ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Βιολέττα Δάλλα Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 1

2 Πολυσυγγραµµικότητα Αν υπάρχει ακριβής γραµµική σχέση ανάµεσα σε κάποιες από τις ερµηνευτικές µεταβλητές (συµπεριλαµβανόµενης της µοναδιαίας µεταβλητής του σταθερού όρου), τότε έχουµε τέλεια πολυσυγγραµµικότητα (perfect multicollinearity). Αν δεν υπάρχει ακριβής γραµµική σχέση ανάµεσα στις ερµηνευτικές µεταβλητές (συµπεριλαµβανόµενης της µοναδιαίας µεταβλητής του σταθερού όρου), αλλά για κάποιες από αυτές υπάρχει σχεδόν ακριβής γραµµική σχέση, τότε έχουµε πολυσυγγραµµικότητα (multicollinearity). Αν υπάρχει τέλεια πολυσυγγραµµικότητα, η υπόθεση Α. δεν ισχύει και οι OLS εκτιµητές δεν υπολογίζονται. Αν υπάρχει πολυσυγγραµµικότητα, οι OLS εκτιµητές υπολογίζονται και οι ιδιότητες τους δεν επηρεάζονται από την ύπαρξη της πολυσυγγραµµικότητας.

3 Αν υπάρχει πολυσυγγραµµικότητα, οι διακυµάνσεις και τα τυπικά σφάλµατα των OLS εκτιµητών των συντελεστών παλινδρόµησης µπορεί να είναι µεγάλα, ειδικά σε µικρά δείγµατα. Στην περίπτωση αυτή, οι t στατιστικές για τη σηµαντικότητα µίας ερµηνευτικής µεταβλητής θα είναι µικρές, το οποίο µπορεί να οδηγήσει σε λάθος συµπεράσµατα ως προς την εξειδεικεύση του υποδείγµατος παλινδρόµησης, µε αποτέλεσµα η υπόθεση Α.1 να µην ισχύει. Για K =, rx 1,X = 1 είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη για τέλεια πολυσυγγραµ- µικότητα λόγω των ερµηνευτικών µεταβλητών X 1 και X. Για K >, r X j,x l = 1 είναι ικανή αλλά όχι και αναγκαία συνθήκη για τέλεια πολυσυγγραµµικότητα λόγω των ερµηνευτικών µεταβλητών X j και X l. 3

4 Για K =, στο υπόδειγµα παλινδρόµησης ισχύει ότι V ( ) σ β 1 = ( 1 r ) T X1,X Y t = β 0 + β 1 X t1 + β X t + u t, t = 1,..., T t=1 και άρα, V ( ) ( ) β 1, V β, όταν rx1,x ±1. ( X t1 X, V ( ) σ β = ( 1) 1 r ) T X1,X (X t X ) Αν r X1,X ήταν πολύ κοντά στο ±1, τότε θα υπήρχε πολυσυγραµµικότητα. Αφού r X1,X είναι πολύ κοντά στο ±1 οι διακυµάνσεις V ( ) ( ) β 1, V β µπορούσαν να ήταν µεγάλες. Αν r X1,X = ±1, τότε θα υπήρχε τέλεια πολυσυγραµµικότητα. Αφού r X1,X = ±1, υπάρχουν γνωστές σταθερές a,b ώστε X t = a + bx t1, t = 1,..., T. t=1 θα 4

5 Τότε το υπόδειγµα παλινδρόµησης γίνεται Y t = β0 + β 1X t1 + u t, t = 1,..., T όπου β0 = β 0 + aβ και β1 = β 1 + bβ Από τους OLS εκτιµητές των β 0 και β 1 δεν είναι εφικτός ο υπολογισµός των OLS εκτιµητών των β 0, β 1 και β. 5

6 Ετεροσκεδαστικότητα Όταν η διακύµανση του σφάλµατος είναι σταθερή για όλες τις παρατηρήσεις, V (u t ) = σ για t = 1,..., T, τότε έχουµε οµοσκεδαστικότητα (homoskedasticity). Όταν η διακύµανση του σφάλµατος δεν είναι σταθερή για όλες τις παρατηρήσεις, V (u t ) = σ t = σ δ t για t = 1,..., T, τότε έχουµε ετεροσκεδαστικότητα (heteroskedasticity). Αν υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα, η υπόθεση Α.4 δεν ισχύει αφού V (u) = σ σ T = σ δ δ T σ I 6

7 Αν υπάρχει ετεροσκεδατικότητα και εφόσον οι υπόλοιπες υποθέσεις ισχύουν: Ο OLS εκτιµητής β είναι γραµµικός, αµερόληπτος και συνεπής εκτιµητής του β αλλά δεν είναι άριστος. Ο OLS εκτιµητής s είναι µεροληπτικός και ασυνεπής εκτιµητής του σ t. Ο OLS εκτιµητής V ( β ) είναι µεροληπτικός και ασυνεπής εκτιµητής του V ( β ). Οι στατιστικοί έλεγχοι t και F, τα διαστήµατα εµπιστοσύνης και προβλέψεων είναι αναξιόπιστα. 7

8 Στατιστικός έλεγχος: Breusch-Pagan-Godfrey για ετεροσκεδαστικότητα Ετεροσκεδαστικότητα σ t = α 0 + α 1 Z t α m Z tm, όπου Z 1,..., Z m τυχαίες µεταβλητές. Υποθέσεις: H 0 : α 1 =... = α m = 0 έναντι H 1 : τουλάχιστον ένα α j 0, j = 1,..., m Στατιστική ελέγχου: BP G = SSR όπου SSR είναι το άθροισµα των τετραγώνων της βοηθητικής παλινδρόµησης û t σ = α 0 + α 1 Z t α m Z tm + ε t, t = 1,..., T και σ = 1 T T t=1 û t. Κρίσιµη περιοχή: BP G > χ m,α 8

9 Στατιστικός έλεγχος: Breusch-Pagan-Godfrey για ετεροσκεδαστικότητα Ετεροσκεδαστικότητα σ t = α 0 + α 1 Z t α m Z tm, όπου Z 1,..., Z m τυχαίες µεταβλητές. Υποθέσεις: H 0 : α 1 =... = α m = 0 έναντι H 1 : τουλάχιστον ένα α j 0, j = 1,..., m Στατιστική ελέγχου: BP G = T R όπου R είναι ο συντελεστής προσδιορισµού της βοηθητικής παλινδρόµησης û t = α 0 + α 1 Z t α m Z tm + ε t, t = 1,..., T Κρίσιµη περιοχή: BP G > χ m,α 9

10 Στατιστικός έλεγχος: White για ετεροσκεδαστικότητα Ετεροσκεδαστικότητα σ t = f(x t1,..., X tk ) α 0 +α 1 X t α K X tk +γ 1 X t γ K XtK + δ 1X t1 X t + δ X t1 X t δk(k 1) X tk 1 X tk. Υποθέσεις: H 0 : α 1 =... = α K = γ 1 =... = γ K = δ 1 =... = δk(k 1) H 1 : τουλάχιστον ένα α j, γ j, δ j 0 = 0 έναντι Στατιστική ελέγχου: W = T R όπου R είναι ο συντελεστής προσδιορισµού της βοηθητικής παλινδρόµησης û t = α 0 + α 1 X t α K X tk + γ 1 X t γ KX tk + δ 1X t1 X t + δ X t1 X t δk(k 1) X tk 1 X tk + ε t, t = 1,..., T Κρίσιµη περιοχή: W > χ m,α όπου m = (K+1)(K+) 1. 10

11 Η εφαρµογή του κριτηρίου BPG προϋποθέτει γνώση των µεταβλητών Z 1,..., Z m. Συχνά επιλέγονται οι ερµηνευτικές µεταβλητές X 1,..., X K για τις µεταβλητές Z 1,..., Z m και τότε το κριτήριο BPG είναι ειδική περίπτωση του κριτηρίου White. Το κριτήριο White είναι γενικό και αν απορριφθεί η H 0 δεν συνάγεται η µορφή της ετεροσκεδαστικότητας. Κατά την εφαρµογή του κριτηρίου White χάνονται πολλοί βαθµοί ελευθερίας m = (K+1)(K+) 1. 11

12 Εκτίµηση υποδείγµατος: γνωστή ετεροσκεδαστικότητα Χρησιµοποιείται η σταθµική µέθοδος ελαχίστων τετραγώνων WLS (weighted least squares) µε βάρη w t, t = 1,..., T. Ελαχιστοποιούµε ως προς β το άθροισµα των τετρα- γώνων S( β) = T t=1 w t ( ) Yt β 0 β 1 X t1... β K X tk Αν η ετεροσκεδαστικότητα σ t είναι γνωστή, τότε θέτουµε w t = 1 σ t. Αν η ετεροσκεδαστικότητα είναι της µορφής σ t = σ δ t, όπου δ t > 0 είναι γνωστό, τότε θέτουµε w t = 1 δt. Η µέθοδος WLS µε γνωστά βάρη w t είναι ειδική περίπτωση της µεθόδου γενικευµένων ελαχίστων τετραγώνων GLS (generalized least squares). 1

13 Εκτίµηση υποδείγµατος: άγνωστη ετεροσκεδαστικότητα Αν η ετεροσκεδαστικότητα είναι της µορφής σ t = σ δ t, όπου δ t > 0 είναι αγνωστό, τότε η ποσότητα δ t πρέπει να εκτιµηθεί από ένα συνεπή εκτιµητή δ t, π.χ. δ t = E(Y t ) και δ t = Y t. δ t = e α 0+α 1 X t α K X tk και δ t = e ln(ût) όπου ln(û t ) είναι οι υπολογισµένες τιµές της παλινδρόµησης ln(û t ) = ln(σ ) + α 0 + α 1 X t α K X tk + v t. Χρησιµοποιείται η σταθµική µέθοδος ελαχίστων τετραγώνων WLS (weighted least squares) µε βάρη w t = 1. δ t Η µέθοδος WLS µε εκτιµώµενα βάρη w t είναι ειδική περίπτωση της µεθόδου εφικτών γενικευµένων ελαχίστων τετραγώνων FGLS (feasible generalized least squares). 13

14 White εκτιµητής του V ( β ) Ο White εκτιµητής του V ( β ) είναι V W ( β ) = T ( X X ) 1 S0 ( X X ) 1 όπου S 0 = 1 T X1 X T û û û T X 1. X T = 1 T T t=1 û tx t X t 14

15 Ο White εκτιµητής V ( W β ) είναι συνεπής εκτιµητής του V ( β ). Όταν υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα αγνώστου µορφής, εκτιµάµε το υπόδειγµα παλινδρόµησης µε OLS και χρησιµοποιούµε τον White εκτιµητή V ( W β ) για την εκτίµηση του V ( β ). Οι εκτιµήσεις του V ( β ) και οι στατιστικοί έλεγχοι που βασίζονται στον White εκτιµητή V ( W β ) είναι γνωστοί ως ανθεκτικοί στην ετεροσκεδαστικότητα (heteroskedasticity robust). 15