ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ

Transcript

1 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ YIELD CRITERIA- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής είναι η µαθηµατική υνθήκη που περιγράφει την εντατική κατάταη ε ένα ηµείο της µάζας του υλικού, ώτε το ηµείο αυτό να υµβαίνει διαρροή. Μαθηµατική έκφραη ενός κριτηρίου διαρροής Γενική µορφή: Συναρτήει των κύριων τάεων: f,,, τ, τ, τ C f Βαικές υποθέεις για τη θεµελίωη ενός κριτηρίου διαρροής,, C εν λαµβάνεται υπόψη η επίδραη του φαινοµένου Bauschinger, δηλαδή το όριο διαρροής ε εφελκυµό και θλίψη θεωρούνται ία. Ιχύει η αρχή διατήρηης όγκου την πλατική περιοχή, οπότε ο λόγος Poisson v0.5. Η τιµή της υδροτατικής υνιτώας των τάεων m δεν επηρεάζει τη διαρροή. ΒΑΣΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ ΓΙΑ ΙΣΟΤΡΟΠΑ ΥΛΙΚΑ A. Κριτήριο διαρροής κατά Tresca Χωρίς βλάβη της γενικότητας µπορεί να τεθεί > >. ΒΑΣΙΚΗ ΠΑΡΑ ΟΧΗ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ: Έναρξη πλατικής ροής ε ένα ηµείο της µάζας του υλικού λαµβάνει χώρα όταν η µέγιτη διατµητική τάη το ηµείο αυτό λάβει µια καθοριµένη ταθερή τιµή. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΚΦΡΑΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ τ ma ταθ. ή ιοδύναµα C πειδή ένα κριτήριο διαρροής πρέπει να ιχύει ε κάθε εντατική κατάταη, θα είναι: i Σε µονοαξονικό εφελκυµό: Υ και 0, όπου Υ το όριο διαρροής ε εφελκυµό. ii Σε καθαρή διάτµηη: k και 0, όπου k το όριο διαρροής ε διάτµηη. Με βάη αυτές τις δύο εντατικές κατατάεις λαµβάνεται η ακριβής µαθηµατική χέη του κριτηρίου ως Υ k 4 B. Κριτήριο διαρροής κατά Mises ΒΑΣΙΚΗ ΠΑΡΑ ΟΧΗ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ: Έναρξη πλατικής ροής ε ένα ηµείο της µάζας του υλικού λαµβάνει χώρα όταν η αποθηκευµένη ενέργεια διατµητικής παραµόρφωης το ηµείο αυτό λάβει µια καθοριµένη ταθερή τιµή. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΚΦΡΑΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ Οι κύριες τάεις γράφονται την εξής µορφή:

2 Ο πρώτος όρος τις ανωτέρω εκφράεις είναι η υδροτατική υνιτώα των τάεων m και παράγει µόνο ογκοµετρική παραµόρφωη ε v ίη µε v ν ν ν ν ε ε ε ε 5 και η αντίτοιχη ενέργεια ογκοµετρικής παραµόρφωης είναι 6 U v m v ν ν ε 6 Οι δύο επόµενοι όροι των εκφράεων των κύριων τάεων ευθύνονται για την τρέβλωη του υλικού την εξεταζόµενη θέη και χετίζονται µε την ενέργεια διατµητικής παραµόρφωης, η οποία θα ιούται µε v total s U U U 7 H ολική ενέργεια παραµόρφωης ιούται µε U total ] [ E U total ν ν ν ν ε ε ε και αντικαθιτώντας την 7, προκύπτει µετά την εκτέλεη των πράξεων για την ενέργεια διατµητικής παραµόρφωης ] [ 6 ] [ 6 U s ν ν και πρέπει να λαµβάνει ταθερή τιµή ή ιοδύναµα να ιχύει C 8 Από την απαίτηη να ιχύει το κριτήριο διαρροής ε υνθήκες µονοαξονικού εφελκυµού και καθαρής διάτµηης λαµβάνεται η ακριβής µαθηµατική χέη του κριτηρίου ως k 6 Y 9

3 Γ. Συχετιµός των ορίων διαρροής Υ και k Από τις εξ. 4 και 9, αντίτοιχα, προκύπτει Y Από το κριτήριο Tresca: k 0α Y Από το κριτήριο Mises: k 0β Συνεπώς, όπου εµπλέκονται τα δύο όρια διαρροής, θα πρέπει να δηλώνεται αφώς το κριτήριο που ακολουθείται.. Γραφική παράταη των κριτηρίων διαρροής Tresca και Mises ΤΡΙΣ ΙΑΣΤΑΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Σχήµα : Γραφική παράταη κριτηρίων το ύτηµα,, Ο τόπος διαρροής ield locus του κριτηρίου Mises είναι κυλινδρική επιφάνεια µε άξονα την ιοκλινή του υτήµατος αξόνων,, και ακτίνα ίη προς Y / βλ. απόδειξη κατωτέρω. Ο αντίτοιχος τόπος διαρροής του κριτηρίου Tresca είναι κανονική εξαγωνική πριµατική επιφάνεια εγγεγραµµένη τον τόπο διαρροής του Mises. To επίπεδο-π είναι κάθε επίπεδο µε εξίωη υτήµατος,, c και είναι κάθετο την ιοκλινή του

4 ΙΣ ΙΑΣΤΑΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Σχήµα : Γραφική παράταη κριτηρίων το ύτηµα, ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΣΤΟ ΠΙΠ Ο-π Σχ. Σχήµα : Σχηµατική παράταη κριτηρίων το επίπεδο-π ΠΡΙΟΧΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗΣ ΣΤΟΥΣ ΤΟΠΟΥΣ ΙΑΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ Σχ. 4 4

5 α β Σχήµα 4: Περιοχές καταπόνηης τα διαγράµµατα του διδιάτατου τόπου διαρροής α Κριτηρίου Tresca, β Κριτηρίου Mises 5

6 ΙΣΟ ΥΝΑΜΗ ΤΑΣΗ - ΙΣΟ ΥΝΑΜΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ Η ιοδύναµη τάη ορίζεται υναρτήει των υπολοίπων υνιτωών τάεων έτι, ώτε, όταν αρχίζει η διαρροή, να λαµβάνει την τιµή Υ. Συνεπώς, για τα ανωτέρω κριτήρια διαρροής προκύπτουν οι ακόλουθες εκφράεις Κριτήριο Tresca: α Κριτήριο Mises: [ ] β Η ιοδύναµη παραµόρφωη ή αύξηη της παραµόρφωης ε ή d ε ορίζεται έτι, ώτε η αύξηη του ειδικού έργου παραµόρφωης dw να ικανοποιεί τη χέη dw Αποδεικνύεται ότι για τα εξεταθέντα ανωτέρω κριτήρια αντοχής ιχύει, αντίτοιχα Κριτήριο Tresca: d ε i, όπου i,, α ma Κριτήριο Mises: [ d ] 9 ε β ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΣ ΞΙΣΩΣΙΣ ΣΤΗΝ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΠΡΙΟΧΗ / ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ FLOW RULES Α. ξιώεις Lév-Mises Οι γενικές κατατατικές εξιώεις µεταξύ αποκλινουών τάεων και ολικών αυξήεων των παραµορφώεων για την περίπτωη του τερεού-ιδεωδώς πλατικού υλικού προτάθηκαν αρχικά από τον Lév 87 και την πλήρη διατύπωή τους αργότερα από τον von Mises 9 ως εξής: "Το πηλίκο της αύξηης της παραµόρφωης προς την αντίτοιχη αποκλίνουα τάη είναι ταθερή" ή ιοδύναµα ε d τ τ τ dλ 4α ή ε τανυτική µορφή dλ, i, j,, 4β όπου: dλ µη αρνητική ταθερά αναλογίας εξαρτώµενη από την ιτορία της παραµόρφωης. Συνεπώς, υνολικά θα ιχύει: d d [ λ λ ] 5α d d [ λ λ ] 5β d d [ λ λ ] 5γ τ dλ 5δ τ dλ 5ε τ dλ 5τ 6

7 Β. ξιώεις Prandtl-Reuss Οι γενικές κατατατικές εξιώεις µεταξύ αποκλινουών τάεων και πλατικών αυξήεων των παραµορφώεων για την περίπτωη του ελατικού-ιδεωδώς πλατικού υλικού προτάθηκαν αρχικά από τον Prandtl 94 για την περίπτωη της επίπεδης παραµορφωιακής παραµόρφωης και την γενική διατύπωή τους αργότερα από τον Reuss 90 ως εξής: "Το πηλίκο της πλατικής αύξηης της παραµόρφωης προς την αντίτοιχη αποκλίνουα τάη είναι ταθερή" ή ιοδύναµα τ τ τ dλ 6α ή ε τανυτική µορφή dλ, i, j,, 6β όπου: dλ µη αρνητική ταθερά αναλογίας εξαρτώµενη από την ιτορία της παραµόρφωης και δείκτης που δηλώνει το πλατικό τµήµα της αύξηης της παραµόρφωης. Η ολική αύξηη της παραµόρφωης ιούται µε το άθροιµα ενός ελατικού µέρους και ενός πλατικού, δηλαδή d e ν dλ δ dm 7 G E ή υνολικά d νd d d [ λ ] E 8α d νd d d [ λ ] E 8β d νd d d [ λ ] E 8γ dτ τ dλ G 8δ dτ τ dλ G 8ε dτ τ dλ G 8τ Οι εξιώεις Prandtl-Reuss υναρτήει των κύριων υνιτωών τάεων και παραµορφώεων εκφράζονται ως εξής: dλ 9 7

8 Η εξ. 9 δηλώνει ότι οι κύκλοι Mohr για τις τάεις και τις πλατικές αυξήεις της παραµόρφωης είναι όµοιοι, βλ. Σχ. 5. Σχήµα 5: Κύκλοι Mohr για τάη και πλατική αύξηη παραµόρφωης Τέλος, εάν χωριτούν οι ογκοµετρικές από τις αποκλίνουες υνιτώες της αύξηης παραµόρφωης την εξ. 7 και λαµβάνοντας υπόψη το κριτήριο διαρροής του Mises, οι εξιώεις Prandtl-Reuss µπορεί να γραφούν υπό την ακόλουθη τανυτική µορφή ii d dλ G ν dii E k 0 Γ. Κατατατικές εξιώεις για κρατυνόµενο υλικό Βαική υπόθεη: "Η ιοδύναµη τάη είναι υνάρτηη του υνολικού ειδικού πλατικού έργου w " ηλαδή θα ιχύει: fw όπου: [ ] dw 8

9 πειδή την πλατική περιοχή ιχύει η αρχή διατήρηης του όγκου d ε 0, η πλατική υνιτώα της αύξηης παραµόρφωης µπορεί να παραταθεί το επίπεδο-π µε ένα διάνυµα. πίης η ειαγωγή του υντελετή G εξαφαλίζει το διάνυµα αυτό διατάεις τάης και έτι τούτο µπορεί να απεικονιτεί το ίδιο διάγραµµα µε το διάνυµα της αποκλίνουας τάης. Από την υπόθεη ότι οι κύριοι άξονες πλατικής αύξηης παραµόρφωης και τάης υµπίπτουν, το Σχ. 6 το διάνυµα τάης OP πρέπει να είναι παράλληλο προς το διάνυµα της πλατικής αύξηης παραµόρφωης RQ. Άρα, το παραγόµενο πλατικό έργο θα ιούται µε Σχήµα 6 OP RQ dw α G όπου OP β ] G d RQ G [ ε γ Σηµειώνεται ότι η πλατική υνιτώα της αύξηης παραµόρφωης µπορεί να γραφεί υπό τη µορφή 9 { } δ Αντικαθιτώντας την εξ. 0α προκύπτει για το πλατικό έργο dw 4 9

10 Από το υνδυαµό των εξ. 9, 0, και δ προκύπτουν οι πλήρεις κατατατικές εξιώεις για κρατυνόµενο υλικό ii d G ν dii E k 5 ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Οριµός ίναι η µεταβολή των ιδιοτήτων του υλικού τις διάφορες διευθύνεις. Μετριέται µε τους υντελετές R α, όπου α είναι η γωνία που χηµατίζει η µελετούµενη διεύθυνη µε την διεύθυνη έλαης του ελάµατος. πίπεδη ανιοτροπία lanar anisotro ίναι το είδος ανιοτροπίας που αναφέρεται ε διαφορετικές ιδιότητες του υλικού τις διάφορες διευθύνεις πάνω το επίπεδο του ελάµατος. Μετριέται µε τον υντελετή επίπεδης ανιοτροπίας R, που υπολογίζεται από τη χέη R0 R45 R90 R 6 ή4 Κάθετη ανιοτροπία normal anisotro ίναι το είδος ανιοτροπίας που αναφέρεται ε διαφορετικές ιδιότητες του υλικού τις διάφορες διευθύνεις κατά το πάχος του ελάµατος. Μετριέται µε τον υντελετή κάθετης ανιοτροπίας R, που υπολογίζεται από τη χέη R R0 R45 R Συντελετής ανιοτροπίας R α κατά τη διεύθυνη α ίναι ο λόγος των παραµορφώεων κατά το πλάτος και το πάχος που ηµειώνονται ε δοκίµιο εφελκυµού, κοµµένου ε διεύθυνη α από το έλαµα, ε επιµήκυνη της τάξης του 5-0% ή πριν την εµφάνιη λαιµού ε υλικά µικρής ολκιµότητας. Ιχύει R α π α 8 Τυπικές µεταβολές του υντελετή ανιοτροπίας µε τη διεύθυνη α παρουιάζονται το Σχ. 7. 0

11 Παρατηρήεις Σχήµα 7: Μεταβολή του υντελετή ανιοτροπίας µε την διεύθυνη α Η επίπεδη ανιοτροπία χετίζεται µε το µέγεθος και τον προανατολιµό των «αυτιών» που χηµατίζονται την βαθεία κοίλανη κυαθίων, βλ. Σχ. 8. Όο µεγαλύτερος είναι ο υντελετής R, τόο εντονότερος είναι ο χηµατιµός «αυτιών». Σχήµα 8: πίδραη του υντελετή επίπεδης ανιοτροπίας το χηµατιµό «αυτιών» Η κάθετη ανιοτροπία χετίζεται µε την ικανότητα του ελάµατος προς βαθεία κοίλανη, δηλ. µε το µέγιτο ύψος κυαθίου που µπορεί να επιτευχθεί µε αφάλεια ε ένα πάο. Όο µεγαλύτερος είναι ο υντελετής R, τόο µεγαλύτερη είναι η ικανότητα προς κοίλανη. Σηµαντική είναι η εξάρτηη των υντελετών ανιοτροπίας από το µέτρο ελατικότητας του υλικού, βλ. Σχ. 9. Σχήµα 9: ξάρτηη των υντελετών ανιοτροπίας από το µέτρο ελατικότητας Τα µεγέθη E και ορίζονται κατ' αναλογία προς τα R και R

12 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ ΓΙΑ ΑΝΙΙΣΟΤΡΟΠΑ ΥΛΙΚΑ Κριτήριο διαρροής κατά Hill Κατά τον Hill η ανιοτροπία κατανέµεται οµοιόµορφα κατά µέγεθος και διεύθυνη και οι άξονες ανιοτροπίας λαµβάνονται κατά τη διεύθυνη έλαης του ελάµατος άξονας, εγκάρια προς αυτή και πάνω το επίπεδο του ελάµατος άξονας και κάθετα προς το επίπεδο του ελάµατος άξονας. Tριδιάτατη διατύπωη του κριτηρίου f F G H Lτ Mτ Nτ 9 όπου F, G, H, L, M, N είναι χαρακτηριτικές παράµετροι της τρέχουας κατάταης ανιοτροπίας. Η υνθήκη ροής για ταθερή τιµή του πλατικού δυναµικού f, ως γνωτόν, γράφεται τη µορφή f dλ 0 όπου dλ µη αρνητικός υντελετής αναλογίας. φαρµόζοντας την εξ. 0 το κριτήριο διαρροής προκύπτουν οι χέεις dλ [H dλ [F dλ [G dλ L τ dλ M τ dλ N τ G H F ] ] ] Σηµείωη: Παρατηρούµε ότι η εξίωη υνέχειας 0 ικανοποιείται. ιδιάτατη µορφή του κριτηρίου Στις κατεργαίες του λεπτού επιπέδου ελάµατος µπορούµε να θεωρήουµε τη δράη µόνο των υνιτωών τάεων, και τ, ενώ οι υπόλοιπες υνιτώες λαµβάνονται ίες µε µηδέν. Άρα, οι ταθερές L και Μ θα είναι µηδενικές. Με τις υποθέεις αυτές, το κριτήριο διαρροής µπορεί να γραφεί τη µορφή G H H H F N τ Υπολογιµός των υντελετών του κριτηρίου α Μονοαξονικός εφελκυµός κατά τον άξονα : Προφανώς θα είναι 0 και µε αντικατάταη τις εξ. προκύπτει

13 G H H G ή ειάγοντας τον οριµό του υντελετή ανιοτροπίας για τη διεύθυνη µέω της εξ. 8, έχουµε H R 4 G β Μονοαξονικός εφελκυµός κατά τον άξονα : ίναι 0 και εργαζόµενοι µε όµοιο τρόπο λαµβάνουµε H F H F 5 H R F 6 γ Μονοαξονικός εφελκυµός ε τυχούα διεύθυνη α ως προς τον άξονα Αν είναι η ακούµενη εφελκυτική τάη, τότε οι υνιτώες, και τ είναι ίες προς τ cos sin α α sin α cosα 7 και µε αντικατάταη την εξ. παίρνουµε [G Hcos α Η sin α] dλ [F Hsin α Η cos α] dλ [F sin α G cos α] dλ [N sin α cos α] dλ 8 ενώ η απ/ θα ιούται µε π a sin α cos α sin α cos α O υντελετής ανιοτροπίας R α από την εξ. 8, µετά τις αντικατατάεις και την εκτέλεη των πράξεων, προκύπτει ίος προς 9 π α sin α cos α sin α cosα Rα H N F G 4Hsin α cos α F sin α G cos α 40

14 δ Καθαρή διάτµηη: Ιχύει 0 και τ k, όπου k το όριο διαρροής του υλικού ε διάτµηη. Με αντικατάταη το κριτήριο διαρροής εξ., προκύπτει N k 4 Συνεπώς, ταυτίζοντας τη διεύθυνη µε τη διεύθυνη έλαης α0 ο του ελάµατος, είναι δυνατός ο προδιοριµός των υντελετών F, G, H, N του κριτηρίου από τη λύη του υτήµατος R R R N H G H F N F G F G k 4 Γενικευµένη τάη γενικευµένη παραµόρφωη κατά Hill F G H Lτ Mτ Nτ F G H 4 G H F G H F FG GH HF L 44 4

15 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΑΚΤΙΝΑΣ ΤΟΥ ΤΟΠΟΥ ΙΑΡΡΟΗΣ MISES ΚΑΙ TRESCA Θα αποδειχθεί ότι Υπολογιµός της ακτίνας του τόπου διαρροής Mises και Tresca ΡΝ Υ. Η ιοκλινής ΟΗ έχει υνηµίτονα κατεύθυνης /, /, /. Αν ΟΝ είναι η προβολή του ΟΡ πάνω την ιοκλινή, θα είναι ON α Όµως, ΡΝ ΟΡ ΟΝ β [ ] Σύµφωνα µε το κριτήριο Mises, διαρροή επέρχεται όταν υµβαίνει Y γ Από το υνδυαµό των εξ. β και γ προκύπτει PN Y δ 5