1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : 2. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : 2. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:"

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Πεδίο ορισμού Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i) ( ) e ii) ( ) iii) iv) v) () vii) () e ln viii) () ) συν () ημ i) 4 4 ( ) ( ) ( ) 5 vi) () i) () 7 4 Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: i) ( ) ii) ( ) iii) 76 iv) ( ) 0 v) ( ) ln( ) ln( 4) ( ) 4 vi) ( ) ln e e Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: i) ( ) ii) ( ) iii) ( ) ln 4 iv) ( ) 4 4 Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης v) ( ) vi) ( ) 5 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων : i) ( ) ii) g( ) 5 5 iii) h ( ) iv) c ( ) 5 v) d( ) vi) k( ) ln( ln ) vii) l( ) viii) m( ) ln( ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων : i) () = ii) () = 6 5 iii) () = iv) () = ( )

2 v) () = vii) () = e e vi) () = viii) () = n ( ) 7 Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων : i) () = ii) () = ne ( ) iii) () = iv) () = v) () = 8 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων : vi) () = n n e e i) ( ) 56 ii) ( ) iii) ( ) 4 iv) ( ) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων : i) ( ) ii) ( ) n(4 0) iii) ( ) iv) ( ) log( ) 0 Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: i) ()= - -5 ii) iv) ()= ln v) vii) ) ( ) ln(4 ) viii) iii) ( ) ln(ln ) ( ) ln ()= e - ()= π συν(+ ) 6 ()= -4λ+5λ-, λ i ) ( ) ln( ) 4 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων : i) ( ) 9 log Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων : i) ( ) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων : vi) ii ) ( ) 5 6 ii) ( ) - ()= ln -4 i) ()= i ) ( ) ii) ( )

3 4 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων : i) ( ) 5 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων : i) ( ) log( ) 6 Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων : ii ) ( ) log 9 ii ii) ( ) i) ( ) ( ) ( ) ) ( ) log log( 5 4) 7 Να βρείτε τo πεδίο ορισμού της συνάρτησης : ( ) 8 Να βρείτε τo πεδίο ορισμού της συνάρτησης : ( ) ( )( 5) 9 Να βρείτε τo πεδίο ορισμού της συνάρτησης : ( ) 0 Να βρείτε τo πεδίο ορισμού της συνάρτησης : ( ) Να βρείτε τo πεδίο ορισμού της συνάρτησης : ( ) 7 4 Να βρείτε τo πεδίο ορισμού της συνάρτησης : ( ) n( ) ( ) 5 Αν Α το ΠΟ της συνάρτησης ( ) g( ) ln(ln( )) A και Αg το ΠΟ της συνάρτησης να βρείτε το διάστημα A g εντός του οποίου ορίζονται και οι δυο συναρτήσεις 4 Να προσδιορίσετε τις τιμές του α R για τις οποίες η συνάρτηση με τύπο : ( ) a a έχει πεδίο ορισμού το R 5 Να προσδιορίσετε τις τιμές του λ R για τις οποίες η συνάρτηση με τύπο : ( ) n( ) έχει πεδίο ορισμού το R e 6 Δίνεται η συνάρτηση ( ) Να βρείτε τις τιμές του, για τις οποίες η 4 4 έχει πεδίο ορισμού το 4 7 Να βρείτε τις τιμές του, για τις οποίες η συνάρτηση ( ) έχει πεδίο ορισμού το 8 Για τις διάφορες τιμές του, να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) 4 4

4 9 Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α για τις οποίες η συνάρτηση ( ) έχει πεδίο ορισμού το 6 0 Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες η συνάρτηση ( ) 4( ) έχει πεδίο ορισμού το διάστημα, Για ποιες τιμές του λ οι συναρτήσεις + i) ()= και ii) g()= ln( +λ+4) λ -+ έχουν πεδίο ορισμού το Tύπος συνάρτησης, λ 5 Δίνεται η σχέση ( ) Να βρείτε τις τιμές του ακεραίου λ, για τις ln( ), οποίες η είναι συνάρτηση Να βρεθεί o λ ώστε η () = 5, λ 4, -λ να είναι συνάρτηση +, αν λ -λ 4 i) Να βρεθεί το λ ώστε η με ()= -, αν +λ-< να είναι συνάρτηση -, αν 4 ii) Να βρεθεί το κ ώστε η με ()= -κ, αν 4 να είναι συνάρτηση, αν 0 5 Μια συνάρτηση : έχει τύπο: () =, αν 0 Να βρείτε την συνάρτηση g( ) ( ) ( ), Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Σ = g( ) g( ) g( 009) Γραφική παράσταση 6 Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης :, 0 ( ), 0, 7 Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : i) ( ) ii) g( ) iii) h( ) 4

5 8 Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :, 0 5, i) ( ) ii) ( ) 5,, 4, 9 Να κάνετε τη γραφική παράσταση των παρακάτω συναρτήσεων: i) ( ) ii) ( ) ln, 0, 0 iv) ( ) v) ( ), 0, 0 και από τη γραφική παράσταση να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών τους iii) e vi) ( ) e 40 Να κάνετε τη γραφική παράσταση των παρακάτω συναρτήσεων:,, 0 i) ( ) ii) ( ),,, 0 e, iii) ( ) iv) ( ), 0 ln, e, 0, 0 v) ( ),0 vi) ( ) ln,0,, και από τη γραφική παράσταση να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών τους 4 Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :, 0 i) () ii) (), 0 4 Να κάνετε τη γραφική παράσταση των παρακάτω συναρτήσεων: i) ( ) ii) g( ) iii) h ( ) iv) και από τη γραφική παράσταση να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών τους ( ) 4 Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων και να βρείτε το σύνολο τιμών τους i) ( ), [ 4,] ii) g ( ) ( ) 5

6 44 Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων : i) ( ) ii) g( ) 45 Έστω η συνάρτηση 4, Να παραστήσετε γραφικά τις παρακάτω συναρτήσεις: i) ii) iii) iv) v) vi) 4 46 Έστω η συνάρτηση, 5 6 Να παραστήσετε γραφικά τις παρακάτω συναρτήσεις: i) ii) iii) iv) v) vi) 4 ln 47 Δίνεται η συνάρτηση () = i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της 6 ii) Να αποδείξετε ότι () = e για κάθε του πεδίου ορισμού της iii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της 6 48 Στο διπλανό σχήμα, δίνεται η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της ii) Να υπολογίσετε το (0) iii) Να λυθεί η ανίσωση () 0 iv) Να λυθεί η εξίσωση () 0 49 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης i) Να λυθούν οι ανισώσεις: α) ( ) β) ( ) ii) Να λυθεί η εξίσωση: ( ) ( ) 50 Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, g Να λυθεί: i) η εξίσωση () g() ii) η ανίσωση () g() 6

7 5 Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, g i) Να λυθούν οι εξισώσεις: ( ) ( ) g( ) g( ) g( ) g( ) α) β) ( ) g( ) ( ) g( ) 4 g( ) ii) Να λυθεί η ανίσωση: g( ) ( ) 4 g( ) ( ) Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης () 4 Να βρείτε τα α, β, γ 5 Στο διπλανό σχήμα δίνεται το γράφημα της συνάρτησης g( ) ( ) 4 Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της, με τον άξονα 54 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης: ( ), 55 Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, g i) Να λύσετε την εξίσωση ( ) g ( ) 6 ( ) g( ) ii) Να λύσετε την ανίσωση ( ) g( ) ( ) 6 g( ) 8 0 7

8 Σημεία τομής με τους άξονες 56 Να προσδιορίσετε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων με τους άξονες για τις συναρτήσεις 56 i) ( ) ii) ()= +9-6 iii) ()= iv) ()= ln 57 Να βρείτε τα σημεία στα οποία οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων τέμνουν τους άξονες i) 4 ii) iii) 58 Να βρείτε εφ όσον υπάρχουν τα σημεία τομής των καμπύλων y=() με τους άξονες σε καθεμία από τις περιπτώσεις : i) ( ) ii) ( ) iii) ( ) 59 Αν οι συναρτήσεις, g είναι τέτοιες ώστε g()= ()-()+ + για κάθε, να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της g τέμνει τον θετικό ημιάξονα Σημεία τομής γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων 60 Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: 6 i) και g ii) g και 6 Να βρείτε τα σημεία τομής των καμπύλων y=() και y=g() εφόσον υπάρχουν, σε καθεμία από τις περιπτώσεις : 6 8 i) ( ), g( ) ii) ( ), g( ) 6 Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων με τύπους ()=α και g()=(-α)+ 4α-, α 4α Σχετική θέση συνάρτησης με τον άξονα χ χ 6 Δίνεται η συνάρτηση () = n( e ) i) Να βρείτε τα κοινά σημεία της C με τον άξονα χ χ ii) Να βρείτε τη σχετική θέση της C με τον άξονα χ χ 64 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει: ( ) ( ) 5 ( ) e e, για κάθε Να αποδείξετε ότι η C βρίσκεται κάτω από τον άξονα 8

9 65 Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες η C βρίσκεται πάνω από τον άξονα των i) ii) ln 5 6 iii) 66 Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης 6 5 (), βρίσκεται κάτω από τον άξονα 0 67 Έστω οι συναρτήσεις ( ) n, g() = - e και h g i) Να βρείτε τα σημεία τομής της Ch με τον άξονα χ'χ ii) Να βρείτε τη σχετική θέση της Ch με τον άξονα χ'χ 68 Έστω οι συναρτήσεις,g : R R για τις οποίες ισχύει (-g) () + 4( g )() 0 για κάθε RΝα δείξετε ότι οι C και Cg είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα ' 69 Έστω η συνάρτηση : R R και η συνάρτηση g( ) Να δείξετε ότι η Cg είναι πάνω από τον άξονα χ'χ ( ) ( ) για κάθε R 70 Έστω η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει : ()- () + () = - + για κάθε R Να δείξετε ότι () > 0 για κάθε R 7 Έστω Α = (, ] [, ) και η συνάρτηση : Α R για την οποία ισχύει () = 4 -l i) Να δείξετε ότι η C δεν τέμνει τον άξονα y'y ii) Να βρείτε τα σημεία τομής της C με τον άξονα ' 7 Έστω οι συναρτήσεις, g για τις οποίες ισχύει g() = ()(-()) + e - για κάθε R Να δείξετε ότι η Cg τέμνει τον ημιάξονα Oy' Σχετική θέση δύο ευθειών 7 Να βρείτε τις τιμές του ώστε η γραφική παράσταση της, να βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της g, αν : 4 i) 5 και g 6 ii) () και g 74 Να βρείτε το διάστημα στο οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g 4, 75 Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης ( ) n( ) n( ) καθώς επίσης και τα Α για τα οποία η καμπύλη y=() βρίσκεται πάνω από την ευθεία y= i) Να βρείτε τα σημεία στα οποία τέμνονται οι καμπύλες y=() και y=g() 76 Δίνονται οι συναρτήσεις : ( ) 4 n n g( ) 5 n n7 9

10 ii) Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η καμπύλη y=() βρίσκεται πάνω από την καμπύλη y=g() 77 Δίνεται η συνάρτηση () = και η ευθεία ε : 6-y-4 = 0 i) Να βρείτε τα κοινά σημεία της C και της ε ii) Να βρείτε τη σχετική θέση της C και ε 78 Nα βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της είναι πάνω από την γραφική παράσταση της g i) ()=, g()= 4 + ii) ()=ln, g()=ln iii) ()=, g()=ln(- ) 79 Να βρείτε τη σχετική θέση των συναρτήσεων και g για τις οποίες ισχύει i) () = g() + -, για κάθε R ii)() = g() + ln l,>0 80 Αν οι συναρτήσεις, g είναι τέτοιες ώστε ()=g()+ -4 για κάθε, να βρεθεί η σχετική θέση των διαγραμμάτων C και Cg 8 Για ποιες τιμές του, η γραφική παράσταση της συνάρτησης από την γραφική παράσταση της g()=e λ-λ, λ(0,4) 8 Δίνονται οι συναρτήσεις, : ()=e δεν είναι κάτω g, για τις οποίες ισχύει: ( ) g( ) e, Να βρείτε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων,g 8 Δίνονται οι συναρτήσεις, : g για τις οποίες ισχύει ( ) g( ), για κάθε Να βρεθεί η σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και g 84 Αν : με ( )+()=0 για κάθε, να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα χ χ σε δύο τουλάχιστον σημεία 85 Δίνονται οι συναρτήσεις () = + ++, g() = + + i) Να βρείτε διαστήματα στα οποία η C είναι «πάνω» από τη Cg ; ii) Να βρείτε τα κοινά σημεία των C και Cg και να αποδείξετε ότι είναι κορυφές τριγώνου με εμβαδόν Ε = τμ 86 Να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης () = λ +(λ-λ )+-λ διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε λ 87 Έστω οι συναρτήσεις ( ) και g, i) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της g περνά από σταθερό σημείο για κάθε ii) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των,g έχουν κοινά σημεία για κάθε iii)να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ για τον οποίο οι γραφικές παραστάσεις των,g εφάπτονται 0

11 88 Δίνεται η συνάρτηση ( ) Υπάρχουν σταθερά σημεία στο επίπεδο έτσι ώστε η C να περνάει από αυτά για κάθε ; Εύρεση παραμέτρων 89 Να βρείτε το λ, ώστε το σημείο που δίνεται κάθε φορά να ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης: i) 6 A, 4 ii), 5 90 Δίνεται η συνάρτηση,, C να διέρχεται από τα σημεία A,5 και,7 B, Να βρεθούν τα, ώστε η 9 Έστω οι συναρτήσεις () = α - β + και g() = - α - β Αν η κατακόρυφη απόσταση των C, Cg στα σημεία τους με τετμημένη είναι και οι C, Cg τέμνονται πάνω στην ευθεία ε: + = 0, τότε να βρείτε τα α, β 9 Έστω ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( ) n( ) τέμνει τον άξονα χ χ στο σημείο e - και τον άξονα y y στο i) Να βρείτε τα κ, λ ii) Να βρείτε το σημείο της C που έχει τεταγμένη 9 Δίνεται η συνάρτηση ( ), α,β τα σημεία, A και B,, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από i) Να αποδείξετε ότι και ii) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της με τον άξονα iii) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της βρίσκεται πάνω από τον άξονα iv) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της με την ευθεία y = 94 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) 4 και g(),,, των οποίων οι γραφικές παραστάσεις τέμνονται επί των ευθειών και i) Να αποδείξετε ότι και ii) Να βρείτε τις τιμές του, για τις οποίες η γραφική παράσταση της βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της g iii) Να λύσετε την εξίσωση g 4 iv) Να βρείτε τα σημεία στα οποία οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g τέμνουν τους άξονες 95 Δίνονται οι συναρτήσεις () και g(),, οποίων οι γραφικές παραστάσεις τέμνονται επί των ευθειών και i) Να αποδείξετε ότι α= και β=, των

12 ii) Να βρείτε τις τιμές του, για τις οποίες η C βρίσκεται πάνω από τη C g Προβλήματα σχηματισμού συνάρτησης 96 Θεωρούμε την ευθεία με εξίσωση (ε): y = + η οποία τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α Σε τυχαίο σημείο Β του θετικού ημιάξονα φέρνουμε κάθετη προς τον χ χ η οποία τέμνει την (ε) στο Μ i) Να εκφράσετε το εμβαδόν του σχήματος ΑΟΒΜ συναρτήσει της τετμημένης του Β ii) Ένα σημείο Ν(,y) κινείται πάνω στη (ε) Να εκφράσετε την απόσταση του σημείου Ν από το σημείο Γ(,) συναρτήσει της τετμημένης του Ν 97 Ένα ορθογώνιο έχει πλευρές με μήκη και μέτρα Να εκφράσετε την περίμετρο του ορθογωνίου σαν συνάρτηση του 98 Η περίμετρος ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι 00 cm Αν η μία πλευρά του είναι τότε να εκφράσετε ως συνάρτηση του i) την άλλη πλευρά του ορθογωνίου ii) το εμβαδό του ορθογωνίου 99 Να εκφράσετε το εμβαδόν του κύκλου του σχήματος ως συνάρτηση του = ΑΒ 00 Το εισιτήριο του τρένου που συνδέει δύο πόλεις κοστίζει 0 για παιδιά μικρότερα των ετών, 0 για παιδιά από τριών ετών και άνω αλλά μικρότερα των ετών και 00 για κάθε άτομο από ετών και άνω i) Να εκφράσετε την τιμή του εισιτηρίου ως συνάρτηση της ηλικίας ii) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση 0 Σε έτη από τώρα, ο πληθυσμός μιας κοινότητας θα είναι () = 0 - Να βρείτε: i) πόσος θα είναι ο πληθυσμός σε 7 χρόνια από τώρα ii) πόσο θα αυξηθεί ο πληθυσμός κατά τη διάρκεια του 7ου χρόνου iii) τι θα συμβεί, αν το αυξάνεται απεριόριστα ; 6 χιλιάδες 0 Σε τρεις ασθενείς έχει δοθεί αντιπυρετικό φάρμακο και οι θερμοκρασίες τους σε βαθμούς C, ως συναρτήσεις του χρόνου σε ώρες, δίνονται από τους παρακάτω τύπους, οι οποίοι ισχύουν μέχρι την αποκατάσταση της φυσιολογικής θερμοκρασίας: () = 40 - () = 9 - () = 8 - Σε τέταρτο ασθενή έχει δοθεί διαφορετικό αντιπυρετικό, και η συνάρτηση της θερμοκρασίας του ως προς το χρόνο είναι η: 4 () = - () + i) Να βρείτε τη χρονική στιγμή, κατά την οποία οι θερμοκρασίες των τριών πρώτων ασθενών συμπίπτουν ii) Ποιο αντιπυρετικό είναι πιο αποτελεσματικό έως τη δεδομένη αυτή στιγμή;

13 0 Η ΔΕΗ διαθέτει ένα σταθμό παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας στο σημείο Η στην όχθη ενός ποταμού πλάτους 40m Km K A B 40m ποταμός H Η εγκατάσταση ενός καινούργιου καλωδίου σύνδεσης του σταθμού με την πόλη Α, η οποία απέχει km κατά μήκος του ποταμού και βρίσκεται στην αντίπερα όχθη, στοιχίζει 700 το μέτρο μέσω του ποταμού και 60 το μέτρο δια ξηράς Υποθέτουμε ότι το καλώδιο εκτείνεται από το σταθμό Η μέχρι του σημείου Β στην αντίπερα όχθη, το οποίο απέχει μέτρα από το σημείο Κ Να γραφεί ο τύπος της συνάρτησης που δίνει το κόστος εγκατάστασης του καλωδίου συναρτήσει του 04 Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με μεγάλη βάση ΒΓ και ΑΒ=ΓΔ=ΑΔ Να εκφράσετε το εμβαδόν του τραπεζίου, συναρτήσει της γωνίας 05 Δύο υλικά σημεία Α και Β ξεκινούν ταυτόχρονα να κινούνται από το σημείο O και επί των πλευρών Ο, Οy, γωνίας Oy 60 o, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα Αν τα σημεία Α, Β κινούνται με ταχύτητες u m/ sec και u 4 m/ sec αντίστοιχα, A B να βρεθεί η μεταξύ τους απόσταση τη χρονική στιγμή t (sec) 06 Από μία κορδέλα μήκους m κόβουμε ένα κομμάτι μήκους m και κατασκευάζουμε έναν κύκλο, ενώ με την υπόλοιπη κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο Να εκφράσετε το άθροισμα Ε των εμβαδών των δύο σχημάτων συναρτήσει του 07 Ένα ζευγάρι για τη γαμήλια δεξίωσή του θέλει να νοικιάσει μία αίθουσα εκδηλώσεων, της οποίας η χωρητικότητα δεν πρέπει να ξεπερνά τα 500 άτομα Για την ενοικίαση της αίθουσας απαιτούνται τουλάχιστον 00 άτομα, με αντίτιμο 00 ευρώ το άτομο Αν για κάθε επιπλέον άτομο το αντίτιμο ανά άτομο μειώνεται κατά 0,4 ευρώ, να εκφραστεί το χρηματικό ποσό που θα δαπανήσει το ζευγάρι, σε σχέση με τον αριθμό των παρευρισκόμενων στη δεξίωση 08 Μία βιομηχανία παράγει μονάδες ενός προϊόντος Το κόστος κατασκευής της μίας μονάδας του προϊόντος, δίνεται από τον τύπο Κ()= ευρώ Αν η τιμή πώλησης του προϊόντος είναι 0% μεγαλύτερη από το κόστος κατασκευής του, να βρείτε τη συνάρτηση που περιγράφει τα έσοδα της βιομηχανίας από την πώληση των μονάδων του προϊόντος 09 Σε κύκλο ακτίνας R εγγράφουμε ορθογώνιο του οποίου οι διαγώνιες σχηματίζουν γωνία 0 ο Να εκφράσετε το εμβαδόν του ορθογωνίου συναρτήσει της ακτίνας R του κύκλου

14 0 Μία σκάλα μήκους m είναι τοποθετημένη κατακόρυφα σε έναν τοίχο Το κάτω μέρος της σκάλας αρχίζει να γλιστράει με ταχύτητα 0,m/s Να βρείτε την ταχύτητα με την οποία πέφτει η κορυφή Β της σκάλας συναρτήσει του χρόνου t (sec) Ισότητα συναρτήσεων Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι ίσες Αν όχι, να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο στο οποίο μπορεί να είναι ίσες i) ( ), g( ) ii) g ( ) ln( ) ln( ), ( ) ln( 4) Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι ίσες Αν όχι, να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο στο οποίο μπορεί να είναι ίσες i) ( ) και g( ) ii) ( ) και g( ) iii) v) ( ) και g( ) iv) ( ) και g()= ( ) και g( ) Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι = gστις περιπτώσεις που είναι g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ισχύει () = g() i) () = ln( -9) και g() = ln(-)+ln(+) ii) () = iii) ( ) iv) () = και g() = και 9 g( ) και g() = - 4 Να εξετάσετε αν τα παρακάτω είναι ζεύγη ίσων συναρτήσεων Σε αντίθετη περίπτωση να βρεθεί το ευρύτερο υποσύνολο του στο οποίο οι συναρτήσεις αυτές είναι ίσες: i) ()= και g()= ii) ()=ln( - ) και g()= - ln( +) 4

15 5 Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι = gστις περιπτώσεις που είναι g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ισχύει () = g() i) e e e ( ) και g ( ) e ii) ( ) και g iii) ( ) 4 και g( ) iv) ( ) και g( ) vi) ( ) n vii) ( ) και και g( ) n n( ) g ( ) 6 Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία είναι ίσες οι παρακάτω συναρτήσεις i) ( ) ln( ) ln( ) και g( ) ln(4 ) ii) ( ) ln( ) ln( ) και g( ) ln iii) ( ) ln( ) και g() ln( ) 7 Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία είναι ίσες οι συναρτήσεις ( ) και g( ) 8 Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία είναι ίσες οι συναρτήσεις ( ) και g( ) 4 9 Να εξετάσετε αν τα παρακάτω ζεύγη συναρτήσεων είναι ίσα Αν όχι, να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο στο οποίο μπορεί να είναι ίσες 4 i) ( ), g( ) ii) g ( ) ln( ) ln( ) και ( ) ln( ) 0 Αν ( ) g( ),να βρεθεί για ποια οι συναρτήσεις,g είναι ίσες α α, g () =, α R, > 0 - ( - ) i) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των, g ii) Για ποια τιμή του α ισχύει = g; Δίνονται οι συναρτήσεις () = Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις και g με είναι ίσες ( ) 4 ( ), g ( ) 5

16 Αν ( ) g( ) a a a a =g,να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α έτσι ώστε 4 Να προσδιορίσετε το λ ώστε οι συναρτήσεις, g να είναι ίσες: λ+λ+ +4λ- i) ()= και g()= -λ-4 +λ ii) (-λ) +λ (λ -) + ()= και g()= +-λ +λ και g() Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ για τον οποίο οι συναρτήσεις,g είναι ίσες 5 Δίνονται οι συναρτήσεις 6 Να βρείτε τα, g ( ), ώστε οι συναρτήσεις ( ) να είναι ίσες ( ) και 7 Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α,β ώστε οι συναρτήσεις,g με 4 a ( ), g( ) να είναι ίσες 8 Έστω οι συναρτήσεις, g με πεδίο ορισμού ένα σύνολο A για τις οποίες ισχύει: ( ) ( ) g( ) 4 g( ) ( ) g( ) 4 8 για κάθε A Να αποδειχθεί ότι: g 9 Αν οι συναρτήσεις και g έχουν πεδίο ορισμού το και ισχύει: 4 ( g)()[( g)() ] [( g)()] [( g)()] να αποδειχθεί ότι g 0 Αν, g : και ισχύει ( () + g ()) = ( () + g ()), δείξτε ότι: = g Εάν () = α βγ, g() = β αγ, h() = γ αβ και () +g() +h() = 0, δείξτε ότι =g =h Aν για τις συναρτήσεις : και g : ισχύει: i) ()+(-y)+g()-g(y)=(+) 6y για κάθε, y και ii) g(0) = 0, να δείξετε ότι είναι ίσες Δίνονται οι συναρτήσεις : 4 και ( ) ( ) (4 ), Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση φ δεν μπορεί να είναι η μηδενική συνάρτηση Πράξεις συναρτήσεων 4 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) 9 και g ( ) Να βρείτε τις συναρτήσεις : 6 g g, g 6

17 5 Δίνονται οι συναρτήσεις () και g() 6 g + g,- g, g,, g 6 Δίνονται οι συναρτήσεις g,, g g ( ) 7 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) Να ορίσετε τις συναρτήσεις και g ( ) Να βρεθούν οι συναρτήσεις και g ( ) 4 Να βρείτε τις συναρτήσεις g, g και g 8 Δίνονται οι συναρτήσεις και g με : ( ) g( ) Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις g, g, g, g 9 Δίνονται οι συναρτήσεις, g,h με : ( ), g( ), h( ) Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις g, g h, h 40 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ), g( ) 4 ( )( ) Να οριστούν οι συναρτήσεις i) g ii) g iii) iv) v) g g 4 4 Αν ( ) και g ( ) να βρείτε τις συναρτήσεις : i) +g ii) g iii) 4 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) i) -g ii) g iii) 4 Έστω οι συναρτήσεις ln 6 iv) g και g( ) e Να βρείτε τις συναρτήσεις : e g και g ln i) Να βρείτε τις συναρτήσεις g, g ii) Να λύσετε την ανίσωση g g g iii) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h ( ) 44 Έστω +, 4 -, 5 ()= και g()= 5, 4< 7 +, 5< 6 Να ορισθεί η +g, [, 4], [0,] 45 Έστω ( ) g( ), (4,6], (,7] Να οριστούν οι συναρτήσεις : i) g ii) g 7

18 , [,] 46 Θεωρούμε τις συναρτήσεις και g με : ( ), (,) (, ), [,4] g ( ) Να ορισθεί η +g, (,) (4, ) και, 5 47 Θεωρούμε τις συναρτήσεις και g με : ( ), ή 5 -,αν 7 g ( ) Να ορισθεί η +g ,αν < ή >7 και, 4 48 Θεωρούμε τις συναρτήσεις και g με : ( ), 4 6, 0 g ( ) Να οριστούν οι συναρτήσεις: 6, 7 i) +g ii) g και, 4, Δίνονται οι συναρτήσεις: ( ) και g ( ), 4 6, 5 0 Να βρεθεί η συνάρτηση g 50 Δίνονται οι συναρτήσεις: ( ) Να βρείτε τη συνάρτηση g, 0 4 5, 4 8 και g( ) 4, 5, 5 Αν ( ) τότε να αποδείξετε ότι ( a) ( ), ό a, R - 5 Δίνεται η συνάρτηση () = log i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii) Να αποδείξετε ότι () + () = για κάθε, του πεδίου ορισμού της 5 Έστω οι συναρτήσεις,g : A R για τις οποίες ισχύει () + g () ( g για κάθε A Να δείξετε ότι οι και g είναι μηδενικές συναρτήσεις 54 Δίνονται τρεις συναρτήσεις,g,h ορισμένες σε ένα σύνολο Α για τις οποίες ισχύει: g h, gh h g για κάθε AΝα αποδείξετε ότι και g h, A )() 8

19 Σύνθεση συναρτήσεων 55 Να βρεθεί η σύνθεση og, go των συναρτήσεων : - i) ( ), g( ) ii) ()=, g()= - - iii) e ()=, g()=ln(-) e - iv) ()= -- v) ()=- με [-,], g()=5- με [,7], g()=ημ- 56 Να βρεθεί η σύνθεση og, go των συναρτήσεων : i)()=+ [-,5], g()=+ [0,0] ii) ( ), g( ) iii) ( ) R,, iv) ( ),, v) ( ) [,+ ), g()= 4- [, ] g()= g()= 5- [-5,5] 57 Αν ( ) να υπολογισθεί η o 58 Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις g g εφ όσον ορίζονται σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις : i) ( ), g( ) n( ) ii) ( ) 4, g( ) 59 Δίνονται οι συναρτήσεις και g με ( ), g( ) 4 Να προσδιορίσετε τις 5 συναρτήσεις g, g,, g g 60 Έστω οι συναρτήσεις () = και g() = ( ) i) g ο ii) ο g 6 Δίνεται η () = και g() = + -6 Να βρεθεί η οg n Να βρείτε τις συναρτήσεις : 6 Δίνεται η () = και g() = ημ- Να βρεθεί η οg 6 Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση go όταν: i) () = και g() = ii) ( ) και g()=- 64 Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση g o αν i) () = και g() = n 9

20 ii) () = συν και g() = iii) () = και g() = εφ 4 65 Δίνονται οι συναρτήσεις και g με τύπους: () = -, και [-,] και g() = 5-, και [,7] Να οριστούν οι συναρτήσεις: οg και go 66 Δίνονται οι συναρτήσεις () = + και g() = 4 i) og ii) g o iii) g ο g Να βρείτε τις συναρτήσεις : 67 Δίνονται οι συναρτήσεις () = και g() = Να βρείτε τις συναρτήσεις: i) g ο ii) o g iii) ο 68 Δίνονται οι συναρτήσεις ()= + και i) g ii) g iii) g g g ( ) 4 Να βρείτε τις συναρτήσεις : 69 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) g( ) Να βρείτε τις συναρτήσεις: i) g ii) g iii) 70 Δίνονται οι συναρτήσεις και g με ()=συν και ορίζεται η g g( ) Να εξετασθεί αν 7 Δίνονται οι συναρτήσεις: () 5, g() 9, h() 4 Να οριστούν οι συναρτήσεις: i) g ii) g iii) iv) h g v) g h 6 4 και g ( ) Να βρείτε τις συναρτήσεις g και g και g, να βρείτε τις og, go 7 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) 7 Αν 74 Δίνονται οι συναρτήσεις g, g,, g g ( ) 5 και g ( ) Να βρείτε τις συναρτήσεις 75 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) και g( ) 6 Να βρείτε τις συναρτήσεις gκαι g 76 Θεωρούμε τις συναρτήσεις και g με ()= και Να βρεθεί η σύνθεση g, (,] g ( ), [, ) 0

21 77 Να βρεθεί η όταν, < () -, 4 <6, [0,) 78 Δίνονται οι συναρτήσεις με τύπους : ( ) 4, [,), [,4) g ( ) Να οριστεί η g, [4, ) και, (,] 79 Δίνονται οι συναρτήσεις με τύπους : ( ) 5, ( ) 7, (, ) g ( ) Να οριστεί η g, (,] και 80, (0,) Δίνονται οι συναρτήσεις με τύπους : ( ), [,7) και, [,) g ( ) Να ορίσετε τις συναρτήσεις 4, [, ) g και g, [0,) 8 Δίνονται οι συναρτήσεις με τύπους : ( ) 4, [,) και, [,4) g ( ) Να ορίσετε τις συναρτήσεις, 4 g και g, 0 8 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) και g ( ) Να βρείτε την, 0 συνάρτηση g,, Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) και g ( ),, 0 4 Να βρείτε τη συνάρτηση g 84 Έστω og, και, 0 g, 0 4 Να βρείτε τη συνάρτηση, Δίνεται η συνάρτηση () = ln( ) i) Να βρεθεί το ΠΟ της ii) Αν g() = -, τότε οι συναρτήσεις og και είναι ίσες

22 86 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ), g( ) και h()= Να αποδείξετε ότι: i) h g h g ( ), για κάθε 0 και ii) o για κάθε 87 Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι o για κάθε 88 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 4 4, 0 Να αποδείξετε ότι για κάθε 0, 4 ισχύει ( ) 89 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ), g() και h()= Να αποδείξετε ότι g h( ), για κάθε 90 Δίνονται οι συναρτήσεις και g με τύπους: () = ln(+)και g() = 4 Να οριστούν οι συναρτήσεις: + g, g, οg 9 Να εκφράσετε τις παρακάτω συναρτήσεις ως σύνθεση δύο ή περισσοτέρων συναρτήσεων: i) e ii) iii) iv) 5 v) () 5 e e 4 vi) ln 5 9 Να εκφράσετε ως σύνθεση δύο ή τριών συναρτήσεων τη συνάρτηση όταν : i) () = ημ ii) () = iii) () = ημ[ n ( ) ] iv) () = v) () =, 0 vi) e e g( ) 5 ( ) g( ) e g ( ), όπου g : RR 9 Να εκφράσετε τις παρακάτω συναρτήσεις ως σύνθεση δύο η περισσοτέρων συναρτήσεων : i ) ( ), ii) g( ) n iii h ) ( ) iv) k( ) 94 Να γράψετε τη συνάρτηση, 0 ως σύνθεση δύο άλλων συναρτήσεων ( ) 95 Αν υπάρχει συνάρτηση : RR για την οποία ισχύει e ( ) e 0, για κάθε R,να βρείτε συναρτήσεις g,h τέτοιες ώστε να ισχύει g = h 96 Αν ()=ln, g()= να βρείτε την συνάρτηση φ για την οποία για την οποία : i) g ii) g iii) g

23 Γραφικά 97 Ποια καμπύλη είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης g () = ( ( ())),αν () = - ; 98 Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης φαίνεται στο διπλανό σχήμα i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της ii) Να υπολογίσετε την παράσταση K = (5) + (6)-(0) iii)να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση () = λ - να έχει λύση iv) Να λύσετε τις εξισώσεις () = 0, () = 4 και ( -)=- ν) Να βρείτε τα διαστήματα του που η C είναι : α) πάνω από τον άξονα χ'χ β) κάτω από την ευθεία y = vi) Να λύσετε τις ανισώσεις : α) () 0 β) (-l) > 99 Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g Να υπολογίσετε τα g (), g (), (), g g (5) 00 Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, g φαίνονται στο διπλανό σχήμα i) Να βρείτε τις ( + g)(), (o)(0), (go)(5) ii) Να λύσετε την εξίσωση () = g iii) Να βρείτε τα διαστήματα του που η C είναι πάνω από τη Cg iv) Να λύσετε την ανίσωση ( - g) () < 0 0 Δίνονται οι συναρτήσεις και g με τύπους: () = 4 και g() Να βρείτε το πεδίο ορισμού, τον τύπο και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης h = og Αποσύνθεση συναρτήσεων 0 Να βρείτε τη συνάρτηση για την οποία ισχύει: i) ( g)( ) και g( ) ii) g 5 και g 4 iii) ( g)( ) e και g( ) e

24 iv) g 5 και g, 0 v) ( g)( ) ln και g( ) ln, 0 vi) g και g, 4 vii) g g και 0 Να βρείτε συνάρτηση g για την οποία ισχύει: i) g 4 6 και 4 ii) g e και iii) g και iv) g και e ln, 04 Δίνονται οι συναρτήσεις g : R R : g()=- και (og) :RR : (og)() = -+Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης : R R 05 Να βρείτε συνάρτηση τέτοια ώστε να ισχύει: i) ( og)() = 4-4 +, για κάθε R και g() = - ii) ( og)() = iii) (og)() =,για κάθε - και g() = -,για κάθε >0 και g() = n 06 Να βρείτε συνάρτηση τέτοια ώστε να ισχύει : i) (go)() = 9 -ημ +, για κάθε R και g() = -l ii) (go)() = -, και g() = 07 Έστω η συνάρτηση () = και η συνάρτηση g : R-{}R,με g() 0, για την οποία ισχύει (g()) = για κάθε Να βρείτε τη συνάρτηση g 08 Να βρείτε συνάρτηση τέτοια ώστε να ισχύει : i) (go)() = ημ, αν g() = ii) (go)() = εφ, αν g() = 4 Πόσο είναι το πλήθος των συναρτήσεων ; 09 Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση σε καθεμία από τις περιπτώσεις : i)( g)( ), g( ) ii)( g )( ) 5, g( ) 0 Αν για τη συνάρτηση ισχύει τύπο της συνάρτησης ( ) για κάθε R,τότε να βρείτε τον Στις παρακάτω συναρτήσεις να γίνει αλλαγή της μεταβλητής ώστε αυτές να έχουν τη μορφή () i) (-) = - + ii) ( ) = 6 - +, 0 4

25 iii) (ln) = - +, >0 iv) (e -) = - + l Δίνεται η συνάρτηση ( ) Να βρεθεί συνάρτηση g για την οποία ισχύει g ( ) Δίνονται οι συναρτήσεις () = - και g() = α + Για ποια τιμή του αr ισχύει go = og 4 Έστω () Να βρείτε τα, ώστε ()() 4, για κάθε 5 Έστω () Αν (o)() 9 4,για κάθε, να βρείτε τα, 6 Αν () λ και g(), να βρείτε το ώστε og go 7 Δίνονται οι συναρτήσεις β, αν είναι γνωστό ότι 8 Δίνεται η συνάρτηση (o)() για κάθε και g(),,, Να βρείτε τα α, () g ( ) 4, Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α για τον οποίο ισχύει 9 Aν ()= g g και g()=β με α 0 και β 0, να βρείτε τα α, β ώστε να ισχύει: 0 Aν : με (og)()= -+4 και (go)()=, να δειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο Αν ()=(+α )+α+β για κάθε, να προσδιορίσετε τα α, β ώστε για κάθε να ισχύει ( )()=9+9 i) Έστω (ln) = +, >0 Να βρεθεί η ii) Δίνονται οι συναρτήσεις και g: RR με g() = +α + β και og = go Αν υπάρχει ένα μόνο ξr τέτοιο ώστε (ξ) = ξ να δείξετε ότι: (α-) = 4β Μια συνάρτηση : RR έχει την ιδιότητα (o)() = + 4 για κάθε R i) Να δείξετε ότι : () = ii) Να βρεθεί η συνάρτηση g, ώστε να ισχύει: (go)() =, αν ()=ln 4 Δίνονται οι συναρτήσεις και g ln ότι: og e e go για κάθε > go Να αποδείξετε 5

26 5 Δίνεται συνάρτηση : αποδείξετε ότι, για την οποία ισχύει ( ) 5 4, για κάθε Να 6 Δίνεται συνάρτηση : *, για την οποία ισχύει * Να αποδείξετε ότι η C διέρχεται από το σημείο 4, 4 7 Έστω, g: με g ( g)() 7 6 ( ), και C,C έχουν τουλάχιστον ένα κοινό στοιχείο, για κάθε (g ) 4 4 Να δείξετε ότι οι 8 Έστω : με(o)(), i) η είναι περιττή συνάρτηση 0 0 ii) Να αποδείξετε ότι Πεδίο ορισμού σύνθετων συναρτήσεων 9 Δίνεται η συνάρτηση :, Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) 0 Δίνεται η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το διάστημα 0, Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: i) ii) 4 iii) ln Έστω συνάρτηση με πεδίο ορισμού το διάστημα 5,8 Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g 8 9 Δίνεται η συνάρτηση : [,7] Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g()=( -) Δίνεται η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το διάστημα [0, ] Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: i) g() = ( ) ii) h() = ( - 4) iii) φ() = (ln(+)) 4 Δίνεται η συνάρτηση : [-,] R Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων i) g() = (-) ii) h() = ( ) iii) φ() = (ln) 5 Αν συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το Α = (0,] να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g() = (-) + (ln) 6 Αν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης () είναι το [-,],τότε να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( ) 7 Αν A=[-4,] να βρεθεί το Ah με h()=(-) 8 Αν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης () είναι το [-,],τότε να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης : h( ) ( ) ( ) 6

27 9 Αν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι [-7,-5],τότε να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g( ) ( 6 ) 40 i) Αν για κάθε είναι (-)= ++ να προσδιορισθεί ο τύπος της ii) Aν η έχει πεδίο ορισμού Α=[0,] να βρεθεί το πεδίο ορισμού της (συν) 4 i) Αν η συνάρτηση έχει ΠΟ το [7,7] να βρεθεί το ΠΟ της συνάρτησης g() = ( +-) ii) Αν () =+, να βρεθεί η συνάρτηση g: RR για την οποία ισχύει (og)() = e + + για κάθε Θ Συναρτησιακές σχέσεις 4 Aν : με (+y)= () (y) για κάθε,y να δείξετε ότι: i) (0)=0 ii) ()=0, για κάθε 4 Έστω η : (0, + ) με ()-(y)= για κάθε, y (0, + ) y Aν η εξίσωση ()=0 έχει μοναδική ρίζα, τότε: i) Να δειχθεί ότι η είναι - ii) Να λυθεί η εξίσωση ( +)+()=( +)+(+) iii) Αν επί πλέον ()>0 για κάθε > να δειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα 44 Αν για μια συνάρτηση ισχύει () - ( ) =, 0, να βρείτε το () 45 Αν για τη συνάρτηση g ισχύει : g( ) g( ) συνάρτηση g είναι σταθερή για κάθε R τότε να αποδείξετε ότι η 46 Έστω η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει ( ) + () = 0 για κάθε R Να δείξετε ότι η εξίσωση () = 0 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες 47 Έστω η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει ( ()) = + 4 για κάθε R i) Να δείξετε ότι ( + 4) = () + 4, R ii) Να υπολογίσετε το (-) 48 Έστω η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει ( ()) = - + για κάθε R Να βρείτε την (l) 49 Έστω μια συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει (()) = - για κάθε R i) Να δείξετε ότι (-) = ()-, R ii) Να δείξετε ότι η C τέμνει την ευθεία y = σε ένα τουλάχιστον σημείο 50 Έστω άρτια συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι: y y y, Να αποδείξετε ότι: για κάθε i) 0 0 ii) 0 για κάθε iii) y y για κάθε y, 7

28 5 Έστω συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι: Να αποδείξετε ότι: 0 0 i) ii) για κάθε α, χ 5 Δίνεται συνάρτηση :, για την οποία ισχύει: y y y, Να αποδείξετε ότι: i) 0 0 ii) άρτια για κάθε,, για κάθε iii) y y,, y iv) η είναι σταθερή συνάρτηση 5 Δίνεται συνάρτηση :, για την οποία ισχύει: y y y y, Να αποδείξετε ότι: i) η γραφική παράσταση της διέρχεται από την αρχή των αξόνων ii) Η C έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων iii) y y y,, y 54 Δίνεται η συνάρτηση : για κάθε, για την οποία ισχύει: ( y) ( ) ( y) y για κάθε y, Να αποδείξετε ότι: i) () ii), ( ) iii),,y ( ) y ( y) y 55 Αν : με y για κάθε, y Να δείξετε ότι : y ii) σταθερή i) 0 56 Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: y y ( ) ( y) κάθε y, Να αποδειχθεί ότι: i) Η γραφική παράσταση της διέρχεται από την αρχή των αξόνων ii) Η είναι άρτια iii) ( ) 0 για κάθε () για 57 Μια συνάρτηση : RR έχει την ιδιότητα (y) = () + (y) για κάθε,y * Να δείξετε ότι: i) () = 0 ii) Για κάθε 0 ισχύει ( ) ( ) iii) Για κάθε,y 0 ισχύει ( ) ( ) (y) y iv) Αν για κάθε 0 ισχύει ν = α (νν) τότε (α) = ν () v) (-) = 0 vi) Για κάθε 0 ισχύει (-) = () 58 Έστω η συνάρτηση : RR με την ιδιότητα: (o)() = 4, για κάθε χr i) Να αποδειχθεί ότι: () = ii) η έχει σύνολο τιμών το R 8

29 iii) () + (4-) = 4, για κάθε R iv) η C έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο Μ(,) Εύρεση συνάρτησης 59 Aν (-)= -+, για κάθε, να βρείτε τα () και (-) 60 Aν ()-(-)=4- για κάθε να βρείτε τον τύπο της 6 Έστω συνάρτηση : RR με την ιδιότητα: (y)+()+(y) = y++y για κάθε,y i) Να προσδιοριστεί η συνάρτηση ii) Να βρεθούν τα κοινά σημεία των Chκαι Cg, όπου g() = ()+ και ( ) h() = ()+ ( ),χ 6 Δίνεται η : με (+y)= () + y για κάθε,y Aν (0)=008 να υπολογίσετε το () και να βρείτε τον τύπο της 6 Έστω : με (y)+ () + (y)= y++y για κάθε,y i) Να προσδιορισθεί η συνάρτηση ii) Να βρεθούν τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των g()= ()+ και () h()= ()+ () 64 Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις για τις οποίες είναι (+y)= ()+ (y) 65 Αν : με (0)= και (+y) e (y) για κάθε,y, να δειχθεί ότι ()=e για κάθε 66 Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση για την οποία ισχύει RΣτη συνέχεια να αποδείξετε ότι : ( ) για κάθε ( ) ( ) ( ) για κάθε R 67 Έστω συνάρτηση τέτοια ώστε ( ) ( ) 4 Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) για κάθε R για κάθε R 68 Αν για τη συνάρτηση ισχύει ( ) ( ) για κάθε R,τότε να προσδιορίσετε τη συνάρτηση 69 Δίνεται η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει (-)- (-) = +l για κάθε R i) Να δείξετε ότι: α) () - (-) = + + β) (-) - () =

30 ii) Να βρείτε την 70 Δίνεται η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει () + ( - ) = - για κάθε R Να βρείτε την 7 Δίνεται η συνάρτηση : R* R για την οποία ισχύει () - R* Να βρείτε την = για κάθε 7 Δίνεται η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύουν (), για κάθε R (+y) () + (y) για κάθε,y R i Να βρείτε το (0) ii Να δείξετε ότι () = 7 Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: ( ) ( ) y, i) Να βρείτε το σημείο τομής της C με τον άξονα yy ii) Να βρείτε τον τύπο της y y για κάθε 74 Δίνεται συνάρτηση :, για την οποία ισχύει: ( y) ( y) 4 y 6y, για κάθε y, i) Να βρείτε το (0) ii) Να βρείτε τον τύπο της 75 Δίνεται συνάρτηση :, για την οποία ισχύει: 5 ( y) ( ) ( y) y,,y 6, i) Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της διέρχεται από το σημείο ii) Να βρεθεί ο τύπος της 76 Να βρείτε συνάρτηση : i) ( ) 4 ( ), στις παρακάτω περιπτώσεις: ii) 6 ( ), 77 Να βρείτε συνάρτηση : με () ( ) 4, 78 Να βρείτε συνάρτηση : κάθε, για την οποία ισχύει: ( ) ( ) για 79 Να βρείτε συνάρτηση :, για την οποία ισχύει: ( ) ( ), για κάθε 80 Να βρείτε συνάρτηση : κάθε για την οποία ισχύει: ( ) ( ), για 0

31 8 Να βρείτε τις συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει: y y y y,, y i) y ln,, y 0 y ii) 8 Για μια συνάρτηση ισχύει : () ( ) () για κάθε, i) Να δείξετε ότι η είναι περιττή ii) Να βρείτε το τύπο της iii) Να βρείτε τα κοινά σημεία της C με την ευθεία y 8 Να βρείτε συνάρτηση :, 0, για την οποία ισχύει ότι: 84 Δίνεται συνάρτηση : 0, κάθε 0 Να βρεθεί ο τύπος της 85 Δίνεται συνάρτηση : για κάθε, για την οποία ισχύει: ln ( ) ln, για e, για την οποία ισχύει: ( ) e e ( ), για κάθε i) Να βρείτε τον τύπο της ii) Να γίνει η γραφική παράσταση της 86 Να βρείτε συνάρτηση :, για την οποία ισχύει ( ) 4 5 ( ), 87 Δίνεται συνάρτηση :, για την οποία ισχύει: ( y) ( ) ( yz) 6 5 ( z),για κάθε, y, z Να αποδειχθεί ότι: i) () 4 ii) ( ) 4, 88 Δίνεται περιττή συνάρτηση : βρείτε τον τύπο της, για την οποία ισχύει 4 ( ), Να 89 Mία συνάρτηση : (0,+ ) έχει την ιδιότητα: ( e i) Να προσδιοριστεί ο τύπος της ii) Να γίνει η γραφική παράσταση της )ln()+ για κάθε χ0 90 i) Έστω συνάρτηση : RR, για την οποία ισχύει η σχέση 5() + (-) = + για κάθε R Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης ii) Έστω η συνάρτηση : RR για την οποία ισχύει η σχέση:(+) (-) = για κάθε R α) Να βρείτε τον τύπο της β) Να κάνετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης g() = (-) +, R

32 Σύνθετες ασκήσεις 9 Έστω περιττή συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι: i) Να αποδείξετε ότι 0 0 ii) Να βρείτε τον τύπο της iii) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της για κάθε 9 Δίνονται οι συναρτήσεις 4 και g 4 i) g ii) g iii) Αν 0 τότε 0 και αν 0, τότε g 0 iv) 0 για κάθε 9 Δίνονται οι συναρτήσεις και i) Να βρείτε τη συνάρτηση og g Να αποδείξετε ότι: ii) Nα κάνετε τη γραφική παράσταση της og και μέσω του σχήματος να βρείτε το σύνολο τιμών της 94 Δίνονται οι συναρτήσεις g e και i) Να βρείτε τις συναρτήσεις og, go ln ii) Να εξετάσετε αν είναι ίσες συναρτήσεις og, go iii) Να λύσετε την ανίσωση go og 95 Έστω συνάρτηση : 0 i) Να βρείτε την ii) Να βρείτε τα σημεία τομής της ln για κάθε e για την οποία ισχύει ότι iii) Να γίνει η γραφική παράσταση της C με τους άξονες ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ι Μονοτονία συνάρτησης με γνωστό τύπο 96 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις i) ( ) 5 ii) ( ) iii) () ln iv) ( ) e e v) ( ) 5 vi) e vii) ( ) viii) () i) ( ) 6 8

33 97 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις i) ( ) ( ) iii) iv) ( ) v) ( ), vi) ( ) ( ), 98 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις i) () = -l ii) () = iii) () = iv) () = ν) () = e - - l vi) () = n ( ) 99 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις:, i) ( ), iii) () = --l, 0 ii) ( ), 0 iv) () = - +4-l 00 Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες στο, 0, 0 i) ( ) ii) ( ), 0 e, 0 4,, 0 iii) ( ) iv) ( ) 6 9,, 0 0 Να προσδιορίσετε τις πραγματικές τιμές των α και β ώστε η συνάρτηση φ με τύπο φ()= + +α+β να είναι γνήσια αύξουσα Θεωρητικές, αν ρ ητός 0 Αν ()=, αν άρρητος, να δειχθεί ότι: (())=, για κάθε 0 Δίνεται η συνάρτηση :, γνησίως αύξουσα και (())=, για κάθε Nα δειχθεί ()=, για κάθε 04 Αν : γνησίως αύξουσα και για κάθε ισχύει, 05 Δίνεται συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο για την οποία ισχύει ότι για κάθε Να αποδείξετε ότι, 06 Έστω η γνησίως μονότονη συνάρτηση : A A Να δειχθεί ότι : i) ορίζεται η σύνθεση o και είναι συνάρτηση γνησίως μονότονη, +() = να δείξετε ότι ()= 5

34 ii) υπάρχει γνησίως μονότονη συνάρτηση g : R R τέτοια ώστε να ισχύει η σχέση : g(g())= -, R ; 07 i) Αν οι συναρτήσεις, g είναι γνησίως φθίνουσες στο διάστημα Δ, να δείξετε ότι και η συνάρτηση + g είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ ii) Να δείξετε ότι η συνάρτηση () = - + e - είναι γνησίως φθίνουσα στο R 08 Έστω ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ και η g είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση - g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ ii) Αν () 0 και g() > 0 για κάθε Δ να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ iii) Αν g(δ) Δ να δείξετε ότι η συνάρτηση og είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ 09 Δίνονται οι συναρτήσεις, g ορισμένες στο R, οι οποίες είναι γνησίως μονότονες και έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας (είναι και οι δύο γνησίως αύξουσες ή και οι δύο γνησίως φθίνουσες) i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση og είναι γνησίως αύξουσα ii) Να εξετάσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων o και gog iii) Να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης () = ln [ln()], > 0 Έστω γνησίως αύξουσα συνάρτηση Να αποδείξετε ότι : i) Η συνάρτηση - είναι γνησίως φθίνουσα ii) Η συνάρτηση k είναι γνησίως αύξουσα αν k>0 και γνησίως φθίνουσα αν k<0 iii) Η συνάρτηση +k είναι γνησίως αύξουσα,όπου kr iv) Αν () > 0 τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα i) Έστω οι συναρτήσεις,g : R R Αν η είναι γνησίως φθίνουσα και η og γνησίως αύξουσα, να δείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα g( ) ii) Έστω ότι υπάρχει συνάρτηση g : R R για την οποία ισχύει e g ( ), R Να δείξετε ότι η g θα είναι γνησίως φθίνουσα Έστω, g δύο συναρτήσεις με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημα Δ, οι οποίες παίρνουν θετικές τιμές για κάθε Δ και οι οποίες είναι γνησίως αύξουσες στο Δ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ g Έστω η συνάρτηση : R R η οποία είναι γνησίως φθίνουσα και η συνάρτηση g() = ( - ) - (l -), R Να εξετάσετε την g ως προς τη μονοτονία 4 Έστω η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει () + e () + = για κάθε R Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα 5 Δίνεται η συνάρτηση : A R για την οποία ισχύει +() + e () = 0 για κάθε Α Να δείξετε ότι η δεν είναι γνησίως αύξουσα στο Α 6 Έστω η συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα Δ για την οποία ισχύει : ()-(y) < -y για κάθε, y Δ με y Να δείξετε ότι συνάρτηση g() = () - είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ 4

35 7 Δίνεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το 0, για την οποία ισχύει : e για κάθε 0, Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα 8 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει στο γνησίως αύξουσα συνάρτηση για την οποία να ισχύει ότι: e,0 για κάθε 9 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει γνησίως φθίνουσα : 0, για την οποία να ισχύει ότι: ln 4 για κάθε, για την οποία ισχύει ότι: ( ) ( ) για κάθε, με Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο 0 Έστω συνάρτηση : ( ) ( ) Να δείξετε ότι : i) Α η είναι γν αύξουσα αν και μόνο αν λ>0 ii) η είναι γν φθίνουσα αν και μόνο αν λ0 iii) Αν Α = R και για κάθε, R με ισχύει ()-() -,να δείξετε ότι : η συνάρτηση g() = ()- είναι γν φθίνουσα στο R και ότι η συνάρτηση h() = ()+ είναι γν αύξουσα στοr Έστω συνάρτηση : ΑRΓια κάθε, Α με ορίζουμε λ = Απόδειξη ανισοτήτων με μονοτονία Δίνονται οι συναρτήσεις,g : R R όπου η είναι γνησίως φθίνουσα και η g γνησίως αύξουσα Έστω ότι οι C και Cg τέμνονται στην αρχή των αξόνων i) Να βρείτε τη σχετική θέση των C και Cg ii) Αν για τη συνάρτηση h είναι h() = ( ), > 0 να δείξετε ότι η Ch είναι κάτω από g( ) τον άξονα χ'χ όταν (0, + ) Έστω η συνάρτηση : R R με (0) = 0 η οποία είναι γνησίως φθίνουσα και η συνάρτηση g() = ( ), R* Να δείξετε ότι g() < 0 για κάθε 0 e 4 Έστω η συνάρτηση :[0,+ ) R με (0) = 0, η οποία είναι γνησίως αύξουσα και η ( ) συνάρτηση g() =, > 0 Να δείξετε ότι g() > 0 για κάθε (0,+ ) n ( ) 5 Έστω οι συναρτήσεις,g : R R Αν η είναι γνησίως φθίνουσα και ισχύει () < g() για κάθε R, να δείξετε ότι (g()) < g(()) για κάθε R 5

36 6 Δίνεται συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο για την οποία ισχύει ότι g Να αποδείξετε ότι g g για κάθε 7 Έστω συνάρτηση γνησίως μονότονη στο με για κάθε Να αποδείξετε ότι: i) η είναι γνησίως φθίνουσα ii) η είναι περιττή για κάθε 0και 0 για κάθε 0 iii) 0 Λύση εξισώσεων και ανισώσεων με μονοτονία 4 8 Δίνεται η συνάρτηση () = 5 5 i) Να αποδειχθεί ότι η είναι γνησίως φθίνουσα ii) Να λυθεί η εξίσωση +4 = 5 iii) Να λυθεί η ανίσωση Δίνεται η συνάρτηση () = i) Να αποδειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii) Να λυθεί η εξίσωση 4 5 = iii) Να λυθεί η ανίσωση Δίνεται η συνάρτηση () = + 5 με πεδίο ορισμού το R i) Να αποδειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii) Να λυθεί η ανίσωση ( 8) (7 ) Δίνεται η συνάρτηση () = + i) Να αποδειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii) Να λυθεί η ανίσωση e ( ), >0 009 Θεωρούμε την γνησίως μονότονη συνάρτηση : ( ) i) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii) Να λύσετε την ανίσωση ( ) ( ) e 009 για κάθε Αν : γνησίως φθίνουσα συνάρτηση να λυθεί η ανίσωση ( )( +4) < ( )(+4) 4 Δίνονται οι συναρτήσεις και g με () = e και g() =-- -ln i) Nα αποδείξετε ότι οι και g είναι γνησίως μονότονες ii) Να λυθούν οι ανισώσεις ()0 και g() 0 5 Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο R και η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο R i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση h = 5-64g είναι γνησίως αύξουσα 6

37 ii) Αν ισχύει: g() 5 () 4 να λύσετε την εξίσωση 5 ( ) 64 g ( ) 6 Να λυθεί η ανίσωση: ( ) ( ) () Να λύσετε την εξίσωση: ln(4 ) ln( 5) ( 5) (4 ) Να αποδείξετε ότι για κάθε, 0, 7 7 με ισχύει ότι: e e 9 Δίνεται η συνάρτηση () e, Να λύσετε την ανίσωση () 40 Δίνεται η συνάρτηση ( ),, 0, i) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο ii) Να λύσετε την ανίσωση 4 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 5, i) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία ( ) 7 ii) Να λύσετε την ανίσωση 4 Δίνεται η συνάρτηση 7 ( ) 5 i) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία, ( ) 4 6 ii) Να λύσετε την ανίσωση: 4 Δίνεται η συνάρτηση () ln, >0 και 0, i) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, ii) Να λύσετε την ανίσωση : 44 Δίνεται η συνάρτηση ln 4 9, 0 i) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία ln 4 ln 0 ii) Να λύσετε την ανίσωση 45 Δίνεται η συνάρτηση ( ) , ln( 4) ln( 9) i) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο ii) Να λύσετε τις ανισώσεις: α)0 00 ( ) 08 β) 46 Δίνεται η συνάρτηση ( ), i) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο ii) Να λύσετε τις ανισώσεις: α) 5 β) 7

38 47 Να λύσετε τις ανισώσεις: i), 0, ii) ln e e 48 Να λύσετε την ανίσωση 5 ln e ln( 5) e Να λύσετε την ανίσωση ln 5 50 Δίνεται η συνάρτηση () ln Να λύσετε την ανίσωση: ( ) ( ) ln( ) ln( ) 5 Να αποδείξετε ότι για κάθε, 0, με ισχύει ότι: 5 Δίνεται συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο και συνάρτηση g γνησίως φθίνουσα στο i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση h() 7 () 8g () είναι γνησίως αύξουσα στο ii) Αν ισχύει g 0, να λύσετε την ανίσωση 0 7 () 8g () 5 Δίνεται γνησίως φθίνουσα συνάρτηση : Να λύσετε την ανίσωση o o 54 Αν η συνάρτηση : είναι γνησίως αύξουσα, να λύσετε την ανίσωση o o 55 Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι: e e για κάθε i) Να λύσετε την εξίσωση 0 ii) Να λύσετε την ανίσωση Έστω γνησίως αύξουσα συνάρτηση : 0, Έστω ακόμη η συνάρτηση : 0, g 0 για κάθε 0, Να αποδείξετε ότι g t t g t 0 για κάθε t 0, g με 57 Δίνονται οι συναρτήσεις και g: για τις οποίες ισχύει: R Αν η g είναι γνησίως φθίνουσα στο R τότε: i) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο ii) Να λυθεί η ανίσωση: ( g( )) ( g( )) ( ) e g ( ) ( ),για κάθε, 58 Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι για κάθε i) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο ii) Να λύσετε την ανίσωση 5 8

39 59 Έστω συνάρτηση : για την οποία ισχύει i) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii) Να αποδείξετε ότι 0 και iii) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: α) β) 0 γ) δ) 60 Έστω συνάρτηση : για την οποία ισχύει i) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα ii) Να αποδείξετε ότι 0 0 και iii) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: α) 0 β) γ) για κάθε 0 για κάθε 0 δ) Έστω ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο R και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(, 5) και Β(5, - ) i) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα ii) Να δείξετε ότι η συνάρτηση o είναι γνησίως αύξουσα iii) Να λύσετε την ανίσωση ( (e )) < - 6 Η συνάρτηση g :(0,+ ) είναι γνησίως φθίνουσα και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(,-) Αν για την συνάρτηση είναι ()=ln-g() για κάθε >0 i) Να δειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii) Να λύσετε την ανίσωση ln<+g( ) στο (0,+ ) 6 Έστω οι γνησίως μονότονες συναρτήσεις,g : R R Η C τέμνει τον αρνητικό ημιάξονα Οχ' και τον άξονα y'y στο Α(0, -) Η Cg τέμνει τον άξονα χ'χ στο - και τον θετικό ημιάξονα Oy i) Να βρείτε τη μονοτονία των και g ii) Να λύσετε την ανίσωση g ( ( )) < 0 64 Δίνονται οι συναρτήσεις,g : R R με R, g R και (), g() > 0 για κάθε R i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση h = είναι γνησίως φθίνουσα g ii) Να λύσετε την ανίσωση ( ) g() - () g( )<0 65 Δίνεται ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο R και η γραφική παράσταση της διέρχεται από την αρχή των αξόνων Αν για κάθε R ισχύει ()(l-( g)()) = g(), να δείξετε ότι η Cg τέμνει τον άξονα ' σε ένα μόνο σημείο 9

40 Συναρτησιακές σχέσεις - Προφανής ρίζα Μονοτονία 66 Δίνεται η συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο R και για την οποία ισχύει () + (y) = (y) για κάθε,yr Να λύσετε την ανίσωση ( 5) ( 4) ( 4) ( ) 67 Η είναι ορισμένη στο για την οποία ισχύει (-)+(+4)=0 για κάθε Aν η είναι γνησίως φθίνουσα να λύσετε α) την εξίσωση ()=0 β) την ανίσωση ( -5)>0 68 Δίνεται μια συνάρτηση ορισμένη στο R, η οποία είναι γνησίως μονότονη και ισχύει η σχέση () = - (4 - ) για κάθε R Να δείξετε ότι η εξίσωση () = 0 έχει μοναδική ρίζα 69 Δίνεται η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει (-)+(+4)= 0 για κάθε R Αν η είναι γνησίως φθίνουσα να λύσετε i) την εξίσωση () = 0 ii) την ανίσωση ( -5) > 0 70 Δίνεται η συνάρτηση : (α,β) R η οποία είναι γνησίως μονότονη και ισχύει η σχέση () + (α + β - ) = c για κάθε (α, β) Να δείξετε ότι η εξίσωση () = c έχει μοναδική ρίζα στο (α, β) 7 Δίνεται η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει (- n ) + (-l) = n +, >0 Αν η είναι γνησίως αύξουσα να λύσετε i) την εξίσωση () = ii) την ανίσωση (e -) < 7 Έστω :(0,+ ) R μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση Να δείξετε ότι : i) ()<() ii) ()+() <()+(7),>0 iii) ()+( ) < ( )+( 5 ), > iv) (e )+(e 5 ) (e )+(e 9 ), 0 v) (ln)+(7ln) < (ln)+(ln), > 7 Δίνεται η συνάρτηση : R R με στο (-,0] και στο [0,+ )Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ()= () ii) ()+(5)=()+(7) iii) ()+( 5 )=( )+( 0 ), στο (0,+ iv) (e )+ (e 5 )= (e )+ (e 7 ) v) (ln)-(ln) = (7ln)-(5ln),στο (0,+ ) Ακρότατα 74 Να βρείτε τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων i) () = --l ii) () = - + iii) () = -l iv) () = ημ- ν) () = -συν vi) () = e - -, [0,l ] vii) () = -ln(-), [,] 40

41 75 Η γραφική παράσταση C μιας συνάρτησης φαίνεται στο διπλανό σχήμα Από αυτό να βρείτε: i) το πεδίο ορισμού της ii) το σύνολο τιμών της iii) το διάστημα και το είδος μονοτονίας της iv) τα ακρότατα της v) τον τύπο της, αν είναι γνωστό ότι: στο διάστημα [-, 0) είναι υπερβολή της μορφής y = α και στο διάστημα [0, ) είναι παραβολή της μορφής y = α y Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης φαίνεται στο διπλανό σχήμα i) Να βρείτε τα διαστήματα του που η είναι α) γνησίως αύξουσα β) γνησίως φθίνουσα γ) σταθερή ii) Να βρείτε τα ολικά ακρότατα της iii) Να λύσετε την εξίσωση () = + στο (0, 5) 77 Έστω οι συναρτήσεις,g :R R για τις οποίες ισχύει () = g() + + για κάθε R Να βρείτε την ελάχιστη κατακόρυφη απόσταση των C και Cg 78 Έστω οι συναρτήσεις,g : [0,π) R για τις οποίες ισχύει () = g() + + ημ για κάθε [0, π) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη κατακόρυφη απόσταση των C και Cg 79 Αν, g : για τις οποίες ισχύει ()=g()+ + για κάθε, να βρείτε την ελάχιστη κατακόρυφη απόσταση των διαγραμμάτων C και Cg 80 Δίνονται οι συναρτήσεις, g : R R για τις οποίες ισχύει () + g () = για κάθε R Αν οι C και Cg τέμνονται πάνω στην ευθεία ε : = να βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης h() = ()-g(), R 8 Δίνονται οι συναρτήσεις,g: R R για τις οποίες ισχύει () + g () = για κάθε R Να βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης h() = () (-) + g() g(l-), R 8 Έστω οι συναρτήσεις, g : για τις οποίες ισχύει ()=- g()-e για κάθε Αν η Cg τέμνει το γράφημα της συνάρτησης h()=e σ ένα τουλάχιστον σημείο, να δείξετε ότι η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο 8 Έστω οι συναρτήσεις,g : R R, από τις οποίες η g παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 Αν η είναι γνησίως αύξουσα τότε η g παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 84 Έστω οι συναρτήσεις,g : R R για τις οποίες ισχύει () = + g() - για κάθε R Αν η g έχει σύνολο τιμών το (0, ) να δείξετε ότι η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο 4

42 85 Έστω οι συναρτήσεις,g : R R για τις οποίες ισχύει () = - g() - e για κάθε R Αν η Cg τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης h() = e σε ένα τουλάχιστον σημείο, να δείξετε ότι η παρουσιάζει ολικό μέγιστο 86 Αν η συνάρτηση : R R παρουσιάζει μέγιστο μόνο στο το και ισχύει ( a) ( ) 9, να βρείτε τα α, β 87 i) Έστω οι συναρτήσεις,g : R RΑν η g παρουσιάζει μέγιστο στο 0 και η g είναι γνησίως αύξουσα,να δείξετε ότι η παρουσιάζει μέγιστο στο 0 ii) Αν ( ) ( ) 0, R,να δείξετε ότι η παρουσιάζει μέγιστο 88 Να βρεθεί ο, ώστε η ( ) ( ) να έχει ελάχιστο το - Άρτια Περιττή 89 Έστω οι συναρτήσεις,g : R R Να δείξετε ότι: i) Αν η είναι άρτια, τότε και η go είναι άρτια ii) Αν η είναι περιττή και η g άρτια, τότε η go είναι άρτια iii) Αν οι και g είναι περιττές, τότε και η go είναι περιττή 90 Δίνεται συνάρτηση περιττή και γνησίως φθίνουσα στο Να αποδείξετε ότι κάθε 0 και 0 για κάθε 0 9 Δίνεται συνάρτηση άρτια στο και γνησίως αύξουσα στο α, β Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, 0 για 9 Έστω η συνάρτηση : R R η οποία είναι περιττή και παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 Να δείξετε ότι η παρουσιάζει μέγιστο στο -0 9 Έστω η συνάρτηση : R R Να εξετάσετε αν η είναι άρτια ή περιττή όταν για κάθε, y R ισχύει: ( ) ( y) i) ( y) ( ) ( y) ii) (-y) = () +(y) iii) (y) = () + (y) 94 Έστω η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει ( y) ( y) ( ) ( y),για κάθε,y R Να εξετάσετε αν η είναι άρτια ή περιττή 95 Έστω η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει,y RΝα δείξετε ότι : i) (0)=0 ii) η είναι περιττή iii) (+y) = () +(y) για κάθε,y R ( y ) ( ) y ( y),για κάθε 4

43 96 Δίνεται η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει ( + y) + ( - y) = () + (y) για κάθε, y R i) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της περνά από την αρχή των αξόνων ii) Να αποδείξετε ότι η είναι άρτια iii) Να αποδείξετε ότι για κάθε R ισχύει ότι ( ) = () Σύνολο τιμών 97 Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων: i) 8 () στο A [0,] ii) () 4 5 iii) () iv) () ln( 4) v) () 5 98 Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων: i) ()= e ii) ()= 4 e iii) () 4 99 Να βρείτε το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων: i) ( ) ii) ( ) iii) ( ) 9 iv) ( ) e v) ( ) ln( ) vi) ( ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης 40 Να βρείτε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων: i) e, ( ) ln, 6 7, ii) ( ) 40 Nα βρείτε το σύνολο Α ώστε η συνάρτηση : με [0, ] - ()= - να έχει σύνολο τιμών το 40 Να γράψετε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων : i) () = ii) () = iii) () = ημ iv) () = συν v) () = e vi) () = n 404 Σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε τις τιμές της συνάρτησης στο,στο και στο, 0, i) ( ) ii) ( ), 7, 4

44 0, iii 5, 8 ) ( ), [,8] 405 Δίνεται η συνάρτηση () = σύνολο τιμών της e ln e 5, 4 iv) ( ) 5 4,, 5 Να εξετάσετε αν ο αριθμός ξ = ln ανήκει στο 406 Δίνεται η συνάρτηση που ικανοποιεί τις σχέσεις: ( ) 6 ( ) 0 και ()< για κάθε R i) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης ii) Να εξετάσετε αν η τιμή ανήκει στο σύνολο τιμών της (A) 407 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της: i) με ii) g με () 8 g() e αν αν ( ) (,] ( ) [e,] 408 Δίνεται η συνάρτηση: ( ) Να βρείτε το, β, αν είναι γνωστό ότι η έχει σύνολο τιμών το διάστημα 0, 409 Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης 4 - Συνάρτηση με γνωστό τύπο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 40 Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι - i) () = - ii) () = -5 iii) () = iv) () =-e - + v) () = l - - vi) () = n ( ) - vii) () = e e 4 Να εξετάσετε αν είναι - οι παρακάτω συναρτήσεις : i) () ii) () iii) () iv) () v) () vi) () e vii) () e viii) 4 Να εξετάσετε, αν είναι - οι παρακάτω συναρτήσεις i) 4 () 5 ii) () ln 44

45 4 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο Να αποδείξετε ότι η είναι -, 0, 0 44 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο : ( ) ( a ), [ a, ) ( ), (, a ) a, R Να προσδιορίσετε το μ R ώστε : i) ο περιορισμός της σε κάθε ένα από τα διαστήματα (-,α),[α,+) να είναι - συνάρτηση, ii) η να είναι Αν : με ()= να λυθεί η εξίσωση ()=- και να συμπεράνετε αν η είναι και σύνθετη συνάρτηση 46 i) Αν για τις συναρτήσεις h,, g : ισχύει g=h και ισχύει g() g(y) να δειχθεί () (y) ii) Δίνεται : Αν για την συνάρτηση : ισχύει ()+ = να δειχθεί ( )()= 47 Aν : με την ιδιότητα ( )()=()+α για κάθε,α 0, να δειχθεί ότι: i) η είναι - ii)(0)=0 48 Mε δεδομένο ότι η εκθετική συνάρτηση φ()=e - είναι γνησίως αύξουσα να δειχθεί ότι: i) η συνάρτηση g()=e - - είναι - ii) Να λυθεί η εξίσωση e - -(-)= e - -( -) 49 Aν :, g : με g=i όπου Ι()= τότε: i) Να δειχθεί ότι η g είναι - ii) Να λυθεί η εξίσωση g( -5+4)=g(-) 40 i) Aν : και g : είναι συναρτήσεις -, να δειχθεί ότι και η g είναι - ii) Αν η είναι - τότε και η φ()=[()] +()- είναι - 4 Αν : με (o)()=() να βρεθεί το (0) 4 Έστω η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει ( o )() = + () για κάθε R i) Να δείξετε ότι η είναι - ii) Να βρείτε το (0) 4 Έστω οι συναρτήσεις,g : R R για τις οποίες ισχύει : () > 0 για κάθε R η g είναι - (o)() = n( ( )) + g (e ) για κάθε R Να δείξετε ότι η είναι - 44 Έστω οι συναρτήσεις,g : R R Αν η συνάρτηση og είναι - να δείξετε ότι και η g είναι - 45

46 45 Αν η συνάρτηση : R R με () για κάθε R είναι -, να δείξετε ότι και η ( ) συνάρτηση g() = είναι συνάρτηση - ( ) 46 Δίνονται οι συναρτήσεις, g : R R για τις οποίες ισχύει (go)() = 5 +e () +l, R Να δείξετε ότι η είναι - 47 Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: ( ) ( ) για κάθε Να αποδείξετε ότι: i) η αντιστρέφεται, ii) η 48 Δίνεται συνάρτηση : C διέρχεται από το σημείο, με ( ) ( ), να δείξετε ότι : A i) η αντιστρέφεται ii) η C διέρχεται από την αρχή των αξόνων 49 Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: i) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται ii) Η C διέρχεται από την αρχή των αξόνων 40 Δίνεται συνάρτηση : ( ) ( ) για κάθε για την οποία ισχύει: ( ) 4 ( ) για κάθε Να αποδείξετε ότι: i) η αντιστρέφεται, ii) η C διέρχεται από το σημείο A, 4 Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: αποδείξετε ότι η δεν είναι αντιστρέψιμη 4 Δίνεται συνάρτηση : αποδείξετε ότι: i) () ii) η συνάρτηση 7 ( ) 9 6 ( ) για κάθε Να για την οποία ισχύει: ( )( ) 4για κάθε Να 4 g( ) ( ) ( ) 5 4, δεν είναι αντιστρέψιμη 4 Δίνεται συνάρτηση : με (oo)() 4 6, να αποδείξετε ότι : i) ii) η συνάρτηση g() () 5, δεν είναι αντιστρέψιμη 44 Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: ( ) ( ) ( ) για κάθε Να αποδείξετε ότι η δεν είναι αντιστρέψιμη 45 Δίνεται συνάρτηση : με είναι αντιστρέψιμη 46 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει: e ln, για κάθε Να αποδείξετε ότι η δεν είναι αντιστρέψιμη Να αποδείξετε ότι η δεν 46

47 47 Έστω η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει ( o)() = - + για κάθε R i) Να βρείτε την (l) ii) Να δείξετε ότι η δεν είναι - iii) Να δείξετε ότι η g( ) e ( ), R δεν είναι - 48 Δίνεται η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει ( ()) = - + για κάθε R Να δείξετε ότι: i) () = ii) Η συνάρτηση g() = - () + l, R δεν είναι - 49 Έστω η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει + () + e () = 0 για κάθε R Να δείξετε ότι: i) η είναι - ii) Η δεν μπορεί να είναι γνησίως αύξουσα 440 Να βρεθεί ο κ όταν ισχύει: η : για κάθε R είναι - και ( ) ( ) ( k ), 44 Αν για κάθε ισχύει: [ ( )] να δειχτεί ότι είναι (),για κάθε R 44 Έστω η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει ( ο )() = για κάθε R και η συνάρτηση g() = e +e (), R που είναι - i) Να δείξετε ότι η είναι - ii) Να δείξετε ότι (g ο )() = g() iii) Να βρείτε τη συνάρτηση 44 Έστω η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει (()) = για κάθε R και η συνάρτηση g() = + (), R που είναι - i) Να δείξετε ότι η είναι - ii) Να δείξετε ότι g(()) = g() για κάθε R iii) Να βρείτε τη συνάρτηση 444 Αν για τις συναρτήσεις και g με A ( A) ( ) ( y) ( ) ( y) και ( g g)( ) ( ) και ότι η g είναι - ισχύουν οι σχέσεις για κάθε y, να δειχτεί ότι ( ) 445 Να βρεθεί η που ικανοποιεί τη σχέση ( ) ) () με Αν για την συνάρτηση : ισχύει: (() y) (y) για κάθε, y Να δειχθεί ότι η είναι Δίνεται η - μη μηδενική συνάρτηση : με την ιδιότητα ()(-)=(λ-β) για κάθε Να δειχθεί ότι : i) λ=0 ii) (+β)= 448 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει Να αποδειχθεί ότι : i) η είναι - ii) η έχει σύνολο τιμών το *, για κάθε a 47

48 iii) a a, iv), για κάθε a - και λύση εξίσωσης 449 Aν : ώστε (())+ ()=+, i) Να δείξετε ότι η είναι - ii) Να λυθεί η εξίσωση ( +)=(4-) 450 Δίνεται η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει ( ()) = () + e - για κάθε R i) Να δείξετε ότι η είναι - ii) Να λύσετε την εξίσωση ( 5) = ( -6) 45 Έστω η συνάρτηση : R R Αν το σημείο Μ(, ) ανήκει στη C και δεν υπάρχουν σημεία της C με την ίδια τεταγμένη, να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g() = ( + +) - με τους άξονες 45 Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση : R R της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(, ) και Β(5, 9) i) Να λύσετε τις εξισώσεις : α) ( -l) = β) ()-() + 8 = 0 ii) Να λύσετε τις ανισώσεις : α) ( +l) < 9 β) ()(()-)<-8 45 Έστω οι συναρτήσεις,g :R R που η είναι γνησίως αύξουσα και η g είναι γνησίως φθίνουσα i) Να δείξετε ότι η og είναι γνησίως φθίνουσα ii) Να λύσετε την ανίσωση (g(e - ) ) < (g(l - )) iii) Να λύσετε την εξίσωση (g( - )) = (g( + l)) 454 Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση : R R i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g : R R,με g() = () είναι γνησίως φθίνουσα ii) Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε να ισχύει : (λ -λ) - (λ-6) = λ -5λ + 6 για κάθε y 455 Αν για την συνάρτηση ισχύει ( ) ( y) ( ) μοναδική λύση στο * Να δείξετε ότι i () 0 ii η είναι - iii να λυθεί η ( ) ( ) ( ) ( ) έχει * y, και η ( ) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη στο, για την οποία ισχύει: ( ()) 6 () () για κάθε R i) Να αποδείξετε ότι η είναι - ii) Να αποδείξετε ότι () iii) Να λύσετε την εξίσωση: ( ( )) ( (5)) 4 48

49 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Εύρεση αντίστροφης 457 Να αποδείξετε ότι καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι - και στη συνέχεια να βρείτε την αντίστροφη της e e i) ( ) ii) g( ) 5 iii) h( ), 0 iv) a( ) n, ( 5,) 458 Να βρεθούν οι αντίστροφες των παρακάτω συναρτήσεων: i) ( ) ii) iii) ( ) ( ) e 4 iv), ( ) 6 9, v) ( ) ln, 459 Να βρείτε τις αντίστροφες, αν υπάρχουν, των παρακάτω συναρτήσεων: i) ( ) ii) ( ) e iii) () e iv) ( ) 460 Να βρείτε τις αντίστροφες των παρακάτω συναρτήσεων: i) ( ) 6 0, ii) ( ) ln 46 Να βρείτε τις αντίστροφες των παρακάτω συναρτήσεων: - i) ()= -+ ii) ()= iii) ()= e + - e - iv) ()=ln(-) 46 Να αποδείξετε ότι καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι - και στη συνέχεια να βρείτε την αντίστροφη της i) ( ) ii) ( ) e 4 iii) ( ) iii) h( ) 0 9, 6 iv) a( ) 5 46 Να αποδείξετε ότι καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι - και στη συνέχεια να βρείτε την αντίστροφη της i) ( ) ii) g( ), 0 iii) h( ) 4, 0 iv) a( ) 4 49

50 464 Να δείξετε ότι αν παρακάτω συναρτήσεις είναι - και να βρείτε σε κάθε μία από αυτές την αντιστροφή της i) () = - ii) () = iii) () = e - iv) () = l-e v) () = n - l vi) () = - n( ) vii) i) ( ) ( ) ln e viii) ( ) e 465 Να εξεταστεί αν ορίζονται οι αντίστροφες των παρακάτω συναρτήσεων και να βρεθούν όσες ορίζονται i) () ii) () 4 iii) () ln( ) 466 Να δείξετε ότι καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντιστροφή της i) () = l - n( e ) ii) () = iii) () = e n e iv) () = +l 467 Να δείξετε ότι καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντιστροφή της e e i) () = n( ) ii) () = e e iii) () = n iv) () = 468 Δίνεται η συνάρτηση () = i) Να αποδείξετε ότι η είναι - ii) Να βρείτε την Δίνεται η συνάρτηση ( ) i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii) Να αποδείξετε ότι η είναι - iii) Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση - e e i) Να αποδείξετε ότι η είναι - ii) Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση Δίνεται η συνάρτηση ( ) e 47 Δίνεται η συνάρτηση ( ) e i) Να αποδείξετε ότι η είναι - ii) Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση - e 50

51 4 47 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 7 i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii) Να αποδείξετε ότι η είναι - iii)να προσδιορίσετε τη συνάρτηση - 47 Δίνεται η συνάρτηση ( ) i) Να αποδείξετε ότι η είναι - ii) Να βρείτε τη συνάρτηση Δίνεται η συνάρτηση ( ) i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii) Να αποδείξετε ότι η είναι - iii) Να βρείτε τη συνάρτηση - Τι παρατηρείτε; Δίνεται η συνάρτηση ( ) i) Να αποδείξετε ότι η είναι - και να βρείτε την αντίστροφη της a ii) Να γράψετε τον τύπο της στη μορφή ( ), ό, R Στη συνέχεια να σχεδιάσετε στο ίδιο σχήμα τις καμπύλες y=() και y= - () 476 Να βρείτε, αν υπάρχει, η αντίστροφη των παρακάτω συναρτήσεων : 6 5,, 0 i) ii), >, 0 5, Δίνεται η συνάρτηση ( ), 6 i) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της ii) Αν υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της τότε να τη σχεδιάσετε στο ίδιο σχήμα και να βρείτε τον τύπο της 4, 478 Δίνεται η συνάρτηση με ( ) 0, i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι - ii) Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση - iii)να σχεδιάσετε στους ίδιου άξονες τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και -, Δίνεται η συνάρτηση με ( ), 0 i)να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι - ii) Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση - 5

52 480 Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της συνάρτησης: : R R \ { } R : ( ) με βγ-αδ 0 και κατόπιν να βρεθεί αυτή 5 48 Δίνεται η συνάρτηση : (-,) ((-,)) με τύπο : ( ) i) Να δειχθεί ότι η είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί η αντίστροφη της ii) Ορίζεται η σύνθεση o ; 48 Δίνεται η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το [,+) και τύπο ()= -+ i) Να βρείτε τη συνάρτηση ii) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σχήμα τις γραφικές παραστάσεις και - iii) Να λύσετε την εξίσωση ()= - () 48 Έστω : [,+ )R μια συνάρτηση με ( ) 4 5 i) Να βρείτε το σύνολο τιμών της και να δείξετε ότι η αντιστρέφεται ii) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της iii) Να δείξετε ότι υπάρχει συνάρτηση g : [,+ )R τέτοια ώστε g(())= για κάθε iv) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των και - στο ίδιο σύστημα αξόνων 484 Δίνεται η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το [,+),σύνολο τιμών το (0,) και τύπο ( ) i) Να αποδείξετε ότι η είναι - 4 ii) Να βρείτε το 5 iii) Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση - e e e e με πεδία ορισμού το R και [0,+) αντίστοιχα i) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις,g είναι - ii) Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις - και g - iii) Αν g(α)-7(β)= και g(α)- (β)= τότε να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α,β 485 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ), g( ) 486 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ), g( ) n( 4) i) Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις - και g - ii) Να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις g g 487 Δίνονται οι συναρτήσεις () = e e 488 Δίνεται η συνάρτηση () = ( e e ) i) Να οριστεί η - ii) Να δείξετε ότι η - είναι περιττή και g() = -ln Να προσδιοριστεί η συνάρτηση - og, R 5

53 489 Δίνεται η συνάρτηση () = ln i) Να βρείτε το A ii) Nα δείξετε ότι αντιστρέφεται και να ορίσετε την - iii) Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις -, είναι περιττές 490 Να δείξετε ότι το διάγραμμα C της ()= 5+ έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία y= -5 () 5 () 0, να αποδείξετε ότι : 49 Δίνεται συνάρτηση : με i) η αντιστρέφεται ii) να βρείτε την 49 Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει: i) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται ii) Να βρείτε την 49 Δίνεται συνάρτηση : ( ) ( ) για κάθε για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:( )( ) 4 5 και ( )( ) 8 5 για κάθε i) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται ii) Να βρείτε τον τύπο της 494 Δίνεται η συνάρτηση : ( ) 64 6 για κάθε για την οποία ισχύει: ( ) 4 και i) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται ii) Να βρείτε το τύπο της 495 Δίνεται η : που ικανοποιεί τη σχέση δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την () () 0 (), Να 496 Αν : με ()+()+5-=0 για κάθε, να δειχθεί ότι η αντιστρέφεται και να βρεθεί η Έστω η συνάρτηση : R R με (R) = R για την οποία ισχύει () + () = + για κάθε R Να δείξετε ότι η είναι - και να βρείτε την αντιστροφή της 498 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει: i) Να αποδειχθεί ότι η αντιστρέφεται ii) Να βρεθεί η ( ) ( ) 0,για κάθε R 499 Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το R, για την οποία ισχύει (o) () - () =, για κάθε R Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη της 500 Δίνεται συνάρτηση :, για την οποία ισχύει: i) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την ii) Να υπολογίσετε τα ( ) και ( e ) ( ) e ( ) για κάθε 5

54 e e i) Να αποδείξετε ότι η είναι αντιστρέψιμη 50 Δίνεται η συνάρτηση ( ), ii) Να εξετάσετε αν υπάρχει το ( ) 50 Έστω οι συναρτήσεις, g: για τις οποίες ισχύει: 5 g για κάθε i) Να αποδείξετε ότι η g είναι - ii) Να αποδείξετε ότι αν η είναι γνησίως αύξουσα, τότε η g είναι γνησίως φθίνουσα στο iii) Αν οι,g είναι ίσες, να εκφράσετε την συνάρτηση της 50 Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι Γραφικά 0 04 για κάθε i) Να αποδείξετε ότι: α) η έχει σύνολο τιμών το β) η αντιστρέφεται k k ii) Να βρείτε k τέτοιο, ώστε 504 Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να κάνετε σχήμα στο οποίο να παριστάνονται οι καμπύλες y=() και y= - () i) ( ) ii) ( ) ( ), iii) ( ) iv) ( ), [0, ] 505 Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων και με βάση αυτές να εξετάσετε αν είναι - και να βρείτε τη μονοτονία τους, 0 i) ( ), ii) ( ), iii) ( ) 506 Δίνεται η συνάρτηση ( ) 4, 0,, iv) ( ), 0,, i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ii) Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση - Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της ; iii) Να σχεδιάσετε στους ίδιους άξονες τις καμπύλες y=() και y= - () 507 Δίνεται η γραφική παράσταση συνάρτησης i) Ποια η () ; ii) Γιατί η είναι - ; iii) Ποια η τιμή της ( ) ; iv) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της ; v) Σχεδιάστε την γραφική παράσταση της 54

55 508 Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης φαίνεται στο διπλανό σχήμα i) Να δείξετε ότι η είναι - ii) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της - iii) Να βρείτε τις - (), - () και ( - o)( ) iv) Να λύσετε την εξίσωση - () = 509 Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων, g και h Να βρείτε ποιες από τις συναρτήσεις, g, h έχουν αντίστροφη και για καθεμία απ' αυτές να χαράξετε τη γραφική παράσταση της αντίστροφης 50 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης στο διπλανό σχήμα Να βρείτε την τιμή: (o)(l) + - () 5 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης i) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση της ii) Να υπολογίσετε τις τιμές iii) Να λύσετε την εξίσωση ( 4), (0), () ( ) ( ) 4 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης i) Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση της - ii) Να υπολογίσετε τις τιμές: (4), (), (6) y Γ B A C y= y 55

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) () = 6 + 6 iv) () = log ( log4(- )) v) () = ii) () = iii) () = log ( + ) 5 log 4 vii) () = 5 + 4 viii) ()

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 +

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 + Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω η συνάρτηση f () = - 3 +. α) Να βρείτε τις τιμές f (), f (0), f (-3), f () β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες γ) Να βρείτε τις τιμές f (t), f (t), f ( + h),,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β, 8B, 9 Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 010-011 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΚΕΦ1 1 Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το ο Γενικό Λύκειο Χανίων [00-0 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το ήθος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και 7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-09 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ www.apodeiis.gr ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1 1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 1 i. ii. 1. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: i. 1 1 ii. ln. Δίνεται η συνάρτηση g, i. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1 Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = ( -) 4 - + β) f () = - - + 3 4 - - γ) f () = δ) f () = - + - - 5-3

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, αρκεί να βρούμε τις τιμές του χ για τις οποίες ορίζονται οι πράξεις που αναγράφονται στο τύπο

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Ασκήσεις Θέματα από Πανελλαδικές. γ) g( x) e 2. ln( x 1) 3. x x. ζ) ( x) ln(9 x2) ια) ( ) ln x 1

Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Ασκήσεις Θέματα από Πανελλαδικές. γ) g( x) e 2. ln( x 1) 3. x x. ζ) ( x) ln(9 x2) ια) ( ) ln x 1 Κεφ ο : Διαφορικός Λογισμός Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Θέματα από Πανελλαδικές Α Πεδίο ορισμού συνάρτησης (Περιορισμούς για το χ ) Όταν έχουμε κλάσμα πρέπει : παρονομαστής 0 Όταν έχουμε ρίζα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου- Μαθηματικός Περιηγητής ΕΝΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( ) ( ) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. f x+ h f x. 5x 3 2. x x 2x. 3 x 2. x 2x. f x = log x. f x = ln x 4. log 9. 2x 7x 15. x x.

( x) ( ) ( ) ( ) ( ) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. f x+ h f x. 5x 3 2. x x 2x. 3 x 2. x 2x. f x = log x. f x = ln x 4. log 9. 2x 7x 15. x x. Κεφάλαιο - Συναρτήσεις I Πεδίο ορισµού συνάρτησης Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ίνονται οι συναρτήσεις: f( ) = +, (ii) f( ) = Να βρεθούν τα f( 0 ), f( ), f( ), f( α ), f( α+ β), f( α 5) ( ) ( ) f + h f, h Να

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1o Γ Λυκείου) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1o Γ Λυκείου) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (o Γ Λυκείου).Να βρεθούν οι τιμές των α, β R ώστε: Α) τα σημεία (, ),(, ) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης α +β. Β)τα σημεία ( 0, ),( e, ) να ανήκουν στην γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 3. Μια μπάλα πέφτει από την κορυφή ενός πυργου. Το ύψος στο οποίο βρίσκετε μετά από t sec δίνεται από τη συνάρτηση f () x 75 3

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 3. Μια μπάλα πέφτει από την κορυφή ενός πυργου. Το ύψος στο οποίο βρίσκετε μετά από t sec δίνεται από τη συνάρτηση f () x 75 3 ΦΥΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να βρεθούν τα Πεδία Ορισμων συναρτήσεων: i) f () 4 f () i f () 4 f () 6 5 v) f () 9 vi) f () v f () log() vi f () 4, i) f () 8, Να βρεθούν επίσης οι τιμές : n f ( 4),( f ),( f0),(),(0),(

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = 4 6 6 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) v) 5 f() log vi) f() = 4 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2.

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2. Ερωτήσεις ανάπτυξης Β. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: 5 4 i) f() = ii) f()= iii) f()= iv) f()= ln( ) e v) f()= ln( -4) 4 4 vi) f() =, 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f με τύπο:

Διαβάστε περισσότερα

x 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι)

x 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι) Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = v) f() 4 6 6 5 log 4 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) vi) f() = 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 9η Κατηγορία: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Θεωρούμε, Δ, όπου Δ διάστημα του πεδίου ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση.

1. Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου Β είναι συνάρτηση. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Ανάλυση o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο ενός άλλου συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος 6-7 ) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : α) Να δείξετε ότι f()=+e -, f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ β) Να βρείτε το όριο ( y f(y)) γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι παρουσιάζει στο o Α τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ > 0, τέτοιο ώστε f () f( o ) για κάθε A ( o δ, o δ ), όπου Α το πεδίο ορισμού της f. Το o λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΜΑΘΗΜΑΤΑ Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

47 Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση gof, αν α) f και g, β) f ηµ και π γ) f ( ) και g εφ 4 g 48 ίνονται οι συναρτήσεις f + και g Να προσδιορίσετε τις συνα

47 Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση gof, αν α) f και g, β) f ηµ και π γ) f ( ) και g εφ 4 g 48 ίνονται οι συναρτήσεις f + και g Να προσδιορίσετε τις συνα ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 43 Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι f g Στις περιπτώσεις που είναι f g να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του στο οποίο ισχύει f g α) β) γ) f και f +

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ln 4 i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να δείξετε ότι η παραπάνω συνάρτηση γράφεται: ln iii Να λύσετε την εξίσωση ln 5 ln 3 4 a a1 4,, a i Να βρείτε τον αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4).

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). Δίνεται το σύστημα: x 2y= 9 ax+ βy= γ με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

4 ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Στο δι λανό Έστω η συνάρτηση f(x) = l n Αν f( x) = x+ x + 1. Να α οδείξετε ότι

4 ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Στο δι λανό Έστω η συνάρτηση f(x) = l n Αν f( x) = x+ x + 1. Να α οδείξετε ότι Γ Λυκείου - Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 4 ΤΥΠΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 4. Έστω η συνάρτηση () l n A) Βρείτε το εδίο ορισµού της B) Λύστε την εξίσωση + Γ) Λύστε την ανίσωση < ) Να δείξετε ότι + ( ) συν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα Τράπεζα θεμάτων ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα ΘΕΜΑ 2 (16950) α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και Α ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις, όταν: () με R και (). Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Το πεδίο ορισμού της είναι A R. Επομένως A A R Α Θα εξετάσουμε αν για κάθε R ισχύει.

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ Πραγματικοί αριθμοί

Άλγεβρα Α Λυκείου. Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ Πραγματικοί αριθμοί wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Επαναληπτικά θέματα από διαγωνίσματα ΟΕΦΕ 006-08 Δίνεται ότι και y Πραγματικοί αριθμοί α) i Να βρεθούν τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται το ii Να βρεθούν τα όρια μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C στο σημείο της A, ( ; ( Έστω μια συνάρτηση και A, ( ένα σημείο της C. Αν υπάρχει το ( ( ( lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0.

ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0. ΘΕΜΑ 5 ο Έστω συνάρτηση f :[0, + ) παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, + ) για την οποία ισχύει : 2 -f(t) 2f()+f ()= 2 e dt και f(0) = 0. i) Να δείξετε ότι + f() 0 για κάθε є [0, + ). ii) Να δείξετε ότι η f

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου + Επαναληπτικές ασκήσεις ς Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Βαγγέλης Ραμαντάνης Ευάγγελος Τόλης wwwaskisopolisgr η έκδοση Μάρτιος 6 wwwaskisopolisgr Παράγωγοι Εκφωνήσεις

Διαβάστε περισσότερα

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (Θεώρημα Frmat) Εστω μια συναρτηση ορισμενη σ ένα διαστημα Δ και ένα εσωτερικο σημειο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,,

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,, 1. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα 1 ( ) ( ) ( ) + + = + +. ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; + + + +.. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (,, ) είναι όταν είναι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ( - h). Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0 = και lim = h 0 h να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο 0 = και να βρείτε την (). () - + 6. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο 0 =

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ) ΘΕΜΑ ο Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ (ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ) Α. Να αποδείξετε ότι αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο 0,τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Β. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Τελική Επανάληψη e d g h g h Εκφωνήσεις 65, 6 Δίνονται η συνάρτηση και η σχέση g, 8 α) Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ

ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ? Εύρεση πεδίου ορισμού σε συνθέσεις.. Δίνεται η γν. αύξουσα συνάρτηση :[ -, ] R. Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της g () = ( + ) + ( + ). Β. Να βρεθεί η μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Συναρτήσεων. 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: στ. x 1

Στοιχεία Συναρτήσεων. 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: στ. x 1 Στοιχεία Συναρτήσεων 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: 1 α. f() β. f() 3 6 8 3 1 γ. g() δ. g() ( 6)( 5) 4 ε. h() 4 στ. h() 4 ζ. ε. στ. 1 φ() η. 1 1 1 r() 5 6 1 r() 1 5 6 φ() 5. Στις

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ενότητα 17 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ασκήσεις για λύση 1. Σε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ η πλευρά ΑΒ αυξάνεται με ρυθμό cm / s, ενώ η πλευρά ΒΓ ελαττώνεται με ρυθμό 3 cm / s. Να βρεθούν: i) ο ρυθμός μεταβολής

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα.

Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Μαθηματικά B Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις για το Πάσχα. Άλγεβρα. Κεφάλαιο 1 ο. 1. Να υπολογιστούν οι παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις : 1 7 1 7 1 1 ) - 1 4 : ) -1 1 : 1 4 10 9 6. Να λυθούν οι εξισώσεις:

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (4) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση w w + i 0 () και το πολυώνυμο 3 P ( ) + a + β -,, R α) Να λύσετε την εξίσωση () β)αν ο αριθμός w που βρήκατε στο ερώτημα α) είναι ρίζα της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι:. 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R

1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R 1 of 79 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f(x) = (x- 2) 2 + 1. (Μονάδες 12) β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Γ Λυκείου. ανάλυση. Μαθηματικά Προσανατολισμού Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά. Παράγωγοι. Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση

Γ Λυκείου. ανάλυση. Μαθηματικά Προσανατολισμού Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά. Παράγωγοι. Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση Γ Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού 06-07 Mίλτος Παπαγρηγοράκης Χανιά ανάλυση Ταξινομημένες ασκήσεις για λύση Παράγωγοι Ταξη: Γ Γενικού Λυκείου Μαθηματικά Θετικών Σπουδών Μέρος Β: Διαφορικός Λογισμός

Διαβάστε περισσότερα

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet: Κεφάλαιο: Συναρτήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης Γράφημα μιας συνάρτησης ( ) ονομάζουμε το σύνολο των σημείων G( ) (, ( ) ) / A που είναι υποσύνολο του. Το γράφημα αυτό { } συνήθως παριστάνεται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ . ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην ανάλυση

Εισαγωγή στην ανάλυση Εισαγωγή στην ανάλυση Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Έστω Α ένα υποσύνολο του και Α. Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση Πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ. Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),

Διαβάστε περισσότερα