Σ.Η. ΜΑΣΕΝ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι

Transcript

1 Σ.Η. ΜΑΣΕΝ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΙΑΛΕΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟ ΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι - ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

2 .

3 ΜΜΦ Ι /7-- Η λύση ενός προβλήµατος της Θεωρητικής Φυσικής ανάγεται, κατά κανόνα στην επίλυση µιας εξίσωσης ή ενός συστήµατος εξισώσεων, που µπο- ϱεί να είναι : Αλγεβρικές, ιαφορικές (συνήθεις ή µε µερικές παραγώγους), ολοκληρωτικές, ολοκληροδιαφορικές κλπ. Η διαδικασία µε την οποία προκύπτουν αυτές οι εξισώσεις είναι αντικείµενο της Μαθηµατικής Φυσικής, ενώ οι µέθοδοι λύσεως αυτών είναι αντικείµενο των Μαθηµατικών Μἑθόδων Φυσικής. Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής Ι Το µάθηµα περιλαµβάνει:. Μιγαδικές συναρτήσεις.ανάλυση F ourier α. Σειρές F ourier β. Μετασχηµατισµοί F ourier 3. Συνάρτηση έλτα Μαθηµατικές Μέθοδοι Φυσικής ΙΙ (Μάθηµα επιλογής). ιαφορικές Εξισώσεις ης τάξης. Ειδικές συναρτήσεις 3. Λογισµός µεταβολών Συνάρτηση δέλτα Οµογενές σχοινί έχει γραµµική πυκνότητα ρ(). Η µάζα του είναι M ρ()d M Στο σηµείο προσθέτουµε τη σηµειακή µά- Ϲα m. -a Η γραµµική πυκνότητα του σχοινιού είναι όπου ρ() ρ() + mδ( ) δ( ) για m a και η µάζα του είναι ηλαδή ρ()d ρ()d +m δ( )d }{{} } {{ } M m + M { δ( ) Σειρές Fourier: f() ϕραγµένη : (, ), f() περιοδική : f() f( + ), τότε f() a + a n cos nπ n + b n sin nπ a, a n, b n είναι οι συντελεστές Fourier της f(). Παρατηρούµε την προφανή οµοιότητα (!!!) της σειράς Fourier της f() µε την παράσταση του διανύσµατος r ως προς το ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων µε µοναδιαία διανύσµατα, y, z : r + y y + z z. Μετασχηµατισµοί Fourier: f() : (, ), f() d υπάρχει, τότε f() F (k) F (k) e ik dk f() e ik d F (k) Μετασχηµατισµός Fourier της f(). Μιγαδικές Συναρτήσεις:. Μιγαδικοί Αριθµοί (Μ.Α.) - Μιγαδικές Συναρτήσεις (Μ.Σ.). Παραγώγιση Μ.Σ. - Αναλυτικές Συναρτήσεις (Α.Σ.) 3. Ολοκλήρωση Μ.Σ. - Θεωρήµατα auchy 4. υναµοσειρές Μ.Σ. - Σειρές Taylor και σειρές aurent 5. Λογισµός Υπολοίπων και υπολογισµός ολοκληρωµάτων πραγµατικών συναρτήσεων 6. Γεωµετρική παράσταση των Μ.Σ.

4 Μιγαδικοί αριθµοί - `Αλγεβρα των Μ.Α. Σηµείωση. Στο κεφάλαιο αυτό που ϑεωρείται γνωστό από το Λύκειο ϑα γίνει µια σύντοµη ανασκόπηση των Μ.Α. Είναι καλό να διαβαστεί πάλι το ϐιβλίο του Λυκείου. Η εξίσωση α έχει λύση για R µόνο όταν α. Αν ϑέλουµε αυτή να έχει λύση για α και α < τότε πρέπει να επεκτείνουµε το σώµα των πραγµατικών στο σώµα των µιγαδικών αριθµών. Κάθε αλγεβρική εξίσωση : a n n + a n n + + a, (a i Μ.Α.) έχει λύσεις στο σώµα των µιγαδικών αριθµών. Ορισµός. Ενας µιγαδικός αριθµός είναι ένα διατεταγµένο Ϲεύγος δύο πραγµατικών αριθµών { α Re z z (a, β), µε α, β R β Im z Ιδιότητες z (α, ) α Re z (α, β) (α, β ) α α και β β (z + z ), Im z i (z z ) z + z (α, β ) + (α, β ) (α + α, β + β ) Επειδή ένας Μ.Α. είναι ένα διατεταγµένο Ϲεύγος, αυτός µπορεί να παρασταθεί µε ένα ση- (α, β ) (α, β ) (α α β β, α β + α β ) µείο του επιπέδου. Το επίπεδο αυτό λέγεται (, ) (το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης) z-µιγαδικό επίπεδο ή z-επίπεδο. (, ) (το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασµού) y Αλλος συµβολισµός Το διατεταγµένο Ϲεύγος (, ) το συµβολίζουµε µε i : (, ) i. Επειδή Σηµείωση. Οταν χρησιµοποιούµε τη µορφή : z α+iβ µπορούµε να κάνουµε άφοβα τις πράξεις της άλγεβρας προσέχοντας να ϑέτουµε όπου i. Αν z α + iβ και z α + iβ τότε z + z α + α + i(β + β ) z z (α α β β ) + i(α β + α β ) z α + iβ (α + iβ )(α iβ ) z α + iβ (α + iβ )(α iβ ) α α + β β α + β + i α β α β, z α + β `Ορισµός. Συζυγής του z α + iβ λέγεται ο ΜΑ z α iβ Ιδιότητες: (z ±z ) z ±z, (z z ) z z, ( z z ) z z β zz z (α + iβ)(α iβ) α + β z µέτρο του Μ.Α. + α + β z-επίπεδο r θ z(α,β)α + iβ r z + α + β α r cos θ, cos θ α/r β r sin θ, sin θ β/r (β, )(, ) (, β) (, β) iβ ο Μ.Α. z (α, β) γράφεται z (α, β) (α, ) + (, β) α + iβ Συµπέρασµα. Ενα Μ.Α. µπορούµε να το γράψουµε µε τις µορφές z (α, β) α + iβ i (, )(, ) (, ) n 4k Γενικά ισχύει : i n i n 4k + n 4k + i n 4k + 3 α Συµπέρασµα: Ενα Μ.Α. µπορούµε να τον γράψουµε µε τις εξής µορφές: z (α, β) α + iβ r(cos θ + i sin θ) r e iθ Στην τελευταία µορφή οδηγούµαστε αν ορίσουµε cos θ + i sin θ e iθ Σηµείωση. Αν δοθεί ο Μ.Α. z (α, β) µπορούν να ϐρεθούν :. Η εικόνα του (το σηµείο) στο z-επίπεδο. Το µέτρο του, r z, δηλαδή η απόσταση του σηµείου από την αρχή

5 3. Το όρισµά του (arg), δηλαδή η γωνία θ. Είναι ϕανερό ότι το όρισµα του µιγαδικού αριθ- µού δεν ορίζεται µονοσήµαντα. Επειδή arg z arctan β α z z r r (cos θ + i sin θ )(cos θ + i sin θ ) όρισµα του µιγαδικού αριθµού [ r r cos(θ + θ ) + i sin(θ + θ ) ] Αν ορίσουµε όµως Arg z θ µε Arg z < (ή οποιοδήποτε άλλο διάστηµα µήκους ) τότε arg z θ + kπ, k, ±, ±,... Το Arg του Μ.Α. z είναι απροσδιόριστο. Με τη ϐοήθεια της γεωµετρικής παράστασης του µιγαδικού αριθµού µπορούµε να κάνουµε εύκολα τις πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης χρησιµοποιώντας τον κανόνα του παραλληλογράµµου. και τότε z r (cos θ + i sin θ ) r e iθ r r e i(θ +θ ) Σηµείωση. Ο πολλαπλασιασµός ενός Μ.Α. z µε έναν άλλο Μ.Α. z, παριστάνει στροφή του z κατά γωνία ίση µε το όρισµα του z και πολλαπλασιασµό του µέτρου του z µε το µέτρο του z. y z- rr r r επιπεδο r z z θ zz z θθ +θ θ z-επίπεδο z +z y z z z -z Παράδειγµα. Αν κάθε σηµείο του ορθογωνίου OAB πολλαπλασιαστεί µε το Μ.Α. z i e iπ/ ϑα έχουµε ως αποτέλεσµα περιστροφή των σηµείων κατά γωνία π/. ηλαδή ϑα πάρουµε το ορθογώνιο OA B. z-επίπεδο y B Ορισµός. Απόσταση δύο µιγαδικών αριθµών: B' A' ρ(z, z ) z z z z Με τη ϐοήθεια της γεωµετρικής παράστασης µπο- ϱούν να δειχτούν οι ανισότητες. z z z + z z + z Σηµείωση. Προσοχή! Μπορούµε να πούµε ότι δύο Μ.Α. είναι ίσοι (z z ) αλλά δεν έχει έννοια να πούµε ότι : z > z ή z < z. Πολλαπλασιασµός δύο Μ.Α. Επειδή αν z (α, β) α + iβ r(cos θ + i sin θ) re iθ z r (cos θ + i sin θ ) r e iθ ' O Παράδειγµα. Αν z e i3π/4 και z 3e iπ/4, τότε z z z 3e i(3π/4+π/4) 6e iπ 6. ηλαδή ο Μ.Α. z έχει περιστραφεί κατά γωνία π/4 και το µέτρο του πολλαπλασιάστηκε επί 3. Ασκηση. Να δειχτεί ότι αν και τότε z r (cos θ + i sin θ ) r e iθ z r (cos θ + i sin θ ) r e iθ z z r r [ cos(θ θ ) + i sin(θ θ ) ] r r e i(θ θ ) A 3

6 Ασκηση. Να τοποθετηθούν στο z επίπεδο οι Μ.Α. z e iπ/4, z.5e iπ, z 3 e iπ, z 4 8e i4π. Ποιοί από αυτούς τους Μ.Α. έχουν µόνο πραγµατικό µέρος και ποιοί είναι ίσοι; ύναµη ενός Μ.Α. z n [ r(cos θ + i sin θ) ] n r n (cos nθ + i sin nθ) r n e inθ Για z r παίρνουµε τον τύπο του De Moivre - z π/4 π/4 -i ( + i) ( + i) ( + i) ( i) ( i) ( i) + i i + + Arg z ( + i ) ( + i ) Arg Arg [ i ] i Arg( + i) Arg( i) [ π ( 4 π )] π 4 ( +i Άρα : z i) e iπ ος τρόπος. Επειδή και + i + e iπ/4 e iπ/4 i + e iπ/4 e iπ/4 ϑα έχουµε ( ) ( ) + i e iπ/4 z i e iπ/4 ( e iπ/4 e iπ/4) e i(π/4+π/4) e iπ Άρα : z και Arg z π Ρίζα ενός µιγαδικού αριθµού n z z /n εκείνος ο Μ.Α. που όταν υψωθεί στην n-δύναµη δίνει τον αριθµό z. Υπάρχουν n τέτοιοι αριθµοί που ϐρίσκονται από τη σχέση z /n n [ r cos θ + k + i sin θ + k ] n n n r e i(θ+k)/n, k,,..., n Ερώτηση. Γιατί ο ακέραιος αριθµός k παίρνει µόνο τις παραπάνω τιµές; Παράδειγµα. Να ϐρεθούν οι ϱίζες του i /4. (cos θ + i sin θ) n (cos nθ + i sin nθ) z i, i, θ Argi π, n 4 Ασκηση.4 Να ϐρεθεί το µέτρο και το όρισµα του Μ.Α. z ( +i i) και να τοποθετηθεί στο z επίπεδο. ος τρόπος i /4 i /4 e i(π/+k)/4 e y iπ/8, k z-επιπεδο e i(π+k4π)/8 e i5π/8, k +i e π i9π/8, k e i3π/8, k 3 Ασκηση. Να δειχτεί ότι για τους µιγαδικούς αριθµούς: z e iπ/8, z e i5π/8 z e i9π/8 και z 4 e i3π/8 ισχύει η σχέση zk 4 i για k,,, 3. Τις ασκήσεις γ,, 6α,β, 8β, και 4α του ϕυλλαδίου των ασκήσεων να τις ϕέρετε λυµένες την Παρασκευή -3- β 4 ΜΜΦ Ι /-- y z (α, β) α + iβ r(cos θ + i sin θ) re iθ z-επίπεδο r θ z(α,β)α + iβ α r z + α + β α r cos θ, cos θ α/r β r sin θ, sin θ β/r arg(z) arctan β θ + kπ, k, ±, ±, α θ Arg z [, ) z z r r e i(θ +θ ), z n r n e inθ

7 z-επιπεδο y Ασκηση. Να δειχθεί ότι : ( + i) 7 8( + i) y z-επίπεδο -+i 3π/4 ( + i) 7 [ e i 3π 4 z + i z ( ) + Arg( + i) 3π 4 ] 7 8 e i 4 8 e i(5π+ π 4 ) 8 e i5π }{{} 8 e i π 4 8( + i) e i π 4 z - z θ z θ z z + z z - z Σχήµα : Γραφική παράσταση των αριθµών z ± z. µια δύναµη συνεπάγεται πολλαπλασιασµό του ορίσµατος µε τη δύναµη. Ετσι τα ορίσµατα των (z z ) n και (z + z ) n είναι Θ Arg[(z z ) n ] n Arg(z z ) nθ Θ Arg[(z + z ) n ] n Arg(z + z ) nθ Ασκηση. Να ϐρεθούν οι τιµές των και y που ικανοποιούν τις εξισώσεις: α) ( + iy) ( iy), ϐ) + y + 3 i( + y 3) Για την πρώτη εξίσωση έχουµε: y + iy y iy 4iy ηλαδή y. Εποµένως η εξίσωση α) ικανοποιείται όταν y και y όταν. ηλαδή για όλα τα σηµεία του πραγµατικού άξονα και του ϕανταστικού άξονα. Για τη δεύτερη εξίσωση έχουµε: + y + 3 και + y 3 + y 3 και 3 y 7 και y 7 Ασκηση. Να δεχτεί ότι αν z z τότε οι µιγαδικοί αριθµοί (z + z ) n και (z z ) n ορί- Ϲουν στο z-επίπεδο ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Λύση. Οι µιγαδικοί αριθµοί z z και z + z ϕαίνονται στο Σχ.. Τα ορίσµατά τους είναι θ και θ αντίστοιχα. Επειδή το παραλληλόγραµ- µο είναι ϱόµβος οι διαγώνιοι τέµνονται κάθετα, δηλαδή } θ Arg(z z ) θ θ Arg(z + z ) θ π Η ύψωση ενός µιγαδικού αριθµού σε Με αφαίρεση των ορισµάτων Θ και Θ έχουµε Θ Θ nθ nθ n(θ θ ) n π nπ Αφού η διαφορά των ορισµάτων των µιγαδικών αριθµών (z z ) n και (z + z ) n είναι ένα ακέ- ϱαιο πολλαπλάσιο του π, οι δύο αριθµοί ϐρίσκονται στην ίδια ευθεία µε την αρχή των αξόνων. Προς το ίδιο µέρος της ευθείας όταν n k, προς αντίθετες ϕορές όταν n k +. Μιγαδικές Συναρτήσεις w f(z) u(, y) + iv(, y) όπου u(, y), v(, y) πραγµατικές συναρτήσεις των, y S z f(z).. Κάθε συνάρτηση f(z) µπορεί να γραφεί µε τη µορφή w f(z) u(, y) + iv(, y). Αντίστροφα, αν έχουµε δύο πραγµατικές συναρτήσεις u(, y) και v(, y) µπορούµε να ορίσουµε µια µιγαδική συνάρτηση, αφού τα και y µπορούν να γραφούν µε τη µορφή (z + z )/ και y (z z )/(i). T w 5

8 Παραδείγµατα w f(z) z ( + iy) y + iy u y, v y w f(z) z iy u, v y y S z z-επιπεδο v f(z). z..... z 3 w w-επιπεδο w 3 w T u w f(z) z + iy + y }{{ } u y +i, z + y }{{ } v iy ( + iy)( iy) Η συνάρτηση w f(z) ορίζεται για z(z +) κάθε z εκτός από τα σηµεία z, ±i. ηλαδή για κάθε z υπάρχουν δύο τιµές w, η w και η w. Εποµένως η παράσταση w z / δεν είναι συνάρτηση µε την αυστηρή έννοια της συνάρτησης. Αυτή λέγεται πλειότιµη συνάρτηση ή συνάρτηση. Οι παραστάσεις: w r [ cos θ + i sin θ ], θ < Παράδειγµα. Η συνάρτηση w f(z) z z για z e iπ/4 γράφεται : w f(z) e iπ/4 z e iπ/4 r e iθ r e i(θ+π/4) Ετσι κάθε σηµείο του z-επιπέδου έχει µια εικόνα στο w-επίπεδο που ϐρίσκεται αν πολλαπλα- Η παράσταση w z / είναι συνάρτηση ; w z / [ r cos θ + k +i sin θ + k ] σιάσουµε το µέτρο του z επί και προσθέσου-, k, µε στο όρισµα του τη γωνία π/4. ηλαδή έχου- µε µια περιστροφή του σηµείου z κατά [ r cos θ + i sin θ w z / ] π/4 και, k πολλαπλασιασµό του µέτρου του επί. ηλαδή, όλα τα σηµεία του τετραγώνου του z-επιπέδου [ r cos( θ + π) + i sin( θ + π)], k του σχήµατος ϑα έχουν µια εικόνα στο τετράγωνο του w-επιπέδου που έχει πλευρά (ΟΑ) και έχει περιστραφεί κατά γωνία π/4. y z-επιπεδο B ' v w-επιπεδο B' A' και w r [ cos( θ +π)+i sin(θ +π)], θ < O A f(z) / e i π/4 z O' u είναι συναρτήσεις και λέγονται κλάδοι της πλειότιµης συνάρτησης w z / Γραφική παράσταση µιας Μ.Σ Η γραφική παράσταση µιας Μ.Σ. δεν µπορεί να γίνει σε ένα επίπεδο όπως γίνεται για µια πραγ- µατική συνάρτηση. Αυτή γίνεται σε δύο επίπεδα, στο z-επίπεδο όπου παίρνει τιµές η ανεξάρτητη µεταβλητή και στο w-επίπεδο όπου παίρνει τι- µές η συνάρτηση. Με αυτόν τον τρόπο σε κάθε σηµείο z (, y) του z-επιπέδου που ανήκει στο πεδίο ορισµού S της f(z) αντιστοιχεί ένα σηµείο w (u, v) του w-επιπέδου. Στοιχειώδεις συναρτήσεις Η συνάρτηση w P (z) a n z n + a n z n + + a z + a όπου a n και a, a,... a n µιγαδικές σταθερές και n ϑετικός ακέραιος αριθµός λέγεται πολυωνυ- µική συνάρτηση ή πολυώνυµο n-ϐαθµού. Η w P (z) όπου P (z) και Q(z) πολυώνυµα, λέγεται ϱητή αλγεβρική Q(z) συνάρτηση. Εκθετικές συναρτήσεις Η εκθετική συνάρτηση e z µπορεί να οριστεί µε διαφορετικούς τρόπους. Με όποιον τρόπο και αν 6

9 οριστεί ϑα πρέπει όταν z να οδηγεί στην εκ- ϑετική συνάρτηση της πραγµατικής µεταβλητής, e. Θα ορίσουµε πρώτα τη συνάρτηση e iy, y πραγ- µατικός αριθµός. Για την συνάρτηση e ισχύει e +! +! < () 3! Ορισµός. Την εκθετική συνάρτηση µε εκθέτη ένα ϕανταστικό αριθµό την ορίζουµε µε τη ϐοή- ϑεια της προηγούµενης σχέσης, ϑέτοντας όπου το iy. Ετσι y. z3 iπ z-επιπεδο z +i(π/). z 5+i(π/4). f(z)e z w-επιπεδο w e 5 e iπ/4 w i e. w Ασκηση. Να αποδειχτούν οι παραπάνω ιδιότητες. Ασκηση. Που ϐρίσκονται στο w-επίπεδο οι τιµές της συνάρτησης f(z) e z όταν z z + iπ/, z z 5 + iπ/4, z z 3 iπ. v e π/4 e 5 u e iy + iy! + (iy) + (iy)3 + iy <, y <! 3! Η σχέση αυτή γράφεται ακόµη f(z ) e +i π e e i π ie f(z ) e 5+i π 4 e 5 e i π 4 f(z 3 ) e +iπ e e iπ ηλαδή e iy y! + y4 4! y6 6! + }{{} cos y ( y + i! y3 ) 3! + y5 5! y7 7! + }{{} sin y e iy cos y + i sin y () Επίσης e iy cos y i sin y Από τις δύο παραπάνω σχέσεις έχουµε cos y (eiy +e iy ), sin y i (eiy e iy ) (3) Οι σχέσεις (3) λέγονται τύποι του Euler. Ορισµός. Η εκθετική συνάρτηση e z µε z µια µιγαδική µεταβλητή (z + iy) ορίζεται από τη σχέση e z e +iy e e iy e (cos y + i sin y) Παρατήρηση. Το µέτρο της µιγαδικής συνάρτησης e z είναι e z e. Το όρισµα της Μ.Σ. e z είναι arg e z y + k, k, ±, ±, Που απεικονίζονται τα σηµεία αυτά όταν m < ; Ιδιότητες. Παρατήρηση. Επειδή e z e e iy e e iy e και επειδή η πραγµατική συνάρτηση e δεν µηδενίζεται πουθενά (εκτός από το ), η Μ.Σ. e z δεν έχει καµµία ϱίζα για z <. Ασκηση 3. Να αποδείξετε αυτήν την πρόταση µε διαφορετικό τρόπο. Ασκηση 4. Να δειχτεί ότι e imz όταν Im z και m. e imz e im(+iy) e im e my e my Για y και m ισχύει e my e my. ηλαδή, όλα τα σηµεία του επάνω z-ηµιεπιπέδου απεικονίζονται στο µοναδιαίο κύκλο του w-επιπέδου. y z-επιπεδο Im z > f(z)e imz m> v w-επιπεδο W < w u e z e z e z +z, e z e z ez z, (e z ) n e nz 7

10 Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις Οι σχέσεις (3) µας ϐοηθούν να ορίσουµε τις τριγωνοµετρικές συναρτήσεις µιας µιγαδικής µετα- ϐλητής. Ορισµός. cos z (eiz + e iz ), sin z i (eiz e iz ) (4) Παράδειγµα. Για z 5π + i το cos z είναι cos(5π + i) ] [e i(5π+i) + e i(5π+i) [ ] e i5π }{{} e + e} i5π {{} e (e + e ) cosh cos(5π + i) cosh >! Προσοχή! Το µέτρο των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων µπορεί να είναι µεγαλύτερο της µονάδας. Σηµείωση. Για τις Μ.Σ. cos z και sin z ισχύουν όλες οι τριγωνοµετρικές ταυτότητες. Παραδείγµατα. sin z + cos z [ ] [ i (eiz e iz ) + (eiz + e )] iz [ ] (e iz + e iz e ) + (e iz + e iz + e ) 4 cosh z (ez +e z ) (e i(iz) +e i(iz) ) cos(iz) Παράδειγµα. Για τις υπερβολικές συναρτήσεις ισχύει η ταυτότητα cosh z sinh z. Ξεκινώντας από το πρώτο µέλος έχουµε cosh z sinh z 4 (ez + e z ) 4 (ez e z ) Σηµείωση. Οι τριγωνοµετρικές και οι υπερ- ϐολικές συναρτήσεις µιας µιγαδικής µεταβλητής είναι µονότιµες συναρτήσεις. Οι αντίστροφες τριγωνοµετρικές και οι αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις που ορίζονται µε τον ίδιο τρόπο που ορί- Ϲονται και οι αντίστοιχες πραγµατικές συναρτήσεις είναι πλειότιµες συναρτήσεις. Σηµείωση. Οι Μ.Σ. sin z, cos z, e z µπορούν να οριστούν απευθείας από τις σειρές: sin z cos z e z n n n ( ) n (n + )! zn+, z < ( ) n (n)! z n, n! zn, z < z < 4 4e sin(z + π) [ e i(z+π) e i(z+π)] [e iz e iπ e iz e iπ] i i i ( )(eiz e iz ) i (eiz e iz ) sin z Ορισµοί. tan z sin z cos z, cos z cot z sin z sinh z (ez e z ), cosh z (ez + e z ), tanh z sinh z cosh z ez e z + Οι υπερβολικές συναρτήσεις sinh και cosh συνδέονται µε τις τριγωνοµετρικές συναρτήσεις µέσω των σχέσεων Η συνάρτηση" ln z. ln, ln δεν υπάρχει ln( )?, ln( + i)? Ορισµός. Ο ϕυσικός λογάριθµος του Μ.Α. z είναι εκείνη η δύναµη στην οποία πρέπει να υψω- ϑεί το e για να µας δώσει τον αριθµό z w ln z z e w (5) sinh z (ez e z ) (e i(iz) e i(iz) ) i i (ei(iz) e i(iz) ) i sin(iz) 8

11 ΜΜΦ Ι 3/-3- z (α, β) α + iβ r(cos θ + i sin θ) re iθ S z f(z).. w f(z) u(, y) + iv(, y) R(, y) e iφ(,y) e z e +iy e e iy,. T w e iy cos y + i sin y e z e, arg(e z ) y + k, k, ±, ±, cos z (eiz + e iz ), sin z i (eiz e iz ) cosh z (ez + e z ), sinh z (ez e z ) cosh z cos(iz), Η συνάρτηση" ln z. ln, sinh z i sin(iz) ln δεν υπάρχει ln( )?, ln( + i)? Ορισµός. Ο ϕυσικός λογάριθµος του Μ.Α. z είναι εκείνη η δύναµη στην οποία πρέπει να υψω- ϑεί το e για να µας δώσει τον αριθµό z Στις προηγούµενες σχέσεις ϑέσαµε n r και όχι ln r για να δηλώσουµε το λογάριθµο του πραγ- µατικού αριθµού r. Παρατηρούµε ότι σε κάθε Μ.Α. z αντιστοιχούν άπειροι αριθµοί ln z. ηλαδή άπειροι αριθµοί για τους οποίους οι δυνάµεις του e δίνουν ως αποτέλεσµα το Μ.Α. z. Ο λογάριθµος µιας µιγαδικής µεταβλητής είναι πλειότιµη συνάρτηση µε άπειρο αριθµό κλάδων. Αν ϑέσουµε k και θ < τότε η πρωτεύουσα τιµή ή ο πρωτεύων κλάδος της συνάρτησης ln z είναι n z n r + iθ Παράδειγµα. Για z, οπότε θ Arg( ) π, έχουµε ln( ) n + i(π + k) i(k + )π, k, ±, ±... ή διαφορετικά e i(k+)π. Για z + i, θ Arg( + i) π/4 έχουµε ln( + i) n + i + i( π 4 + k) n 8 + i ( k + 4) π, k, ±, ±, w ln z z e w (6) z-επιπεδο v w-επιπεδο Επειδή z + iy r(cos θ + i sin θ) re iθ και w u + iv ϑα έχουµε re iθ e u+iv re iθ e u e iv (7) y i5π i3π n&8+ i(+/4)π Επειδή δύο Μ.Α. είναι ίσοι όταν τα πραγµατικά µέρη είναι ίσα και τα ϕανταστικά µέρη είναι ίσα, ή ακόµα όταν τα µέτρα τους είναι ίσα και τα ορίσµατα τους είναι ίσα ή διαφέρουν κατά ένα ακέ- ϱαιο πολλαπλάσιο του, η σχέση (7) µας οδηγεί στις σχέσεις e u r u n r n z - +i lnz iπ iπ i3π n&8+ i π /4 n&8 u και ηλαδή v θ + k, k, ±, ±,... w ln z n r + i(θ + kπ), k, ±, ±,... Μη ϱητές δυνάµεις µιας µιγαδικής µεταβλητής Η µη ϱητή δύναµη c µιας µιγαδικής µεταβλητής, όπως και στις πραγµατικές µεταβλητές, ορίζεται µε τη ϐοήθεια του λογαρίθµου 9

12 Ορισµός. z c e c ln z όπου c και z εν γένει µιγαδικοί αριθµοί. Η σχέση αυτή γράφεται ακόµη z c e c[n z +i(θ+k)] e c[n z +iθ] e ick k, ±, ±, όπου z c e cn z και arg (z c ) c(θ + k). Μπορεί να δειχτεί σχετικά εύκολα ότι η δύναµη z c είναι : µονότιµη συνάρτηση όταν c ακέραιος αριθµός πλειότιµη συνάρτηση µε πεπερασµένο αριθµό κλάδων όταν c m/n ακέραιος και m, n ακέ- ϱαιοι αριθµοί πλειότιµη συνάρτηση µε άπειρο αριθµό κλάδων όταν c άρρητος αριθµός (πραγµατικός ή µιγαδικός). Παράδειγµα. Να ϐρεθούν οι τιµές της δύναµης i i. i i e i ln i e i[n i +i( π +k)] e (k+ )π k, ±, ±, Στο παρακάτω σχήµα ο άξονας u του w επιπέδου είναι σε λογαριθµική κλίµακα. z-επίπεδο y v. i Ασκήσεις e -9π/ w-επίπεδο e -π/ e 7π/ u k k k k- k- f(z)z i Ασκήση.α (σελ. 4 του ϕυλλαδίου ). z + i z ( i) y Γενικά η σχέση z z R παριστάνει όλα τα σηµεία του z επιπέδου που απέχουν από το ση- µείο z απόσταση ίση µε R. ηλαδή παριστάνει τον κύκλο µε κέντρο το σηµείο z και ακτίνα R. Σηµείωση. Η σχέση z z + R e iθ, θ [, ] παριστάνει επίσης τον ίδιο κύκλο. Ασκήσεις στ, η (σελ. 4 του ϕυλλαδίου) (`Ασκηση β) Im z < y z-επίπεδο (Ασκηση γ) Ασκήσεις. ια (σελ. 4 του ϕυλλαδίου) και Argz π 3. (Ασκηση ε) y z-επίπεδο z - z* i y (Ασκηση στ) Arg zπ/3 `Ασκήση 3 (σελ. 4 του ϕυλλαδίου ). α) e z+ki e z e ik e z e z y y π/3 z-επίπεδο. z-επίπεδο ηλαδή η e z είναι περιοδική µε περίοδο i. και ϐ) e z e (+iy) e iy (e z ) [e +iy ] e iy Άρα : e z (e z ). Επίσης, επειδή e iz e i( iy) e y e i και (e iz ) [e i(+iy) ] e i( iy) e y e i γενικά ισχύει e iz (e iz ). Η ισότητα ισχύει (δηλαδή e iz (e iz ) ) όταν y y y και i i + n nπ ηλαδή η ισότητα ισχύει όταν z nπ, n, ±, ±,. Ασκηση 5. e z < z? Re z > r z -i e z < e e iy < e e iy < e < >

13 y z-επίπεδο v w-επίπεδο > f(z)e -z w < u Ασκηση 6 (σελ. 4 του ϕυλλαδίου). Να δειχτεί ότι e z+i + e iz e + e y. Γνωρίζουµε ότι ισχύει η ανισότητα Αλλά e z+i + e iz e z+i + e iz e z+i e e i(y+) e e i(y+) e και e iz e i( y +iy) e y e i( y ) e y Εποµένως ισχύει η ανισότητα που ϑέλουµε να δείξουµε. Ασκηση. Να ϐρεθούν τα πραγµατικά και τα ϕανταστικά µέρη των συναρτήσεων α) f(z) sin z ϐ) f(z) cos z sin z i [eiz e iz ] i [ei e y e i e y ] `Αρα i [e y (cos + i sin ) e y (cos i sin )] i [(e y e y ) cos + i(e y + e y ) sin ] i (ey e y ) cos + (ey + e y ) sin cosh y sin + i sinh y cos u Re [sin z] cosh y sin v Im [sin z] sinh y cos Με τον ίδιο τρόπο ϐρίσκεται ότι και cos z cosh y cos i sinh y sin u Re [cos z] cosh y cos v Im [cos z] sinh y sin Ασκηση 4. Να δειχθεί ότι : γ) cos z cos + sinh y δ) sin z sin + sinh y cos z (cosh y cos ) + ( sinh y sin ) cosh y cos + sinh y sin cosh y cos + sinh y( cos ) cosh y cos + sinh y sinh y cos sinh y + (cosh y sinh y) cos }{{} sinh y + cos `Οµοια ϐρίσκεται ότι ισχύει sin z sinh y + sin Σηµείωση. Επειδή sinh y τα µέτρα των συναρτήσεων cos z και sin z µπορούν να παίρνουν τιµές στο διάστηµα [, )! Ασκηση 5/. sin z, z? sin z i (eiz e iz ) e iz e iz e iz iz ln iz n + i( + k) k, ±, ±, iz ik z kπ, k, ±, ±, Σηµείωση. Ολα τα σηµεία z kπ µε το µετασχηµατισµό f(z) sin z απεικονίζονται στο w- επίπεδο στο σηµείο w. Οµοια ϐρίσκεται ότι η συνάρτηση f(z) cos z µηδενίζεται στα σηµεία z (k+) π, k, ±, Σηµείωση. Οι µιγαδικές συναρτήσεις sin z και cos z µηδενίζονται εκεί που µηδενίζονται και οι αντίστοιχες πραγµατικές συναρτήσεις. Ασκηση 5/3-5/4. Να ϐρεθούν οι ϱίζες των εξισώσεων : α) sinh z, ϐ) cosh z, γ) cos z α) sinh z (ez e z ) e z z ln z n + i( + k) z ikπ, k, ±, ±, ϐ) cosh z (ez + e z ) e z z ln( ) z n ( ) + i(π + k) z i(k + ) π, n, ±, ±,...

14 Σηµείωση 3. Ενώ η πραγµατική συνάρτηση sinh έχει µόνο µια ϱίζα (το σηµείο ) και η πραγ- µατική συνάρτηση cosh δεν έχει καµµία ϱίζα, οι µιγαδικές συναρτήσεις sinh z και cosh z έχουν άπειρες ϕανταστικές ϱίζες. Ασκηση 6. Να ϐρεθούν οι ϱίζες των εξισώσεων: α) e z ϐ) e z + i 3 ε) cos z α) e z z ln( ) z n + i(π + k) z n + i(k + )π, k, ±, ±, Με το µετασχηµατισµό e iz ω η τελευταία εξίσωση γράφεται ω 4ω + ω 4 ± 6 4 Για ω + 3 έχουµε ± 3 e iz + 3 iz n i( + k) z k in( + 3), k, ±, ±,... Για ω 3 έχουµε e iz 3 iz n 3 + i( + k) z k in( 3), k, ±, ±,... y z-επίπεδο n+i3π f(z)e z n+iπ n-iπ n-i3π v w- w-επίπεδο u Ασκηση. Να παρασταθούν οι ϱίζες της εξίσωσης cos z στο z επίπεδο. Ποιές είναι οι εικόνες αυτών των σηµείων στο w επίπεδο όταν επιδράσει ο µετασχηµατισµός f(z) cos z; Ασκηση 9γ. i ; i e i ln e i[n +i(+k)] e in e k k, ±, ±, ϐ) e z + i 3 z ln( + i 3) n + i 3 + i(θ + k) Επειδή + i 3 και Arg ( + i 3) π 3 οι ϱίζες της εξίσωσης είναι z n + iπ(k + ), k, ±, ±, 3 Ασκηση. Να παρασταθούν οι τιµές της w i στο w επίπεδο. Παράγωγος µιγαδικής συνάρτησης Ορισµός. Ο Μ.Α. w λέγεται το όριο της Μ.Σ. f(z) στο σηµείο z z και γράφουµε όταν lim z z f(z) w y z-επίπεδο f(z)e z n+i7π/3 v w-επίπεδο w+i3 / ε > δ(z, ε) > : z µε z z < δ f(z) w < ε n+iπ/3 n-i5π/3 u y z-επίπεδο f(z) v w-επίπεδο n-iπ/3 z δ ε w u ε) cos z (eiz + e iz ) e iz + e iz 4 e iz + 4e iz (e iz ) 4e iz + Σηµείωση. Στις πραγµατικές συναρτήσεις το σηµείο µπορούµε να το πλησιάσουµε µε δύο τρόπους, από δεξιά και από αριστερά. Στις Μ.Σ

15 η µιγαδική µεταβλητή z µπορεί να πλησιάσει το σηµείο z µε άπειρους τρόπους. Η ύπαρξη του ορίου απαιτεί όταν το z τείνει στο z, µε οποιονδήποτε τρόπο, η f(z) να τείνει στον αριθµό w. Αυτή είναι µια χαρακτηριστική διαφορά µεταξύ των πραγµατικών και µιγαδικών συναρτήσεων και σε αυτήν τη διαφορά οφείλονται ορισµένες χαρακτηριστικές ιδιότητες των Μ.Σ. που δεν υπάρχουν στις πραγµατικές συναρτήσεις.. Σηµείωση. `Οταν λέµε ότι το σηµείο z + iy τείνει σε ένα σταθερό σηµείο z + iy αυτό σηµαίνει ότι και y y. Θεώρηµα. Η ύπαρξη του ορίου µιας συνάρτησης f(z) u(, y) + iv(, y) στο σηµείο z + iy, δηλαδή lim z z f(z) w u + iv ικανοποιείται εάν και µόνο εάν lim u(, y) u και lim v(, y) v (,y) (, y ) (, y) (, y ) ΜΜΦ Ι 4/5-3- Θεώρηµα. Αν lim f(z) w z z lim F (z) W τότε z z και lim z z [f(z)±f (z)] lim z z f(z)± lim z z F (z) w ±W lim z z [f(z) F (z)] lim z z f(z) lim z z F (z) w W lim z z f(z) F (z) lim z z f(z) lim z z F (z) w, W W Ορισµός. Η συνάρτηση f(z) λέγεται συνεχής στο σηµείο z z εάν και µόνο εάν ικανοποιούνται οι παρακάτω τρεις συνθήκες:. Η f(z) ορίζεται στο σηµείο z. ηλαδή υπάρχει η f(z )..Το όριο της f(z) στο σηµείο z υπάρχει. ηλαδή lim z z f(z) w 3. lim z z f(z) w f(z ) Ορισµός. Η f(z) λέγεται συνεχής στο πεδίο ορισµού της S όταν είναι συνεχής z ɛs. Θεώρηµα. Αν η f(z) u(, y) + iv(, y) είναι συνεχής στο σηµείο z +iy τότε οι συναρτήσεις u(, y) και v(, y) είναι συνεχείς στο σηµείο (, y ) και αντίστροφα. 3 Ιδιότητες της συνέχειας Αν οι συναρτήσεις f(z) και g(z) είναι συνεχείς στο z τότε είναι συνεχείς και οι συναρτήσεις f(z) ± g(z), f(z) g(z) και f(z)/g(z) εφόσον ϐέβαια ισχύει g(z ). Αν η f(z) είναι συνεχής z του πεδίου ορισµού της S τότε είναι ϕραγµένη στο S. ηλαδή υπάρχει µια σταθερά για την οποία ισχύει : f(z) < R z ɛs Αν η f(z) είναι συνεχής στο πεδίου ορισµού της, S, τότε είναι οµοιόµορφα συνεχής στο S. Για τον ορισµό της οµοιόµορφης συνέχειας ϐλέπε σελ.74 του ϐιβλίου. Οι ασκήσεις: δ, ε, α, β,, 6γ, 7 του ου κεφαλαίου του ϕυλλαδίου των ασκήσεων πρέπει να παραδοθούν λυµένες τη ευτέρα -3-. S z f(z).. w f(z) u(, y) + iv(, y) R(, y) e iφ(,y) Ο Μ.Α. w λέγεται το όριο της Μ.Σ. f(z) στο σηµείο z z και γράφουµε: lim z z f(z) w, όταν ε > δ(z, ε) > : z µε z z < δ f(z) w < ε Η ύπαρξη του ορίου µιας συνάρτησης f(z) u(, y)+ iv(, y) στο σηµείο z + iy, δηλαδή: lim z z f(z) w u + iv, ικανοποιείται εάν και µόνο εάν: lim (,y) (, y ) u(, y) u και. T w lim (, y) (, y ) v(, y) v Αν η f(z) u(, y) + iv(, y) είναι συνεχής στο σηµείο z + iy τότε οι συναρτήσεις u(, y) και v(, y) είναι συνεχείς στο σηµείο (, y ) και αντίστρο- ϕα. Αν οι Μ.Σ. f(z) και g(z) είναι συνεχείς στο z τότε είναι συνεχείς και οι συναρτήσεις f(z) ± g(z), f(z) g(z) και f(z)/g(z) εφόσον ισχύει g(z ). Αν η f(z) είναι συνεχής z του πεδίου ορισµού της S τότε είναι ϕραγµένη στο S. Ορισµός της παραγώγου

16 y D S z-επίπεδο zz + z z z f(z) v ww + w w-επίπεδο Ας είναι w f(z) µια συνεχής συνάρτηση στον τόπο D S του z-επιπέδου µε πεδίο τιµών στον τόπο D T του w-επιπέδου. Τα σηµεία z και z z + z του z-επιπέδου απεικονίζονται στα σηµεία w και w w + w του w-επιπέδου. Στη µεταβολή z αντιστοιχεί η µεταβολή w w w f(z + z) f(z ) της συνάρτησης. Ορισµός. Ονοµάζουµε παράγωγο της f(z) ως προς την ανεξάρτητη µεταβλητή z στο σηµείο z ɛ D S το όριο του λόγου w w w z f(z + z) f(z ) z (όταν z ) εφόσον για το σηµείο z το όριο του λόγου w υπάρχει και είναι ένας πεπερασµένος z αριθµός f w (z ) lim z z lim f(z + z) f(z ) z z (8) Σηµείωση. Το όριο του λόγου w/ z πρέπει να υπάρχει και να είναι ένας πεπερασµένος Μ.Α. ανεξάρτητα µε ποιον τρόπο το z τείνει στο µηδέν. Το z µπορεί να πλησιάσει στο µηδέν κατά µήκος ενός οποιουδήποτε από τους άπειρους δρόµους που ενώνουν τα σηµεία z και z. Η συνθήκη αυτή επιβάλλει αυστηρούς περιο- ϱισµούς στις συναρτήσεις που έχουν παράγωγο. Αυτός είναι ο λόγος που οι παραγωγίσι- µες Μ.Σ. έχουν κάποιες χαρακτηριστικές ιδιότητες που δεν έχουν οι πραγµατικές συναρτήσεις. Μια Μ.Σ. µπορεί να έχει παράγωγο µόνο σε ένα σηµείο (π.χ. η f(z) z έχει παράγωγο µόνο στο σηµείο στο z ), κατά µήκος µιας καµπύλης ή σε έναν τόπο. Μια παραγωγίσιµη συνάρτηση είναι συνεχής συνάρτηση. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Υπάρχουν συνεχείς Μ.Σ. που δεν είναι παραγωγίσιµες (π.χ. η f(z) z ) D T u Παράδειγµα. Για τη συνάρτηση w f(z) z iy έχουµε : w z z z f(z + z) f(z) z i y + i y (z + z) z z Ενα τυχαίο σηµείο z µπορούµε να το πλησιάσου- µε µε άπειρους τρόπους. y y y. Αν z έτσι ώστε y και τότε το όριο του λόγου w/ z είναι w lim z lim. Αν z έτσι ώστε και y τότε το όριο του λόγου w/ z είναι w lim y z lim i y y i y Επειδή για δύο διαφορετικούς τρόπους, για τους οποίους το z, παίρνουµε διαφορετική τιµή του ορίου του λόγου w/ z (ανεξάρτητα από το σηµείο z), η f(z) δεν είναι πουθενά παραγωγίσι- µη. Παράδειγµα. Για τη συνάρτηση w f(z) z z z έχουµε : w lim z z w f(z + z) f(z) (z + z)(z + z) zz z z + z z + z z w z z z z + z + z lim z z + lim z z z z + lim z + z lim z z z z z Αν z έτσι ώστε y και, τότε w lim z z lim w z z +z lim z+z 4

17 Αν z έτσι ώστε και y, τότε w lim z z w lim y z z + z i y z + z lim y i y Για z η τιµή του ορίου εξαρτάται από τον τρόπο µε τον οποίο το z. Ετσι η f(z) z δεν είναι παραγωγίσιµη για z. Το σηµείο z πρέπει να εξεταστεί χωριστά. Για z έχουµε lim z w z w z z z z lim ( i y) (, y) ανεξάρτητα από το πως το z. ηλαδή η παράγωγος της f(z) z στο σηµείο z υπάρχει. Παράδειγµα 3. Για την συνάρτηση w f(z) z n (n ϕυσικός αριθµός) έχουµε : d w [ f(z + z) f(z) (z + z) n z n dz ] z n + nz n z + n(n )! z n ( z) + + ( z) n z n και w z nz n + n(n )! z n ( z) + + ( z) n Παρατηρούµε ότι εκτός από τον όρο nz n όλοι οι άλλοι όροι µηδενίζονται όταν z. Ετσι : Ορισµός. Οταν η Μ.Σ. f(z) είναι αναλυτική για κάθε z: z <, λέγεται ακέραια συνάρτηση (π.χ. η συνάρτηση f(z) z n ). Ορισµός. Οταν η Μ.Σ. f(z) είναι αναλυτική σε ένα σηµείο, το σηµείο λέγεται οµαλό ή κανονικό σηµείο της f(z). Ορισµός. Ανώµαλο σηµείο της f(z) λέγεται ένα σηµείο στο οποίο η συνάρτηση δεν είναι αναλυτική, ενώ αυτή µπορεί να είναι αναλυτική σε κάθε άλλο σηµείο µιας περιοχής του ϑεωρούµενου ση- µείου. Για παράδειγµα τα σηµεία z και z i είναι ανώµαλα σηµεία της f(z) /[z(z i)]. Κανόνες παραγώγισης Για τις αναλυτικές συναρτήσεις ισχύουν οι κανόνες παραγώγισης των πραγµατικών συναρτήσεων. d dz [af(z) ± bg(z)] af (z) ± bg (z), a, b σταθερές d dz [f(z) g(z)] f (z) g(z) + f(z) g (z) f(z) g(z) f (z)g(z) g (z)f(z) [g(z)] d dz f( g(z) ) df dg dg dz f(z) lim z z g(z) lim f (z) z z g (z) f (z ), g κανόνας Hospital (z ) όταν lim f(z) και lim g(z) είναι και τα δύο ή z z z z και τα δύο είναι. dz n dz lim w z z nzn όπως και στις πραγµατικές συναρτήσεις. Οι Μ.Σ που δεν έχουν παράγωγο ή έχουν πα- ϱαγώγους µόνο σε αποµονωµένα σηµεία του z- επιπέδου παρουσιάζουν µικρότερο ενδιαφέρον σε σύγκριση µε τις συναρτήσεις που έχουν παράγωγο στην περιοχή ενός σηµείου. Ορισµός. Οταν η Μ.Σ. f(z) έχει παράγωγο στο σηµείο z καθώς και σε κάθε σηµείο µιας περιοχής του z λέγεται αναλυτική ή ολόµορφη στο σηµείο z. Ορισµός. Οταν η Μ.Σ. f(z) είναι αναλυτική σε κάθε σηµείο ενός τόπου λέγεται αναλυτική στον τόπο. Θεώρηµα auchy-riemann Αν µια συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική στο ση- µείο z τότε ισχύουν οι συνθήκες auchy-riemann u v y και u y v (9) Επιπλέον ισχύει και ο τύπος υπολογισµού της f (z) ή f (z) u + i v v y i u y f (z) f i f y (αʹ) (βʹ) Αντίστροφα. Αν ισχύουν οι συνθήκες auchy- Riemann και οι πρώτες µερικές παράγωγοι των 5

18 u(, y) και v(, y) ως προς και y είναι συνεχείς συναρτήσεις τότε η f(z) είναι αναλυτική και η f (z) ϐρίσκεται από την (9αʹ). Απόδειξη. Θα αποδείξουµε µόνο το πρώτο µέρος του ϑεω- ϱήµατος. Το αντίστροφο υπάρχει στο ϐιβλίο (σελ. 79). Επειδή η f(z) είναι αναλυτική υπάρχει η παράγωγός της που είναι f w (z) lim z z lim f(z + z) f(z) z z u( +, y + y) u(, y) lim z + i y v( +, y + y) v(, y) + i lim () z + i y Οταν z έτσι ώστε y και η () γράφεται f u( +, y) u(, y) (z) lim + i lim u + i v v( +, y) v(, y) () Οταν z έτσι ώστε και y η () γράφεται f u(, y + y) u(, y) (z) lim y i y + i lim y i u y + v y v(, y + y) v(, y) i y (3) Επειδή η συνάρτηση είναι αναλυτική, δηλαδή το όριο του λόγου w/ z δεν εξαρτάται από τον τρόπο µε τον οποίο το z, πρέπει να ισχύει f (z) u + i v v y i u y και επειδή τα πραγµατικά µέρη πρέπει να είναι ίσα και τα ϕανταστικά µέρη πρέπει να είναι ίσα, οδηγούµαστε στις εξισώσεις της (9αʹ). Παράδειγµα. Να δειχθεί ότι d dz eaz ae z zɛ. Θα δείξουµε την άσκηση για a πραγµατικός αριθµός. f(z) e az e a e iay e a cos ay + ie a sin ay u e a cos ay, v e a sin ay u aea cos ay, u y aea sin ay, Εποµένως u v y, v y aea cos ay v aea sin ay u y v Ισχύουν οι συνθήκες auchy-riemann και u, v, u y y, v είναι συνεχείς συναρτήσεις zɛ. Εποµένως η f(z) είναι αναλυτική συνάρτηση zɛ (εκτός από το σηµείο z ) και η παράγωγος της είναι f (z) u + i v f aea+iay ae az Παράδειγµα (άσκηση 3β του ϕυλλαδίου). Να δειχτεί ότι d cos z sin z. dz Θα χρησιµοποιήσουµε το παράδειγµα και έναν κανόνα παραγώγισης. d dz cos z d [ dz (eiz + e )] iz [ d dz eiz + d ] dz e iz (ieiz ie iz ) i (eiz e iz ) sin z `Οµοια ϐρίσκεται ότι d sin z cos z dz Παράδειγµα 3 Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f(z) y + i (y ) είναι αναλυτική και να ϐρεθεί η παράγωγός της. Λύση. Επειδή u y και v (y ) έχουµε: u y, u y, v y y u v y v u y v 6

19 Ισχύουν οι συνθήκες auchy-riemann και u, v, u y y, v είναι συνεχείς συναρτήσεις zɛ. Εποµένως η f(z) είναι αναλυτική συνάρτηση zɛ (εκτός από το σηµείο z ) και η παράγωγος της είναι: f (z) f y i i( + iy) iz Σηµείωση. Για την εύρεση της παραγώγου µιας µιγαδικής συνάρτησης µπορούµε να ακολουθήσουµε τους παρακάτω τρόπους: Από τον ορισµό της παραγώγου (σχέση (8) ). Από το Θεώρηµα auchy-riemann (σχέσεις (9αʹ) και (αʹ) ). Το ϑεώρηµα αυτό είναι πολύ χρήσιµο και στη διαπίστωση της µη αναλυτικότητας µιας µιγαδικής συνάρτησης. Αν γνωρίζουµε τις παραγώγους µερικών ϐασικών συναρτήσεων µπορούµε να ϐρούµε τις πα- ϱαγώγους άλλων συναρτήσεων που προκύπτουν από αυτές χρησιµοποιώντας τους κανόνες παραγωγίσεως, όπως ακριβώς και στις πραγµατικές συναρτήσεις. Αυτός είναι ο λόγος που δε ϑα ασχοληθούµε πάρα πολύ µε την εύρεση των πα- ϱαγώγων πολλών συναρτήσεων. Αν οι συναρτήσεις f(z) και g(z) είναι αναλυτικές σε έναν τόπο τότε είναι αναλυτικές και οι συναρτήσεις f(z) ± g(z), f(z) g(z) και f(z)/g(z) εφόσον g(z). Παρακάτω δίνουµε την εκφώνηση δύο ασκήσεων ως συµπλήρωµα της ϑεωρίας. Συµπλήρωµα της ϑεωρίας, (άσκηση 8 του ϕυλλαδίου). Να δειχθεί ότι αν χρησιµοποιήσου- µε πολικές συντεταγµένες (z re iθ ), η παράγωγος µιας αναλυτικής συνάρτησης µπορεί να ϐρε- ϑεί από τη σχέση f (z) f iz θ r f (5) z r και οι συνθήκες auchy-riemann γράφονται : u r v r θ, v r u r θ (6) Συµπλήρωµα της ϑεωρίας (άσκηση 7 του ϕυλλαδίου). Να δειχθεί ότι αν η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική τότε f z f (z) και f z 7 ηλαδή, οι αναλυτικές συναρτήσεις είναι συναρτήσεις µόνο του z και όχι του z. Η παρατήρηση αυτή ϐοηθάει στην εύρεση της µορφής της αναλυτικής συνάρτησης αν είναι γνωστό το πραγµατικό και το ϕανταστικό µέρος της. Θεώρηµα. Το πραγµατικό και το ϕανταστικό µέρος µιας αναλυτικής συνάρτησης ικανοποιούν την εξίσωση του aplace σε δύο διαστάσεις. Απόδειξη Επειδή η f(z) είναι αναλυτική ισχύουν οι συνθήκες auchy-riemann u v y u y v u v y u y v y Αν η συνάρτηση v(, y) έχει συνεχείς δεύτερες µερικές παραγώγους τότε ισχύει v v y y. `Ετσι από τις δύο προηγούµενες εξισώσεις έχουµε u + u y που είναι η εξίσωση aplace στο επίπεδο. `Οµοια ϐρίσκεται ότι v + v y Σηµείωση. Επειδή η εξίσωση του aplace είναι µια από τις σπουδαιότερες εξισώσεις της ϕυσικής, από το προηγούµενο ϑεώρηµα µπορούµε να καταλάβουµε την χρησιµότητα των µιγαδικών συναρτήσεων στη Φυσική. Ορισµός. Η πραγµατική συνάρτηση u(, y) που έχει συνεχείς δεύτερες µερικές παραγώγους σε ένα τόπο και ικανοποιεί την εξίσωση του aplace στο επίπεδο λέγεται αρµονική συνάρτηση. Ορισµός. ύο αρµονικές συναρτήσεις u(, y) και v(, y) λέγονται συζυγείς αρµονικές όταν η µιγαδική f(z) u(, y) + iv(, y) είναι αναλυτική συνάρτηση. Σηµείωση. Αν δοθεί µια αρµονική συνάρτηση, ορισµένη σε ένα τόπο, τότε µπορεί να προσδιοριστεί η αρµονική συζυγής της η οποία ϑα περιέχει µια σταθερά ολοκλήρωσης, όπως προκύπτει από την επόµενη άσκηση.

20 Ασκηση (του ϕυλλαδίου). Να δειχθεί ότι κάθε αρµονική συνάρτηση u(, y) σε έναν απλά συνεκτικό τόπο R έχει µια οικογένεια αρµονικών συ- Ϲυγών συναρτήσεων που διαφέρουν µεταξύ τους κατά µια σταθερά. Συγκεκριµένα να δειχθεί ότι η οικογένεια των αρµονικών συζυγών δίδεται από την σχέση Θεώρηµα. Το πραγµατικό και το ϕανταστικό µέρος µιας αναλυτικής συνάρτησης ικανοποιούν την εξίσωση του aplace σε δύο διαστάσεις: u + u y, v + v y που είναι η εξίσωση aplace στο επίπεδο. v(, y) (,y) (,y ) u y d + u dy + c Οι ασκήσεις: 4α,β,γ (f, f, f 3 ), 5α,γ (f, f 3 ) και 8 του 3ου κεφαλαίου του ϕυλλαδίου των ασκήσεων πρέπει να παραδοθούν λυµένες την Παρασκευή Σηµείωση. Στο επόµενο µάθηµα ϑα ασχοληθού- µε κυρίως µε τις άλυτες ασκήσεις του ϕυλλαδίου: 3, 4 (f 5 ), 5στ, 6,, και 4. Είναι καλό να προσπαθήσετε να λύσετε αυτές τις ασκήσεις ώστε στο µάθηµα να συζητηθούν οι τυχών απορίες. Η πραγµατική συνάρτηση u(, y) που έχει συνεχείς δεύτερες µερικές παραγώγους σε ένα τόπο και ικανοποιεί την εξίσωση του aplace στο επίπεδο λέγεται αρµονική συνάρτηση. ύο αρµονικές συναρτήσεις u(, y) και v(, y) λέγονται συζυγείς αρµονικές όταν η µιγαδική f(z) u(, y) + iv(, y) είναι αναλυτική συνάρτηση. Σηµείωση. Αν δοθεί µια αρµονική συνάρτηση, ορισµένη σε ένα τόπο, τότε µπορεί να προσδιοριστεί η αρµονική συζυγής της η οποία ϑα περιέχει µια στα- ϑερά ολοκλήρωσης. Συµπλήρωµα της ϑεωρίας. Ασκηση 8. Αν η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική τότε: ΜΜΦ Ι 5/9-3- Οταν η Μ.Σ. f(z) έχει παράγωγο στο σηµείο z κα- ϑώς και σε κάθε σηµείο µιας περιοχής του z λέγεται αναλυτική ή ολόµορφη στο σηµείο z. Ισχύουν οι κανόνες απαραγωγίσεως που ισχύουν και στις πραγµατικές συναρτήσεις καθώς και ο κανόνας Hospital. Θεώρηµα auchy-riemann. Αν η f(z) είναι αναλυτική στο σηµείο z τότε: u v y και u y v Επιπλέον ισχύει ο τύπος υπολογισµού της f (z): f (z) u + i v v y i u y f (9αʹ) i f y (9βʹ) Αντίστροφα. Αν ισχύουν οι συνθήκες της (9αʹ) και οι πρώτες µερικές παράγωγοι των u(, y) και v(, y) ως προς και y είναι συνεχείς συναρτήσεις τότε η f(z) είναι αναλυτική και η f (z) ϐρίσκεται από την (9βʹ). Σε πολικές συντεταγµένες, οι σχέσεις (9αʹ) και (9βʹ) γράφονται: f (z) f iz θ r f (αʹ) z r u r v v, r θ r u (βʹ) r θ f z f (z) και f z ηλαδή, οι αναλυτικές συναρτήσεις είναι συναρτήσεις µόνο του z και όχι του z. Η παρατήρηση αυτή ϐοηθάει στην εύρεση της µορφής της αναλυτικής συνάρτησης αν είναι γνωστό το πραγµατικό και το ϕανταστικό µέρος της f(z). Παράδειγµα. Η µορφή της αναλυτικής συνάρτησης f(z) y + i (y ) µπορεί να ϐρεθεί ϑέτοντας z (δηλαδή y ) f(z) z [y + i (y )] y i και στην συνέχεια ϑέτοντας z f() z f(z) i z Παράδειγµα. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f(z) e z είναι µη αναλυτική για κάθε τιµή του z. (α) Η άσκηση µπορεί να δειχτεί χρησιµοποιώντας το ϑεώρηµα auchy-riemann f(z) e z e iy e cos y ie sin y u e cos y, v e sin y 8

21 u e cos y, u y e sin y, v y e cos y v e sin y Ετσι η f(z) e z δεν είναι πουθενά αναλυτική. (ϐ) Η άσκηση µπορεί να δειχτεί χρησιµοποιώντας το παραπάνω συµπλήρωµα της ϑεωρίας. Επειδή e z z ez, η f(z) δεν είναι αναλυτική z f(z) z r e iθ (cos θ i sin θ) r u r cos θ, v r sin θ, r u r r cos θ, v r r sin θ, Εποµένως u r v r θ, v θ r cos θ u θ r sin θ v r u r θ, r Ισχύουν οι συνθήκες auchy-riemann και οι πρώτες µερικές παράγωγοι είναι συνεχείς συναρτή- της ϑεωρίας ϑέτοντας στην έκφραση της f 6, z και y, οπότε έχουµε: σεις για r. Ετσι η παράγωγος είναι f (z) f iz iz θ θ iz ( i) e iθ r ( r e iθ ) ( ) r e iθ z ος τρόπος. d dz z z z z z z Εποµένως, (, y) τουλάχιστον µια συνθήκη auchy- Ασκηση. Να ϐρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f(z) n z για r και θ < Riemann δεν ισχύει: u v (θ Arg z). y, και y (n + )π/ Λύση. Η f(z) ln z είναι πλειότιµη συνάρτηση. Αν διαλέξουµε όµως τον κλάδο για k και u y v, y και nπ θ < η w n z nr + iθ είναι συνάρτηση. Το πραγµατικό µέρος, το ϕανταστικό µέρος και και οι µερικές παράγωγοι u και v θ είναι u(r, θ) nr, u r r, u θ, r, u θ, v r v(r, θ) θ v r, v θ Ασκηση 3γ (άσκηση 4γ του ϕυλλαδίου). Ισχύουν οι συνθήκες auchy-riemann σε πολικές συντεταγµένες (σχέσεις (βʹ) ) και οι µερικές d dz cosh z d ( e z + e z) ( e z e z) παράγωγοι u r, u θ, v v και είναι συνεχείς συναρτήσεις για r. Εποµένως η παράγωγος τη r θ dz sinh z συνάρτησης nz για r, σύµφωνα µε τη σχέση (αʹ) είναι d Οµοια ϐρίσκεται ότι: sinh z cosh z d dz Ασκηση. Να ϐρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f(z) z. Στο ίδιο αποτέλεσµα καταλήγουµε για όλους τους dz nz nz iz θ iz i z, r Λύση. Θα χρησιµοποιήσουµε τις συνθήκες auchyκλάδους της συνάρτησης f(z) ln z. - Riemann σε πολικές συντεταγµένες 9 Ασκηση 5στ. Να εξεταστεί που είναι αναλυτική η συνάρτηση f 6 (z) sin cosh y + i cos sinh y. Λύση u sin cosh y, v cos sinh y. u u y cos cosh y, v y sin sinh y, v y u cos cosh y v y u sin sin y y v Ισχύουν οι συνθήκεςauchy-riemann και οι u, u y, v, v είναι συνεχείς συναρτήσεις (, y). y Εποµένως η f(z) είναι αναλυτική z και δεν εξαρτάται από το z. Η έκφραση της f(z) µποϱεί να ϐρεθεί είτε ϑέτοντας (z + z ) και y (z i z ) ή στηριζόµενοι στο συµπλήρωµα f 6 (z) z sin cosh + i cos sinh sin και στη συνέχεια ϑέτοντας: f 6 () z f 6 (z) sin z

22 Ασκηση. Να δειχθεί ότι κάθε αρµονική συνάρτηση u(, y) σε έναν απλά συνεκτικό τόπο R έχει µια οικογένεια αρµονικών συζυγών συναρτήσεων που διαφέρουν µεταξύ τους κατά µια σταθερά. Συγκεκριµένα να δειχθεί ότι η οικογένεια των αρ- µονικών συζυγών δίδεται από την σχέση v(, y) (,y) (,y ) u y d + u dy + c Απόδειξη (η απόδειξη είναι εκτός ύλης). Αν u(, y) είναι αρµονική συνάρτηση και v(, y) η συζυγής αρµονικής της, τότε η f(z) u+iv είναι αναλυτική και ισχύουν οι συνθήκες auchy- Riemann. u v y και u y v καθώς και οι εξισώσεις του aplace u + u y, v + v y Το ολικό διαφορικό της v(, y) είναι () dv v v d + dy () y από την () και () έχουµε dv u y }{{} P (,y) d + u dy (3) }{{} Q(,y) P Λόγω της εξίσωσης aplace ισχύει : Q y. Ετσι η εξίσωση (3) είναι µια πλήρης εξίσωση διαφορικών και εποµένως v (,y) (,y ) u y d + u dy + c (4) Το ολοκλήρωµα της (4) είναι ανεξάρτητο του δρόµου ολοκλήρωσης αφού οι P (, y) και Q(, y) είναι συνεχείς µε συνεχείς πρώτες µερικές παραγώγους (δηλαδή συνεχείς δεύτερες µερικές πα- ϱαγώγους της u(, y)) στον απλά συνεκτικό τόπο R. Παράδειγµα. Η συνάρτηση u(, y) y είναι αρµονική συνάρτηση αφού u + u. Επειδή y u u y και η v(, y), σύµφωνα µε την y προηγούµενη άσκηση, είναι v (,y) (,y ) u y d + u dy + c d + y + y y y y dy + c y + c ( ) + (y y ) + c (y ) + c όπου c c+ +y µια νέα αυθαίρετη σταθερά. Η αναλυτική συνάρτηση είναι f(z) u + iv y + i (y ) + i c Για z (y ) f() i + i c. Για z f(z) i z + i c. Ασκηση (του ϕυλλαδίου). α) ίνεται η συνάρτηση u(, y) 3 +ay. Να προσδιοριστεί η παράµετρος a ώστε u(, y) Ref(z) και f(z) αναλυτική. ϐ) Ποιά είναι η συνάρτηση f(z) όταν f() ; (Το ϐ ερώτηµα είναι εκτός ύλης) Λύση. α) Για είναι η u(, y) αρµονική πρέπει να ισχύει: Επειδή u 3 + ay u 6 u y ay u y a u + u 6 + a a 3 y Η συνάρτηση u(, y) 3 + ay για a 3 είναι αρµονική (, y). ϐ) Οι µερικές παράγωγοι της u είναι u 3 + 3y, u y 6y Η συζυγής αρµονική συνάρτηση της u σύµφωνα µε την άσκηση είναι v (,y) (,) (,y) (,) u y d + u dy + c 6 y d + ( 3 + 3y )dy + c

23 y dy y B d A u v ( u i + u u v + u v y y y )( v j i + v y j ) Χρησιµοποιούµε τις συνθήκες auchy-riemann Το ολοκλήρωµα αυτό είναι ανεξάρτητο του δρό- µου ολοκλήρωσης. ιαλέγουµε το δρόµο ΟΑΒ u v u ( u ) + u ( u ) u του σχήµατος y y v v 6 y d }{{} + ( 3 + 3y )dy Αυτό ισχύει εφόσον στο σηµείο z ισχύει f (z ) OA }{{}. Αν f (z ) τότε y dy + 6 y d }{{} + ( 3 + 3y )dy u +c AB }{{} u y v v y u v d y ( 3 + 3y ) dy + c y 3 y + y 3 Ασκηση 5 (σελ.8 του ϕυλλαδίου). ίνεται η + c συνάρτηση f(z) u + iv z. Να σχεδιαστούν οι καµπύλες του z-επιπέδου u(, y) c, Η αναλυτική συνάρτηση είναι v(, y) c, όταν c c, ±, ±. Ποιες είναι οι εικόνες των σηµείων αυτών των καµπυλών f(z) 3 + 3y + i(y 3 y + y 3 στο w επίπεδο ; ) + ic Λύση f(z ) 3 + ic f(z) z z 3 + ic Επειδή f(), έχουµε + + ic c i και εποµένως η f(z) είναι f(z) +z z 3. Ασκηση 4. Η συνάρτηση f(z) u(, y) + iv(, y) είναι αναλυτική. Να δειχτεί ότι οι καµπύλες u(, y) c και v(, y) c είναι ορθογώνιες εφόσον f (z ), όπου z το σηµείο τοµής των u c και v c. Λύση Οι σχέσεις u(, y) c και v(, y) c µε c και c σταθερές, παριστάνουν δύο καµπύλες στο z-επίπεδο. Στο σηµείο τοµής z τα εφαπτόµενα διανύσµατα αυτών σχηµατίζουν µια γωνία. Πρέπει να δείξουµε ότι αυτά τέµνονται κάθετα. Αρκεί να δείξουµε ότι τα κάθετα διανύσµατα στις εφαπτόµενες, που είναι u και v, τέµνονται κάθετα. y z-επιπεδο z uc vc y - - y z - επίπεδο y y - O y B A - y - - y y f(z) z v v - f(z) u + iv z u(, y) y, w - επίπεδο v u - u O u v(, y) y ηλαδή y c και y c. α) Για c y y ±y, (, ), y (, ). Η u παριστάνει στο z-επίπεδο τις ευθείες y και y, ενώ στο w-επίπεδο επειδή v y v (, ), παριστάνει όλο τον ϕανταστικό άξονα. β) Για c y και y (, ) ή y και (, ). Η v παριστάνει στο z-επίπεδο τον πραγ- µατικό άξονα (y ) και τον ϕανταστικό άξονα ( ). B A v u

24 Στο w-επίπεδο επειδή v και u (, ), η v παριστάνει όλο τον πραγµατικό άξονα. α) Για c y τα (, y) ϐρίσκονται πάνω σε µια υπερβολή (ϐλέπε Σχήµα). Επειδή (, ), y (, ) όταν u(, y) v (, ). Ετσι η u(, y) παριστάνει στο z-επίπεδο την υπερβολή y και οι εικόνες της υπερβολής ϐρίσκονται στο w-επίπεδο στην ευθεία u, v (, ). β) Για c y τα (, y) ϐρίσκονται πάνω σε µια υπερβολή που έχει περιστραφεί ως προς την πρώτη κατά π/ ακτίνια. Οι εικόνες των σηµείων της υπερβολής ϐρίσκονται στο w-επίπεδο επάνω στην ευθεία u, v (, ). γ) Για c y τα (, y) ϐρίσκονται πάνω σε µια υπερβολή που έχει περιστραφεί ως προς την πρώτη κατά π/4 ακτίνια. Οι εικόνες των σηµείων της υπερβολής ϐρίσκονται στο w-επίπεδο επάνω στην ευθεία v, u (, ) δ) Για c y τα (, y) ϐρίσκονται πάνω σε µια υπερβολή που έχει περιστραφεί ως προς την πρώτη κατά 3π/4 ακτίνια. Οι εικόνες των σηµείων της υπερβολής ϐρίσκονται στο w-επίπεδο επάνω στην ευθεία v, u (, ). Οµοια εργαζόµαστε και για c c ±. Σηµείωση: Από το Σχήµα ϕαίνεται ότι το καµπυλόγραµµο τετράπλευρο OAB απεικονίζεται στο w-επίπεδο στο ορθογώνιο παραλληλόγραµµο OA B. ΜΜΦ Ι 6/-3- Ολοκλήρωση Μιγαδικής Συνάρτησης Επειδή η ολοκλήρωση µιας Μ.Σ. ορίζεται κατά µήκος µιας καµπύλης ϑα αναφέρουµε µερικούς ορισµούς από την ανάλυση. Ενα σύνολο σηµείων (, y) του επιπέδου λέµε ότι αποτελούν µια συνεχή καµπύλη αν οι συναρτήσεις της πραγµατικής µεταβλητής t(t a t t b ) (t), y y(t), t a t t b είναι συνεχείς συναρτήσεις Η συνεχής καµπύλη λέγεται απλά κλειστή καµπύλη αν (t a ) (t b ) και y(t a ) y(t b ) και δεν υπάρχουν άλλες τιµές του t που αντιστοιχούν στο ίδιο σηµείο. Η συνεχής καµπύλη λέγεται λεία ή οµαλή όταν οι συναρτήσεις (t), y(t) και (t), y (t) είναι συνεχείς και οι παράγωγοι (t), y (t) δεν µηδενί- Ϲονται συγχρόνως για κανένα t. Αν η συνεχής καµπύλη είναι κατά τµήµατα λεία (δηλαδή (t), y(t) συνεχείς συναρτήσεις και (t), y (t) κατά τµήµατα συνεχείς) τότε λέγεται δρόµος. Το µήκος του δρόµου είναι ta t a [ (t)] + [y (t)] dt Ορισµός του ολοκληρώµατος Η καµπύλη του σχήµατος είναι ένας δρόµος για τον οποίο γνωρίζουµε τις παραµετρικές του εξισώσεις (t), y y(t), t a t t b Τα σηµεία (, y) ((t), y(t)) του δρόµου ορί- Ϲουν τη µιγαδική συνάρτηση της πραγµατικής µεταϐλητής t, z z(t) (t) + iy(t) Αυτή είναι συνεχής συνάρτηση του t. y ζ ζ 3 z ζ z az z 3 bz n Θεωρούµε τη µιγαδική συνάρτηση f(z) που ορί- Ϲεται z και σχηµατίζουµε το άθροισµα S n n f(ζ j ) z j, z j z j z j (5) j Τα σηµεία z,..., z n είναι τυχαία σηµεία του δρόµου που τον χωρίζουν σε τµήµατα και αντιστοιχούν σε αυξανόµενες τιµές της παραµέτρου

25 t(t j+ > t j ). Τα σηµεία ζ j είναι τυχαία σηµεία του δρόµου µεταξύ των σηµείων z j και z j. Σηµείωση: Η τιµή του αθροίσµατος S n εξαρτάται από τον τρόπο που χωρίσαµε το δρόµο σε n τµήµατα και από τον τρόπο εκλογής των τυχαίων σηµείων ζ j. Ορισµός: Αν για z j j υπάρχει το όριο του αθροίσµατος S n και είναι ανεξάρτητο του τρόπου µε τον οποίο έχουν εκλεγεί τα σηµεία z j και ζ j, τότε το όριο αυτό λέγεται ολοκλήρωµα της f(z) κατά µήκος του δρόµου και συµβολίζεται S lim S n S f(z)dz (6) z j Επειδή f(z) u + iv και z j ( j j ) + i(y j y j ) j + i y j το άθροισµα S n της (5) γράφεται : S n + i n [u(ζ j ) j v(ζ j ) y j ] j n [v(ζ j ) j + u(ζ j ) y j ] (7) j Οταν υπάρχει το όριο της (5) για z j υπάρχουν και τα όρια της (7) για j και y j j. Ετσι το ολοκλήρωµα της (6) γρά- ϕεται S f(z)dz ud vdy + i vd + udy (8) Τα δύο ολοκληρώµατα της σχέσης (8) υπάρχουν όταν οι πραγµατικές συναρτήσεις και u(, y) u((t), y(t)) u(t) v(, y) v((t), y(t)) v(t) της πραγµατικής µεταβλητής t είναι κατά τµή- µατα συνεχής. Εποµένως το ολοκλήρωµα της f(z) κατά µήκος του δρόµου υπάρχει όταν η f(z) είναι κατά τµήµατα συνεχής επάνω στο δρόµο. Μια άλλη µορφή του ολοκληρώµατος Επειδή z z(t) (t) + iy(t) dz dt d dt + idy dt η (8) γράφεται S tb t a tb t a ηλαδή ( u d dt v dy dt ( d (u + iv) S ) tb dt + i dt + idy dt tb t a t a ) dt ( v d ) dt + udy dt dt f ( z(t) ) dz(t) dt (9) dt Η µορφή αυτή του ολοκληρώµατος είναι πολύ χρήσιµη επειδή µπορούµε να ολοκληρώσουµε µια Μ.Σ. κατά µήκος ενός δρόµου όπως και τα ορισµένα ολοκληρώµατα των πραγµατικών συναρτήσεων, αφού ϐρούµε πρώτα τις παραµετρικές εξισώσεις του δρόµου. Σηµείωση. Οταν η παράµετρος t αυξάνει από µια αρχική τιµή t a στην τελική τιµή t b ο δρόµος πρέπει να διαγράφεται από το σηµείο a στο ση- µείο b Παράδειγµα. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα (z z ) n dz όταν ο δρόµος ολοκλήρωσης είναι ο κύκλος : z z + re iθ, θ [, ] και όταν n. y z re iθ z Επειδή dz dθ ireiθ το ολοκλήρωµα γράφεται (z z ) n dz [re iθ ] n ire iθ dθ ir n+ e i(n+)θ dθ ir n+ ei(n+) θ i(n + ) rn+ (n + ) [ei(n+) e ] 3

26 Το ολοκλήρωµα αυτό για n δίνει (z z ) dz i r e iθ ire iθ dθ dθ i Η τιµή του ολοκληρώµατος για n και για n, για το δοσµένο δρόµο είναι: { n (z z ) n dz i n Σε επόµενο µάθηµα ϑα δούµε ότι το αποτέλεσµα αυτό ισχύει για κάθε κλειστό δρόµο που περικλείει το σηµείο z z. Παράγουσα συνάρτηση Το ολοκλήρωµα της f(z) κατά µήκος ενός δρό- µου µπορεί να υπολογιστεί όπως και ένα ολοκλήρωµα µιας πραγµατικής συνάρτησης όταν σε έναν τόπο του z επιπέδου, που περιέχει το δρό- µο, η f(z) µπορεί να εκφραστεί ως η παράγωγος µιας άλλης συνάρτησης F (z). ηλαδή f(z) F (z). Η F (z) λέγεται παράγουσα συνάρτηση της f(z). Ετσι αν f(z) F (z) f(z) dz dt df (z) dz dz dt df (z(t)) dt η σχέση (9) γράφεται tb ( ) df z(t) S dt F (b) F (a) (3) dt t a ηλαδή, όταν υπάρχει η παράγουσα συνάρτηση της f(z) σ έναν τόπο που περικλύει το δρόµο, το ολοκλήρωµα εξαρτάται µόνο από τα σηµεία a και b που ενώνουν το δρόµο. Παράδειγµα. Να υπολογιστεί πάλι το ολοκλή- ϱωµα (z z ) n dz όταν ο δρόµος ολοκλήρωσης είναι το τόξο του κύκλου : z z +re iθ, θɛ[, π] και όταν n. [ ] Επειδή (z z ) n d (z z dz n+ ) n+ και z z r e iθ το ολοκλήρωµα γράφεται (z z ) n dz (z z ) n+ ( ) π r e iθ n+ π n + n + rn+ ( e i(n+)π e ) n + rn+ n + (( )n+ ) r n+ όταν n k n + όταν n k + Ποιά είναι η τιµή του ολοκληρώµατος όταν n ; Ιδιότητες του ολοκληρώµατος Ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες του ολοκληρώµατος µιας Μ.Σ κατά µήκος ενός δρόµου. Η απόδειξη των ιδιοτήτων είναι απλή και στηρίζεται στον ορισµό του ολοκληρώµατος. b a f(z)dz f(z) dz a b af(z)dz a f(z)dz, (a σταθερά) f(z)dz + f(z)dz f(z) dz + [f(z) + g(z)]dz f(z)dz + g(z) dz b f (z)g(z)dz f(z)g(z) b b f(z)g (z)dz a a (οι συναρτήσεις f(z), g(z) είναι αναλυτικές) f(z)dz f(z) dz M M ma z f(z) και το µήκος του δρόµου Η τελευταία σχέση λέγεται ανισότητα του Darbou και χρησιµοποιείται στην εύρεση ενός άνω ϕράγµατος του µέτρου του ολοκληρώµατος. Σηµείωση. Η τιµή ενός ολοκληρώµατος εξαρτάται από τη ϕορά διαγραφής του δρόµου. Αν αλλάξουµε τη ϕορά διαγραφής του δρόµου το ολοκλήρωµα αλλάζει πρόσηµο. Οταν ο δρόµος είναι κλειστός λαµβάνεται ως ϑετική ϕορά η a 4

27 ϕορά διαγραφής του δρόµου που είναι αντί- ϑετη µε την κίνηση των δεικτών του ϱολογιού. Το ολοκλήρωµα τότε το συµβολίζουµε f(z)dz ή πιο απλά f(z)dz + Την ολοκλήρωση κατά την αρνητική ϕορά τη συµ- ϐολίζουµε f(z)dz `Ασκηση 7α (4ο κεφάλαιο του ϕυλλαδίου). Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα S z dz όπου ο κλειστός δρόµος του σχήµατος. Λύση S Επειδή : : 3 : ϑα έχουµε: 3 z dz y z dz z dz + z dz + z dz 3 z dz z dz z, ɛ[, ], dz d z e iθ, θɛ[, π ], dz dθ ieiθ z iy, yɛ[, ], dz idy Εποµένως S π i4 d (e iθ ) ie iθ dθ π (iy) idy e iθ e iθ dθ i ydy y z dz + i i Παράδειγµα. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα z dz όταν : z re iθ, θ [, ]. S z re iθ, z re iθ, dz dθ ireiθ ir z dz re iθ ire iθ dθ ir dθ Από το παράδειγµα και την άσκηση 7 ϐλέπουµε ότι η τιµή ενός ολοκληρώµατος εξαρτάται από το δρόµο ολοκλήρωσης. Θεώρηµα του auchy για απλά συνεκτικό τόπο. Αν µια συνάρτηση είναι αναλυτική επάνω στον κλειστό δρόµο και σε κάθε σηµείο του απλά συνεκτικού τόπου που περικλείεται από το δρόµο, τότε: f(z)dz (3) Η απόδειξη του ϑεωρήµατος υπάρχει στο ϐιβλίο. Το ϑεώρηµα αυτό είναι πολύ ϐασικό στη ϑεωρία των αναλυτικών συναρτήσεων. Άµεση συνέπεια του ϑεωρήµατος είναι το παρακάτω πόρισµα. Πόρισµα. Το ολοκλήρωµα της f(z) µεταξύ δύο σηµείων a και b είναι ανεξάρτητο από το δρό- µο ολοκλήρωσης, εφόσον η f(z) είναι αναλυτική στον τόπο που περικλείεται από δύο διαφορετικούς δρόµους που ενώνουν τα σηµεία a και b και επάνω στους δρόµους αυτούς. Αν η f(z) είναι αναλυτική επάνω στους δρόµους και και σε κάθε σηµείο του τόπου που περικλείεται από αυτούς, τότε αν ορίσουµε τον κλειστό δρόµο + ( ), σύµφωνα µε το ϑεώρηµα του auchy ϑα έχουµε : y a b 5