Το Χρώμα στα Γραυικά & στην Οπτικοποίηση

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Το Χρώμα στα Γραυικά & στην Οπτικοποίηση"

Transcript

1 Γραυικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 11 Το Χρώμα στα Γραυικά & στην Οπτικοποίηση

2 Δηζαγσγή Ζ κειέηε ηνπ ρξώκαηνο θαη ηεο αληίιεςήο ηνπ από ηνλ άλζξσπν, είλαη θιάδνο ησλ: Φπζηθήο Φπζηνινγίαο Τέρλεο Γπαθικών με Υπολογιζηή Οπηικοποίηζηρ Τν απνηέιεζκα ησλ αιγνξίζκσλ γξαθηθώλ θαη νπηηθνπνίεζεο είλαη κηα έγρξσκε (ή αζπξόκαπξε) εηθόλα πνπ απνηππώλεηαη ζε κηα ζπζθεπή εμόδνπ (νζόλε, εθηππσηήο) Ο πξνγξακκαηηζηήο γξαθηθώλ πξέπεη λα γλσξίδεη ηηο ζεκειηώδεηο αξρέο ηνπ ρξώκαηνο θαη ηεο ςεθηαθήο παξάζηαζήο ηνπ 2

3 Απνρξώζεηο Γθξη (grayscale) Ασπωμαηικό θσο: κόλν ραξαθηεξηζηηθό ε έληαζε Τα ρξσκαηηθά ραξαθηεξηζηηθά έρνπλ αθαηξεζεί Μηα ηηκή έληαζεο αλαπαξίζηαηαη από έλα πξαγκαηηθό αξηζκό κεηαμύ ηνπ 0 (καύξν) θαη ηνπ 1 (άζπξν) Οη ελδηάκεζεο ηηκέο θαινύληαη αποσπώζειρ ηος γκπι Έζησ d ην πιήζνο ησλ ςεθίσλ γηα ηελ αλαπαξάζηαζε ηεο έληαζεο ελόο εηθνλνζηνηρείνπ n=2 d δηαθνξεηηθέο ηηκέο έληαζεο γηα θάζε εηθνλνζηνηρείν Επώηηζη: Πνηεο ηηκέο έληαζεο πξέπεη λα αλαπαξαζηαζνύλ; Απάνηηζη: Ζ γξακκηθή δηαβάζκηζε ησλ ηηκώλ έληαζεο κεηαμύ κέγηζηεο & ειάρηζηεο, δελ έρεη θαιά απνηειέζκαηα: Τν αλζξώπηλν κάηη αληηιακβάλεηαη ιόγνπο έληαζεο θαη όρη απόιπηεο ηηκέο. Πρ. Λακπηήξαο W Έηζη, επηιέγεηαη ινγαξηζκηθή θαηαλνκή ησλ ηηκώλ έληαζεο 3

4 Απνρξώζεηο Γθξη (2) Έζησ Φ 0 ε ειάρηζηε ηηκή έληαζεο Γηα ηηο ζπλήζεηο νζόλεο: Φ 0 = (1/300) * κέγηζηε ηηκή 1 (άζπξν) Τέηνηεο νζόλεο έρνπλ δςναμικό εύπορ 300:1 Έζησ λ ν ιόγνο κεηαμύ δηαδνρηθώλ ηηκώλ έληαζεο Τόηε: Φ 1 = λ* Φ 0 Φ 2 = λ* Φ 1 =λ 2 *Φ 0 Φ n-1 = λ n-1 *Φ 0 = 1 Γνζέληνο ηνπ Φ 0 ηεο ζπζθεπήο εμόδνπ, ην λ ππνινγίδεηαη: λ = (1 / Φ 0 ) (1/n-1) (Λ) 4

5 Απνρξώζεηο Γθξη (3) Επώηηζη: Πόζεο ηηκέο έληαζεο απαηηνύληαη; Απάνηηζη: Αλ λ < 1.01, ηόηε ην αλζξώπηλν κάηη δελ κπνξεί λα δηαρσξίζεη δηαδνρηθέο ηηκέο έληαζεο Θέηνληαο λ = 1.01 θαη επηιύνληαο ηελ (Λ) σο πξνο n: 1.01 (n-1) *Φ 0 = 1 n = log 1.01 (1/Φ 0 ) + 1 Οη ζπλήζεηο νζόλεο έρνπλ Φ 0 ~ (1/300) n = 500 Γεμηά: Δηθόλα κε n=2,4,8,16,32,64,128 & 256 5

6 Απηνηππία (halftoning) Οη ηεσνικέρ αςηοηςπίαρ αληαιιάζνπλ ηελ ρσξηθή αλάιπζε κε αλάιπζε απνρξώζεσλ ηνπ γθξη (ή ρξώκαηνο) Λεηηνπξγνύλ αληίζεηα από ηελ αληηηαύηηζε Ζ απηνηππία πξνέξρεηαη από ηελ ηππνγξαθία: Σηηο αζπξόκαπξεο θσηνγξαθίεο ησλ εθεκεξίδσλ, θαίλεηαη εμ απνζηάζεσο όηη δηαηεξνύλ έλα πιήζνο απνρξώζεσλ ηνπ γθξη Με πξνζεθηηθόηεξε καηηά, δηαθξίλνληαη νη καύξεο θνπθίδεο πνηθίισλ κεγεζώλ πνπ ηηο απνηεινύλ Μέγεζνο θνπθίδαο: αλάινγν ηηκήο απόρξσζεο ηνπ γθξη 6

7 Απηνηππία (2) Χηθιακή πποζέγγιζη για ηην αςηοηςπία: πξνζνκνίσζε κεγέζνπο θνπθίδαο κε ππθλόηεηα καύξσλ εηθνλνζηνηρείσλ Ζ εηθόλα δηαηξείηαη ζε πεξηνρέο ησλ (m x m) εηθνλνζηνηρείσλ Αληαιιαγή ρσξηθήο αλάιπζεο γηα αλάιπζε απνρξώζεσλ γθξη Μείσζε ρσξηθήο αλάιπζεο θαηά m ζε θάζε δηάζηαζε Αύμεζε πιήζνπο ηηκώλ απνρξώζεσλ γθξη θαηά m 2 Παπάδειγμα: Έζησ κηα αζπξόκαπξε εηθόλα. Ζ (2x2) δηακέξηζε ησλ εηθνλνζηνηρείσλ (m = 2) δίλεη 5 απνρξώζεηο γθξη. Δλ γέλεη, γηα (m xm) πεξηνρέο δηακέξηζεο, κε 2 αξρηθέο απνρξώζεηο γθξη, παίξλνπκε m 2 +1 ηειηθέο απνρξώζεηο ηνπ γθξη 7

8 Απηνηππία (3) Ζ παξαπάλσ αλάζεζε απνρξώζεσλ ηνπ γθξη κπνξεί λα παξαζηαζεί κε ηνλ πίλαθα: όπνπ κηα ζπγθεθξηκέλε απόρξσζε ηνπ γθξη k (0 k 4) αλαπαξίζηαηαη αλάβνληαο ηηο ζέζεηο ηεο (2 x 2) πεξηνρήο ζηηο νπνίεο ε αληίζηνηρε ηηκή είλαη κηθξόηεξε ηνπ k 8

9 Απηνηππία (4) Τα όξηα ησλ ηερληθώλ απηνηππίαο ηίζεληαη από: Τελ αξρηθή ρσξηθή αλάιπζε ηεο εηθόλαο Τελ απόζηαζε παξαηήξεζεο Πρ: Γελ έρεη λόεκα ε αληαιιαγή όιεο ηεο ρσξηθήο αλάιπζεο γηα απνρξώζεηο ηνπ γθξη Ζ αθνινπζία πνπ νξίδεη ηηο απνρξώζεηο ηνπ γθξη πξέπεη λα επηιεγεί πξνζερηηθά Απμεηηθή: ηα εηθνλνζηνηρεία πνπ επηιέγνληαη γηα ηελ απόρξσζε i πξέπεη λα είλαη ππνζύλνιν ησλ εηθνλνζηνηρείσλ ηεο απόρξσζεο j γηα θάζε j>i Καθή επηινγή γηα απόρξσζε 2: 9

10 Απηνηππία (5) Μηα θαιή αθνινπζία (2x2) πεξηνρέο είλαη ε: 0 2 H Αλαδξνκηθή θαηαζθεπή κεγαιύηεξσλ πηλάθσλ, όπσο, (4x4), (8x8) σο εμήο: 4 Hm/2 4 Hm/2 2 Um/2 k Hm, 4, m m Hm/2 Um/2 Hm/2 Um/2 όπνπ U m είλαη ν (m x m) πίλαθαο κε όια ηα ζηνηρεία ίζα κε 1 10

11 Απηνηππία (6) Ζ απηνηππία επεθηείλεηαη άκεζα ζε κέζα πνπ κπνξνύλ λα απνηππώζνπλ πνιιαπιά επίπεδα απνρξώζεσλ ηνπ γθξη αλά εηθνλνζηνηρείν Φξήζε πεξηνρώλ (m x m) γηα αύμεζε ηνπ πιήζνπο απνρξώζεσλ ηνπ γθξη από k ζε (k 1)m 2 +1, κε ηαπηόρξνλε κείσζε ηεο δηαζέζηκεο ρσξηθήο αλάιπζεο θαηά m ζηνπο άμνλεο x θαη y Π.ρ. m=2 k=4 11

12 Απηνηππία (7) Σηελ απηνηππία ππνζέηνπκε όηη ππάξρεη αθζνλία ρσξηθήο αλάιπζεο (αλάιπζε νζόλεο >> αλάιπζε εηθόλαο) αληαιιαγή ρσξηθήο αλάιπζεο γηα αλάιπζε απνρξώζεσλ γθξη Επώηηζη: Τη γίλεηαη αλ ε εηθόλα θαη ε νζόλε έρνπλ ηελ ίδηα ρσξηθή αλάιπζε, αιιά ε εηθόλα έρεη κεγαιύηεξε αλάιπζε απνρξώζεσλ γθξη από ηελ νζόλε; Απάνηηζη 1: Απιή ζηξνγγύιεπζε: θαθό απνηειέζκα (κεγάιε απώιεηα πιεξνθνξίαο): 12

13 Απηνηππία (8) Απάνηηζη 2: Οη Floyd & Steinberg πξόηεηλαλ κέζνδν πνπ πεξηνξίδεη ηελ απώιεηα πιεξνθνξίαο, κεηαβηβάδνληαο ην ζθάικα ζηξνγγύιεπζεο από έλα εηθνλνζηνηρείν ζηα γεηηνληθά ηνπ Ζ δηαθνξά ε αλάκεζα ζηελ πξαγκαηηθή ηηκή ηηο εηθόλαο E x,y & ηεο πιεζηέζηεξεο ηηκήο παξάζηαζεο O x,y ηνπ εηθνλνζηνηρείνπ (x, y) ζηελ νζόλε ππνινγίδεηαη σο: ε = E x,y O x,y Τν εηθνλνζηνηρείν παίξλεη ηελ ηηκή O x,y θαη ην ζθάικα ε κεηαβηβάδεηαη ζε 3 γεηηνληθά εηθνλνζηνηρεία σο εμήο: E x+1,y = E x+1,y + 3 ε / 8, E x,y 1 = E x,y ε /8, E x+1,y 1 = E x+1,y 1 + ε /4 13

14 Απηνηππία (9) Βειηησκέλα απνηειέζκαηα ζε ζύγθξηζε κε απιή ζηξνγγύιεπζε 14

15 Απηνηππία (10) όπνπ D G : αλάιπζε απνρξώζεσλ γθξη νζόλεο I G : αλάιπζε απνρξώζεσλ γθξη εηθόλαο D S : ρσξηθή αλάιπζε νζόλεο I S : ρσξηθή αλάιπζε εηθόλαο 15

16 Γηόξζσζε Γάκκα Ζ ηάζε (είζνδνο) κηαο νζόλεο ζρεηίδεηαη κε γξακκηθά κε ηελ έληαζε (έμνδνο) ελόο εηθνλνζηνηρείνπ: όπνπ γ έξοδορ = είζοδορ γ [1.5, 3.0] θαη εμαξηάηαη από ηελ νζόλε Οη ηηκέο ηάζεο εηζόδνπ θαλνληθνπνηνύληαη ζην [0, 1] Δηθόλεο πνπ δελ έρνπλ δηνξζσζεί σο πξνο γ, εκθαλίδνληαη πνιύ ζθνηεηλέο Διόπθωζη Γάμμα: Γηνξζώλεη ηηο ηηκέο ηάζεο εηζόδνπ ώζηε λα δηαζθαιίζεη γξακκηθή ζρέζε κεηαμύ ηηκώλ εηζόδνπ θαη απεηθόληζεο (εμόδνπ) : είζοδορ = είζοδορ 1/γ Οη ηηκέο είζοδορ απνηεινύλ ηελ εηθόλα κε Γηόξζσζε Γάκκα 16

17 Γηόξζσζε Γάκκα (2) Απιζηεπά: Γηνξζσκέλε εηθόλα Δεξιά: κε δηνξζσκέλε εηθόλα Γπζθνιίεο πινπνίεζεο: Μηα ζπζθεπή απεηθόληζεο κπνξεί (θαη πξέπεη λα γλσξίδνπκε): λα εθαξκόδεη Γηόξζσζε Γάκκα λα εθαξκόδεη κεξηθώο Γηόξζσζε Γάκκα λα ΜΖΝ εθαξκόδεη Γηόξζσζε Γάκκα Τξέρνπζεο δνκέο εηθόλσλ δελ απνζεθεύνπλ πιεξνθνξίεο γηα Γηόξζσζε Γάκκα δύζθνιε ε δηαρείξηζε ηεο ηερληθήο κεηαμύ ζπζθεπώλ Γηόξζσζε Γάκκα ζε αζπξόκαπξεο αιιά θαη ζε έγρξσκεο εηθόλεο Σηελ δεύηεξε πεξίπησζε επεξεάδεη ηελ έληαζε 17

18 Φξσκαηηθά Μνληέια Σε έλαλ θόζκν πινύζην ζε ρξώκαηα, δελ ππάξρνπλ ρξώκαηα! Φξώκα: Απνηέιεζκα δηαδηθαζηώλ αηνκηθήο αληίιεςεο Φπωμαηικό Μονηέλο: έλα κνληέιν ην νπνίν Πεξηγξάθεη Σπγθξίλεη Καηεγνξηνπνηεί Ταμηλνκεί ηα ρξώκαηα Απιή πξνζέγγηζε: Γξακκηθό κνληέιν Αξηζηνηέιε Δκπλεπζκέλν από ηελ θπθιηθή δηαδνρή ησλ ρξσκάησλ ζηνλ νπξαλό από θαηά ηε δηαδνρή κέξαο - λύρηαο Goethe 18

19 Φξσκαηηθά Μνληέια (2) Τα νξαηά ρξώκαηα αληηζηνηρνύλ ζε ζπρλόηεηεο θσηόο: Καιύπηνπλ κηθξό κέξνο ηνπ ειεθηξνκαγλεηηθνύ θάζκαηνο Γηαθνξεηηθέο ζπρλόηεηεο αλαπαξηζηνύλ δηαθνξεηηθά ρξώκαηα Hz (θόθθηλν) σο Hz (κσβ) 19

20 Φξσκαηηθά Μνληέια: Καηεγνξίεο Μη Εξαπηημένα από ζςζκεςή πποβολήρ Οη ρξσκαηηθέο ζπληεηαγκέλεο αλαπαξηζηνύλ έλα κνλαδηθό ρξώκα Φξήζηκα γηα ηελ κεηαηξνπή κεηαμύ εμαξηεκέλσλ από ζπζθεπή ρξσκαηηθώλ κνληέισλ Πρ. CIE XYZ Εξαπηημένα από ζςζκεςή πποβολήρ Ίδηεο ρξσκαηηθέο ζπληεηαγκέλεο παξάγνπλ ειαθξώο δηαθνξεηηθό ρξώκα ζε δηαθνξεηηθέο ζπζθεπέο Πρ. RGB, CMY Κάπνηα κνληέια αθνινπζνύλ ηε θηινζνθία ηεο ζπζθεπήο πξνβνιήο θαη ρξεζηκνπνηώληαο βαζηθά ρξώκαηα παξάγνπλ ηπραία ρξώκαηα: i. Πξνζζεηηθό Μνληέιν: πξνζζέηεη ζπλεηζθνξέο βαζηθώλ ρξσκάησλ (νζόλε) ii. Αθαηξεηηθό Μνληέιν: κίμε ρξώκαηνο επηηπγράλεηαη κέζσ αθαηξεηηθήο δηαδηθαζίαο (εθηππσηήο) 20

21 Φξσκαηηθά Μνληέια: Καηεγνξίεο (2) Ανηιλαμβανόμενη γπαμμικόηηηα (Perceptual linearity): Ηζρύεη όηαλ ε αληηιεπηή δηαθνξά κεηαμύ 2 ρξσκάησλ είλαη αλάινγε ηεο δηαθνξάο ησλ αληίζηνηρσλ ρξσκαηηθώλ ηηκώλ ζε νιόθιεξν ην θάζκα ηνπ ρξσκαηηθνύ κνληέινπ Διαιζθηηική σπηζηικόηηηα: Δπηζπκεηή Θα εμεηαζηνύλ ηα παξαθάησ ρξσκαηηθά κνληέια: 1. CIE XYZ 2. CIE Yu v 3. CIE L*a*b* 4. RGB 5. HSV 6. CMY(K) 21

22 1. Φξσκαηηθό Μνληέιν CIE XYZ 1 νο Νόκνο ηνπ Grassman: Οπνηνδήπνηε ρξώκα πξνθύπηεη ζαλ γξακκηθόο ζπλδπαζκόο 3 βαζηθώλ ρξσκάησλ Πξνϋπόζεζε: Καλέλαο ζπλδπαζκόο νπνηνπδήπνηε ππνζπλόινπ βαζηθώλ δελ παξάγεη άιιν βαζηθό ρξώκα Αλάινγν κε ηε γξακκηθή αλεμαξηεζία ησλ δηαλπζκάησλ βάζεο ζε έλα ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ Αλαπαξάζηαζε ρξώκαηνο ζηνλ 3Γ ρξσκαηηθό ρώξν X,Y,Z Οη άμνλεο ηνπ ρξσκαηηθνύ ρώξνπ νξίδνληαη από ηα 3 ρξώκαηα δελ είλαη νξαηά ρξώκαηα, αιιά ππνινγηζηηθέο πνζόηεηεο X,Y,Z Αλακηγλύνληαο ηα βαζηθά ρξώκαηα κε θαηάιιειεο αλαινγίεο X,Y,Z κπνξνύλ λα παξαρζνύλ όια ηα νξαηά ρξώκαηα 22

23 1. Φξσκαηηθό Μνληέιν CIE XYZ (2) X,Z παξέρνπλ πιεξνθνξία ρξσκαηηθόηεηαο Y αληηζηνηρεί ζηελ έληαζε Τα βαζηθά ρξώκαηα ζπλζέηνπλ κηα ρξσκαηηθή βάζε F Τα ινηπά ρξώκαηα εθθξάδνληαη ζαλ γξακκηθνί ζπλδπαζκνί ηεο βάζεο: F X XY Y Z Z όπνπ X,Y,Z είλαη νη ρξσκαηηθέο ζπληεηαγκέλεο ηνπ F 23

24 1. Φξσκαηηθό Μνληέιν CIE XYZ (3) Φξσκαηηθή κίμε: 2 νο Νόκνο ηνπ Grassman Αλ F X X Y Y Z Z θαη F X X Y Y Z Z είλαη 2 δνζέληα ρξώκαηα, ε κίμε ηνπο εθθξάδεηαη σο: F ( X X ) X ( Y Y ) Y ( Z Z ) Z M Παξνκνίσο νξίδεηαη ε παξεκβνιή ρξώκαηνο θαηά παξάγνληα (0 t 1) κεηαμύ ησλ ρξσκάησλ : F, F 1 2 F ( t X (1 t) X ) X ( t Y (1 t) Y ) Y ( t Z (1 t) Z ) Z I

25 1. Φξσκαηηθό Μνληέιν CIE XYZ (4) Φπωμαηικό ηπίγωνο ΦYZ: Γεκηνπξγείηαη κε ηελ πξνβνιή ηνπ κνληέινπ CIE XYZ ζην επίπεδν X + Y + Z = 1 Έλα ηπραίν ρξώκα (X,Y,Z) αληηζηνηρεί ζην ζεκείν (x, y, z) ηνπ ηξηγώλνπ: x X, y Y, z Z ( X Y Z) ( X Y Z) ( X Y Z) Τν (x, y, z) είλαη ε ηνκή ηνπ δηαλύζκαηνο (X,Y,Z) & ηνπ ηξηγώλνπ XYZ Αθνύ X+Y+Z=1 Φξώκαηα ηξηγώλνπ πεξηγξάθνληαη από 2 ζπληεηαγκέλεο XY ηξίγσλν: Πξνβνιή ηνπ ηξηγώλνπ XYZ ζην επίπεδν xy: 25

26 1. Φξσκαηηθό Μνληέιν CIE XYZ (5) Δλαιιαθηηθόο ηξόπνο θαζνξηζκνύ ρξώκαηνο, κέζσ ρξσκαηηθνύ ηξηγώλνπ, είλαη ην CIE Yxy Γίλεη ηηο ηηκέο ησλ x & y (ή άιινπ δεύγνπο ηεο ηξηπιέηαο (x, y, z)) Δπηπξόζζεηα δίλεη ηελ ηηκή έληαζεο Y CIE Yxy CIE XYZ : X x Y, Y Y, Z (1 x y) Y z Y y y y Τν ηξίγσλν XY πεξηέρεη όια ηα νξαηά ρξώκαηα (εληόο θακπύιεο) Ζ ζθηαζκέλε πεξηνρή αλαπαξηζηά ηα ρξώκαηα πνπ απαληώληαη ζηελ θύζε 26

27 2. Φξσκαηηθό Μνληέιν CIE Yu v Μεηαζρεκαηηζκόο ηνπ CIE XYZ Παξέρεη αληηιακβαλόκελε γξακκηθόηεηα Οξίδεη u & v σο πξνο x & y ηνπ CIE XYZ: u 4x 9y, v 2x 12y 3 2x 12y 3 Ο παξαπάλσ κεηαζρεκαηηζκόο είλαη εύθνια αληηζηξέςηκνο 3 ε ζπληζηώζα είλαη πεξηηηή Πιήξεο θαζνξηζκόο ρξώκαηνο ζην CIE Yu v δίλεηαη από ηελ ηξηπιέηα (Y, u,v ) Y είλαη ε ίδηα ηηκή έληαζεο όπσο ζην CIE XYZ 27

28 3. Φξσκαηηθό Μνληέιν CIE L*a*b* Δπίζεο κεηαζρεκαηηζκόο ηνπ CIE XYZ Δπίζεο παξέρεη αληηιακβαλόκελε γξακκηθόηεηα Δμαξηώκελν από ζπζθεπή πξνβνιήο Οη παξάκεηξνί ηνπ θαζνξίδνληαη ζε ζρέζε κε ην λεςκό ζημείο ηεο ζπζθεπήο πξνβνιήο Λεπθό ζεκείν: Φξώκα πνπ απνηππώλεηαη ζηε ζπζθεπή όηαλ όιεο νη ρξσκαηηθέο ζπληζηώζεο ιακβάλνπλ ηηο κέγηζηεο ηηκέο ηνπο Σπλήζσο γηα r = g = b = 1 Τν ρξώκα απηό εθθξάδεηαη ζην CIE XYZ ζαλ (Xn, Yn, Zn) Τν CIE L*a*b* νξίδεη 3 παξακέηξνπο: L* γηα ηελ έληαζε a*b* γηα ηελ ρξσκαηηθόηεηα 28

29 3. Φξσκαηηθό Μνληέιν CIE L*a*b* (2) Με όξνπο ηνπ CIE XYZ θαη κε ιεπθό ζεκείν ην (Xn, Yn, Zn), νη παξάκεηξνη ηνπ CIE L*a*b* είλαη: L* Yr, if Yr , a* 500( f ( X ) f ( Y )) Yr 16, if Yr , b* 200( f ( Y ) f ( Z )) όπνπ Ο παξαπάλσ κεηαζρεκαηηζκόο είλαη αληηζηξέςηκνο r r r r X Y Z X Y Z r r r X n Yn Zn 3 t, if t f() t 7.787t 16 /116, if t , 29

30 4. Τν Φξσκαηηθό Μνληέιν RGB Πξνζζεηηθό κνληέιν κε βαζηθά ρξώκαηα R-θόθθηλν, G-πξάζηλν, B- κπιε Φξεζηκνπνηείηαη γηαηί ε αλζξώπηλε όξαζε βαζίδεηαη ζε ρξσκν-επαίζζεηα θσλία R,G,B Έλα ηπραίν ρξώκα F εθθξάδεηαη σο: όπνπ ηα δηαλύζκαηα βάζεο θόθθηλν, πξάζηλν θαη κπιε, θαη r, g, b : νη ζπληεηαγκέλεο ρξώκαηνο ηνπ Σηηο νζόλεο : F r R g G b B R, G, B: Τα ρξώκαηα δεκηνπξγνύληαη κε πξνζζεηηθό ηξόπν Ο πξνζζεηηθόο ηξόπνο κίμεο μεθηλά κε ην καύξν (ρσξίο θσο) Καη θαηαιήγεη ζην άζπξν (ην άζξνηζκα ησλ βαζηθώλ ρξσκάησλ) Όζν πξνζηίζεληαη βαζηθά, ην απνηέιεζκα είλαη πην θσηεηλό & πξνο ην άζπξν F 30

31 4. Τν Μνληέιν RGB (2) Έγρξσκνη ζαξσηέο: Γνπιεύνπλ παξόκνηα κε ηηο νζόλεο Μεηξνύλ ηελ πνζόηεηα ησλ βαζηθώλ ρξσκάησλ πνπ αληαλαθιά / δηαδίδεη έλα αληηθείκελν Τηο κεηαηξέπνπλ ζε ςεθηαθέο ηηκέο Τν κνληέιν RGB είλαη ρξήζηκν ζε ηέηνηεο ζπζθεπέο ιόγσ: Τεο πξνζζεηηθήο θύζεο ηνπ Φξήζεο σο βάζε ησλ θόθθηλν, πξάζηλν, κπιε: νξαηά ρξώκαηα, όρη ζεσξεηηθέο πνζόηεηεο Μίμε θαη Παξεκβνιή Φξώκαηνο: όκνηα κε ην CIE XYZ 31

32 4. Τν Μνληέιν RGB (3) RGB κύβορ: Ο κνλαδηαίνο θύβνο ζην ρώξν RGB Τα ρξώκαηα αληηζηνηρνύλ ζε δηαλύζκαηα πνπ μεθηλνύλ από ην θέληξν (0,0,0), ζεκείν ηνπ καύξνπ, θαη θαηαιήγνπλ εληόο θύβνπ Π.Φ. ην ιεπθό είλαη ην (1,1,1) θαη ην πξάζηλν ην (0,1,0) Ζ θαηεύζπλζε ηνπ δηαλύζκαηνο είλαη ε ρξσκαηηθόηεηα Τν κήθνο ηνπ δηαλύζκαηνο νξίδεη ηελ έληαζε Ζ θύξηα δηαγώληνο απνηειείηαη από απνρξώζεηο ηνπ γθξη (από καύξν ζην άζπξν) 32

33 4. Τν Μνληέιν RGB (4) RGB ηπίγωνο: ε ηνκή ηνπ RGB θύβνπ κε ην επίπεδν πνπ νξίδνπλ ηα ζεκεία: Κόθθηλν (1,0,0) Πξάζηλν (0,1,0) Μπιε (0,0,1) Όια ηα RGB ρξώκαηα απεηθνλίδνληαη ζην RGB ηξίγσλν Ζ κόλε πιεξνθνξία πνπ ράλεηαη είλαη ε έληαζε 33

34 4. Τν Μνληέιν RGB (5) Με ην RGB ηξίγσλν, ε έλλνηα ηεο ρξσκαηηθόηεηαο αλαιύεηαη ζε: 1. Απόσπωζη: Δίλαη ην θπξίαξρν κήθνο θύκαηνο Γίλεη ζην ρξώκα ηελ ηαπηόηεηά ηνπ Όιεο νη απνρξώζεηο βξίζθνληαη ζηελ πεξίκεηξν ηνπ RGB ηξηγώλνπ 2. Κοπεζμό: Δίλαη ε πνζόηεηα ηνπ άζπξνπ ζε έλα ρξώκα Δίλαη κέγηζηνο ζην θέληξν ηνπ ηξηγώλνπ Δίλαη ειάρηζηνο ζηελ πεξίκεηξν Φξώκαηα κε ίδηα απόρξσζε θαη δηαθνξεηηθό θνξεζκό βξίζθνληαη ζην επζύγξακκν ηκήκα πνπ ζπλδέεη έλα ζεκείν ηεο παξακέηξνπ κε ην θέληξν ηνπ ηξηγώλνπ Σηνλ RGB θύβν, θνξεζκόο είλαη ε γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ην δηάλπζκα ηνπ ρξώκαηνο κε ηε δηαγώλην ηνπ θύβνπ 34

35 4. Τν Μνληέιν RGB (6) Αληηζηνηρία κεηαμύ νξαηώλ ρξσκάησλ & κνληέινπ RGB: Αλαινγίεο θόθθηλνπ, πξάζηλνπ θαη κπιε πνπ απαηηνύληαη γηα ηελ παξαγσγή νξαηώλ ρξσκάησλ: Τν κνληέιν RGB: Γελ παξέρεη αληηιακβαλόκελε γξακκηθόηεηα Γελ παξέρεη δηαηζζεηηθή ρξεζηηθόηεηα: δελ είλαη εύθνιν λα βξεζεί θαηάιιεινο ζπλδπαζκόο RGB γηα ηπραίν ρξώκα Δίλαη εμαξηεκέλν από ζπζθεπή (Device- dependent) 35

36 4. Τν Μνληέιν RGB (7) Τν κνληέιν RGB είλαη εμαξηεκέλν από ζπζθεπή: Ζ ίδηα ηξηπιέηα (r,g,b) πηζαλώο εκθαλίδεη δηαθνξεηηθά ρξώκαηα ζε δηαθνξεηηθέο νζόλεο Πξέπεη λα εμαζθαιίδεηαη όηη ηα ρξώκαηα ζα εκθαλίδνληαη ίδηα θαηά ηε κεηαθνξά έγρξσκσλ εηθόλσλ κεηαμύ ζπζθεπώλ Μεηαηξνπή RGB δηαθνξεηηθώλ ζπζθεπώλ κέζσ ελδηάκεζνπ κνληέινπ, αλεμάξηεηνπ ζπζθεπήο Σπλήζσο νη νζόλεο παξέρνπλ πίλαθα M γηα κεηαηξνπή ζην ΦΥΕ: X r X R X G X B Y g όπνπ YR YG Y M M B Z b ZR ZG Z B Γεδνκέλσλ πηλάθσλ κεηαηξνπήο M 1, M 2, δύν νζνλώλ, ε κεηαηξνπή ησλ RGB ρξσκάησλ κεηαμύ ηνπο γίλεηαη σο εμήο: r2 r1 1 g g M M 1 b b

37 4. Τν Μνληέιν RGB (8) Διαφάνεια: Χρώμα Άλφα Bits αλά εηθνλνζηνηρείν (bpp) Ο αξηζκόο ησλ bits γηα ηελ απνζήθεπζε ηνπ ρξώκαηνο ελόο εηθνλνζηνηρείνπ Οξίδεη -ην κέγηζην αξηζκό ρξσκάησλ πνπ εκθαλίδνληαη ηαπηόρξνλα ζηελ εηθόλα - ην κέγεζνο ηεο εηθόλαο Σπλήζσο: 8 bits γηα θάζε θαλάιη ρξώκαηνο 24 bpp Οη ιέμεηο είλαη 32 bits ηα ππόινηπα 8 bits αλαπαξηζηνύλ ηε διαθάνεια a Φξώκα άιθα: Δίλαη κηα ηεηξαπιέηα [r, g, b, a] T, a 0 Ηζνδπλακεί κε [r/a, g/a, b/a] T a παξηζηάλεη ηελ επηϕάλεηα (ή όγθν) κέζα ζηελ νπνία πϕίζηαηαη ε ρξσκαηηθή ελέξγεηα Φξώκα άιθα: [C, a]=[ζπλεηζθνξά-ελέξγεηαο,ζπλεηζθνξά-επηθάλεηαο], C = r,g,b Ζ παξάζηαζε άιθα είλαη παξόκνηα κε ηηο νκνγελείο ζπληεηαγκέλεο ζηελ πξνβνιηθή γεσκεηξία 37

38 4. Τν Μνληέιν RGB (9) Διαφάνεια: Χρώμα Άλφα Παπάδειγμα: Έζησ δηαθαλέο αληηθείκελν A κε ρξώκα άιθα [C A,1] T βξίζθεηαη κπξνζηά από δηαθαλέο αληηθείκελν B κε ρξώκα άιθα [C B,1] T Τν A είλαη δηαθαλέο άξα ην ρξώκα ηνπ ζπλεηζθέξεη κόλν a A Πξέπεη λα κεηώζνπκε ηελ επηθάλεηα θάιπςεο ηνπ A Ζ ζπλεηζθνξά ηνπ είλαη [a A C A, a A ] T ζε όξνπο πξνβνιήο Ζ ζπλεηζθνξά ηνπ πίζσ αληηθεηκέλνπ είλαη a B ηεο δηθήο ηνπ δηαθάλεηαο ην πνζνζηό ηνπ ρξώκαηνο (1- a A ) πνπ επηηξέπεη ην Α λα πεξάζεη: [ (1 ) C, (1 )] T B A B B A Ζ ζπλνιηθή ζπλεηζθνξά ησλ 2 αληηθεηκέλσλ (γλσζηό σο ηειεζηήο over) είλαη: [ C (1 ) C, (1 )] T A A B A B A B A 38

39 4. Τν Μνληέιν RGB (10) Συμπιεσμένη μορφή RGB Τν κέγεζνο κηαο εηθόλαο κεηώλεηαη, κεηώλνληαο ην bpp Δπηηπγράλεηαη κε επαλαδεηγκαηνιεςία ηνπ θάζκαηνο θάζε ρξσκαηηθήο ζπληζηώζαο r:g:b:a δείρλεη ηελ θαηαλνκή ησλ bit ηνπ bpp ζε r, g, b, a Αλ δίλνληαη 3 αξηζκνί δε ρξεζηκνπνηείηαη δηαθάλεηα Π.ρ. 4:4:4:4, 5:5:5:1, 5:6:5, 3:3:2 39

40 5. Τν Φξσκαηηθό Μνληέιν HSV Οη αλαινγίεο θόθθηλνπ, πξάζηλνπ, κπιε ελόο ρξώκαηνο ειέγρνπλ: Απόρξσζε Κνξεζκό Έληαζε Δπθνιόηεξν λα νξίζνπκε έλα ρξώκα κε ηηο παξαπάλσ ηδηόηεηεο Ο θαιιηηέρλεο A.H.Munsell πξόηεηλε ην ζύζηεκα απόρξσζε-θνξεζκόο-ηηκή έληαζεο (HSV) Τα ρξώκαηα γεσκεηξηθά απεηθνλίδνληαη πάλσ ζε θώλν on a cone Απόσπωζη: Παξάηαμε ρξσκάησλ πάλσ ζε θύθιν (ηξνρόο ρξσκάησλ) Απόρξσζε είλαη ε γσλία αλαθνξηθά κε αξρηθή ζέζε θύθινπ Πρ. ην θόθθηλν είλαη ζηηο 0, ην πξάζηλν ζηηο 120, ην κπιε ζηηο 240 Ο θύθινο αληηζηνηρεί ζε κηα εγθάξζηα ηνκή θώλνπ 40

41 5. Τν Μνληέιν HSV (2) Κοπεζμόρ: Μέγηζηνο ζηελ επηθάλεηα ηνπ θώλνπ (ρσξίο ηε βάζε) είλαη ηα ακηγή ρξώκαηα κε κέγηζηε ρξσκαηηθόηεηα Ο άμνλαο ηνπ θώλνπ έρεη ηελ ειάρηζηε ρξσκαηηθόηεηα (απνρξώζεηο γθξί) Τιμή ένηαζηρ: Διάρηζηε ηηκή (0): απνπζία θσηόο (καύξν) Μέγηζηε ηηκή: ην ρξώκα έρεη ηε κέγηζηε ηηκή έληαζεο Απεηθνλίδεηαη πάλσ ζηνλ άμνλα ηνπ θώλνπ: 0 : ε θνξπθή ηνπ θώλνπ Μέγηζηε ηηκή: ην θέληξν ηεο βάζεο ηνπ θώλνπ 41

42 6. Τν Φξσκαηηθό Μνληέιν CMY(K) Αθαηξεηηθό κνληέιν : Φξεζηκνπνηείηαη ζηε εθηύπσζε (& δσγξαθηθή!) Ζ αθαηξεηηθή κίμε μεθηλά κε ην άζπξν (θακβάο ή ραξηί) Καζώο πξνζηίζεηαη ρξώκα, ην απνηέιεζκα ζθνπξαίλεη & ηείλεη ζην καύξν Πρ. αλ ξίμνπκε θπαλή κπνγηά ζε ραξηί, απηή απνξξνθά ην θόθθηλν θσο: αλ ην ραξηί θσηίδεηαη κε άζπξν θσο (άζπξν= θόθθηλν + πξάζηλν + κπιε) ην αλαθιώκελν θσο ζα είλαη (θόθθηλν + πξάζηλν + κπιε) θόθθηλν = θπαλό Τν κνληέιν CMY είλαη ζπκπιεξσκαηηθό ηνπ RGB Βαζηθά ρξώκαηα : θπαλό ( C), κσβ ( M ), θίηξηλν ( Y ) Έλα ρξώκα F γξάθεηαη σο γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ 3 βαζηθώλ ρξσκάησλ: F c C m M y Y όπνπ c, m, y: νη ρξσκαηηθέο ζπληεηαγκέλεο ηνπ F 42

43 6. Τν Μνληέιν CMY(K) (2) Τν κνληέιν CMY δελ παξέρεη αληηιακβαλόκελε γξακκηθόηεηα νύηε δηαηζζεηηθή ρξεζηηθόηεηα (όπσο θαη ην RGB, ζπκπιήξσκα) Μεηαηξνπέο κεηαμύ CMY θαη RGB: c 1 r r 1 c m 1 g g 1 m y 1 b b 1 y Ο κύβορ CMY: Δίλαη ν κνλαδηαίνο θύβνο ζην ρώξν CMY Τν άζπξν βξίζθεηαη ζην (0, 0, 0) Τν καύξν βξίζθεηαη ζην (1, 1, 1) Τα ππόινηπα ρξώκαηα βξίζθνληαη ζηηο ζπκπιεξσκαηηθέο ζέζεηο από όηη ζηνλ RGB θύβν 43

44 6. Τν Μνληέιν CMY(K) (3) Τν κνληέιν CMYK : Όκνην κε CMY κόλν πνπ πεξηέρεη θαη ην καύξν ρξώκα Τν καύξν ρξεζηκνπνηείηαη γηα λα επηηξέςεη ηε δηαδηθαζία ζύλζεζεο ελόο ρξώκαηνο F κε ηα ειάρηζηα ζπζηαηηθά ηνπ Φξήζηκν γηα εθηππσηέο Απνθπγή ζύλζεζεο ηνπ καύξνπ (γηα θείκελν, δηαγξάκκαηα) Οηθνλνκία ζην κειάλη Καιύηεξε πνηόηεηα καύξνπ 44

45 6. Τν Μνληέιν CMY(K) (4) Μεηαηξνπή από CMY ζε CMYK: b min( c, m, y) c m y c b 1 b m b 1 b y b 1 b όπνπ c, m, y, b: νη ρξσκαηηθέο ζπληζηώζεο ηνπ CMYK 45

46 6. Τν Μνληέιν CMY(K) (5) Μεηαηξνπή από RGB (νζόλε) ζε CMY (εθηππσηήο): Καη ηα δπν κνληέια είλαη εμαξηεκέλα από ζπζθεπή Αξρηθά, κεηαηξνπή ηνπ RGB ζε ζύζηεκα κε εμαξηεκέλν από ζπζθεπή (πρ. CIE XYZ) Ύζηεξα, κεηαηξνπή ζε CMY ρξεζηκνπνηώληαο ηνπο πίλαθεο κεηαζρεκαηηζκνύ ησλ ζπζθεπώλ: c XYZ RGB r m CMY XYZ g y ofprinter ofdisplay b 46

47 Σύλνςε ρξσκαηηθώλ κνληέισλ 47

48 Θέκαηα Γηαδηθηύνπ Όηαλ δεκηνπξγνύκε εηθόλεο γηα ην δηαδίθηπν: Θα ηηο δνπλ πνιινί, κε δηαθνξεηηθέο ζπζθεπέο απεηθόληζεο Ζ ίδηα ςεθηαθή εηθόλα ζα εκθαληζηεί δηαθνξεηηθή ζε δηαθνξεηηθέο νζόλεο 1. Γηαθνξέο ζηε δηόξζσζε γάκκα: Μηα εηθόλα απνζεθεπκέλε κε δηαθνξεηηθή δηόξζσζε γάκκα, από εθείλε ηεο νζόλεο πνπ εκθαλίδεηαη, ζα είλαη πην θσηεηλή ή πην ζθνύξα Φξήζε κέζεο δηόξζσζεο γάκκα, π.ρ Γηαθνξέο ζην ρξσκαηηθό κνληέιν: Σπρλά νη εηθόλεο απνζεθεύνληαη κε ην κνληέιν RGB (εμαξηώκελν ζπζθεπήο) Γηαθνξέο κεηαμύ ζπζθεπώλ παξαγσγήο θαη εκθάληζεο Μπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί έλα από ηα αλεμάξηεηα ζπζθεπήο CIE κνληέια Αιιά θαη απηό έρεη κεηνλεθηήκαηα: i. Δπηπιένλ βήκα βαζκνλόκεζεο (ζεκείν ιεπθνύ) ii. Αθξηβή κεηαηξνπή αλ ρξεζηκνπνηείηαη έλα εκη-δηαηζζεηηθό κνληέιν ( ) iii. Μνληέια RGB επξέσο απνδεθηά γηα νζόλεο 48

49 Θέκαηα Γηαδηθηύνπ (2) srgb (standard RGB) Δύθνιν γηα θαηαζθεπαζηέο ιόγσ νκνηόηεηαο κε RGB Αλεμάξηεην ζπζθεπήο ιόγσ: Φξσκαηνκεηξηθνύ νξηζκνύ θόθθηλνπ, πξάζηλνπ θαη κπιε, ζε ζρέζε κε ην πξόηππν CIE XYZ Γάκκα ίζν κε2.2 Σαθώο νξηζκέλεο ζπλζήθεο παξαηήξεζεο Φξήζηκν ζηε βηνκεραλία ειεθηξνληθώλ (π.ρ. ςεθηαθέο κεραλέο) 49

50 Δηθόλεο πςεινύ δπλακηθνύ εύξνπο (ΥΓΔ-HDR) Επώηηζη: Πώο δεκηνπξγνύκε εηθόλεο ζε αθάναηο θνξκάη ; Αδύλαην λα πξνβιέςνπκε ηε κειινληηθή ηερλνινγία Λνγηθό λα ζεσξήζνπκε όηη ην αλζξώπηλν νπηηθό ζύζηεκα ζα παξακείλεη ίδην Δςναμικό εύπορ κηαο εηθόλαο: ν ιόγνο ηεο πςειόηεξεο σο πξνο ηελ ρακειόηεξε ηηκή έληαζεο Τν αλζξώπηλν κάηη έρεη ηξνκεξέο δπλαηόηεηεο αληίιεςεο δπλακηθνύ εύξνπο (10.000:1) Με ιίγα δεπηεξόιεπηα πξνζαξκνγήο, απηό απμάλεηαη ζε ~10 9 :1 Τν δπλακηθό εύξνο ηππηθώλ νζνλώλ είλαη ~1000:1 Ζ θσδηθνπνίεζε 24-bit RGB έρεη δπλακηθό εύξνο 90:1 Παξηζηά νξηαθά ό,ηη κπνξεί λα εκθαληζζεί ζε κηα νζόλε (δηαθνξά 1 ηάμε κεγέζνπο) Παξηζηά αλεπαξθώο ό,ηη κπνξεί λα αληηιεθηεί ην αλζξώπηλν κάηη (>2 ηάμεηο κεγέζνπο) Τν δπλακηθό εύξνο ηνπ ζπκβαηηθνύ θίικ θάκεξαο είλαη πςειόηεξν από εθείλν ηνπ 24-bit RGB, πξάγκα πνπ ην θαζηζηά πην αζάλαην 50

51 Δηθόλεο πςεινύ δπλακηθνύ εύξνπο (HDR) (2) HDR εηθόλεο παξάγνληαη: Με εηδηθό θσηνγξαθηθό εμνπιηζκό Με ζπλδπαζκό πνιιαπιώλ εηθόλσλ κηαο ζθελήο ηξαβεγκέλεο κε δηαθνξεηηθά επίπεδα θσηεηλόηεηαο Σπλζεηηθά (ηερληθέο νιηθνύ θσηηζκνύ) Τονική Απεικόνιζη: Σπκπίεζε εηθόλσλ HDR ζην δπλακηθό εύξνο νζνλώλ κε δεδνκέλεο πξνζέζεηο δηαηήξεζεο ραξαθηεξηζηηθώλ Απνύζα είλαη ε ηθαλόηεηα λα εκθαλίδεηαη έλα επξύ δπλακηθό εύξνο ηαπηόρξνλα (πρ. νδήγεζε ηε λύρηα κε πξνβνιείο) Πιενλεθηήκαηα γηα ηε δεκηνπξγία εηθόλσλ HDR: Δηθόλεο κπνξνύλ λα απνζεθεύνληαη ζην δπλακηθό εύξνο πνπ αληηιακβάλεηαη ν άλζξσπνο, γηα κειινληηθή ρξήζε Γπλαηόηεηα εθαξκνγήο δηαθνξεηηθώλ κέζνδνη ηνληθήο απεηθόληζεο, γηα δηαθνξεηηθέο πξνζέζεηο 51

52 Δηθόλεο πςεινύ δπλακηθνύ εύξνπο (HDR) (3) Φσηνγξαθηθό παξάδεηγκα HDR : Μηα ζθνηεηλή ιήςε ράλεη πιεξνθνξία από ην εζσηεξηθό ηεο αςίδαο Μηα θσηεηλή ιήςε ράλεη πιεξνθνξία από ηα ζύλλεθα 52

53 Δηθόλεο πςεινύ δπλακηθνύ εύξνπο (HDR) (4) Φσηνγξαθηθό παξάδεηγκα HDR : HDR εηθόλα κε ηνληθή απεηθόληζε ηζηνγξάκκαηνο HDR εηθόλα κε ηνληθή απεηθόληζε Reinhard 53

54 Δηθόλεο πςεινύ δπλακηθνύ εύξνπο (HDR) (5) Μπνξνύκε λα απνζεθεύζνπκε εηθόλεο HDR αλ απμήζνπκε ηα bpp Πρ. 32 bits αλά ρξσκαηηθή ζπληζηώζα, δίλνληαο ζπλνιηθά 96 bpp Οη HDR θσδηθνπνηήζεηο ρξεζηκνπνηνύλ έμππλα ηελ ηδέα ηεο Διάρηζηεο Αληηιεπηήο Γηαθνξάο (ΔΑΓ-JND) JND: ε ειάρηζηε δηαθνξά έληαζεο πνπ κπνξεί λα εληνπίζεη ην αλζξώπηλν κάηη ζε έλα δεδνκέλν επίπεδν έληαζεο Λνγαξηζκηθή ζρέζε αλάκεζα ζε JNDs θαη επίπεδα έληαζεο: Δίλαη ινγηθό λα δηαρσξίζνπκε ηε ζπληζηώζα έληαζεο ελόο εηθνλνζηνηρείνπ από ηε ρξσκαηηθή ζπληζηώζα θαη λα απνζεθεύζνπκε ρσξηζηά ηελ πξώηε θσδηθνπνηεκέλε ζε ινγαξηζκηθή θιίκαθα Απηή ηελ πξνζέγγηζε αθνινπζνύλ νη HDR θσδηθνπνηήζεηο, όπσο ην RGBE ηνπ Radiance θαη ην LogLuv ζην νπνίν ζα εζηηάζνπκε 54

55 Δηθόλεο πςεινύ δπλακηθνύ εύξνπο (HDR) (6) Τν 32-bit LogLuv έρεη: 32 bpp 15 bits γηα ηελ ηηκή έληαζεο 1 bit γηα ην πξόζεκν ηεο έληαζεο (επηηξέπεηαη αξλεηηθή έληαζε) 16 bits γηα ηε ρξσκαηηθόηεηα Λνγαξηζκηθή κεηαηξνπή κεηαμύ ηεο πξαγκαηηθήο έληαζεο L θαη ηεο (αθέξαηαο) απνζεθεπόκελεο ηηκήο θαηά LogLuv L e : Le c 1(log 2 L c2), L 2 e [ L / c c ] 1 2 Τν παξαπάλσ πεξηέρεη νιόθιεξν ην εύξνο ηεο αληηιεπηήο έληαζεο ζε κηθξά, κε αληηιεπηά, βήκαηα 55

56 Δηθόλεο πςεινύ δπλακηθνύ εύξνπο (HDR) (7) Καηαλνκή ησλ bits ζην 32-bit LogLuv: 56

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο : ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη. 11-1-11 Εήηημα 1 ο : Α. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f, λα βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν είλαη παξαγσγίζηκε θαζώο θαη

Διαβάστε περισσότερα

x-1 x (x-1) x 5x 2. Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα, έηζη ώζηε λα κελ ππάξρνπλ ξηδηθά ζηνπο 22, 55, 15, 42, 93, 10 5, 12

x-1 x (x-1) x 5x 2. Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα, έηζη ώζηε λα κελ ππάξρνπλ ξηδηθά ζηνπο 22, 55, 15, 42, 93, 10 5, 12 ΑΚΖΔΗ ΤΜΝΑΗΟΤ - ΚΤΚΛΟ ΠΡΩΣΟ - - ηα πνηεο ηηκέο ηνπ ηα παξαθάησ θιάζκαηα δελ νξίδνληαη ; (Τπόδεημε : έλα θιάζκα νξίδεηαη αλ ν παξνλνκαζηήο είλαη δηάθνξνο ηνπ κεδελόο) - (-) - (-) - Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ

Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ Θέματα. Έζησ όηη ζε δείγκα 35 θαηνηθηώλ πνπ ελνηθηάδνληαη ζε θνηηεηέο ζηελ Κνδάλε βξέζεθε ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζηα 5 επξώ, ελώ ζην Ζξάθιεην ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ Πρόβλημα 1: α) Να δείμεηε όηη αλ ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί ηζρύεη: β) Αλ είλαη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ

ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ. Μία αθηίλα θωηόο πξνζπίπηεη κε κία γωλία ζ ζηε επάλω επηθάλεηα ελόο θύβνπ από πνιπεζηέξα ν νπνίνο έρεη δείθηε δηάζιαζεο ε =,49 (ζρήκα ). Βξείηε πνηα ζα είλαη ε κέγηζηε γωλία

Διαβάστε περισσότερα

Αζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14

Αζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14 .1.10 ζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14 Ερωηήζεις Καηανόηζης 1. ύν δηαθνξεηηθέο επζείεο κπνξεί λα έρνπλ θαλέλα θνηλό ζεκείν Έλα θνηλό ζεκείν i ύν θνηλά ζεκεία iλ) Άπεηξα θνηλά ζεκεία ηηηνινγήζηε ηελ απάληεζε

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03. Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf

Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03. Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03 Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf Ζιίαο Χαηδεζενδσξίδεο Οθηώβξηνο / Ννέκβξηνο 2004 Τη είλαη ην δίθηπν Wulf Δπίπεδν ζην νπνίν κπνξνύκε λα αλαπαξαζηήζνπκε ηξηζδηάζηαηα ζρήκαηα,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ζμεπομηνία: 18/12/10 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤ ΕΙ 1. Δίλεηαη ην πνιπώλπκν Αλ θαη., λα βξείηε ην ηειεπηαίν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ έρνπκε:

Διαβάστε περισσότερα

ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ

ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ 1) Υξηζηνπγελληάηηθα ειαηάθηα θάξηα ή θαδξάθη θάξηα ή θαδξάθη Τιηθά πνπ ζα ρξεηαζηνύκε: Υαξηί θάλζνλ καύξν γηα ην θόλην, πξάζηλν γηα ηα ειαηάθηα, θόθθηλν γηα ηα αζηεξάθηα Απιό

Διαβάστε περισσότερα

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ

ΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ ΚΕΦ..3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ Οπιζμόρ απόλςηηρ ηιμήρ: Σηνλ άμνλα ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ζεσξνύκε έλαλ αξηζκό α πνπ ζπκβνιίδεηαη κε ην ζεκείν Α. Η απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ αξρή Ο, δειαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 1 0,3x 0,1y x 3 3x 4y 2 4x 2y ( x 1) 6( y 1) (i) (ii)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 1 0,3x 0,1y x 3 3x 4y 2 4x 2y ( x 1) 6( y 1) (i) (ii) . Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,, 6 4 4 4 5( ) 6( ). Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,,,6 7. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 ( )( ) ( ) 4. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 4 6 7 4. 5. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 59 ( )( ) ()( 5) 7 6.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά:

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά: ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ Η Μηκή θαη ν Νηίλνο αλαξσηήζεθαλ πνην αληειηαθό πξντόλ παξέρεη ηελ θαιύηεξε πξνζηαζία ζην δέξκα ηνπο. Τα αληειηαθά πξντόληα έρνπλ έλα δείθηε αληειηαθήο πξνζηαζίαο (SPF), ν νπνίνο δείρλεη πόζν

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 - Μοπυοποίηση Κειμένου

Άσκηση 1 - Μοπυοποίηση Κειμένου Άσκηση 1 - Μοπυοποίηση Κειμένου Σηηο παξαθάησ γξακκέο εθαξκόζηε ηε κνξθνπνίεζε πνπ πεξηγξάθνπλ Γξακκή κε έληνλε γξαθή Γξακκή κε πιάγηα γξαθή Γξακκή κε ππνγξακκηζκέλε γξαθή Γξακκή κε Arial Font κεγέζνπο

Διαβάστε περισσότερα

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ (Δλδεηθηηθέο Απαληήζεηο) ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σωζηό β. Λάζνο

Διαβάστε περισσότερα

Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ

Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ Αιγόξηζκνη 2.2.7.4 Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ Εηζαγσγή ζηηο Αξρέο ηεο Επηζηήκεο ησλ Η/Υ 1 Άζθεζε 34 ζει 53 Έλα ςεθηαθό θσηνγξαθηθό άικπνπκ έρεη απνζεθεπηηθό ρώξν N Mbytes. Να αλαπηύμεηε

Διαβάστε περισσότερα

Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση

Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Πώς πρέπει να τιμολογεί ένα μονοπώλιο; Μέρξη ζηηγκήο ην κνλνπώιην έρεη ζεσξεζεί ζαλ κηα επηρείξεζε ε νπνία πσιεί ην πξντόλ ηεο ζε θάζε πειάηε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) = ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 2009 ελίδα 2 από 9 ΔΤΘΔΙΔ SIMSON 1 ΒΑΙΚΔ ΠΡΟΣΑΔΙ 1.1 ΔΤΘΔΙΑ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν AB θαη ηπρόλ ζεκείν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Αλ 1, 1 θαη 1 είλαη νη πξνβνιέο ηνπ ζηηο επζείεο πνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1. ρεδίαζε πλδπαζηηθνύ Κπθιώκαηνο Έλα ζπλδπαζηηθό θύθισκα (Κ) έρεη ηξεηο εηζόδνπο A, B θαη C θαη κία έμνδν Y Y=A B+AC Να θαηαζθεπάζεηε ην ράξηε Karnaugh. B 0

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ

Διαβάστε περισσότερα

(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ

(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΣΔΣΑΡΣΖ 18 ΜΑΪΟΤ 16 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ΝΔΟ ΤΣΖΜΑ) ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ (ΠΑΛΑΗΟ ΤΣΖΜΑ) (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα.

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα. Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα Γηαθξάγκαηα Δξγαιεία Καηαζθεπέο 2 Η θαηαζθεπή πεξηγξάθεηαη ζηελ αληίζηνηρε ελόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ

Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ Σήκαηα 1 Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) Σήκαηα Οξηζκόο ζήκαηνο Ταμηλόκεζε ζεκάησλ Σεηξέο Fourier Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier Σπλέιημε Σπζρέηηζε θαη Φαζκαηηθή Ππθλόηεηα 2 Οξηζκόο Σήκαηνο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 204-205 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/204 A ΟΜΑΓΑ Οδηγία: Να γράυεηε ζηο ηεηράδιο ζας ηον αριθμό κάθε μιας από ηις παρακάηφ ερφηήζεις Α.-Α.8 και

Διαβάστε περισσότερα

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12 Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 11-12 Project 6: Ταμίδη κε ηε Μεραλή ηνπ Φξόλνπ Υπεύζπλνη Καζεγεηέο: Ε. Μπηιαλάθε Φ. Αλησλάηνο Δρώηηζη 3: Πνηα από ηα παξαθάησ ΜΜΕ ηεξαξρείηε από πιεπξάο ζεκαζίαο;

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 Βάσεις Δεδομέμωμ Εξγαζηήξην V Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 2 Σκοπός του 5 ου εργαστηρίου Σθνπόο απηνύ ηνπ εξγαζηεξίνπ είλαη: ε κειέηε ζύλζεησλ εξσηεκάησλ ζύλδεζεο ζε δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρέζεηο ε κειέηε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ() ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΔΜΑ : Αλ ηζρύεη 3 3, λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Μ, Ν ηαπηίδνληαη. ΘΔΜΑ : Α Β Μ Γ Σην παξαπάλσ ζρήκα είλαη 3. α) Γείμηε όηη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10

ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10 ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,1,1 ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ 1 ου ΜΔΡΟΤ ΣΗ ΑΝΑΛΤΗ Α Γώζηε ηνλ νξηζκό ηεο αληίζηξνθεο ζπλάξηεζεο Β Γείμηε όηη αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη αληηζηξέςηκε ηόηε νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ

ΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ ΚΔΦ.. ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ Οξηζκόο ηεηξαγσληθήο ξίδαο: Αλ 0 ηόηε νλνκάδνπκε ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ ηελ κε αξλεηηθή ιύζε ηεο εμίζσζεο:. Γειαδή ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ 0 ιέγεηαη ν αξηζκόο 0 πνπ όηαλ πςσζεί

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Δομή Παρουσιάσεων

Οργάνωση και Δομή Παρουσιάσεων Οργάνωση και Δομή Παρουσιάσεων Οη παξνπζηάζεηο κε βνήζεηα ηνπ ππνινγηζηή γίλνληαη κε πξνγξάκκαηα παξνπζηάζεσλ, όπσο ην OpenOffice.org Impress [1] θαη ην Microsoft Office PowerPoint [2]. Απηά ηα πξνγξάκκαηα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα Ηουνίου 08 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α. Απόδεημε ζεωξήκαηνο ζει. 99 ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α. α.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις

ΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις ΔΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ Παλεπηζηεκίνπ (Διεπζεξίνπ Βεληδέινπ) 34 06 79 ΑΘΖΝΑ Τει. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Δleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ηνπ επηπέδνπ. Να απνδείμεηε όηη νπνηνδήπνηε δηάλπζκα r

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ηνπ επηπέδνπ. Να απνδείμεηε όηη νπνηνδήπνηε δηάλπζκα r 1. Γίλνληαη δύν κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα και β ηνπ επηπέδνπ. Να απνδείμεηε όηη νπνηνδήπνηε δηάλπζκα r ηνπ επηπέδνπ απηνύ κπνξεί λα εθθξαζηεί ζαλ γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ και β ά κνλαδηθό ηξόπν.. Γίλνληαη

Διαβάστε περισσότερα

Σκιές. Οη ζθηέο ζπλεηζθέξνπλ πνιύ ζηελ αίζζεζε ξεαιηζκνύ κηα ζθελήο θαη βνεζνύλ ζηελ αληίιεςε ηεο ζρεηηθήο ζέζεο ησλ αληηθεηκέλσλ.

Σκιές. Οη ζθηέο ζπλεηζθέξνπλ πνιύ ζηελ αίζζεζε ξεαιηζκνύ κηα ζθελήο θαη βνεζνύλ ζηελ αληίιεςε ηεο ζρεηηθήο ζέζεο ησλ αληηθεηκέλσλ. Σκιές Οη ζθηέο ζπλεηζθέξνπλ πνιύ ζηελ αίζζεζε ξεαιηζκνύ κηα ζθελήο θαη βνεζνύλ ζηελ αληίιεςε ηεο ζρεηηθήο ζέζεο ησλ αληηθεηκέλσλ. Σκιές Οη ζθηέο ζπλεηζθέξνπλ πνιύ ζηελ αίζζεζε ξεαιηζκνύ κηα ζθελήο θαη

Διαβάστε περισσότερα

Αιγόξηζκνη Γνκή επηινγήο. Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο. Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ. introcsprinciples.wordpress.

Αιγόξηζκνη Γνκή επηινγήο. Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο. Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ. introcsprinciples.wordpress. Αιγόξηζκνη 2.2.7.3 Γνκή επηινγήο Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ 1 Πνιιαπιή Δληνιή Δπηινγήο Αν ζπλζήθε_1 ηόηε εληνιέο_1 αλλιώς_αν ζπλζήθε_2 ηόηε εληνιέο_2...

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Σύνθεζη ηαλανηώζεων Α. Σύλζεζε δύν α.α.η ηεο ίδιας ζστνόηηηας Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Η απνκάθξπλζε

Διαβάστε περισσότερα

x x x x tan(2 x) x 2 2x x 1

x x x x tan(2 x) x 2 2x x 1 ΘΕΡΙΝΟ ΣΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΜΕΡΟ Ι 1. Να γίλνπλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ. t ( i) e ( ii) ln( ) ( iii). Να βξεζεί ην Π.Ο., ν ηύπνο ηεο αλίζηξνθεο θαη ην Π.Τ. ησλ

Διαβάστε περισσότερα

f '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x)

f '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x) ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 54 Υλη: Παράγωγοι Γ Λσκείοσ Ον/μο:.. 6--4 Θεη-Τετν. ΘΔΜΑ Α.. Αλ f, g, h ηξεηο παξαγωγίζηκεο ζπλαξηήζεηο ζην λα απνδείμεηε όηη : f () g() h() ' f '()g()h() g'()f ()h() h'() f ()g()

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην 20. Ελαχιστοποίηση του κόστους

Κεθάιαην 20. Ελαχιστοποίηση του κόστους Κεθάιαην 0 Ελαχιστοποίηση του κόστους Ειαρηζηνπνίεζε ηνπ θόζηνπο Μηα επηρείξεζε ειαρηζηνπνηεί ην θόζηνο ηεο αλ παξάγεη νπνηνδήπνηε δεδνκέλν επίπεδν πξντόληνο y 0 ζην κηθξόηεξν δπλαηό ζπλνιηθό θόζηνο. Τν

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α

Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano). Να δηαηππώζεηε ην Θ.Bolzano. 5 ΘΔΜΑ Α μονάδες A. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε πνιπωλπκηθή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ ζη. Σ Α2. Γ Α3. 1. γ 2. ε 3. δ 4. α Β1. ΘΔΜΑ Β Οη ηειηθνί ππνινγηζηέο παίξλνπλ απνθάζεηο δξνκνιόγεζεο κόλν γηα ηα δηθά ηνπο απηνδύλακα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Εισαγωγή στη Φωτογραυία. Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Εισαγωγή στη Φωτογραυία. Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ Εισαγωγή στη Φωτογραυία Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP 1 ΜΑΘΗΜΑ 3 ο ΚΛΕΙΣΡΟ ΣΑΥΤΣΗΣΑ ΚΛΕΙΣΡΟΤ-ΕΠΙΛΟΓΗ ΚΑΣΑΛΛΗΛΗ ΣΑΥΤΣΗΣΑ Σι είναι υωτογραυική μητανή; Από πνηα κέξε απνηειείηαη: 1. Φαθό

Διαβάστε περισσότερα

B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν.

B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. B-Δέλδξα Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. Δέλδξα AVL n = 2 30 = 10 9 (πεξίπνπ). 30

Διαβάστε περισσότερα

=90º ) κε πιεπξέο α, β, γ. Να βξεζεί ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ πνπ έρεη πιεπξέο (i) θα, θβ, θγ θαη (ii) 4α, 4β, 3γ.

=90º ) κε πιεπξέο α, β, γ. Να βξεζεί ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ πνπ έρεη πιεπξέο (i) θα, θβ, θγ θαη (ii) 4α, 4β, 3γ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - 1 ΓΔΝΗΚΔ ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΔ ΑΚΖΔΗ 1 Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( =90º ) κε πιεπξέο α, β, γ Να βξεζεί ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ πνπ έρεη πιεπξέο (i) θα, θβ, θγ θαη

Διαβάστε περισσότερα

Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο κόζηος ανά μονάδα παραγωγής. Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο ζηαθερό κόζηος ανά μονάδα παραγωγής

Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο κόζηος ανά μονάδα παραγωγής. Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο ζηαθερό κόζηος ανά μονάδα παραγωγής ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΟΜΟ Α Mάθημα 5: To παραγωγής σναρηήζεις κόζηοσς Η ζπλάξηεζε ζπλνιηθνύ θόζηνπο C FC VC Όπνπ FC= ην ζηαζεξό θόζηνο (ην θόζηνο γηα ηνλ ζηαζεξό παξαγσγηθό ζπληειεζηή) θαη VC= ην κεηαβιεηό

Διαβάστε περισσότερα

Να ζρεδηαζζεί ην θαηεπζπλόκελν γξάθεκα πνπ νξίδεηαη από ηνλ εμήο πίλαθα γεηηλίαζεο.

Να ζρεδηαζζεί ην θαηεπζπλόκελν γξάθεκα πνπ νξίδεηαη από ηνλ εμήο πίλαθα γεηηλίαζεο. . Σρεδίαζε Καηεπζπλόκελωλ Γξαθεκάηωλ (.8.) Να ζρεδηαζζεί ην θαηεπζπλόκελν γξάθεκα πνπ νξίδεηαη από ηνλ εμήο πίλαθα γεηηλίαζεο. Κνξπθέο 0 0 0 0 0 0 0 0. Σρεδίαζε(.8.5) Να ζρεδηαζηεί ην παξαθάηω γξάθεκα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ηότοι εργαζηηρίοσ ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηνύλ βαζηθέο ιεηηνπξγίεο ησλ Windows XP πνπ ζρεηίδνληαη

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάλαιο 7. Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ Μ. ΨΥΛΛΑΚΗ

Κεθάλαιο 7. Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ Μ. ΨΥΛΛΑΚΗ Κεθάλαιο 7 Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ 1 Προζθορά ανηαγωνιζηικού κλάδοσ Πώο πξέπεη λα ζπλδπαζηνύλ νη απνθάζεηο πξνζθνξάο ησλ πνιιώλ επηκέξνπο επηρεηξήζεσλ ελόο αληαγσληζηηθνύ θιάδνπ γηα λα βξνύκε ηελ θακπύιε πξνζθνξάο

Διαβάστε περισσότερα

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ Συστήματα Αρίθμησης Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ 1 Ειζαγωγή Τν bit είλαη ε πην βαζηθή κνλάδα κέηξεζεο. Είλαη κία θαηάζηαζε on ή off ζε έλα ςεθηαθό θύθισκα. Άιιεο θνξέο είλαη κία θαηάζηαζε high ή low voltage

Διαβάστε περισσότερα

Image J Plugin particle tracker για παρακολούθηση της κίνησης σωματιδίων

Image J Plugin particle tracker για παρακολούθηση της κίνησης σωματιδίων Image J Plugin particle tracker για παρακολούθηση της κίνησης σωματιδίων (https://weeman.inf.ethz.ch/particletracker/) Τν Plugin particle tracker κπνξεί λα αληρλεύζεη απηόκαηα ηα ζσκαηίδηα πνπ θηλνύληαη,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KRNUGH Γηα λα θάλνπκε απινπνίεζε κηαο ινγηθήο ζπλάξηεζεο κε πίλαθα (ή ράξηε) Karnaugh αθνινπζνύκε ηα παξαθάησ βήκαηα:. Η ινγηθή ζπλάξηεζε ζα πξέπεη λα είλαη ζε πιήξε

Διαβάστε περισσότερα

Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος. Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο

Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος. Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο Επιμέλεια: Αγκανάκηρ Α. Παναγιώηηρ Επωηήζειρ Σωζηό- Λάθορ Να χαπακηηπίζεηε ηιρ παπακάηω πποηάζειρ ωρ ζωζηέρ ή λάθορ: 1. Η ηαιάλησζε είλαη

Διαβάστε περισσότερα

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο Έξγν ελέξγεηα 3 (Λύζε) Σώκα κάδαο m = 4Kg εξεκεί ζηε βάζε θεθιηκέλνπ επηπέδνπ γσλίαο θιίζεο ζ κε εκζ = 0,6 θαη ζπλζ = 0,8. Τν ζώκα αξρίδεη λα δέρεηαη νξηδόληηα δύλακε θαη μεθηλά λα αλεβαίλεη ζην θεθιηκέλν

Διαβάστε περισσότερα

όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου.

όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου. ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΕΜΔ ΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ Ι ΤΗΝ ΛΥΣΗ ΣΚΗΣΕΩΝ ΕΜΔ Πρόηζε Ίζ πολυγωνικά χωρί έχουν ίζ εμβδά Το νηίζηροθο δεν ιζχύει ηλδή δύο ιζοεμβδικά χωρί δεν είνι κηά νάγκη ίζ Εκβδόλ ηεηργώλοσ πιεσράς Εκβδόλ

Διαβάστε περισσότερα

1 η Εργαζηηριακή Άζκηζη Ειζαγωγή

1 η Εργαζηηριακή Άζκηζη Ειζαγωγή 1 η Εργαζηηριακή Άζκηζη Ειζαγωγή A. Σσζκεσές Εργαζηηρίοσ Ηλεκηρονικής Ο πιηθόο εμνπιηζκόο ηνπ εξγαζηεξίνπ ειεθηξνληθήο πεξηιακβάλεη ηηο αθόινπζεο ζπζθεπέο: 1. Παικνγξάθνπο: Protec 6502 θαη Peak Tech 2020N

Διαβάστε περισσότερα

7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3. Έλαο θαηαρσξεηήο SISO ησλ 4 bits έρεη: α) Μία είζνδν, β) Δύν εηζόδνπο, γ) Σέζζεξεηο εηζόδνπο.

7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3. Έλαο θαηαρσξεηήο SISO ησλ 4 bits έρεη: α) Μία είζνδν, β) Δύν εηζόδνπο, γ) Σέζζεξεηο εηζόδνπο. 7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ση είλαη έλαο θαηαρσξεηήο; O θαηαρσξεηήο είλαη κηα νκάδα από flip-flop πνπ κπνξεί λα απνζεθεύζεη πξνζσξηλά ςεθηαθή πιεξνθνξία. Μπνξεί λα δηαηεξήζεη ηα δεδνκέλα ηνπ

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ.

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ. Απαντήσεις θέματος 2 Απηά πνπ έπξεπε λα γξάςεηε (δελ ρξεηαδόηαλ δηθαηνιόγεζε εθηόο από ην Γ) Α return a*b; Β 0:acegf2, 1: acegf23, 2: acegf234, 3:acegf2345, 4:acegf23456, 5:acegf234567, 6:acegf2345678,

Διαβάστε περισσότερα

Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ

Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πνελλδικών εξεηάζεων 2-27 Σςνπηήζειρ Η γξθηθή πξάζηζε ηεο ζπλάξηεζεο f είλη ζπκκεηξηθή, σο πξνο ηνλ άμνλ, ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο f 2 Αλ f, g είλη δύν ζπλξηήζεηο κε πεδί νξηζκνύ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Είμαζηε ηυχεροί που είμαζηε δάζκαλοι Ον/μο:.. A Λσκείοσ Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη 8-11-2015 Θέμα 1 ο : 1. Η εμίζωζε θίλεζεο ελόο θηλεηνύ πνπ θηλείηαη επζύγξακκα είλαη ε x = 5t. Πνηα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο 1 ε Δξαζηεξηόηεηα Αλνίμηε ην αξρείν «Μεηαηόπηζε παξαβνιήο.ggb». Με ηε καύξε γξακκή παξηζηάλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f(x)=αx 2 πνπ ζα ηελ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Οπτική και Κύματα

Ασκήσεις Οπτική και Κύματα Παλεπηζηήκην Κξήηεο Τκήκα Επηζηήκεο θαη Τερλνινγίαο Υιηθώλ Ασκήσεις Οπτική και Κύματα Δηδάζθσλ: Δεκήηξεο Παπάδνγινπ Email: dpapa@materials.uc.gr Άλυτες Ασκήσεις: 1. Να πξνζδηνξίζεηε αλ νη αθόινπζεο ζπλαξηήζεηο

Διαβάστε περισσότερα

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2 ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS

ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS ηότοι εργαζηηρίοσ ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηεί ε δηαδηθαζία ηωλ ξπζκίζεωλ δηθηύνπ ζε ιεηηνπξγηθό ζύζηεκα Windows XP. Η δηαδηθαζία ζε γεληθέο γξακκέο

Διαβάστε περισσότερα

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Stylianos Kalaitzis Μνλνϋβξηδηζκνο 1 Γπν γνλείο, εηεξόδπγνη γηα ηνλ αιθηζκό θάλνπλ παηδηά. Πνία ε πηζαλόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: έζησ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: έζησ ΜΙΓΑΔΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ: έζησ έλαο κηγαδηθόο αξηζκόο. αληίζηξνθνο ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ a b είλαη ν αξηζκόο Παπάδειγμα: έζησ.αληίζηξνθνο ηνπ αξηζκνύ : Μέηπο μιγαδικού απιθμού: αλ κέηξν δηαλύζκαηνο OM. b ή απόιπηε

Διαβάστε περισσότερα

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα!

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Cpyright 2013 Λόγος & Επικοινωνία // All rights Reserved Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Αυηό ηο παιχνίδι έχει ζηόχους: 1. ηελ εθγύκλαζε ηεο αθνπζηηθήο κλήκεο ησλ παηδηώλ 2. ηελ εμάζθεζε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

Άμεσοι Αλγόριθμοι: Προσπέλαση Λίστας (list access)

Άμεσοι Αλγόριθμοι: Προσπέλαση Λίστας (list access) Έρνπκε απνζεθεύζεη κηα ζπιινγή αξρείσλ ζε κηα ζπλδεδεκέλε ιίζηα, όπνπ θάζε αξρείν έρεη κηα εηηθέηα ηαπηνπνίεζεο. Μηα εθαξκνγή παξάγεη κηα αθνινπζία από αηηήκαηα πξόζβαζεο ζηα αξρεία ηεο ιίζηαο. Γηα λα

Διαβάστε περισσότερα

Τηλζφωνο: 99543321 Ε-mail: savvas_email@yahoo.com Ώρες διδασκαλίας: 16:00 19:15 μμ

Τηλζφωνο: 99543321 Ε-mail: savvas_email@yahoo.com Ώρες διδασκαλίας: 16:00 19:15 μμ ΠΑΙΓΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΙΣΟΤΣΟ ΚΤΠΡΟΤ Πξόγξακκα Δπηκόξθσζεο Τπνςεθίσλ Καζεγεηώλ Σερλνινγίαο Γελάξεο 2011 ΗΛΔΚΣΡΟΝΙΚΑ Ι (Ύιε Γπκλαζίνπ) Διδάσκων: Σαββίδης Σάββας Τηλζφωνο: 99543321 Ε-mail: savvas_email@yahoo.com

Διαβάστε περισσότερα

Πολυεπίπεδα/Διασυμδεδεμέμα Δίκτυα

Πολυεπίπεδα/Διασυμδεδεμέμα Δίκτυα Πολυεπίπεδα/Διασυμδεδεμέμα Δίκτυα Κοιμωμικά δίκτυα (multiplex network) Έρεηε ινγαξηαζκό ζην Facebook? Έρεηε ινγαξηαζκό ζην LinkedIn? Έρεηε ινγαξηαζκό ζην Twitter? Αεροπορικές γραμμές της Ευρώπης(multiplex

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Καηαζθεπάδνπκε έλα νγθνκεηξηθό δνρείν από πιαζηηθό κπνπθάιη λεξνύ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ Κιηληθή ηαμηλόκεζε ηνπ βαζκνύ ηεξεδνληθήο βιάβεο ηωλ νπώλ θαη ζρηζκώλ καζεηηθώλ επηθαλεηώλ θαηά ICDAS 1 νο Βαζκόο

Διαβάστε περισσότερα

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 10 ε : ΜΗΥΑΝΙΚΗ ΜΔΡΟ Β ΠΙΔΗ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Καξέθια θαθίξε Όξγαλα Τιηθά Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ.

Διαβάστε περισσότερα

Να ζρεδηάζεηο ηξόπνπο ζύλδεζεο κηαο κπαηαξίαο θαη ελόο ιακπηήξα ώζηε ν ιακπηήξαο λα θσηνβνιεί.

Να ζρεδηάζεηο ηξόπνπο ζύλδεζεο κηαο κπαηαξίαο θαη ελόο ιακπηήξα ώζηε ν ιακπηήξαο λα θσηνβνιεί. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: Απλό ηλεκτπικό κύκλυμα Η δηδαζθαιία ηνπ απινύ ειεθηξηθνύ θπθιώκαηνο ππάξρεη ζην κάζεκα «Φπζηθά» ηεο Ε ηάμεο ηνπ δεκνηηθνύ θαη επαλαιακβάλεηαη ζην κάζεκα ηεο Φπζηθήο ζηε Γ ηάμε ηνπ Γπκλαζίνπ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β )

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: /0/03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΔΜΑ Α ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΑΠΑΝΣΗΕΙ ΘΕΜΑΣΩΝ Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ. G. Mitsou

ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ. G. Mitsou ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ηαηηθή ηωλ ξεπζηώλ (Τδξνζηαηηθή) Ση είλαη ηα ξεπζηά - Γεληθά Ππθλόηεηα Πίεζε Μεηαβνιή ηεο πίεζεο ζπλαξηήζεη ηνπ βάζνπο Αξρή ηνπ Pascal Τδξνζηαηηθή πίεζε Αηκνζθαηξηθή πίεζε Απόιπηε &

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Γείμηε όηη : ΡΑ ΡΒ ΡΓ 2 ΒΑ.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Γείμηε όηη : ΡΑ ΡΒ ΡΓ 2 ΒΑ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Θεσξνύκε ηα κε ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α, Β, Γ, Γ. Γείμηε όηη αλ ππάξρεη ζεκείν Ρ ηέηνην ώζηε ΡΑ ΡΓ ΡΒ ΡΓ, ηόηε ην ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν.. *Αλ ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν θαη Ρ έλα ζεκείν

Διαβάστε περισσότερα

πγθιίλνλ-απνθιίλνλ αθξνθύζην έρεη δηαηνκή εηζόδνπ A1

πγθιίλνλ-απνθιίλνλ αθξνθύζην έρεη δηαηνκή εηζόδνπ A1 Πρόβλημα πγθιίλνλ-απνθιίλνλ αθξνθύζην έρεη δηαηνκή εηζόδνπ A1 1cm ιαηκνύ 4.4cm θαη εμόδνπ A 7cm. Αλ ε πίεζε αλαθνπήο ζηελ είζνδν ηνπ αθξνθπζίνπ είλαη 1 bar θαη ε ηαρύηεηα ηνπ ήρνπ 46 m / s ππνινγίζηε ζηηο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΔΣΡΙΚΔ ΥΔΔΙ ΣΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΣΡΙΓΩΝΑ

ΜΔΣΡΙΚΔ ΥΔΔΙ ΣΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΣΡΙΓΩΝΑ 1 ν ΔΛ ΠΤΟΛΔΜΪΣ / users.flo.sch.gr/nikpol 1 ΜΔΣΡΙΚΔ ΥΔΔΙ Σ ΟΡΘΟΩΝΙ ΣΡΙΩΝ = 90 ν Τν ηεηξάγσλν κηο θάζεηεο πιεπξάο είλη ίζν κε ηελ ππνηείλνπζ επί ηελ πξννιή ηεο πιεπξάο ζηελ ππνηείλνπζ. = ή = Σε θάζε νξζνγώλην

Διαβάστε περισσότερα

5 η Δργαζηηριακή Άζκηζη Κσκλώμαηα Γσαδικού Αθροιζηή/Αθαιρέηη

5 η Δργαζηηριακή Άζκηζη Κσκλώμαηα Γσαδικού Αθροιζηή/Αθαιρέηη 5 η Δργαζηηριακή Άζκηζη Κσκλώμαηα Γσαδικού Αθροιζηή/Αθαιρέηη Σηα πιαίζηα ηεο πέκπηεο εξγαζηεξηαθήο άζθεζεο ζα ρξεζηκνπνηεζεί απνθιεηζηηθά ην πεξηβάιινλ αλάπηπμεο νινθιεξσκέλσλ θπθισκάησλ IDL-800 Digital

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2 ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ Τν Σρήκα 1 δείρλεη ηελ αιιαγή ηεο ζηάζκεο ηεο Λίκλεο Τζαλη, ζηε Σαράξα ηεο Βόξεηαο Αθξηθήο. Η Λίκλε Τζαλη εμαθαλίζηεθε ηειείσο γύξσ ζην 20.000 π.χ., θαηά ηε δηάξθεηα ηεο ηειεπηαίαο επνρήο ησλ

Διαβάστε περισσότερα

A. Αιιάδνληαο ηε θνξά ηνπ ξεύκαηνο πνπ δηαξξέεη ηνλ αγωγό.

A. Αιιάδνληαο ηε θνξά ηνπ ξεύκαηνο πνπ δηαξξέεη ηνλ αγωγό. ΤΠΟΤΡΓΔΙΟ ΠΑΙΓΔΙΑ ΚΑΙ ΠΟΛΙΣΙΜΟΤ ΛΔΤΚΩΙΑ ΦΤΛΛΟ ΔΡΓΑΙΑ Μειέηε ηωλ παξαγόληωλ από ηνπο νπνίνπο εμαξηάηαη ε ειεθηξνκαγλεηηθή δύλακε. Τιηθά - πζθεπέο: Ηιεθηξνληθή δπγαξηά, ηξνθνδνηηθό ηάζεο, ξννζηάηεο, ακπεξόκεηξν,

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots)

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) 1.1 Σςνοπτική Πεπιγπαυή Hot Spots Σα ζεκεία αζύξκαηεο πξόζβαζεο πνπ επηιέρζεθαλ αλαθέξνληαη ζηνλ επόκελν πίλαθα θαη παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζηηο επόκελεο παξαγξάθνπο.

Διαβάστε περισσότερα

Έλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο:

Έλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο: Πίνακες Σσμβόλων Έλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο: Εηζαγσγή ελόο ζηνηρείνπ Αλαδήηεζε ζηνηρείνπ κε δεδνκέλν θιεηδί Άιιεο ρξήζηκεο ιεηηνπξγίεο είλαη: Δηαγξαθή ελόο θαζνξηζκέλνπ ζηνηρείνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP 1 ΜΑΘΗΜΑ 6 ο Προγράμμαηα θωηογραθικών μηχανών Επιλογέας προγραμμάηων Μαο δίλεη ηε δπλαηόηεηα λα ειέγμνπκε ην άλνηγκα δηαθξάγκαηνο θαη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 2017

ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 2017 α: κολάδα β: κολάδες Σειίδα από 8 ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 7 ΘΔΜΑ Α Α Έζηω, κε Θα δείμνπκε όηη f ( ) f ( ) Πξάγκαηη, ζην δηάζηεκα [, ] ε f ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ ΘΜΤ Επνκέλωο,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα Ηοσνίοσ 9 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α.α) Οξηζκόο ζρνιηθνύ βηβιίνπ ζει 5. Έζησ Α έλα ππνζύλνιν ηνπ.

Διαβάστε περισσότερα

Constructors and Destructors in C++

Constructors and Destructors in C++ Constructors and Destructors in C++ Σύνθεζη Πνιύ ζπρλά ζηε C++ κία θιάζε κπνξεί λα πεξηέρεη ζαλ κέιεδεδνκέλα αληηθείκελα άιισλ θιάζεσλ. Πνηα είλαη ε ζεηξά κε ηελ νπνία δεκηνπξγνύληαη θαη θαηαζηξέθνληαη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΖ ΦΤΥΑ 011 1 ΒΑΗΚΟΗ ΟΡΗΜΟΗ 11 ΓΤΝΑΜΖ ΖΜΔΗΟΤ Έζησ P ηπρόλ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ θύθινπ C (O,R ) (πνπ βξίζθεηαη εθηόο ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ C (O,R ) ) θαη PT ε εθαπηνκέλε από ην P (T ην ζεκείν επαθήο )

Διαβάστε περισσότερα

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη ΛΤΜΔΝΔ ΑΚΖΔΗ ΣΖΝ ΔΤΡΔΖ ΑΡΥΗΚΖ ΦΑΖ 1. Η αιή αξκνληθή ηαιάλησζε ν εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη ιάηνο Α = cm θαη ζρλόηεηα f = 5 Hz. Τε ρξνληθή ζηηγκή = ην κηθξό ζώκα δηέξρεηαη αό ηε ζέζε ανκάθξλζεο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013 ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό

Διαβάστε περισσότερα

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2 TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 Δημιουργία σελίδων και βιβλίων Έλα θαηλνύξην βηβιίν πεξηέρεη κία άδεηα ζειίδα κε έλα άδεην background. Δελ κπνξνύκε λα μερσξίζνπκε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 133. Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Θέμα 1

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 133. Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Θέμα 1 ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1 Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Γεν. Παιδείας 9-1-1 Θέμα 1 Α. Αο ππνζέζνπκε όηη x 1,x,...,x k είλαη νη ηηκέο κηαο κεηαβιεηήο x πνπ αθνξά ηα άηνκα ελόο δείγκαηνο

Διαβάστε περισσότερα

Διαςτήματα εμπιςτοςφνησ για την ευθεία παλινδρόμηςησ

Διαςτήματα εμπιςτοςφνησ για την ευθεία παλινδρόμηςησ Διαςτήματα εμπιςτοςφνησ για την ευθεία παλινδρόμηςησ Έλαο από ηνπο βαζηθνύο ζηόρνπο ηεο παιηλδξόκεζεο είλαη ε πξόβιεςε ηεο αλακελόκελεο ηηκήο ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο Υ γηα δεδνκέλε ηηκή ηεο αλεμάξηεηεο

Διαβάστε περισσότερα