ιαχείριση του υδροφορέα των πηγών ράµας µε εφαρµογή του γραµµικού προγραµµατισµού

Transcript

1 ιαχείριση του υδροφορέα των πηγών ράµας µε εφαρµογή του γραµµικού προγραµµατισµού Χρήστος Τζιµόπουλος, Παναγιώτα Γκινίδη Τοµέας Συγκοινωνιακών και Υδραυλικών έργων, Τµήµα Αγρονόµων & Τοπογράφων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Περίληψη Εξετάζεται η συµπεριφορά του υπόγειου υδροφορέα των πηγών Αγίας Βαρβάρας στην περιοχή της ράµας Το αντικείµενο της έρευνας εντοπίζεται στην εύρεση του υδατικού ισοζυγίου του υδροφορέα και στη βέλτιστη διαχείρισή του µε την εφαρµογή ενός ολοκληρωµένου µοντέλου προσοµοίωσης διαχείρισης βελτιστοποίησης Για την εξοµοίωση του υδροφορέα χρησιµοποιείται ένα τρισδιάστατο µοντέλο, που βασίζεται στη θεωρία των πεπερασµένων διαφορών (Fnte Dfference Method), για τη διαχείρισή του εφαρµόζεται η τεχνική του πίνακα απόκρισης (Response Mtr Method), ενώ η εύρεση της βέλτιστης λύσης επιτυγχάνεται µε τη βοήθεια του Γραµµικού Προγραµ- µατισµού (Lner Progrng) Ο αντικειµενικός στόχος της παρούσας εργασίας είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους λειτουργίας του αντλιοστασίου και η βελτιστοποίηση των παροχών άντλησης νερού από τις γεωτρήσεις Λέξεις κλειδιά: περιορισµένος υδροφορέας, µοντέλα προσοµοίωσης, Γραµµικός Προγραµµατισµός, τεχνικές διαχείρισης και βελτιστοποίησης Εισαγωγή Το νερό αποτελεί αναντικατάστατο αγαθό για τον άνθρωπο, για τον πολιτισµό του, για την ίδια του τη ζωή Είναι αγαθό «εν αφθονία» και µάλιστα τα συνολικά αποθέµατα του νερού στη γη παραµένουν σταθερά και αναλλοίωτα στο πέρασµα των αιώνων Η παρέµβαση όµως του ανθρώπου, η αύξηση του πληθυσµού µε γεωµετρικούς ρυθµούς, οι συνεχώς αυξανόµενες απαιτήσεις και η ασέβεια προς το περιβάλλον και τους φυσικούς πόρους, έχουν δηµιουργήσει ένα πολύ σοβαρό πρόβληµα, δηλαδή την έλλειψη πόσιµου νερού Σηµαντικό ρόλο για την εκµετάλλευση του υδάτινου πλούτου των υπόγειων υδροφορέων διαδρα- µατίζει η σωστή διαχείρισή τους Η διαµόρφωση και επίλυση των προβληµάτων διαχείρισης στηρίζεται στην εφαρµογή ενός σύνθετου µοντέλου προσοµοίωσης διαχείρισης-βελτιστοποίησης Τα µοντέλα προσοµοίωσης περιγράφουν την κίνηση του νερού στο έδαφος µε ένα σύστηµα διαφορικών εξισώσεων, το οποίο επιλύεται µε τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών µε ένα πλήρες πεπλεγµένο σχήµα Τα αποτελέσµατα που προκύπτουν µέσα από τη διαδικασία της προσοµοίωσης του υδροφορέα, υφίστανται περαιτέρω επεξεργασία µε τη βοήθεια του προγράµµατος της διαχείρισης και µε απώτερο σκοπό την εύρεση της βέλτιστης λύσης Η γραµµική άλγεβρα παρέχει τις µεθόδους που είναι απαραίτητες για την ανάλυση πολύπλοκων και δύσκολων συστηµάτων Μέσα από τις πληροφορίες που δίνονται για τη µεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση πολλών παραµέτρων του συστήµατος, υπάρχει η δυνατότητα ανάπτυξης και σχεδίασης περισσότερο πολύπλοκων µηχανισµών και η ικανότητα της βελτιστοποίησής τους Ο Γραµµικός Προγραµµατισµός αποτελεί µία από τις σηµαντικότερες µεθόδους βελτιστοποίησης η οποία εφαρµόζεται µε στόχο τη λύση προβληµάτων στα οποία η αντικειµενική συνάρτηση και οι περιορισµοί εµφανίζονται ως γραµµικές συναρτήσεις των µεταβλητών αποφάσεων Πρωτοπόρος στα προβλήµατα βελτιστοποίησης υπόγειων υδροφορέων ο Schwrz (97), παρουσίασε ένα παράδειγµα βελτιστοποίησης των αντλήσεων µε Γραµµικό Προγραµµατισµό σε έναν υδροφορέα χωρισµένο σε 5 ορθογώνιες περιοχές Ο Ber (979), τον ακολούθησε δίνοντας έµφαση σε συνδυασµένα προβλήµατα διαχείρισης και βελτιστοποίησης υπόγειων υδροφορέων Oι Mc Donld & Hrbugh (988) ασχολήθηκαν µε το τρισδιάστατο µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού µε πεπερασµένες διαφορές Ο Greenlnd (994) συνεργάστηκε µε τους Mc Donld & Hrbugh κυρίως στην επίλυση του προβλήµατος διαχείρισης µε την κατασκευή του αντίστοιχου µοντέλου και όλου του λογισµικού (softwre) Η παρούσα έρευνα αναφέρεται στην ελαχιστοποίηση του κόστους ενός µεγάλου αρδευτικού δι- Ì Ì ÁÚÔÓfÌˆÓ Î È ÔppleÔÁÚ ÊˆÓ ªË ÓÈÎÒÓ,, 00 pplef Ù ÛÙÚ ÛÙË ÁË Î È ÙÔÓ ppleôïèùèûìf ÊÈ ÚˆÌ ÛÙË ÌÓ ÌË ÙÔ ıëáëù Ï Í Ó ÚÔ ÛÈÔ ÌË ÛÂÏ 5-9

2 κτύου στην περιοχή του νοµού ράµας (Κοινότητα Αγίας Παρασκευής), εκτάσεως περίπου 6000 στρεµµάτων (Γκινίδη, 00) Σαν µέθοδος βελτιστοποίησης χρησιµοποιήθηκε ο Γραµµικός Προγραµµατισµός (µέθοδος sple) Για το σχηµατισµό της αντικειµενικής συνάρτησης χρησιµοποιήθηκαν σαν µεταβλητές αποφάσεων, τα µήκη των αγωγών του αρδευτικού δικτύου, ενώ για τους περιορισµούς δοµής τα µήκη και τα φορτία απωλειών (Χ Τζιµόπουλος, Α Σπυρίδης, 000) Μαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης της κίνησης του νερού στο έδαφος Γενικά H κίνηση του υπόγειου νερού µέσα σ ένα πορώδες µέσο, µπορεί να περιγραφεί από την παρακάτω τρισδιάστατη εξίσωση (Ber, 979, Ψιλοβίκος, 996) µε µερικές παραγώγους: K h + K y yy h + K y z zz h w = z h = S s () t όπου K, Kyy, Kzz οι τιµές της υδραυλικής αγωγιµότητας κατά µήκος των διευθύνσεων, y, z αντίστοιχα [L - ], h το πιεζοµετρικό φορτίο [L] W οι εξωτερικές εισροές ή εκροές νερού ανά µονάδα όγκου [Τ - ] S s η ειδική αποθηκευτικότητα του πορώδους υλικού [L - ] t ο χρόνος [Τ] Η εξίσωση () σε συνδυασµό µε τις οριακές συνθήκες στα όρια του υδροφορέα και µε την αρχική συνθήκη πιεζοµετρίας, αποτελεί ένα µαθηµατικό µοντέλο ενός υπόγειου υδροφορέα Εκτός από τα απλά συστήµατα υδροφορέων, αναλυτικές λύσεις της εξίσωσης () είναι πολύ δύσκολο και τις περισσότερες φορές αδύνατο να επιτευχθούν Γι αυτό το λόγο έχουν αναπτυχθεί τα τελευταία χρόνια µαθη- µατικά µοντέλα που στηρίζονται σε αριθµητικές µεθόδους επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων και δίνουν προσεγγιστικές λύσεις Τέτοιες αριθµητικές µέθοδοι είναι οι πεπερασµένες διαφορές, τα πεπερασµένα στοιχεία, τα πολλαπλά κελιά, τα οριακά στοιχεία κα Το µοντέλο µε τη βοήθεια του οποίου γίνεται η επίλυση της εξίσωσης, χρησιµοποιεί τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών στις τρεις διαστάσεις, όπου το συνεχές σύστηµα που περιγράφεται από την εξίσωση (), αντικαθίσταται από ένα πεπερασµένο αριθµό διακριτών σηµείων τόσο ως προς το χώρο, όσο και ως προς το χρόνο Οι µερικές παράγωγοι αντικαθίστανται από όρους που υπολογίζονται ως διαφορές στην πιεζοµετρία για τα συγκεκριµένα αυτά σηµεία και η διαδικασία αυτή τελικά οδηγεί σε συστήµατα γραµµικών αλγεβρικών εξισώσεων µε διαφορές Γραµµικός Προγραµµατισµός- Θεωρία επί των κυρτών συνόλων Εισαγωγή Σύµφωνα µε τον Γραµµικό Προγραµµατισµό υπάρχει µια συνάρτηση f o των µεταβλητών, =,,n, η οποία πρόκειται να βελτιστοποιηθεί (u ή nu): f o =c +c +c ++c n n () Συνήθως λαµβάνεται υπόψη η διαδικασία ελαχιστοποίησης έτσι ώστε: nze f o =c +c +c ++c n n Η συνάρτηση αυτή καλείται αντικειµενική συνάρτηση, ενώ οι άγνωστες παράµετροι,, n καλούνται µεταβλητές αποφάσεως Επιπροσθέτως υπάρχουν περιοριστικές σχέσεις (περιορισµοί) που συνδέουν τις παραµέτρους,, n : + + n n ( ή ) b + + n n (( ή ) b () + + n n (( ή ) b 0, 0, n 0 Το παραπάνω πρόβληµα της βελτιστοποιήσεως (εύρεση του µεγίστου ή ελαχίστου) της συνάρτησης f o µε τους περιορισµούς, µπορεί να γραφεί µε την κανονική του µορφή: Βελτιστοποίηση: Αντικειµενική συνάρτηση: 6

3 Mnze f o =c j j µε τους περιορισµούς: j j = b, =, j 0 j=,,n (4) ή σε µητρώα µορφή ως ακολούθως: nze fo= (5) µε τους περιορισµούς: Α b (6) 0 Το παραπάνω πρόβληµα των ανισοτήτων µετατρέπεται σε πρόβληµα ισοτήτων µε την εισαγωγή κάποιων νέων µεταβλητών που καλούνται ψευδοµεταβλητές (slc vrbles) Οι νέες αυτές µεταβλητές S προκύπτουν από την αλλαγή της ανισότητας : + + n n b (7) σε ισότητα στην τυπική µορφή : + + n n + S =b (8) Έτσι το παραπάνω πρόβληµα παίρνει την ακόλουθη τελική τυπική µορφή του: nze fo= (9) µε τους περιορισµούς: Α = b (0) 0 Θεωρία επί των κυρτών συνόλων Κυρτό σύνολο Μη κυρτό σύνολο Υπερεπίπεδα και ηµιεπίπεδα Ένα υπερεπίπεδο στον E n γενικεύει την έννοια της ευθείας γραµµής στον Ε και την έννοια του επιπέδου στον Ε Ένα λοιπόν υπερεπίπεδο στον E n είναι ένα σύνολο της µορφής: { : p = } όπου p είναι ένα µη µηδενικό διάνυσµα που καλείται κλίση του υπερεπιπέδου και είναι κάθετο στο υπερεπίπεδο Το είναι ένα βαθµωτό µέγεθος Ένα υπερεπίπεδο χωρίζει το E n σε δύο περιοχές που καλούνται ηµιεπίπεδα α) Το ηµιεπίπεδο { : p } β) Το ηµιεπίπεδο { : p } Κυρτές και κοίλες συναρτήσεις Μια συνάρτηση f των διανυσµάτων (,,, n ) καλείται κυρτή εάν ισχύει η ακόλουθη σχέση για δύο οποιαδήποτε διανύσµατα και : f (λ + (-λ) ) λf( ) + (-λ)f( ) () για κάθε λ [0,] και κοίλη εάν ισχύει: f (λ + (-λ) ) λf( ) + (-λ)f( ) () για κάθε λ [0,] Κυρτά σύνολα Ένα σύνολο X στο χώρο E n, καλείται κυρτό εάν δεδοµένων δύο σηµείων και, τότε το σηµείο λ + (-λ) Χ για κάθε λ [0,], και παριστάνει ένα σηµείο στο ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει τα σηµεία και Οποιοδήποτε σηµείο της µορφής λ + (-λ) καλείται κυρτός συνδυασµός των ση- µείων και f() f() Κυρτή συνάρτηση f() f() Κοίλη συνάρτηση 7

4 Πολυεδρικά σύνολα Ένα πολυεδρικό σύνολο είναι η αλληλοτοµία ενός πεπερασµένου αριθµoύ ηµιεπιπέδων Ένα οροθετη- µένο πολύεδρο καλείται πολύτοπο Επειδή ένα ηµιεπίπεδο παριστάνεται από την ανισότητα b (,, b διανύσµατα), () το πολυεδρικό σύνολο παριστάνεται από τη σχέση: {: A b }, όπου Α είναι ένα µητρώο n Έτσι ένα πολυεδρικό σύνολο µπορεί να παρασταθεί από ένα πεπερασµένο αριθµό γραµµικών ανισοτήτων ή ισοτήτων Ακραία σηµεία Ένα σηµείο σε ένα κυρτό σύνολο Χ καλείται ακραίο σηµείο, εάν δεν µπορεί να παρασταθεί σαν κυρτός συνδυασµός δύο διακεκριµένων σηµείων του Χ Για παράδειγµα εάν o κυρτός συνδυασµός δίνεται από τη σχέση =λ + (-λ) για λ [0,], και το αποτελεί ακραίο σηµείο τότε ισχύει: = = Στο παρακάτω σχήµα το σηµείο είναι ακραίο σηµείο ενώ τα σηµεία και δεν είναι ακραία σηµεία Θα δοθεί τώρα µια γεωµετρική ερµηνεία του ακραίου σηµείου Έστω λοιπόν ότι υφίσταται το κυρτό σύνολο {: A b }, όπου το µητρώο Α είναι n Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχουν n ηµιεπίπεδα που προσδιορίζουν το σύνολο Χ Από το παραπάνω µητρώο Α µπορεί να προσδιοριστεί ένα νέο µητρώο Β µε τάξη το οποίο να είναι αντιστρεπτό Άρα: B A = [B, N], = (4) N και Ν είναι µητρώο (n-), B Η λύση = στην εξίσωση A =b όπου N B =B - b, N =0, καλείται βασική λύση του συστή- µατος Εδώ το Β καλείται βασικό µητρώο και το Ν µη βασικό µητρώο Οι συνιστώσες του B καλούνται βασικές µεταβλητές και οι συνιστώσες του N καλούνται µη βασικές µεταβλητές Εάν B >0 τότε το καλείται µη εκφυλισµένη βασική δυνατή λύση και εάν τουλάχιστον µια συνιστώσα του B είναι µηδέν τότε το καλείται εκφυλισµένη βασική δυνατή λύση Το σηµείο καλείται επί πλέον και ακραίο ή γωνιακό σηµείο: = B N B = 0 b (5) όπου το µητρώο Β είναι, είναι αντιστρεπτό και οι στήλες του µητρώου Β - αποτελούν µια βάση και επί πλέον ικανοποιείται η σχέση Β - b 0 Γεω- µετρικά αυτό σηµαίνει ότι υπάρχουν n γραµµικά ανεξάρτητα υπερεπίπεδα που περνούν από το ση- µείο Εάν από το σηµείο αυτό περνούν περισσότερα υπερεπίπεδα το σηµείο αυτό καλείται ακραίο σηµείο εκφυλισµού Ένα πολύεδρο έχοντας τουλάχιστον ένα ακραίο σηµείο εκφυλισµού καλείται εκφυλισµένο πολυεδρικό σύνολο Με βάση τα παραπάνω στο χώρο των δύο διαστάσεων ένα ακραίο σηµείο ορίζεται από την τοµή δύο ευθειών, στο χώρο των τριών διαστάσεων, ένα ακραίο σηµείο ορίζεται από την τοµή τριών επιπέδων και στο χώρο των n διαστάσεων ορίζεται σαν η τοµή n υπερεπιπέδων Θεώρηµα Κάθε βασική δυνατή λύση αποτελεί ένα ακραίο σηµείο του κυρτού συνόλου Γραµµικός προγραµµατισµός Στο γενικό πρόβληµα του γραµµικού προγραµµατισµού ισχύει: Mnze f=c (6) (η f καλείται αντικειµενική συνάρτηση) µε τους περιορισµούς: {: A = b }, (7) 0 8

5 Η θεωρία του Γραµµικού Προγραµµατισµού διέπεται από τα ακόλουθα θεωρήµατα: Θεώρηµα ο: Η δυνατή περιοχή ενός προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού είναι κυρτή Θεώρηµα ο: Έστω Χ ένα κλειστό οριοθετηµένο κυρτό πολύγωνο µε e, =,p το σύνολο των ακραίων σηµείων του Τότε οποιοδήποτε διάνυσµα X µπορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός (κυρτός) των ακραίων σηµείων του πολυέδρου Χ: p e = λ, λ 0, λ = = p = (8) Θεώρηµα ο: Έστω Χ ένα κλειστό κυρτό πολύεδρο Τότε το βέλτιστο (ελάχιστο ή µέγιστο) µιας γραµµικής συνάρτησης (αντικειµενικής) στο Χ επιτυγχάνεται σε κάποιο ακραίο σηµείο του Χ 4 Αλγόριθµος Sple Χώρος n-διαστάσεων Γενικά σε ένα χώρο των n-διαστάσεων το κάθε ακραίο σηµείο (µέγιστο ή ελάχιστο) ορίζεται από την τοµή n-υπερεπιπέδων, των οποίων η γραµµική εξίσωση είναι της µορφής = b =,,n (9) Εδώ πρέπει να τονισθεί ότι η δυνατή περιοχή στο χώρο των n-διαστάσεων είναι ένα πολύεδρο, του οποίου οι κορυφές είναι τα ακραία σηµεία που ανήκουν στην δυνατή περιοχή και κατά συνέπεια αποτελούν βασικές δυνατές λύσεις Εποµένως ο προσδιορισµός της βέλτιστης λύσης πρέπει να αναζητηθεί σε όλα εκείνα τα ακραία σηµεία του χώρου, δηλαδή αρκεί κάθε φορά να επιλύεται ένα σύστηµα από τους n n! =!(n )! (0) δυνατούς συνδυασµούς και στη συνέχεια να αναζητείται η ελάχιστη λύση Επειδή η παραπάνω διαδικασία είναι πολύπλοκη, χρονοβόρα και πρακτικά ασύµφορη εισήχθη από τον Dntzg η µέθοδος sple, η οποία απλουστεύει το πρόβληµα και το µετατρέπει από σύστηµα γραµµικών ανισοτήτων σε σύστηµα γραµµικών εξισώσεων Κάθε ανισότητα µπορεί να µετατραπεί και να γραφεί σαν ισότητα µε την προσθήκη της ψευδοµεταβλητής (slαc vrble) n+ Η ανισότητα λοιπόν της µορφής + + n n b + () µπορεί να µετατραπεί στην ισότητα + + = b =,,n () n ο µαθηµατικό πρότυπο του γραµµικού προγραµ- µατισµού µορφώνεται τώρα ως εξής: nze f () = c + = n c j j= + j () (όπου οι σταθερές c j j=+,n+,n είναι ίσες µε µηδέν), µε τους περιορισµούς µη αρνητικότητας: 0, =,,, +,,n (4) και µε τους περιορισµούς: n + = + b n + = b = = + = b n = Το σύστηµα (5) µπορεί να γραφεί ως εξής: (5) , n n = b , n n = b (6) , n n = b f + c c n n = - f 0 9

6 A= , +,+, +, +,, B =, N = =, +,+, +,+ B N =,, +,n,+,n, +,n, +,n, +,+, +,n,+,n + n B = 0,n,n b + n b b = b b Η βασική λύση βρίσκεται από το παραπάνω σύστηµα ως εξής: = b όταν =,, (βασικές µεταβλητές) f = f 0 (-f=βασική µεταβλητή) =0, όταν =+,+, n (µη βασικές µεταβλητές) b 0 όπου =,, εφικτή λύση Από το παραπάνω σύστηµα διαπιστώνεται ότι η αρχική κανονική µορφή στην έναρξη του αλγόριθ- µου της µεθόδου Sple δίνει πάντοτε µια βασική δυνατή λύση Οι µεταβλητές που δίνουν το ακραίο σηµείο καλούνται βασικές µεταβλητές, ενώ οι µεταβλητές οι οποίες και µηδενίζονται καλούνται µη βασικές µεταβλητές Από προηγούµενο θεώρηµα διαπιστώθηκε ότι η βέλτιστη λύση αποτελεί ακραίο σηµείο του συνόλου Έτσι τα βήµατα που ακολουθούνται για την εύρεση της βέλτιστης λύσης µε τη µέθοδο Sple είναι τα εξής: Βεβαιώνεται πρώτα ότι η παρούσα λύση δεν αποτελεί τη βέλτιστη λύση Αναζητείται εκείνη η µη βασική µεταβλητή η οποία θα γίνει βασική µεταβλητή Επιλέγεται η βασική µεταβλητή η οποία θα φύγει από τη βάση και θα γίνει µη βασική µεταβλητή Θεώρηµα: Μια βασική δυνατή λύση αποτελεί τη βέλτιστη λύση παρέχοντας την ελάχιστη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης f o, εάν όλοι οι συντελεστές κόστους c j, j=+, +,, n είναι µη αρνητικοί Βελτίωση µιας µη βέλτιστης βασικής δυνατής λύσης (Optlty condton) Από την τελευταία σειρά της εξίσωσης (6) γράφουµε f = f0 + c + c j j (7) = n j= + =f o για τη λύση της εξ Για να µειωθεί η τιµή της f, θα πρέπει µια µη βασική µεταβλητή j στην οποίαν αντιστοιχεί ένας συντελεστής κόστους c j αρνητικός, να γίνει βασική µεταβλητή Αυτό γίνεται µε τη βοήθεια της µεθόδου της κανονικοποίησης (pvotl operton), έτσι ώστε η στήλη στην οποίαν βρίσκεται η µεταβλητή αυτή να γίνει µοναδιαίο διάνυσµα Στον χρόνο αυτό λόγω της εκτέλεσης της κανονικοποίησης οι τιµές των µεταβλητών στο νέο πλέον σύστηµα θα προσαρµοστούν, ενώ η τιµή της f θα γίνει µικρότερη από την f o Εάν υπάρχουν περισσότεροι από ένα συντελεστές κόστους αρνητικοί (c j <0) τότε ο δείκτης s της µη βασικής µεταβλητής s η οποία θα γίνει βασική µεταβλητή επιλέγεται έτσι ώστε να πληροί τη σχέση: c s = nu c j < 0 (8) Η τιµή της µεταβλητής s, η οποία θα γίνει βασική µεταβλητή, αυξάνεται από το µηδέν, ενώ όλες οι 0

7 υπόλοιπες µη βασικές µεταβλητές διατηρούνται µηδενικές Στην παρούσα φάση, οι προηγούµενες βασικές µεταβλητές και η αντικειµενική συνάρτηση θα τροποποιηθούν ως εξής: s s s = b s, b 0 = b, b 0 (9) = b s s, b 0 f = f + c, c 0 (0) 0 s s s < Επειδή c s < 0, από την (0) προκύπτει ότι η τιµή της s θα πρέπει να πάρει µεγάλες τιµές, έτσι ώστε η τιµή της f να ελαττωθεί όσο είναι δυνατόν περισσότερο Εν τούτοις µε την αύξηση της τιµής της s, ορισµένες από τις µεταβλητές (=,,,) µπορεί να γίνουν αρνητικές Βέβαια αν όλοι οι συντελεστές s < 0, =,,,, τότε η µεταβλητή s µπορεί να πάρει απείρως µεγάλες τιµές και οι µεταβλητές (=,,,) να παραµένουν θετικές Στην περίπτωση αυτή η ελάχιστη τιµή της f είναι µείον άπειρο και το πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού θεωρείται ότι δεν έχει φραγµένη λύση (unbounded soluton) Εάν τώρα υπάρχουν συντελεστές s > 0 θα πρέπει οι µεταβλητές (=,,,) να παραµένουν θετικές, δηλαδή θα πρέπει να ισχύει: s = b = b 0 s s b s s b s s 0 s () s b = b s s 0 s Από τα παραπάνω φαίνεται ότι αν επιλεγεί η τιµή της s * σαν η ελάχιστη από τους παραπάνω λόγους, δηλαδή: s br = ' ' rs b = n u s s b = b s s 0 s () τότε οι παραπάνω βασικές µεταβλητές είναι όλες θετικές Με τον τρόπο αυτό καθορίζεται η βασική µεταβλητή r που θα γίνει µη βασική µεταβλητή και θα φύγει από τη βάση Στην περίπτωση που οποιοσδήποτε συντελεστής b έχει µηδενική τιµή τότε η µεταβλητή s δεν µπορεί να αυξηθεί περισσότερο και η λύση καλείται εκφυλισµένη Στην περίπτωση λοιπόν της µη εκφυλισµένης βασικής δυνατής λύσης, δηµιουργείται µια νέα βασική δυνατή λύση που δίνει µικρότερη τιµή στην αντικειµενική συνάρτηση Το όλο σύστηµα γράφεται ως ακολούθως: s = * s s = b s 0, br r = br rs = 0 j rs =,, = 0, j = +, +,n 0 + cs s f 0 και r και j s () f = f (4) Η εξίσωση (4) δείχνει ότι η βασική δυνατή λύση αντιστοιχεί σε µικρότερη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης από την προηγούµενή της Η νέα αυτή βασική δυνατή λύση θα πρέπει να ελεγχθεί εκ νέου για να εξακριβωθεί κατά πόσον η λύση αυτή αποτελεί τη βέλτιστη λύση Εάν η λύση αυτή δεν είναι βέλτιστη η διαδικασία συνεχίζεται και αναζητείται νέα βασική δυνατή λύση, δηλαδή καινούργιο ακραίο σηµείο 4 Μοντέλο διαχείρισης Η διαχείριση του υδροφορέα πραγµατοποιείται µε τη βοήθεια ενός µοντέλου, το οποίο βασίζεται σε κώδικα της γλώσσας FORRAN και προσθέτει τη δυνατότητα βελτιστοποίησης στο µοντέλο προσο- µοίωσης της υπόγειας ροής στις τρεις διαστάσεις Αποτελεί δηλαδή ένα πρόγραµµα κέλυφος που συνδέει το µοντέλο των πεπερασµένων διαφορών µε τον Γραµµικό προγραµµατισµό

8 Στην παρούσα φάση χρησιµοποιείται η τεχνική του πίνακα της απόκρισης για τη µετατροπή του προβλήµατος σε ένα γραµµικό πρόγραµµα Την πρώτη φορά υπολογίζονται οι πτώσεις στάθµης του υδροφορέα σε κάθε χρονικό βήµα χωρίς να ληφθούν υπόψη οι αντλήσεις από τις γεωτρήσεις Κάθε µία από τις επόµενες επαναλήψεις αντιστοιχίζεται µε µία γεώτρηση έτσι ώστε σε κάθε επανάληψη να αντλείται µία µοναδιαία παροχή από καθεµία από τις υπόλοιπες, και για κάθε χρονική περίοδο Στη συνέχεια µε τη µέθοδο του πίνακα της απόκρισης προκύπτουν οι συνολικές πτώσεις στάθ- µης που προκαλούνται από τη ταυτόχρονη λειτουργία όλων των γεωτρήσεων Εξετάζεται το πρόβληµα της ασταθούς ροής το οποίο περιγράφεται µαθηµατικά µε την ακόλουθη εξίσωση: N h = U α Q (5) όπου: h = j= ( ) j το πιεζοµετρικό ύψος στο σηµείο στη χρονική στιγµή Τ όταν λειτουργούν τα διαχειριζόµενα πηγάδια U το πιεζοµετρικό ύψος στο σηµείο στη χρονική στιγµή Τ όταν δε λειτουργούν τα διαχειριζόµενα πηγάδια ( ) j α πτώση στάθµης στο σηµείο από µια κ Q j j µοναδιαία καταπόνηση (παροχή) του πηγαδιού j, η οποία προκλήθηκε το µήνα κ παροχή στο πηγάδι j η οποία αντλείται το µήνα κ Έστω ότι σε µία περιοχή υπάρχουν πηγάδια άντλησης σε δύο διαδοχικά χρονικά βήµατα, το καθένα από τα οποία αντιστοιχεί σε ένα µήνα Αν αντληθεί µία παροχή Q από το πηγάδι στον πρώτο µήνα (Q()), οι πτώσεις του φορτίου στα πηγάδια,,, λόγω άντλησης στο µήνα αυτό θα είναι () () (),,,,, αντίστοιχα, όπου ο εκθέτης δείχνει το χρονικό βήµα Η επίδραση του φαινοµένου αυτού επεκτείνεται και στους επόµενους µήνες ηλαδή η µοναδιαία άντληση από το πηγάδι στον πρώτο µήνα (Q()), θα προκαλέσει πτώσεις στάθ- µης στο δεύτερο µήνα ίσες µε () (),,,, (),, για τα πηγάδια,, αντίστοιχα Επειδή όµως όλα τα χρονικά διαστήµατα θεωρούνται ίσης διάρκειας (µήνες), και η ποσότητα της παροχής άντλησης ισούται µε τη µονάδα, οι πτώσεις της στάθµης που θα λάβουν χώρα στο δεύτερο µήνα, θα είναι ίσες µε αυτές που συνέβησαν τον πρώτο µήνα λόγω άντλησης στον µήνα αυτό Γενικά οι πτώσεις στάθµης στον οποιοδήποτε µήνα λόγω άντλησης µοναδιαίας παροχής κατά το συγκεκριµένο αυτό µήνα, είναι πάντα ίδιες και λαµβάνονται ίσες µε () () (),,,,, Στο τέλος του ου µήνα η συνολική πτώση φορτίου στο ο πηγάδι που οφείλεται στην άντληση και από τα τρία πηγάδια θα είναι ίση µε: h + {α = {α (!), (!), () () + α + α (!), (), () () + α + α (), (), () } (!) 5 Πρόγραµµα βελτιστοποίησης } + (6) Με τη βοήθεια του Γραµµικού Προγραµµατισµού και της µεθόδου Sple το µοντέλο οδηγείται στη βέλτιστη λύση επιτυγχάνοντας µε αυτόν τον τρόπο την καλύτερη διαχείριση του υπόγειου νερού Η βέλτιστη λύση µεγιστοποιεί ή ελαχιστοποιεί µια οριζόµενη από το χρήστη αντικειµενική συνάρτηση και ικανοποιεί όλους τους περιορισµούς (Pslovos, 999) Η αντικειµενική συνάρτηση έχει την εξής µορφή: N = α = M Mn (7) Q / όπου α είναι οι συντελεστές κέρδους ή κόστους Με βάση την αρχή της επαλληλίας για τη µη µόνιµη κατάσταση οι ανισότητες των περιορισµών σε ορισµένες θέσεις ελέγχου (control ponts), όπου παρατηρείται η µεγαλύτερη πτώση στάθµης του υδροφορέα, εκφράζονται µε τη βοήθεια της γενικής σχέσης (Pslovos Α και zopoulos C, 998): h b = U = U H H N = = j=,n α ( ) j Q j (8) Το άθροισµα των αντλούµενων παροχών για κάθε µήνα πρέπει να παραµένει σταθερό έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι αρδευτικές και υδρευτικές ανάγκες της περιοχής Οι περιορισµοί ισοζυγίου αναφέρονται στις συνολικές ποσότητες αντλούµενου

9 νερού για όλα τα πηγάδια και κάθε περίοδο ξεχωριστά και δίνονται ως εξής: N Q = ct (9) = j= j όπου είναι το σηµείο ελέγχου j είναι το πηγάδι άντλησης είναι η κρίσιµη χρονική περίοδος Τ είναι η χρονική περίοδος b η διαφορά αρχικό φορτίο ελάχιστο επιτρεπόµενο φορτίο H, n το ελάχιστο επιτρεπόµενο φορτίο στο κελί, τη χρονική στιγµή Τ 6 Εφαρµογή 6 Γεωγραφικά και Μορφολογικά στοιχεία Η περιοχή έρευνας, των πηγών Αγίας Βαρβάρας, βρίσκεται γεωγραφικά στην Ανατολική Μακεδονία και εντός των διοικητικών ορίων του Νοµού ρά- µας, ενώ υδρολογικά και σύµφωνα µε τις διαιρέσεις του νόµου 79/87, ανήκει στο υδατικό διαµέρισµα () της Ανατολικής Μακεδονίας (σχήµα 5) Η υδρολογική λεκάνη έχει συνολικό εµβαδόν 8,9 και εκτείνεται υψοµετρικά έως την ισοϋψή των 94 Η περιοχή της ανήκει στη γεωλογική ζώνη της Ροδόπης Στη δοµή της συµµετέχουν µεταµορφωµένα πετρώµατα µε ελάχιστες µικρές εµφανίσεις ηφαιστειακών πάνω στα οποία επικάθονται, κυρίως στις πεδινές περιοχές τα νεώτερα ιζήµατα 6 Στοιχεία γεωτρήσεων Η περιοχή έρευνας αποτελεί έναν εκτεταµένο υδραυλικό φορέα, που εκτείνεται από τη θέση πηγών ράµας µέχρι και τις κορυφές του Φαλακρού όρους Από το σύστηµα επέµβασης και διαχείρισης του υδραυλικού περιβάλλοντος που επικρατεί στην τοποθεσία αυτή, επιλέχτηκε ένα σύνολο 59 γεωτρήσεων για την µελέτη της συµπεριφοράς του υδροφορέα και τη διαχείριση του υπόγειου ύδατος Αν και το αντιπροσωπευτικό δείγµα γεωτρήσεων φέρει όλες τις πληροφορίες για το σύστηµα τροφοδοσίας των πηγών, οι παράµετροι που έχουν µετρηθεί αφορούν µόνο τις 4 από αυτές Οι θέσεις των εξεταζοµένων γεωτρήσεων στην ευρύτερη περιοχή έρευνας διακρίνονται στο σχήµα 6: Σχήµα 6 : Θέση των γεωτρήσεων και τα όρια της περιοχής µελέτης Σχήµα 5 : Θέση των πηγών ράµας στον Ελλαδικό χώρο Τα υδραυλικά και γεωµετρικά στοιχεία των γεωτρήσεων συλλέχθηκαν από την ΥΕΒ ράµας Οι πληροφορίες αφορούν το είδος τους, το φορέα κατασκευής, το χρόνο λειτουργίας τους και την παροχή άντλησης (πίνακας ) Η περιοχή έχει χωριστεί σε ορθογώνια στοιχεία διαστάσεων α 59 από αυτά αντιπροσωπεύουν µη ενεργά σηµεία στα νοτιοανατολικά και νοτιοδυτικά του υδροφορέα (σχήµα 6) Στα κελιά αυτά δεν λαµβάνονται υπόψη οι γεωτρήσεις, ενώ τα υδρογεωλογικά και γεωµετρικά στοιχεία που χαρακτηρίζουν το υδατικό µέσο

10 έχουν µηδενικές τιµές Για κάθε κεντρικό σηµείο των κελιών υπολογίστηκε η αντίστοιχη τιµή όλων των παραµέτρων που εισήχθησαν στο µαθηµατικό µοντέλο, µε βάση τις παρεµβολές που έγιναν µε την τεχνική του Krgng (Ερευνητικό πρόγραµµα «Υδροφορία πηγών Αγ Βαρβάρας ράµας», 997) Στα σχήµατα 7 και 8 παρατίθενται τα γραφήµατα της αρχικής πιεζοµετρίας και της αντίστοιχης για το µήνα Σεπτέµβριο, όπου παρατηρούνται οι µεγαλύτερες πτώσεις στάθµης,, έτσι όπως προέκυψαν µέσα από τα αποτελέσµατα του προγράµµατος προσο- µοίωσης του υδροφορέα 6 Αντλήσεις-Παροχές πηγών ράµας- Βροχοπτώσεις Σχήµα 7: Μορφή αρχικής πιεζοµετρίας του υδροφορέα σε τρισδιάστατη µορφή Σχήµα 8: Μορφή πιεζοµετρίας του υδροφορέα σε τρισδιάστατη µορφή για το µήνα Σεπτέµβριο Οι τιµές εισάγονται µε τη βοήθεια του γραφικού περιβάλλοντος του προγράµµατος προσοµοίωσης δίνοντας τιµές σε κάθε κελί ξεχωριστά (cell-bycell): Άνω και κάτω όριο υδροφορέα () Kωδικός κελιού (0 για τα µη ενεργά, για τα ενεργά και για σταθερό φορτίο) Ενεργό πορώδες Συντελεστής αποθήκευσης ( - ) Υδραυλική Αγωγιµότητα (/dy) Αρχική Πιεζοµετρία () Οι γεωτρήσεις που βρίσκονται εντός των ορίων της λεκάνης των πηγών της ράµας, αντλούνται είτε περιοδικά (αρδευτικές αντλήσεις), δηλαδή τους µήνες Μάιο-Σεπτέµβριο, είτε σε συνεχή βάση (υδρευτικές-βιοµηχανικές), όπως φαίνεται στον πίνακα Οι τιµές των αντλήσεων εισάγονται στο συγκεκριµένο κελί όπου υφίσταται η κάθε γεώτρηση Στην περίπτωση που σε κάποιο κελί υπάρχουν παραπάνω από µία γεωτρήσεις η τελική τιµή αντιπροσωπεύεται από το άθροισµά τους Τα δεδοµένα τόσο των βροχοπτώσεων όσο και των παροχών πηγών προέκυψαν µετά από παρατηρήσεις που έγιναν από τους υδρολογικούς σταθµούς παρατήρησης που λειτουργούν εντός της υδρολογικής λεκάνης των πηγών της Αγίας Βαρβάρας Ο όγκος τροφοδοσίας των πηγών εισάγεται στο µαθη- µατικό µοντέλο κεντροβαρικά, χρησιµοποιώντας ως βάρη τόσο τις αγωγιµότητες των κελιών της υπό µελέτη περιοχής, όσο και τις βροχοπτώσεις µε µια χρονική υστέρηση 4 µηνών Οι τιµές των παροχών που εισρέουν στον υδροφορέα προκύπτουν µε βάση τις αντίστοιχες αγωγι- µότητες του κάθε κελιού και τις βροχοπτώσεις του κάθε µήνα Η σχέση που συνδέει τις παραµέτρους αυτές είναι η εξής: K Ponth Qrech rge = V (40) SuK SuP όπου Κ είναι η υδραυλική αγωγιµότητα του αντίστοιχου κελιού SuK το άθροισµα των υδραυλικών αγωγιµοτήτων που αντιστοιχούν στα συγκεκριµένα κελιά P onth η βροχόπτωση που αντιστοιχεί στον µήνα µετά από τη χρονική υστέρηση SuP το σύνολο των βροχοπτώσεων Q rechrge η θετική τιµή της παροχής σε /dy που εισάγεται στο κάθε κελί και αντιστοιχεί στην επαναπλήρωση του υδροφορέα V είναι το σύνολο των εισροών από τις βροχοπτώσεις για όλες τις χρονικές περιόδους 4

11 Στο σχήµα 9 απεικονίζονται οι γραφικές παραστάσεις των µηνιαίων αθροισµάτων για τις αντλήσεις, παροχές πηγών, για τις εισροές από τα πάνω κελιά και για τις βροχοπτώσεις Στην περίπτωση των πηγών Αγίας Βαρβάρας στη ράµα οι παροχές αντιπροσωπεύουν αντλήσεις και έχουν αρνητικό πρόσηµο Έτσι το ζητούµενο είναι η µέγιστη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης η οποία στην περίπτωση των 4 εξεταζόµενων γεωτρήσεων παίρνει τη µορφή: f ( ) = C + C + C + C όπου W W W 4 W W W 4 + C W + + C + C = C W W 4 W 4 W + C W 4 W W 4 W είναι το διαχειριζόµενο πηγάδι = W,W,W 4, W 8 + C + W W + + C είναι η χρονική περίοδος =, + W W 4 + (4) W 4 Οι περιορισµοί πιεζοµετρίας σχηµατίζονται µε βάση τη σχέση (8) λαµβάνοντας ως χρονικές περιόδους το µήνα Σεπτέµβριο όπου αντιστοιχεί στο τέλος των αντλήσεων και το εκέµβριο που σηµαίνει και το τέλος της εξέτασης του φαινοµένου Οι περιορισµοί ισοζυγίου διαµορφώνονται ως εξής: 4 Q = Q W + + Q W = 464 Q = Q W + + Q W4 = 0464 Q = Q W + + Q W4 = Q = Q W + + Q W4 = Q = Q W + + Q W4 = Q = Q W + + Q W4 = Q = Q + + Q = 476 (4) Q Q Q Q Q 7 7 W W = Q W + + Q W4 = = Q W + + Q W4 = = Q W + + Q W4 = = Q W + + Q W4 = = Q W + + Q W4 = Συµπεράσµατα Ο αντικειµενικός στόχος της έρευνας είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους λειτουργίας του αντλιοστασίου και η βελτιστοποίηση των παροχών άντλησης νερού από τις γεωτρήσεις, λαµβάνοντας υπόψη κάποιους περιορισµούς πιεζοµετρίας Σύµφωνα µε τους τελευταίους, ο υδροφορέας θα πρέπει να διατηρείται µέσα σε ορισµένα όρια τα οποία δεν πρέπει να ξεπεραστούν Τα αποτελέσµατα που προκύπτουν αφορούν τις τελικές πιεζοµετρίες (πίνακας ) και τις επιθυµητές παροχές (πίνακας 4) που θα έπρεπε να εφαρ- µοστούν σε κάθε πηγάδι έτσι ώστε τα αθροίσµατα των τελευταίων να είναι για κάθε µήνα αυτά που επιλέχθηκαν αρχικά Θα πρέπει να ση- µειωθεί ότι στη διαδικασία της βελτιστοποίησης δεν συµµετέχουν και οι 4 γεωτρήσεις αλλά µόνο αυτές στις οποίες είτε η στάθµη είναι αρκετά χα- µηλή κατά των τέλος των αντλήσεων, είτε οι τι- µές των παροχών άντλησης είναι αρκετές µεγάλες (control ponts) Η γεώτρηση W θεωρείται από το πρόγραµµα ότι είναι πηγή εφόσον δίνει τόσο υψηλές τιµές πιεζοµετρίας τόσο για το τέλος των αντλήσεων, όσο και της µελέτης του φαινοµένου Από τη στιγµή που η γεώτρηση αυτή βρίσκεται στο ίδιο κελί µε την πηγή P, δεν υφίσταται κάποιος διαχωρισµός Όσον αφορά τις γεωτρήσεις W 4, W 5, W 6, W 7, W 8 οι τελικές τιµές παρουσιάζονται αρκετά µειωµένες σε σχέση µε τις αντίστοιχες που δόθηκαν αρχικά στο αρχείο odnp (πίνακας ) Αυτό συµβαίνει διότι οι γεωτρήσεις αυτές είναι συγκεντρωµένες στην ίδια περιοχή, µε αποτέλεσµα οι ταυτόχρονες αντλήσεις να ρίχνουν αρκετά τη στάθµη του υδροφορέα στο σηµείο αυτό Έτσι, για να αποφευχθεί αυτή η µεγάλη πτώση πιεζοµετρίας και πιθανή εξασθένηση του υδροφορέα στο νότιο µέρος της περιοχής, θα πρέπει να µειωθεί ο ρυθµός εξαγωγής νερού Τελικά το ετήσιο κόστος άντλησης συµπεριλαµβανοµένων και των µισθών των υπαλλήλων και των εξόδων συντήρησης του αντλιοστασίου που προκύπτει από τη βέλτιστη λύση ανέρχεται στις δρχ ή 965,7 Ε 5

12 Βιβλιογραφία ΞΕΝΟΓΛΩΣΣΗ Ber, J, 979 Hydrulcs of Groundwter, Mc Grw Hll Boo Copny, London Greenwld, R M, 994 MODflow MANgeent: An Optzton Module for MODFLOW, IGWMC, verson 0 Mc Donld M G, nd AW Hrbugh, 988 A odulr three densonl fnte dfference groundwter flow odel, US Geologcl Survey, echnquew of Wter Resources Investgtons, Boo 6, Chpter A Pslovos A 999 Optzton Models n Groundwter Mngeent, Bsed on Lner nd Med Integer Progrng An pplcton to Gree Hydrologcl Bsn, Phys Che Erth (B), Vol4, No -, pp 9-44 Pslovos A nd C zopoulos, 998 Pupng cost nlyss n groundwter ngeent, usng the MODMAN (MODflow MANgeent) odel Under publcton Proc th Interntonl Conf On Coputtonl Methods In Wter Resources, Crete, Greece, 998 Shr, 974, Optl Desgn nd Operton of Wter Dstrbuton Systes, Wter ResRes Vol 0, No pp 7-6) Schwrz, J, 97, Lner Models for Groundwter ngeent Wter plnnng for Isrel Ltd Isrel, PN E/7/06 ΕΛΛΗΝΙΚΗ Γκινίδη Παναγιώτα, 00 ιαχείριση του Υδροφορέα των πηγών ράµας µε εφαρµογή του Γραµµικού Προγραµµατισµού, Μεταπτυχιακή ιατριβή Επιβλέπων καθηγητής: Χρήστος Τζιµόπουλος Ερευνητικό πρόγραµµα Υδροφορία πηγών Αγ Βαρβάρας ράµας, 997, Ερευνητική οµάδα ΑΠΘ, Επιστηµονικός υπεύθυνος : Χρήστος Τζιµόπουλος, Καθηγητής ΑΠΘ Τζιµόπουλος Χ, Σπυρίδης Α, 000 Προσέγγιση της Υδραυλικής συµπεριφοράς του υδροφορέα των πηγών Αγ Βαρβάρας ράµας, 8 ο Πανελλήνιο Συνέδριο της Ελληνικής Υδροτεχνικής ένωσης) Τζιµόπουλος, Γραµµικός Προγραµµατισµός, Θεωρία επί των κυρτών συνόλων Ψιλοβίκος Α, 996 : Βέλτιστη διαχείριση Υπόγειων υδροφορέων µε τη µέθοδο του Γραµµικού προγραµµατισµού Εφαρµογή στον υδροφορέα Ειδο- µένης Ευζώνων Μεταπτυχιακή διατριβή, Θεσσαλονίκη 6

13 /dy Παροχές πηγών (/dy) Αντλήσεις (/dy) Εισροές από τα πάνω κελιά (/dy) Βροχόπτωση () Σχήµα 9 : Παροχές πηγών ράµας - αντλήσεις- Βροχοπτώσεις Εισροές από τα πάνω κελιά α/α Γεώτρηση Φορέας Χρόνος Παροχή Χρήση Κατασκευής Λειτουργίας άντλησης ( /h) W YEB Ύδρευση Συνεχής 9,6 W YEB Ύδρευση 0 µήνες 5 W YEB Ύδρευση Συνεχής 9 4 W4 Ιδιωτική Άρδευση Μάϊος-Σεπτέµ 46,8 5 W5 YEB Άρδευση- Υδρ Συνεχής 6 6 W6 YEB Βιοµηχανική Συνεχής 58,5 7 W7 YEB Ύδρευση Συνεχής 60 8 W8 YEB Ύδρευση Συνεχής 5 9 W9 YEB Ύδρευση Συνεχής W0 YEB Ύδρευση Συνεχής 90 W YEB Άρδευση Μάϊος-Σεπτέµ 70 W YEB Άρδευση Μάϊος-Σεπτέµ 7 W YEB Άρδευση- Υδρ Συνεχής 6, 4 W4 YEB Άρδευση- Υδρ Συνεχής 4,5 5 W5 YEB Άρδευση Μάϊος-Σεπτέµ 8, 6 W6 Ιδιωτική Στρατόπεδο Συνεχής 9 7 W7 YEB Άρδευση Μάϊος-Σεπτέµ 6 8 W8 YEB Άρδευση Μάϊος-Σεπτέµ 5 9 W9 YEB Ύδρευση Συνεχής 07 0 W0 YEB Άρδευση Μάϊος-Σεπτέµ 7 W YEB Άρδευση Μάϊος-Σεπτέµ 70 W YEB Άρδευση Μάϊος-Σεπτέµ 44 W Ιδιωτική Άρδευση Μάϊος-Σεπτέµ 90 4 W4 Ιδιωτική Άρδευση Μάϊος-Σεπτέµ 60 Πίνακας : Υδραυλικά και γεωµετρικά στοιχεία των γεωτρήσεων 7

14 9ος ΜΗΝΑΣ (ΤΕΛΟΣ ΑΝΤΛΗΣΕΩΝ) ος ΜΗΝΑΣ (ΤΕΛΟΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΤΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ) α/α Γεωτρήσεις Αρχική Μέγιστη τιµή Βέλτιστη τιµή Ελάχιστη τιµή Βέλτιστη τιµή πιεζοµετρία W 99,45,00 94,98 4,00 64,79 W 77,74,00 46,75 4,00 4,00 W 4 96,40 7,00 7,00 45,00 5,8 4 W 5 94,0 7,00 7,00 7,00 55,47 5 W 6 94,7 5,00 8,0 8,00 58,56 6 W 7 07,59 5,00 7,70 5,00 57,98 7 W 8 6, 6,00 9,7 5,00 59,50 8 W 97,99 5,00-47,00-9 W 4 95,4 5,00 5,00 4,00 69,05 0 W 5 47,5 7,00 4,04 4,00 70,8 W 6 0,60 6,00 6,9 5,00 70,6 W 7 67,87 5,00,40 4,00 90,4 W 8 89,86 6,00 6,00 4,00 69,6 Πίνακας : Βέλτιστες πιεζοµετρίες στις θέσεις ελέγχου / Γεωτρήσεις Ι Φ M A M Ι Ι Α Σ O N W W W W W W W W W W W W W W *όλες οι παροχές αντιπροσωπεύουν αντλήσεις Πίνακας :Αρχικές παροχές γεωτρήσεων για όλους τους µήνες (/dy) 8

15 α/α Γεωτρήσεις Ι Φ M A M Ι Ι A Σ O N W W W W W W W W W W W W W W * όλες οι παροχές αντιπροσωπεύουν αντλήσεις Πίνακας 4 :Βέλτιστες παροχές γεωτρήσεων για όλους τους µήνες (/dy) 9