να είναι η f,y έγκυρη Σ.Π.Π, πρέπει να έχει ολοκλήρωμα, οπότε: c c + f,y (, y ) dy d = cy dy d = dy = 3 3 = c 5 6 = c = 6 5 (ii) Θέλουμε το διπλό ολοκλήρωμα της f,y στην σκιασμένη περιοχή:

11 y P ( y) = f,y (, y ) dy d = y dy d = 4 d = 5 = =.6 (iii) Υπάρχουν λύσεις, ανάλογα αν το είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από. Αν < : Θέλουμε το διπλό ολοκλήρωμα της f,y στην σκιασμένη περιοχή: y P ( y) = f,y (, y ) dy d = y dy d = 6 d = 7 4 = = 3 7

12 Αν > : Θέλουμε το διπλό ολοκλήρωμα της f,y στην σκιασμένη περιοχή: y Που για μεγαλύτερη ευκολία μπορεί να χωριστεί σε τμήματα: ένα τμήμα κάτω από την παραβολή για και ένα ορθογώνιο τμήμα για. Το σημείο = είναι το σημείο που η καμπύλη y = τέμνει την ευθεία y =. P ( y) = 3 4 f,y (, y ) dy d + y dy d + c 6 d + c + c 3 6 d = = 4 7 f,y (, y ) dy d = y dy d = (iv) Θέλουμε το διπλό ολοκλήρωμα της f,y στην σκιασμένη περιοχή, αλλά είναι ευκολότερο να υπολογίσουμε το εμβαδό της συμπληρωματικής περιοχής. y.5.5

13 P (min(, y) ) = P (min(, y) > ) = = = c = c 4 8 = c 4 8 f,y (, y ) dy d = y dy d = d = (v) Θέλουμε το διπλό ολοκλήρωμα της f,y στην σκιασμένη περιοχή: y P (ma(, y) ) = f,y (, y ) dy d = y dy d = d =