ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Κίνηση Brown Εισαγωγή στη Στοχαστική Ανάλυση

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κίνηση Brow Εισαγωγή στη Στοχαστική Ανάλυση 5.. Κίνηση Brow Σε αυτό το κεφάλαιο θα επιχειρήσουμε να μεταφράσουμε σε συνεχή χρόνο τα αποτελέσματα που προέκυψαν κατά τη μελέτη μοντέλων ιακριτού χρόνου. Το πρώτο που πρέπει να περιγράψουμε είναι πως περίπου θα κινείται η τιμή του υποκείμενου τίτλου π.χ. μετοχής σε συνεχή χρόνο. Στο ιωνυμικό μοντέλο περιόων είχαμε κάνει την παραοχή ότι η τιμή αυτή μπορεί να κινείται μεταξύ ιαοχικών ιακριτών χρονικών σημείων «πάνω» ή «κάτω» με κάποιες πιθανότητες. Αν συμβολίσουμε με S την τιμή της μετοχής στο χρόνο είχαμε ουσιαστικά υποθέσει ότι S b με πιθ. p S S a με πιθ. p Κάτι απλό που μπορούμε τώρα να κάνουμε είναι να πάρουμε τώρα το «πολύ μικρό» ώστε να προσεγγίσουμε ένα μοντέλο συνεχούς χρόνου. Το παραπάνω μοντέλο είναι πολλαπλασιαστικό ηλαή S S a ή S b. Αν θεωρήσουμε την ανέλιξη X ls τότε προκύπτει ένα απλούστερο προσθετικό μοντέλο Χ X la ή lx lb. Ας ξεκινήσουμε με την μελέτη του προσθετικού μοντέλου από το οποίο όπως θα ούμε θα προκύψει φυσιολογικά και το πολλαπλασιαστικό. Έστω λοιπόν Χ μια στοχαστική ανέλιξη για την οποία ισχύει ότι X c με πιθ. p X X d με πιθ. p Αν θέλουμε η Χ να μην παρουσιάζει «άλματα» σε απειροστά χρονικά ιαστήματα θα πρέπει ό- ταν τότε και cd. Επίσης είναι λογικό να υποθέσουμε ότι το p θα είναι «κοντά» στο.5. Σε αντίθετη περίπτωση αν π.χ. το p ήταν αρκετά μεγαλύτερο από το.5 τότε μέσα σε ένα πεπερασμένο χρονικό ιάστημα η ανέλιξη Χ θα σημείωνε με πιθανότητα «ραματική» αύξηση «έκρηξη». Αυτό θα συνέβαινε ιότι μέσα σε αυτό το χρονικό ιάστημα θα είχαμε πάρα πολλές μικρές μεταβολές της τιμής Χ οι περισσότερες όμως από τις οποίες θα είναι ανοικές. Όπως θα ούμε και στη συνέχεια ένα αρκετά ενιαφέρον μοντέλο προκύπτει αν υποθέσουμε ότι X X X σ σ με πιθ. p με πιθ. p όπου μ p. σ X ή για κάποιες σταθερές παραμέτρους μ σ. Θέτοντας Υ ή ανάλογα με το αν η Χ αυξάνεται ή μειώνεται κατά το -οστό χρονικό ιάστημα θα ισχύει ότι Boua M.V. 5-7 Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 63

2 X X σ Y σ Y σ Y σ / Y p σ p p σ p p p και αν πάρουμε τότε θα ισχύει ότι για την πρώτη σχέση χρησιμοποιούμε το από το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Κ.Ο.Θ. Y p d N σ p p σ p p σ p μ και άρα η κατανομή της Χ όταν είναι ίια με την κατανομή μιας τ.μ. που έχει την μορφή ηλαή σ Z μ όπου Z ~ N X ~ N μ σ. Δύο τυχαίες πραγματοποιήσεις της Χ [ ] για και ίνονται στα ακόλουθα σχήματα μ σ Στα παραπάνω σχήματα ίνεται το γράφημα τυχαίων «ιαρομών» pa της Χ [ ]. Όπως έχουμε επισημάνει και παραπάνω κάθε πραγματοποίηση της Χ [ ] μπορεί να θεωρηθεί ως η τυχαία συνάρτηση g ω X ω [ ] για κάποιο ω Ω. Είναι ενιαφέρον ότι η ανέλιξη που προκύπτει θεωρώντας έχει ανεξάρτητες και κανονικές προσαυξήσεις Χ y Χ y. Πράγματι σε κάθε απειροστό χρονικό ιάστημα η αύξηση ή η μείωση της Χ είναι ανεξάρτητη από το παρελθόν και άρα η τ.μ. Χ y Χ y > θα είναι ανεξάρτητη από τις Χ u u y. Επίσης είαμε ότι Χ ~ Nμ σ και επομένως και Χ y Χ y ~ Nμ σ για κάθε y. Αυτό προκύπτει από την εξής παρατήρηση: αν μετά από χρόνο y πάρουμε ως αρχή των αξόνων το y Χ y ηλ. το Ο αντί του Ο στο παρακάτω σχήμα τότε η ανέλιξη X Χ y X y > που ξεκινά από την νέα αυτή αρχή των αξόνων Ο κινείται σύμφωνα με το ίιο μοντέλο που κινείται και η Χ ξεκινώντας από το Ο και επομένως X Χ y X y ~ Nμ σ. Boua M.V. 5-7 Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 64

3 Χ y O Χ O y Αποεικνύεται ότι πράγματι υπάρχει και μπορεί να οριστεί μια ανέλιξη με τα συγκεκριμένα χαρακτηριστικά. Ειικότερα έχουμε τον ακόλουθο ορισμό που προκύπτει φυσιολογικά από τα παραπάνω. Ορισμός 5... Μία στοχαστική ανέλιξη Χ με τιμές στο R καλείται κίνηση Brow με παραμέτρους μ R τάση - drf parameer και σ > μεταβλητότητα - volaly συμβ. ΒΜμ σ αν ισχύει ότι για κάθε y > Η τ.μ. Χ y Χ y ~ Nμ σ. Η τ.μ. Χ y Χ y είναι ανεξάρτητη από τις Χ u u y ηλ. ανεξ. της σχ u u y. Συνήθως λαμβάνεται Χ ή. Παρακάτω ίνονται τυχαίες ιαρομές πραγματοποιήσεις μιας κίνησης Brow με μ σ για [] 3 Χ O π.χ. στο χρόνο.5 η τιμή Χ.5 θα ακολουθεί Ν.5μ.5σ Ν.5.5 σε χρόνο η Χ θα ακολουθεί Νμ σ Ν κ.ο.κ. Η κίνηση Brow μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει πολλά φυσικά φαινόμενα. Έχει το όνομα του Άγγλου βοτανολόγου Rober Brow ο οποίος πρώτος περιέγραψε 87 την «ακανόνιστη» κίνηση ενός μικρού σώματος μέσα σε ένα υγρό ή αέριο. Ο Γερμανός φυσικός Alber e έειξε 95 ότι η κίνηση αυτή μπορεί να ερμηνευθεί θεωρώντας ότι το σωματίιο «βομβαρίζεται» από τα μόρια του υγρού ή του αερίου και για αυτό κινείται ακανόνιστα με «τυχαίο» τρόπο στο χώρο. Τέλος ο Αμερικανός μαθηματικός Norber eer όρισε αυστηρά και μελέτησε σε βάθος 98 την ανέλιξη αυτή αποεικνύοντας πολλές ιιότητές της για αυτό και η ανέλιξη είναι γνωστή και ως eer Proce. Το παραπάνω σχήμα μπορεί να θεωρηθεί Boua M.V. 5-7 Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 65

4 ότι καταγράφει την τυχαία κίνηση σωματιίων κατά τη ιάρκεια του χρόνου σε μία ιάσταση που είναι στον κάθετο άξονα που ξεκινάνε από το στο χρόνο. Αποεικνύεται ότι η κίνηση Brow είναι η μοναική στοχαστική ανέλιξη σε συνεχή χρόνο που οι ιαρομές της g ω X ω είναι συνεχείς συναρτήσεις και έχει ανεξάρτητες και ισόνομες προσαυξήσεις. Για παράειγμα οι προσαυξήσεις τ.μ. X X... X X X m X m είναι ανεξάρτητες και αν m m- είναι και ισόνομες. Το ικαιολογείται ιαισθητικά από το ότι η ανέλιξη Χ κάνει «άλματα» πάνω ή κάτω μήκους σ / σε χρονικό ιάστημα μήκους ηλαή το μέγεθος του άλματος συγκλίνει στο όταν. Παρατήρηση 5... Θα μπορούσε κανείς σε αυτό το σημείο να αναρωτηθεί τι θα γινόταν αν υποθέταμε κάτι που ίσως φαίνεται πιο φυσιολογικό με την πρώτη ματιά ότι X σ με πιθ. p X X σ με πιθ. p ηλαή ότι οι προσαυξήσεις της ανέλιξης σε ένα ιάστημα μήκους είναι ανάλογες του και όχι της ρίζας του. Σε αυτή την περίπτωση είναι εύκολο να επαληθεύσουμε από τον νόμο των μεγάλων αριθμών ότι Χ με πιθ. λαμβάνοντας ηλαή προκύπτει μια τετριμμένη περίπτωση. Επομένως οι απειροστές προσαυξήσεις θα πρέπει να μην είναι ανάλογες του μήκους του ιαστήματος αλλά «αρκετά μεγαλύτερες». Παραπάνω θεωρήσαμε προσαυξήσεις ανάλογες του / που όταν είναι πολύ μεγαλύτερες του. Παρατήρηση 5... Aν Χ ~ BM η Χ αλλάζει απειροστά τιμή κάθε απειροστό χρονικό ιάστημα και συνεπώς παρουσιάζει «ιιάζουσες ιαρομές» rregular pa. Συγκεκριμένα μία πραγματοποίηση της στοχαστικής ανέλιξης Χ ηλ. η {X ω } για κάποιο ω Ω είναι μία συνεχής συνάρτηση του εν κάνει «άλματα» η οποία όμως εν είναι πουθενά παραγωγίσιμη σχεόν για κάθε ω Ω. Αυτό μπορεί ιαισθητικά να γίνει φανερό και από τον τρόπο με τον οποίο «κατασκευάσαμε» την κίνηση Brow. Συγκεκριμένα θεωρήσαμε ότι σε κάθε «πολύ μικρό» ιάστημα μήκους η ανέλιξη κινείται πάνω ή κάτω κατά σ / ηλαή η «παράγωγος» της στο ιάστημα αυτό θα είναι ίση με σ / / σ -/ η οποία συγκλίνει στο άπειρο όταν το. Επιπλέον η ανέλιξη αλλάζει τυχαία κλίση πάνω ή κάτω σε κάθε απειροστό ιάστημα. 5.. Η Γεωμετρική Κίνηση Brow Αν και ο Γάλλος μαθηματικός Baceler στη ιακτορική του ιατριβή το 9 πρώτος χρησιμοποίησε την κίνηση Brow για να περιγράψει την εξέλιξη τιμών αγαθών ή μετοχών η συγκεκριμένη ανέλιξη εν είναι κατάλληλη για την περιγραφή τέτοιων φαινομένων ιότι μπορεί να λάβει και αρνητικές τιμές κάτι που εν είναι αποεκτό ενώ η αύξηση ή μείωση μιας τιμής είναι σύμφωνα με το μοντέλο αυτό ανεξάρτητη από την ίια την τιμή π.χ. είναι το ίιο πιθανό το ενεχόμενο «η τιμή να κινηθεί στο σε ιάστημα μήκους» με το ενεχόμενο «η τιμή να κινηθεί στο σε ιάστημα μήκους» κάτι που εν φαίνεται λογικό και εν ταιριάζει σε πραγματικά εομένα. Αντίθετα θα περί- Boua M.V. 5-7 Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 66

5 μενε κανείς η ποσοστιαία αύξηση ή μείωση της τιμής να είναι ανεξάρτητη από την τιμή ηλαή το πάει στο. με την ίια πιθανότητα που το πάει στο.. Πράγματι στο ιωνυμικό μοντέλο είχαμε υποθέσει ότι η ποσοστιαία αύξηση ή μείωση της τιμής S /S - είναι ανεξάρτητη από την τιμή. Ιιαίτερα είχαμε υποθέσει ότι S b με πιθ. p S S a με πιθ. p όπου S τιμή μετοχής στο χρόνο. Στο συνεχές μοντέλο μπορούμε να θεωρήσουμε ότι σε ένα πολύ μικρό χρονικό ιάστημα μήκους η τιμή S μπορεί είτε να αυξηθεί είτε να μειωθεί με κάποια πιθανότητα και ανεξάρτητα από το παρελθόν ως εξής: S S S e e σ σ με πιθ. p με πιθ. p όπου μ p Δ. σ Δηλαή η ποσοστιαία μείωση ή αύξηση της τιμής S /S - σε κάθε απειροστό ιάστημα χρόνου είναι σταθερή και ανεξάρτητη από το παρελθόν ενώ η αντίστοιχη πιθανότητα αύξησης ή μείωσης είναι «κοντά» στο.5. Παρατηρούμε ότι αν θέσουμε Χ ls τότε η X X - ± σ / με πιθ p το και p το και επομένως η ανέλιξη X ls είναι μια κίνηση Brow. Δηλαή η τ.μ. X y X ls y ls y ls y /S y ακολουθεί κανονική κατανομή Νμ σ και είναι ανεξάρτητη από το παρελθόν S u u < y. Μια στοχαστική ανέλιξη με τις παραπάνω ιιότητες καλείται γεωμετρική κίνηση Brow. Ιιαίτερα έχουμε τον ακόλουθο ορισμό. Ορισμός 5... Μία στοχαστική ανέλιξη S καλείται γεωμετρική κίνηση Brow με παραμέτρους μ R τάση - drf και σ > μεταβλητότητα - volaly συμβ. GΒΜμ σ αν ι- σχύει ότι για κάθε y > Η τυχαία μεταβλητή S y l ~ N μ σ S S y Η τ.μ. S y /S y είναι ανεξάρτητη από τις S u u y. Όπως και η κίνηση Brow η γεωμετρική κίνηση Brow αλλάζει απειροστά τιμή κάθε απειροστό χρονικό ιάστημα και συνεπώς παρουσιάζει και αυτή «ιιάζουσες ιαρομές». Mία πραγματοποίηση της στοχαστικής ανέλιξης S ηλ. η {S ω } για κάποιο ω Ω είναι και πάλι μία συνεχής συνάρτηση του εν κάνει «άλματα» η οποία εν είναι πουθενά παραγωγίσιμη σχεόν για κάθε ω Ω. Είναι προφανές ότι αν Χ ~ BMμσ X τότε η e ~ GBMμσ. Αν λοιπόν S ~ GBMμ σ τότε η S ακολουθεί τη λογαριθμοκανονική κατανομή ηλαή ο λογάριθμός της ακολουθεί την κανονική κατανομή l S ~ N μ σ και επομένως αν Ζ ~ Ν οι ροπές τάξης της τ.μ. S θα είναι l S σ Z μ μ σ Z S e e e e Boua M.V. 5-7 Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 67

6 Αλλά z zu u uz uz e e e e dz e dz e d e z u π π π και συνεπώς από όπου προκύπτει ότι μ σ μ σ S e u μ σ σ S e V S S S e e. Παρακάτω ίνονται τα γραφήματα πραγματοποιήσεων μιας κίνησης Brow Χ [ ] μ. σ.8 και πραγματοποιήσεων της αντίστοιχης γεωμετρικής κίνησης Brow S X e []. Παρατηρήστε τις ομοιότητες και τις ιαφορές μεταξύ των ύο γραφημάτων. Και οι ύο ανελίξεις έχουν την ίια συμπεριφορά ως προς την άνοο και την κάθοο των τιμών τους αλλά η γεωμετρική κίνηση Brow γίνεται πιο «βίαιη» όταν οι τιμές της απομακρύνονται από το προς τα πάνω ενώ «ηρεμεί» όταν οι τιμές της «πλησιάζουν» το. 3 u Χ O ΒΜμ. σ.8 3 S e X O GΒΜμ. σ.8 Στο χρόνο η Χ θα ακολουθεί Νμ σ Ν..64 ενώ η S θα ακολουθεί λογαριθμοκανονική κατανομή με S e μ σ e..8 e. μ σ σ V S e e e e. 83 Παρακάτω ίνονται τα συγκριτικά γραφήματα των περιοχών που βρίσκονται οι τιμές μιας X ~ BMμ.5 σ αριστερό σχήμα και μιας S ~ GBMμ.5 σ εξιό σχήμα. Συγκε- Boua M.V. 5-7 Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 68

7 κριμένα για [] η X αντίστοιχα η S βρίσκεται κάτω από τις καμπύλες στο αριστερό σχήμα αντ. εξιό με πιθανότητες αντίστοιχα..5 Χ S Σύμφωνα λοιπόν με τα παραπάνω ένα σχετικά απλό μοντέλο που μπορεί να περιγράψει την εξέλιξη τιμών χρηματοοικονομικών τίτλων στο χρόνο είναι η γεωμετρική κίνηση Brow. Στην πράξη πρόκειται για ένα αρκετά αποεκτό θεωρητικό μοντέλο το οποίο λόγω της απλότητάς του χρησιμοποιείται ως βάση για τη θεωρητική μελέτη πολλών προβλημάτων που σχετίζονται με την εξέλιξη τιμών στο χρόνο Εισαγωγή στη Στοχαστική Ανάλυση Επεκτείνουμε τις έννοιες της μελλοντικής ιστορίας φιλτραρίσματος και του margale σε συνεχή χρόνο με τον προφανή τρόπο: Ορισμός Έστω Ω F P ένας χώρος πιθανότητας. Μια οικογένεια σ-αλγεβρών F που περιέχονται στην F με την ιιότητα F F για κάθε με καλείται φιλτράρισμα flrao ή μελλοντική ιστορία. Μία στοχαστική ανέλιξη Χ θα καλείται προσαρμοσμένη στην F αν η Χ είναι F μετρήσιμη ηλαή σχ F. Μία στοχαστική ανέλιξη Χ θα καλείται margale ως προς το φιλτράρισμα F F margale αν είναι προσαρμοσμένη στο φιλτράρισμα αυτό Ε Χ < και X F X με πιθ. αν είναι καλείται ubmargale ενώ αν είναι τότε καλείται upermargale. Στη συνέχεια θα λέμε ότι μία ανέλιξη Χ είναι F BΜμσ αν η ανέλιξη αυτή είναι BΜμσ είναι προσαρμοσμένη στην F και κάθε τ.μ. Χ Χ είναι ανεξάρτητη της F y με y. Προφανώς μία BΜμσ είναι και F BΜμσ με F σχ το φυσικό της φιλτράρισμα. Στο εξής θα συμβολίζουμε με μία στοχαστική ανέλιξη που είναι τυπική κίνηση Brow BΜ. Πρόταση Αν η είναι F BΜ τότε κάθε μία από τις ανελίξεις σ σ e. είναι F margale. Απόειξη. Από υπόθεση η είναι F μετρήσιμη και ~ N. Επομένως Ε < για μια τ.μ. Χ ισχύει γενικά ότι ΕΧ ΕΧ. Επίσης για κάθε Boua M.V. 5-7 Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα». 69

8 F F F F Άσκηση Άσκηση Ας επανέλθουμε πάλι προσωρινά στο μοντέλο ιακριτού χρόνου. Στο μοντέλο εκείνο αποείξαμε ότι ένα παράγωγο χρηματοοικονομικό προϊόν μπορεί να αποτιμηθεί αρκεί να υπάρχει ένα μέτρο Q που κάνει margale την προεξοφλημένη ανέλιξη των τιμών της μετοχής και επίσης μπορεί να κατασκευαστεί ένα αυτοχρηματοοτούμενο χαρτοφυλάκιο εξασφάλισης edgg porfolo ηλαή ένα χαρτοφυλάκιο που θα έχει τελική αξία στο χρόνο T ίση με την αξία του παραγώγου. Τα ίια βήματα θα προσπαθήσουμε να ακολουθήσουμε και στη συνεχή περίπτωση για αυτό και θα πρέπει να μεταφράσουμε όλες τις έννοιες που είαμε στο ιακριτό χρόνο σε συνεχή χρόνο. Ήη κάναμε κάτι τέτοιο για την τιμή του υποκείμενου τίτλου. Ας ούμε πως μπορούμε να ορίσουμε αυτοχρηματοοτούμενα χαρτοφυλάκια σε συνεχή χρόνο. Παράειγμα αναπαράσταση αυτοχρηματοοτούμενου χαρτοφυλακίου σε συνεχή χρόνο. Στο ιακριτό χρόνο αυτοχρηματοοτούμενο χαρτοφυλάκιο καλούμε ένα υναμικό χαρτοφυλάκιο που στο χρόνο έχει σύνθεση ψ Δ ψ ομόλογα και Δ μετοχές με αντίστοιχη r αξία τίτλων S e S και ικανοποιεί την ή ισούναμα την V S S. S S S S V όπου με V συμβολίζουμε την αξία του χαρτοφυλακίου στο χρόνο. Κάνοντας ακόμη ένα βήμα η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφεί ισούναμα και με την μορφή προσθέτουμε την παραπάνω κατά μέλη για V V V V S S.... Είναι σημαντική η παρατήρηση ότι για να είναι εφικτή η κατασκευή ενός τέτοιου χαρτοφυλακίου θα πρέπει οι S να είναι F - μετρήσιμες. Δηλαή στο χρόνο θα πρέπει η τιμή των ιανυσμάτων αυτών να είναι γνωστή και όχι τυχαία μεταβλητή. Αν σε συνεχή χρόνο θεωρήσουμε ότι ένα υναμικό χαρτοφυλάκιο θα έχει σύνθεση ψ Δ στο χρόνο με αντίστοιχη αξία τίτλων S e r S τότε η παραπάνω τελευταία σχέση θα γράφεται V V r r S S ψ e e Δ S S και αν πάρουμε θα μπορούσε να γραφεί στη συμβολική μορφή V V T r ψ de Δ ds [ ]... Boua M.V. 5-7 Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 7

9 αρκεί τα παραπάνω ολοκληρώματα να είναι καλά ορισμένα και να αποτελούν όρια των αντίστοιχων ποσοτήτων του ιακριτού μοντέλου. Το πρώτο αριστερό ολοκλήρωμα μπορεί να γραφεί απλούστερα ως εξής r ψ de ψ d de d r r ψ e και επομένως πρόκειται για ένα σύνηθες ολοκλήρωμα Rema επί της στοχαστικής ανέλιξης ψ ή γενικότερα για ένα ολοκλήρωμα Lebegue ως προς το μέτρο Lebegue λ. Παράειγμα ολοκλήρωμα Rema επί μιας στοχαστικής ανέλιξης Είναι ενιαφέρον σε αυτό το σημείο να εξετάσουμε ως παράειγμα ένα ολοκλήρωμα όπως αυτό που περιγράφεται παραπάνω. Με αυτό το παράειγμα θα πάρουμε μια εικόνα για τη φύση ενός ολοκληρώματος Rema επί μιας στοχαστικής ανέλιξης. Ένα απλό και ενιαφέρον ολοκλήρωμα παρόμοιας μορφής που αξίζει να εξετάσουμε είναι το Y d όπου είναι μία τυπική κίνηση Brow. Πρόκειται για μία τυχαία μεταβλητή η οποία σε κάθε ω Ω αντιστοιχεί το Y ω ω d R το οποίο είναι ένα σύνηθες ολοκλήρωμα Rema επί μιας ιαρομής της ανέλιξης [ ]. Πολύ απλά εώ πρόκειται για το εμβαόν κάτω από μια τυχαία ιαρομή της τυπικής κίνησης Brow όπως φαίνεται και στο ακόλουθο σχήμα το ολοκλήρωμα ισούται με το γραμμοσκιασμένο εμβαόν. r d X O Αξίζει να ούμε ποια κατανομή ακολουθεί αυτή η τυχαία μεταβλητή. Αρχικά υπενθυμίζουμε ότι ένα ολοκλήρωμα Rema επί μιας συνάρτησης f μπορεί να γραφεί όταν υπάρχει ως f d up f όπου το upremum λαμβάνεται ως προς όλες τις ιαμερίσεις { < < } του [ ]. Πιο απλά αν θεωρήσουμε τη ιαμέριση / θα είναι f d lm f lm f. Boua M.V. 5-7 Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» / Επομένως το ολοκλήρωμα Rema επί της [] θα είναι / d lm. Θεωρούμε τις τ.μ. Ζ - οι οποίες είναι ανεξάρτητες τ.μ. και ακολουθούν την Ν αφού η είναι κίνηση Brow. Θα ισχύει ότι Z Z... Z Z Z... Z 7

10 / και επομένως η παραπάνω τ.μ. θα ακολουθεί κανονική κατανομή ως γραμμικός συνυασμός ανεξάρτητων κανονικών με μέση τιμή και ιασπορά V V Z Z... Z V Z V Z... V Z Άρα λαμβάνοντας το ολοκλήρωμα Rema επί της [] θα είναι μια κανονική τ.μ. και συγκεκριμένα 3 d ~ N. 3 Αν τώρα επιχειρήσουμε κάτι παρόμοιο και για το εύτερο ολοκλήρωμα ώστε να καταλήξουμε σε ένα ολοκλήρωμα Rema ηλαή ds Δ ds Δ d d παρατηρούμε ότι παρουσιάζεται σοβαρό πρόβλημα αφού οι ιαρομές της στοχαστικής ανέλιξης S ω εν παραγωγίζονται σχεόν πάντοτε. Επομένως πριν προχωρήσουμε θα πρέπει να ορίσουμε εξ αρχής και να μελετήσουμε ολοκληρώματα της μορφής αυτής Το ολοκλήρωμα Iô Όπως είαμε παραπάνω παρουσιάζεται η ανάγκη ορισμού ενός ολοκληρώματος το ο- ποίο θα εκφράζει αθροίσματα της μορφής [ / ] Δ ds Δ S S για «μικρό». Θα ξεκινήσουμε την μελέτη τέτοιων ολοκληρωμάτων βασιζόμενοι στην κίνηση Brow. Ως συνήθως θεωρούμε ότι εργαζόμαστε σε έναν χώρο Ω F P εφοιασμένο με ένα φιλτράρισμα μελλοντική ιστορία F. Έστω μία F BΜ. Η είναι μία τυπική κίνηση Brow προσαρμοσμένη στην F ενώ κάθε τ.μ. κάθε τ.μ. Χ Χ είναι ανεξάρτητη της F y με y. Έστω επίσης μία στοχαστική ανέλιξη [ T] για κάποιο T > η οποία είναι επίσης προσαρμοσμένη στην F και είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη ηλαή < d για κάθε [ T]. Για να ορίσουμε το στοχαστικό ολοκλήρωμα της ως προς την θα ακολουθήσουμε ένα μηχανισμό που χρησιμοποιείται αρκετά συχνά στη θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης. Θα ορίσουμε το ολοκλήρωμα αυτό αρχικά για «απλή» συνάρτηση και στη συνέχεια θα επεκτείνουμε τον ορισμό του ολοκληρώματος για κάθε λαμβάνοντας το όριο ολοκληρωμάτων «απλών» συναρτήσεων. Boua M.V. 5-7 Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 7

11 Ορισμός Έστω μία ιαμέριση Π { } του [ T] ηλ. < < < T. Μία στοχαστική ανέλιξη [ T] θα καλείται απλή ως προς την ιαμέριση Π αν είναι F - προσαρμοσμένη τετραγωνικά ολοκληρώσιμη και είναι σταθερή σε κάθε χρονικό ιάστημα [ -. Μία τυχαία ιαρομή μιας απλής στοχαστικής ανέλιξης θα έχει την παρακάτω μορφή. ω Ορισμός Ορίζουμε ως στοχαστικό ολοκλήρωμα Iô μιας απλής ως προς την στο ιάστημα [ ] την τυχαία μεταβλητή I d. όπου τέτοιο ώστε. Η οικογένεια των τ.μ. Ι [ T] είναι μία στοχαστική ανέλιξη η οποία παρουσιάζει συνεχείς ιαρομές ηλ. η συνάρτηση g ω Ι ω είναι συνεχής. Το γεγονός αυτό προκύπτει από το ότι η κίνηση Brow παρουσιάζει συνεχείς ιαρομές. Ουσιαστικά το ολοκλήρωμα Iô Ι εκφράζει το εμβαόν «κάτω» από την στοχαστική α- νέλιξη []. Μόνο που το εμβαόν π.χ. ενός ορθογωνίου αβ τώρα εν υπολογίζεται με βάση τον κανόνα: μήκος βάσης βα επί ύψος αλλά ως: προσαύξηση β a στο a β της επί ύψος Βασικές ιιότητες του ολοκληρώματος Iô. Το ολοκλήρωμα Iô επί μιας απλής ανέλιξης έχει τις ακόλουθες ιιότητες οι οποίες όπως θα ούμε ισχύουν και στη γενική περίπτωση που η εν είναι απαραίτητα απλή. Πρόταση Η τυχαία μεταβλητή I είναι F μετρήσιμη. Ισχύει ότι γ d d d και c d c d γ όπου c είναι σταθερά γ είναι επίσης απλή ανέλιξη Ισομετρία Iô Ισχύει ότι I d d [ T]. v Η στοχαστική ανέλιξη Boua M.V. 5-7 Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 73

12 Boua M.V. 5-7 Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 74 d I [ T] είναι margale ως προς το φιλτράρισμα F [ T]. Απόειξη. Τα είναι άμεσα από τον ορισμό του ολοκληρώματος. Για απλότητα ας υποθέσουμε ότι και ας συμβολίσουμε με D την ιαφορά. Θα είναι j j D D D D d j ι ι H τ.μ. D είναι ανεξάρτητη από τις j ι D j είναι ανεξάρτητη από όλες τις ιότι η είναι F - ΒΜ και επομένως η D είναι ανεξάρτητη της F ενώ σ F ενώ επίσης είναι ανεξάρτητη και από τις D j j < ιότι η έχει ανεξάρτητες προσαυξήσεις και επομένως j j j j D D D D j j ι ι ιότι ΕD. Άρα D D d d. Για < < η απόειξη είναι ανάλογη εμφανίζονται κάποιοι επιπλέον όροι στα αθροίσματα αλλά προκύπτει ο ίιος τελικός τύπος. v H ανέλιξη I [ T] είναι από το προσαρμοσμένη στην F [ T]. Επίσης από την ανισότητα X X X που ισχύει για κάθε τ.μ. προκύπτει ότι < d I I. Η μέση τιμή μέσα στην ρίζα είναι πεπερασμένη για κάθε γιατί έχουμε υποθέσει ότι η είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη. Επίσης έστω <. Για ευκολία ας υποθέσουμε ότι m m <. Θα ισχύει ότι m m m m I F F F ι ι ι m m m m m I F F ι ι ι Αλλά m m m m m m F F F F ι ι ι

13 αφού F F επειή όπως έχουμε είξει παραπάνω η τυπική κίνηση Brow είναι margale. Άρα τελικά Ι F I. Η απόειξη για m < < m < < ή ακόμη για < < < είναι παρόμοια και εώ εμφανίζονται κάποιοι επιπλέον όροι στα αθροίσματα αλλά προκύπτει ο ίιος τελικός τύπος. Ας επεκτείνουμε τώρα τα παραπάνω και για μη απλές ανελίξεις [ T]. Εξακολουθούμε να θεωρούμε στοχαστικές ανελίξεις [ T] προσαρμοσμένες στην F οι οποίες είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες. Αποεικνύεται ότι για κάθε όχι απαραίτητα απλή υπάρχει μία ακολουθία από απλές συναρτήσεις j οι οποίες συγκλίνουν στην έτσι ώστε j T lm j d. j j Η μπορεί να ορισθεί ως εξής: Χωρίζουμε το [ T] σε j ίσα ιαστήματα ηλ. θεωρούμε τη ιαμέριση T όπου T / j j j και λαμβάνουμε τη [ T] σταθερή σε κάθε χρονικό ιάστημα [ και ίση με. Για παράειγμα οι 4 πρώτες j έχουν την ακόλουθη μορφή για μία οθείσα. Τ Τ 3 4 Τ Τ Ορισμός Ορίζουμε ως στοχαστικό ολοκλήρωμα Iô της ως προς την στο ιάστημα [ ] T την τυχαία μεταβλητή d lm d. j j όπου [ T] j είναι μία ακολουθία απλών ανελίξεων που συγκλίνουν στην [ T]. Αποεικνύεται ότι το παραπάνω όριο υπάρχει και το ολοκλήρωμα της είναι καλά ορισμένο ανεξάρτητο της ακολουθίας των απλών ανελίξεων. Επίσης αποεικνύεται ότι όλες οι ιιότητες του ολοκληρώματος Iô για απλές ανελίξεις που αναφέρθηκαν παραπάνω ισχύουν και τώρα. j Boua M.V. 5-7 Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 75

14 Iô Παράειγμα Έχει ίσως ξεχωριστό ενιαφέρον να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα d. Αν ίσχυαν οι γνωστοί κανόνες της κλασικής ολοκλήρωσης θα έπρεπε να ισχύει ότι d d. Όπως θα ούμε στη συνέχεια η παραπάνω σχέση εν ισχύει. Αρχικά παρατηρούμε ότι [ T] είναι πράγματι προσαρμοσμένη στην F [ T] και επίσης είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη: d d d <. Έστω κάποιος ακέραιος j. Θεωρούμε τη ιαμέριση T όπου T / j j και θεωρούμε την απλή ανέλιξη j [ T] σταθερή σε κάθε χρονικό ιάστημα [ και ίση με. Θα χρειαστεί να υπολογίσουμε το στοχαστικό ολοκλήρωμα της απλής j Είναι εύκολο να ιαπιστώσουμε ότι και επομένως Boua M.V. 5-7 Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» T j j I d. T T T T j d. Παρατηρούμε ότι οι τ.μ. Υ είναι ανεξάρτητες τ.μ. με μέση τιμή T και επομένως από τον νόμο των μεγάλων αριθμών Y Y T. Άρα τελικά προκύπτει ότι T T j d lm d T lm T T. j j Η παραπάνω ισχύει για κάθε T και επομένως μπορούμε να γράψουμε γενικά ότι d. 76

15 Παρατήρηση Η επιλογή της μορφής των όρων του αθροίσματος ι στον ορισμό του στοχαστικού ολοκληρώματος Iô είναι θεμελιώους σημασίας. Πιο συγκεκριμένα αν το στοχαστικό ολοκλήρωμα είχε οριστεί με βάση π.χ. όρους της μορφής ηλαή χρησιμοποιούσαμε την τιμή της ανέλιξης στο εξί άκρο ιαστήματος [ ] κάτι που εν φαίνεται να παρουσιάζει τεχνικό πρόβλημα τότε η τιμή του στοχαστικού ολοκληρώματος θα ήταν ιαφορετική π.χ. το d θα είχε ιαφορετική λύση αφήνεται ως άσκηση. Επομένως μία εύλογη απορία είναι γιατί ορίσαμε το συγκεκριμένο ολοκλήρωμα με τον τρόπο που το ορίσαμε και όχι ιαφορετικά επιλέγοντας όχι την τιμή του στο αριστερό άκρο αλλά μία άλλη τιμή του μέσα στο [ ]; π.χ. το μέσο του ιαστήματος Η απάντηση είναι ότι ο ορισμός του ολοκληρώματος Iô προέκυψε φυσιολογικά μέσα από την έκφραση της αξίας ενός αυτοχρηματοοτούμενου χαρτοφυλακίου σε συνεχή χρόνο. Στα χρηματοοικονομικά μοντέλα που εξετάζουμε η τιμή συνήθως εκφράζει την ποσότητα ενός τίτλου επάνω στον οποίο πρέπει να επενύσουμε στο χρονικό ιάστημα [ ] και επομένως θα πρέπει να είναι γνωστή στο χρόνο. Η είναι προσαρμοσμένη στην F και επομένως η τιμή της είναι γνωστή στο χρόνο ενώ π.χ. η. είναι τυχαία μεταβλητή στο χρόνο Παρατήρηση Έχουμε ήη αποείξει ότι γενικά ανελίξεις της μορφής Ι d [ T] είναι margale και επομένως και η d [ T] θα είναι margale. Οπότε θα πρέπει d I. Το παραπάνω γεγονός αποτελεί έναν επιπλέον λόγο για το ότι εν μπορεί να ισχύει ο τύπος d / που είχαμε αρχικά προτείνει. Αντίθετα ο τύπος που βρήκαμε παραπάνω ίνει d. όπως θα έπρεπε. Παρατήρηση Ο τύπος που αποείξαμε παραπάνω όπως και κάθε αντίστοιχος τύπος που αφορά στοχαστικά ολοκληρώματα είναι μερικές φορές βολικότερο να γράφεται σε ιαφορική μορφή. Για παράειγμα η ολοκληρωτική μορφή d μπορεί από σύμβαση να γράφεται και στην ακόλουθη ιαφορική μορφή d d d. η οποία όταν ολοκληρωθεί από έως μας ίνει την ολοκληρωτική μορφή. Η ιαφορική μορφή αυτή από μόνη της εν έχει κάποια αυστηρή μαθηματική ερμηνεία ίσως σε ορισμένες περιπτώ- Boua M.V. 5-7 Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 77

16 σεις να έχει ιαισθητική ερμηνεία απλώς χρησιμοποιείται για να υποηλώσει ότι ισχύει η αντίστοιχη ολοκληρωτική μορφή. Η παραπάνω ιαφορική μορφή μπορεί να θεωρηθεί ως μια στοχαστική ιαφορική εξίσωση που ικανοποιεί η ανέλιξη. Παρατήρηση Στο παραπάνω παράειγμα αποείχθηκε ότι για κάθε T η λεγόμενη τετραγωνική κύμανση της ανέλιξης στο [ Τ] είναι ίση με lm lm Y Y T όπου Υ η οποία θα μπορούσε να γραφεί σε ολοκληρωτική μορφή χρησιμ. το στη θέση του T d ή από σύμβαση σε ιαφορική μορφή d d. Όμοια είναι εύκολο να ειχθεί ότι από τον νόμο των μεγάλων αριθμών T lm lm και T lm lm και επομένως μπορούμε συμβολικά να γράφουμε d d d d d. T Οι «κανόνες» αυτοί των γινομένων ιαφορικών θα αποειχθούν αρκετά χρήσιμοι στη συνέχεια Ο τύπος του Iô Είναι γνωστό ότι στην κλασική ανάλυση ισχύει ο κανόνας της αλυσίας για ύο παραγωγίσιμες πραγματικές συναρτήσεις f g d d f g f g g ή df g f g dg. Η παραπάνω γράφεται σε ολοκληρωτική μορφή χρησιμοποιούμε το ολοκλ. Rema f g f g f g g d Είναι εύλογο να αναρωτηθούμε αν ο παραπάνω τύπος ισχύει και για τα ολοκληρώματα Iô. Εάν ίσχυε θα είχαμε ότι f f f d df f d. Όπως θα ούμε στο αμέσως επόμενο θεώρημα ο παραπάνω τύπος εν ισχύει. Θα πρέπει στο εξιό μέρος της ισότητας να προστεθεί και ένας επιπλέον παράγοντας ο οποίος όπως θα ούμε οφείλεται στη μη μηενική τετραγωνική κύμανση της κίνησης Brow. Boua M.V. 5-7 Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 78

17 Θεώρημα τύπος του Iô για συναρτήσεις της μορφής f. Έστω f : R R μία συνάρτηση η οποία έχει συνεχή πρώτη f και εύτερη παράγωγο f και ~ ΒΜ. Για κάθε ισχύει ότι f f f d f d. Σχέιο απόειξης. Δεν θα προχωρήσουμε σε μία μαθηματικά αυστηρή απόειξη η οποία αν και εν θα ήταν τόσο ύσκολη θα ήταν κάπως μακροσκελής και θα βασιζόταν σε αρκετές τεχνικές λεπτομέρειες οι οποίες εν κρίνεται σκόπιμο να αναπτυχθούν στα πλαίσια της εισαγωγής αυτής. Αντίθετα το ακόλουθο σχέιο απόειξης είχνει πολύ καθαρά γιατί ισχύει η παραπάνω σχέση αποφεύγοντας τις τεχνικές λεπτομέρειες. Η γνωστή σχέση df g f g dg βασίζεται στο ανάπτυγμα Taylor της f γύρω από το : f f f f ε για κάθε. όπου ε είναι ένα υπόλοιπο τάξης 3. Πράγματι αν θέσουμε g g η παραπάνω γίνεται f g f g f g f g g g g g και θεωρώντας ότι γράφεται ε f g df g f g dg dg f g dg ιότι dg g d αφού όπως έχουμε ήη επισημάνει d. Αν τώρα στο αρχικό ανάπτυγμα θέσουμε τότε προκύπτει αντίστοιχα ότι f f f f και θεωρώντας ότι γράφεται f f df f d d f d d ιότι όπως έχουμε επισημάνει d d. Η παραπάνω σχέση αποτελεί τη ιαφορική μορφή της ολοκληρωτικής εξίσωσης που έπρεπε να αποειχθεί. Από την παραπάνω ικαιολόγηση βλέπουμε ότι η ιαφορά μεταξύ του τύπου της κλασσικής ανάλυσης και της ανάλυσης Iô προέρχεται από το γεγονός ότι στην εύτερη περίπτωση στη θέση του dg που είναι ιότι η παραγωγίσιμη g έχει μηενική τετραγωνική κύμανση εμφανίζεται ο όρος d που είναι ίσος με d. ε Boua M.V. 5-7 Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 79

18 Εφαρμογή Αν πάρουμε f / τότε ο τύπος του Iô ίνει: d d και επομένως προκύπτει άμεσα ο τύπος d / / που αποείξαμε παραπάνω χωρίς τη χρήση του τύπου του Iô. Θεώρημα τύπος του Iô για συναρτήσεις της μορφής f. Έστω f : R R μία συνάρτηση η οποία έχει συνεχείς μερικές παραγώγους και ~ ΒΜ. Για κάθε ισχύει ότι j j f f j j f f f d f d f d. Σχέιο απόειξης. Και εώ εν θα προχωρήσουμε σε μία μαθηματικά αυστηρή απόειξη για τους ίιους λόγους που αναφέραμε και στο προηγούμενο σχέιο απόειξης. Από το ανάπτυγμα Taylor της f γύρω από το για κάθε ισχύει ότι f f f f f f f ε. Aν θέσουμε και στη θέση των πάρουμε τα η παραπάνω γίνεται f f f f και θεωρώντας ότι γράφεται f f f ε df f d f d f d f d d f d αλλά d d d d d και τελικά df f d f d f d. Η παραπάνω σχέση αποτελεί τη ιαφορική μορφή της ολοκληρωτικής εξίσωσης που έπρεπε να αποειχθεί. Boua M.V. 5-7 Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 8

19 ίνει Εφαρμογή Αν πάρουμε f e σμ σ μ σταθερές τότε ο τύπος του Iô f f f d f d f d e σ μ σ σe e σ μ σ μ d μe σ μ σ d μ d e σ μ σ e d σ μ σ μ σ μ σ μ ή σε ιαφορική μορφή de σ e d μ σ / e d και επομένως η γεωμετρική σ μ κίνηση Brow S S e GBMμσ με αρχική τιμή S ικανοποιεί την ολοκληρωτική εξίσωση S S σ ή ισούναμα τη στοχαστική ιαφορική εξίσωση σ S d μ ds S d d σ S d μ σ S d Στοχαστικές Ανελίξεις Iô Στις προηγούμενες παραγράφους ορίσαμε το στοχαστικό ολοκλήρωμα Iô Boua M.V. 5-7 Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» d μιας στοχαστικής ανέλιξης [ T] ως προς την τυπική κίνηση Brow. Υπενθυμίζεται ότι η ανάγκη ορισμού ενός τέτοιου ολοκληρώματος γεννήθηκε κατά την προσπάθεια αναπαράστασης της αξίας V ενός αυτοχρηματοοτούμενου χαρτοφυλακίου σε ένα μοντέλο συνεχούς χρόνου. Όμως σε εκείνη την αναπαράσταση θα έπρεπε να εμφανίζεται ένα ολοκλήρωμα της μορφής ds όπου η στοχαστική ανέλιξη S η τ.μ. S εκφράζει την αξία ενός τίτλου στο χρόνο εν είναι κατ ανάγκη μια τυπική κίνηση Brow. Μάλιστα ικαιολογήσαμε ότι η κίνηση Brow εν έχει τα επιθυμητά χαρακτηριστικά για το σκοπό αυτό και ότι είναι καλύτερο να θεωρήσουμε ότι η S ακολουθεί μία γεωμετρική κίνηση Brow. Επομένως θα πρέπει να επεκτείνουμε τον ορισμό του στοχαστικού ολοκληρώματος ώστε να λαμβάνεται και ως προς άλλες στοχαστικές ανελίξεις εκτός της τυπικής κίνησης Brow. Στη συνέχεια θα ορίσουμε στοχαστικά ολοκληρώματα της μορφής dy όπου Υ είναι μία στοχαστική ανέλιξη με κάποια επιθυμητά χαρακτηριστικά που θα περιγράψουμε παρακάτω. Οι ανελίξεις Υ που έχουν αυτά τα χαρακτηριστικά αυτά θα καλούνται ανελίξεις Iô και ο ακριβής ορισμός τους είναι ο ακόλουθος. 8

20 Ορισμός Iô procee Ανελίξεις Iô. Μία στοχαστική ανέλιξη Υ θα καλείται ανέλιξη Iô αν μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή Y Y H d G d όπου ~ F - BM και H G είναι κάποιες στοχαστικές ανελίξεις προσαρμοσμένες στην F H Υ θεωρείται F μετρήσιμη ηλαή εν είναι τ.μ. επίσης θεωρούμε ότι τα παραπάνω ολοκληρώματα ορίζονται ηλαή H d < G d < για κάθε > Η στοχαστική ανέλιξη S S e σ μ είναι μια ανέλιξη Iô ιότι όπως είαμε στην Εφαρμογή 5.6. μπορεί να παρασταθεί με την παραπάνω μορφή με H σs G μ σ /S. Οι συγκεκριμένες H G είναι πράγματι προσαρμοσμένες στην F ιότι στο χρόνο είναι γνωστή η τιμή της και άρα και της S. Μπορούμε τώρα πολύ απλά να ορίσουμε το στοχαστικό ολοκλήρωμα dy αντικαθιστώντας το dy με αυτό που προκύπτει από τη ιαφορική μορφή της παραπάνω ολοκληρωτικής εξίσωσης dy H d G d. Συγκεκριμένα προκύπτει ο ακόλουθος ορισμός. Ορισμός Στοχαστικό ολοκλήρωμα Iô ως προς μία ανέλιξη Iô. Έστω Υ μία ανέλιξη Iô με dy H d G d και μία στοχαστική ανέλιξη προσαρμοσμένη στην F. Ως ολοκλήρωμα Iô της ως προς την Υ ορίζεται η ποσότητα dy H d G d. Επομένως π.χ. για την ανέλιξη Iô S S e σ μ θα έχουμε ότι ds σ Sd μ σ Sd σ S d μ σ S d. Ο τύπος του Iô μπορεί τώρα να αποειχθεί και για στοχαστικά ολοκληρώματα ως προς μία ανέλιξη Iô. Θεώρημα τύπος του Iô για συναρτήσεις της μορφής f Υ όπου Y είναι μια ανέλιξη Iô. Έστω f :R R μία συνάρτηση η οποία έχει συνεχείς μερικές παραγώγους j j f f j j και Y μία ανέλιξη Ιo με dy H d G d. Για κάθε ισχύει ότι f Y f Y f Y dy f Y d f Y H d f Y H d f Y G d f Y d Boua M.V. 5-7 Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 8

21 f Y H θεωρούμε ότι όλες οι ποσότητες που εμφανίζονται είναι τέτοιες ώστε τα παραπάνω ολοκληρώματα να ορίζονται Σχέιο απόειξης. Όπως και στην παραπάνω απόειξη του τύπου του Iô για συναρτήσεις της μορφής f χρησιμοποιούμε το ανάπτυγμα Taylor της f και καταλήγουμε στην ε- ξίσωση είναι η ακριβώς ίια με την αντίστοιχη της παραπάνω απόειξης μόνο που στη θέση της εμφανίζεται τώρα η Υ df Αλλά αφού d d d d d dy H d G d θα είναι Y f Y dy f Y d f Y dy f Y dy d f Y d dy H d G d H d G d H Gd d H και dy d από όπου τελικά προκύπτει ότι df Y f Y dy f Y d f d f Y H Y H d f Y G d f Y d d f d Y H d. Οι παραπάνω σχέσεις αποτελούν τη ιαφορική μορφή των ολοκληρωτικών εξισώσεων που έ- πρεπε να αποειχθούν. Με ακριβώς τον ίιο τρόπο χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα Taylor μιας ιμεταβλητής συνάρτησης προκύπτει και το ακόλουθο Θεώρημα το οποίο για ευκολία ιατυπώνεται σε ιαφορική μορφή. Θεώρημα τύπος του Iô για συναρτήσεις της μορφής f Χ Υ όπου X Y είναι υο ανελίξεις Iô. Έστω f y: R R μία συνάρτηση η οποία έχει συνεχείς μερικές παραγώγους j j f f j και X Y ύο ανελίξεις Ιo. Για κάθε ισχύει ότι j df X Y f X Y dy f X Y dx f X f X Y dy dx f X Y dx Y dy Αν θέσουμε f y y στο παραπάνω αποτέλεσμα προκύπτει το επόμενο πόρισμα που είναι γνωστό ως πολλαπλασιαστικός κανόνας του Iô. Πόρισμα Πολλαπλασιαστικός κανόνας του Iô. Αν Χ Y είναι ύο ανελίξεις Iô τότε d X Y X dy Y dx dy dx. Κλείνοντας την σύντομη αυτή εισαγωγή στην στοχαστική ανάλυση παρουσιάζουμε ύο σημαντικά αποτελέσματα τα οποία θα αξιοποιήσουμε παρακάτω. Υπενθυμίζεται ότι στο μοντέ- Boua M.V. 5-7 Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 83

22 λο αγοράς ιακριτού χρόνου είχαμε ιαπιστώσει ότι μπορούμε να βρούμε την αξία ενός παραγώγου αρκεί να α υπάρχει ένα μέτρο πιθανότητας Q στον Ω F ως προς το οποίο η προεξοφλημένη ανέλιξη αξιών της υποκείμενης μετοχής είναι margale και β υπάρχει αυτοχρηματοοτούμενο χαρτοφυλάκιο με τελική αξία στο χρόνο Τ ίση με την αξία του παραγώγου στο χρόνο Τ. Θα επιχειρήσουμε να ακολουθήσουμε και εώ τον ίιο αποεικτικό μηχανισμό. Για την ιαπίστωση του α θα μας βοηθήσει το θεώρημα του Graov ενώ για το β θα μας βοηθήσει το θεώρημα αναπαράστασης margale τα οποία παρουσιάζονται παρακάτω χωρίς απόειξη Αλλαγή μέτρου πιθανότητας Θεώρημα Graov Αν Z είναι μία τ.μ. από έναν χώρο Ω F P στο [ με μέση τιμή και Z > με πιθ. τότε η συνολοσυνάρτηση Q: F [] που σε κάθε ενεχόμενο Α του F αντιστοιχεί την τιμή Q Α Z dp ZI A dp P Z I A A Ω όπου Ι Α ή ανάλογα με το αν το Α πραγματοποιηθεί ή όχι είναι ένα νέο μέτρο πιθανότητας στον χώρο Ω F. Μάλιστα σε αυτή την περίπτωση όπως έχουμε αναφέρει και σε προηγούμενη παράγραφο η τ.μ. Z καλείται πυκνότητα ή Rado-Nodym παράγωγος του Q ως προς το P ηλαή συμβολικά Z dq/dp. Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι για κάθε τ.μ. Χ Q X XdQ XZdP P X Z. Έστω τώρα ότι ο χώρος Ω F P είναι εφοιασμένος και με μια μελλοντική ιστορία F [Τ]. Η στοχαστική ανέλιξη Z Z F [ T ] είναι ένα P-margale ιότι για < T Z F Z F F Z F Z [ T ]. P P P Επίσης αποεικνύεται σχετικά εύκολα αφήνεται ως άσκηση ότι για T για κάθε τ.μ. Υ που είναι F μετρήσιμη. Q P Y F P Y Z F Z Παράειγμα Αλλαγή μέτρου πιθανότητας σε ένα χώρο Ω F από P σε Q που επιφέρει μετατόπιση της κατανομής μίας κανονικής τ.μ.. Έστω : Ω F P R με ~ P Ν. O συμβολισμός ~ P υποηλώνει κατανομή ως προς το μέτρο πιθανότητας P. Αν θ είναι κάποια σταθερά τότε προφανώς θ ~ P Nθ. Ένα ερώτημα που μπορεί να τεθεί είναι αν μπορούμε να «αλλάξουμε» το μέτρο P σε ένα άλλο μέτρο πιθανότητας έστω Q έτσι ώστε υπό αυτό το μέτρο η τ.μ. θ να ακολουθεί Ν ηλαή θ ~ Q Ν. Είναι εύκολο να ούμε ότι αυτό μπορεί να γίνει αν στον χώρο Ω F ορίσουμε το μέτρο Q όπως παραπάνω λαμβάνοντας στη θέση της Z την τ.μ. θ θ P Z e. Boua M.V. 5-7 Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 84

23 Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την τ.μ. Z ιότι Z > και Ε P Z. Υπό το Q τώρα η τ.μ. θα έχει κατανομή θ θ Q w P Z I w P e I[ w] [ ] w e θ θ e d π π w e θ και επομένως ~ Q Nθ και άρα θ ~ Q N. Συμβολικά μπορούμε να γράψουμε P Q θ Ν όπου P είναι το επαγόμενο μέτρο του P στον R μέσω της τ.μ. και Q θ είναι το επαγόμενο μέτρο του Q στον R μέσω της τ.μ. θ. Έστω τώρα γενικότερα ένας χώρος Ω F P εφοιασμένος με μια μελλοντική ιστορία F και ~ F - ΒΜ. Υπονοείται ότι η είναι κίνηση Brow ως προς το μέτρο P και επομένως είναι ακριβέστερο να γράφουμε ~ P ΒΜ. Ένα αντίστοιχο πρόβλημα με αυτό που τέθηκε στο προηγούμενο παράειγμα είναι το ακόλουθο: Αν Θ είναι μία στοχαστική ανέλιξη η οποία είναι προσαρμοσμένη στην ιστορία F τότε μπορούμε να αλλάξουμε το μέτρο του χώρου από P σε Q έτσι ώστε η στοχαστική ανέλιξη Θ d Καταφατική απάντηση ίνει το ακόλουθο θεώρημα. ~ Q F - ΒΜ; Θεώρημα Graov. Έστω χώρος Ω F P εφοιασμένος με μια μελλοντική ι- στορία F [Τ] και [Τ] ~ F - ΒΜ. Έστω επίσης Θ [Τ] μία στοχαστική α- νέλιξη προσαρμοσμένη στην ιστορία F. Η στοχαστική ανέλιξη d Θ d ~ Q F - ΒΜ είναι κίνηση Brow ως προς το Q όπου Q είναι το μέτρο πιθανότητας που σε κάθε Α του F αντιστοιχεί το Q Α P ZT I A συμβολικά dq Z Τ dp με Z ep Θ d d Θ. Είναι πράγματι Ε P Ζ T ενώ θεωρούμε και ότι T P Θ Z d < Υπόειξη απόειξης. Η απόειξη βασίζεται στο εξής αποτέλεσμα Θεώρημα Levy: αν μια στοχαστική ανέλιξη Χ με συνεχείς ιαρομές είναι margale με X και dx d τότε Χ ~ ΒΜ. Αρκεί επομένως να αποειχθεί ότι η ανέλιξη είναι margale με συνεχείς ιαρομές και d d. Παρατήρηση Η Ζ που ίνεται από τον παραπάνω τύπο αποεικνύεται ότι είναι ίση με Z Z F [ T ] και επομένως βλ. παραπάνω για κάθε F μετρήσιμη τ.μ. Υ P T Y F P Y Z F T. Z Q Boua M.V. 5-7 Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 85

24 5.9. Θεώρημα Αναπαράστασης margale Θεώρημα Αναπαράστασης margale. Έστω χώρος Ω F P και [Τ] ~ ΒΜ. Αν M [Τ] είναι ένα margale ως προς την ιστορία F [Τ] που παράγεται από την [Τ] ηλ. F σ τότε υπάρχει μία F προσαρμοσμένη ανέλιξη G [Τ] τέτοια ώστε M T M G d [ ]. Αποείξαμε παραπάνω Πρόταση 5.5. ότι κάθε ολοκλήρωμα Iô επί μιας ~ ΒΜ είναι margale ως προς την ιστορία που παράγεται από την. Το Θεώρημα αναπαράστασης margale ουσιαστικά λέει ότι ισχύει και το αντίστροφο: κάθε margale Μ ως προς μια ιστορία που παράγεται από την μπορεί να παρασταθεί ως ένα ολοκλήρωμα Iô επί της συν μια σταθερά M. Προσοχή εώ στην απαίτηση ότι η Μ είναι margale ως προς την ιστορία που παράγεται από την. Αυτό σημαίνει ότι η Μ θα πρέπει να είναι F σ μετρήσιμη [Τ] ηλαή η τιμή της M θα πρέπει να καθορίζεται πλήρως από την ιαρομή της. Boua M.V. 5-7 Σημειώσεις μαθήματος «Παράγωγα Χρηματοοικονομικά Προϊόντα» 86