1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R
|
|
- Σίλας Βασιλειάδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) v) 5 f() log vi) f() = 4 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ. Να βρεθεί ο λ R ώστε f() = ln ( +λ+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R. Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: 4 - α)f ()= ( -) β) f ()= γ) f () = δ) f () = ε) f () = log ( + - ) + log - στ) f () = e ln ζ) f () = συν ημ - +, [0, π] εφ - Β. Γραφική παράσταση 4. Για ποιες τιμές του χ η C f βρίσκεται πάνω, η κάτω από των χχ όταν: I) f() = -5+6 ii) f() e iii) f() log 5( ) iv) f() 5. Έστω η συνάρτηση f () = - +. α) Να βρείτε τις τιμές f (), f (0), f (-), f () β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες γ) Να βρείτε τις τιμές f (t), f (t), f ( + h),, t, h R. 6. Δίνεται η συνάρτηση f () = ln. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Να αποδείξετε ότι f () = e για κάθε του πεδίου ορισμού της. γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις 7. Εξετάστε ποιες από τις επόμενες συναρτήσεις είναι ίσες και σε ποιο σύνολο ι) f(), g() ιι) f(), g() 7
2 ιιι) f() 4 5, g() 5 4 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 8. Δίνεται η συνάρτηση f () = +. α) Να εξετάσετε ποιες από τις συναρτήσεις του παρακάτω πίνακα είναι ίσες με τη συνάρτηση f. f () = - - f ()= - f () = f 4 () = ( + ) f 5 () = lne + f 6 () = eln (+) β) Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο οι παραπάνω συναρτήσεις είναι όλες ίσες. 9. Δίνονται οι συναρτήσεις f () = - f () = f () = - f 4()= ( -) - f 5 ()= f 6 () = - α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού καθεμιάς συνάρτησης. β)να εξετάσετε αν υπάρχουν ζεύγη ίσων συναρτήσεων. γ) Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο οι παραπάνω συναρτήσεις είναι όλες ίσες. 0. Δίνονται οι συναρτήσεις f () = α, g()= - ( -) α,αr, > 0. α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f, g β) Για ποια τιμή του α ισχύει f = g; Δ. Πραξεις με συναρτήσεις, [0,], (,). Δίνονται οι συναρτήσεις f() g() 6, (,6) [,] Να ορίσετε τις συναρτήσεις f+g, f.g, f g 8
3 . Δίνονται οι συναρτήσεις, f () =, και g () = ln, -, 0 Να βρείτε τις συναρτήσεις: α) f + g β) f g Ε. Σύνθεση συναρτήσεων. Έστω οι συναρτήσεις f() και g() ln( ) Να βρείτε τις συναρτήσεις ι. f g ιι. g f ιιι. f f ιv. g g 4. Να ορισθούν οι συναρτήσεις f g, g f, f f, g g όταν, [, ), 0 f(), g() X. (,), 0 5. Βρείτε συνάρτηση f τέτοια ώστε i) (f g)(), αν g()=- ii) 4 (f g)(), αν g() = iii) (g f)() 5 4,αν g() Δίνεται συνάρτηση f : [0,] R. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων I) f( ), ii) f( ) iii) f( ) 7.ίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα [0, ]. Ποιο είναι το πεδίο α) f ( ) β) f ( - 4) γ) f (ln) ορισμού των συναρτήσεων: 9. Ποια καμπύλη είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g () = f (f (f ())), αν f () = 0.Να γράψετε τη συνάρτηση f () =, > 0 ως σύνθεση δύο άλλων συναρτήσεων.. Αν για κάθε R ισχυει f() α να δειχθει ότι f f () ; -. Δινεται η συναρτηση f, τετοια ώστε f() f, R Βρειτε το τυπο της f.. Δινεται η συναρτηση f, για την οποια ισχυει η σχεση f( χ + ψ) = f()+ f(ψ), χ,ψ R. Δειξτε 9
4 I) ότι f(0)=0 ii) f( k)=kf(), k N iii) Η f είναι περι τ τη ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 4. Εστω η αρτια συναρτηση f : R R, για την οποια ισχυει f(α β) f(α) f(β), να δειξτε ότι. Ι) f() 0. ιι) f(α) f(β) f(α β) α,βr. 5. Αν f e g () e και g() ln, 0. Να βρεθει ο τυπος της f 6. Αν f() g() και g() f(), R, να δειχθει ότι (f g)() (g f)() f() 7. Δινεται η συναρτηση f : R R για την οποια ισχυει f( ) f( ), R. να δειχθει ότι Ι) f() f( ) ιι) f( ) f() 6 0. Ιιι) Να βρεθει ο τυπος της f 8. Δίνεται η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει f ( + y) + f ( - y) = f () + f (y) για κάθε, y R. α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f περνά από την αρχή των αξόνων. β) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια. γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε R ισχύει ότι f ( ) = f (). 9. Αν για μια συνάρτηση f ισχύει f () - f ( ) =, 0,ναβρείτετο f (). 0. Αν f(f()) να βρεθει η f().. Αν f(f()) να δειχθει ότι f( ) f(), R ΣΤ. Μονοτονια Συναρτησης. Θεωρουμε τη συναρτηση f με f() 4. Ι) Να δειχθει ότι η f είναι γνησιως αυξουσα στο Α= 0, Ιι) Να δειχθει ότι η εξισωση f() 0 εχει μοναδικη λυση στο Α. Ιιι) Να λυθει η ανισωση f() 0 στο Α.. Να βρεθουν οι τιμες του α R ώστε η α f() α να είναι Ι) γνησιως αυξουσα στο R ιι) γνησιως φθινουσα στο R 0
5 4. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g ορισμένες στο R, οι οποίες είναι γνησίως μονότονες και έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας (είναι και οι δύο γνησίως αύξουσες ή και οι δύο γνησίως φθίνουσες). α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση fog είναι γνησίως αύξουσα. β) Να εξετάσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων fof και gog. γ) Να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης f () = ln [ln ()], >. 5.Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R είναι περιττή. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στo διάστημα [α, β] με α, β > 0, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και στο διάστημα [- β, - α]. 6. Έστω f, g δύο συναρτήσεις με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημα Δ, οι οποίες παίρνουν θετικές τιμές για κάθε Δ και οι οποίες είναι γνησίως αύξουσες στο Δ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. f g 7. Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f: Δ. Αν,,. 00Δ με. 00 ισχύει: f( )+ f( ). f ( 00), να δείξετε ότι: f( ) 0,0 8. Εστω η συναρτηση f : (0, ) R με f(0) 0, η οποια είναι γνησίως αύξουσα και η συναρτηση f() g(), 0. ln( ) Να αποδείξετε ότι g() 0 για κάθε χ > Αν Ζ. Συναρτηση - f(f()), R.Να αποδειξετε ότι ι) f()= ii) αν g()= f()+, η g δεν είναι Δίνεται η συνάρτηση f() = e - +χ +. ί) Να αποδείξετε ότι η f είναι -. Ιι) Να λύσετε την εξίσωση f() = 4. Ιιι) Να λύσετε την ανίσωση e - + χ - > 0 4. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει - συνάρτηση f: R >R με την ιδιότητα f () < f()f(a - ), για κάθε R, όπου α σταθερός μη μηδενικός πραγματικός αριθμός.
6 4. Δίνονται οι συναρτήσεις f: Α R και g : f(a) R. Αν η συνάρτηση g ο f είναι -, να αποδείξετε ότι: ΐ) η f είναι - ii) η g είναι - 4. Αν η f, g είναι - να δειξετε ότι η g f είναι -. Η. Αντιστροφη Συναρτηση 44. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R, για τηνοποίαισχύει (fof) () - f () =, για κάθε R. Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη της f. 45. Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις της μορφής f () = α + β, α 0, σε καθεμιά από τις περιπτώσεις: α) f = f - β) f = - f - γ) f = f - + c (c 0, σταθερά) 46. Δίνεται η συνάρτηση f () =. α) Νααποδείξετε ότι η f είναι -. β) Να βρείτε την f Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης f() = Δινεται η συναρτηση f() = ln - e I) Να αποδειχθει ότι αντιστρεφεται ιι) Να λυθει η εξισωση f () 49. Βρειτε αν υπαρχουν τις αντιστροφες των επομενων συναρτησεων ι) f() ιι) f() 4 ιιι) f() ιv), f() 5, v), [0,] f(), [,] 50. Δινεται η συναρτηση f :R + R τετοια ώστε f(χ+ψ)=f()+f(ψ). Αν η f είναι αντιστρεψιμη να δειξτε ότι f (α).f (β) f (α β) 5. Μια συνάρτηση f: IR IR έχει την ιδιότητα (f ο f)() + f 00 () = χ 00, για κάθε χ R. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. 5. Δίνεται η συνάρτηση f() = - χ- ln. i) Να αποδείξετε ότι η f είναι, γνησίως φθίνουσα. ii) Να,λύσετε την εξίσωση, f() = f() iii) Να λύσετε την ανίσωση χ + l ηχ >. 5. Δίνεται η συνάρτηση f() = e + χ + χ +. i) Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται, ii) Να λύσετε την εξισωση e + ( - ) + - χ = e + + (χ + ) +
7 54. Αν η συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα f (f()) = + f() για κάθε R, να αποδειχθεί ότι: i) η f είναι αντιστρέψιμη ii) f(0) = 0 iii) f () f() f(r) 55. Αν η συναρτηση f : R R είναι γνησιως μονοτονη και η γραφικη της παρασταση διερχεται από τα σημεια Α(,) και Β(5,9) ι) Να λυθει η εξισωση f( f ( )) 9 ιι) Να λυθει η ανισωση f(f ( 8) ) 56. Δινεται η συναρτηση f ( ) ι) Να δειξετε ότι η f αντιστρεφεται ιι) Να λυθει η εξισωση f ( ) f ( ) ιιι) Να λυθει η ανισωση f ( ) 57. Οι συναρτήσεις f, g : R R έχουν την ιδιότητα (g ο f)() = + f() + για κάθε χ R. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. 58.Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο Α. α) Δείξτε ότι ορίζεται η f και ότι είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. β) Δείξτε ότι το ρ είναι ρίζα της εξίσωσης f () = f() αν και μόνο αν είναι ρίζα της εξίσωσης f()=. Δώστε γεωμετρική ερμηνεία αυτής της πρότασης. γ) Λύστε την εξίσωση g () = g(), όπου g() = ln Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R, για την οποία ισχύει (fof) () - f () =, για κάθε R. Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη της f. 60. α) Δίνεται η συνάρτηση f γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της Α. Αποδείξτε ότι η εξίσωση f() = 0 έχει το πολύ μία ρίζα στο Α. β) Να δοθεί γεωμετρική ερμηνεία στο παραπάνω συμπέρασμα. γ) Να λύσετε τις εξισώσεις : i) e, ii) Αν f : με f(0)= και f(+y) e f(y) για κάθε,y, να δειχθεί ότι f()=e για κάθε 6. Έστω η συνάρτηση f: (,+ ), για την οποία ισχύει f () + = f() + e για κάθε χ. i) Να βρείτε τον τύπο της f και να αποδείξετε ότι είναι «-». ii) Να βρείτε τον τύπο της f -.
8 6. Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο τέτοια ώστε να ισχύουν: ln[f()] + e = 0, και f() 0 για κάθε. i. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται. Ιι)Βρείτε την f -. iii) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f - με την ευθεία ψ =. 4
x 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι)
Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = v) f() 4 6 6 5 log 4 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) vi) f() = 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.
1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R
ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) () = 6 + 6 iv) () = log ( log4(- )) v) () = ii) () = iii) () = log ( + ) 5 log 4 vii) () = 5 + 4 viii) ()
<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>
Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1o Γ Λυκείου) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (o Γ Λυκείου).Να βρεθούν οι τιμές των α, β R ώστε: Α) τα σημεία (, ),(, ) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης α +β. Β)τα σημεία ( 0, ),( e, ) να ανήκουν στην γραφική παράσταση
qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj
qwφιrtyuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψrβνtyuςiopasdρfghjklzcvbn mqwrtyuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ qπςπζαwωτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnαmqwrtyuiopasdfghjklz
ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων µε τύπο: i) ii) iii) iv) v) 2. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να βρείτε µια περίοδο της. 3. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να αποδείξετε
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Συναρτήσεις - Όρια - Συνέχεια (Νο 1) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 1. Να υπολογίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης : ln
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Συναρτήσεις - Όρια - Συνέχεια (Νο ) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και
Α ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις, όταν: () με R και (). Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Το πεδίο ορισμού της είναι A R. Επομένως A A R Α Θα εξετάσουμε αν για κάθε R ισχύει.
ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0.
ΘΕΜΑ 5 ο Έστω συνάρτηση f :[0, + ) παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, + ) για την οποία ισχύει : 2 -f(t) 2f()+f ()= 2 e dt και f(0) = 0. i) Να δείξετε ότι + f() 0 για κάθε є [0, + ). ii) Να δείξετε ότι η f
47 Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση gof, αν α) f και g, β) f ηµ και π γ) f ( ) και g εφ 4 g 48 ίνονται οι συναρτήσεις f + και g Να προσδιορίσετε τις συνα
ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 43 Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f g Στις περιπτώσεις που είναι f g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του στο οποίο ισχύει f g α) β) γ) f και f +
Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΥΤΗΣ. x 0 για κάθε xεr και για την συνάρτηση g ισχύει i. Να βρείτε
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΥΤΗΣ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : IR IR τέτοια ώστε f ( ) 1 για κάθε IR (1) και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο i Να βρείτε τα κ και λ
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-09 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το
1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) f() = 6 + 6 iv) f() = log ( log4(- )) v) f() = ii) f() = iii) f() = log ( + ) 5 log 4 vii)
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 3. Μια μπάλα πέφτει από την κορυφή ενός πυργου. Το ύψος στο οποίο βρίσκετε μετά από t sec δίνεται από τη συνάρτηση f () x 75 3
ΦΥΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να βρεθούν τα Πεδία Ορισμων συναρτήσεων: i) f () 4 f () i f () 4 f () 6 5 v) f () 9 vi) f () v f () log() vi f () 4, i) f () 8, Να βρεθούν επίσης οι τιμές : n f ( 4),( f ),( f0),(),(0),(
αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]
- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ) 1 Να βρεθεί η σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g γα τις οποίες ισχύει: f()+1=g()+e (Η C f κάτω
( ) 0, x 0. x 1, x Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση f( x ) = x. 3. Να προσδιορίσετε το α R, ώστε η συνάρτηση f μεf(x)= π
Α. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ I. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΤΟ χ. Να μελετηθούν ως προς την συνέχεια στο χ= οι συναρτήσεις: i) f()= ( ),, = ii)f()= -συνχ ημχ +, ημχ, = iii) f()= χ-- χ+, χ -, = iv) f()= ηµ 9χ ηµ 5 χ, χ 4, =
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος 6-7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : α) Να δείξετε ότι f()=+e -, f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ β) Να βρείτε το όριο ( y f(y)) γ) Να δείξετε
Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση
4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για
Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες. i) f(x) = 1 x. ii) f(x) = 2ln(x 2) 1 = (, 1] 1 x
. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 56 57 A µάδας. Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες και ποιες γνησίως φθίνουσες. i) () = ii) () = ln( ) iii) () = e + iv) () = ( ), i)
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)
( x) ( ) ( ) ( ) ( ) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. f x+ h f x. 5x 3 2. x x 2x. 3 x 2. x 2x. f x = log x. f x = ln x 4. log 9. 2x 7x 15. x x.
Κεφάλαιο - Συναρτήσεις I Πεδίο ορισµού συνάρτησης Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ίνονται οι συναρτήσεις: f( ) = +, (ii) f( ) = Να βρεθούν τα f( 0 ), f( ), f( ), f( α ), f( α+ β), f( α 5) ( ) ( ) f + h f, h Να
ΣΥΝΘΕΤΗ & ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣH
ΣΥΝΘΕΤΗ & ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣH Οδηγίες Τι να προσέχουμε 1. Προσέχουμε πάντα τα χ για τα οποία ορίζεται μία συνάρτηση ή μία συναρτησιακή σχέση. Αν δεν μας δίνονται πρέπει να τα βρίσκουμε. Είναι το Πεδίο
1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) =
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) () = 4 6 6 ii) () = iii) () = log ( ) iv) () = log ( log4(- )) v) vii) () 5 4 viii) () 5 log
1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο
ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα ο Σε κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις αφού πρώτα σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λανθασμένη), στη συνέχεια να δώσετε μια σύντομη τεκμηρίωση της όποιας απάντησή σας Αν για
II. Συναρτήσεις. math-gr
II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική
ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x
ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ln 4 i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να δείξετε ότι η παραπάνω συνάρτηση γράφεται: ln iii Να λύσετε την εξίσωση ln 5 ln 3 4 a a1 4,, a i Να βρείτε τον αριθμό
α) ( ) β) ( ) γ) ( ) δ) ( ) ( ) β) ( ) ( ) δ) ( ) ( ) ( )
Συναρτήςεισ Όριο Συνέχεια Πεδίο οριςμού ςυνάρτηςησ 1) Να βρείτε τα πεδία οριςμού των ςυναρτήςεων α) β) γ) δ) 2) Να βρείτε τα πεδία οριςμού των ςυναρτήςεων α) β) γ) δ) 3) Να βρείτε τα πεδία οριςμού των
f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x)
. Έστω η συνάρτηση = + e. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.. Να λύσετε την εξίσωση e = 3. Θεωρούμε τη γνησίως μονότονη συνάρτηση g : R R η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση g() + e g() = +.
Συναρτήσεις. Ισότητα - Πράξεις Συναρτήσεων Σύνθεση συναρτήσεων Αντίστροφη συνάρτηση. Φιλεκπαιδευτική Εταιρεία Αρσάκεια - Τοσίτσεια Σχολεία
Φιλεκπαιδευτική Εταιρεία Αρσάκεια - Τοσίτσεια Σχολεία Maθηματικά Γ Λυκείου Συναρτήσεις Ισότητα - Πράξεις Συναρτήσεων Σύνθεση συναρτήσεων Αντίστροφη συνάρτηση.. Α.Αλβέρτος, Δ.Βαμπούλης, Χ.Βραχνός, Φ.Γκάγκαρη,
ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση w w + i 0 () και το πολυώνυμο 3 P ( ) + a + β -,, R α) Να λύσετε την εξίσωση () β)αν ο αριθμός w που βρήκατε στο ερώτημα α) είναι ρίζα της εξίσωσης
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Άσκηση i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε ότι
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)
9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε
e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε
Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης
6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε
OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω
Φ2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ
Φ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : 2. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Πεδίο ορισμού Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i) ( ) e ii) ( ) iii) iv) v) () vii) () e ln viii) () ) συν () ημ i) 4 4 ( ) ( ) ( ) 5 vi) () i) () 7 4 Να
Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ α φάση
Άλγεβρα Β Λυκείου Επαναληπτικά θέματα ΟΕΦΕ 00-08 α φάση Συναρτήσεις Θεωρούμε τη συνάρτηση Α, 6 wwwaskisopolisgr f κ, με 4,4 και κ η οποία διέρχεται από το σημείο και τμήμα της γραφικής της παράστασης φαίνεται
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, αρκεί να βρούμε τις τιμές του χ για τις οποίες ορίζονται οι πράξεις που αναγράφονται στο τύπο
- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία
- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία
ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες
Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(
40 Ασκήσεις στον ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ( Επεξεργασία του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ)
Άσκηση η 4 Ασκήσεις στον ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ( Επεξεργασία του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ) Έστω f, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα, να δείξετε: Α. (Ανισότητα των Cauchy-Schwarz) Β.( Ανισότητα του Minkowski)
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 9η Κατηγορία: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Θεωρούμε, Δ, όπου Δ διάστημα του πεδίου ορισμού
(2 x) ( x 5) 2(2x 11) 1 x 5
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΝΑΛΥΣΗΣ 1. ίνεται η συνάρτηση ƒ µε τύπο, + 5 6 < + + 7 5 f( ) = < < 5 ( ) ( 5) 006 ( 11) 1 5 Υπολογίστε τα παρακάτω όρια της συνάρτησης, Α) Β) f ( ) f ( ) 1 Γ) f ( ) + και f ( )
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: Παπαδόπουλος Παναγιώτης 1 Θεωρούμε τις συναρτήσεις f, g με f() = 3e + 10 + 1 και g() = 015 + 015 196 α) Να προσδιορίσετε το είδος μονοτονίας των f, g β) Να βρείτε
Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ.
Γ Ε Ν Ι Κ Ο Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ - Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ 6 Γ Τ Α Ξ Η Β. Ρ. Θ Ε Μ Α ο Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f (χ)= για κάθε εσωτερικό σημείο του
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ
Ι. Πραγματικές ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ)
Ι. Πραγματικές ΥΝΑΡΤΗΕΙ πραγματικής μεταβλητής (έως και ΑΝΤΙΤΡΟΦΗ). Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα.. Δίνεται η συνάρτηση = f (). Οι τετμημένες των σημείων τομής της C
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας 2 ωρών στις Συναρτήσεις
ΘΕΜΑ Α Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας ωρών στις Συναρτήσεις 0 9-05 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ).. Αν η συνάρτηση f είναι -, είναι και γνησίως
ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,
Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 +
Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω η συνάρτηση f () = - 3 +. α) Να βρείτε τις τιμές f (), f (0), f (-3), f () β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες γ) Να βρείτε τις τιμές f (t), f (t), f ( + h),,
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. και 1. και. με λ Z,είναι γνησίως αύξουσα στο R. f x και g x. 2 f x y f x f y g x g y.
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (),. α) Να βρείτε την τιμή του λ R 5 β) Να βρείτε τις τιμές f και f γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f διέρχεται
h ln 1 γ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Δ, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο Δ.
ΘΕΜΑ A Α1. α) Να δώσετε τον ορισμό πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο (α, β) και πότε στο [α, β]. Σχεδιάστε μια συνάρτηση που είναι συνεχής στο =1 αλλά όχι παραγωγίσιμη β) Να διατυπώσετε τον ορισμό
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι:. 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
x 1 δίνει υπόλοιπο 24
ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 3. Δίνεται το πολυώνυμο P() 6 α β το οποίο έχει παράγοντα το και όταν διαιρείται με το δίνει υπόλοιπο i. Να δείξετε ότι: α και β 6 ii. Να λύσετε την εξίσωση
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί Μία συνάρτηση f λέγεται: 1 γνησίως αύξουσα σ' ένα υποσύνολο Β του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε 1, Β με 1 < ισχύει ότι f( 1 ) < f( ) γνησίως φθίνουσα σ' ένα υποσύνολο Β
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον
Α ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ. Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 1
Α ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος 014-15 ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Μανώλης Ψαρράς Σελίδα 1 Α ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να λυθούν γραφικά τα συστήματα: y y6 y 5 1 : 1 : 3 : y 6 0 y 5
ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ενότητα 19 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1). Να βρεθεί η συνάρτηση f όταν: i) A, f ()=3 5 f(0)=1, ii) A=, f ()=συν-ημ f(π)=, Ασκήσεις για λύση - iii) A=, f ()=4e 6 f '(0)=f(0)=1,
f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει
Συναρτήσεις Έστω συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει Να δείξετε ότι (), για κάθε R ( ) +, για κάθε R Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού και σύνολο τιµών το R και τέτοια ώστε ( ) ( ) e +,
Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ
Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: ( = g( = + 4 h( = t( = 5 φ( = ln σ( = ln(ln p( = ln m( = λ R λ - λ - k( = ln 4 s( = ηµ. Να εξετάσετε αν για τις παραπάνω συναρτήσεις
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x
Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι:. 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ (IMF: 4o µεσοπρόθεσµο.) ( WWF:.εξοικονόµηση πόρων.) MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ...
Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..
ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ
ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ? Εύρεση πεδίου ορισμού σε συνθέσεις.. Δίνεται η γν. αύξουσα συνάρτηση :[ -, ] R. Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της g () = ( + ) + ( + ). Β. Να βρεθεί η μονοτονία
2 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις
ο Διαγώνισμα 08-9 Ύλη: Συναρτήσεις Θέμα Α Α. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν μια συνάρτηση : είναι - τότε είναι και γνησίως μονότονη.» α) Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας
ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. 5η κατηγορια: ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
5η κατηγορια: Για να βρούμε τη σύνθεση gof των συναρτήσεων f,g ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Αρχικά βρίσκουμε τα πεδία ορισμού A f,a g των συναρτήσεων f,g. Στη συνέχεια βρίσκουμε το σύνολο A A f / f(
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως
Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις
Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου
ΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης.
3 Μονοτονία συναρτήσεων 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3Α Μονοτονία συνάρτησης Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Γνησίως αύξουσα συνάρτηση Η συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα στο Δ αν για κάθε, Δ, με
Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:
f(x) = 2x+ 3 / Α f Α.
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 ο ΜΑΘΗΜΑ.7. Σύνολο τιμών f(a) της f / A B Ορισμός: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f / Α Β περιλαμβάνει εκείνα τα y Β για τα οποία υπάρχει x Α : «Η εξίσωση y= f ( x) να έχει λύση ως προς x»
ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4)
Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 3 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle ; Γ. Να αποδείξετε ότι ( ) a = a ln a (Μονάδες 5) (Μονάδες
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] = -e f(), α>,για κάθε. α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά. β) Να βρείτε τις
Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1 ο
Πολλά ψέματα λίγες αλήθειες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Οι απαντήσεις βρίσκονται μετά τις εκφωνήσεις Εξετάστε αν είναι αληθείς ή ψευδείς οι παρακάτω προτάσεις και αιτιολογήστε.
2 (1) 1 0 ln( (2)) 3 (2) 3 0. e f και f f. f( g( x)) 3x 4, για κάθε x. συνx 5. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το R, για τις οποίες ισχύει η σχέση: f( g( )) 4, για κάθε. a. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι αντιστρέψιμη. β. Να δείξετε
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 3 α) f 3 1 1 γ) f 9 β) f 3 δ) f log 1 4 α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί 3 3 + (1) Έχουμε: (1) ( 3+), και 1,
Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α
Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός 9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7.. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / / 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 Επιλεγμένες ασκήσεις από βιβλία Σε
lim f ( x ) 0 gof x x για κάθε x., τότε
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, ο Κεφάλαιο-Συναρτήσεις ΓΕΝΙΚΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι «-» στο πεδίο ορισμού της Α (Μονάδες7)
( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α
.5.. Ίσες συναρτήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f = g, Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α Για κάθε x Α ισχύει f ( x) = g( x) Αν για τις συναρτήσεις: f:
ΤΡΥΦΩΝ ΠΑΥΛΟΣ Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Κατεύθυνσης
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Οι µιγαδικοί αριθµοί και w συνδέονται µε την σέση a β w =, όπου γ α,β,γ R Όταν =0 τότε w= και όταν =-i τότε w=- i Να βρείτε τις σταθερές α,β,γ α Αν το άθροισµα και το γινόµενο
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.
Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε
i. Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο Σ Λ iii. Ένα πολυώνυμο P(x) διαιρείται με το x-ρ αν και μόνο αν Ρ(ρ)=0 Σ Λ
1 0 ΓΕΛ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝ.ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ.. ΘΕΜΑ Α Α 1. Να αποδείξετε ότι ημ ω+συν ω=1 Μον 10 Α. Να σημειώσετε το
Εισαγωγή στην ανάλυση
Εισαγωγή στην ανάλυση Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Έστω Α ένα υποσύνολο του και Α. Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση Πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α,
ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΣ
ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΣ 3.1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: f x = { x e 1/ x,αν x 0 x ημx,αν x 0} είναι παραγωγίσιμη στο 0. 3.2. Δίνεται η συνάρτηση f x = { x 2 αx 1,αν x 1 2x 2, αν x 1 } η οποία
ΘΕΜΑ 101 ο. α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του z είναι η ευθεία (ε): x 2y 3 = 0.
ΘΕΜΑ 0 ο t - Αν για κάθε ισχύει z - i e dt z - + 3i - α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του z είναι η ευθεία (ε): y 3 = 0. β. Δίνεται ο μιγαδικός w, με w = z + 004. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Από τα παρακάτω διαγράµµατα, γραφική παράσταση συνάρτησης είναι το
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Από τα παρακάτω διαγράµµατα, γραφική παράσταση συνάρτησης είναι το διάγραµµα Α. B. Γ.. Ε. 7 . * Από τα παρακάτω διαγράµµατα δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης το διάγραµµα
g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.
1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : π α) f() = + ηµ β) g() = + συν( ) 6 π π γ) f() = ηµ( ) δ) g() = συν( ) Να γίνει η µελέτη και η γραφική παράσταση
Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»
Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες συνάρτησης Μονοτονία Συνάρτησης Ορισμοί Α) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα υποσύνολο Β του Πεδίου Ορισμού της όταν : για κάθε, B με < f( ) < f( ). Β) Μια