ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ & ΕΙΚΟΝΙΚΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ (ΑΚΑ. ΕΤΟΣ )

Transcript

1 ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ & ΕΙΚΟΝΙΚΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ (ΑΚΑ. ΕΤΟΣ ) Ν. ΣΓΟΥΡΟΣ ΤΜΗΜΑ Ι ΑΚΤΙΚΗΣ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ 12/11/2003 1

2 1.1. Εισαγωγή Τα Γραφικά µε Υπολογιστές (Computer Graphics) αποτελούν τον κλάδο της Πληροφορικής που ασχολείται µε τη γεωµετρική σύνθεση και ανάλυση εικόνων στον υπολογιστή. Σε αντίθεση µε παρεµφερείς κλάδους, όπως η Επεξεργασία Εικόνων, η αναπαράσταση των εικόνων στα Γραφικά γίνεται µε βάση τα πρωτογενή γεωµετρικά αντικείµενα (π.χ. ευθείες, κύκλους, πολύγωνα) από τα οποία αποτελούνται. Σκοπός του παρόντος µαθήµατος θα είναι η παρουσίαση βασικών τεχνικών σύνθεσης εικόνων µε τα χαρακτηριστικά που αναφέραµε. Για τη µελέτη των τεχνικών που θα εξετάσουµε θα χρησιµοποιηθεί η γλώσσα προγραµµατισµού Java. Στην τρέχουσα ενότητα θα εξετάσουµε τον τρόπο υλοποίησης πρωτογενών γεωµετρικών αντικειµένων στη γλώσσα αυτή. Ενα σηµαντικό µερος του κώδικα που θα χρησιµοποιηθεί κατά τη διάρκεια του µαθήµατος θα στηρίζεται στο βιβλίο: Leen Ameraal, "Computer Graphics for Java Programmers", John Wiley & Sons Σχεδιασµός Ευθυγράµων Τµηµάτων & Ψηφίδων (Pixels) στη Java Η βασική βιβλιοθήκη που παρέχεται στη Java για την σχεδίαση γραφικών αντικειµένων ονοµάζεται Abstract Window Toolkit (AWT). Η συγκεκριµένη βιβλιοθήκη περιέχει την κλάση Graphics που προσφέρει µεθόδους µε τις οποίες µπορούν να σχεδιαστούν πρωτογενή γεωµετρικά αντικείµενα (ευθείες, ορθογώνια κλπ). Επιπλέον στη Java ορίζεται και η κλάση Canvas η οποία παρέχει ένα χώρο σχεδίασης στον οποίο µπορούν να εφαρµοστούν οι µέθοδοι της κλάσης Graphics. Ενα ευθύγραµµο τµήµα στη Java ορίζεται µε βάση τις συντεταγµένες των δύο άκρων του. Πιο συγκεκριµένα, αν g είναι ένα αντικείµενο της κλάσης Graphics το αντικείµενο αυτό θα περιέχει τη µέθοδο drawline η οποία µπορεί να κληθεί ως ακολούθως: g.drawline(xa, ya, xb, yb) όπου Α (xa, ya) και Β (xb, yb) τα άκρα του συγκεκριµένου ευθύγραµµου τµήµατος. Ενα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο σχεδιάζεται µε τη χρήση της µεθόδου drawrect. Η µέθοδος µπορεί να κληθεί ως ακολούθως: g.drawrect(xa, ya, width, height) όπου το σηµείο Α (xa, ya) καθορίζει την άνω αριστερή κορυφή του παραλληλεπιπέδου και width (xa+w) και height (ya+w) καθορίζουν το πλάτος και το ύψος του συγκεκριµένου σχήµατος. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Το παρακάτω πρόγραµµα σχεδιάζει ένα ορθογώνιο στο µέσο της οθόνης. import java.awt.*; import java.awt.event.*; public class MiddleRect extends Frame { public static void main(string[] args){new MiddleRect();} 12/11/2003 2

3 MiddleRect() { super("ορθογώνιο στη Μέση"); addwindowlistener(new WindowAdapter() {public void windowclosing(windowevent e){system.exit(0);}}); setsize(200, 100); add("center", new CvMiddleRect()); show(); } } class CvMiddleRect extends Canvas { public void paint(graphics g) { Dimension d = getsize(); int maxx = d.width - 1, maxy = d.height - 1; g.setcolor(color.red); g.drawrect(maxx/4, maxy/4, maxx/2, maxy/2); // (*) } } Το παραπάνω πρόγραµµα θα µπορούσε να χρησιµοποιεί τη µέθοδο drawline αν η γραµµή (*) είχε αντικατασταθεί από την ακολουθία εντολών g.drawline(maxx/4, maxy/4, 3*maxX/4, maxy/4); g.drawline(3*maxx/4, maxy/4, 3*maxX/4, 3*maxY/4); g.drawline(3*maxx/4, 3*maxY/4, maxx/4, 3*maxY/4); g.drawline(maxx/4, 3*maxY/4, maxx/4, maxy/4); Οσο παράξενο και αν φαίνεται η Java δεν µας προσφέρει κάποια ειδική συνάρτηση µε την οποία µπορούµε να σχεδιάζουµε µεµονωµένες ψηφίδες. Ενας τρόπος για να αντιµετωπίσουµε τη συγκεκριµένη έλλειψη είναι να καλέσουµε τη µέθοδο drawline ως εξής: g.drawline(x, y, x, y) Πέρα από τις µεθόδους που σχεδιάζουν γραµµές, η Java περιέχει και µία σειρά από µεθόδους µε τις οποίες µπορεί να γεµίσει µε ένα συγκεκριµένο χρώµα κάποια περιοχή της οθόνης. Η πιο ενδιαφέρουσα από τις συναρτήσεις είναι η fillrect της κλάσης Graphics. Η κλήση της µεθόδου αυτής µε την παρακάτω µορφή: g.fillrect(x, y, w, h) θα έχει σαν αποτέλεσµα να γεµίσει µε το χρώµα που έχει οριστεί νωρίτερα στο πρόγραµµα το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο που περικλείεται από τα σηµεία (x, y) πάνω αριστερά και (x+w-1, y+h-1) κάτω δεξιά Λογικές Συντεταγµένες και Συντεταγµένες Συσκευής Κάθε ψηφίδα στην οθόνη του υπολογιστή ταυτοποιείται µε τη χρήση δύο ακέραιων συντεταγµένων που ορίζουν τη θέση της ψηφίδας κατά την οριζόντια (x) και την κάθετη (y) διεύθυνση. Το ζεύγος των συντεταγµένων αυτών αναφέρεται ως 12/11/2003 3

4 συνεταγµένες συσκευής (device coordinates). Συνήθως όµως κατά τη διάρκεια του υπολογισµού των γεωµετρικών χαρακτηριστικών µίας εικόνας προκύπτουν τιµές για τα σηµεία της που περιγράφονται από ζεύγη πραγµατικών τιµών. Τα ζεύγη αυτά αναφέρονται ως λογικές συντεταγµένες (logical coordinates). Κάθε σύστηµα γραφικών θα πρέπει να περιέχει µεθόδους µε τις οποίες οι λογικές συντεταγµένες που υπολογίζονται κατά τη διάρκεια της σύνθεσης µετατρέπονται σε συντεταγµένες συσκευής. Στο µάθηµα αυτό θα ορίσουµε ένα σύστηµα λογικών συντεταγµένων που θα έχει σαν αρχή των αξόνων του το κέντρο του Canvas που θα χρησιµοποιείται για την απεικόνιση των δεδοµένων µας κάθε φορά. Στο σύστηµα αυτό ο οριζόντιος άξονας (x) θα αυξάνεται από αριστερά προς τα δεξιά και ο κατακόρυφος άξονας (y) θα αυξάνεται από κάτω προς τα πάνω. Ενα σύστηµα συντεταγµένων ονοµάζεται ισοτροπικό (isotropic) όταν η κλίµακα µέτρησης που χρησιµοποιείται στους άξονες x και y είναι κοινή. Σε αντίθετη περίπτωση το σύστηµα ονοµάζεται ανισοτροπικό (anisotropic). Το παράδειγµα που ακολουθεί περιγράφει τον ορισµό ενός ισοτροπικού συστήµατος συντεταγµένων και τις µεθόδους µετατροπής από λογικές συντεταγµένες σε συντεταγµένες συσκευής και αντίστροφα. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Το παρακάτω πρόγραµµα σχεδιάζει ένα τρίγωνο στη µέση της οθόνης. Οι συντεταγµένες των κορυφών του τριγώνου δίνονται σε λογικές συντεταγµένες. import java.awt.*; import java.awt.event.*; public class Tri extends Frame { public static void main(string[] args){new Tri();} Tri() { super("triangle"); addwindowlistener(new WindowAdapter() {public void windowclosing(windowevent e){system.exit(0);}}); setsize(600, 400); add("center", new CvTri()); show(); } } class CvTri extends Canvas { int maxx, maxy, xcenter, ycenter; float pixelsize, rwidth = 10.0F, rheight = 10.0F; void initgr() { Dimension d = getsize(); maxx = d.width - 1; maxy = d.height - 1; pixelsize = Math.max(rWidth/maxX, rheight/maxy); xcenter = maxx/2; ycenter = maxy/2; } // Απο λογικές συντεταγµένες σε συντεταγµένες συσκευής 12/11/2003 4

5 int ix(float x){return Math.round(xCenter+x/pixelSize);} int iy(float y){return Math.round(yCenter-y/pixelSize);} // Απο συντεταγµένες συσκευής σε λογικές συντεταγµένες float fx(int x){return (x-xcenter)*pixelsize;} float fy(int y){return (ycenter-y)*pixelsize;} public void paint(graphics g) { initgr(); float side = 0.95F * Math.min(rHeight, rwidth), h = side/2.0f * (float)math.sqrt(3), xa, ya, xb, yb, xc, yc; xa = - side/2.0f; ya = - 0.5F * h; xb = side/2.0f; yb = ya; xc = 0.0F; yc = 0.5F * h; } } g.drawline(ix(xa), iy(ya), ix(xb), iy(yb)); g.drawline(ix(xb), iy(yb), ix(xc), iy(yc)); g.drawline(ix(xc), iy(yc), ix(xa), iy(ya)); Ασκηση: Μετατρέψτε τον παραπάνω κώδικα ώστε να µπορεί να χειριστεί και ανισοτροπικό σύστηµα συντεταγµένων. 12/11/2003 5

6 2.1. Αλγόριθµοι Σχεδίασης ιδιάστατων Γεωµετρικών Μορφών Στην τρέχουσα ενότητα θα ασχοληθούµε µε την µαθηµατική αναπαράσταση και τον προγραµµατισµό αλγορίθµων για τη σχεδίαση διαφόρων οικογενειών διδιάστατων γεωµετρικών µορφών. Τα σχήµατα που θα εξετάσουµε θα περιλαµβάνουν κανονικά πολύγωνα, πολυσπειροειδή, παραµετρικά και αναδροµικά ορισµένες όπως και µορφοκλασµατικές µορφές (fractals). 2.2 Κανονικά Πολύγωνα Κανονικά ονοµάζονται τα πολύγωνα στα οποία όλες οι πλευρές είναι ισοµήκεις και όλες οι γωνίες µεταξύ διαδοχικών πλευρών είναι ίσες µεταξύ τους. Ορίζουµε σαν ν- γωνο ένα πολύγωνο που αποτελείται από Ν πλευρές. Ο τρόπος µε τον οποίο µπορούµε να σχεδιάσουµε ένα ν-γωνο είναι αρκετά απλός, αρκεί να υπολογίσουµε και να αποθηκεύσουµε τις συντεταγµένες των κορυφών του και στη συνέχεια να τις συνδέσουµε κατάλληλα µε ευθύγραµµα τµήµατα. Πιο συγκεκριµένα, αν αριθµήσουµε τις κορυφές και υποθέσουµε ότι η πρώτη κορυφή ενός ν-γώνου βρίσκεται στο θετικό άξονα x και στο σηµείο (radius, 0), όπου radius η ακτίνα του περιγεγραµµένου κύκλου του πολυγώνου, τότε οι υπόλοιπες κορυφές θα βρίσκονται σε ακέραια πολλαπλάσια της γωνίας 2π/Ν, όπου Ν ο αριθµός των κορυφών του πολυγώνου. Η ακριβής θέση της κάθε κορυφής n i θα δίνεται από τον τύπο: n i = ( radius * cos(2π(i-1)/n), radius * sin(2π(i-1)/n) ) Οι κορυφές ενός ν-γώνου µπορούν να χρησιµοποιηθούν για τη σχεδίαση µίας σειράς από ενδιαφέροντα γεωµετρικά σχήµατα όπως οι ροζέττες. Οι ροζέττες είναι ν-γωνα στα οποία κάθε κορυφή συνδέεται µε κάθε άλλη κορυφή του ν-γώνου. Το σχήµα που προκύπτει χρησιµοποιείται συχνά για τον έλεγχο της ποιότητας σε οθόνες γραφικών αφού το πλήθος των γραµµών που χρησιµοποιούνται και η συµµετρία του σχήµατος βοηθάει στον εντοπισµό της ευκρίνειας και των παραµορφώσεων που εισάγονται κατά τη διάρκεια της σχεδίασης στις συσκευές αυτές. Αξίζει εδώ να σηµειώσουµε ότι το σχήµα που προκύπτει αν σχεδιάσουµε τη ροζέττα που αντιστοιχεί σε ένα κανονικό πεντάγωνο είχε αποκτήσει µεταφυσική σηµασία κατά την αρχαιότητα. Το σχήµα είναι γνωστό σαν πεντάγραµµο και έχει το χαρακτηριστικό ότι κάθε ευθύγραµµο τµήµα του σχήµατος είναι φ (= ) φορές µεγαλύτερο από το αµέσως µικρότερό του ευθύγραµµο τµήµα. Ο συγκεκριµένος αριθµός αντιστοιχεί στο χρυσό κανόνα ο οποίος καθορίζει το λόγο (περίπου 5:3) µεταξύ πλάτους και ύψους σε ένα ορθογώνιο που πετυχαίνει το βέλτιστο εικαστικό αποτέλεσµα (π.χ. ο Παρθενώνας, η Τζοκόντα όπως και πολλοί πίνακες του Escher υπακούουν σε αυτό τον λόγο). Ενα άλλο χαρακτηριστικό του πενταγράµµατος είναι ότι στο εσωτερικό του µπορεί να οριστεί µία άπειρη ακολουθία από πενταγράµµατα µιάς και στο εσωτερικό του σχήµατος σχηµατίζεται ένα πεντάγωνο στο οποίο µπορούµε να εγγράψουµε ένα µικρότερο πεντάγραµµο κ.ο.κ. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 12/11/2003 6

7 Στο παρακάτω παράδειγµα κάθε φορά που ο χρήστης ενεργοποιεί το ποντίκι το πρόγραµµα σχεδιάζει µια ροζέττα µε αριθµό πλευρών που επιλέγεται τυχαία µεταξύ 3 και 28. Το χρώµα µε το οποίο σχεδιάζονται οι γραµµές του σχήµατος επιλέγεται και αυτό τυχαία. Παραδείγµατα σχηµάτων που παράγονται από το πρόγραµµα περιέχονται εδώ. import java.awt.*; import java.awt.event.*; class DrawRosette extends Frame { public static void main(string[] args) { new DrawRosette(); } DrawRosette() { super("draw Rosette Pattern"); addwindowlistener(new WindowAdapter() { public void windowclosing(windowevent e) { System.exit(0); } }); setsize(500, 400); add("center", new Rosette()); setcursor(cursor.getpredefinedcursor(crosshair_cursor)); show(); } } class Rosette extends Canvas { float pixelsize; final float rwidth = 50.0F, rheight = 50.0F; int centerx, centery; final float TWOPI= F; int numofvertices = 10; float radius, angle, delang; Point2D[] vertices = null; Color black = new Color(0, 0, 0); float dang = 0.0F; Rosette() { initgr(); addmouselistener(new MouseAdapter() { public void mousepressed(mouseevent evt) { repaint(); } }); } void initgr() { Dimension d = getsize(); int maxx = d.width - 1, maxy = d.height - 1; pixelsize = Math.max(rWidth/maxX, rheight/maxy); centerx = maxx/2; centery = maxy/2; radius = Math.min(rWidth, rheight)/2.0f; } int ix(float x) { return Math.round(centerX+x/pixelSize); } int iy(float y) { return Math.round(centerY-y/pixelSize); } 12/11/2003 7

8 float fx(int X) { return (X-centerX)*pixelSize; } float fy(int Y) { return (centery - Y) * pixelsize; } int rand(){return (int)(math.random() * 256);} int random(int maxval){return (int)(math.random() * maxval);} public void paint(graphics g) { setbackground(black); Color curcolor = new Color(rand(), rand(), rand()); initgr(); int left = ix(-rwidth/2), right = ix(rwidth/2), bottom = iy(-rheight/2), top = iy(rheight/2); do { numofvertices = random(28); } while (numofvertices < 3); vertices = new Point2D[numOfVertices]; delang = TWOPI/numOfVertices; for (int i=0; i<numofvertices; i++) { angle = i*delang + dang; vertices[i] = new Point2D((float)(radius*Math.cos(angle)), (float)(radius*math.sin(angle))); } for (int i = 0; i < numofvertices; i++) for (int j = numofvertices-1; j >= 0; j--) if (j > i) { g.setcolor(curcolor); g.drawline(ix(vertices[i].x), iy(vertices[i].y), ix(vertices[j].x), iy(vertices[j].y)); } else break; } } // Point2D.java: Class for points in logical coordinates. class Point2D { float x, y; Point2D(float x, float y){this.x = x; this.y = y;} } Ασκηση: Μετατρέψτε τον παραπάνω κώδικα έτσι ώστε να σχεδιάζει µία ροζέττα µε σταθερό αριθµό πλευρών η οποία θα περιστρέφεται κατά 15 0 κάθε φορά που ο χρήστης ενεργοποιεί το ποντίκι. 2.3 Πολυσπειροειδή Τα πολυσπειροειδή αποτελούν µια αρκετά εντυπωσιακή οικογένεια διδιάστατων σχηµάτων που παράγονται από έναν εξαιρετικά απλό αλγόριθµο σχεδίασης. Ο αλγόριθµος δέχεται σαν είσοδο µία αρχική γωνία init_angle και ένα αρχικό µήκος init_dist και µεταβάλλει τόσο τη γωνία όσο και το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος το οποίο σχεδιάζει κάθε στιγµή κατά δύο σταθερές, την dangle για τη γωνία και την incr για το µήκος. Πιο συγκεκριµένα ο αλγόριθµος αποτελείται από τα εξής βήµατα: 1. cur_angle = init_angle, cur_dist = init_dist 12/11/2003 8

9 2. Από τη θέση στην οποία βρίσκεσαι ζωγράφισε ένα ευθύγραµµο τµήµα µε µήκος cur_dist και µε διεύθυνση cur_angle. Η καινούργια σου θέση είναι το τέλος του ευθύγραµµου τµήµατος που µόλις σχεδιάστηκε. 3. cur_angle = cur_angle + dangle, cur_dist = cur_dist + incr 4. Εκτέλεσε επαναληπτικά τα βήµατα 2 και 3.. Ασκηση: Προγραµµατίστε τον παραπάνω αλγόριθµο. Το πρόγραµµα Java που θα αναπτυχθεί θα επιτρέπει στο χρήστη να σχεδιάζει ένα πολυσπειροειδές σχήµα µε τυχαίες αρχικές συνθήκες κάθε φορά που αυτός πατά το ποντίκι πάνω στην επιφάνεια σχεδίασης. 2.4 Παραµετρικές αναπαραστάσεις διδιάστατων µορφών Οπως ήδη ξέρουµε από τη γεωµετρία η µαθηµατική αναπαράσταση διδιάστατων µορφών µπορεί να γίνει µε δύο τρόπους: µε τη χρήση εξισώσεων και µε τη χρήση συναρτήσεων. Για παράδειγµα, ένας κύκλος µπορεί να παρασταθεί µε τοn ακόλουθο τρόπο: Εξίσωση: F(x, y) = x 2 +y 2 -r 2 = 0, Η χρήση της µορφής αυτής δε διευκολύνει ιδιαίτερα τη σχεδίαση των σχηµάτων που περιγράφουν καθώς δε δίνει καµµία ένδειξη για τον αλγόριθµο που θα πρέπει να εκτελεστεί για να σχεδιαστεί το σχήµα. Για να αντιµετωπιστούν οι περιορισµοί που αναφέραµε, στα γραφικά υπολογιστών χρησιµοποιείται η παραµετρική αναπαράσταση των διαφόρων µορφών. Πιο συγκεκριµένα, κατά την αναπαράσταση αυτή εισάγεται µια καινούργια µεταβλητή t που περιγράφει τη κίνηση ενός σηµείου στο χρόνο καθώς διαγράφει την καµπύλη του σχήµατος. Το µονοπάτι που διατρέχει το σηµείο αυτό στο διδιάστατο χώρο ορίζεται από δύο συναρτήσεις x(t) και y(t) που περιγράφουν τις λογικές συντεταγµένες του σηµείου κάθε στιγµή στον οριζόντιο και κάθετο άξονα κάθε χρονική στιγµή. Ο αλγόριθµος σχεδίασης δειγµατοληπτεί στο έυρος τιµών που κινείται το t και απεικονίζει τα σηµεία (x(t), y(t)) που αντιστοιχούν σε κάθε t. Για παράδειγµα, η παραµετρική αναπαράσταση ενός ευθύγραµµου τµήµατος AB όπου Α (α x, α y ) και Β (β x, β y ) δίνεται από τους τύπους: x(t) = α x + (β x -α x )t y(t) = α y + (β y - α y )t όπου το t µπορεί να πάρει τιµές από 0 έως και 1. Η διεύθυνση ενός τέτοιου τµήµατος µας δίνεται από το διάνυσµα (β x -α x, β y - α y ) και η κλίση από το λόγο (β y - α y )/(β x -α x ), υποθέτοντας ότι ο παρονοµαστής είναι διάφορος του 0. Η παραµετρική αναπαράσταση µίας έλλειψης περιγράφεται από τους τύπους: 12/11/2003 9

10 x(t) = α*cos(2πt) y(t) = β*sin(2πt) όπου το t παίρνει τιµές στο διάστηµα από 0 έως και 1. Οταν α=β τότε οι παραπάνω τύποι περιγράφουν έναν κύκλο. Μια πιο γενική αναπαράσταση για ελλειπτικές ή και κυκλικές µορφές επιτυγχάνεται µε τη χρησιµοποίηση των παρακάτω τύπων: x(t) = α*cos(t) 2/n y(t) = β*sin(t) 2/n όπου το t παίρνει τιµές από -π έως και π. Για n=2 οι παραπάνω τύποι µας δίνουν την έλλειψη. Τα σχήµατα που περιγράφονται από του παραπάνω τύπους είναι γνωστά σαν υπερελλείψεις (superellipses). Ασκηση: Υλοποιήστε ένα πρόγραµµα σχεδίασης υπερελλείψεων για διάφορες τιµές του n. Μια άλλη ενδιαφέρουσα κατηγορία µορφών παριστάνεται σε παραµετρική µορφή µε τη χρησιµοποιήση πολικών συντεταγµένων. Στην περίπτωση αυτή οι καρτεσιανές συντεταγµένες κάθε σηµείου του σχήµατος µας δίνονται από τους παρακάτω τύπους: x(θ) = f(θ)*cos(θ) y(θ) = f(θ)*sin(θ) ιαφορετικές τιµές της συνάρτησης f(θ) οδηγούν σε διαφορετικές οικογένειες σχηµάτων. Ορισµένες αντιπροσωπευτικές περιπτώσεις περιγράφονται από τους τύπους: 1. f(θ) = K(1+cos(θ)) (καρδιοειδείς µορφές) 2. f(θ) = K(1+cos(nθ)) (τριαντάφυλλα, το n είναι ακέραιος και καθορίζει τον αριθµό των πετάλων σε κάθε λουλούδι) 3. f(θ) = Kθ (η έλικα του Αρχιµήδη) Αρκετά από τα σχήµατα που αναφέραµε παραπάνω αποτελούν ειδικές περιπτώσεις τροχοειδών σχηµάτων. Το όνοµα της κατηγορίας αυτής περιγράφει τον τρόπο παραγωγής των σχηµάτων αυτών ο οποίος ακολουθεί την τροχία που διαγράφει ένα σηµείο προσαρµοσµένο σε ένα κύκλο (Α) καθώς ο Α κινείται στην περίµετρο ενός άλλου κύκλου (Β). Οταν ο Α κινείται στην εξωτερική µεριά του Β τότε δηµιουργείται ένα επιτροχοειδές σχήµα ενώ όταν ο Α κινείται στο εσωτερικό τότε παράγεται ένα υποτροχοειδές σχήµα. Οι εξισώσεις που περιγράφουν καθένα από τους δύο τύπους σχηµάτων είναι: 1. Επιτροχοειδή σχήµατα 1. x(t) = (α+β)*cos(2πt)-kcos(2π(α+β)t/β) 2. y(t) = (α+β)*sin(2πt)-ksin(2π(α+β)t/β) 2. Υποτροχοειδή σχήµατα 1. x(t) = (α-β)*cos(2πt)-kcos(2π(α-β)t/β) 2. y(t) = (α-β)*sin(2πt)-ksin(2π(α-β)t/β) 12/11/

11 Για παράδειγµα, η έλλειψη αποτελεί µια ειδική περίπτωση υποτροχοειδούς σχήµατος όταν α = 2β για οποιοδήποτε k. Άσκηση: Υλοποιήστε ένα πρόγραµµα σχεδίασης όλων των τύπων σχηµάτων που αναφέρθηκαν στην παράγραφο Αναδροµικές µορφές Η πιο γνωστή αναδροµική µορφή που έχει παραχθεί µέχρι τις µέρες µας είναι η καµπύλη του Koch η οποία ανακαλύφθηκε το 1904 από τον Σουηδό µαθηµατικό Helge van Koch. Η παραγωγή της καµπύλης κίνησε το ενδιαφέρον αρκετών επιστηµόνων καθώς µπορεί να δηµιουργήσει µια καµπύλη απείρου µήκους σε µια πεπερασµένη επιφάνεια. Ο αλγόριθµος σχεδίασης της καµπύλης είναι αρκετά απλός και αποτελείται από την παρακάτω αναδροµική ακολουθία βηµάτων: 1. Χώρισε ένα ευθύγραµµο τµήµα σε τρία ίσα µέρη και αντικατέστησε το µεσαίο τµήµα µε ένα ισόπλευρο τρίγωνο η βάση του οποίου ταυτίζεται µε το µεσαίο τµήµα του ευθύγραµµου τµήµατος. Σχεδίασε όλες τις πλευρές του τριγώνου αυτού εκτός από τη βάση του. 2. Για καθένα από τα τέσσερα ευθύγραµµα τµήµατα που προκύπτουν εκτέλεσε το προηγούµενο βήµα. Αν το αρχικό µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος είναι 1 τότε µετά την εκτέλεση του πρώτου βήµατος η καµπύλη που θα προκύψει θα έχει µήκος 4/3. Γενικά το συνολικό µήκος της καµπύλης που θα προκύψει µετά την i-στη εκτέλεση των παραπάνων βηµάτων θα είναι (4/3) i. Καθώς το i τείνει στο άπειρο το µήκος της καµπύλης θα τείνει και αυτό στο άπειρο, η επιφάνεια όµως που θα καταλαµβάνει η καµπύλη µας θα είναι πεπερασµένη! Η καµπύλη του Koch αποτελεί τυπικό παράδειγµα µίας οικογένειας καµπυλών που έχουν άπειρο µήκος και καταλαµβάνουν πεπερασµένη επιφάνεια. Μέλη της οικογένειας αυτής αποτελούν και οι καµπύλες των Hibert και Sierpinski όπως και οι c-curves και οι dragon curves. Ασκηση: Υλοποιήστε ένα πρόγραµµα σχεδίασης καµπυλών του Koch. 2.6 Μορφοκλασµατικές µορφές Ο τρόπος σχεδίασης των καµπυλών της προηγούµενης ενότητας στηρίζεται στην παραγωγή αντιγράφων της καµπύλης µε ολοένα µικρότερες διαστάσεις. Με βάση την παρατήρηση αυτή µπορούµε να χαρακτηρίσουµε τις καµπύλες αυτές σαν αυτο-όµοιες (self-similar) µιάς και η γενική µορφή τους παραµένει η ίδια όσο και αν µεταβληθεί η κλίµακα µε την οποία τις παρατηρούµε. Για παράδειγµα, αν υποθέσουµε ότι εκτελούσαµε τον αλγόριθµο σχεδίασης της καµπύλης του Koch άπειρες φορές η µορφολογία της καµπύλης που θα προέκυπτε δεν θα άλλαζε όσο και αν µεταβάλλαµε την κλίµακα παρατήρησης. Η φύση µας προσφέρει αρκετά παραδείγµατα µορφών που είναι αυτο-όµοιες. Για παράδειγµα η µορφολογία των ακτών, των οροσειρών ή των νεφών αποτελούν κλασικά παραδείγµατα τέτοιων µορφών. Ενας από τους πιο γνωστούς µαθηµατικούς του αιώνα µας, ο Benoit Mandelbrot, µελέτησε τις µορφές 12/11/

12 αυτές και τις ονόµασε µορφοκλασµατικές (fractals) µιάς και θεώρησε ότι η διάσταση των µορφών αυτών περιγράφεται από αριθµούς που βρίσκονται µεταξύ του 1 (της διάστασης µίας ευθείας) και του 2 (της διάστασης ενός επιπέδου). Στα γραφικά υπολογιστών οι µορφοκλασµατικές µορφές χρησιµοποιούνται για τη µοντελοποίηση φυσικών µορφών. Αν υποθέσουµε ότι έχουµε ένα ευθύγραµµο τµήµα µε άκρα Α(α x, α y ) και Β (β x, β y ), τότε ένα αρκετά απλός αλγόριθµος παραγωγής µορφοκλασµατικών µορφών αντικαθιστά το τµήµα αυτό µε δύο άλλα τµήµατα ΑΓ και ΓΒ, όπου το σηµείο Γ είναι ένα τυχαίο σηµείο στη µεσοκάθετο του ΑΒ. Η θέση του Γ καθορίζεται από µία κατανοµή Gauss µε µέση τιµή 0 και κάποια διασπορά σ. Ο αλγόριθµος σχεδίασης εφαρµόζει αναδροµικά την ίδια διαδικασία για καθένα από τα τµήµατα ΑΓ και ΓΒ κ.ο.κ. Ενα πρόγραµµα που εφαρµόζει τον παραπάνω αλγόριθµο για τη µορφοκλασµατική µορφοποίηση ενός ευθυγράµµου τµήµατος περιέχεται εδώ. Η διασπορά της κατανοµής Gauss που χρησιµοποιείται καθορίζει και το βαθµό παραµόρφωσης του ευθύγραµµου τµήµατος. Πιο συγκεκριµένα, η παραµόρφωση της γραµµής εξαρτάται από τη διασπορά της κατανοµής µε τον τύπο: σ = 2 (0.5-Η) όπου η µεταβλητή Η ονοµάζεται εµµονή (persistence) της καµπύλης. Η µεταβλητή αυτή συνήθως λαµβάνει τιµές από 0 εως και 1. Τιµές του Η µικρότερες από 1/2 παράγουν περισσότερο οδοντωτές καµπύλες ενώ τιµες µεγαλύτερες από 1/2 παράγουν πιο οµαλές γραµµές. Μια µορφοκλασµατική διαδικασία µπορεί να χρησιµοποιηθεί για το σχεδιασµό φυσικών µορφών, όπως είναι τα δένδρα ή οι θάµνοι, καθώς στην πλειονότητά τους οι µορφές αυτές αναπτύσσονται µε τη δηµιουργία αντιγράφων µίας αρχικής µορφής. Για παράδειγµα, ένα δένδρο µπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από ένα κορµό που κάποια στιγµή διακλαδώνεται σε µια σειρά από υποδέντρα κ.ο.κ. Ενας αλγόριθµος σχεδίασης µίας τέτοιας µορφής θα µπορεί να καλεί αναδροµικά τον εαυτό του µε διαφορετικές παραµέτρους κάθε φορά για το σχεδιασµό κάθε υποδέντρου. Στη συνέχεια θα δώσουµε ένα παράδειγµα ενός τέτοιου αλγορίθµου. Ο αλγόριθµος λαµβάνει σαν είσοδο τις ακόλουθες παραµέτρους: 1. Το λόγο των µηκών µεταξύ διαδοχικών κλαδιών στο δένδρο (lengthratio) 2. To λόγο των γωνιών που σχηµατίζουν διαδοχικές διακλαδώσεις στο δένδρο (fanratio) 3. Τον αριθµό των κλαδιών που ξεκινούν από κάθε διακλάδωση (numbranch) Αρχίζοντας από το σηµείο που αντιστοιχεί στη ρίζα του δένδρου µια συνάρτηση σχεδιασµού Tree που χρησιµοποιεί τον παραπάνω αλγόριθµο θα σχεδιάζει ένα δέντρο µε n επίπεδα χρησιµοποιώντας την ακόλουθη υλοποίηση: Tree(P, A, L, F, n): 12/11/

13 // L : το µήκος του τρέχοντος κλαδιού που θα σχεδιαστεί στο παρόν επίπεδο n // F : η γωνία µεταξύ του πρώτου και του τελευταίου κλαδιού στην διακλάδωση που θα δηµιουργηθεί από το τρέχον κλειδί // Α : η γωνία που σχηµατίζει το τρέχον κλαδί µε τον οριζόντιο άξονα // P : το σηµείο από το οποίο θα ξεκινήσει η διακλάδωση στο επόµενο επίπεδο Αν το n είναι µεγαλύτερο από το 0 τότε: Από το τρέχον σηµείο στο οποίο βρίσκεται η πένα (σηµείο Ρ στην Εικ. 2.1) σχεδίασε ένα ευθύγραµµο τµήµα µε µήκος L και γωνία Α (τµήµα ΡΒ στην Εικ. 2.1). Αν υπάρχουν τουλάχιστον 2 κλαδιά που ξεκινούν από το παρόν κλaδί τότε το βήµα της γωνίας µε την οποία θα αρχίσουν να σχεδιάζονται τα καινούργια κλαδιά θα δίνεται από τον τύπο dang = F/(numBranch-1) αλλοιώς dang = 0 ang = A - F/2 - dang Για κάθε κλαδί που ξεκινά από το τέλος του τρέχοντος κλαδού (σηµείο Β στην Εικ. 2.1): 1. ang = ang + dang 2. Αναδροµική κλήση της Tree(B, ang, L*lengthRatio, F*fanRatio, n-1) Μπορείτε να εξετάσετε τα αποτελέσµατα της εκτέλεσης ενός προγράµµατος που στηρίζεται στον παραπάνω αλγόριθµο εδώ. Η Εικόνα 2.1 εξηγεί τη σηµασία των µεταβλητών που περιγράφουν τον παραπάνω αλγόριθµο. Εικόνα 2.1: Σχεδίαση µορφοκλασµατικού δένδρου. 12/11/

14 12/11/

15 Ο αλγόριθµος του Bresenham για τη σχεδίαση ευθυγράµµων τµηµάτων Ο συγκεκριµένος αλγόριθµος αποτελεί µια από τις σηµαντικότερες µεθόδους που χρησιµοποιείται για τη σχεδίαση ευθυγράµων τµηµάτων σε ένα σύστηµα γραφικών και αποτελεί ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα incremental µεθόδου.. Έστω ότι µας δίνονται οι ακέραιες συντεταγµένες των άκρων Α (α x, α y ) και Β (β x, β y ) ενός ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ. Σκοπός του αλγορίθµου του Bresenham είναι ο υπολογισµος της βέλτιστης ακολουθίας από ψηφίδες για τη σχεδίαση του συγκεκριµένου ευθύγραµµου τµήµατος. Από την αναλυτική γεωµετρία γνωρίζουµε ότι οι συντεταγµένες ενός οποιουδήποτε σηµείου (x, y) που ανήκει στο ΑΒ συνδέονται µε την εξίσωση: όπου y = α y + (x- α x )*m (1) m = (β y - α y )/(β x -α x ) (2) Υποθέτοµε στη συνέχεια ότι α x < β x και ότι 0 <= m <= 1, δηλαδή ότι η γωνία που σχηµατίζει το ΑΒ µε τον άξονα των x είναι µεταξύ 0 και 45 µοιρών. Αποτέλεσµα των παραπάνω υποθέσεων είναι ότι, κατά την κίνηση µας από το Α προς το Β, οι συντεταγµένες ως προς τον άξονα των x των διαδοχικών σηµείων που ανήκουν στο ΑΒ θα µεταβάλλονται περισσότερο από τις συντεταγµένες τους ως προς τον άξονα των y. Εποµένως αν κινούµαστε από το Α προς το Β µε µοναδιαία βήµατα ως προς τα x, τότε ορισµένες φορές τα y θα αυξάνουν και αυτά κατά µια µονάδα ενώ άλλες φορές θα παραµένουν τα ίδια. Εικόνα 1: Προσέγγιση ιδανικής ευθείας από πλέγµα ψηφίδων. Η εικόνα 1 περιγράφει ένα τµήµα του ΑΒ κατά τη σχεδίαση του σε ένα πλέγµα από ψηφίδες. Ας υποθέσουµε ότι για το σηµείο x i-1 έχει υπολογιστεί ότι η βέλτιστη τιµή ως προς τον άξονα των y είναι το σηµείο y i-1. Αυτό που θέλουµε να µάθουµε είναι αν για το σηµείο x i η βέλτιστη τιµή ως προς τον άξονα των y είναι η ψηφίδα T i (x i, y i-1 ) ή η 12/11/

16 ψηφίδα S i (x i, y i-1 +1). Σύµφωνα µε την (1) η ιδεώδης τιµή y * που θα αντιστοιχούσε στο x i, είναι: y * = α y + (x i - α x )*m (3) Επίσης ξέρουµε ότι το y * θα περιέχεται οπωσδήποτε µεταξύ των σηµείων T i και S i. Εποµένως ένας τρόπος για να αποφασίσουµε ποιά από τις ψηφίδες T i και S i.θα χρησιµοποιήσουµε στη σχεδίαση του ΑΒ θα είναι να υπολογίσουµε το λάθος e που εισάγει η επιλογή της καθεµίας από τις υποψήφιες ψηφιδες και στη συνέχεια να επιλέξουµε αυτήν µε το µικρότερο λάθος. Σε καθεµία περίπτωση το λάθος θα µας δίνεται από τους τύπους: e(t i ) = y * - y i-1 e(s i ) = (y i-1 +1) - y * Και στις δύο περιπτώσεις το λάθος που υπολογίζεται θα είναι πάντα θετικό. Από τα ανωτέρω προκύπτει το ακόλουθο κριτήριο µε το οποίο θα αποφασίσουµε αν θα χρησιµοποιήσουµε τη ψηφίδα T i για τη σχεδίαση του επόµενου σηµείου του ΑΒ: ιάλεξε το T i αν και µόνο αν e(t i ) - e(s i ) < 0 (4) Αντικαθιστώντας την τιµή του y * από την (3) στην παραπάνω διαφορά παίρνουµε ότι: e(t i ) - e(s i ) = 2*m*(x i - α x )+2*(α y - y i-1 ) - 1 (5) Ο µόνος µη ακέραιος όρος στην (5) είναι ο m. Για να απαλλαγούµε από αυτόν πολλαπλασιάζουµε και τα δύο µέρη της (5) µε τον παρανοµαστή x = (β x -α x ) του m, ο οποίος σύµφωνα µε τις υποθέσεις που κάναµε στην αρχή είναι πάντα θετικός. Το αποτέλεσµα του πολλαπλασιασµού µπορεί να γραφεί ως: e i = x*(e(t i ) - e(s i )) = 2* y*(x i - α x )+2* x*(α y - y i-1 ) - x (6) Με βάση την (6) το κριτήριο µε το οποίο αποφασίζουµε για την επόµενη µεταβλητή στον άξονα των y λαµβάνει την ακόλουθη µορφή: Αν e i < 0 τότε y i = y i-1 αλλοιώς y i = y i-1 +1 (7) Κατά την υλοποίηση του αλγορίθµου ο υπολογισµός του e i+1 µπορεί να γίνεται µε βάση την τιµή του e i. Πιο συγκεκριµένα το e i+1 µπορεί να γραφεί συναρτήσει του e i ως: Οµως e i+1 = e i + 2* y*(x i+1 - x i )-2* x*(y i - y i-1 ) x i+1 - x i = 1 12/11/

17 εποµένως για κάθε βήµα από το α x ως το β x ελέγχουµε το πρόσηµο του e i, διαλέγουµε το y i ανάλογα και µετά υπολογίζουµε το λάθος στο επόµενο βήµα e i+1. Αν στο παρών βήµα το y δεν έχει αυξηθεί τότε y i = y i-1 και εποµένως e i+1 = e i + 2* y. Σε αντίθετη περίπτωση e i+1 = e i + 2*( y - x). Για i = 0, όπως προκύπτει από την (6) θα έχουµε ότι e 1 = 2* y - x. Στα προηγούµενα υποθέσαµε ότι α x < β x και ότι 0 <= m <= 1. Οι υπόλοιπες περιπτώσεις µπορούν να αντµετωπιστούν εύκολα: α x > β x. Η κίνηση θα γίνει από το Β προς το Α. m > 1. Αντιµετάθεσε τα x µε τα y στον αλγόριθµο, δηλ. αύξησε τα y κατά 1 και υπολόγισε το αντίστοιχο x. Οριζόντιες και κάθετες γραµµές. Ο υπολογισµός των γραµµων αυτών µπορεί να γίνει µε περισσότερο αποδοτικούς αλγόριθµους ειδικά για την περίπτωση των οριζόντιων γραµµών. 0 > m > -1. Εκµεταλλέυσου τις συµµετρίες µε τις προηγούµενες περιπτώσεις. 12/11/

18 Μέθοδοι εξοµάλυνσης της σχεδίασης διδιάστατων σχηµάτων Στο προηγούµενο µάθηµα είδαµε ότι ο αλγόριθµος του Bresenham µας πρσφέρει έναν αρκετά αποδοτικό τρόπο για την επιλογη των ψηφίδων που θα χρησιµοποιηθούν στη σχεδίαση ενός οποιουδήποτε ευθύγραµου τµήµατος σε ένα πλέγµα από ψηφίδες. Λόγω όµως της περιορισµένης διακριτικότητας της επιφάνειας σχεδίασης, τα τµήµατα που προκύπτουν δεν είναι απόλυτα ευθύγραµµα, παρά µόνο στην περίπτωση που έχουµε να κάνουµε µε κάθετες ή οριζόντιες γραµµές. Στις υπόλοιπες περιπτώσεις τα τµήµατα αυτά παρουσιάζουν οδοντώσεις στη διεύθυνση του κάθετου και του οριζόντιου άξονα (βλ. Εικόνα 1). Το συγκεκριµένο πρόβληµα είναι γνωστό στη βιβλιογραφία ως aliasing, και επεκτείνεται σε όλες τις κατηγορίες σχηµάτων που απεικονίζονται σε ένα διδιάστατο πλέγµα από ψηφίδες. Για την αντιµετώπιση του συγκεκριµένου προβλήµατος εφαρµόζονται µια σειρά από µέθοδοι γνωστές ως τεχνικές anti-aliasing. Οι κυριότερες τεχνικές που ανήκουν σε αυτή την κατηγορία είναι: ο αλγόριθµος των Pitteway-Watkinson η υπερδειγµατοληψία (supersampling) το φιλτράρισµα των υψηλών συχνοτήτων από την εικόνα µε τη χρησιµοποίηση είτε κατάλληλων φίλτρων γειτνίασης είτε κατάλληλων φασµατικών φίλτρων. O αλγόριθµος των Pitteway-Watkinson O συγκεκριµένος αλγόριθµος προσπαθεί να οµαλοποιήσει την εµφάνιση ενός ευθυγράµµου τµήµατος σκιάζοντας µε διαφορετικό τρόπο κάθε ψηφιδα που χρησιµοποιείται κατά τη σχεδίαση. Η σκίαση που χρησιµοποιείται για κάθε ψηφίδα είναι ανάλογη µε το ποσοστό της κάλυψής της από το συγκεκριµένο ευθύγραµµο τµήµα. Η χρήση του αλγορίθµου επεκτείνεται και στην περίπτωση της σχεδίασης περισσότερο σύνθετων σχηµάτων όπως είναι οι πολυγωνικές επιφάνειες. Πιο συγκεκριµένα, ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να σχεδιάσουµε την ακµή ενός πολυγώνου, το εσωτερικό του οποίου θα έχει άσπρο χρώµα, ενώ η υπόλοιπη οθόνη θα είναι µαύρη. Εστω επίσης ότι οι συντεταγµένες µιας ψηφίδας αντιστοιχούν στο κέντρο ενός τετραγώνου 1x1 στο χώρο σχεδίασης και ότι οι πιθανές τιµές µιας ψηφίδας κυµαίνονται από το 0 (µαύρο) ως το 1 (άσπρο). Στην περίπτωση αυτή, αν η τοµή της επιφάνειας που καλύπτεται απο τη ψηφίδα και της επιφάνειας που ανήκει στο πολύγωνο αντιστοιχεί στο 1/2 του εµβαδού της ψηφίδας, τότε η τιµή της ψηφίδας θα θέλαµε να είναι 1/2. Αν η συγκεκριµένη τοµή καλύπτει το σύνολο της ψηφίδας τότε η τελευταία θα πάρει την τιµή 1 και γενικά αν n είναι το ποσοστό κάλυψης της τοµής των δύο αυτών επιφάνειών τότε η τιµή της ψηφίδας θα θέλαµε να είναι n. Στην γενική περίπτωση ο υπολογισµός του εµβαδού της τοµής µιας επιφάνειας από µια άλλη είναι αρκετά επίπονος και εποµένως η χρήση ενός τέτοιου αλγορίθµου θα είχε σηµαντικό υπολογιστικό κόστος. Ευτυχώς όµως ο αλγόριθµος των Pitteway- Watkinson προσφέρει µια αποδοτική υλοποίηση της µεθόδου που αναφέραµε στην περίπτωση των πολυγωνικών επιφανειών µε βάση τον αλγόριθµο του Bresenham. Το παρακάτω παράδειγµα εξηγεί τον τρόπο µε τον οποίο σκιάζεται ο χώρος που καταλαµβάνεται από µια πολυγωνική επιφάνεια µε βάση το συγκεκριµένο αλγόριθµο. Έστω ότι θέλουµε να σχεδιάσουµε την ακµή ενός πολυγώνου µε κλίση slope ίση µε 0.4 σε ένα πλέγµα από ψηφίδες (βλ. Εικόνα 1). Υποθέτουµε ότι το εσωτερικό του πολυγώνου καλύπτει το χώρο κάτω από τη συγκεκριµένη ακµή. Εποµένως, οι 12/11/

19 ψηφίδες που βρίσκονται κάτω από τη συγκεκριµένη ακµή και δεν την τέµνουν θα σκιαστούν µε την τιµή 1 ενώ αυτές που βρίσκονται πάνω από την ακµή και επίσης δεν την τέµνουν θα σκιαστούν µε την τιµή 0. Επίσης υποθέτουµε ότι στην Εικόνα 1 οι κουκίδες αντιστοιχούν στις ψηφίδες που έχουν επιλεγεί για τη σχεδίαση της ακµής από τον αλγόριθµο του Bresenham, ενώ οι γραµµοσκιασµένες περιοχές σε κάθε τετράγωνο που περιέχει µια κουκίδα αντιστοιχούν στο χώρο του τετραγώνου που καλύπτεται από το πολύγωνο. Οι αριθµοί στο πάνω µέρος της οθόνης περιγράφουν το ποσοστό κάλυψης κάθε κουκίδας από το πολύγωνο (π.χ. το ποσοστό κάλύψης της δεύτερης κουκίδας είναι δηλ. 90% του συνολικού εµβαδού της -). Με απλούς γεωµετρικούς υπολογισµούς διαπιστώνουµε ότι υπάρχουν δύο ενδεχόµενα κάθε φορά που µετακινούµαστε από µια κουκίδα (π.χ. Α) στην αµέσως επόµενη της προς τα δεξιά (π.χ. Β): η επιφάνεια που καλύπτεται από το πολύγωνο αυξάνει κατά slope (= 0.4) αν οι Α και Β έχουν το ίδιο y η επιφάνεια που καλύπτεται από το πολύγωνο µειώνεται κατά 1 - slope (= 0.6) αν το y των δύο γειτονικών κουκίδων διαφέρει κατά 1 (το δεύτερο ενδεχόµενο ισχύει στην περίπτωση ορισµένων κουκίδων - π.χ. x = 2 ή x = 7 - µόνο αν συµπεριλάβουµε στην επιφάνεια της Β που καλύπτεται από το πολύγωνο.και την επιφάνεια που ανήκει στο πολύγωνο και βρίσκεται πάνω από τη Β - δηλ. έχει y κατά µια µονάδα µεγαλύτερο από τη Β -). Η παρατήρηση αυτή µας επιτρέπει να ενσωµατώσουµε τον υπολογισµό της σκίασης (pixel[i]) κάθε ψηφίδας i στον αλγόριθµο του Bresenham µε τον ακόλουθο τρόπο. Αν MaxIntensity είναι η µέγιστη λαµπρότητα µε την οποία µπορεί να σχεδιαστεί µια ψηφίδα τότε βρίσκουµε τον πλησιέστερο ακέραιο posincrement που αντιστοιχεί στο γινόµενο: posincrement = MaxIntensity * slope Επίσης αρχικοποιούµε τη µεταβλητή negincrement µε τη τιµή: negincrement = MaxIntensity - posincrement Αν υποθέσουµε ότι σχεδιάζουµε το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ από το σηµείο Α (α x, α y ) προς το σηµείο Β (β x, β y ) όπου 0 <= slope AB <= 1 και ότι οι ψηφίδες που ανήκουν στο τµήµα αυτό θα σχεδιαστούν µε λαµπρότητα MaxIntensity, τότε αρχικά σκιάζουµε τη ψηφίδα που αντιστοιχεί στο σηµείο Α µε τη µέγιστη λαµπρότητα MaxIntensity. Στη συνέχεια για κάθε βήµα i από το α x ως το β x : ελέγχουµε το πρόσηµο του e i διαλέγουµε το y i σκιάζουµε την τρέχουσα ψηφίδα ως εξής: o αν e i < 0 τότε pixel[i] = pixel[i-1]+posincrement o αν e i >= 0 τότε pixel[i] = pixel[i-1]-negincrement υπολογίζουµε το λάθος στο επόµενο βήµα Παρόλο που ο συγκεκριµένος αλγόριθµος είναι αρκετά αποδοτικός στην περίπτωση πολυγωνικών σχηµάτων δε συµβαίνει το ίδιο και στην περίπτωση των µη 12/11/

20 πολυγωνικών σχηµάτων. Στην τελευταία αυτή περίπτωση επιλέγουµε να χρησιµοποιήσουµε µια από τις υπόλοιπες µεθόδους εξοµάλυνσης. Εικόνα 1: Παράδειγµα εφαρµογής του αλγορίθµου των Pitteway-Watkinson. Υπερδειγµατοληψία O συγκεκριµένος αλγόριθµος προσπαθεί να εξοµαλύνει τη σχεδίαση ενός σχήµατος χρησιµοποιώντας περισσότερα δείγµατα για τον καθορισµό της τιµής µιας κουκίδας. Για παράδειγµα, αν υποθέσουµε ότι το πλέγµα Α των ψηφίδων που θα χρησιµοποιηθεί για την σχεδίαση µιας εικόνας έχει διαστάσεις 512x512, τότε η µέθοδος της υπερδειγµατοληψίας θα υπολόγιζε την εικόνα που θα προέκυπτε αν χρησιµοποιούσαµε ένα πλέγµα Β διαστάσεων 1024x1024 ή ακόµα µεγαλύτερο. Στην περίπτωση αυτή η τιµή κάθε ψηφίδας Χ στο Α προκύπτει συνήθως από τον υπολογισµό του µέσου όρου των τιµών των ψηφίδων του Β που περιέχονται στο χώρο που καλύπτεται από την Χ. Η Εικόνα 2 περιγράφει ένα κλασικό παράδειγµα εξοµάλυνσης της σχεδίασης µιας εικόνας µε τη χρήση της µεθόδου της υπερδειγµατοληψίας. 12/11/

21 Εικόνα 2: Απλή (αριστερά) και υπερδειγµατοληπτηµένη (δεξιά) εικόνα. Οι κυµατώσεις στην δεξιά εικόνα εµφανίζονται σε µεγαλύτερο βάθος. Φιλτράρισµα Υψηλών Συχνοτήτων Η αποκοπή των υψηλών συχνοτήτων από µια εικόνα ονοµάζεται άµβλυνση (blurring). Υπάρχουν δύο κύριοι τρόποι για την επίτευξη της άµβλυνσης των περιεχοµένων µιας εικόνας: τα φίλτρα γειτνίασης τα φασµατικά φίλτρα. Τα περισσότερα από τα φίλτρα γειτνίασης υπολογίζουν ως τιµή της κάθε ψηφίδας στην εικόνα που προκύπτει το µέσο όρο των τιµών των ψηφίδων στην αρχική εικόνα σε ένα παράθυρο µε κέντρο την τρέχουσα ψηφίδα και διάσταση ίση µε τη διάσταση του πίνακα που υλοποιεί το φίλτρο. Η λειτουργία των φασµατικών φίλτρων στηρίζεται στο µετασχηµατισµό της πληροφορίας που περιέχει µία εικόνα από το πεδίο του χώρου στο πεδίο της συχνότητας στο οποίο µπορούµε να µεταβάλλουµε µε µεγαλύτερη ευκολία ορισµένα χαρακτηριστικά της εικόνας. Η εφαρµογή των φασµατικών φίλτρων σε µία εικόνα αποτελείται από τα παρακάτω τρια βήµατα: Μετασχηµάτισε την εικόνα από το πεδίο του χώρου στο πεδίο της συχνότητας. Το βήµα αυτό υλοποιείται συνήθως µε τον µετασχηµατισµό της εικόνας κατά Fourier. Το αποτέλεσµα της εφαρµογής ενός τέτοιου µετασχηµατισµού είναι ο υπολογισµος των συχνοτήτων οι οποίες περιέχονται στην εικόνα. Το σύνολο των συχνοτήτων αυτών αποτελεί το φάσµα συχνοτήτων (frequency spectrum) για τη συγκεκριµένη εικόνα. Απάλειψε ένα µέρος από τις υψηλές συχνότητες που περιέχονται στο φάσµα συχνοτήτων που προκύπτει από την εκτέλεση του προηγούµενου βήµατος. Εφάρµοσε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Fourier για το µετασχηµατισµό της εικόνας στο πεδίο του χώρου και την προβολή της µε βάση το φάσµα συχνοτήτων που προκύπτει από την εκτέλεση του προηγούµενου βήµατος. 12/11/

22 3.1. Ανασκόπηση Χρήσιµων Γεωµετρικών Εννοιών Στην τρέχουσα ενότητα θα ασχοληθούµε µε την ανασκόπηση χρήσιµων γεωµετρικών εννοιών που χρησιµοποιούνται εκτενώς στα Γραφικά µε Υπολογιστές. 3.2 ιανύσµατα Ορίζουµε ένα διάνυσµα ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει δύο σηµεία. Αν τα σηµεία του ευθύγραµµου τµήµατος είναι τα Α (x A, y A, z A ) και Β (x B, y B, z B ) τότε οι συνιστώσες του διανύσµατος ΑΒ (v x, v y, v z ) σε καθένα από τους άξονες x, y, z θα ορίζονται από τη διαφορά των συντεταγµένων µεταξύ του τέλους και της αρχής του διανύσµατος (x B - x A, y B - y A, z B - z A ). Στο υπόλοιπο της ενότητας τα διανύσµατα θα συµβολίζονται µε έντονη (bold) γραφή (π.χ. α). 3.3 Εσωτερικό Γινόµενο Το εσωτερικό γινόµενο (inner product ή dot product) δύο διανυσµάτων είναι ο πραγµατικός αριθµός που προκύπτει από τον πολλαπλασιασµό του µήκους των δύο διανυσµάτων επί το συνηµίτονο της γωνίας που σχηµατίζουν. Ο τύπος υπολογισµού είναι ο ακόλουθος: α. β = a β cos(γ), όταν a, β είναι δίαφορα του 0 α. β = 0, σε κάθε άλλη περίπτωση όπου γ είναι η γωνία µεταξύ των διανυσµάτων α και β. Αν τα α (α x, α y, α z ) και β (β x, β y β z ) είναι δύο τρισδιάστατα διανύσµατα τότε το εσωτερικό γινόµενο τους υπολογίζεται από τον τύπο: 3.4 Εξωτερικό Γινόµενο α. β = α x β x + α y β y + α z β z Το εξωτερικό γινόµενο (vector ή cross product) (α x β) µεταξύ δύο διανυσµάτων α και β είναι ένα διάνυσµα c µε διεύθυνση κάθετη προς το επίπεδο που ορίζουν τα α καιβ. Η φορά του διανύσµατος καθορίζεται απο τη διεύθυνση που θα έχει ο αντίχειρας του αριστερού (δεξιού) χεριού όταν τα υπόλοιπα δάκτυλα κλείσουν από το α προς το β σε ένα αριστερόστροφο (δεξιόστροφο) σύστηµα συντεταγµένων. Το µήκος του c προκύπτει από τον ακόλουθο τύπο: c = 0, όταν α = kβ c = α β sinγ, σε κάθε άλλη περίπτωση, όπου γ είναι η γωνία µεταξύ των α και β Αν τα α (α x, α y, α z )και β (β x, β y β z ) είναι δύο τρισδιάστατα διανύσµατα τότε το εξωτερικό γινόµενό τους υπολογίζεται από τον τύπο: α x β = (α y β z - α z β y )i+(α z β x - α x β z )j +(α x β y - α y β x )k όπου τα i, j, k σχηµατίζουν ένα δεξιόστροφο ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων στις τρεις διαστάσεις. 12/11/

23 Αξίζει να σηµειώσουµε ότι όταν οι πλευρές α και β είναι διαδοχικές πλευρές ενός παραλληλεπιπέδου τότε το µήκος του εξωτερικού τους γινοµένου µας δίνει την επιφάνεια του παραλληλεπιπέδου. 3.5 Σχετικός προσανατολισµός τριών σηµείων & εφαρµογές Αν υποθέσουµε ότι µας δίνεται µια διατεταγµένη τριάδα (Α, Β, Γ) σηµείων στο χώρο τότε για την σχεδίαση της επιφάνειας που ορίζουν χρειάζεται αρκετά συχνά να υπολογίσουµε το σχετικό προσανατολισµό τους, µε άλλα λόγια χρειάζεται να ξέρουµε αν θα συναντήσουµε τα σηµεία µε τη σειρά που αναφέρονται στην τριάδα αν κινηθούµε, σύµφωνα ή αντίστροφα, µε τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Στην πρώτη περίπτωση λέµε ότι τα τρία σηµεία έχουν αρνητικό σχετικό προσανατολισµό ενώ στη δεύτερη περίπτωση λέµε ότι έχουν θετικό προσανατολισµό. (βλ. Εικ. 3.1) Στην περίπτωση που τα τρία σηµεία είναι συνευθειακά τότε ορίζουµε τον προσανατολισµό τους ίσο µε το µηδέν. Αν ονοµάσουµε α το διάνυσµα ΓΑ και β το διάνυσµα ΓΒ τότε αποδεικνύεται ότι ο σχετικός προσανατολισµός των τριών σηµείων µας δίνεται από το πρόσηµο της παράστασης α x β y - α y β x και πιο συγκεκριµένα ότι: Εικόνα 3.1 Θετικά και αρνητικά προσανατολισµένη τριάδα σηµείων. Αν α x β y - α y β x > 0 τότε τα σηµεία Α, Β και Γ είναι θετικά προσανατολισµένα Αν α x β y - α y β x < 0 τότε τα σηµεία Α, Β και Γ είναι αρνητικά προσανατολισµένα Αν α x β y - α y β x = 0 τότε τα σηµεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά Αξίζει να σηµειώσουµε ότι η παράσταση που εξετάζουµε είναι ίση µε το εξωτερικό γινόµενο των α και β αν θεωρήσουµε ότι το επίπεδο xy ταυτίζεται µε το επίπεδο που καθορίζεται από τα τρία σηµεία Α, Β και Γ. Αν αυτό δεν ισχύει τότε ο προσανατολισµός των τριών σηµείων καθορίζεται από το πρόσηµο της παράστασης: Τ = k. (α x β) 12/11/

24 όπου k το µοναδιαίο διάνυσµα κατά τη θετική διεύθυνση του άξονα z. Για τις ανάγκες του µαθήµατος θα θεωρήσουµε ότι το επίπεδο που καθορίζεται απο τα Α, Β, Γ ταυτίζεται µε το επίπεδο xy. Ο υπολογισµός του σχετικού προσανατολισµού τριών σηµείων είναι τροµερά χρήσιµος γιατί µας επιτρέπει να υπολογίσουµε εαν ένα πολύγωνο είναι κυρτό ή κοίλο. Πιο συγκεκριµένα, ένα πολύγωνο ορίζεται ως µια διατεταγµένη ν-άδα κορυφών µε µήκος µεγαλύτερο ή ίσο του 3. Σε κάθε ν-άδα οι διαδοχικές κορυφές συνδέονται µεταξύ τους µε ευθύγραµµα τµήµατα. Mια κορυφή ενός πολυγώνου θα λέµε ότι είναι κυρτή (convex) όταν η γωνία των δυο ακµών στις οποίες ανήκει είναι µικρότερη από Ενα πολύγωνο θα είναι κυρτό όταν όλες οι κορυφές του είναι κυρτές. Οταν η παραπάνω συνθήκη δεν ισχύει και η γωνία είναι µεγαλύτερη από τότε το πολύγωνο θα ονοµάζεται κοίλο (concave). Για να µπορέσουµε εποµένως να καταλάβουµε αν ένα πολύγωνο είναι κυρτό ή όχι θα πρέπει αρχίζοντας από µια κυρτή κορυφή να ελέγξουµε αν όλες οι διαδοχικές τριάδες κορυφών όταν τις διατρέξουµε µε φορά αντίστρφη των δεικτών του ρολογιού είναι θετικά προσανατολισµένες. Αν αυτό συµβαίνει τότε το πολύγωνο µας θα είναι κυρτό. Σε αντίθετη περίπτωση το πολύγωνο µας θα είναι είτε κοίλο είτε όλες οι κορυφές του πολυγώνου µας θα είναι συνευθειακές. Για να είναι αξιόπιστος ο παραπάνω υπολογισµός θα πρέπει η µεσαία κορυφή της πρώτης τριάδας που θα εξετάσουµε να είναι σίγουρα κυρτή. Για να το πετύχουµε αυτό διαλέγουµε την κορυφή του πολυγώνου µε την µέγιστη ή την ελάχιστη τιµή στον οριζόντιο ή στον κάθετο άξονα συντεταγµένων Ευρεση σηµείων που περιέχονται στο εσωτερικό τριγώνων Ο υπολογισµός του σχετικού προσανατολισµού µιάς τριάδας σηµείων ΑΒΓ χρησιµεύει στον έλεγχο του κατα πόσον ένα άλλο τυχαίο σηµείο περικλείεται ή όχι από το τρίγωνο ΑΒΓ. Οπως περιγράφεται στην Εικόνα 3.2 ένα σηµείο περιέχεται σε ένα τέτοιο τρίγωνο ΑΒΓ αν οι τριάδες ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ έχουν τον ίδιο σχετικό προσανατολισµό µε την τριάδα ΑΒΓ. 12/11/

25 Εικόνα 3.2: Βρίσκεται το σηµείο στο εσωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ; Εύρεση σηµείων που περιέχονται στο εσωτερικό πολυγώνων Ο σχετικός προσανατολισµός µίας τριάδας σηµείων βρσκει εφαρµογή και στον έλεγχο του εαν ένα σηµείο Α περιέχεται στο εσωτερικό ενός πολυγώνου P 0 P 1...P n-1. Στην περίπτωση αυτή αρκεί να µετρήσουµε τον αριθµό των πλευρών του πολυγώνου που τέµνουν µία ηµιευθεία που ξεκινά από το Α. Αν ο αριθµός των πλευρών αυτών είναι περιττός τότε το σηµείο Α ανήκει στο εσωτερικό του πολυγώνου. Σε αντίθετη περίπτωση το Α δεν βρίσκεται στο εσωτερικό του πολυγώνου (βλ. Εικ. 3.3). Εικόνα 3.3: Βρίσκεται το σηµείο Α στο εσωτερικό του πολυγώνου; 12/11/

26 Κατά τη µέτρηση των ακµών του πολυγώνου θα πρέπει να λάβουµε υπ' όψη τις ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις: Ακµές που περιέχονται ή είναι παράλληλες µε την ηµιευθεία (π.χ. η ακµή 4-5 στην Εικ. 3.3). Η µέθοδος ελέγχου που εξετάζουµε δε χρειάζεται να εξετάσει τέτοιες περιπτώσεις. Τοπικά ακρότατα που ανήκουν στην ηµιευθεία (π.χ. τα σηµεία 8 και 10). Στην περίπτωση αυτή είτε θα πρέπει να υπολογίσουµε σα διπλή τη συνεισφορά ενός τέτοιου σηµείου είτε να την αγνοήσουµε. Μια λύση που µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε είναι να ελέγχουµε αν η ηµιευθεία τέµνει τις πλευρές P i P i+1 του πολυγώνου για τις οποίες ισχύει µία από τις ακόλουθες συνθήκες: o y i <= y A < y i+1 o y i+1 <= y A < y i Σε µία τέτοια περίπτωση τοπικά µέγιστα µεταξύ δύο διαδοχικών πλευρών αγνοούνται (π.χ. η τοµή της ηµιευθείας µε την κορυφή 8 δεν θα προσµετρηθεί) ενώ τοπικά ελάχιστα µετριούνται διπλά. Για υπολογίσουµε ποιές από τις πλευρές του πολυγώνου θα εξεταστούν για πιθανή τοµή µε την ηµιευθεία µας θα επιλέξουµε πλευρές P i P i+1 του πολυγώνου για τις οποίες ισχύει ότι ο σχετικός προσανατολισµός των τριάδων MinC i MaxC i A είναι ο ίδιος όπου MinC i = min y (P i P i+1 ), MaxC i = max y (P i P i+1 ) Εύρεση σηµείων που ανήκουν σε ευθεία ή ευθύγραµµο τµήµα. Για να ελέγξουµε αν ένα σηµείο A ανήκει σε µια ευθεία αρκεί να εξετάσουµε αν το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζεται απο το Α και δύο σηµεία της ευθείας είναι ίσο µε το 0. Ενα σηµείο P περιέχεται σε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ όταν ισχύει η ακόλουθη συνθήκη (βλ. Εικ. 3.4): ((x A!= x B KAI min( x A, x B ) <= x P <= max( x A, x B )) Ή (x A = x B KAI min( y A, y B ) <= y P <= max( y A, y B ))) ΚΑΙ Εµβαδό(ABP) = 0 Για να ελέγξουµε αν η προβολή Ρ ' ενός σηµείου Ρ σε ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ περιέχεται στο τµήµα υπολογίζουµε το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων ΑΡ και ΑΒ. Το γινόµενο λαµβάνει την τιµή 0 όταν το Α συµπίπτει µε το Ρ ενώ λαµβάνει την τιµή ΑΒ 2 όταν το Ρ συµπίπτει µε το Β. Οταν η τιµή του εσωτερικού γινοµένου βρίσκεται µεταξύ των δύο αυτών ορίων τότε το Ρ ' περιέχεται στο ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ. 12/11/

27 Εικόνα 3.4: Ανήκει το σηµείο P ή η προβολή του P ' στο ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ; 3.6 Εµβαδά Πολυγώνων & Υπολογισµός Απόστασης Σηµείου από Ευθύγραµµο Τµήµα Εµβαδό Τριγώνου Οπως αναφέραµε στην παράγραφο 3.4 το εξωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων παράγει ένα καινούριο διάνυσµα µε µήκος ίσο µε το εµβαδόν το παραλληλεπιπέδου που ορίζεται από τα δύο αυτά διανύσµατα. Επειδή το εµβαδόν ενός παραλληλεπιπέδου είναι το διπλάσιο του εµβαδού των δύο ίσων τριγώνων από τα οποία αποτελείται συµπεραίνουµε ότι για το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζεται από τρία σηµεία µε θετικό προσανατολισµό ισχύει ο τύπος: 2*Εµβαδό(ΑΒΓ) = α x β = α x β y - α y β x Απόσταση Σηµείου από Ευθύγραµµο Τµήµα Με βάση τον προηγούµενο τύπο µπορούµε να υπολογίσουµε την απόσταση ενός σηµείου Ρ από ένα ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ (βλ. Εικ. 3.4) αν υπολογίσουµε το λόγο: Εµβαδό Πολυγώνου ΑΡ x AB / AB Αποδεικνύεται ότι το εµβαδόν ενός πολυγώνου P 0 P 1...P n-1 δίνεται από τον τύπο: 2*Εµβαδό(P 0 P 1...P n-1 ) = Σ (x i y i+1 - y i x i+1 ) από i = 0 έως και n-1 όπου (x i, y i ) οι συντεταγµένες του σηµείου P i και P n = P 0. 12/11/

28 3.7 ιαίρεση Πολυγώνου σε Τρίγωνα Σε αρκετές εφαρµογές γραφικών είναι χρήσιµο να διαιρέσουµε την επιφάνεια ενός πολυγώνου σε µια σειρά από τρίγωνα. Για παράδειγµα σε µία τέτοια διαίρεση όλα τα σηµεία ενός τριγώνου θα είναι συνεπίπεδα και εποµένως σε αρκετές περιπτώσεις θα αντιδρούν µε τον ίδιο τρόπο στις προσπίπτουσες ακτίνες φωτός. Ενας αλγόριθµος διαίρεσης διασχίζει τις κορυφές του πολυγώνου P 0 P 1...P n-1 αρχίζοντας από την κορυφή P 0 µε φορά αντίθετη των δεικτών του ρολογιού. Για κάθε τριάδα κορυφών P i-1 P i P i+1 που συναντά αν η τριάδα αυτή έχει θετικό προσανατολισµό τότε ο αλγόριθµος ελέγχει αν κάποια από τις υπόλοιπες κορυφές του πολυγώνου περιέχεται στο εσωτερικό του τριγώνου P i-1 P i P i+1. Αν αυτό δε συµβαίνει τότε το τρίγωνο P i-1 P i P i+1 προστίθεται στη λίστα των τριγώνων στις οποίες διαιρείται το πολύγωνο η κορυφή P i αφαιρείται από τη λίστα των κορυφών του πολυγώνου και ο αλγόριθµος συνεχίζει τη διάσχιση των κορυφών από τη κορυφή P i-1 µε τις εναποµείναντες κορυφές. Ο αλγόριθµος τερµατίζει επιτυχώς όταν χωρίσει το πολύγωνο σε n-2 τρίγωνα. Ο αλγόριθµος τερµατίζει ανεπιτυχώς αν διασχίσει n κορυφές χωρίς να βρεί ένα τρίγωνο µε τις προϋποθέσεις που αναφέραµε. Για παράδειγµα, στην Εικόνα 3.5 ο αλγόριθµος αρχίζει τη διάσχιση από την κορυφή Α. Η τριάδα ΑΒΓ απορρίπτεται αφού το τρίγωνο που προκύπτει περιέχει την κορυφή. Στη συνέχεια εξετάζεται η τριάδα ΒΓ το τρίγωνο που προκύπτει προστίθεται στη λίστα των τριγώνων και η κορυφή Γ αφαιρείται από το πολύγωνο. Το πολύγωνο που προκύπτει είναι το ΑΒ Ε, ο αλγόριθµός συνεχίζει τη διάσχιση από την τριάδα Β Ε κ.ο.κ. Εικόνα 3.5: ιαίρεση του πολυγώνου ΑΒΓ Ε σε τρίγωνα. Η υλοποίηση σε Java του παρακάτω αλγορίθµου περιέχεται στα αρχεία Tools2D.java, PolyTria.java, Point2D.java και Triangle.java εδώ. 12/11/

29 3.8 Γραµµικοί Συνδυασµοί ιανυσµάτων Γραµµικός συνδυασµός m διανυσµάτων v 1, v 1,..., v m ονοµάζεται το διάνυσµα v που προκύπτει από το άρθροισµα: v = α 1 v 1 +α 2 v α m v m όπου α i µε i από 1 έως και m είναι πραγµατικοί αριθµοί. Μια ειδική περίπτωση γραµµικού συνδυασµού διανυσµάτων αποτελούν οι κυρτοί συνδυασµοί (convex combinations) που έχουν την ιδιότητα ότι το άθροισµα όλων των α i ισούται µε 1 και α i >= 0. Ενας κυρτός συνδυασµός µε ιδιαίτερο ενδιαφέρον αποτελεί ο συνδυασµός µε τη µορφή: v(t) = α(1-t) + tβ στον οποίο υποθέτουµε ότι τα α και β είναι τυχαία διανύσµατα και η µεταβλητή t λαµβάνει τιµές από το 0 έως και το 1. Αν σχεδιάσουµε τα α και β µε κοινή αρχή τότε το διάνυσµα που προκύπτει θα έχει την ίδια αρχή µε τα α και β και το τέλος του θα βρίσκεται στο ευθύγραµµο τµήµα που ορίζεται απο το τέρµα των α και β (βλ. Εικ. 3.5). Εικόνα 3.5: Κυρτός συνδυασµός των διανυσµάτων α και β. Οσο το t αυξάνεται στο διάστηµα που προαναφέραµε, το τέλος του v θα µετακινείται από το τέλος του α προς το τέλος β διαγράφοντας την ευθεία που θα σχηµατίζουν τα δύο αυτά σηµεία. Αν τα Α και Β είναι σηµεία τότε κάθε σηµείο Γ που προκύπτει από ένα ανάλογο γραµµικό συνδυασµό, δηλ: 12/11/

30 Γ(t) = Α(1-t) + tβ, 0 <= t <= 1 θα περιέχεται στο εσωτερικό του ευθυγράµµου τµήµατος που σχηµατίζουν τα σηµεία Α και Β. Στην περίπτωση αυτή θα λέµε ότι το σηµείο Γ παρεµβάλλεται µεταξύ των Α και Β. Σηµεία που ικανοποιούν µια τέτοια σχέση χρησιµοποιούνται σε εφαρµογές συνθετικής κίνησης (animation) και ειδκότερα όταν θέλουµε να µετασχηµατίσουµε σταδιακά ένα σχήµα (Α) σε κάποιο άλλο (Β). Η συγκεκριµένη λειτουργία ονοµάζεται tweening και ένας αλγόριθµος υλοποίησης της λειτουργίας αυτής αποτελείται από τα εξής βήµατα: Tween(A, B) 1. Ορισε µια ακολουθία από n διαδοχικά σηµεία στο περίγραµµα δυο σχηµάτων Α και Β. 2. Αντιστοίχισε κάθε σηµείο α i του Α στο σηµείο β i του Β. 3. Για t από 0 έως και 1: 1. Για κάθε µία από τις αντιστοιχίες που δηµιουργήθηκαν στο προηγούµενο βήµα: 1. Υπολόγισε τις συντεταγµένες των ενδιάµεσων σηµείων γ i = α i (1-t) + tβ ι 2. Σχεδίασε το σχήµα που προκύπτει Ασκηση: Υλοποιήστε τον παραπάνω αλγόριθµο. 12/11/