ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

Transcript

1 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα κεφάλαια από το βιβλίο του J. R. Barber Elasticity. Kluwer Academic Publishers 00, και Προωπικές Σηµειώεις Συγγραφέα) ΣΟΦΙΑ ΠΑΠΑΡΓΥΡΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 007

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ελατικότητα είναι η επιτήµη που προδιορίζει τις τάεις και τις παραµορφώεις ενός ώµατος αν αποτέλεµα της εφαρµογής διαφόρων µηχανικών ή θερµικών φορτίων αλλά προϋποθέτει ότι όταν αφαιρεθούν τα φορτία αυτά το ώµα θα επανέλθει την αρχική του κατάταη. Σε αυτό το µάθηµα θα περιοριτούµε την γραµµική απειροτή ελατικότητα, την οποία οι τάεις και οι µετατοπίεις είναι γραµµικά ανάλογες των φορτίων που τις προκαλούν και οι µετατοπίεις είναι µικρές ε χέη µε τις χαρακτηριτικές διατάεις του ώµατος. Οι περιοριµοί αυτοί εξαφαλίζουν την γραµµική επαλληλία των χέεων και µας επιτρέπουν να χρηιµοποιούµε µια ευρεία κλίµακα ειρών και τεχνικών µεταχηµατιµού, πράγµα που δεν είναι επιτρεπτό τα µη γραµµικά προβλήµατα. Πολλοί µηχανικοί περιλαµβάνουν προβλήµατα αυτού του είδους τα περιεχόµενα του αντικειµένου γνωτού αν Αντοχή των Υλικών, το οποίο είναι ένα ηµαντικό υτατικό του βιογραφικού πολλών προπτυχιακών µηχανικών. Η Αντοχή των Υλικών διαφέρει από την ελατικότητα το ότι την πρώτη κατά την διαδικαία επίλυης του προβλήµατος της παραµόρφωης έχουν γίνει διάφορες αληθοφανείς αλλά αναπόδεκτες υποθέεις. Ένα παράδειγµα είναι η παραδοχή ότι επίπεδες διατοµές παραµένουν επίπεδες κατά την κάµψη λεπτών δοκών. Η ελατικότητα δεν κάνει τέτοιες παραδοχές αλλά προπαθεί να βρει τη λύη τα προβλήµατα παραµόρφωης κατευθείαν και αυτηρά από τους νόµους της µηχανικής οι οποίοι είναι οι νόµοι κίνηης του Νεύτωνα, η Ευκλείδεια γεωµετρία και οι νόµοι του Hooke. Προεγγίεις ειάγονται κι εδώ προς το τέλος της λύης, αλλά αυτές είναι µαθηµατικές προεγγίεις, οι οποίες χρηιµοποιούνται για την εύρεη των λύεων των διεπουών εξιώεων, παρά φυικές προεγγίεις οι οποίες θέτουν τεχνικούς και αδικαιολόγητους περιοριµούς το επιτρεπτό πεδίο παραµορφώεων. Εντούτοις θα ήταν λάθος να διαχωρίουµε αυτηρά τις δυο παραπάνω προεγγίεις, εφόον χρήτες της µιας ή της άλλης θεωρίας έχουν πολλά να µάθουν ο ένας από τον άλλο. Η Αντοχή των Υλικών, µε έµφαη τη φυική αιτιολόγηη και την πλήρη εξερεύνηη των πρακτικών υµπεραµάτων των λύεων, δίνει υχνά πιο οξυδερκή γνώη του προβλήµατος, το οποίο είναι λιγότερο κατανοητό από την καθαρά µαθηµατική προοπτική. Πράγµατι, θα κάνουµε εδώ εκτενή χρήη παραλληλιµών µεταξύ των δύο θεωριών και θα αναλύουµε πολλά από τα προβλήµατα που εµπεριέχονται τα υµπεράµατα που χετίζονται µε τις

3 3 πρακτικές εφαρµογές, µε την ελπίδα ότι ο αναγνώτης θα κατανοήει τη βαθύτερη δοµή του αντικειµένου της θεωρίας Ελατικότητας. Θα προπαθήουµε να κάνουµε παραλληλιµούς µεταξύ των δύο θεωριών κυρίως από τα υµπεράµατα που προκύπτουν τις πρακτικές εφαρµογές, µε κοπό να δώουµε µια αρκετά βαθειά γνώη του αντικειµένου της θεωρίας Ελατικότητας. Αντίτροφα µε την Αντοχή Υλικών, η µαθηµατική αυτηρότητα της Ελατικότητας µας παρέχει µεγαλύτερη εµπιτούνη τα αποτελέµατα, εφόον, ακόµη κι αν έχουµε καταφύγει ε προεγγιτική λύη, µπορούµε υνήθως να εκτιµήουµε την ακρίβειά της µε εµπιτούνη---κάτι που είναι πολύ δύκολο να γίνει µε την φυική προέγγιη που χρηιµοποιεί η Αντοχή των Υλικών. Επίης, δεν είναι ανάγκη να κάνει κανείς µια αυθαίρετη προέγγιη, όταν µια πιο αυτηρή µαθηµατική αντιµετώπιη δεν παρουιάζει ιδιαίτερη δυκολία. Σχήµα 1.1: Συµβολιµός των υνιτωών τάης 1.1 Συµβολιµός τάης και µετατόπιης Υποθέτουµε ότι ο αναγνώτης είναι εξοικειωµένος µε την έννοια της τάης και της τροπής από τα µαθήµατα της Αντοχής των Υλικών. Στην παράγραφο αυτή θα προπαθήουµε να ειάγουµε τους γνωτούς υµβολιµούς µε κοπό να φρεκάρουµε την µνήµη του αναγνώτη χετικά µε κάποιες ηµαντικές έννοιες και να αναφέρουµε µερικά τοιχειώδη αλλά χρήιµα υµπεράµατα Τάη Όλες οι υνιτώες της τάης θα υµβολίζονται µε το ύµβολο µε κατάλληλους δείκτες. Ο πρώτος δείκτης θα δηλώνει την προς τα έξω κάθετη πάνω την επιφάνεια την οποία δρα η υνιτώα της τάης, ενώ ο δεύτερος δείκτης θα δηλώνει την διεύθυνη της υνιτώας αυτής. Ο υµβολιµός αυτός φαίνεται το Σχήµα 1.1 για καρτειανό ύτηµα

4 4 υντεταγµένων x, y, z. Σηµειώνουµε ότι οι εφελκυτικές και θλιπτικές τάεις έχουν και τους δυο δείκτες ίδιους ( δηλ. xx, yy, zz όπως το Σχ. 1.1) και είναι θετικές όταν είναι εφελκυτικές. Οι υπόλοιπες έξι τάεις ( x y, y x, y z, z y, xz, zx ) έχουν δυο διαφορετικούς δείκτες και είναι οι διατµητικές. Τα βιβλία της Αντοχής των Υλικών υνήθως υµβολίζουν τις διατµητικές τάεις µε το τ ενώ για τις ορθές ταεις χρηιµοποιούν το. εν χρειάζονται όµως διαφορετικά ύµβολα εφόον οι δείκτες διααφηνίζουν πλήρως την διαφορετικότητα των υνιτωών των τάεων. Ο διαφορετικός όµως υµβολιµός την θεωρία Ελατικότητας δεν γίνεται χωρίς λόγο, γίνεται γιατί έτι διευκολυνόµατε τις πράξεις µε τη θεωρία πινάκων και διαφορίεων και γενικά µπορούµε να γράψουµε αποτελέµατα ή χέεις µε περιότερη οικονοµία χρόνου και χώρου, όπως θα δούµε πιο κάτω. Από την ιορροπία των ροπών όλων των φορτίων που δρουν το παραλληλεπίπεδο του Σχ. 1.1 ως προς το κέντρο βάρους του έχουµε : x y = y x, y z = z y, xz = zx (1.1) Υπάρχουν περιπτώεις τις οποίες είναι καταλληλότερο να υνδυάουµε τις δυο διατµητικές τάεις που δρουν το επίπεδο π.χ. τις xy, xz, µε ένα διάνυµα το επίπεδο αυτό δηλαδή να αναφερθούµε τη διατµητική υνιταµένη δύναµη (stress resultant )που προκύπτει από αυτές τις τάεις την αντίτοιχη επίπεδη διατοµή. Θα αναφερόµατε ε ένα επίπεδο κάθετο την x -διεύθυνη αν ένα x-επίπεδο κλπ. Οι µόνες υνιτώες τάης που δρουν το x- επίπεδο είναι αυτές που έχουν το x αν πρώτο δείκτη. Κατά τον ίδιο τρόπο µπορούν να οριτούν οι υνιτώες τάης και ε άλλα υτήµατα ορθογωνίων υντεταγµένων. Παραδείγµατος χάριν το Σχήµα 1. φαίνονται οι υνιτώες των τάεων ε κυλινδρικές υντεταγµένες ( r, θ, z ). Σχ. 1. Συνιτώες τάης ε πολικό ύτηµα υντεταγµένων

5 Τανυτικός και διανυµατικός υµβολιµός Πολλοί υγγραφείς χρηιµοποιούν τον υµβολιµό x 1, x, x 3 αντί των x, y, z για τις καρτειανές υντεταγµένες, την περίπτωη αυτή οι υνιτώες της τάης γράφονται 11,, 33, 1, 13, 3. Ο υµβολιµός αυτός έχει το προτέρηµα ε υνδυαµό µε τη ύµβαη πρόθεης µας δίνει πιο γενικά αποτελέµατα και µπορούµε να τα επεξεργατούµε και να τα γράψουµε πιο κοµψά. Ο νόµος της ύµβαης πρόθεης µας λέει ότι κάθε όρος που περιέχει δυο ίδιους δείκτες αντιπροωπεύει ένα άθροιµα του όρου για διάφορες τιµές των δεικτών ( ε υτήµατα µε τρεις βάεις οι δείκτες παίρνουν τρείς τιµές ). Παραδείγµατος χάριν ο όρος ii ερµηνεύεται ως εξής: 3 ii ii = (1.) και i i= 1 ui u1 u u + + x x x x (1.3) Από την άλλη, µερικά αποτελέµατα είναι καταλληλότερο να τα διαχειριτούµε ή να τα εκφράουµε µε διανυµατική µορφή, για την οποία πρέπει να ορίουµε τη θέη διανύµατος R = i x + j y + k z (1.4) Όπου i, j, k είναι τα µοναδιαία διανύµατα τις διευθύνεις των x, y, z αντίτοιχα. Σηµαντικά αποτελέµατα θα δίνονται τη µια ή την άλλη µορφή ανάλογα µε την περίταη ιανύµατα, τανυτές και κανόνας µεταχηµατιµού από ένα ύτηµα υντεταγµένων ε άλλο. Τα ιανύµατα µε τη µαθηµατική έννοια µπορούν να θεωρηθούν αν ένα ύνολο διατεταγµένων αριθµών ή µε τη φυική έννοια αν ποότητες που χαρακτηρίζονται από µέγεθος και κατεύθυνη. Ένας ύνδεµος µεταξύ των δύο εννοιών είναι ο κανόνας µεταχηµατιµού. Υποθέτουµε ότι γνωρίζουµε τις υντεταγµένες (u x, u y ) ενός διανύµατος u ως προς δεδοµένο επίπεδο ύτηµα καρτειανών υντεταγµένων ( x, y ) και θέλουµε να προδιορίουµε τις υντεταγµένες του (u x, u y) ε ένα άλλο ύτηµα υντεταγµένων ( x, y ) το οποίο χηµατίζει µε το πρώτο γωνία θ αντιωρολογιακά, οπως φαίνεται το Σχ.1.3. Από φυική έννοια οι ζητούµενες υντεταγµένες του είναι: u x = u x cosθ + u y sinθ (1.5) u y = - u x sinθ + u y cosθ (1.6)

6 6 Σχήµα 1.3: Το ύτηµα υντεταγµένων των x, y, και x, y Τώρα από µαθηµατική έννοια το διάνυµα είναι ένας τανυτής 1 ης τάξης. ηλαδή ορίζουµε ένα διάνυµα u αν µια οντότητα που περιγράφεται από τις υνιτώες της (u 1, u ) (ή (u x, u y ),) ε ένα οριµένο ύτηµα υντεταγµένων ( x 1, x ) (ή ( x, y )), οι οποίες όµως µεταχηµατίζονται ε άλλο ύτηµα υντεταγµένων ( u 1, u ) ( ή ( x, y ) ) ύµφωνα µε τον κανόνα µεταχηµατιµού των τανυτών 1 ης τάξης. αλλά ' ' xi ui = u j, 1, x x x ' i j j ' ij cos( xi, x j ) = R = i j= (1.7) (1.8) και η (1.7) γράφεται u i = R ij u j (1.9) Η (1.9) αναλυτικά γίνεται u 1 = R 11 u 1 + R 1 u (1.10) u = R 1 u 1 + R u (1.11) Οι χέεις (1.5) και (1.6) είναι ίδιες µε τις (1.7) ή (1.9) ή µε τις αναλυτικές (1.10) και (1.11). Σε δεδοµένο τριορθογώνιο ύτηµα υντεταγµένων (x 1, x, x 3 ) ένα διάνυµα u περιγράφεται µε τις υνιτώες του (u 1, u, u 3 ). Οι υνιτώες του u ως προς οποιοδήποτε ύτηµα υντεταγµένων µε την ίδια αρχή µε το πρώτο αλλά τραµµένο ως προς αυτό µε µητρώο τροφής R = (R ij ) είναι: ή ' ' xi ui = uk i, k = 1,,3 x k u i = R ij u j i, j =1,,3 (1.1) ή ε µητρωική µορφή u = R u (1.13) όπου u ένα µητρώο τήλη, u επίης µητρώο τήλη και R ορθογώνιο µητρώο 3x3, δηλαδή T = -1 = RR RR I.

7 7 Οι τάεις τώρα έχουν δυο δείκτες και οι υνιτώες τους ε δύο διαφορετικά υτήµατα υντεταγµένων υνδέονται µεταξύ τους µε τον γνωτό κανόνα µεταχηµατιµού ' ' ' x x i j ij = kl i, j, k =1,,3 (1.14) xk xl ή ij = R ik R jl kl i, j, k =1,,3 (1.14) ή µε µητρωικό υµβολιµό = R R Τ (1.15) όπου R Τ είναι ο ανάτροφος του R και εφόον είναι ορθογώνιος RR Τ =RR -1 =I. Λόγω της (1.1) ο πίνακας των τάεων είναι υµµετρικός. Αναλυτικά η (1.14) την περίπτωη των δύο διατάεων και ε δυο διαφορετικά υτήµατα υντεταγµένων Ο x 1 x και Ο x 1 x γράφεται 11 = 11 cos θ+ sin θ + 1 sinθ cosθ = 11 sin θ + cos θ - 1 sinθ cosθ (1.16) 1 = -( 11 - ) sinθ cosθ + 1 (cos θ - sin θ) ή αν τα υτήµατα υµβολίζονται ως Οxy και Οx y γράφεται x x = xx cos θ + yy sin θ + xy sinθ cosθ ( a) y y = xx sin θ + yy cos θ - xy sinθ cosθ ( b) (1.17) x y = -( xx - yy ) sinθ cosθ + xy (cos θ - sin θ) (c ) Οι υνιτώες της τάης (1.16 ή 1.17) δίνονται και από τον γνωτό, από την Αντοχή των Υλικών, κύκλο του Mohr. Γνωρίζουµε από τον κύκλο του Mohr ότι µπορούµε πάντα να διαλέξουµε µια γωνία θ, τέτοια ώτε να έχουµε 1 = 0 ( ή αντίτοιχα x y =0) την περίπτωη αυτή οι διευθύνεις Οx 1, Οx ( ή Οx, Οy ) λέγονται κύριες διευθύνεις και οι υνιτώες 11, ( ή x x, y y ) κύριες τάεις, τις υµβολίζουµε υνήθως µε 1,. Σε δύο διατάεις xx+ yy xx yy 1, = ± ( ) + xy (1.18) Στα περιότερα προβλήµατα οι µέγιτες τάεις προκύπτουν τα όρια όπου οι διατµητικές τάεις είναι υνήθως µηδενικές. Έτι, ακόµη και ε προβλήµατα τριών διατάεων, ο υπολογιµός των µέγιτων εφελκυτικών τάεων υνήθως εµπλέκει τους διδιάτατους µεταχηµατιµούς τάεων. Εντούτοις µπορεί εύκολα κανείς να υπολογίει τις κύριες τάεις και τις τρεις διατάεις που είναι I1 1= + ( I1 3I) cosφ 3 3 I1 π = + ( I1 3I) cos φ+ (1.19) I1 4π 3 = + ( I1 3I) cos φ I1 9I1I+ 7I 3 όπου φ = arccos 3/ 3 ( I1 3 I)

8 8 και I I = xx yy zz = + + (1.0) xx yy yy zz zz xx xy yz zx I = + 3 xx yy zz xx yz yy zx zz xy xy yz zx Οι ποότητες Ι 1, Ι, Ι 3 είναι γνωτές αν αναλλοίωτες της τάης γιατί για δεδοµένη εντατική κατάταη παραµένουν οι ίδιες ε οποιοδήποτε ύτηµα υντεταγµένων. Υπάρχουν πολλές φυικές ποότητες οι οποίες παρουιάζουν µαθηµατικές ιδιότητες τέτοιες που τις κατατάουν την κατηγορία των καρτειανών τανυτών ης τάξης. Πέρα από τις τάεις και τις τροπές, υναντούµε υχνά, ε προβλήµατα µηχανικής, ης τάξης καρτειανούς τανυτές, όπως για παράδειγµα τις ης τάξης ροπές αδράνειας της διατοµής µιας δοκού (Ι xx, I xy, I yy ), ή τις ης τάξης µερικές παραγώγους µιας βαθµωτής υνάρτηης ( f/ x, f/ x y, f/ y ) κ.α. Σχετικά εύκολα µπορούµε να αποδείξουµε ότι οι ποότητες αυτές υπακούουν τους κανόνες µεταχηµατιµού (1.14). Αποδεικνύεται κατευθείαν π.χ. ότι η εγκάρια διατοµή κάθε δοκού, έχει δυο ορθογώνιους κύριους άξονες κάµψης, ως προς τους οποίους, οι δύο κύριες ροπές αδράνειας, είναι αντίτοιχα η µέγιτη και η ελάχιτη της διατοµής. Σχήµα 1.4: δοκός µε τετραγωνική διατοµή Ένας ειδικά ενδιαφέρον τανυτής είναι αυτός για τον οποίο ο κύκλος του Mohr εκφυλίζεται ε ηµείο. Στην περίπτωη των τάεων, αντιτοιχεί ε µια κατάταη υδροτατικής τάης. Ονοµάζεται έτι γιατί ένα υγρό ε ιορροπία δεν µπορεί να δεχθεί διατµητικές τάεις (ο κατατατικός νόµος για τα υγρά υνδέει την κλίη της ταχύτητας µε την διατµητική τάη ) και εποµένως xy = 0 για κάθε ηµείο (x, y). Ο µόνος κύκλος του Mohr ο οποίος ικανοποιεί αυτή τη υνθήκη έχει µηδενική ακτίνα, γι αυτό όλες οι κατευθύνεις την περίπτωη αυτή είναι κύριες. Ετι πετυχαίνουµε το γνωτό αποτέλεµα για τα υγρά, δηλαδή το ότι η πίεη ε ένα υγρό που ιορροπεί είναι ίδια ε όλες τις διευθύνεις.

9 9 Ένα άλλο παράδειγµα το οποίο ο κύκλος του Mohr εκφυλίζεται ε ηµείο είναι το εξής: θεωρούµε τις ροπές αδράνειας µιας τετράγωνης διατοµής µιας δοκού που φαίνεται το Σχ Γνωρίζουµε ότι οι άξονες Ox και Oy είναι κύριοι άξονες και οι ροπές αδράνειας ως προς αυτούς είναι ιες µε α 4 /1. Συµπεραίνουµε λοιπόν κατευθείαν από τον κύκλο του Mohr ότι, οι ροπές αδράνειας ως προς οποιαδήποτε άλλη κατεύθυνη θα είναι ίες µε α 4 /1---πράγµα που δεν είναι προφανές από την εξέταη της διατοµής και µόνο. Σαν ένα δεύτερο παράδειγµα,ας δούµε το Σχήµα 1.5 ένα ελατικό ύτηµα που αποτελείται από τρεις όµοιες αλλά αυθαίρετες κατακευές που υνδέουν ένα ηµείο P µε πακτώεις, οι κατακευές έχουν κλίη 10 ο Σχ. 1.5 Στήριξη κατακευής µε τρεις όµοιες αλλά αύµµετρες υνιτώες µεταξύ τους. Οι τρεις κατακευές έχουν ελατικές ιδιότητες που εκφράζονται µε τη χέη u i = C ij F j (1.1) όπου C ij είναι ό τανυτής δυκαµψίας και είναι γενικά τέτοιος ώτε η µετατόπιη u να µην είναι υγραµµική µε την δύναµη F που την προκαλεί. Εντούτοις, η υνολική µητρωϊκή υνάρτηη δυκαµψίας έχει τις ίδιες ιδιότητες ε τρία διαφορετικά υτήµατα υντεταγµένων τα οποία χηµατίζουν µεταξύ τους γωνία 10 ο, εφόον η περιτροφή του Σχ. 1.5 κατά 10 ο δεν αλλάζει τη µορφή του. Ο µόνος κύκλος του Mohr που δίνει τις ίδιες υνιτώες C ij µετά από περιτροφή 10 ο είναι αυτός της µηδενικής ακτίνας. Αρα ο C έχει µόνο κύριες τιµές και αυτές πρέπει να είναι ίες µεταξύ τους ( u 1 = C 11 F 1 και u = C F δηλ. η u υγραµµική της

10 10 F ). Συµπεραίνουµε εποµένως ότι το ύτηµα τήριξης του Σχ. 1.5 είναι τέτοιο ώτε (i) η µετατόπιη του P να έχει πάντοτε την ίδια κατεύθυνη µε την δύναµη F και (ii) το µητρώο δυκαµψίας C ij (τανυτής ης τάξης ) να είναι το ίδιο ε όλες τις κατευθύνεις. Τα δυο προηγούµενα παραδείγµατα δείχνουν ότι µερικές φορές κερδίζουµε αν, αντί του υπό εξέταη προβλήµατος, θεωρήουµε ένα ανόµοιο φυικό πρόβληµα, το οποίο όµως έχει κοινή µαθηµατική δοµή µε το πρώτο Κύριες τάεις και τάεις Von Mises Ένας από τους κύριους λόγους για τους οποίους είναι απαραίτητοι οι υπολογιµοί, µε βάη τη θεωρία Ελατικότητας, είναι ο προδιοριµός του πότε και που, θα ατοχήει ένα δοµικό τοιχείο. Θεωρίες ατοχίας υλικών δεν θα αναπτυχθούν εδώ, αλλά αναφέρουµε απλώς ότι, τα πιο ευρέως χρηιµοποιούµενα κριτίρια ατοχίας είναι, για τα όλκιµα υλικά, αυτό του Von Mises, και για τα ψαθυρά υλικά, αυτό της µέγιτης εφλκυτικής τάης. Ένα ψαθυρό υλικό ατοχεί υνήθως όταν η µέγιτη εφελκυτική τάη φτάει µια κρίιµη τιµή, πράγµα που ηµαίνει ότι θα πρέπει να υπολογίουµε την µέγιτη κύρια τάη 1 (χέεις ( ). Το κριτήριο του Von Mises λέει ότι, ένα όλκιµο υλικό αρχίζει να διαρρέει όταν, η ενέργεια παραµόρφωης ανά µονάδα όγκου, φτάνει µια κρίιµη τιµή. Αυτό οδηγεί το παρακάτω κριτήριο διαρροής E I 3I 1 = xx yy zz xx yy yy zz zz xx 3 xy 3 yz 3 zx SY = (1.) όπου S y είναι η τάη διαρροής ε µονοαξονικό εφελκυµό. Η ποότητα Ε είναι γνωτή ως ιοδύναµη εφελκυτική τάη ή Von Mises τάη. Τα αρχεία principalstresss του Maple και της Mathematica χρηιµοποιούν τους τύπους ( ) για να υπολογίουν τις κύριες τάεις και την Von Mises τάη από τις υνιτώες µιας δεδοµένης τάης Μετατόπιη Η µετατόπιη ενός ηµείου P είναι ένα διάνυµα u που παριτάνει την απόταη µεταξύ της αρχικής θέης του P και της τελικής του. Οι υνιτώες του u ως προς ένα καρτειανό ύτηµα υντεταγµένων υµβολίζονται µε u x, u y, u z, έτι ώτε

11 11 u = i u x + j u y + k u z (1.3) Η παραµόρφωη του ώµατος προδιορίζεται πλήρως αν γνωρίζουµε την µετατόπιη κάθε ηµείου του. Θα ηµειώουµε όµως ότι υπάρχει µια τάξη µετατοπίεων που δεν εµπλέκουν παραµορφώεις οι οποίες ονοµάζονται µετατοπίεις τερεού ώµατος. Μια τυπική τέτοια περίπτωη είναι όταν όλα τα ηµεία του ώµατος έχουν την ίδια µετατόπιη. Σχήµα 1.6. Ράβδος αναρτηµένη από την οροφή 1. Παραµορφώεις και χέη τους µε τις µετατοπίεις Οι υνιτώες της τροπής υµβολίζονται µε το e και κατάλληλους δείκτες ( δηλαδή e xx, e xy ). Όπως και για την τάη έτι κι εδώ δεν χρειάζονται διαφορετικά ύµβολα για την διατµητική τροπή. Στην Αντοχή Υλικών υνήθως χρηιµοποιείται το ύµβολο γ για τις διατµητικές τάεις, εδώ απλώς έχουµε γ xy = e xy, γ xz = e xz, γ yz = e yz. Ένα µεγάλο προτέρηµα αυτού του νέου υµβολιµού είναι ότι κάνει την e ένα καρτειανό τανυτή ης τάξης. Θα δούµε την παράγραφο 1..4 παρακάτω ότι οι µεταχηµατιµοί των τροπών από το ένα καρτειανό ύτηµα το άλλο είναι όµοιοι µε τους (1.16 ή 1.17) Επιµήκυνη Οι πουδατές για πρώτη φορά αντιµετωπίζουν την έννοια της τροπής την Στοιχειώδη Αντοχή των Υλικών, αν το λόγο της επιµήκυνης µιας ράβδου προς το αρχικό µήκος της και πολλές φορές µπερδεύονται µε τον προφανώς διαφορετικό µαθηµατικό οριµό τη µηχανική του υνεχούς µέου. Θα υζητήουµε εδώ τη χέη των δύο οριµών---εν µέρει για ολοκλήρωη και εν µέρει διότι η οξυδερκής φυική αντίληψη που παρέχεται από την Αντοχή των Υλικών ε οριµένα απλά προβλήµατα,

12 1 είναι πολύ χρήιµη αν µπορεί να µεταφερθεί ε πιο δύκολα προβλήµατα. Το Σχήµα 1.6 δείχνει µια ράβδο αρχικού µήκους L και πυκνότητας ρ να αναρτάται από την οροφή. Θα δούµε πώς µεταβάλλεται το µήκος της εξαιτίας του βάρους της. Φαίνεται πολύ απλά ότι η εφελκυτική τάη xx το ηµείο P, ε απόταη x από την οροφή είναι xx = ρg (L-x) (1.4) Σχήµα 1.7 Στοιχειώδες τµήµα της δοκού Όπου g είναι η επιτάχυνη της βαρύτητας, και από τον νόµο του Hooke, e xx = ρg (L-x) / E (1.5) Εντούτοις η τροπή µεταβάλλεται υνεχώς κατά µήκος της ράβδου και εποµένως µπορούµε να θεωρήουµε ένα ελάχιτο τµήµα της δοκού όπου µπορούµε να εφαρµόουµε τον οριµό της αντοχής των Υλικών, διότι ε αυτό το ελάχιτο τµήµα µπορούµε να θεωρήουµε ότι η τροπή µπορεί να θεωρηθεί χεδόν ταθερή. Θεωρούµε ένα τµήµα της δοκού µεταξύ x και x+δx, το οποίο υµβολίζουµε µε PQ (Σχ.1.7) και περιγράφουµε την τροπή ως προς την µετατόπιη του κάτω άκρου u x (Q) και του πάνω άκρου u x (P). Μετά την παραµόρφωη, το µήκος PQ έχει επιµηκυνθεί κατά u x (Q) -u x (P) κι εφόον η εφελκυτική τροπή της τάης από την Αντοχή των Υλικών είναι exx = ( ux( Q) ux ( P)) / δ x (1.6) παίρνοντας το όριο για δx 0, έχουµε τον οριµό e xx = u x / x (1.7) Αντίτοιχοι οριµοί για τις άλλες ορθές τροπές µπορούν να βρεθούν ε προβλήµατα τριών διατάεων e y y = u y / y e zz = u z / z (1.8)

13 13 Σηµειώνουµε πόο εύκολο γίνεται το πρόβληµα του Σχ. 1.6 όταν χρηιµοποιούµε αυτούς τους οριµούς. Από τις (1.4) και (1.8) έχουµε e xx = u x / x = ρg (L-x) / E και ολοκληρώνοντας ως x u x =( ρg (Lx-x ) / E + A (1.9) όπου Α είναι µια τυχαία ταθερά, που εκφράζει ότι η γνώη των τάεων και από αυτές των παραµορφώεων δεν είναι αρκετή για να προδιορίουµε τη θέη του ώµατος το χώρο. Στην πράξη το Α παριτάνει µια µετακίνηη τερεού ώµατος. Στην περίπτωη αυτή χρειαζόµατε να χρηιµοποιήουµε το γεγονός ότι η ράβδος κρέµεται από την ακίνητη οροφή---δηλαδή ότι u x (0) = 0 και εποµένως Α = 0 από την (1.9). 1.. Περιτροφή και διατµητική παραµόρφωη Σηµειώνουµε ότι τα δυο x του e xx αντιτοιχούν τον οριµό του e xx = u x / x. Είναι λογικό να ψάξουµε χέη µεταξύ των διατµητικών τροπών e xy, u x / y, u y / x. Σαν πρώτο βήµα θα υζητήουµε την γεωµετρική ερµηνεία αυτών των παραγώγων. Το Σχήµα 1.8 δείχνει ένα ευθύγραµµο τµήµα PQ µήκους δx, παράλληλο µε τον x -άξονα, και έτω ότι τα δυο του άκρα µετατοπίζονται κατά τον y-άξονα. Αν τώρα u y (P) u y (Q), η ευθεία PQ θα έχει περιτραφεί, και αν η περιτροφή είναι µικρή µπορεί να γραφεί φ = (u y (x+δx) -u y (x)) / δx, (1.30) (θετική φορά η αντιωρολογιακή). Περνώντας το όριο για δx 0, έχουµε φ = u y / x (1.31) Ετι u y / x είναι η γωνία κατά την οποία έχει περιτραφεί µια αρχικά παράλληλη µε τον x -άξονα ευθεία, κατά την παραµόρφωη. Σχήµα 1.8 Περιτροφή ενός ευθύγραµµου τµήµατος, παράλληλου τον x-άξονα. Τώρα, αν PQ είναι µια γραµµή την επιφάνεια ελατικού ώµατος, η περιτρoφή της κατά γωνία φ δεν δηλώνει απαραίτητα παραµόρφωη

14 14 µπορεί να οφείλεται και ε περιτροφή τερεού ώµατος. Για να αποφανθούµε καλύτερα τι υµβαίνει την περίπτωη αυτή πρέπει να χεδιάουµε ένα ύνολο ευθειών ε διαφορετικές γωνίες γύρω από κάποιο ηµείο της ευθείας π.χ. το P. Σχ. 1.9 Περιτροφή γραµµών γύρω από ένα ηµείο P, (α) Αρχική κατάταη, (b) περιτροφή τερεού ώµατος, (c) περιτροφή και παραµόρφωη Αν η περιοχή γύρω από το ηµείο P υφίταται µια περιτροφή τερεού ώµατος, τότε όλες οι γραµµές θα έχουν περιτραφεί κατά την ίδια γωνία Σχ. 1.9 (b). Αν όµως διαφορετικές γραµµές έχουν περιτραφεί κατά διαφορετική γωνία όπως το Σχ. 1.9 (c) τότε ηµαίνει ότι το ώµα έχει παραµορφωθεί. Θα δείξουµε την επόµενη παράγραφο ότι οι οι περιτροφές των γραµµών το Σχ. 1.9 (c) δεν είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους, και µια τέτοια θεώρηη οδηγεί τον οριµό της διατµητικής τροπής Μεταχηµατιµός των υντεταγµένων Υποθέτουµε ότι γνωρίζουµε τις υνιτώες µετατόπιης u x, u y ε κάθε ηµείο του ώµατος το οποίο έχει υποτεί κάποια παραµόρφωη και θέλουµε να βρούµε τη τροφή φ, της ευθείας PQ του Σχήµατος 1.10, η οποία είναι αρχικά τραµµένη ως προς τον x-άξονα κατά γωνία θ. Θεωρούµε ένα καινούριο ύτηµα αξόνων Οx y µε Ox παράλληλο την PQ όπως φαίνεται το χήµα και υµβολίζουµε τις µετατοπίεις το καινούργιο ύτηµα υντεταγµένων µε u x, u y. Σύµφωνα µε την (1.31) η ευθεία PQ θα είναι τραµµένη λόγω των µετατοπίεων αντιωρολογιακά κατά γωνία φ

15 15 Σχ Περιτροφή µιας γραµµής κεκλιµένης κατά γωνία θ. φ( PQ) ' u y ' Επιπλέον έχουµε από τα µαθηµατικά ότι = (1.3) x ' i ' = x ' ' ' = ( i + j ) i = i i + j i x y x y = cosθ + sinθ x y (1.33) (1.34) Επίης όπως τις (1.5) και (1.6) u x = u x cosθ + u y sinθ (1.35) u y = - u x sinθ + u y cosθ (1.36) Αντικαθιτώντας την (1.3) βρίκουµε φ ( PQ) (cos θ sin )( uy cos ux sin ) x θ = + y θ θ uy u u x y ux = cos θ sin θ+ ( )sinθ cosθ x y y x 1 uy u 1 u x y ux = ( ) + ( + ) c os θ x y x y 1 u ( y ux + )sin θ y x (1.37) Στην τελική έκφραη της (1.37) ο πρώτος όρος είναι ανεξάρτητος της κλίης θ της ευθείας PQ και εποµένως εκφράζει τροφή τερεού ώµατος όπως το Σχ. 1.9 (b). Αυτό τον όρο θα τον υµβολίουµε µε ω, και ύµφωνα µε τη ύµβαη του Σχ. 1.8 είναι θετικός κατά την αντιωρολογιακή φορά. Σηµειώνουµε πως εφόον αυτός ο όρος ω είναι ανεξάρτητος του θ, θα είναι ο ίδιος για κάθε δεξιότροφο ύτηµα υντεταγµένων, δηλαδή

16 16 ' ' 1 u y u 1 u x y ux ω= ( ) = ( + ) ' ' x y x y (1.38) για κάθε ηµείο ( x, y). Σε τρεις διατάεις, ω παριτάνει µια απειροτή θετική τροφή γύρω από τον z άξονα και φυικά είναι πιο ωτό να τον υµβολίουµε µε ω z για να τον ξεχωρίουµε από τις αντίτοιχες τροφές γύρω από τους άλλους άξονες Ο x και O y δηλαδή 1 u u ( z y ωx = ) y z ή µε τη ύµβαη πρόθεης, 1 u ( x uz ωy = ) z x 1 u j ωk = ( εijk ) x i, 1 u ( y ux ωz = ) x y (1.39) (1.40) ε ijk είναι ο αντιµεταθετικός τανυτής ο οποίος ορίζεται ίος µε 1 όταν τα i, j, k είναι κυκλική µετάθεη των 1,,3, (π.χ.,3,1), ενώ ιούται µε -1 όταν τα i, j, k είναι αντικυκλική µετάθεη των 1,, 3 ( π.χ.,1,3) και ιούται µε µηδέν όταν δυο από τα i, j, k είναι ία µεταξύ τους. Σε τριδιάτατα προβλήµατα η τροφή ω είναι ένα διάνυµα µε υνιτώες ω x, ω y, ω z και µπορεί να οριτεί από την εξίωη 1 1 = curl ω u u (1.41) αλλά ε προβλήµατα δύο διατάεων υµπεριφέρεται αν βαθµωτό µέγεθος, εφόον οι δυο υνιτώες του εκφυλίζονται το µηδέν Οριµός των διατµητικών τροπών Είµατε τώρα ε θέη να ορίουµε την διατµητική τάη e xy αν τη διαφορά µεταξύ της τροφής µιας ευθείας που έχει τη διεύθυνη του x- άξονα και της αντίτοιχης τροφής τερεού ώµατος ω z, δηλαδή και παροµοίως e yz e xy u y 1 u ( y ux = ωz = + ) x x y 1 u u ( z y = + ) y z, e zx 1 u ( x uz = + ) z x (1.4) (1.43) Όπως βλέπουµε η ποότητα e xy είναι το µιό της ποότητας γ xy που χρηιµοποιείται την Αντοχή των Υλικών και ε µερικά βιβλία Ελατικότητας. Οι υνιτώες του τανυτή τροπής (1.7, 1.8, 1.4, 1.43) µπορούν να γραφούν και µε τη ύµβαη πρόθεης. e ij 1 u u j ( i = + ) x x j i i, j =1,,3 (1.44)

17 17 µε το υµβολιµό των εξιώεων (1.7, 1.8, 1.4, 1.43), µπορούµε να γράψουµε την (1.37) µε τη µορφή φ( PQ) = ωz+ exy (cos θ sin θ ) + ( eyy exx )sinθ cosθ (1.45) αλλά εξ οριµού φ ω Άρα ' ' x y e ' ' = ( PQ) z x y e e θ θ e e θ θ = + (1.46) xy (cos sin ) ( yy xx )sin cos Αυτό είναι φυικά µια από τις χέεις µεταχηµατιµού των υντεταγµένων. Η άλλη βρίκεται κατά τον ίδιο τρόπο από τις εξιώεις (1.7, 1.34, 1.35) e ' ' = exx cos θ+ eyy sin θ+ exy sinθ cosθ (1.47) x x Μια ύγκριη των εξιώεων (1.46, 1.47) και των (1.14 ή 1.17) βεβαιώνει ότι, µε τους οριµούς αυτούς, η τροπή e ij είναι ένας τανυτής ης τάξης. 1.3 Σχέεις τάης -τροπής Θα αναπτύξουµε τους τύπους των γραµµικών χέεων τάης παραµόρφωης για ιότροπα υλικά θεωρώντας αν θεµελιώδεις ταθερές το µέτρο ελατικότητας Ε του Young και το λόγο του Poisson ν. ν xx yy ν zz = (1.48) e xx e yy e zz E E E yy ν zz ν xx E E E zz ν ν xx yy E E E = (1.49) = (1.50) Η χέη µεταξύ e xy και xy µπορεί να βρεθεί χρηιµοποιώντας τις χέεις µεταχηµατιµού µεταξύ υτηµάτων. Γνωρίζουµε ότι υπάρχουν τρεις κύριες διευθύνεις τις οποίες αν ευθυγραµµίουµε µε τους άξονες x, y, z, θα έχουµε xy = yz = zx = 0 (1.51) και λόγω υµµετρίας e xy = e yz = e zx = 0 (1.5) Χρηιµοποιώντας ένα ύτηµα ευθυγραµµιµένο µε τις κύριες διευθύνεις, από τις εξιώεις (1.46, 1.5) γράφουµε: e ' ' ( e e )sinθ cosθ x y = (1.53) yy και από τις εξιώεις από (1.48, 1.49, 1.17 c) ( (1 ) ' ' yy xx )(1 + ν )sinθ cosθ +ν x y e ' ' = = (1.54) Θέτουµε x y E xx E

18 18 E G = µ = (1 + ν ) (1.55) έτι η εξίωη (1.54) παίρνει τη µορφή ' ' x y e x ' y ' = (1.56) µ Γενικά τις χέεις ( ) και (1.56) µπορούµε να τις γράψουµε (αποδείξτε το αν άκηη ) µε τη µορφή 1+ ν ν = δ (1.57) Σταθερές του Lamé e ij ij mm ij E Είναι υχνά επιθυµητό να λύουµε τις εξιώεις ( ) ώτε να εκφράουµε τη xx ως προς e xx κ.λ.π. Η λύη είναι απλή και οδηγεί την παρακάτω εξίωη Eν ( exx+ eyy+ ezz) Eexx xx = + ( 1+ ν)( 1 ν ) ( 1+ ν) και παρόµοιες εξιώεις, οι οποίες µπορούν υνοπτικά να γραφούν µε τη µορφή xx = λ e+ µ exx (1.58) κ.λ.π., όπου Eν µν λ= = (1.59) ( 1+ ν)( 1 ν ) ( 1 ν ) και e exx+ eyy + ezz eii divu (1.60) είναι γνωτό αν διόγκωη. Οι χέεις τάης-τροπής (1.56, 1.58) µπορούν να γραφούν υνοπτικά µε τον υµβολιµό δεικτών µε τη µορφή ij = λemmδ ij + µ eij (1.61) όπου δ ij είναι το δέλτα του Kronecker, το οπoίο ορίζεται ως 1 αν i=j και 0 αν i j. Οι ταθερές λ, µ είναι γνωτές αν ταθερές του Lamé. Το µέτρο του Young και ο λόγος του Poisson µπορούν να γραφούν ως προς τις ταθερές του Lamé µε τις παρακάτω εξιώεις (3 ) E µ λ + = µ (1.6) ( λ + µ ) λ ν = (1.63) ( λ + µ ) 1.3. ιόγκωη και µέτρο διόγκωης Η διόγκωη, e, αποδεικνύεται εύκολα ότι είναι αναλλοίωτη δηλαδή έχει την ίδια τιµή ε οποιοδήποτε ύτηµα υντεταγµένων. Με τη φυική E

19 19 έννοια είναι η τοπική τροπή (παραµόρφωη) του όγκου, εφόον ένας µοναδιαίος κύβος αυξάνεται ε ένα παραλληλεπίπεδο διατάεων (1+e xx ), (1+e yy ), (1+e zz ) και εποµένως η µεταβολή του όγκου του είναι δv =(1+e xx )(1+e yy )(1+e zz ) -1 = e xx + e yy + e zz + O (e xx e yy ). (1.64) Μπορεί να δειχθεί ότι, η διόγκωη και το διάνυµα τροφής τερεού ώµατος είναι αρµονικές υναρτήεις δηλ. e = ω = 0. Για το λόγο αυτό, πολλές από τις αρχικές λύεις των προβληµάτων Ελατικότητας κατατρώθηκαν µε αυτές τις µεταβλητές, εξαιτίας των πλούιων µαθηµατικών γνώεων των αρµονικών υναρτήεων. Τώρα έχουµε καταλληλότερους τρόπους για να εκφράουµε τα προβλήµατα Ελατικότητας µε αρµονικές υναρτήεις, τις οποίες θα υζητήουµε από το κεφάλαιο 15 και µετά. Η διόγκωη είναι ανάλογη της µέης τάης µέω µιας ταθεράς, που ονοµάζεται µέτρο διόγκωης K b. Έτι από τις εξιώεις ( ) έχουµε ( xx+ yy + zz ) 1 = K e (1.65) όπου 3 3 E Kb = λ + µ = 3 3(1 ν ) Σηµειώνουµε ότι K b αν ν δηλ. το υλικό γίνεται αυµπίετο. Προβλήµατα ii b (1.66)

20 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΣΥΜΒΑΤΟΤΗΤΑ Μπορούµε να θεωρήουµε ένα ελατικό ώµα αν ένα υπερτατικό δικτύωµα µε πάρα πολλούς κόµβους (υλικά ηµεία)- κάθε υλικό ηµείο είναι υνδεδεµένο µε τα γειτονικά του. Για ένα τέτοιο δικτύωµα, περιµένουµε να πάρουµε κάποιες εξιώεις από την ιορροπία του αλλά όχι τόες όες ακριβώς είναι οι άγνωτες. Η ανεπάρκεια αυτή διορθώνεται µε τις υνθήκες υµβιβατού. οι οποίες δεν είναι τίποτε άλλο από τη θεώρηη ότι οι υνιτώες της παραµόρφωης θα πρέπει να ταιριάζουν µεταξύ τους για να εξακολουθεί το ώµα να είναι υνεχές. Αυτές οι υνθήκες υνδέουν τις διατάεις και εποµένως τις τροπές των παραµορφωµένων υνιταµένων, και για να τις εκφράουµε µε τις ίδιες άγνωτες όπως τις τάεις (δυνάµεις) χρειαζόµατε να γνωρίζουµε τις χέεις τάεων τροπών όπως εφαρµόζονται ε κάθε υλικό ηµείο. Αν µπορούαµε να προεγγίουµε το ελατικό ώµα µε ένα ύτηµα υνδεόµενων ελατικών ράβδων, αυτό θα ήταν µια ακριβής περιγραφή της διαδικαίας επίλυης του προβλήµατος. Η µόνη διαφορά να διαχειριτούµε ένα υνεχές ελατικό µέο είναι ότι το ύτηµα των αλγεβρικών εξιώεων που το διέπει αντικαθίταται µε ένα ύτηµα διαφορικών εξιώεων που περιγράφει τις ίδιες φυικές ή γεωµετρικές αρχές..1 Εξιώεις ιορροπίας Θεωρούµε ένα τοιχειώδες ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο µε πλευρές δx, δy, δz όπως φαίνονται το Σχ..1. Υποθέτουµε ότι, υπάρχει µια ωµατιδιακή δύναµη ανά µονάδα όγκου και οι τάεις µεταβάλλονται από θέη ε θέη έτι ώτε, οι υνιτώες της τάης τις απέναντι πλευρές του παραλληλογράµµου να διαφέρουν κατά τις απειροτές ποότητες δ xx δ xy κ.λ.π. Στο Σχ..1 δείχνουµε µόνο τις υνιτώες της τάης που δρουν τη x-διεύθυνη για περιότερη ευκρίνεια. Αθροίζουµε τις δυνάµεις τη διεύθυνη x, και έχουµε ( + δ ) δ yδ z+ ( + δ ) δ zδ x+ ( + δ ) δ xδ y+ δ xδ yδ z= 0 xx xx xx xy xy xy xz xz xz (.1) ιαιρώντας τώρα µε δxδyδz και περνώντας το όριο µε τις απειροτές ποότητες να τείνουν το µηδέν, έχουµε xx xy xz = 0 (.) x y z p x

21 1 Σχ..1 υνάµεις κατά την x-διεύθυνη ε ένα τοιχειώδες κοµµάτι Παροµοίως έχουµε yx yy yz py = o x y z yx yy yz py = o x y z (.3) (.4) ή µε το υµβολιµό των δεικτών και τη ύµβαη πρόθεης ij + p = 0 (.5) x j Αυτές είναι οι διαφορικές εξιώεις ιορροπίας.. Εξιώεις υµβιβατού i Ένα Θεµελιώδες πρόβληµα της θεωρίας Ελατικότητας είναι να προδιορίουµε την εντατική κατάταη ε ένα ώµα που υπόκειται ε κάποια φορτία. Οι εξιώεις ιορροπίας είναι τρεις (.,.3 και.4) αλλά οι άγνωτες τάεις είναι 6. Εποµένως οι εξιώεις ιορροπίας δεν αρκούν για των υπολογιµό των αγνώτων. Μπορούµε να εκφράουµε τις τάεις υναρτήει των τροπών από τις κατατατικές εξιώεις (παράγραφος 1.3), αλλά πάλι θα έχουµε 6 αγνώτους τις τροπές e xx, e yy, e zz, e xy, e xz, e yz. Εποµένως χρειαζόµατε άλλες τρεις εξιώεις για να µπορέουµε να λύουµε το πρόβληµα. Ας κεφθούµε όπως όταν έχουµε να επιλύουµε ένα πλαίιο την περίπτωη αξονικής ένταης. Εκεί, όταν ο αριθµός των εξιώεων ιορροπίας ήταν µικρότερος από τις άγνωτες, χρηιµοποιούαµε κάποιες γεωµετρικές υνθήκες (εξιώεις υµβιβατού ) βαιµένες το κεπτικό ότι το πλαίιο έπρεπε να διατηρεί τη υνοχή του και µετά την παραµόρφωη, δηλαδή οι παραµορφώεις να είναι τέτοιες ώτε να µην κατατραφεί το πλαίιο. Έτι κι εδώ θέλουµε το ελατικό ώµα να διατηρεί τη υνοχή και µετά την παραµόρφωη, δηλαδή να µην παρουιάει εγκοπές. Από µαθηµατική κοπιά αυτό ηµαίνει ότι οι µετατοπίεις u x, u y, u z πρέπει να

22 είναι υνεχείς υναρτήεις των x, y, z. Εποµένως µπορούµε να παραγωγίουµε τις εξιώεις (1.7, 1.8) δυο φορές ως προς x ή y αντίτοιχα κι έχουµε Κι εποµένως δηλαδή e u xx x y x y x y x 3 3 e u yy y =, = 3 3 e e xx yy u u x y u u x y exy + = + = ( + ) = y x x y y x x y y x x y e xx exy eyy + = 0 y x y x (.6) (.7) (.8) a) Η (.8) α) είναι µια από τις εξιώεις υµβιβατού. Κατά παρόµοιο τρόπο βρίκουµε και άλλες δύο eyy eyz ezz + = 0 z y z y exx exz ezz + = 0 z x z x (.8) b) (.8) c) Οι τρεις εξιώεις (.8) a), b), c) µαζί µε άλλες τρεις που προκύπτουν επίης εύκολα και οι οποίες είναι της µορφής ezz eyz e e zx xy = ( + ) = 0 x y z x y z (.9) Αποτελούν τις 6 ανεξάρτητες εξιώεις υµβιβατού. Οι προηγούµενες εξιώεις υµβιβατού ε τανυτική µορφή είναι ε pks esj esi ( ) = 0 x x x k i j (.10) Όλες µαζί οι εξιώεις ιορροπίας (.5) και οι εξιώεις υµβιβατού (.10) κάνουν το πρόβληµα αρκετά πολύπλοκο. Στην πράξη όµως, τα περιότερα προβλήµατα τριών διατάεων, τα επεξεργαζόµατε ως προς τις µετατοπίεις και όχι ως προς τις τροπές. Αυτός ο τρόπος επίλυης δεν απαιτεί τις εξιώεις υµβιβατού γιατί η υνοχή του ελατικού ώµατος ικανοποιείται αυτόµατα από τις υναρτήεις µετατόπιης. Σε προβλήµατα δυο διατάεων όµως, που όλες οι εξιώεις υµβιβατού εκτός από µια (την.8), εκφυλίζονται ε ταυτότητες, τα πράγµατα είναι πιο απλά. Έτι τα προβλήµατα αυτά µορφοποιούνται και ως προς τις τάεις ή τις τροπές..3 Εξιώεις ιορροπίας ως προς τις µετατοπίεις Ας θυµηθούµε ότι είναι προτιµότερο να δουλεύουµε ένα πρόβληµα ελατικότητας µε εξιώεις οι οποίες να περιέχουν µόνο µετατοπίεις παρά τάεις ή παραµορφώεις, διότι έτι αποφεύγουµε να

23 3 χρηιµοποιήουµε τις υνθήκες υµβιβατού. Στη υνέχεια βέβαια υπολογίζουµε τις παραµορφώεις από τις (1.44) και τις υναρτήεις των τάεων από τις κατατατικές εξιώεις (1.61). Για να έχουµε τις εξιώεις ιορροπίας ως προς τις µετατοπίεις δουλεύουµε ως εξής: Αντικαθιτούµε τις τάεις από τις κατατατικές εξιώεις (1.61) τις εξιώεις ιορροπίας (.5) κι έχουµε ή ή πιο αναλυτικά e u u i j λ δ ij+ µ ( + ) + pi = 0 x x x x x j j j i j u λ δ + µ ( + ) + pi = 0 x x x x x x uk ui j ij j k j j i j uk u u i j λ + µ ( + ) + pi = 0 x x x x x x i k j j i j uk ui ( λ + µ ) + µ + pi = 0 x x x x i k j j u u u u u u ( λ + µ ) ( + + ) + µ ( + + ) + pi = 0 x x x x x x x i 1 3 i i i Χρηιµοποιώντας την (1.60) και του ότι u u u i i i ui = + + x1 x x3 i, j, k = 1,,3 (.11 ) i, j, k = 1,,3 (.1 ) i, j, k = 1,,3 (.13) i, j, k = 1,,3 (.14) i= 1,,3 (.15) i= 1,,3 µπορούµε να γράψουµε τις (.15) για i= 1,,3 αναλυτικά e λ µ µ ( + ) + u1+ p1 = 0 x1 e λ µ µ ( + ) + u+ p = 0 x e λ µ µ ( + ) = 0 x3 u τη υνέχεια τις πολλαπλαιάζουµε αντίτοιχα µε τα µοναδιαία e 1, e, e 3 και αθροίζοντας παίρνουµε ή ή επειδή όµως ( λ + µ )( e + e + e ) divu+ µ ( u e + u e + u e ) + x x x p p1 1+ p + p3 3 = 0 λ µ µ ( + ) ( divu) + u+ p = 0 e e e (.16) µ 1 ( div ) + + = 0 λ + µ λ + µ u u p (.17)

24 4 η (.17) γίνεται v µ λ + µ = µ (1 + ) = 1 v 1 v (1 ν ) div + (1 ν ) + = 0 µ u u p (.18) Προβλήµατα

25 5 ΤΜΗΜΑ ΙΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΥΟ ΙΑΣΤΑΣΕΩΝ

26 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΙΠΕ Η ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Η ΕΝΤΑΣΗ Ένα πρόβληµα ελατικότητας είναι δύο διατάεων αν, οι υναρτήεις τάεων και παραµορφώεων, εξαρτώνται από τις δύο υντεταγµένες (x, y) µόνο, και όχι και την τρίτη z, και οι οριακές υνθήκες του αναφέρονται ε µια γραµµή f(x,y)=0 το xy-επίπεδο. Με την έννοια αυτή, δεν υπάρχει ένα αυτηρά διδιάτατο ελατικό πρόβληµα. Υπάρχουν περιπτώεις, όπου οι τάεις είναι ανεξάρτητες της z- υντεταγµένης, αλλά όλα τα ώµατα έχουν ύνορα, τα οποία φυικά δεν είναι γραµµές ενός επιπέδου xy, αλλά επιφάνειες. Όµως πολλά προβλήµατα ελατικότητας µπορούν να θεωρηθούν ως διδιάτατα, όταν οι υνοριακές τους υνθήκες έχουν κατάλληλη µορφή. 3.1 Αρχή του Saint Venant Το 1855 ο Saint Venant τη διάηµη διατριβή του για τη τρέψη κατέγραψε αν υποπροιόν της διατριβής του µια Αρχή. Η Αρχή του Saint Venant λέει: Αν κάποια κατανοµή δυνάµεων που δρα ε µια περιοχή της επιφάνειας ενός ώµατος, αντικαταταθεί από µια διαφορετική κατανοµή δυνάµεων, που δρα την ίδια περιοχή του ώµατος, και οι δυο κατανοµές αυτές είναι τατικά ιοδύναµες, τότε οι επιδράεις των δυο διαφορετικών κατανοµών, πάνω ε τµήµατα του ώµατος αποµακρυµένα αρκετά από την περιοχή εφαρµογής των κατανοµών, είναι ουιατικά ίδιες. Η φράη τατικά ιοδύναµες κατανοµές ηµαίνει ότι αυτές δίνουν την ίδια υνιταµένη δύναµη και την ίδια υνιταµένη ροπή. Για να περιγράψουµε την παραπάνω Αρχή ας δώουµε κάποιο παράδειγµα. Ας θεωρήουµε µια επιµήκη δοκό που το ένα της άκρο είναι πακτωµένο και το άλλο άκρο της δρα µια κατανοµή δυνάµεων η οποία ιοδυναµεί µε µια υνιταµένη δύναµη F και µια υνιταµένη ροπή M. Τώρα υπάρχουν άπειρες τον αριθµό διαφορετικές κατανοµές δυνάµεων οι οποίες µπορούν να δρουν το άκρο αυτής της δοκού και να έχουν όλες την ίδια υνιταµένη δύναµη F και την ίδια υνιταµένη ροπή M. Η Αρχή του Saint Venant λέει ότι ενώ οι κατανοµές τάεων και τροπών κοντά την περιοχή εφαρµογής των κατανεµηµένων δυνάµεων µπορεί να διαφέρουν πάρα πολύ, οι διαφορές τους δεν θα έχουν ηµαντική

27 7 επίδραη την κατάταη των τάεων µακριά από τα ηµεία εφαρµογής, εφόον βεβαίως τα υτήµατα των εφαρµοζοµένων δυνάµεων είναι τατικά ιοδύναµα. 3. Επίπεδη παραµόρφωη Ας θεωρήουµε έναν πολύ µακρύ κύλινδρο (Σχ. 3.1 αλλά µε άκρα ε ακλόνητα τηρίγµατα) µε άξονα κατά την z-διεύθυνη. Και έτω οι x και y διευθύνεις βρίκονται πάνω την κεντρική διατοµή του. θεωρούµε ότι αυτός ο κύλινδρος φορτίζεται µε δυνάµεις κάθετες τη z-διεύθυνη, οι οποίες είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες κατά µήκος του κυλίνδρου. Υποθέτουµε ότι οι δυο ακραίες διατοµές ακουµπούν ε δυο ακλόνητα τηρίγµατα που επιτρέπουν παραµορφώεις πάνω τα επίπεδά τους, αλλά εµποδίζουν παραµορφώεις κατά τον άξονα του κυλίνδρου. Επειδή η φόρτιη είναι υµµετρική ως προς τη κεντρική διατοµή, οι αξονικές παραµορφώεις πάνω ε αυτή θα είναι µηδενικές. Αλλά επιπλέον επειδή η εξωτερική φόρτιη είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη κατά τον άξονα του κυλίνδρου (Σχ.3.) όλες οι διατοµές θα έχουν αµελητέα αξονική παραµόρφωη και περίπου ίδιες υνεπίπεδες παραµορφώεις. Όο µεγαλώνει το µήκος του κυλίνδρου ε χέη µε τη διατοµή τόο οι αξονικές παραµορφώεις γίνονται πιο αµελητέες και τόο οι υνεπίπεδες ανεξάρτητες του z. Έτι για άπειρο µήκος θα έχουµε ένα διδιάτατο πρόβληµα παραµόρφωης για το οποίο e = e = e = 0 (3.1) zz zx zy Σχ. 3.1 Μακρύς κύλινδρος µε ελεύθερα άκρα Από την (3.1) και τις χέεις τάης παραµόρφωης (1.50) και (1.56) έχουµε zx = zy = 0 (3.) = ν ( + ) (3.3) e xx zz xx yy ν yy ν ( xx+ yy ) (1 ) (1 ) xx ν ν + ν xx yy = = (3.4) E E E E E

28 8 e yy ν ν ν E E (1 +ν ) E (1 ) yy (1 + ) xx = (3.5) e xy xy = (3.6) Σχ. 3. Οµοιόµορφη κατανοµή ως προς τον άξονα z. και οι υνιτώες της µετατόπιης (αποδείξτε το αν άκηη χρηιµοποιώντας τις (1.44) και ολοκληρώνοντας ) είναι υναρτήεις του x και y µόνο και όχι του z δηλαδή ux = ux ( x, y), uy = uy ( x, y), u z = 0 (3.7) Οι διαµήκεις ορθές τάεις zz δρουν πάνω τις εγκάριες διατοµές, περιλαµβανοµένων και των ακραίων διατοµών, όπου εκεί παριτάνουν δυνάµεις οι οποίες απαιτούνται για να διατηρηθεί η κατάταη επίπεδης παραµόρφωης και προκαλούνται από λεία άκαµπτα και ταθερά τηρίγµατα. Όµως υπάρχουν υγκριτικά λίγες πρακτικές εφαρµογές τις οποίες ένας κύλινδρος είναι πακτωµένος ε λεία άκαµπτα και ταθερά τηρίγµατα. Ευτυχώς όµως η λύη της επίπεδης παραµόρφωης µπορεί να χρηιµοποιηθεί, κατά µια προεγγιτική έννοια, ε κυλίνδρους που υπόκεινται ε διάφορες οριακές υνθήκες τα άκρα τους, µε την προϋπόθεη ότι το µήκος τους είναι πολύ µεγαλύτερο από τις διατάεις της διατοµής τους. Θα το δείξουµε αυτό την περίπτωη του επιµήκους κυλίνδρου του Σχ. 3.1, του οποίου τα άκρα z= ± C είναι ελεύθερα από δυνάµεις και οι πλευρές του φορτίζονται µε δυνάµεις που είναι ανεξάρτητες του z. Αρχικά λύνουµε το πρόβληµα µε την προϋπόθεη επίπεδης παραµόρφωης, πετυχαίνοντας µια ακριβή λύη την οποία όλες οι τάεις είναι ανεξάρτητες του z και την οποία υπάρχει µια ορθή τάη zz

29 9 ε όλα τα z επίπεδα. Την τάη αυτή µπορούµε να την υπολογίουµε από την (3.3). Αυτή η λύη της επίπεδης παραµόρφωης ικανοποιεί όλες τις οριακές υνθήκες του προβλήµατος, εκτός της οριακής υνθήκης τις Σχ.3.3 φράγµα αντιτήριξης Σχ.3.4 Σήραγγα ακραίες διατοµές z= ± C, όπου η zz δρα επίης, και όπου φυικά είναι ανεπιθύµητη. Ψάχνουµε λοιπόν µια διορθωτική λύη, η οποία µε την επαλληλία της λύης της επίπεδης παραµόρφωης, να αίρει την ανεπιθύµητη ορθή τάη τα άκρα z= ± C, χωρίς όµως να αλλάζει τις οριακές υνθήκες τις άλλες πλευρές. Υπάρχουν πολλά ενδιαφέροντα προβλήµατα αυτού του είδους π.χ. η περίπτωη ενός τοίχου αντιτήριξης που υφίταται πλευρική πίεη (Σχ. 3.3), τα καναλέτα ύδρευης, µία ήραγγα (Σχ. 3.4), τα κυλινδρικά εφέδρανα των γεφυρών, επιµήκη χωµάτινα φράγµατα κ.α. Σε κάθε περίπτωη, φυικά πρέπει το φορτίο να µη µεταβάλλεται κατά µήκος του άξονα. Εφόον οι υνθήκες είναι ίδιες ε όλες τις διατοµές, είναι αρκετό να θεωρήουµε ένα τµήµα µεταξύ δύο εγκάριων διατοµών µοναδιαίας απόταης µεταξύ των Η διορθωτική λύη Η διορθωτική λύη πρέπει να έχει µηδενικές τάεις τις πλευρές του κυλίνδρου και δεδοµένη ορθή τάη ( ίη και αντίθετη µε την ακριβή λύη που προκύπτει από την επίπεδη παραµόρφωη) τις ακραίες διατοµές του. Αυτό είναι ένα τριδιάτατο πρόβληµα ( δηλαδή έχουµε ένα επιµήκη κύλινδρο ο οποίος υπόκειται ε αξονικές κατανεµηµένες δυνάµεις τα άκρα του και τίποτε άλλο φορτίο) το οποίο γενικά δεν έχει λύη κλειτής µορφής. Εντούτοις, αν η δεδοµένη ορθή τάη έχει την γραµµική µορφή

30 30 zz = B + Cx + Dy, (3.8) η διορθωτική λύη µπορεί να βρεθεί, τα πλαίια της Αντοχής των Υλικών, θεωρώντας τον επιµήκη κύλινδρο αν µια δοκό που καταπονείται µόνο µε αξονική δύναµη F = da (3.9) και καµπτικές ροπές M A x = zz yda, M y zz A A zz = xda (3.10) ως προς τους O x, O y άξονες αντίτοιχα, όπου το O το διαλέγουµε να υµπίπτει µε το κέντρο βάρους της διατοµής. Αν η λύη της επίπεδης παραµόρφωης δεν δίνει κατανοµή της γραµµικής µορφής (3.8), µπορούµε πάλι να χρηιµοποιήουµε τις (3.9, 3.10) για να ορίουµε τη δύναµη και τις ροπές µιας προεγγιτικής διορθωτικής λύης από την Αντοχή των Υλικών. Το φάλµα που υπειέρχεται τώρα θα είναι µια άλλη διορθωτική λύη που θα αντιτοιχεί ε πρόβληµα το οποίο οι ακραίες διατοµές του κυλίνδρου φορτίζονται µε τάεις ίες µε τη διαφορά µεταξύ της λύης επίπεδης παραµόρφωης και της γραµµικής µορφής (3.8) της Αντοχής των Υλικών και υνδέονται µε τα φορτία (3.9, 3.10). Σε αυτή τη διορθωτική λύη, τα άκρα του κυλίνδρου φορτίζονται µε αυτοιορροπούµενες δυνάµεις, εφόον η κατανοµή των φορτίων από την Αντοχή των Υλικών διαλέγεται ώτε να προκαλεί την ίδια δύναµη και ροπές όπως και η ζητούµενη ακριβής λύη. Σε τέτοιες περιπτώεις, έχουµε ύµφωνα µε την αρχή του Saint Venant το φαινόµενο, ηµαντικές τάεις να προκαλούνται µόνο την άµεη γειτονιά των ακραίων διατοµών--- ή ακριβέτερα, ε περιοχές των οποίων η απόταη από τις ακραίες διατοµές του κυλίνδρου είναι υγκρίιµη µε τις διατάεις της διατοµής του. Αν ο κύλινδρος είναι πολύ µακρύς ε χέη µε τις διατάεις των διατοµών του θα υπάρχει ένα αρκετά µεγάλο τµήµα γύρω από την κεντρική διατοµή του το οποίο η τελική διορθωτική λύη θα δίνει αµελητέες τάεις, και εποµένως εκεί η επαλληλία της αρχικής λύης της επίπεδης παραµόρφωης και της διορθωτικής από την Αντοχή των Υλικών θα δίνει µια πολύ καλή προέγγιη το τριδιάτατο πεδίο τάεων του προς εξέταη προβλήµατος. Σηµείωη 1 Προβλήµατα, των οποίων οι υµπληρωµατικές λύεις έχουν υνοριακές υνθήκες, οι οποίες περιγράφονται µε δυνάµεις και ροπές, οι οποίες προκύπτουν από ολοκληρώµατα της µορφής (3.9, 3.10) ( forces and moments resultants), λέµε ότι λύνονται µε την αθενή έννοια ως προς αυτές τις οριακές υνθήκες. Η δε λύη λέγεται αθενής. Ενώ όταν οι τάεις ορίζονται ε κάθε ηµείο των υνόρων τους, τότε λέµε ότι zz

31 31 αυτές ικανοποιούνται µε την ιχυρή έννοια. Η λύη του προβλήµατος την περίπτωη αυτή λέγεται ιχυρή. Σηµείωη : έχουµε να λύουµε ένα πρόβληµα επιµήκους κυλίνδρου µε οµοιόµορφα κατανεµηµένα φορτία τις πλευρές του όπως το Σχ. 3.1 και ελεύθερο τα άκρα του, π.χ ένα τούνελ κλπ. Το πρόβληµα αυτό είναι ένα άλυτο πρόβληµα 3-διατάεων. Μπορούµε όµως να το λύουµε χρηιµοποιώντας τη λύη επίπεδης παραµόρφωης που αναφέρεται το πρόβληµα επιµήκους κυλίνδρου µε οµοιόµορφα κατανεµηµένα φορτία τις πλευρές και πακτωµένο τα άκρα του (για να δικαιολογείται η zz τα άκρα) και µιας διορθωτικής λύης από την Αντοχή Υλικών. Τη διορθωτική λύη τη βρίκουµε θεωρώντας πάλι ένα κύλινδρο επιµήκη, ο οποίος όµως υπόκειται τα άκρα του ε µια κατανοµή αξονικών δυνάµεων οι οποίες δίνουν υνιταµένη δύναµη και ροπή ίες και αντίθετες µε αυτές της κατανοµής zz της λύης της επίπεδης παραµόρφωης. Είναι διαφορετικές οι κατανοµές των δυο λύεων (επίπεδης παραµόρφωης και διορθωτικής από Αντοχή Υλικών ), αλλά δίνουν άθροιµα δυνάµεων µηδέν και ροπών µηδέν. Τα δυο αυτά υτήµατα κατανοµών δηλαδή είναι τατικά ιοδύναµα, δηλαδή αυτοιορροπούµενα. Άρα ύµφωνα µε την Αρχή του Saint Venant, οι επιδράεις αυτών των αυτοιορροπούµενων οριακών υνθηκών τα άκρα, θα δίνουν χεδόν µηδενικές κατανοµές µακριά από τα άκρα, δηλαδή ε ένα αρκετά ηµαντικό τµήµα του κυλίνδρου γύρω από την κεντρική διατοµή του ( ας πούµε αυτό είναι και το τµήµα του υπό εξέταη προβλήµατος, δηλαδή ο κύλινδρος, χωρίς αξονικές τάεις τα άκρα, ελεύθερος από τηρίξεις την ουία). Έτι τώρα µε την επαλληλία των δυο λύεων και οι υνοριακές υνθήκες τα άκρα θα ικανοποιούνται, δηλαδή θα είναι µηδενικές ( zz =0 ) (όπως χρειάζεται για το υπό εξέταη πρόβληµα ), και λόγω της λύης της επίπεδης παραµόρφωης, θα ικανοποιούνται και οι οριακές υνθήκες τις πλευρές. 3.3 Επίπεδη ένταη Ας θεωρήουµε πάλι τον κύλινδρο µε την ίδια µορφή φόρτιης όπως και την επίπεδη παραµόρφωη, αλλά τώρα η αξονική του διάταη να είναι απειροτή (δηλαδή µια πλάκα µε απειροτό πάχος ) και. Θεωρούµε επιπλέον ότι οι όψεις της πλάκας είναι ελεύθερες από εξωτερικές δυνάµεις αλλά δεν εµποδίζονται να αναπτύξουν παραµορφώεις κάθετες το επίπεδό τους. Λόγω απειροτού πάχους οι µεταβολές των τάεων και των παραµορφώεων τη διεύθυνη του z είναι αµελητέες, δηλαδή είναι υναρτήεις των x και y µόνο. Εφόον όµως δεν µεταβάλλονται

32 3 κατά το πάχος κι επειδή οι όψεις είναι ελεύθερες φορτίων για να ικανοποιούνται οι οριακές υνθήκες τις όψεις πρέπει zz = zx = zy = 0 (3.8) για όλα τα ηµεία (x, y, z) του ώµατος. Από την (3.8) έχουµε ezx = ezy = 0 (3.9) Εφόον όµως οι όψεις είναι ελεύθερες και δεν εµποδίζονται να αναπτύξουν παραµορφώεις κάθετες το επίπεδό τους ezz 0, κι από τον Νόµο του Hooke ν = ( + ) (3.10) e zz xx yy E ν xx yy e xx E E yy ν xx e yy E E xy xy (1 + ν ) µ G E = (3.11) = (3.1) = = = (3.13) e xy xy Η επίπεδη ένταη είναι µια προεγγιτική λύη, ε αντίθεη µε την επίπεδη παραµόρφωη που είναι µια ακριβής λύη. Με άλλα λόγια, η επίπεδη παραµόρφωη είναι µια ειδική λύη ενός τριδιάτατου προβλήµατος της Ελατικότητας, ενώ η επίπεδη ένταη προεγγίζεται µόνο οριακά, καθώς το πάχος του φορτιζόµενου ώµατος τείνει το µηδέν. Το γεγονός ότι η επίπεδη ένταη δεν είναι µια ακριβής λύη µπορεί να εξηγηθεί από την εξίωη υµβιβατού eyy eyz ezz + = 0 z y z y (3.14) Εφόον καµιά από τις τάεις δεν εξαρτάται από το z, η (3.13) γίνεται κι από την (3.10) y xx+ e zz = 0 ( yy ) = 0 y και και x e zz = 0 ( yy ) = 0 x xx+ (3.15) Τελικά οι (3.15) δείχνουν ότι το xx+ yy είναι γραµµική υνάρτηη των x, y, δηλαδή xx+ yy = B+ Cx+ Dy (3.16) Παρατηρούµε ότι η (3.16) είναι όµοια µε την (3.3, 3.8). Με άλλα λόγια, η λύη επίπεδης τάης είναι ακριβής αν και µόνο αν η weak form λύη της αντίτοιχης επίπεδης παραµόρφωης είναι ακριβής. Αυτό φυικά δεν είναι ύµπτωη. Σε αυτή την ειδική περίπτωη, η µέθοδος µε την οποία κάνουµε τα άκρα του επιµήκους κυλίνδρου να είναι ελεύθερα από την παρουία της zz, έχει την ιδιότητα να µηδενίζει την zz ε όλο

33 33 τον κύλινδρο και εποµένως η προκύπτουα λύη ικανοποιεί και τις υποθέεις της επίπεδης τάης, ενώ παραµένει ακριβής Γενικευµένη Επίπεδη ένταη Η προεγγιτική φύη της λύης της επίπεδης τάης είναι ανεπιθύµητη τους θεωρητικούς της ελατικότητας που ικανοποιούνται µόνο µε την αυτηρότητα µιας ακριβούς θεωρίας. Αυτή µπορεί να επιτευχθεί αν ορίουµε την µέη τάη κατά µήκος του πάχους της πλάκας δηλαδή xx h 1 = xxdz h (3.17) h Μπορεί να αποδειχθεί ότι οι µέες τάεις που ορίζονται έτι ικανοποιούν ακριβώς τις εξιώεις της επίπεδης τάης. Η Θεωρία αυτή αναφέρεται αν θεωρία γενικευµένης επίπεδης τάης. Στην πράξη, φυικά, το κέρδος της ακρίβειας είναι µάταιο, αν, η µεταβολή των τάεων κατά το πάχος της πλάκας είναι µικρό, διότι τότε η τοπική τιµή της τάης είναι χεδόν ίδια µε τη µέη τάη. Μια πλήρης θεωρία τριών διατάεων λεπτών πλακών µε φορτία κατά το επίπεδό τους, δείχνει ότι, η θεωρία επίπεδης τάης µπορεί να δώει µια πολύ καλή προέγγιη ε όλη την πλάκα, εκτός από περιοχές που βρίκονται ε απόταη από τα ύνορά υγκρίιµη µε το πάχος της Σχέεις µεταξύ επίπεδης τάης και επίπεδης παραµόρφωης Η λύη ενός προβλήµατος είτε υπό επίπεδη τάη, είτε υπό επίπεδη παραµόρφωη, εµπλέκει την εύρεη ενός διδιάτατου πεδίου τάης, δηλαδή των τάεων xx, yy, xy, οι οποίες ικανοποιούν τις εξιώεις ιορροπίας (.5), και για τις οποίες οι αντίτοιχες παραµορφώεις xx e, ικανοποιούν τη µόνη µη τετριµµένη εξίωη υµβιβατού e yy, xy (.8 a) ). Οι εξιώεις ιορροπίας και υµβιβατού είναι οι ίδιες και τις δυο περιπτώεις, η µοναδική διαφορά βρίκεται µεταξύ των κατατατικών χέεων τάης-τροπής, οι οποίες για τις ορθές τροπές δίνονται από τις χέεις (3.4) και (3.5) για επίπεδη παραµόρφωη και τις (3.11, 3.1) για επίπεδη τάη. Η χέη µεταξύ της διατµητικής τάης xy και τροπής xy e, e είναι η ίδια και για τις δυο περιπτώεις και δίνεται από τις εξιώεις (1.56). Έτι, από µαθηµατική άποψη, η λύη επίπεδης παραµόρφωης µοιάζει µε τη λύη επίπεδης τάης για ένα υλικό µε διαφορετικές ελατικές ταθερές. Πράγµατι αποδεικνύεται εύκολα ότι η εξίωη (3.4) µπορεί να βρεθεί από την (3.11) κάνοντας τις αντικατατάεις

34 34 E= E ' (1 ν ) ', ν = ' ν ' (1 ν ), (3.18) και τη υνέχεια καταργώντας τους τόνους. Η αντικατάταη αυτή αφήνει τη χέη των διατµητικών τάεων παραµορφώεων αµετάβλητη. Στα επόµενα κεφάλαια, θα διαπραγµατευτούµε τα προβλήµατα µε την επίπεδη τάη, ηµειώνοντας ότι η επίπεδη παραµόρφωη θα βρεθεί µε αντικατάταη της (3.18) όπου απαιτείται. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

35 35 Κεφάλαιο 4 ΤΑΣΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 4.1 Η έννοια της βαθµωτής ταικής υνάρτηης Ο Νόµος βαρύτητας του Νεύτωνα λέει ότι δυο ώµατα έλκονται µε δυνάµεις αντιτρόφως ανάλογες της απόταής τους---αυτή είναι µια διανυµατική θεωρία που έχει να κάνει µε δυνάµεις. Εντούτοις, µπορούµε να ειάγουµε την ιδέα ενός βαθµωτού δυναµικού βαρύτητας, ορίζοντας το αν το έργο που παράγει µια µοναδιαία µάζα κινούµενη από το άπειρο ε ένα δεδοµένο ηµείο. Η Αρχή της διατήρηης της ενέργειας απαιτεί, να είναι αυτή µια µοναδική υνάρτηη της θέης, και αποδεικνύεται εύκολα ότι η δύναµη βαρύτητας ε κάθε ηµείο είναι ανάλογη της κλίης αυτής της βαθµωτής υνάρτηης. Γενικά, τα βαθµωτά µεγέθη τα χειριζόµατε ευκολότερα από ότι τα διανύµατα. Τα βαθµωτά µεγέθη οδηγούν ε ευκολότερους µεταχηµατιµούς υντεταγµένων ενώ τα διανύµατα παρουιάζουν περιότερες δυκολίες ε τέτοιους µεταχηµατιµούς, οι δε τανυτές ακόµη µεγαλύτερες. Σε µερικές θεωρίες πεδίων, το βαθµωτό δυναµικό έχει µια προφανή φυική ηµαία. Για παράδειγµα, την διάδοη θερµότητας η θερµοκραία είναι ένα βαθµωτό δυναµικό µε τους όρους του οποίου µπορεί να οριτεί το διάνυµα της ροής της θερµότητας. Εντούτοις, δεν είναι απαραίτητο τη θεωρία αυτή να δίνεται πάντα µια τέτοια φυική ερµηνεία. Στο δυναµικό βαρύτητας µπορεί να δοθεί µια φυική ερµηνεία, όπως προηγουµένως, αλλά αυτή δεν χαρακτηρίζει τη λύη κάποιου ειδικού προβλήµατος, το οποίο από µαθηµατική άποψη είναι πάντοτε µια άκηη την οποία ψάχνουµε να βρούµε µια λύη ε ένα ύτηµα µερικών διαφορικών εξιώεων, µε δεδοµένες οριακές υνθήκες. Στη θεωρία Ελατικότητας κάνουµε χρήη τέτοιων βαθµωτών δυναµικών που ονοµάζονται υναρτήεις τάεων ή µετατοπίεων και οι οποίες δεν έχουν προφανή φυική ηµαία άλλη, από τη χρηιµότητά τους τον υπολογιµό των υνιτωών των τάεων ή των µετατοπίεων από τις κλίεις τους. 4. Επιλογή κατάλληλης µορφής των υναρτήεων τάης Στην επιλογή µιας κατάλληλης µορφής της υνάρτηης τάης ή µετατόπιης υπάρχει ένας µόνο απόλυτος κανόνας. ---ότι οι τελετές που